专题02 十字相乘法与增根全解(试题解析)
【数学知识点】十字相乘法例题20道及解答思路
【数学知识点】十字相乘法例题20道及解答思路1.x²-8x+15=0；2.6x²-5x-25=0；3.a2-7a+6=0；4.8x2+6x-35=0；5.18x2-21x+5=0；6.20-9y-20y2=0；7.2x2+3x+1=0；8.2y2+y-6=0；9.6x2-13x+6=0；10.3a2-7a-6=0；11.6x2-11x+3=0；12.4m2+8m+3=0；13.10x2-21x+2=0；14.8m2-22m+15=0；15.4n2+4n-15=0；16.6a2+a-35=0；17.5x2-8x-13=0；18.4x2+15x+9=0；19.15x2+x-2=0；20.6y2+19y+10=0。
先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。
分解二次项系数（只取正因数，因为取负因数的结果与正因数结果相同）。
1.提出公因式：如果多项式的每一项都有一个公因式，你可以把它提出来，把多项式变成两个因子的乘积。
2.应用公式法：由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
如，和的平方、差的平方。
3.分组分解法：要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a（m+n）+b（m+n），又可以提出公因式m+n，从而得到（a+b）（m+n）。
4.十字相乘法（经常使用）：对于mx2+px+q形式的多项式，如果a×b=m，c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为（ax+d）（bx+c）。
5.配方法：对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
6.拆、添项法：可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
十字相乘法分解因式练习题含答案
十字相乘法分解因式练习题含答案相关热词搜索：因式相乘练习题分解含答案十字相乘法题目答案因式分解练习题及答案十字相乘法口诀篇一：十字相乘法分解因式的练习题十字相乘法分解因式（1）多项式ax?bx?c，称为字母的二次三项式，其中称为二次项，为一次项，为常数项．例如：x?2x?3和x?5x?6都是关于x的二次三项式．（2）在多项式x2?6xy?8y2中，如果把的二次三项式；如果把看作常数，就是关于的二次三项式．（3）在多项式2ab?7ab?3中，把的二次三项式．同样，多项式(x?y)2?7(x?y)?12，把看作一个整体，就是关于的二次三项式．(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式22222它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例1 把下列各式分解因式：22(1)x?2x?15；(2)x?5xy?6y．2例2 把下列各式分解因式：(1)2x?5x?3；(2)3x?8x?3．（3）x?10x?9；(4)7(x?y)3?5(x?y)2?2(x?y)；(5)(a2?8a)2?22(a2?8a)?120．（6）(x2?2x?3)(x2?2x?24)?90．（7）6x?5x?38x?5x?6．（8）x2?2xy?y2?5x?5y?6．（9）ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)．例8、已知x?6x?x?12有一个因式是x?ax?4，求a值和这个多项式的其他因式．4224324222因式分解(1)2x2?15x?7 (2)3a2?8a?4 (3) 5x2?7x?6(4) 6y2?11y?10(5) 5a2b2?23ab?10(6) 3a2b2?17abxy?10x2y2 (7) x2?7xy?12y2(8) x4?7x2?18 (9) 4m2?8mn?3n2 (10) 5x5?15x3y?20xy2一、选择题1．如果x2?px?q?(x?a)(x?b)，那么p等于( )A．ab B．a＋b C．－ab D．－(a＋b)2．如果x2?(a?b)?x?5b?x2?x?30，则b为( )A．5B．－6 C．－5D．63．多项式x?3x?a可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值分别为( )A．10和－2B．－10和2C．10和2D．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是( )A．2x2?x?2 B．3x2?10x2?3x C．4x2?x?2D．5x2?6xy?8y25．分解结果等于(x＋y－4)(2x＋2y－5)的多项式是( )A．2(x?y)2?13(x?y)?20B．(2x?2y)2?13(x?y)?20C．2(x?y)2?13(x?y)?20 D．2(x?y)2?9(x?y)?206．将下述多项式分解后，有相同因式x－1的多项式有( )①x?7x?6；②3x?2x?1；③x?5x?6；④4x?5x?9；⑤15x?23x?8；⑥x?11x?12A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题7．x?3x?10?__________．8．m?5m?6?(m＋a)(m＋b)．a＝__________，b＝__________．9．2x?5x?3?(x－3)(__________)．210．x?____?2y?(x－y)(__________)．2222224222211．a?2na?(_____)?(____?____)2．m12．当k＝______时，多项式3x2?7x?k有一个因式为(__________)．13．若x－y＝6，xy?1736，则代数式x3y?2x2y2?xy3的值为__________．三、解答题14．把下列各式分解因式：(1)x4?7x2?6；(2)x4?5x2?36；(3)4x4?65x2y2?16y4；(4)a6?7a3b3?8b6；(5)6a4?5a3?4a2；(6)4a6?37a4b2?9a2b4．15．把下列各式分解因式：(1)(x2?3)2?4x2；(2)x2(x?2)2?9；(3)(3x2?2x?1)2?(2x2?3x?3)2；(4)(x2?x)2?17(x2?x)?60；(5)(x2?2x)2?7(x2?2x)?8(6)(2a?b)2?14(2a?b)?48．16．已知x＋y＝2，xy＝a＋4，x3?y3?26，求a的值．；篇二：十字相乘法分解因式经典例题和练习十字相乘法培优知识点讲解: 一、十字相乘法：（1）．x?(p?q)x?pq型的因式分解2 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．x2?(p?q)x?pq?x2?px?qx?pq?x(x?p)?q(x?p)?(x?p)(x?q) 因此，x?(p?q)x?pq?(x?p)(x?q)例1把下列各式因式分解：(1) x?7x?6 22(2) x?13x?36 2变式1、a2b2?2ab?152、a4b2?3a2b?18例2把下列各式因式分解：⑴a2?4ab?3b2 ⑵(x2?x)2?8(x2?x)?12变式1、x2?2xy?15y2 2.、x2?5xy?6y23、x2?4xy?21y24、x2?7xy?12y2例3把下列各式因式分解：⑴(x?y)2?4(x?y)?12 ⑵(x?y)2?5(x?y)?6变式1、(x?y)2?9(x?y)?142、(x?y)2?5(x?y)?43、(x?y)2?6(x?y)?164、(x?y)2?7(x?y)?30例4 ⑴x2y?3x2y?10 3y⑵a2b2?7ab3?10b4变式⑴(x2?3x)2?2(x2?3x)?8 ⑵(x2?2x)(x2?2x?2)?3⑶3x3?18x2y?48xy2 ⑷(x2?5x)2?2(x2?5x)?24⑸(x2?2x)(x2?2x?7)?8 ⑹x4?5x2?4（2）．一般二次三项式ax?bx?c型的因式分解大家知道，(a1x?c1)(a2x?c2)?a1a2x?(a1c2?a2c1)x?c1c2．反过来，就得到：a1a2x?(a1c2?a2c1)x?c1c2?(a1x?c1)(a2x?c2)例5把下列各式因式分解：(1) 12x?5x?2 2222 (2) 5x?6xy?8y 22练习：1.把4xy?5xy?9y分解因式的结果是________________。
【数学知识点】十字相乘法例题20道及解答思路
【数学知识点】十字相乘法例题20道及解答思路1.x²-8x+15=0；2.6x²-5x-25=0；3.a2-7a+6=0；4.8x2+6x-35=0；5.18x2-21x+5=0；6.20-9y-20y2=0；7.2x2+3x+1=0；8.2y2+y-6=0；9.6x2-13x+6=0；10.3a2-7a-6=0；11.6x2-11x+3=0；12.4m2+8m+3=0；13.10x2-21x+2=0；14.8m2-22m+15=0；15.4n2+4n-15=0；16.6a2+a-35=0；17.5x2-8x-13=0；18.4x2+15x+9=0；19.15x2+x-2=0；20.6y2+19y+10=0。
先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。
分解二次项系数（只取正因数，因为取负因数的结果与正因数结果相同）。
1.提出公因式：如果多项式的每一项都有一个公因式，你可以把它提出来，把多项式变成两个因子的乘积。
2.应用公式法：由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
如，和的平方、差的平方。
3.分组分解法：要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a（m+n）+b（m+n），又可以提出公因式m+n，从而得到（a+b）（m+n）。
4.十字相乘法（经常使用）：对于mx2+px+q形式的多项式，如果a×b=m，c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为（ax+d）（bx+c）。
5.配方法：对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
6.拆、添项法：可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
十字相乘法(附答案解析)
十字相乘法 (2020年8月)【基础知识精讲】（1）理解二次三项式的意义； （2）理解十字相乘法的根据； （3）能用十字相乘法分解二次三项式；（4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法．【重点难点解析】 1．二次三项式多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． （2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =⋅21，c c c =⋅21，且b c a c a =+1221，那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：)45)(2(86522-+=-+x x y xy x3．因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．【典型热点考题】例1 把下列各式分解因式：（1）1522--x x ；（2）2265y xy x +-．点悟：（1）常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数；（2）将y 看作常数，转化为关于x 的二次三项式，常数项26y 可分为(－2y )(－3y )，而(－2y )＋(－3y )＝(－5y )恰为一次项系数．解：（1）)5)(3(1522-+=--x x x x ； （2）)3)(2(6522y x y x y xy x --=+-．例2 把下列各式分解因式：（1）3522--x x ；（2）3832-+x x ．点悟：我们要把多项式c bx ax ++2分解成形如))((2211c ax c ax ++的形式，这里a a a =21，c c c =21而b c a c a =+1221．解：（1）)3)(12(3522-+=--x x x x ； （2）)x )(x (x x 3133832+-=-+．点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．例3 把下列各式分解因式： （1）91024+-x x ；（2）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+； （3）120)8(22)8(222++++a a a a ．点悟：（1）把2x 看作一整体，从而转化为关于2x 的二次三项式； （2）提取公因式(x ＋y )后，原式可转化为关于(x ＋y )的二次三项式； （3）以)8(2a a +为整体，转化为关于)8(2a a +的二次三项式． 解：（1） )9)(1(9102224--=+-x x x x ＝(x ＋1)(x －1)(x ＋3)(x －3)．（2） )(2)(5)(723y x y x y x +-+-+]2)(5)(7)[(2-+-++=y x y x y x＝(x ＋y )[(x ＋y )－1][7(x ＋y )＋2] ＝(x ＋y )(x ＋y －1)(7x ＋7y ＋2)． （3） 120)8(22)8(222++++a a a a)108)(128(22++++=a a a a )108)(6)(2(2++++=a a a a点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止．例4 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x ． 点悟：把x x 22+看作一个变量，利用换元法解之． 解：设y x x =+22，则 原式＝(y －3)(y －24)＋90162272+-=y y＝(y －18)(y －9))92)(182(22-+-+=x x x x ．点拨：本题中将x x 22+视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果．此外，)9)(18(162272--=+-y y y y 一步，我们用了“十字相乘法”进行分解．例5 分解因式653856234++-+x x x x ． 点悟：可考虑换元法及变形降次来解之． 解：原式]38)1(5)1(6[222-+++=xx x x x ]50)1(5)1(6[22-+++=xx x x x ，令y xx =+1，则 原式)5056(22-+=y y x)103)(52(2+-=y y x32)3103)(252(22+++-=x x x x)13)(3)(12)(2(++--=x x x x ．点拨：本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙，令人眼花瞭乱．但是，品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是一个重要环节． 例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x ．点悟：方法1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(x －y )的二次三项式． 方法2：把字母y 看作是常数，转化为关于x 的二次三项式． 解法1： 655222-+-+-y x y xy x6)55()2(22-+-++-=y x y xy x6)(5)(2----=y x y x)6)(1(--+-=y x y x ．解法2： 655222-+-+-y x y xy x65)52(22-+++-=y y x y x )1)(6()52(2-+++-=y y x y x)]y (x )][y (x [16--+-=＝(x －y －6)(x －y ＋1)．例7 分解因式：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )．点悟：先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组． 解：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b ))(2222b a ab bc c b c a ac -+-+-= )()()(222b a ab b a c b a c -+---= )())(()(2b a ab b a b a c b a c -+-+--=])()[(2ab b a c c b a ++--=＝(a －b )(c －a )(c －b )．点拨：因式分解，有时需要把多项式去括号、展开、整理、重新分组，有时仅需要把某几项展开再分组．此题展开四项后，根据字母c 的次数分组，出现了含a －b 的因式，从而能提公因式．随后又出现了关于c 的二次三项式能再次分解．例8 已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式．点悟：因为12624+++x x x 是四次多项式，有一个因式是42++ax x ，根据多项式的乘法原则可知道另一个因式是32++bx x （a 、b 是待定常数），故有=+++12624x x x +2(x )3()42+++⋅bx x ax ．根据此恒等关系式，可求出a ，b 的值． 解：设另一个多项式为32++bx x ，则12624+++x x x)3)(4(22++++=bx x ax x12)43()43()(234++++++++=x b a x ab x b a x ，∵ 12624+++x x x 与12)43()43()(234++++++++x b a x ab x b a x 是同一个多项式，所以其对应项系数分别相等．即有由①、③解得，a ＝－1，b ＝1， 代入②，等式成立．∴ a ＝－1，另一个因式为32++x x ．点拨：这种方法称为待定系数法，是很有用的方法．待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方法，在其他数学知识的学习中也经常运用．希望读者不可轻视．【易错例题分析】例9 分解因式：22210235y aby b a -+． 错解：∵ －10＝5×(－2)，5＝1×5， 5×5＋1×(－2)＝23，∴ 原式＝(5ab ＋5y )(－2ab ＋5y )．警示：错在没有掌握十字相乘法的含义和步骤．正解：∵ 5＝1×5，－10＝5×(－2)，5×5＋1×(－2)＝23．∴ 原式＝(ab ＋5y )(5ab －2y )． 【同步练习】 一、选择题1．如果))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( ) A ．ab B ．a ＋b C ．－ab D ．－(a ＋b )2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为 ( )A ．5B ．－6C ．－5D ．63．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( ) A ．10和－2 B ．－10和2 C ．10和2 D ．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是 ( ) A ．22-+x x B ．x x x 310322+-C ．242++x x D ．22865y xy x --5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( ) A ．20)(13)(22++-+y x y x B ．20)(13)22(2++-+y x y x C ．20)(13)(22++++y x y x D ．20)(9)(22++-+y x y x6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有 ( ) ①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ； ④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x x A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 二、填空题7．=-+1032x x __________． 8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__________，b ＝__________． 9．=--3522x x (x －3)(__________)．10．+2x ____=-22y (x －y )(__________)．11．22____)(____(_____)+=++a mna ． 12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)． 13．若x －y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________． 三、解答题14．把下列各式分解因式：（1）6724+-x x ； （2）36524--x x ；（3）422416654y y x x +-； （4）633687b b a a --；（5）234456a a a --； （6）422469374b a b a a +-．15．把下列各式分解因式：（1）2224)3(x x --；（2）9)2(22--x x ；（3）2222)332()123(++-++x x x x ；（4）60)(17)(222++-+x x x x ；（5）8)2(7)2(222-+-+x x x x ；（6）48)2(14)2(2++-+b a b a ．16．把下列各式分解因式： （1）b a ax x b a +++-2)(2；（2）))(()(222q p q p pq x q p x -+++-；（3）81023222-++--y x y xy x ；（4）310434422-+---y x y xy x ；（5）120)127)(23(22-++++x x x x ；（6）4222212)2)((y y xy x y xy x -++++．17．已知60197223+--x x x 有因式2x －5，把它分解因式．18．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，求a 的值．十字相乘法参考答案【同步练习】1．D 2．B 3．D 4．C 5．A 6．C7．(x ＋5)(x －2) 8．1或－6，－6或1 9．2x ＋110．xy ，x ＋2y 11．224m n ，a ,mn 2 12．－2，3x ＋1或x ＋2 13．1714．（1） 原式)6)(1(22--=x x )6)(1)(1(2--+=x x x（2） 原式)4)(9(22+-=x x )4)(3)(3(2+-+=x x x（3） 原式)16)(4(2222y x y x --= )4)(4)(2)(2(y x y x y x y x -+-+=（4） 原式))(8(3333b a b a +-= ))()(42)(2(2222b ab a b a b ab a b a +-+++-=（5） 原式)456(22--=a a a )43)(12(2-+=a a a（6） 原式)9374(42242b b a a a +-=)9)(4(22222b a b a a --=)3)(3)(2)(2(2b a b a b a b a a -+-+=15．（1） 原式)23)(23(22x x x x +---= )1)(3)(1)(3(-++-=x x x x（2） 原式]3)2(][3)2([+---=x x x x)32)(32(22+---=x x x x)32)(1)(3(2+-+-=x x x x（3） 原式)332123()332123(2222---+++++++=⋅x x x x x x x x )1)(2)(455(2+-++=x x x x（4） 原式)5)(12(22-+-+=x x x x )5)(3)(4(2-+-+=x x x x（5） 原式)12)(82(22++-+=x x x x 2)1)(4)(2(++-=x x x（6）原式)82)(62(-+-+=b a b a16．（1） 原式)1]()[(+++-=x b a x b a（2） 原式)]()][([q p q x q p p x +---=))((22q pq x pq p x --+-=（3）原式)8103()22(22+----=y y x y x )2)(43()22(2-----=y y x y x]2)][43([-+--=y x y x)2)(43(-++-=y x y x（4） 原式3103)1(4422-+-+-=y y x y x )3)(13()1(442---+-=y y x y x)32)(132(-++-=y x y x（5） 原式120)4)(3)(2)(1(-++++=x x x x120)45)(65(22-++++=x x x x1201)55(22--++=x x)1155)(1155(22-+++++=x x x x)65)(165(22-+++=x x x x)6)(1)(165(2+-++=x x x x（6） 原式422222212)()(y y xy x y y xy x -+++++= )3)(4(222222y y xy x y y xy x -+++++=)2)(5(2222y xy x y xy x -+++=)2)()(5(22y x y x y xy x +-++=17．提示：)52()601972(23-+--÷x x x x )3)(4(122+-=--=x x x x18．∵ ))((2233y xy x y x y x +-+=+ ]3))[((2xy y x y x -++=，又∵ 2=+y x ，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，∴ 26)]4(32[22=+-a ，解之得，a ＝－7．。
《分解因式(十字相乘法、分组分解法)》热点专题高分特训(含答案)
分解因式（十字相乘法、分组分解法）（人教版）一、单选题(共14道，每道7分)1.把分解因式，结果正确的是( )A.(x+2)(x+3)B.(x-2)(x-3)C.(x+1)(x+6)D.(x-1)(x-6)答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法2.把分解因式，结果正确的是( )A.(x-2)(x+3)B.(x+2)(x-3)C.(x+1)(x-6)D.(x-1)(x+6)答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法3.把分解因式，结果正确的是( )A.(x-3)(x+4)B.(x+3)(x-4)C.-(x-3)(x+4)D.-(x+3)(x-4)答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法4.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法5.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法6.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法7.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法8.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法9.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法10.把分解因式，结果正确的是( )A.(a-b)(a+b+c)B.(a-b)(a+b-c)C.(a+b)(a-b-c)D.(a+b)(a-b+c)答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——分组分解法11.把ab-1+a-b分解因式，结果正确的是( )A.(a+1)(b+1)B.(a-1)(b-1)C.(a+1)(b-1)D.(a-1)(b+1)答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——分组分解法12.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——分组分解法13.把分解因式，结果正确的是( )A.(1-x-y)(1+x-y)B.(1+x-y)(1-x+y)C.(1-x-y)(1-x+y)D.(1+x-y)(1+x+y)答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——分组分解法14.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——分组分解法。
十字相乘法分解因式经典例题和练习
十字相乘法培优知识点讲解:一、十字相乘法：（1）．2()x p q x pq +++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++ 因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++例1把下列各式因式分解：(1) 276x x -+ (2) 21336x x ++变式1、22215a b ab --2、422318a b a b --例2把下列各式因式分解：⑴2243a ab b -+ ⑵222()8()12x x x x +-++变式1、22215x xy y -- 2.、2256x xy y +-3、22421x xy y +-4、22712x xy y ++例3把下列各式因式分解：⑴2()4()12x y x y +-+- ⑵2()5()6x y x y +-+-变式1、2()9()14x y x y +-++ 2、2()5()4x y x y ++++3、2()6()16x y x y +++-4、2()7()30x y x y +++-例4 ⑴ 223310x y xy y -- ⑵2234710a b ab b -+变式⑴222(3)2(3)8x x x x +-+- ⑵22(2)(22)3x x x x ----⑶32231848x x y xy -- ⑷222(5)2(5)24x x x x +-+-⑸22(2)(27)8x x x x ++-- ⑹4254x x -+（2）．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++．反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++例5把下列各式因式分解： (1) 21252x x -- (2) 22568x xy y +-练习：1.把22224954y y x y x --分解因式的结果是________________。
高中化学十字相乘法原理及经典题目
高中化学的十字相乘法十字交叉法又称图解法，应用于二元混合体系所产生的具有平均意义的计算问题，表现出实用性强，能准确、简便、迅速求解的特点。
适用范围：“十字交叉法”适用于两组分混合物（或多组分混合物，但其中若干种有确定的物质的量比，因而可以看做两组分的混合物），求算混合物中关于组分的某个化学量（微粒数、质量、气体体积等）的比值或百分含量。
例1：实验测得乙烯与氧气的混合气体的密度是氢气的14.5倍。
可知其中乙烯的质量分数为（ ）A.25.0%B.27.6%C.72.4%D.75.0%解析：要求混合气中乙烯的质量分数可通过十字交叉法先求出乙烯与氧气的物质的量之比（当然也可以求两组分的质量比，但较繁，不可取），再进一步求出质量分数。
这样，乙烯的质量分数是：ω（C 2H 4）=321283283⨯+⨯⨯×100％=72.4% 答案：C 。
（解毕）二、十字交叉法的解法探讨：1.十字交叉法的依据：对一个二元混合体系，可建立一个特性方程： ax+b(1－x)=c(a 、b 、c 为常数，分别表示A 组分、B 组分和混合体系的某种平均化学量，如：单位为g/mol 的摩尔质量、单位为g/g 的质量分数等) ；x 为组分A 在混合体系中某化学量的百分数（下同）。
如欲求x/(1－x)之比值，可展开上述关系式，并整理得： ax －bx=c －b解之，得： ba c a xb a bc x --=---=1, 即：ca b c x x --=-1 2.十字交叉法的常见形式：为方便操作和应用，采用模仿数学因式分解中的十字交叉法，记为：3.解法关健和难点所在：十字交叉法应用于解题快速简捷，一旦教给了学生，学生往往爱用，但是也往往出错。
究其原因，无外乎乱用平均量（即上述a 、b 、c 不知何物）、交叉相减后其差值之比不知为何量之比。
关于上述a 、b 、c 这些化学平均量，在这里是指其量纲为（化学量1 ÷化学量2）的一些比值，如摩尔质量（g/mol ）、溶液中溶质的质量分数(溶质质量÷溶液质量)或关于物质组成、变化的其它化学量等等。
十字相乘法例题解析
第2课时 十字相乘法一、十字相乘法：1．2()x p q x pq +++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和． 22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++ 因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．2．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++．反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++ 我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．二、例题讲解：例1.把下列各式因式分解：(1) 276x x -+(2) 21336x x ++ 解：(1)6(1)(6),(1)(6)7=-⨯--+-=-2 76[(1)][(6)](1)(6)x x x x x x ∴-+=+-+-=--．(2) 3649,4913=⨯+= 2 1336(4)(9)x x x x ∴++=++说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同．例2.把下列各式因式分解：(1) 2524x x +-(2) 2215x x -- 解：(1)24(3)8,(3)85-=-⨯-+=2 524[(3)](8)(3)(8)x x x x x x ∴+-=+-+=-+(2) 15(5)3,(5)32-=-⨯-+=- 2 215[(5)](3)(5)(3)x x x x x x ∴--=+-+=-+说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同．例3.把下列各式因式分解：(1) 226x xy y +- (2) 222()8()12x x x x +-++ 分析：(1) 把226x xy y +-看成x 的二次三项式，这时常数项是26y -，一次项系数是y ，把26y -分解成3y 与2y -的积，而3(2)y y y +-=，正好是一次项系数．(2) 由换元思想，只要把2x x +整体看作一个字母a ，可不必写出，只当作分解二次三项式2812a a -+．解：(1) 222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+-(2) 22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+- (3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-例4.把下列各式因式分解：(1) 21252x x -- (2) 22568x xy y +- 解：(1) 21252(32)(41)x x x x --=-+ 324 1-⨯(2) 22568(2)(54)x xy y x y x y +-=+- 1 254y y -⨯ 说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．三、巩固练习：1．把下列各式分解因式：(1) 232x x -+ (2) 2627x x --(3) 24x - （4）2245m mn n -- 2．把下列各式分解因式：(1) 2273x x -+ (2) 2672x x -+ (3)2273x x ++ (4)27()5()2a b a b +-+-(5)2282615x xy y +- (6) 222(2)7(2)12x x x x ---+。
十字相乘法例题20道及解答思路
十字相乘法例题20道及解答思路20道例题1.x²-8x+15=0；2.6x²-5x-25=0；3.a2-7a+6=0；4.8x2+6x-35=0；5.18x2-21x+5=0；6.20-9y-20y2=0；7.2x2+3x+1=0；8.2y2+y-6=0；9.6x2-13x+6=0；10.3a2-7a-6=0；11.6x2-11x+3=0；12.4m2+8m+3=0；13.10x2-21x+2=0；14.8m2-22m+15=0；15.4n2+4n-15=0；16.6a2+a-35=0；17.5x2-8x-13=0；18.4x2+15x+9=0；19.15x2+x-2=0；20.6y2+19y+10=0。
解题思路先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。
分解二次项系数（只取正因数，因为取负因数的结果与正因数结果相同）。
因式分解方法1.提出公因式：如果多项式的每一项都有一个公因式，你可以把它提出来，把多项式变成两个因子的乘积。
2.应用公式法：由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
如，和的平方、差的平方。
3.分组分解法：要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a（m+n）+b（m+n），又可以提出公因式m+n，从而得到（a+b）（m+n）。
4.十字相乘法（经常使用）：对于mx2+px+q形式的多项式，如果a×b=m，c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为（ax+d）（bx+c）。
5.配方法：对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
6.拆、添项法：可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
十字相乘法例题及答案
十字相乘法例题及答案1，什么是十字相乘法：十字相乘法是因式分解中十四种方法之一，另外十三种分别都是：1.提公因式法、2.公式法、3.双十字相乘法、4.轮换对称法、5.拆添项法、6.配方法7.因式定理法、8.换元法、9.综合除法、10.主元法、11.特殊值法、12.待定系数法、13.二次多项式。
2，十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解。
,3，因式分解解释把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解（也叫作分解因式）。
它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
4，用十字相乘法分解因式：(1)2x2－5x－12；(2)3x2－5x－2；(3)6x2－13x+5；(4)7x2－19x－6；(5)12x2－13x+3；(6)4x2+24x+27.5，把下列各式分解因式：(1)6x2－13xy+6y2；(2)8x2y2+6xy－35；(3)18x2－21xy+5y2；(4)2(a+b)2+(a+b)(a－b)－6(a－b)2. 答案：1.(1)(x－4)(2x+3)；(2)(x－2)(3x+1)；(3)(2x－1)(3x－5)；(4)(x－3)(7x+2)；(5)(3x－1)(4x－3)；(6)(2x+3)(2x+9).2.(1)(2x－3y)(3x－2y)；(2)(2xy+5)(4xy－7)；(3)(3x－y)(6x－5y)；(4)(3a－b)(5b－a).。
分解因式难题拔高-----十字相乘法
分解因式难题拔高-----十字相乘法(总4页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-十字相乘法322--x x652++x x2286y xy x +-37222+-ab b a12)(7)(2++++y x y x方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式:它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．(1)1522--x x ； (2)2265y xy x +-．(1)3522--x x ； (2)3832-+x x ．91024+-x x ； )(2)(5)(723y x y x y x +-+-+120)8(22)8(222++++a a a a ．90)242)(32(22+-+-+x x x x ．653856234++-+x x x x ．655222-+-+-y x y xy x ．ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )．已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式．把下列各式分解因式：(1)22157x x ++ (2) 2384a a -+(3) 2576x x +- (4) 261110y y --(5) 2252310a b ab +- (6) 222231710a b abxy x y -+(7) 22712x xy y -+ (8) 42718x x +-(9) 22483m mn n ++ (10) 53251520x x y xy --一、选择题1．如果))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( )A ．abB ．a ＋bC ．－abD ．－(a ＋b )2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为 ( ) A ．5 B ．－6 C ．－5 D ．63．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( )A ．10和－2B ．－10和2C ．10和2D ．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是 ( )A ．22-+x xB ．x x x 310322+-C ．242++x xD ．22865y xy x -- 5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( )A ．20)(13)(22++-+y x y xB ．20)(13)22(2++-+y x y xC ．20)(13)(22++++y x y xD ．20)(9)(22++-+y x y x6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有 ( )①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ；④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x xA ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题7．=-+1032x x __________．8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__________，b ＝__________．9．=--3522x x (x －3)(__________)．10．+2x ____=-22y (x －y )(__________)．11．22____)(____(_____)+=++a m na ．12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)．13．若x －y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________．三、解答题14．把下列各式分解因式：(1)6724+-x x ； (2)36524--x x ； (3)422416654y y x x +-；(4)633687b b a a --； (5)234456a a a --； (6)422469374b a b a a +-．15．把下列各式分解因式：(1)2224)3(x x --； (2)9)2(22--x x ； (3)2222)332()123(++-++x x x x ；(4)60)(17)(222++-+x x x x ；(5)8)2(7)2(222-+-+x x x x ；(6)48)2(14)2(2++-+b a b a ．16．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，求a 的值．。
专题02 十字相乘法与增根全解基础巩固+技能提升(试题解析)
专题02 基础巩固+技能提升【基础巩固】1.（2020·河北期中）分解因式： （1）﹣3x 3﹣6x 2y ﹣3xy 2； （2）(a 2+9)2﹣36a 2； （3）(a ﹣b )2+4ab ；（4）(x 2﹣2x )2﹣2(x 2﹣2x )﹣3． 【答案】见解析.【解析】解：（1）﹣3x 3﹣6x 2y ﹣3xy 2， ＝﹣3x （x 2+2xy +y 2）， ＝﹣3x （x +y ）2； （2）（a 2+9）2﹣36a 2， ＝（a 2+9﹣6a ）（a 2+9+6a ）， ＝（a ﹣3）2（a +3）2； （3）（a ﹣b ）2+4ab ， ＝a 2﹣2ab +b 2+4ab ， ＝a 2+2ab +b 2， ＝（a +b ）2．（4）（x 2﹣2x ）2﹣2（x 2﹣2x ）﹣3， ＝（x 2﹣2x ﹣3）（x 2﹣2x +1）， ＝（x ﹣3）（x +1）（x ﹣1）2．2．（2020·上海市月考）因式分解：()()2222728+-+-m m m m【答案】（m+4）（m-2）（m+1）2 3．（2020·泉州市期中）分解因式：（1）2x x 30--（2）222ax 8axy 8ay -+【答案】（1）（x-6）（x+5）；（2）2a(x-2y)2 4．（2019·张家口市期末）阅读与思考x 2+（p+q ）x+pq 型式子的因式分解x 2+（p+q ）x+pq 型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子分解因式呢？我们通过学习，利用多项式的乘法法则可知：（x+p ）（x+q ）＝x 2+（p+q ）x+pq ，因式分解是整式乘法相反方向的变形，利用这种关系可得x 2+（p+q ）x+pq ＝（x+p ）（x+q ）． 利用这个结果可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如，将x 2﹣x ﹣6分解因式．这个式子的二次项系数是1，常数项﹣6＝2×（﹣3），一次项系数﹣1＝2+（﹣3），因此这是一个x 2+（p+q ）x+pq 型的式子．所以x 2﹣x ﹣6＝（x+2）（x ﹣3）．上述过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示．这样我们也可以得到x 2﹣x ﹣6＝（x+2）（x ﹣3）．这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”．请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题： （1）分解因式：y 2﹣2y ﹣24．（2）若x 2+mx ﹣12（m 为常数）可分解为两个一次因式的积，请直接写出整数m 的所有可能值．【答案】（1）（y+4）（y ﹣6）；（2）﹣1，1，﹣4，4，11，﹣11 【解析】解：（1）y 2﹣2y ﹣24＝（y+4）（y ﹣6）；（2）若212(3)(4)x mx x x +-=-+ ，此时m=1；若212(3)(4)x mx x x +-=+- ，此时m=-1 若212(1)(12)x mx x x +-=-+ ，此时m=11 若212(1)(12)x mx x x +-=+- ，此时m=-11 若212(2)(6)x mx x x +-=-+ ，此时m=4 若212(2)(6)x mx x x +-=+- ，此时m=-4综上所述，若x 2+mx ﹣12可分解为两个一次因式的积，m 的值可能是﹣1，1，﹣4，4，11，﹣11．5．（2020·湖南株洲市期末）分解因式x 2+3x +2的过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如右图）．这样，我们可以得到x 2+3x +2＝（x +1）（x +2）．请利用这种方法，分解因式2x 2﹣3x ﹣2＝_____．【答案】（2x +1）（x ﹣2）6．（2020·河北保定市）关于x 的方程2311x mx -=-的解是正数，m 的值可能是（ ） A ．23B ．12C ．0D ．-1【答案】B. 【解析】解：2311x mx -=-， x=3m-1，由题意可得：3m-1>0且3m-1≠1，∴m ＞13且m≠23．故答案为：B ．7．（2020·晋州市月考）已知关于x 的分式方程433x kx x-=--的解为非正数，则k 的取值范围是（ ） A ．k≤－12 B ．k≥ －12且k ≠ －3C ．k>－12D ．k<－12【答案】A. 【解析】解： 方程433x kx x -=--的两边同时乘以（x-3）得： x-4（x-3）=-k ， ∴x=3k+4， ∵解为非正数，∴403433kk ⎧+≤⎪⎪⎨⎪+≠⎪⎩， 解得：k≤-12． 故答案为：A ．8．（2020·佳木斯市期中）若关于x 的分式方程4122ax x x =+--无解，则a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．0或1或2【答案】C. 【解析】解：去分母得：ax ＝4+x-2， 整理得：（a-1）x ＝2， x=2a 1- 由分式方程无解，得到a-1＝0或x ＝2=2a 1-， 解得：a ＝1或a ＝2， 故答案为：C ．9．如果关于x 的分式方程2122m xx x-=--无解，那么m 的值为（ ） A ．4 B ．4-C ．2D ．2-【答案】B. 【解析】解：分式方程去分母得m+2x=x-2， 得x=-2-m ，分式方程无解，x=2， 即-2-m=2， m=-4， 故答案为：B ．10．（2020·北京市昌平区月考）若分式方程22m 1x 1x x x-=++无解，则m 的值是（ ） A ．0 B ．-1C ．-2D ．-1或-2【答案】D.【解析】解：方程去分母得：2x-m=x+1， 解得：x=1+m ，当x=0时分母为0，方程无解，即m=-1； 当x=-1时分母为0，方程无解，即m=-2． 故答案为：D ．11．（2020·襄汾县期末）若关于x 的分式方程311m x x+--＝1的解为正数，求m 的取值范围．【答案】m ＞2且m ≠3．【解析】解：去分母得：m ﹣3＝x ﹣1， 解得：x ＝m ﹣2，由分式方程的解为正数，得到m ﹣2＞0，且m ﹣2≠1， 解得：m ＞2且m≠3， 故答案为：m ＞2且m≠3．12．（2020·山东东营市月考）若关于x 的方程233x m x x-=--的解为正数，求m 的取值范围【答案】m ＞-6且m≠-3.【解析】解：分式方程化为整式方程，整理得，x=m+6， 关于x 的方程的解为正数， ∴m+6＞0，且m+6≠3， 解得：m ＞-6且m≠-3．13．（2020·山西临汾市期中）已知关于x 的分式方程211x kx x-=--的解为正数,求k 的取值范围．【答案】k ＞-2且k≠-1.【解析】解：解分式方程得：x=2+k ∵关于x 的分式方程的解为正数，∴010x x >⎧⎨-≠⎩∴20210k k +>⎧⎨+-≠⎩解得：k ＞﹣2且k ≠﹣1．14．（2020·唐山市月考）已知分式方程322x mx x =+--的解为负数，则m 的取值范围是________． 【答案】m ＞6.【解析】解：分式方程解得：x=62m-， 由题意：62m-<0， 解得：m ＞6， 又x-2≠2， 即62m-≠2，解得：m≠2， 故答案为：m ＞6．15．（2020·乐山期中）已知关于x 的分式方程111x k kx x +-=+-的解为正数，则k 的取值范围是___．【答案】k ＜12且k≠0. 【解析】解：由111x k kx x +-=+-可得：x=1-2k ， ∵分式方程的解为正数，且x≠±1 ∴1-2k ＞0，1-2k≠±1 ∴k ＜12且k≠0. 16．（2020·渝中区期中）若分式方程24mx -﹣22x ＝12x -有增根，则m 的值是_____． 【答案】4或﹣8.【解析】解：去分母得，m ﹣2（x ﹣2）＝x+2， ∵方程24m x -﹣22x ＝12x -有增根， ∴x ＝±2， 当x ＝2时，m ＝4； 当x ＝﹣2时，m ＝﹣8； 故答案为4或﹣8．17．（2020·湖南张家界市期中）当m ＝______时，分式方程233x mx x-=--会出现增根. 【答案】－1． 【解析】解：分式方程去分母得：x−2＝−m ，由分式方程有增根，得到x−3＝0，即x ＝3， 把x ＝3代入整式方程得：m ＝−1． 故答案为：−1．18．（2019·山东潍坊市）若分式方程231222x a x x x x-+=--有增根，则实数a 等于__________．【答案】4或8.【解析】解：x=42a - 分式方程231222x a x x x x-+=--有增根 即x=2或x=0 得a=4或8 故答案为：4或8．19．（2019·湖南常德市）若关于x 的方程2222x mx x++=--的解为正数，则m 的取值范围是_______．【答案】m ＜6且m≠0. 【解析】解：解得：x=63m- 因为方程的解为正数， ∴603m-> ∴m ＜6， 又∵x≠2， ∴63m-≠2，即m≠0 ∴m 的取值范围为：m ＜6且m≠0．【技能提升】1. （2020·重庆市期中）若关于x的一元一次不等式组3114xxx a+⎧>-⎪⎨⎪-≤⎩的解集为x a≤，且关于y的分式方程52122y a yy y--+=--有正整数解，则所有满足条件的整数a的和为（）A．2B．3C．7D．8【答案】A.【解析】解：解不等式组3114xxx a+⎧>-⎪⎨⎪-≤⎩得：5xx a⎧⎨≤⎩＜，∵不等式组的解集为x≤a，∴a＜5，将关于y的分式方程52122y a yy y--+=--，得：y=32a+，∵分式方程有正整数解，且y≠2，∴a=3或﹣1，∴3+（﹣1）=2，故答案为：A．2．（2020·重庆期末）若实数a使关于x的不等式组17623312a xxx⎧-<⎪⎪⎨+⎪+>⎪⎩有且只有2个整数解，且使关于x的分式方程3333axx x-=--有整数解，则符合条件的所有整数a的和是（）A．-2 B．-3 C．-1 D．1 【答案】A.【解析】解：由17623312a xxx⎧-<⎪⎪⎨+⎪+>⎪⎩得：17621x ax⎧>-⎪⎨⎪<-⎩，∵原不等式有且只有2个整数解，∴-4≤1762a-＜-3，解得：-3≤a＜3，解分式方程得：x= 63a+且x≠3， 则a=-2或0， ∵（-2）+0=-2， 故答案为A ．3．（2020·月考）从﹣1，0，1，2，3，4，5这7个数中随机抽取一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不等式组1253x a x x-<⎧⎨+≤⎩无解，且使关于x 的分式方程122x a x -=-的解为非负数，那么这7个数中所有满足条件的a 的值之和是（ ） A ．6 B ．8C ．9D ．10【答案】B.【解析】解：解不等式x ﹣1＜a 得：x ＜a +1， 解不等式2x +5≤3x 得：x ≥5， 由不等式组无解，得到5≥a +1，即a ≤4，a 的值为﹣1，0，1，2，3，4， 对于分式方程122x a x -=-， 去分母得：2x ﹣2a ＝x ﹣2， 解得：x ＝2a ﹣2， ∵x ≥0，且x≠2，∴2a ﹣2≥0，且2a ﹣2≠2， 解得：a ≥1，且a ≠2， ∴a ＝1，3，4，∴所有满足条件的a 的值之和是1+3+4=8， 故答案为：B ．4．如果关于x 的分式方程6312233ax x x x--++=--有正整数解，且关于y 的不等式组521510yy a -⎧≥-⎪⎨⎪+->⎩至少有两个整数解，则满足条件的整数a 的和为（ ）． A ．3 B ．7C ．8D ．12【答案】 A.【解析】解：∵分式方程有正整数解， ∴解分式方程得x ＝121a +， ∵x≠3， ∴121a +≠3，即a≠3， 又∵分式方程有正整数解， ∴a ＝0，1，2，5，11，又∵不等式组至少有2个整数解，∴解不等式组得51y y a ≤⎧⎨-⎩＞，∴a−1＜4， 解得，a ＜5， ∴a ＝0，1，2， ∴0＋1＋2＝3， 故答案为：A ．5．（2020·南开（融侨）中学期末）如果关于x 的不等式组1343(2)x mx x -⎧⎪⎨⎪--⎩＜＞的解集为x ＜1，且关于x 的分式方程2311mxx x +=--有非负数解，则所有符合条件的整数m 的值之和是( ) A ．﹣2 B ．0C ．3D ．5【答案】A.【解析】解：解不等式13x m-≤ ，得：x≤m+3， 解不等式x-4＞3（x-2），得：x ＜1， ∵不等式组的解为x ＜1， ∴m+3≥1， 解得：m≥-2， 解分式方程：2311mx x x +=-- 得x=13m- ， ∵分式方程有非负数解，∴13m -≥0且13m-≠1， 解得m ＜3且m≠2， 则-2≤m ＜3且m≠2，则所有符合条件的整数m 的值之和是-2-1+0+1=-2． 故答案为A ．6．（2020·浙江杭州市模拟）阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式()()2221234aa a a ---++进行因式分解的过程．解：设22a a A -=原式()()134A A =-++（第一步）221A A =++（第二步）()21A =+（第三步）()2221a a =-+（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______（填代号）．A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式（2）按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为_______．（3）请你模仿以上方法对多项式()()224341149x x x x ---++进行因式分解． 【答案】见解析.【解析】解：（1）由()22211A A A ++=+， 运用的是两数和的完全平方公式， 故答案为：C.（2）()()()22242=211,1a a a a ⎡⎤=-⎣⎦--+故答案为：()41.a -（3）设24,x x m -=∴ ()()224341149x x x x ---++()()31149m m =-++ ()24m =+()2244x x =-+()()22422.x x ⎡⎤=-=-⎣⎦7．阅读下列村料：由整式的乘法运算知：()()()2ax b cx d acx ad bc x bd ++=+++．由于我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得()()()2acx ad bc x bd ax b cx d +++=++．通过观察可知可把()2acx ad bc x bd +++中的x 看作是未知数，a ，b ，c ，d 看作常数的二次三项式；通过观察()()()2acx ad bc x bd ax b cx d +++=++，可知此种因式分解是把二次三项式的二项式系数ac 与常数项bd 分别进行适当的分解来凑一次项的系数，此分解过程可以用十字相乘的形式形象地表示成如图1，此分解过程可形象地表述为“坚乘得首、尾，叉乘凑中项”，这种分解的方法称为十字相乘法．如：将二次三项式2273x x ++的二项式系数2与常数项3分别进行适当的分解，如图2．则()()2273321x x x x ++=++．根据阅读材料解决下列问题：（1）用十字相乘法因式分解：24913x x +-；（2）用十字相乘法因式分解：()()2222213219a a +-+-. 【答案】见解析． 【解析】解：（1）()()249131413x x x x +-=-+（2）()()()()2222222132192213213a a a a ⎡⎤⎡⎤+-+-=+++-⎣⎦⎣⎦()()()()()222452224511a a a a a =+-=++-8．（2020·湖南永州市期中）整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式2ax bx c ++进行因式分解呢？我们已经知道，（a 1x + c 1）（a 2x + c 2）= a 1a 2x 2 + a 1c 2x + a 2c 1x +c 1c 2=a 1ax 2+（a 1c 2+a 2c 1）x +c 1c 2．反过来，就得到：()212122112a a x a c a c x c c c ++++=()()121122a a a x c a x c ++．我们发现，二次项的系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，并且把a 1，a 2，c 1，c 2如图①所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到1221a c a c +，如果1221a c a c +的值正好等ax 2+bx +c 的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解为（a 1x + c 1）（a 2 x + c 2），其中a 1，c 1位于图的上一行，a 2 ， c 2位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子26x x --分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项－6也分解为两个因数的积，即－6=2×（－3）；然后把1，1，2，－3按图②所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×（－3）+1×2= －1，恰好等于一次项的系数－1，于是26x x --就可以分解为（x+2）（x-3）请仿照上面的方法,解答下列问题：（1）分解因式：x 2+6x-27＝________；2257+-x x = ； （2）若x 2+px+8分解为两个一次因式的积,则整数的所有可能值是_____；（探究与拓展）对于形如22ax bxy cy dx ey f +++++的关于x ，y 的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解．如图③，将a 分解成mn 乘积作为一列，c 分解成pq 乘积作为第二列，f 分解成jk 乘积作为第三列，如果mq + np = b ，pk + qj = e ，mk + nj = d ，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式= (mx + py + j )(nx + qy + k )，请你认真阅读上述材料并挑战下列问题：（3）分解因式2235294x xy y x y +-++-= ．【答案】（1）（x+9）（x-3），（x-1）（2x+7）；（2）±9，±6；（3）（x+2y-1）（3x-y+4）． 【解析】解：（1）如下图，因为1×（－3）+1×9= 6 所以x 2+6x-27=（x+9）（x-3）， 如下图因为1×7+2×（-1）= 5， 所以2x 2+5x-7 = （x-1）(2x+7)故答案为：（x+9）（x-3），（x-1）(2x+7)；（2）∵8=1×8；-8=-8×（-1）；-8=-2×（-4）；-8=-4×（-2）， 则p 的可能值为-1+（-8）=-9；8+1=9；-2+（-4）=-6；4+2=6． ∴整数p 的所有可能值是±9，±6， 故答案为±9，±6； （探究与拓展） （3）如下图因为1×（-1）+3×2=5, 2×4+(-1)×(-1)=9, 1×4+3×(-1)=1, 所以3x 2 + 5xy - 2y 2 + x + 9y - 4 = (x+2y-1)(3x-y+4)．9．（2020·上海市静安区）已知2227x xy y +-=，且x ，y 都是正整数，试求x ，y 的值．【答案】x=3，y=2．【解析】解：∵()()2222x xy y x y x y +-=+-，且x ，y 都是正整数∴x+2y 是正整数，x-y 是整数， ∴271x y x y +=⎧⎨-=⎩或217x y x y +=⎧⎨-=⎩，解271x y x y +=⎧⎨-=⎩得32x y =⎧⎨=⎩，解217x y x y +=⎧⎨-=⎩得52x y =⎧⎨=-⎩（不符合题意，舍去）所以x=3，y=2．10．先阅读下面的内容，再解决问题．对于形如x 2+2xa +a 2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x +a ）2的形式，但对于二次三项式x 2+2xa ﹣3a 2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x 2+2xa ﹣3a 2中先加上一项a 2，使它与x 2+2xa 的和成为一个完全平方式，再减去a 2，整个式子的值不变．于是有x 2+2xa ﹣3a 2＝（x 2+2xa +a 2）﹣a 2﹣3a 2＝（x +a ）2﹣4a 2＝（x +a ）2﹣（2a ）2＝（x +3a ）（x ﹣a ）像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题： （1）分解因式a 2﹣8a +15；（2）若2211486502a b a b m c +--++-=； ①当a ，b ，m 满足条件：2a ×4b ＝8m 时，直接写出m 的值为 ； ②若△ABC 的三边长是a 、b 、c ，且c 为奇数，求△ABC 的周长． 【答案】（1）（a ﹣3）（a ﹣5）；（2）①5；②16或18或20. 【解析】解：（1）a 2﹣8a +15＝a 2﹣8a +16﹣1 ＝（a ﹣4）2﹣12 ＝（a ﹣3）（a ﹣5）（2）∵2211486502a b a b m c +--++-=； ∴（a 2﹣14a +49）+（b 2﹣8b +16）+|12m ﹣c |＝0∴（a ﹣7）2+（b ﹣4）2+|12m ﹣c |＝0 ∴a ﹣7＝0，b ﹣4＝0 ∴a ＝7，b ＝4 ∵2a ×4b ＝8m ∴27×44＝8m ∴27×28＝23m 时 ∴215＝23m ∴15＝3m ∴m ＝5； 故答案为：5．②由①知，a ＝7，b ＝4，∵△ABC 的三边长是a ，b ，c ， ∴3＜c ＜11， 又∵c 边的长为奇数， ∴c ＝5，7，9，当a ＝7，b ＝4，c ＝5时，△ABC 的周长是：7+4+5＝16， 当a ＝7，b ＝4，c ＝7时，△ABC 的周长是：7+4+7＝18， 当a ＝7，b ＝4，c ＝9时，△ABC 的周长是：7+4+9＝20． 11．（2020·南县官成镇月考）已知关于x 的方程5311x ax x --=--无解，求223144111a a a a a ++⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭的值． 【答案】-1.【解析】解：∵关于x 的方程5311x ax x --=--无解， ∴去分母得5-3（x-1）=x-a ， 代入x=1得：5=1-a ， 得：a=-4；化简：223144111a a a a a ++⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭=()222231111144a a a a a a a ⎛⎫+---⨯ ⎪--++⎝⎭=222241144a a a a a +-⎛⎫⨯ ⎪-++⎝⎭=22a +， 把a=-4代入：原式=-1.12．（2020·晋州市月考）（1）若解关于 x 的分式方程223242mx x x x +=--+会产生增根，求 m 的值． （2）若方程212x ax +=--的解是正数，求 a 的取值范围． 【答案】（1）m=-4或6；（2）a ＜2且a≠-4. 【解析】解：（1）方程两边都乘（x+2）（x-2），得 2（x+2）+mx=3（x-2） ∵最简公分母为（x+2）（x-2）， ∴原方程增根为x=±2， ∴把x=2代入整式方程，得m=-4． 把x=-2代入整式方程，得m=6． 综上，可知m=-4或6． （2）解：去分母，得2x+a=2-x 解得：x=23a-， ∵解为正数， ∴23a-＞0， ∴2-a ＞0， ∴a ＜2，且x≠2， ∴a≠-4∴a ＜2且a≠-4．13．（2020·百色市期末）增根是一个数学用语，其定义为在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根．对于分式方程：223393mx x x x +=--+ （1）若该分式方程有增根，则增根为________． （2）在（1）的条件下，求出m 的值．【答案】（1）x=3或x=-3；（2）-4或6．【解析】解：（1）当分母值为0时，分式方程有增根， 可得：x=3或x=-3， 即增根是：x=3或x=-3 （2）解：223393mx x x x +=--+ mx-x=-15①若x=3时，m=-4 ②若x=-3时，m=6．14．（2020·四川成都市期中）如果关于x 的不等式组1343(2)x mx x -⎧⎪⎨⎪->-⎩的解集为1x <，且关于x 的分式方程2311mxx x +=--的解是非负数，则所有符合条件的整数m 的值之和是____．【答案】-2.【解析】解：1343(2)x mx x -⎧⎪⎨⎪->-⎩①②由①得：x ≤3 ，由②得：x ＜1 不等式组的解集为：x ＜1， ∴m+3≥1，即m ≥-2 由2311mx x x +=--可得， （3-m ）x=1∵分式方程有非负数解， ∴13m -≥0，且13m-≠1 ∴m ＜3且m ≠2又m 为整数，m 为-2、-1、0、1 其和为-2.15．（2020·成都市月考）若数a 使关于x 的不等式组542x x a <⎧⎨-≥⎩有且只有四个整数解，且使关于y的方程2211y a ay y++=--的解为非负数，则符合条件的正整数a的值为__________．【答案】2.【解析】解：由542xx a<⎧⎨-≥⎩得：524xax<⎧⎪⎨+≥⎪⎩，∵不等式组只有四个整数解，∴214a0<，解得-2＜a≤2，解分式方程得y=2-a，∵12211y ay y++=--的解为非负数，∴2-a≥0，解得a≤2，又∵y≠1∴a≠1综上，a的取值范围为-2＜a≤2且a≠1，则符合条件的正整数a的值为2，故答案为：2．16．（2020·山东东营市月考）若关于x的分式方程12224x a ax x++=--无解，则a的值为__________．【答案】-2或3 2 -.【解析】解：分式方程化为：（a+2）x=1 由分式方程无解，∴a+2=0或12a+=2解得：a=-2或a=3 2 -.。
专题02 根的判别式与十字相乘2020-2021学年九年级数学重点题型通关训练解析版
专题02 根的判别式与十字相乘的关系（含参）【专题导入】回顾：1.（1）分解因式：x 2+2x -8=_______；（2）分解因式：x 2-4x -12=________.（3）解方程：x 2+2x -8=0；（4）解方程：x 2-4x -12=0.【答案】（1）（x -2）（x +4）；（2）（x -6）（x +2）；（3）x 1=2，x 2=-4；（4）x 1=6，x 2=-4.2.用公式法解关于x 的一元二次方程.（1）x 2-（m +3）x +（m +2）=0；（2）x 2+（m -3）x -3m =0.【答案】（1）Δ=（m +3）2-4（m +2）=m 2+2m +1.x =−b±√Δ2a =（m+3）±（m+1）2， x 1=1，x 2=m +2.（2）Δ=（m -3）2-4（-3m ）=m 2+6m +9.x =−b±√Δ2a =−（m−3）±（m+3）2， x 1=3，x 2=-m .尝试：3.分解因式：（1）x 2-（m +3）x +（m +2）=________；（2）x 2+（m -3）x -3m =_________.【答案】（1）（x-1）[x-（m+2）]；（2）（x-3）（x+m）.【方法点睛】经过第2题中用公式法解方程，我们不难看出，当根的判别式Δ为完全平方式时，含参的一元二次方程我们也能用因式分解法求出方程的两根，熟练运用十字相乘法分解因式能不仅简化部分题目的计算量，还能针对关于参数方程的解的问题有更明确的解题思路.【典例精析】【例1】已知关于x的一元二次方程x2-（m+3）x+m+2=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程两个根的绝对值相等，求此时m的值．提示：可用公式法求根，也可以因式分解，原方程因式分解可化为:_________________.【解析】（1）∵△=（m+3）2-4（m+2）=（m+1）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）原方程可化为（x-1）[x-（m+2）]=0，∴x1=m+2，x2=1．∵方程两个根的绝对值相等，∴m+2=±1．∴m=-3或-1．同步训练1. 关于x的一元二次方程x2-mx+m-1=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根大于3，求m的取值范围．【答案】（1）证明：依题意，得△=（-m）2-4（m-1）=（m-2）2≥0，∵（m-2）2≥0，∴方程总有两个实数根.（2）x2-mx+m-1=0，（x-1）（x-m+1）=0，∴x1=1，x2=m-1，∵方程有一个根大于3，∴m-1＞3，∴m＞4．∴m的取值范围是m＞4．【例2】已知关于x的方程mx2-（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．【答案】（1）证明：∵m≠0，△=（m+2）2-4m×2=m2-4m+4=（m-2）2，而（m-2）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：（x-1）（mx-2）=0，x-1=0或mx-2=0，.∴x1=1，x2=2m当m为正整数1或2时，x2为整数，即方程的两个实数根都是整数，∴正整数m的值为1或2．同步训练2.已知关于x的方程kx2-（k+2）x+2=0．（1）证明：不论k为何值，方程总有实数根；（2）k为何整数时，方程的根全为正整数．【答案】（1）当k=0时，方程有根x=1；当k≠0时，△=（k+2）2-8k=（k-2）2≥0，综上，无论k为何值时，这个方程总有两个实数根；（2）当k=0时，方程有根x=1，符合题意；当k≠0时，∵kx2-（k+2）x+2=0，∴（kx-2）（x-1）=0，，x2=1，∴x1=2k∵方程的两个实数根都是正整数，∴k=1或2．综上，k的整数值为0、1、2．【专题过关】1.已知关于x的一元二次方程x2-（k+3）x+2k+2=0．（1）利用判别式判断该方程的根的情况；（2）若方程有一根小于1，求k的取值范围．【答案】（1）在已知一元二次方程中a=1，b=-（k+3），c=2k+2，∴△=（k+3）2-4×1×（2k+2）=k2-2k+1=（k-1）2≥0，所以，原方程始终有实根；（2）原方程可化为（x-2）[x-（k+1）]=0，即x1=2，x2=k+1，由题意k+1＜1，即k＜0，所以k＜0时，方程有一根小于1．2. 已知关于x的一元二次方程x2-（m-1）x+3m-12=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程只有一个根是正数，求m的取值范围．（1）证明：∵△=（m-1）2-4（3m-12）=m2-14m+49=（m-7）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）原方程可化为（x-3）[x-（m-4）]=0，解得x1=3，x2=m-4，∵方程只有一个根是正数，∴m-4≤0，∴m≤4．3. 已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k的值．【答案】（1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0可化为（x-k）[x-（k+1）]，即x1=k，x2=k+1，∵k＜k+1，∴AB≠A C．当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5；当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4，综合上述，k的值为5或4．【专题提升】4. 已知关于x的一元二次方程（m+1）x2-（m+3）x+2=0．（1）证明：当m≠-1时，方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．（1）证明：△=（m+3）2-8（m+1）=m2-2m+1=（m-1）2，∵不论m为何值时，（m-1）2≥0，∴△≥0，∴方程总有实数根；（2）解：原方程可化为（x-1）[（m+1）x-2]=0，.x1=1，x2=2m+1∵方程有两个不相等的正整数根，m为整数，∴m=0.故m为0时，方程有两个不相等的正整数根．。
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专题02 十字相乘法与增根全解解题核心一、十字相乘法因式分解（形如ax2+bx+c）1. 二次项系数为1时x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）方法特点：拆常数项，凑一次项.当常数项为正数时，分解成同号的因数，符号与一次项符号相同；当常数项为负数时，分解成异号的因数，绝对值较大数的符号与一次项符号相同；例：x2+4x+3→ x2+4x+3=（x+1）（x+3）x2－5x－6→ x2－5x－6=（x+1）（x－6）2. 二次项系数不为1时ax2+bx+c=a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2=（a1x+c1）（a2x+c2）此类特点：拆两头，凑中间1. 当二次项系数为负数时，提取符号，将其转变为正数2. 二次项系数只分解成两个正数的乘积3. 常数项分解参考上一类4. 分解后横向写结果.例：2x2－3x－5→ 2x2－3x－5=（x+1）（2x－5）3. 多字母例：4x2－3xy－y2→ 4x2－3xy－y2=（x－y）（4x+y）二、分式方程的增根与无解1. 增根意义：（1）增根是所给分式方程去分母后整式方程的根；（2）（1）中的根使分式方程分母为0.2. 分式方程无解与增根无解：分式方程化成整式方程后，（1）整式方程无解；（2）整式方程的所有的解均为增根. 增根：①是分式方程转化为整式方程后的解；②该解使得原分式方程分母为0.*分式方程无解≠分式方程有增根；分式方程有增根≠分式方程无解.若分式方程无解，且分式方程转化整式方程后有解，则该解必为增根.释义：1. 分式方程10x= 去分母得：1=0×x ，此方程无解； 2. 分式方程20x x= 去分母得：x 2=0，解得x=0，此时分母为0，无意义，故x=0是分式方程的增根，此方程无解；3. 分式方程()10x x x-= 去分母得：x （x －1）=0，解得x=0或x=1，x=0是分式方程的增根，分式方程的解为x=1. 4. 若分式方程21x m x -=+无解，求m 值. 去分母得：x －m=2x+2，x=－m －2，原方程无解，则x=－1，即－m －2=－1，m=－1.5. 若分式方程21x m x -=+m 无解，求m 值. 去分母得：x －m=2mx+2m ，(1-2m)x=3m ，因为原方程无解，则：1-2m=0或3112m m=--，即m=0.5或m=-1.★解分式方程时一定要“检验”！【题型一】十字相乘【例1－1】（1）x 2+14x+24；（2）a 2－15a+36；（3）x 2+4x －5【答案】（1）原式= (x+2)(x+12)（2）原式= (a-3)(a-12)（3）原式= (x+5)(x-1)【例1－2】（1）x2+x－2；（2）y2－2y－15；（3）x2－10x－24【答案】（1）原式= (x+2)(x-1) （2）原式= (y-5)(y+3) （3）原式= (x-12)(x+2)【例1－3】（1）5x2+7x－6；（2）3x2－7x+2；（3）10x2－17x+3；（4）－6t2+11t+10【答案】（1）原式= (x+2)(5x-3) （2）原式= (x-2)(3x-1) （3）原式=-(2t-5)(3t+2)【例2－1】（1）x2-3xy+2y2；（2）m2-6mn+8n2；（3）a2-ab-6b2【答案】（1）原式= (x-2y)(x-y) （2）原式= (m-2n)(m-4n) （3）原式= (a-3b)(a+2b)【例2－2】（1）15x2+7xy-4y2；（2）12x2-11xy-15y2【答案】（1）原式= (3x-1)(5x+4)（2）原式= (3x-5)(4x+3)【例3－1】（1）（x+y）2-3（x+y）-10；（2）（a+b）2-4a-4b+3（3）12（x+y）2+11（x2-y2）+2（x-y）2【答案】（1）原式=（x+y-5）（x+y+2）（2）原式=（a+b）2-4（a+b）+3=（a+b-1）（a+b-3）（3）原式=12（x+y）2+11（x+y）（x-y）+2（x-y）2 =（3x+3y+2x-2y）（4x+4y+x-y）=（5x+y）（5x+3y）【例3－2】（1）（x2-3）2-4x2；（2）（x2+x）2-17（x2+x）+60（3）（x2+2x-3）（x2+2x-24）+90【答案】（1）原式=（x2-3+2x）（x2-3－2x）=（x+3）（x-1）（x-3）（x+1）（2）原式=（x2+x-12）（x2+x-5）=（x+4）（x-3）（x2+x-5）（3）令x2+2x=t，原式=（t-3）（t-24）+90=t2-27t+162=（t-9）（t-18）=（x 2+2x-9）（x 2+2x-18）【例4－1】（2020·长沙市月考）如果关于x 的不等式组213272x x x a+⎧-≤⎪⎨⎪<-⎩有且仅有2个整数解，并且关于y 的分式方程45333y a a y y++=--有整数解，则符合条件的所有整数a 的和是（ ） A ．24B ．15C ．12D ．7【答案】C. 【解析】解：213272x x x a +⎧-≤⎪⎨⎪<-⎩①②解①得：x≥−2，解②得：x ＜27a -， 不等式组的解集为−2≤x ＜27a -， 因为不等式组有且仅有2个整数解，所以−1＜27a -≤0． 解得2≤a ＜9分式方程去分母得：y ＋4a−5a ＝3（y−3），解得：y ＝92a -． 经检验：a ＝5或7是分式方程的解．则所有整数a 的和为12．故答案为：C ．【例4－2】（2020·重庆月考）若关于x 的分式方程4222a x x-=--的解为正整数，且关于y 的不等式组25220y y y a -⎧+<⎪⎨⎪-≤⎩无解，则满足条件的所有整数a 的值之和是（ ）A ．18-B ．14-C ．10-D ．6-【答案】D.【解析】解不等式组，y>83，y≤a∵不等式组无解，∴a≤83，分式方程去分母得，4+a=2x-4，解得，x=82a+，∵分式的解为正整数，∴82a+>且822a+≠，∴883a-<≤且4a≠-∴整数a=-6，-2，0，2，∴整数a之和为：-6．故答案为：D．【例4－3】（2020·重庆月考）若关于x的一元一次不等式组12(35)334333x axx⎧--≤⎪⎪⎨+⎪>+⎪⎩无解，且关于y的分式方程223211y a yy y---=--有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．7 B．8 C．14 D．15 【答案】C.【解析】解：解不等式组12(35)334333x axx⎧--⎪⎪⎨+⎪>+⎪⎩，得16x ax-⎧⎨>⎩，∵不等式组12(35)334333x axx⎧--⎪⎪⎨+⎪>+⎪⎩无解，∴a-1≤6，即a≤7，解分式方程，得y=12a+，为非负整数，且a≤7，∴a=-1或1或3或5或7，a=1时，y=1，原分式方程无解，a=1舍去，符合条件的所有整数a 的和是14，故答案为：C ．【例5－1】（2020·河北石家庄市期中）若关于x 的分式方程3mx x -－2＝23m x -无解，则m 的值为（ ）A ．0B ．2C ．0或2D ．无法确定 【答案】C.【解析】解：分式方程去分母，得：（m-2）x=2m-6，由分式方程无解，①m-2=0，m=2，②x −3=0，即x =3，把x =3代入整式方程得：m =0，故答案为：C ．【例5－2】（2020·长沙市月考）请你利用我们学习的“分式方程及其解法”解决下列问题： （1）已知关于x 的方程2112mx x -=+的解为负数，求m 的取值范围； （2）若关于x 的分式方程322133x nx x x --+=---无解．求n 的取值范围． 【答案】见解析．【解析】解：（1）去分母，得2mx-1=x+2，当2m-1≠0时，解得：x=321m -， ∵ 方程有解，且解为负数， ∴2103221m m -<⎧⎪⎨≠-⎪-⎩，解得m ＜12且m≠14-； （2）分式方程去分母整理得：（n-1）x=2，当n －1=0时，方程无解，此时n =1；当n-1≠0时，x=21n -， 要使方程无解，则21n -=3，解得：n=53； 综上，n=53或n =1．【例5－3】（2020·湖南株洲市期中）若分式方程144-=--x m x x 无解，则m =__________． 【答案】3.【解析】解：方程去分母得：m ＝x ﹣1，解得：x ＝m +1，∴当x ＝4时分母为0，方程无解，即m +1＝4，∴m ＝3时方程无解．故答案为：3. 【例5－4】（2020·新乐市月考）若关于x 的分式方程223111m x x x -=+--无解，则m =________． 【答案】32-或2. 【解析】解：去分母可得：（m-2）x=m+5，当m-2=0时，∴ m=2，此时方程无解，满足题意，当m-2≠0时，x=52m m +-， 由于该分式方程无解，x 2-1=0，x=1或x=-1 即52m m +-=-1或1， 解得：m=32-， 故答案为：32-或2． 【例5－5】（2020·黑龙江齐齐哈尔市期末）如果方程322x m x x -=-- 无解，则m=___________． 【答案】1.【解析】解：去分母，得x －3=﹣m ，∵原方程无解，∴x －2=0，即x =2，把x =2代入上式，得2－3=﹣m ，所以m =1．故答案为1．【例6－1】（2020·四川省成都期中）关于x 的分式方程3601(1)x k x x x x ++-=--有解，则k 该满足什么条件？【答案】见解析.【解析】解：原方程整理得：8x=k+3∵该分式方程有解，∴x≠0，且x≠1，即k+3≠0且k+3≠8，解得：k≠-3且k≠5．【例6－2】（2020·北京师大附中期中）当k 为何值时，关于x 的方程123(2)(3)x x x k x x x x ++-=-+-+的解为负数. 【答案】见解析.【解析】解：分式方程解得：x=35k -， ∵方程的解为负数，且使得分式有意义， ∴305325335k k k -⎧<⎪⎪-⎪≠⎨⎪⎪-≠-⎪⎩， 解得k ＜3且k≠-12．【例6－3】（2020·黑龙江绥化市模考）关于x 的分式方程2111x a x x -=+-的解为负数，则a 的取值范围____．【答案】见解析.【解析】解：原方程化为：x=1-a ，∵分式方程的解为负数，∴1-a ＜0，∴a>1∵x≠1，且x≠-1，∴1-a≠-1，得a≠2故答案为：a ＞1且a≠2．【例6－4】（2020·长沙市月考）已知关于x的分式方程2311x kx x-=--的解为正数，则k的取值范围为________．【答案】k<32且k≠12.【解析】解：去分母得，x-3（x-1）=2k解得：x=322k -，∵分式方程的解为正数，∴322k->，且3212k-≠解得，k<32且k≠12故答案为：k<32且k≠12．【例7－1】（2020·山东济南市期中）若关于x的方程12x-+3＝12axx--有增根，则a＝_____．【答案】1.【解析】解：去分母，得1+3x﹣6＝ax﹣1，∵方程有增根，所以x﹣2＝0，x＝2是方程的增根，将x＝2代入上式，得1+6﹣6＝2a﹣1，解得a＝1，故答案为1．【例7－2】（2020·昌乐县期中）若关于x的分式方程4333x ax x--=--有增根，则a的值是______．【答案】－1.【解析】解：原分式方程解得：x=52a -∵分式方程有增根，∴52a-=3，解得a=-1．故答案为：-1．【例7－3】（2020·浙江杭州市模拟）关于x的方程32211x mx x--=++有增根，则m的值为___．【答案】-5.【解析】解：分式方程解得：x=m+4，因为分式方程由增根，即x=-1∴m+4=-1即m=-5故答案为-5.【例7－4】（2020·四川成都市期中）已知关于x 的分式方程222242mx x x x +=--+．若方程有增根，则m 的值为_______．【答案】±4. 【解析】解：分式方程变为：mx=-8，由方程有增根，得x=2或x=-2∴m=-4或m=4故答案为：±4. 【例7－4】（2020·浙江杭州市模拟）关于x 的方程213242ax x x x +=--+有增根，则a 的值为_______．【答案】-2或6.【解析】解：方程整理得：（2-a ）x=8，∵原方程有增根，∴x=2或x=-2∴a=-2或a=6故答案为：-2或6．【例7－5】（2020·湖南岳阳市期中）若关于x 的分式方程355x a x x -=--有增根，则a 的值为__________．【答案】5.【解析】解：原方程两边同时乘以（x-5）得：x-3（x-5）=a，由题意，x=5，∴a=5，故答案为5 ．。