专题02 十字相乘法与增根全解(试题解析)

专题02 十字相乘法与增根全解

解题核心

一、十字相乘法因式分解（形如ax2+bx+c）

1. 二次项系数为1时

x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）

方法特点：拆常数项，凑一次项.

当常数项为正数时，分解成同号的因数，符号与一次项符号相同；

当常数项为负数时，分解成异号的因数，绝对值较大数的符号与一次项符号相同；例：x2+4x+3

→ x2+4x+3=（x+1）（x+3）

x2－5x－6

→ x2－5x－6=（x+1）（x－6）

2. 二次项系数不为1时

ax2+bx+c=a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2=（a1x+c1）（a2x+c2）

此类特点：拆两头，凑中间

1. 当二次项系数为负数时，提取符号，将其转变为正数

2. 二次项系数只分解成两个正数的乘积

3. 常数项分解参考上一类

4. 分解后横向写结果.

例：2x2－3x－5

→ 2x2－3x－5=（x+1）（2x－5）

3. 多字母

例：4x2－3xy－y2

→ 4x2－3xy－y2=（x－y）（4x+y）

二、分式方程的增根与无解

1. 增根意义：

（1）增根是所给分式方程去分母后整式方程的根；

（2）（1）中的根使分式方程分母为0.

2. 分式方程无解与增根

无解：分式方程化成整式方程后，（1）整式方程无解；（2）整式方程的所有的解均为增根. 增根：①是分式方程转化为整式方程后的解；②该解使得原分式方程分母为0.

*分式方程无解≠分式方程有增根；

分式方程有增根≠分式方程无解.

若分式方程无解，且分式方程转化整式方程后有解，则该解必为增根.

释义：

1. 分式方程10x

= 去分母得：1=0×

x ，此方程无解； 2. 分式方程2

0x x

= 去分母得：x 2=0，解得x=0，此时分母为0，无意义，故x=0是分式方程的增根，此方程无解；

3. 分式方程()10x x x

-= 去分母得：x （x －1）=0，解得x=0或x=1，x=0是分式方程的增根，分式方程的解为x=1. 4. 若分式方程21

x m x -=+无解，求m 值. 去分母得：x －m=2x+2，x=－m －2，

原方程无解，则x=－1，即－m －2=－1，m=－1.

5. 若分式方程21

x m x -=+m 无解，求m 值. 去分母得：x －m=2mx+2m ，

(1-2m)x=3m ，

因为原方程无解，则：1-2m=0或

3112m m

=--，即m=0.5或m=-1.

★

解分式方程时一定要“检验”！

【题型一】十字相乘

【例1－1】

（1）x 2+14x+24；

（2）a 2－15a+36；

（3）x 2+4x －5

【答案】

（1）原式= (x+2)(x+12)

（2）原式= (a-3)(a-12)

（3）原式= (x+5)(x-1)

【例1－2】

（1）x2+x－2；

（2）y2－2y－15；

（3）x2－10x－24

【答案】

（1）原式= (x+2)(x-1) （2）原式= (y-5)(y+3) （3）原式= (x-12)(x+2)

【例1－3】

（1）5x2+7x－6；

（2）3x2－7x+2；

（3）10x2－17x+3；（4）－6t2+11t+10

【答案】

（1）原式= (x+2)(5x-3) （2）原式= (x-2)(3x-1) （3）原式=-(2t-5)(3t+2)

【例2－1】

（1）x2-3xy+2y2；

（2）m2-6mn+8n2；（3）a2-ab-6b2

【答案】

（1）原式= (x-2y)(x-y) （2）原式= (m-2n)(m-4n) （3）原式= (a-3b)(a+2b)

【例2－2】

（1）15x2+7xy-4y2；

（2）12x2-11xy-15y2

【答案】

（1）原式= (3x-1)(5x+4)

（2）原式= (3x-5)(4x+3)

【例3－1】

（1）（x+y）2-3（x+y）-10；

（2）（a+b）2-4a-4b+3

（3）12（x+y）2+11（x2-y2）+2（x-y）2

【答案】

（1）原式=（x+y-5）（x+y+2）

（2）原式=（a+b）2-4（a+b）+3

=（a+b-1）（a+b-3）

（3）原式=12（x+y）2+11（x+y）（x-y）+2（x-y）2 =（3x+3y+2x-2y）（4x+4y+x-y）

=（5x+y）（5x+3y）

【例3－2】

（1）（x2-3）2-4x2；

（2）（x2+x）2-17（x2+x）+60

（3）（x2+2x-3）（x2+2x-24）+90

【答案】

（1）原式=（x2-3+2x）（x2-3－2x）

=（x+3）（x-1）（x-3）（x+1）

（2）原式=（x2+x-12）（x2+x-5）

=（x+4）（x-3）（x2+x-5）

（3）令x2+2x=t，

原式=（t-3）（t-24）+90

=t2-27t+162