高二数学寒假作业专题14导数在研究函数中的应用二背
导数在研究函数中的应用
桂洲中学高二数学（理）期末复习2 姓名 学号导数在研究函数中的应用一、函数的单调性与导数的关系1．用导数求函数的单调区间: 解不等式()0f x '>可得函数()f x 的单调递 区间;解不等式()0f x '<可得函数()f x 的单调递 区间.注：若不等式的解集为{}b x a x x ><或，则相应的单调区间应写成2．知单调区间求参数的范围: 函数()f x 在区间I 上为增函数⇒ 在区间I 上恒成立; 函数()f x 在区间I 上为减函数⇒ 在区间I 上恒成立(且()0f x '≡/);通过研究恒成立问题求解参数的取值范围. 参数分离法是解决这类问题的常见方法。
二、函数的极值与导数求函数极值的步骤：⑴确定函数的定义域；⑵求函数()f x 的导数)(x f '；⑶求方程0)(='x f 的根；⑷用方程0)(='x f 的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格；⑸检验()f x 在该方程的根的左、右两旁的单调性，即()f x '的 ，从而确定()f x 相应的极值。
注：①极值点与极值的关系； ②可导函数()f x 在点0x 处的导数0)(0='x f 是函数()f x 在该点0x 处取极值的 条件。
因此由0)(='x f 求得0x x =后必须判定0x 处两侧导数的正负符号，才能确定函数极值的存在情形。
三、函数的最值与导数1．在区间[]b a ,上连续的函数()f x 在[]b a ,上必有最大值和最小值，求最值的步骤：⑴求函数()f x 在区间[]b a ,内的极值；⑵求函数在区间端点的值)(),(b f a f ；⑶将函数的 与)(),(b f a f 比较大小，其中最大的是最大值，最小的是最小值。
2．函数在某区间（可以是闭区间也可以是开区间）内若只有一个极值点，则极小值即最小值，极大值即最大值。
导数在研究函数中的应用练习题(基础、经典、好用)
导数在研究函数中的应用一、选择题1．设函数f(x)＝2x＋ln x，则()A．x＝12为f(x)的极大值点B．x＝12为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点2．函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝f（x）x在区间(1，＋∞)上一定()A．有最小值B．有最大值C．是减函数D．是增函数3．若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0，1)内有极小值，则实数b的取值范围是() A．(0，1) B．(－∞，1)C．(0，＋∞) D．(0，1 2)4．对于在R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－a)f′(x)≥0，则必有() A．f(x)≥f(a) B．f(x)≤f(a)C．f(x)＞f(a) D．f(x)＜f(a)5．若函数f(x)＝xx2＋a(a＞0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a的值为()A.33 B. 3 C.3＋1 D.3－1二、填空题6．函数f(x)＝xln x的单调递减区间是________．7．已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1时有极值0，则m＋n＝________．8．已知函数f(x)＝－12x2＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．三、解答题9．(2013·肇庆调研)已知函数f(x)＝ax2＋b ln x在x＝1处有极值1 2.(1)求a，b的值；(2)判断函数y＝f(x)的单调性并求出单调区间．10．设函数f(x)＝x＋ax2＋b ln x，曲线y＝f(x)过P(1，0)，且在P点处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)令g(x)＝f(x)－2x＋2，求g(x)在定义域上的最值．11．(2013·惠州模拟)已知函数f(x)＝x2＋2a ln x.(1)若函数f(x)的图象在(2，f(2))处的切线斜率为1，求实数a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若函数g(x)＝2x＋f(x)在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．导数在研究函数中的应用解析及答案一、选择题1．【解析】∵f(x)＝2x＋ln x(x>0)，∴f′(x)＝－2x2＋1x.由f′(x)＝0解得x＝2.当x∈(0，2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．∴x＝2为f(x)的极小值点．【答案】 D2．【解析】由函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，可得a的取值范围为a＜1，又g(x)＝f（x）x＝x＋ax－2a，则g′(x)＝1－ax2，易知在x∈(1，＋∞)上g′(x)＞0，所以g(x)为增函数．【答案】 D3．【解析】f′(x)＝3x2－6b，令f′(x)＝0得x2＝2b，由题意知0＜2b＜1，∴0＜b＜12，故选D.【答案】 D4．【解析】 由(x －a )f ′(x )≥0知， 当x ＞a 时，f ′(x )≥0；当x ＜a 时，f ′(x )≤0. ∴当x ＝a 时，函数f (x )取得最小值，则f (x )≥f (a )． 【答案】 A5．【解析】 f ′(x )＝x 2＋a －2x 2（x 2＋a ）2＝a －x 2（x 2＋a ）2.令f ′(x )＝0，得x ＝a 或x ＝－a (舍)，①若a ≤1时，即0＜a ≤1时，在[1，＋∞)上f ′(x )＜0，f (x )max ＝f (1)＝11＋a＝33. 解得a ＝3－1，符合题意． ②若a ＞1，在[1，a ]上f ′(x )＞0； 在[a ，＋∞)上f ′(x )＜0. ∴f (x )max ＝f (a )＝a 2a ＝33，解得a ＝34＜1，不符合题意， 综上知，a ＝3－1. 【答案】 D 二、填空题6．【解析】 f ′(x )＝ln x －1ln 2x ，令f ′(x )＜0得 ln x －1＜0，且ln x ≠0. ∴0＜x ＜1或1＜x ＜e ，故函数的单调递减区间是(0，1)和(1，e)． 【答案】 (0，1)，(1，e)7．【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2＋6mx ＋n ，且f (x )在x ＝－1处的极值为0. ∴⎩⎨⎧f （－1）＝（－1）3＋3m （－1）2＋n （－1）＋m 2＝0，f ′（－1）＝3×（－1）2＋6m （－1）＋n ＝0， ∴⎩⎨⎧m ＝1，n ＝3或⎩⎨⎧m ＝2，n ＝9，当⎩⎨⎧m ＝1，n ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0恒成立与x ＝－1是极值点矛盾， 当⎩⎨⎧m ＝2n ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)， 显然x ＝－1是极值点，符合题意， ∴m ＋n ＝11. 【答案】 118．【解析】 由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－（x －1）（x －3）x ，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1，3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调， 由t ＜1＜t ＋1或t ＜3＜t ＋1， 得0＜t ＜1或2＜t ＜3. 【答案】 (0，1)∪(2，3) 三、解答题9．【解】 (1)f ′(x )＝2ax ＋b x ，又f (x )在x ＝1处有极值12. ∴⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝12，f ′（1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，2a ＋b ＝0.解之得a ＝12且b ＝－1. (2)由(1)可知f (x )＝12x 2－ln x ， 其定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x －1x ＝（x ＋1）（x －1）x .当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：x (0，1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) －0 ＋f (x )极小值所以函数y ＝f (x )的单调减区间是(0，1)，单调增区间是(1，＋∞)． 10．【解】 (1)f ′(x )＝1＋2ax ＋bx (x ＞0)，又f (x )过点P (1，0)，且在点P 处的切线斜率为2，∴⎩⎨⎧f （1）＝0，f ′（1）＝2，即⎩⎨⎧1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2. 解之得a ＝－1，b ＝3.(2)由(1)知，f (x )＝x －x 2＋3ln x ，定义域为(0，＋∞)， ∴g (x )＝2－x －x 2＋3ln x ，x ＞0，则g ′(x )＝－1－2x ＋3x ＝－（x －1）（2x ＋3）x .当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0；当x ＞1时，g ′(x )＜0.所以g (x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减． ∴g (x )的最大值为g (1)＝0，g (x )没有最小值． 11．【解】 (1)f ′(x )＝2x ＋2a x ＝2x 2＋2ax ， 由已知f ′(2)＝1， 解得a ＝－3.(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．①当a ≥0时，f ′(x )＞0，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； ②当a ＜0时，f ′(x )＝2（x ＋－a ）（x －－a ）x .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下：x (0，－a )－a (－a ，＋∞)f ′(x ) －0 ＋f (x )极小值由上表可知，函数f (x )的单调递减区间是(0，－a )； 单调递增区间是(－a ，＋∞)．(3)由g (x )＝2x ＋x 2＋2a ln x 得g ′(x )＝－2x 2＋2x ＋2ax ， 由已知函数g (x )为[1，2]上的单调减函数， 则－2x 2＋2x ＋2ax ≤0在[1，2]上恒成立．即a≤1x－x2在[1，2]上恒成立．令h(x)＝1x－x2，h′(x)＝－1x2－2x＝－(1x2＋2x)＜0，所以h(x)在[1，2]上为减函数，h(x)min＝h(2)＝－7 2，所以a≤－7 2.。
高二数学寒假作业 专题14 导数在研究函数中的应用二测含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校专题14导数在研究函数中的应用〔二〕【测一测】一．选择题1．设函数f〔x〕=xex，那么〔〕A.x=1为f〔x〕的极大值点B.x=1为f〔x〕的极小值点C.x=﹣1为f〔x〕的极大值点D.x=﹣1为f〔x〕的极小值点2.函数f〔x〕=ax3+x+1有极值的充要条件是〔〕A.a＞0B.a≥0C.a＜0D.a≤03.设a∈R，假设函数y=eax+3x，x∈R有大于零的极值点，那么〔〕A.a＞﹣3B.a＜﹣3C.a＞﹣D.a＜﹣4．设点P在曲线y＝ex上，点Q在曲线y＝ln(2x)上，那么|PQ|的最小值为()A．1－ln2B.(1－ln2)C．1＋ln2D.(1＋ln2)【答案】B【解析】试题分析：显然y＝ex和y＝ln(2x)的图像关于直线y＝x对称，令y′＝ex＝1⇒x＝ln2.所以y＝ex的斜率为1的切线的切点是(ln2,1)，到直线y＝x的间隔d＝.所以|PQ|min＝2×＝(1－ln2)。
5.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处获得极小值，那么函数y＝xf′(x)的图像可能是() 6．对任意x∈R，恒有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，那么当x<0时有()A．f′(x)>0，g′(x)>0B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0，g′(x)>0D．f′(x)<0，g′(x)<0【答案】B【解析】试题分析：由f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．又x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，由奇、偶函数的性质知，当x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0.7.假设a>2，那么方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上恰好有()A．0个根B．1个根C．2个根D．3个根8．设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且)()(xgxf'>'，那么当a＜x＜b时，有()A．f(x)＞g(x)B．f(x)＜g(x)C．f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)D．f(x)＋g(b)＞g(x)＋f(b)9．函数f(x)在定义域R内可导，假设f(x)＝f(1－x)，)21(-x)(xf'＜0，设a＝f(0)，b＝)21(f，c＝f(3)，那么()A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．c＜b＜aD．b＜c＜a10．函数f(x)(x∈R)的图像上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x－1)(x－x0)，那么函数f(x)的单调减区间是()A．[－1，＋∞)B．(－∞，2]C．(－∞，－1)，(1,2)D．[2，＋∞)【答案】C【解析】试题分析：根据函数f(x)(x∈R)的图像上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x－1)(x－x0)，可知其导数f′(x)＝(x－2)(x2－1)＝(x＋1)(x－1)(x－2)，令f′(x)<0得x<－1或者1<x<2.因此f(x)的单调减区间是(－∞，－1)，(1,2)．二、填空题11.函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，那么实数a的取值范围是________．【答案】(－∞，－1)∪(2，＋∞)【解析】试题分析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，Δ＝(6a)2－4×3×3(a＋2)>0.12．设函数f(x)＝x3－－2x＋5，假设对任意的x∈[－1,2]，都有f(x)＞a，那么实数a的取值范围为________．13.假设函数f(x)＝lnx－在[1，e]上的最小值为，那么c＝________.【答案】－【解析】试题分析：f′(x)＝＋＝，令f′(x)＝0，得x＝－c，下面讨论－c与1，e的大小关系即可得14．关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，那么实数a的取值范围是__________．三．解答题15．某商场从消费厂家以每件20元购进一批商品，假设该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170p－p2，求该商品零售价定为多少元时利润最大，并求出最大值利润的值。
高中数学利用导数研究函数单调性基础知识梳理+常考例题汇总
∴(－2)＋(－1)＝a，即 a＝－3. 3.[变条件]本例(2)变为：若 g(x)在(－2，－1)内不单调，其他条件不变，求实数 a 的取值范围． 【解析】由 1 知 g(x)在(－2，－1)内为减函数时，实数 a 的取值范围是(－∞，－ 3]． 若 g(x)在(－2，－1)内为增函数，则 a≥x＋ 2 在(－2，－1)内恒成立，
2．已知函数 f(x)＝ x a －ln x－ 3 ，其中 a∈R，且曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处
4x
2
的切线垂直于直线 y＝ 1 x.
2
(1)求 a 的值；
(2)求函数 f(x)的单调区间．
【解析】(1)对 f(x)求导得 f′(x)＝ 1 － a － 1 ，
4 x2 x
由 f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线 y＝ 1 x，
【解析】f′(x)＝ 1 ·x＋ln x－k－1＝ln x－k，
x
①当 k≤0 时，因为 x>1，所以 f′(x)＝ln x－k>0，
所以函数 f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，无单调递减区间．
②当 k>0 时，令 ln x－k＝0，解得 x＝ek，
当 1<x<ek 时，f′(x)<0；当 x>ek 时，f′(x)>0.
x
又∵y＝x＋ 2 在(－2，－ 2 )内单调递增，在(－ 2 ，－1)内单调递减，
x
∴y＝x＋ 2 的值域为(－3，－2 2 )，
x
∴实数 a 的取值范围是[－2 2 ，＋∞)， ∴函数 g(x)在(－2，－1)内单调时，a 的取值范围是(－∞，－3]∪[－2 2 ，＋∞)， 故 g(x)在(－2，－1)上不单调时，实数 a 的取值范围是(－3，－2 2 )． [解题技法]由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)由可导函数 f(x)在 D 上单调递增(或递减)求参数范围问题，可转化为 f′(x)≥ 0(或 f′(x)≤0)对 x∈D 恒成立问题，再参变分离，转化为求最值问题，要注意“＝”
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用导数作为微积分的重要概念，在研究函数中应用广泛。
导数的概念最早由牛顿和莱布尼茨独立提出，它描述了函数变化的速率。
导数的定义是函数在其中一点的变化率，表示函数在这一点附近的斜率。
在函数研究中，导数的应用主要体现在以下几个方面：1.切线和法线：导数可以用来求解函数曲线上其中一点的切线和法线。
切线是函数曲线在其中一点上切过该点的直线，而法线是与切线相垂直的直线。
利用导数的定义，我们可以确定函数曲线上其中一点的斜率，进而得到其切线和法线的方程。
2.极值与拐点：导数可以帮助我们找到函数的极值点和拐点。
在函数的极值点上，导数等于零。
根据这个性质，我们可以利用导数来确定函数的极大值和极小值点。
此外，导数还可以帮助我们确定函数上的拐点，即函数曲线由凸向上转为凹向上或由凹向上转为凸向上的点。
3.函数的单调性：导数还可以帮助我们研究函数的单调性。
如果函数在一些区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上是递增的（或递减的）。
通过分析函数的导数，我们可以确定函数在一些区间上是递增还是递减。
4.函数的凹凸性：导数还可以用来确定函数的凹凸性。
如果函数在一些区间上的导数恒大于零，那么函数在该区间上是凸的；如果函数在一些区间上的导数恒小于零，那么函数在该区间上是凹的。
通过分析函数的导数的变化情况，我们可以确定函数的凹凸区间。
5.近似计算：导数还可以用于近似计算。
在很多实际问题中，函数的导数可以用来近似表示函数在其中一点的变化率。
通过导数近似表示函数的变化率，我们可以很方便地进行问题求解和计算。
总之，导数在研究函数中的应用非常广泛，涵盖了函数的局部性质、全局性质以及近似计算等方面。
通过对导数的研究，我们可以全面了解函数的变化规律和特性，为解决实际问题提供了有力的工具。
2015届高考数学总复习 第二章 第十四节导数在研究函数中的应用(二)课时精练 理
第十四节 导数在研究函数中的应用 (二)1.f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[]－1，1上的最大值是( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．4解析：f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0，可得x ＝0或2(舍去)，当－1≤x ＜0时，f ′(x )＞0，当0＜x ≤1时，f ′(x )＜0，所以当x ＝0时，f (x )取得最大值为2.故选C.答案：C2．(2013·揭阳二模)已知函数f (x )＝1x －ln （x ＋1），则y ＝f (x )的图象大致为( )解析：令g (x )＝x －ln (x ＋1)，则g ′(x )＝1－1x ＋1＝x x ＋1， 由g ′(x )＞0，得x ＞0，即函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增， 由g ′(x )＜0得－1＜x ＜0，即函数g (x )在(－1,0)上单调递减， 所以当x ＝0时，函数g (x )有最小值，g (x )min ＝g (0)＝0，于是对任意的x ∈(－1,0)∪(0，＋∞)，有g (x )≥0，故排除B 、D ，因函数g (x )在(－1,0)上单调递减，则函数f (x )在(－1，0)上递增，故排除C ，故选A. 答案：A3．(2013·淄博一检)已知a ≤1－x x ＋ln x 对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2恒成立，则a 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：设f (x )＝1－x x ＋ln x ，则f ′(x )＝－x ＋x －1x 2＋1x ＝x －1x 2.当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1时，f ′(x )＜0，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1上单调递减；当x ∈(1,2]时，f ′(x )＞0，故函数f (x )在(1,2]上单调递增，∴f (x )min ＝f (1)＝0，∴a ≤0，即a 的最大值为0.答案：A4．函数f (x )满足f (0)＝0，其导函数f ′(x )的图象如下图所示，则f (x )在[－2,1]上的最小值为( )A ．－1B ．0C ．2D ．3解析：易知f (x )为二次函数，且常数项为0，设f (x )＝ax 2＋bx ，则f ′(x )＝2ax ＋b ，由图得导函数的表达式为f ′(x )＝2x ＋2，所以f (x )＝x 2＋2x ，当x ＝－1时，f (x )在[－2,1]有最小值－1.故选A.答案：A5．已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝( ) A ．－2或2 B ．－9或3 C ．－1或1 D ．－3或1解析：因为三次函数的图象与x 轴恰有两个公共点，结合该函数的图象，可得极大值或者极小值为零即可满足要求．而f ′ (x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，当x ＝±1时取得极值. 由f (1)＝0或f (－1)＝0可得c －2＝0或c ＋2＝0，即c ＝±2.故选A.答案：A6．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是____________．解析：首先考虑定义域(0，＋∞)，由f ′(x )＝2x －2x ＝2（x 2－1）x≤0及x >0知0<x ≤1.答案：(0,1]7．已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是______．解析：f ′(x )＝m －2x ，令f ′(x )＝0，则x ＝m 2，由题设得m2∈[－2，－1]，故m ∈[－4，－2]．答案：[－4，－2]8．(2013·东莞二模改编)已知函数g (x )＝13ax 3＋2x 2－2x ，函数f (x )是函数g (x )的导函数．(1)若a ＝1，求g (x )的单调减区间；(2)若对任意x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f x 1＋f x 22，求实数a 的取值范围．解析：(1)当a ＝1时，g (x )＝13x 3＋2x 2－2x ，g ′(x )＝x 2＋4x －2，由g ′(x )＜0解得－2－6＜x ＜－2＋6，∴当a ＝1时函数g (x )的单调减区间为 (－2－6，－2＋6)．(2)易知f (x )＝g ′(x )＝ax 2＋4x －2，依题意知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－f （x 1）＋f （x 2）2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222＋4×x 1＋x 22－2－ax 21＋4x 1－2＋ax 22＋4x 2－22＝－a 4(x 1－x 2)2＜0.因为x 1≠x 2，所以a ＞0，即实数a 的取值范围是(0，＋∞)．9．(2013·北京海淀区检测)已知函数f (x )＝x 2＋2a 3x＋1，其中a ＞0.(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线y ＝1平行，求a 的值； (2)求函数f (x )在区间[1,2]上的最小值．解析：f ′(x )＝2x －2a 3x2＝2（x 3－a 3）x2，x ≠0. (1)由题意可得f ′(1)＝2(1－a 3)＝0，解得a ＝1，此时f (1)＝4，在点(1，f (1))处的切线为y ＝4，与直线y ＝1平行． 故所求的a 的值为1.(2)由f ′(x )＝0可得x ＝a ，a ＞0，①当0＜a ≤1时，f ′(x )＞0在[1, 2]上恒成立， 所以y ＝f (x )在[1,2]上递增，所以f (x )在[1,2]上的最小值为f (1)＝2a 3＋2. ②当1＜a ＜③由a ≥2时，f ′(x )＜0在[1,2]上恒成立， 所以y ＝f (x )在[1,2]上递减．所以f (x )在[1,2]上的最小值为f (2)＝a 3＋5.综上讨论，可知：当0＜a ≤1时，y ＝f (x )在[1,2]上的最小值为f (1)＝2a 3＋2；当1＜a ＜2时，y ＝f (x )在[1,2]上的最小值为f (a )＝3a 2＋1；当a ≥2时，y ＝f (x )在[1,2]上的最小值为f (2)＝a 3＋5.。
导数在研究函数中应用2
X<x2
f(x) >0
增
x2
X>x2
f(x) =0 f(x) <0
极大值 减
f (x)<0
f (x)>0
Oa
x1
极小值点两侧
x2
x bx
f(x)
结论：极值点处，f(x) =0 f(x)
X<x1
f(x) <0
减
x1
f(x) =0
极小值
X>x1
f(x) >0
增
注意：（1）f(x0) =0， x0不一定是极值点
◆函数的极大值与极小值统称为极值.
(极值即峰谷处的值）
探究：极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？
yy
分析yx3
yf(x)
由f (x) x3,得f '(x) 3x2，
O
x 在x 0处，f（' 0） 0,
O a x1 x2x 0是x3极值点吗？ b x
f (x1)=0 f (x2)=0 f (x3)=0
结论:极值点处，如果有切线，切线水平的.即: f (x)=0
思考;若 f (x0)=0，则x0是否为极值点？
进一步探究:极值点两侧函数图像单调性有何特点
?
极大值
极小值
即: 极值点两侧单调性互异
探究:极值点两侧导数正负符号有何规律?
y yf(x)
极大值点两侧 x
f (x)>0
f(x)
f (x)<0 f(x)
3个步骤
①确定定义域
②求f’(x)=0的根 ③并列成表格
用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个 开 区间，并列成表格由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的 符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况
(完整版)导数在研究函数中的应用(含标准答案)
导数在研究函数中的应用【自主归纳，自我查验】一、自主归纳1．利用导函数判断函数单调性问题函数f (x )在某个区间(a ，b )内的单调性与其导数的正负有如下关系 (1)若____ ___，则f (x )在这个区间上是增加的． (2)若____ ___，则f (x )在这个区间上是减少的． (3)若_____ __，则f (x )在这个区间内是常数． 2．利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f ′(x )．(2)在定义域内解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0. (3)根据结果确定f (x )的单调区间． 3．函数的极大值在包含0x 的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都_____0x 点的函数值，称点0x 为函数y ＝f (x )的极大值点，其函数值f (0x )为函数的极大值． 4．函数的极小值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都_____0x 点的函数值，称点0x x 0为函数y ＝f (x )的极小值点，其函数值f (0x )为函数的极小值．极大值与极小值统称为_______，极大值点与极小值点统称为极值点． 5．函数的最值与导数1．函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值点0x 指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都_________f (0x )．2．函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最小值点0x 指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都_________f (0x )．二、自我查验1．函数f (x )＝x ＋eln x 的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)和(0，＋∞)D ．R2．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围是________．3.函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个4．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．55.函数ln xy x=的最大值为（ ） A ．1e - B ．e C ．2e D ．103【典型例题】考点一 利用导数研究函数的单调性【例1】(2015·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．【变式训练1】已知()3222f x x ax a x =+-+．（1）若1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若0a >，求函数()f x 的单调区间．考点二 利用导函数研究函数极值问题【例2】已知函数()ln 3,f x x ax a =-+∈R . （1）当1a =时，求函数的极值； （2）求函数的单调区间.【变式训练2】(2011·安徽)设f (x )＝e x 1＋ax 2，其中a 为正实数.当a ＝43时，求f (x )的极值点；考点三 利用导函数求函数最值问题【例3】已知a 为实数，.（1）求导数； （2）若，求在[]2,2-上的最大值和最小值.【应用体验】1.函数ln y x x =-的单调递减区间为（ ） A ．](1,1- B ．)(0,+∞ C ．[)1,+∞ D ．](0,1()))(4(2a x x x f --=()xf '()01=-'f ()x f2.函数()e x f x x -=的单调递减区间是（ ）A ．(1,)+∞B ．(,1)-∞-C ．(,1)-∞D ．(1,)-+∞ 3.函数()()3e x f x x =-的单调递增区间是（ ） A ．()0,3 B ．()1,4C ．()2,+∞D ．(),2-∞4.设函数()2ln f x x x=+，则（ ） A ．12x =为()f x 的极大值点 B ．12x =为()f x 的极小值点C ．2x =为()f x 的极大值点D ．2x =为()f x 的极小值点5．函数32()23f x x x a =-+的极大值为6，那么a 的值是（ ） A ．0 B ．1 C ．5 D ．6【复习与巩固】A 组 夯实基础一、选择题1．已知定义在R 上的函数()f x ，其导函数()f x '的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）A ．()()()f b f c f d >>B ．()()()f b f a f e >>C ．()()()f c f b f a >>D ．()()()f c f e f d >>2.函数()2ln f x x a x =+在1x =处取得极值，则a 等于（ ）A ．2B ．2-C ．4D ．4-3.函数()e xf x x =-（e 为自然对数的底数）在区间[]1,1-上的最大值是（ ）A.1B.1C.e ＋1D.e －1二、填空题4.若函数()321f x x x mx =+++是R 上的单调增函数，则实数m 的取值范围是________________．5.若函数()23exx axf x +=在0x =处取得极值，则a 的值为_________. 6.函数()e x f x x =-在]1,1[-上的最小值是_____________. 三、解答题 7.已知函数()21ln ,2f x x x =-求函数()f x 的单调区间8.已知函数(),1ln xf x ax x x=+>． （1）若()f x 在()1,+∞上单调递减，求实数a 的取值范围； （2）若2a =，求函数()f x 的极小值.B 组 能力提升一、选择题1．已知函数()213ln 22f x x x =-+在其定义域内的一个子区间()1,1a a -+内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．13,22⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．51,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭2.若函数32y x ax a =-+在()0,1内无极值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(),0-∞C ．(]3,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭U D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3.若函数()3232f x x x a =-+在[]1,1-上有最大值3，则该函数在[]1,1-上的最小值是（ ） A ． B ．0 C ．D ．1二、填空题4．已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．5．设x 1，x 2是函数f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x 的两个极值点，若x 1<2<x 2，则实数a 的取值范围是________．6．若函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题7．已知函数f (x )＝x －2ln x －ax＋1，g (x )＝e x (2ln x －x )．(1)若函数f (x )在定义域上是增函数，求a 的取值范围；(2)求g (x )的最大值．12-128．设函数f(x)＝(x－1)e x－kx2(其中k∈R)．(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间和极值；(2)当k∈[0，＋∞)时，证明函数f(x)在R上有且只有一个零点．《导数在研究函数中的应用》标准答案一．自主归纳1.（1）f ′(x )>0 （2）f ′(x )<0 （3）f ′(x )＝0 3. 小于 4. 大于 极值 5.不超过 不小于 二．自我查验1.解析：函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ex>0，故单调增区间是(0，＋∞)．答案：A2.解析：∵f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m .又∵f (x )在R 上是单调增函数，∴f ′(x )≥0恒成立，∴Δ＝4－12m ≤0，即m ≥13.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞3.解析：导函数f ′(x )的图象与x 轴的交点中，左侧图象在x 轴下方，右侧图象在x 轴上方的只有一个，故选A.答案：A4.解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意知f ′(－3)＝0，即3×(－3)2＋2×(－3)a ＋3＝0，解得a ＝5.答案：D5..A 当(0,e)x ∈时函数单调递增，当(e,)x ∈+∞时函数单调递减， A. 三．典型例题【例题1】(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)单调递增．若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)无最大值；当a >0时，f (x )在x ＝1a处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)单调递增，g (1)＝0. 于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0. 因此，a 的取值范围是(0,1)．【变式训练1】（1）当1a =时，()322f x x x x =+-+，∴()2321f x x x '=+-， ∴切线斜率为()14k f '==，又()13f =，∴切点坐标为()1,3，∴所求切线方程为()341y x -=-，即410x y --=．（2）()()()22323f x x ax a x a x a '=+-=+-，由()0f x '=，得x a =-或3ax =.0,.3a a a >∴>-Q 由()0f x '>，得x a <-或3a x >，由()0f x '<，得.3aa x -<<∴函数()f x 的单调递减区间为,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递增区间为(),a -∞-和,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【例题2】（1）当1a =时，()ln 3f x x x =-+，()()1110xf x x x x-'=-=>， 令()0f x '>，解得01x <<，所以函数()f x 在(0,1)上单调递增； 令()0f x '<，解得1x >，所以函数()f x 在()1,+∞上单调递减； 所以当1x =时取极大值，极大值为()12f =，无极小值. （2）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()1f x a x'=-. 当0a ≤时，1()0f x a x'=->在()0,+∞上恒成立，所以函数()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，令()0f x '>，解得10x a <<，所以函数()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；令()0f x '<，解得1x a >，所以函数()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调增区间为()0,+∞；当0a >时，函数()f x 的单调增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【变式训练2】解 对f (x )求导得f ′(x )＝e x ·1＋ax 2－2ax 1＋ax 22. 当a ＝43时，若f ′(x )＝0， 则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知x (－∞，12) 12 (12，32) 32 (32，＋∞) f ′(x ) ＋0 － 0 ＋ f (x )极大值极小值所以x 1＝2是极小值点，x 2＝2是极大值点.【例题3】1）.（2）由得，故， 则43x =或，由，，41641205504.39329627f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-=-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故，.【变式训练3】1）当0a ≥时，函数()e 20x f x a '=+>，()f x 在R 上单调递增，当0a <时，()e 2x f x a '=+，令e 20x a +=，得ln(2)x a =-，所以当(,ln(2))x a ∈-∞-()423)4()(2'22--=-+-=ax x x a x x x f ()01=-'f 21=a 2421)21)(4()(232+--=--=x x x x x x f ()34,143'2=-=⇒--=x x x x x f 或0)2()2(==-f f 29)1(=-f 29)(max =x f 2750)(min -=x f时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增.（2）由（1）可知，当0a ≥时，函数()e 20x f x ax =+>，不符合题意. 当0a <时，()f x 在(,ln(2))a -∞-上单调递减，在(ln(2),)a -+∞上单调递增.①当ln(2)1a -≤()f x 最小值为(1)2e f a =+.解2e 0a +=，得.②当ln(2)1a ->()f x 最小值为(ln(2))22ln(2)f a a a a -=-+-，解22ln(2)0a a a -+-=，得2ea =-，不符合题意.应用体验： 1.D【解析】函数的定义域为)(0,+∞，令1110x y x x-'=-=≤，解得](0,1x ∈，又0x >，所以](0,1x ∈，故选D. 考点：求函数的单调区间. 2.A【解析】导数为()()()e e 1e x x x f x x x ---'=+⋅-=-，令()0f x '<，得1x >，所以减区间为()1,+∞.考点：利用导数求函数的单调区间． 3.C【解析】()()()e 3e e 2x x x f x x x '=+-=-，令()()e 20x f x x '=->，解得2x >，所以函数()f x 的单调增区间为()2,+∞．故选C ． 4.【解析】()22212x f x x x x-'=-+=，由()0f x '=得2x =，又函数定义域为()0,+∞，当02x <<时，()0f x '<，()f x 递减，当2x >时，()0f x '>，()f x 递增，因此2x =是函数()f x 的极小值点．故选D ． 考点：函数的极值点． 5.D【解析】()()322()23,6661f x x x a f x x x x x '=-+∴=-=-Q ，令()0,f x '= 可得0,1x =，容易判断极大值为()06f a ==. 考点：函数的导数与极值. 复习与巩固 A 组 1.C【解析】由()f x '图象可知函数()f x 在(),c -∞上单调递增，在(),c e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增，又(),,,a b c c ∈-∞，且a b c <<，故()()()f c f b f a >>． 考点：利用导数求函数单调性并比较大小． 2.B【解析】()2a f x x x '=+，由题意可得()121201af a '=⨯+=+=，2a ∴=-.故选B.考点：极值点问题. 3.D【解析】()e 1x f x '=-，令()0,f x '=得0x =.又()()()010e 01,1e 11,111,e f f f =-==->-=+>且11e 11e 2e e ⎛⎫--+=-- ⎪⎝⎭＝2e 2e 10e--=>，所以()()max 1e 1,f x f ==-故选D.考点：利用导数求函数在闭区间上的最值.4.1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】由题意得()0f x '≥在R 上恒成立，则()2320f x x x m '=++≥，即232m x x ≥--恒成立.令()232g x x x =--，则()max m g x ≥⎡⎤⎣⎦，因为()g x232x x =--为R 上的二次函数，所以()2max11333g x g ⎛⎫⎛⎫=-=-⨯-⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭11233⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭，则m 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.5.0【解析】()()()()()2226e 3e 36e e x xxx x a x ax x a x a f x +-+-+-+'==， 由题意得()00f a '==． 考点：导数与极值． 6.1【解析】因为()e 1x f x '=-，()00,()00f x x f x x ''>⇒><⇒<，所以()f x 在[1,0]-单调递减，在[0,1]单调递增，从而函数()e x f x x =-在]1,1[-上的最小值是0(0)e 01f =-=.考点：函数的最值与导数.7.【解析】()21ln 2f x x x =-的定义域为()0,+∞，()211x f x x x x-'=-=，令()0f x '=，则1x =或1-（舍去）.∴当01x <<时，()0f x '<，()f x 递减，当1x >时，()0f x '>，()f x 递增， ∴()f x 的递减区间是()0,1，递增区间是()1,+∞．考点：利用导数求函数的单调区间． 8.（1）14a ≤-（2）【解析】（1）函数(),1ln x f x ax x x =+>，则()2ln 1ln x f x a x-'=+，由题意可得()0f x '≤在()1,x ∈+∞上恒成立，∴2211111ln ln ln 24a x x x ⎛⎫≤-=-- ⎪⎝⎭， ∵()1,x ∈+∞，()ln 0,,x ∴∈+∞021ln 1=-∴x 时，函数2111ln 24t x ⎛⎫=--⎪⎝⎭取最小值41-，41-≤∴a ，（2）当2a =时，()2ln x f x x x =+，()22ln 12ln ln x x f x x -+'=， 令()0f x '=，得22ln ln 10x x +-=，解得21ln =x 或ln 1x =-（舍去），即x =当1x <<()0f x '<，当x >()0f x '>， ∴()f x的极小值为f =.B 组 1.D【解析】因为函数()213ln 22f x x x =-+在区间()1,1a a -+上不单调，所以()2141222x f x x x x-'=-=在区间()1,1a a -+上有零点，由()0f x '=，得12x =，则10,111,2a a a -≥⎧⎪⎨-<<+⎪⎩得312a ≤<，故选D ． 考点：函数的单调性与导数的关系．2.C【解析】232y x a '=-，①当0a ≤时，0y '≥，所以32y x ax a =-+在()0,1上单调递增，在()0,1内无极值，所以0a ≤符合题意；②当0a >时，令0y '=，即2320x a -=，解得12,33x x =-=，当,x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 时，0y '>，当x ⎛∈ ⎝⎭时，0y '<，所以32y x ax a =-+的单调递增区间为,,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调递减区间为⎛ ⎝⎭，当x =数取得极大值，当x =原函数取得极小值，要满足原函数在()0,1内无极值，1≥，解得32a ≥.综合①②得，a 的取值范围为(]3,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭U ，故选C.考点：导函数，分类讨论思想. 3.C【解析】()()23331f x x x x x '=-=-，当()0f x '>时，1>x 或0<x ，当()0f x '<时，10<<x ，所以()f x 在区间[]1,0-上函数递增，在区间[]1,0上函数递减，所以当0=x 时，函数取得最大值()30==a f ，则()32332f x x x =-+，所以()211=-f ，()251=f ，所以最小值是()211=-f ． 考点：利用导数求函数在闭区间上的最值.4.解析：由题意知f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，∵⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋1x max ＝83，∴2a ≥83，即a ≥43.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞5.解析：本题考查利用导数研究函数的极值及不等式的解法．由f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝0得x 1＝a3，x 2＝a .又∵x 1<2<x 2，∴⎩⎨⎧a >2，a3<2，∴2<a <6.答案：(2,6)6.解析：∵f (x )＝x 2－e x －ax ，∴f ′(x )＝2x －e x －a ， ∵函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，∴f ′(x )＝2x －e x －a ≥0，即a ≤2x －e x 有解，设g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ，令g ′(x )＝0，解得x ＝ln 2，则当x <ln 2时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，当x >ln 2时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，∴当x ＝ln 2时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝g (ln 2)＝2ln 2－2，∴a ≤2ln 2－2. 答案：(－∞，2ln 2－2)7.解：(1)由题意得x >0，f ′(x )＝1－2x ＋ax2.由函数f (x )在定义域上是增函数，得f ′(x )≥0，即a ≥2x －x 2＝－(x －1)2＋1(x >0)．因为－(x －1)2＋1≤1(当x ＝1时，取等号)，所以a 的取值范围是[1，＋∞)．(2)g ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1＋2ln x －x ，由(1)得a ＝2时，f (x )＝x －2ln x －2x ＋1，且f (x )在定义域上是增函数，又f (1)＝0，所以，当x ∈(0,1)时，f (x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0. 所以，当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0. 故当x ＝1时，g (x )取得最大值－e.8.解：(1)当k ＝1时，f (x )＝(x －1)e x －x 2，f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2x ＝x e x －2x ＝x (e x －2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝ln 2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化如下表：0]，[ln 2，＋∞)．f (x )的极大值为f (0)＝－1，极小值为f (ln 2)＝ －(ln 2)2＋2ln 2－2.(2)f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2kx ＝x e x －2kx ＝x (e x －2k )， 当x <1时，f (x )<0，所以f (x )在(－∞，1)上无零点． 故只需证明函数f (x )在[1，＋∞)上有且只有一个零点．①若k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，e 2，则当x ≥1时，f ′(x )≥0，f (x )在[1，＋∞)上单调递增．∵f (1)＝－k ≤0，f (2)＝e 2－4k ≥e 2－2e>0， ∴f (x )在[1，＋∞)上有且只有一个零点．②若k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2，＋∞，则f (x )在[1，ln 2k ]上单调递减，在[ln 2k ，＋∞)上单调递增．f (1)＝－k <0，f (k ＋1)＝k e k ＋1－k (k ＋1)2＝k [e k ＋1－(k ＋1)2]， 令g (t )＝e t －t 2，t ＝k ＋1>2，则g ′(t )＝e t －2t ，g ″(t )＝e t －2，∵t>2，∴g″(t)>0，g′(t)在(2，＋∞)上单调递增．∴g′(t)>g′(2)＝e2－4>0，∴g(t)在(2，＋∞)上单调递增．∴g(t)>g(2)＝e2－4>0.∴f(k＋1)>0.∴f(x)在[1，＋∞)上有且只有一个零点．综上，当k∈[0，＋∞)时，f(x)在R上有且只有一个零点．。
导数在研究函数中的应用
2. 函数的最大值与最小值 (1)求函数 y ＝ f ( x )在区间( a ， b )内的极值； (2)将函数 y ＝ f ( x )的各极值与端点处的函数值 f ( a )， f ( b )比较，其中最 大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
[小题诊断] 1. 函数 f ( x )＝ x 2－2ln x 的单调递减区间是( A ) A. (0，1) B. (1，＋∞) C. (－∞，－1) D. (－1，0)∪(0，1)
导数在研究函数中的应用
[学习要求] 1.了解函数的单调性和导数的关系. 2.能利用导数研究函 数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不会超过三次). 3.了解函数在某点取得极值的充要条件. 4.会用导数求函数的极大值、 极小值(其中多项式函数一般不超过三次). 5.会求闭区间上函数的最大 值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).
f'( x )＝3 x 2＋2 ax ＋3.由题意知， x ＝－3是方程f'( x )＝0的根，所以3×(－ 3)2＋2 a ×(－3)＋3＝0，解得 a ＝5.经检验，当 a ＝5时， f ( x )在 x ＝－3 处取得极值.
2. (多选)如果函数 y ＝ f ( x )的导函数 y ＝f'( x )的图象如图所示，则以下关 于函数 y ＝ f ( x )的判断正确的是( BD ) A. 在区间(2，4)内单调递减 B. 在区间(2，3)内单调点
3. (易错题)已知函数 f ( x )＝ x 3＋ ax 2＋3 x －9.若 x ＝－3是函数 f ( x )的一 个极值点，则实数 a ＝ 5 .
2. 利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求 f '( x ) ；
高二数学导数在研究函数中的应用2(2019年10月)
复习: 函数极值的定义——
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其 附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所 有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是 函数的一个极大值，如果f(x0)的值比x0 附近所有各点的函数值都小，我们就 说f(x0)是函数的一个极小值。
极大值与极小值统称为极值.
如果x0是f’(x)=0的一个根，并且在x0的 左侧附近f’(x)>0，在x0右侧附近f’(x)<0， 那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值
如果x0是f’(x)=0的一个根，并且在x0 的左侧附近f’(x)<0，在x0右侧附近f’(x)>0， 那么是f(x0)函数f(x)的一个极小值.
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修1-1
3.3.3《导数在研究函数 中的应用-最大(小)值》
审校：王伟
教学目标
• (1)知识目标：能探索并应用函数的最大(小)值与导 数的关系求函数最大(小)值。
• (2)能力目标：培养学生的观察能力、归纳能力，增 强数形结合的思维意识。
• (3)情感目标：通过在教学过程中让学生多动手、多 观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的 良好习惯。
• 教学重点：探索并应用函数最大(小)值与导数的关 系求函数最大(小)值。
• 教学难点：利用导数信息判断函数最大(小)值的情 况。
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坊市聚观 俄闻府主殂 僖宗夜自开远门出 遣使传命召故相驸马都尉于琮于其第 窃威仪辇辂 宽列戈矛 杀贼无非手刃 王璠为京兆尹 逐其帅薛能 巢之起也 幸会其数天也 犯湖 成未及半 识博学宏 先是书久不行 主衙内兵 城门之外 从卯至申 孟楷 辄分与麾下将
高二数学寒假作业 专题14 导数在研究函数中的应用二背 试题
卜人入州八九几市潮王学校专题14导数在研究函数中的应用〔二〕【背一背】〔1〕极值的概念设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且假设对0x 附近的所有的点都有)()(0x f x f <〔或者)()(0x f x f >〕，那么称)(0x f 为函数的一个极大〔小〕值，称0x 为极大〔小〕值点.〔2〕求可导函数)(x f 极值的步骤: ①求导数)(x f '。
求方程0)(='x f 的根.②求方程0)(/=x f 的根. ③检验)(x f '在方程0)(='x f 的根的左右的符号，假设在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数 )(x f y =在这个根处获得极大值；假设在根的右侧附近为正，左侧附近为负，那么函数)(x f y =在这个 根处获得极小值.〔1〕设)(x f y =是定义在区间[]b a ,上的函数，)(x f y =在),(b a 内有导数，求函数)(x f y =在[]b a ,上的最大值与最小值，可分两步进展.①求)(x f y =在),(b a 内的极值. ②将)(x f y =在各极值点的极值与)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.〔2〕假设函数)(x f 在[]b a ,上单调增加，那么)(a f 为函数的最小值，)(b f 为函数的最大值；假设函数)(x f 在[]b a ,上单调递减，那么)(a f 为函数的最大值，)(b f 为函数的最小值. 3、本卷须知1.在求可导函数的极值时，应注意：〔以下将导函数)(x f '取值为0的点称为函数)(x f 的驻点可导函数的极值点一定是它的驻点，注意一定要是可导函数。
例如函数||x y =在点0=x 处有极小值)0(f =0，可是这里的)0(f '根本不存在，所以点0=x 不是)(x f 的驻点.(1)可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。
高二文科数学寒假作业导数在研究函数中的应用
寒假作业（25）导数在研究函数中的应用1、定义在R 上的函数()f x 的导函数为(),f'x ,若对任意实数x 有()(),f x f'x >且函数()2019y f x =+为奇函数,则不等式()2019e 0x f x +>的解集是( )A.(,0)-∞B.(0)+∞，C.1(,)e-∞D.1()e+∞， 2、若函数331y x bx =-+在区间[1,2]内是减函数,R b ∈,则（ ） A.4b ≤B.1b ≤C.4b ≥D. 1b ≥3、已知函数()()231f x ax a x =+-+在区间[)1,-+∞上单调递减,则实数a 的取值范围是( )A.[3,0)-B.(,3]-∞-C.[]2,0-D.[]3,0-4、若函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞上单调递增，则k 的取值范围是（ ） A.(],2-∞-B.(],1-∞-C.[)2,+∞D.[)1,+∞5、设函数()()x x f x x e e -=+，则()f x （ ） A.是奇函数，且在(0,)+∞上是增函数 B.是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数 C.是奇函数，且在(0,)+∞上是减函数 D.是偶函数，且在(0,)+∞上是减函数6、已知函数32()f x x ax bx =++在1x =处有极值10，则(2)f 等于( ) A. 1B. 2C. -2D. -17、若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围为( ) A.34a >-B.53a <-C. 5334a -<<-D. 5334a -≤≤-8、已知函数()ln 2f x a x x =-，若不等式(1)2e x f x ax +>-,在(0,)x ∈+∞上恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.(,2]-∞ B.[2,)+∞C.(,0]-∞D.[0,2]9、已知函数2()35f x x x =-+,()ln g x ax x =-,若对(0,e)x ∀∈,12,(0,e)x x ∃∈且12x x ≠,使得i ()()(i 1,2)f x g x ==,则实数的取值范围是（ ）A ．16(,)e eB ． 746[,e )eC ．741[,e )eD ．7416(0,][,e )e e⋃10、已知函数()f x 在定义域R 上的导函数为()f x '，若方程()0f x '=无解，且()20172017xf f x ⎡⎤-=⎣⎦，()sin cosg x x x kx =--在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上与()f x 在R 上的单调性相同，则实数k 的取值范围是（ ）A.(]1-∞-,B.(-∞C.⎡-⎣D.)+∞11、若函数2()2ln f x x x =-在定义域内的一个子区间(1,1)k k -+上不是单调函数,则实数k 的取值范围是_________. 12、函数()22ln f x x x =-+在()0,+∞上的极大值为___________．13、已知函数2()38,[1,5]f x x kx x =--∈,若函数()f x 在定义域内具有单调性,则实数k 的取值范围为___________.14、设函数()()e 220()x f x g x ax a a ==+，＞.若R x ∀∈，曲线()f x 始终在曲线()g x 上方，则a 的取值范围是_______________________________ 15、已知函数()e ln 1xf x a x =--．(1).设2x =是()f x 的极值点．求，并求()f x 的单调区间； (2).证明：当1ea ≥时，()0f x ≥．答案以及解析1答案及解析： 答案：A解析：令()()=e xf xg x ， 则()()()0,e xf'x f x g'x -=<则函数()g x 在R 上时减函数， 又()2019y f x =+为奇函数， 则(0)20190,(0)2019,f f +==- 不等式()()2019e 0e x x f x f x +>⇔>0(0)2019()(0)0,e f g x g x -=⇔>⇒< 故不等式的解集为(,0)-∞.2答案及解析： 答案：C 解析：3答案及解析： 答案：D 解析：4答案及解析： 答案：D 解析：5答案及解析： 答案：A解析：由已知可知，()()()x x f x x e e --=-+()()x xx e e f x -=-+=-，故()f x 为奇函数.()()x x x x f x e e x e e --'=++-，当0x >时，x x e e ->，所以()0x x e e x -->，又0x x e e -+>，所以()0f x '>，所以()f x 在(0)+∞,上是增函数故选A.6答案及解析： 答案：B解析：，，函数在处有极值10，，解得，，，。
导数在研究函数中应用(含简答)
1.3 导数在研究函数中的应用导学案1.3.1 单调性一、学习要求了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式函数的单调性二、学习重点与难点利用导数判定函数的单调性；求函数的单调区间；已知单调性求参数的范围 三、学习过程1.导数与函数的单调性问题1 函数2()43f x x x =-+的单调增区间为[2,)+∞ ,单调减区间为(,2)-∞ ；()f x '=24x -，由()0f x '>得x ∈(2,)+∞ ,由()0f x '<得x ∈(,2)-∞问题2 导数的符号与函数的单调性有怎样的关系在某个区间上，若导数大于0，则该区间为增区间；若导数小于0，则该区间为减区间问题3 如果()f x 在某区间上单调递增，那么在该区间上必有()0f x '>吗？不一定，也可能在一些孤立的点处导数等于0，如函数3()f x x =在(,)-∞+∞上为增函数，而(0)0f '=问题4 用导数判定函数的单调性或求函数的单调区间的步骤是什么？（1）确定定义域，求导函数 （2）令导数大于0，解得增区间令导数小于0，解得减区间（3）得结论，注意单调区间之间不可用并问题5 已知函数在某个区间上是单调的，那么它的导数符号怎样？如果已知某函数在某区间上为增函数，则其导数肯定是大于或等于0；如果是减函数，则其导数肯定小于或等于0 2.例题改编例2 求函数32()267f x x x =-++的单调减区间(,0),(2,)-∞+∞例3 求函数()sin ((0,2))f x x x π=∈的单调增区间3(0,),(,2)22πππ3.拓展探究(1)求函数()x f x x e =-单调减区间(0,)+∞(2)求函数2ln y x x =-的单调增区间1(,)2+∞ (3)求函数1()f x x=的单调区间 增区间(1,)+∞ 减区间(0,1)(4)求证：当1x >时，有13x>- (略)(5)判断函数()af x x x=+的单调性 （略）(6)若3()f x ax x =+恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求其单调区间0a <,略(7)函数21y x ax =-+在(0,)+∞上单调递增，则a 的取值范围是_____________(,0]-∞(8)若函数32()5f x ax x x =-+-在R 上单调递增，求实数a 的取值范围.13a ≥四、巩固提高1.求函数()ln f x x x =的递增区间1(,)e+∞ 2.若函数225y x bx =+-在区间(2,3)上为减函数，求b 的取值范围(,3]-∞-3.设a 为实数，函数322()(1)f x x ax a x =-+-在(,0)-∞和(1,)+∞上都是增函数，求a 的取值范围(,[1,)2-∞-⋃+∞ 4.函数2145ln 24a y x ax x +=-+是定义域上的增函数，求a 的取值范围5[,5]4- 1.3 导数在研究函数中的应用导学案1.3.2 极大值与极小值一、学习要求了解函数的极大（小）值与导数的关系；会求不超过三次的多项式函数的极大（小）值 二、学习重点与难点理解极值与导数符号的关系；明确求极值的方法步骤；会画多项式函数的简图；已知极值求参数 三、学习过程 1.函数极值的定义问题1 课本上是怎样对极值进行描述的？问题2 请分别从图形和代数的角度描述你对极值的理解？问题3 极大值一定比极小值大吗？问题4 闭区间端点对应的函数值是极值吗？ 问题5 如果称取得极值的自变量的值为极值点，请，请说明极值与极值点含义？ 2.导数与函数的极值问题1 判定函数的极值本质是就是在研究函数的什么性质？而该性质与导数又有怎样的关系？ 问题2 由例1归纳出求函数极值的方法步骤是什么？问题3 函数在某处的导数为0是能在该处能取得极值的充要条件吗？3.例题改编例1 求2()4f x x x =-+的极值 （略）例2 求311()433f x x x =-++的极值（请尝试在同一坐标系中画出该函数及其导函数的简图并思考之间的联系） （略） 4.拓展探究（1）函数2()365f x x x =++在(,1)-∞-上是单调递减的，在区间(1,)-+∞上是单调递增的，当x=1-时，()f x 取得极小值，其极小值为2 （2）函数32()23f x x x a =-+的极大值为6，则a=6（3）已知()f x '的图像如下图，则()f x 的单调增区间为(4,0)-、(5,)+∞，极小值点为1（4）求函数21x y x=+的极值2x =-时有极大值4-，0x =时有极小值0（5）求函数()2sin f x x x =+在区间(0,2)π内的极值23x π=时有极大值23π+43x π=时有极小值43π-（6）设3()f x ax x =+恰有两个不同的极值点，试确定a 的取值范围，并求其单调区间. 0a <，略（7）已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处的极值10，求,a b 的值4,11a b ==-（8）试研究函数3211()32f x ax bx cx d =+++ (0)a >的单调性、极值、简图（略）四、巩固提高1.如果函数32()3f x x x c =-+的极小值是3，求c 的值及()f x 极大值7,72. 函数32()1f x x mx x =+++在R 上无极值点，求的取值范围[3. 三次多项式函数当1x =时有极大值4，当3x =时有极小值0，且函数过原点，求此函数的解析式3269y x x x =-+4.已知函数32()32f x x ax bx =-+在1x =点处有极小值1-，试确定,a b 的值，并求出的单调区间11,32a b ==增区间1(1,),(,)3+∞-∞- 减区间1(,1)3-.1.3 导数在研究函数中的应用导学案1.3.3 最大值与最小值一、学习要求会求在指定区间上不超过三次的多项式函数的最大（小）值二、学习重点与难点会求函数在闭区间（开区间）上的最值；会画函数的简图；含参数函数最值的求解三、学习过程 1.最值的定义问题1 你对最值的理解是什么？ 问题2 最值与极值有怎样的关系？问题3 定义域为闭区间的连续函数一定有最值吗？问题4 最大值一定比最小值大吗？问题5 定义域为开区间的函数一定没有最值吗？ 2.导数与函数的最值问题1 由例1归纳出利用导数求最值的方法步骤是什么？问题2 利用导数求极值与求最值有怎样的关系？ 问题3 不管求极值还是求最值都是利用导数研究函数的什么性质？求解过程中列表本质上是什么？3.例题改编例1 求2()43f x x x =-++在区间[1,4]-上最大值和最小值 （略） 例2 求1()cos 2f x x x =+在区间[0,2]π上的最大值与最小值并尝试作出该函数的简图 （略） 4.拓展探究 （1）求函数31()443f x x x =-+在[0,3]上的最大值与最小值0x =时有最大值4，2x =时有最小值43-（2）求函数1,[0,2]2x y x x -=∈+的值域 （略）（3）求4282y x x =-+在[1,3]x ∈-上的最大值 11（4）已知函数32()26f x x x m =-+（m 为常数）在[2,2]-上有最大值3，求此函数在[2,2]-上的最小值 37-（5）将正数a 分成两部分（均为正数），使其立方和为最小，求此时这两个部分的值,22a a （6）P 点是曲线2ln y x x =-上任意一点，求点P 到直线2y x =-的距离的最小值（7）已知函数ln ()xf x x=，求它在[,2](0)a a a >上的最小值02a <≤时，min ln ()()af x f a a == 2a >时，minln(2)()(2)2a f x f a a==（8）已知函数32()23(1)6f x x a x ax =-++，当[1,3]x ∈时，()f x 的最最小值为4，求a 的值 2a =四、巩固提高 1.求函数1()2f x x x=+在区间(0,2]上的最值 （略）2.已知函数2(),[1,3]xf x x e x -=∈-，求函数()f x 的最大值与最小值max ()(1)f x f e =-= min ()(0)0f x f ==3.已知函数32()39f x x x x a =-+++在区间[2,2]-上的最大值是20，求()f x 在该区间上的最小值 7-4.设23()252x f x x x =--+，当[1,2]x ∈-时，()f x m <恒成立，求实数m 的取值范围 (7,)+∞。
高二数学导数在研究函数中的应用
高二数学导数在研究函数中的应用课标要求：1．导数在研究函数中的应用①结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；②结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。
2．生活中的优化问题举例例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。
要点精讲1．单调性对于函数y = f(x)：如果在某区间上，那么f(x)为该区间上的增函数；如果在某区间上，那么f(x)为该区间上的减函数．注意：（1）如果函数y＝f（x）在某个区间上是递增的，则在这个区间；如果函数y＝f（x）在某个区间上是递减的，则在这个区间上，。
（2）函数的单调区间一般指开区间。
2．极值极值是函数在一个小的区间的局部性质；函数的极大（小）值可能不止一个；某些极大值有时候可能比一些极小值还小。
注意：（1）不要将极大（极小）值与最大（最小）值混为一谈，要懂得它们的区别和联系。
（2）不要将极值点与驻点混为一谈，可导函数的极值点是驻点；而可导函数的驻点仅是可疑极值点。
3．最大值与最小值最值是函数的整体性质。
(1)求连续函数f(x)在闭区间[a, b]上最大（小）值的一般步骤是：①求出f(x)在(a,b)内的全部的驻点与不可导点x1, x2,。
x n,;②计算出函数值f(x1), f(x2),… f(x n);以及f(a)与f(b);③比较上述值的大小.(2)有关最大（小）值的应用问题，其关键是建立目标函数。
该函数的实际意义下的定义域称为约束集或可行域。
若f(x)在约束集内的驻点唯一，又根据问题的实际意义知f(x)的最大（小）值存在，则该驻点即为最大（小）值点，不必另行判定。
典例解析1．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间（2）若对x∈〔－1，2〕，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围。
2015届高考数学总复习第二章 第十四节导数在研究函数中的应用(二)课件 理
1 ①若a≥－e ，则f′(x)＞0，从而f(x)在(0，e)上增函数， 1 1 1 ②若a＜－e ，则由f′(x)＞0⇒a＋x ＞0，即0＜x＜－a， 1 1 由f′(x)＜0⇒a＋x ＜0，即－a＜x＜e.
1 1 ∴f(x)在0，－a上增函数，在－a，e上为减函数，
解析：(1)当a＝－1时，f(x)＝－x＋ln x， 1 1－ x f′(x)＝－1＋x ＝ x . 当0＜x＜1时，f′(x)＞0；当x＞1时，f′(x)＜0. ∴f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数， ∴f(x)max＝f(1)＝－1.
1 1 1 (2)∵f′(x)＝a＋x ，x∈(0，e)，x ∈e ，＋∞，
x
f ′( x) f ( x)
(－∞，－1)
＋
－1
0 极大 值
(－1，a)
－
a
0 极小 值
(a，＋∞)
＋
故函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(a，＋∞)；单调
递减区间是(－1，a)．
(2) 由 (1) 知 f(x) 在区间 ( － 2 ，－ 1) 内单调递增，在区间 ( － 1,0) 内单调递减，从而函数 f(x) 在区间 ( － 2,0) 内恰有两个零点当 且仅当 解得0<a< .
.
x x＋1
函数的零点与导数 【例2】 (2013· 广州质检改编)已知函数 f ( x) ＝ 2x(a∈R)．
(1)当a＝3时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若过点
可作函数y＝f(x)图象的三条不同切线，
求实数a的取值范围． 自主解答：
解析：(1)当a＝3时，函数f(x)＝－
x2－2x，得f′(x)＝－
(寒假总动员)2019年高二数学寒假作业 专题14 导数在研究函数中的应用(二)(背)
专题14 导数在研究函数中的应用（二）【背一背】1.可导函数的极值（1）极值的概念设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且若对0x 附近的所有的点都有)()(0x f x f <（或)()(0x f x f >），则称)(0x f 为函数的一个极大（小）值，称0x 为极大（小）值点.（2）求可导函数)(x f 极值的步骤:①求导数)(x f '。
求方程0)(='x f 的根.②求方程0)(/=x f 的根.③检验)(x f '在方程0)(='x f 的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数)(x f y =在这个根处取得极大值；如果在根的右侧附近为正，左侧附近为负，那么函数)(x f y =在这个 根处取得极小值.2.函数的最大值和最小值（1）设)(x f y =是定义在区间[]b a ,上的函数，)(x f y =在),(b a 内有导数，求函数)(x f y =在[]b a ,上的最大值与最小值，可分两步进行.①求)(x f y =在),(b a 内的极值.②将)(x f y =在各极值点的极值与)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.（2）若函数)(x f 在[]b a ,上单调增加，则)(a f 为函数的最小值，)(b f 为函数的最大值；若函数)(x f 在[]b a ,上单调递减，则)(a f 为函数的最大值，)(b f 为函数的最小值.3、注意事项1.在求可导函数的极值时，应注意：（以下将导函数)(x f '取值为0的点称为函数)(x f 的驻点可导函数的极值点一定是它的驻点，注意一定要是可导函数。
例如函数||x y =在点0=x 处有极小值)0(f =0，可是这里的)0(f '根本不存在，所以点0=x 不是)(x f 的驻点.(1) 可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。
高二数学导数在研究函数中的应用2
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现在是九月份,白俄罗斯的秋季已经到了.那里深处内陆,秋季来了更早,晴朗的晚上凉风习习.在篝火的照耀下全身暖和和的,不仅想好好伸展一下身子,那番就把挂载脖子上的绷带解开. "唉！你不要那样！" 那一举动被李桃看到,她连忙制止,表情上也是眉头紧皱. 她拿着两个饭盒走过来, 那里面已经放了面粉和清水.饭盒挂载丫型架子上被火焰炙烤着,自己则一屁股坐在丈夫身边. "你可要小心了,若是伤口崩开了我可担心死了.咱们没有它么多消炎药,只能用青霉素那个万金油顶着."说罢,她又小心翼翼的的用绳子挂载丈夫脖颈. 李小克微笑的看着她,那丫头一股贤妻良母 的小模样,很是可人. "好吧,我听你的.倒是你的胳膊,你也是伤员." "我的不要紧,你不用担心." 李桃就盘腿坐着,身子骨依靠着丈夫,看着跳动的火焰,享受着那温暖的感觉,很是温馨. "嗯,它个.到了村子里,哥,你未来一段日子就不要太拼了.你的伤口要修养." "好的,很高兴你有叫我哥 了." 女孩嫣然一笑,"喊一声丈夫总觉得很正式,而且你的年龄比我大很多." 顿时,一种被萝莉喊作大叔的感觉在脑海中浮现,李小克耸耸肩,他看到那面粥也煮的差不多了. 部队在撤退的路途还是可以吃到热腾腾的食物,最简单原始的办法,就是用缴获的面粉直接煮粥.有的士兵则放入一 点酸菜,一些盐,甚至还有没吃完的干奶酪. 因为缴获了很多德军的装备,餐具充盈,伙食甚至还比较精细. 喝了几口,李小克感觉那味道很不错,之后再吃几个烤土豆就可以了. 忽然,他想起一件很重要的事,不禁问起身边的妻子."那个水,煮粥的水,你是从哪灌的,还有你刚才去哪了?" "当 然是去小溪了,还有娜塔莎.很多士兵都去了,只有
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专题14 导数在研究函数中的应用（二）
【背一背】
1.可导函数的极值
（1）极值的概念
设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且若对0x 附近的所有的点都有)()(0x f x f <（或)()(0x f x f >），则称)(0x f 为函数的一个极大（小）值，称0x 为极大（小）值点.
（2）求可导函数)(x f 极值的步骤:
①求导数)(x f '。
求方程0)(='x f 的根.
②求方程0)(/=x f 的根.
③检验)(x f '在方程0)(='x f 的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数
)(x f y =在这个根处取得极大值；如果在根的右侧附近为正，左侧附近为负，那么函数)(x f y =在这个
根处取得极小值.
2.函数的最大值和最小值
（1）设)(x f y =是定义在区间[]b a ,上的函数，)(x f y =在),(b a 内有导数，求函数)(x f y =在[]b a ,上的最大值与最小值，可分两步进行.
①求)(x f y =在),(b a 内的极值.
②将)(x f y =在各极值点的极值与)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
（2）若函数)(x f 在[]b a ,上单调增加，则)(a f 为函数的最小值，)(b f 为函数的最大值；若函数)(x f 在[]b a ,上单调递减，则)(a f 为函数的最大值，)(b f 为函数的最小
值.
3、注意事项
1.在求可导函数的极值时，应注意：（以下将导函数)(x f '取值为0的点称为函数)(x f 的驻点可导函数的极值点一定是它的驻点，注意一定要是可导函数。
例如函数||x y =在点0=x 处有极小值)0(f =0，可是这里的)0(f '根本不存在，所以点0=x 不是)(x f 的驻点.
(1) 可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。
例如函数3)(x x f =的
导数23)(x x f ='，在点0=x 处有0)0(='f ，即点0=x 是3
)(x x f =的驻点，但从)(x f 在()+∞∞-,上为增函数可知，点0=x 不是)(x f 的极值点.
(2) 求一个可导函数的极值时，常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然.
(3) 在求实际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域.如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导（其实只要是初等函数，它在自己的定义域内必然可导），并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大（小）值（如果定义域是闭区间，那么只要函数在此闭区间上连续，它就一定有最大（小）.记住这个定理很有好处），然后通过对函数求导，发现定义域内只有一个驻点，那么立即可以断定在这个驻点处的函数值就是最大（小）值。
知道这一点是非常重要的，因为它在应用上较为简便，省去了讨论驻点是否为极值点，求函数在端点处的值，以及同函数在极值点处的值进行比较等步骤.
2.极大（小）值与最大（小）值的区别与联系 极值是局部性概念，最大（小）值可以看作整体性概念，因而在一般情况下，两
者是有区别的.极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值，但如果连续函数在区间),(b a 内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值.
3. 生活中的优化问题
解决优化问题的基本思路是：。