§5.3 二次曲线的切线

§5.3 二次曲线的切线

一、概念

1. 定义1：如果直线与二次曲线交于相互重合的两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线，这个重合的交点叫做切点；如果直线全部在二次曲线上，我们也称它为二次曲线的切线，直线上的每一个点都可以看作切点.

2.定义2：二次曲线F(x, y)=0上满足条件F1(x0, y0)=F2(x0, y0)=0的点(x0, y0)叫做二次曲线的奇异点，简称奇点；二次曲线的非奇异点叫做二次曲线的正常点. 奇点是中心，但中心不一定是奇点.

注：(1) 二次曲线有奇点的充要条件是I3= 0，

(2) 二次曲线的奇点一定是二次曲线的中心，但反之不然.

二、切线求法

1.已知切点求切线：

设点(x0, y0)是二次曲线F(x, y)=0上的点, 则通过点(x0, y0)的直线方程总可以写成

那么此直线成为二次曲线切线的条件，当Φ(X, Y)≠0时

∆=[F1(x0, y0)X +F2(x0, y0)Y]2-Φ(X, Y)⋅F(x0, y0)=0.

因为点 (x0, y0) 在二次曲线上，所以F(x0, y0)=0；因而上式可化为

F1(x0, y0)X +F2(x0, y0)Y=0.

当Φ(X, Y)= 0时除了F(x0, y0)=0外，唯一的条件仍然是

F1(x0, y0)X +F2(x0, y0)Y=0.

(1)如果点(x0, y0)是二次曲线F (x, y)=0的正常点：那么由以上条件得

X:Y = F2(x0, y0)：(-F1(x0, y0))，

因此切线方程为

或写成，

或 (x-x0)F1(x0, y0)+(y-y0)F2(x0, y0)=0，

其中 (x0, y0) 是它的切点；

(2)如果点 (x0, y0) 是二次曲线F (x, y)=0的奇异点，即F1(x0, y0)=F2(x0, y0)=0，则切线方向X:Y不能唯一地被确定，从而通过点 (x0, y0)的切线不确定,这时通过点 (x0, y0) 的任何直线都和二次曲线F (x, y)=0相交于相互重合的两点，我们把这样的直线也看成是二次曲线的切线.

这样我们就得到

定理1：如果点(x0, y0) 是二次曲线F (x, y)= 0的正常点，则通过点(x0, y0)的切线方程是 (x-x0)F1(x0, y0)+(y-y0)F2(x0, y0)=0，(x0, y0)是它的切点.

如果点 (x0, y0) 是二次曲线F (x, y)=0的奇异点，则通过点 (x0, y0) 的每一条直线都是二次曲线F (x, y)=0的切线.

推论：如果点 (x0, y0) 是二次曲线F (x, y) = 0的正常点，则通过点 (x0, y0) 的切线方程是a11x0x + a12(x0y+xy0)+a22y0y+a13(x+x0)＋a23(y+y0)+a33=0.

证明：过点(x0, y0) 的切线方程可改写成

xF1(x0, y0)+yF2(x0, y0)-[x0F1(x0, y0)+y0F2(x0, y0)]=0,

那么xF1(x0, y0)+yF2(x0, y0)+ F3(x0, y0)-[x0F1(x0, y0)+y0F2(x0, y0)+ F3(x0, y0)]=0,则有xF1(x0, y0)+yF2(x0, y0)+ F3(x0, y0)=0,

即 x(a11x + a12y+a13)+y(a12x + a22y+a23)+( a13x + a23y+a33)=0,

从而得a11x0x + a12(x0y+xy0)+a22y0y+a13(x+x0)＋a23(y+y0)+a33=0.

2.已知二次曲线外一点，求过此点的切线：

设点(x0 , y0)不是二次曲线上的点，即F(x0 , y0)≠0, 则过点(x0 , y0)的直线方程为

此直线成为二次曲线上切线唯一条件是

Φ(X, Y)≠0且∆=[F1(x0, y0)X +F2(x0, y0)Y]2-Φ(X, Y)⋅F(x0, y0)=0.由此解出X:Y，从而得(两条)切线的方程.

例1. 求以下二次曲线在所给点或通过所给点的切线方程.

（1）曲线3x2+4xy+5y2-7x-8y-3=0, 在点 (2, 1)；

（2）曲线x2+xy+y2＋x＋4y+3=0, 经过点 (-2, -1).

解：（1）F (x, y)= 3x2+4xy+5y2-7x-8y-3, F1(x, y)=3x+2y-, F2(x, y)=2x+5y-4,因为 F (2, 1)=12+8+5-14-8-3+=0，且

F1(2, 1)=≠0, F2(2, 1)=5≠0,

所以点(2, 1)是二次曲线上的正常点.

因此切线方程为(x-2)+5(y-1)=0，

化简得 9x+10y-28=0.

（2）F (x, y)= x2+xy+y2+x+4y+3, F1(x, y)=x+, F2(x, y)=, 因为F(-2, -1)=4≠0, 所以点 (-2, -1) 不在曲线上，而F1(-2, -1)= -2, F2(-2, -1)=0,

设所求切线方程为，

由 (-2X)2-4(X2+XY+Y2)=0 得

X1:Y1=-1:1, X2:Y2=1:0,

所以两条切线方程为与，

即x+y+3=0 与y+1=0.

例3. 已知曲线x2+4xy+3y2-5x-6y+3=0的切线平行于x+4y=0，求切线方程和切点坐标.

解：设切点为(x0, y0)，则切线方程为

x0x+2(x0y+xy0)+3y0y-(x+x0)-3(y+y0)+3=0,

即 (x0+2y0-)x+(2x0+3y0-3)y-x0-3y0+3=0,

由已知条件有

即 4(x0+2y0-)=2x0+3y0-3,

或 2x0+5y0-7=0, ①又切点在曲线上，从而

+4x0y0+3-5x0-6y0+3=0, ②

由①, ②解得切点为 (1, 1)，(-4, 3), 故所求切线方程为

x+4y-5=0 和x+4y-8=0.

例4. 试求经过原点且切直线4x+3y+2=0于点 (1,-2) 及切直线x-y-1=0于点 (0, -1) 的二次曲线方程.

解：因为二次曲线过原点 (0, 0)，所以设二次曲线为

a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y=0,

切线方程为 (x-x0)F1(x0, y0)+(y-y0)F2(x0, y0)=0,

还可写为F1(x0, y0)x+F2(x0, y0)y+F3(x0, y0)=0.

从而过点 (1, -2) 及 (0, -1) 的切线分别为

(a11-2a12+a13)x+(a12-2a22+a23)y+a13-2a23=0,

(-a12+a13)x+(-a22+a23)y-a23=0,

由题设它们应分别为4x+3y+2=0及x-y-1=0，故有

,

解得λ: μ = 1: -,

从而a11=6, a12 = , a22 = -1, a13= 1, a23= -,

故所求二次曲线为

6x2+3xy-y2+2x-y=0.

作业题：

1. 求以下二次曲线在所给点或经过所给点的切线方程.

(1) 曲线 5x2+7xy+y2-x+2y=0 在原点；

(2) 曲线 5x2+6xy+5y2=8经过点 (0, 2).

2. 已知曲线x2+xy+y2=3 的切线平行于x轴，求切线方程和切点坐标.