§5.3 二次曲线的切线
完整版二次曲线的一般理论
第五章二次曲线的一般理论§ 5.1 二次曲线与直线的相关位置1. 求直线x-y-1=0与二次曲线2x2 xy y2 x 2y 1 0的交点.解：将y=x-1代入曲线方程,得2 22x x x 1 x 1 x 2 x 1 1 0,即0 0故直线在二次曲线上•2. 试决定k的值,使得(1) 直线x y 5 0与二次曲线x23x y k 0交于两不同实点；⑵直线x 1 kt与二次曲线x23y24xy y 0交于一点；y k t⑶直线x ky 1 0与二次曲线y22xy (k 1)y 1 0交于两个相互重合的实点x 1 t⑷已知直线与二次曲线2x2 4xy ky2 x 2y 0有两个共轭虚点，求ky 1 t的值解：(1). 将y=x+5代入二次曲线方程,得2x 2x k 5 02Q 2 4 k 5 04k 16 0k 4时，直线与二次曲线有两个不同的实交点•1 2 0(2).二次曲线的矩阵为 2 3 1/20 1/2 0且v X，丫k,1 •, X o, y o 1,kk 1,3时,原直线与二次曲线交于一个实点k 49时，直线与二次曲线有两个共轭虚交点。
24§ 5.2 二次曲线的渐进方向、中心、渐进线1. 求下列二次曲线的渐进方向，并指出曲线是属于何种类型的.1 x2 2xy y 2 3x y 0; 222 3x 4xy 2y 6x 2y 5 0;3 2xy 4x 2y 30.11 解:(1) Q X,Y X2 2XY Y 2 0时，X : Y1:1，同时 I ?0,11曲线有一个实渐进方向，是抛物型的k,1 k 2 4k 3 0,则 k 1 1,k 2 3,1)当 k . 1 时,F , X o y o X F 2 X o ，y o Y 0, 2).当 k 23时，F1X 0, y 0 X F 2X 0, y 0 Y1513 0,2(3). 二次曲线的矩阵为(1 11 (1 k)/20 k)/2 1解之, v X,Yk,1 , X o ,y o1 0,即―4k 1 1,k 25,2k0,即 k 2 6k 50,1)当 1时, X,Y k,1 2k 0, 2)当5时, 1,5 时, X,Y直线与二次曲线有二重合实交点.k,12k 0,(4).二次曲线的系数矩阵为22 1/21/ 2 1 01:( 1)取(X 0,y0)(“)，令V0,即[2(1k)(1)]2 (k 2)(3 k) 0 解得k24，且此时(1,1) 24( 1) k28282 Q X,Y 3X 2 4XY 2Y 2 0时,X :Y且i 23 2 2 o, 22曲线有两个共轭的虚渐进方向，是椭圆型的.•••曲线有两个渐进方向，是双曲型的•2. 判断下列二次曲线是中心曲线，无心曲线还是线心曲线1 1解：(1) QI 21 0 ,故为中心曲线；1 21 2 1 2 Q A24 1711 1有I 21 2 0,且 9113]2a 1324a 12a 22a 23曲线为无心曲线；an a 12 a 13 1 ,且有 一一 一 3,-312a 22 a 23•••曲线为线心曲线. 3. 求下列二次曲线的中心 2 21 5x 2xy 3y 2x 3y 6 0;2 22 2x 5xy 2y 6x 3y 5 0;3 9x 2 30xy 25y 2 8x 15y 0;2 24 4x 4xy y 4x 2y 0.X;Y 0:1 或 1:0,且 *〈0,5x y 1解1由解得x13 2 2 1 x 2xy 2y 22 2 x 4xy 4y223 9x 6xy y4x 6y 3 0; 2x 2y 1 0;6x 2y 0.••中心为3 (, 13 )28 282x5 y 3 0 2 由 2解得x 1, y 2 5 2y 3 x2 2--中心为1,2 J3an ai 2 3 a134 Q ———a i2 a225 ^23 15 '2曲线没有中心.曲线为线心曲线，中心直线方程为2x-y+仁0.y y 。
5.3二次曲线的切线
奇点:
F1 ( x0 , y0 ) F2 ( x0 , y0 ) 0,
定理 5.3.1
如果 ( x0 , y0 ) 是二次曲线的正常点， ( x0 0 ) 如果 (( x0,,y0 ) 是二次曲线的奇异点， x0 y0
那么通过 ( x0 , y0 ) 的切线方程是(3)，( x0 , y0 ) 是它的切点.
x0 , y ) x0 那么通过 ((x0 , y0 ) 的切线不确定， 或者说通过点 ( ( x0 ,y00) 的
每一条直线都是二次曲线的切线.
( x x0 )F1( x0 , y0 ) ( y y0 )F2 ( x0 , y0 ) 0.
正常点才能 用
(3)
a11x0 x a12 ( x0 y xy0 ) a22 y0 y a13 ( x x0 ) a23 ( y y0 ) a33 0
证 把(5.3-3)改写为
(5.3-3)
xF1 ( x0 , y0 ) yF2 ( x0 , y0 ) [ x0 F1 ( x0 , y0 ) y0 F2 ( x0 , y0 )] 0 F ( x, y) xF1 ( x, y) yF2 ( x, y) F3 ( x, y) 0
பைடு நூலகம்
1 那么切线方程为 x0 x ( x0 y xy0 ) y0 y 1 0, 2
即
1 x0 x ( x0 y xy0 ) y0 y 1 0, 2 1 1 x0 y0 x x0 y0 y 1 0, 2 2
再根据本章开始时介绍得恒等式，上式又可写为
xF1( x0 , y0 ) yF2 ( x0 , y0 ) F3 ( x0 , y0 ) 0.
双曲线的切线方程总结(附证明)
双曲线的切线方程总结(附证明)
双曲线的切线方程总结（附证明）
引言
双曲线是高等数学中的一个重要概念，切线是与曲线相切的直线。
本文总结了双曲线的切线方程，并给出了相应的证明。
切线方程的一般形式
双曲线的一般方程为Ax^2 - By^2 = 1（其中A和B为常数），切线的一般方程为y = mx + c（其中m和c为常数）。
要找到双曲
线上某点处的切线方程，可以按照以下步骤进行计算。
步骤 1：求导
首先，对双曲线的一般方程进行求导，得到导数dy/dx。
步骤 2：求斜率
将求导后的导数代入点斜式y - y1 = m(x - x1)中，其中点(x1,
y1)为双曲线上的某点。
通过计算，可以得到切线的斜率m。
步骤 3：求截距
将得到的斜率m代入切线方程y = mx + c中，并将双曲线上的某点的坐标代入，可以求解出切线的截距c。
步骤 4：得出切线方程
将求得的斜率m和截距c代入切线方程y = mx + c中，即可得到双曲线上某点处的切线方程。
证明
利用数学推导和曲线的性质，可以证明以上步骤中得出的切线方程确实与双曲线相切。
具体证明过程较为繁琐，因此在此不再详述。
结论
本文总结了双曲线的切线方程的一般形式和计算步骤，并提供了相应的证明过程。
通过掌握这些内容，读者可以更好地理解双曲线的性质，进一步应用于实际问题中的解决。
---
注：此文档为简单总结，具体证明过程较为复杂，若需详细了解请参考相关数学教材及资料。
利用隐函数定理解高考中二次曲线的切线问题
利用隐函数定理解高考中二次曲线的切线问题导数给高中数学增添了新的活力，也是高考的热点内容.纵观历年高考，有很多导数试题与高等数学中的隐函数导数有关.本文是在高三备考复习中，对近些年来全国和若干省（市）高考数学卷中的把关题和压轴题做一些简单分析，旨在为备考初等数学与高等数学的衔接知识方面起抛砖引玉的作用.一、隐函数定理设函数F（x，y）在包含（x0，y0）的一个开集上连续可微，并且满足条件F（x0，y0）=0，Fy（x0，y0）≠0，则存在以（x0，y0）为中心的开方块D×E（D=（x0-δ，x0+δ），E=（y0-η，y0+η）），使得（1）对任何一个x∈D，恰好存在唯一的一个y∈E，满足方程F （x，y）=0.这就是说，方程F（x，y）=0确定了一个从D到E的函数y=f（x）；（2）函数y=f（x）在D连续可微，它的导数可按下式计算dydx=-Fx（x，y）Fy（x，y）.二、问题已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）.（Ⅰ）点P（x0，y0）是椭圆C上一点，求过P点的椭圆C的切线方程；（Ⅱ）点P（x0，y0）是椭圆C外一点，过P引椭圆C的切线PA、PB，点A、B为切点，求直线AB的方程.解：（Ⅰ）根据隐函数定理f′（x）=dydx=-2xa22yb2=-xb2ya2，过P的切线斜率k=-x0b2y0a2，过P的切线方程为y-y0=--x0b2y0a2（x-x0），整理得x0xa2+y0yb2=1.（Ⅱ）设切点A（x1，y1）、B（x2，y2），由（1）知切线PA：x1xa2+y1yb2=1，切线PB：x2xa2+y2yb2=1，由直线PA、PB的交点为P（x0，y0），所以直线AB的方程为x0xa2+y0yb2=1.三、推广命题1 已知圆C：（x-a）2+（y-b）2=r2.（1）点P（x0，y0）是圆C上一点，则过P点的圆C的切线方程为（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.（2）点P（x0，y0）是圆C：（x-a）2+（y-b）2=r2外一点，过P引圆C的切线PA、PB，点A、B为切点，则直线AB的方程为（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.命题2 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）.（1）点P（x0，y0）是双曲线C上一点，则过P点的双曲线C的切线方程为x0xa2-y0yb2=1.（2）点P（x0，y0）是双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）外一点，过P引双曲线C的切线PA、PB，点A、B为切点，则直线AB的方程为x0xa2-y0yb=1.命题3 已知抛物线C：x2=2py（p>0）.（1）点P（x0，y0）是抛物线C上一点，则过P点的抛物线C 的切线方程为x0x=2p・y0+y2.（2）点P（x0，y0）是抛物线C：x2=2py（p>0）外一点，过P引抛物线C的切线PA、PB，点A、B为切点，则直线AB的方程为x0x=2p・y0+y2.四、在高考中的应用图1【例1】如图1，以椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的中心为圆心，分别以a和b为半径作大圆和小圆.过椭圆右焦点F（c，0）（c>b）作垂直于x轴的直线交大圆于第一象限内的点A.连结OA交小圆于点B.设直线BF是小圆的切线.（Ⅰ）证明c2=ab，并求直线BF与y轴的交点M的坐标；（Ⅱ）设直线BF交椭圆于P、Q两点，证明OP・OQ=12b2.解：（Ⅰ）F（c，0），则A（c，b），所以OA的方程为y=bcx.由y=bcx，x2+y2=b2得B（bca，b2a），则根据隐函数定理，小圆O在B点的切线BF的方程为bcax+b2ay=b2，又该切线过点F（c，0），所以c2=ab，M（0，a），（Ⅱ）由（1）知切线BF的方程为cx+by=ab，由方程组x2a2+y2b2=1，cx+by=ab，得x1x2=a4b-a2b3a3+b3，y1y2=a2b3-a3b2a3+b3，x1x2+y1y2=a4b-a2b3a3+b3+a2b3-a3b2a3+b3=a3b（a-b）（a+b）（a2-ab+b2）.又c2=ab，a2=b2+c2，a2=b2+ab.a+b=a2b，a-b=b2a.x1x2+y1y2=a4b-a2b3a3+b3+a2b3-a3b2a3+b3=a3b（a-b）（a+b）（a2-ab+b2）=12b2，所以OP・OQ=x1x2+y1y2=12b2.图2【例2】在平面直角坐标系xOy中，有一个以F1（0，-3）和F2（0，3）为焦点、离心率为32的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量OM=OA+OB.求点M的轨迹方程.解：根据题意，椭圆半焦距长为3，半长轴长为a=ce=2，半短轴长b=1，即椭圆的方程为x2+y24=1.设点P坐标为（cosθ，2sinθ）（其中0所以点M的轨迹方程为（1x）2+（2y）2=1（x>0且y>0）.评析：例1是过圆上的点作圆的切线，例2是过椭圆上的点作椭圆的切线，都是研究切线的直线方程，是命题1的应用.【例3】如图3，设抛物线方程为x2=2py（p>0），M为直线y=-2p 上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，|AB|=410，求此时抛物线的方程；（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2=2py（p>0）上，其中点C满足OC=OA+OB（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）证明：由题意设M（x0，-2p），则根据隐函数定理，直线AB的方程为x0x=2p×-2p+y2，即x0x-py+2p2=0.由x0x-py+2p2=0，x2=2py得x2-2x0x-4p2=0，①图3即2x0=x1+x2.所以A、M、B三点的横坐标成等差数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x0=2时，直线AB的方程为2x-py+2p2=0，方程①即为x2-4x-4p2=0，因此x1+x2=4，x1x2=-4p2，kAB=2p.由弦长公式得|AB|=1+k2（x1+x2）2-4x1x2=1+4p216+16p2.又|AB|=410，所以p=1或p=2，因此所求抛物线方程为x2=2y或x2=4y.（Ⅲ）由（Ⅰ）知x1+x2=2x0，则y1+y2=2x20+4p2p.由题意得C（x1+x2，y1+y2），即C（2x0，2x20+4p2p）.当x0=0时，则x1+x2=2x0=0，此时，点M（0，-2p）符合题意.当x0≠0时，设D（x3，y3），由题意可得x23=2py3，y3-2x20+4p2px3-2x0=-px0，x0x3+2x02-py3+2x20+4p2p2+2p2=0.解关于x0，x3，y3的方程组，经验检该方程组无解.所以x0≠0时，不存在符合题意的M点.综上所述，仅存在一点M（0，-2p）符合题意.图4【例4】设点P（x0，y0）在直线x=m（y≠±m，0解：（Ⅰ）设A（xA，yA），N（xN，xN），AN垂直于直线y=x，则，yA-xNxA-xN=-1，xN=xA+yA2，N（xA+yA2，xA+yA2）.设G（x，y），则x=1m+xA+xA+yA23=13m+12xA+16yA，y=xA+yA2+yA3=16xA+12yA，解得xA=94x-34y-34m，yA=-34x+94y+14m，代入双曲线方程x2-y2=1，并整理得9（x-13m）22-9y22=1，即G点所在的曲线方程为（x-13m）229-y229=1.（Ⅱ）设P（m，y0），则根据隐函数定理得过P的双曲线切线方程为mx-y0y=1，又M（1m，0）满足上述方程，A、M、B三点共线.点评：例3是过抛物线外一点作抛物线的两切线，例4是过双曲线外一点作双曲线的两切线，都是研究切点弦所在的直线方程，是以上命题（2）的应用.五、评析（1）在近几年高考试题中有关过曲线上点的切线、曲线外一点引曲线的两切线的切点弦问题出现频率高，而且以压轴题为主.（2）用隐函数定理解这种题型比用常规方法（判别式法、转化为求导数、解方程组等）要省事.（3）这种题型具有明显的高等数学背景，它对进一步学习高等数学来说是非常必须的，具有较好的选拔功能，同时也具有导学和导教功能.。
二次曲线中点弦、切线、切点弦及双切线方程
＝（ｎｌａ２ ４－ａ；Ｏｘ；＋（ｂｌｂ２＋ｂ Ａ）《＋
（ａＩｂ２＋ａ２ｂ１）ＸＯＹｏ一
［（ａｌｂ２＋ａ２ｂ１）Ｙｏ＋２ａｌａ２名ｏ］名。一
［（ａＩｂ２＋ａ２ｂ１）茗ｏ＋２ｂＩｂ２Ｙｏ］Ｙｏ，
且口Ａ麟。算＋Ａ ｂｙｏｙ＝Ａ似：＋Ａ ６＿《．
从而，Ｏ；Ｘｏ髫＋ｂｙｏｙ＝鲋ｊ＋６扼．
这说明，点Ｍ（戈。，Ｙ。）关于双直线ＡＣ、
＼ ∥～ｙ ／ａ。＋２
Ｏ／
－ｘ
／
都成等角．证明：这
图６
样的折线只能位于
抛物线对称轴的一侧．
（第２２届全苏数学奥林匹克）
讲解：不妨设抛物线为Ｙ＝ａｘ２（ａ＞０）．
依次取折线上三个相邻的顶点Ａ；（并ｎａｘ；）
（ｉ＝ｎ，ｎ＋１，ｎ＋２，ｎＥ Ｎ）．
由抛物线在点Ａ。＋。处的切线方程（或求
导数）可知其斜率
ｋ七 ｌ２ｊ２：｝２－ａｋ＝ｘ＾忌Ａ＋ｎｌ一， ＋ｌ一Ａｎ．＋＋２．－－＝鼎掣叫＝凸Ｘ（ｎＸ＋ｎ２＋４＂Ｘ石ｎｎ＋＋Ｉ１）？）．
即５菇一７ｙ－鲁：ｏ．
所以，Ｑ也是ＭＮ的中点，即定点Ｑ平分 线段ＭＮ．
注：从曲线的含变化参数的方程（实际
上就是曲线系方程）求出曲线上的定点，是
证明曲线过定点的常规方法．由于本题中的
切点弦ＭＮ只依赖点Ｊｐ的位置，因此，使用切
点弦方程正是时机．证明点Ｑ平分线段ＭＮ
实际上是使用了同一法，同时也发挥了中点
弦方程的作用．
２００９年第８期
７
二次曲线中点弦、切线、切点弦及双切线方程
胡圣团
（湖南省澧县一中，４１５５００）
（本讲适合高中） １知识简介
记Ｇ（ｘ，Ｙ）＝Ａｘ２＋Ｂｘｙ＋Ｃｙ２＋Ｄｋ＋Ｅ｜ｙ＋Ｆ １．１二次曲线中点弦的方程
二次曲线的切线方程及应用
二次曲线的切线方程及应用[摘要] 本文主要利用隐函数求导的方法推导常见二次曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）上某点处的切线方程，并得出一般二次曲线的切线方程及切点弦方程，再将相应结论进行应用。
[关键词] 二次曲线切线方程切点弦方程有关二次曲线的切线方程及其应用问题，近年来在各类考试中出现的频率颇高，为更好地解决此专题的问题，笔者将常见二次曲线的切线方程及切点弦方程的有关结论及推导过程整理一遍，并简述其应用，以供广大教师及学生参考．1几个常见结论及推导1．在圆上一点处的切线方程为：．（注：为与求其它二次曲线的切线方程所用方法一致，这里利用涉及隐函数求导的方法来推导．）将圆的方程中的y视为关于x的函数（即y是x的隐函数），那么就可以在上式两边分别对x求导数．隐函数求导法则，实际与复合函数求导法则一致，将y看作中间变量，外函数是，内函数为，故．于是有：在两边分别对x求导，得，若，则有．由导数的几何意义知，曲线上某点处切线的斜率是该点的导数值．故对于圆上点，若，则有，此即为在点M处切线的斜率，故所求切线方程为．又，① 为所求．若，由图象可知，此时所求切线方程为：或．又，故所求切线方程为：或．也满足①式．故在圆上一点处的切线方程可统一写为：．2．在椭圆上一点处的切线方程为：．推导过程如下：在两边分别对x求导得：，对于点，若，则有，此即为在点M处切线的斜率．故所求切线方程为，又，故②为所求．若，此时所求切线方程为：或，也满足②式．故在椭圆上一点处的切线方程为：．3．在双曲线上一点处的切线方程为：③．注：推导过程与结论1和结论2的推导过程类似，可让学生动手推导，体会其中的思想．4．在抛物线上一点处的切线方程为：．在两边对x求导，得．对于点，若，则有，此即为在点M处的切线的斜率．故所求切线方程为，即，又在抛物线上，故，因此所求切线方程为：④．若，此时所求切线方程为：也满足④式．故在抛物线上一点处的切线方程为：．结论4的切线方程形式与前3个结论有些不同，引导学生从抛物线的方程的形式观察，得到结论：抛物线的切线方程实际上可写为，进而得到一般性的结论5．将以上四个结论推广，可得到以下结论：5．设是二次曲线上一点，则此曲线在点M处的切线方程为：⑤．注：二次曲线的方程中不含项．此结论推导过程可仿照上述结论的推导过程来完成，这里不再赘述．从结论5出发，进一步思考，若点在二次曲线外，则过点M可作曲线的两条切线，设切点分别为，那么由切点在曲线上及结论5可知，曲线在点A处的切线方程为，曲线在点B处的切线方程为，因点在切线上，故⑥，同理，⑦，综合⑥⑦得，点，的坐标都满足方程．因为经过点的直线是唯一的，故过点A,B的直线方程为：．由此，我们可以得到另一个结论：6．设是二次曲线外一点，则过点M可作曲线的两条切线，设切点分别为，则直线AB的方程（即切点弦方程）为：．由结论6，将曲线方程特殊化为高中常见的二次曲线方程，即可得到关于圆、椭圆、双曲线和抛物线的切点弦方程的相应结论．2应用有关切线方程及切点弦方程的考题，近几年均是热点，比如广州市2013届普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）（简称“广州市一模”）第20题，2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科/理科）第20题，2014年清华等七校自主招生考试（简称“华约卷”）第5题等．2013年广东高考的解析几何题虽和当年广州市一模的解析几何题有较大相似度，但考试结果仍不理想，文[1]指出，2013年的解析几何题“不仅加大了计算量，而且对计算的技巧性的要求大大增强，与压轴题的难度接近（第20题得分2.85分，第21题得分2.13）．”因此，有必要对切线方程及切点弦方程这一专题内容做一个梳理．现将2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学第20题展示如下：已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线 :的距离为 .设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线 ,其中为切点.(Ⅰ) 求抛物线的方程；(Ⅱ) 当点为直线上的定点时,求直线的方程；(Ⅲ) 当点在直线上移动时,求的最小值.略解：(Ⅰ)易得所求抛物线方程是：．(Ⅱ)利用第1部分的结论6，即得所求直线的方程（即切点弦方程）为：，即．（注：高考需将结论6的过程在答卷上推演一遍，因其不是高中课本内的结论.第(Ⅲ)小题解答略．）从此题的解答看，熟知第1部分的几个结论虽可立即得正解，但在高考题的作答中仍要将推导过程再演算一遍，似乎不太便捷，这是因为此题直接考查结论（求切点弦方程），若考查的是利用切点弦方程再求其它问题，那熟知结论的优越性立刻体现．请看2014年华约卷第5题：过椭圆上一点作圆的两条切线，切点为，设直线与轴、轴分别交于点，求的面积的最小值．解析：法一：设，由结论6知，直线的方程为：，，，故的面积．又点在椭圆上，故．由基本不等式得：，即（当且仅当时，等号成立），．，即的面积的最小值为．法二：（利用椭圆的参数方程求解）因点在椭圆上，故可设，由结论6知，直线的方程为：，故，的面积（当且仅当，即或时，等号成立），故的面积最小值为．解法一与解法二虽具体利用的知识不同，但其求解思路是一致的，关键的一步在于写出直线PQ的方程，而在自主招生或竞赛类考试中，直接写出二次曲线的切线方程或切点弦方程是允许的．因此，教师可将有关二次曲线的切线方程及切点弦方程问题形成一个小专题，根据学生水平及实际需要，适当讲解以上结论作为拓展，为学生获得更佳成绩打好基础．3小结由于高中阶段没有涉及到隐函数求导的内容，因此高考题在考纲范围内只能考查形如的抛物线的切点弦方程，对于一般水平的学生，教师只需讲透高中常见的解法即可．而第1部分的结论是常见二次曲线的有关切线方程和切点弦方程的结论，结论5、结论6将常见二次曲线的切线方程、切点弦方程统一起来，得到一般二次曲线的切线方程、切点弦方程．实践表明，对于能力较强的学生，是可以理解第1部分的几个结论的推导，并且利用这些结论对于他们应对自主招生或竞赛类考试有一定的帮助．参考文献[1] 彭建开.于平凡处见“真功夫”——2013年高考广东理科试题第20题解析[J].广东教育(高中版), 2013(7·8): 59-60．。
3二次曲线的切线和奇点
(5.3－1) (5.3－2)
( x − x0 ) F1 ( x0 , y 0 ) + ( y − y 0 ) F2 ( x0 , y 0 ) = 0
如果 F1 ( x0 , y 0 ) = F2 ( x0 , y 0 ) = 0，那么（7）变为恒等式，任意的方向 X : Y 都是二次曲线的切方向，从而切 线不确定，通过点 M0 (x0，y0)的任意直线都是二次曲线的切线． .2 二次曲线（1）上满足条件 F1 ( x0 , y 0 ) = F2 ( x0 , y 0 ) = 0 的点 (x0，y0) 叫做二次曲线的奇异点，简 定义 5.3 5.3.2 称为奇点．二次曲线上的非奇异点叫做二次曲线的正常点． .1 命题 5.3 5.3.1 如果 (x0 ， y0) 是二次曲线（ 1 ）的正常点，那么二次曲线通过点 ( x0 ， y0 ) 的切线方程是
§5.3 二次曲线的切线
.1 如果直线与二次曲线交于相互重合的两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线，重合的交 定义 5.3 5.3.1 点叫做切点．如果直线全部在二次曲线上，也称其为二次曲线的切线，此时直线上的每一点都可以看作切点． 设 M0 (x0，y0) 是二次曲线（1）上的任一点，则过 M0 的直线 l 的方程总可以写成（2）的形式： ⎧ x = x0 + X t ⎨ ⎩ y = y0 + Y t 代入（1）的方程得（5.2－1） ．欲使 l 成为（1）的切线，当 Φ ( X, Y ) ≠ 0 时，必须使判别式 Δ = [ XF1 ( x0 , y0 ) + YF2 ( x0 , y0 )] 2− Φ ( X , Y ) F ( x0 , y0 ) = 0 因为 M0 (x0，y0) 在二次曲线上，F (x0，y0 ) = 0，因而（6）变为 (6)
5.3二次曲线的切线
(x ,y )是它的切点. 如果(x ,y )是二次曲线(1)的奇异点，那
0 0 0 0
么通过(x ,y )的切线不确定，或者说过点(x ,y )的每一条
0 0 0 0
直线都是二次曲线(1)的切线.
推论 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点，那么 通过(x0,y0)的切线方程是： a11 x0 x + a12 ( x0 y + xy0 ) + a22 y0 y
设M0 (x0，y0) 是二次曲线（1)上的任一点，则过M0的直线l 的方程总可以写成下面的形式：
x = x0 + X t y = y0 + Y t
当Φ ( X, Y ) ≠ 0时，必须使判别式 ∆ = [ XF1 ( x0 , y0 ) + YF2 ( x0 , y0 )] 2 − Φ( X , Y ) F ( x0 , y0 ) = 0
《解析几何》 解析几何》 －Chapter 5
§3 二次曲线的切线
定义5.3.1 如果直线与二次曲线相交于相互重合的 定义 两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线 切线，这个 切线 重合的交点叫做切点 切点，如果直线全部在二次曲线上， 切点 我们也称它为二次曲线的切线，直线上的每个点都可 以看作切点.
x = x0 + F2 ( x0 , y0 )t y = y0 − F1 ( x0 , y0 )t
x − x0 y − y0 = F2 ( x0 , y0 ) − F1 ( x0 , y0 )
即： ( x − x0 ) F1 ( x0 , y0 ) + ( y − y0 ) F2 ( x0 , y0 ) = 0
二次曲线的切线与弦长
二次曲线的切线与弦长李嘉元（大理学院数学系，云南大理６７１０００）【摘要１二次曲线是解析几何研究的重要对象之一，而它的切线与弦的长度是二次曲线的两个非常重要的问题，本文对这两个问题给出相应的计算公式。
【关键词】二次曲线；切线；弦长；计算公式中图分类号：０２４１．６文献标识码：Ａ文章编号：ｃＮ５３—１１８０（２００２）０４—００２１一０２ｌ引言在解析几何的讨论和学习过程中，我们经常遇到讨论二次曲线的切线与弦长的问题，而这类问题探讨起来一般情况下计算量较大，比较复杂。
本文将给出相应的计算公式，使问题变得较为简单。
２二次曲线的切线二次曲线的一般方程为Ｆ（ｘ，Ｙ）＝ａｌｌｆ＋瓠２ｘｙ＋妞ｙ２＋砜３ｘ＋２劫ｙ＋曲，＝０（１）点（‰，峋）是（１）上的一个点。
下面我们来求通过点（Ｋ，ｙ０）且与（１）相切的切线的方程。
设过点（）（。
，ｖ０）的切线方程为（Ⅱｌｌ凳＋２口１２ｘＹ＋毗２铲）亡＋２｛（ｑ１１‰＋。
１ｄ。
＋Ⅱ】ｊｊｘ＋ｒｍ２勘＋Ⅱ２ｍ＋蚴ｊ列Ｅ＋ｒ嘞Ｊ蔚＋瓦Ｊ删ｙｏ＋ｑ２２菇＋２啦撕＋２毗批＋锄３，－ｏ（３）为计算方便，我们令ｎｒ％，∥＝ｍｍ＋８ｊｍ＋ｎⅡ疋ｆ勒，刊＝口Ｊ２肋＋啦啪＋蚴，由（ｘ．Ｙ）＝知凳＋２啦２ｘＹ＋啦譬则ｆ引可写成西｛Ｘ，Ｙ）·亡＋２、Ｆｌ（勒，如）·ｘ＋Ｆ２《渤．ｙ０）【收稿日期】：２００２—０６一１９【作者简介】：孛嘉元（１％５一），男（白族），云南洱源人讲师，主要从事数学教学研究·Ｙ１‘＋Ｆ｛‰，如）＝ｏｔ４ｊ要使ｒ２Ｊ成为二次曲线ｆ＂的切线的条件，当圣ｆ盖，ｙ）≠Ｏ时是△＝［ｘ—ｒ知，仲ｊ＋ｌＲｒ劫，ＫＪ］２一中ｒｘ，¨Ｆ（‰．靳ｌ＝ｏ｛．５１焦（靳，枷）在ｌ１）上，‘Ｆ（‰，如）＝ｏ砒（５》为ｘＦｌ《靳，№）＋ＹＦ２《‰，扣）＝ｏｉ６）当中ｒ五列＝Ｄ时，直线ｒ２ｊ成为二次曲线ｒ，Ｊ的切线的条件除了Ｆｒ∞，抑Ｊ＝０外，唯一的条件仍然是ｆ酬如果ｎｒ％，如Ｊ与托ｒ∞，肋Ｊ不全为零．那么由ｒ６Ｊ得：ｘ：Ｙ＝Ｆ２（‰，ｖｏ）：（一Ｆ１｛‰，如）），鼠此过ｆ‰，恂）的切线方程为：ｆｘ＝‰＋Ｒｒ勘，川ｌ或写成Ｉｙ；ｙ一一ｆ勘，ｙｏ）ｔｌｘ一‰）Ｆｌ｛％。
二次曲线的切线问题
二次曲线的切线问题洪江摘要：本文针对历年来的二次曲线的切线这个高考热点问题进行探讨。
其中主要介绍椭圆、双曲线、抛物线这三种二次曲线。
文中概述了切点在曲线上和曲线外时切线的求法，并以高考题目作为例子进行论述。
随后本文还讨论了切点所带来的切点弦问题、切点弦方程的求法及应用的关键。
最后还提出和总结了几种二次曲线中与切线相关的小性质，并且说明了其来源。
关键词：二次曲线；椭圆；双曲线；抛物线；切线；切点弦；性质An Study on Tangent Lines of ConicHongjiangAbstract: This study intends to discuss tangent lines of conic which has been a hot topic in National College Entrance Examination since these years. Firstly, it mainly exam Three parts of conic—Ellipse, Hyperbola, Parabola. This study summarizes ways to get tangent pains either on the curve or out of it and it also uses questions from NCEE to support it. Secondly, in this study, we discuss chord of contact which follows the tangent point, methods to work out equation of the cut point and how to use well. Finally, it also finds and summarizes some qualities of conic and shows their origins.Key words: Conic, Ellipse, Hyperbola, Parabola, Tangent, Quality二次曲线在高考中占着很重要的地位，往往是作为压轴题出场，特别是近年来其切线问题的应用的综合性问题更是一个热点。
关于二次曲线的切线及奇异点的探讨
且
［ ＸＦ１ｚ ，ｏ ＋ Ｙ （ ， ｏ］ 一 （ ｏ ） Ｆ２ ｏＹ ）
（ ， Ｆ（ 。 Ｙ ）＝ ０， ｘ ｙ） ｚ ， 。
的点 Ｍ０ｚ ， 。 （ 。 Ｙ ）叫做 二 次 曲线 的 奇 异 点 ； 次 曲线 二
的非 奇异 点 ， 叫做 二次 曲线 的正 常点．
二次 曲线 的奇异 点一 定是 二次 曲线 的中心． 定理［ 如 果 Ｍｏｚ ， 。 是 二 次 曲 线 （ ）的正 （。Ｙ ） １
１ 引 言 和 预 备 知 识
ａ ３ ＋ Ｙ ） ａ ３— ０ ２（ ｏ＋ ３ ．
（） ３
文 ［ ］给 出了二 次曲线 １
口 １ ２ ｌｘ ＋ ａ ２ 。 ｌＸ ＋ ａ ２ ｙ ２Ｙ 十
２ 二 次 曲线 的 切 线 的 求 法
（ｉ 过 二 次 曲线 上 的点 Ｍｏｚ ， ）的切线 的 ） （ 。
收 稿 日期 ： ０ ８— ０ ２０ ９— ２ ｌ 改 日期 ： ０ ８ １ ４修 ２ ０ — ２— ２ ． Ｏ
则 Ｍ】 是奇异 点 ， 否则 二次 曲线 （ ） 奇异点 。 二次 １无 若
曲线 （）是线 心 曲线 ， 出中心 直线 ｚ如果 ｚ １ 求 ， 上存 在
点 Ｍ（ ３ ｘ，， ）在二 次 曲线 （ ）上 ， ｌ １ 则 上所 有点 都为 奇
二次 曲线 的切 线有 两种 可能 的情况 ： 一是具 有非 切线 的方 向 ， Ｘ ： 则 Ｙ满足
解析几何课5二次曲线
上一页
下一页
返回
2. ( X , Y ) 0，这时又可分三种情况 ：
1 F1 ( x0 , y0 ) X F2 ( x0 , y0 ) Y 0. 此 时(4)是 关 于t的 一 次 方 程 , 直 线( 2)与 二 次 曲 线 (1)有 唯 一 实交点 . 2 F1 ( x0 , y0 ) X F2 ( x0 , y0 ) Y 0.
定义5.2.3 如果点C是二次曲线的通过它的所有 弦的中点(C是二次曲线的对称中心)，那么点C叫 做二次曲线的中心. 定理5.2.1 点C(x0 ,y0)是二次曲线(1)的中心，其 充要条件是： F1 ( x0 , y0 ) a11 x0 a12 y0 a13 0 (5.2 1) F2 ( x0 , y0 ) a12 x0 a22 y0 a23 0 推论 坐标原点是二次曲线的中心，其充要条 件是曲线方程里不含x与y的一次项.
F2(x0,y0)=0的点(x0,y0)叫做二次曲线的奇异点，简称 奇点；二次曲线的非奇异点叫做二次曲线的正常 点.
下一页
返回
定理5.3.1 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点， 那么通过(x0,y0)的切线方程是 (x-x0)F1 (x0,y0)+ (y-y0)F2 (x0,y0)=0， (x0,y0)是它的切点. 如果(x0,y0)是 二次曲线(1)的奇异点，那么通过(x0,y0)的切线不确 定，或者说过点(x0,y0)的每一条直线都是二次曲线(1) 的切线. 推论 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点，那么 通过(x0,y0)的切线方程是：
上一页
返回
§5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线
1.二次曲线的渐近方向 定义5.2.1满足条件Φ(X,Y)=0的方向X:Y叫做 二次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向. 定义5.2.2没有实渐近方向的二次曲线叫做 椭圆型的，有一个实渐近方向的二次曲线叫做 抛物线型的，有两个实渐近方向的二次曲线叫 做双曲型的. 即1)椭圆型：I2>0 2)抛物型： I2＝0 3)双曲型： I2<0
二元二次方程的切线方程
二元二次方程的切线方程
一、定义和公式
切线方程是数学中用于描述曲线在某一点的切线的方程。
对于二元二次方程，其一般形式为 f(x, y) = 0。
在曲线上某点 (x0, y0) 处的切线方程可以由以下公式给出：
[f_x(x0, y0)][x - x0] + [f_y(x0, y0)][y - y0] = 0
其中，f_x 和 f_y 是二元二次方程 f(x, y) 关于 x 和 y 的偏导数。
二、点斜式
点斜式是一种描述直线方程的方法，特别适用于已知一点和斜率的情况。
对于二元二次方程在点 (x1, y1) 处的切线，其方程可以表示为：y - y1 = m(x - x1)
其中，m 是切线的斜率。
三、切线斜率
切线的斜率是描述切线在某一点与x轴形成的角度的量。
对于二元二次方程，在给定点 (x0, y0) 的切线斜率 k 可以通过以下公式求出：
k = - [f_y(x0, y0)] / [f_x(x0, y0)]
四、切线方程的求解
已知切线的斜率和过的一点，我们可以使用点斜式来求解切线方程。
设已知斜率为 m，过点 (x1, y1)，则切线方程为：
y - y1 = m(x - x1)
五、切线的几何意义
在几何学中，切线有着重要的意义。
对于二元二次方程的切线，其几何意义是描述曲线在某一点处的变化趋势。
切线的斜率表示曲线在该点的变化率，即当 x 或 y 发生微小变化时，y 或 x 的变化量。
因此，通过研究切线的性质和斜率，我们可以更好地理解曲线的性质和变化趋势。
自招竞赛课程数学讲义：二次曲线中点弦、切线、切点弦及双切线方程(1)【学生版】
自招竞赛数学“二次曲线中点弦、切线、切点弦及双切线方程（1）”讲义编号：这是解析几何中应用做广的知识点，在高考压轴题中也会经常出现，如果能熟练掌握，不仅仅对于自招竞赛有好处，对于高考做题的速度也有促进作用。
二次曲线中点弦、切线、切点弦及双切线方程（1）重在知识梳理和初步的知识应用（例1-例3）。
二次曲线中点弦、切线、切点弦及双切线方程（2）重在知识进一步的应用（例4-例7）和练习巩固。
1.（2013年高考数学陕西卷理科第20题）已知动圆过定点(4,0)A，且在y轴上截得的弦MN的长为8。
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程；（Ⅱ）已知点(1,0)∠、，若x轴是PBQ B-，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P Q 的角平分线，证明直线l过定点。
2. 如图，P 是抛物线22y x =上的动点，点B 、C 在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC 。
求PBC面积的最小值。
知识梳理记22(,)G x y Ax Bxy Cy Dx Ey F =+++++ ➢ 二次曲线中点弦的方程设(,)(1,2)i i i P x y i =是曲线(,)0G x y =的弦12P P 的两个端点，000(,)P x y 是弦12P P 的中点，则 221111110,Ax Bx y Cy Dx Ey F +++++= ① 22010101010101(2)(2)(2)(2)(2)(2)0A x xB x x y yC y yD x xE y yF -+--+-+-+-+=②-①②得00010001(2)()(2)()0Ax By D x x Cy Bx E y y ++-+++-=因为0101(,)x x y y --是弦12P P 的方向向量，所以，0000(2,2)Ax By D Cy Bx E ++++是弦12P P 的法向量。
因此，弦12P P 的方程是000000(2)()(2)()0Ax By D x x Cy Bx E y y ++-+++-=为记忆方便，上述方程可整理为00000022000000222.x y xy x x y yAx x B Cy y D E FAx Bx y Cy Dx Ex F ++++⋅++⋅+⋅+=+++++ ➢ 二次曲线的切线方程当曲线(,)0G x y =的弦12P P 的两个端点(,)(1,2)i i i P x y i =重合时，(,)(0,1,2)i i i P x y i =三点重合于曲线上一点000(,)P x y ，直线12P P 就是曲线(,)0G x y =在点0P 处的切线。
双曲线切线的一条性质
双曲线切线的一条性质双曲线是广泛应用在几何学中的一种曲线，它包括一系列名为椭圆、双曲线和偏心圆的曲线，他们都属于二次曲线，也就是说它们都可以通过y = ax2 + bx + c这样一个二次方程来构造，同时双曲线也是子树今平面几何中很常用的空间曲线。
在双曲线几何学里，双曲线的切线是很重要的内容，据此，双曲线的切线的一条显著的性质就是：双曲线切线的斜率是一个常数。
斜率的定义：用函数y = f（x）表示的一条曲线上任意两点（x1，y1），（x2，y2），斜率的定义为两点坐标的变化量m= (y2-y1)/(x2-x1)，也可以用M =dy/dx或者f(x)（代表函数f（x）的导数）来表示。
因此，双曲线切线的斜率K可以表示为以下公式：K=dy/dx=-(ax2 + b)/(2ay + c)从上面的公式可以看出，双曲线切线的斜率一定是一个常数，而且该常数的值对于双曲线的定义式里的a，b，c的取值是有关系的。
另外，双曲线切线的斜率K的值也会受双曲线的定义式里的系数a，b，c的影响，特别是当a，b，c取值不同时，双曲线切线的斜率也会有所不同。
例如，双曲线y2=x2-2x+3，该双曲线的一条切线的斜率K=-1，该双曲线对称轴y=1，其切线斜率K=-2，而双曲线y2=-x2+2x-3，该双曲线的一条切线的斜率K=1，该双曲线对称轴y=-1，其切线斜率K=2。
可见，双曲线的切线斜率是一个常数，这个常数值不仅受到双曲线定义式里的系数a，b，c的影响，也受到双曲线的对称轴的影响，比如对称轴的取值会影响双曲线的切线斜率的正负，此外，双曲线的切线斜率也与双曲线形状的变化有关系，特别是当双曲线有极大值或者极小值时，双曲线的切线斜率也会有所变化。
因此，可以将双曲线的切线斜率常数K作为双曲线的一条重要性质，它不仅可以帮助对双曲线局部形状进行研究，也可以帮助分析双曲线的变化。
总之，双曲线的一条显著的性质就是切线的斜率是一个常数，这个常数的取值受到双曲线定义式里的系数a，b，c的影响，也受到双曲线的对称轴的影响；此外，双曲线切线斜率也与双曲线形状的变化有关系，对双曲线局部形状进行研究和分析双曲线的变化，可以利用双曲线的切线常数K作为一种技巧。
二次曲线切点弦方程
二次曲线切点弦方程二次曲线和直线的切点是指直线与二次曲线在某一点上相切的现象。
直线与二次曲线在切点处有相同的斜率，也就是说它们在这一点上有相同的切线。
切点的存在与否取决于直线与二次曲线的位置和方向。
要求二次曲线和直线的切点的弦方程，首先要确定二次曲线和直线的方程，然后找到它们的切点坐标，最后建立切点的弦方程。
下面我将详细介绍如何求解二次曲线和直线的切点弦方程。
1. 求二次曲线和直线的方程假设给定的二次曲线方程为$y=ax^2+bx+c$，直线方程为$y=mx+n$。
我们首先要找到二次曲线和直线的交点坐标，即联立这两个方程求解$x$和$y$的值。
将直线方程代入二次曲线方程，得到：$ax^2+bx+c=mx+n$移项整理得到：$ax^2+ (b-m)x +(c-n)=0$这是一个二次方程，求解得到$x$的两个解，即二次曲线和直线的交点的横坐标。
将$x$的值代入直线方程或二次曲线方程，即可得到对应的纵坐标。
2. 计算切点的坐标找到二次曲线和直线的交点坐标后，我们需要进一步计算这个交点处的切点坐标。
切点是指直线与二次曲线在该点上相切的点，也就是说它们在这一点上有相同的切线。
切线的斜率是直线和曲线在切点处的斜率，我们可以通过导数的方法来求解。
求二次曲线$y=ax^2+bx+c$的导数得到$y'=2ax+b$，直线$y=mx+n$的斜率为$m$。
因为在切点处切线的斜率应该相等，所以我们有：$2ax+b=m$将切点坐标代入上式，可以解出切线的斜率。
然后代入切点坐标和切线斜率，求解出切点的坐标。
3. 建立切点的弦方程求解出切点的坐标后，我们可以建立切点的弦方程。
弦是连接两个点的直线，我们可以利用两点式来建立弦方程。
设切点坐标为$(x_1,y_1)$，且经过另一个点$(x_2,y_2)$，则弦方程为：$\frac{y-y_1}{x-x_1} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$将切点坐标和另一个点的坐标代入上式，即可得到切点的弦方程。
二次曲线中点弦_切线_切点弦及双切线方程
相交 ,当 0 < t < 1 时 , 圆 ( x - 1 ) 2 + y2 = 1 是
△PB C 的旁切圆 ,所以 , t > 1.
于是 , yB
=1
t +
, t
yC
=t 1-
, t
BC
= 1
t+t
1
t -
t
=
2 t2 t2 -
. 1
故
S△PB C
=
1 2
B
C
|
xP
|
=
1 2
· 2 t2 t2 -
中心 , F为焦点 ,
P 为椭圆上的一
点 , CD 为 通 过
O 的弦且平行
于过 P 的切线 ,
直线 PF 与 CD
(或 其 延 长 线 )
图4
交于点 Q. 证明
或否定 PQ =OA =OB.
讲解 :设椭圆方程为
x2 a2
+
y2 b2
=1
( a > b >0).
设 P ( acosθ, bsinθ) . 则过点 P的椭圆的
y
+ 2
xy0
+ Cy0 y +
D·x0 + x + E·y0 + y + F
2
= 0 ( ≠0) .
2
2
把双切线交点 P0 ( x0 , y0 )代入上述方程
8
可以确定 ,进而求出双切线方程.
2 四种方程的应用
例 1 如
图 1, P 是抛物
线 y2 = 2x上的
动 点 , 点 B、C
在 y 轴上, 圆
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§5.3 二次曲线的切线
一、概念
1. 定义1：如果直线与二次曲线交于相互重合的两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线，这个重合的交点叫做切点；如果直线全部在二次曲线上，我们也称它为二次曲线的切线，直线上的每一个点都可以看作切点.
2.定义2：二次曲线F(x, y)=0上满足条件F1(x0, y0)=F2(x0, y0)=0的点(x0, y0)叫做二次曲线的奇异点，简称奇点；二次曲线的非奇异点叫做二次曲线的正常点. 奇点是中心，但中心不一定是奇点.
注：(1) 二次曲线有奇点的充要条件是I3= 0，
(2) 二次曲线的奇点一定是二次曲线的中心，但反之不然.
二、切线求法
1.已知切点求切线：
设点(x0, y0)是二次曲线F(x, y)=0上的点, 则通过点(x0, y0)的直线方程总可以写成
那么此直线成为二次曲线切线的条件，当Φ(X, Y)≠0时
∆=[F1(x0, y0)X +F2(x0, y0)Y]2-Φ(X, Y)⋅F(x0, y0)=0.
因为点 (x0, y0) 在二次曲线上，所以F(x0, y0)=0；因而上式可化为
F1(x0, y0)X +F2(x0, y0)Y=0.
当Φ(X, Y)= 0时除了F(x0, y0)=0外，唯一的条件仍然是
F1(x0, y0)X +F2(x0, y0)Y=0.
(1)如果点(x0, y0)是二次曲线F (x, y)=0的正常点：那么由以上条件得
X:Y = F2(x0, y0)：(-F1(x0, y0))，
因此切线方程为
或写成，
或 (x-x0)F1(x0, y0)+(y-y0)F2(x0, y0)=0，
其中 (x0, y0) 是它的切点；
(2)如果点 (x0, y0) 是二次曲线F (x, y)=0的奇异点，即F1(x0, y0)=F2(x0, y0)=0，则切线方向X:Y不能唯一地被确定，从而通过点 (x0, y0)的切线不确定,这时通过点 (x0, y0) 的任何直线都和二次曲线F (x, y)=0相交于相互重合的两点，我们把这样的直线也看成是二次曲线的切线.
这样我们就得到
定理1：如果点(x0, y0) 是二次曲线F (x, y)= 0的正常点，则通过点(x0, y0)的切线方程是 (x-x0)F1(x0, y0)+(y-y0)F2(x0, y0)=0，(x0, y0)是它的切点.
如果点 (x0, y0) 是二次曲线F (x, y)=0的奇异点，则通过点 (x0, y0) 的每一条直线都是二次曲线F (x, y)=0的切线.
推论：如果点 (x0, y0) 是二次曲线F (x, y) = 0的正常点，则通过点 (x0, y0) 的切线方程是a11x0x + a12(x0y+xy0)+a22y0y+a13(x+x0)＋a23(y+y0)+a33=0.
证明：过点(x0, y0) 的切线方程可改写成
xF1(x0, y0)+yF2(x0, y0)-[x0F1(x0, y0)+y0F2(x0, y0)]=0,
那么xF1(x0, y0)+yF2(x0, y0)+ F3(x0, y0)-[x0F1(x0, y0)+y0F2(x0, y0)+ F3(x0, y0)]=0,则有xF1(x0, y0)+yF2(x0, y0)+ F3(x0, y0)=0,
即 x(a11x + a12y+a13)+y(a12x + a22y+a23)+( a13x + a23y+a33)=0,
从而得a11x0x + a12(x0y+xy0)+a22y0y+a13(x+x0)＋a23(y+y0)+a33=0.
2.已知二次曲线外一点，求过此点的切线：
设点(x0 , y0)不是二次曲线上的点，即F(x0 , y0)≠0, 则过点(x0 , y0)的直线方程为
此直线成为二次曲线上切线唯一条件是
Φ(X, Y)≠0且∆=[F1(x0, y0)X +F2(x0, y0)Y]2-Φ(X, Y)⋅F(x0, y0)=0.由此解出X:Y，从而得(两条)切线的方程.
例1. 求以下二次曲线在所给点或通过所给点的切线方程.
（1）曲线3x2+4xy+5y2-7x-8y-3=0, 在点 (2, 1)；
（2）曲线x2+xy+y2＋x＋4y+3=0, 经过点 (-2, -1).
解：（1）F (x, y)= 3x2+4xy+5y2-7x-8y-3, F1(x, y)=3x+2y-, F2(x, y)=2x+5y-4,因为 F (2, 1)=12+8+5-14-8-3+=0，且
F1(2, 1)=≠0, F2(2, 1)=5≠0,
所以点(2, 1)是二次曲线上的正常点.
因此切线方程为(x-2)+5(y-1)=0，
化简得 9x+10y-28=0.
（2）F (x, y)= x2+xy+y2+x+4y+3, F1(x, y)=x+, F2(x, y)=, 因为F(-2, -1)=4≠0, 所以点 (-2, -1) 不在曲线上，而F1(-2, -1)= -2, F2(-2, -1)=0,
设所求切线方程为，
由 (-2X)2-4(X2+XY+Y2)=0 得
X1:Y1=-1:1, X2:Y2=1:0,
所以两条切线方程为与，
即x+y+3=0 与y+1=0.
例3. 已知曲线x2+4xy+3y2-5x-6y+3=0的切线平行于x+4y=0，求切线方程和切点坐标.
解：设切点为(x0, y0)，则切线方程为
x0x+2(x0y+xy0)+3y0y-(x+x0)-3(y+y0)+3=0,
即 (x0+2y0-)x+(2x0+3y0-3)y-x0-3y0+3=0,
由已知条件有
即 4(x0+2y0-)=2x0+3y0-3,
或 2x0+5y0-7=0, ①又切点在曲线上，从而
+4x0y0+3-5x0-6y0+3=0, ②
由①, ②解得切点为 (1, 1)，(-4, 3), 故所求切线方程为
x+4y-5=0 和x+4y-8=0.
例4. 试求经过原点且切直线4x+3y+2=0于点 (1,-2) 及切直线x-y-1=0于点 (0, -1) 的二次曲线方程.
解：因为二次曲线过原点 (0, 0)，所以设二次曲线为
a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y=0,
切线方程为 (x-x0)F1(x0, y0)+(y-y0)F2(x0, y0)=0,
还可写为F1(x0, y0)x+F2(x0, y0)y+F3(x0, y0)=0.
从而过点 (1, -2) 及 (0, -1) 的切线分别为
(a11-2a12+a13)x+(a12-2a22+a23)y+a13-2a23=0,
(-a12+a13)x+(-a22+a23)y-a23=0,
由题设它们应分别为4x+3y+2=0及x-y-1=0，故有
,
解得λ: μ = 1: -,
从而a11=6, a12 = , a22 = -1, a13= 1, a23= -,
故所求二次曲线为
6x2+3xy-y2+2x-y=0.
作业题：
1. 求以下二次曲线在所给点或经过所给点的切线方程.
(1) 曲线 5x2+7xy+y2-x+2y=0 在原点；
(2) 曲线 5x2+6xy+5y2=8经过点 (0, 2).
2. 已知曲线x2+xy+y2=3 的切线平行于x轴，求切线方程和切点坐标.。