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数学模型复习题1、)(t x 为连续函数，初值条件0)0(x x =，假设其增长率为常数r ，显然有t t rx t x t t x ∆=-∆+)()()(，则其满足微分方程 ；微分方程满足初值条件的解为 ；这个模型称为 。

阻滞增长模型的形式的微分形式 ；求解得到的曲线称为 曲线。

2、叙述数学建模的一般步骤模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用 从思想上理解。

3、简述数学模型按以下方面的分类：按应用领域可分为：人口、交通、能源、环境、经济、规划等等；按建立模型的数学方法可分为：初等数学模型、几何模型、微分方程模型、统计回归模型、数学规划模型等等；按模型的表现特征可以分为：确定性和随机性、线性和非线性、静态和动态、连续与离散等等。

可以灵活理解。

4、在超市购物时你可能注意到大包装商品比小包装商品便宜，比如中华牙膏65g 每支2.5元，120g 每支3.8元，二者单位重量的价格比约为1.21：1。

（1）分析商品单位重量价格C 与商品重量w 的关系。

价格由生产成本、包装成本和其他成本所决定，这些成本中有的与体积成正比、有的与表面积成正比、有的与体积（重量w ）无关。

（2）给出单位重量价格C 与w 的关系，画出它们的简图。

说明w 越大C 越小，但是随着w 的增加C 减小的速度变慢，解释其意义是什么？5、2010级新生入学后，统计与应用数学学院共有在校学生1055人，其中统计学专业520人，信息与计算科学专业265人，数学与应用数学专业270人。

要在全院推选23名学生组成学生代表团，试用下面的方法分配各专业的学生代表：（1）按比例分配取整的方法，剩下的名额按惯例分配给小数部分较大者； （2）用Q 值方法进行分配。

6、工厂定期订购原料，存入仓库供生产之用。

设在一个生产周期T 内，原料每天的需求量为常数r，每次的定货费用为1c ，每天每单位原料的存储费为2c ，订货后可立即到货，每次订货量为Q 。

（1）建立一周期的总费用函数（包括订货费与库存费，购货费是常数可不予考虑）； （2）为使每天的平均费用最小，求最佳订货批量Q 、订货周期T 和最小成本C 。

7、一饲养场每天投入4元资金用于饲料、设备、人力，估计可使一头80公斤重的生猪每天体重增加2公斤。

目前生猪的出售价格为每公斤8元，但是预测价格每天降低0.1元。

（1）问该饲养场应该在什么时候出售这样的生猪最划算？（2）在最佳出售时机的价格之下，作体重增加关于时间的弹性分析，并对弹性分析作出相应的解释；（3）在最佳出售时机的价格之下，作价格的降低关于时间的弹性分析，并对弹性分析作出相应的解释；8、利润)(p U 是销售收入)(p I 与生产支出)(p C 之差，p为每单位商品的售价，即)()()(p C p I p U -=。

dpdI称为 ；dp dC 称为 ；dpdU 称为 ；利润最大化的条件是 。

给定px p I =)(，qx p C =)(，需求函数bp a p x -=)(，0,,>q b a 已知（1）建立利润函数的表达式；（2）利用上述条件求利润最大化时的价格。

9、消费者对甲、乙两种商品的效用曲线（无差异曲线）),(21q q U ，问他如何利用手中的钱s 购买两种单价分别为1p 和2p 的商品以达到效用最大。

（1）建立效用最大化的数学规划模型；（2）利用Lagrange 乘数法求出利润最大化的条件，并对结果进行解释。

（3）对于上述模型，推广到n商品的情况。

10、某工厂加工A ，B ，C 三种元件，三种元件在粗加工、精加工包装检验三个车间所需要单位工时，可获最大利润。

（1Max=30*x1+20*x2+50*x3; X1+2*x2+x3<430; 3*x1+2*x3<460; X1+4*x2<420;（2）对于你建立的线性规划模型，利用LINGO10.0求解结果如下：请你进行对偶价格分析和进行全面的灵敏度分析（目标函数的系数和约束条件右断的常数项），并作出解释。

Global optimal solution found.Objective value: 13500.00 Total solver iterations: 2Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 40.00000 X2 100.0000 0.000000 X3 230.0000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 13500.00 1.000000 2 0.000000 10.00000 3 0.000000 20.00000 4 20.00000 0.000000 Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient RangesCurrent Allowable AllowableVariable Coefficient Increase Decrease X1 30.00000 40.00000 INFINITY X2 20.00000 80.00000 20.00000X3 50.00000 INFINITY 26.66667Righthand Side RangesRow Current Allowable AllowableRHS Increase Decrease2 430.0000 10.00000 200.00003 460.0000 400.0000 20.000004 420.0000 INFINITY 20.0000011、某疗养院营养师要为病人拟订本周菜单。

可供选择的蔬菜及其费用和所含营养成Min=0.15*x1+0.15*x2+0.24*x3+0.06*x4+0.18*x5+0.1*x6;0.45*x1+0.45*x2+1.05*x3+0.4*x4+0.5*x5+0.5*x6>6;10*x1+28*x2+50*x3+25*x4+22*x5+75*x6>325;415*x1+9065*x2+2550*x3+75*x4+15*x5+235*x6>17500;8*x1+3*x2+53*x3+27*x4+5*x5+8*x6>245;0.3*x1+0.35*x2+0.6*x3+0.15*x4+0.25*x5+8*x6>5;对于你建立的线性规划模型，利用LINGO10.0求解结果如下：写出对偶线性规划问题，并指出对偶规划问题的最优解；请你进行对偶价格分析和进行全面的灵敏度分析（目标函数的系数和约束条件右断的常数项），并作出解释。

Global optimal solution found.Objective value: 1.057771Total solver iterations: 0Variable Value Reduced CostX1 0.000000 0.7908464E-01X2 1.818497 0.000000X3 0.000000 0.6040132E-01X4 12.56693 0.000000X5 0.000000 0.1055289X6 0.3098109 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 1.057771 -1.0000002 0.000000 -0.14715093 63.32691 0.0000004 0.000000 -0.9125189E-05 5 102.2410 0.0000006 0.000000 -0.3035017E-02 Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient RangesCurrent Allowable AllowableVariable Coefficient Increase Decrease X1 0.1500000 INFINITY 0.7908464E-01 X2 0.1500000 0.2308013 0.8192000E-01 X3 0.2400000 INFINITY 0.6040132E-01 X4 0.6000000E-01 0.1923420E-01 0.5698966E-01 X5 0.1800000 INFINITY 0.1055289 X6 0.1000000 2.971263 0.2370241E-01 Righthand Side RangesRow Current Allowable AllowableRHS Increase Decrease2 6.000000 6.517810 1.0480613 325.0000 63.32691 INFINITY4 17500.00 34276.90 16325.285 245.0000 102.2410 INFINITY6 5.000000 31.53571 2.41951412、用)(t x 和)(t y 分别表示甲乙交战双方时刻t的兵力（人数），每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力,分别为),(),,(y x g y x f ；每一方的非战斗减员率（由疾病、逃跑等因素引起）只与本方的兵力成正比；甲乙双方的增援率是给定的时间的函数，分别为)(),(t v t u 。

则兵力变化的微分方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+--=+--=)(),()(),(t v y y x g dtdyt u x y x f dt dxβα 根据以下条件，求出甲乙兵力的函数，分析甲、乙方获胜的条件。

正规战争：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=00)0(,)0(y y x x bx dtdyaydt dx游击战争：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=00)0(,)0(y y x x dxy dtdycxydt dx混合战争：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=00)0(,)0(y y x x bx dtdycxydt dx13、在经济增长模型中，为了适用于不同的对象，可将产量函数折算成现金，考虑到物价上涨因素，我们记物价上升指数为)1)0()((=p t p ，则产品的表面价值)(t y 、实际价值)(t Q 和物价指数)(t p 之间有关系)()()(t p t Q t y =。

（1）导出)(),(),(t p t Q t y 的相对增长率之间的关系，并作出解释；（2）设雇佣工人数为)(t L ，每个工人的工资)(t w ，其他成本)(t C 企业的利润函数为)()()()()()()()()()(t C t w t L t p t Q t C t w t L t y t R --=--=根据Cobb —Douglas 生产函数)()()(1t k t aL t Q rr -=讨论，企业应雇佣多少工人可使利润最大？ 14、记时刻t 渔场中的鱼量为)(t x ，在无捕捞的条件下)(t x 的增长服从Logistic 规律⎪⎭⎫ ⎝⎛-=N x rx dx dx 1其中r 是固有增长率，N 是环境容许的最大鱼量。