人教版高中数学全套教案导学案241平面向量的数量积的物理背景及其含义教学案

2. 4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义

一、教材分析

本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律. 二．教学目标

1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；

2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；

3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。

三、教学重点难点

重点： 1、平面向量数量积的含义与物理意义，2、性质与运算律及其应用。

难点：平面向量数量积的概念

四、学情分析

我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距。有些学生对于基本概念不清楚，所以讲解时需要详细

五、教学方法

1．实验法：多媒体、实物投影仪。

2．学案导学：见后面的学案。

3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习

六、课前准备

1．学生的学习准备：预习学案。

2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。。

七、课时安排：1课时

八、教学过程

(一)预习检查、总结疑惑

检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

（二）情景导入、展示目标。

创设问题情景，引出新课

1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。

2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？

期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用

、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向3．量数量积的物理背景及其含义（三）合作探究，精讲点拨探究一：数量积的概念：1、给出有关材料并提出问题3

F

S，（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移α那么力F所做的功：W= |F| |S| cos。（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：αS

量，①W（功）是量，F②（力）是

（位移）是③S 量，。④α是?

）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗（3 期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积 2、明晰数量积的定义数量积的定义：（1）??aabb b叫做，我们把数量cos已知两个非零向量︱︱与，它们的夹角为︱·︱?aaaabbbb，即：︱·︱·cos=与的数量积（或内积），记作：︱·︱）定义说明：（2ab?”代替。①记法“”不可以省略，也不可以用“·”中间的“·②“规定”：零向量与任何向量的数量积为零。：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小）提出问题4（3 的因素有哪些？期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大小不

ab仅和向量的模有关，还和它们的夹角有关。与）学生讨论，并完成下表：（4????°的范围°≤0°°≤0° <90< =90180 ab·的符

aaaabbbb的夹角⊥，③与1 例：已知｜｜＝３，｜｜＝６，当①∥，②ab.·60°时，分别求是

aabb同向，则它们的夹角θ解：①当与∥＝０°，时，若aabb｜·｜18｜∴cos0°＝3×6×1＝·；＝｜aｂθ＝180°，与反向，则它们的夹角若aabb｜｜｜cos180°＝3×6×（·-1）＝－＝｜18∴；ab⊥时，它们的夹角θ②当＝90°，ab∴·＝０；ab与③当60°时，有的夹角是1aabb9 ＝｜｜·｜cos60°＝3×6×＝｜2，因此，两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］评述：

ab.

180°两种可能∥时，有当0°或aaabbbb ttt的、，求使与|+变式：值，并求此时对于两个非零向量+|最小时的夹角。

探究二：研究数量积的意义 1.给出向量投影的概念：

??ab如图，我们把│cos│cos）（││aabb在方向上）的投影，叫做向量方向上（在?b 记做：│︱=OB︱│cos12.提出问题：数量积的几何意义是什么？5aaaabb的方向上的投影期望学生回答：数量积在·等于的长度︱︱与?b。的乘积 cos︱︱．

3. 研究数量积的物理意义。请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积

探究三：探究数量积的运算性质：1、提出问题6aabb·︱×︱︱的大小，你有什么结论？比较︱︱与︱、明晰：数量积的性质2

都是非零向量，

反向时同向时，︱︱；、与

或特别地︱︱= ︱

aabb︱︱×︱︱≤︱·、︱ 3

3.数量积的运算律：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适（、提出问题1）7

用？预测：学生可能会提出以下猜想：aabb = ··①caacbb) (=·（②·）ccacabb··） =+·+ ③（）2 （、分析猜想：猜想①的正确性是显而易见的。猜测②的左右两边的结果各是什么？它们一关于猜想②的正确性，请同学们先来讨论：定相等吗？ac共线的向量，显然在期望学生回答：左边是与向量共线的向量，而右边则是与向量ac不共线的情况下猜测②是不正确的。与向量向量、明晰：数量积的运算律：）3（

cab已知向量、、和实数λ，则： = aaaaabbbbb=λ（（·)=λ·）（2）

aabb°，求的夹角为=4, 、（师生共同完成）已知︱=6︱60，︱与︱例2aabb）-3）（·+2（，并思考此运算过程类似于实数哪种运算？aaaaaabbbbbb.+2.-3-6.. -3）（（+2=）·解：4 4×4×6×0.5-6× =36-3×

= -72

评述：可以和实数做类比记忆数量积的运算律

aaabbb222 )=(·++21变式：（）+aaabbb2

2）()=(+- )·

2—（