余弦定理公式(题目)
高考数学解三角形：正余弦定理专题(五)
A (0, ) 2
cos A 0 tan A 0
A
(
,
)
2
cos A 0
tan A 0
已知 sin A
没有能力判断锐钝角
方法二：大边对大角。
已知 sin A ，自身没有能力判断锐钝角，判断其锐钝角的方法：大边对大角。
大边对大角的内容：在三角形中，边越大，对角越大。
已知三角形的两条边 a 和 b ，判断 a 的对角 A 的锐钝角方法： （Ⅰ） a b A B A 不是最大角 A 是锐角； （Ⅱ） a b A B A 是较大的角 A 是锐角或者钝角，需要分类讨论。
1350
1500
第五步：计算 sin A 和 sin B ， tan A 和 tan B 的值。 （Ⅰ）计算 sin A 和 tan A 的值。 根据三角函数同角之间的基本关系得到： sin 2 A cos2 A 1 sin 2 A 1 cos2 A ， sin A 0
sin A
1 cos2 A 。 tan A sin A
方法三：钝角占位法。
2
（Ⅰ）钝角未出现时：已知正弦的角是锐角或者钝角，需要分类讨论；
（Ⅱ）钝角已经出现时：已知正弦的角是锐角。
题型使用知识点七：三角形面积公式。
S ① ABC
1 2
ab sin C
S ② ABC
1 2
ac sin
B
S ③ ABC
1 bc sin 2
A
第二部分：题型结构和解法剖析
题型：在 ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c 。
600
1200
1350
1500
cos C
3
2
高一数学余弦定理试题答案及解析
高一数学余弦定理试题答案及解析1.在△ABC中，设AD为BC边上的高，且AD = BC，b，c分别表示角B，C所对的边长，则的取值范围是____________．【答案】.【解析】因为BC边上的高AD=BC=a，所以，则，又，所以，其中有tanA=2，又由基本不等式有所以的取值范围.【考点】三角形的面积公式，辅助角公式，余弦定理，基本不等式，正弦函数的定义域与值域.2.已知ABC的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角A为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于是的重心，,.代入得由于不共线，【考点】平面向量共线定理和余弦定理的应用.3.△中，若，则△的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．锐角三角形【答案】B【解析】由，结合余弦定理得，即有，此题也可运用正弦定理化边为角，从角来判定三角形的形状，可能不及运用余弦定理简便【考点】余弦定理和三角形形状的判定.4.在中，已知，则 .【答案】【解析】由得，由余弦定理，所以，即，在中，,那么.【考点】1.余弦定理；2.特殊角的三角函数值.5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知向量，，．(1)求角C的大小； (2)若，求角A的值．【答案】（1）；（2）【解析】解题思路：（1)利用平面向量的垂直的判定得出三角形的三边的关系式，在利用余弦定理求角；（2）利用三角形的三角关系进行消元，使其变为关于角A的式子，再恒等变形求角的正弦值，结合角的范围求角．规律总结：对于以平面向量为载体考查三角函数问题，要正确利用平面向量知识化为三角函数关系式，再利用三角函数的有关公式进行变形．注意点：利用三角函数值求角时，一定要结合角所在的范围求角．试题解析：(1) 由整理得即又又因为，所以(2) 因为，所以故由即，所以．即．因为故所以【考点】1．平面向量垂直的判定；2余弦定理；3．三角恒等变换．6.某货轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军护卫舰在A处获悉后，测得该货轮在北偏东45º方向距离为10海里的C处，并测得货轮正沿北偏东105º的方向、以每小时9海里的速度向附近的小岛靠拢.我海军护卫舰立即以每小时21海里的速度前去营救；则护卫舰靠近货轮所需的时间是小时.【答案】.【解析】由题意可画出如下示意图，假设经过小时处护卫舰靠近了货轮，则可得，，，∴在，由余弦定理可得：.【考点】余弦定理的运用.7.在△ABC中，，则A等于（）．A．60°B．120°C．30°D．150°【答案】B【解析】根据余弦定理:,根据,可得,所以在三角形中．【考点】余弦定理．8.已知的三条边的边长分别为4米、5米、6米，将三边都截掉米后，剩余的部分组成一个钝角三角形，则的取值范围是（）A．05B．15C．13D．14【答案】C【解析】新三角形的三边分别为，其中边长为的边对的角最大记为角，所以角为钝角。
余弦定理公式
余弦定理公式一、引言余弦定理是解决三角形中的边长或角度关系问题的重要工具。
在数学和物理领域广泛应用，特别是在解决三角形的非直角问题以及相关定理的证明过程中。
本文将对余弦定理的定义、推导过程以及实际应用进行详细介绍。
二、余弦定理的定义余弦定理是三角学中的一个定理，用于计算三角形的边长、角度或判断三角形的形状。
余弦定理的表达式如下：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC其中，a、b为三角形中的两边，c为斜边，C为斜边对应的角。
三、余弦定理的推导过程余弦定理的推导过程并不复杂。
首先，我们需要设想一个任意的三角形ABC，其中a、b为两条边，C是它们的夹角。
假设c是它们的斜边，我们需要找到c的表达式。
根据正余弦的定义，我们可以得到以下等式：cosA = Adjacent / HypotenusecosB = Opposite / Hypotenuse将这两个等式改写为：Hypotenuse = Adjacent / cosA （1）Hypotenuse = Opposite / cosB （2）我们可以将(1)和(2)两个等式相等：Adjacent / cosA = Opposite / cosB进一步改写为：cosB / cosA = Adjacent / Opposite根据三角公式sinA = 1 / cscA 和 sinB = 1 / cscB，可以将cosB / cosA转换为sinB / sinA：sinB / sinA = Adjacent / Opposite将A和B两个角度的角替换为C， sinA和sinB替换为a和b，可以得到余弦定理的表达式：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC这就是余弦定理的最终表达式。
四、余弦定理的实际应用1. 计算三角形的边长：通过已知两边和它们夹角的大小，可以利用余弦定理计算第三边的长度。
这对于求解航海、测量不可达距离等问题非常有用。
余弦定理6个公式
余弦定理6个公式
余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广。
用余弦定理求三角形面积是常见的数学问题，但是想要快速的算出三角形的面积，还需要牢记余弦定理求三角形的面积的公式。
余弦定理有三个公式，三角形ABC中，如果∠A，∠B，∠C的对边分别用a、b、c来表示那么就有如下关系：
在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c。
则有：
正弦定理：a/SinA=b/SinB=c/SinC=2R(R为三角形外接圆半径)
余弦定理：a^2=b^2+c^2-2bc*CosA b^2=a^2+c^2-2ac*CosB
c^2=a^2+b^2-2ab*CosC
余弦定理变形公式：cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bC
cosb=(a^2+c^2-b^2)/2aC cosC=(a^2+b^2-C^2)/2ab
注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。
cos公式的其他资料：
它是周期函数，其最小正周期为2π。
在自变量为2kπ（k为整数）时，该函数有极大值1；在自变量为（2k+1）π时，该函数有极小值-1，余弦函数是偶函数，其图像关于y轴对称。
余弦定理正弦定理公式
余弦定理正弦定理公式在几何学中，余弦定理和正弦定理是两个重要的公式。
它们在解决三角形和向量的问题时非常有用。
下面，我们来详细了解一下这两个公式。
一、余弦定理余弦定理是用来计算三角形边长和角度之间关系的公式。
具体来讲，它用于计算一个三角形的某个角度的余弦值。
用符号表示，余弦定理的表达式如下：c² = a² + b² - 2ab cos(C)其中，a、b和c是一个三角形的三条边的长度，C是它们之间的夹角，cos是余弦函数。
通过余弦定理，我们可以计算出一个三角形的缺失部分。
例如，当我们已知三角形的两条边和它们之间的夹角时，可以使用余弦定理来计算第三条边的长度。
同样地，如果我们已知三角形的三条边长度，可以使用余弦定理来计算出一个角度的大小。
二、正弦定理正弦定理也是用来计算三角形边长和角度之间关系的公式。
但它和余弦定理不同，它用于计算三角形内一个角的正弦值或计算三角形边长之间的比例关系。
具体来讲，正弦定理的表达式如下：a / sin(A) =b / sin(B) =c / sin(C)其中，a、b和c是一个三角形的三条边的长度，A、B和C是分别位于它们对应边的顶点处的角度。
正弦定理可以帮助我们计算三角形内角度或边长之间的比例关系。
例如，当我们已知一个角的大小和它对应的边长时，我们可以使用正弦定理来计算出另外两条边的长度。
同样地，如果我们已知三角形内三个角的大小，也可以使用正弦定理来计算出三条边的长度比例关系。
通过掌握余弦定理和正弦定理，我们可以在解决三角形和向量问题时更加得心应手。
同时，这两个公式也对我们理解和应用数学和物理学知识有着极大的指导意义。
正余弦定理及面积公式
正余弦定理及面积公式正余弦定理及面积公式一，,知识点回顾：正弦定理：R C cB bA a2sin sin sin ===余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
面积公式：B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===?三角形内角和π=++C B A)tan(tan )sin(sin )cos()cos(cos C B A C B A C B C B A +-=+=+-=--=π二，基础训练：1,在?ABC 中，已知23=a ，62=+c ，45=∠B ，求b 及A ；2,在?ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形3,在?ABC 中,53cos ,135cos =-=B A ,（1）求C sin 的值;（2）设BC=5，求?ABC 的面积4，设锐角?ABC 的内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为a,b,c,且A b a sin 2= （1）求B ∠的大小（2）若b c a 求,5,33==5，在?ABC 中，已知54cos ,3,2-===A a b（1）求B sin 的值（2）求)62sin(π+B 的值6，在?ABC 中，53tan ,41tan ==B A（1）求C ∠的大小（2）若AB 的边长为17，求BC 边的长7，设?ABC 的内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为a,b,c,若3,3,1π=∠==c c a ，则A ∠ 的值8，设?ABC 的周长为12+，且C B A sin 2sin sin =+（1）求边长AB 的长（2）若?ABC 的面积为C sin 61，求角C9，在?ABC 中，Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为a,b,c,若 5522cos ,4,2==∠=BC a π，求?ABC 的面积。
10，在?ABC 中，552cos ,10,45===∠C AC B （1）求BC 边的长（2）记AB 的中点为D ，求中线CD 的长11，在?ABC 中，已知 30,4,334=∠==A b a ，则=B sin 12，在?ABC 中，Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为a,b,c,已知,1,3,3===∠b a A π求c 的长度。
余弦定理及其公式的变形
余弦定理及其公式的变形在咱们学习数学的这个奇妙旅程中，有一个非常重要的家伙，那就是余弦定理。
这玩意儿听起来可能有点高深莫测，但其实只要咱们稍微花点心思，就能把它拿下！先来说说啥是余弦定理。
假设有一个三角形，咱给它的三条边分别取名叫 a、b、c，对应的三个角分别是 A、B、C。
那么余弦定理就可以表示为：a² = b² + c² - 2bc·cosA ，b² = a² + c² - 2ac·cosB ，c² = a² + b² - 2ab·cosC 。
我记得有一次，我在公园里散步，看到几个小朋友在那用树枝在地上画三角形。
其中一个小朋友说：“咱们来比谁能算出这个三角形的边长。
”其他小朋友都一脸茫然。
这时候我就凑过去，跟他们说：“小朋友们，让叔叔来告诉你们一个神奇的方法。
”我就给他们讲起了余弦定理。
刚开始，他们也是听得云里雾里的。
我就拿他们画的那个三角形举例，告诉他们怎么通过已知的角和边来求出其他的边。
比如说，已知两条边和它们的夹角，就能用余弦定理算出第三条边啦。
我一点点地解释，还在地上不停地比划着。
慢慢地，小朋友们的眼睛开始亮了起来，好像有点明白了。
咱们再来说说余弦定理公式的变形。
通过移项和整理，可以得到cosA = （b² + c² - a²）/（2bc），cosB = （a² + c² - b²）/（2ac），cosC = （a² + b² - c²）/（2ab）。
这些变形公式用处可大啦！比如说在解决一些几何问题的时候，如果能灵活运用这些变形，那解题的速度就能大大提高。
想象一下，咱们在做一道数学题，题目给出了一个三角形的两条边和夹角，让咱们求第三条边。
这时候，如果咱们能迅速想到余弦定理，把数值代入公式，很快就能算出答案。
作业：余弦定理(2)
1．在△ABC 中，∠B ＝30°，AB ＝23，面积S ＝3，AC ＝________.2．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若∠C ＝120°，c ＝2a ，则a 、b 的关系为________．3．在△ABC 中，若lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝lg 2，则△ABC 的形状是________．4．在△ABC 中，若a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，则△ABC 的形状是________．5．在△ABC 中，若a 2＝bc ，则角A 与90°的大小关系是______．6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A 、B 、C 的对边，C ＝2B ，求证：c 2－b 2＝ab .综合提高 (限时30分钟)7．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是________三角形．8．若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值是________．9．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小是________．10．在锐角△ABC 中，边长a ＝1，b ＝2，则边长c 的取值范围是________．11．在△ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝10，cos C ＝255. (1)求边BC 的长；(2)记AB 的中点为D ，求中线CD 的长．13．(创新拓展)已知向量m ＝(3sin 2x ＋t ，cos x )，n ＝(1,2cos x )，设函数f (x )＝m ·n .(1)若cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝12，且m ⊥n ，求实数t 的值； (2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若f (A )＝3，b ＝1，且△ABC 的面积为32，实数t ＝1，求边长a 的值．1．在△ABC 中，∠B ＝30°，AB ＝23，面积S ＝3，AC ＝________.解析 ∵S ＝12AB ·BC ·sin B ＝12×23·BC ·sin 30° ＝32BC ＝ 3. ∴BC ＝2由余弦定理得： AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝ 12＋4－83×32＝2. 答案 22．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若∠C ＝120°，c ＝2a ，则a 、b 的关系为________．解析 由余弦定理得2a 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°即b 2＋ab －a 2＝0∴b ＝－a ±5a 2，∴b >0 ∴b ＝5－12a <a ∴a 、b 的关系为a >b .答案 a >b3．在△ABC 中，若lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝lg 2，则△ABC 的形状是________． 解析 由已知得lg sin A cos B sin C ＝lg 2，∴sin A cos B sin C＝2， ∴sin A ＝2cos B sin C ；∴a ＝2·a 2＋c 2－b 22ac·c ， ∴a 2＝a 2＋c 2－b 2，∴b 2＝c 2，即b ＝c ，∴△ABC 是等腰三角形．答案 等腰三角形4．在△ABC 中，若a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，则△ABC 的形状是________． 解析 ∵a cos A ＋b cos B ＝c cos C ， ∴a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ·a 2＋b 2－c 22ab两边同乘以2abc ，得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＝c 2(a 2＋b 2－c 2)．整理得a 4－2a 2b 2＋b 4＝c 4，∴(a 2－b 2)2＝(c 2)2，∴(a 2－b 2＋c 2)(a 2－b 2－c 2)＝0，∴a 2－b 2＋c 2＝0或a 2－b 2－c 2＝0，即a 2＋c 2＝b 2或b 2＋c 2＝a 2.答案 直角三角形5．在△ABC 中，若a 2＝bc ，则角A 与90°的大小关系是______．解析 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc＝⎝⎛⎭⎫b －c 22＋3c 242bc ＞0，∴0°＜A ＜90°.答案 A ＜90°6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A 、B 、C 的对边，C ＝2B ，求证：c 2－b 2＝ab . 证明 ∵C ＝2B ，∴sin C ＝sin 2B ＝2sin B cos B .即c 2R ＝2·b 2R ·a 2＋c 2－b 22ac， ∴ac 2＝a 2b ＋bc 2－b 3.∴(a －b )(ab ＋b 2－c 2)＝0，若a ＝b ，则A ＝B ，C ＝2B ，则△ABC 是等腰直角三角形．∴c ＝2b ，c 2－b 2＝2b 2－b 2＝b 2.∴c 2－b 2＝ab 成立．若ab ＋b 2－c 2＝0，即c 2－b 2＝ab .∴c 2－b 2＝ab .综合提高 (限时30分钟)7．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是________三角形． 解析 设直角三角形三边为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝c 2，增加长度x ＞0，则(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b )x －c 2－2cx －x 2＝2(a ＋b －c )x ＋x 2＞0，∴c ＋x 所对的最大角为锐角．答案 锐角8．若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值是________．解 设BC ＝x ，则AC ＝2x ，由三角形面积公式得S △ABC ＝12·2x ·sin B ＝x 1－cos 2B .由余弦定理，得cos B ＝4＋x 2－(2x )24x ＝4－x 24x， 所以S △ABC ＝x 1－(4－x 24x )2＝128－(x 2－12)216. 由三角形的三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋x >2，x ＋2>2x解得22－2<x <22＋2. 故当x ＝23时，三角形ABC 的面积取得最大值2 2.答案 2 29．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小是________．解析 由p ∥q 得，(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，即c 2－a 2－b 2＋ab ＝0，∴a 2＋b 2－c 2＝ab .根据余弦定理，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12. ∴C ＝π3. 答案 π310．在锐角△ABC 中，边长a ＝1，b ＝2，则边长c 的取值范围是________．解析 锐角△ABC ，得cos C ＞0，∴a 2＋b 2－c 22ab＞0，∴c ＜5， 又c ＞b －a ＝1，c <b ＋a ＝3，∴1＜c ＜ 5.(错误解答)答案11．在△ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝10，cos C ＝255. (1)求边BC 的长；(2)记AB 的中点为D ，求中线CD 的长．解 (1)由cos C ＝255，得sin C ＝55. sin A ＝sin(180°－45°－C )＝22(cos C ＋sin C )＝31010. 由正弦定理知BC ＝AC sin B ·sin A ＝1022·31010＝3 2. (2)AB ＝AC sin B ·sin C ＝1022·55＝2，BD ＝12AB ＝1. 由余弦定理知CD ＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos B ＝1＋18－2×1×32×22＝13. 12．在△ABC 中，求证：a b －b a ＝c (cos B b －cos A a)． 证明 将cos B ＝a 2＋c 2－b 22accos A ＝b 2＋c 2－a 22bc代入右边 得右边＝c (a 2＋c 2－b 22abc －b 2＋c 2－a 22abc) ＝2a 2－2b 22ab ＝a 2－b 2ab ＝a b －b a＝左边。
余弦定理练习题及答案
余弦定理练习题及答案1.已知三角形ABC的边长a=21，b=5，c=4，求角A的大小。
解析：根据余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，代入数值计算可得cosA=-61/40，因为-1≤cosA≤1，所以三角形ABC不存在角A，即无解。
2.已知三角形ABC的边长a=3，b=4，c=6，求XXX的值。
解析：根据余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)，代入所求式计算可得答案为-11/2.3.已知三角形ABC的边长a=3，b=4，c=6，求边C的长度。
解析：根据余弦定理，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)，代入数值计算可得cosC=-1/2，因为0°≤C≤180°，所以C的大小为120°。
再根据正弦定理，c/sinC=a/sinA，代入已知数据可得c=2√3.4.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为多少？解析：设等腰三角形的底边长为x，则周长为5x，由等腰三角形的性质可知，其两个等角为(180°-顶角)/2，所以顶角的大小为2(180°-顶角)/2=180°-顶角。
根据余弦定理，cos顶角=[(5x/2)^2+x^2-(5x/2)^2]/(2x^2)=3/4.5.已知三角形ABC的边长a=1，b=7，角B=60°，求边C 的长度。
解析：根据正弦定理，c/sinC=a/sinA，又因为A+B+C=180°，所以角A=180°-60°-arcs in(1/7)≈86.6°。
代入已知数据计算可得c≈7.5.6.已知三角形ABC的边长a=2，b=2，角A=45°，解此三角形。
解析：根据余弦定理，cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=0，即角B为直角。
余弦定理习题及练习
❖ 2．余弦定理的应用
❖ 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形 的问题：
❖ 1已知三边,求三个角； ❖ 2已知两边和它们的夹角,可以求第三边,进
而求出其他角．
❖ 解：由于a＋b＋cb＋c－a＝3bc,
❖ 所以a2＝b2＋c2－bc,
❖ 又由余弦定理有a2＝b2＋c2－2bccosA,
❖ 又∵sinA＝sinB＋C ❖ ＝sinBcosC＋cosBsinC且 ❖ sinA＝2sinBcosC, ❖ ∴sinBcosC＝cosBsinC, ❖ 即sinB－C＝0,∴B＝C, ❖ 又B＋C＝120°,∴B＝C＝60°. ❖ 故△ABC为等边三角形．
❖ 例 3 在 △ ABC 中 , 若 b2sin2C ＋ c2sin2B ＝ 2bccosBcosC,试判断三角形的形状．
❖ 分析 由题目可获取以下主要信息：
❖ ① 边 角 之 间 的 关 系 ： b2sin2C ＋ c2sin2B ＝ 2bccosBcosC；
❖ ②确定三角形的形状．
❖ 解答本题先由正弦定理将边转化为角,然后 由三角恒等式进行化简,得出结论；也可先 由余弦定理及同角三角函数关系转化成边 之间的关系,然后由边的关系确定三角形形 状．
❖ 例4 在△ABC中,C＝2A,a＋c＝10,cosA ＝ ,求b.
❖ 点评 1本例首先由正弦定理结合倍角公式求出a、c,再利 用余弦定理求出b的值,通过正、余弦定理的完美结合求得 结果．
❖ 2正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系,要解 三角形,必须已知三角形的一边的长,对于两个定理,根据实 际情况可以选择地运用,也可以综合地运用,要注意以下关 系式的运用：
正余弦定理三角形一些公式
正余弦定理三角形一些公式正弦定理和余弦定理是研究三角形的重要公式，它们可以帮助我们在成比例的三角形中计算角度和边长。
本文将详细介绍这些公式，并提供一些运用案例。
1.正弦定理正弦定理给出了一个三角形中边与其对应角度的关系。
设一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，对应的顶点角度为A、B、C。
则正弦定理可以表示为：sin(A) / a = sin(B) / b = sin(C) / c其中，sin(A)表示角A的正弦值。
根据正弦定理，我们可以计算出任意一个角的正弦值，进而计算出其他两个角的正弦值。
同时，我们可以通过边长和对应的角度计算出三角形的面积。
2.余弦定理余弦定理给出了一个三角形中边与其对应角度的关系。
设一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，对应的顶点角度为A、B、C。
则余弦定理可以表示为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)b^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cos(B)a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(A)其中，cos(A)表示角A的余弦值。
根据余弦定理，我们可以计算出一个边的长度，已知其他两边的长度和它们对应的角度。
这个公式也可以用来计算三角形的面积。
3.应用示例3.1 例题一：已知一个三角形的两条边长分别为5cm和8cm，它们的夹角为60°，求另一边长。
解：根据余弦定理，可得：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(A)将已知数据带入公式，得：a^2 = 5^2 + 8^2 - 2*5*8*cos(60°)=25+64-80*0.5=89-40=49得到a的平方为49，因此a = √49 = 7、所以，另一边的长度为7cm。
3.2 例题二：已知一个三角形的三边长分别为6cm、9cm和11cm，计算它的面积。
解：根据正弦定理，可得：sin(A) / a = sin(B) / b = sin(C) / c由此可知，sin(A) = a * sin(C) / c所以，sin(A) = 6 * sin(C) / 11根据正弦函数的性质，我们可以计算出角A的正弦值小于1、因此，角A的度数应该在0°到90°之间。
三角形的余弦定理
三角形的余弦定理三角形的余弦定理是初中数学中的重要概念之一，它可以用来解决涉及三角形边长和角度的问题。
下面我们来详细介绍三角形的余弦定理。
三角形的余弦定理是一种关于三角形边长和角度的定理，它在任意三角形中都成立。
根据余弦定理，我们可以计算三角形的边长或角度，只要已知其他两个边长和它们夹角的大小。
设三角形的三边长度分别为a、b、c，对应的夹角分别为A、B、C，那么余弦定理的公式为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC公式中，c表示三角形的边长c；a、b分别表示三角形的边长a和b；C表示边长为c的角的大小；cosC表示C角的余弦值。
通过余弦定理，我们可以计算任意三角形的边长和角度。
例如，已知一个三角形的两个边长a=5、b=7，以及它们夹角C=60°，我们可以使用余弦定理来计算第三条边c的长度。
根据余弦定理的公式，我们有：c^2 = 5^2 + 7^2 - 2*5*7*cos60°= 25 + 49 -70*cos60°= 74 - 70*0.5= 74 - 35= 39因此，该三角形的第三条边c的长度为√39。
除了计算边长外，余弦定理还可以计算三角形的角度。
例如，已知一个三角形的边长a=3、b=4、c=5，我们可以使用余弦定理来计算角A 的大小。
根据余弦定理的公式，我们有：cosA = (b^2 + c^2 - a^2) / (2*b*c)= (4^2 + 5^2 - 3^2) / (2*4*5)= (16 + 25 - 9) / 40= 32 / 40= 0.8通过求反余弦函数，我们可以得到角A的大小：A = arccos(0.8)≈ 37°因此，该三角形的角A的大小约为37°。
总结一下，三角形的余弦定理是一种非常有用的数学工具，通过它我们可以计算三角形的边长和角度。
它在解决涉及三角形的实际问题中起着重要的作用。
在使用余弦定理时，我们需要注意输入数据的准确性，并根据具体情况选择合适的计算方法。
余弦定理公式(题目)
正弦、余弦定理 解斜三角形知识网络1．三角形基本公式：（1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A + （2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=21casinB S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2c b a ++, r 为内切圆半径) （3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A2．正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===外 证明：由三角形面积111sin sin sin 222S ab C bc A ac B === 得sin sin sin a b c A B C== 画出三角形的外接圆及直径易得：2sin sin sin a b c R A B C === 3．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA , 222cos 2b c a A bc +-=； 证明：如图ΔABC 中， sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===-22222222sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A =+=+-=+- 当A 、B 是钝角时，类似可证。
正弦、余弦定理可用向量方法证明。
要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题．4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三种情况：bsinA<a<b 时有两解；a=bsinA 或a=b 时有 解；a<bsinA 时无解。
5．利用余弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。
模型31 正、余弦定理与正弦面积公式(解析版)
模型介绍正弦定理：三角形ABC的三边长分别为a、b、c，其分别对应∠A、∠B、∠C；则有余弦定理：在△ABC中，余弦定理可以表示为：a2＝b2+c2﹣2bc cos∠Ab2＝a2+c2﹣2ac cos∠Bc2＝a2+b2﹣2ab cos∠C．正弦面积公式：S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B例题精讲【例1】．如图，∠XOY＝45°，一把直角三角尺△ABC的两个顶点A、B分别在OX，OY上移动，其中AB＝10，则点O到顶点A的距离的最大值为10，点O到AB的距离的最大值为5+5．解：作△OAB的外接圆，如图，∵＝，∴当∠ABO＝90°，△ABO是等腰直角三角形时，点O到顶点A的距离最大．则OA＝AB＝10．点O到AB的距离的最大值为5+5．故答案是：10，5+5．变式训练【变式1-1】．以O为圆心，1为半径作圆．△ABC为⊙O的内接正三角形，P为弧AC的三等分点，则PA2+PB2+PC2的值为6．解：∵以O为圆心，1为半径作圆，△ABC为⊙O的内接正三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，AB＝AC＝BC＝，∴∠APB＝∠ACB＝60°，∠BPC＝∠BAC＝60°，∵P为弧AC的三等分点，∴∠ABP＝∠ABC＝20°，∴∠PBC＝40°，∴∠PAC＝∠PBC＝40°，∴∠PAB＝∠BAC+∠PAC＝100°，∵，，∴，，∵＝2，∴PA＝2sin20°，PB＝2sin100°，PC＝2sin40°，∴PA2+PB2+PC2＝4[sin220+sin280+sin240]＝4[++]＝4[﹣cos（60°﹣20°）+cos20°﹣cos（60°+20°）]＝6．故答案为：6．【变式1-2】．如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？解：由题意知AB＝5（3+）海里，∠DBA＝90°﹣60°＝30°，∠DAB＝45°，∴∠ADB＝105°，在△DAB中，由正弦定理得，∴DB＝，＝，＝，＝，＝10（海里），又∠DBC＝∠DBA+∠ABC＝30°+（90°﹣60°）＝60°，BC＝20海里，在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2+BC2﹣2BD•BC•cos∠DBC＝300+1200﹣2×10×20×＝900，∴CD＝30（海里），则需要的时间t＝＝1（小时）．答：救援船到达D点需要1小时．【例2】．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为D，BD＝3，CD＝2，求AD 的长．解：设AD＝x（x＞0）．∵AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝2，∴AC＝，AB＝；又∵在△ABC中，∠BAC＝45°，∴BC2＝AC2+AB2﹣2AC•AB cos45°，即25＝x2+4+x2+9﹣2••，解得x＝6，∴AD＝6．变式训练【变式2-1】．在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝26，AD＝30，AC，BD交于点O，∠AOB＝60°．求S四边形ABCD＝506．解：设BO＝x，AO＝y，CO＝a，DO＝b，由余弦定理，得．由（③+④）﹣（①+②）得：ax+by+ab+xy＝2024．＝xy sin60°+ax sin120°+ab sin60°+by sin60°＝所以S四边形ABCDxy+ax+ab+by＝（ax+by+ab+xy），所以．故答案是：506．【变式2-2】．如图，圆内接四边形ABCD中，AC平分BD，AC＝，求AB2+BC2+CD2+AD2的值．解：∵，．∵AC平分BD，∴BP＝DP，＝S△ADC，∴S△ABC∴．∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴sin∠ADC＝sin∠ABC，cos∠ADC+cos∠ABC＝0，∴AB•BC＝AD•CD，∴，即AB2+BC2+AD2+CD2＝10．1．若△ABC的三个内角满足sin A：sin B：sin C＝5：11：13，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形解：∵△ABC的三个内角满足sin A：sin B：sin C＝5：11：13，∴由正弦定理可设a＝5k，b＝11k，c＝13k，由余弦定理得：cos C＝＝＝﹣＜0，∴∠C是钝角，∴△ABC是钝角三角形，故选：C．2．如图，点D是△ABC的边BC上一点，如果AB＝AD＝2，AC＝4，且BD：DC＝2：3，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形或直角三角形解：方法1：过A作AE垂直BC于E，令BD＝2xCD＝3x则BC＝5x，∵AB＝AD＝2，∴BE＝x，cos B＝，∴AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC cos B即16＝4+25x2﹣10x2，解得，x＝，∴△ABC用余弦定理BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC cos A即20＝4+16﹣16cos A，∴cos A＝0，∠A＝90°．方法2：过点D作AB平行线交AC于E，因此很容易得到DE：AB＝CE：CA＝CD：CB＝3：5，那么DE＝1.2；AD＝2，AE＝1.6，由勾股定理得△AED构成一个直角三角形，即△ABC是直角三角形故选：B．3．在△ABC中，∠B＝45°，AC＝2，则△ABC面积的最大值为（）A．2B．+1C．2D．解：∵∠B＝45°、AC＝2，∴由余弦定理cos B＝得：＝，∴ac＝a2+c2﹣4≥2ac﹣4，即（2﹣）ac≤4（当且仅当a＝c时取等号），∴ac≤＝2（2+）＝4+2，∴△ABC的面积S＝ac sin B≤（4+2）×＝1+，则△ABC的面积的最大值为1+，故选：B．4．△ABC中，，，BC＝2，设P为BC边上任一点，则（）A．PA2＜PB•PCB．PA2＝PB•PCC．PA2＞PB•PCD．PA2与PB•PC的大小关系并不确定解：如图，设BP＝x，PC＝2﹣x，在△ABC中，由余弦定理，有＝，在△ABP中，由余弦定理，有PA2＝AB2+BP2﹣2AB•BP cos B＝，∴PA2＝x2﹣5x+8，而PB•PC＝x（2﹣x）＝2x﹣x2，令y＝PA2﹣PB•PC＝x2﹣5x+8x+x2＝，∴PA2＞PB•PC．故选：C．5．圆内接四条边长顺次为5、10、11、14，则这个四边形的面积为（）A．78.5B．97.5C．90D．102解：设AB＝5，BC＝10，CD＝11，AD＝14，∵52+142＝102+112，∴BD2＝AB2+AD2＝BC2+CD2，∴∠A＝∠C＝90°，＝AB•AD+BC•CD＝5×7+5×11＝90．故选：C．∴S四边形6．如图，点1为单位正方形内一点，且AE＝BE＝AB，延长AE交CD于F，作FG⊥AB于点G，则EG的长度为（）A．B．C．D．解：如右图所示，∵AE＝BE＝AB，∴△ABE是等边三角形，∴∠EAB＝∠EBA＝∠AEB＝60°，又∵FG⊥AB，∴∠AGF＝90°，∴∠AFG＝30°，∴AF＝＝，∴EF＝AF﹣AE＝﹣1，在△EFG中，EG2＝EF2+FG2﹣2×EF×FG×cos30°＝，∴EG＝．（作EH⊥FG，求出EH，GH，利用勾股定理即可解决问题）故选：D．7．设△ABC的三边为a，b，c且（b+c）：（c+a）：（a+b）＝4：5：6，则sin A：sin B：sin C ＝7：5：3．解：由已知，设（k＞0），得b+c＝4k，c+a＝5k，a+b＝6k，三式相加，得a+b+c＝k，∴a＝k，b＝k，c＝k，∴sin A：sin B：sin C＝a：b：c＝7：5：3．8．已知在△ABC中，有一个角为60°，，周长为20，则三边长分别为5，7，8．解：在△ABC中，不妨设∠A＝60°．由题意，可得，，，解得a＝7，b＝5，c＝8或a＝7，b＝8，c＝5，所以，△ABC三边长分别为5，7，8．故答案为：5，7，8．9．已知直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝6，CA＝3，CD为∠C的角平分线，则CD＝．解：令CD＝x，由正弦定理可知：S△ABC＝9＝×3×x•sin45°+×6×x•sin45°，故x＝．故答案为：2．10．在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝2，那么AD的长是6．解：设AD＝x（x＞0）．∵AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝2，∴AC＝，AB＝；又∵在△ABC中，∠BAC＝45°，∴BC2＝AC2+AB2﹣2AC•AB cos45°，即25＝x2+4+x2+9﹣2••，解得x＝6．故答案是：6．11．在△ABC中，∠C＝3∠A，AB＝48，BC＝27，则AC＝35．解：作CD交AB于D，使∠ACD＝∠A，由已知得∠BCD＝2∠A，又因∠BDC＝∠A+∠ACD＝2∠A，所以∠BCD＝∠BDC，BD＝CB＝27，CD＝AD＝AB﹣BD＝21，在△CBD和△ABC中，由余弦定理，得：，解得：AC＝35．故答案为：35．12．如图，在△ABC中，∠A＝45°，点D为AC中点，DE⊥AB于点E，BE＝BC，BD＝，则AC的长为4．解：设AE＝x（x＞0），BE＝BC＝y（y＞0），∵∠A＝45°，DE⊥AB，∴AE＝DE＝x，在Rt△BDE中，BD2＝BE2+DE2，即x2+y2＝87…①，在Rt△ADE中，AD＝＝x，又∵D为AC中点，∴AC＝2x，在△ABC中，由余弦定理得：BC2＝AB2+AC2﹣2AB×AC×cos A，即y2＝（x+y）2+8x2﹣2（x+y）×2x×，整理得：5x2﹣2xy＝0，解得：y＝x…②，将②代入①得：x＝2，∴AC＝2x＝4．故答案为：4．13．在△ABC中，AB＝2，BC＝a，∠C＝60°，如果对于a的每一个确定的值，都存在两个不全等的△ABC，那么a的取值范围是2＜a＜4．解：法一：由正弦定理得：＝，即＝，再sin A＝，由题意得：当60°＜∠A＜120°时，满足条件的△ABC有两个，所以＜＜1，解得2＜a＜4；法二：由题，对于a的每一个确定的值，都要存在两个不全等的△ABC，例如下图所示，在BC为定值时，存在两个不全等的△ABC与△A′BC，∴两个不全等的△ABC中其中一个是锐角三角形，其中一个是钝角三角形（∠CAB为钝角），①当△ABC为锐角三角形时，假设0°＜∠A＜60°，如下图所示，在图中无法以BC边为定值，再画出另一个不全等的△ABC，②当△ABC为锐角三角形时，假设∠A＝60°，如下图所示，△ABC为等边三角形，在图中也无法以BC边为定值，再画出另一个不全等的△ABC，∴综上，当△ABC为锐角三角形时，∠A必须满足：90°＞∠A＞60°，∵当∠A＝60°时，△ABC为等边三角形，此时BC＝2，∵当∠A＝90°时，△ABC为直角三角形，此时BC＝4，∴对于a的每一个确定的值，都要存在两个不全等的△ABC，则BC需满足：2＜BC ＜4，∴2＜a＜4；故答案为：2＜a＜4．14．在△ABC中，∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝，AC＝3，CD＝，求AB 的长．解：∵AD＝，AC＝3，CD＝，∴AC2＝32＝9，AD2＝3，CD2＝6，∴AC2＝AD2+CD2，∴∠ADC＝90°，∵∠B＝45°，∴AB＝AD＝•＝．15．如图，在Rt△ABC中，BC＝5，AC＝12，AB＝13，点D在AB上，点E在AC上，且DE平分△ABC的面积，求线段DE长度的最小值．＝＝30，sin A＝解：在Rt△ABC中，BC＝5，AC＝12，AB＝13，则S△ABC＝．∵DE平分△ABC的面积，＝S△ABC＝15．∴S△ADE令AD＝a，AE＝b，有：ab sin A＝15．故ab＝78．∴．故DE长度的最小值为．16．如图，在△ABC中，AD⊥直线BC，垂足为D，且AD＝BC＝a（a为常数），AC＝b，AB＝c，求最大值．解：由题意知bc sin A＝a•a，即bc sin A＝a2．又∵a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴b2+c2＝a2+2bc cos A，∴＝＝＝＝sin A+2cos A．又∵sin A+2cos A＝（sin A+cos A）＝sin（A+B）．∴最大值为．17．在△ABC中，cos A＝，cos B＝，cos C＝，我们称为余弦定理，请用余弦定理完成下面的问题．请用余弦定理完成下面的问题：（1）如图，已知△DEF，∠E＝60°，DE＝4，DF＝，求EF的长度；（2）通过合理的构造，试求cos105°．解：（1）由余弦定理，可得cos E＝，∵∠E＝60°，DE＝4，DF＝，∴＝，解得EF＝1或3；（2）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，AD⊥BC，AD＝1．∵在RT△ADC中，AD＝1．∴AC＝2，CD＝，∵在RT△ADB中，AD＝1，∴AB＝，BD＝1，∴在△ABC中，AB＝，AC＝2，BC＝+1，∠BAC＝180°﹣30°﹣45°＝105°，利用余弦定理可得cos105°＝＝＝．18．阅读：△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，△ABC的边角有如下性质：①正弦定理：＝＝②余弦定理：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C．③S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B请你根据上述结论求解下列问题：在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且2a sin B＝b．（1）求角A的大小；（2）若a＝6，b+c＝8，求△ABC的面积．解：（1）∵2a sin B＝b，利用正弦定理＝得：a sin B＝b sin A，∴2b sin A＝b，∵sin B≠0，∴sin A＝，又∵A为锐角，∴A＝；（2）由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc•cos A，即36＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝64﹣3bc，∴bc＝，又∵sin A＝，＝bc sin A＝．∴S△ABC19．△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB．（1）若∠A＝x°，∠BDC是y°，则y与x之间的函数关系式y＝x+45；（2）若△BDC三边的长是三个连续整数，求sin A；（3）在（2）的条件下求△ADC的面积．解：（1）∵AB＝AC，∠A＝x°，∴∠ACB＝∠B＝，又∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠ACB＝，∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝x°+＝，∴y＝x+45．故答案为y＝x+45；（2）∵∠BCD＝∠ACB＝＝45°﹣x°，∠BDC＝x°+45°，∠DBC ＝2∠BCD，∴∠BCD＜∠BDC，∠BCD＜∠DBC，∴△BCD中BD边最小．作∠ABC的平分线交CD于E．∵∠DBE＝∠ABC＝∠ACB＝∠DCB，∠BDE＝∠CDB，∴△BDE∽△CDB，∴BD：CD＝BE：BC＝DE：BD．（*）设BE＝CE＝z，则DE＝n+1﹣．下面分两种情况讨论BC与CD的关系：①当BC＞CD时，设BD、CD、BC分别为n，n+1，n+2，再设BE＝CE＝z，则DE＝n+1﹣z．将它们代入（*），得＝＝，由＝，得z＝，由＝，得n+1﹣z＝，两式相加，得n+1＝，解得n＝1．由三角形三边关系定理可知1，2，3不能组成三角形，所以BC＞CD不成立；②当BC＜CD时，设BD、BC、CD分别为n，n+1，n+2，再设BE＝CE＝z，则DE＝n+2﹣z．将它们代入（*），得＝＝，由＝，得z＝，由＝，得n+2﹣z＝，两式相加，得n+2＝，解得n1＝4，n2＝﹣1（不合题意，舍去），∴BD＝4，BC＝5，CD＝6．∵CD平分∠ACB，∴AD：BD＝AC：BC，∴AD：4＝AC：5，设AD＝4x，则AC＝5x，∵AB＝AC，∴4x+4＝5x，∴x＝4，∴AB＝AC＝20．在△ABC中，AB＝AC＝20，BC＝5，由余弦定理，得cos A＝＝，∴sin A＝＝；（3）△ADC的面积＝×16×20×＝15．20．如图：D是以AB为直径的圆O上任意一点，且不与点A、B重合，点C是弧BD的中点，作CE∥AB，交AD或其延长线于E，连接BE交AC与G，AE＝CE，过C作CM⊥AD交AD延长线于点M，MC与⊙O相切，CE＝7，CD＝6，求EG的长．解：连接OC，如图．∵MC与⊙O相切，∴OC⊥MC．∵CM⊥AD，∴OC∥AM．∵CE∥AB，∴四边形AOCE是平行四边形，∴OA＝CE＝7，∴AB＝14．∵点C是弧BD的中点，∴BC＝CD＝6．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC＝＝＝4．∵CE∥AB，∴△CGE∽△AGB，∴＝＝＝，∴AG＝AC＝．在Rt△ACB中，cos∠BAC＝＝＝．∵点C是弧BD的中点，∴∠BAC＝∠CAD，即∠BAC＝∠EAG，∴cos∠EAG＝．在△EAG中，cos∠EAG＝．∴＝．∵AG＝，AE＝CE＝7，∴＝．整理得：GE2＝．∵GE＞0，∴GE＝．∴EG的长为．。
余弦定理公式范文
余弦定理公式范文余弦定理是三角形中的一个基本定理，用于计算三角形的边长或角度。
它的公式如下：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)其中，a、b、c分别表示三角形的三条边的长度，C表示对应边的夹角。
余弦定理的证明可以通过向量的方法得到。
假设向量a=AB，b=BC，c=AC，根据点乘运算的定义，有：a·b = ，a，b，cos(C)其中，a，b，分别表示向量a、b的长度。
根据向量的定义，a，b，可以表示为：a，=√(a·a)=√(AB·AB)=√(AB^2)=，ABb，=√(b·b)=√(BC·BC)=√(BC^2)=，BC代入上述公式，得到：a·b = ，AB，BC，cos(C)由于向量a和向量b的夹角是C（即∠ABC），所以：a·b = ，AB，BC，cos(∠ABC)根据代数中的乘法运算法则，有：c^2 = AC^2 = a·a = a·b + b·a = ，AB，BC，cos(∠ABC) + ，BC，AB，cos(∠CBA)根据三角形中的夹角定义，∠ABC+∠CBA=180°，所以∠CBA=180°-∠ABC。
代入上述公式，得到：c^2 = ，AB，BC，cos(∠ABC) + ，BC，AB，cos(180° - ∠ABC)由于余弦函数具有性质cos(180° - θ) = -cos(θ)，所以上式可进一步化简为：c^2 = ，AB，BC，cos(∠ABC) - ，BC，AB，cos(∠ABC)c^2 = ，AB，BC，(cos(∠ABC) - cos(∠ABC))根据三角函数的性质，cos(∠ABC) - cos(∠ABC) = 0，所以最终得到：c^2=，AB，BC，(0)即：c^2=0由于边长不能为负数，所以我们得到了c的平方等于0的结论，即c=0。
余弦定理及其应用
余弦定理及其应用余弦定理是初中数学中较为重要的一个定理，它通常用于求解三角形中某一个角的大小或者某一条边的长度。
本文将分别讲述余弦定理的公式及其推导过程，以及在实际应用中的一些案例。
一、余弦定理的公式余弦定理是在三角形中的任意一条边上，作高，将三角形分成两个直角三角形，然后利用勾股定理及几何证明，得到的著名公式。
其公式为：$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$其中，$c$是三角形中的一条边，$a$和$b$是剩下的两条边，$C$是余弦定理中夹角$c$的对面角。
值得注意的是，当$C=90^\circ$时，余弦定理变为了勾股定理。
当$C$小于$90^\circ$时，$\cos C$为正数；当$C$大于$90^\circ$时，$\cos C$为负数。
这也意味着，当角度较小时，三角形中较长的一条边越长；当角度较大时，三角形中较长的一条边反而越短。
二、余弦定理的推导过程余弦定理的推导过程相对较为复杂，但从中可以体会数学证明的思路和方法。
下面简述一下余弦定理的推导过程。
（1）首先，我们将三角形分成两个直角三角形，并用勾股定理推导出$AC$的长度：$AC^2=AB^2-BC^2$（2）接着，我们利用勾股定理，求出$BD$的长度：$BD^2=AB^2-AE^2$（3）我们可以发现，$BD$与$AC$构成一个平行四边形，因此有$BD=AC$。
（4）从而得到：$BD^2=AC^2-AE^2$代入（2）式，可得：$AB^2-AE^2=AC^2-BC^2$化简后即为余弦定理：$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$三、余弦定理在实际应用中的一些案例1.求解三角形中的某一个角余弦定理可用于求解三角形中的某一个角的大小。
如图所示，在$\triangle ABC$中，已知$c=7$，$a=4$，$b=6$，求$\angle C$的大小。
根据余弦定理，我们有：$7^2=4^2+6^2-2\times 4\times 6\cos C$化简后得：$\cos C=-\frac{1}{12}$根据余弦函数的定义，可知：$\cos C=\frac{\mathrm{adj}}{\mathrm{hyp}}=\frac{AB}{AC}$代入$\cos C=-\frac{1}{12}$即可得到$\angle C$的大小。
余弦定理和面积公式
余弦定理和面积公式一、余弦定理。
1. 内容。
- 对于三角形ABC，设a,b,c分别为角A,B,C所对的边，则有c^2=a^2+b^2-2abcos C，a^2=b^2+c^2-2bccos A，b^2=a^2+c^2-2accos B。
2. 推导（以c^2=a^2+b^2-2abcos C为例）- 设→CA=→b，→CB=→a，→AB=→c。
- 根据向量的减法→c=→a-→b。
- 那么c^2=→c·→c=(→a-→b)·(→a-→b)=→a^2+→b^2-2→a·→b。
- 因为|→a| = a，|→b| = b，→a·→b=|→a||→b|cos C = abcos C。
- 所以c^2=a^2+b^2-2abcos C。
3. 应用。
- 已知两边及其夹角求第三边。
- 例如在ABC中，已知a = 3，b=4，C = 60^∘，求c。
- 根据余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcos C，a = 3，b = 4，cosC=cos60^∘=(1)/(2)。
- 则c^2=3^2+4^2-2×3×4×(1)/(2)=25 - 12 = 13，所以c=√(13)。
- 判断三角形的形状。
- 若a^2+b^2=c^2，则cos C = 0，C = 90^∘，三角形为直角三角形。
- 若a^2+b^2>c^2，则cos C>0，C为锐角，三角形为锐角三角形（当a,b,c 为最长边时）。
- 若a^2+b^2，则cos C<0，C为钝角，三角形为钝角三角形（当c为最长边时）。
二、三角形面积公式。
1. 常见公式。
- 已知底和高：S=(1)/(2)ah，其中a为三角形的底，h为这条底边上的高。
- 已知两边及其夹角：S=(1)/(2)absin C=(1)/(2)bcsin A=(1)/(2)acsin B。
- 海伦公式：设三角形的三边为a,b,c，半周长p=(a + b+ c)/(2)，则S=√(p(p -a)(p - b)(p - c))。
数学正弦定理余弦定理公式题目
数学正弦定理余弦定理公式题目一、正弦定理相关题目。
（一）题目1。
1. 题目。
在ABC中，A = 30^∘，B = 60^∘，a = 10，求b的值。
2. 解析。
根据正弦定理(a)/(sin A)=(b)/(sin B)。
已知A = 30^∘，sin A=(1)/(2)；B = 60^∘，sin B=(√(3))/(2)，a = 10。
将值代入正弦定理可得：b=(asin B)/(sin A)=(10×frac{√(3))/(2)}{(1)/(2)} = 10√(3)。
（二）题目2。
1. 题目。
在ABC中，a = 2√(3)，b = 6，A=30^∘，求B的值。
2. 解析。
由正弦定理(a)/(sin A)=(b)/(sin B)，可得sin B=(bsin A)/(a)。
已知a = 2√(3)，b = 6，A = 30^∘，sin A=(1)/(2)。
则sin B=(6×frac{1)/(2)}{2√(3)}=(√(3))/(2)。
因为B∈(0^∘,180^∘)，所以B = 60^∘或B = 120^∘。
（三）题目3。
1. 题目。
在ABC中，a=5，b = 7，sin A=(1)/(3)，求sin B的值。
2. 解析。
根据正弦定理(a)/(sin A)=(b)/(sin B)，则sin B=(bsin A)/(a)。
已知a = 5，b = 7，sin A=(1)/(3)，所以sin B=(7×frac{1)/(3)}{5}=(7)/(15)。
（四）题目4。
1. 题目。
在ABC中，已知asin A=bsin B，试判断三角形的形状。
2. 解析。
由正弦定理(a)/(sin A)=(b)/(sin B)= 2R（R为ABC外接圆半径），则a = 2Rsin A，b=2Rsin B。
已知asin A=bsin B，即(2Rsin A)sin A=(2Rsin B)sin B，化简得sin^2A=sin^2B。
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正弦、余弦定理 解斜三角形
知识网络
1．三角形基本公式：
（1）角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos
2C =sin 2B A +, sin 2
C =cos 2B A + （2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=2
1casinB S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2c b a ++, r 为切圆半径) （3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A
2．正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C
===外 证明：由三角形面积
111sin sin sin 222
S ab C bc A ac B === 得sin sin sin a b c A B C
== 画出三角形的外接圆及直径易得：2sin sin sin a b c R A B C
=== 3．余弦定理：a 2=b 2+c 2
-2bccosA , 222
cos 2b c a A bc +-=； 证明：如图ΔABC 中，
sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===-
222222
22sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A =+=+-=+-
当A 、B 是钝角时，类似可证。
正弦、余弦定理可用向量方法证明。
要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题．
4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；
有三种情况：bsinA<a<b 时有两解；a=bsinA 或a=b 时有 解；a<bsinA 时无解。
5．利用余弦定理，可以解决以下两类问题：
（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。
6．熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，能在应用题中抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；提高运用所学知识解决实际问题的能力
练习
1．(2006)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,13A a b π=
==，则c = （ ）
A.1
B.2 1- 2．在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为（ ） A.223 B.233
C.2
3 D.33 3．（2002年）在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
4. (2006全国Ⅰ)用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为 ( )
A. 2
B. 2
C. 2
D. 220cm 5.（2006全国Ⅱ）已知ABC 的三个角A 、B 、C 成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC 上的中线AD 的长为_________.
6.(2006春)在△ABC 中，已知5,8==AC BC ，三角形面积为12，则=C 2cos .
四、经典例题做一做
【例1】(2006)如图，在ABC ∆中，2AC =，1BC =，4
3cos =
C ． （1）求AB 的值；
（2）求()C A +2sin 的值.
【例2】在ΔABC 中，已知a=3,b=2,B=45°，求A,C 及边c ．
【例3】(2006)如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救 甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30 ，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1︒）？
【例4】已知⊙O 的半径为R ，，在它的接三角形ABC 中，有
()()
B b a
C A R sin 2sin sin 222-=
-成立，求△ABC 面积S 的最大值．
【研讨.欣赏】
（2006）如图,已知△ABC 是边长为1的正三角形, M 、N 分别是边AB 、AC 上的点,线段MN 经过△ABC 的中心G .设2
()33MGA ππ
αα∠=≤≤.
(1) 试将△AGM 、△AGN 的面积(分别记为1S 与2S )表示为α的函数;
(2) 求2212
11
y S S =+的最大值与最小值.
提炼总结
1．掌握三角形中的的基本公式和正余弦定理；
2．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）；3.利用余弦定理，可以解决以下两类问题：
（1） 已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。
4．边角互化是解三角形的重要手段．
4.6 正弦、余弦定理 解斜三角形
【选择题】
1.（2004）在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞2
1”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2.（2004全国Ⅳ）△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B =30°，△ABC 的面积为
23，那么b 等于 ( ) A.
231+ B.1+3 C.2
32+ D.2+3 3..下列条件中，△ABC 是锐角三角形的是 ( )
A.sin A +cos A =51
B.·＞0
C.tan A +tan B +tan C ＞0
D.b =3，c =33，B =30° 4.(2006全国Ⅰ)ABC ∆的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =
( )
A. 14
B. 34
C. 4
D. 3 【填空题】
5.（2004春）在ABC ∆中，c b a 、、分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边。
若 105=∠A ， 45=∠B ，22=b ， 则=c __________
6.在锐角△ABC 中，边长a =1，b =2，则边长c 的取值围是_______.
【解答题】
7.（2004春）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2－c 2=ac
－bc ，求∠A 的大小及
c
B b sin 的值.
8.（2005春）在△ABC 中，sin A +cos A =
22，AC =2，AB =3，求tan A 的值和△ABC 的面积.
9. （2004全国Ⅱ）已知锐角△ABC 中，sin （A +B ）=
53，sin （A －B ）=5
1. （1）求证：tan A =2tan B ；
（2）设AB =3，求AB 边上的高.
10. 在△ABC 中，sin A =
C
B C B cos cos sin sin ++，判断这个三角形的形状.
【探索题】已知A 、B 、C 是△ABC 的三个角，y =cot A +
）
（C B A A -+cos cos sin 2. （1）若任意交换两个角的位置，y 的值是否变化?试证明你的结论.
（2）求y 的最小值.。