余弦定理公式(题目)

正弦、余弦定理 解斜三角形

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1．三角形基本公式：

（1）角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos

2C =sin 2B A +, sin 2

C =cos 2B A + （2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=2

1casinB S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2c b a ++, r 为切圆半径) （3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A

2．正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C

===外 证明：由三角形面积

111sin sin sin 222

S ab C bc A ac B === 得sin sin sin a b c A B C

== 画出三角形的外接圆及直径易得：2sin sin sin a b c R A B C

=== 3．余弦定理：a 2=b 2+c 2

-2bccosA , 222

cos 2b c a A bc +-=； 证明：如图ΔABC 中，

sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===-

222222

22sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A =+=+-=+-

当A 、B 是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。

要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题．

4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；

有三种情况：bsinA

5．利用余弦定理，可以解决以下两类问题：

（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。

6．熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，能在应用题中抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；提高运用所学知识解决实际问题的能力

练习

1．(2006)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,13A a b π=

==，则c = （ ）

A.1

B.2 1- 2．在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为（ ） A.223 B.233

C.2

3 D.33 3．（2002年）在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是

A.等腰直角三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等边三角形

4. (2006全国Ⅰ)用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为 ( )

A. 2

B. 2

C. 2

D. 220cm 5.（2006全国Ⅱ）已知ABC 的三个角A 、B 、C 成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC 上的中线AD 的长为_________.

6.(2006春)在△ABC 中，已知5,8==AC BC ，三角形面积为12，则=C 2cos .

四、经典例题做一做

【例1】(2006)如图，在ABC ∆中，2AC =，1BC =，4

3cos =

C ． （1）求AB 的值；

（2）求()C A +2sin 的值.

【例2】在ΔABC 中，已知a=3,b=2,B=45°，求A,C 及边c ．

【例3】(2006)如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救 甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30 ，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1︒）？

【例4】已知⊙O 的半径为R ，，在它的接三角形ABC 中，有

()()

B b a

C A R sin 2sin sin 222-=

-成立，求△ABC 面积S 的最大值．

【研讨.欣赏】

（2006）如图,已知△ABC 是边长为1的正三角形, M 、N 分别是边AB 、AC 上的点,线段MN 经过△ABC 的中心G .设2

()33MGA ππ

αα∠=≤≤.

(1) 试将△AGM 、△AGN 的面积(分别记为1S 与2S )表示为α的函数;

(2) 求2212

11

y S S =+的最大值与最小值.

提炼总结

1．掌握三角形中的的基本公式和正余弦定理；

2．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：

（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）；3.利用余弦定理，可以解决以下两类问题：

（1） 已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。

4．边角互化是解三角形的重要手段．

4.6 正弦、余弦定理 解斜三角形

【选择题】

1.（2004）在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞2

1”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

2.（2004全国Ⅳ）△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B =30°，△ABC 的面积为

23，那么b 等于 ( ) A.

231+ B.1+3 C.2

32+ D.2+3 3..下列条件中，△ABC 是锐角三角形的是 ( )

A.sin A +cos A =51

B.·＞0

C.tan A +tan B +tan C ＞0

D.b =3，c =33，B =30° 4.(2006全国Ⅰ)ABC ∆的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =

( )

A. 14

B. 34

C. 4

D. 3 【填空题】

5.（2004春）在ABC ∆中，c b a 、、分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边。若 105=∠A ， 45=∠B ，22=b ， 则=c __________

6.在锐角△ABC 中，边长a =1，b =2，则边长c 的取值围是_______.

【解答题】

7.（2004春）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2－c 2=ac

－bc ，求∠A 的大小及

c

B b sin 的值.