初中数学专题复习33.一元二次方程的根系关系
中考专题一元二次方程根与系数关系解析
中考专题一元二次方程根与系数关系解析1、如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根是x 1、x 2，那么x 1+x 2= ，x 1·x 2= 。
2、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x －4=0的两个根，那么：x 1+x 2= ；x 1·x 2= ；2111x x + ；x 21+x 22= ；(x 1+1)(x 2+1)= ；｜x 1－x 2｜= 。
3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 。
4、如果关于x 的一元二次方程x 2+2x+a=0的一个根是1－2，那么另一个根是 ，a 的值为 。
5、如果关于x 的方程x 2+6x+k=0的两根差为2，那么k= 。
6、已知方程2x 2+mx －4=0两根的绝对值相等，则m= 。
7、一元二次方程px 2+qx+r=0(p ≠0)的两根为0和－1，则q ∶p= 。
8、已知方程x 2－mx+2=0的两根互为相反数，则m= 。
9、已知关于x 的一元二次方程(a 2－1)x 2－(a+1)x+1=0两根互为倒数，则a= 。
10、已知关于x 的一元二次方程mx 2－4x －6=0的两根为x 1和x 2，且x 1+x 2=－2，则m= ，(x 1+x 2)21x x ⋅= 。
11、已知方程3x 2+x －1=0，要使方程两根的平方和为913，那么常数项应改为 。
12、已知一元二次方程的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为 。
13、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为 。
(其中二次项系数为1)14、已知关于x 的一元二次方程x 2－2(m －1)x+m 2=0。
若方程的两根互为倒数，则m= ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m= 。
15、已知方程x 2+4x －2m=0的一个根α比另一个根β小4，则α= ；β= ；m= 。
16、已知关于x 的方程x 2－3x+k=0的两根立方和为0，则k= 17、已知关于x 的方程x2－3mx+2(m －1)=0的两根为x 1、x 2，且43x 1x 121-=+，则m= 。
一元二次方程之根系关系及应用题
根系关系及应用题题型一：根与系数关系一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）若21,x x 是关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根，则方程的两个根21,x x 和系数c b a ,,有如下关系：ac x x a b x x =⋅-=+2121,. 【例1】 不解方程，求下列方程两根的积与和．⑴25100x x --= ⑵22710x x ++= ⑶23125x x -=+ ⑷()137x x x -=+【例2】 已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ．⑴求实数m 的取值范围；⑵当22120x x -=时，求m 的值．【例3】 已知一元二次方程2(1)230m x mx m +++-=有两个不相等的实数根，并且这两个根又不互为相反数. ⑴ 求m 的取值范围；⑵ 当m 在取值范围内取最小偶数时，方程的两根为12,x x ，求2123(14)x x -的值.【探究对象】根系关系的进一步应用 【探究方式】在做含参一元二次方程根系关系的问题时，先考虑二次项系数不为0→再判断∆→然后根据题意看是否有两根的特殊关系（如例3，已知中强调两根不互为相反数，则根据根系关系能够得出0m ≠）．在这里主要探讨一下根的正负性问题： 利用根与系数的关系，我们可以不直接求方程2++=0ax bx c 的根，而知其根的正、负性． 在2=40b ac ∆-≥的条件下，我们有如下结论：①当<0c a时，方程的两根必一正一负．若0ba -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若<0ba-，则此方程的正根小于负根的绝对值．①当>0c a时，方程的两根同正或同负．若>0b a -，则此方程的两根均为正根；若<0b a -，则此方程的两根均为负根．【探究1】已知关于x 的一元二次方程x 2－2ax +a 2－9=0 （1）a 为何值时，方程有两个正根？（2）a 为何值时，方程有一正根、一负根？【探究2】已知关于x 的一元二次方程（m +2）x 2+2mx +232m -=0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）若 362m <<，试判断方程两个实数根的符号，并证明你的结论．【探究3】已知方程22430x x k -+-=，k 为实数且k ≠0，证明：此方程有两个实数根，其中一根大于1，另一根小于1．题型二：一元二次方程的应用题列一元二次方程解应用题的时候，要注意检验得到的根是否符合题意．【引例】 ⑴某汽车销售公司2019年盈利1500万元， 2020年盈利2160万元，且从2019年到2020年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）．A ．()2150012160x += B ．2150015002160x x += C ．215002160x = D ．()()215001150012160x x +++=⑵某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程为 ． （3）某厂一月份生产产品50台，计划二、三月份共生产产品120台，设 二、三月份平均每月增长率为x ，根据题意，可列出方程为（ ） A ．50（1+x ）2=60 B ．50（1+x ）2=120C ．50+50（1+x ）+50（1+x ）2=120D ．50（1+x ）+50（1+x ）2=120【例4】 某商品进价为40元的衬衫按50元售出时.每月能卖500件.这种衬衫每涨价1元，其销售量减少10件.如果商场计划每月赚8000元利润.售价应定为多少?练习1.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
中考复习——一元二次方程的根与系数的关系(解析版)
中考复习——一元二次方程的根与系数的关系一、选择题1、已知x1，x2是一元二次方程x2-2x=0的两根，则x1+x2的值是（）．A. 0B. 2C. -2D. 4答案：B解答：∵x1，x2是一元二次方程x2-2x=0的两根，∴x1+x2=2．选B.2、若x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，则x1·x2的值是（）．A. 2B. -2C. 4D. -3答案：D解答：∵x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，∴x1·x2=-3．3、关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0的两个实数根的平方和为12，则m的值为（）．A. m=-2B. m=3C. m=3或m=-2D. m=3或m=2答案：A解答：设x1，x2是x2+2mx+m2+m=0的两个实数根，∴Δ=-4m≥0，∴m≤0，∴x1+x2=-2m，x1·x2=m2+m，∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1·x2=4m2-2m2-2m=2m2-2m=12，∴m=3或m=-2；∴m=-2．选A.4、一元二次方程x2-3x-2=0的两根为x1，x2，则下列结论正确的是（）．A. x1=-1，x2=2B. x1=1，x2=-2C. x1+x2=3D. x1x2=2解答：∵方程x2-3x-2=0的两根为x1，x2，∴x1+x2=-ba=3，x1·x2=ca=-2，∴C选项正确．5、α，β是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两实根，且1α+1β=-23，则m等于（）．A. –2B. –3C. 2D. 3答案：B解答：α，β是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两实根，∴α+β=2，αβ=m，∵1α+1β=αβαβ+=2m=-23，∴m=-3．选B.6、已知m，n是关于x的一元二次方程x2-2tx+t2-2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（）．A. 7B. 11C. 12D. 16答案：D解答：∵m，n是关于x的一元二次方程x2-2tx+t2-2t+4=0的两实数根，∴m+n=2t，mn=t2-2t+4，∴（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4=t2+2t+8=（t+1）2+7．∵方程有两个实数根，∴Δ=（-2t）2-4（t2-2t+4）=8t-16≥0，∴t≥2，∴（t+1）2+7≥（2+1）2+7=16．选D.7、若一元二次方程ax2=b，（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m-4，则ba=（）．A. -4B. 1C. 2D. 4解答：系数化为1时，由于一元二次方程的两个根互为相反数，所以和为0，即可求得m的值为1，两根分别为2，-2，所以ba=x2=4．8、若x1，x2是一元二次方程x2+x-3=0的两个实数根，则x23-4x12+17的值为（）．A. -2B. 6C. -4D. 4答案：A解答：∵x1,x2是一元二次方程x2+x-3=0的两个实数根，∴x12+x1-3=0，x22+x2-3=0，∴x22=-x2+3，x12=-x1+3，∴x23-4x12+17=x2·（-x2+3）-4（-x1+3）+17=-x22+3x2-4（-x1+3）+17=-（-x2+3）+3x2-4（-x1+3）+17=4x2-3+4x1-12+17=4（x1+x2）+2，根据根与系数的关系可得：x1+x2=-1，∴原式=4（x1+x2）+2=-4+2=-2．选A.9、方程x2-（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，则m的值是（）．A. -2或3B. 3C. -2D. -3或2答案：C解答：∵x1+x2=m+6，x1x2=m2，x1+x2=x1x2，∴m+6=m2，解得m=3或m=-2，∵方程x2-（m+6）+m2=0有两个相等的实数根，∴Δ=b2-4ac=（m+6）2-4m2=-3m2+12m+36=0，解得m=6或m=-2，∴m=-2．10、已知a，b，c是△ABC三边的长，b＞a=c，且方程ax2+c=0的两根的差的绝对，则△ABC中最大角的度数是（）．A. 150°B. 120°C. 90°D. 60°答案：B解答：设x1、x2是ax2+c=0的两根，则x1+x2，x1x2=ca=1，∵x1-x2，∴|x1-x2，解以上方程组：（x1+x2）2-4x1x2=2，解得：b，∵b＞a=c，∴等腰三角形以b为底，∴∠A=∠C=30°，∴∠B=120°．二、填空题11、若关于x的一元二次方程x2-（a+5）x+8a=0的两个实数根分别为2和b，则ab=______．答案：4解答：∵关于x的一元二次方程x2-（a+5）x+8a=0的两个实数根分别为2和b，∴由韦达定理，得2528b ab a+=+⎧⎨=⎩，解得，14 ab=⎧⎨=⎩．∴ab=1×4=4．12、若关于x的方程x2+（k-2）x+k2=0的两根互为倒数，则k=______．答案：-1解答：设方程的两根为x 1，x 2，则x 1x 2=k 2，∵x 1与x 2互为倒数， ∴k 2=1，解得k =1或k =-1； ∵方程有两个实数根，Δ＞0，∴当k =1时，Δ＜0，舍去，故k 的值为-1． 13、已知一元二次方程x 2+2x -8=0的两根为x 1、x 2，则21x x +2x 1x 2+12xx =______． 答案：-372解答：∵x 1、x 2是方程x 2+2x -8=0的两根， ∴x 1+x 2=-2，x 1x 2=-8． ∴21x x +2x 1x 2+12x x ={}{}222112x x x x ++2x 1x 2=()21212122x x x x x x +-+2x 1x 2=()()22288--⨯--+2×（-8）=4168+--16 =-52-16 =-372． 14、已知关于x 的方程x 2+6x +k =0的两个根分别是x 1、x 2，且11x +21x =3，则k 的值为______． 答案：-2解答：∵关于x 的方程x 2+6x +k =0的两个根分别是x 1、x 2， ∴x 1+x 2=-6，x 1x 2=k ，∵11x +21x =1212x x x x +=3，∴6k-=3， ∴k =-2．15、若关于x 的方程x 2+2mx +m 2+3m -2=0有两个实数根x 1、x 2，则x 1（x 2+x 1）+x 22的最小值为______． 答案：54解答：关于x 的方程x 2+2mx +m 2+3m -2=0有两个实数根x 1、x 2，Δ=4m 2-4（m 2+3m -2）≥0，解得m ≤23由韦达定理可知x 1+x 2=-2m ，x 1·x 2=m 2+3m -2． x 1（x 2+x 1）+x 22 =x 1x 2+x 12+x 22 =（x 1+x 2）2-x 1x 2 =（-2m ）2-m 2-3m +2 =3m 2-3m +2=3（m -12）2+54． ∵m ≤23，∴当m =12时，取得最小值为54．16、对于任意实数a 、b ，定义：a ◆b =a 2+ab +b 2．若方程（x ◆2）-5=0的两根记为m 、n ，则m 2+n 2=______． 答案：6解答：∵（x ◆2）-5=x 2+2x +4-5， ∴m 、n 为方程x 2+2x -1=0的两个根， ∴m +n =-2，mn =-1， ∴m 2+n 2=（m +n ）2-2mn =6． 故答案为：6．17、阅读材料：设一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1+x 2=-b a ，x 1·x 2=c a． 根据该材料填空：已知x 1，x 2是方程x 2+6x +3=0的两实数根，则21x x +12x x 的值为______． 答案：10解答：由题意知，x 1+x 2=-6，x 1x 2=3，所以21x x +12x x =222112·x x x x +=()21212122·x x x x x x +-⋅=()26233--⨯=10．三、解答题18、已知关于x 的方程x 2+2x +a -2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围． （2）当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根． 答案：（1）a 的取值范围是a ＜3． （2）a 的值是-1，该方程的另一根为-3．解答：（1）∵b 2-4ac =（2）2-4×1×（a -2）=12-4a ＞0， 解得：a ＜3．∴a 的取值范围是a ＜3．（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：111212x x a +=-⎧⎨⋅=-⎩，解得：113a x =-⎧⎨=-⎩， 则a 的值是-1，该方程的另一根为-3．19、已知关于x 的方程x 2-4x +k +1=0有两实数根． （1）求k 的取值范围．（2）设方程两实数根分别为x 1、x 2，且13x +23x =x 1x 2-4，求实数k 的值． 答案：（1）k ≤3． （2）k =-3．解答：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2-4x +k +1=0有两个实数根， ∴Δ=（-4）2-4×1×（k +1）≥0， 解得：k ≤3，故k 的取值范围为：k ≤3．（2）由根与系数的关系可得x 1+x 2=4，x 1x 2=k +1， 由13x +23x =x 1x 2-4可得()12123x x x x +=x 1x 2-4， 代入x 1+x 2和x 1x 2的值，可得：121k +=k +1-4， 解得：k 1=-3，k 2=5（舍去）， 经检验，k =-3是原方程的根， 故k =-3．20、已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m +1）x +m -2=0． （1）求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程有两个实数根x 1，x 2，且x 1+x 2+3x 1x 2=1，求m 的值． 答案：（1）证明见解答． （2）8．解答：（1）依题意可得Δ=（2m +1）2-4（m -2）， =4m 2+9＞0．故无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）由根与系数的关系可得：()1212212x x m x x m ⎧+=-+⎨=-⎩， 由x 1+x 2+3x 1x 2=1，得-（2m +1）+3（m -2）=1， 解得m =8．21、已知关于x 的方程x 2+2x +a -2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围． （2）若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一根． 答案：（1）a 的取值范围是a ＜3． （2）a 的值是-1，该方程的另一根为-3．解答：（1）∵b 2-4ac =22-4×1×（a -2）=12-4a ＞0， 解得：a ＜3．∴a 的取值范围是a ＜3．（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：11121?2x x a +=-⎧⎨=-⎩，解得：113a x =-⎧⎨=-⎩，则a的值是-1，该方程的另一根为-3．22、已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-2x +k +2=0的两个实数根． （1）求k 的取值范围． （2）是否存在实数k ，使得等式11x +21x =k -2成立？如果存在，请求出k 的值；如果不存在，请说明理由． 答案：（1）k ≤-1． （2）存在，k 值为．解答：（1）∵一元二次方程x 2-2x +k +2=0有两个实数根， ∴Δ=（-2）2-4×1×（k +2）≥0， 解得：k ≤-1．（2）∵x 1，x 2是一元二次方程x 2-2x +k +2=0的两个实数根， ∴x 1+x 2=2，x 1x 2=k +2， ∵11x +21x =k -2， ∴1212x x x x +=22k +=k -2， ∴k 2-6=0，解得：k 1，k 2， 又∵k ≤-1， ∴k，∴存在这样的k 值，使得等式11x +21x =k -2成立，k 值为． 23、已知关于x 的一元二次方程x 2-4x -m 2=0． （1）求证：该方程有两个不等的实根．（2）若该方程的两个实数根x 1、x 2满足x 1+2x 2=9，求m 的值． 答案：（1）证明见解答．（2）m=解答：（1）∵在方程x2-4x-m2=0中，Δ=（-4）2-4×1×（-m2）=16+4m2＞0，∴该方程有两个不等的实根．（2）∵该方程的两个实数根分别为x1、x2，∴x1+x2=4①，x1·x2=-m2②．∵x1+2x2=9③，∴联立①③解之，得：x1=-1，x2=5，∴x1·x2=-5=-m2，解得：m=24、关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|=x1·x2，求k的值．答案：（1）k＞34．（2）k=2．解答：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ=（2k+1）2-4（k2+1）=4k2+4k+1-4k2-4=4k-3＞0，解得：k＞34．（2）∵k＞3 4∴x1+x2=-（2k+1）＜0，又∵x1·x2=k2+1＞0∴x1＜0，x2＜0∴|x1|+|x2|=-x1-x2=-（x1+x2）=2k+1，∵|x1|+|x2|=x1·x2，∴2k+1=k2+1，∴k1=0，k2=2，又∵k＞34，∴k=2．。
中考数学专题复习一元二次方程根系关系(原卷及解析)
一元二次方程根系关系一．选择题（共 6 小题）1．（2020秋•邵东市期末）若关于 x 的一元二次方程x范围是 ()A．m<1B．m>1C．m2．（20202+ 2 x- 1 =秋•福州期末）若关于 x 的方程mx2- 2 x+m= 0有实数根，则 m1D．m 10 有两个不相等的实数根，则的取值m 的取值范围是A．m (< -1)B．m>-1且m ≠0C．m > -1D．m-1 且m ≠03．（2020 秋•历城区期末）已知一元二次方程)A．10B．64．（2020秋•沈丘县期末）设 x1， x2是方程 x22- 8 x+c= 0有一个根为 2，则另一个根为 ( xC．8D．-2+ 3 x- 3 = 02x2的值的两个实数根，则 x+ x x1212为 (A．9)B．-9C．1D．-15．（2020 秋•北碚区校级期末）如果方程x2-x -2=0的两个根为α，β，那么α2+β-2αβ的值为 (A．7)B．6C．-2D．06．（2020秋•高平市期末）关于x的方程( x- 2)( x+ 3) =a2(a为常数）的根的情况，下列结论中正确的是()A．两个正根B．两个负根C．一个正根一个负根D．无实数根二．填空题（共 2 小题）7．（2020 秋•隆回县期末）若关于x的一元二次方程ax2+x- 2 = 0 有两个相等的实数根，则a=．8 ．（2020秋•渌口区期末）若 x1，x2是一元二次方程x2+4 x- 2020 = 0 的两个根，则x1+ x2- x1 x2的值是．三．解答题（共 2 小题）第1页（共2页）9．（20202+ ( m+ 3) x+ 1 = 0( m≠ 0)秋•姜堰区期末）已知关于 x 的一元二次方程mx（1）请说明该一元二次方程一定有两个不相等的实数根；．（2）若该方程有一个根为x=1，请求出此方程的另一个根．2+ 2 x+k 10．（2020 秋•鼓楼区期末）已知关于x的一元二次方程x数根．（1）求k的取值范围；（2）设两个实数根是x1和 x2，且 x1+ x2- 2 x1x2= 2，则 k的值为-1 = 0．有两个不相等的实一元二次方程根系关系参考答案与试题解析一．选择题（共 6 小题）1．（2020 秋•邵东市期末）若关于x的一元二次方程x2范围是 ()A．m<1B．m>1C．m 【解答】解：由题意可知：△= 4 - 4m0 ，-2 x+m1=0有实数根，则D．m 1m的取值∴m 1，故选： C 2．（2020．秋•福州期末）若关于x的方程mx2+2 x- 1 = 0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ()A．m< -1B．m> -1且m≠0C．m> -1D．m-1 且m≠02+ 2 x- 1 = 0 有两个不相等的实数根，【解答】解：关于 x 的方程mx∴ m ≠0，且△>0，即 4 + 4 m> 0，解得 m > -1，∴m 的取值范围是：m> -1且m≠0．故选：B．3．（2020 秋•历城区期末）已知一元二次方程x2- 8 x+c= 0有一个根为 2，则另一个根为)A．10【解答】解：设方程的另一个根为 t ，(根据题意得 2 +t= 8 ，解得t=即方程的另一个根是 6．故选：B．4．（2020 秋•沈丘县期末）设6x1，，x2是方程 x 2+3 x- 3 = 0 的两个实数根，则 x2x12+ x x212的值为 ()A．9B．-9C．1D．-1【解答】解：根据题意得 x1+ x2= -3， x1 x2= -3，所以原式= x1 x2( x1+ x2)第1页（共4页）= -3⨯(-3)= 9 ．故选：A ．5．（2020 秋•北碚区校级期末）如果方程 x 2 - x - 2 = 0 的两个根为α ，β ，那么的值为 ( )A ．7B ．6C ． -2D ．02- x - 2 = 0 的两个根为α ， β ，【解答】解： 方程 xα 2 +β -2αβ∴α+β =1 ，αβ = -2 , α 2 =α +2 ，∴ α 2 +β -2αβ =α +2+β -2αβ =1+2-2故选：A ．6．（2020 秋•高平市期末）关于 x 的方程⨯ (-2) =( x - 2)( x7 ,+ 3) = a 2 (a为常数）的根的情况，下列结论中正确的是 ( )A ．两个正根B ．两个负根C ．一个正根一个负根D ．无实数根【解答】解： 2 (a 为常数）， ( x - 2)( x + 3) = a∴ x + x - 6 - a = 0 ，2 2 ∴△ =1 - 4(-6 - a ) = 1 + 24 + 4a = 25 + 4a > 0 2 2 2 2 ∴方程有两个不相等的实数根，根据根与系数的关系，方程的两个根的积为 -6 ∴一个正根一个负根．故选：C ．， - a 2 < 0，二．填空题（共 2 小题）7．（2020 秋•隆回县期末）若关于 x的一元二次方程 ax 2 + x - 2 = 0 有两个相等的实数根，则a = - 1 ． 8【解答】解： 关于 x 的一元二次方程 ax 2 + x - 2 = 0 有两个相等的实数根，∴△ = 12 - 4a ⨯ ( -2) = 0 ，第2页（共4页）岩师出高徒∴ a = -1．8故答案为：-18．8 ．（2020秋•渌口区期末）若x1，x2是一元二次方程x2+4 x- 2020 = 0 的两个根，则x1+ x2-x1 x2的值是2016．【解答】解：x1，x2是一元二次方程 x 2+4 x -2020=0的两个根，∴ x1+ x2= -4，x1x2= -2020，则 x1+ x2- x1 x2= -4 - (-2020) =2016，故答案为 2016．三．解答题（共 2 小题）9．（20202+ ( m+ 3) x+ 1 = 0( m≠ 0)秋•姜堰区期末）已知关于 x 的一元二次方程mx（1）请说明该一元二次方程一定有两个不相等的实数根；．（2）若该方程有一个根为x=1，请求出此方程的另一个根．【解答】（1）证明：b2-4 ac= ( m+ 3) 2 -4 m=m2 +6 m+ 9 - 4 m= ( m+ 1) 2 +8 > 0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）解：把x=1代入原方程得：m+m+3+1=0，解得 m = -2，故原方程为：-2 x2+x+ 1 = 0 ，解得 x= 1, x= -1，122∴另一个根为 -1．210．（2020 秋•鼓楼区期末）已知关于x的一元二次方程数根．（1）求k的取值范围；（2）设两个实数根是x1和x2，且x1+x2-2x1x2=2，则x2k+2 x+k的值为-1 =-10有两个不相等的实．【解答】解：（1）一元二次方程x2+2x+k-1=0有两个不相等的实数根，∴△= b 2-4 ac =22-4( k -1)>0，第3页（共4页）岩师出高徒解得 k <2，即 k 的取值范围是k<2；（2）一元二次方程 x 2+2 x + k -1=0的两个实数根是x1和x2，∴ x1+ x2= -2， x1 x2= k -1，x1+ x2-2 x1 x2=∴-2 - 2( k- 1) = 2∴ k = -1，2，，故答案为：-1．第4页（共4页）第2页（共2页）。
中学数学《一元二次方程根与系数的关系》知识点精讲
知识点总结一、一元二次方程根与系数的关系（1）若方程ax2 bx c 0 (a≠0)的两个实数根是x1，x2，则x1+x2= -bc，x1x2= aa（2）若一个方程的两个根为x1,，x2，那么这个一元二次方程为ax2 x1 x2 x x1x2 0 (a≠0)（3）根与系数的关系的应用：① 验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；② 求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数.③ 求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于x1和x2的代数式的值，如；④ 求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式.二、解一元二次方程应用题：它是列一元一次方程解应用题的拓展,解题方法是相同的。
其一般步骤为：1．设：即适当设未知数（直接设未知数，间接设未知数），不要漏写单位名称，会用含未知数的代数式表示题目中涉及的量；2．列：根据题意，列出含有未知数的等式，注意等号两边量的单位必须一致；3．解：解所列方程，求出解来；4．验：一是检验是否为方程的解，二是检验是否为应用题的解；5．答：怎么问就怎么答，注意不要漏写单位名称。
一元二次方程的练习题1、若关于x的二次方程(m+1)x-3x+2=0有两个相等的实数根，则m=__________22、设方程x 3x 4 0的两根分别为x1，x2，则x1+x2=________，x1·x2=__________ 2x1+x2=_________，（x1-x2）=__________，x1+x1x2+3x1=____________23、若方程x-5x+m=0的一个根是1，则m=____________24、两根之和等于－3，两根之积等于－7的最简系数的一元二次方程是_____________25、若关于x的一元二次方程mx+3x-4=0有实数根，则m的值为______________226、方程kx+1=x-x无实根，则k___________导学案【学习目标】1、学会用韦达定理求代数式的值。
一元二次方程根的判别式与根系关系
一元二次方程的判别式与根系关系【知识精讲】1.一元二次方程的根的判别式（1）根的判别式：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 是否有实根，由符号确定，因此我们把 叫做一元二次方程的根的判别式，并用△表示，即（2）一元二次方程根的情况与判别式的关系：△>0⇔方程有 的实数根；△=0方程有 的实数根；△<0方程 实数根；△≥⇔方程 实数根.注：①使用前应先将方程化为一般形式；②使用此性质要保证方程为一元二次方程，即0≠a ；③性质顺用、逆用均可；④不解方程，可判断根的情况；⑤根据方程的情况，可确定方程中字母系数的值或取值范围；⑥在函数图像的交点问题中可以判断交点的个数；2.根系关系（韦达定理）（1）对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根,,21x x 有ac x x a b x x =•=+2121,- （2）推论：如果方程02=++q px x 的两根是,,21x x 那么q x x x x =•=+2121,-p（3）常用变形：+=+2122122212-)(x x x x x x 21212214-)()-(x x x x x x += 注：①使用次性质要保证一元二次方程有两根，即0≠a 和△0≥；②不解方程，可计算代数式的值③根据两根之间的关系，可求方程中字母系数的值④与根的判别式一起使用，可确定根的符号问题【典型例题精讲】【例1】是否存在这样的非负数m ，使得关于x 的一元二次方程01-91-3(2-2=+m x m mx ）有两不相等的实数根，若存在，请求出m 的值，若不存在，请说明理由。
【拓展练习】1.关于x 的方程01)2(2-)1-(22=++x m x m 有实根，求m 的取值范围。
2.求证不论m 取何值时，若关于x 的方程02)5(22=++++m x m x 恒有两个不相等的实根。
3.已知关于x 的方程042-)1(222=+++k kx x k ，求证：次方程没有实根。
专题03 一元二次方程根系关系及应用-九年级数学上册(解析版)
专题03一元二次方程根系关系及应用考点1：根与系数关系；考点2：利用根与系数关系求值；考点3：根的判别式。
1．设方程x 2﹣3x +2＝0的两根分别是x 1，x 2，则x 1+x 2的值为（）A ．3B ．−32C ．32D ．﹣2解：由x 2﹣3x +2＝0可知，其二次项系数a ＝1，一次项系数b ＝﹣3，由根与系数的关系：x 1+x 2=−=−−31=3．答案：A ．2．（易错题）已知等腰三角形的三边长分别为a 、b 、4，且a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x +m +2＝0的两根，则m 的值是（）A ．34B ．30C ．30或34D ．30或36解：当a ＝4时，b ＜8，∵a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x +m +2＝0的两根，∴4+b ＝12，∴b ＝8不符合；当b ＝4时，a ＜8，∵a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x +m +2＝0的两根，∴4+a ＝12，∴a ＝8不符合；当a ＝b 时，∵a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x +m +2＝0的两根，∴12＝2a ＝2b ，∴a ＝b ＝6，∴m +2＝36，∴m ＝34；答案：A ．题型01根与系数关系3．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（）A．x2+2x﹣3＝0B．x2+2x﹣20＝0C．x2﹣2x﹣20＝0D．x2﹣2x﹣3＝0解：设此方程的两个根是α、β，根据题意得：α+β＝﹣p＝﹣2，αβ＝q＝﹣20，则以α、β为根的一元二次方程是x2+2x﹣20＝0．答案：B．4．关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1•x2的值为2．解：∵关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2，∴x1•x2＝﹣1，x1+x2＝1，∴x1+x2﹣x1•x2＝1﹣（﹣1）＝2，答案：2．5．平行四边形的两条邻边的长分别是方程x2﹣7x+1＝0的两根，则该平行四边形的周长是14．解：∵平行四边形的两条邻边的长分别是方程x2﹣7x+1＝0的两根，∴平行四边形的两条邻边的长的和是7，故该平行四边形的周长是7×2＝14．答案：14．6．在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝2，x2＝3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝5．请你写出正确的一元二次方程x2﹣6x+6＝0．解：根据题意得2×3＝c，1+5＝﹣b，解得b＝﹣6，c＝6，所以正确的一元二次方程为x2﹣6x+6＝0．答案：x2﹣6x+6＝0．7．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x12+x22＝5，则k的值是（）A．﹣2B．2C．﹣1D．1解：∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，题型02利用根与系数关系求值∴x1+x2＝k，x1x2＝k﹣3，∵x12+x22＝5，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，∴k2﹣2（k﹣3）＝5，整理得出：k2﹣2k+1＝0，解得：k1＝k2＝1，答案：D．8．（易错题）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式x13﹣2023x1+x22的值是（）A．4047B．4046C．2023D．1解：把x＝x1代入方程得：x12﹣x1﹣2023＝0，即x12﹣2023＝x1，∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2023＝0的两个实数根，∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣2023，则原式＝x1（x12﹣2023）+x22＝x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝1+4046＝4047．答案：A．9．已知a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则代数式2a3﹣6a2+b2+7b+1的值是（）A．﹣25B．﹣24C．35D．36解：∵a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，∴a2﹣3a﹣5＝0，b2﹣3b﹣5＝0，a+b＝3,∴a2﹣3a＝5，b2＝3b+5，∴2a3﹣6a2+b2+7b+1＝2a（a2﹣3a)+3b+5+7b+1＝10a+10b+6＝10(a+b)+6＝10×3+6＝36．答案：D．10．（易错题）关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1、x2，若x2＝2x1，则4b﹣9ac的最大值是（）A．1B．2C．3D．2解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1、x2，∴x1+x2=−，x1x2=，∵x2＝2x1，∴3x1=−，即x1=−3，∴x2=−23，∴=2292，∴9ac＝2b2，∴4b﹣9ac＝4b﹣9a•229=4b﹣2b2＝﹣2（b﹣1）2+2，∵﹣2＜0，∴4b﹣9ac的最大值是2，答案：D．11．α、β是关于x的方程x2﹣x+k﹣1＝0的两个实数根，且α2﹣2α﹣β＝4，则k的值为﹣4．解：∵α、β是方程x2﹣x+k﹣1＝0的根，∴α2﹣α+k﹣1＝0，α+β＝1，∴α2﹣2α﹣β＝α2﹣α﹣（α+β）＝﹣k+1﹣1＝﹣k＝4，∴k＝﹣4，答案：﹣4．12．（易错题）设x1，x2是方程x2﹣x﹣2023＝0的两实数根，则13+20242−2023=2024．解：∵x2﹣x﹣2023＝0，∴x2＝x+2023，x＝x2﹣2023，又∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2023＝0的两实数根，∴x1+x2＝1，∴13+20242−2023＝x1•12+2023x2+x2﹣2023，＝x1•（x1+2023）+2023x2+x2﹣2023，＝（x1+2023）+2023x1+2023x2+x2﹣2023，＝x1+x2+2023（x1+x2）+2023﹣2023，＝1+2023，＝2024，答案：2024．13．若m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则3+23K1的值为3．解：m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，∴m2+3m﹣1＝0，∴3m﹣1＝﹣m2，∴m+n＝﹣3，∴3+23K1=2(rp3K1=−32−2=3，答案：3．14．对于实数a，b，定义运算“a*b=2−B(＞pB−2(≤p”例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣8x+16＝0的两个根，则x1*x2＝0．解：x2﹣8x+16＝0，解得：x＝4，即x1＝x2＝4，则x1*x2＝x1•x2﹣x22＝16﹣16＝0，答案：0．15．（易错题）已知关于x，y的方程组B+23=−103，+=4与−=2，+B=15的解相同．（1）求a，b的值；（2）若一个三角形的一条边的长为26，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b＝0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．解：（1）由题意得，关于x，y的方程组的相同解，就是方程组+=4−=2的解，解得，=3=1，代入原方程组得，a＝﹣43，b＝12；（2）该三角形是等腰直角三角形，理由如下：当a＝﹣43，b＝12时，关于x的方程x2+ax+b＝0就变为x2﹣43x+12＝0，解得，x1＝x2＝23，又∵（23）2+（23）2＝（26）2，∴以23、23、26为边的三角形是等腰直角三角形．16．关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．实数根的个数与实数a的取值有关解：∵Δ＝（2a）2﹣4×1×（a2﹣1）＝4a2﹣4a2+4＝4＞0．∴关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0有两个不相等的实数根．答案：C．17．对于实数a，b定义新运算：a※b＝ab2﹣b，若关于x的方程1※x＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围（）A．k＞−14B．k＜−14C．k＞−14且k≠0D．k≥−14且k≠0解：根据定义新运算，得x2﹣x＝k，即x2﹣x﹣k＝0，∵关于x的方程1※x＝k有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣k）＞0，题型03根的判别式解得：＞−14，答案：A．18．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c ＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．a＝c B．a＝b C．b＝c D．a＝b＝c解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝0，又a+b+c＝0，即b＝﹣a﹣c，代入b2﹣4ac＝0得（﹣a﹣c）2﹣4ac＝0，即（a+c）2﹣4ac＝a2+2ac+c2﹣4ac＝a2﹣2ac+c2＝（a﹣c）2＝0，∴a＝c．答案：A．19．若一元二次方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为1．解：根据题意得Δ＝22﹣4×1×k＝0，即4﹣4k＝0解得k＝1．答案：1．20．关于x的一元二次方程ax2+bx+14=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a＝4，b ＝2．解：关于x的一元二次方程ax2+bx+14=0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4×14a＝b2﹣a＝0，∴a＝b2，当b＝2时，a＝4，故b＝2，a＝4时满足条件．答案：4，2．21．（易错题）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+n＝0的两个根，则n的值为8或9．解：当4为腰长时，将x＝4代入x2﹣6x+n＝0，得：42﹣6×4+n＝0，解得：n＝8，当n＝8时，原方程为x2﹣6x+8＝0，解得：x1＝2，x2＝4，∵2+4＞4，∴n＝8符合题意；当4为底边长时，关于x的方程x2﹣6x+n＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×n＝0，解得：n＝9，当n＝9时，原方程为x2﹣6x+9＝0，解得：x1＝x2＝3，∵3+3＝6＞4，∴n＝9符合题意．∴n的值为8或9．答案：8或9．22．我们规定：对于任意实数a、b、c、d有[a，b]*[c，d]＝ac﹣bd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3，2]*[5，1]＝3×5﹣2×1＝13．（1）求[﹣4，3]*[2，﹣6]的值；（2）已知关于x的方程[x，2x﹣1]*[mx+1，m]＝0有两个实数根，求m的取值范围．解：（1）[﹣4，3]*[2，﹣6]＝﹣4×2﹣3×（﹣6）＝10；（2）根据题意得x（mx+1）﹣m（2x﹣1）＝0，整理得mx2+（1﹣2m）x+m＝0，∵关于x的方程[x，2x﹣1]*[mx+1，m]＝0有两个实数根，∴Δ＝（1﹣2m）2﹣4m•m≥0且m≠0，解得m≤14且m≠0．。
一元二次方程根与系数的关系笔记
一元二次方程根与系数的关系笔记1. 引言说到一元二次方程，大家的第一反应可能是“哦，那就是ax² + bx + c = 0 的那个式子吧！”对，就是这个。
不过，今天我们来聊聊这个方程里的根和系数之间的那些关系。
别担心，我们不打算绕着弯子走，只希望你能把这些知识融入到脑海里，像在生活中记住别人的名字一样自然。
2. 一元二次方程的基本知识2.1 什么是一元二次方程？一元二次方程其实就是形如ax² + bx + c = 0 的方程，其中 a、b 和 c 是常数，x是未知数。
简单来说，x 需要满足这个方程等于零的条件。
2.2 根的定义根就是使方程成立的 x 值。
例如，在x² 3x + 2 = 0 这个方程中，x = 1 和 x = 2 就是它的根，因为把这两个值代入方程后，方程成立了。
3. 根与系数的关系3.1 根的和如果你知道了方程的根，比如x₁和x₂，那么这两个根的和其实和系数b 有关。
我们有一个公式叫“根的和公式”，即 x₁ + x₂ = b/a。
这听起来有点晦涩，但你可以这么理解：方程的根之和等于 b 除以 a。
就像你买了两种口味的冰淇淋，根的和就像是这两种口味加起来的数量。
3.2 根的积再来谈谈根的积。
公式是 x₁ * x₂ = c/a。
这个公式说明了，根的乘积等于常数项 c 除以 a。
换句话说，如果你把两个根乘起来，就能得到一个值，这个值就是 c 除以a。
就像你有两个不同的商品，乘积代表它们一起的“力量”。
4. 实际应用4.1 求解一元二次方程通过根与系数的关系，我们可以很方便地求解一元二次方程。
如果你知道了根，就能很快找到系数；反之，知道了系数也能推算根。
这种关系简直就是数学中的小秘密，掌握了它，你就像有了破解方程的钥匙。
4.2 检验根与系数的关系有时候我们需要检验自己解出的方程是否正确。
这个时候，利用根与系数的关系公式就能大显身手。
如果计算结果和我们用公式得出的结果一致，那就证明我们的计算没错。
一元二次方程的根与系数的关系
．
‘
．
ａ ＝２， ＝ Ｃ －１ ｂ ４， ＝－ ．
两 根 之 和 与 两 根 之 积 直 接 应 用
ｂ
ｊ ２ 帆 ＝—
一
（ ＝ ２４ ｅ ４－ ｘ ｘ 一 ） ０ １ ｖＡ ｂ ａ ＝ ｚ４ ２ （ １ ＞ ， －
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倍 ， （ ＋ ） ＋ ２ ， 以 有 即 ａ ｂ ＝ ６＋ 所
１ ２（１ ２２２ ｌ ＋ ２ ＋ ） ｘ ２ ＝ － ｘ
＝
（＿２ ） ＿， （ ＿２ 一 ３ ２－ １
９
＋ （＋ ） ２ｂ 由 此 可 求 出 ６＝ 口 ６ ａ ， 一 （ ）同 样 ， 用 两 数 和 与 积 表 示 １． 可 两数 的倒 数 和．
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Ｆ ｒ ａ ｙｌｅ ｎｅｔ ｌ ｉｔｅ ｔ ｔｈｒｍ ｄｐｎ ｅ ｃ ｄ ｐｎ ｅｃ ． ｏ ｎ ，ｆ＇ｌ ｇｓｍｉ ｒ ｃ ｏ ｅｅ ｄｎｅｔｉ ｅｅｄ ｎｅ ｍ ｉ ｓｏ ｅｓｈ ｓ ｅ ｆ ｏｎ
— — —— —— — — — — — — — — … … … 一 … … — — —— —— — — … —— … … … … … … … 一 … … … … …
ｎ
帆 口一 ， 一 Ｚ一ｚ
０ 丁 Ｚ’ Ｚ一
把 方 程 化 为 一 般 式 后 准 确 确 定
出ａ ，ｂ，Ｃ ．
点 拔 利 用 两 根 的 和 与 积
利用 根 与 系数 的 关 系 ，求 一元 二次 方程 ２ Ｚ３ 一 ＝ ｘ＋ ｘ １ ０两
人教版初三数学：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解(提高)
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解（提高）【学习目标】1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理】要点一、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆ （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程()002≠=++a c bx ax 中，（1）方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42-﹥0；（2）方程有两个相等的实数根⇒ac b 42-=0；（3）方程没有实数根⇒ac b 42-﹤0.要点诠释：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ac b 42-≥0. 要点二、一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x x x x x x +=+-；②12121211x x x x x x ++=； ③2212121212()x x x x x x x x +=+；④2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22121212()()4x x x x x x -=+-；⑥12()()x k x k ++21212()x x k x x k =+++；⑦2212121212||()()4x x x x x x x x -=-=+-；⑧22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==； ⑨2212121212()()4x x x x x x x x -=±-=±+-； ⑩22212121212||||(||||)+2||x x x x x x x x +=+=+2121212()22||x x x x x x =+-+．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则 ①当△≥0且120x x >时，两根同号．当△≥0且120x x>，120x x+>时，两根同为正数；当△≥0且120x x>，120x x+<时，两根同为负数．②当△＞0且120x x<时，两根异号．当△＞0且120x x<，120x x+>时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且120x x<，120x x+<时，两根异号且负根的绝对值较大．要点诠释：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根a b+，则必有一根a b-（a，b为有理数）．【典型例题】类型一、一元二次方程根的判别式的应用1（2015•梅州）已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．【思路点拨】（1已知方程有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．（2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．【答案与解析】解：（1）∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，解得：a＜3．∴a的取值范围是a＜3；（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：，解得：，则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．【总结升华】熟练掌握一元二次方程根的判别式与根之间的对应关系．举一反三：【高清ID号：388522 关联的位置名称（播放点名称）：判别含字母系数的方程根的情况---例2（2）】【变式】（2015•张家界）若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是（）A. 1 B. 0,1 C. 1,2 D. 1,2,3【答案】A.提示：根据题意得：△=16﹣12k ≥0，且k ≠0，解得：k ≤，且k ≠0. 则k 的非负整数值为1．2.已知关于x 的一元二次方程2(1)10m x x -++=有实数根，则m 的取值范围是________ 【答案】54m ≤且m ≠1 【解析】因为方程2(1)10m x x -++=有实数根，所以214(1)450m m =--=-+≥△，解得54m ≤， 同时要特别注意一元二次方程的二次项系数不为0，即(1)0m -≠， ∴ m 的取值范围是54m ≤且m ≠1． 【总结升华】注意一元二次方程的二次项系数不为0，即(1)0m -≠，m ≠1． 举一反三：【高清ID 号：388522关联的位置名称（播放点名称）：利用根的判别式求字母范围---例4（1）】【变式】已知：关于x 的方程2(1)04kkx k x +++=有两个不相等的实数根,求k 的取值范围. 【答案】102k k ≠＞－且.类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用3. （2016•绥化）关于x 的一元二次方程x 2+2x +2m=0有两个不相等的实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若x 1，x 2是一元二次方程x 2+2x +2m=0的两个根，且x 12+x 22=8，求m 的值．【思路点拨】 （1）根据方程根的个数结合根的判别式，可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）根据方程的解析式结合根与系数的关系找出x 1+x 2=﹣2，x 1•x 2=2m ，再结合完全平方公式可得出x 12+x 22=﹣2x 1•x 2，代入数据即可得出关于关于m 的一元一次方程，解方程即可求出m 的值，经验值m=﹣1符合题意，此题得解． 【答案与解析】 解：（1）∵一元二次方程x 2+2x +2m=0有两个不相等的实数根， ∴△=22﹣4×1×2m=4﹣8m ＞0， 解得：m ＜．∴m 的取值范围为m ＜．（2）∵x 1，x 2是一元二次方程x 2+2x +2m=0的两个根， ∴x 1+x 2=﹣2，x 1•x 2=2m ， ∴x 12+x 22=﹣2x 1•x 2=4﹣4m=8，解得：m=﹣1．当m=﹣1时，△=4﹣8m=12＞0．∴m 的值为﹣1．【总结升华】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、解一元一次不等式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）结合题意得出4﹣8m ＞0；（2）结合题意得出4﹣4m=8．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结合根的判别式得出不等式是关键．举一反三：【高清ID 号：388522 关联的位置名称（播放点名称）：根与系数的关系---例3】 【变式】不解方程，求方程22310x x +-=的两个根的（1）平方和；（2）倒数和． 【答案】（1）134； （2）3．4. 求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程25230x x +-=各根的负倒数． 【答案与解析】设方程25230x x +-=的两根分别为x 1、x 2，由一元二次方程根与系数的关系， 得1225x x +=-，1235x x =-．设所求方程为20y py q ++=，它的两根为y 1、y 2， 由一元二次方程根与系数的关系得111y x =-，221y x =-， 从而12121212122111125()335x x p y y x x x x x x -⎛⎫+=-+=---=+=== ⎪⎝⎭-，12121211153q y y x x x x ⎛⎫⎛⎫==--==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故所求作的方程为225033y y +-=，即23250y y +-=． 【总结升华】所求作的方程中的未知数与已知方程中的未知数要用不同的字母加以区别．同时“以两个数为根的一元二次方程是.”可以用这种语言形式记忆“2x -和x +积＝0”，或“减和加积”，此处的一次项系数最容易出现符号上的错误．附录资料：弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—知识讲解（基础）【学习目标】1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题；2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问题；3. 能准确计算组合图形的面积.【要点梳理】要点一、弧长公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)要点诠释：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.要点二、扇形面积公式1.扇形的定义由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.2.扇形面积公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：n°的圆心角所对的扇形面积公式：要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.要点三、圆锥的侧面积和全面积连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.圆锥的母线长为，底面半径为r ，侧面展开图中的扇形圆心角为n °，则圆锥的侧面积2360l S rl ππ=扇n =， 圆锥的全面积.要点诠释：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.【典型例题】类型一、弧长和扇形的有关计算1．如图（1），AB 切⊙O 于点B ，OA=23，AB=3，弦BC∥OA，则劣弧BC 的弧长为（ ）． A ．33π B ．32πC ．πD ．32π图（1） 【答案】A.【解析】连结OB 、OC ，如图（2）则0OBA ∠︒＝9，OB=3，0A ∠︒＝3，0AOB ∠︒＝6， 由弦BC ∥OA 得60OBC AOB ∠∠=︒＝， 所以△OBC 为等边三角形，0BOC ∠︒＝6. 则劣弧BC 的弧长为6033=1803ππ，故选A. 图（2） 【总结升华】主要考查弧长公式：.举一反三：【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)CBAO【答案】R=40mm，n=110∴的长==≈76.8(mm)因此，管道的展直长度约为76.8mm．【高清ID号：359387 高清课程名称：弧长扇形圆柱圆锥关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】2．如图，⊙O的半径等于1，弦AB和半径OC互相平分于点M.求扇形OACB 的面积（结果保留π）【答案与解析】∵弦AB和半径OC互相平分，∴OC⊥AB，OM=MC=OC=OA．∴∠B=∠A=30°，∴∠AOB=120°∴S扇形=．【总结升华】运用了垂径定理的推论，考查扇形面积计算公式.举一反三：【高清ID号：359387 高清课程名称：弧长扇形圆柱圆锥关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】【变式】如图（1），在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（）．A．449-π B．849-π C．489-π D．889-π图（1）AEB F P【答案】连结AD，则AD⊥BC，△ABC的面积是：BC•AD=×4×2=4，∠A=2∠EPF=80°．则扇形EAF的面积是：2 8028=. 3609ππ⨯故阴影部分的面积=△ABC的面积-扇形EAF的面积=84-9π．图（2）故选B．类型二、圆锥面积的计算3．（2014秋•广东期末）如图，一个圆锥的高为cm，侧面展开图是半圆，求：（1）圆锥的底面半径r与母线R之比；（2）圆锥的全面积．【思路点拨】（1）设出圆锥的底面半径及圆锥的母线长，利用底面周长等于圆锥的弧长得到圆锥的母线与底面的半径之比即可；（2）首先求得圆锥的底面半径和圆锥的母线长，然后利用圆锥的侧面积的计算方法求得其侧面积即可．【答案与解析】解：（1）由题意可知∴，R=2r（3分）r：R=r：2r=1：2；（2）在Rt△AOC中，∵R2=r2+h2∴，4r2=r2+27r2=9，r=±3∵r＞0∴r=3，R=6.∴S侧=πRr=18π（cm2）（cm2）∴S全=S侧+S底=18π+9π=27π（cm2）．【总结升华】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记有关的公式．类型三、组合图形面积的计算4．（2015•槐荫区三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠CDB=30°，CD=2，求图中阴影部分的面积．【答案与解析】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=．∵∠CDB=30°，∴∠COE=60°，在Rt△OEC中，OC==2，∵CE=DE，∠COE=∠DBE=60°∴Rt△COE≌Rt△DBE，∴S阴影=S扇形OBC=π×OC2=π×4=π．【总结升华】本题考查了垂径定理，扇形的面积等，解此题的关键是求出扇形和三角形的面积．。
初三年级奥数知识点：一元二次方程的根与系数的关系
【导语】奥林匹克数学竞赛或数学奥林匹克竞赛，简称奥数。
奥数体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共通性：更快、更⾼、更强。
国际数学奥林匹克作为⼀项国际性赛事，由国际数学教育专家命题，出题范围超出了所有国家的义务教育⽔平，难度⼤⼤超过⼤学⼊学考试。
下⾯是⽆忧考为⼤家带来的初三年级奥数知识点：⼀元⼆次⽅程的根与系数的关系，欢迎⼤家阅读。
根与系数之间的关系⼜称韦达定理,指的是如果⽅程ax平⽅+bx+c=0（a不等于0）的两根为x1、x2,那么x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.需要说明的是,必须保证满⾜：（1）a不等于0（2）判别式⼤于等于0.韦达定理通常解决⼀些已知⽅程求两根的某种运算,如⽅程x平⽅+5x-10=0的两个根分别是x1、x2,不解⽅程求1/x1+1/x2；x1平⽅+x2平⽅；x1⽴⽅+x2⽴⽅等；已知⽅程两个根的某种关系求⽅程中的待定系数；解决直线与圆锥曲线的交点问题,弦长问题等，是中学数学中⼀个⾮常重要的关系.它的⼀般结论是⼀元n次⽅程中根与系数的关系,⼤学⾥才学习.练习1.若x1，x2是⼀元⼆次⽅程x2-5x+6=0的两个根，则x1+x2的值是( )A.1B.5C.-5D.62.⼀元⼆次⽅程x2+4x-3=0的两根为x1，x2，则x1x2的值是( )A.4B.-4C.3D.-33.已知⽅程x2-2x-1=0，则此⽅程( )A.⽆实数根B.两根之和为-2C.两根之积为-1D.有⼀根为-1+24.已知关于x的⼀元⼆次⽅程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=-2，x2=4，则m+n的值是( )A.-10B.10C.-6D.25.已知实数x1，x2满⾜x1+x2=11，x1x2=30，则以x1，x2为根的⼀元⼆次⽅程是( )A.x2-11x+30=0B.x2+11x+30=0C.x2+11x-30=0D.x2-11x-30=0答案：1．B 2.D 3.C 4.A 5.A。
专题：一元二次方程的根与系数的关系
九年级数学专题一：一元二次方程的根与系数的关系一、知识要点：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：12,22b b x x a a-+--==所以：12b x x a+=+=-，12244ac c x x a a⋅====定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么： 12x x +=______________, 12x x =______________.说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定理．上述定理成立的前提是0∆≥．二、例题讲解类型一、一元二次方程的两个根的有关计算例1.设x 1，x 2是方程x 2+2x ﹣3＝0的两个实数根，求x 12+x 22的值． 解：∵x 1，x 2是方程x 2+2x ﹣3＝0的两个实数根，∴x 1+x 2＝﹣2，x 1•x 2＝﹣3，∴x 12+x 22＝（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝（﹣2）2﹣2×（﹣3）＝10；例2.设x 1与x 2为一元二次方程x 2+3x +2＝0的两根，求（x 1﹣x 2）2的值． 解：由题意可知：x 1+x 2＝﹣6，x 1x 2＝4，∴（x 1﹣x 2）2＝（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2 ＝（﹣6）2﹣4×4＝36﹣16＝20，练习1：（1）设a ，b 是方程x 2﹣x ﹣2021＝0的两个实数根，则a +b ﹣ab 的值为（ ）A ．2022B ．﹣2022C ．2020D ．﹣2020（2）已知方程x 2+2x +6＝10x +2的两实数根分别为x 1，x 2，则的值为（ ） A ．﹣2 B ．2 C ． D ．﹣（3）设x 1，x 2是方程x 2﹣3x ﹣3＝0的两个实数根，则x 12x 2+x 1x 22的值为（ ）A ．9B ．﹣9C ．1D ．﹣1（4）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x ﹣7＝0的两个实数根，则x 12+4x 1x 2+x 22的值是 ．（5）已知a 、b 是方程x 2+5x +3＝0的两个根，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ． 练习2：若12,x x 是方程2220090x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．类型二、由已知一元二次方程的一个根求出它的另一个根及未知系数例3.关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为1，则方程的另一个根与m的值.解：设方程的另一根为x＝p．∵关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为1，∴x＝1满足关于x的一元二次方程x2+mx+3＝0，∴1+m+3＝0，解得m＝﹣4；又由根与系数的关系知：1•p＝3，解得p＝3．故方程的另一根是3．练习3：（1）关于x的一元二次方程2x2﹣kx+12＝0的一个根x1＝2，则方程的另一个根x2和k的值为（）A．x2＝3，k＝10B．x2＝﹣3，k＝﹣10C．x2＝3，k＝﹣10D．x2＝﹣3，k＝10（2）已知方程x2+bx+3＝0的一根为+，则方程的另一根为．（3）若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（）A．﹣1B．0C．1D．2（4）已知关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为x＝1，则实数m的值为（）A．4B．﹣4C．3D．﹣3（5）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2＝0，若该方程的两实根x1、x2满足x1+2x2＝9，求m的值．三、构造一元二次方程例4.已知实数x1，x2满足x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2﹣3x﹣4＝0B．x2﹣3x+4＝0C．x2+3x﹣4＝0D．x2+3x+4＝0解：∵实数x1，x2满足x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，∴以x1，x2为根的一元二次方程是x2﹣3x﹣4＝0．故选：A．练习4：（1）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小明看错了常数项，得到方程的两个根是﹣3、﹣1，胖何看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5、﹣4，则原来的方程是（）A．x2+4x﹣3＝0B．x2+4x﹣20＝0C．x2﹣4x﹣20＝0D．x2﹣4x﹣3＝0（2）已知关于x的方程x2+mx+n＝0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；例5.已知a、b满足a2﹣15a﹣5＝0，b2﹣15b﹣5＝0，求a bb a的值；解：∵a、b满足a2﹣15a﹣5＝0，b2﹣15b﹣5＝0，∴a，b是x2﹣15x﹣5＝0的解，当a≠b时，a+b＝15，ab＝﹣5，＝＝＝＝﹣47．当a＝b时，原式＝2；练习5：若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则+的值为．练习6：已知实数a，b满足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且a≠b，求a4+b4的值．练习7：已知实数a≠b，且满足（a+1）2＝3﹣3（a+1），（b+1）2＝3﹣3（b+1），则的值为（）A．23B．﹣23C．﹣2D．﹣13练习8：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求①4s2﹣5s+t；②的值．例6.已知：m2﹣2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0且mn≠1，则的值为．解：由n2+2n﹣1＝0可知n≠0．∴1+﹣＝0．∴﹣﹣1＝0，又m2﹣2m﹣1＝0，且mn≠1，即m≠．∴m，是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根．∴m+＝2．∴＝m+1+＝2+1＝3，四、利用一元二次方程中的根降次例7.设a，b是方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2024B．2021C．2023D．2022解：∵a是方程x2+x﹣2023＝0的实数根，∴a2+a﹣2023＝0，∴a2＝﹣a+2023，∴a2+2a+b＝﹣a+2023+2a+b＝2023+a+b，∵a，b是方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，∴a+b＝﹣1，∴a2+2a+b＝2023+（﹣1）＝2022．故选：D．练习9：（1）设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a+b﹣ab的值为（）A．2023B．﹣2021C．2021D．﹣2023（2）已知m，n是方程x2+2016x+7＝0的两个根，则（m2+2015m+6）（n2+2017n+8）＝（）A．2008B．8002C．2009D．2020（3）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则的值为（）A．0B．2C．1D．﹣1（4）若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则m2+4m+2n的值是．（5）已知α、β是方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根，则α2﹣5α﹣2β+7＝．例8．如果m、n是一元二次方程x2+x＝3的两个实数根，那么多项式m3+2n2﹣mn﹣6m+2022的值是（）A．2022B．2023C．2029D．2030解：∵m、n是一元二次方程x2+x＝3的两个实数根，∴m2+m﹣3＝0，n2+n﹣3＝0，∴m2＝﹣m+3，n2＝﹣n+3，∴m3＝m（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（﹣m+3）+3m ＝4m﹣3，∴m3+2n2﹣mn﹣6m+2022＝4m﹣3+2（﹣n+3）﹣mn﹣6m+2022＝﹣2（m+n）﹣mn+2025，∵m、n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣1，mn＝﹣3，∴原式＝﹣2×（﹣1）﹣（﹣3）+2025＝2030．故选：D．练习10：（1）若a，b为一元二次方程x2﹣7x﹣1＝0的两个实数根，则a3+3ab+8b﹣42a值是（）A．﹣52B．﹣46C．60D．66（2）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x13﹣2022x1+x22的值是（）A．4045B．4044C．2022D．1（3）已知方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，则x12﹣的值为（）A．1B．﹣1C．2021D．﹣2021五、利用两根的性质解决有关的问题例9．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求实数m的取值范围；（2）若x1+x2＝6﹣x1x2，求m的值．解：（1）Δ＝（2m﹣3）2﹣4m2＝4m2﹣12m+9﹣4m2＝﹣12m+9，∵△≥0，∴﹣12m+9≥0，∴m≤，∴实数m的取值范围是m≤；（2）由题意可得，x1+x2＝﹣（2m﹣3）＝3﹣2m，x1x2＝m2，又∵x1+x2＝6﹣x1x2，∴3﹣2m＝6﹣m2，∴m2﹣2m﹣3＝0，解得m1＝3，m2＝﹣1，又∵m≤，∴m＝﹣1，即m的值为﹣1．练习11.已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1x2＝5，求k的值．练习12.已知关于x 的一元二次方程x 2+2mx +m 2+m ＝0有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为x 1、x 2，且x 12+x 22＝12，求m 的值．练习13.若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，求k 的值．练习14.已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m +1）x +m 2﹣2＝0．（1）若该方程有两个实数根，求m 的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为x 1，x 2，且（x 1﹣x 2）2+m 2＝21，求m 的值．例10.关于x 的方程x 2﹣（2k ﹣1）x +k 2﹣2k +3＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数k 的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为x 1、x 2，存不存在这样的实数k ， 使得|x 1|﹣|x 2|＝？若存在，求出这样的k 值；若不存在，说明理由． 解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝[﹣（2k ﹣1）]2﹣4（k 2﹣2k +3）＝4k ﹣11＞0，解得：k ＞；（2）存在，∵x 1+x 2＝2k ﹣1，x 1x 2＝k 2﹣2k +3＝（k ﹣1）2+2＞0，∴将|x 1|﹣|x 2|＝两边平方可得x 12﹣2x 1x 2+x 22＝5，即（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2＝5， 代入得：（2k ﹣1）2﹣4（k 2﹣2k +3）＝5，解得：4k ﹣11＝5，解得：k ＝4．练习15.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22＝31+|x1x2|，求实数m的值．练习16.已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若|x1+x2|＝x1x2﹣1，求k的值．例11.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0的两实数根x1，x2满足x1x2+x1+x2＞0，求a的取值范围．解：∵该一元二次方程有两个实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×a＝4﹣4a≥0，解得：a≤1，由韦达定理可得x1x2＝a，x1+x2＝2，∵x1x2+x1+x2＞0，∴a+2＞0，解得：a＞﹣2，∴﹣2＜a≤1．练习17.已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．。
初中一元二次方程根与系数的关系知识点及练习题
学习必备欢迎下载知识点一、一元二次方程根与系数的关系（1）若方程ax2bx c 0(a≠ 0)的两个实数根是x1， x2，则 x1+x 2= - b， x1x2=ca a（2）若一个方程的两个根为x1,， x2，那么这个一元二次方程为a x 2x1x2 x x1 x2 0 (a≠0)（3）根与系数的关系的应用：①验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；②求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数 .③求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于 x1和 x2的代数式的值，如；④求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式 .二、解一元二次方程应用题：它是列一元一次方程解应用题的拓展, 解题方法是相同的。
其一般步骤为：1．设：即适当设未知数（直接设未知数，间接设未知数），不要漏写单位名称，会用含未知数的代数式表示题目中涉及的量；2．列：根据题意，列出含有未知数的等式，注意等号两边量的单位必须一致；3．解：解所列方程，求出解来；4．验：一是检验是否为方程的解，二是检验是否为应用题的解；5．答：怎么问就怎么答，注意不要漏写单位名称。
一元二次方程的练习题1、若关于x 的二次方程(m+1)x 2-3x+2=0有两个相等的实数根，则m=__________2、设方程x 23x40 的两根分别为x1， x2，则x1+x 2=________， x1· x2=__________x 1 +x2 =_________，（x1-x 2）=__________，x1 +x1x2+3x1=____________ 24、两根之和等于－3，两根之积等于－7 的最简系数的一元二次方程是_____________2226、方程 kx +1=x-x 无实根，则k____________学习必备欢迎下载7、若方程 x2-x+p=0 的两根之比为3，则 p=__________8、方程 (x 2+3)(x 2-2)=0的解的个数是（）（A）1 （B）2（C）3（D）49、方程x22(m 21) x3m0 的两个根是互为相反数，则m的值是（）（ A） m=± 1（ B）m= -1（C） m=1（ D） m=010、若方程2x（ kx－ 4）－ x2+6=0 没有实数根，则k 的最小整数值是（）A、 1B、 2C、 3D、 411、一元二次方程一根比另一根大8，且两根之和为6，那么这个方程是（）A、 x2－ 6x－ 7=0 B 、 x2－ 6x+7=0C、 x2+6x－7=0D、x2+6x+7=012、若方程 x2+px+q=0 的两根之比为 3∶2，则 p,q满足的关系式是（ A） 3p2=25q（ B） 6p2=25q（ C） 25p2=3q(D)25p2=6q13 、设α、β是方程 x2+x-2012=0的两个实数根，则α2+2α + β的值（）. A． 2009 B.2010 C.2011 D.201214、解方程：（ 1）12x2402(3)(2x-3)2（ 2）x +6x+6=0-5(2x-3)+6=0 215、方程 3x2-x-1=0的两个根是x ,x x1x2的值, 求代数式12x2 1x1 116、一元二次方程kx2(2k 1) x k 2 0 ,当k为何值时,方程有两个不相等的实数根?17、某城市居民最低生活保障在20XX年是 240 元，经过连续两年的增加，345.6 元，则该城市两年最低生活保障的平均年增长率是多少呢？到 20XX 年提高到。
初中数学 什么是一元二次方程的根的关系
初中数学什么是一元二次方程的根的关系一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知系数，且a ≠ 0。
该方程的解即为方程的根。
一元二次方程的根的关系可以通过以下几个方面进行讨论和解释：1. 判别式：一元二次方程的判别式Δ = b^2 - 4ac可以用来判断方程的根的性质。
根据判别式的值，方程的根可以分为三种情况：a) 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根。
这种情况下，方程的图像与x轴有两个交点，表示方程有两个解。
b) 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根。
这种情况下，方程的图像与x轴有一个交点，表示方程有一个解。
c) 当Δ < 0时，方程没有实根，而是有两个共轭复根。
这种情况下，方程的图像与x轴没有交点，表示方程没有实数解。
2. 根的求解公式：一元二次方程的根可以通过求解公式来计算。
给定方程ax^2 + bx + c = 0，方程的两个根可以分别表示为：x1 = (-b + √Δ) / 2ax2 = (-b - √Δ) / 2a其中，√Δ表示判别式的平方根。
在实际应用中，可以使用这个公式来计算方程的根。
3. 根的关系：一元二次方程的根之间存在一些特定的关系。
a) 根的和：方程的两个根的和等于-b/a，即x1 + x2 = -b/a。
b) 根的积：方程的两个根的积等于c/a，即x1 * x2 = c/a。
这些关系可以在解题过程中用来简化计算或验证结果。
总结起来，一元二次方程的根的关系可以通过判别式、根的求解公式和根的特定关系来理解和解释。
这些知识可以帮助你更好地理解和应用一元二次方程，并在数学学习中取得更好的成绩。
一元二次方程的根系关系
一元二次方程的根的判别式（一）二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．重点：会用判别式判定根的情况．2．难点：正确理解“当b2-4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）无实数根．”3．疑点：如何理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在实数范围内，当b2-4ac＜0时，无解．在高中讲复数时，会学习当b2-4ac＜0时，实系数的一元二次方程有两个虚数根．三、教学步骤（二）整体感知：在推导一元二次方程求根公式时，得到b2-4ac决定了一元二次方程的根的情况，称b2-4ac为根的判别式．一元二次方程根的判别式是比较重要的，用它可以判断一元二次方程根的情况，有助于我们顺利地解一元二次方程，也有利于进一步学习函数的有关内容，并且可以解决许多其它问题．在探索一元二次方程根的情况是由谁决定的过程中，从中体会转化的思想方法以及分类的思想方法，对思维全面性的考察起到了一个积极的渗透作用．（三）重点、难点的学习及目标完成过程1．复习提问（1）平方根的性质是什么？（2）解下列方程：①x2-3x＋2＝0；②x2-2x＋1＝0；③x2＋3＝0．问题（1）为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用．问题（2）通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用．2．任何一个一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）用配方法将（1）当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根．（3）当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？答：b2-4ac．3．①定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用符号“△”表示．②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△＝0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根．注意以下几个问题：（1）∵ a≠0，∴ 4a2＞0这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用，即对上式开平方，随后有下面三种情况．正确得出三种情况的结论，需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解，所以，在课前进行了铺垫．在这里应渗透转化和分类的思想方法．（2）当b2-4ac＜0，说“方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根”比较好．有时，也说“方程无解”．这里的前提是“在实数范围内无解”，也就是方程无实数根”的意思．4．例1 不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）2x2＋3x-4＝0；（2）16y2＋9＝24y；（3）5（x2＋1）-7x＝0．解：（1）∵△＝32-4×2×（-4）＝9＋32＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．（2）原方程可变形为16y2-24y＋9＝0．∵△＝（-24）2-4×16×9＝576-576＝0，∴原方程有两个相等的实数根．（3）原方程可变形为5x2-7x+5=0．∵△＝（-7）2-4×5×5＝49-100＜0，∴原方程没有实数根．总结步骤，（1）化方程为一般形式，确定a、b、c的值；（2）计算b2-4ac的值；（3）判别根的情况．强调两点：（1）只要能判别△值的符号就行，具体数值不必计算出．（2）判别根的情况，不必求出方程的根．练习．不解方程，判别下列方程根的情况：（1）3x2+4x-2=0；（2）2y2+5=6y；（3）4p（p-1）-3＝0；4）（x-2）2＋2（x-2）-8＝0；（4）题可去括号，化一般式进行判别，也可设y＝x-2，判别方程y2＋2y-8=0根的情况，由此判别原方程根的情况．又∵不论k取何实数，△≥0，∴原方程有两个实数根．教师板书，引导学生回答．此题是含有字母系数的一元二次方程．注意字母的取值范围，从而确定b2-4ac的取值．练习：不解方程，判别下列方程根的情况．（1）a2x2-ax-1＝0（a≠0）；（3）（2m2＋1）x2－2mx＋1=0．学生板演、笔答、评价．教师渗透、点拨．（3）解：△＝（-2m）2-4（2m2＋1）×1＝4m2-8m2-4＝-4m2-4．∵不论m取何值，-4m2-4＜0，即△＜0．∴方程无实数解．由数字系数，过渡到字母系数，使学生体会到由具体到抽象，并且注意字母的取值．一元二方程的根的判别式（二）二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：运用判别式求出符合题意的字母的取值范围．2．教学难点：教科书上的黑体字“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△=0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根”可看作一个定理，书上的“反过来也成立”，实际上是指它的逆命题也成立．对此的正确理解是本节课的难点．可以把这个逆命题作为逆定理．三、教学步骤（二）整体感知：本节课是上节课的延续和深化，主要是在“明确目标”中所提的逆定理的应用．通过本节课的内容的学习，更加深刻体会到“定理”与“逆定理”的灵活应用．不但不求根就可以知道根的情况，而且知道根的情况，还可以确定待定的未知数系数的取值，本节课内容对学生严密的逻辑思维及思维全面性进行恰如其分的训练．1．复习提问（1）一元二次方程的一般形式？说出二次项系数，一次项系数及常数项．（2）一元二次方程的根的判别式是什么？用它怎样判别根的情况？2．将复习提问中的问题（2）的正确答案板书，反之，即此命题的逆命题也成立，即“一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果方程有两个不相等的实数根，则△＞0；如果方程有两个相等的实数根，则△=0；如果方程没有实数根，则△＜0．”即根据方程的根的情况，可以决定△值的符号，‘△’的符号，可以确定待定的字母的取值范围．请看下面的例题：例1 已知关于x的方程2x2-（4k+1）x+2k2-1＝0，k取什么值时（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（1）方程无实数根．解：∵ a＝2， b＝-4k-1，c＝2k2-1，∴ b2-4ac＝（-4k-1）2-4×2×（2k2-1）＝8k+9．方程有两个不相等的实数根．方程有两个相等的实数根．方程无实数根．本题应先算出“△”的值，再进行判别．注意书写步骤的简练清楚．练习1．已知关于x的方程x2＋（2t＋1）x＋（t-2）2＝0．t取什么值时，（1）方程有两个不相等的实数根？（2）方程有两个相等的实数根？（3）方程没有实数根？假设二项系数不是2，也不是1，而是k，还需考虑什么呢？如何作答？练习2．已知：关于x的一元二次方程：kx2+2（k+1）x+k=0有两个实数根，求k的取值范围．和学生一起审题（1）“关于x的一元二次方程”应考虑到k≠0．（2）“方程有两个实数根”应是有两个相等的实数根或有两个不相等的实数根，可得到△≥0．由k≠0且△≥0确定k的取值范围．解：∵△＝[2（k＋1）]2-4k2＝8k＋4．原方程有两个实数根．例求证：方程（m2＋1）x2-2mx＋（m2＋4）＝0没有实数根．分析：将△算出，论证△＜0即可得证．证明：△＝（-2m）2-4（m2+1）（m2+4）＝4m2-4m4-20m2-16＝-4（m4＋4m2＋4）＝-4（m2＋2）2．∵不论m为任何实数，（m2＋2）2＞0．∴ -4（m2＋2）2＜0，即△＜0．∴（m2＋1）x2-2mx＋（m2-4）＝0，没有实根．本题结论论证的依据是“当△＜0，方程无实数根”，在论证△＜0时，先将△恒等变形，得到判断．一般情况都是配方后变形为：a2，a2＋2，（a2＋2）2，-a2，-（a2＋2）2，-（a＋2）2，……从而得到判断．本题是一道代数证明题，和几何类似，一定要做到步步有据，推理严谨．此种题型的步骤可归纳如下：（1）计算△；（2）用配方法将△恒等变形；（3）判断△的符号；（4）结论．练习：证明（x-1）（x-2）=k2有两个不相等的实数根．提示：将括号打开，整理成一般形式．（四）总结、扩展1．本节课的主要内容是教科书上黑体字的应用，求符合题意的字母的取值范围以及进行有关的证明．须注意以下几点：（1）要用b2-4ac，要特别注意二次项系数不为零这一条件．（2）认真审题，严格区分条件和结论，譬如是已知△＞0，还是要证明△＞0．（3）要证明△≥0或△＜0，需将△恒等变形为a2＋2，-（a＋2）2……从而得到判断．2．提高分析问题、解决问题的能力，提高推理严密性和思维全面性的能力．2．当方程x2+2（a+1）x+a2+4a-5=0有实数根时，求a的正整数解．一元二次方程的根与系数的关系（一）二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：根与系数的关系及其推导．2．教学难点：正确理解根与系数的关系．3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系．三、教学步骤（一）明确目标：一元二次方程x2-5x+6=0的两个根是x1=2，x2=3，可以发现x1＋x2=5恰是方程一次项系数-5的相反数，x1x2＝6恰是方程的常数项．其它的一元二次方程的两根也有这样的规律吗？这就是本节课所研究的问题，利用一元二次方程的一般式和求根公式去推导两根和及两根积与方程系数的关系——一元二次方程根与系数的关系．（二）整体感知：一元二次方程的求根公式是由系数表达的，研究一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程的两根的和，两根的积与系数的关系．它是以一元二次方程的求根公式为基础．学了这部分内容，在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础．本节先由发现数字系数的一元二次方程的两根和与两根积与方程系数的关系，到引导学生去推导论证一元二次方程两根和与两根积与系数的关系及其应用．向学生渗透认识事物的规律是由特殊到一般，再由一般到特殊，培养学生勇于探索、积极思维的精神．1．复习提问（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式．（2）解方程①x2-5x＋6＝0，②2x2＋x-3＝0．观察、思考两根和、两根积与系数的关系．得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系．设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）结论1．如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1我们就可把它写成x2+px+q=0．结论2．如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q．结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便．练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？（1）x2-2x＋1＝0；（2）x2-9x＋10＝0；（3）2x2-9x＋5＝0；（4）4x2-7x＋1＝0；（5）2x2-5x＝0；（6）x2-1＝0此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系．3．一元二次方程根与系数关系的应用．（1）验根．（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根．验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：（1）要先把一元二次方程化成标准型，（2）不要漏除二次项（2）已知方程一根，求另一根．例：已知方程5x2＋kx-6＝0的根是2，求它的另一根及k的值．此题的解法是依据一元二次方程根与系数的关系，设未知数列方程达到目的，还可以向学生展现下列方法，并且作比较．方法（二）∵ 2是方程5x2+kx-6=0的根，∴ 5×22＋k×2-6＝0，∴ k＝-7．∴原方程可变为5x2-7x-6=0比较，方法（二）不如方法（一）简单，从而认识到根与系数关系的应用价值．一元二次方程的根与系数的关系（二）二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：一元二次方程根与系数关系的应用．2．教学难点：某些代数式的变形．3．教学疑点：正确理解根与系数关系的作用．通过本节课的学习，能更深刻地理解根与系数关系给解决数学问题带来的方便．三、教学步骤（二）整体感知：本节课是上节课的延续和深化，一元二次方程根与系数关系的应用，充分显示了它的价值，求根公式为关系的得出立下功劳，但它的作用求根公式无法代替．它在求某些代数式的值时，大大化简了运算量．同时，已知一个有实根的一元二次方程，我们易求它的两个根．反之，已知两个数，以这两个数为根的一元二次方程是否能求出来，根与系数的关系解决了这个问题．所以它为数学问题的进一步研究和深化起了很大的作用．通过本节课的学习，学生不仅能更好地掌握一元二次方程根与系数的关系，而且能提高学生综合运用基础知识分析较复杂的数学问题的能力．1．复习提问（1）一元二次方程根与系数的关系及应用．2．本节课继续学习它的应用（1）不解方程，求某些代数式的值．例：不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两个根的（1）平方和；（2）倒数和．分析：若首先求出方程的两根，再求出两根的平方和、倒数和，问题可以解决，但此题要求不解方程，怎样做呢？如果设方程的两个根为x1、x2，则两个根的平方和便可表示为x12+x22，如果将此代数式用x1+x2，x1x2表示，再用根与系数的关系，问题便可以解决．解：设方程的两个根是x1，x2，那么（1）∵（x1+x2）2=x12+2x1x2+x22．总结以下两点：1．运用根与系数的关系，求某些代数式的值，关键是将所求的代数式恒等变形为用x1+x2和x1x2表示的代数式．2．格式、步骤要求规范第一步：求出x1+x2，x1x2的值．第二步：将所求代数式用x1+x2，x1x2的代数式表示．第三步：将x1+x2，x1x2的值代入求值．练习：设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值：（1）（x1+1）（x2+1）；（2）x12x2+x1x22；（4）（x1-x2）2；（5）x13+x23．（2）已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程．如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q，∴ p=-（x1+x2），q=x1x2．∴ x2-（x1+x2）x+x1x2=0．由此得到结论：以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2-（x1+x2）x+x1x2=0．解：所求方程是例已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数．分析：此题可以通过列方程求得．但学习了根与系数的关系，应启发引导学生用另外方法解决．设两个数分别为x1，x2，则x1+x2=8，x1x2=9．又∵方程x2-（x1+x2）x+x1x2=0的两个根为x1，x2．所以这两个数x1、x2是方程x2-8x+9=0的两个根．解此方程的两个根便是所求的两个数．解：根据根与系数的关系可知，这两个数是方程x2-8x+9=0的两个根．解这个方程，得以上两例，虽然解决的问题不同，但解题时都是直接应用根与系数的关系，前例是通过一元二次方程x2+px+q=0的根与系数的关系，以给出的两个根反过来确定方程的系数（p，q），后例是借助于根与系数的关系解决实际问题．通过例题的讲解，一则引导学生解决了每个例题中提出的问题，再则使学生对根与系数的关系较好地熟悉并掌握起来．。
新-33.一元二次方程的根系关系
+
x2
=
2(m − 1) m
, x1
⋅
x2
=
−
4 m
,
又由已知，有 (x1 − 1)(x2 − 1) < 0, 即x1 x2 − (x1 + x2 ) + 1 < 0 故有 − 4 − 2(m − 1) + 1 < 0
mm
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∴ 2 + m > 0 ，∴ m > 0 或 m < −2 m
∆ = 16 + 4(2m − 8) > 0
【答案】 m > 5 2
29. 【易】关于 x 的二次方程 mx2 − 2(m − 1)x − 4 = 0(m ≠ 0) 的两根一个比 1 大，另一个比 1
小，则 m 的取值范围是______________．
【解析】设方程有两个根为
x1 , x2
，由韦达定理得 x1
18. 【易】（2011 年来宾市初中毕业升学统一考试试题）已知一元二次方程 x2 + mx − 2 = 0 的两个实数根分别是 x1 、 x2 ，则 x1 ⋅ x2 = _________
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【答案】 −2
19. 【中】（四川省自贡市 2013 年初中毕业生数学试卷） 已知关于 x 的方程 x2 − (a + b)x + ab −1 = 0 ， x1 、 x2 是此方程的两个实数根，现给出三 个结论：① x1 ≠ x2 ；② x1x2 < ab ；③ x12 + x22 < a2 + b2 ．则正确结论的序号是 _________．（填上你认为正确结论的所有序号） 【答案】①②
一元二次方程根和系数的关系公式
一元二次方程根和系数的关系公式一元二次方程根和系数的关系公式是我们学习中不可忽视的一部分知识，大家说是不是有点眼花缭乱呢？不要怕，我来帮你理清楚这个有些迷糊的概念。
首先，我们先来看看一元二次方程是什么东东。
我们都知道，方程就是数学中的等式，而一元二次方程就是包含一个未知数的二次方程。
它的一般形式是ax² + bx + c = 0，其中a、b、c分别是方程的系数，而就是我们需要找的根！那么问题来了，这个方程到底有几个根呢？有人说有2个，有人说有1个，甚至还有人说没有根！哎呀呀，听得我头都大了。
别急，我慢慢说。
一元二次方程的根的个数和它的判别式有着密切的关系。
什么？判别式？别害怕，其实就是一个计算公式而已。
想要知道一个方程有几个根，我们只需计算出判别式的值，记作Δ。
Δ = b² 4ac。
听到了吗？Δ就像是一个测量器，告诉我们根的情况。
这个Δ可以分为三种情况来看。
第一种情况，Δ > 0。
当判别式大于0时，哈哈，方程有两个实数根！一正一负的根，简直像是分身乏术，两个根分别是 x1 和 x2。
不信？试试用公式x1 = (b + √Δ) / 2a，x2 = (b √Δ) / 2a 计算一下，绝对是这么回事的。
第二种情况，Δ = 0。
当判别式等于0时，嘘，安静，方程只有一个实数根！你可能会问，有什么特点呢？呵呵，很简单，这个根是重根，就像一道美味的可乐饼，弹牙又过瘾。
只需用公式 x = b / 2a，一口锅不够，重根就来一个。
第三种情况，Δ < 0。
当判别式小于0时，额，方程可就没那么好说了，竟然没有实数根！这时候有人可能会伤心地问，那难道没根吗？别着急，我们的数学家可不会让方程无根之地！他们发现了一个神奇的复数，虚数i，在这里担任英雄的角色。
这个方程的两个根是x1 = (b + √(Δ)i) / 2a 和x2 = (b √(Δ)i) / 2a。
是不是觉得自己像进入了数学的幻境，捉迷藏一般，找到了根的存在？不过，还是要提醒一下，复数根在现实生活中可没啥用处，只是数学家玩的花招罢了。
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一元二次方程的根系关系一、 利用根系关系解决三角形问题 二、 韦达定理与直接应用三、 利用根系关系求代数式的值 四、 根的分布一、 利用根系关系解决三角形问题1.【易】已知a 、b 是方程2350x x -+=的两个正根，c 是方程29x =的正根，试判断以a 、b 、c 为边的三角形是否存在？并说明理由 【答案】不存在，理由：∵3a b c +==，与a b c +>矛盾2.【易】（眉山市2011年初中学业水平暨高中阶段教育学校招生考试）已知三角形的两边长是方2560x x -+=的两个根．则该三角形的周长L 的取值范围是（ ） A ．15L << B ．26L << C ．59L << D ．610L << 【答案】D3.【中】已知三角形的两边长分别是方程2320x x -+=的两根，第三边的长是方程22530x x -+=的根，求这个三角形的周长．【答案】924.【中】已知ABC ∆的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程22(23)320x k x k k -++++=的两个实数根，第三边BC 的长是5 ⑴k 为何值时，ABC △是以BC 为斜边的直角三角形； ⑵k 为何值时，ABC △是等腰三角形，并求ABC ∆的周长 【答案】⑴2k =⑵4k =时，周长为16；3k =时，周长为14二、 韦达定理与直接应用5. 【易】已知3x =-是关于x 的一元二次方程()21230k x kx -++=的一个根，则k 与另一根分别为（） A.2，1- B.1-，2 C.2-，1 D.1，2- 【答案】A6. 【易】已知方程()()23410x m x m ++++=的两根互为相反数，则m 的值是（）A.4B.4-C.1D.1- 【答案】B7. 【易】若方程20x x k ++=有两负根，则k 的取值范围是（）A.0k >B.0k <C.14k <D.104k <≤【答案】D8. 【易】若方程20x px q ++=的两根中，只有一个是0，那么（）A.0p q ==B.00p q ≠=，C.00p q =≠，D.不能确定 【答案】B9. 【易】方程22104p x px --+=的大根与小根之差等于（）A.1±B.221p -C.1【答案】C10.【易】1的一元二次方程是（） A.210x x ++= B.210x x +-= C.210x x -+= D.210x x --= 【答案】B11.【易】已知关于x 的一元二次方程220ax ax c ++=的一根12x =，则方程的另一根2_________x = 【答案】4-12.【易】（北大附中2010-2011学年度初二第二学期期末考试）已知方程2520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ，则1212x x x x +-⋅的值为（ ） A ．7- B ．3- C ．7 D ．3 【答案】D13.【易】（上海中考）若1x ，2x 是一元二次方程2620x x --=的两个实数根，则12x x +的值是（ ） A ．6- B ．2- C ．6 D ．2 【答案】C14.【易】（2011年来宾市初中毕业升学统一考试试题）已知一元二次方程220x mx +-=的两个实数根分别是1x 、2x ，则12_________x x ⋅= 【答案】2-15.【易】（实验中学部2013月考）若3是关于方程250x x c -+=的一个根，则这个方程的另一个根是（ ） A ．2- B ．2 C ．5- D ．5 【答案】B16.【易】已知12,x x 为方程20x px q ++=的两根，且126x x +=，221220x x +=，求,p q 的值．【答案】6p =-，8q =．17.【易】已知关于x 的方程2130x x k -+=的两根α、β满足条件31αβ-=，求k 的值． 【解析】由一元二次方程根与系数的关系，得13αβ+=，与31αβ-=联列方程组，解得10α=，3β=．所以30k αβ==．【答案】3018.【易】设1x 、2x 是方程()222120x k x k -+++=的两个不同的实根，且()()12118x x ++=，则k 的值是___________．【解析】由根与系数的关系得()1221x x k +=+，2122x x k ⋅=+．且有()()224142840k k k ∆=+-+=->，即12k >． 所以()()12118x x ++=． 从而2230k k +-=， 解之得3k =-或1k =．又12k >，所以1k =． 【答案】1k =19. 【易】已知关于x 的方程22(23)30x k x k +-+-=有两个实数根1x ，2x ，且121211x x x x +=+，求k 值．【解析】∵方程22(23)30x k x k +-+-=有两个实数根1x ，2x ，∴2212212(23)4(3)21120(23)3k k k x x k x x k ⎧∆=---=-⎪+=--⎨⎪⋅=-⎩≥，由（1）得：74k ≤．∵121211x x x x +=+，∴121212x x x x x x ++=，120x x +=或121x x =当120x x +=时，320k -=，32k =，∵3724k =<，所以32k =符合题意．当121x x =时，231k -=，2k =±，∵74k ≤，∴2k =舍去．∴k 的值为32或2-．此题是已知方程两根满足的条件，求参数的取值．【答案】32或2-20. 【易】已知关于y 的方程220y ay a -+-=，分别写出下列情形中a 所满足的条件：⑴方程有两个正实数根；⑵方程两根异号．【解析】2(2)40a ∆=-+>，所以不论a 取何值，方程都有两个不等的实数根． ⑴由根与系数的关系可得020a a >⎧⎨->⎩，解得2a >；⑵两根异号积小于零，即20a -<，2a <．【答案】⑴2a >；⑵2a <21. 【易】已知关于x 的方程22290x mx m ++-=只有一个正根，求m 的取值范围．【解析】原方程可化为：2()9x m +=，解得13x m =--，23x m =-，显然12x x <， 根据题意可得：1200x x ⎧⎨>⎩≤，即3030m m --⎧⎨->⎩≤，解得33m -<≤．【答案】33m -<≤22. 【易】已知关于x 的方程22290x mx m ++-=至少有一个正根，求m 的取值范围．【解析】原方程可化为：2()9x m +=，解得13x m =--，23x m =-，显然12x x <，根据题意只需20x >，即30m -+>，即3m <．【答案】3m <23. 【易】已知关于x 的方程211300x x a -++=的两根都大于5，求a 的取值范围．【解析】设1x ，2x 是方程的两根，1212121212(5)(5)5()250301112141200x x x x x x x x a x x a --=-++>⎧⎪=+⎪⎨+=⎪⎪∆=--⎩≥，解得104a <≤． 【答案】104a <≤24. 【易】已知关于x 的方程24280x x m --+=的一个根大于1，另一个根小于1，求m的取值范围．【解析】设1x ，2x 是方程的两根，且11x >，21x <，即110x ->，210x -<，1212121212(1)(1)()10284164(28)0x x x x x x x x m x x m --=-++<⎧⎪=-+⎪⎨+=⎪⎪∆=+->⎩，解得52m >． 【答案】52m >25. 【易】关于x 的二次方程22(1)40(0)mx m x m ---=≠的两根一个比1大，另一个比1小，则m 的取值范围是______________．【解析】设方程有两个根为12,x x ，由韦达定理得12122(1)4,,m x x x x m m-+=⋅=- 又由已知，有121212(1)(1)0,()10x x x x x x --<-++<即故有2(1)410m m m ---+< ∴20mm+>，∴0m >或2m <- 【答案】0m >或2m <-26. 【易】实数k 为何值时，关于x 的一元二次方程2(23)(24)0x k x k --+-=．⑴有两个正根？⑵两根异号，且正根的绝对值较大？ ⑶一根大于3，一根小于3？【解析】[]2(23)(24)0(1)(24)0x k x k x x k --+-=⇒---=，故1x =或24x k =-⑴若两根均为正，则240k ->，故2k >；⑵若两根异号，且正根的绝对值较大，则0421k <-<，故322k <<； ⑶由13<可知，72432k k ->⇒>． 【答案】⑴2k >；⑵322k <<；⑶72k >27. 【易】已知二次方程2(23)100kx k x k +-+-=的两根都是负数，则k 的取值范围是____________．【解析】此方程丙实根为12,x x ，由已知得12120000k x x x x ≠⎧⎪∆⎪⎨+<⎪⎪>⎩≥ 即： 30(23)4(10)023100k k k k k k k k≠⎧⎪---⎪⎪-⎨-<⎪⎪->⎪⎩≥ 得：∴0928302010k k k k k k ≠⎧⎪⎪-⎪⎨⎪><⎪⎪<>⎩≥或或 即9028k -<≤或10k >．【答案】9028k -<≤或10k >28. 【易】关于x 的方程22410x kx +-=的一个根是2-，则方程的另一根是________；k =________．【答案】72，3-．29. 【易】已知关于x 的方程05)2(222=-+++m x m x 有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值。
【答案】有实数根，则△≥0，且16212221+=+x x x x ，联立解得m 的值。
略解：依题意有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--+=∆+=+-=+-=+0)5(4)2(4165)2(22221222122121m m x x x x m x x m x x 由①②③解得：1-=m 或15-=m ，又由④可知m ≥49- ∴15-=m 舍去，故1-=m30. 【易】已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(4422=+-+m x m x 的两个非零实数根，问：1x 与2x 能否同号？若能同号请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。