初中数学专题复习33.一元二次方程的根系关系

一元二次方程的根系关系

一、 利用根系关系解决三角形问题 二、 韦达定理与直接应用

三、 利用根系关系求代数式的值 四、 根的分布

一、 利用根系关系解决三角形问题

1.

【易】已知a 、b 是方程2350x x -+=的两个正根，c 是方程29x =的正根，试判断以a 、b 、c 为边的三角形是否存在？并说明理由 【答案】不存在，理由：∵3a b c +==，与a b c +>矛盾

2.

【易】（眉山市2011年初中学业水平暨高中阶段教育学校招生考试）已知三角形的两边长是方2560x x -+=的两个根．则该三角形的周长L 的取值范围是（ ） A ．15L << B ．26L << C ．59L << D ．610L << 【答案】D

3.

【中】已知三角形的两边长分别是方程2320x x -+=的两根，第三边的长是方程22530x x -+=的根，求这个三角形的周长．

【答案】9

2

4.

【中】已知ABC ∆的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程22(23)320x k x k k -++++=的两个实数根，第三边BC 的长是5 ⑴k 为何值时，ABC △是以BC 为斜边的直角三角形； ⑵k 为何值时，ABC △是等腰三角形，并求ABC ∆的周长 【答案】⑴2k =

⑵4k =时，周长为16；3k =时，周长为14

二、 韦达定理与直接应用

5. 【易】已知3x =-是关于x 的一元二次方程()2

1230k x kx -++=的一个根，则k 与另

一根分别为（） A.2，1- B.1-，2 C.2-，1 D.1，2- 【答案】A

6. 【易】已知方程()()2

3410x m x m ++++=的两根互为相反数，则m 的值是（）

A.4

B.4-

C.1

D.1- 【答案】B

7. 【易】若方程20x x k ++=有两负根，则k 的取值范围是（）

A.0k >

B.0k <

C.14k <

D.1

04

k <≤

【答案】D

8. 【易】若方程20x px q ++=的两根中，只有一个是0，那么（）

A.0p q ==

B.00p q ≠=，

C.00p q =≠，

D.不能确定 【答案】B

9. 【易】方程22

104

p x px --+=的大根与小根之差等于（）

A.1±

B.221p -

C.1

【答案】C

10.

【易】1的一元二次方程是（） A.210x x ++= B.210x x +-= C.210x x -+= D.210x x --= 【答案】B

11.

【易】已知关于x 的一元二次方程220ax ax c ++=的一根12x =，则方程的另一根2_________x = 【答案】4-

12.

【易】（北大附中2010-2011学年度初二第二学期期末考试）已知方程2520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ，则1212x x x x +-⋅的值为（ ） A ．7- B ．3- C ．7 D ．3 【答案】D

13.

【易】（上海中考）若1x ，2x 是一元二次方程2620x x --=的两个实数根，则12x x +的值是（ ） A ．6- B ．2- C ．6 D ．2 【答案】C

14.

【易】（2011年来宾市初中毕业升学统一考试试题）已知一元二次方程220x mx +-=的两个实数根分别是1x 、2x ，则12_________x x ⋅= 【答案】2-

15.

【易】（实验中学部2013月考）若3是关于方程250x x c -+=的一个根，则这个方程的另一个根是（ ） A ．2- B ．2 C ．5- D ．5 【答案】B

16.

【易】已知12,x x 为方程20x px q ++=的两根，且126x x +=，221220x x +=，求,p q 的值．

【答案】6p =-，8q =．

17.

【易】已知关于x 的方程2130x x k -+=的两根α、β满足条件31αβ-=，求k 的值． 【解析】由一元二次方程根与系数的关系，得13αβ+=，与31αβ-=联列方程组，

解得10α=，3β=．所以30k αβ==．

【答案】30

18.

【易】设1x 、2x 是方程()22

2120x k x k -+++=的两个不同的实根，且

()()12118x x ++=，则k 的值是___________．

【解析】由根与系数的关系得

()1221x x k +=+，2122x x k ⋅=+．

且有()()

2

2

4142840k k k ∆=+-+=->，即12

k >

． 所以()()12118x x ++=． 从而2230k k +-=， 解之得3k =-或1k =．又1

2

k >

，所以1k =． 【答案】1k =

19. 【易】已知关于x 的方程22(23)30x k x k +-+-=有两个实数根1x ，2x ，且

1212

11

x x x x +=+，求k 值．

【解析】∵方程22(23)30x k x k +-+-=有两个实数根1x ，2x ，

∴22122

12

(23)4(3)21120

(23)3k k k x x k x x k ⎧∆=---=-⎪

+=--⎨⎪⋅=-⎩≥，由（1）得：74k ≤．

∵121211

x x x x +=+，∴121212

x x x x x x ++=，120x x +=或121x x =

当120x x +=时，320k -=，32k =，∵3724k =<，所以3

2k =符合题意．

当121x x =时，231k -=，2k =±，∵7

4

k ≤，∴2k =舍去．

∴k 的值为3

2

或2-．此题是已知方程两根满足的条件，求参数的取值．

【答案】3

2

或2-

20. 【易】已知关于y 的方程220y ay a -+-=，分别写出下列情形中a 所满足的条件：

⑴方程有两个正实数根；⑵方程两根异号．

【解析】2(2)40a ∆=-+>，所以不论a 取何值，方程都有两个不等的实数根． ⑴由根与系数的关系可得0

20a a >⎧⎨->⎩

，解得2a >；

⑵两根异号积小于零，即20a -<，2a <．

【答案】⑴2a >；⑵2a <

21. 【易】已知关于x 的方程22290x mx m ++-=只有一个正根，求m 的取值范围．

【解析】原方程可化为：2()9x m +=，解得13x m =--，23x m =-，显然12x x <， 根据题意可得：12

00x x ⎧⎨>⎩≤，即30

30m m --⎧⎨->⎩≤，解得33m -<≤．

【答案】33m -<≤

22. 【易】已知关于x 的方程22290x mx m ++-=至少有一个正根，求m 的取值范围．

【解析】原方程可化为：2()9x m +=，解得13x m =--，23x m =-，显然12x x <，