初中数学竞赛专题选讲《完全平方数和完全平方式》
初中数学竞赛专题选讲《完全平方数和完全平方式》
一、内容提要一定义1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数.例如0，1，0.36，254，121都是完全平方数. 在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方.2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式.如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的.例如：在有理数范围 m 2, (a+b －2)2, 4x 2－12x+9, 144都是完全平方式.在实数范围 （a+3）2, x 2+22x+2, 3也都是完全平方式. 二. 整数集合里，完全平方数的性质和判定1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数.2. 若n 是完全平方数，且能被质数p 整除, 则它也能被p 2整除..若整数m 能被q 整除，但不能被q 2整除, 则m 不是完全平方数.例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数.又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数.三. 完全平方式的性质和判定在实数范围内如果 ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式，则b 2－4ac=0且a>0；如果 b 2－4ac=0且a>0；则ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式.在有理数范围内当b 2－4ac=0且a 是有理数的平方时，ax 2+bx+c 是完全平方式.四. 完全平方式和完全平方数的关系1. 完全平方式（ax+b ）2 中当a, b 都是有理数时, x 取任何有理数，其值都是完全平方数；当a, b 中有一个无理数时，则x 只有一些特殊值能使其值为完全平方数.2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数.例如： n 2+9, 当n=4时，其值是完全平方数.所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别.五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系1. 在整系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中① 若b 2－4ac 是完全平方数，则方程有有理数根；② 若方程有有理数根，则b 2－4ac 是完全平方数.2. 在整系数方程x 2+px+q=0中① 若p 2－4q 是整数的平方，则方程有两个整数根；② 若方程有两个整数根，则p 2－4q 是整数的平方.二、例题例1. 求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数.证明：设五个连续整数为m －2, m －1, m, m+1, m+2. 其平方和为S.那么S ＝（m －2）2＋（m －1）2＋m 2＋（m+1）2＋（m+2）2＝5（m 2+2）.∵m 2的个位数只能是0，1，4，5，6，9∴m 2+2的个位数只能是2，3，6，7，8，1∴m 2+2不能被5整除.而5（m 2+2）能被5整除，即S 能被5整除，但不能被25整除.∴五个连续整数的平方和不是完全平方数.例2 m 取什么实数时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式？解：根据在实数范围内完全平方式的判定，得当且仅当⎩⎨⎧>-010m △＝时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式△=0，即（2m ）2－4(m －1)(3m －2)=0.解这个方程， 得 m 1=0.5, m 2=2.解不等式 m －1>0 ， 得m>1.即⎩⎨⎧>==125.0m m m 或它们的公共解是 m=2.答：当m=2时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式.例3. 已知： (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.求证： a=b=c.证明：把已知代数式整理成关于x 的二次三项式，得原式＝3x 2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc∵它是完全平方式，∴△＝0.即 4(a+b+c)2－12(ab+ac+bc)=0.∴ 2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ca=0,(a －b)2+(b －c)2+(c －a)2=0.要使等式成立，必须且只需：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-000a c c b b a解这个方程组，得a=b=c.例4. 已知方程x 2－5x+k=0有两个整数解，求k 的非负整数解.解：根据整系数简化的一元二次方程有两个整数根时，△是完全平方数.可设△= m 2 (m 为整数)，即（－5）2－4k=m 2 (m 为整数)，解得，k=4252m -. ∵ k 是非负整数，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-≥-的倍数是42502522m m 由25－m 2≥0， 得 5≤m ， 即－5≤m ≤5； 由25－m 2是4的倍数，得 m=±1, ±3, ±5. 以 m 的公共解±1, ±3, ±5，分别代入k=4252m -. 求得k= 6, 4, 0.答：当k=6, 4, 0时，方程x 2－5x+k=0有两个整数解例5. 求证：当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根.证明： （用反证法）设方程有有理数根，那么△是整数的平方.∵△＝（8k ）2－16(k 2+1)＝16（3k 2－1）.设3k 2－1＝m 2 (m 是整数).由3k 2－m 2＝1，可知k 和m 是一奇一偶，下面按奇偶性讨论3k 2＝m 2＋1能否成立.当k 为偶数，m 为奇数时，左边k 2是4的倍数，3k 2也是4的倍数；右边m 2除以4余1，m 2＋1除以4余2.∴等式不能成立.； 当k 为奇数，m 为偶数时，左边k 2除以4余1，3k 2除以4余3右边m 2是4的倍数，m 2＋1除以4余1∴等式也不能成立.综上所述，不论k, m 取何整数，3k 2＝m 2＋1都不能成立.∴3k 2－1不是整数的平方， 16（3k 2－1）也不是整数的平方.∴当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根三、练习1. 如果m 是整数，那么m 2+1的个位数只能是＿＿＿＿.2. 如果n 是奇数，那么n 2－1除以4余数是＿＿，n 2+2除以8余数是＿＿＿，3n 2除以4的余数是＿＿.3. 如果k 不是3的倍数，那么k 2－1 除以3余数是＿＿＿＿＿.4. 一个整数其中三个数字是1，其余的都是0，问这个数是平方数吗？为什么？5. 一串连续正整数的平方12，22，32，………，1234567892的和的个位数是＿＿.（1990年全国初中数学联赛题）6. m 取什么值时，代数式x 2－2m(x －4)－15是完全平方式？7. m 取什么正整数时，方程x 2－7x+m=0的两个根都是整数？8. a, b, c 满足什么条件时,代数式(c －b)x 2+2(b －a)x+a －b 是一个完全平方式？9. 判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数：① 四个连续整数的积； ②两个奇数的平方和.10. 一个四位数加上38或减去138都是平方数，试求这个四位数.11. 已知四位数aabb 是平方数，试求a, b.12. 已知：n 是自然数且n>1. 求证：2n－1不是完全平方数.13. 已知：整系数的多项式4x 4+ax 3+13x 2+bx+1 是完全平方数，求整数a 和b 的值.14. 已知：a, b 是自然数且互质，试求方程x 2－abx+21(a+b)=0的自然数解. (1990年泉州市初二数学双基赛题)练习题参考答案1. 1，2，5，6，7，02. 0，3，33. 04. 不是平方数，因为能被3整除而不能被9整除5. 5。
初中数学竞赛重要定理公式(代数篇)
初中数学竞赛重要定理、公式及结论代数篇【乘法公式】完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2，立方和（差）公式：(a±b)(a2 ∓ab+b2)=a3±b3多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）(a±b)5=a5±5a4b+10a3b2±10a2b3＋5ab4±b5）…………在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n-1- a2n-2b+a2n-3b2- …＋ab2n-2- b2n-1)=a2n-b2n(a+b)(a2n-a2n-1b+a2n-2b2n-…-ab2n-1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（a-b）(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…＋ab n-2+b n-1)=a n-b n公式的变形及其逆运算由(a+b)2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2-2ab由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)得a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)由公式的推广③可知：当n为正整数时a n-b n能被a-b 整除，a2n+1+b2n+1能被a+b整除，a2n-b2n能被a+b 及a-b整除。
重要公式（欧拉公式）(a+b+c)(a2+b2+c2+ab+ac+bc)=a3+b3+c3-3abc【综合除法】一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。
当被除式f(x)除以除式g(x)，(g(x)≠0) 得商式q(x)及余式r(x)时，就有下列等式：f(x)=g(x)q(x)-r(x)其中r(x)的次数小于g(x)的次数，或者r(x)=0。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十一讲 完全平方数和完全平方式(含答案)
第十一讲完全平方数和完全平方式趣题引路】一个四位数aabb为平方数，则a+b的值等于（）A.11B.10C.9D.8因为aabb=1000a+100a+10b+b=11（100a+b），由题意可设100a+b=11c2（c是正整数），所以，101<100a+b=11c2<999，9<c2<90.于是，4≤c≤9.经检验，c=8时满足条件，此时a=7，b=4.故a+b=11.选A知识拓展】设n是自然数，若存在自然数m，使得n=m2，则称n是一个完全平方数（或平方数）。
常见的题型有：判断一个数是否是完全平方数；证明一个数不是完全平方数；关于存在性问题和其他有关间题等，最常用的性质有：（1）任何一个完全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9，个位数字是2，3，7，8的数一定不是平方数；（2）个位数字和十位数字都是奇数的两位以上的数一定不是完全平方数，个位数字为6，而十位数字为偶数的数，也一定不是完全平方数；（3）在相邻两个平方数之间的数一定不是平方数；（4）任何一个平方数必可表示成两个数之差的形式；（5）任何整数平方之后，只能是3n或3n+1的形式，从而知，形如3n+2的数绝不是平方数；任何整数平方之后只能是5n，5n+1，5n+4的形式，从而知5n+2或5n+3的数绝不是平方数；（6）相邻两个整数之积不是完全平方数；（7）如果自然数和不是完全平方数，那么它的所有正因数的个数是偶数；如果自然数n是完全平方数，那么它的所有正因数的个数是奇数；（8）偶数的平方一定能被4整除；奇数的平方被8除余1，且十位数字必是偶数。
例1若n是正整数，3n+1是完全平方数，证明：n+1是3个完全平方数之和.解析 用式子表示完全平方数，然后讨论该数的特征。
证明 设3n +1=m 2，显然3不整除m ，因此，m =3k +1或m =3k +2（k 是正整数）. 若m =3k +1，则222131)13233m k n k k -+-===+（∴ n +1=3k 2+2k +1=k 2+k 2+（k +1）2. 若m =3k +2，则222132)134133m k n k k -+-===++（.∴ n +1=3k 2+4k +2 =k 2+（k +1）2+（k +1）2. 故n +1是3个完全平方数之和.例2.一个正整数，如果加上100是一个平方数，如果加上168，则是另一个平方数，求这个正整数。
新课标八年级数学竞赛培训第31讲完全平方数和完全平方式
2010 年新课标八年级数学比赛培训第31 讲：完整平方数和完整平方式一、选择题（共 4 小题，每题3 分，满分 12 分）1．（ 3 分）若 x 是自然数，设 432，则（）y ＝x +2x +2x +2x+1A ．y 必定是完整平方数B ．存在有限个，使 y 是完整平方数C ． y 必定不是完整平方数D ．存在无穷多个，使 y 是完整平方数2．（ 3 分）已知 a 和 b 是两个完整平方数，a 的个位数字为 l ，十位数字为 x ；b 的个位数为6，十位数字为 y ，则（ ）A ．x ， y 都是奇数B ． x ， y 都是偶数C ． x 是奇数， y 是偶数D ． x 为偶数， y 为奇数 3．（ 3 分）假如是整数，那么 a 知足（）A ．a ＞ 0 且 a 是完整平方数B ． a ＜ 0，且﹣ a 是完整平方数C ． a ≥ 0 且 a 是完整平方数D ． a ≤0，且﹣ a 是完整平方数4．（ 3 分）设 n 是自然数，假如 n2 的十位数字是 7，那么 n 2的末位数字是（ ）A ．1B ．4C ． 5D ． 6二、填空题（共 8 小题，每题 3 分，满分 24 分）5．（ 3 分）若四位数是一个完整平方数，则这个四位数是．6．（ 3 分）设 m 是一个完整平方数，则比 m 大的最小完整平方数是．7．（ 3 分）设平方数 22的最小值是．y 是 11 个接踵整数的平方和，则 y8．（ 3 分） p 是负整数，且 2001+p 是一个完整平方数，则 p 的最大值为．9．（ 3 分）设自然数 N 是完整平方数， N 起码是 3 位数，它的末 2 位数字不是 00，且去掉此 2 位数字后，剩下的数仍是完整平方数，则 N 的最大值是． 10．（ 3 分）使得 n2﹣19n+95 为完整平方数的自然数 n 的值是．11．（3 分）自然数 n 减去 52 的差以及 n 加上 37 的和都是整数的平方，则 n ＝ ．12．（ 3 分）两个两位数，它们的差是 56，它们的平方数的末两位数字同样，则这两个数分别是．三、解答题（共 12 小题，满分 84 分）13．（ 6 分） n 是正整数， 3n+1 是完整平方数，证明：n+l 是 3 个完整平方数之和．14．（ 6 分）一个正整数，假如加上100 是一个平方数，假如加上168，则是另一个平方数，求这个正整数．15．（8 分）一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”，比如 16＝52﹣ 32， 16 就是一个“智慧数”．在正整数中从 1 开始数起，试问第1998 个“智慧数”是哪个数？并请你说明原因．16．（ 9 分）已知：五位数知足以下条件：（1）它的各位数字均不为零；（2）它是一个完整平方数；（3）它的万位上的数字 a 是一个完整平方数，干位和百位上的数字按序构成的两位数以及十位和个位上的数字按序构成的两位数也都是完整平方数．试求出知足上述条件的全部五位数．17．（ 8 分）能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002 的和都是完整平方数吗？若能够，请举出一例；若不可以够；请说明原因．2n 的个数是多少？18．（ 6 分）使得（ n ﹣19n+91）为完整平方数的自然数19．（ 8 分）已知 a1，a2，，a2002的值都是1 或﹣ 1，设 m 是这 2002 个数的两两乘积之和．（1）求 m 的最大值和最小值，并指出能达到最大值、最小值的条件；（2）求 m 的最小正当，并指出能达到最小正当的条件．220．（ 8 分）假如对全部x 的整数值， x 的二次三项式 ax +bx+c 的值都是平方数（即整数的平方），证明：（ 1） 2a，2b， c 都是整数；（ 2） a， b， c 都是整数，而且 c 是平方数；（ 3）反过来，如（ 2）建立，能否对全部x 的整数值， x 的二次三项式2ax +bx+c 的值都是平方数？21（． 7 分）能否存在一个三位数（ a，b，c 取从 1 到 9 的自然数），使得为完整平方数？22．（ 6 分）求证：四个连续自然数的积加l，其和必为完整平方数．23．（ 6 分）有若干名战士，恰巧构成一个八列长方形行列．若在行列中再增添120 人或从行列中减去120 人后，都能构成一个正方形行列．问原长方形行列共有多少名战士？第 2 页（共 16 页）24．（ 6 分）证明：是一个完整平方数．︸︸个个2010 年新课标八年级数学比赛培训第31 讲：完整平方数和完整平方式参照答案与试题分析一、选择题（共 4 小题，每题 3 分，满分 12 分）1．（ 3 分）若 x 是自然数，设4 3 2，则（）y＝x +2x +2x +2x+1A ．y 必定是完整平方数B ．存在有限个，使y 是完整平方数C． y 必定不是完整平方数D ．存在无穷多个，使y 是完整平方数【剖析】因为 x 是自然数，那么0 也属于自然数．而后依据4 3 2y＝x +2x +2 x +2x+1 ，议论 y是不是完整平方数．【解答】解：当 x＝ 0 时， y＝ 1． y 是完整平方数．当 x 为大于4 3 2 4 2 3 20 的自然数时． x +2 x +2x ＜ y＜ x +x +1+2 x +2x +2x．2 2 2 2． y 必定不是完整平方数．故（ x +x）＜ y＜（ x +x+1 ）故存在有限个，使y 是完整平方数．应选： B．【评论】本题考察了完整平方数的观点和自然数的知识．属于简单的题目．2．（ 3 分）已知a 和 b 是两个完整平方数， a 的个位数字为l ，十位数字为x； b 的个位数为6，十位数字为 y，则（）A ．x， y 都是奇数B． x， y 都是偶数C． x 是奇数， y 是偶数D． x 为偶数， y 为奇数【剖析】 a 的个位数字为1，十位数字为x，则 x 为偶数，而 b 的个位数为6，十位数字为 y， y 为奇数，进而得出答案．【解答】解：∵ a 的个位数字为1，十位数字为 x，∴ x 为偶数，∵b 的个位数为 6，十位数字为 y，∴ y 为奇数，应选： D ．【评论】本题考察了完整平方数的性质，是一道比赛题，难度中等．3．（ 3 分）假如是整数，那么 a 知足（）A ．a＞ 0 且 a 是完整平方数B． a＜ 0，且﹣ a 是完整平方数C ． a ≥ 0 且 a 是完整平方数D ． a ≤0，且﹣ a 是完整平方数【剖析】是整数，则﹣ a 是一个完整平方数，据此即可作出判断．【解答】 解：假如是整数，则﹣ a 是一个完整平方数，则﹣a ≥ 0．故 a ≤0，且﹣ a 是完整平方数．应选： D ．【评论】 本题主要考察了完整平方数，以及二次根式存心义的条件，正确理解完整平方数的意义是解题的要点．4．（ 3 分）设 n 是自然数，假如 n2 的十位数字是 7，那么 n 2 的末位数字是（ ）A ．1B ．4C ． 5D ． 62222是 【剖析】 设自然数 n 的末两位数字为 10a+b ，则（ 10a+b ） ＝ a × 10 +2ab × 10+b .2ab 偶数，要使十位数字是7，则 b 2的十位数字一定是奇数，而使一位数b 2的十位数字是奇数的，只有 4 或 6．可知 n 2的末位数字是 6．【解答】 解：设自然数 n 的末两位数字为 10a+b （此中 a 为 1～ 9 之间的正整数， b 为 0～ 9 之间的正整数） ，2222． ∵（ 10a+b ） ＝a × 10 +2ab × 10+b而 2ab 是偶数，∴ b 2的十位数字一定是奇数，∴ b ＝4 或 6．∵ 42＝ 16， 62＝ 36．∴ n 2的末位数字是6．应选： D ．【评论】 本题考察了尾数特色和完整平方公式，由n 2的十位数字是 7，得出 n 的末位数字是 4 或 6 是解题的要点．二、填空题（共 8 小题，每题3 分，满分 24 分）5．（ 3 分）若四位数是一个完整平方数，则这个四位数是7744．【剖析】 由 xxyy 这个数的特色可知这个数能被11 整除，又它是完整平方数所以能被11的平方 121 整除．又它是 4 位数且为完整平方数， 所以此数应为121 与 9 16 25 36 49 64 81的乘积的一种．分别计算可知此数应为121 与 64 的乘积，为 7744．其余乘积均不可以．【解答】 解：∵四位数是一个完整平方数，则11（ 100x+y ）是一个完整平方数，则 100x+y 能被 11 整除，∵ 100x+y ＝ 99x+（ x+y ），∴ x+y 能被 11 整除，而 1≤ x+y ≤ 18，∴只有 x+y ＝ 11，经查验 x ＝ 7， y ＝ 4，故这个四位数为 7744．故答案为： 7744．【评论】 本题考察了完整平方数的性质，以及数的整除问题，是要点又是难点，要娴熟掌握．6．（ 3 分）设 m 是一个完整平方数，则比 m 大的最小完整平方数是 （2 ．1）【剖析】由 m 是一个完整平方数， 得 m 是 的平方数，则比大且最小的整数是1，进而得出它的平方．【解答】 解：∵ m 是一个完整平方数， ∴ m 是 的平方数，∴比大且最小的整数是1，它的平方是（1）2．故答案为：（1）2．【评论】 本题考察了一个数的完整平方数，以及完整均匀数的性质，要娴熟掌握．7．（ 3 分）设平方数 22的最小值是121 ．y 是 11 个接踵整数的平方和，则 y【剖析】 设这 11 个数分别为： x ﹣ 5， x ﹣4， x ﹣ 3， ， x+4， x+5．列出方程，议论 y 的最小值．【解答】 解：设 11 个数分别为： x ﹣ 5，x ﹣ 4， x ﹣ 3， ， x+4， x+5．则这 11 个接踵整数的平方和为（ x ﹣2 2 2225） +（ x ﹣4） + +x + +（ x+4 ） +（x+5 ） ＝ 1122（ x +10 ）＝ y ，因为 y 2 是平方数，则当 y 2 最小时， x 2＝ 1， y 2＝ 121，则 y 2的最小值是121．故答案为： 121．【评论】 本题考察了完整平方数的应用，依据题意列出适合的方程是解题要点．8．（ 3 分） p 是负整数，且 2001+p 是一个完整平方数，则p 的最大值为 ﹣ 65 ．【剖析】 依据 p 是负整数， 且 2001+p 是一个完整平方数，可知 2001+p 是小于 2001 的完全平方数， 因为小于 2001 的最大完整平方数是442，则有方程 2001+p ＝ 442，求解即可．则有 442≤ 2001+p ＜ 452，∴ 2001+p ＝ 442＝1936 ，∴ p ＝﹣ 65．故答案为：﹣ 65．【评论】 本题考察完整平方数的知识，难度较大，要点是找到小于2001 的最大的完整平方数．9．（ 3 分）设自然数 N 是完整平方数， N 起码是 3 位数，它的末 2 位数字不是 00，且去掉此 2 位数字后，剩下的数仍是完整平方数，则N 的最大值是 1681 ．22【剖析】 依据题意，设 N ＝ x （ x 为自然数），去掉此两位数字后获得整数 m ， m ＝ k （ k为自然数），而后依据此中关系求解 N ．【解答】 解：设 N ＝ x 2（ x 为自然数），N 的末两位数字构成整数y ，去掉此两位数字后得22 222到整数 m ， m ＝ k （ k 为自然数），则 1≤ y ≤ 99， x ＝ 100k +y ， y ＝x ﹣ 100k ＝（ x+10k ）（ x ﹣ 10k ）．令 x+10k ＝ a ， x ﹣ 10k ＝ b ，则 b ≥ 1， k ≥ 1， x ＝ 10k+b ≥ 11， a ＝ x+10k ≥ 21．若 k ≥ 4，则 x ＝ 10k+b ≥ 41，a ＝ x+10k ≥ 81，惟有 b ＝ 1， k ＝ 4， x ＝ 41，a ＝ 81， y ＝81， m ＝ 16，N ＝ 1681．明显当 k ≤ 3 时， x ≤ 40．故 N ＝ 1681 为所求最大值．【评论】 本题考察了完整平方数的应用．做本题时要合理设未知数，而后依据题意求解结果．10．（ 3 分）使得 n 2﹣19n+95 为完整平方数的自然数n 的值是 5 或 14 ．【剖析】 先议论 n ＝ 1， 2， 3， 4，时的状况，而后议论 n ≥ 5 时的状况，运用夹逼法确立2n ﹣ 19n+95 的范围，进而得出 n 的可能值．【解答】 解： ① 当 n ＝ 1，2， 3， 4 时明显不切合题意；② 当 n ≥5 时，（ n ﹣ 10） 2≤ n 2﹣ 19n+95≤ n 2，22 2 2∴（ 1） n ﹣ 19n+95 ＝（ n ﹣ 10） ? n ＝ 5；（ 2） n ﹣19n+95 ＝（ n ﹣ 9） ? n ＝ 14，只有这两种状况切合题意，故 n 可取 5 或 14．故答案为： 5 或 14．的运用．11．（3 分）自然数 n 减去 52 的差以及 n 加上 37 的和都是整数的平方，则 n ＝ 1988 ．【剖析】 设 n ﹣ 59＝a 2， n+30＝ b 2，则存在 a 2﹣ b 2＝﹣ 89＝﹣ 1× 89，依据奇偶性同样即可求得 a 、 b 的值，即可求得n 的值．【解答】 解：设 n ﹣ 52＝a 2， n+37 ＝b 2，则 a 2﹣ b 2＝﹣ 89＝﹣ 1× 89，即（ a+b ）（ a ﹣ b ）＝﹣ 1×89．且 a+b 与 a ﹣b 的奇偶性同样，故 a+b ＝89， a ﹣b ＝﹣ 1，于是 a ＝ 44， b ＝ 45，进而 n ＝ 1988．故答案为： 1988．【评论】 本题考察了完整平方数的应用，考察了因式分解法求值的应用，考察了奇偶性的判断．12．（ 3 分）两个两位数，它们的差是 56，它们的平方数的末两位数字同样，则这两个数分别是 78 和 22 ．【剖析】 依据两位数的差是56 列出 x ﹣ y ＝ 56，依据两位数的平方数的末两位数字同样，获得 x 2﹣y 2＝ m × 100（ m 为正整数），解方程组，推出 m 的值，进而求出 y 的值．【解答】 解：∵ x ﹣ y ＝ 56，x 2﹣ y 2＝ m × 100（m 为正整数），消去 x ，得 112y ＝ 100m ﹣ 3136， y28，∵ y 是一个两位数且 m ＜ 100，∴ m ＝ 56 或 84， ∴ y ＝ 22 或 47．当 y ＝ 22 时， x ＝ 78；当 y ＝ 47 时， x ＝ 103（舍去）．故答案为： 22，78．【评论】 本题考察了尾数的特色，依据两平方数的末两位数字同样得出x 2﹣y 2＝ m ×100（ m 为正整数），是解题的要点．三、解答题（共 12 小题，满分 84 分）13．（ 6 分） n 是正整数， 3n+1 是完整平方数，证明： n+l 是 3 个完整平方数之和．2第 8 页（共 16 页）的值，代入 n+1 经变形即可证为 3 个完整平方数之和．【解答】 证明：设 3n+1 ＝m 2，则 m ＝ 3k+1 或 m ＝ 3k+2（ k 是正整数）．若 m ＝ 3k+1 ，则．2222∴ n+1＝3k +2 k+1＝k +k +（ k+1 ） ．若 m ＝ 3k+2 ，则2 2 2 2 ．∴ n+1＝3k +4 k+2＝k +（ k+1） +（ k+1） 故 n+1 是 3 个完整平方数之和．【评论】 本题考察了完整平方数的应用，要点是对 n 的取值的议论，比较麻烦，同学们应要点掌握．14．（ 6 分）一个正整数，假如加上 100 是一个平方数，假如加上 168，则是另一个平方数，求这个正整数．【剖析】 所求正整数为 x ，引入参数 m 和 n 分别表示这两个完整平方数，而后利用奇偶 性剖析求解．【解答】 解：设所求正整数为 x ，2则： x+100＝ m ① ；2x+168 ＝n ② ；此中 m ， n 都是正整数， ② ﹣ ① 得 n 2﹣ m 2＝ 68，即（ n ﹣ m ）（ n+m ）＝ 22×17③ ；因 n ﹣m ， n+m 拥有同样的奇偶性，由 ③ 知 n ﹣m ， n+m 都是偶数．注意到 0＜ n ﹣ m ＜ n+m ，由 ③ 可得．解得 n ＝ 18．代入 ② 得 x ＝ 156，即为所求．【评论】 本题考察完整平方数的知识，难度较大，本题的难点在于引入参数，利用奇偶剖析求解．15．（8 分）一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”，比如 16＝52﹣ 32， 16 就是一个“智慧数” ．在正整数中从 1 开始数起，试问第1998 个“智慧数”是哪个数？并请你说明原因．【剖析】假如一个数是智慧数， 就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别 m 、n ，设 m ＞ n ，即智慧数＝ m 2﹣ n 2＝（ m+n ）（ m ﹣n ），因为 m ，n 是正整数，因此m+n 和 m ﹣n 就是两个自然数． 要判断一个数是不是智慧数， 能够把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数可否写成两个正整数的和与差．【解答】 解： 1 不可以表示为两个正整数的平方差，所以 1 不是“智慧数” ．关于大于 1 的奇正整数 2k+1，有 2k+1 ＝（ k+1 ）2﹣k 2（ k ＝ 1，2， ）．所以大于 1 的奇正整数都是 “智慧数”．关于被 4 整除的偶数 4k ，有 4k ＝（ k+1） 2﹣（ k ﹣1） 2（ k ＝ 2， 3， ）．即大于 4 的被 4 整除的数都是“智慧数” ，而 4 不可以表示为两个正整数平方差，所以 4 不 是“智慧数” ．关于被 4 除余 2 的数 4k+2（ k ＝ 0， 1，2， 3， ），设 224k+2＝ x ﹣ y ＝（ x+y ）（ x ﹣ y ），其中 x ， y 为正整数，当 x ， y 奇偶性同样时， （ x+y ）（ x ﹣ y ）被 4 整除，而 4k+2 不被 4 整除；当 x ， y 奇偶性相异时， （ x+y ）（ x ﹣ y ）为奇数，而 4k+2 为偶数，总得矛盾．所以不存在自然数x ， y 使得 x 2﹣ y 2＝ 4k+2．即形如 4k+2 的数均不为“智慧数” ．所以，在正整数列中前四个正整数只有 3 为“智慧数”，今后，每连续四个数中有三个 “智慧数”．因为 1998＝（ 1+3 ×665）+2，4×（ 665+1）＝ 2664，所以 2664 是第 1996 个“智慧数” ，2665 是第 1997 个“智慧数” ，注意到 2666 不是“智慧数” ，所以 2667 是第 1998 个“智慧数” ，即第 1998 个“智慧数”是2667 ．【评论】 本题主要考察了平方差公式，有必定的难度，主假如对题中新定义的理解与掌握．16．（ 9 分）已知：五位数知足以下条件：（ 1）它的各位数字均不为零；（ 2）它是一个完整平方数；（ 3）它的万位上的数字 a 是一个完整平方数， 干位和百位上的数字按序构成的两位数以及十位和个位上的数字按序构成的两位数 也都是完整平方数．试求出知足上述条件的全部五位数．【剖析】 设2（两位数），（两位数），，且 a ＝ m （一位数），22422 2则 M ＝ m × 10 +n × 10 +t ①2 2 2 2 4 2 2② ，比较式 ① 、式 ② 得 由式 ① 知 M ＝（m × 10 +t ） ＝m × 10 +2 mt × 10 +t 后议论即可得出答案．【解答】 解：设2（两位数），，且 a ＝ m （一位数），22 4 2 2 2 数），则 M ＝ m × 10 +n ×10 +t ①2222422 由式 ① 知 M ＝（ m × 10 +t ） ＝ m × 10 +2mt × 10 +t ②比较式 ① 、式 ② 得 n 2＝ 2mt ．n 2＝ 2mt ．然（两位因为 n 2 是 2 的倍数，故 n 也是 2 的倍数，所以， n 2是 4 的倍数，且是完整平方数．故 n 2＝ 16 或 36 或 64．当 n 2＝ 16 时，得 mt ＝ 8，则 m ＝l ， 2， 4， 8， t ＝8， 4， 2，1，后二解不合条件，舍去；故 M 2＝ 11664 或 41616．当 n 2＝ 36 时，得 mt ＝ 18．则 m ＝ 2， 3，1， t ＝9， 6， 18．最后一解不合条件，舍去．故 M 2＝ 43681 或 93636．当 n 2＝ 64 时，得 mt ＝ 32．则 m ＝ 1， 2，4， 8， t ＝ 32， 16， 8，4 都不合条件，舍去．所以，知足条件的五位数只有4 个： 11664， 41616， 43681， 93636．【评论】本题考察了完整平方数， 难度较大， 要点是设2，且 a ＝ m （一位数），（两位数），（两位数），而后表示出M 2的形式．17．（ 8 分）能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与 2002 的和都是完整平方数吗？若能够，请举出一例；若不可以够；请说明原因．【剖析】依据偶数的平方和为偶数， 奇数得平方和为奇数， 即可议论这四个数的奇偶性， 再议论三个奇数的性质， 即可求得此中结论矛盾， 即可求得不可以找到这样的四个正整数， 使得它们中任两个数的积与2002 的和都是完整平方数，即可解题．【解答】 解：偶数的平方能被 4 整除，奇数的平方被4 除余 1，即正整数的平方被 4 除余0 或 1．2若存在正整数知足n i n j +2002＝ m ； i ， j ＝ 1， 2， 3， 4， n 是正整数；∵ 2002 被 4 除余 2，∴ n i n j 被 4 除应余 2 或 3．（ 1）若正整数 n 1， n 2， n 3，n 4 中有两个是偶数，设 n 1， n 2 是偶数，则n 1n 2+2002 被 4 除余 2，与正整数的平方被 4 除余 0 或 1 不符，故正整数 n 1， n 2，n 3， n 4 中至多有一个是偶数，起码有三个是奇数．（ 2）在这三个奇数中，被 4 除的余数可分为余 1 或 3 两类，依据抽屉原则，必有两个奇数属于同一类，则它们的乘积被 4 除余 1，与 n i n j被 4 除余 2 或 3 的结论矛盾．综上所述，不可以找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002 的和都是完整平方数．【评论】本题考察了奇数、偶数的性质，考察了完整平方数的性质，本题中议论四个数的奇偶性是解题的要点．2﹣19n+91）为完整平方数的自然数n 的个数是多少？18．（ 6 分）使得（ n2 2 2﹣【剖析】依据 n ﹣19n+91 ＝（ n﹣ 9） +（ 10﹣ n），可分两种状况：①当 n＞ 10 时（ n219n+91）不会成为完整平方数；②当 n≤ 10 时，（ n ﹣ 19n+91）才是完整平方数；进而得出 n 的值为 9 或 10．【解答】解：若（ n 2﹣ 19n+91 ）处在两个相邻整数的完整平方数之间，则它的取值便固定了．2 2∵ n ﹣ 19n+91 ＝（ n﹣ 9）+（ 10﹣ n）当n＞10 时，（ n﹣ 10）2＜n2﹣ 19n+91＜（ n﹣ 9）22∴当 n＞ 10 时（ n ﹣ 19n+91）不会成为完整平方数2∴当 n≤ 10 时，（ n ﹣ 19n+91）才是完整平方数2经试算， n＝ 9 和 n＝ 10 时， n ﹣ 19n+91 是完整平方数．【评论】本题考察了完整平方数的应用，是要点内容，要掌握．19．（ 8 分）已知 a1，a2，，a2002的值都是1 或﹣ 1，设 m 是这 2002 个数的两两乘积之和．（1）求 m 的最大值和最小值，并指出能达到最大值、最小值的条件；（2）求 m 的最小正当，并指出能达到最小正当的条件．【分析】（ 1 ）由于（ a1+a2+ +a2002）2 2 2 2＝ 2002+2m ，可得＝ a1 +a2 + +a2002 +2mm ． a1+a2+ +a2002＝ 2002 时， m 有最大值， a1+a2+ +a2002＝ 0 时， m 有最小值，最大值应为2003001，最小值应为 57．（ 2）找到最小的比2002 大的偶数完整平方数，即当这2002 个数中有1024 个 1，978 个﹣ 1 时，或许有 978 个 1，1024 个﹣ 1 时获得最小正当．2 2 2 2【解答】解：（ 1）（ a1+a2+ +a2002）＝ a1 +a2 + +a2002 +2m＝ 2002+2m，m．当 a 1＝ a 2＝ ＝ a 2002＝ 1 或﹣ 1 时， m 取最大值 2003001．当 a 1， a 2， a 2002 中恰有 1001 个 1， 1001 个﹣ 1 时， m 取最小值﹣ 1001 ．（ 2）因为大于 2002 的最小完整平方数为 452＝2025 ，且 a 1+a 2+ +a 2002 必为偶数，所以，当 a 1+a 2+ +a 2002＝ 46 或﹣ 46；即 a 1， a 2， a 2002 中恰有 1024 个 1， 978 个﹣ 1 或恰有 1024 个﹣ 1， 978 个 1 时，m 取最小值 ．【评论】 本题考察了完整平方数和多项式的乘法，解题的要点是将由（a 1+a 2+ +a 2002）22 2 2，有必定的难＝ a 1 +a 2 + +a 2002 +2m ＝ 2002+2m ，获得 m度．220．（ 8 分）假如对全部 x 的整数值， x 的二次三项式 ax +bx+c 的值都是平方数（即整数的平方），证明：（ 1） 2a ，2b ， c 都是整数；（ 2） a ， b ， c 都是整数，而且 c 是平方数；2（ 3）反过来，如（ 2）建立，能否对全部x 的整数值， x 的二次三项式 ax +bx+c 的值都是平方数？【剖析】（ 1）分别令 x ＝ 0， x ＝ 1，x ＝﹣ 1 而后辈入二次三项式，可得出 2a ， 2b ， c 都是整数．（ 2）分别令令 x ＝ 2， x ＝﹣ 2，代入二次三项式，而后利用奇偶性可分别得出结论．（ 3）令 x ＝ 1， a ＝ 1， b ＝1， c ＝ 1 代入即可作出判断．2【解答】 证明：（ 1）∵对全部 x 的整数值， x 的二次三项式ax +bx+c 的值都是平方数，2∴令 x ＝0， a?0 +b?0+c ＝ c ，c 是整数且是平方数，令 x ＝ 1，﹣ 1 时 a?1 22 +b?1+c ，a?（ ﹣ 1） +b?（ ﹣ 1） +c 是平方数，2222∴可设 a?1 +b?1+c ＝ m 1 ① a?（ ﹣ 1） +b?（ ﹣ 1）+c ＝ n 1② c ＝ k 12（ m 1n 1k 1 均为整数），① ﹣ ② 得： 2b ＝ m 12﹣ n 12，∴ 2b 为整数（整数相减为依旧为整数） ，第 13 页（共 16 页）∴ 2a 为整数，∴ 2a ，2b ， c 都是整数；（ 2）（1）中已证 c 是整数且是平方数，22 2 2 2令 x ＝ 2，﹣ 2 时，可设 a?2 +b?2+ c ＝m 2 ③ a?（ ﹣ 2） +b?（ ﹣ 2）+c ＝n 2 ④ c ＝ k 1 （ m 2n 2k 1均为整数），22③ ﹣ ④ 得： 4b ＝ m 2 ﹣ n 2 ＝（ m 2+n 2）（ m 2﹣ n 2）＝ 2（ 2b ），∴ 2（ 2b ）为偶数，则 m 22﹣ n 22为偶数，∴（ m 2+n 2），（m 2﹣ n 2）同奇同偶，则可设（ m 2+n 2）＝ 2m ，（ m 2﹣ n 2）＝ 2n （ m ， n 均为整数），∴ 4b ＝2m?2n ＝ 4mn ，∴ b ＝mn ，∴ b 为整数；（ 3）令 x ＝ 1， a ＝ 1， b ＝1， c ＝ 1，则 ax 2+bx+c ＝3，而 3 不是平方数．∴不必定建立．【评论】 本题考察完整平方数的知识，综合性较强，难度较大，注意在解决多项式的系数的和、差以及其奇偶、整问题一般思路都是用特别值法．21（． 7 分）能否存在一个三位数 （ a ，b ，c 取从 1 到 9 的自然数），使得为完整平方数？【剖析】 假定存在， 那么三数之和可写成111（ a+b+c ），因为 111（ a+b+c ）完整平方数，而 111＝ 3× 37，且 3、37 是质数， 故可知 a+b+c 中必有因数 3 和 37，又 0≤ a+b+c ≤ 27，说明 a+b+c 中不含因数 37，进而不是完整平方数， 这样的三位数不存在．【解答】 解：假定存在，依据题意得100a+10b+c+100b+10c+a+100 c+10a+b ＝ 111（ a+b+c ），∵ 111＝ 3× 37，而 3、37 是质数，∴ a+b+c 的和中必有因数 3 和 37，又 a ，b ， c 取从 1 到 9 的自然数，∴ 0≤ a+b+c ≤ 27，∴ a+b+c 中不含因数 37，∴不是完整平方数．故这样的三位数不存在．【评论】 本题考察的是完整平方数、质数、不等式的相关知识． 22．（ 6 分）求证：四个连续自然数的积加l ，其和必为完整平方数．【剖析】可设最小的自然数为 n ，则四个连续自然数的积加 l ，能够写成 n ×（ n+1）×（n+2 ）2 2）+1 ×（ n+3）+1，再转变为 [n ×（ n+3）] ×[ （ n+1）×（ n+2）]+1 ＝（ n +3n ）（ n +3n+2 2222 2＝（ n +3n ） +2 （n +3n ） +1＝（ n +3 n+1） ．进而得以证明． 【解答】 证明：设最小的自然数为n ，则有n ×（ n+1）×（ n+2 ）×（ n+3） +1＝ [n ×（ n+3） ] × [（ n+1）×（ n+2） ]+12 2＝（ n +3n ）（ n +3n+2 ） +12 22＝（ n +3n ） +2 （n +3n ） +1 22． ＝（ n +3n+1）故四个连续自然数的积加l ，其和必为完整平方数．【评论】 本题考察了完整平方式，解题的要点是将 n ×（ n+1）×（ n+2）×（ n+3）首尾相乘，整体思想将使式子转变为完整平方式．23．（ 6 分）有若干名战士，恰巧构成一个八列长方形行列．若在行列中再增添120 人或从行列中减去 120 人后，都能构成一个正方形行列．问原长方形行列共有多少名战士？【剖析】 可设原有战士 8n 人， 8n+120 ＝a 2， 8n ﹣ 120＝ b 2，则存在 a 2﹣ b 2＝ 240，依据奇偶性同样，即可求得a 、b 的值，进一步求得 n 的值．【解答】 解：设原有战士 8n 人， 8n+120＝ a 2， 8n ﹣ 120＝ b 2，则存在 a 2﹣ b 2＝ 240，即（ a+b ）（ a ﹣ b ）＝ 240．但 a+b 与 a ﹣ b 的奇偶性同样，且 a 、b 都为偶数，故 a+b ＝120， a ﹣b ＝ 2，于是 a ＝ 61， b ＝ 59（不合题意舍去） ；a+b ＝ 60， a ﹣ b ＝4，于是 a ＝ 32， b ＝ 28，则 8x ＝ 904．因为 904﹣ 120＝ 784， 784 为 28的平方，即 28 行 28 列，与题意不符，即不是在原8 列的方阵中减去 120，而是减去 120再排成行列，所以904 不符条件，应舍去；a+b ＝ 40， a ﹣ b ＝6，于是 a ＝ 23， b ＝ 17（不合题意舍去） ；a+b＝ 30， a﹣ b＝8，于是 a＝ 19， b＝ 11（不合题意舍去）；a+b＝ 24， a﹣ b＝10，于是 a＝ 17，b＝ 7（不合题意舍去）；a+b＝ 20， a﹣ b＝12，于是 a＝ 16，b＝ 4，则 8x＝ 136；a+b＝ 16， a﹣ b＝15，于是 a＝ 15.5， b＝ 0.5（不合题意舍去）．故原长方形行列共有136 名战士．【评论】本题考察了完整平方数在实质生活中的应用，考察了因式分解法求值的应用，考察了奇偶性的判断．24．（ 6 分）证明：︸是一个完整平方数．︸个个【剖析】先将︸各个数位上不一样的数字用科学记数法表示，再将它们配为︸个个完整平方式即可．2n+2 n n+2 n+1 【解答】解：原式＝ 3× 10 +（ 10 ﹣ 1）× 10 +6× 10 +1＝3× 102n+2+102n+2﹣10n+2+6×10n+1+1＝4× 102n+2﹣ 4×10n+1+1＝（ 2× 10n+1﹣ 1）2．故是一个完整平方数．︸︸个个【评论】本题考察了完整平方数，难度较大，解题要点是将各个数位上不一样的数字用科学记数法表示，注意中 99 9（n 个 9） 00 0（ n+2 个 0）可写成（ 10n︸︸个个﹣ 1）× 10n+2．。
初中数学竞赛5：完全平方数
【分析】
根据a分类讨论，-a为正数，0，负数可判断①；根据多项式项数与次数定义可判断②；根据绝对值化简与分类讨论可判断③，根据非负数性质可判断④；根据非负数和为零，每个非负数为零可判断⑤
【详解】
解：当a＞0时，-a表示负数，当a=0时，-a表示0，当a＜0时，-a表示正数，故①不正确；
②多项式x2﹣x﹣1是二次三项式，而不是三次三项式，故②不正确；
＝6ab+2b2+2a2+4a﹣8b2﹣8ab+16+3a2+6b2﹣4ab﹣5a2+4b，
＝﹣6ab+4a+4b+16；
∵（a+b﹣3）2+（ab+4）2＝0．且（a+b﹣3）2≥0，（ab+4）2≥0，
∴a+b＝3，ab＝﹣4；
∴原式＝﹣6ab+4（a+b）+16，
＝﹣6×（﹣4）+4×3+16，
25．是否存在两个自然数a，b，使得 和 同时为完全平方数．
26．已知m，n都是自然数，且 ．
（1）求证：自然数 一定可以表示为4个自然数的平方和；
（2）把689表示成4个不同的自然数的平方和．
27．已知m，n均为正整数，且 ．问 是否为完全平方数？并证明你的结论．
28．求出所有不超过 的这样正整数，它的平方的末两位数字相同，但不是零．
＝52．
【点睛】
本题考查整式加减化简求值，偶次方非负数性质，掌握整式加减化简求值，偶次方非负数性质是解题关键．
13．3
【详解】
解：首先，注意到6，19，30这三个数满足： ， ， ，故这3个数必须分别属于3个不同的组，所以 ．
初二完全平方数讲解
初二完全平方数讲解完全平方数是指一个正整数可以被一个正整数平方后得到的数，常见的完全平方数有1、4、9、16、25、36、49等。
在《九章算术》中就有关于完全平方的讲解，当今学校的数学教材中也有关于完全平方的介绍。
在初二的数学教学中，完全平方这个概念很重要。
它可以帮助学生们更深入地理解数学的定义和表达，例如数学表达式中的分母或分子可以用完全平方数表示。
学生们还可以学习如何用完全平方数分解数及求平方根。
首先，学生们要学会如何判断一个数是否为完全平方数。
最简单的方法是判断这个数是否可以表示成一个整数的平方形式，例如9=3^2，所以9是完全平方数。
另一种方法是用一个算法，来判断一个正整数n是否为完全平方数，它的原理是：如果n=a^2，则a=√n，化简后得到：a^2-n=0，即为一个二次方程，求解这个二次方程，如果只有一个实数解，则n就是完全平方数。
其次，学生们要学习如何分解完全平方数，也就是将一个完全平方数分解为两个数的乘积，常用的分解完全平方数的方法如下：t1.完全平方数分解为正整数的乘积：n=a*b，其中a、b均为正整数。
t2. 使用数学公式：n=a^2*b^2，其中a、b均为正整数。
t3.完全平方数分解为两个完全平方数的乘积，例如：n=a^2*b^2，其中a、b均为完全平方数。
最后，学生们要学习如何用完全平方数计算乘法，这样可以让学生们更快地理解乘法的定义。
我们可以将乘法表示为完全平方数的乘积，例如：a*b=a^2*b^2/2。
显然，这种方法可以极大地减少学生们计算乘法的负担。
以上就是完全平方数的相关知识，希望学生们能从中获益，获得更多的知识。
学习完全平方数，能让学生们更加深入地理解数学的概念，让学生们在学习数学的同时，能得到更多的乐趣。
竞赛课 公开课课件完全平方公式
= =
首平方
尾平方
2倍乘积放中央
总结
这节课我们还学会了什么？
1．如何判断应该选择哪个公式？ 根据式子中括号的个数，一个括号，就用_________________，两 个括号，就用____完___全__平__方__公___式_ ． 平方差公式
2．括号内有三项时怎么利用公式？ 添括号，把三项变成两项．
练习 运用完全平方公式计算：
补充题 答案：3
例题
运用完全平方公式计算 ：
练习
练习 运用完全平方公式计算：
练习 运用完全平方公式计算：
添括号法则 之前我们学习过去括号法则
反过来，可以得到添括号法则
归纳
添括号时， 括号前是正号时，括到括号里的各项都不变符号； 如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
例题 运用乘法公式计算：
这个符合完全平方公式还是平方差公式 ？只有一个括号，只能是完全平方公 式先变形 再化简
归纳
1．如何判断应该选择哪个公式？ 根据式子中括号的个数，一个括号，就用_________________， 两个括号，就用__完__全___平__方__公__式____ ． 平方差公式
2．括号内有三项时怎么利用公式？
添括号，把三项变成两项．
练习
Байду номын сангаас
1．在等号右边的括号内填上适当的项，并用去括号法则检验．
（1）a+b-c=a+（
）
（2）a-b-c=a-（
）
（3）a+b-c=a-（
）
（4）a+b+c=a-（
）
练习 2．运用乘法公式计算：
（2）（2x+y+z）（2x-y-z）
(完整版)初中数学竞赛专题选讲-配方法(含答案)
初中数学竞赛专题［配方法］一、内容提要1. 配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a2土2ab+b2写成完全平方式(a土b) 2.有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式.常用的有以下三种：①由a +b配上2ab, ②由 2 ab 配上a +b ,③由a2土2ab配上b2.2. 运用配方法解题，初中阶段主要有：①用完全平方式来因式分解例如：把x4+4因式分解.2 2 2 2 2母乱=x +4 + 4x — 4x =(x +2) — 4x = ...........这是由a2+b2配上2ab.②二次根式化简常用公式：福|a ,这就需要把被开方数写成完全平方式.例如：化简、一5一2 6.我们把5-2*写成2 - 2逐+ 3=(克V - ^ 2^3 + (V3)2=(V2 —V3 ).这是由2 ab配上a2+b2.③求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值.即a >0, .,•当a=0时, a2的值为0是最小值.例如：求代数式a2+2a — 2的最值... a2+2a— 2= a2+2a+1 - 3=(a+1) 2- 3当a=— 1时,a +2a— 2有最小值—3.这是由a2土2ab配上b2④有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需要配方.例如：：求方程x2+y2+2x-4y+5=0的解x, y.解：方程x2+y2+2x-4y+1 + 4= 0.配方的可化为(x+1) 2+(y - 2) 2=0.要使等式成立，必须且只需x 1 0y 2 0x 1 y2解得此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识和技巧.二、例题2 2 2 2例 1.因式分解：a b —a +4ab— b +1.解：a b — a +4ab — b +1 = a b +2ab+1+( — a +2ab — b ) (折项，分组)=(ab+1 ) 2 - (a - b)：(配方)= (ab+1+a-b ) (ab+1-a+b) (用平方差公式分解)本题的关键是用折项，分组，树立配方的思想^例2.化简下列二次根式：①J7 5 ；②*2焰；③了10时3 2豆. 解：化简的关键是把被开方数配方①(7 4>/3 = J4 2 2/3 3 = J(2 V3)2=2 < 3 = 2 + 43.②户=居=疗=\吁<2（73 1）=无V2 2 . 2③\；10 4^3 2龙=寸10 4》（。
初中数学重点梳理：完全平方数
完全平方数知识定位完全平方数是初等数论中的一个重要内容，由于数论内涵丰富，因此数论问题灵活而富于变化，解答完全平方数问题往往需要较强的分析能力与具备一定的数学素养。
正因为如此，完全平方数的有关问题常常是各层次数学竞赛的主要题源之一。
在处理有关完全平方数问题时，除了要求会熟练地运用某些常用的方法外，更重要的是要善于分析，要学会抓问题的本质特征。
本节介绍一些常见题型和基本解题思想和技巧的方法来提高学生的解题能力，是完全必要的，也是比较符合中学生的认知规律的，本文主要介绍一些适合初中学生解答的完全平方数问题。
知识梳理1、完全平方数的定义一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
2、完全平方数特征（1）末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。
（2）除以3余0或余1；反之不成立。
（3）除以4余0或余1；反之不成立。
（4）约数个数为奇数；反之成立。
（5）奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。
（6）奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。
（7）两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y23、完全平方数的性质性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。
性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。
性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。
九年级数学竞赛资料专题(二)——因式分解的9种方法
因式分解的多种方法----知识延伸，向竞赛过度1、提取公因式：这种方法比较常规、简单，必须掌握。
常用的公式：完全平方公式、平方差公式 例一：0322=-x x解：()032=-x x ，01=x ，232=x 这是一类利用因式分解的方程。
总结：要发现一个规律：当一个方程有一个解a x =时，该式分解后必有一个()a x -因式,这对我们后面的学习有帮助。
2、公式法常用的公式：完全平方公式、平方差公式。
注意：使用公式法前，部分题目先提取公因式。
3、十字相乘法是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。
注意：它不难。
这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数1a ，2a 的积21a a ⋅，把常数项c 分解成两个因数1c ，2c 的积21c c ⋅，并使1221c a c a +正好是一次项b ，那么可以直接写成结果例二： 把3722+-x x 分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1；分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况：经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7. 解 原式=(x-3)(2x-1).总结：对于二次三项式()02≠++a c bx ax ，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即21a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即21c c c =，把1a ，2a ，1c ，2c ，排列如下：1a 1c╳2a 2c1221c a c a +按斜线交叉相乘，再相加，得到1221c a c a +，若它正好等于二次三项式c bx ax ++2的一次项系数b ，即1221c a c a +b =，那么二次三项式就可以分解为两个因式11c x a +与22c x a +之积，即 c bx ax ++2()()2211c x a c x a ++=这种方法要多实验，多做，多练。
新课标八年级数学竞赛培训第31讲：完全平方数和完全平方式.
第31讲：完全平方数和完全平方式一、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）1．（3分）若x是自然数，设y=x4+2x3+2x2+2x+1，则（）A．y一定是完全平方数B．存在有限个，使y是完全平方数C．y一定不是完全平方数D．存在无限多个，使y是完全平方数2．（3分）已知a和b是两个完全平方数，a的个位数字为l，十位数字为x；b的个位数为6，十位数字为y，则（）A．x，y都是奇数B．x，y都是偶数C．x是奇数，y是偶数D．x为偶数，y为奇数3．（3分）如果是整数，那么a满足（）A．a＞0且a是完全平方数B．a＜0，且﹣a是完全平方数C．a≥0且a是完全平方数D．a≤0，且﹣a是完全平方数4．（3分）设n是自然数，如果n2的十位数字是7，那么n2的末位数字是（）A．1B．4C．5D．6二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）5．（3分）若四位数是一个完全平方数，则这个四位数是_________．6．（3分）设m是一个完全平方数，则比m大的最小完全平方数是_________．7．（3分）设平方数y2是11个相继整数的平方和，则y的最小值是_________．8．（3分）p是负整数，且2001+p是一个完全平方数，则p的最大值为_________．9．（3分）设自然数N是完全平方数，N至少是3位数，它的末2位数字不是00，且去掉此2位数字后，剩下的数还是完全平方数，则N的最大值是_________．10．（3分）使得n2﹣19n+95为完全平方数的自然数n的值是_________．11．（3分）自然数n减去52的差以及n加上37的和都是整数的平方，则n=_________．12．（3分）两个两位数，它们的差是56，它们的平方数的末两位数字相同，则这两个数分别是_________．三、解答题（共12小题，满分84分）13．（6分）n是正整数，3n+1是完全平方数，证明：n+l是3个完全平方数之和．14．（6分）一个正整数，如果加上100是一个平方数，如果加上168，则是另一个平方数，求这个正整数．15．（8分）一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”，比如16=52﹣32，16就是一个“智慧数”．在正整数中从1开始数起，试问第1998个“智慧数”是哪个数？并请你说明理由．16．（9分）已知：五位数满足下列条件：（1）它的各位数字均不为零；（2）它是一个完全平方数；（3）它的万位上的数字a是一个完全平方数，干位和百位上的数字顺次构成的两位数以及十位和个位上的数字顺次构成的两位数也都是完全平方数．试求出满足上述条件的所有五位数．17．（8分）能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数吗？若能够，请举出一例；若不能够；请说明理由．18．（6分）使得（n2﹣19n+91）为完全平方数的自然数n的个数是多少？19．（8分）已知a1，a2，…，a2002的值都是1或﹣1，设m是这2002个数的两两乘积之和．（1）求m的最大值和最小值，并指出能达到最大值、最小值的条件；（2）求m的最小正值，并指出能达到最小正值的条件．20．（8分）如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数（即整数的平方），证明：（1）2a，2b，c都是整数；（2）a，b，c都是整数，并且c是平方数；（3）反过来，如（2）成立，是否对一切x的整数值，x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数？21．（7分）是否存在一个三位数（a，b，c取从1到9的自然数），使得为完全平方数？22．（6分）求证：四个连续自然数的积加l，其和必为完全平方数．23．（6分）有若干名战士，恰好组成一个八列长方形队列．若在队列中再增加120人或从队列中减去120人后，都能组成一个正方形队列．问原长方形队列共有多少名战士？24．（6分）证明：是一个完全平方数．新课标八年级数学竞赛培训第31讲：完全平方数和完全平方式参考答案与试题解析一、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）1．（3分）若x是自然数，设y=x4+2x3+2x2+2x+1，则（）A．y一定是完全平方数B．存在有限个，使y是完全平方数C．y一定不是完全平方数D．存在无限多个，使y是完全平方数考点：完全平方数．分析：因为x是自然数，那么0也属于自然数．然后根据y=x4+2x3+2x2+2x+1，讨论y是不是完全平方数．解答：解：当x=0时，y=1．y是完全平方数．当x为大于0的自然数时．x4+2x3+2x2＜y＜x4+x2+1+2x3+2x2+2x．故（x2+x）2＜y＜（x2+x+1）2．y一定不是完全平方数．故存在有限个，使y是完全平方数．故选B．点评：本题考查了完全平方数的概念和自然数的知识．属于简单的题目．2．（3分）已知a和b是两个完全平方数，a的个位数字为l，十位数字为x；b的个位数为6，十位数字为y，则（）A．x，y都是奇数B．x，y都是偶数C．x是奇数，y是偶数D．x为偶数，y为奇数考点：完全平方数．专题：综合题．分析：a的个位数字为1，十位数字为x，则x为偶数，而b的个位数为6，十位数字为y，y为奇数，从而得出答案．解答：解：∵a的个位数字为1，十位数字为x，∴x为偶数，∵b的个位数为6，十位数字为y，∴y为奇数，故选D．点评：本题考查了完全平方数的性质，是一道竞赛题，难度中等．3．（3分）如果是整数，那么a满足（）A．a＞0且a是完全平方数B．a＜0，且﹣a是完全平方数C．a≥0且a是完全平方数D．a≤0，且﹣a是完全平方数考点：完全平方数．分析：是整数，则﹣a是一个完全平方数，据此即可作出判断．解答：解：如果是整数，则﹣a是一个完全平方数，则﹣a≥0．故a≤0，且﹣a是完全平方数．故选D．点评：本题主要考查了完全平方数，以及二次根式有意义的条件，正确理解完全平方数的意义是解题的关键．4．（3分）设n是自然数，如果n2的十位数字是7，那么n2的末位数字是（）A．1B．4C．5D．6考点：尾数特征．专题：规律型．分析：设自然数n的末两位数字为10a+b，则（10a+b）2=a2×102+2ab×10+b2.2ab是偶数，要使十位数字是7，则b2的十位数字必须是奇数，而使一位数b2的十位数字是奇数的，只有4或6．可知n2的末位数字是6．解答：解：设自然数n的末两位数字为10a+b（其中a为1～9之间的正整数，b为0～9之间的正整数），∵（10a+b）2=a2×102+2ab×10+b2．而2ab是偶数，∴b2的十位数字必须是奇数，∴b=4或6．∵42=16，62=36．∴n2的末位数字是6．故选D．点评：本题考查了尾数特征和完全平方公式，由n2的十位数字是7，得出n的末位数字是4或6是解题的关键．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）5．（3分）若四位数是一个完全平方数，则这个四位数是7744．考点：完全平方数；数的整除性．专题：综合题．分析：由xxyy这个数的特点可知这个数能被11整除，又它是完全平方数所以能被11的平方121整除．又它是4位数且为完全平方数，所以此数应为121与9 16 25 36 49 64 81的乘积的一种．分别计算可知此数应为121与64的乘积，为7744．其他乘积均不行．解答：解：∵四位数是一个完全平方数，∴这个数能被11整除，则=11（100x+y）是一个完全平方数，则100x+y能被11整除，∵100x+y=99x+（x+y），∴x+y能被11整除，而1≤x+y≤18，∴只有x+y=11，经检验x=7，y=4，故这个四位数为7744．故答案为：7744．点评：本题考查了完全平方数的性质，以及数的整除问题，是重点又是难点，要熟练掌握．6．（3分）设m是一个完全平方数，则比m大的最小完全平方数是（+1）2．考点：完全平方数．专题：综合题．分析：由m是一个完全平方数，得m是的平方数，则比大且最小的整数是+1，从而得出它的平方．解答：解：∵m是一个完全平方数，∴m是的平方数，∴比大且最小的整数是+1，它的平方是（+1）2．故答案为：（+1）2．点评：本题考查了一个数的完全平方数，以及完全平均数的性质，要熟练掌握．7．（3分）设平方数y2是11个相继整数的平方和，则y的最小值是﹣11．考点：完全平方数．分析：设这11个数分别为：x﹣5，x﹣4，x﹣3，…，x+4，x+5．列出方程，讨论y的最小值．解答：解：设11个数分别为：x﹣5，x﹣4，x﹣3，…，x+4，x+5．则这11个相继整数的平方和为（x﹣5）2+（x﹣4）2+…+x2+…+（x+4）2+（x+5）2=11（x2+10）=y2，因为y2是平方数，则当y最小时，y2最小．则y最小时，从而x2=1，y2=121，y=±11．则y的最小值是﹣11．点评：本题考查了完全平方数的应用，根据题意列出合适的方程是解题关键．8．（3分）p是负整数，且2001+p是一个完全平方数，则p的最大值为﹣65．考点：完全平方数．专题：方程思想．分析：根据p是负整数，且2001+p是一个完全平方数，可知2001+p是小于2001的完全平方数，由于小于2001的最大完全平方数是442，则有方程2001+p=442，求解即可．解答：解：∵p是负整数，且取最大值．则有442≤2001+p＜452，∴2001+p=442=1936，∴p=﹣65．故答案为：﹣65．点评：本题考查完全平方数的知识，难度较大，关键是找到小于2001的最大的完全平方数．9．（3分）设自然数N是完全平方数，N至少是3位数，它的末2位数字不是00，且去掉此2位数字后，剩下的数还是完全平方数，则N的最大值是1681．考点：完全平方数．分析：根据题意，设N=x2（x为自然数），去掉此两位数字后得到整数m，m=k2（k为自然数），然后根据其中关系求解N．解答：解：设N=x2（x为自然数），N的末两位数字组成整数y，去掉此两位数字后得到整数m，m=k2（k为自然数），则1≤y≤99，x2=100k2+y，y=x2﹣100k2=（x+10k）（x﹣10k）．令x+10k=a，x﹣10k=b，则b≥1，k≥1，x=10k+b≥11，a=x+10k≥21．若k≥4，则x=10k+b≥41，a=x+10k≥81，唯有b=1，k=4，x=41，a=81，y=81，m=16，N=1681．显然当k≤3时，x≤40．故N=1681为所求最大值．点评：本题考查了完全平方数的应用．做此题时要合理设未知数，然后根据题意求解结果．10．（3分）使得n2﹣19n+95为完全平方数的自然数n的值是5或14．考点：完全平方数．专题：计算题．分析：先讨论n=1，2，3，4，时的情况，然后讨论n≥5时的情况，运用夹逼法确定n2﹣19n+95的范围，从而得出n的可能值．解答：解：①当n=1，2，3，4时显然不符合题意；②当n≥5时，（n﹣10）2≤n2﹣19n+95≤n2，∴（1）n2﹣19n+95=（n﹣10）2⇒n=5；（2）n2﹣19n+95=（n﹣9）2⇒n=14，只有这两种情况符合题意，故n可取5或14．故答案为：5或14．点评：本题考查完全平方数的知识，难度较大，注意夹逼法的运用，也要掌握讨论法的运用．11．（3分）自然数n减去52的差以及n加上37的和都是整数的平方，则n=1988．考点：完全平方数．专题：因式分解．分析：设n﹣59=a2，n+30=b2，则存在a2﹣b2=﹣89=﹣1×89，根据奇偶性相同即可求得a、b的值，即可求得n的值．解答：解：设n﹣52=a2，n+37=b2，则a2﹣b2=﹣89=﹣1×89，即（a+b）（a﹣b）=﹣1×89．且a+b与a﹣b的奇偶性相同，故a+b=89，a﹣b=﹣1，于是a=44，b=45，从而n=1988．故答案为：1988．点评：本题考查了完全平方数的应用，考查了因式分解法求值的应用，考查了奇偶性的判定．12．（3分）两个两位数，它们的差是56，它们的平方数的末两位数字相同，则这两个数分别是78和22．考点：尾数特征．专题：计算题．分析：根据两位数的差是56列出x﹣y=56，根据两位数的平方数的末两位数字相同，得到x2﹣y2=m×100（m为正整数），解方程组，推出m的值，从而求出y的值．解答：解：∵x﹣y=56，x2﹣y2=m×100（m为正整数），消去x，得112y=100m﹣3136，y=﹣28，∵y是一个两位数且m＜100，∴m=56或84，∴y=22或47．当y=22时，x=78；当y=47时，x=103（舍去）．故答案为：22，78．点评：此题考查了尾数的特征，根据两平方数的末两位数字相同得出x2﹣y2=m×100（m为正整数），是解题的关键．三、解答题（共12小题，满分84分）13．（6分）n是正整数，3n+1是完全平方数，证明：n+l是3个完全平方数之和．考点：完全平方数．专题：证明题．分析：此题可以由3n+1为完全平方数得到3n+1=m2，则m=3k+1或3k+2，再得到n的值，代入n+1经变形即可证为3个完全平方数之和．解答：证明：设3n+1=m2，则m=3k+1或m=3k+2（k是正整数）．若m=3k+1，则．∴n+1=3k2+2k+1=k2+k2+（k+1）2．若m=3k+2，则∴n+1=3k2+4k+2=k2+（k+1）2+（k+1）2．故n+1是3个完全平方数之和．点评：本题考查了完全平方数的应用，关键是对n的取值的讨论，比较麻烦，同学们应重点掌握．14．（6分）一个正整数，如果加上100是一个平方数，如果加上168，则是另一个平方数，求这个正整数．考点：完全平方数．专题：代数综合题．分析：所求正整数为x，引入参数m和n分别表示这两个完全平方数，然后利用奇偶性分析求解．解答：解：设所求正整数为x，则：x+100=m2①；x+168=n2②；其中m，n都是正整数，②﹣①得n2﹣m2=68，即（n﹣m）（n+m）=22×17③；因n﹣m，n+m具有相同的奇偶性，由③知n﹣m，n+m都是偶数．注意到0＜n﹣m＜n+m，由③可得．解得n=18．代入②得x=156，即为所求．点评：本题考查完全平方数的知识，难度较大，本题的难点在于引入参数，利用奇偶分析求解．15．（8分）一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”，比如16=52﹣32，16就是一个“智慧数”．在正整数中从1开始数起，试问第1998个“智慧数”是哪个数？并请你说明理由．考点：完全平方数．专题：规律型．分析：如果一个数是智慧数，就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别m、n，设m＞n，即智慧数=m2﹣n2=（m+n）（m﹣n），因为m，n是正整数，因而m+n和m﹣n就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差．解答：解：1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“智慧数”．对于大于1的奇正整数2k+1，有2k+1=（k+1）2﹣k2（k=1，2，…）．所以大于1的奇正整数都是“智慧数”．对于被4整除的偶数4k，有4k=（k+1）2﹣（k﹣1）2（k=2，3，…）．即大于4的被4整除的数都是“智慧数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“智慧数”．对于被4除余2的数4k+2（k=0，1，2，3，…），设4k+2=x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），其中x，y为正整数，当x，y奇偶性相同时，（x+y）（x﹣y）被4整除，而4k+2不被4整除；当x，y奇偶性相异时，（x+y）（x﹣y）为奇数，而4k+2为偶数，总得矛盾．所以不存在自然数x，y使得x2﹣y2=4k+2．即形如4k+2的数均不为“智慧数”．因此，在正整数列中前四个正整数只有3为“智慧数”，此后，每连续四个数中有三个“智慧数”．因为1998=（1+3×665）+2，4×（665+1）=2664，所以2664是第1996个“智慧数”，2665是第1997个“智慧数”，注意到2666不是“智慧数”，因此2667是第1998个“智慧数”，即第1998个“智慧数”是2667．点评：本题主要考查了平方差公式，有一定的难度，主要是对题中新定义的理解与把握．16．（9分）已知：五位数满足下列条件：（1）它的各位数字均不为零；（2）它是一个完全平方数；（3）它的万位上的数字a是一个完全平方数，干位和百位上的数字顺次构成的两位数以及十位和个位上的数字顺次构成的两位数也都是完全平方数．试求出满足上述条件的所有五位数．考点：完全平方数．专题：计算题．分析：设，且a=m2（一位数），（两位数），（两位数），则M2=m2×104+n2×102+t2①由式①知M2=（m×102+t）2=m2×104+2mt×102+t2②，比较式①、式②得n2=2mt．然后讨论即可得出答案．解答：解：设，且a=m2（一位数），（两位数），（两位数），则M2=m2×104+n2×102+t2①由式①知M2=（m×102+t）2=m2×104+2mt×102+t2②比较式①、式②得n2=2mt．因为n2是2的倍数，故n也是2的倍数，所以，n2是4的倍数，且是完全平方数．故n2=16或36或64．当n2=16时，得mt=8，则m=l，2，4，8，t=8，4，2，1，后二解不合条件，舍去；故M2=11664或41616．当n2=36时，得mt=18．则m=2，3，1，t=9，6，18．最后一解不合条件，舍去．故M2=43681或93636．当n2=64时，得mt=32．则m=1，2，4，8，t=32，16，8，4都不合条件，舍去．因此，满足条件的五位数只有4个：11664，41616，43681，93636．点评：本题考查了完全平方数，难度较大，关键是设，且a=m2（一位数），（两位数），（两位数），然后表示出M2的形式．17．（8分）能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数吗？若能够，请举出一例；若不能够；请说明理由．考点：完全平方数．专题：证明题．分析：根据偶数的平方和为偶数，奇数得平方和为奇数，即可讨论这四个数的奇偶性，再讨论三个奇数的性质，即可求得其中结论矛盾，即可求得不能找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数，即可解题．解答：解：偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1，即正整数的平方被4除余0或1．若存在正整数满足n i n j+2002=m2；i，j=1，2，3，4，n是正整数；∵2002被4除余2，∴n i n j被4除应余2或3．（1）若正整数n1，n2，n3，n4中有两个是偶数，设n1，n2是偶数，则n1n2+2002被4除余2，与正整数的平方被4除余0或1不符，故正整数n1，n2，n3，n4中至多有一个是偶数，至少有三个是奇数．（2）在这三个奇数中，被4除的余数可分为余1或3两类，根据抽屉原则，必有两个奇数属于同一类，则它们的乘积被4除余1，与n i n j被4除余2或3的结论矛盾．综上所述，不能找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数．点评：本题考查了奇数、偶数的性质，考查了完全平方数的性质，本题中讨论四个数的奇偶性是解题的关键．18．（6分）使得（n2﹣19n+91）为完全平方数的自然数n的个数是多少？考点：完全平方数．分析：根据n2﹣19n+91=（n﹣9）2+（10﹣n），可分两种情况：①当n＞10时（n2﹣19n+91）不会成为完全平方数；②当n≤10时，（n2﹣19n+91）才是完全平方数；从而得出n的值为9或10．解答：解：若（n2﹣19n+91）处在两个相邻整数的完全平方数之间，则它的取值便固定了．∵n2﹣19n+91=（n﹣9）2+（10﹣n）当n＞10时，（n﹣10）2＜n2﹣19n+91＜（n﹣9）2∴当n＞10时（n2﹣19n+91）不会成为完全平方数∴当n≤10时，（n2﹣19n+91）才是完全平方数经试算，n=9和n=10时，n2﹣19n+91是完全平方数．所以满足题意的值有2个．点评：本题考查了完全平方数的应用，是重点内容，要掌握．19．（8分）已知a1，a2，…，a2002的值都是1或﹣1，设m是这2002个数的两两乘积之和．（1）求m的最大值和最小值，并指出能达到最大值、最小值的条件；（2）求m的最小正值，并指出能达到最小正值的条件．考点：完全平方数．专题：计算题．分析：（1）由于（a1+a2+…+a2002）2=a12+a22+…+a20022+2m=2002+2m，可得m=．a1+a2+…+a2002=2002时，m有最大值，a1+a2+…+a2002=0时，m有最小值，最大值应为2003001，最小值应为57．（2）找到最小的比2002大的偶数完全平方数，即当这2002个数中有1024个1，978个﹣1时，或者有978个1，1024个﹣1时取得最小正值．解答：解：（1）（a1+a2+…+a2002）2=a12+a22+…+a20022+2m=2002+2m，m=．当a1=a2=…=a2002=1或﹣1时，m取最大值2003001．当a1，a2，a2002中恰有1001个1，1001个﹣1时，m取最小值﹣1001．（2）因为大于2002的最小完全平方数为452=2025，且a1+a2+…+a2002必为偶数，所以，当a1+a2+…+a2002=46或﹣46；即a1，a2，a2002中恰有1024个1，978个﹣1或恰有1024个﹣1，978个1时，m取最小值．点评：本题考查了完全平方数和多项式的乘法，解题的关键是将由（a1+a2+…+a2002）2=a12+a22+…+a20022+2m=2002+2m，得到m=，有一定的难度．20．（8分）如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数（即整数的平方），证明：（1）2a，2b，c都是整数；（2）a，b，c都是整数，并且c是平方数；（3）反过来，如（2）成立，是否对一切x的整数值，x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数？考点：完全平方数．专题：代数综合题．分析：（1）分别令x=0，x=1，x=﹣1然后代入二次三项式，可得出2a，2b，c都是整数．（2）分别令令x=2，x=﹣2，代入二次三项式，然后利用奇偶性可分别得出结论．（3）令x=1，a=1，b=1，c=1代入即可作出判断．解答：证明：（1）∵对一切x的整数值，x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数，∴令x=0，a•02+b•0+c=c，c是整数且是平方数，令x=1，﹣1时a•12+b•1+c，a•（﹣1）2+b•（﹣1）+c是平方数，∴可设a•12+b•1+c=m12①a•（﹣1）2+b•（﹣1）+c=n12②c=k12（m1n1k1均为整数），①﹣②得：2b=m12﹣n12，∴2b为整数（整数相减为依然为整数），由①得：2a=2m12﹣2b﹣2c，∴2a为整数，∴2a，2b，c都是整数；（2）（1）中已证c是整数且是平方数，令x=2，﹣2时，可设a•22+b•2+c=m22③a•（﹣2）2+b•（﹣2）+c=n22④c=k12（m2n2k1均为整数），③﹣④得：4b=m22﹣n22=（m2+n2）（m2﹣n2）=2（2b），∵2b为整数，∴2（2b）为偶数，则m22﹣n22为偶数，∴（m2+n2），（m2﹣n2）同奇同偶，则可设（m2+n2）=2m，（m2﹣n2）=2n（m，n均为整数），∴4b=2m•2n=4mn，∴b=mn，∴b为整数；（3）令x=1，a=1，b=1，c=1，则ax2+bx+c=3，而3不是平方数．∴不一定成立．点评：本题考查完全平方数的知识，综合性较强，难度较大，注意在解决多项式的系数的和、差以及其奇偶、整问题一般思路都是用特殊值法．21．（7分）是否存在一个三位数（a，b，c取从1到9的自然数），使得为完全平方数？考点：完全平方式．专题：推理填空题．分析：假设存在，那么三数之和可写成111（a+b+c），由于111（a+b+c）完全平方数，而111=3×37，且3、37是质数，故可知a+b+c中必有因数3和37，又0≤a+b+c≤27，说明a+b+c中不含因数37，从而不是完全平方数，这样的三位数不存在．解答：解：假设存在，根据题意得=100a+10b+c+100b+10c+a+100c+10a+b=111（a+b+c），∵111=3×37，而3、37是质数，∴a+b+c的和中必有因数3和37，又a，b，c取从1到9的自然数，∴0≤a+b+c≤27，∴a+b+c中不含因数37，∴不是完全平方数．故这样的三位数不存在．点评：本题考查的是完全平方数、质数、不等式的有关知识．22．（6分）求证：四个连续自然数的积加l，其和必为完全平方数．考点：完全平方数．专题：证明题．分析：可设最小的自然数为n，则四个连续自然数的积加l，可以写成n×（n+1）×（n+2）×（n+3）+1，再转化为[n×（n+3）]×[（n+1）×（n+2）]+1=（n2+3n）（n2+3n+2）+1=（n2+3n）2+2（n2+3n）+1=（n2+3n+1）2．从而得以证明．解答：证明：设最小的自然数为n，则有n×（n+1）×（n+2）×（n+3）+1=[n×（n+3）]×[（n+1）×（n+2）]+1=（n2+3n）（n2+3n+2）+1=（n2+3n）2+2（n2+3n）+1=（n2+3n+1）2．故四个连续自然数的积加l，其和必为完全平方数．点评：本题考查了完全平方式，解题的关键是将n×（n+1）×（n+2）×（n+3）首尾相乘，整体思想将使式子转化为完全平方式．23．（6分）有若干名战士，恰好组成一个八列长方形队列．若在队列中再增加120人或从队列中减去120人后，都能组成一个正方形队列．问原长方形队列共有多少名战士？考点：完全平方数．专题：应用题；因式分解．分析：可设原有战士8n人，8n+120=a2，8n﹣120=b2，则存在a2﹣b2=240，根据奇偶性相同，即可求得a、b的值，进一步求得n的值．解答：解：设原有战士8n人，8n+120=a2，8n﹣120=b2，则存在a2﹣b2=240，即（a+b）（a﹣b）=240．但a+b与a﹣b的奇偶性相同，且a、b都为偶数，故a+b=120，a﹣b=2，于是a=61，b=59（不合题意舍去）；a+b=60，a﹣b=4，于是a=32，b=28，则8x=904．因为904﹣120=784，784为28的平方，即28行28列，与题意不符，即不是在原8列的方阵中减去120，而是减去120再排成队列，所以904不符条件，应舍去；a+b=40，a﹣b=6，于是a=23，b=17（不合题意舍去）；a+b=30，a﹣b=8，于是a=19，b=11（不合题意舍去）；a+b=24，a﹣b=10，于是a=17，b=7（不合题意舍去）；a+b=20，a﹣b=12，于是a=16，b=4，则8x=136；a+b=16，a﹣b=15，于是a=15.5，b=0.5（不合题意舍去）．故原长方形队列共有136名战士．点评：本题考查了完全平方数在实际生活中的应用，考查了因式分解法求值的应用，考查了奇偶性的判定．24．（6分）证明：是一个完全平方数．考点：完全平方数．专题：转化思想；配方法．分析：先将各个数位上不同的数字用科学记数法表示，再将它们配为完全平方式即可．解答：解：原式=3×102n+2+（10n﹣1）×10n+2+6×10n+1+1=3×102n+2+102n+2﹣10n+2+6×10n+1+1=4×102n+2﹣4×10n+1+1=（2×10n+1﹣1）2．故是一个完全平方数．点评：本题考查了完全平方数，难度较大，解题关键是将各个数位上不同的数字用科学记数法表示，注意中99…9（n个9）00…0（n+2个0）可写成（10n﹣1）×10n+2．参与本试卷答题和审题的老师有：HJJ；lkhfy1989；119107；workholic；王岑；392901；zhjh；zhqd；CJX；499807835；bjy（排名不分先后）菁优网2014年3月7日。
七年级下册完全平方公式讲解
七年级下册完全平方公式讲解一、引入在数学中，我们经常会遇到一些形式为a^2+2ab+b^2或a^2-2ab+b^2的式子。
这些式子被称为完全平方公式。
完全平方公式在代数运算中非常重要，可以帮助我们简化复杂的式子，提高解题效率。
二、定义完全平方公式定义为：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2这两个公式分别表示了两个数的和或差的平方，等于它们的平方和加上或减去它们积的二倍。
三、推导过程我们可以使用多项式乘以多项式的方法来推导完全平方公式。
具体来说，(a+b)^2 = (a+b)×(a+b) = a×a + a×b + b×a + b×b = a^2 + 2ab + b^2。
同样地，(a-b)^2 = (a-b)×(a-b) = a×a - a×b - b×a + b×b = a^2 - 2ab + b^2。
四、应用完全平方公式在解决实际问题中有着广泛的应用。
例如，在计算一些复杂的代数式时，我们可以利用完全平方公式将其简化。
此外，完全平方公式还可以用于解决一些几何问题，如计算一些图形的面积或周长。
五、注意事项在使用完全平方公式时，要注意公式的适用范围。
只有当a和b都是实数时，才能使用完全平方公式。
在计算过程中，要注意运算的顺序和法则，确保计算的正确性。
在应用完全平方公式时，要注意公式的变形和运用，以便更好地解决问题。
六、总结完全平方公式是七年级数学中的一个重要知识点，它可以帮助我们简化复杂的代数式，提高解题效率。
通过学习和掌握完全平方公式，我们可以更好地理解和掌握代数运算的基本方法和技巧。
数学竞赛-完全平方数
(3m+1)=9+6m+1=3k+1
(3m+2)=9+12m+4=3k+1 同理可以得到：
性质 7：不能被 5 整除的数的平方为 5k±1 型，能被 5 整除的数的平方为 5k 型。 性质 8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。 除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之 和。例如，256 它的各位数字相加为 2+5+6=13，13 叫做 256 的各位数字和。如果再 把 13 的各位数字相加：1+3=4，4 也可以叫做 256 的各位数字的和。下面我们提到 的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位 数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题： 一个数的数字和等于这个数被 9 除的余数。 下面以四位数为例来说明这个命题。 设四位数为，则
中符合题意的只有 2401 一个。 [例 11]：求自然数 n，使的值是由数字 0,2,3,4,4,7,8,8,9 组成。 解：显然，。为了便于估计，我们把的变化范围放大到，于是，即。∵，∴。
另一方面，因已知九个数码之和是 3 的倍数，故及 n 都是 3 的倍数。这样，n 只有 24,27,30 三种可能。但 30 结尾有六个 0，故 30 不合要求。经计算得
k=1
k=2
k=3
4
k=5 所以此自然数为 1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。
[例 8]：甲、乙两人合养了 n 头羊，而每头羊的卖价又恰为 n 元，全部卖完后， 两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不 足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元(第 2 届“祖冲之杯”初中 数学邀请赛试题)？
初中数学竞赛代数部分教程文件
（9）多项式的带余除法： 若多项式f(x)除以g(x)，所得商式为q(x),余式为
r(x),则 f(x)=g(x)q(x)+r(x)
（10）因式分解的方法：
•提公因式法 •运用公式法 •分组分解法 •十字相乘法 •双十字相乘法 •待定系数法 •添项、拆项、配方法 •换元法
例 （ 1 ） x 2 3 x y 1 0 y 2 x 9 y 2
（2） k 为何值时， x 2 2xy ky2 3x 5y 2
能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式
（ 3 ） (x 2 3 x 2 )(4 x 2 8 x 3 ) 9 0
（11）幂指数运算性质：
amanamn am n amn
abn anbn
amanamn
2、分式的知识点
（1）基本公式
【例】(2000 年全国初中数学联赛题)
已知 a 3 4 3 2 3 1 ，求 3 3 1 的值. a a2 a3
练习、已知： x2
x 1
0，求 x 4
1 x4
的值。
练习.如果
a2
3a
1
0
,那么
a3 a6
1
的值是___________.
练习、若 a b 1 3,b c 1 3,
➢ a c b c a b c c 0；
➢
n
a
an a 0。
（4）设 a,b,c,d,m 有理数，且 m 不是完全平方数，则
当且仅当 a c，b d 时， a b m c d m 。
( 5 ) 若 a bc 0 ， 则 a 0 ,b 0
（6）二次根式的求值 基本思路：先将二次根式化为最简根式 再作加减乘除运算 特殊的方法、技巧：换元法、拆项法、因式
完全平方数(初中数学竞赛教案)
课题：完全平方数一、本课知识点和能力目标1．知识点：个位数的计算或判断，需要掌握由一般到特殊的归纳思想、方法，通过知识的传授培养学生的数学能力。
完全平方数是一种特殊的整数，有其独特的性质，通过学习，学生要学会判断一个数是否完全平方数，并能利用完全平方数的性质解决一些数学问题。
2．能力目标：本讲采用举例的办法，介绍以帮助同学们轻松地进行计算，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。
二、数学思想：一般到特殊，分类讨论思想。
三、本次授课节次及内容安排第1课时：个位数的判定。
第2课时：完全平方数第3课时：典型例题剖析第4课时：课堂反馈.四．课外延伸、思维拓展第一课时[知识要点]个位数知识：1.整数之和（差）的个位数等于其个位数之和（差）。
2.整数之积的个位数等于其各个因数的各位数之积。
3.正整数的幂的个位数有一定的规律。
(a)n次幂后，0，1，5，6的个位数保持不变。
(b)个位数为4，9的数，n次幂后的个位数以2为周期变化。
(c) 个位数为2，3，7，8的数，n次幂后的个位数以4为周期变化。
【经典例题】19991.1997例求的个位数。
答案：3。
533319981998例试证：（）是的倍数；（）是的倍数。
-+2.153********答案：（1）0；（2）3。
100011000210003例数的个位数字是什么？3.3713答案：919991996=例求的个位数字。
a a4.1997,答案：1尝试练习：338778199819992000200120022003321381.3.(2000~2001)2.7887_______?()3..237_______?(1999)4.200120022003_______?(2001)5.6(7317)+⨯⨯++⨯-求的個位數字香港青少年數學精英選拔賽的個位數字是第一屆華羅庚杯香港小學精英賽的個位數字是年香港數學奧林匹克的個位數字是年香港數學奧林匹克的個2111_______?6.310?÷位數字是的餘數是多少 答案：（1）3； （2）1； （3）8； （4）2； （5）2；（6）7第二课时[知识要点]如果n 是一个整数，则n 2就叫完全平方数。
完全平方数和完全平方式
初中数学竞赛精品标准教程及练习46完全平方数和完全平方式
初中数学竞赛精品标准教程及练习46完全平方数和完全平方式完全平方数是指一个数可以表示为另一个整数的平方，即可以写成n^2的形式。
对于完全平方数的研究，我们可以从两个方面来进行探究，一是如何求解一个数是否是完全平方数，二是如何找到一串连续的完全平方数。
首先是如何求解一个数是否是完全平方数。
可以使用穷举法来进行判断，从1开始，依次计算n^2是否等于目标数，如果找到一个满足条件的整数n，即可判断目标数是完全平方数；如果没有找到，则可以判断目标数不是完全平方数。
另一种方法是二分法。
从目标数的平方根开始，计算它的平方是否等于目标数，如果是，则目标数是完全平方数；如果不是，则根据平方的大小关系继续判断目标数是否是完全平方数，并进行调整范围，最终找到答案。
接下来是如何找到一串连续的完全平方数。
可以使用动态规划的方法来解决这个问题。
定义一个dp数组，dp[i]表示从1到i的连续完全平方数的最小个数。
根据动态规划的思想，我们可以得到递推公式：dp[i] = min(dp[i-j^2]+1)，其中j为小于等于i的整数。
通过不断更新dp数组，最终可以得到目标范围内的连续完全平方数的最小个数。
除了这些方法，还可以使用数学性质来判断和求解完全平方数。
例如，每一个正整数n都可以表示为4个连续整数的和。
也就是说，对于任意一个正整数n，n=k+(k+1)+(k+2)+(k+3)，其中k=(n+3)/4、这个性质可以用来判断一个数是否是4个连续整数的和，以及求解一串连续完全平方数。
练习题：1.判断以下数是否是完全平方数：25，18，49，36，572.求解100以内的所有完全平方数。
3.找到1到100范围内的连续完全平方数的最小个数。
答案：1.25是完全平方数，18、49、36都是完全平方数，57不是完全平方数。
2.1、4、9、16、25、36、49、64、81、100是100以内的完全平方数。
3.最小个数为4、1到100范围内的连续完全平方数有(1,4,9,16,25,36,49,64,81,100)共有10个，可以表示为4^2+5^2+6^2+7^2。
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初中数学竞赛专题选讲
完全平方数和完全平方式
一、内容提要
一定义
1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数.
例如0，1，0.36，25
4，121都是完全平方数. 在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方.
2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式.
如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的.
例如：
在有理数范围 m 2, (a+b －2)2, 4x 2－12x+9, 144都是完全平方式.
在实数范围 （a+3）2, x 2+22x+2, 3也都是完全平方式.
二. 整数集合里，完全平方数的性质和判定
1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数.
2. 若n 是完全平方数，且能被质数p 整除, 则它也能被p 2整除..
若整数m 能被q 整除，但不能被q 2整除, 则m 不是完全平方数.
例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数.
又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数.
三. 完全平方式的性质和判定
在实数范围内
如果 ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式，则b 2－4ac=0且a>0；
如果 b 2－4ac=0且a>0；则ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式.
在有理数范围内
当b 2－4ac=0且a 是有理数的平方时，ax 2+bx+c 是完全平方式.
四. 完全平方式和完全平方数的关系
1. 完全平方式（ax+b ）2 中
当a, b 都是有理数时, x 取任何有理数，其值都是完全平方数；
当a, b 中有一个无理数时，则x 只有一些特殊值能使其值为完全平方数.
2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数. 例如： n 2+9, 当n=4时，其值是完全平方数.
所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别.
五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系
1. 在整系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中
① 若b 2－4ac 是完全平方数，则方程有有理数根；
② 若方程有有理数根，则b 2－4ac 是完全平方数.
2. 在整系数方程x 2+px+q=0中
① 若p 2－4q 是整数的平方，则方程有两个整数根；
② 若方程有两个整数根，则p 2－4q 是整数的平方.
二、例题
例1. 求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数.
证明：设五个连续整数为m －2, m －1, m, m+1, m+2. 其平方和为S.
那么S ＝（m －2）2＋（m －1）2＋m 2＋（m+1）2＋（m+2）2
＝5（m 2+2）.
∵m 2的个位数只能是0，1，4，5，6，9
∴m 2+2的个位数只能是2，3，6，7，8，1
∴m 2+2不能被5整除.
而5（m 2+2）能被5整除，
即S 能被5整除，但不能被25整除.
∴五个连续整数的平方和不是完全平方数.
例2 m 取什么实数时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式？
解：根据在实数范围内完全平方式的判定，得
当且仅当⎩⎨⎧>-0
10m △＝时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式 △=0，即（2m ）2－4(m －1)(3m －2)=0.
解这个方程， 得 m 1=0.5, m 2=2.
解不等式 m －1>0 ， 得m>1.
即⎩
⎨⎧>==125.0m m m 或 它们的公共解是 m=2.
答：当m=2时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式.
例3. 已知： (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.
求证： a=b=c.
证明：把已知代数式整理成关于x 的二次三项式，得
原式＝3x 2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc
∵它是完全平方式，
∴△＝0.
即 4(a+b+c)2－12(ab+ac+bc)=0.
∴ 2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ca=0,
(a －b)2+(b －c)2+(c －a)2=0.
要使等式成立，必须且只需：
⎪⎩
⎪⎨⎧=-=-=-000a c c b b a
解这个方程组，得a=b=c.
例4. 已知方程x 2－5x+k=0有两个整数解，求k 的非负整数解.
解：根据整系数简化的一元二次方程有两个整数根时，△是完全平方数.
可设△= m 2 (m 为整数)，
即（－5）2－4k=m 2 (m 为整数)，
解得，k=4
252
m -. ∵ k 是非负整数，
∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-≥-的倍数
是42502522m m 由25－m 2≥0， 得 5≤m ， 即－5≤m ≤5；
由25－m 2是4的倍数，得 m=±1, ±3, ±5.
以 m 的公共解±1, ±3, ±5，分别代入k=4
252
m -. 求得k= 6, 4, 0.
答：当k=6, 4, 0时，方程x 2－5x+k=0有两个整数解
例5. 求证：当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根.
证明： （用反证法）设方程有有理数根，那么△是整数的平方.
∵△＝（8k ）2－16(k 2+1)＝16（3k 2－1）.
设3k 2－1＝m 2 (m 是整数).
由3k 2－m 2＝1，可知k 和m 是一奇一偶，
下面按奇偶性讨论3k 2＝m 2＋1能否成立.
当k 为偶数，m 为奇数时，
左边k 2是4的倍数，3k 2也是4的倍数；
右边m 2除以4余1，m 2＋1除以4余2.
∴等式不能成立.； 当k 为奇数，m 为偶数时，
左边k 2除以4余1，3k 2除以4余3
右边m 2是4的倍数，m 2＋1除以4余1
∴等式也不能成立.
综上所述，不论k, m 取何整数，3k 2＝m 2＋1都不能成立.
∴3k 2－1不是整数的平方， 16（3k 2－1）也不是整数的平方.
∴当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根
三、练习
1. 如果m 是整数，那么m 2+1的个位数只能是＿＿＿＿.
2. 如果n 是奇数，那么n 2－1除以4余数是＿＿，n 2+2除以8余数是＿＿＿，3n 2除以4
的余数是＿＿.
3. 如果k 不是3的倍数，那么k 2－1 除以3余数是＿＿＿＿＿.
4. 一个整数其中三个数字是1，其余的都是0，问这个数是平方数吗？为什么？
5. 一串连续正整数的平方12，22，32，………，1234567892的和的个位数是＿＿.
（1990年全国初中数学联赛题）
6. m 取什么值时，代数式x 2－2m(x －4)－15是完全平方式？
7. m 取什么正整数时，方程x 2－7x+m=0的两个根都是整数？
8. a, b, c 满足什么条件时,代数式(c －b)x 2+2(b －a)x+a －b 是一个完全平方式？
9. 判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数：
① 四个连续整数的积； ②两个奇数的平方和.
10. 一个四位数加上38或减去138都是平方数，试求这个四位数.
11. 已知四位数aabb 是平方数，试求a, b.
12. 已知：n 是自然数且n>1. 求证：2n －1不是完全平方数.
13. 已知：整系数的多项式4x 4+ax 3+13x 2+bx+1 是完全平方数，求整数a 和b 的值.
14. 已知：a, b 是自然数且互质，试求方程x 2－abx+2
1(a+b)=0的自然数解. (1990年泉州市初二数学双基赛题)
练习题参考答案
1. 1，2，5，6，7，0
2. 0，3，3
3. 0
4. 不是平方数，因为能被3整除而不能被9整除
5. 5。
因为平方数的个位数是
（1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4+1+0）×12345678＋（1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4+1） 即个位数为5×8＋5
6. 3，5
7. 12，10，6
8. a=b,a=c 且c>b
9. 都不是
10. 1987． ∵⎪⎩⎪⎨⎧=-=+2213838B
x A x A 2－B 2＝176＝2×2×2×2×11 ⎩⎨⎧=-=+B A B A …… 11. 7744（882）. ∵b a aabb 011⨯=是平方数， a+b 是11的倍数
∴可从⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==9
256473829b a b a b a b a b a 中检验，得出答案. 12 用反证法，设2n －1=A 2,A 必是奇数， 设A ＝2k+1……
13 ⎩⎨⎧==612b a ⎩⎨⎧-=-=6
12b a 14 ⎩
⎨⎧==31b a x 1=1, x 2=2。