量子力学第七章 - 2

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量子力学第7章-2(第20讲)

H
p' p"
p2 2m
p
'
p "
V
i
p
'
p
'
p
"
2．力学量的表象变换
力学量 Fˆ 在表象A中的表示矩阵：
Fmn
m
(
x)Fˆ
n
(
x)d
x
在表象B中的表示矩阵：
F (x)Fˆ (x)d x
F Fmn
F F
Sm
m
(
x)
Fˆ
n
(
x)d
x Sn
mn
Sm FmnSn
问题？
坐标算符、动量算符、动能算符、任意力学量算符在坐标表象、动量表象、 Q表象（任一力学量表象）中分别如何表示？
力学量算符从一个表象如何变换到另一个表象？
幺正变换有何主要性质和特点?
力学量算符在坐标表象与动量表象中的表示
坐标表象
xˆ x
Pˆx i
x
Tˆ
2
2m
2 x2
动量表象
xˆ i p x
a1(t)
(q, t)
an
(t
)
任一态矢 (x, t) an (t)un (x)
n 1
(r, t)
an (t)
un*
(r)
(r ,
t
)
d
3
r
(q, t)是粒子状态波函数 (r , t) 在Q 表象中的表示，
称为Q 表象波函数
量子力学表象与几何空间坐标系的比较
量子力学表象
Ai Aei
矢量:
A1
A
A2

量子力学第四版卷一 (曾谨言著) 答案----第7章

其中 Py 和 Pz 为任意实数，
n = 0,1,2, ⋯
式（4）中为以ψ ( x ) 为 ( x − x 0 ) 变量的一维谐振子能量本征函数，即
ψ ( x) = ψ
n
(x−
x0 ) = H n ( ξ ) e − ξ
2
2
（ 9）
H n ( ξ ) 为厄密多项式， ξ =
uω ( x − x0 ) =
e
−
iqf c
iqf q c ˆ ˆ ψ p − A + ∇ f e ψ dτ c ∗ iqf iqf iqf − ∗ ˆ c c ˆ e c ψ dτ − q ψ ∗p e ψ A + ∇ f e ψ dτ c ∫∫∫
(
)
（9 ）
在证明第 3 式时，设变换后的 v 是势的变换式：
v′
。写出右方平均值的显式，用（4）的波数变换，和 (4) ′ 的矢
q µ v ′ = p′ − A′ = c = =
∫∫∫ψ
∗
′ ˆ′ ˆ′ − q A p ψ ′dτ c
∫∫∫ e ∫∫∫
−
dV = ε q ， V = − ε qx dx
2
哈密顿算符是：
q 1 2qB q 2 ˆ = 1 {p ˆ x2 + ( p ˆ y 2 − Bx ) + pz 2 } − ε qx = ˆ x2 + p ˆ y2 − H {p p y x + B x 2 + pz } − ε qx （ 2µ c 2µ c c
第七章：粒子在电磁场中的运动
P367——7.1，7.2 证明在磁场 B 中，带电粒子的速度算符的各分量，满足下述的对易关系： iq ˆ vx , v y = 2 B （1） z µ c iq ˆ v y , vz = 2 B （ 2） x µ c iq ˆ [v By （ 3） z , vx ] = µ 2c

【武汉大学】量子力学第七章

和二级修正等；
而
(0) n
,
(1) n
,
分2别n( 2) ,是波函数的零级近似，
一级修正和二级修正等。
将(2)(3)式代回(1)式中得到
(Hˆ (0)
Hˆ (1)
)(
(0) n
(1) n
2
(2) n
)
(4)
(
E(0) n
E (1) n
E2 (2) n
)(
(0) n
(1) n
2
(2) n
)
展开得：
0
根据等式两边λ同幂次的系数应该相等，可得到
0
:
Hˆ
(0)
(0) n
E(0) (0) nn
1
:
Hˆ
(0)
(1) n
Hˆ
(1)
(0) n
E(0) (1) nn
E(1) (0) nn
2
:
Hˆ
(
0)
(2) n
Hˆ
(1)
(1) n
E(0) (2) nn
E(1) (1) nn
E(2) (0) nn
第七章原子光谱的精细结构
§7.1 定态微扰论 §7.2 变分法 §7.3 氢原子光谱的精细结构
§7.1 定态微扰论
思想
设能量本征值方程为 Hˆ E
若不能给出严格解
假定 Hˆ Hˆ (0) Hˆ Hˆ (0) Hˆ (1) 其中，是一个小量 | | 1 Hˆ 称为微扰项
Hˆ (0) 的本征值和本征函数较容易计算出来,在此基础上，可以把 Hˆ的影响逐级考虑进去，得到接近精确解的近似解
, E (1) (1)
n
n

量子力学-自旋 Ⅲ. 碱金属的双线结构 Ⅳ. 两个自旋为1_2的粒子的自旋态纠缠态

c. Pauli Operator：为方便起见，引
入泡利算符
Sˆ ˆ 2
于是，在 z 表象中有（或称 Pauli 表象）
0 1 (x ) 1 0
0 i
(y
)
i
0
1 0
(
z
)
0
1
称为泡利矩阵
由此得于是有
[i, j] 2iijk k 2x 2y 2z 1
xy yx 0
i Lˆ xSˆ y i Lˆ ySˆ x
因此，( Hˆ , Lˆ2, Lˆ z,Sˆ z )不能构成力学量完全集。但
[Lˆ z Sˆ z ,Lˆ Sˆ ]
i Lˆ ySˆ x i Lˆ xSˆ y i Lˆ xSˆ y i Lˆ ySˆ x 0
即
[Lˆ S 2
t) , t)
1 2(r, t) 1 2(r, t)
ψ1 2(r, t)α ψ1 2(r, t)β
C．考虑自旋后，力学量的表述
Lˆ 在 (r, Sz ) 表象中的表示为
r,Sz Lˆ r,Sz
L11 L21
(r, (r,
Pˆ ), Pˆ ),
L12(r, Pˆ ) L22(r, Pˆ )
第二十讲提要
第七章自旋
Ⅱ. 自旋－微观客体特有的内禀角动量 A. 电子的自旋算符和它的矩阵表示 B. 考虑自旋后，状态和力学量的描述 C. 考虑自旋后，电子在中心势场中的薛定谔方程
Ⅱ. 自旋－微观客体特有的内禀角动量
A. 电子的自旋算符和它的矩阵表示
假设：自旋算符 Sˆ 有三个分量，并满
足角动量所具有的对易关系。
3 4
2
0
0 Lˆ 2 3
4
2

量子力学讲义第7章

第七章定态问题的近似解（本部分内容尽可能采用精讲多练的方法教学，减少课堂推导，增加例题训练）7.1 非简并态微扰论微扰论的基本精神 -- 对小量逐级展开一、非简并微扰论适用的条件①n n n E H t H ψψ==∂∂,0；②H H H H ''+= ,0要远小于00,H H为分立谱；③)0()0()0()0()0(0,,nn n n n E E H ψψψ= 已知或易求； ① 所研究的那个能级无简并。

二、零级近似方程和各级修正方程为表征微扰程度，引入参数H H '→'≤λλ:1，按λ的幂次展开。

方程： n n n E H H ψψλ='+)(0设 ......)2(2)1()0(+++=n n n n E E E E λλ ......)2(2)1()0(+++=n n n n ψλλψψψ代入方程： ...)...)((...))(()2(2)1()0()2(2)1()0()2(2)1()0(0++++++=+++'+n n n n n n n n n E E E H H ψλλψψλλψλλψψλ 比较各级得：)0()0()0(00:n n n E H ψψλ=)0()1()1()0(01)()(:n n n n E H E H ψψλ-'-=-)0()2()1()1()2()0(02)()(:n n n n n n E E H E H ψψψλ+-'-=-……最后令λ=1，求得各级 )()(,m nm n E ψ。

三、n n E ψ, 的各级近似 1、一级近似用}{)0(n ψ展开∑=ll l n na )0()1()1()1(:ψψψ。

代入一级近似方程：)0()1()0()1()0(0)()(n n l ll n E H a E H ψψ-'-=-∑用)*0(k ψ左乘上式，利用kl l k d δτψψ=⎰)0()*0( 得,)1()1()0()1()0(kn n knk n k k E H a E a E δ+'-=-其中⎰''='H d H H n k kn~)0()*0(τψψ在0H 表象的矩阵元。

周世勋量子力学课件第七章

得：b = c* (或c = b*)
I
x
2
0 c * 0 c * | c |2 0 c 0 2 c 0 0 |c|

令：c = exp[iα] (α为实），则
| c |2 1
0 e i x i e 0
写成列矩阵
1 ( r , t ) ( r , t ) 2
若已知电子处于Sz = /2 规定列矩阵第一行对应于Sz = /2，或Sz = -/2的自旋态，则第二行对应于Sz = -/2。波函数可分别写为：
1 (r , t ) 1 2 0
1 0 a b a b 1 0 得： 0 1 c d c d 0 1
a 0 d 0
a b ˆ x c d
a 0 d 0
§1 电子的自旋
返回
（一）电子自旋的引入 (二）Stern-Gerlach 实验（三）回转磁比率
（一）电子自旋的引入
乌伦贝克(Uhlenbeck) 和哥德斯密脱(Goudsmit) 于 1925年提出了电子自旋假设. 当时主要的实验根据是:
1 碱金属原子光谱的精细结构.例如纳原子光谱中一条很亮的黄线(D线,λ~5893Å), 其实是由两条很靠近的谱线组成, D1 (λ~5896Å), D2(λ~5890Å). 2 反常塞曼效应. 1912年发现,原子光谱线在弱磁场中的复杂分裂现象(分裂成偶数条).
ˆ ˆ ˆ ˆ x y y x 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y z y z 2i x y
ˆ ˆ ˆ ˆ x y y x

量子力学散射理论

相比，知
对高能入射粒子，相应条件为：
（比较容易满足）
二、高阶波恩近似
定义算符T为：有
据可见其中：
(=- 1
4
2m
2
(2
)3
k ' |V | ()
)
二阶波恩近似
作业：
一、6.2(a)
二、求一阶波恩近似下，方势阱(V(r)=V0θ(a-r))产生的微分散射截面。
对坐标基（也可以采用其他表象）：
该积分方程对|Φ>=|p>，有：
计算
= =
（记
(E 2k 2 / 2m)
于是形式解为：对局域势：得：
考虑观察点远离势中心
可以得到：其中出射球面波振幅为：
微分散射截面（单位立体角内的跃迁速率除以流量）
平面波~尺度远大于势作用范围的波包
§7.2 波恩近似
一、将得一阶波恩近似：记则对球心势有
代入散射振幅公式
二、应用举例
对Yakawa势
即一阶波恩近似下对库仑势（µ0,V0/µZZ’e2）
与经典卢瑟夫散射截面公式相同：
一阶球心势散射特点
1）
f（（1））
-
2m 2q
0
rV
(r
)
sin
qrdr
仅依赖于q，且为实数
2）dd f ( ) 2 F(q2) 2 F(k2(1 cos )) 2 与V的符号无关
第七章散射理论
散射是探测物质结构如质量、电荷和势场分布的主要实验途径。因此，散射理论具有众多重要的应用。
散射问题常可用含时微扰的方法，也可以用定态微扰的方法处理。
§7.1 Lippmann-Schwinger 方程

量子力学第七章习题解答

即
h h 2 2 2 λ − cos γ − (cos α + cos β ) = 0 4 4
2
h λ − = 0 (利用 cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1) 4
2
2
⇒
a h 设对应于 S n = 的本征函数的矩阵表示为 χ 1 ( S n ) = ， b 2 2
由归一化条件，得
a 2 2 1 = χ 1 χ 1 = (a , b ) = a + b b 2 2 2 cos α + i cos β 2 2 a + a =1 1 + cos γ
+ * *
2 2 a =1 1 + cos γ
取
1 + cos γ a= 2
，得
b=
cos α + i cos β 2(1 + cos γ )
ˆ 在这些本征态中，测量 S z 有哪些可能值？这些可 ˆ 能值各以多大的几率出现？ S z 的平均值是多少？
ˆ ˆ 解：在 S z 表象， S n 的矩阵元为
ˆ = h 0 1 cos α + h 0 − i cos β + h 1 0 cos γ Sn 1 0 i 0 0 − 1 2 2 2
⇒
b1 a1 = ⇒ a b 1 1
b1 = a1
χ 1+/ 2 χ 1 / 2 = 1 ，得由归一化条件 a * * 1 (a1 , a1 ) = 1 a 1
即
2 a1 = 1
2
∴
a1 =
1 2
b1 =

第七章第二讲

ˆ J ˆ 2J ˆ 2J ˆ 2, J x x y z
ˆ J ˆ 0 J y y,

ˆ 2, J ˆ Jx x

ˆ J ˆ 2, J x y

ˆ J ˆ 2, J x z
ˆ J ˆ J x z

ˆ J x

ˆ J ˆ , J x y

ˆ J ˆ ˆ ˆ J x y Jz Jz ,
1 1
上式与关系式

m1
j1 , j2 , j, m | j1 , m1 , j2 , m m1 j1 , m1 , j2 , m m1 | j1 , j2 , j , m jj
一起反映了C-G系数的么正性和实数性。
（3）j的取值范围（j与j1,j2的关系） 1.对给定j1 j2 ，求 jmax 因为m m1 m2 取值范围分别是：
Jmax = j1 + j2
等式两边基矢数应该相等
| j1 , j2 , j , m | j1 , m1 , j2 , m m1 j1 , m1 , j2 , m m1 | j1 , j2 , j , m
Jˆ ,
z
同理
Jˆ ,
z

ˆ 2 0 J 2

Jˆ
1z ,
ˆ 2 J ˆ , J 1 2z

ˆ 2 J 1

0
亦成立。 [证毕]
（二）耦合表象和无耦合表象
（1）本征函数
综合上述对易关系可知：四个角动量算符
ˆ 2, J ˆ ,J ˆ 2, J ˆ 2 J z 1 2
两两对易
jm
, j2 , m j1 , m1 2 |

量子力学讲义第七章讲义

(8)
是|>在F表象中的基矢|j>方向的投影。式(8)即的本征方程在F表象中的表
述形式。
(6) A2=0，但A=0不一定成立
5、对角矩阵 6、单位矩阵
除对角元外其余为零即
单位矩阵与任何矩阵A的乘积仍为A：IA=A，并且与任何矩阵都是可
对易的：IA=AI
7、转置矩阵：把矩阵A的行和列互相调换，所得出的新矩阵称为A的转
置矩阵。
m列n行n列m行共轭矩阵： m列n行n列m行转成共轭复数
8、厄密矩阵：
矢量。选取一个特定力学量F表象，相当于选取特定的坐标系。该坐标
系是以力学量F的本征函数系为基矢，态矢量在各基矢上的分量则为展
开系数，在F表象中态矢量可用这组分量来表示。
F表象的基矢有无限多个，所以态矢量所在的空间是一个无限维的抽象的函数空间，称为Hilbert空间。
§7.2 力学量(算符)的矩阵表示
它就是与本征值相应的本征态在F表象中的表示。给定算符如何求本征值与本征函数 ——（1）先求用矩阵表示的本征方程；（2）代入久期方程求得本征值的解；（3）本征值代入本征方程求本征函数。
4、举例：例1、已知体系的哈密顿算符Ĥ与某一力学量算符在能量表象中的矩阵形式为：
，其中和b为实常数，问
(1)、H和B是否是厄密矩阵； (2)、H和B是否对易； (3)、求算符的本征值及相应的本征函数； (4)、算符的本征函数是否也是Ĥ的本征函数。
态矢与的标积记为，
而记为
若，则称与正交；若，则称为归一化态矢。设力学量完全集F的本征态（离散）记为|k>，它们的正交归一性表
示为
连续谱的本征态的正交“归一性”，则表成函数形式。例如动量本征态，，坐标本征态，等。

量子力学课件第七章

χ
−
1 2
0 h 的本征矢量。 = 分别是 s z = ± 的本征矢量。 1 2
σ x的矩阵形式
令 a ˆ σx = c b d
ˆ ˆ ˆ ˆ 由σ zσ x = −σ xσ z
§ 7.2 电子自旋算符和自旋函数
1 0 a b a b 1 0 0 − 1 c d = − c d 0 − 1
§ 7.2 电子自旋算符和自旋函数
二、泡利算符
h ˆ S x = 2 σˆ v h v ˆ ˆ → S = h σˆ S = σ ˆy 2 2 ˆ S = h σˆ z 2
x y z
( 7 .2 − 2 )
(A)对易关系对易关系
7.2式代入（7.2得到所满足的对易关系：（7.2-1）式代入（7.2-2）式，得到所满足的对易关系：
§ 7.2 电子自旋算符和自旋函数
证明
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ σ xσ y −σ yσ x=σ x − σ y = 2iσ zσ x
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ σ y − σ xσ yσ x = 2iσ xσ z
ˆ σ x右乘上式
ˆ σ x左乘上式
在把两式相加
2
r
r
h 2

2
r
§ 7.2 电子自旋算符和自旋函数
v 于是，于是，∫ ψ 1 d r = 自旋朝上的几率
2
∫ψ
4.
2 2
v d r = 自旋朝下的几率
波函数归一化表示为：波函数归一化表示为：
∫ψ
+
ψ dτ =
∫ d τ (ψ
2 1
+ψ2

量子力学曾谨言习题解答第七章

第七章：粒子在电磁场中的运动[1]证明在磁场B中，带电粒子的速度算符的各分量，满足下述的对易关系：[]zy x cq i v v B ˆ,2μ= （1） []xz y cq i v v B ˆ,2μ= （2） []y xz cq i v v B ˆ,2μ= （3） [证明]根据正则方程组：x x p H x v ∂∂== ˆ ，Φ+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=q A c qp H 221ˆ μ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x A c q p vˆˆ1ˆμ 同理 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y y y A c q p v ˆˆ1ˆμ ()z y x p p p pˆ,ˆ,ˆˆ 是正则动量，不等于机械动量，将所得结果代入（1）的等号左方： []⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=y y x xyxA c q p A c q p v v ˆˆ,ˆˆ1,2μ =[][][][]y x y x y x y x A A cq p A c q A p c qp pˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆ122222μμμμ+-- （4）正则动量与梯度算符相对应，即∇=ipˆ ，因此 []0ˆ,ˆ=y x p p又A ˆ仅与点的座标有关[]0ˆ,ˆ=yxA A[]z x y x y yxB c iq y A x A i c q x i A c q A x i c q v v 2222,,,μμμμ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-= （因A B ⨯∇=ˆˆ）其余二式依轮换对称写出。

[2]利用上述对易式，求出均匀磁场中，带电粒子能量的本征值（取磁场方向为Z 轴方向）（解）设磁场沿Z 轴方向，B B B B z y x ===00矢势A ˆ 的一种可能情形是022=-=-=z y x A x B A y BA在本题的情形，哈密顿算符是：（前题）{})2(2)1(2221ˆ222222z y x z y x v v v p x c qB p y c qB p H ++=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=μμ速度算符间的对易式是：()()())5(0,)4(0,)3(,2===x z zyyxv v v v B ci q v v μ 根据（54⨯），z v 分别和x v ，y v 对易，因此z v 与22yx v v +对易，而： ()2212ˆyx v v H +=μ 与22ˆ2ˆx v H μ=有共同的本征函数，H ˆ的本征值是21ˆ,ˆH H 本征值之和。

量子力学-自旋与全同粒子

自旋量子数 s 只有一个数值1/2 只有一个数值1
HUST
Applied Physics
12
3、自旋算符的形式及其本征态、
Sx ,Sy ,Sz 不对易，不能同时有确 Sˆ × Sˆ = i ℏ Sˆ S S 不对易，定值。所以，定值。所以，只能用某一方向的分量来反映自旋的特点。一般用S 来反映自旋的特点。一般用Sz ，即建 [ Sˆ x , Sˆ y ] = i ℏ Sˆ z 表象（或称S 的共同表象）立Sz 表象（或称 S 2和 Sz 的共同表象）， [ Sˆ y , Sˆ z ] = i ℏ Sˆ x 表象研究电子的运动状态研究电子的运动状态。在Sz 表象研究电子的运动状态。（1）自旋算符Sx ,Sy , Sz 的矩阵形式）自旋算符S S
3s
3S1/2
5
二、自旋假设的提出
Uhlenbeck 和 Goudsmit在1925年，根据上述现象提出，电在年根据上述现象提出，自旋。没有经典对应，子具有一种特殊的运动——自旋。该运动方式没有经典对应，子具有一种特殊的运动自旋该运动方式没有经典对应不能用经典运动来解释（与自转有本质区别）不能用经典运动来解释（与自转有本质区别）。这就是电子的自旋假设：自旋假设：自旋角动量，（ 1）电子具有自旋角动量，它在空间）电子具有自旋角动量任何方向上的投影只能取两个值：上的投影只能取两个值任何方向上的投影只能取两个值：自旋磁矩，（ 2）电子具有自旋磁矩，它与自旋角）电子具有自旋磁矩动量的关系为：动量的关系为：
设原子磁矩为 M ，外磁场为 B ，中的势能为：原子在 Z 向外磁场 B 中的势能为：

《量子力学》课程18

自旋角动量的三个分量算符的平方之和，称为自旋角动量平方算符即
ˆ ˆ S Sx
2
Sˆ Sˆ
2 2 y z
2
量子力学
二、电子自旋算符的本征值
由于
ˆ S
在空间中任一方向的投影只能取，因此在任意选定两个值 2 x, y, z ˆ 坐标后， S y , S z 的本征值都是 2 。 Sx, ˆ ˆ ˆ 2 , S 2 , S 2 的本征值都是 2 4 ，即 S ˆ ˆ
x y z
S
4 所以自旋角动量平方算符的本征值为
2 x
S
2 y
S
2 z

2
S
2
S S S
2 x 2 y
2 z

3 4

2
量子力学
ˆ 将自旋角动量平方算符 S 2 的本征值写为 2 2 的形式，则 s 1 S s ( s 1) 2 将上式与轨道角动量平方算符的本征值 2 2 L l ( l 1) 比较，可知 s 与角动量量子数 l 相当，所以称 s 为自旋量子数。但注意， s 只能取一个值，即 s 1 。 2 ˆ 同样,将 S z 的本征值写为 S z m S 的形式，则可得自旋磁量子数 m S 1 。 2
)0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ y , z ] y z z y 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ z , x ] z x x z 0
ˆ
的各个分量之间满足反对易关系。综上所述，可把泡利算符的代数性质总结如下
量子力学
1、电子的自旋算符和自旋函数 2、两个角动量的耦合 3、全同粒子体系的波函数和泡利原理

量子力学_陈洪_电子教案第7章自旋与角动量

σx, σy, σz 称为泡利矩阵
0 1 0 i 1 0 x 1 0 ; y i 0 ; z 0 1
7.3 电子自旋波函数
电子波函数写成矩阵形式
1 ( x , y , z , t ) ( x, y, z, t ) 2
讨论: 1. 对波函数归一化时必须同时对自旋求和和对空间坐标积分
2 1 2 2 d x r , S , t ( *, *) ( z 1 2 2 )d 1 1 Sz 2 2 2 1 表示在t时刻在（x , y , z）点周围单位体积找到自旋S z 的几率 2 2 2 表示在t时刻在（x , y , z）点周围单位体积找到自旋S z 的几率 2 3
2. 两个粒子的自旋-自旋耦合或轨道-轨道耦合
二. 两个角动量的耦合后的对易关系
J 1 , J 2 表示体系的两个角动量算符, 且J 1与J 2 相互独立则 [ J 1 x , J 1 y ] iJ 1 z [ J 2 x , J 2 y ] iJ 2 z [ J 1 y , J 1 z ] iJ 1 x [ J 2 y , J 2 z ] iJ 2 x [ J 1 z , J 1 x ] iJ 1 y [ J 2 z , J 2 x ] iJ 2 y 因为两角动量独立则 [ J 1 , J 2 ] 0 令 J J1 J 2
(1) 则 [ J x , J y ] iJ z [ J y , J z ] iJ x [ J z , J x ] iJ y
证 : [J x , J y ] [J1 x J 2 x , J1 y J 2 y ] ( J 1 x J 2 x )( J 1 y J 2 y ) ( J 1 y J 2 y )( J 1 x J 2 x ) J1 x J1 y J1 x J 2 y J 2 x J1 y J 2 x J 2 y J1 y J1 x J1 y J 2 x J 2 y J1 x J 2 y J 2 x (J1 x J1 y J1 y J1 x ) (J 2 x J 2 y J 2 y J 2 x ) i( J 1z J 2z ) iJ z

量子力学习题解答-第7章

H
min
=
6
h2 m
æ çè
ma 4h2
2
ö ÷ ø
-
3a
æ çè
ma 4h2
ö ÷ø
=
-
3 ma 8h2
2
³ - ma 2 2h2
（d 势束缚态能量）
习题 7.4
（a）证明下面关于变分定理的推论：如果 y y gs = 0 则 H > E fe ，其中 E fe 是第一激
发态的能量。
因此，如果我们可以找到一试探函数和严格的基态正交的话，我们就能得到第一激发
第七章
变分原理
本章主要内容概要
1.变分原理：设有任意试探波函数y (l) ，其中 l 为可调参数，变分原理指出用这个波函数求出的能量期待值一定大于等于体系的基态能量，即 H = y H y ³ Egs ，因此改变可调参数使 H 达到最小值，即令 ¶ H = 0 ，可以得到基态能量的上限。
¶l
2. 氦原子基态：体系哈密顿为
>
E
0 gs
，即分母恒负，所以 Eg2s
恒
为负值。
习题7.6 取氦的基态能量为 Egs = -79.0eV ，计算电离能（仅移走一个电子所需的能
量）。解：能量守恒，计算出He+的基态能量，与氦的基态能量之差即为所求。对于He+，属于类氢
原子( Z = 2) ，其基态能量为
E1 = 22 ´ (-13.6eV) = -54.4eV
n=2
n=2
于是有 H > E fe ，其中 E fe 是第一激发态的能量。
（b）归一化试探函数
ò 1 = A 2 ¥ x2e-bx2 dx = A 2 2 1 p Þ A 2 = 4b 2b

量子力学第七章

n
n
* cn = (ψ n ,ψ (0)) = ∫ ψ n ( x )ψ ( x,0)dx −∞
∞
ˆ ( x, p = −ih ∂ )ψ ( x, t )dx v. 平均值 F (t ) = ∫−∞ψ ( x, t ) F ˆ ∂x
∞ *
4. 基函数 {δ ( x − x′) | x′ ∈ R}
ψ ( x, t ) = ∫ ψ ( x′, t )δ ( x − x′)dx′
*
∞ *
2 µγ A= π h
3/ 2
∂ ∞ x = ∫ ϕ ( p )ih ϕ ( p)dp = 0, p = ϕ * ( p )ϕ ( p ) pdp = 0 −∞ ∫−∞ ∂p ∂ h x = −h ∫ ϕ ( p) 2 ϕ ( p )dp = −∞ ∂p 2
2 2 ∞ 2 * 2
为方便，直接以“矩阵元” ψ ( x, t ) 描述状态。
M “第 ψ ( x1 , t ) L x1行” Ψ (t ) = M ψ ( x2 , t ) L x2 行” “第 M
5. Q表象中力学量的表示方法
ˆ i.力学量算符 F 在Q表象中用方阵F表示
h µγ

2
h p = ∫ ϕ ( p )ϕ ( p ) p dp = µγ −∞
2 ∞ * 2

2
h2 h h 2 2 > (∆x) (∆p ) = , ∆x∆p = 2 2 2
p 2 dp ϕ ′( p) dp = 4h 2 A2 ∫ x =h − ∞ ( p 2 − 2 µE ) 4 −∞
v v 3.基函数 {δ (r − r ′)} v v v v v v ˆδ (r − r ′) = r ′δ (r − r ′) r

量子力学周世勋习题解答第七章

∴
h4 (∆S x ) 2 (∆S y ) 2 ≥ 16
可见①式符合上式的要求。可见①式符合上式的要求。
ˆ = h 0 1 及S = h 0 ˆy 7.3. 求 S x 1 0 2 2− i
所属的本征函数。
ˆ 解： S x 的久期方程为
−λ h 2
∴
− i 的本征值和 0
的 z 分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）。
解：ψ可改写成
1 0 1 3 ψ = R21 (r )Y11 (θ , ϕ ) − 0 2 R21 (r )Y10 (θ , ϕ ) 1 2
1 3 = R21 (r )Y11 (θ , ϕ ) χ 1 ( S z ) − R21 (r )Y10 (θ , ϕ ) χ 1 ( S z ) − 2 2 2 2
+
h 0 1 h 0 1 1 h 2 ˆ S x2 = χ 1+ S x2 χ 1 = (1 0) 1 0 2 1 0 0 = 4 2 2 2
(∆S x ) 2 = S x2 − S x
+
2
h 0 − i 1 ˆ S y = χ 1 S y χ 1 = (1 0) i 0 0 = 0 2 2 2
ˆ 的本征值为 ± h 。所以 S n 2
h λ=± 2
则
cos γ h 2 cos α + i cos β
cos α − i cos β a h a = b 2 b − cos γ
⇒ a (cos α + i cos β ) − b cos γ = b cos α + i cos β b= 1 + cos γ

量子力学周世勋第二版课后习题解答第7章

7.1.证明：i z y x =σσσˆˆˆ 证：由对易关系z x y y x i σσσσσˆ2ˆˆˆˆ=- 及反对易关系0ˆˆˆˆ=+x y y x σσσσ，得 z y x i σσσˆˆˆ= 上式两边乘z σˆ，得 2ˆˆˆˆz z y x i σσσσ= ∵ 1ˆ2=z σ ∴ i z y x =σσσˆˆˆ 7.2 求在自旋态)(21z S χ中，xS ˆ和y S ˆ的测不准关系： ?)()(22=y x S S ∆∆解：在z S ˆ表象中)(21z S χ、xS ˆ、y S ˆ的矩阵表示分别为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01)(21z S χ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01102ˆ x S ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=002ˆi i S y ∴ 在)(21z S χ态中00101102)0 1(2121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+ χχx x S S 4010110201102)0 1(ˆ2222121 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+χχx x S S4)(2222=-=∆xxx S S S 001002)0 1(ˆ2121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+i i S S y y χχ 401002002)0 1(ˆ2222121 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+i i i i S S y y χχ4)(2222=-=∆yyy S S S 16)()(422=∆∆y x S S讨论：由xS ˆ、y S ˆ的对易关系[x S ˆ，y S ˆ]z S i ˆ = 要求4)()(2222zy x S S S ≥∆∆ 在)(21z S χ态中，2=z S ∴ 16)()(422≥y x S S ∆∆可见①式符合上式的要求。

16)()(422=∆∆y x S S7.3.求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=002ˆ01102ˆi i S S y x 及的本征值和所属的本征函数。