哈工大概率论试题
03-08哈工程概率试题(134)
2003-2008概率论与数理统计考研真题2003年概率论与数理统计试题数学一一、填空题（每小题4分）5. 设二维随机变量(X ，Y)的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=，则=≤+}1{Y X P.6. 已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是 .((1.96)0.975,(1.645)0.95)Φ=Φ=二、选择题（每小题4分） 14. 设随机变量21),1)((~X Y n n t X =>， 则 . (A) )(~2n Y χ (B) )1(~2-n Y χ(C) )1,(~n F Y (D) ),1(~n F Y十一 、（10分）已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件数的数学期望； (2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二 、（8分）设总体X 的概率密度为 ⎩⎨⎧≤>=--,,,0,2)()(2θθθx x e x f x其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ，记).,,,min(ˆ21n X X X =θ(1) 求总体X 的分布函数()F x ； (2) 求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ； (3) 如果用θˆ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性.数学三一、填空题（每小题4分）5. 设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9， 若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为.6. 设总体X 服从参数为2的指数分布，n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，则当∞→n 时，∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于 .14. 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}，3A ={正、反面各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则 .(A) 321,,A A A 相互独立. (B) 432,,A A A 相互独立. (C) 321,,A A A 两两独立. (D) 432,,A A A 两两独立. 十一、（13分）设随机变量X 的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x f )(X F 是X 的分布函数. 求随机变量)(X F Y =的分布函数.十二、（13分）设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7.03.021~X ， 而Y 的概率密度为)(y f ，求随机变量Y X U +=的概率密度)(u g .数学四一、填空题（每小题4分）6. 设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5， EX=EY =0，222==EY EX ， 则2)(Y X E +=.二、选择题（每小题4分）13. 对于任意二事件A 和B ， .(A) 若φ≠AB ，则A ，B 一定独立. (B) 若φ≠AB ，则A ，B 有可能独立. (C) 若φ=AB ，则A ，B 一定独立. (D) 若φ=AB ，则A ，B 一定不独立. 14. 设随机变量X 和Y 都服从正态分布，且它们不相关，则.(A) X 与Y 一定独立. (B) (X ，Y )服从二维正态分布. (C) X 与Y 未必独立. (D) X +Y 服从一维正态分布. 十一、（13分）同数学三的十一题.十二、（13分）对于任意二事件A 和B ，1)(0,1)(0<<<<B P A P ，)()()()()()()(B P A P B P A P B P A P AB P -=ρ称作事件A 和B 的相关系数.(1) 证明事件A 和B 独立的充分必要条件是其相关系数等于零； (2) 利用随机变量相关系数的基本性质，证明.1≤ρ2004年概率与数理统计试题数学一6. 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则}{DX X P >= .二、选择题（每小题4分）13. 设随机变量X 服从正态分布N (0,1)，对给定的)10(<<αα，数αu 满足αα=>}{u X P ，若α=<}{x X P ，则x 等于 .(A) 2αu (B) 21α-u (C) 21α-u (D) α-1u14.设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布，且其方差为.02>σ 令∑==ni i X n Y 11，则 .(A)21cov(,).X Y nσ= (B)21cov(,)X Y σ=.(C)212)(σn n Y X D +=+ (D)211)(σnn Y X D +=-. 三、解答题22.（9分）设A ，B 为随机事件，且21)(,31)(,41)(===B A P A B P A P ，令 ;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧= .,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧=求：（1）二维随机变量 (X ， Y ) 的概率分布；（2）X 和Y 的相关系数.XY ρ 23. （9分）设总体X 的分布函数为,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x xx F ββ 其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X 的简单随机样本，求： （1） β的矩估计量；（2） β的最大似然估计量.数学三一、填空题（每小题4分）5. 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则}{DX X P >= .6. 设总体X 服从正态分布),(21σμN ， 总体Y 服从正态分布),(22σμN ，1,,21n X X X 和 2,,21n Y Y Y 是来自总体X 和Y 的样本， 则⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-∑∑==2)()(21212121n n Y Y X X E n j j n i i = .14. 设随机变量X 服从正态分布N (0,1)，对给定的)10(<<αα，数αu 满足αα=>}{u X P ，若α=<}{x X P ，则x 等于 .(A) 2αu (B) 21α-u (C) 21α-u (D) α-1u三、解答题22. (13分)设A ，B 为两个随机事件，且41)(=A P ， 31)|(=AB P ， 21)|(=B A P ， 令 ⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y求 (1) 二维随机变量),(Y X 的概率分布；(2) X 与Y 的相关系数 XY ρ； (3) 22Y X Z +=的概率分布. 23.（13分）设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,( 其中参数1,0>>βα. 设n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，(1) 当1=α时， 求未知参数β的矩估计量； (2) 当1=α时， 求未知参数β的最大似然估计量； (3) 当2=β时， 求未知参数α的最大似然估计量.数学四一、填空题（每小题4分）6.设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则}{DX X P >= .二、选择题（每小题4分）13.设随机变量X 服从正态分布N (0，1)，对给定的)10(<<αα，数αu 满足αα=>}{u X P ，若α=<}{x X P ，则x 等于 .(A) 2αu (B) 21α-u(C) 21α-u (D) α-1u14.设随机变量n X X X ,,,21 )1(>n 独立同分布，且方差02>σ.令随机变量∑==ni i X n Y 11，则 .(A) 212)(σn n Y X D +=+ (B) 212)(σnn Y X D +=- (C) 21cov(,)X Y nσ=(D) 21cov(,)X Y σ=三、解答题22.（13分）同数学三的22题.23.（13分）设随机变量X 在区间)1,0(上服从均匀分布，在)10(<<=x x X 的条件下，随机变量Y 在区间),0(x 上服从均匀分布，求 (1) 随机变量X 和Y 的联合概率密度； (2) Y 的概率密度； (3) 概率}1{>+Y X P .2005年概率论与数理统计试题数学一一、填空题（每小题4分）6. 从数1，2，3，4中任取一个数，记为X ，再从1，…，X 中任取一个数，记为Y ， 则P{Y =2}=.二、选择题（每小题4分）13. 设二维随机变量（X ，已知随机事件{X =0}与{X +Y =1}互相独立，则 .（A ）a =0.2， b =0.3 （B ）a =0.4， b =0.1（D ）a =0.3， b =0.2（D ）a =0.1， b =0.414. 设12n ,,(2)X X X n ≥ ，为来自总体N （0,1）的简单随机样本，X 为样本均值，S 2为样本方差，则 . （A ）~01nX N （，）（B ）)(~22n nS χ（C ）)1(~)1(--n t SXn（D ）)1,1(~)1(2221--∑=n F XX n ni i三、解答题22. (9分) 设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=其他,0,20,10,1),(x y x y x f求：（1）（X ，Y ）的边缘概率密度);(),(y f x f Y X （2）Z=2X －Y 的概率密度).(z f Z 23.（9分）设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体N （0,1）的简单随机样本，X 为样本均值，记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求：（1）;,,2,1,n i DY Y i i =的方差 （2）).,(11n n Y Y Cov Y Y 的协方差与数学三一、填空题（每小题4分）5. 从数1，2，3，4中任取一个数，记为X ，再从1，…，X 中任取一个数，记为Y ，则P{Y=2}=.6. 设二维随机变量(X ，已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则a = ， b = .二、选择题（每小题4分）14.设一批零件的长度服从正态分布),(2σμN ，其中2,σμ均未知. 现从中随机抽取16个零件，测得样本均值)(20cm x =，样本标准差)(1cm s =，则μ的置信度为0.90的置信区间是 .(A) )).16(4120),16(4120(05.005.0t t +- (B) )).16(4120),16(4120(1.01.0t t +-（C ）)).15(4120),15(4120(05.005.0t t +- (D) )).15(4120),15(4120(1.01.0t t +- 三、解答题22. (9分) 设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=其他,0,20,10,1),(x y x y x f求：（1）（X ，Y ）的边缘概率密度);(),(y f x f Y X （2）Z=2X －Y 的概率密度； （3）.2121⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤X Y P 23.（9分）设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体N （0，1）的简单随机样本，X 为样本均值，记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求：（1）;,,2,1,n i DY Y i i =的方差 （2）).,(11n n Y Y Cov Y Y 的协方差与（3）若21)(n Y Y c +是2σ的无偏估计量，求常数c.数学四一、填空题（每小题4分）6. 从数1，2，3，4中任取一个数，记为X ，再从1，…，X 中任取一个数，记为Y ，则P{Y=2}=.二、选择题（每小题4分）13. 设二维随机变量（X ，已知随机事件{X =0}与{X +Y =1}互相独立，则 .（A ）a =0.2， b =0.3 （B ）a =0.4， b =0.1（D ）a =0.3， b =0.2（D ）a =0.1， b =0.414.设12n ,,,X X X ，为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为)1(>λλ的指数分布，记)(x Φ为标准正态分布函数，则 .(A) ).(lim 1x x n n X P n i i n Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞→λλ (B) ).(lim 1x x n n X P n i i n Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞→λλ (C) ).(lim 1x x n n X P n i i n Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞→λ (D) ).(lim 1x x n X P n i i n Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞→λλ 三、解答题22. (9分) 设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=其他,0,20,10,1),(x y x y x f求：（1）（X ，Y ）的边缘概率密度);(),(y f x f Y X （2）Z=2X －Y 的概率密度； （3）.2121⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤X Y P 23.（9分）设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体N （0，1）的简单随机样本，X 为样本均值，记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求：（1）;,,2,1,n i DY Y i i =的方差 （2）11(,).n n Y Y cov Y Y 与的协方差（3） {}.01≤+n Y Y P2006年概率论与数理统计试题数学一一、填空题（每小题4分）6. 设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0, 3]上的均匀分布，则{}max{,}1P X Y ≤= .二、选择题（每小题4分）13. 设,A B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=， 则必有 . （A ）()().P A B P A ⋃> （B ）()().P A B P B ⋃>（C ）()().P A B P A ⋃=（D ）()().P A B P B ⋃=14. 设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-< 则必有 .（A ）1 2.σσ< （B ）1 2.σσ>（C ）1 2.μμ<（D ）1 2.μμ>三、解答题22. （9分）随机变量x 的概率密度为()1,1021,02,40,x x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩其它令2X Y =，),(y x F 为二维随机变量(X ， Y )的分布函数. (1) 求Y 的概率密度()Y f y ； (2) 1,42F ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 23. （9分）设总体X 的概率密度为(),01,1,120,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其它其中θ是未知参数()1201,,,......n X X X θ<<为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值12,,......n X X X 中小于1的个数， 求θ的最大似然估计.数学三一、填空题（每小题4分）5.设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则(){}m a x ,1_________P X Y ≤=.6.设总体X 的概率密度为)(21)(+∞<<-∞=-x e x f x，12,,......n X X X 为总体的简单随机样本， 其样本方差为2S ， 则2ES =__________. 二、选择题（每小题4分）14.设随机变量X 服从正态分布()211,N μσ，随机变量Y 服从正态分布()222,N μσ，且{}{}1211P X P Y μμ-<>-<， 则必有__________.(A)12σσ< (B) 12σσ>(C)12μμ< (D) 12μμ>三、解答题22.（9分）随机变量X 的概率密度为()1,1021,02,40,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩其它令2X Y =，),(y x F 为二维随机变量(X , Y )的分布函数.求： (1) Y 的概率密度()Y f y ；(2) ()cov ,X Y ； (3)1,42F ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 23.（9分）设总体X 的概率密度为(),01,1,120,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其它，其中θ是未知参数()1201,,,......n X X X θ<<为来自总体的随机样本，记N 为样本值12,,......n X X X 中小于1的个数， 求:(1) θ的矩估计； (2) θ的最大似然估计.数学四一、填空题（每小题4分）6.设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则(){}m a x ,1_________P X Y ≤=. 二、选择题（每小题4分）13.设,A B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=，则必有__________. （A ）()().P A B P A ⋃> （B ）()().P A B P B ⋃>（C ）()().P A B P A ⋃=（D ）()().P A B P B ⋃=14.设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-< 则必有__________.（A ）1 2.σσ< （B ）1 2.σσ>（C ）1 2.μμ<（D ）1 2.μμ>三、解答题22.（9其中,,a b c 为常数，且X 的数学期望0.2EX =-，{0,0}0.5P x y ≤≤=，记Z X Y =+ 求：（1）,,a b c 的值；（2）Z 的概率分布；（3）{}P X Z =. 23.（9分）随机变量X 的概率密度为()1,1021,02,40,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩其它令2X Y =，),(y x F 为二维随机变量(X ， Y )的分布函数.求： （1）Y 的概率密度()Y f y ； （2）cov(,)X Y ； （3）1(,4)2F -.2007年概率论与数理统计试题数学一一、选择题（每小题4分）9. 某人向统一目标独立重复射击，每次射击命中的概率为)10(<<p p ，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 .（A ）2)1(3p p - （B ）2)1(6p p - （C ）223(1)p p -（D ）22)1(6p p -10. 设随机变量),(Y X 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，)(),(y f x f Y X 分别表示X ，Y 的概率密度，则在y Y =的条件下，X 的条件概率密度)(y x f Y X 为 .（A ）)(x f X（B ）)(y f Y （C ）)()(y f x f Y X （D ）)()(y f x f Y X 二、填空题（每小题4分）16. 在区间)1,0(中随机的取两个数，则这两个数之差的绝对值小于21的概率为 . 三、解答题23. (11分) 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为其他10,1002),(<<<<⎩⎨⎧--=y x y x y x f(1) 求}2{Y X P >；(2) 求Y X Z +=的概率密度. 24. (11分) 设总体X 的概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤-<<=其他010)1(21021),(x x x f θθθθn X X X ,,,21 是来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值，(1) 求参数θ的矩估计量θˆ；(2) 判断24X 是否为2θ的无偏估计量，并说明理由.数学三（同数学一）数学四一、选择题（每小题4分）同数学一 二、填空题（每小题4分）同数学一 三、解答题23.（11分）同数学一的23题.24.（11分）设随机变量X 与Y 独立同分布，且X 的概率分布为记},max {Y X U =，},{Y X V =，(1) 求),(V U 的概率分布；(2) 求V U ,的协方差),cov(V U .2008年概率论与数理统计试题数学一一、选择题（每小题4分）7. 随机变量,X Y 独立同分布，且X 的分布函数为()F X ，则{}max ,Z X Y =的分布函数为 .（A ）2()F z （B ）()()F x F y （C ）[]211()F x -- （D ）[][]1()1()F x F y --8. 随机变量~(0,1),~(1,4)X N Y N ，且相关系数1XY ρ=，则 .（A ）{}211P Y X =--= （B ）{}211P Y X =-= （C ）{}211P Y X =-+= （D ）{}211P Y X =+=. 二、填空题（每小题4分）14. 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则2{}P X EX == . 三、解答题22. (11分) 设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率分布为{}13P X i ==,(1,0,1)i =-，Y 的概率密度为1,01()0,Y y f y ≤<⎧=⎨⎩其他，记Z X Y =+， （1）求102P Z X ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭； （2）求Z 的概率密度。
哈尔滨工业大学概率论答案习题六(精)
n n m∑ Xi （1）Y1 = i =1 m∑ X i2 ； 2 i n+m （2） Y2 = i =1 n+m n n i = n +1 ∑X n ∑ X i2 i = n +1 解∑X i =1 i ~ N (0, nσ 2 ，1 nσ n ∑X i =1 i ~ N (0,1, n+m i = n +1 X i ~ N (0, σ 2 ，所以n X i2 1 ~ χ 2 (1 ，2 2 σ σ 1 nσ 1 σ2 n ∑X 2 i ~ χ 2 ( m ，m∑ Xi （1）Y1 = i =1 n+m ∑X i =1 2 i i = 2 i n+m i = n +1 ~ t (m; /m n n i = n +1 ∑X ∑X 1 n 2 ∑X /n σ 2 i =1 i n =1 （2）Y2 = n + m = ~ F (n, m. 1 n +m 2 2 n ∑ Xi ∑ Xi / m σ 2 i = n+1 i = n +1 m∑ X i2 13 ．设 X 1 ,⋯ , X n , X n +1 是来自总体N ( µ , σ 2 的样本，X = 1 n ∑ Xi ，n i =1 S *2 = 1 n X −X ( X i − X 2 ，试求统计量T = n +1 * ∑ n i =1 S n −1 的分布。
n +1 解于是X n+1 − X ~ N (0, n +1 2 nS *2 σ ，2 ~ χ 2 (n − 1 n σ X n+1 − X ~ N (0,1 n +1 σ n X n+1 − X X − X n −1 n + 1/ nσ ~ t (n − 1 . T = n +1 * = S n +1 nS *2 /(n − 1 σ2 14．设样本 X 1 ,⋯ , X n 和 Y1 ,⋯ , Yn 分别来自相互独立的总体N ( µ1 , σ 12 和1 2 N ( µ 2 , σ ，已知σ 1 = σ 2 ,α 和β 是两个实数，求随机变量 2 2 ·87·α ( X − µ1 + β (Y − µ 2 2 (n1 − 1 S12 + (n2 − 1 S 2 α2 β 2 ( + n1 + n2 − 2 n1 n2 的分布解所以α ( X − µ1 ~ N (0, 2 α 2σ 12 β 2σ 2 ，β (Y − µ 2 ~ N (0, ，又σ 1 = σ 2n1 n2 α ( X − µ + β (Y − µ 2 ~ N (0, ( α ( X − µ + β (Y − µ 2 α2 β2 + σ n1 n2 而所以α2 β 2 2 + σ n1 n2 ~ N (0,1 2 (n1 − 1 S12 + (n2 − 1 S 2 ~ χ 2 (n1 + n2 − 2 2 σ α ( X − µ1 + β (Y − µ 2 2 ⎛α2 β 2 ⎞ (n1 − 1 S12 + (n2 − 1 S 2 + ⎜⎟ n1 + n2 − 2 ⎝ n1 η2 ⎠ [α ( X − µ1 + B(Y − µ 2 ] / = ~ t (n1 + n2 − 2 . 2 (n1 − 1 S12 + (n2 − 1 S 2 /(n1 + n2 − 2 σ2 15．从正态总体 N (3.4, 6 2 中抽取容量为 n 的样本，如果要求样本均值位于区间（1.4, 5.4）内的概率不小于 0.95，问样本容量 n 至少应多大？解α2 β 2 + σ n1 n2 0.95 ≤ P(1.4 < = 2Φ ( 1 n 5.4 − 3.4 1.4 − 3.4X i < 5.4 = Φ ( n − Φ( n ∑ n i =1 6 6 n −1 3 即Φ( n n ≥ 0.975 ，查正态分表得≥ 1.96 即n ≥ 34.57 . 3 3 故样本容量至少应为 35。
哈工大概率论与数理统计期末试卷及标准答案B卷(2006)
一.判断题(5210⨯=分分)1. ()1P A =,则A 为必然事件. ( )2. 设X Y 与不相关,则X Y 与相互独立. ( )3. 参数的无偏估计是唯一的. ( )4. A B 与独立,则A B 与互相互独立. ( )5. 假设检验中,取伪表示事件{拒绝01H H 真} ( ) 二.选择题(5315⨯=分分)6. 设,,A B C 为三个事件,则”这,,A B C 中至多发生一个”的事件为( )()()()()A A B C B AB AC BC C A BC ABC ABCD ABC ABCU U U U U U U7. 设X Y 与相互独立,()4,()2,D X D Y == 则(32)D X Y -=( ) ()8()16()28()44A B C D8. 设(0,1),21X N Y X =-:,则Y : ( ) ()(0,1)()(1,2)()(1,8)()(1,9)A N B N C N D N ---9. 设总体212(3,3),,,,n X N X X X :L 为X 的样本,则下列结果正确的是( )33()(0,1)()(0,1)392()(0,1)((0,1)3X X A N B N X X C N D N n ---::::10. 设2(),()E X D X μσ==,则由切比雪夫不等式可知{2}P X μσ-≥≤ ( )1113()()()()2484A B C D三.填空题(5315⨯=分分)11. 设X 的概率密度为31,0(),30,0xe xf x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩则()D X =_____________.12. 设事件A B 与相互独立,()0.4,()0.6,P A P A B ==U 则()P B A =_____________. 13. 设()X πλ:,且{3}{4},P X P X ===则λ=____________. 14.设(,)X Y 的概率密度为:6,00(,),0,x x y f x y ≤≤≤⎧=⎨⎩其他则(1)P X Y +≤=__________.15. 设(),X t n :则2X -:______________. 四.计算题(共60分)16. 设()4,12X U :,求关于t 的方程290t Xt -+=有解的概率.(6分)17. 设二维随机变量(,)X Y 的联合分布律如下:问α,β取何值时, ,X Y 相互独立?(6分)18. 设X 的概率密度为2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他,Y 表示对X 四次独立重复观察事件 12X ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭出现的次数.求{}1P Y =.(8分)19. 设X 的概率密度为,02(),240,ax x f x bx c x <<⎧⎪=+≤<⎨⎪⎩其他,已知(){}32,13,4E X P X =<<=,,.a b c 求(8分)20. 袋中有6只全新的乒乓球,每次比赛取出2只用完之后放回,已知第三次取得的2只球都是新球,求第二次取到的只有1只新球的概率. (8分)21. 某保险公司经多年的资料统计表明索赔户中被盗赔户占20%,在随意抽查的10000家索赔户中被盗的索赔户设为随机变量X ,试用中心极限定理估计被盗索赔户在1920户到2080户之间的概率. ()()()()2.50.994,20.977,0.6250.732ΦΦΦ===(8分)22.设总体X 具有分布律其中(01)θθ<<为未知参数.已知取得样本值1231,2,1x x x ===,试求θ的最大似然估计值. (8分)23.有一批枪弹,出厂时,其初速2(950,10)v N :,经过较长时间储存,取9发进行测试得x =945 米/秒.问这批枪弹得初速度是否有显著变化()0.1α=?()0.050.11.645, 1.28u u ==(8分)一.判断题(5210⨯=分分)× × × √ × 二.选择题(5315⨯=分分)B D D D B三.填空题(5315⨯=分分)11、9 12、2313、4 14、6. 15、(,1)F n 四.计算题(共60分)16. 解:因为1,412()80,x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他,(2分)所以{}{}{}122613036066.84P P X P X X dx ∆≥=-≥=≤-≥==⎰或(4分) 17. 解:因为,X Y 相互独立,所以13=13α+⨯23,29=29β+⨯23(4分)所以α=16,β=19.(2分)18. 解:因为12011224P X xdx ⎧⎫≥==⎨⎬⎩⎭⎰,(3分)所以1(4,),4Y b :(3分){}131413271.4464P Y C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2分) 19. 解: 22()0.7,()0.7,()0.5,()0.5,E X E X E Y E Y ====Q (2分)()0.21,()0.25D X D Y ∴== (2分)()0.2,(,)()()()0.15E XY COV X Y E XY E X E Y =∴=-=-Q (2分)所以XY ρ∴=== (2分)20. 解:设i A ,i 表示第二次取到只新球0,1,2i =;A 表示第三次取到2只新球.()()()21122244012222666186,,151515C C C C P A P A P A C C C ======()()()222342012222666631|,|,|151515C C C P A A P A A P A A C C C ======.(2分)()16836136151515151515225P A =⨯+⨯+⨯=.(3分) ()18321515|.363225P A A ⨯==(3分) 21. 解: 因为(10000,0.2)X b :,所以()()2000,1600E X D X ==(4分) 所以{}()200019202080222210.954.40X P X P Φ-⎧⎫≤≤=-≤≤=-=⎨⎬⎩⎭(4分)22. 解: ()2252(1)2(1)L θθθθθθθ=⋅-⋅=-,()ln ln 25ln ln(1)L θθθ=++-(4分)()ln 5101d L d θθθθ=-=-,所以5.6θ=)(4分)23. 解: 提出假设0010:,:H H μμμμ=≠拒绝域为2αμμ≥,2αμ≥(4分)又因为00.05945,950,10,9, 1.645x n μσμ=====,所以21.5,x u u αμ==-≤,所以拒绝0H ,枪弹的初速度无显著变化. (4分)。
哈尔滨工业大学00级《概率统计》期末考试试题
哈尔滨工业大学2000级《概率统计》期末考试试题一、填空题（每小题3分，共15分）（1） 设事件A 与B 相互独立，事件B 与C 互不相容，事件A 与C 互不相容，且()()0.5P A P B ==，()0.2P C =，则事件A 、B 、C 中仅C 发生或仅C 不发生的概率为___________.（2） 甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为___________. （3） 设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其它,现对X 进行四次独立重复观察，用Y 表示观察值不大于0.5的次数，则2EY =___________. （4） 设二维离散型随机变量(,)X Y 的分布列为(,)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)0.40.2X Y P ab若0.8EXY =，则Cov(,)X Y =____________.（5） 设1217,,,X X X 是总体(,4)N μ的样本，2S 是样本方差，若2()0.01P S a >=，则a =____________.（注：20.01(17)33.4χ=, 20.005(17)35.7χ=, 20.01(16)32.0χ=, 20.005(16)34.2χ=）解：（1）()()()P ABC ABC P ABC P ABC +=+因为 A 与C 不相容，B 与C 不相容，所以,A C B C ⊃⊃，故ABC C = 同理 A B C A B=. ()()()0.20.50.50.45P A B C A B C P CP A B +=+=+⨯=. （2）设A =‘四个球是同一颜色的’，1B =‘四个球都是白球’，2B =‘四个球都是黑球’ 则 12A B B =+. 所求概率为 22212()()(|)()()()P AB P B P B A P A P B P B ==+ 22223322122222555533(),()100100C C C C P B P B C C C C =⋅==⋅=所以 21(|)2P B A =.（3）~(4,),Y B p其中 10.52201(0.5)24p PX x d x x =≤===⎰，113341,44444E Y D Y =⨯==⨯⨯=， 2215()144EY DY EY =+=+=.（4）(,)X Y 的分布为X Y 1 2 0 0.4 0.1 0.5 1 0.2 0.3 0.50.60.4这是因为 0.4a b +=，由0.8EXY = 得 0.220.8b += 0.1,0.3a b ∴==0.620.4 1.4EX =+⨯=，0.5EY =故 c o v (,)0.80.7XY E X Y E X E Y =-=-=.（5）2216(){4}0.014S P S a P a >=>= 即 20.01(16)4a χ=，亦即 432a = 8a ∴=.二、单项选择题（每小题3分，共15分）（1）设A 、B 、C 为三个事件，()0P AB >且(|)1P C AB =，则有 （A ）()()() 1.P C P A P B ≤+- （B ）()().P C P A B ≤（C ）()()() 1.P C P A P B ≥+- （D ）()().P C P A B ≥ （ ） （2）设随机变量X 的概率密度为2(2)41(),2x f x ex π+-=-∞<<∞且~(0,1)Y aX b N =+，则在下列各组数中应取 （A ）1/2, 1.a b == （B ）2/2, 2.a b ==（C ）1/2,1a b ==-. （D ）2/2, 2.a b ==- （ ） （3）设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布分别为 010.40.6X P 010.40.6Y P则有（A ）()0.P X Y == （B ）()0.5.P X Y ==（C ）()0.52.P X Y == （D ）() 1.P X Y == （ ） （4）对任意随机变量X ，若EX 存在，则[()]E E EX 等于（A ）0. （B ）.X （C ）.EX （D ）3().EX （ ） （5）设12,,,n x x x 为正态总体(,4)N μ的一个样本，x 表示样本均值，则μ的 置信度为1α-的置信区间为（A ）/2/244(,).x u x u n n αα-+ （B ）1/2/222(,).x u x u n nαα--+（C ）22(,).x u x u n n αα-+ （D ）/2/222(,).x u x u n nαα-+ （ ）解 （1）由(|)1P C AB =知()()P ABC P AB =，故()()P C P AB ≥()()()()()()()1P C P AB P A P B P A B P A P B ≥=+-≥+- 应选C. （2）222[(2)](2)2(2)411()222x x f x eeππ--+--==即 2~(2,2)X N - 故当 12,222a b -==-= 时 ~(0,1)Y aX b N =+ 应选B.（3）()(0,0)(1,1)P X Y P X Y P X Y ====+== 0.40.40.60.60.52=⨯+⨯= 应选C.（4）[()]E E EX EX = 应选C.（5）因为方差已知，所以μ的置信区间为 /2/2(,)X u X u nnαασσ-+应选D.三、（8分）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都 是一等品，求丢失的也是一等品的概率。
哈工大概率论与数理统计期末试卷及标准答案A卷(2007)
概率论与数理统计试卷 (A) 2007姓名： 班级： 学号：题 号 一 二 三 四 总 分得 分一. 选择题（15分，每题3分）1. 对任意事件B A ,，下列结论正确的是 （ ）)(A )()()(B A P AB P B A P ⋃≤⋃； )(B )()()()(B A P AB P B P A P ⋃≤+； )(C )()()()(B P A P AB P B A P ≤⋃； )(D )()()()(BA P AB P B P A P +≤+.2. 下列函数中可作为连续型随机变量),(Y X 的联合密度函数是 （ ）)(A ⎩⎨⎧≤≤≤≤-=他其，05.00,2/2/,cos ),(1y x x y x f ππ； )(B ⎩⎨⎧≤≤π≤≤π-=他其，010,2/2/,cos ),(2y x x y x f ； )(C ⎩⎨⎧≤≤π≤≤=他其，05.00,0,cos ),(3y x x y x f ； )(D ⎩⎨⎧≤≤π≤≤=他其，010,0,cos ),(4y x x y x f . 3. 设X 服从指数分布)(μE ，Y 服从泊松分布)(λP ，则下列等式不成立的是 （ ）)(A λμ+=+2/1)(Y X D ； )(B 2/1)(μ=X D ，λ+λ=22)(Y E ； )(C λμ+=+/1)(Y X E ； )(D λ=)(Y D ，22/2)(μ=X E .4. 设总体),1(~p B X (二项分布)，其样本),,,(10021X X X Λ均值为∑==10011001i iXX ，)(x Φ为标准正态分布函数，则下列结论不正确的是 （ ）)(A 在概率意义下X 近似等于p ； )(B )()()100(a b b X a P Φ-Φ≈<<；)(C ),100(~100p B X ； )(D p X E =)(，100/)1()(p p X D -=.5. 设正态总体),(~2σμN X ，其中2σ未知，样本容量n 和置信度α-1都不变，则对于不同的样本观察值，总体期望μ的置信区间长度L （ ）)(A 变短； )(B 变长； )(C 不变； )(D 不能确定.二. 填空题（15分，每题3分）1. 设两随机事件B A ,满足：,7.0)(=A P ,2.0)(=A B P )()(B A P B A P =，则=)(B A P ．2. 10件产品中有3件次品，任取5件，其中次品数X 的分布律(用解析式表达)为. 3. 已知二维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，则_______________________________________)1,30(=≤≤<Y X P .4. 设随机变量X 和Y 的期望分别为-1和1，方差分别为1和4，0.5XY ρ=-，则 根据切比雪夫不等式________)3(≤>+Y X P .5. 设),,,(921X X X Λ为来自正态总体),(~2σμN X )(2未知σ的样本，样本均值与方差分别为12=x ，1442=s ，则参数μ的置信度为0.9的置信区间__________下限为.三. 计算题 （共63分，每题9分）1． 设有甲，乙两个相同口袋，甲袋中有4个红球，3个白球，乙袋中有3个红球，2个白 球.先从两口袋中任取一袋；然后再从该口袋中不放回地任取一球，共取二球.（1）已知第一次取的球是红球，求该红球来自甲袋的概率；（2）求第二次取出的是红球的概率.2. 设随机变量X 的分布函数为⎩⎨⎧>-≤+=-03/0,3/)(2x e B x e A x F xx ，，求 （1） 常数,A B ；（2）问X 是否为连续型随机变量?（3）)2/11(≤<-X P .3．设随机变量~(0,2)X U (均匀分布)，)1(~E Y (指数分布)，且它们相互独立．试计算 (1) Y X Z -=的概率密度函数)(z f Z ；(2) )(Y X P >.4．闵行水果店准备进一批南汇水蜜桃，据统计每年这个季节顾客对水蜜桃的需求量X （单位：公斤）服从[100，400]上的均匀分布，若每售出1公斤水蜜桃可盈利1元，但如果售不出则亏损2元. 求要进货多少公斤水蜜桃，才能使收益达到最大？5． 学校要新建宿舍有500学生居住，据统计每人每天傍晚约有10%的时间占用一个水龙 头. 设每人需用水龙头是相互独立的，问该宿舍至少需要安装多少个水龙头，才能以95%以上的概率保证用水需要？6．设总体~X 36(),(0,)()0,(0,)x x x f x x θθθθ-⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩，0θ>未知，1(,,)n X X L 为其样本. 求（1）θ的矩估计量ˆθ 和ˆ()D θ；（2）设(1.2,1.5,2.1,2.3)为样本的一个观察值，求θ的矩估计值ˆθ，并求出密度函数()f x .7．设某种电池的工作时间服从正态分布，一批电池要出厂为检查其质量，现抽取了5个电池并观察到五个电池的工作时间（小时）为32 41 42 49 53出厂标准为050μ=（小时），方差2σ未知。
哈工大概率论与数理统计期末考题及答案(2008)
2
2
1 X Y ，设 Z ， （1）求 EZ 和 DZ （2）求 XZ 2 3 2
、
草
纸
（草纸内不得答题）
第 3 页 （共 5 页）
试 题：
1 , x 六、 （14 分） ．设总体 X 的分布函数为： F ( x; , ) x 0, x
其中未知参数 0, 1 ，设 X 1 , , X n 为来自总体 X 的简单随机样本. （1）当 1 时，求未知参数 的矩估计和极大似然估计； （2）当 2 时，求未知参数 的极大似然估计。 、
草
纸
（草纸内不得答题）
第 4 页 （共 5 页）
试 题：
七（6 分）设 X , Y 服从 G x, y | 1 x 3,1 y 3 上均匀分布，
1 3．设随机变量 X 的密度函数为 f ( x) e | x| ，则对随机变量 | X | 与 X ，下列结论成立的是 2 （A）相互独立； （B）分布相同； （C）不相关； （D）同期望. 【 】 1 1 4．设随机变量 X 服从参数为 的指数分布， Y ~ U (0,6) ，且 XY ，根据 3 3 切比晓夫不等式有： P (4 X Y 4) 1 5 1 2 （A） . （B） . （C） . （D） . 【 】 8 8 4 9 2 2 2 5．设 X1 , X2 ,, Xn 是总体 X ~ N ( , ) 的样本， EX , DX , X 是样本均值， S 是样本方差，
哈工大
2008
年 秋 季学期
概率论与数理统计
题号 分数 一 二 三 四 五 六 七
试
八
Байду номын сангаас
哈工大概率论与数理统计期末试卷(威海2005)
哈工大(威海)2004 /2005 学年 春 季学期一、选择题：（每小题2分，满分10分）1．下列命题中，正确者为（ ）(A) 若0=)A (P ,则A 是不可能事件。
(B) 若)B (P )A (P )B A (P +=Y ，则A 、B 互斥。
(C) 若1=-)AB (P )B A (P Y ，则1=+)B (P )A (P(D))B (P )A (P )B A (P -=-2．设),(N ~X 24μ，),(N ~Y 25μ，记14p )X (P =-≤μ25p )Y (P =+≥μ 则（ ）(A) 对任意实数μ有21p p = (B) 21p p <(C)只对μ的个别值才有21p p = (D) 21p p > 3. 设),(N ~X 10，),(N ~Y 11，且X 与Y 相互独立，则（ ） （A ）500.)Y X (P =≤+ （B ）501.)Y X (P =≤+ （C ）500.)Y X (P =≤- （D ）501.)Y X (P =≤- 4．设X 、Y 的方差存在，且不等于0，则DY DX )Y X (D +=+是X ，Y 的 （ ）（A ） 不相关的充分条件 ，但不是必要条件。
（B ） 独立的必要条件，但不是充分条件 。
（C ） 不相关的必要条件， 但不是充分条件。
（D ） 独立的充要条件。
5. 设n X X X Λ,,21是总体)(N 2,σμ的样本，X 是样本均值，记212111∑=--=n i i )X X (n S ，21221∑=-=n i i )X X (n S ， 212311∑=--=n i i )X (n S μ ，21241∑=-=n i i )X (n S μ，则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是( )姓名 班级: 学号注 意 行为规范遵守考试纪律（A ）11--=n /S X T μ （B ）12--=n /S X T μ二、填空题：（每小题2分，满分10分） 1．在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为 ( ) 2.=a （ ），=b （ ）3. 设随机变量X 和Y 的数学期望是2，方差分别是1和4，而相关系数为0.5,则根据切比雪夫不等式{}≤≥-6Y X P （ ）4.设总体X ～),(N 1μ，根据来自X 的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5，9750961.).(=Φ则X 的数学期望的置信度为0.95的置信区间为：（ ）5. 设正态总体),(N ~X 211σμ，正态总体),(N ~Y 222σμ，未知21μμ,，检验0H ：2221σσ≤，则应选择的统计量为（ ）三、设C ,B ,A 三个字母之一输入信道，输出原字母的概率为α，而输出其它一字母的概率都是21α-，今将字母串 CCCC ,BBBB ,AAAA 之一输入信道，输入的概率分别为 321p ,p ,p )p p p (1321=++，已知输出为ABCA ，问输入的是AAAA 的概率是多少？（本题满分8分）四、一民航大巴载有n 位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一车站没人下车就不停车，以Z 表示停车的次数，求)Z (E （设每位旅客在各个车站下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立）（本题满分8分）五、已知随机变量1X 和2X 的概率分布⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4121411101~X ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛2121210~X 。
哈工大概率论练习题
哈工大概率论练习题第一章随机事件与概率4.已知P(A)=P(B)=P(C)=0.25, P(AB)=0, P(AC)=P(BC)=1/16,则A,B,C 都不发生的概率为_____5. 设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1/9,A 发生B 不发生的概率与B 发生而A 不发生的概率要等，则P(A)=____6. 设A,B,C 两两独立，则A,B,C 相互独立充分必要条件是（）A. A 与BC 独立B.AB 与A ∪C 独立C. AB 与AC 独立D. A ∪B 与A ∪C 相独立7. 设事件A,B 满足P(A)=0.5, P(B)=0.6, P(B|A )=0.6, 则P （A ∪B ）=_____8. 事件 A,B 满足P(A)=P(B)=0.5,P(A| B )=P(B)，则下列正确的是（）A. P(AB)=0.25B. P(A-B)=0.75C. P(A B -)=0.5D. P(A ∪B ) =19. 设事件A,B 仅发生一个的概率为0.3, 且P(A)+P(B)=0.5,则A,B 至少有一个不发生的概率为_____10. 设事件A,B 相互独立，事件B,C 互不相容，事件A 与C 不能同时发生，且P(A)=P(B)=0.5, P(C)=0.2,则事件A,B 和C 中仅C 发生或仅C 不发生的概率为_____11. 设A,B,C 为三个事件且A,B 相互独立，则以下结论中不正确的是（）A. 若P(C)=1,则AC 与BC 也独立B. 若P(C)=1, 则A ∪C 与B 也独立C. 若P(C)=1,则A-C 与A 也独立D. 若C 属于B,则A 与C 也独立12. 若事件A,B,C 相互独立，且P(A)=0.25,P(B)=0.5,P(C)=0.4,则A,B,C 至少有一个不发生的概率是_______13. 设事件A 和B 满足P(B|A)=1,则（）A. A 是必然事件B. P (A|B ) =0C. B ?AD. A ?B14. 在投掷一枚均匀硬币的4次独立试验中，若已知至少1次已经反面朝上，则这时得到至少 3次正面朝上的概率为______15. 已知P （B ）>0,A 1A 2=￠,则下列各式中不正确的是（）A. P(A 1A 2|B)=0B. P(A 1∪ A 2|B)=P(A 1|B)+P(A 2|B)C. P (1A 2A |B)=1D. P(1A ∪2A ｜B)=116.设A,B 为两事件，且P(A)=P,P(AB)=P(AB ),则P(B)=_____17.设A,B 为两个事件，P(A)≠P(B)>0,且B 属于A,则（）一定成立 A. P(A|B)=1 B.P(B|A)=1 C. P(B|A ) =1 D. P(A|B )=018. 已知P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B|A)=0.8则P(A ∪B)=_____19. 设事件A 与BA 互不相容，且P(A)=P, P(B)=q, 求下列事件的概率,则P(A B )=______20. 5人以上以摸彩的方式决定谁能得一张电影票，今设Ai 表示第 i 个人摸到(i=0,1,2,3,4,5)，则下列结果中有一个是对的，它是（）A. P(A 3|1A 2A )=1/3B. P(1A A 2)=1/5C. P(1A A 2)=1/4D. P(A 5)=1/521.若P(A|C )≥P(B|C),P(A|C )≥P(B|C ) 则下列（）成立A. P(A) ≥P(B)B. P(A)=P(B)C. P(A)≤P(B)D.P(A)=P(B)+P(C)22. 设相互独立的三个事件A,B,C 满足条件：P(A)=0.4 ,P(B)=0.5 ,P(C)=0.5,则P(A-C|AB ∪C)=______23.设AB ?C,则（）成立 A. C ?AB B. A ?C 且B ?C C.B A ? C ? D.A C ?或B ?C24. 已知P(A)=P(B)=P(C)=0.25,P(AB)=P(AC)=P(BC)=1/8,P(ABC)=1/16,则A,B,C 恰有一个发生的概率为_______25. 设A,B 为任意两个事件，则下列关系成式立的是（）A. (A ∪B )-B=AB. (A ∪B )-B ?AC. (A ∪B )-B ?AD. (A-B) ∪B=A26. 设事件A,B 满足P(B|A)=P(B |A )=0.2,P(A)=1/3,则P(B)=____27. 对于任意两事件A,B ，与A ∪B=B 不等价的是（）A. A ?BB. B ?AC. A B =￠D. A B=￠28. 设事件A,B 满足：P(B|A)=P(B |A )=1/3,则P(B)=______29. 设0<p(a)<1,0<p(b)<="">A. A 与B 独立B. P(B|A)=P(B|A )C. A 与B 互不相容D.P(A|B )=P(A|B)30. 在区间（0，1）中随意地取两个数则“两数之和小于6/5”的概率为_______31. 在一张打上方格的纸上随机地投一枚硬币，若方格的长度为a,硬币的直径为2b(2b<a)且硬币落在每一处的是等可能的则硬币与方格线不相交的概率为_____< p="">32. 在有三个小孩的家庭中,已知至少有一个女孩子,求该家庭中至少有一个男孩子的概率_______33. 两人约定上午9点到10点在公园见面，试求一人要等另一个人半小时以上的概率_____34. 随机事件A ?B,0<p(a)<="">A. P(A ∪B)=P(A)B. P(AB)=P(A)C. P(B-A)=P(B)-P(A)D. P(B|A)=P(B)第二章条件概率与独立性1. 某炮台上有三门炮，假定第一门炮的命中率为0.4,第二门炮的命中率为0.3，第三门炮的命中率为0.5,今三门炮向同一目标各发射一发炮弹，结果有两弹中靶，求第一门炮中靶的概率？2.甲袋中有2个白球，3个黑球，乙袋中有3个白球2个黑球，从甲袋中取出一个放入乙袋，再从乙袋中任取一个，若放入乙袋的球和从乙袋中取出的球是同色的，求放入乙袋的是黑球的概率？3.袋中有8个正品，2个次品，任取3个，取后不入回，若第3次取到的次品，求前2次取到的是正品概率。
哈工大概率论参考答案习题
习 题 一1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’；（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’；（4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’；（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。
解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。
（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S =(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}；{(4,6),(5,5),(6,4)}A =；{(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。
（3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)}{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A =（4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。
哈工大--最全版本--概率论模拟试题
概率论与数理统计模拟试题（一）一、填空题（每小题3分，共5小题，满分15分）1．设事件,,A B C 两两独立，且ABC φ=，1()()()2P A P B P C ==<， 9()16P A B C =，则()P A = . 2．设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等. 则()P A = .3．设随机变量~(1,1)X -，则X Y e =的概率密度为()Y f y = .4．设随机变量[]~0,6X U ，1~12,4Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，且X 与Y 相互独立，则根据切比雪夫不等式有：(33)P X Y X -<<+≥__________.5．总体22~(,),0.04X N μσσ=抽取容量为16的样本，测得均值1.416，若μ的置信区间是(1.4160.098,1.4160.098)-+，则置信度_________. 二、选择题（每小题3分，共5小题，满分15分）（每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项的字母填在题后 的括号内）1．设,,A B C 是三个独立的随机事件且0()1P C <<. 则在下列给定的四对事件中不相互独立的是（ ） （A ）AB 与C ； （B ）BC 与C ； （C ）A B -与C ； （D ）AB 与C .2．设随机变量X 的概率密度为21()(1)f x x π=+，则2Y X =的概率密度为（ ） （A ）21(14)y π+； （B ）21(4)y π+； （C ）22(4)y π+； （D ）22(1)y π+.3．如下四个函数中不是随机变量分布函数的是（ ）（A ）21,0()1,02x F x x x ≥⎧⎪=⎨<⎪+⎩ （B ）0,0(),011,1x F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩（C ）()(),x F x f t dt -∞=⎰其中()1f t dt ∞-∞=⎰（D ）0,0()1,0xx F x e x -≤⎧=⎨->⎩4．随机变量7~(1,1),X U Y X -=，则（ ）（A ）X 与Y 不相关，不独立 （B ）X 与Y 相关，不独立 （C ）X 与Y 不相关，独立 （D ）X 与Y 相关，独立 5．设1,,n X X 是总体X 的样本，2,EX DX μσ==，X 是样本均值，2S 是样本方差，则（ ）（A ）21(,)XN nμσ; （B ）2S 与X 独立;（C ）2S 是2σ的无偏估计; （D ）222(1)(1)n S n χσ--. 三、（10分）某炮台上有三门炮，假定第一门炮的命中率为0.4，第二门炮的命中率为0.3，第三门炮的命中率为0.5，今三门炮向同一目标各射一发炮弹. 结果有两弹中靶，求第一门炮中靶的概率？四、（10分）某种商品一周的需求量是一个随机变量，其概率密度为,0()0,0t te t f t t -⎧>=⎨≤⎩设各周的需求量是相互独立的，试求两周需求量的概率密度.五、（10分）设随机变量X 的密度函数1,203(),10,x f x A x B ⎧-<<⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎩其他，分布函数()F x 在2x =处的值5(2)6F =，求（1）,A B . （2）若||Y X =，求,X Y 联合分布函数(,)F x y 在(2,3)处的值.六、（14分）总体X密度函数2232,(1,) ()(1)0,xf x xθθθ⎧∈⎪=-⎨⎪⎩其他抽取简单随机样本1,,nX X，求θ的矩估计和最大似然估计.七、（6分）证明若2~()X n χ，则,2EX n DX n ==.概率论与数理统计模拟试题（二）一、填空题（每小题3分，共5小题，满分15分） 1．已知11()()(),()0,()()416P A P B P C P AB P AC P BC ======，则,,A B C 都不发生概率为 .2．随机变量2~(),12X P EX λ=，则(1)P X ≥= .3．随机变量X 的密度函数为1,0121(),1340,x f x x ⎧<<⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他，则12Y X =-的密度函数()Y f y =__________.4．设随机变量X 的概率密度为1,10,()1,01,0,x x f x x x +-≤<⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它.则方差DX = . 5．已知一批零件的长度(,1)XN μ，从中随机地抽取16个零件，得样本均值40x =，则μ的置信度0.95的置信区间为__________.二、选择题（每小题3分，共5小题，满分15分）（每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项的字母填在题后 的括号内）1．设,,A B C 三个事件两两独立，则,,A B C 相互独立的充分必要条件是（ ） （A ）A 与BC 独立； （B ）AB 与A C 独立；（C ）AB 与AC 独立； （D ）AB 与AC 独立.2．下列四个函数中，能成为随机变量密度函数的是 （A ）||()x f x e-= （B ）21()(1)f x x π=+（C）22,0()00xx f x x -⎧≥=<⎩， （D ）1,||1()0,||1x f x x ≤⎧=⎨>⎩3．随机变量,X Y 独立同分布，11~(,),(1)22X N P X Y μ+≤=，则μ= .（A ）1- （B ）0 （C ）12（D ）14．将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表示正、反面向上的次数，则X 和Y 的相关系数等于（ ）（A ）1; （B ）1-; （C ）0; （D ）21. 5．设12,,,n X X X 是来自具有2()n χ分布的总体的样本，X 为样本均值，则EX和DX 的值为（ ）（A ）EX n =，2DX =； （B ）,2EX n DX n ==; （C ）1,2EX DX ==； （D ）1,EX DX n n==. 三、（10分）设一批晶体管的次品率为0.01，今从这批晶体管中抽取4个，求其中恰有1 个次品和恰有2个次品的概率？四、（10分）(,)X Y 的密度2,0(,)(0)0,x e y xf x y λλλ-⎧<<=>⎨⎩其他求Z X Y =+的概率密度函数()Z f z .五、（10分）随机变量01015~,~,131384444X Y EXY ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求（1）(1)P X Y +≤； （2）max(,)E X Y .六、（6分）在射击比赛中，每人射击三次(每次一发)，约定全部不中得0分，只中一弹得5分，中二弹得10分，中三弹得20分。
哈工大2021年概率统计试题及答案
哈工大2021年概率统计试题及答案2021年哈工大概率统计试题一、填空题（每小题3分，共5小题，满分15分）1．设P?A??P?B??0.7，且A,B只发生一个的概率为0.5，则A,B都发生的概率为________________ ．?e-x，x?0X2．设随机变量X的概率密度为fX(x)??，则随机变量Y?e的概率密度为?0,x?0fY(y)?______________ _ _ ．3．设随机变量X, Y的相关系数为0.5，EX?EY?0,EX2?EY2?2，则E(X?Y)2?．4．生产一个零件所需时间X?N(?,?2)，观察25个零件的生产时间得x?5.5秒，样本标准差s?1.73秒，则?的置信度为0.95的置信区间为__________________． 5．设随机变量X, Y相互独立，且均服从区间?0,3?上的均匀分布，则P{max(X,Y)?1}?______ ．注：可选用的部分数值：t0.05(24)?1.7109, t0.025(24)?2.0639,t0.025(25)?2.0595,?（1.96）?0.975，?（1.645）?0.95.二、选择题（每小题3分，共5小题，满分15分）1．设0?P?B??1,P(A|B)?P(A|B)?1，则（A）A,B互不相容.（B）A,B互为对立事件. （C）A,B相互独立.（D）A,B不独立.【】 2．下列函数可作为随机变量的分布函数的是?x, x?01?Fx?,???x???（A）??．（B）F(x)??1?x ．1?x2?? 0, x?0（C）F(x)?e,???x??．（D）F(x)?-x31?arctanx,???x??．【】42?3．设X1, X2, ?, Xn为来自总体N(1,22)的一个样本，其中X为样本均值，则下列结论中正确的是11n1n222（A）??Xi?1?~??n?．（B）??Xi?1?~F(n,1)．4i?14i?1（C）X?1X?1（D）【】 ~N?0,1?．~t(n)．2/n2/n144．设随机变量X~U[0, 6]，Y~B(12, )，且X,Y相互独立，则根据切比雪夫不等式有P(X?3?Y?X?3)?__________．（A）1335．（B）．（C）．（D）．【】 4541225．设X1, X2, ?, Xn是来自总体N(?, ?2)的简单随机样本，X与S分别为其样本均值和样本方差，则下列结论正确的是（A）2X2?X1~N(?,?)．（B）2nX??S2??2~F(1,n?1)．（C）S2?2X??~?2?n?1?．n?1~t(n?1)．（D）【】S三、（9分）某人外出可以乘坐飞机，火车，轮船，汽车四种交通工具，其概率依次为0.05,0.15,0.30,0.5，而乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为0.80,0.70,0.60,0.90，求：（1）该人如期到达的概率；（2）已知该人误期到达，求他是乘坐火车的概率。
哈尔滨工业大学概率论答案习题三(精)
1150.99977(1(1(1!
k K N K N P X N P X N P X K e
k ∞
∞
−=+=+≤≤=−>=−==−∑∑即
5
1
50.00023!K K N e k ∞
−=+≤∑查泊松分布表知115N +=,故月初要库存14件以上,才能保证当月不脱销的概率在0.99977以上。
8.已知离散型随机变量X的分布列为:(10.2,(20.3P X P X ====,
解
从a b +个球中任取r个球共有r
a b C +种取法,r个球中有k个黑球的取
法有k
r k
b a
C C −,所以X的分布列为
(k r k
b a r
a b
C C P X k C −+==,max(0,,max(0,1,,min(,k r a r a b r =−−+⋯,此乃因为,如果r a <,则r个球中可以全是白球,没有黑球,即0k =;如果r a >则r个球中至少有r a −个黑球,此时k应从r a −开始。
8!!!k k k k q P X e e e k k ∞∞−−−=====−=∑∑(24
114(100.00284.
!
k k P X e k ∞
−=>==∑7.某商店每月销售某种商品的数量服从参数为5的泊松分布,问在月初至少库存多少此种商品,才能保证当月不脱销的概率为0.99977以上。
解
设X为该商品的销售量,N为库存量,由题意
2
X B n ,X的分布列为
1(2n
k n P X k C ⎛⎞
==⎜⎟
⎝⎠
哈工大概率论与数理统计期末试卷(威海2005)
哈工大(威海)2004 /2005 学年 春 季学期一、选择题：（每小题2分，满分10分）1．下列命题中，正确者为（ ）(A) 若0=)A (P ,则A 是不可能事件。
(B) 若)B (P )A (P )B A (P +=Y ，则A 、B 互斥。
(C) 若1=-)AB (P )B A (P Y ，则1=+)B (P )A (P(D))B (P )A (P )B A (P -=-2．设),(N ~X 24μ，),(N ~Y 25μ，记14p )X (P =-≤μ25p )Y (P =+≥μ 则（ ）(A) 对任意实数μ有21p p = (B) 21p p <(C)只对μ的个别值才有21p p = (D) 21p p > 3. 设),(N ~X 10，),(N ~Y 11，且X 与Y 相互独立，则（ ） （A ）500.)Y X (P =≤+ （B ）501.)Y X (P =≤+ （C ）500.)Y X (P =≤- （D ）501.)Y X (P =≤- 4．设X 、Y 的方差存在，且不等于0，则DY DX )Y X (D +=+是X ，Y 的 （ ）（A ） 不相关的充分条件 ，但不是必要条件。
（B ） 独立的必要条件，但不是充分条件 。
（C ） 不相关的必要条件， 但不是充分条件。
（D ） 独立的充要条件。
5. 设n X X X Λ,,21是总体)(N 2,σμ的样本，X 是样本均值，记212111∑=--=n i i )X X (n S ，21221∑=-=n i i )X X (n S ， 212311∑=--=n i i )X (n S μ ，21241∑=-=n i i )X (n S μ，则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是( )姓名 班级: 学号注 意 行为规范遵守考试纪律（A ）11--=n /S X T μ （B ）12--=n /S X T μ二、填空题：（每小题2分，满分10分） 1．在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为 ( ) 2.=a （ ），=b （ ）3. 设随机变量X 和Y 的数学期望是2，方差分别是1和4，而相关系数为0.5,则根据切比雪夫不等式{}≤≥-6Y X P （ ）4.设总体X ～),(N 1μ，根据来自X 的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5，9750961.).(=Φ则X 的数学期望的置信度为0.95的置信区间为：（ ）5. 设正态总体),(N ~X 211σμ，正态总体),(N ~Y 222σμ，未知21μμ,，检验0H ：2221σσ≤，则应选择的统计量为（ ）三、设C ,B ,A 三个字母之一输入信道，输出原字母的概率为α，而输出其它一字母的概率都是21α-，今将字母串 CCCC ,BBBB ,AAAA 之一输入信道，输入的概率分别为 321p ,p ,p )p p p (1321=++，已知输出为ABCA ，问输入的是AAAA 的概率是多少？（本题满分8分）四、一民航大巴载有n 位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一车站没人下车就不停车，以Z 表示停车的次数，求)Z (E （设每位旅客在各个车站下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立）（本题满分8分）五、已知随机变量1X 和2X 的概率分布⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4121411101~X ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛2121210~X 。
哈工大概率论与数理统计期末试卷及标准答案A卷(2006)
第1页一、判断题(每小题2分,共10分)1、()0P A =,则A 为不可能事件. ( )2、设X Y 与相互独立,则X Y 与一定不相关. ( )3、µµ12,θθ为θ的两个估计量,µµ12()(),D D θθ<则µ1θ更有效. ( ) 4、A B 与互不相容,则A B 与互不相容.( ) 5、假设检验中,弃真表示事件{接收01H H 真}. ( ) 二、选择题(每小题3分,共15分) 6、设,A B 为两个事件,则“这两个事件至少有一个没发生”可表示为( )()()()()A ABB AB ABC A BD AB U U7、设X Y 与相互独立,()4,()1,D X D Y == 则(23)D X Y -=( )()5()11()7()25A B C D 8、设(0,1),21X N Y X =-:,则Y : ( ) ()(0,1)()(1,4)()(1,3)()(1,1)A N B N C N D N ---9、设总体212(2,4),,,,n X N X X X :L 为X 的样本,则下列结果正确的是( )22()(0,1)()(0,1)416X X A N B N ::-- 2()(0,1)((0,1)2X C N D N ::-10、设2(),()E X D X μσ==,由切比雪夫不等式得{3}P X μσ-≥≤ ( )第2页 1218()()()()339A B C D三、填空题(每小题3分,共15分)11、设X 的概率密度为41,0(),40,0xe xf x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩则()D X =____________.12、设事件A B 与相互独立,()0.4,()0.7,P A P A B ==U 则()P B A = ______13、设()X πλ:,且{2}{3},P X P X ===则λ=____________.14、设(,)X Y 的概率密度为:,01(,),0,cx x y f x y ≤≤≤⎧=⎨⎩其他则c =_________.15、设(),X t n :则2X :______________.四、计算题(共60分)16、(6分)设()4,10X U :,求关于t 的方程2160t Xt -+=有解的概率.17、(6分)设二维随机变量(,)X Y 的联合分布律如下: 问α,β取何值时, ,X Y 相互独立?……………密………………………………封……………………………………装………………………………订…………………第3页18、(8分)设X 的概率密度为2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他,Y 表示对X 三次独立重复观察事件12X ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭出现的次数.求{}2P Y =.19、(8分)设随机变量(,)X Y 的分布律为求XY ρ.20、(8分)袋中有6只全新的乒乓球,每次比赛取出2只用完之后放回,已知第三次取得的2只球都是新球,求第二次取到的也是2只新球的概率.………………密………………………………封………………级 学号 姓名………………………………装………………………………订………………第4页21、(8分)某保险公司经多年的资料统计表明索赔户中被盗赔户占20%,在随意抽查的10000家索赔户中被盗的索赔户设为随机变量X ,试用中心极限定理估计被盗索赔户在1900户到2100户之间的概率.()()( 2.50.994,20.977,ΦΦ==()0.625Φ0.732)=其中(01)θθ<<为未知参数.已知取得样本值121,2,x x ==31x =,试求θ 的矩估计值. 23、有一批枪弹,出厂时,其初速2(950,10)v N :,经过较长时间储存,取9发进行测试得x =928米/秒.问这批枪弹的初速度是否有显著变化()0.1α=?()0.050.11.645, 1.28u u ==(8分)………………密……………封………………………………线…………………学院 专业 级 学号 姓名………………………………装………………………………订………………………………线…………………第5页一.判断题(5210⨯=分分)× √ × × × 二.选择题(5315⨯=分分)C D B B C三.填空题(5315⨯=分分)11、16 12、0.5 13、3 14、6. 15、(1,)F n四.计算题(共60分)16. 解:因为1,410()60,x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他, (2分)所以{}{}{}102811064088.63P P X P X X dx ∆≥=-≥=≤-≥==⎰或 (4分) 17. 解:因为,X Y 相互独立,所以19=19α+⨯13,118=118β+⨯13 (4分)所以α=29,β=19.(2分)第6页18. 解:因为12011224P X xdx ⎧⎫≥==⎨⎬⎩⎭⎰, (3分)所以1(3,),4Y b :(3分){}2231392.4464P Y C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ (2分) 19. 解: 22()0.6,()0.6,()0.5,()0.5,E X E X E Y E Y ====Q (2分)()0.24,()0.25D X D Y ∴== (2分)()0.1,(,)()()()0.2E XY COV X Y E XY E X E Y =∴=-=-Q (2分)所以3XY ρ∴===- (2分)20. 解:设i A ,i 表示第二次取到只新球0,1,2i =;A 表示第三次取到2只新球.()()()21122244012222666186,,151515C C C C P A P A P A C C C ======()()()222342012222666631|,|,|151515C C C P A A P A A P A A C C C ======.(2分)()16836136151515151515225P A =⨯+⨯+⨯=.(3分)()01611515|.366225P A A ⨯== (3分)21. 解: 因为(10000,0.2)X b :,所以()()2000,1600E X D X ==(4分) 所以{}()200019002100 2.5 2.52 2.510.988.40X P X P Φ-⎧⎫≤≤=-≤≤=-=⎨⎬⎩⎭(4分) 22. 解:()221()122(1)3132E X μθθθθθ==⋅+⋅-+⋅-=- (4分)第7页()11412133A =++=4532,.36θθ∴-==) (4分)23. 解: 提出假设0010:,:H H μμμμ=≠拒绝域为2αμμ≥,2αμ≥(4分)又因为00.05928,950,10,9, 1.645x n μσμ=====,所以26.6,x u u αμ==-≥,所以拒绝0H ,枪弹的初速度有显著变化. (4分)。
哈尔滨工业大学《概率论与数理统计》历年期末考试
n
i 1, n ， 则 b ai X i i 1
~
N b
n i 1
ai i ,
n i 1
ai2 i 2
亦为正态变量(
a1,, an不全为0
3分
)且
五、解： X ~ B(2, 1) Y ~ U[0,1] 3
0, x 0
FY
(
y
)
x,
0 x 1
1, x 1
FZ (z) P(Z z) P(X Y z)
于是有：
A Ai A i 1
P(A)
i 1
P( Ai )P( A Ai )
i 1
i i!
e (1)i 2
e
( )i 2
e (e 2
1) e 2
e
i1 i!
2分 2分
2011年《概率论与数理统计》期末考试试题及答案解析
一、填空题（每小题 3 分，共 5 小题，满分 15 分）
(z)
n
2
1 1
(
2z 2 1
) n1 ,1
z
2
0,
其它
EZ
2 1
zf Z
( z )dz
2 n 1
n
n
11
1, 但EZ
1(n
)
x(1)为1的渐进无偏估计。
4分
七、解：令 A. 表示器皿产生了甲类细菌而没有产生乙类细菌事件，而 Ai 表示产 生了 i 个细菌的事件（ i 1,2,3,）。
于是 1 , 2
矩估计为
ˆˆ12
x x
3s 3s
s s2
4分 4分
（2）似然函数
Lx1,,
xn ;1 , 2
概率论与数理统计考试试卷(经,A卷)及参考答案
哈尔滨工业大学2017—2018年度第I 学期概率论与数理统计考试试卷(经,A 卷)及参考答案一. 填空题(每空两分,共30分)1. 若B A ,为随机事件，且6.0)(=A P ,2.0)(=-A B P .当A 与B 相互独立时, =)(B P 0.5 ；A 与B 互不相容时,=)(B P 0.2 。
2. 若每次试验时A 发生的概率都是2.0，X 表示50次独立试验中事件A 发生的次数，则=)(X E 10 ，=)(X Var 8 。
3. 若随机变量X 只取2±,1之三个可能值,且15.0)2(=-=XP ,5.0)1(==X P 。
则=)(X E 0.9 ，=)(X Var 1.69 。
4. 若随机变量21,X X 相互独立,且1X ～)3,3(2N ，2X ～)2,1(2N 。
令212X X X -=，则=)(X E 1 ，=)(X Var 25 ，)1(>X P ＝ 0.5 。
5. 若n X X X ,,,21Λ为抽自正态总体),(2σμN 的随机样本，记 ∑==ni i X n X 11，212)(11X X n S ni i --=∑=. 则σμ/)(-X n ～)1,0(N , 2/)(S X n μ-～1-n t , 22/)1(σS n -～21-n χ。
进一步，记αZ 为标准正态分布上α分位点，)(αm t 为自由度为m 的t 分布上α分位点,)(2αχm 为自由度为m 的2χ分布上α分位点,m 为自然数，10<<α为常数。
当2σ已知时,μ的置信系数为α-1的置信区间为])/(,)/([2/2/αασσZ n X Z n X +-；当2σ未知时,μ的置信系数为α-1的置信区间为)]2/()/(),2/()/([11αα--+-n n t n S X t n S X , 2σ的置信系数为α-1的置信区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----)2/1()1(,)2/()1(212212αχαχn n S n S n 。
哈尔滨工程大学概率论历年考题综合
Ch1摸球问题、几何概型1. 袋中有5个白球和3个黑球，从中任取2个球，则取得的两球恰有一黑球的概率为 。
（07’）1、10把钥匙中有3把能打开门锁，今任取两把钥匙，则打不开门锁的概率为 。
（08’）3. 在区间)1,0(中随机的取两个数，则这两个数之差的绝对值小于21的概率为 。
（07’）2、在区间()1,0之间随机地取两个数，则事件{两数的最大值大于23}发生的概率 为 。
（08’）1、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意拨号，则拨号不超过三次而接通电话的概率为 。
（09’）(A ) 101 (B ) 103 (C ) 109 (D ) 811、在区间[0,]L 之间随机地投两点，则两点间距离小于2L的概率为 。
（09’）1、设两事件A ，B 满足条件)()(B A P AB P =，且)10()(<<=p p A P ，则)(B P = 。
(06’)1. 10件产品中有8件正品，2件次品，任选两件产品，则恰有一件为次品的概率为 .(10’)2. 在区间()1,0中随机地取两个数，则事件{两数之和大于54}的概率为(10’).1. 设,A B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=，则必有 。
（07’） (A )()()P A B P A ⋃> (B )()()P A B P B ⋃>(C )()()P A B P A ⋃=(D )()()P A B P B ⋃=1. 设,A B 为两个随机事件，若事件,A B 的概率满足0()1,0()1P A P B ，且有等式()()P A B P A B 成立，则事件B A ,_______.(10’)(A ) 互斥 (B ) 对立 (C ) 相互独立 (D ) 不独立三、计算题1、设B A ,为两事件，4.0)(,6.0)(,7.0)(===A B P B P A P ，求)(B A P ⋃。
(06’) （05’）已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P ，条件概率8.0)(=A B P ，求)(B A P 。
哈工大概率论2022年秋季学期期末考题及答案
哈工大概率论2022年秋季学期期末考题及答案哈工大2022年秋季学期概率论与数理统计试题一、填空题（每小题3分，共5小题，满分15分）1．设大事A 、B 互相自立，大事B 、C 互不相容，大事A 与C 不能同时发生，且()()0.5P A P B ==，()0.2P C =，则大事A ，B 和C 中仅C 发生或仅C 不发生的概率为__________ ．2．设随机变量X 听从参数为2的指数分布，则21e X Y-=-的概率密度为()Y f y =______ ____．3．设随机变量X 的概率密度为21e ,0()20, 0xx x f x x -?>?=??≤?，利用契比雪夫不等式估量概率≥+=0,00,11)(2x x x第1页/共10页x f . （B ）0,157(),1116160, 1x f x x x x =?≤? . 【】5．设12,,,n X X X 为来自总体2~(,)X N μσ的一个样本，统计量2)(1μ-=X Sn Y 其中X 为样本均值，2S 为样本方差，则【】（A ）2~(1)Y x n -（B ）~(1)Y t n -（C ）~(1,1)Y F n -（D ）~(1,1)Y F n -．三、（8分）假设某段时光内来到百货公司的顾客数听从参数为λ的Poisson 分布，而在百货公司里每个顾客购买电视机的概率均为p ，且顾客之间是否购买电视机互相自立，试求=A “该段时光内百货公司售出k 台电视机”的概率（假设每顾客至多购买一台电视机）。
四、（8分）设随机变量[]~0,1X U ，求（1）241Y X X =-+的概率密度()Y f y ；（2）X 与Y 的相关系数XY ρ.第2页/共10页五、（8分）设随机变量X 和Y 的分布列分离为X 0 1 Y —1 0 1P 1/3 2/3 P 1/3 1/3 1/3且1)(22==Y X P ，求（1）二维随机变量),(Y X 的概率分布；（2）XY Z =的概率分布；（3）X 与Y 的相关系数XY ρ.六、（12分）设随机变量X 与Y 互相自立,且分离听从正态分布)2,(σμN 和)22,(σμN ,其中σ为未知参数且0σ>. 记Y X Z -=.（1）求的概率密度Z 2(;)f z σ；（2）设12,,,n Z Z Z 为来自总体Z 的容易随机样本, 求2σ的最大似然估量2σ∧第3页/共10页;（3）证实2σ∧是2σ的无偏估量量。
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3、设随机变量 和 的相关系数为0.5， ， ，则 。
4、设 为来自总体X的简单随机样本，且 ， ， ，利用契比雪夫不等式估计 。
5、设总体 服从正态分布 ，从中随机地抽取25个样本，则 的置信度为0.95的置信区间的长度 。
(已知 ，其中 为标准正态分布的分布函数)
（2）概率 ；
（3）随机变量 的概率密度函数 。
2、设随机变量 和 的分布律为
0
1
0
1
并且 。
（1）求 ， 的数学期望以及方差；
（2）求 的联合分布律；
（3）求 ， 的协方差；
（4）判断 ， 是否不相关，是否独立。
3、已知总体 的概率密度函数为
其中 为未知参数， 为来自总体 的简单随机样本。求：
（1）当 时， 的矩估计量；
（2）当 时， 的极大似然估计量。
设某企业生产线上产品的合格率为 ，不合格品中只有 的产品可进行再加工，且再加工的合格率为 ，其余均为废品。已知每件合格品可获利 元，每件废品亏损 元，为保证该企业每天平均利润不低于 万元，问该企业每天至少应生产多少产品？
1、设随机变量 服从 分布，求证： 服从 分布。
2、证明在一次试验中，事件 发生的次数 的方差 。
哈尔滨工程大学试卷
考试科目:概率论与数理统计2009.12.13
题号
一
二
三
四
五
六
总分
分数
登分人
1、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意拨号，则拨号不超过三次而接通电话的概率为。
(A)
(B)
(C)
(D)
2、设相互独立的两个随机变量 ， 的分布函数分别为 ， ，则 的分布函数是。
(A)
(B)
(C)
1、设 为两个事件， ， ， ，求：
（1） ；（2） ；（3） .
2、已知连续型随机变量 的分布函数为
，
求：（1）常数c；（2） 的概率密度函数；（3）概率 。
3、设随机变量 服机变量 的联合概率密度函数为
求：（1）（X，Y）的边缘概率密度函数 和条件概率密度 ；
(D)
3、设随机变量 ， ，且 与 相互独立，则。
(A)
(B)
(C)
(D)
4、设 （ ）为来自总体 的简单随机样本， 为样本均值， 为样本方差，则。
(A)
(B)
(C)
(D)
5、设正态总体 的双边检验 ， ， 已知，显著性水平为 ，则 的拒绝域为。
(A)
(B)
(C)
(D)
1、在区间 之间随机地投两点，则两点间距离小于 的概率为。