了解SOR法迭代矩阵谱半径和迭代参数的关系

sor迭代法手算例题

sor迭代法手算例题SOR迭代法是求解线性方程组的一种经典方式，其基本思想是通过不断迭代来逼近方程组的解。

这种方法在大规模问题上具有很好的效率，因此得到了广泛的应用。

本文将介绍SOR迭代法的基本原理，并以一个手算例题来展示其具体步骤和计算结果。

一、SOR迭代法的基本原理在介绍SOR迭代法的原理之前，我们先来看一下迭代法本身的思想。

假设有一个线性方程组：$$Ax=b$$其中，A是一个$n\times n$的系数矩阵，b是一个$n\times 1$的常数向量，x是一个$n\times 1$的未知向量。

迭代法的基本思想是将方程组表示为：$$x^{(k+1)}=Tx^{(k)}+C$$其中，$x^{(k)}$表示第k次迭代的近似解，$T$是一个$n\times n$的矩阵，$C$是一个$n\times 1$的常数向量。

迭代法的步骤是从一个初始点$x^{(0)}$开始，不断应用上述公式来寻找更好的解$x^{(k+1)}$。

当接近真解时，迭代的过程会不断收敛，即$x^{(k+1)}$会不断逼近真解$x$。

那么，如何确定矩阵$T$和向量$C$呢？最简单的方法是将方程组表示为：$$x^{(k+1)}=(I-\omega A)x^{(k)}+\omega b$$其中，I是$n\times n$的单位矩阵，$\omega$是一个常数，称作松弛因子。

当$\omega=1$时，这就是最基本的迭代法——雅克比迭代法。

但是，雅克比迭代法的收敛速度比较慢，因此需要调整$\omega$的值，从而得到更好的迭代效果。

SOR迭代法就是一种改良的迭代方法，其基本思想是通过加速松弛因子的变化来改善雅克比迭代法的效率。

具体来说，SOR迭代法的公式为：$$x_i^{(k+1)}=(1-\omega)x_i^{(k)}+\frac{\omega}{a_{ii}}\left(b_i-\sum_{j<i}a_{ij}x_j^{(k+1)}-\sum_{j>i}a_{ij}x_j^{(k)}\right)$$其中，$i=1,2,\cdots,n$。

sor方法

sor方法
SOR方法是一种迭代数值解法，主要被用于求解线性系统Ax=b，其中A是系数矩阵，b是右端向量。

SOR方法的全称为"Successive Over-Relaxation Method"，意为迭代超松弛法。

在使用SOR方法求解线性方程组时，首先需要将系数矩阵A分解为L、D和U 三个部分，其中L是A的严格下三角矩阵，D是A的对角线矩阵，U是A的严格上三角矩阵。

同时，SOR方法还需要一个松弛因子w。

SOR方法的迭代公式为：
x(k+1) = (1-w)x(k) + w(D-wL)^(-1)(b-Ux(k))
其中x(k)表示第k次迭代求得的解向量，x(k+1)表示x(k)的下一次迭代，^(−1)表示逆矩阵。

可以发现，SOR方法是基于Gauss-Seidel方法的改进，它在每一次迭代中添加了一个松弛因子w，从而使得解向量的迭代更快、更稳定。

在实际应用中，我们需要选择一个合适的松弛因子w，以使得SOR方法能够收敛并且收敛速度较快。

一般来说，选择一个小于1的w能够保证SOR方法的收敛性，而选择一个大于1的w能够加快SOR方法的收敛速度。

需要注意的是，SOR方法只能够求解特定条件下的线性方程组，如系数矩阵为对称正定矩阵、对角占优矩阵等。

当系数矩阵不满足这些条件时，SOR方法可能出现发散的情况。

总的来说，SOR方法是一种简单而有效的数值解法，被广泛应用于工程计算等领域。

在使用时，需要根据具体问题选择合适的松弛因子w，并且注意其收敛性和收敛速度。

第一次迭代解法之SOR

种相容范数都有 ρ(A)≤||A||
（6.2）
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另一个更深刻的结果,对于任意的ε＞0，必存在一种相
容的矩阵范数，使
|| A ||≤ ρ(A) ＋ε
（6.3）
式（6.2）和（6.3）表明，矩阵A的谱半径是它所有相容范数的下确界。
定义6.4 设有n×n矩阵序列 A(k) (ai(jk) ), k 1, 2, 方阵A＝（aij）, 如果
多大算病态没有标准。如果主元很小或者元素数量级相差大，可能是病态
cond ( A) A A1 AA1 1
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§2 迭代解法与收敛性
一、迭代解法
设有线性方程组
Ax=b
(1)
A∈Rn×n, b∈Rn .
对A 进行分裂， A=A1+A2 , 其中 A1 可逆，
则 (A1+A2)x=b A1x = - A2x+b x = - A1-1 A2 x + A1-1 b
再由 Ax =b，得到 || b||= || Ax || ≤||A || ||x||
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于是，由 || △x ||≤||A-1 || ||△b||
及 ||b || ≤||A || ||x|| 1 A
x
b
得到解的相对误差为
x A
A1
b
x
b
令 Cond(A)=||A || ||A-1 || ,并称其为矩阵A的条件数。
14 20
则它的特征方程为:
I AT A 10 14
2 30 4 0
14
20
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此方程的根为矩阵ATA的特征值，解得

用sor法解方程组

用SOR法解方程组引言方程组是数学中常见的问题，解决方程组可以帮助我们理解和预测各种实际问题。

解方程组的方法有很多种，其中一种常用的方法是SOR（Successive Over Relaxation）法。

SOR法是一种迭代法，通过不断迭代逼近解的过程来求解方程组。

本文将对SOR法进行详细的介绍和分析。

SOR法概述SOR法是一种求解线性方程组的迭代算法，其基本思想是通过引入松弛因子来加速收敛速度。

对于线性方程组Ax=b，SOR法的迭代公式为：x^(k+1) = (1-w)x^(k) + w * D^(-1) * (b - L * x^(k+1) - U * x^(k))其中，x(k)表示第k次迭代的解向量，x(k+1)表示第k+1次迭代的解向量，w为松弛因子（0 < w< 2），A被分解为下三角矩阵L、上三角矩阵U和对角矩阵D。

算法流程SOR法的算法流程如下：1.初始化解向量x^(0)2.对于每次迭代k = 0, 1, 2, …–计算下一次迭代的解向量x^(k+1)： x^(k+1) = (1-w)x^(k) + w * D^(-1) * (b - L * x^(k+1) - U * x^(k))–判断迭代是否收敛：如果迭代误差小于预设的阈值就停止迭代，否则继续迭代3.返回最终的解向量x^(k+1)SOR法特点SOR法具有以下几个特点：1.相对于传统的迭代法，SOR法引入了松弛因子，能够加速迭代的收敛速度。

2.当松弛因子w=1时，SOR法等价于高斯-赛德尔迭代法。

3.大部分情况下，SOR法是收敛的。

收敛速度与松弛因子w有关，一般来说，选择一个合适的松弛因子可以加快算法的收敛速度。

4.SOR法对于对角占优的线性方程组具有较好的收敛性能，但对于一般的线性方程组效果可能不理想。

SOR法的数值实验为了验证SOR法的性能，我们进行了一系列的数值实验。

我们选取了不同规模的线性方程组，通过对比SOR法的迭代次数和收敛速度来评估其性能。

sor迭代法

SOR迭代法的Matlab程序function [x]=SOR_iterative(A,b)% 用SOR迭代求解线性方程组,矩阵A是方阵x0=zeros(1,length(b)); % 赋初值tol=10^(-2); % 给定误差界N=1000; % 给定最大迭代次数[n,n]=size(A); % 确定矩阵A的阶w=1; % 给定松弛因子k=1;% 迭代过程while k<=Nx(1)=(b(1)-A(1,2:n)*x0(2:n)')/A(1,1);for i=2:nx(i)=(1-w)*x0(i)+w*(b(i)-A(i,1:i-1)*x(1:i-1)'-A(i,i+1:n)*x0(i+1:n)')/A(i,i);endif max(abs(x-x0))<=tolfid = fopen('SOR_iter_result.txt', 'wt');fprintf(fid,'\n********用SOR迭代求解线性方程组的输出结果********\n\n');fprintf(fid,'迭代次数: %d次\n\n',k);fprintf(fid,'x的值\n\n');fprintf(fid, '%12.8f \n', x);break;endk=k+1;x0=x;endif k==N+1fid = fopen('SOR_iter_result.txt', 'wt');fprintf(fid,'\n********用SOR迭代求解线性方程组的输出结果********\n\n');fprintf(fid,'迭代次数: %d次\n\n',k);fprintf(fid,'超过最大迭代次数，求解失败！');fclose(fid);end常微分方程的数值解法实验目的：熟悉在Matlab平台上直接求解常微分方程初值问题试验方法1、利用改进欧拉法解方程：程序内容为：fun=@(x,y)x^(-2)-y/x;h=0.05;X=1:h:2;Y(1)=1;for i=2:21Y(i)=Y(i-1)+h/2*(fun(X(i-1),Y(i-1))+fun(X(i),Y(i-1))+h*fun(X(i-1),Y(i-1))); end;Y运行结果为：Y =Columns 1 through 91.0000 0.9989 0.9957 0.9909 0.9848 0.9778 0.9701 0.9618 0.9530Columns 10 through 180.9440 0.9348 0.9254 0.9160 0.9065 0.8971 0.8876 0.8783 0.8690Columns 19 through 210.8598 0.8508 0.8418真实解的求法为：x=1:0.05:2;y=1./x.*(log(x)+1)y =Columns 1 through 81.0000 0.9988 0.9957 0.9911 0.9853 0.9785 0.9710 0.9630Columns 9 through 160.9546 0.9459 0.9370 0.9279 0.9188 0.9096 0.9004 0.8912Columns 17 through 210.8821 0.8731 0.8641 0.8553 0.8466用四阶R-K算法解常微分方程的程序为：fun=@(x,y)x^(-2)-y/x;h=0.1;X=1:h:2;Y(1)=1;for n=2:11k1=fun(x(n-1),Y(n-1));k2=fun(x(n-1)+h/2,Y(n-1)+h/2*k1);k3=fun(x(n-1)+h/2,Y(n-1)+h/2*k2);k4=fun(x(n-1)+h,Y(n-1)+h*k3);Y(n)=Y(n-1)+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4)end;Y运行后了结果为：Y =Columns 1 through 91.0000 0.9957 0.9853 0.9710 0.9546 0.9370 0.9188 0.9004 0.8821Columns 10 through 110.8641 0.8466真实解的求法为：x=1:0.1:2;y=1./x.*(log(x)+1)y =Columns 1 through 91.0000 0.9957 0.9853 0.9710 0.9546 0.9370 0.9188 0.9004 0.8821Columns 10 through 110.8641 0.8466可见其精确度至少已达到0.0012、MATLAB中数值解法“ode45”为：[x1,y1] = ode45(@(x,y)x^(-2)-y/x,[1,2],y0);符号解法“dsolve”求解为：dsolve('Dy=x^(-2)-y/x','y(1) = 1','x')ans =(log(x)+1)/x画出两种算法的图形位：[x1,y1] = ode45(@(x,y)x^(-2)-y/x,[1,2],1);fplot('(log(x)+1)/x',[1,2]);hold on, plot(x1,y1,'ro');数值算法同解析算法几乎完全吻合。

SOR与SSOR迭代法收敛速度的关系

Ｐｓ）１Ｉ＋ｌ（）（： ≤１Ｉ＋ｌ（）１Ｖｌ０１，（）０１（： ≤（一ｌＩＪ） ≤ＰＬ）一ｌＩＪ＜，Ｉ∈（，ｌＰＪ ∈［，］，，ｐ，，ｐ，
这推广了Ｗｚｉｉｏｎｋ的结果。ｃ最后给出一个例子来验证我们的结果。关键词：ＳＲ迭代方法；ＳＲ迭代方法；ＯＳＯ谱半径
中图分类号：０４．文献标识码：Ａ２１６文章编号：１０９９（０８０００００７— ７３２０）４— ０７— ３
对于线性方程组
Ａｘ＝ｂ・（）１
其中Ａ＝（Ｒ非奇异，ｂＥ口）∈ ，Ｒ．设Ａ＝Ｄ— Ｌ—Ｕ，中Ｄ、和一分别是Ａ的对角、格下三角和严格上三角矩阵。不失一般其一严性，Ｄ＝，取。则ＳＲ与ＳＯ０ＳＲ迭代方法分别为
Ｖｏ．８Ｎｏ４１２．
Ｊ１０８ｕ．２０
ＳＲ与ＳＯ０ＳＲ迭代法收敛速度的关系 ‘
李爱娟
（山东理工大学数学与信息科学学院，山东淄博２５４）５０９
摘要：当Ａ为非奇异的肘一阵时，ｚｉｉＷｏｃ只指出了ＳＯｎｋＳＲ迭代矩阵的谱半径Ｐ．）ＳＲ迭代（：小于０ｓ
维普资讯
‘
８‘
云南师范大学学报（自然科学版） Nhomakorabea第２８卷
Ｐ）Ｉ一∞Ｉｔ（）（ ≤ Ｉ＋ｏＪｐｐ）Ｉ一∞Ｉｔ（）（ ≤ Ｉ＋ｏＪ）ｐ
（）８（）９

数值分析Python实现系列——二、逐次超松弛迭代法（SOR）

数值分析Python 实现系列——⼆、逐次超松弛迭代法（SOR ）⼆、超松弛迭代法(SOR)1.原理:回顾:在⼀般情况下 : 收敛过慢甚⾄不收敛的B 与f ,经过对系数矩阵A 分裂成A =M −N 的形式, 使得迭代公式变为: x k +1=(I −M −1)Ax k +M −1f 雅克⽐迭代法选取 : 现将A 如下分解A =D −L −U ,D 为对⾓阵,L 为下三⾓阵,U 为上三⾓阵,取M ≡D ,取N ≡L +U ,在这⼀章中我们选取下三⾓矩阵M =1ω(D −ωL ),ω>0,其中ω为松弛因⼦,我们可以发现当ω为1时,M =D −L ,正是⾼思-赛德尔迭代法,下⾯推导迭代公式:x k +1=I −M −1A x k +M −1bx k +1=I −ω(D −ωL )−1A x k +ω(D −ωL )−1bx k +1=(D −ωL )−1((1−ω)D +ωU )x k +ω(D −ωL )−1b推导完毕,我们较为常⽤的是下式:(D −ωL )x k +1=((1−ω)D +ωU )x k +ωb以及:x (0)=(x (0)1,...,x (0)n )T ,x (k +1)i =x (k +)i +Δx i Δx i =ωb i −i −1∑j =1a ij x (k +1)j −n ∑j =1a ij x (k )j a ii i =1,2,...,n ,k =0,1,...,ω为松弛因⼦当ω>1时为超松弛迭代,当ω<1时为低松弛迭代迭代终⽌条件:max 1≤i ≤n |Δx i |=max1≤i ≤n |x (k +1)i −x (k )i |<ε,下⾯我们试试⽤Python 实现这⼀功能.2.实现:import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltMAX = 110 # 遍历最⼤次数A = np.array([[-4, 1, 1, 1], [1, -4, 1, 1], [1, 1, -4, 1], [1, 1, 1, -4]])b = np.array([[1], [1], [1], [1]]) # 注意这⾥取列向量omega_list = [1 + 0.005 * i for i in range(100)] # 取到不同的omega 值,观察趋势length = len(A)count = [] # 记录遍历的次数for omega in omega_list: # 遍历每⼀个omega 值times = 0x_0 = np.zeros((length, 1))x_hold = x_0 + np.ones((length, 1))while (np.linalg.norm(x_hold - x_0, ord=2) >= 10 ** (-5)) and (times <= MAX):# 遍历停⽌条件以k+1次与k 次迭代的向量差的⼆范数以及遍历最⼤次数为标准x_hold = x_0.copy() # 这⾥不要⽤赋值,要⽤copyx_new = x_0.copy()for i in range(length):# 根据迭代公式迭代x_new[i][0] = x_0[i][0] + omega * (b[i][0] - sum([A[i][j] * x_new[j][0] for j in range(i)]) - sum([A[i][j] * x_0[j][0] for j in range(i, length)])) / A[i][i]x_0 = x_new.copy()times += 1count.append(times)plt.plot(omega_list, count) # 观察omega 与迭代次数的关系plt.show()思路:1.遍历设限:第⼀种是到达精度,到达精度停⽌迭代,第⼆种是到达规定最⼤次数,这个可以⾃⼰设定.2.在根据迭代公式改变各个向量分量时,要注意遍历范围.结果:{。

SOR迭代法

aij x(jk )
3.1
若记
i1
n
r(k)
i
(bi
a x(k 1) ij j
aij
x
(k j
)
),
j 1
j i
i 1,2,L ,n
则 3.1 式可写为
x( k 1) i
x(k) i
1 aii
r(k)
i
3.2
由此可以看出， Gauss Seidel 迭代法的第 k 1
步，相当于在第 k 步的基础上每一个分量增加
SOR迭代法常以这种形式进行计算。
格式（3.4）的矩阵形式为
X (k1) (1 ) X k D1 b LX k UX (k) ,
3.5
其中
a11
D
a22
O
0
0
,
ann
0 a12 L
U
0O
O
0
a1n
an1,n
0
显然，A D L U.
0
0
L
a21
O
OO
上述定理说明，对于任何系数矩阵 A，若要 SOR
法收敛，必须选取松弛因子 0,2 ，然而，当松
弛因子满足条件 0 2 时，并不是对所有系数矩阵 A 来说，SOR 法都是收敛的。但是，对一些特殊矩阵来说，这一条件是充分的。
定理7 如果矩阵 A 是对称正定的，则 SOR 法对于0 2 是收敛的。
其 Gauss Seidel 迭代格式可写为 (aii 0) ：
x(k1) i
x(k) i
1 aii
bi
a x(k1) i1 1
L
a x(k1) i,i1, i1

线性方程组的J-迭代,GS-迭代,SOR-迭代,SSOR-迭代方法

线性⽅程组的J-迭代,GS-迭代,SOR-迭代,SSOR-迭代⽅法西京学院数学软件实验任务书【实验课题】雅克⽐迭代、⾼斯—赛德尔迭代、超松弛迭代【实验⽬的】学习和掌握线性代数⽅程组的雅克⽐迭代、⾼斯—赛德尔迭代、超松弛迭代法，并且能够熟练运⽤这些迭代法对线性⽅程组进⾏求解。

【实验内容】 1、问题重述：对于线性⽅程组A b X =，即：1111221n 12112222n 21122nn n n n n n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=??+++= （1），其中，111212122111 0 - - 0 - 0 0 () - - - 0 n ij n nn n nn nn a a a a a a a a a a ?--A ==--??0n D L U≡--()1,n b b b T=如何运⽤雅克⽐迭代、⾼斯—赛德尔迭代、超松弛迭代法对线性⽅程组进⾏求解。

2、⽅法原理： 2.1雅克⽐迭代迭代思想：⾸先通过A b X =构造形如()x f x =的等式，然后给定⼀个初值(0)(0)(0)(0)12(,,)n x x x X = ，再通过(1)()()k k f +X =X 进⾏迭代。

step1 ：对（1）相应第i ⾏中的i x ⽤其它元素表⽰为：11111121111122,12211111()()11()()11()()n nj j j j j j n ni i ij ji j j j i j i j iin nn n nj j n n nj j j j nn nn x b a x x b a x a a x b a x x b a x a a x b a x x b a x a a ===≠=-==?=-=+-??=-=+-??=-=+-∑∑∑∑∑∑即：()D b L U X =-+XStep 2 ：进⾏迭代(0)(0)(0)(0)12(1)11()(,,)()n k k x x x D b D L U +--?X =?X=-+X ? ，0,1,2k = ，取它的判断条件为()(1)k k -X -X ⼩于⼀个确定的误差值ε，跳出循环。

华南理工大学数值分析教学内容及复习提纲

华南理工大学数值分析教学内容及复习提纲全日制硕士生“数值分析”教学内容与基本要求一、教学重点内容及其要求（一）引论1、误差的基本概念理解截断误差、舍入误差、绝对（相对）误差和误差限、有效数字、算法的数值稳定性等基本概念。

2、数值算法设计若干原则掌握数值计算中应遵循的几个原则：简化计算步骤以节省计算量（秦九韶算法），减少有效数字的损失选择数值稳定的算（避免相近数相减），法。

重点：算法构造（如多项式计算）、数值稳定性判断（舍入误差的分析）（二）插值方法1、插值问题的提法理解插值问题的基本概念、插值多项式的存在唯一性。

2、Lagrange插值熟悉Lagrange插值公式（线性插值、抛物插值、n次Lagrange 插值），掌握其余项表达式（及各种插值余项表达式形式上的规律性）。

3、Newton插值熟悉Newton插值公式，了解其余项公式，会利用均差表和均差的性质计算均差。

4、Hermite插值掌握两点三次Hermite插值及其余项表达式，会利用承袭性方法构造非标准Hermite插值。

5、分段线性插值知道Runge现象，了解分段插值的概念，掌握分段线性插值（分段表达式）。

6、三次样条函数与三次样条插值概念了解三次样条函数与三次样条插值的定义。

重点：多项式插值问题（唯一性保证、构造、误差余项估计）（三）曲线拟合与函数逼近1、正交多项式掌握函数正交和正交多项式的概念（函数内积、2-范数、权函数，正交函数序列，正交多项式），了解Legendre多项式（授课时，将其放在课高斯型数值积分这部分介绍）。

2、曲线拟合的最小二乘法熟练掌握曲线拟合最小二乘法的原理和解法（只要求线性最小二乘拟合），会求超定方程组的最小二乘解（见教材P103）。

3、连续函数的最佳平方逼近了解最佳平方逼近函数的概念，掌握最佳平方逼近多项式的求法（从法方程出发）。

重点：最小二乘拟合法方程的推导、求解；拟合与插值问题的异同。

（四）数值微积分1、数值求积的基本思想、插值型求积公式与代数精度掌握插值型求积公式（系数表达式），理解代数精度概念，会利用代数精度构造求积公式。

sor迭代法matlab

sor迭代法matlabSOR迭代法（Successive Over-Relaxation）是一种用于求解线性方程组的迭代算法，在MATLAB中有广泛的应用。

它广泛应用于科学计算、工程技术等领域，被用于求解各种复杂的数学模型和物理问题。

我们需要了解什么是线性方程组。

线性方程组是由一系列线性方程组成的方程组，其中每个方程都是关于未知数的一次多项式。

线性方程组的求解是求解未知数的一组值，使得所有方程都成立。

解线性方程组的传统方法有高斯消元法和LU分解法等，但这些方法的计算量较大，尤其是对于大规模的线性方程组，计算效率较低。

而SOR迭代法通过将线性方程组转化为递推形式，通过不断迭代逼近解，从而提高了计算效率。

SOR迭代法的基本思想是通过使用逐点松弛因子来迭代求解线性方程组。

逐点松弛因子是指在每次迭代中，对于每个未知数，根据当前已知的其他未知数的值进行修正。

这种逐点松弛的策略可以加快迭代收敛速度。

在MATLAB中，实现SOR迭代法的过程如下：1. 首先，给定一个初始解向量x0，并初始化迭代次数k和松弛因子ω。

2. 对于每个未知数xi，使用如下公式进行迭代更新：xi(k+1) = (1-ω)xi(k) + (ω/aii)(bi - Σ(aijxj(k)), j≠i)其中，aii表示系数矩阵A中第i行第i列的元素，bi表示等式右侧的常数项。

3. 重复步骤2，直到满足收敛条件为止。

一般来说，可以设置一个收敛判据，比如设定一个误差阈值，当两次迭代之间的误差小于该阈值时，迭代停止。

4. 返回最终的解向量x(k)。

需要注意的是，SOR迭代法的收敛性与松弛因子ω的选择有关。

一般来说，如果松弛因子取值在(0,1)之间，则迭代过程是收敛的。

当松弛因子取值为1时，SOR迭代法等价于高斯-赛德尔迭代法。

在实际应用中，选择合适的松弛因子是非常重要的。

如果选择的松弛因子过小，收敛速度会很慢；而如果选择的松弛因子过大，迭代可能会发散。

sor迭代法

sor迭代法Sor迭代法是一种求解线性方程组的算法，它是Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的改进。

在本文中，我们将深入探讨Sor迭代法的原理、优缺点以及应用。

一、原理1.1 Sor迭代法的基本思想Sor迭代法是通过对Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法进行改进得到的。

其基本思想是在Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代中引入一个松弛因子，使得每次更新后的值更接近于真实解。

1.2 Sor迭代公式Sor迭代公式如下：$x^{(k+1)}_i=(1-\omega)x^{(k)}_i+\frac{\omega}{a_{ii}}\left(b_i-\sum_{j=1,j\neq i}^n a_{ij}x^{(k+1)}_j\right)$其中，$x^{(k+1)}_i$表示第$k+1$次迭代中第$i$个未知数的值；$x^{(k)}_i$表示第$k$次迭代中第$i$个未知数的值；$\omega$为松弛因子；$a_{ii}$为系数矩阵中第$i$行第$i$列元素；$\sum_{j=1,j\neq i}^n a_{ij}x^{(k+1)}_j$表示第$k+1$次迭代中除第$i$个未知数外的其他未知数的值的和；$b_i$为方程组中第$i$个方程的常数项。

1.3 松弛因子松弛因子$\omega$是Sor迭代法中一个重要的参数，它控制了每次迭代后更新值与真实解之间的距离。

一般情况下，松弛因子取值在0和2之间。

当$\omega=1$时，Sor迭代法退化成Gauss-Seidel迭代法；当$\omega=0$时，Sor迭代法退化成Jacobi迭代法。

二、优缺点2.1 优点（1）收敛速度快：相比于Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法，Sor迭代法具有更快的收敛速度。

（2）适用范围广：Sor迭代法适用于大多数线性方程组求解问题，并且不需要对系数矩阵做任何特殊处理。

2.2 缺点（1）松弛因子需要调整：松弛因子是影响Sor迭代法收敛速度和精度的关键参数，因此需要通过试验或经验来确定最优值。

数值分析思考题6

数值分析思考题61、数值计算中迭代法与直接法的区别是什么（1）直接法是指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算求得方程组的精确解的方法。

直接法又称为精确法。

（2）迭代法是采取逐次逼近的方法，即从一个初始向量出发，按照一定的计算格式，构造一个向量的无穷序列，其极限才是方程组的精确解，只经过有限次运算得不得精确解。

迭代法是一种逐次逼近的方法,与直接法比较, 具有程序简单,存储量小的优点。

2、详述你所知道的线性方程组的迭代法的收敛性定理。

迭代公式收敛的充分必要条件是假设矩阵M的谱半径，可知的充分必要条件是。

迭代公式和,收敛。

严格对角占优线性方程组Ax=b（其中，）的Jacobi 迭代公式，收敛。

Gauss-Seidel迭代公式，收敛。

3、详述你所知道的非线性方程（组）的迭代法以及收敛性结果。

（1）不动点迭代法：不一定收敛，若存在常数L<1，使得,则收敛于x*。

（2）斯蒂芬森迭代法：若不动点迭代公式的迭代函数在不动点x*的某邻域内具有二阶连续导数，且，则二阶收敛，极限是x*。

（3）牛顿迭代法：收敛4、举例说明解线性方程组的SOR 方法的最佳松弛因子与何种因素有关解线性方程组的SOR 方法的最佳松弛因子与迭代矩阵的谱半径有关，是单峰关系。

经实验，当谱半径是时，松弛因子是。

5、指出解非线性方程组的Newton 法的主要工作量所在。

分别用Newton 法和Broyden 秩1校正方法求解如下方程组在()1,1,1T点附近的根：2123212332312470,10110,1080.x x x x x x x x ⎧---=⎪+--=⎨⎪+-=⎩解非线性方程组的Newton 法的主要工作量在于求解。

牛顿解：，，Broyden 秩1校正方法：，，。

实验目的：了解SOR法迭代矩阵谱半径和迭代参数的关系

数值实验一实验目的：了解SOR法迭代矩阵谱半径和迭代参数的关系。

实验内容：10.50010.50.501A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，画出SOR迭代谱半径和ϖ之间的曲线，并据此分析ϖ的收敛范围及ϖ取何值时，迭代法收敛速递最快。

实验原理：逐次超松弛迭代法（SOR法）是Gauss-Seidel法的一种加速方法，SOR法的公式为：其中，方程组收敛的充要条件是：ρ（Lω）<1引进超松弛迭代法的思想在于希望能选择松弛因子使得迭代方程式收敛速度较快，即需选择因子使得对称正定阵迭代收敛必要条件为0<ϖ<2，而本实验中矩阵并非对称正定阵，故将此范围扩大至-1<ϖ<3，求解分析过程如下：以下为MATLAB程序：P=zeros(1,4001); %构造用来储存谱半径的行向量A=[1 0.5 0;0 1 0.5;0.5 0 1];%建立矩阵AD=diag(diag(A)); %求对角矩阵DU=-triu(A,1);%求上三角矩阵UL=-tril(A,-1);%求下三角矩阵Ln=0;for w=-1:0.001:3;n=n+1;B=(inv(D-w*L))*((1-w)*D+w*U);P(1,n)=max(abs(eig(B)));endw=-1:0.001:3;plot(w,P);xlabel('\omega');ylabel('\rho(L_\omega)'); %画出谱半径随松弛因子变化图title('谱半径与松弛因子的变化关系图');k=find(P==min(P)); %寻找最小谱半径wmin=w(k); %最小谱半径对应之因子ϖdisp(min(P)); %输出最小谱半径数值disp(wmin); %输出对应因子ϖ值实验图形：实验结论：由上图分析可知当0<ϖ<1.5时，谱半径ρ（Lω）<1，此时方程组迭代收敛经计算可知当ϖ=0.3381时，谱半径ρ（Lω）=0.9410，此时迭代速度最快。

matlabsor迭代法求解方程

一、概述Matlab是一种常用的数学软件，其sor迭代法是解决线性方程组的常用方法之一。

本文将介绍Matlab中利用sor迭代法求解方程的方法以及其应用。

二、sor迭代法简介1. sor迭代法是一种求解线性方程组的数值方法，其基本思想是利用矩阵的分解和迭代逼近的方式求解方程组。

2. sor迭代法是Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的一种改进，能够加快收敛速度。

3. 对于给定的线性方程组Ax=b，sor迭代法的迭代公式为：x(k+1) = (1-w)x(k) + (w/D)(b-Lx(k+1)-Ux(k))其中，w为松弛因子，D为对角矩阵，L为下三角矩阵，U为上三角矩阵。

4. sor迭代法的收敛条件是矩阵A严格对角占优。

三、Matlab中sor迭代法的实现1. 在Matlab中，可以利用sor函数实现sor迭代法求解方程。

2. sor函数的调用格式为：[x,flag,relres,iter,resvec] =sor(A,b,w,tol,maxit)其中，A为系数矩阵，b为右端向量，w为松弛因子，tol为容许误差，maxit为最大迭代次数。

3. sor函数返回求解的近似解x，求解的标志flag，残差relres，迭代次数iter和残差向量resvec。

四、sor迭代法的应用示例1. 示例一：求解5x5线性方程组给定线性方程组Ax=b，其中：A = [4 -1 0 0 0; -1 4 -1 0 0; 0 -1 4 -1 0; 0 0 -1 4 -1; 0 0 0 -1 4] b = [10; 10; 10; 10; 10]利用Matlab的sor函数求解该线性方程组，设置松弛因子w=1.2，容许误差tol=1e-6，最大迭代次数maxit=100。

调用sor函数，得到近似解x，收敛标志flag，残差relres，迭代次数iter和残差向量resvec。

2. 示例二：求解100x100线性方程组给定100x100线性方程组Ax=b，利用sor迭代法求解并比较其结果与精确解的误差。

谱半径的定义

谱半径的定义谱半径是矩阵谱的一个重要性质，用于刻画矩阵的特征值分布情况。

在线性代数和矩阵论中，谱半径是一个常用的概念，它可以帮助我们理解和分析线性系统的稳定性、收敛性以及其他一些重要性质。

首先，我们来定义谱半径。

给定一个n阶方阵A，它的特征值集合为{λ1, λ2, ..., λn}。

那么矩阵A的谱半径定义为特征值集合中绝对值最大的特征值，即max{|λ1|, |λ2|, ..., |λn|}。

用符号ρ(A)表示矩阵A的谱半径。

谱半径的定义可以帮助我们判断矩阵的稳定性。

如果矩阵A的谱半径小于1，即ρ(A) < 1，那么矩阵A是稳定的；如果矩阵A的谱半径大于1，即ρ(A) > 1，那么矩阵A是不稳定的。

这是因为矩阵的特征值与矩阵的稳定性有着密切的关系，特征值越小，矩阵越稳定；特征值越大，矩阵越不稳定。

除了稳定性之外，谱半径还可以用于判断矩阵的收敛性。

在迭代算法中，比如迭代法求解线性方程组、迭代法求解特征值等，我们常常需要判断迭代过程是否收敛。

如果矩阵A的谱半径小于1，即ρ(A) < 1，那么迭代过程是收敛的；如果矩阵A的谱半径大于1，即ρ(A) > 1，那么迭代过程是发散的。

这是因为迭代过程的收敛性与矩阵的特征值有关，特征值越小，迭代过程越容易收敛；特征值越大，迭代过程越容易发散。

谱半径还可以用于判断矩阵的正定性和半正定性。

如果一个对称矩阵A的谱半径大于0，即ρ(A) > 0，并且所有特征值都大于等于0，则矩阵A是半正定的；如果一个对称矩阵A的谱半径大于0，并且所有特征值都大于0，则矩阵A是正定的。

这是因为对称矩阵的特征值与正定性和半正定性有着密切的关系，特征值大于等于0表示半正定性，特征值大于0表示正定性。

除了上述应用之外，谱半径还可以用于刻画矩阵的条件数。

条件数是衡量一个问题在输入扰动下的敏感程度，而谱半径可以作为条件数的一个上界。

具体来说，给定一个n阶方阵A和它的逆矩阵A^-1，那么条件数可以定义为：cond(A) = ||A|| * ||A^-1||，其中||A||表示矩阵A的范数。

SOR法

实验报告课程名称：__________计算方法___________指导老师：__许诺、徐政________成绩：__________________ 实验名称：__SOR 法解方程组___实验类型：________________同组学生姓名：__________一、实验目的和要求（必填）二、实验内容和原理（必填）三、主要仪器设备（必填）四、操作方法和实验步骤五、实验数据记录和处理六、实验结果与分析（必填）七、讨论、心得一、实验目的1．学习Matlab 编程语言，熟练Matlab 软件的使用2．深入理解和掌握SOR 迭代法解方程组的原理二、实验原理在SOR 迭代法中，松弛因子w 的取值对迭代公式的收敛速度影响很大，利用Matlab 编程的方法可以直接观测不同w 值下，公式收敛速度上的差异。

三、实验内容用Matlab 软件编程，以SOR 迭代法解下列方程组问题 4x 1—x 2 =1， -x 1+4x 2—x 3=4， -x 2+4x 3=-3；求精度要求为r=5*10-6，松弛因子分别为w1=1.03 ,w2= 1,w3 =1.1时方程组的解及迭代次数四、Matlab 源程序function X=SOR(A,b,r,w1,w2,w3)%定义函数SOR(A,b,r,w1,w2,w3),含五个变量 A=input('请输入系数矩阵A ：');b=input('请输入b 矩阵b ：');r=input('请输入精度要求r ：');W （1）=input('请输入松弛因子w1：');W （2）=input('请输入松弛因子w2：');W （3）=input('请输入松弛因子w3：'); %依次分别显示六组提示n=length(A); %求矩阵的行数nfor p=1:3 % p 表示三个松弛因子的顺序X=zeros(1,n); %设定初始迭代向量for j=1:250 % 自行设定最大迭代次数为250次for i=1:nX(i)=X(i)+w(p)*(b(i)-A(i,:)*X')/A(i,i); %SOR 迭代公式专业：电气工程及其自动化姓名：陆校斌学号：3061001143日期：2008.3.29地点：寝室电脑装订线endfor i=1:nF(i)=w(p)*(b(i)-A(i,:)*X')/A(i,i); %F(i)为X(i)迭代前后之差endif max(abs(F))<r %判断F(i)最大值是否满足精度要求breakend %当满足精度要求时，结束判断语句enddisp('迭代次数为') %输出迭代次数jdisp('方程组之解为') %输出方程组的解Xend %结束程序五、程序测试请输入系数矩阵A：[4 -1 0;-1 4 -1;0 -1 4]请输入b矩阵b：[1; 4 ;-3]请输入精度要求r：5*10^(-6)请输入松弛因子w1：1.03请输入松弛因子w2：1请输入松弛因子w3：1.1迭代次数j =5方程组的解为X =0.5000 1.0000 -0.5000迭代次数j =6方程组的解为X =0.5000 1.0000 -0.5000迭代次数j =6方程组的解为X =0.5000 1.0000 -0.5000六、结果分析由测试结果可知，松弛因子w=w1=1.03时，迭代次数最少，只需5次；而松弛因子w为1或1.1时，迭代次数均为6次。

《高中数学解题课件——SOR算法》

通过一个实例演示，展示SOR算法在解决二元线性方程组时的应用和效果。
实例演示：SOR算法求矩ห้องสมุดไป่ตู้的特征值
通过一个实例演示，展示SOR算法在求解矩阵特征值时的应用和效果。
SOR算法在科学计算中的应用
SOR算法在科学计算中被广泛应用于求解各种复杂的数学方程和物理模型。
SOR算法在工程计算中的应用
SOR算法在工程计算中用于求解各种大规模的结构力学和流体力学问题。
3 可调节松弛因子
SOR算法的松弛因子可以根据问题的特性进行调整，提高求解效果。
SOR算法在高中数学中的应用
SOR算法用于解决高中数学中的线性方程组问题，帮助学生更好地理解和应用数学知识。
实例演示：SOR算法解一元线性方程组
通过一个实例演示，展示SOR算法在解决一元线性方程组时的应用和效果。
实例演示：SOR算法解二元线性方程组
SOR算法的发展趋势
随着计算机技术和算法优化的发展，SOR算法在求解大规模问题和高性能计算中的应用前景非常广阔。
调优方法
可以通过选取适当的松弛因子和优化算法参数来提高收敛速度。
SOR算法的优化方法
可通过预处理、并行计算和加速技术等方法进一步优化SOR算法的求解效率和收敛速度。
SOR算法的特点和优点
1 高效求解
SOR算法在大规模线性方程组上具有高效的求解能力。
2 广泛应用
SOR算法在科学计算和工程领域广泛应用于求解各种复杂问题。
《高中数学解题课件—— SOR算法》
通过这个课件，我们将介绍SOR算法的原理、应用和优点，以及它在高中数学和科学计算中的重要性。
什么是SOR算法？
SOR（逐次超松弛）算法是一种迭代求解线性方程组的方法，用于在科学计算中高效解决大规模线性方程组的问题。

SOR迭代法

SOR迭代法常以这种形式进行计算。
格式（3.4）的矩阵形式为
X (k1) (1 ) X k D1 b LX k UX (k) ,
3.5
其中
a11
D
a22
O
0
0
,
ann
0 a12 L
U
0O
O
0
a1n
an1,n
0
显然，A D L U.
0
0
L
a21
O
OO
上述定理说明，对于任何系数矩阵 A，若要 SOR
法收敛，必须选取松弛因子 0,2 ，然而，当松
弛因子满足条件 0 2 时，并不是对所有系数矩阵 A 来说，SOR 法都是收敛的。但是，对一些特殊矩阵来说，这一条件是充分的。
定理7 如果矩阵 A 是对称正定的，则 SOR 法对于0 2 是收敛的。
ω
0.6 0.8 1 1.1 1.15 1.25 1.3 1.5 1.8
迭代次数 16 10 8 7 8 11 15 15 15
近似解与 5 5 5 5 5 5 5 4 1 准确解重复合位数
使 SOR 法收敛最快的松弛因子通常称为最优松
弛因子。目前，只有少数特殊类型的矩阵，才有确定的最优松弛因子的理论公式，但实际使用时也有一定困难。通常的办法，是选不同的进行试算，以确定
其 Gauss Seidel 迭代格式可写为 (aii 0) ：
x(k1) i
x(k) i
1 aii
bi
a x(k1) i1 1
L
a x(k1) i,i1, i1
aii xi(k)
L
ain xn(k)
x(k) i