了解SOR法迭代矩阵谱半径和迭代参数的关系

实验目的：了解SOR 法迭代矩阵谱半径和迭代参数的关系

实验内容：10.50010.50.501A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

，画出求Ax b =的SOR 迭代谱半径和ω之间的曲线，分析一下ω取何值时收敛速度最快（ω取1~3-）。

实验结果：

SOR 方法迭代公式为

(1)().k k x L x f ω+=+

其中

11([(1))],).(L D b L D U f D L ωωωωωω--+=-=--

使迭代过程收敛较快，应选择因子ω使)(min L ωω

ρ=.

采用Matlab 编程求出)(L ωρ的最小值为0.3381，此时的ω值为0.9410.

ωρ(L ω)

图1 )(L ωρω-对应关系曲线

另外，还可以看出，ω在(0,1.5)区间上，谱半径1()L ωρ<，迭代收敛。

[Matlab 程序]

A =[1 0.5 0;0 1 0.5;0.5 0 1];

D =[1 0 0;0 1 0;0 0 1];

L =[0 0 0;0 0 0;-0.5 0 0];

U =[0 -0.5 0;0 0 -0.5;0 0 0];

p=zeros(1,4001);

n=1;

for w=-1:0.001:3

Lw=(D-w*L)\((1-w)*D+w*U); p(n)=vrho(Lw);

n=n+1;

end

w=-1:0.001:3;

plot(w,p);

xlabel('\omega');

ylabel('\rho(L_\omega)');

k=find(p==min(p));

wmin=w(k);