2014全国卷(理科数学)精准解析
函数应用问题-学会解题之高三数学多题一解【解析版】
函数应用问题【高考地位】应用题是指利用数学知识解决一些非数学领域中的问题，在近几年全国各地高考中经常出现。
数学的高度抽象性决定了数学应用的广泛性，因而应用题的非数学背景是多种多样的，解应用题往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的有关问题，并舍弃与数学无关的非本质因素，通过抽象转化成相应的数学问题，或许正是这个原因让学生比较惧怕数学应用题。
在高考中要处理好函数应用题，学会数学建模分析的步骤和掌握数学建模的具体方法是关键.方法 解函数应用题的一般步骤万能模板 内 容使用场景 函数的实际应用问题解题模板第一步 审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步 建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步 解模——求解数学模型，得到数学结论；第四步 还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步 反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.例1.已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品x 千件()025x <≤并全部销售完，每千件的销售收入为()R x 万元，且()21108,(010)3{ 17557,(1025)x x R x x x x-<≤=-++<≤.⑴ 写出年利润()f x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；⑴ 当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？（注：年利润＝年销售收入-年总成本）.【答案】(1)详见解析;(2) 9千件.【解析】第一步，审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；某公司的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品x 千件()025x <≤并全部销售完，每千件的销售收入为()R x 万元，且()21108,(010)3{ 17557,(1025)x x R x x x x-<≤=-++<≤. 第二步，建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 当010x <≤时，第三步，解模——求解数学模型，得到数学结论；第四步，还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步，反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.考点：1、函数的解析式及定义域；2、函数的单调性．【点评】(1)由年利润＝年销售收入-年总成本，结合()R x ，即可得到所求()f x 的解析式；(2)由()1的解析式，我们求出各段上的最大值，即利润的最大值，然后根据分段函数的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到结果。
高考解析几何命题解读及精准备考(共32张PPT)
4c2 ，整理得 4c2 5ac a2
0，
即 4e2 5e 1 0 ，解得 e 1 或 e 1 （舍去）.故选 D. 4
直线方程的联立求交点坐标，将图形关系转化 为代数计算，突出解析几何中的解析两字
双曲线常见结论
椭圆常见结论
不要求全部都记，记住也不太现实要求学生会证明，记住一些常见的
文理相近姊妹题
考题研究
文20
利用焦点弦可以简化大部分运算
考题研究
1)圆锥曲线的解答题侧重椭圆、抛物线与直线位置关系的判断 及最值与范围的研究，定值定点问题探究；
2)直线的倾斜角，斜率及其直线方程的选择，圆的方程及几何 性质；
3)结合几何图形的性质与特征，圆锥曲线的定义求圆锥曲线的 轨迹；
考题研究
即 a 2, c 1b 3 ，所以点 E 的轨迹方程为： x2 y2 1 . 43
第1问学生要根据平面几何的知识，使数形结合的思想得以 体现，同时也考查了椭圆的定义.
（II）当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 方程为 x 1 ， MN 3 ， PQ 8 ，此时四边形 MPNQ 面积为12 ； 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y k(x 1) ，与椭圆 x2 y2 1 联立得：
解析几何的定义是用代数的方法解决几何问题。首先这是几何问题， 涉及初中平面几何知识，平行全等相似各种图形性质，其次它又常 常用到其他的方法——解三角形、平面向量、函数导数最值、不等 式、方程，在坐标系中，点有坐标线有方程各类数据计算有公式， 这一部分也既是各类知识的交汇点，也是思想方法的集合地——函 数方程思想、数形结合思想、化归转化思想等，近几年常考常新的 标准方程、离心率、最值范围、距离、面积、角；轨迹问题、定点、 定值以及其他各种图形方程关系式的转化（数形结合思想与转化划 归思想的应用），我们在教学中应该引导学生对相关知识点进行分 析，找到他们之间的联系。将一些零散的几何知识形成相应的系统 性，这样能够在应用时更加娴熟，达到牵一发动全身的效果。
2014新课标全国卷Ⅱ(理科数学)精准解析
2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ(理科数学)1．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] 设集合M ＝{0，1，2}，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，则M ∩N ＝( )A ．{1}B ．{2}C ．{0，1}D ．{1，2}1．D [解析] 集合N ＝[1，2]，故M ∩N ＝{1，2}． 2．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] 设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( ) A ．－5 B ．5 C ．－4＋i D ．－4－i2．A [解析] 由题知z 2＝－2＋i ，所以z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5. 3．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] 设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．53．A [解析] 由已知得|a ＋b |2＝10，|a －b |2＝6，两式相减，得4a ·b ＝4，所以a ·b ＝1.4．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] 钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．14．B [解析] 根据三角形面积公式，得12BA ·BC ·sin B ＝12，即12×1×2×sin B ＝12，得sin B ＝22，其中C <A .若B 为锐角，则B ＝π4，所以AC ＝1＋2－2×1×2×22＝1＝AB ，易知A 为直角，此时△ABC 为直角三角形，所以B 为钝角，即B ＝3π4，所以AC ＝1＋2－2×1×2×⎝⎛⎭⎫－22＝ 5.5．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.455．A [解析] 设“第一天空气质量为优良”为事件A ，“第二天空气质量为优良”为事件B ，则P (A )＝0.75，P (AB )＝0.6，由题知要求的是在事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，根据条件概率公式得P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝0.60.75＝0.8. 6．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] 如图11，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727B.59C.1027D.136．C [解析] 该零件是一个由两个圆柱组成的组合体，其体积为π×32×2＋π×22×4＝34π(cm 3)，原毛坯的体积为π×32×6＝54π(cm 3)，切削掉部分的体积为54π－34π＝20π(cm 3)，故所求的比值为20π54π＝1027.7．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] 执行如图12所示的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．77．D [解析] 逐次计算，可得M ＝2，S ＝5，k ＝2；M ＝2，S ＝7，k ＝3，此时输出S ＝7. 8．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] 设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．38．D [解析] y ′＝a －1x ＋1，根据已知得，当x ＝0时，y ′＝2，代入解得a ＝3.9．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．29．B [解析] 已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A (5，2)10．、[2014高考真题·F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334B.938C.6332D.9410．D [解析] 抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫34，0，则过点F 且倾斜角为30°的直线方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34，即x ＝3y ＋34，代入抛物线方程得y 2－3 3y －94＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝3 3，y 1y 2＝－94，则S △OAB ＝12|OF ||y 1－y 2|＝12×34×（33）2－4×⎝⎛⎭⎫－94＝94. 11．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] 直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A.110B.25C.3010D.2211．C [解析] 如图，E 为BC 的中点．由于M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，故MN ∥B 1C 1且MN ＝12B 1C 1，故MN 綊BE ，所以四边形MNEB 为平行四边形，所以EN 綊BM ，所以直线AN ，NE 所成的角即为直线BM ，AN所成的角．设BC ＝1，则B 1M ＝12B 1A 1＝22，所以MB ＝1＋12＝62＝NE ，AN ＝AE ＝52，在△ANE 中，根据余弦定理得cos ∠ANE ＝64＋54－542×6×5＝3010.12．、[2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] 设函数f (x )＝3sin m，若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2＜m 2，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)12．C [解析] 函数f (x )的极值点满足πx m ＝π2＋k π，即x ＝m ⎝⎛⎭⎫k ＋12，k ∈Z ，且极值为±3，问题等价于存在k 0使之满足不等式m 2⎝⎛⎭⎫k 0＋122＋3<m 2.因为⎝⎛⎭⎫k ＋122的最小值为14，所以只要14m 2＋3<m 2成立即可，即m 2>4，解得m >2或m <－2，故m 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．13． [2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] (x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________．(用数字填写答案)13.12[解析] 展开式中x 7的系数为C 310a 3＝15， 即a 3＝18，解得a ＝12.14．、[2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________． 14．1 [解析] 函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin x ，故其最大值为1.15．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] 已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0，若f (x －1)＞0，则x 的取值范围是________．15．(－1，3) [解析] 根据偶函数的性质，易知f (x )>0的解集为(－2，2)，若f (x －1)>0，则－2<x －1<2，解得－1<x <3.16．、[2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] 设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．16．[－1，1] [解析] 在△OMN 中，OM ＝1＋x 20≥1＝ON ，所以设∠ONM ＝α，则45°≤α<135°.根据正弦定理得1＋x 20sin α＝1sin 45°，所以1＋x 20＝2sin α∈[1，2]，所以0≤x 20≤1，即－1≤x 0≤1，故符合条件的x 0的取值范围为[－1，1]．17．、、[2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.17．解：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫a n ＋12. 又a 1＋12＝32，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列，所以a n ＋12＝3n2，因此数列{a n }的通项公式为a n ＝3n－12.(2)证明：由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n 1，即1a n ＝23n－1≤13n 1. 于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝⎛⎭⎫1－13n <32. 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.18．、[2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] 如图13，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设二面角DAEC 为60°，AP ＝118．解：(1)证明：连接BD 交AC 于点O ，连接EO . 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点． 又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB . 因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， 所以PB ∥平面AEC .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形， 所以AB ，AD ，AP 两两垂直． 如图，以A 为坐标原点，，AD ，AP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，||为单位长，建立空间直角坐标系Axyz ，则D ()0，3，0，E ⎝⎛⎭⎫0，32，12，＝⎝⎛⎭⎫0，32，12.设B (m ，0，0)(m >0)，则C (m ，3，设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACE 则即⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，可取n 1＝⎝⎛⎭⎫3m ，－1，3.又n 2＝(1，0，0)为平面DAE 的法向量，由题设易知|cos 〈n 1，n 2〉|＝12，即33＋4m 2＝12，解得m ＝32. 因为E 为PD 的中点，所以三棱锥EACD 的高为12.三棱锥EACD 的体积V ＝13×12×3×32×12＝38.19．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] 某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数(1)求(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ＝，＝－.19．解：(1)由所给数据计算得＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，＝17(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，(t i －)(y i －)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，＝＝1428＝0.5，＝－＝4.3－0.5×4＝2.3， 所求回归方程为＝0.5t ＋2.3.(2)由(1)知，＝0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t ＝9，代入(1)中的回归方程，得＝0.5×9＋2.3＝6.8， 故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．20．、、[2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] 设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝ 5|F 1N |，求a ，b .20．解：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，2b 2＝3ac . 将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意知，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0，2)是线段MF 1的中点，故b2a＝4，即b 2＝4a .① 由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a＝1，解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.21．、[2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f (x )＝e x －e －x －2x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)设g (x )＝f (2x )－4bf (x )，当x ＞0时，g (x )＞0，求b 的最大值； (3)已知1.414 2＜2＜1.414 3，估计ln 2的近似值(精确到0.001)．21．解：(1)f ′(x )＝e x ＋e －x －2≥0，当且仅当x ＝0时，等号成立， 所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．(2)g (x )＝f (2x )－4bf (x )＝e 2x －e －2x －4b (e x －e －x )＋(8b －4)x ，g ′(x )＝2[e 2x ＋e －2x －2b (e x ＋e －x )＋(4b －2)]＝2(e x ＋e －x －2)(e x ＋e －x －2b ＋2)．(i)当b ≤2时，g ′(x )≥0，等号仅当x ＝0时成立，所以g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．而g (0)＝0，所以对任意x >0，g (x )>0.(ii)当b >2时，若x 满足2<e x ＋e －x <2b －2，即0<x <ln(b －1＋b 2－2b )时，g ′(x )<0.而g (0)＝0，因此当0<x <ln(b－1＋b 2－2b )时，g (x )<0.综上，b 的最大值为2.(3)由(2)知，g (ln 2)＝32－22b ＋2(2b －1)ln 2.当b ＝2时，g (ln 2)＝32－42＋6ln 2>0，ln 2>82－312>0.692 8；当b ＝324＋1时，ln(b －1＋b 2－2b )＝ln 2，g (ln 2)＝－32－22＋(32＋2)ln 2<0，ln 2<18＋228<0.693 4.所以ln 2的近似值为0.693. 22．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] 选修41：几何证明选讲如图14，P 是⊙O 外一点，P A 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B ，C ，PC ＝2P A ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E ，证明：(1)BE ＝EC ； (2)AD ·DE ＝2PB 2.22．证明：(1)连接AB ，AC .由题设知P A ＝PD ， 故∠P AD ＝∠PDA .因为∠PDA ＝∠DAC ＋∠DCA ， ∠P AD ＝∠BAD ＋∠P AB ， ∠DCA ＝∠P AB ，所以∠DAC ＝∠BAD ，从而BE ＝EC . 因此BE ＝EC .(2)由切割线定理得P A 2＝PB ·PC .因为P A ＝PD ＝DC ，所以DC ＝2PB ，BD ＝PB . 由相交弦定理得AD ·DE ＝BD ·DC ，所以AD ·DE ＝2PB 2. 23．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] 选修44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．23．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)． 可得C 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t ，(t 为参数，0≤t ≤π)． (2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝⎛⎭⎫32，32.24．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅱ] 选修45：不等式选讲设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a ＞0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)＜5，求a 的取值范围．24．解：(1)证明：由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪x ＋1a －（x －a ）＝1a＋a ≥2，所以f (x )≥2. (2)f (3)＝⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |. 当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5得1＋52<a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.。
2014年高考理科数学全国卷2(含答案解析)
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷2）理科数学使用地区：海南、宁夏、黑龙江、吉林、新疆、云南、内蒙古、青海、贵州、甘肃、西藏注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|(1)4,}M x x x =-<∈R ,{1,0,1,2,3}N =-,则MN = ( )A .{0,1,2}B .{1,0,1,2}-C .{1,0,2,3}-D .{0,1,2,3} 2.设复数z 满足(1i)2i z -=,则z =( )A .1i -+B .1i --C .1i +D .1i -3.等比数列{}n a 的前n 项和为n S .已知32110S a a =+,59a =,则1a =( )A .13B .13-C .19D .19-4.已知m ,n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β.直线l 满足l m ⊥,l ⊥n ,l α⊄,l β⊄,则( )A .αβ∥且l α∥B .αβ∥且l β⊥C .α与β相交,且交线垂直于lD .α与β相交,且交线平行于l5.已知5(1)(1)ax x ++的展开式中的2x 的系数为5,则a = ( )A .4-B .3-C .2-D .1-6.执行如图的程序框图,如果输入的10N =,则输出的S = ( ) A .11112310++++B .11112!310++++！！C .11112311++++ D .11112311++++！！！7.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为( )8.设3log 6a =,5log 10b =,7log 14c =,则( )A .c b a >>B .b a c >>C .a c b >>D .a b c >>9.已知0a >,x ,y 满足约束条件1,3,(3).x x y y a x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥若2z x y =+的最小值为1,则a = ( )A .14B .12C .1D .210.已知函数32()f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是( )A .0x ∃∈R ,0()0f x =B .函数()y f x =的图象是中心对称图形C .若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减D .若0x 是()f x 的极值点,则0()0f x '=11.设抛物线C :22(0)y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,||5MF =.若以MF 为直径的圆过点(0,2),则C 的方程为( )A .24y x =或28y x =B .22y x =或28y x =C .24y x =或216y x = D .22y x =或216y x =12.已知点(1,0)A -,(1,0)B ,(0,1)C ,直线(0)y ax b a =+>将ABC △分割为面积相等的两部分,则b 的取值范围是( )A .(0,1)B .21(1,)22-C .21(1,]23-D .11[,)32第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD =________. 14.从n 个正整数1,2,,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为114,则n =________.15.设θ为第二象限角,若π1tan()42θ+=,则sin cos θθ+=________. 16.等差数列{}n a 的前n 项和为n S .已知100S =,1525S =,则n nS 的最小值为________.三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）ABC △在内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知cos sin a b C c B =+.（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2b =,求ABC △面积的最大值. 18.（本小题满分12分） --------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________如图,直棱柱111ABC A B C -中,D ,E 分别是AB ,1BB 的中点,122AA AC CB AB ===. （Ⅰ）证明：1BC ∥平面1A CD ； （Ⅱ）求二面角1D AC E --的正弦值.19.（本小题满分12分）经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t 该产品获利润500元,未售出的产品,每1t 亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品.以X (单位：t ,100150X ≤≤)表示下一个销售季度内的市场需求量,T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. （Ⅰ）将T 表示为X 的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率；（Ⅲ）在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量[100,110)X ∈,则取105X =,且105X =的概率等于需求量落入[100,110)的频率),利润T 的数学期望.20.（本小题满分12分）平面直角坐标系xOy 中,过椭圆M :22221(0)x y a b a b+=>>右焦点的直线30x y +-=交M 于A ,B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12.（Ⅰ）求M 的方程；（Ⅱ）C ,D 为M 上的两点,若四边形ABCD 的对角线CD AD ⊥,求四边形ABCD 面积的最大值.21.（本小题满分12分）已知函数()e ln()xf x x m =-+.（Ⅰ）设0x =是()f x 的极值点,求m ,并讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）当2m ≤时,证明:()0f x >.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做，则按做的第一题积分.作答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲如图,CD 为ABC △外接圆的切线,AB 的延长线交直线CD 于点D ,E ,F 分别为弦AB 与弦AC 上的点,且BC AE DC AF =,B ,E ,F ,C 四点共圆.（Ⅰ）证明：CA 是ABC △外接圆的直径；（Ⅱ）若DB BE EA ==,求过B ,E ,F ,C 四点的圆的面积与ABC △外接圆面积的比值.23.（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程已知动点P ,Q 都在曲线C ：2cos ,2sin x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）上,对应参数分别为=t α与=2t α(02π)α<<,M 为PQ 的中点.（Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程；（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点.24.（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲设a ,b ,c 均为正数,且1a b c ++=.证明： （Ⅰ）13ab bc ca ++≤；（Ⅱ）2221a b c b c a++≥.2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷2）理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】解不等式2(14)x -<，得13x <<-，即|13{}M x x =<<-，而1,0,1,,3{}2N =-，所以0,}2{1,M N =，故选A ．【提示】求出集合M 中不等式的解集，确定出M ，找出M 与N 的公共元素，即可确定出两集合的交集．【考点】集合的基本运算（交集），解一元二次不等式． 2.【答案】A【解析】2i 2i 1i 22i 1i 1i 1i 21+i z (+)-+====-(-)(+)-． 【提示】根据所给的等式两边同时除以1i -，得到z 的表示式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到结果． 【考点】复数代数形式的四则运算． 3.【答案】C【解析】设数列{}n a 的公比为q ，若1q =，则由59a =，得19a =，此时327S =，而219+109a a =，不满足题意，因此1q ≠.∵1q ≠时，33111(1)1+10a S a a q q q --==，∴3+0111q qq =--，整理得29q =.（步骤1） ∵4519a a q ==，即1819a =，∴119a =．（步骤2） 【提示】设等比数列{}n a 的公比为q ，利用已知和等比数列的通项公式即可求出． 【考点】等比数列的通项和前n 项和． 4.【答案】D【解析】因为m α⊥，l m ⊥，l α⊄，所以l α∥．同理可得l β∥．又因为m ，n 为异面直线，所以α与β相交，且l 平行于它们的交线．故选D ．【提示】由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．【考点】直线与平面的位置关系． 5.【答案】D【解析】因为5(1+)x 的二项展开式的通项为5C 0)5(r rr r x ≤≤∈Z ，，则含x 2的项为221552C +C )0+5(1x ax x a x =，所以10+55a =，1a =-.【提示由题意利用二项展开式的通项公式求得展开式中2x 的系数为221552C +C )0+5(1x ax x a x =，由此解得a 的值．【考点】二项式定理 6.【答案】B【解析】由程序框图知，当1k =，0S =，1T =时，1T =，1S =；当2k =时，12T =，11+2S =； 当k =3时，123T =⨯，111+223S =+⨯；当k =4时，1234T =⨯⨯，1111+223234S =++⨯⨯⨯；；（步骤1）当k =10时，123410T =⨯⨯⨯⨯，1111+2!3!10!S =+++，k 增加1变为11，满足k N >，输出S ，所以B 正确．（步骤2）【提示】从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能． 【考点】循环结构的程序框图． 7.【答案】A【解析】如图所示，该四面体在空间直角坐标系O －xyz 的图象为下图：第7题图则它在平面zOx 上的投影即正视，故选A ．【提示】由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx 平面为投影面，则得到正视图即可． 【考点】空间直角坐标系，三视图． 8.【答案】D【解析】根据公式变形，lg6lg 21lg3lg3a ==+，lg10lg 21lg5lg5b ==+，lg14lg 21lg 7lg 7c ==+，因为lg 7lg 5g 3l >>，所以lg2lg2lg2lg7lg5lg3<<，即c b A <<．故选D ． 【提示】利用log ()log log (0)a a a xy x y x y =+>、，化简a ，b ，c 然后比较3log 2，5log 2，7log 2大小即可．【考点】对数函数的化简和大小的比较． 9.【答案】B【解析】由题意作出1,3x x y ≥⎧⎨+≤⎩所表示的区域如图阴影部分所示，作直线2+1x y =，因为直线2+1x y =与直线1x =的交点坐标为(1,)1-，结合题意知直线(3)y a x =-过点(1,)1-，代入得12a =，所以12a =．第9题图【提示】先根据约束条件画出可行域，设2z x y =+，再利用z 的几何意义求最值，只需求出直线2zx y=+过可行域内的点B 时，从而得到a 值即可． 【考点】二元线性规划求目标函数的最值．10.【答案】C【解析】由于2()32f x x ax b '=++是二次函数，()f x 有极小值点0x ，必定有一个极大值点1x ，若10x x <，则()f x 在区间0(,)x -∞上不单调递减，C 不正确．【提示】利用导数的运算法则得出()00f x '∆>∆≤，分与讨论，即可得出． 【考点】利用导数求函数的极值． 11.【答案】C【解析】设点M 的坐标为00(,)x y ，由抛物线的定义，得052|+MF x p ==|，则052x p =-．（步骤1）又点F 的坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以以MF 为直径的圆的方程为00+0()()2p x y x x y y ⎛⎫⎪-- ⎝⎭-=.（步骤2）将0x =，2y =代入得00+840px y -=，即02+2480y y -=，所以04y =. 由0202y px =，得16252p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解之得2p =，或8p =.（步骤3）所以C 的方程为24y x =或216y x =．故选C ．【提示】已知抛物线焦点到抛物线上点的线段的距离和以这条线段为直径的圆上的一点，求出抛物线的方程．【考点】抛物线的定义和抛物线的标准方程． 12.【答案】B【解析】根据题意画出图形，如图（1），由图可知，直线BC 的方程为1x y +=．由1,,x y y ax b +=⎧⎨=+⎩解得1,11b a b M a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭． 可求()0,N b ，,0b D a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．直线y ax b =+将△ABC 分割为面积相等的两部分，∴12S S =△△BDM ABC ．又12BOC ABC S S =△△，CMN ODN S S ∴=△△，即111(1)221b b b b a a -⎛⎫⨯-⨯=-⨯ ⎪+⎝⎭．整理得22(1)1b b a a -=+． 22(1)1b ab a-+∴=，11b ∴-=，11b =即b =，可以看出，当a 增大时，b 也增大．当a →+∞时，12b →，即12b <．当0a →时，直线+y ax b =接近于y b =．当y b =时，如图（2），2222(1)112CDM ABC S CN b S CO -===△△．1b ∴-1b =1b ∴>-． 由上分析可知1122b -<<，故选B ．第12题图（1） 第12题图（2）【提示】已知含有参数的直线将三角形分割为面积相等的两部分和点的坐标，求出参数的取值范围．【考点】函数单调性的综合应用．第Ⅱ卷二、填空题 13.【答案】2【解析】以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A 的坐标为(0,0)，点B 的坐标为(2,0)，点D 的坐标为(0,2)，点E 的坐标为(1,2)，则1(),2AE =，)2(2,BD =-，所以2AE BD =．第13题图【提示】结合几何的关系，求出向量的数量积． 【考点】平面向量的数量积运算． 14.【答案】8【解析】从1，2，…，n 中任取两个不同的数共有2C n 种取法，两数之和为5的有(1,4)，(2,3)2种，所以221C 14n =，即24111142n n n n ==(-)(-)，解得8n =.【提示】列出从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数的所有取法种数，求出和等于5的种数，根据取出的两数之和等于5的概率为114列式计算n 的值． 【考点】古典概型，排列组合的应用．15.【答案】 【解析】由π1tan 1tan 41tan 2θθθ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，得tan 13θ=-，即1s 3in cos θθ-=．（步骤1）将其代入22sin +cos 1θθ=，得210cos 19θ=．因为θ为第二象限角，所以10cos θ-=0in 1s θ=，sin +cos 5θθ=-．（步骤2）【提示】已知等式利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出tan θ的值，再根据θ为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出sin cos θθ与的值，即可求出sin cos θθ+的值．【考点】两角和与差的正切，同角三角函数的基本关系． 16.【答案】49-【解析】设数列{}n a 的首项为a 1，公差为d ，则110110910+210+450S a d d a =⨯==，① 1151151415215+10525a d a d S =⨯==+.②（步骤1） 联立①②，得13a =-，23d =，所以2(1)211032333n n n n n n S -=-+⨯=-．（步骤2）令()n f n nS =，则32110()33f n n n =-，220()3f n n n '=-．令()0f n '=，得0n =或203n =．（步骤3）当203n >时，()0f n '>，200<<3n 时，()0f n '<，所以当203n =时，()f n 取最小值，而n ∈N ＋，则(6)48f =-，(7)49f =-，所以当7n =时，()f n 取最小值－49.（步骤4）【提示】已知等差数列前10项和与前15项和，求出n 与前n 项和乘积的最小值． 【考点】等差数列的前n 项，利用导数求函数的最值． 三、解答题 17.【答案】（1）π4（2【解析】（1）由已知及正弦定理得sin sin cos +sin sin A B C C B =．①又()+A B C π=-，故sin sin +sin cos +co )s i (s n A B C B C B C ==．②由①，②和π()0,C ∈得sin cos B B =，即tan 1B =，又π()0,B ∈，所以π4B =．（步骤1） （2）△ABC的面积1sin 2S ac B ==． 由已知及余弦定理得22π2cos 44+ac a c =-．（步骤2）又22+2a c ac ≥，故ac ≤，当且仅当a c =时，等号成立．因此△ABC．（步骤3）【提示】（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，求出tan B 的值，由B 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B 的度数；（2）利用三角形的面积公式表示出三角形ABC 的面积，把sin B 的值代入，得到三角形面积最大即为ac 最大，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出ac 的最大值，即可得到面积的最大值．【考点】正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，两角和与差的正弦． 18.【答案】（1）连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点． 又D 是AB 中点，连结DF ，则1BC DF ∥．因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD ．（步骤1） （2）由AC CB AB ==，得AC BC ⊥ 以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz ．设2CA =，则()1,1,0D ，()0,2,1E ，12,()0,2A ，(1),1,0CD =，(0),2,1CE =，12,0,2()CA =． 设111,(),n x y z =是平面A 1CD 的法向量，则10,0,n CD n CA ⎧=⎪⎨=⎪⎩即1111+0,2+20.x y x z =⎧⎨=⎩ 可取1),(,11n =--．（步骤2）同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，则10,0,m CE m CA ⎧=⎪⎨=⎪⎩可取2,1(),2m =-．（步骤3）从而3cos ,3||||n m m n n m <>==，故6sin ,3m n <>= 即二面角D －A 1C －E ．（步骤4）第18题图（1）【提示】（1）通过证明1BC 平行平面1ACD 内的直线DF ，利用直线与平面平行的判定定理证明11BC ACD 平面∥ （2）．由AC CB AB ==，得AC BC ⊥以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz ．设2CA =，111,(),n x y z =是平面A 1CD 的法向量，同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，由3cos ,3||||n m m n n m <>==，故6sin ,3m n <>=【考点】直线与平面的判定，空间直角坐标系，空间向量及其运算．19.【答案】（1）80039000,100130,65000,130150.X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩ （2）0.7（3）59400【解析】（1）当100[),130X ∈时，50030013()080039000T X X X =--=-，当130[],150X ∈时，50013065000T =⨯=. 所以80039000,10013065000,130150X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩（步骤1）（2）由（1）知利润T 不少于57000元当且仅当120150X ≤≤.由直方图知需求量120[],150X ∈的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7（步骤2）（3所以450000.1+530000.2+610000.3+650000.459400ET =⨯⨯⨯⨯=.（步骤3）【提示】（1）由题意先分段写出，当100[),130X ∈时，当130[],150X ∈时，和利润值，最后利用分段函数的形式进行综合即可．（2）由（1）知，利润T 不少于57000元，当且仅当120150X ≤≤再由直方图知需求量120[],150X ∈的频率为0.7，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T 不少于57000元的概率的估计值．（3）利用利润T 的数学期望=各组的区间中点值x 该区间的频率之和即得．【考点】频率分布直方图，分段函数的模型，离散型随机变量的数学期望．20.【答案】（1）22163x y +=（2 【解析】（1）设11(),A x y ，22(),B x y ，00(),P x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，21211y y x x -=--，由此可得22121221211b x x y y a y y x x (+)-=-=(+)-． 因为120+2x x x =，120+2y y y =，0012y x =，所以222a b =（步骤1）又由题意知，M的右焦点为，故223a b -=. 因此26a =，23b =.所以M 的方程为22163x y +=．（步骤2） （2）由220,1,63x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩因此||AB =．（步骤3） 由题意可设直线CD的方程为3y x n n ⎛=+-<< ⎝，设33(),C x y ，44(),D x y ．由22,163y x n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得223+4+260x nx n -=.于是3,4x （步骤4） 因为直线CD 的斜率为1，所以43|||x x CD - 由已知，四边形ACBD 的面积186||||29S CD AB ==．当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为．所以四边形ACBD ．（步骤5）【提示】（1）把右焦点(,0)c 代入直线可解得C ．设11(),A x y ，22(),B x y ，线段AB 的中点00(),P x y ，利用“点差法”即可得到a ，b 的关系式，再与222a bc =+联立即可得到a ，b ，c ．（2）把直线0x y +=与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长||AB ，由CD AB ⊥，可设直线CD 的方程为y x n =+，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长||CD ．利用1||||2ACBD S AB CD =四边形即可得到关于n 的表达式，利用二次函数的单调性即可得到其最大值．【考点】椭圆的方程、椭圆的简单几何性质、点差法的应用和直线与椭圆的位置关系． 21.【答案】（1）1()e x f x x m=-+． 由0x =是()f x 的极值点得(0)0f '=，所以1m =.于是ln +)1(()xf e x x =-，定义域为()1,+-∞，1()e 1xf x x =-+．（步骤1）函数1()e 1x f x x =-+在()1,+-∞单调递增，且(0)0f '=.因此当,0()1x ∈-时，()0f x '<； 当+()0,x ∈∞时，()0f x '>.所以()f x 在()1,0-单调递减，在(0,+)∞单调递增．（步骤2）（2）当2m ≤，,()+x m ∈-∞时，l ()()n +ln +2x m x ≤，故只需证明当2m =时，()0f x >. 当2m =时，函数1()e 2x f x x =-+在()2,+-∞单调递增． 又1()0f '-<，(0)0f '>，故()0f x '=在()2,+-∞有唯一实根x 0，且0)0(1,x ∈-．（步骤3） 当2+(),x ∈-∞时，()0f x '<；当0(),+x x ∈∞时，()0f x '>，从而当0x x =时，()f x 取得最小值．由0()0f x '=得001e 2x x =+，00ln +2()x x =-，故200000()()+11022f x f x x x x x ≥)=+++=(>. 综上，当2m ≤时，()0f x >.（步骤4）【提示】（1）求出原函数的导函数，因为0x =是函数()f x 的极值点，由极值点处的导数等于0求出m 的值，代入函数解析式后再由导函数大于0和小于0求出原函数的单调区间； （2）证明当2m ≤时，()0f x >，转化为证明当2m =时()0f x >求出当2m =时函数的导函数，可知导函数在(2,)-+∞上为增函数，并进一步得到导函数在(1,0)-上有唯一零点0x ，则当0x x =时函数取得最小值，借助于0x 是导函数的零点证出0()0f x >，从而结论得证． 【考点】利用导数求函数的单调区间和极值，利用导数解决不等式问题． 22.【答案】（1）因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以DCB A ∠=∠，由题设知BC DCFA EA=，故CDB AEF △∽△，所以DBC EFA ∠=∠．（步骤1）因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以CFE DBC ∠=∠，故90EFA CFE ∠=∠=︒．所以90CBA ∠=︒，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．（步骤2）（2）连结CE ，因为90CBE ∠=︒，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由DB BE =，有CE DC =，又222BC DB BA DB ==，所以222 2.4+6CA DB BC DB ==而2223DC DB D CE DA B ===，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12． （步骤3）第22题图【提示】（1）已知CD 为ABC △外接圆的切线，利用弦切角定理可得DCB A ∠=∠，及BC DCFA EA=，可知CDB AEF △∽△，于是DBC EFA ∠=∠．利用B 、E 、F 、C 四点共圆，可得CFE DBC ∠=∠，进而得到90EFA CFE ∠=∠=︒即可证明CA 是ABC △外接圆的直径；（2）要求过B 、E 、F 、C 四点的圆的面积与ABC △外接圆面积的比值．只需求出其外接圆的直径的平方之比即可．由过B 、E 、F 、C 四点的圆的直径为CE ，及DB BE =，可得CE DC =，利用切割线定理可得222BC DB BA DB ==，222 2.4+6CA DB BC DB ==，都用DB 表示即可．【考点】弦切角，圆内接四边形的性质．23.【答案】（1）cos cos 2,sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩0()2παα<<为参数， （2）d (02π)α<< M 的轨迹过坐标原点【解析】（1）依题意有2cos (n )2si P αα，，2cos2,2si 2()n Q αα，因此cos +cos2,sin +i ()s n2M αααα．M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩0()2παα<<为参数，．（步骤1）（2）M 点到坐标原点的距离d =(02π)α<<．当πα=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．（步骤2）【提示】（1）根据题意写出P ，Q 两点的坐标：2cos (n )2si P αα，，2cos2,2si 2()n Q αα，再利用中点坐标公式得PQ 的中点M 的坐标，从而得出M 的轨迹的参数方程；（2）利用两点间的距离公式得到M 到坐标原点的距离d 证当πα=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点． 【考点】参数方程，轨迹方程．24.【答案】（1）由22+2b a ab ≥，22+2b c bc ≥，22+2c a ca ≥，得222++++a b c ab bc ca ≥．（步骤1）由题设得21)++(a b c =，即222+++2+2+21a b c ab bc ca =.所以3+(+)1ab bc ca ≤，即1++3ab bc ca ≤．（步骤2） （2）因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a+≥，故222(++(2))a b c a b c a b c b c a +++++≥，（步骤3）即222++a b c a c a c b b ++≥． 所以2221a b c b c a++≥（步骤4）【提示】（1）依题意，由21)++(a b c =，即222+++2+2+21a b c ab bc ca =，利用基本不等式可得3+(+)1ab bc ca ≤，从而得证；（2）利用基本不等式可证得：22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥，三式累加即可证得结论．【考点】不等式证明，均值不等式．。
高考数学(理)真题专题汇编：平面向量
高考数学（理）真题专题汇编：平面向量一、选择题1.【来源】2019年高考真题——理科数学（北京卷）设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅱ） 已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅= A ．－3 B ．－2C ．2D ．33.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅰ） 已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π64.【来源】2018年高考真题——理科数学（天津卷）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则⋅AE BE 的最小值为(A) 2116(B) 32(C) 2516(D) 35.【来源】2018年高考真题——理科数学（全国卷II ） 已知向量a ，b 满足|a |=1，a ·b =－1，则a ·(2a －b )= A ．4B ．3C ．2D ．06.【来源】2018年高考真题——理科数学（全国卷Ⅰ） 在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=A.43AB －41ACB. 41AB －43AC C. 43AB ＋41AC D. 41AB ＋43AC7.【来源】2016年高考真题——理科数学（天津卷）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为（ ）（A ）85-（B ）81（C ）41（D ）8118.【来源】2017年高考真题——数学（浙江卷）如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记I 1=OB OA ⋅，I 2=OC OB ⋅，I 3=OD OC ⋅，则A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3 ＜I 2C ．I 3＜I 1＜I 2D ． I 2＜I 1＜I 39.【来源】2017年高考真题——理科数学（全国Ⅲ卷）在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（）A ．3B ．22C 5D ．210.【来源】2017年高考真题——理科数学（全国Ⅱ卷）已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则)(PC PB PA +⋅的最小值是（ ）A.-2B.23-C. 43-D.-111.【来源】2016年高考真题——理科数学（新课标Ⅱ卷）12.【来源】2014高考真题理科数学（福建卷）在下列向量组中，可以把向量()2,3=a 表示出来的是（ ） A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e e C.)10,6(),5,3(21==e e D.)3,2(),3,2(21-=-=e e二、填空题13.【来源】2019年高考真题——数学（浙江卷）已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.14.【来源】2019年高考真题——理科数学（天津卷）在四边形ABCD 中，,23,5,30ADBC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅= . 15.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅲ）已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若25=-c a b ，则cos ,<>=a c ___________. 16.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅰ）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．17.【来源】2019年高考真题——数学（江苏卷）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.18.【来源】2018年高考真题——数学理（全国卷Ⅲ）已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________． 19.【来源】2018年高考真题——数学（江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ▲ ． 20.【来源】2017年高考真题——数学（浙江卷）已知向量a ，b 满足|a |=1，|b |=2，则|a +b |+|a －b |的最小值是________，最大值是_______．21.【来源】2017年高考真题——数学（江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，A （－12，0），B （0，6），点P 在圆O ：x 2+y 2=50上，若20≤⋅PB PA ，则点P 的横坐标的取值范围是 .22.【来源】2017年高考真题——数学（江苏卷）如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，2，OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°。
望闻问切-----病句方法点拨
【解析】偷换主语，可改为‚80％的患者反映这
种感冒新药确实有效‛。
2.主客颠倒（对、对于、被等） 错例1：为进一步保障百姓餐桌安全，国家对施
行已超过5年的《食品安全法》作了修订，因加 大了惩处力度而被冠以‚史上最严‛的称号。 （2015河南卷）
【解析】不合逻辑。‚不仅……还‛表递进关
系，应该是‚他不仅是记者、作家以及电影工
作者，还是……先驱。‛
2.逻辑是否得当 错例2：由此可见，当时的设计者们不仅希望
该过程中艺术活动是富有创造性的，而且技术 活动也是富有创造性的。 （2014全国卷Ⅰ）
【解析】语序不当，应把‚希望该过程中不仅‛
技术活动是富有创造性的，而且艺术活动也是 富有创造性的‛。
【解析】句式杂糅，‚是设在……‛和‚是
在……举行的‛，两种句式糅杂在一起
1.多层定语 2.多层状语 3.修饰语与中心词
1.多层定语 错例：.全国规模最大的两栖爬行动物标本馆，
已经收藏了10多万号标本，这些标本几乎覆盖了 所有中国的两栖爬行动物种类。 （2014四川卷）
【解析】语序不当，‚所有中国的两栖爬行动物
【解析】‚取得的成绩终于得到回报‛不合事
理，可去掉‚和取得的成绩‛。另外，在‚为
这项设计‛前加上主语‚她‛。
3.搭配是否得当（并列主谓宾或修语与中心词） 错例3：父亲住院期间，梅兰每天晚上都陪伴
在他身旁，听他讲述一生中经历的种种苦难和 幸福，她就算再忙再累，也不例外。 （2015全国卷Ⅱ）
【解析】‚种种幸福‛搭配不当，
4.漏用、滥用关联词 错例：闪闪发光的银块，如果加工成极其细小、
2024-2025学年高三一轮复习联考(三)_全国卷理数(含答案)
2024届高三一轮复习联考（三）全国卷理科数学试题一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{12}A xx =<<∣，{||1}B x x =≤∣，则A B ⋃=（）A.[)12-，B.()2-∞，C.[)13-， D.[]12-，2.已知复数()i i 1z =+，则z =（）A.1B.C.D.23.已知命题p ：x ∀∈R ，220x x m -+>，则满足命题p 为真命题的一个充分条件是（）A.m>2B.0m <C.1m < D.m 1≥4.若函数()2220log 0x x x f x x x ⎧-=⎨>⎩，，，，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦（）A.2- B.2C.3- D.35.已知{}n a 是各项不全为零的等差数列，前n 项和是n S ，且2024S S =，若()2626m S S m =≠，则正整数m =（）A.20B.19C.18D.176.已知平面向量a ，b满足a =，(b =，2a b -= ，则a 在b上的投影为（）A.B.1C.2D.7.函数()2e e 1x xf x x --=+在[]3,3-上的大致图象为（）A.B.C.D.8.已知角α的顶点与直角坐标系的原点重重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(2,)M m ，且sin 3α=-，则tan 2α=（）A.55-B.C.55-D.55或9.已知等比数列{}n a 满足21q ≠，24m n a a a =，（其中m ，*n ∈N ），则91m n+的最小值为（）A .6B.16C.32D.210.已知函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若()f x 在[]0a ，上的值域是112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，则实数a 的取值范围为（）A .403π⎛⎤ ⎥⎝⎦， B.2433ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.23π∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭， D.2533ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11.设4sin1a =，3sin2b =，2sin3c =，则（）A.a b c<< B.c b a<< C.c a b<< D.a c b<<12.已知函数14sin π,01()2,1x x x f x x x -<≤⎧=⎨+>⎩,若关于x 的方程2[()](2)()10f x m f x m --+-=恰有5个不同的实数解，则实数m 的取值集合为（）A.()35，B.[]35，C.()31--，D.[]31--，二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知1sin 62πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.14.设m ，n 为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，下列是αβ∥成立的充分条件的有___________（只填序号）.①m α⊂，//m β②m α⊂，n β⊥，n m ⊥③αγ⊥，βγ⊥④m α⊥，m β⊥15.已知数列{}n a 为递减数列，其前n 项和22n S n n m =-++，则实数m 的取值范围是___________.16.已知点A ，B ，C 均在球O 的球面上运动，且满足3AOB π∠=，若三棱锥O ABC -体积的最大值为6，则球O 的体积为___________.三､解答题：共70分.解答应㝍出文字说明､证明过程或演算政骤.第17-21题为必考题，每个试题考生者必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =-+，将函数()f x 的图象向左平移π3个单位长度，得到函数()g x 的图象.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4a =，12bc =，12A g ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求角A ；（2）若角A 的平分线AD 交BC 于D ，求AD 的长.18.已知数列{}n a 满足()21112122222326n n n n n a a a a n -+-++++=-⋅+ .（1）求{}n a 的通项公式；（2）若2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .19.已知ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π4C =，cos cos 2cos a A c C b B +=.（1）求tan A .（2）若c =，求ABC 的面积.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，O 是BC 的中点，PB PC ==，22PD BC AB ===.（1）求证：平面PBC ⊥平面ABCD ；（2）求直线AD 与平面PCD 所成角的正弦值.21.已知函数()1ln 1f x x x=-+.（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）证明，对()0x ∀∈+∞，，均有()()11e 2ln 1f x x -+<++.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为32212x a t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+.（1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）若曲线C 经过伸缩变换2x x y y⎧=⎪⎨⎪='⎩'得到曲线C '，若直线l 与与曲线C '有公共点，试求a的取值范围.23.已知函数()22f x x x t =++-（0t >），若函数()f x 的最小值为5.（1）求t 的值；（2）若a b c ，，均为正实数，且2a b c t ++=，求1412a b c++的最小值.2024届高三一轮复习联考（三）全国卷理科数学试题一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】A【9题答案】【答案】D【10题答案】【答案】B【11题答案】【答案】B【12题答案】【答案】C二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【13题答案】【答案】12 ##-0.5【14题答案】【答案】④【15题答案】【答案】()2,-+∞【16题答案】【答案】三､解答题：共70分.解答应㝍出文字说明､证明过程或演算政骤.第17-21题为必考题，每个试题考生者必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.【17题答案】【答案】（1）π3（2）13【18题答案】【答案】（1）21n a n =-；（2）2122323n n n T ++-=【19题答案】【答案】（1）tan 3A =（2）12【20题答案】【答案】（1）证明见解析（2）63【21题答案】【答案】（1）240x y +-=（2）证明见解析【22题答案】【答案】（1）:20l x a -=，2214x y +=（2）[]1,1-【23题答案】【答案】（1）3t =（2）16 3。
2014年高考理科数学全国卷1-答案
])3,[+∞，所以[2,A B =--，集合B ，求A B .2(1i)2i(1i)i)2i1i ++=---=.则(4,P F =-，0(FQ x =-，根据抛物线定义得||3x QF ==【解析】由题易知点AC与AB的夹角为【提示】根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论【考点】数量积表示两个向量的夹角16.【答案】3【解析】根据正弦定理和因为+10n a ≠，所以+2n n a a λ-=.（2）由题设11a =，1211a a S λ=-，可得21a λ=-，由（1）知31a λ=+，若{}n a 为等差数列，则2132a a a =+，解得4λ=，故+24n n a a -=.由此可得21{}n a -是首项为1，公差为4的等差数列，2143n n a -=-；2{}n a 是首项为3，公差为4的等差数列，2=41n a n -.所以21n a n =-，+1n n a a -=2.因此存在4λ=，使得数列{}n a 为等差数列. 【提示】根据等差数列知识完成证明，求出使得{}n a 为等差数列的参数λ 【考点】等差数列18.【答案】（1）200=平均数2150s =（2）（i ）0.6826 （ii ）68.26【解析】（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差2s 分别为：平均数1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.2222222(30)(20)(10)0020090220033102420008300025010s ---=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．.（2）（i ）由（1）知(200,150)ZN ，从而187821222001222001220.682()6)(P Z P Z <<=-<<+=．．．．. （ii ）由（i ）知，一件产品的质量指标值位于区间1878,2(212)．．的概率为06826．，依题意知100,0682 ()6X B ～．，所以100068266826EX =⨯=．．.【提示】给出频率分布直方图求平均数和方差，利用正态分布求概率. 【考点】平均数和方差及正态分布19.【答案】（1）证明：连接1BC ，交1B C 于点O ，连接AO ，因为侧面11BB C C 为菱形，所以1B C ⊥1BC ， 且O 为1B C 及1BC 的中点.又AB ⊥1B C ，所以1B C ⊥平面ABO . 由于AO ⊂平面ABO ，故1B C ⊥AO .又1B O CO =，故1AC AB =. （2）因为AC ⊥1AB ，且O 为1B C 的中点，所以AO CO =.又因为AB BC =，所以BOA BOC △△≌.故OA ⊥OB ，从而OA ，OB ，1OB 两两垂直.以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，||OB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -. 因为∠160CBB ︒=，所以1CBB △为等边三角形，10,B A ⎛= ⎝，1,0,AB ⎛= ⎝，1,BC ⎛-- ⎝设(,n x y =1B 的法向量，则即333333y x z --=1|||7n m n m =.所以结合图形知二面角221431k k -+.22||44341k d k PQ -=+，即72k =±时等号成立，满足72k =±，知，∠D=∠E，所以△ADE为等边三角形.。
2014年全国个省市高考理科数学分类汇编：三角函数
一、选择题 1、（新课标全国卷Ⅰ）8题 设)2,0(πα∈，)2,0(πβ∈，且ββαcos sin 1tan +=，则（ ） A.23πβα=- B. 22πβα=- C. 23πβα=+ D. 22πβα=+2、（新课标全国卷Ⅱ）4题 钝角三角形ABC 的面积是21，2,1==BC AB ,则=AC ( ) A.5 B.5 C.2 D. 12'、（新课标全国卷Ⅱ）12题设函数mx x f πsin 3)(=.若存在)(x f 的极值点0x 满足[]22020)(m x f x <+，则m 的取值范围是（ ）A.),6()6,(+∞⋃--∞B. ),4()4,(+∞⋃--∞C. ),2()2,(+∞⋃--∞D. ),1()1,(+∞⋃--∞ 3、（大纲卷-广西卷）3题设︒=33sin a ，︒=55cos b ，︒=55tan c ，则（ ） A.c b a >> B.a c b >> C.a b c >> D. b a c >> 4、（安徽卷）6题设函数))((R x x f ∈满足x x f x f s i n )()(+=+π.当π<≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf （ ） A.21 B. 23 C.0 D. 21- 5、(湖南卷)9题已知函数)sin()(ϕ-=x x f ，且0)(320=⎰dx x f π，则函数)(x f 的图像的一条对称轴是（ ）A.65π=x B. 127π=x C. 3π=x D. 6π=x 6、（四川卷）3题为了得到函数x y x y 2sin )12sin(=+=的图像，只需把函数的图像上所有的点（ ）A.向左平行移动21个单位长度 B. 向右平行移动21个单位长度 C.向左平行移动1个单位长度 D. 向右平行移动1个单位长度7、（浙江卷）4题 为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3cos 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位B. 向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D. 向左平移12π个单位8、（陕西卷）2题 函数)62cos()(π-=x x f 的最小正周期是（ ）A.2πB.πC. π2D. π4 9、（辽宁卷）9题将函数)32sin(π+=x y 的图像向右平移2π个单位长度，所得图像对应的函数（ ）A.在区间]127,12[ππ上单调递减B. 在区间]127,12[ππ上单调递增 C. 在区间]3,6[ππ-上单调递减 D. 在区间]3,6[ππ-上单调递增二、填空题1、（新课标全国卷Ⅰ）16题已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，2=a ，且C b c B A b s i n )()s i n )(s i n 2(-=-+,则△ABC 面积的最大值为 .2、（新课标全国卷Ⅱ）14题函数)cos(sin 2)2sin()(ϕϕϕ+-+=x x x f 的最大值为 . 3、（大纲卷-广西卷）16题若函数x a x x f sin 2cos )(+=在区间)2,6(ππ是减函数，则a 的取值范围是 .4、（安徽卷）11题 若将函数)42sin()(π+=x x f 的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是 . 5、（广东卷）12题在△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知,2cos cos b B c C b =+则=ba. 6、（四川卷）13题如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B 、C 的俯角分别为67°,30°，此时气球的高是46m ，则河流的宽度BC 约等于 m.C(用四舍五入法将结果精确到个位，参考数据： 7、（陕西卷）13题 设20πθ<<，向量)1,(cos ),cos ,2(sin θθθ==，若//，则=θtan .8(山东卷)12题在 △ABC 中，已知A tan =⋅,当6π=A 时，△ABC 的面积为 .9、（福建卷）12题在 △ABC 中，60=A ，32,4==BC AC ,则△ABC 的面积为 . 10、（天津卷）12题△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知C B a c b sin 3sin 2,41==-,则A cos 的值为 . 11、（江苏卷）5题已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y （πϕ<≤0），它们的图像有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 . 12、（江苏卷）14题若△ABC 的内角满足,sin 2sin 2sin C B A =+则C cos 的最小值是 . 三、解答题 1、（新课标全国卷Ⅰ）未考 2、（新课标全国卷Ⅱ）未考 3、（大纲卷-广西卷）17题共10分△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知31tan ,cos 2cos 3==A A c C a ,求B . 4、（安徽卷）16题12分设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3=b ，1=c ，B A 2=. （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求)4sin(π+A 的值.5、（广东卷）16题12分已知函数,),4sin()(R x x A x f ∈+=π且23)125(=πf . (1) 求A 的值； (2) 若),2,0(,23)()(πϑθθ∈=-+f f 求)43(ϑπ-f . 6、（广东卷）18题12分如图，在平面四边形ABCD 中，7,2,1===AC CD AD .（Ⅰ）求CAD ∠cos 的值； （Ⅱ）若621sin ,147cos =∠-=∠CBA BAD ,求BC 的长. BD7、（四川卷）16题12分 已知函数)43sin()(π+=x x f .（Ⅰ）求)(x f 的单调递增区间； （Ⅱ）若α是第二象限角，,2cos )4cos(54)3(απαα+=f 求ααsin cos -的值. 8、（浙江卷）18题14分在△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b a ≠，3=c ，B B A A B A cos sin 3cos sin 3cos cos 22-=-.（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若54sin =A ，求△ABC 的面积. 9、（湖北卷）17题11分某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系： )24,0[,12sin12cos310)(∈--=t t t t f ππ.（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在那段时间实验室需要降温？ 10、（陕西卷）16题12分△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .（Ⅰ）若a 、b 、c 成等差数列，证明：)sin(2sin sin C A C A +=+; （Ⅱ）若a 、b 、c 成等比数列，求B cos 的最小值. 11、（江西卷）16题12分已知函数)2cos()sin()(θϑ+++=x a x x f ，其中R a ∈,)2,2(ππϑ-∈.（Ⅰ）当4,2πθ==a 时，求)(x f 在区间],0[π上的最大值与最小值；（Ⅱ）若)2(πf =0,1)(=πf ，求a ，θ的值.12、（重庆卷）17题共13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）8分 已知函数)22,0)(sin(3)(πϕπωϕω<≤->+=x x f 的图像关于直线3π=x 对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π. （Ⅰ）求ϖ和ϕ的值； （Ⅱ）若43)2(=αf （326παπ<<），求)23cos(πα+的值. 13、（山东卷）16题12分已知向量),,2(sin ),2cos ,(n x x m ==函数x f ⋅=)(，且)(x f y =的图像过点（3,12π）和点（2,32-π）. （Ⅰ）求n m ,的值（Ⅱ）将)(x f y =的图像向左平移ϕ（0<ϕ<π）个单位后得到函数)(x g y =的图像，若)(x g y =的图像上各最高点到点（0,3）的距离的最小值为1，求)(x g y =的单调递增区间.14、（福建卷）16题13分已知函数21)cos (sin cos )(-+=x x x x f . （Ⅰ）若20πα<<，且22sin =α，求)(αf ； （Ⅱ）求函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间. 15、（北京卷）15题13分 如图，在△ABC 中，8,3==∠AB B π,点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD . （Ⅰ）求BAD ∠sin ; （Ⅱ）求BD ,AC 的长.F16、(天津卷)15题13分 已知函数R x x x x x f ∈+-+⋅=,43cos 3)3sin(cos )(2π. （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 在闭区间]4,4[ππ-上的最大值和最小值. 17、（辽宁卷）17题12分在△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a >c .已知.3,31c o s ,2===⋅b B 求：（Ⅰ）a 和c 的值； （Ⅱ）)cos(C B -的值. 18、（江苏卷）15题14分 已知),2(ππα∈，55sin =α. （1） 求)4sin(απ+的值；（2） 求)265cos(απ-的值.。
2014年高考理科数学全国卷2含答案
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国Ⅱ卷）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=【D 】A. ｛1｝B. ｛2｝C. ｛0，1｝D. ｛1，2｝2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =【A 】A. - 5B. 5C. - 4+ iD. - 4 - i3.设向量a,b 满足|a+b ，|a-b ，则a ⋅b =【A 】 A. 1B. 2C. 3D. 54.钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1， ，则AC=【B 】A. 5B.C. 2D. 15.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是【A 】 A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为【C】A. 1727 B.59 C.1027 D.137.执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2，则输出的S=【D】A. 4B. 5C. 6D. 78.设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= 【D】A. 0B. 1C. 2D. 39.设x,y满足约束条件70310350x yx yx y+-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y=-的最大值为【B】A. 10B. 8C. 3D. 210.设F为抛物线C:23y x=的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为【D】A.B. C.6332 D.9411.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为【C】A.110 B.25C.D.12.设函数()xf xmπ=.若存在()f x的极值点0x满足()22200x f x m+<⎡⎤⎣⎦，则m的取值范围是【C】A. ()(),66,-∞-⋃∞B.()(),44,-∞-⋃∞C.()(),22,-∞-⋃∞D.()(),14,-∞-⋃∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答. 二.填空题13.()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a = 12 .(用数字填写答案)14.函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为 1 .15.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是（1,3-） .16.设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是 []1,1- .三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.（Ⅰ）证明{}12na +是等比数列，并求{}na 的通项公式； （Ⅱ）证明：1231112n a a a ++<…+.解：（I ）由131n n a a +=+得1113(22n n a a ++=+。
超实用高考英语复习：2014年全国1卷完形填空- 完形填空重难点词组整理
二、2014年全国I卷完型第一节完形填空（共20 小题；每小题两分，满分40分）阅读下面短文，从短文后各题所给的四个选项（A，B，C，D）中，选出可以填入空白处的最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。
As a general rule, all forms of activity lead to boredom when they are performed on a routine（常规）basis. As a matter of fact, we can see this 41 at work in people of all42 . For example, on Christmas morning, children are excited about 43 with their new toys. But their 44 soon wears off and by January those 45 toys can be found put away in the basement. The world is full of 46 stamp albums and unfinished models, each standing as a monument to someone’s47 interest. When parents bring home a pet, their child48 bathes it and brushes its fur. Within a short time, however, the49 of caring for the animal is handed over to the parents. Adolescents enter high school with great50 but are soon looking forward to51 . The same is true of the young adults going to college. And then, how many52 , who now complain（抱怨）about the long drives to work, 53 drove for hour at a time when they first 54 their driver’s licenses （执照）? Before people retire, they usually55 to do a lot of56 things, which they never had57 to do while working. But 58 after retirement, the golfing, the fishing, the reading and all of the other pastimes become as boring as the jobs they59 . And, like the child in January, they go searching for new 60 .41. A. habit B. principle C. way D. power42. A. parties B. races C. countries D. ages43. A. working B. living C. playing D. going44. A. confidence B. interest C. anxiety D. sorrow45. A. same B. extra C. funny D. expensive46. A. well-organized B. colorfully-printed C. half-filled D. newly-collected47. A. broad B. passing C. different D. main48. A. silently B. impatiently C. worriedly D. gladly49. A. promise B. burden C. right D. game50. A. courage B. calmness C. confusion D. excitement51. A. graduation B. independence C. responsibility D. success52. A. children B. students C. adults D. retirees53. A. carefully B. eagerly C. nervously D. bravely54. A. required B. obtained C. noticed D. discovered55. A. need B. learn C. plan D. start56. A. great B. strange C. difficult D. correct57. A. time B. money C. skills D. knowledge58. A. only B. well C. even D. soon59. A. lost B. chose C. quit D. left60. A. pets B. toys C. friends D. colleagues．二、词汇检测版（2014年全国I卷完型词汇，满分100分）高考质量提升是一项系统工程，涉及到多个方面、各个维度，关键是要抓住重点、以点带面、全面突破，收到事半功倍的效果。
2014年高考全国卷1理科数学试题及答案-
2014年普通高等学校招生全国统一考试一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1. 已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ⋂= A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2）2. 32(1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i -- 3. 设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数4. 已知F 是双曲线C ：223(0)x m y m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 A .3 B .3 C .3m D .3m5. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D .786. 如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线O A ，终边为射线O P ，过点P 作直线O A 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线O P 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为7. 执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203 B .165 C .72 D .1588. 设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1s in ta n c o s βαβ+=，则 A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=9. 不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x yD x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x yD x y ∃∈+≤-. 其中真命题是 A .2p ，3P B .1p ，4p C .1p ，2p D .1p ，3P10. 已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4F P F Q =，则||QF =A .72 B .52C .3D .2 11. 已知函数()f x =3231a x x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为 A .（2，+∞） B .（-∞，-2） C .（1，+∞） D .（-∞，-1）12. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A .62B .42C .6D .4二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。
复数的四则运算5.3高考题
复数的四则运算导学案一、选择题1.（2011·安徽高考理科·Ｔ1）设i 是虚数单位，复数12aii+-为纯虚数，则实数a 为（ ） （A ）2 （B ）-2 （C ）12- （D ）12【精讲精析】选A.1(1)(2)2122(2)(2)55ai ai i a a i i i i +++-+==+--+,由12aii+-是纯虚数，则0521,052≠+=-aa ，所以a =2. 2.（2011·福建卷理科·Ｔ1）i 是虚数单位，若集合S =}{1,0,1-，则（ ）(A)i S ∈ (B)2i S ∈ (C)3i S ∈ (D)2S i∈【精讲精析】选B. 21i =-，而集合{1,0,1},S =- 2.i S ∴∈ 4.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ1）复数212ii+-的共轭复数是（ ） （A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D)i5.（2011·辽宁高考文科·Ｔ2）i 为虚数单位，=+++7531111ii i i （ ）（A ）0 （B ）2i （C ）-2i （D ）4i 6.（2011·山东高考理科·Ｔ2）复数Z=22ii-+(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 7.（2011·辽宁高考理科·Ｔ１）a 为正实数，i 为虚数单位，2a ii+=，则a =（ ）（A ）2 （B ） (D)1 【精讲精析】选B ．因为2a ii+=，故可化为21=-ai ，所以1+a 2=4，又由于a 为正实数，得a =，故选B ．8.（2011·北京高考理科·T2）复数212i i-+=（ ）（A ）i （B ）i - （C ）4355i -- （D ）4355i -+【精讲精析】选A.2(2)(12)22412(12)(12)5i i i i ii i i i ---+-+===++-. 9.（2011·湖南高考理科·T1）若a,b R ∈,i 为虚数单位，且(a+i)i=b+i ，则（ ） （A ）a=1,b=1 (B)a=-1,b=1 （C ）a=-1,b= -1 （D)a=1,b=-110.（2011·江西高考理科·Ｔ1） 若12iz i+=，则复数z -=（ ）（A ） 2i -- （B ）2i -+ （C ）2i - （D)2i + 【精讲精析】选D.12iz i(12i)2i,z 2i.i+==-+=-∴=+ 11.（2011·江西高考文科·Ｔ1）x i)i y 2i,x,y R,x yi -=+∈+=若(则复数（）(A)2i B)2i C -++ ( (）１-2i （D ）1+2i 【精讲精析】选B.(x i)i y 2i,1xi y 2i,x 2,y 1,x yi 2i.-=+∴+=+==∴+=+根据复数相等的条件，得12.（2011·陕西高考理科·T7）设集合22{||cos sin |,}M y y x x x R ==-∈，1{|||N x x i=-<，i 为虚数单位，x ∈R }，则M N 为（ ）（A ）（0，1） （B ）(0，1] （C ）[0，1) （D ）[0，1] 【精讲精析】选C.22|cos sin ||cos 2|[0,1]y x x x =-=∈，所以[0,1]M =；因为1||x i -<||x i +<|()|x i --<|()|x i --=x ∈R ，所以11x -<<，即(1,1)N =-，所以[0,1)M N =，故选C.13.（2011·浙江高考理科·Ｔ2）把复数z 的共轭复数记作z ,i 为虚数单位.若z=1+i,则(1)+⋅=z z （ ）（A ）3i - （B ）3i + （C ）13i + （D)3 【精讲解析】选A.(1)+⋅=z z 2123z z i i +=-+=-.14.（2011·江苏高考·Ｔ3）设复数z 满足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的实部是_________.【答案】115.（2012·天津高考理科·Ｔ1）i 是虚数单位，复数73+ii=（ ） （A ）2i （B ）2i（C ）2i （D ）2-i 【解析】选B.7-(7-)(3-)20-1023+(3+)(3-)10i i i i i ii i .16.（2012·江西高考文科·Ｔ1）若复数z=1+i(i 为虚数单位)z -是z 的共轭复数 ， 则2z +z -²的虚部为（ ）（A ）0 （B ）-1 （C ）1 （D ）-2 【解析】选A. 因为1z i =+，所以1z i =-，()()222211220z z i i i i ∴+=++-=-=，故虚部为0.17.（2012·新课标全国高考理科·T3）下面是关于复数21z i =-+的四个命题：1:2p z =，22:2p z i=，3:p z的共轭复数为1i +， 4p z ：的虚部为1-.其中的真命题为（ ）（A ）23,p p （B ）12,p p （C ）24,p p （D ）34,p p 【解题指南】将复数z 化简后，依次对1234,,,p p p p 进行判断.【解析】选C.()()()21111i z ii i --==---+--，故2z =，1p 错误；()()222112z i i i=--=+=，2p 正确；z 的共轭复数为1i -+，3p 错误；4p 正确.18.（2012·安徽高考理科·Ｔ1）复数z 满足：()(2)5z i i --=，则z =（ ）()A 22i -- ()B 22i -+ ()C i 2-2 ()D i 2+2【解析】选D .19.（2012·辽宁高考理科·Ｔ2）复数22ii -=+( )(A)3455i - (B)3455i + (C) 415i - (D) 315i +【解析】选A.222(2)(2)4434342(2)(2)5554i i i i i i i i i i i ----+-====-++--.20.（2012·陕西高考文科·Ｔ4）与（2012·陕西高考理科·Ｔ3）相同 设,a b ∈R,i 是虚数单位,则“0ab =”是“复数b a i+为纯虚数”的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 【解析】选B.若0ab =，则0a =或0b =,∴0b a i +=是纯虚数或实数，不是充分条件；若复数b a i+为纯虚数，且ba a bi i+=-，∴0a =且0b ≠，∴0ab =，是必要条件.21.（2012·北京高考文科·Ｔ2）在复平面内，复数103ii +对应的点的坐标为（ ）（A ）(1 ,3) （B ）(3,1) （C ）(-1,3) （D ） (3 ,-1)【解析】选A.1010(3)1030133(3)(3)10i i i iii i i -+===+++-，所对应点的坐标为（1，3）.22.（2012·福建高考理科·Ｔ1）若复数z 满足1zi i =-，则z 等于（ ） （A ）1i -- (B)1i - (C)1i -+ (D)1i + 【解析】选A. 1zi i =-，(1)()1z i i i =--=--.23.（2012·福建高考文科·Ｔ1）复数2(2)i +等于（ ）（A ）34i + (B)54i + (C)32i + (D)52i +【解析】选A.2(2)41434i i i +=-+=+. 24.（2012·湖北高考理科·Ｔ1）方程 2x +6x +13 =0的一个根是( ) （A ）-3+2i (B)3+2i (C)-2 + 3i (D)2 + 3i【解析】选 A. 方法一：由2(32)6(32)13i i -++-++=91241812130i i =---++=可知答案.方法二：3641316,4i =-⨯=-∴=.代入求根公式可知结果.25.（2012·湖北高考文科·Ｔ12）.若=a+bi （a ，b 为实数，i 为虚数单位），则a+b=____________. 【解析】3(3)(1)3(3)1(1)(1)2bi bi i b b ia bi i i i +++-++===+--+,故a+b=3. 【答案】326.（2012·湖南高考理科·Ｔ12）已知复数z=（3+i ）2(i 为虚数单位)，则|z|=_____. 【解析】,.zii i z2223961868610【答案】1027.（2012·江苏高考·Ｔ3）设,a b R ∈R，11712ia bi i -+=-（i 为虚数单位），则a b+的值为 . 【解析】因为117(117)(12)53125--++===+-i i i a bi i i ，所以5,38==∴+=a b a b . 【答案】828、（2013·四川高考文科·Ｔ3）和（2013·四川高考理科·Ｔ2）相同 如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（ ）A.AB.BC.CD.D【解析】选B.由于点A 表示复数z=a+bi,所以其共轭复数是a-bi,在图中应yxDBA OC该是点B 对应的复数,故选B.29.（2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ2）21i=+（ ）A. B.2C. D.1 【解析】选C.22(1)2(1)11(1)(1)2i i i i i i --===-+-+，所以21i =+ C. 30.（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ2）()3=（ ）A.8-B.8C.8i -D.8i 【解析】选A.()3=)31)(232()31()31(2i i i i +-=++8-=.31.（2013·山东高考理科·Ｔ1）复数z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( )A.2+iB.2-iC. 5+iD.5-i 【解析】选D. 因为(z-3)(2-i)=5，所以i i iz +=++=+-=532325， 所以i z -=5.32.（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ2）若复数z 满足|34|)43(i z i +=-，则z 的虚部为（ ）A. 4-B. 54-C. 4D. 54【解析】选D.设(,)z a bi a b R =+∈，则))(43()43(bi a i z i +-=-5=，化简得5)43(43=-++i a b b a ，所以⎩⎨⎧=-=+043543a b b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5453b a ，即i z 5453+=. 33.（2013·山东高考文科·Ｔ1）复数)()2(2为虚数单位i ii z -=，则=||z （ ） A.25 B. 41 C.5 D.5【解析】选C. i ii z 34)2(2--=-=,所以()()534||22=-+-=z .34. （2013·陕西高考理科·Ｔ6） 设z 1, z 2是复数, 则下列命题中的假命题是 ( )A. 若12||0z z -=, 则12z z =B. 若12z z =, 则12z z =C. 若,21z z = 则2112··z z z z = D. 若,21z z = 则2122z z =【解析】选D.设.,21di c z bi a z +=+=35. （2013·陕西高考文科·Ｔ6）设z 是复数, 则下列命题中的假命题是 ( ) A. 若20z ≥, 则z 是实数B. 若20z <, 则z 是虚数C. 若z 是虚数, 则20z ≥D. 若z 是纯虚数, 则20z <【解析】选C.abi b a z R b a bi a z 2,,222+-=⇒∈+=设。
2014年高考理科数学全国卷1含答案
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国Ⅰ卷）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ⋂=【A 】A .[-2,-1]B .[-1,2）C .[-1,1]D .[1,2）2.32(1)(1)i i +-=【D 】A .1i +B .1i -C .1i -+D .1i --3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是【B 】A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数4.已知F是双曲线C：223(0)x my m m-=>的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为【A】AB.3 CD.3m5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率【D】A.18B.38C.58D.786.如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数()f x，则y=()f x在[0,π]上的图像大致为【B】7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k分别为1,2,3，则输出的M=【D】A.203B.165C.72D.1588.设(0,)2πα∈，(0,2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则【B 】 A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=9.不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是【C 】A .2p ，3PB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3P10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =，则||QF =【C 】A .72B .52 C .3D .211.已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为【C 】A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为【C 】A. B. C .6 D .4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
2014年各省份高考理科数学真题解析分类汇编：函数
2014年全国各省份高考数学分类汇编：函数与导函数主编：贾海琴老师一、选择题：1、【2014年全国高考数学安徽卷】设函数))((R x x f ∈满足x x f x f sin )()(+=+π。
当π<≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf （ ） A.21 B.23 C.0 D.21- 2、【2014年全国高考数学湖南卷】已知函数)0(21)(2<-+=x e x x f x与)ln()(2a x x x g ++=的图像存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ） A.)1,(e -∞ B.),(e -∞ C.),1(e e - D.)1,(ee - 3、【2014年全国高考数学湖北卷】已知函数)(xf 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)3|2||(|21)(222a a x a x x f --+-=。
若)()1(,x f x f R x ≤-∈∀，则实数a 的取值范围为（ ） A.]61,61[- B.]66,66[-C.]31,31[-D.]33,33[-4、【2014年全国高考数学北京卷】下列函数中，在区间),0(+∞上为增函数的是（ ） A.1+=x y B.2)1(-=x y C.x y -=2 D.)1(log 5.0+=x y0,12>+x x5、【2014年全国高考数学福建卷】已知函数=)(x f 则下列结论正确的是（ ） 0,cos ≤x xA.)(x f 是偶函数；B.)(x f 是增函数；C.)(x f 是周期函数；D.)(x f 的值域为),1[+∞- 6、【2014年全国高考数学江西卷】函数)ln()(2x x x f -=的定义域为（ ）A.]1,0(B.]1,0[C.),1()0,(+∞⋃-∞D.),1[]0,(+∞⋃-∞ 7、【2014年全国高考数学山东卷】函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为（ ）A.)21,0( B.),2(+∞ C.),2()21,0(+∞⋃ D.),2[]21,0(+∞⋃ 8、【2014年全国高考数学全国卷】函数)(x f y =的图像与函数)(x g y =的图像关于直线0=+y x 对称，则)(x f y =的反函数是（ ）A.)(x g y =B.)(x g y -=C.)(x g y -=D.)(x g y --=9、【2014年全国高考数学湖南卷】已知函数)(),(x g x f 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且1)()(23++=-x x x g x f ，则=-+)1()1(f f （ ）A.3-B.1-C.1D.310、【2014年全国高考数学湖南卷】某市生产总值持续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均生产总值的平均增长率为（ ） A.2q p + B.21)1)(1(-++q p C.pq D.1)1)(1(-++q p 11、【2014年全国高考数学浙江卷】已知函数c bx ax x x f +++=23)(，且3)3()2()1(0≤-=-=-<f f f ，则（ ）A.3≤cB.63≤<cC.96≤<cD.9>c12、【2014年全国高考数学陕西卷】如下图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（ ） A.x x y 5312513-=B.x x y 5412523-=C.x x y -=31253D.x x y 5112533+-=13、【2014年全国高考数学湖南卷】已知函数)sin()(ϕ-=x x f ，且⎰=0)(320dx x f π，则函数)(x f 的图像的一条对称轴是（ ） A.65π=x B,127π=x C.3π=x D.6π=x 14、【2014年全国高考数学山东卷】直线x y 4=与曲线3x y =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）A.22B.24C.2D.415、【2014年全国高考数学山东卷】直线x y 4=与曲线3x y =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）A.]3,5[--B.]89,6[-- C.]2,6[-- D.]3,4[-- 16、【2014年全国高考数学全国卷】曲线1-=x xe y 在点)1,1(处切线的斜率等于（ ） A.e 2 B.e C.2 D.117、【2014年全国高考数学新课标Ⅱ卷】设曲线)1ln(+-=x ax y 在点)0,0(处的切线方程为x y 2=，则=a （ ）A.0B.1C.2D.318、【2014年全国高考数学四川卷】已知)1,1(),1ln()1ln()(-∈--+=x x x x f ，现有如下命题： ①)()(x f x f -=-；②)(2)12(2x f xxf =+；③||2|)(|x x f ≥。
2014年全国卷1(理科数学)含答案
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国Ⅰ卷）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={|}，B={|－2≤＜2＝，则=【A 】.[-2,-1] .[-1,2） .[-1,1] .[1,2）2.=【D 】. . . .3.设函数，的定义域都为R ，且时奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是【B 】.是偶函数 .||是奇函数.||是奇函数 .||是奇函数x 2230x x --≥x x A B ⋂A B C D 32(1)(1)i i +-A 1i +B 1i -C 1i -+D 1i --()f x ()g x ()f x ()g x A ()f x ()g x B ()f x ()g x C ()f x ()g x D ()f x ()g x4.已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为【A】..3 ..5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率【D】....6.如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在[0,]上的图像大致为【B】7.执行下图的程序框图，若输入的分别为1,2,3，则输出的=【D】....F C223(0)x my m m-=>F CA3B C3m D3mA18B38C58D78x OA OP P OA M M OPx()f x y()f xπ,,a b k MA203B165C72D1588.设，，且，则【B 】 ....9.不等式组的解集记为.有下面四个命题：：，：,：，：.其中真命题是【C 】.， .， .， .，10.已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个焦点，若，则=【C 】. . .3 .211.已知函数=，若存在唯一的零点，且＞0，则的取值范围为【C 】.（2，+∞） .（-∞，-2） .（1，+∞） .（-∞，-1）12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为【C 】. . .6 .4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
2014年全国高考理科数学试题及答案-全国卷
2014年普通高等学校统一考试（大纲）理科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设103iz i=+，则z 的共轭复数为（ ） A ．13i -+ B ．13i -- C ．13i + D ．13i - 2. 设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则MN =（ ）A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[1,0)-D ．(1,0]- 3. 设0sin 33a =，0cos55b =，0tan 35c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >> 4. 若向量,a b 满足：||1a =，()a b a +⊥，(2)a b b +⊥，则||b =（ ）A ．2BC ．1D ．25. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种6. 已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为3，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为（ ）A ．22132x y +=B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y += 7. 曲线1x y xe-=在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）A ．2eB ．eC ．2D ．18．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）A ．814π B ．16π C ．9π D ．274π 9. 已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若12||2||F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ）A ．14 B ．13C．4 D．310. 等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（ ）A ．6B ．5C ．4D ．311. 已知二面角l αβ--为060，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ） A ．14 B．4 C．4 D ．1212. 函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是（ ）A ．()y g x =B ．()y g x =-C ．()y g x =-D ．()y g x =--第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.8-的展开式中22x y 的系数为 . 14. 设x 、y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为 .15．直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为（1,3），则1l 与2l 的夹角的正切值等于 .16. 若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3cos 2cos a C c A =，1tan 3A =，求B. 18.（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .19. （本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===.（1）证明：11AC A B ⊥；（2）设直线1AA 与平面11BCC B 的距离为3，求二面角1A AB C --的大小.20. （本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.60.50.50.4、、、，各人是否需使用设备相互独立.（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（2）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望. 21. （本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =. （1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线'l 与C 相较于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程. 22. （本小题满分12分）函数()ln(1)(1)axf x x a x a=+->+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设111,ln(1)n n a a a +==+，证明：23+22n a n n <≤+.参考答案一、选择题：1. D2.B3.C4.B5.C6.A7.C8.A9.A10.C11.B12.D二、填空题：13. 70 14. 5 15.4316.(,2]-∞三、解答题：17.（本小题满分10分）解：由题设和正弦定理得3sin cos 2sin cos A C C A =故3tan cos 2sin A C C =因为1tan 3A =，所以cos 2sin C C =即1tan 2C =……………………………6分 所以tan tan[180()]B A C =-+tan()A C =-+tan tan tan tan 1A CA C +=-……………8分1=-即135B =………………………………10分18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由110a =，2a 为整数知，等差数列{}n a 的公差d 为整数又4n S S ≤，故450,0a a ≥≤ 即 1030,1040d d +≥+≤解得 10532d -≤≤- 因此3d =-数列{}n a 的通项公式为133n a n =-…………………………………6分（Ⅱ）1111()(133)(103)3103133n b n n n n==⋅-----………………………8分于是12...n n T b b b =+++1111111[()()...()]371047103133n n=-+-++--- 111()310310n =-- 10(103)nn =-……………….12分19.（本小题满分12分）解法一：（Ⅰ）因为1A D ⊥平面1,ABC A D ⊂平面11AAC C ，故平面11AA C C ⊥平面ABC ， 又BC AC ⊥，所以BC ⊥平面11AAC C ，……………3分连结1A C ，因为侧面11AAC C 为菱形，故11AC A C ⊥由三垂线定理得11AC A B ⊥………5分（Ⅱ）BC ⊥平面11,AAC C BC ⊂平面11BCC B ，故平面11AA C C ⊥平面11BCC B作11,A E CC E ⊥为垂足，则1A E ⊥平面11BCC B又直线1//AA 平面11BCC B ，因而1A E 为直线1AA 与平面11BCC B 的距离，13A E =因为1A C 为1ACC ∠的平分线，故113A D A E ==………………8分 作,DF AB F ⊥为垂足，连结1A F ，由三垂线定理得1A F AB ⊥， 故1A FD ∠为二面角1A AB C --的平面角 由22111AD AA A D =-=得D 为AC 中点，1525AC BC DF AB ⨯=⨯=，11tan 15A DA FD DF∠==所以二面角1A AB C --的大小为arctan 15………………12分解法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，由题设知1A D 与z 轴平行，x 轴在平面11AAC C 内（Ⅰ）设1(,0,)A a c ，由题设有2a ≤，(2,0,0)A ，(0,1,0)B ，则 (2,1,0)AB =-， (2,0,0)AC =-，1(2,0,)AA a c =-，11(4,0,)AC AC AA a c =+=-， 1(,1,)BA a c =-………………2分由1||2AA =得22(2)2a c -+=，即2240a a c -+= ①于是221140AC BA a a c ⋅=-+=，所以11AC A B ⊥………………………5分 （Ⅱ）设平面11BCC B 的法向量(,,)m x y z =，则1,m CB m BB ⊥⊥，即0m CB ⋅=，10m BB ⋅=因为(0,1,0)CB =，11(2,0,)BB AA a c ==-，故0y =，且(2)0a x cz -+= 令x c =，则2z a =-，(,0,2)m c a =-，点A 到平面11BCC B 的距离为22|||||cos ,|||(2)CA m CA m CA c m c a ⋅⋅<>===+-又依题设，A 到平面11BCC B 的距离为3，所以3c =代入①解得3a =（舍去）或1a = ………………………………………8分 于是1(1,0,3)AA =- 设平面1ABA 的法向量(,,)n p q r =，则1,n AA n AB ⊥⊥，即10n AA ⋅=，0n AB ⋅=，30p r -+=且20p q -+=，令3p =，则23q =，1r =，(3,23,1)n =，又(0,0,1)p =为平面ABC 的法向量，故1cos ,||||4n p n p n p ⋅<>==⋅所以二面角1A AB C --的大小为1arccos4……………………12分 20.（本小题满分12分）解：记i A 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，0,1,2i =，B 表示事件：甲需使用设备，C 表示事件：丁需使用设备，D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备 （Ⅰ）122D A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅22()0.6,()0.4,()0.5,0,1,2ii P B P C P A C i ===⨯=………3分所以122()()P D P A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅122()()()P A B C P A B P A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅122()()()()()()()()P A P B P C P A P B P A P B P C =⋅⋅+⋅+⋅⋅0.31=……………………………………6分（Ⅱ）χ的可能取值为0，1，2，3，4，其分布列为0(0)()P P B A C χ==⋅⋅0()()()P B P A P C =⋅⋅2(10.6)0.5(10.4)=-⨯⨯-0.06=001(1)()P P B A C B A C B A C χ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅001()()()()()()()()()P B P A P C P B P A P C P B P A P C =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅2220.60.5(10.4)(10.6)0.50.4(10.6)0.5(10.4)=⨯⨯-+-⨯⨯+-⨯⨯-0.25=222(4)()()()()0.50.60.40.06P P A B C P A P B P C χ==⋅⋅=⋅⋅=⨯⨯=(3)()(4)0.25P P D P χχ==-==(2)1(0)(1)(3)(4)P P P P P χχχχχ==-=-=-=-=10.060.250.250.06=----0.38=…………………………………………………………………10分数学期望0(0)1(1)2(2)3(3)4(4)EX P P P P P χχχχχ=⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯=0.2520.3830.2540.06=+⨯+⨯+⨯2=……………………………………………………………12分21.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设0(,4)Q x ，代入22y px =得08x p=所以088||,||22p p PQ QF x p p==+=+ 由题设得85824p p p+=⨯，解得2p =-（舍去）或2p = 所以C 的方程为24y x =……………………………………………5分 （Ⅱ）依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为1(0)x my m =+≠代入24y x =得 2440y my --= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12124,4y y m y y +==-故AB 的中点为2212(2 1.2),|||4(1)D m m AB y y m +=-=+又l '的斜率为m -，所以l '的方程为2123x y m m=-++ 将上式代入24y x =，并整理得2244(23)0y y m m+-+= 设3344(,),(,)M x y N x y ，则234344,4(23)y y y y m m+=-=-+ 故MN 的中点为2222(23,)E m m m ++-，23424(|||m MN y y m+=-=…10分 由于MN 垂直平分AB ，故,,,A M B N 四点在同一圆上等价于1||||||2AE BE MN ==， 从而22211||||||44AB DE MN += 即222222224224(1)(21)4(1)(2)(2)m m m m m m m +++++++=化简得210m -=，解得1m =或1m =-所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=……………………………12分22.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）()f x 的定义域为222[(2)](1,),()(1)()x a a f x x x a --'-+∞=++………………….2分（ⅰ）当12a <<时，若2(1,2)x a a ∈--，则()0f x '>，()f x 在2(1,2)a a --是增函数；若2(2,0)x a a ∈-，则()0f x '<，()f x 在2(2,0)a a -是减函数；若(0,)x ∈+∞，则()0f x '>，()f x 在(0,)+∞是增函数；……………………4分（ⅱ）当2a =时，()0f x '≥，()0f x '=成立当且仅当0x =，()f x 在(1,)-+∞是增函数； （ⅲ）当2a >时，若(1,0)x ∈-，则()0f x '>，()f x 在(1,0)-是增函数；若2(0,2)x a a ∈-，则()0f x '<，()f x 在2(0,2)a a -是减函数；若2(2,)x a a ∈-+∞，则()0f x '>，()f x 在2(2,)a a -+∞是增函数；……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当2a =时，()f x 在(1,)-+∞是增函数，当(0,)x ∈+∞时，()(0)0f x f >=，即2ln(1)(0)2xx x x +>>+ 又由（Ⅰ）知，当3a =时，()f x 在[0,3)是减函数， 当(0,3)x ∈时，()(0)0f x f <=，即3ln(1)(03)3xx x x +<<<+…………………9分 下面用数学归纳法证明2322n a n n <≤++ （ⅰ）当1n =时，由已知1213a <=，故结论成立； （ⅱ）设当n k =时结论成立，即2322k a k k <≤++ 当1n k =+时，122222ln(1)ln(1)22322k k k a a k k k +⨯+=+>+>=++++ 133332ln(1)ln(1)32332k k k a a k k k +⨯+=+≤+>=++++即当1n k =+时有12333k a k k +<≤++，结论成立。
整理sin(a+b)公式_温馨提示：
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考点16 正弦定理和余弦定理•选择题1. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T4)钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=( )A.5B.C.2D.1【解题提示】利用三角形面积公式求得角B,然后结合条件,利用余弦定理,求得AC.【解析】选B.因为S△ABC=acsinB=·sinB=,所以sinB=,所以B=或.当B=时,经计算△ABC为等腰直角三角形,不符合题意,舍去.•所以B=,使用余弦定理,b2=a2+c2-2accosB,解得b=.故选B.二、填空题2. (2014·湖北高考文科·T13)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=,a=1,b=,则B= .【解析】依题意,由正弦定理知=,得出sinB=.由于0<B<π,所以B=或.答案:或【误区警示】由于解题过程中无法判断B是锐角还是钝角,所以由sinB=得到两个结果:B=或.本题的易错点是漏掉其中一个.3.(2014·广东高考理科)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosC+ccosB=2b,则= .【解析】方法一:由正弦定理bcosC+ccosB=2b,即sinBcosC+sinCcosB=2sinB,即sin(B+C)=2sinB,sin(π-A)=2sinB,有sinA=2sinB,再由正弦定理得a=2b,=2.方法二:如图,作AD⊥BC于点D,则a=BC=BD+DC=ccosB+bcosC=2b,即=2.答案:2【创新提示】熟用三角形射影定理可迅速得解.4.（2014·福建高考文科·Ｔ14）14．在中，,则等于_________【解题指南】直接应用余弦定理求解。
【解析】由余弦定理，得，即，解得．答案：1．5.（2014·福建高考理科·Ｔ12）在中，,则的面积等于_________【解题指南】先利用余弦定理求出AB，再由面积公式求解。
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2014·全国卷(理科数学)1．[2014·全国卷] 设z ＝10i3＋i，则z 的共轭复数为( )A ．－1＋3iB ．－1－3iC ．1＋3iD ．1－3i1．D [解析] z ＝10i3＋i ＝10i （3－i ）（3＋i ）（3－i ）＝10（1＋3i ）10＝1＋3i ，根据共轭复数的定义，其共轭复数是1－3i.2．、[2014·全国卷] 设集合M ＝{x |x 2－3x －4<0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则M ∩N ＝( )A ．(0，4]B ．[0，4)C ．[－1，0)D ．(－1，0]2．B [解析] 因为M ＝{x |x 2－3x －4<0}＝{x |－1<x <4}，N ＝{x |0≤x ≤5}，所以M ∩N ＝{x |－1<x <4}∩{0≤x ≤5}＝{x |0≤x <4}．3．[2014·全国卷] 设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b3．C [解析] 因为b ＝cos 55°＝sin 35°>sin 33°，所以b ＞a .因为cos 35°<1，所以1cos 35°>1，所以sin 35°cos 35°>sin 35°.又c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°>sin 35°，所以c >b ，所以c >b >a .4．[2014·全国卷] 若向量a ，b 满足：|a|＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( ) A ．2 B. 2 C ．1 D.224．B [解析] 因为(a ＋b )⊥a ，所以(a ＋b )·a ＝0，即|a|2＋b·a ＝0.因为(2a ＋b )⊥b ，所以(2a ＋b )·b ＝0，即2a·b ＋|b|2＝0，与|a|2＋b·a ＝0联立，可得2|a|2－|b|2＝0，所以|b|＝2|a|＝ 2. 5．[2014·全国卷] 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种5．C [解析] 由题意，从6名男医生中选2名，5名女医生中选1名组成一个医疗小组，不同的选法共有C 26C 15＝75(种)．6．[2014·全国卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 6．A [解析] 根据题意，因为△AF 1B 的周长为43，所以|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝43，所以a ＝ 3.又因为椭圆的离心率e ＝c a ＝33，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3－1＝2，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1. 7．[2014·全国卷] 曲线y ＝x e x －1在点(1，1)处切线的斜率等于( ) A ．2e B ．e C ．2 D ．17．C [解析] 因为y ′＝(x e x －1)′＝e x －1＋x e x －1，所以y ＝x e x －1在点(1，1)处的导数是y ′|x ＝1＝e 1－1＋e 1－1＝2，故曲线y ＝x e x －1在点(1，1)处的切线斜率是2.8．、[2014·全国卷] 正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π48．A [解析] 如图所示，因为正四棱锥的底面边长为2，所以AE ＝12AC ＝ 2.设球心为O ，球的半径为R ，则OE ＝4－R ，OA ＝R ，又知△AOE 为直角三角形，根据勾股定理可得，OA 2＝OE 2＋AE 2，即R 2＝(4－R )2＋2，解得R ＝94，所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×⎝⎛⎫942＝81π4.9．[2014·全国卷] 已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )A.14B.13C.24D.239．A [解析] 根据题意，|F 1A |－|F 2A |＝2a ，因为|F 1A |＝2|F 2A |，所以|F 2A |＝2a ，|F 1A |＝4a .又因为双曲线的离心率e ＝ca ＝2，所以c ＝2a ，|F 1F 2|＝2c ＝4a ，所以在△AF 1F 2中，根据余弦定理可得cos ∠AF 2F 1＝|F 1F 2|2＋|F 2A |2－|F 1A |22|F 1F 2|·|F 2A |＝16a 2＋4a 2－16a 22×4a ×2a＝14. 10．[2014·全国卷] 等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( )A ．6B ．5C ．4D ．310．C [解析] 设数列{a n}的首项为a 1，公比为q ，根据题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2，a 1q 4＝5，解得⎩⎨⎧a 1＝16125，q ＝52，所以a n＝a 1qn－1＝16125×⎝⎛⎭⎫52n －1＝2×⎝⎛⎭⎫52n －4，所以lg a n ＝lg 2＋(n －4)lg 52，所以前8项的和为8lg 2＋(－3－2－1＋0＋1＋2＋3＋4)lg 52＝8lg 2＋4lg 52＝4lg ⎝⎛⎭⎫4×52＝4. 11．[2014·全国卷] 已知二面角αl β为60°，AB ⊂α，AB ⊥l ，A 为垂足，CD ⊂β，C ∈l ，∠ACD ＝135°，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为( )A.14B.24C.34D.1211．B [解析] 如图所示，在平面α内过点C 作CF ∥AB ，过点F 作FE ⊥β，垂足为点E ，连接CE ，则CE ⊥l ，所以∠ECF ＝60°.过点E 作DE ⊥CE ，交CD 于点D 1，连接FD 1.不妨设FC ＝2a ，则CE ＝a ，EF ＝3a .因为∠ACD ＝135°，所以∠DCE ＝45°，所以，在Rt △DCE 中，D 1E ＝CE ＝a ，CD 1＝2a ，∴FD 1＝2a ，∴cos∠DCF ＝4a 2＋2a 2－4a 22×2a ×2a＝24.12．[2014·全国卷] 函数y ＝f (x )x ＋y ＝0对称，则y ＝f (x )的反函数是( )A ．y ＝g (x )B ．y ＝g (－x )C ．y ＝－g (x )D ．y ＝－g (－x )12．D [解析] 设(x 0，y 0)为函数y ＝f (x )的图像上任意一点，其关于直线x ＋y ＝0的对称点为(－y 0，－x 0)．根据题意，点(－y 0，－x 0)在函数y ＝g (x )的图像上，又点(x 0，y 0)关于直线y ＝x 的对称点为(y 0，x 0)，且(y 0，x 0)与(－y 0，－x 0)关于原点对称，所以函数y ＝f (x )的反函数的图像与函数y ＝g (x )的图像关于原点对称，所以－y ＝g (－x )，即y ＝－g (－x )．13．[2014·全国卷] ⎝⎛⎭⎫x y －y x 8的展开式中x 2y 2的系数为________．(用数字作答) 13．70 [解析] 易知二项展开式的通项T r ＋1＝C r 8⎝⎛⎭⎫x y 8－r ⎝⎛⎭⎫－y x r＝(－1)r C r 8x 8－3r 2y 3r 2－4.要求x 2y 2的系数，需满足8－3r 2＝2且3r 2－4＝2，解得r ＝4，所以T 5＝(－1)4C 48x 2y 2＝70x 2y 2，所以x 2y 2的系数为70. 14．[2014·全国卷] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤3，x －2y ≤1，则z ＝x ＋4y 的最大值为________．14．5 [解析] (包括边界), z ＝x ＋4y 的最大值即为直线y ＝－14x ＋14z 的纵截距最大时z 的值．结合题意，当y ＝－14x ＋14z 经过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋2y ＝3，可得点A 的坐标为(1，1)， 所以z max ＝1＋4＝5. 15．、[2014·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．15.43 [解析] 如图所示，根据题意，OA ⊥P A ，OA ＝2，OP ＝10，所以P A ＝OP 2－OA 2＝2 2，所以tan ∠OP A ＝OA P A ＝22 2＝12，故tan ∠APB ＝2tan ∠OP A 1－tan 2∠OP A ＝43，即l 1与l 2的夹角的正切值等于43.16．、[2014·全国卷] 若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________．16．(－∞，2] [解析] f (x )＝cos 2x ＋a sin x ＝－2sin 2x ＋a sin x ＋1，令sin x ＝t ，则f (x )＝－2t 2＋at ＋1.因为x ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，所以t ∈⎝⎛⎭⎫12，1，所以f (x )＝－2t 2＋at ＋1，t ∈⎝⎛⎭⎫12，1.因为f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2是减函数，所以f (x )＝－2t 2＋at ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，1上是减函数，又对称轴为x ＝a 4，∴a 4≤12，所以a ∈(－∞，2]． 17．[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .17．解：由题设和正弦定理得 3sin A cos C ＝2sin C cos A ， 故3tan A cos C ＝2sin C .因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ，所以tan C ＝12.所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C ) ＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1，所以B ＝135°. 18．、[2014·全国卷] 等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .18．解：(1)由a 1＝10，a 2为整数知，等差数列{a n }的公差d 为整数． 又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0， 于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0， 解得－103≤d ≤－52，因此d ＝－3.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n . (2)b n ＝1（13－3n ）（10－3n ）＝13⎝⎛⎭⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13⎝⎛⎭⎫17－110＋⎝⎛⎭⎫14－17＋…＋⎝⎛⎭⎫110－3n －113－3n ＝13⎝⎛⎭⎫110－3n －110＝n 10（10－3n ）.19．、[2014·全国卷] 如图11所示，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AC ＝CC 1＝2.(1)证明：AC 1⊥A 1B;(2)设直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离为3，求二面角A 1 AB C 的大小．19．解：方法一：(1)证明：因为A 1D 11C 1C ，故平面AA 1C 1C ⊥平面ABC . 又BC ⊥AC ，所以BC ⊥平面AA 1C 1C .连接A 1C ，因为侧面AA 1C 1C 为菱形，故AC 1⊥A 1C . 由三垂线定理得AC 1⊥A 1B .(2)BC ⊥平面AA 1C 1C ，BC ⊂平面BCC 1B 1，故平面AA 1C 1C ⊥平面BCC 1B 1. 作A 1E ⊥CC 1，E 为垂足，则A 1E ⊥平面BCC 1B 1.又直线AA 1∥平面BCC 1B 1，因而A 1E 为直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离， 即A 1E ＝ 3.因为A 1C 为∠ACC 1的平分线，所以A 1D ＝A 1E ＝ 3.作DF ⊥AB ，F 为垂足，连接A 1F .由三垂线定理得A 1F ⊥AB ，故∠A 1FD 为二面角A 1 AB C 的平面角．由AD ＝AA 21－A 1D 2＝1，得D 为AC 中点，DF ＝55，tan ∠A 1FD ＝A 1D DF ＝15，所以cos ∠A 1FD ＝14. 所以二面角A 1 AB C 的大小为arccos 14.方法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz .由题设知A 1D 与z 轴平行，z 轴在平面AA 1C 1C 内．(1)证明：设A 1(a ，0，c )．由题设有a ≤2，A (2，0，0)，B (0，1，0)，则＝(－2，1，0)，＝(－2，0，0)，＝(a －2，0，c )，＝＋＝(a －4，0，c )，＝(a ，－1，c )．由||＝2，得（a －2）2＋c 2＝2，即a 2－4a ＋c 2＝0.①又·＝a 2－4a ＋c 2＝0，所以AC 1⊥A 1B .(2)设平面BCC 1B 1的法向量m ＝(x ，y ，z )，则m ⊥，m ⊥，即m ·＝0，m ·＝0.因为＝(0，1，0)，＝＝(a －2，0，c )，所以y ＝0且(a －2)x ＋cz ＝0.令x ＝c ，则z ＝2－a ，所以m ＝(c ，0，2－a )，故点A 到平面BCC 1B 1的距离为||·|cos 〈m ，〉|＝＝2cc 2＋（2－a ）2＝c .又依题设，A 到平面BCC 1B 1的距离为3， 所以c ＝3，代入①，解得a ＝3(舍去)或a ＝1， 于是＝(－1，0，3)．设平面ABA 1的法向量n ＝(p ，q ，r )， 则n ⊥，n ⊥，即n ·＝0，n ·＝0，－p ＋3r ＝0，且－2p ＋q ＝0.令p ＝3，则q ＝2 3，r ＝1，所以n ＝(3，2 3，1)． 又p ＝(0，0，1)为平面ABC 的法向量，故 cos 〈n ，p 〉＝n ·p |n ||p |＝14.所以二面角A 1 AB C 的大小为arccos 14.20．、[2014·全国卷] 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．20．解：记A 1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0，1，2. B 表示事件：甲需使用设备． C 表示事件：丁需使用设备．D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)因为P (B )＝0.6，P (C )＝0.4，P (A i )＝C i 2×0.52，i ＝0，1，2， 所以P (D )＝P (A 1·B ·C ＋A 2·B ＋A 2·B ·C )＝ P (A 1·B ·C )＋P (A 2·B )＋P (A 2·B ·C )＝P (A 1)P (B )P (C )＋P (A 2)P (B )＋P (A 2)P (B )P (C )＝ 0．31.(2)X 的可能取值为0，1，2，3，4，其分布列为 P (X ＝0)＝P (B ·A 0·C ) ＝P (B )P (A 0)P (C )＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4) ＝0.06，P (X ＝1)＝P (B ·A 0·C ＋B ·A 0·C ＋B ·A 1·C )＝P (B )P (A 0)P (C )＋P (B )P (A 0)P (C )＋P (B )P (A 1)P (C )＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P (X ＝4)＝P (A 2·B ·C )＝P (A 2)P (B )P (C )＝0.52×0.6×0.4＝0.06， P (X ＝3)＝P (D )－P (X ＝4)＝0.25，P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，所以 EX ＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.21．、、[2014·全国卷] 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．21．解：(1)设Q (x 0，4)，代入y 2＝2px ，得x 0＝8p ，所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p.由题设得p 2＋8p ＝54×8p，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2，所以C 的方程为y 2＝4x .(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.故线段的AB 的中点为D (2m 2＋1，2m )， |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)． 又直线l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1m y ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4m y －4(2m 2＋3)＝0.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m ，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故线段MN 的中点为E ⎝⎛⎭⎫2m 2＋2m 2＋3，－2m ， |MN |＝1＋1m 2|y 3－y 4|＝4（m 2＋1）2m 2＋1m 2. 由于线段MN 垂直平分线段AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |，从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2，即4(m 2＋1)2＋⎝⎛⎭⎫2m ＋2m 2＋⎝⎛⎭⎫2m 2＋22＝ 4（m 2＋1）2（2m 2＋1）m 4，化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1，故所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0. 22．、[2014·全国卷] 函数f (x )＝ln(x ＋1)－axx ＋a(a >1)． (1)讨论f (x )的单调性；(2)设a 1＝1，a n ＋1＝ln(a n ＋1)，证明：2n ＋2<a n ≤3n ＋2.22．解：(1)易知f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x [x －（a 2－2a ）]（x ＋1）（x ＋a ）2.(i)当1<a <2时，若x ∈(－1，a 2－2a )，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，a 2－2a )是增函数； 若x ∈(a 2－2a ，0)，则f ′(x )<0，所以f (x )在(a 2－2a ，0)是减函数； 若x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)是增函数．(ii)当a ＝2时，若f ′(x )≥0，f ′(x )＝0成立当且仅当x ＝0，所以f (x )在(－1，＋∞)是增函数. (iii)当a >2时，若x ∈(－1，0)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，0)是增函数； 若x ∈(0，a 2－2a )，则f ′(x )<0， 所以f (x )在(0，a 2－2a )是减函数；若x ∈(a 2－2a ，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(a 2－2a ，＋∞)是增函数． (2)由(1)知，当a ＝2时，f (x )在(－1，＋∞)是增函数． 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝0，即ln(x ＋1)>2xx ＋2(x >0)．又由(1)知，当a ＝3时，f (x )在[0，3)是减函数． 当x ∈(0，3)时，f (x )<f (0)＝0，即ln(x ＋1)<3xx ＋3(0<x <3)．下面用数学归纳法证明2n ＋2<a n ≤3n ＋2.(i)当n ＝1时，由已知23<a 1＝1，故结论成立．(ii)假设当n ＝k 时结论成立，即2k ＋2<a k ≤3k ＋2. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝ln(a k ＋1)>ln ⎝⎛⎭⎫2k ＋2＋1>2×2k ＋22k ＋2＋2＝2k ＋3，a k ＋1＝ln(a k ＋1)≤ln ⎝⎛⎭⎫3k ＋2＋1<3×3k ＋23k ＋2＋3＝3k ＋3，即当n ＝k ＋1时，有2k ＋3 <a k ＋1≤3k ＋3，结论成立．根据(i)(ii)知对任何n ∈N *结论都成立．。