2014全国卷(理科数学)精准解析

2014·全国卷(理科数学)
1．[2014·全国卷] 设z ＝
10i
3＋i
，则z 的共轭复数为( )
A ．－1＋3i
B ．－1－3i
C ．1＋3i
D ．1－3i
1．D [解析] z ＝10i
3＋i ＝10i （3－i ）（3＋i ）（3－i ）＝10（1＋3i ）10＝1＋3i ，根据共轭复数的定义，其共轭复数是1－
3i.
2．、[2014·全国卷] 设集合M ＝{x |x 2－3x －4<0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则M ∩N ＝( )
A ．(0，4]
B ．[0，4)
C ．[－1，0)
D ．(－1，0]
2．B [解析] 因为M ＝{x |x 2－3x －4<0}＝{x |－1<x <4}，N ＝{x |0≤x ≤5}，所以M ∩N ＝{x |－1<x <4}∩{0≤x ≤5}＝{x |0≤x <4}．
3．[2014·全国卷] 设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b
3．C [解析] 因为b ＝cos 55°＝sin 35°>sin 33°，所以b ＞a .因为cos 35°<1，所以1
cos 35°>1，所以
sin 35°cos 35°>sin 35°.又c ＝tan 35°＝sin 35°
cos 35°
>sin 35°，所以c >b ，所以c >b >a .
4．[2014·全国卷] 若向量a ，b 满足：|a|＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( ) A ．2 B. 2 C ．1 D.
2
2
4．B [解析] 因为(a ＋b )⊥a ，所以(a ＋b )·a ＝0，即|a|2＋b·a ＝0.因为(2a ＋b )⊥b ，所以(2a ＋b )·b ＝0，即2a·b ＋|b|2＝0，与|a|2＋b·a ＝0联立，可得2|a|2－|b|2＝0，所以|b|＝2|a|＝ 2. 5．[2014·全国卷] 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )
A ．60种
B ．70种
C ．75种
D ．150种
5．C [解析] 由题意，从6名男医生中选2名，5名女医生中选1名组成一个医疗小组，不同的选法共有C 26C 15＝75(种)．
6．[2014·全国卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为3
3，过F 2的直线l 交C
于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )
A.x 23＋y 22＝1
B.x 23＋y 2
＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 2
4
＝1 6．A [解析] 根据题意，因为△AF 1B 的周长为43，所以|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝43，所以a ＝ 3.又因为椭圆的离心率e ＝c a ＝3
3，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3－1＝2，所以椭圆C 的方程为
x 23＋y 2
2
＝1. 7．[2014·全国卷] 曲线y ＝x e x －
1在点(1，1)处切线的斜率等于( ) A ．2e B ．e C ．2 D ．1
7．C [解析] 因为y ′＝(x e x －1)′＝e x －1＋x e x －1，所以y ＝x e x －1在点(1，1)处的导数是y ′|x ＝1＝e 1－1＋e 1－
1＝2，故
曲线y ＝x e x －
1在点(1，1)处的切线斜率是2.
8．、[2014·全国卷] 正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )
A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π4
8．A [解析] 如图所示，因为正四棱锥的底面边长为2，所以AE ＝1
2AC ＝ 2.设球心为O ，球的半径为R ，
则OE ＝4－R ，OA ＝R ，又知△AOE 为直角三角形，根据勾股定理可得，OA 2＝OE 2＋AE 2，即R 2＝(4－R )2＋2，解得R ＝94，所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×⎝⎛⎫942＝81π4
.
9．[2014·全国卷] 已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1
＝( )
A.14
B.13
C.24
D.23
9．A [解析] 根据题意，|F 1A |－|F 2A |＝2a ，因为|F 1A |＝2|F 2A |，所以|F 2A |＝2a ，|F 1A |＝4a .又因为双曲线的离心率e ＝c
a ＝2，所以c ＝2a ，|F 1F 2|＝2c ＝4a ，所以在△AF 1F 2中，根据余弦定理可得cos ∠AF 2F 1＝
|F 1F 2|2＋|F 2A |2－|F 1A |2
2|F 1F 2|·|F 2A |
＝
16a 2＋4a 2－16a 22×4a ×2a
＝1
4. 10．[2014·全国卷] 等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
10．C [解析] 设数列{a n
}的首项为a 1
，公比为q ，根据题意可得，⎩
⎪⎨⎪⎧a 1q 3
＝2，
a 1q 4
＝5，解得⎩⎨⎧a 1
＝16
125，q ＝52，
所以a n
＝a 1
q
n
－1
＝16125×⎝⎛⎭⎫52n －1＝2×⎝⎛⎭⎫52n －4，所以lg a n ＝lg 2＋(n －4)lg 52
，所以前8项的和为8lg 2＋(－3－2－1＋0＋1＋2＋3＋
4)lg 52＝8lg 2＋4lg 5
2
＝4lg ⎝⎛⎭⎫4×52＝4. 11．[2014·全国卷] 已知二面角αl β为60°，AB ⊂α，AB ⊥l ，A 为垂足，CD ⊂β，C ∈l ，∠ACD ＝135°，
则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为( )
A.14
B.24
C.34
D.12
11．B [解析] 如图所示，在平面α内过点C 作CF ∥AB ，过点F 作FE ⊥β，垂足为点E ，连接CE ，则CE ⊥l ，所以∠ECF ＝60°.过点E 作DE ⊥CE ，交CD 于点D 1，连接FD 1.不妨设FC ＝2a ，则CE ＝a ，EF ＝3a .因
为∠ACD ＝135°，所以∠DCE ＝45°，所以，在Rt △DCE 中，D 1E ＝CE ＝a ，CD 1＝2a ，∴FD 1＝2a ，∴cos
∠DCF ＝4a 2＋2a 2－4a 22×2a ×2a
＝2
4.
12．[2014·全国卷] 函数y ＝f (x )x ＋y ＝0对称，则y ＝f (x )的反函数是( )
A ．y ＝g (x )
B ．y ＝g (－x )
C ．y ＝－g (x )
D ．y ＝－g (－x )
12．D [解析] 设(x 0，y 0)为函数y ＝f (x )的图像上任意一点，其关于直线x ＋y ＝0的对称点为(－y 0，－x 0)．根据题意，点(－y 0，－x 0)在函数y ＝g (x )的图像上，又点(x 0，y 0)关于直线y ＝x 的对称点为(y 0，x 0)，且(y 0，x 0)与(－y 0，－x 0)关于原点对称，所以函数y ＝f (x )的反函数的图像与函数y ＝g (x )的图像关于原点对称，所以－y ＝g (－x )，即y ＝－g (－x )．
13．[2014·全国卷] ⎝⎛⎭
⎫x y －y x 8的展开式中x 2y 2的系数为________．(用数字作答) 13．70 [解析] 易知二项展开式的通项
T r ＋1＝C r 8
⎝⎛⎭⎫x y 8－r ⎝
⎛⎭⎫－y x r
＝(－1)r C r 8
x 8－3r 2y 3r 2－4.要求x 2y 2的系数，需
满足8－3r 2＝2且3r 2
－4＝2，解得r ＝4，所以T 5＝(－1)4C 48x 2y 2＝70x 2y 2，所以x 2y 2
的系数为70. 14．[2014·全国卷] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤3，x －2y ≤1，
则z ＝x ＋4y 的最大值为________．
14．5 [解析] (包括边界), z ＝x ＋4y 的最大值即为直线y ＝－14x ＋14z 的纵截距最大时z 的值．结合题意，当y ＝－14x ＋1
4
z 经过点A 时，z 取得最大值．
由⎩
⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋2y ＝3，可得点A 的坐标为(1，1)， 所以z max ＝1＋4＝5. 15．、[2014·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．
15.4
3 [解析] 如图所示，根据题意，OA ⊥P A ，OA ＝2，OP ＝10，所以P A ＝OP 2－OA 2＝2 2，所以tan ∠OP A ＝OA P A ＝22 2＝12，故tan ∠APB ＝2tan ∠OP A 1－tan 2
∠OP A ＝4
3
，
即l 1与l 2的夹角的正切值等于4
3
.
16．、[2014·全国卷] 若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π
2是减函数，则a 的取值范围是________．
16．(－∞，2] [解析] f (x )＝cos 2x ＋a sin x ＝－2sin 2x ＋a sin x ＋1，令sin x ＝t ，则f (x )＝－2t 2＋at ＋1.因为x ∈⎝⎛
⎭⎫π6，π2，所以t ∈⎝⎛⎭⎫12，1，所以f (x )＝－2t 2＋at ＋1，t ∈⎝⎛⎭⎫12，1.因为f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭
⎫π6，π
2是减函数，所以f (x )＝－2t 2＋at ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，1上是减函数，又对称轴为x ＝a 4，∴a 4≤1
2
，所以a ∈(－∞，2]． 17．[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝1
3，求B .
17．解：由题设和正弦定理得 3sin A cos C ＝2sin C cos A ， 故3tan A cos C ＝2sin C .
因为tan A ＝1
3，所以cos C ＝2sin C ，
所以tan C ＝1
2
.
所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C ) ＝
tan A ＋tan C
tan A tan C －1
＝－1，
所以B ＝135°. 18．、[2014·全国卷] 等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝1
a n a n ＋1
，求数列{b n }的前n 项和T n .
18．解：(1)由a 1＝10，a 2为整数知，等差数列{a n }的公差d 为整数． 又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0， 于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0， 解得－103≤d ≤－52
，
因此d ＝－3.
故数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n . (2)b n ＝
1（13－3n ）（10－3n ）＝13⎝
⎛⎭⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13⎝⎛⎭⎫17－110＋⎝⎛⎭⎫
14－17＋…＋⎝⎛⎭⎫110－3n －113－3n ＝13⎝⎛⎭⎫110－3n －110＝
n 10（10－3n ）.
19．、[2014·全国卷] 如图11所示，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AC ＝CC 1＝2.
(1)证明：AC 1⊥A 1B;
(2)设直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离为3，求二面角A 1 AB C 的大小．
19．解：方法一：(1)证明：因为A 1D 11C 1C ，故平面AA 1C 1C ⊥平面ABC . 又BC ⊥AC ，所以BC ⊥平面AA 1C 1C .
连接A 1C ，因为侧面AA 1C 1C 为菱形，故AC 1⊥A 1C . 由三垂线定理得AC 1⊥A 1B .
(2)BC ⊥平面AA 1C 1C ，BC ⊂平面BCC 1B 1，故平面AA 1C 1C ⊥平面BCC 1B 1. 作A 1E ⊥CC 1，E 为垂足，则A 1E ⊥平面BCC 1B 1.
又直线AA 1∥平面BCC 1B 1，因而A 1E 为直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离， 即A 1E ＝ 3.
因为A 1C 为∠ACC 1的平分线，
所以A 1D ＝A 1E ＝ 3.
作DF ⊥AB ，F 为垂足，连接A 1F .
由三垂线定理得A 1F ⊥AB ，故∠A 1FD 为二面角A 1 AB C 的平面角．
由AD ＝AA 2
1－A 1D 2＝1，得D 为AC 中点，
DF ＝
55，tan ∠A 1FD ＝A 1D DF ＝15，所以cos ∠A 1FD ＝1
4
. 所以二面角A 1 AB C 的大小为arccos 14
.
方法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz .由题设知A 1D 与z 轴平行，z 轴在平面AA 1C 1C 内．
(1)证明：设A 1(a ，0，c )．由题设有a ≤2，A (2，0，0)，B (0，1，0)，则＝(－2，1，0)，＝(－2，0，0)，＝(a －2，0，c )，＝＋＝(a －4，0，c )，＝(a ，－1，c )．由||＝2，得（a －2）2＋c 2＝2，即a 2－4a ＋c 2＝0.①
又·＝a 2－4a ＋c 2＝0，所以AC 1⊥A 1B .
(2)设平面BCC 1B 1的法向量m ＝(x ，y ，z )，则m ⊥，m ⊥，即m ·＝0，m ·＝0.因为＝(0，1，0)，＝＝(a －2，0，c )，所以y ＝0且(a －2)x ＋cz ＝0.
令x ＝c ，则z ＝2－a ，所以m ＝(c ，0，2－a )，故点A 到平面BCC 1B 1的距离为||·|cos 〈m ，〉|＝＝2c
c 2
＋（2－a ）2
＝c .
又依题设，A 到平面BCC 1B 1的距离为3， 所以c ＝3，
代入①，解得a ＝3(舍去)或a ＝1， 于是＝(－1，0，3)．
设平面ABA 1的法向量n ＝(p ，q ，r )， 则n ⊥，n ⊥，即n ·＝0，n ·＝0，
－p ＋3r ＝0，且－2p ＋q ＝0.
令p ＝3，则q ＝2 3，r ＝1，所以n ＝(3，2 3，1)． 又p ＝(0，0，1)为平面ABC 的法向量，故 cos 〈n ，p 〉＝n ·p |n ||p |＝1
4
.
所以二面角A 1 AB C 的大小为arccos 1
4
.
20．、[2014·全国卷] 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．
(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．
20．解：记A 1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0，1，2. B 表示事件：甲需使用设备． C 表示事件：丁需使用设备．
D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．
(1)因为P (B )＝0.6，P (C )＝0.4，P (A i )＝C i 2×0.52，i ＝0，1，2， 所以P (D )＝P (A 1·B ·C ＋A 2·B ＋A 2·B ·C )＝ P (A 1·B ·C )＋P (A 2·B )＋P (A 2·B ·C )＝
P (A 1)P (B )P (C )＋P (A 2)P (B )＋P (A 2)P (B )P (C )＝ 0．31.
(2)X 的可能取值为0，1，2，3，4，其分布列为 P (X ＝0)＝P (B ·A 0·C ) ＝P (B )P (A 0)P (C )
＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4) ＝0.06，
P (X ＝1)＝P (B ·A 0·C ＋B ·A 0·C ＋B ·A 1·C )＝
P (B )P (A 0)P (C )＋P (B )P (A 0)P (C )＋P (B )P (A 1)P (C )＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，
P (X ＝4)＝P (A 2·B ·C )＝P (A 2)P (B )P (C )＝0.52×0.6×0.4＝0.06， P (X ＝3)＝P (D )－P (X ＝4)＝0.25，
P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，
所以 EX ＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.
21．、、[2014·全国卷] 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝5
4
|PQ |.
(1)求C 的方程；
(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．
21．解：(1)设Q (x 0，4)，代入y 2＝2px ，得x 0＝8
p ，
所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8
p
.
由题设得p 2＋8p ＝54×8
p
，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2，
所以C 的方程为y 2＝4x .
(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.
故线段的AB 的中点为D (2m 2＋1，2m )， |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)． 又直线l ′的斜率为－m ，
所以l ′的方程为x ＝－1
m y ＋2m 2＋3.
将上式代入y 2＝4x ，
并整理得y 2＋4
m y －4(2m 2＋3)＝0.
设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，
则y 3＋y 4＝－4
m ，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．
故线段MN 的中点为E ⎝⎛⎭⎫2m 2＋2m 2
＋3，－2m ， |MN |＝
1＋1
m 2|y 3－y 4|＝4（m 2＋1）2m 2＋1m 2
. 由于线段MN 垂直平分线段AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝1
2|MN |，
从而14|AB |2＋|DE |2＝1
4|MN |2，即
4(m 2
＋1)2
＋⎝⎛⎭⎫2m ＋2m 2
＋⎝⎛⎭
⎫2
m 2＋22
＝ 4（m 2＋1）2（2m 2＋1）
m 4
，
化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1，
故所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0. 22．、[2014·全国卷] 函数f (x )＝ln(x ＋1)－ax
x ＋a
(a >1)． (1)讨论f (x )的单调性；
(2)设a 1＝1，a n ＋1＝ln(a n ＋1)，证明：2n ＋2<a n ≤3n ＋2
.
22．解：(1)易知f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x [x －（a 2－2a ）]
（x ＋1）（x ＋a ）2
.
(i)当1<a <2时，若x ∈(－1，a 2－2a )，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，a 2－2a )是增函数； 若x ∈(a 2－2a ，0)，则f ′(x )<0，所以f (x )在(a 2－2a ，0)是减函数； 若x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)是增函数．
(ii)当a ＝2时，若f ′(x )≥0，f ′(x )＝0成立当且仅当x ＝0，所以f (x )在(－1，＋∞)是增函数. (iii)当a >2时，若x ∈(－1，0)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，0)是增函数； 若x ∈(0，a 2－2a )，则f ′(x )<0， 所以f (x )在(0，a 2－2a )是减函数；
若x ∈(a 2－2a ，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(a 2－2a ，＋∞)是增函数． (2)由(1)知，当a ＝2时，f (x )在(－1，＋∞)是增函数． 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝0，即ln(x ＋1)>2x
x ＋2
(x >0)．
又由(1)知，当a ＝3时，f (x )在[0，3)是减函数． 当x ∈(0，3)时，f (x )<f (0)＝0，即ln(x ＋1)<3x
x ＋3(0<x <3)．
下面用数学归纳法证明2n ＋2<a n ≤3
n ＋2.
(i)当n ＝1时，由已知2
3<a 1＝1，故结论成立．
(ii)假设当n ＝k 时结论成立，即2k ＋2<a k ≤3k ＋2
. 当n ＝k ＋1时，
a k ＋1＝ln(a k ＋1)>ln ⎝⎛⎭⎫2k ＋2＋1>2×2k ＋22k ＋2＋2＝2
k ＋3
，
a k ＋1＝ln(a k ＋1)≤ln ⎝⎛⎭⎫3k ＋2＋1<3×
3k ＋23k ＋2＋3＝3
k ＋3
，
即当n ＝k ＋1时，有2k ＋3 <a k ＋1≤3
k ＋3，结论成立．
根据(i)(ii)知对任何n ∈N *结论都成立．。