简单的三角方程
三角方程的解法
三角方程的解法
1. 引言
三角方程是包含了三角函数的方程，与普通的代数方程相比，其求解过程中存在一些特殊性。
本文将介绍几种常见的解三角方程的方法。
2. 常见三角方程的解法
2.1. 三角恒等变换法
三角恒等变换法是一种常用的解三角方程的方法。
该方法通过把原方程经过一系列的三角恒等变换，转化为一个更简单的方程，从而得到解。
例如，对于sin(2x) = 1的方程，可以使用三角恒等变换sin(2x) = 2sin(x)cos(x)来简化为2sin(x)cos(x) = 1的方程。
2.2. 利用单位圆解法
单位圆解法是一种通过在单位圆上寻找角度的方法来解决三角方程的方法。
该方法通过将三角方程转化为在单位圆上求解对应角度的问题。
例如，对于cos(x) = 1/2的方程，可以在单位圆上找到x = π/3和x = 5π/3两个解。
2.3. 利用三角函数的周期性
三角函数具有周期性，利用这一特性可以简化三角方程的求解
过程。
例如，对于sin(x) = sin(π/6)的方程，考虑到正弦函数的周期
是2π，可以得到x = π/6 + 2πn和x = π - π/6 + 2πn两个解。
其中n
为整数。
3. 总结
解三角方程是研究三角函数的重要环节，通过熟练掌握三角恒
等变换、单位圆解法以及利用三角函数的周期性，可以解决各种类
型的三角方程。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的解法，并注意方程的特殊性。
以上就是本文对三角方程解法的介绍，希望对读者有所帮助。
反三角函数与简单三角方程
1、反三角函数:概念：把正弦函数y =sinx , X _一，一时的反函数，成为反正弦函数，记作y = arcsinx.IL 2 2y = Sin X（X二R）,不存在反函数含义：arcsinx表示一个角：•；角• _一，一；sin〉=x.1 2 2J反余弦、反正切函数同理，性质如下表.其中：（1 ）•符号arcsi nx可以理解为［—二，丄］上的一个角（弧度），也可以理解为区间［—丄，丄］上的一个实2 2 2 2数；同样符号arccosx可以理解为［0, ∏］上的一个角（弧度），也可以理解为区间［0, ∏］上的一个实数；(2) •y= arcsinx 等价于Siny= x, y∈[ —, — ], y= arccosx 等价于cosy = x, x∈[0, ∏],这两个等价关2 2系是解反三角函数问题的主要依据；(3) •恒等式sin(arcsinX)= x, X∈[ —1, 1] , cos(arccosx) = x, x∈[—1, 1],arcsin(sinx) = x, x∈[ —— , — ], arccos(cosx) = x, X∈[0, ∏]的运用的条件; 2 2(4) • 恒等式arcsinx + arccosx= — , arctanx+ arccotx= —的应用。
2 2方程方程的解集Sin X = aa ∣ = 1 {χ I x = 2k 兀 + arcs in a, k 壬 Z }a <1{χ ∣x = k 兀 +(_1 arcsina, k Z> COSX= aa ∣ = 1{χ | x = 2k 兀 + arccosa, k z }a <1{χ I x = 2k 兀 ± arccosa, k z } tan x = a {x| x = k 兀 + arcta na ,k 乏 Z } cot x = a{χ∣x = k 兀 +arccota,k 乏 Z}(1).含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
第五章 反三角函数与简单的三角方程第一节 反三角函数
由例7可知,等式
cos
6
3 2
6
arccos
3 2
所以
cos arccos
3 2
23.
一般地,如果x-1,1,那么 cosarccos x x
(53)
例8 求下列各式的值.
(1) cosarccos1;
(2)
cos
arccos
-
1 2
.
解 (1)因为1-1,1,根据公式(53),所以cosarccos1 1;
arctanx arctan x
arccotx arccot x
(57) (58)
例13 求下列各式的值. (1) arctan 33; (2) arccot0; (3) arctan(-1); (4) arccot(- 3).
解
(1)
因为tan6
3 3
,且6
2
,2
,所以arctan
3 3
6
;
(2) 因为cot 0,且 (0, ),所以arccot0 ;
22
2
(3) 根据公式(5-7),可知:arctan-1 arctan14;
(4)
根据公式(5-8),可知:arccot
-
3
=
-arccot
3 6 56.
例14 求下列各式的值.
(1)
arctan
tan
4
;
(2)
arctan
正切函数y=
tan
x在
-
2
,2
上的反函数称为反正切
函数,记作x=arctan y(或x=tan-1 y),如图5-6所示.
y
2
y arctan x
解简单的三角函数方程
解简单的三角函数方程三角函数方程是初中数学中的一个重要内容，它涉及到三角函数的性质和运算。
本文将介绍如何解简单的三角函数方程，希望能够帮助中学生和他们的父母更好地理解和掌握这一知识点。
一、正弦函数方程的解法正弦函数方程的一般形式为sin(x) = a，其中a为已知常数。
要解这样的方程，可以通过求解对应的角度来得到解。
举个例子，如果要解方程sin(x) = 0.5，可以通过查找正弦函数值表或者使用计算器来得到一个角度的近似值。
在正弦函数值表中，我们可以找到sin(30°) = 0.5，因此x = 30°是这个方程的一个解。
但是，正弦函数是周期函数，它的周期是360°（或2π），所以除了30°，还有无数个解。
根据正弦函数的对称性，我们可以得到sin(150°) = 0.5，sin(210°) = 0.5，sin(390°) = 0.5，等等。
所以，x = 150°，x = 210°，x = 390°等也都是这个方程的解。
综上所述，sin(x) = 0.5的解是x = 30° + k × 180°，其中k为整数。
二、余弦函数方程的解法余弦函数方程的一般形式为cos(x) = a，其中a为已知常数。
要解这样的方程，可以通过求解对应的角度来得到解。
举个例子，如果要解方程cos(x) = 0.8，可以通过查找余弦函数值表或者使用计算器来得到一个角度的近似值。
在余弦函数值表中，我们可以找到cos(36.87°) ≈0.8，因此x ≈ 36.87°是这个方程的一个解。
同样地，余弦函数也是周期函数，它的周期也是360°（或2π），所以除了36.87°，还有无数个解。
根据余弦函数的对称性，我们可以得到cos(323.13°) ≈ 0.8，cos(683.13°) ≈ 0.8，cos(1003.13°) ≈ 0.8，等等。
反三角函数与简单三角方程
1 、反三角函数：
概念： 把正弦函数 y sin x ， x
, 时的反函数，成为反正弦函数，记作 22
y arcsin x .
y sin x(x R) ，不存在反函数 .
含义 ： arcsin x 表示一个角 ；角
, ； sin x . 22
反余弦、反正切函数同理，性质如下表 .
名称
函数式
1x x1
∴1 x2
4x2 1 4
x 4x2
1 解不等式组得
1 4
1
1
x
2
6
11 ∴不等式的解集为 ( , )
26
例 1. 写出下列三角方程的解集
简单的三角方程
(1) sin( x
)
2
;
(2) 2cos3x 1 0 ;
82
(3) cot x 3
文案大全
实用标准文档
解集 {x|x=(k π+arctg3) 2， k ∈Z}
（ 2 ）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简
单的三角方程的解；
（ 3）．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用；
如：若 sin
sin ，则 sin
k ( 1)k ；若 cos
cos ，则
2k
；
若 tan tan ，则 a k
；若 cot cot ，则 a k
（ 4 ）． 恒等式 arcsin x＋ arccos x＝ , arctan x＋arccot x＝ 的应用。
2
2
文案大全
2 、最简单的三角方程
方程
实用标准文档
方程的解集
三角函数的三角方程与解法
三角函数的三角方程与解法三角方程是指含有三角函数的方程，其中未知数是角度。
解决三角方程的过程需要利用三角函数的性质和恒等式，以及代数的运算规则。
以下是一些常见的三角方程及其解法。
一、正弦方程正弦方程的一般形式为sin(x) = k，其中k为实数。
解决正弦方程的关键是根据sin函数的周期性和对称性，以及正弦函数的值域[-1,1]来确定解集。
1. 当k在闭区间[-1,1]内时，解集为{x | x = arcsin(k) + 2nπ, n为整数}。
2. 当k超出闭区间[-1,1]时，解集为空集。
例如，解方程sin(x) = 0.5，首先观察0.5在闭区间[-1,1]内，因此解集为{x | x = arcsin(0.5) + 2nπ, n为整数}。
二、余弦方程余弦方程的一般形式为cos(x) = k，其中k为实数。
解决余弦方程的方法与正弦方程类似，根据cos函数的周期性和对称性，以及余弦函数的值域[-1,1]来确定解集。
1. 当k在闭区间[-1,1]内时，解集为{x | x = arccos(k) + 2nπ, n为整数}。
2. 当k超出闭区间[-1,1]时，解集为空集。
例如，解方程cos(x) = -0.8，观察-0.8在闭区间[-1,1]内，因此解集为{x | x = arccos(-0.8) + 2nπ, n为整数}。
三、正切方程正切方程的一般形式为tan(x) = k，其中k为实数。
解决正切方程的方法也是根据正切函数的周期性来确定解集。
1. 解集为{x | x = arctan(k) + nπ, n为整数}。
例如，解方程tan(x) = 1，解集为{x | x = arctan(1) + nπ, n为整数}。
四、其他三角方程除了上述的常见三角函数方程，还有其他一些三角函数方程，例如割函数、余割函数、正割函数等。
解决这些方程的方法也是根据各个三角函数的性质和恒等式，以及代数运算规则。
综上所述，解决三角函数的三角方程需要根据不同的三角函数以及方程的形式来确定解集。
三角函数的计算与方程的解法
三角函数的计算与方程的解法三角函数是数学中重要的一类函数，广泛应用于几何、物理、工程等领域。
本文将介绍三角函数的计算方法，以及解三角函数方程的常用技巧。
一、三角函数的计算方法三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
以下是它们的计算方法：1. 正弦函数（sin）正弦函数表示一个角的对边与斜边的比值。
计算正弦函数的方法如下：sin(θ) = 对边/斜边2. 余弦函数（cos）余弦函数表示一个角的邻边与斜边的比值。
计算余弦函数的方法如下：cos(θ) = 邻边/斜边3. 正切函数（tan）正切函数表示一个角的对边与邻边的比值。
计算正切函数的方法如下：tan(θ) = 对边/邻边以上是常用的三角函数的计算方法，根据具体问题可以选择适用的函数进行计算。
二、三角函数的方程求解解三角函数方程通常需要使用三角恒等式、反函数或图表等方法。
以下是几种常见的解法：1. 代入求解法将给定的角度代入方程中，计算出左右两边的值，比较它们是否相等。
这种方法适用于简单的三角函数方程，如sin(θ) = 0.5。
2. 三角恒等式法利用三角恒等式将复杂的三角函数方程转化为简单的等式。
例如，利用正弦函数的平方恒等式sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1，可以将一个方程中的sin^2(θ) 转化为cos^2(θ) 的形式，从而简化求解过程。
3. 反函数法有时可以利用反函数直接解出三角函数方程。
例如，对于方程sin(θ) = 0.5，可以利用反正弦函数求解，得到角度的值。
4. 图表法绘制三角函数的图表，观察函数的周期性、增减性等特点，从而得到方程的解。
这种方法适用于复杂的三角函数方程或无法用其他方法求解的方程。
根据具体问题的不同，选择合适的解法，可以更高效地求解三角函数方程。
结论通过本文的介绍，我们了解了三角函数的计算方法，包括正弦函数、余弦函数、正切函数的定义与计算公式。
同时，我们还学习了解三角函数方程的几种常见解法，包括代入求解法、三角恒等式法、反函数法和图表法。
新高二年级数学经典讲义16.反三角函数和简单三角方程
教学内容概要教学内容【知识结构】1、反三角函数：2、三角方程：【例题精讲】例1、试判断下列函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性（1）()sin arcsin y x = （2）()arcsin sin y x = 解：（1）()()sin arcsin y f x x x ===定义域为[]1,1- 值域为[]1,1- 奇函数 ()f x 不是周期函数，且再[]1,1-上单调递增 （2）()()arcsin sin y f x x == 定义域为R 值域为,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦奇函数 ()f x 是周期函数，周期为2π 下面讨论单调性： ① 当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()()arcsin sin f x x x ==，为增函数。
② 当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()()arcsin sin arcsin sin f x x x x ππ==-=-⎡⎤⎣⎦，为减函数。
由函数的周期性，得 ① 区间2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）为函数()f x 的递增区间，此时 ()()()arcsin sin arcsin sin 22f x x x k x k ππ==-=-⎡⎤⎣⎦，k Z ∈。
② 区间32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）为函数()f x 的递减区间，此时 ()()()arcsin sin arcsin sin 22f x x k x k x ππππ==+-=+-⎡⎤⎣⎦，k Z ∈。
所以()2,2,222arcsin sin 32,2,222x k x k k y x k x x k k πππππππππππ⎧⎡⎤-∈-+⎪⎢⎥⎪⎣⎦==⎨⎡⎤⎪+-∈++⎢⎥⎪⎣⎦⎩，k Z ∈。
如图。
例2、xyO2π2π-2π2π-32π32π- ()arcsin sin y x =（1）19arcsin sin 12π⎛⎫= ⎪⎝⎭________ （2）若12arctan34πα-=，则tan α=__________ （3）函数()()arccos arcsin y x a x a =+--（0a >）的定义域D =_____________ （4）函数()21arcsin 2y x x =-的值域是_______________ 解：（1）191955arcsin sinarcsin sin 2arcsin sin 12121212πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦。
反三角函数与简单三角方程
1、反三角函数：概念：把正弦函数y sinx , x 一，一时的反函数，成为反正弦函数，记作y arcsinx.2 2y sin x(x R)，不存在反函数.含义：arcs in x表示一个角；角，一；sin x.2 2(1).符号arcsi nx可以理解为[—一，一]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[—一，一]上的一个实2 2 2 2数；同样符号arccosx可以理解为[0 ,n ]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[0 ,n ]上的一个实数；(2) . y= arcsi nx 等价于si ny= x, y€ [ —, — ], y= arccosx 等价于cosy= x, x€ [0, n ],这两个等价关2 2系是解反三角函数问题的主要依据；(3).恒等式sin(arcsinx)= x, x€ [ —1, 1] , cos(arccosx) = x, x€ [—1, 1],arcsin(sinx) = x, x€ [ —, — ], arccos(cosx) = x, x€ [0, n ]的运用的条件；2 2(4) . 恒等式arcsinx+ arccosx= , arctanx+ arccotx= 的应用。
2 2(1).含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集；(2)•解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解；(3).要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用；k女口：若sin sin ，贝U sin k ( 1) ;若cos cos ，贝U 2k ;若tan tan ，贝y a k ；若cot cot ，贝y a k ；(4).会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。
【例题精讲】例1.分析与解:精品文档例4.分析与解: 例5.分析与解:例6•使arcsinx arccosx成立的x的取值范围是（分析与解：x从反三角函该题研究不等关系，故需利用函数的单调性进行转化，又因为求x的取值范围，故需把数式中分离出来，为此只需对arcsinx，arccosx同时取某一三角函数即可，不妨选用正弦函数。
第35讲-简单的三角方程-基础
简单的三角方程教学目标1．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsina 、arccosa 、arctana 表示2.理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图象得出反三角函数的性质，能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题3.能够熟练地写出最简单的三角方程的解集，并会解简单的三角方程知识梳理（一）最简三角方程 1．正弦方程：（1）概念：sinx a =，称为最简正弦方程． （2）解集：>1a 时，无解（解集是∅）； =1a 时，=2+2x k ππ，k Z ∈；=1a -时，=22x k ππ-，k Z ∈；<1a 时，()=+1kx k arcsina π-，k Z ∈．2．余弦方程（1）概念：cos x a =，称为最简余弦方程。
（2）解集>1a 时，无解；=1a 时，=2x k π，k Z ∈；=1a -时，=2+x k ππ，k Z ∈；<1a 时，=2x k arccosa π±，k Z ∈．3．正切方程（1）概念：tan x a =称为最简正切方程。
（2）解集=+x k arctana πk Z ∈． （二）简单三角方程 类型1：sin()A x a ωϕ+=； 类型2：asinx bcosx c += ()22+0a b ≠；类型3：2asinx bsinx c += ()0a ≠；类型4：2+=0asin x bsinxcosx c +．典例精讲例1求下列方程的解集： （1）cos 206x π⎛⎫-=⎪⎝⎭； （2）tan(50)1x +=； （3）32sin 342x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭； （4）3sin 214x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭； （5）2cos 316x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，[0,2]x π∈. 解：（1）原方程即cos 20.6x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以262x k πππ-=+，得()23k x k Z ππ=+∈.所以方程的解集为{|,}23k x x k Z ππ=+∈. （2）由方程得5018045.x k +=⋅+ 所以1805()x k k Z =⋅-∈.所以方程的解集为{|1805,}x x k k Z =⋅-∈. （3）原方程即3sin 31422x π⎛⎫+=> ⎪⎝⎭. 所以方程的解集为∅. （4）原方程可化为1sin 2.43x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 所以12(1)arcsin ()43kx k k Z ππ+=+-∈. 即(1)1arcsin ,2238k k x k Z ππ-=+-∈. 所以原方程得解集为(1)1{|arcsin ,}2238k k x x k Z ππ-=+-∈. （5）原方程可化为2cos 362x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以32,64x k k Z πππ+=±∈. 当k Z -∈时，0x <，不合题意； 取0k =时，36x π=；取1k =时，1936x π=或2536x π=； 取2k =时，4336x π=或4936x π=； 取3k =时，6736x π=； 当3k >时，2x π>，不合题意.例2解下列三角方程： （1）1cos cos 0332x x ππ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）cos sin 1x x -=-．解：（1）由积化和差公式将原方程化为121cos cos 20232x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即1cos 22x =-． 所以2223x k ππ=±，即,3x k k Z ππ=±∈． 因此原方程的解集为{|,}3x x k k Z ππ=±∈．（2）原方程可化为222sin cos 122x x ⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭，即2sin coscos sin442x x ππ-=，2sin 42x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 所以，(1),44kx k k Z πππ=+-+∈．因此原方程的解集为{|(1),}44kx x k k Z πππ=+-+∈．例3解下列三角方程：（1）22sin 5cos 10x x -+=； （2）3sincos 102xx ++=． 解：（1）原方程可化为22(1cos )5cos 10x --+=．整理，得22cos 5cos 30x x +-=． 解得1cos cos 32x x ==-或（无解）． 因此原方程得解集为{|2,}3x x k k Z ππ=±∈．（2）原方程可化为23sin12sin 1022x x+-+=．整理，得22sin3sin 2022x x --=．解得1sin sin 2222x x=-=或（无解）． 因此原方程得解集为{|2(1),}3kx x k k Z ππ=--∈．例4解方程：sin cos sin cos 10x x x x +++=．解：把原方程左边分解因式，得(sin 1)(cos 1)0x x ++=． 所以sin 1cos 1x x =-=-或．由sin 1x =-，得32,2x k k Z ππ=+∈． 由cos 1x =-，得2,x k k Z ππ=+∈． 所以原方程的解集为3{|22,}2x x k x k k Z ππππ=+=+∈或．例5解下列三角方程：（1）3sin 2cos 0x x -=；（2）222sin 3sin cos 2cos 0x x x x --=； （3）26sin 4sin 21x x -=-．解：（1）因为使cos 0x =的x 值不是方程的解，所以将方程两边同除以cos x ，得3tan 20x -=，即2tan .3x =所以2arctan ,3x k k Z π=+∈． 所以原方程的解集为2{|arctan ,}3x x k k Z π=+∈．（2）因为使cos 0x =的x 值不是方程的解，所以将方程两边同除以2cos x ， 得22tan 3tan 20x x --=，解得1tan 2x =-或tan 2x =． 所以原方程的解集为1{|arctanarctan 2,}2x x k x k k Z ππ=-=+∈或． （3）原方程可化为2226sin 4sin 2(sin cos )x x x x -=-+． 即227sin 8sin cos cos 0x x x x -+=．将方程两边同除以2cos x ，得27tan 8tan 10x x -+=，解得1tan 1tan 7x x ==或． 所以原方程的解集为1{|arctan ,}47x x k x k k Z πππ=+=+∈或． 课堂小练1．（1）方程2cos 303x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭的解集是___________． （2）方程2tan 210x +=的解集是___________．（3）2sin 31,[0,]6x x ππ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭的解集是___________． 2．方程3sin cos 0x +=的解集是（ ）A .{|,}x x k k Z π=∈；B .{|2,}6x x k k Z ππ=-∈C .{|,}6x x k k Z ππ=-∈； D .{|,}6x x k k Z ππ=+∈3．方程24cos 43cos 30x x -+=的解集是（ ）A .{|(1),}6kx x k k Z ππ=+-∈； B .{|(1),}3kx x k k Z ππ=+-∈；C .{|2,}6x x k k Z ππ=±∈； D .{|2,}3x x k k Z ππ=±∈.4．解方程：3sin 2cos21x x +=. 5．（1）方程2sin 32x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在[0,]π上的解是x =___________． （2）方程1sin23x =在[,2]ππ上的解是x =___________． （3）方程1sin 22x =在[2,2]ππ-内解的个数是___________．（4）方程sin 2sin 7x π=的解集是___________．6．方程21sin 2x =的解集是（ ） A .{|,}4x x k k Z ππ=+∈； B .{|,}4x x k k Z ππ=-∈ C .{|2,}4x x k k Z ππ=+∈； D .{|,}4x x k k Z ππ=±∈7．方程21cos cos x x -=的解集是（ ）A .{|,}4x x k k Z ππ=±∈； B .{|,}4x x k k Z ππ=+∈ C .{|,}4x x k k Z ππ=-∈； D .{|2,}4x x k k Z ππ=±∈8．方程cos3cos 2x x =的解集是（ ）A .{|2,}x x k k Z π=∈；B .2{|,}5k x x k Z π=∈ C .2{|2,}5k x x k x k Z ππ==∈或； D .(21){|2,}5k x x k x k Z ππ+==∈或9．设全集U 为R ，()sin f x x =，()cos g x x =，{|()0}M x f x =≠，{|()0}N x g x =≠ 那么集合{|()()0}x f x g x ⋅=等于（ ）A .U UMN 痧； B .U MN ð； C .U MN ð； D .U UMN 痧10．方程22sin sin 20a x a x +-=有非空解集的条件是（ ）A .||1a ≤；B .||1a ≥；C .||2a ≥；D .a R ∈参考答案1．（1）7{|22,}26x x k x k k Z ππππ=+=-∈或 （2）111{|arctan ,}222x x k k Z π=-∈（3）72531,,,36363636ππππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 2．C . 3．C . 4．1{|(1),}21212k x x k k Z πππ=+--∈ 5．（1）712π （2）122arcsin 3π- （3）8个（4）1{|(1),}214k x x k k Z ππ=+-∈ 6．D .7．D . 8．C . 9．D . 10．B .回顾总结熟练掌握各个类型的三角方程； 对于无范围的要注意周期讨论K .。
三角函数的运算与方程
三角函数的运算与方程三角函数是数学中的重要概念，它们在几何、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
本文将重点讨论三角函数的运算与方程，分别介绍三角函数的四则运算、复合函数以及解三角方程的方法。
一、三角函数的四则运算1. 正弦函数的四则运算正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，其运算规则如下：（1）正弦函数的加法公式对于任意实数x和y，有sin(x + y) = sinx*cosy + cosx*siny。
（2）正弦函数的减法公式对于任意实数x和y，有sin(x - y) = sinx*cosy - cosx*siny。
（3）正弦函数的乘法公式对于任意实数x和y，有sin(x*y) = sinx*cosy + cosx*siny。
（4）正弦函数的除法公式对于任意实数x和y（y≠0），有sin(x/y) = (sinx*cosy + cosx*siny) / (cosx*cosy - sinx*siny)。
2. 余弦函数的四则运算余弦函数是三角函数中另一个基本函数，其运算规则如下：（1）余弦函数的加法公式对于任意实数x和y，有cos(x + y) = cosx*cosy - sinx*siny。
（2）余弦函数的减法公式对于任意实数x和y，有cos(x - y) = cosx*cosy + sinx*siny。
（3）余弦函数的乘法公式对于任意实数x和y，有cos(x*y) = cosx*cosy - sinx*siny。
（4）余弦函数的除法公式对于任意实数x和y（y≠0），有cos(x/y) = (cosx*cosy - sinx*siny) / (cosx*siny + sinx*cosy)。
3. 正切函数的四则运算正切函数是三角函数中的第三个基本函数，其运算规则如下：（1）正切函数的加法公式对于任意实数x和y（tanx*tany≠-1），有tan(x + y) = (tanx + tany) / (1 - tanx*tany)。
三角关系公式大全
三角关系公式大全
1. 对于任意一个直角三角形，有：
- 勾股定理：a² + b² = c²（其中a和b是两条直角边的长度，c是斜边的长度）
- 正弦定理：sinA = a/c, sinB = b/c, sinC = c/c
- 余弦定理：cosA = b/c, cosB = a/c, cosC = c/c
- 正切定理：tanA = a/b, tanB = b/a
2. 对于任意一个一般三角形，有：
- 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R （其中a、b、c为三角形三边的长度，A、B、C为对应角的度数，R为外接圆半径）
- 余弦定理：c² = a² + b² - 2abcosC
3. 对于任意一个等边三角形，有：
- 边长公式：a = b = c （其中a、b、c为等边三角形的边长） - 角度公式：A = B = C = 60°（其中A、B、C为等边三角形的内角度数）
这只是一些常见的三角形关系公式，还有其他更复杂的公式，涉及到高度、内切圆、外接圆等，具体问题具体分析。
高考数学中的常见三角方程
高考数学中的常见三角方程在高中数学的学习中，三角函数是一个重要的部分。
三角函数中的方程是经常出现在高考试卷中的重要考点之一。
本文将介绍高考数学中常见的三角方程，并对其解题方法做出详细说明，希望对同学们的学习有所帮助。
一、一次三角方程一次三角方程的形式一般为a*sinx + b*cosx = c，其中a、b、c为常数。
这样的方程在高考试卷中是很常见的，解题的基本思路是利用同角三角恒等变形或化简为二次方程再解得x的值。
例1：解方程sinx - √3cosx = 1。
解法：将√3左右两边乘以2得2sinx - 2√3cosx = 2，再利用同角三角恒等变形sin(x+π/3)=1，得x+π/3=π/2+2kπ或x+π/3=3π/2+2kπ，解得x=π/6+2kπ或x=5π/6+2kπ，k∈Z。
二、二次三角方程二次三角方程是指至少有一个三角函数的系数为平方的三角方程。
解二次三角方程的常见方法有以下几种。
1. 斜率法：将方程中的三角函数看作变量，利用三角函数的性质化为关于一个三角函数的二次方程，解得关于这个三角函数的解，再代入原方程解得所有解。
例2：解方程cos^2x - sinx - 1 = 0。
解法：将cos^2x 看作t，则t - sinx - 1 = 0。
化简为关于sinx的二次方程t - sinx - 1 = 0，解得sinx = (1±√(4t+1))/2。
再代入原方程cos^2x = t，解得cos^2x = (t±√(4t+1))/2。
因为cos^2x = 1 - sin^2x，所以sin^2x = 1 - (t±√(4t+1))/2。
综上，sinx = ±√(1-(t±√(4t+1))/2)。
将sinx的解代入cosx=t，再利用同角三角恒等变形c osx=±√(1-t)解得x的值。
2. 代换法：将三角函数用一个新的变量代换，通过变量之间的关系得到代换后的方程，再解得变量的值，最后带回求解原方程。
三角方程的解法
三⾓⽅程的解法前⾔⾸先必须明确，解三⾓⽅程，应该属于解超越⽅程，和解代数⽅程的思路不⼀样了，应该数形结合求解；解三⾓⽅程的⽅法和思路基本上和是并⾏的，可以类⽐进⾏；必备技能函数图像的解读能⼒作三⾓函数y =sinx 和y =cosx 的图像、作正弦线、余弦线的能⼒⽤不等式表达单位圆中区域的能⼒例说解法№1解三⾓⽅程： 2sinA =1，A 为三⾓形的⼀个内⾓。
解析：由题可知，sin A =12，做出函数y =12和函数y =sin A 在其定义域(0,π)上的图像，如图所⽰，对应的⾃变量A =π6或A =5π6故⽅程的根：A =π6或A =5π6№2解三⾓⽅程： 2sinA =1.解析：由题可知，sin A =12，由于函数y =sin A 有周期性，选[0,2π]为⼀个基本周期，做出函数y =12和函数y =sin A 在其定义域(0,2π)上的图像，如图所⽰，对应的⾃变量A =π6或A =5π6再拓展到R ，得到⽅程的根：A =2k π+π6或A =2k π+5π6(k ∈Z )。
类⽐思考№3解三⾓⽅程： 2sin (3A +π4)=1.提⽰：3A +π4=2k π+π6或3A +π4=2k π+5π6(k ∈Z )，求解A 即可。
№4【2016⋅上海卷】【解三⾓⽅程】⽅程3sinx =1+cos 2x 在区间[0，2π]上的解为_______________。
分析：采⽤升幂降⾓公式，得到3sinx =1+1−2sin 2x ，整理为2sin 2x +3sinx −2=0，即(sinx +2)(2sinx −1)=0解得sinx =−2(舍去)，或sinx =12，再由sinx =12，x ∈[0，2π]，采⽤图像可得，x =π6或x =5π6。
№5【2019唐⼭模拟】已知函数 f (x )=sin x −sin3x ，x ∈[0,2π] ，则 f (x )的所有零点之和等于_________.解析: f (x )=sin x −sin(2x +x )=sin x −sin2x cos x −cos2x sin x=sin x −2sin x 1−sin 2x −1−2sin 2x sin x=sin x −(3sin x −4sin 3x =4sin 3x −2sin x =2sin x 2sin 2x −1.令 f (x )=0, 得 sin x =0 或 sin x = ±√22.f (x ) 在 [0,2π] 上的所有零点为 x =0， π4，3π4， π， 5π4，7π4， 2π，所以所有零点之和为 π4+3π4+π+5π4+7π4+2π=7π.()())()Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js典例剖析№6【2022届⾼三⼀轮复习资料⽤题改编】已知函数f(x)=2sin2x−π6+1 .(1).求函数f(x) 在区间 [−π3,5π6] 上的单调性；法1：利⽤R上的单调区间和给定区间求交集法；令2kπ−π2⩽2x−π6⩽2kπ+π2，(k∈Z)，解得R上的单调递增区间为 [kπ−π6,kπ+π3]，(k∈Z)，将其和给定区间 [−π3,5π6] 求交集，得到单调递增区间为 [−π6,π3]；令2kπ+π2⩽2x−π6⩽2kπ+3π2，(k∈Z)，解得R上的单调递减区间为 [kπ+π3,kπ+5π6]，(k∈Z)，将其和给定区间 [−π3,5π6] 求交集，得到单调递减区间为 [−π3,−π6] 和 [π3,5π6] ；法2：利⽤整体思想求解，由于 −π3⩽x⩽5π6，则 −2π3⩽2x⩽5π3，则有 −5π6⩽2x−π6⩽3π2，以 2x−π6的整体为横轴，做函数图像，结合图像可知，当 −5π6⩽2x−π6⩽−π2时，即 −π3⩽x⩽−π6时，函数单调递减，当 −π2⩽2x−π6⩽π2时，即 −π6⩽x⩽π3时，函数单调递增，当π2⩽2x−π6⩽3π2时，即π3⩽x⩽5π6时，函数单调递减，故得到单调递减区间为 [−π3,−π6] 和 [π3,5π6]，单调递增区间为 [−π6,π3]；(2). 若f(x)=0，x∈−π2,π，求x的值.分析：本题⽬的求解本质是解三⾓⽅程；法⼀：由f(x)=0，得 2sin2x−π6+1=0，所以， sin2x−π6=−12，⼜x∈−π2,π， 2x−π6∈−7π6,11π6，所以 2x−π6=−π6或 2x−π6=−5π6或 2x−π6=7π6，解得x=0 或x=−π3或x=2π3 .法⼆：由f(x)=0，得 2sin2x−π6+1=0，所以， sin2x−π6=−12，所以2x−π6=2kπ+7π6(k∈Z)，或 2x−π6=2nπ+11π6(n∈Z)，故当k=−1时，则有 2x−π6=−2π+7π6即x=−π3∈−π2,π，满⾜题意；()()()()()()()()()当k=0时，则有 2x−π6=7π6即x=2π3∈−π2,π，满⾜题意；当n=−1时，则有 2x−π6=−2π+11π6即x=0∈−π2,π，满⾜题意；故x=0 或x=−π3或x=2π3 .(3). 将函数f(x) 的图象向左平移π3个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)得到函数g(x) 的图象。
小学数学点知识归纳解简单的三角方程组
小学数学点知识归纳解简单的三角方程组三角方程组是由三个三角函数组成的方程组。
在解简单的三角方程组之前，我们首先需要了解一些关于三角函数和三角恒等式的基本知识。
本文将对小学数学中涉及到的一些简单的三角方程组进行归纳解析。
一、正弦方程组正弦方程组是指方程中包含正弦函数的方程组。
下面以一个简单的正弦方程组为例进行讲解：\[ \begin{cases} \sin x+\sin y=a \\ \sin x-\sin y=b \end{cases} \]解法：首先，我们可以利用三角恒等式将上述方程组进行化简。
根据三角恒等式$\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$，将第一个方程中的$\sin x+\sin y$ 转化为 $\sin (x+y)$，同理，将第二个方程中的$\sin x-\siny$转化为$\sin (x-y)$，则方程组可以化简为：\[ \begin{cases} \sin (x+y)=a \\ \sin (x-y)=b \end{cases} \]接下来，我们可以利用反正弦函数的性质，求解上述方程组。
由于反正弦函数的定义域为$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$，我们需要对方程组中的结果进行判断。
首先，根据第一个方程$\sin (x+y)=a$，我们可以得到$x+y=\sin^{-1}a$。
然后，根据第二个方程$\sin (x-y)=b$，我们可以得到$x-y=\sin^{-1}b$。
接下来，我们可以通过将这两个方程相加和相减，求解$x$和$y$的值。
相加：$(x+y)+(x-y)=\sin^{-1}a+\sin^{-1}b$解得：$2x=\sin^{-1}a+\sin^{-1}b \quad (1)$相减：$(x+y)-(x-y)=\sin^{-1}a-\sin^{-1}b$解得：$2y=\sin^{-1}a-\sin^{-1}b \quad (2)$通过式$(1)$和$(2)$，我们可以得到$x$和$y$的具体值。
三角方程的解法
三角方程的解法在数学中，三角方程是含有三角函数的方程，解三角方程是学习三角函数的重要内容之一。
在解三角方程时，我们需要运用一些基本的解法和技巧来求得方程的解。
本文将介绍几种常见的三角方程解法。
一、整式方程的化简对于某些特殊的三角方程，我们可以通过将其转化为整式方程来求解。
下面是一些常用的化简技巧：1. 利用三角关系恒等式进行化简。
例如，$sin^2x + cos^2x = 1$ 是一个常用的三角关系恒等式，我们可以利用它将方程中的一部分进行化简。
2. 利用三角函数的周期性质进行化简。
例如，$sin(x + 2\pi) = sinx$，$cos(x + \pi) = -cosx$ 等周期性质可以帮助我们简化方程。
3. 利用三角函数的奇偶性质进行化简。
例如，$sin(-x) = -sinx$，$cos(-x) = cosx$ 等奇偶性质可以将方程化简为更简单的形式。
二、角度的求解对于一般的三角方程，我们需要先求解方程中的角度。
下面是一些常见的角度解法：1. 使用反函数。
例如，对于方程 $sinx = a$，我们可以使用反正弦函数 $x = arcsin(a)$ 来求解。
2. 利用三角函数的性质和特点。
例如，对于方程 $cos^2x =\frac{1}{2}$，我们可以利用 $cos^2x = \frac{1 + cos2x}{2}$ 和 $cos2x = 0$ 来求解。
3. 利用图像和对称性质。
例如，对于方程 $sinx = sin\alpha$，我们可以利用正弦函数的图像以及其对称性质来求解。
三、解的表示形式在求得方程的解之后，我们可以将解表示为特定的形式：1. 使用特殊解。
对于一些简单的三角方程，我们可以直接给出一个特殊解。
例如，对于方程 $sinx = 0$，我们可以给出特殊解 $x = 0, \pi$。
2. 使用一般解。
对于一般的三角方程，我们可以给出一个一般解的表示形式。
例如，对于方程 $cosx = a$，我们可以给出一般解 $x =2n\pi \pm arccos(a), n \in Z$。
简单三角方程
简单三角方程一：主要三角函数类型：（1） a sin 2x+b sinx+c=0 (a 0≠)型（2） a sinx+b cosx+c=0 (a 2+b 2≠0,c 0≠)(3) a sinx+bcosx=0 asin 2x+ b sinxcosx+c cos 2x=0(4) 同名三角函数相等模型：sinf(x)= sin )(x ϕ cos f(x)=cos )(x ϕtan f(x)=tan )(x ϕ cot f(x)=cot )(x ϕ(5) 含sin x ±cos x, sin x cosx 的三角方程典型例题：1：（1) 解方程 2sin 2x+3sinx-2=0(2) 2sinx-cosx=1(3) sin 2x-3sinx cosx+1=08sin 2x=3sin2x-1(sinx+cosx)2=2cos2x(4) 解方程 :a: tan5x=tan 4x ;b: 满足cos(2x+4π）=sin(6π-x)的最小正角:___________ c: 方程sin 2x=cos 2x 的解集是：_____________(5) 解方程:a : sin2x-12(sinx-cosx)+12=0;2(sinx+cosx)=tanx +cotx:Sinx+cosx+tanx+cotx+secx+cscx+2=0b: sin 2x +sin 22x=sin 23xSin3x-sin2x+sinx=0Cos2x cos3x= cosx cos4xSin4x cos3x= sin6x cosxSin5x-sin3x=2cos4xSinx+sin2x+sin3x=1+cosx+cos2x二：方程有解的讨论：1：若关于x 的方程 sinx=2a-1,有解，则a 的取值范围是：_____________2: 若方程 2cosx=a )21(无解，则实数a 的取值范围：__________________3:若方程sinx=a 在[32π,35π]中恰有两个不同的实数解，则a 的取值范 _____4：（1）已知方程 2x 2-4xsin θ+3cos θ=0 (0πθ≤≤）有相等的实根，求θ值（2) 已知方程 x 2-(sin α+cos α)x+sin 2α-sin 01cos =-αα有两个相等的实数根求实数a 的取值范围和相应x 的值。
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简单的三角方程
一、例题
【反三角】
1、 求y ＝arcsinx ＋arctanx 的值域。
【思路分析：注意反正弦、反正切函数单调性的应用
解：∵－1≤x ≤1 ∴－34π
≤x ≤34π
点评：注意反函数的定义域。
】
【三角方程】
2、解方程22sin 3cos 0x x +=．
【解原方程可化为22(1cos )3cos 0x x -+=，
即22cos 3cos 20x x --=．
解这个关于cos x 的二次方程，得
cos 2x =，1
cos 2x =-．
由cos 2x =，得解集为φ； 由1cos 2x =-，得解集为22,3x x k k Z π
π⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭． 所以原方程的解集为22,3x x k k Z ππ⎧⎫
=±∈⎨⎬⎩⎭．】
3、解方程22sin cos cos 03x x x x --=．
【解一因为cos 0x ≠（使cos 0x =的x 的值不可能满足原方程），所以在方程的两边同除以2cos x ，得
2tan tan 103x x --=．
解关于tan x 的二次方程，得
tan x =tan 3
x =-． 由
tan x =,3x x k k Z ππ⎧⎫
=+∈⎨⎬⎩⎭；
由tan x =,6x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭
． 所以原方程的解集为,,36x x k x k k Z ππππ⎧
⎫
=+=-∈⎨⎬⎩⎭或．】
【解二降次得
1cos 21cos 22022x x x -+-=，
化简得2cos 203
x x +=． 因为cos 20x ≠（使cos 20x =的x 的值不可能满足原方程），所以在方程的两边同除以
cos 2x ，得tan 2x =
由tan 2x =2,3x k k Z ππ=-∈，即,26
k x k Z ππ=-∈． 所以原方程的解集为,26k x x k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩
⎭
．】 4、 解方程 ①3sinx-2cosx=0
②2sin 2x-3sinxcosx-2cos 2x=0
【解：①方程两边同除以cosx ，得tanx=
32 解集为},32arctan
|{Z k k x x ∈+=π ②除以cos 2x 化为2tan 2x-3tanx-2=0．
}21
arctan
,2arctan |{2
1
tan 2tan Z k k x k x x x x ∈-=+=-==ππ或】 二、练习
【反三角练习】
5、 （1）4
1sin =
x ,x 是△ABC 的一个内角,则x =。
【答案：41arcsin 或4
1arcsin -π】 （2）4
1sin -=x ,x 为第四象限角,则x =。
【答案：4
1arcsin 2-πk Z k ∈】 6、 （1）)3
1tan(arcsin =。
（2）)5
3arcsin 2cos(=。
（3）)54arcsin 21cos(=。
【答案：（1）42（2）257（3）5
52】 7、 （1）)]3(arcsin[sin π-
=。
（2）)4arcsin(sin =。
【答案：（1）3π-
（2）4-π】
8、 计算：
（1）)53arccos
2sin( （2）)178arcsin 54cos(arccos + 【答案：4
3π-
】 9、 解不等式)1arctan()2arctan(2+<x x 【答案：}12
1|{<<-x x 】
10、已知(),111arctan
arctan ≠+-+=x x x x y 求y 的值 【答案：
,4π或.43π-】
【解三角方程练习】
11、（1）方程0cos 1sin =-x
x 的解为 （2）方程a x x =-cos 3sin 有解，则a 的取值范围是
【答案：（1）Z k k x x ∈+=};2|{ππ （2）[-2，2]】
12、方程1cos log sin log 22=-x x 的解集是
【答案：Z k k x x ∈+=},2arctan 2|{π】
13、 实数q 在什么范围内取值时，方程q x x =+sin 2cos 有实数解 【答案：]89,2[-】
14
、已知函数()f x =， (1)求函数()f x 的定义域、值域、最小正周期；
(2)判断函数()f x 奇偶性。
【答案：
(1)tan (22)sin 22()3|cos |tan (22)22
ππx x k πk πx f x k Z ππx x x k πk π⎧∈-+⎪⎪===∈⎨⎪-∈++⎪⎩，，，，， 定义域：{|}2πx x k πk Z ≠+∈，，值域为：R ，最小正周期为2T π=； (2)sin()sin ()()|cos()||cos |
x x f x f x x x --==-=--，且定义域关于原点对称，所以()f x 为奇函数。
】
15、 求cos 20cos 60cos100cos140︒+︒+︒+︒的值。
【答案：1
2
】
16、函数
sin
()
2cos
f
θ
θ
θ
=
+
（R
θ∈）的值域是__________.
【1、
sin
()
2cos
y f
θ
θ
θ
==
+
，2sin cos)
y y
θθθϕ
=-=+，所以
2||
y≤[
y∈；2、令tan
2t
θ
=；3、数形结合；4、导数法；。