行列式的性质三
大学数学(三)-概念及答案
大学数学（三）Day1--6概念及答案1.2111a a2.对角线法则：主对角线乘积减去副对角线乘积。
333231232221131211a a a a a a 的行列式。
4.上三角行列式：主对角线以下的元素为零。
5.下三角行列式：主对角线以上的元素为零。
6.上下三角行列式的值：主对角线乘积。
7.逆序数：所有逆序的总数。
8.余子式: 划去元素ij a 所在行和列，由剩余元素按原来顺序所组成的行列式9.代数余子式： ij A =ij j i M +-)1(10.转置行列式：行列式中的行和列互换 11.行列式性质一（转置）：D=T D12.行列式性质二（互换）：任意两行（列）互换，那么行列式的值改变符号。
13.行列式性质二（相同）：如果行列式中两行或两列对应元素全部相同，那么行列式的值为零。
14.行列式性质三（有公因子）：行列式中某行（列）的各元素有公因子时，可将公因子提到行列式外面。
15.行列式性质三推论（一行列为0）：如果行列式中有一行（列）的元素全为0，则行列式的值为0.16.行列式性质三推论（成比例）:如果行列式中有两行（列）的元素对应成比例，行列式的值为0.17.行列式性质四（和）：行列式等于两个相应的行列式的和。
18.行列式性质五（倍乘）：倍行（列）加到另一行（列）上，行列式的值不变。
19.行列式展开定理：n 阶行列式D 等于它的任意一行(列)的元素与其对应的代数余子式的乘积之和。
20.范德蒙行列式概念：形如 232221321111a a a a a a 的行列式21.范德蒙行列式的值：π（j i a a -）22.N 元线性方程组：含有n 个未知量n 个方程的线性方程组为n 元线性方程组23.线性方程行列式：未知量的系数所组成的行列式。
24.非齐次线性方程组：常数项不全为零的线性方程组25.齐次线性方程组：常数项全为零的线性方程组。
26.克莱姆法则：0≠D 时， , , , ,2211D D x D D x D D n n ===27.非齐次线性方程组根的判别情况，0≠D ，则方程组有唯一解。
行列式的性质
k
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a11 a12 a13 a14
k 0 0
性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和, 例如：
a11 a12 b12 a13 D a21 a22 b22 a23 a31 a32 b32 a33 a11 a12 a13 a11 b12 a13 D a21 a22 a23 a21 b22 a23 a31 a32 a33 a31 b32 a33
性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,则 行列式可按该行（列）拆成两个行列式的和。 性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数 然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．
计算行列式
a b c d a ab abc abcd D . a 2a b 3a 2b c 4a 3b 2c d a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d a1 a2 0 1 xa a D a a
注：以数 k 乘第 j 行（列）加到第 i 行（列）上，记作
ri krj (ci kc j ).
验证
我们以三阶行列式为例. 记
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 , a31 a32 a33
则 D D1 .
a11 D1 a21 a31
a12 ka13 a22 ka23 a32 ka33
性质1
行列式与它的转置行列式相等,即 D D .
T
行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行 成立的对列也同样成立.
性质2
交换行列式的两行（列）,行列式变号.
注：交换第 i 行（列）和第j 行（列），记作 ri rj (ci c j ) .
行列式的性质(三)
解：因为第一列和第二列对应元素成比例，根据性质推论得
＝0
例3：计算4阶行列式
解：可以把第二行得元素分别看成：5＝1＋4；6＝2＋4；7＝3＋4；
8＝4＋4，由性质5有：
＝
＝ ＋ ＝0
例4：计算行列式D＝
解：这个行列式可以将第一行与第三行交换
即 － ＝－3×5×6＝－90
或 =四、课时小结（1交换行列式的 两行（列），记为 （ ）；
（2）第 行（列）乘以 ，记作 ，第 行（列）提出公因子 ，记作 ；
（3）将行列式的第 行（列）乘 加到第 行（列）上，记为
3、补充（三角行列式）
定义. 对角线以下（或上）的元素均为零的行列式称为上（或下）三角行列式．
阶上三角行列式
阶下三角行列式
三、例题讲解
1.者行列式的性质；
2. 能够使用行列式的性质对行列式化简。
五、课堂练习和课后作业：
六、板书设计：
§1.3行列式的展开及行列式的性质
行列式性质
例题
课堂练习
七、课后分析
方便下节行列式的计算的讲解
例1：计算4阶行列式
解： - －
－ － ＝－1×（－1）×（－2）×（－2）＝4
小结：计算行列式时，常用行列式性质，把它化为三角形行列式来计算。例如化为上三角行列式的步骤是：如果第一列第一个元素为0，
先将第一行与其它行交换，使第一列的第一个元素不为0；然后将第一行分别乘以适当的数加到其它各行，使第一列除第一个元素外其余元素全为0；再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式；依次作下去，直至使它成为上三角行列式，这时主对角线上元素的乘积就是行列式的值。
教授思路及教学方法：
1.引导利用拉普拉斯法则为基础对性质1、2、3进行解释，使前后知识得以有机结合；
行列式的三种定义
行列式的三种定义行列式是线性代数中一个非常重要的概念，它具有着许多重要的性质和应用。
在学习行列式的过程中，需要掌握三种不同的定义方法，包括代数定义、几何定义、和递推定义。
本文将从这三个方面一步一步讲解，帮助读者更好地理解行列式的概念和计算方法。
1. 代数定义行列式的代数定义是最基本也是最常用的定义方法。
对于一个n阶矩阵A，其行列式记为|A|或det(A)，代数定义为：|A| = Σ(-1)^(i+j) * a_ij * M_ij其中i和j分别表示矩阵A中的第i行和第j列，a_ij表示A中第i行第j列的元素值，M_ij表示去掉矩阵A中第i行和第j列的子矩阵的行列式值。
这个定义可能看起来比较复杂，但是实际上非常好理解。
它的基本思路是将n阶矩阵A转化为n个n-1阶矩阵的运算，然后不断地递归计算，最终得出行列式的值。
这种方法的优点在于，它不仅适用于方阵，也适用于非方阵，所以可以广泛地应用到各种各样的问题中。
2. 几何定义几何定义是行列式另一种常用的定义方法。
它的基本思路是将矩阵A对应的线性变换视为对n维空间中一个向量的拉伸，从而将行列式的值解释为拉伸的比例因子。
具体来说，对于一个n阶矩阵A，其行列式的几何定义为：|A| = S*B/S*A其中S*A和S*B分别表示矩阵A和B对应线性变换后向量的长度，也就是表示空间中一个体积的大小。
这个定义方法非常直观，可以帮助我们更好地理解行列式的含义，也适用于二维和三维空间中的向量计算。
3. 递推定义递推定义是行列式的另一种常见定义方法。
它的基本思路是不断地删减矩阵的行和列，直至得到一个常数值。
这个定义方法虽然比较抽象，但是它有着较高的计算效率和便利性。
对于一个n阶矩阵A，其行列式的递推定义为：|A| = a_11 * |A'|其中A'是去掉A中的第一行和第一列所得的(n-1)阶矩阵。
这个定义方法可以方便地使用递归或循环算法实现，对于大规模矩阵的计算尤其有效。
2.3行列式的性质
D’=D
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡 是对行成立的对列也同样成立.今后我们只暂时研究有关行 的性质。
1
性质2（可提性或可乘性）行列式的某一行(列)中所有元素 若有公因子k, 可以提到行列式符号的外面．行列式的某一 行(列)中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列 式, 即
b1 b1 c1 b2 c2 b3 c3
证
由性质4，
a1
上式左边
b1 c1 b2 c2 b3 c3
c1 a1
c1 a1 c2 a2 c3 a3
a2 a3
c2 a 2 b2 c3 a 3 b3
a1 b1 c1 c1
a1 b1 c1 a1
b1 b1 c1 a1
1、行列式的性质
记
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n D an1 an 2 ann
a11 a21 an1
，
a12 a22 an 2 D a1n a2 n ann
'
行列式 D ' 称为行列式 D 的转置行列式. 性质1（可转性）行列式与它的转置行列式相等，即行列互 换，行列式的值不变。
12
r2 r3
1
1
1
1
1
1
100 0 1 2 100 0 1 2 100*1*(1) *(5) 500 0 4 3 0 0 5
x r4 r3 0 r3 r2 D 0 r2 r1 0 y z w x x y x y z r4 r3 x 2 x y 3x 2 y z r3 r2 x 3x y 8 x 3 y z x y 0 x 0 0 0 0 z x y x x w x yz 2x y 5x y
第三节行列式的性质.ppt
定理2 n阶行列式也可定义为
D
1 t a p11a p2 2 a pnn
其中 t 为行标排列 p1 p2 pn的逆序数.
证 按行列式定义有
D
1 ta1 p1a2 p2 anpn
记 D1
1 ta p11a p2 2 a pnn
对于D中任意一项 1 t a1 p1a2 p2 anpn , 总有且仅有 D1 中的某一项 1 s aq1 a1 q2 2 aqnn ,
,
bn1 bn2 bnn
是由行列式D det aij 变换i, j(i j)两行得到的,
即当 k i, j 时, bkp akp;
当 k i, j 时, bip a jp , bjp aip,
于是
D1
1 b b b b t( p1 pi pj pn )
ri krj (ci kc j ).
6.利用行列式性质化行列式为上(下)三角行列 式,可以方便地求出行列式的值.要使计算顺畅,首先 应将首行首列元素化为1．
例5 计算4阶行列式
1 2 1 0
2 4 12
D
.
1 0 2 1
3 4 2 3
解
1 2 1 0
1 2 1 0
2 4 1 2 r2 2r1 0 0 3 2
(a 3)2 (b 3)2
0. (c 3)2 (d 3)2
证 先把 D的 第一列的(1)倍分别加到后面各列,再将得到
的行列式的第二列的 (2) 倍加到第三列,第二列的
(3) 倍加到第四列,得
a2 2a 1 4a 4 6a 9 a2 2a 1 2 6
b2 D
行列式的性质
a 11 c i + kc a 21
j
a 12 a 22 an2
a 1 i + ka 1 j a 2 i + ka 2 j a ni + ka nj
3
4
r3 r2
2 1 3 5
2 1 0 0
3 1 11 9
3 1 4 8
4 4 14 10
4 4 10 2
r3 × ( 1) 0 r2 × ( 1) 0
0
r3 3r2
1 0 0 0
0 0 0
2 1 0 0
2 1 0 0
3 1 8 4
3 1 4 0
4 4 2 10
4 4 10 22
r4 r3 1
(-1) a1 p1 a2 p2 aipi a jp j anpn = (-1) a1 p1 a2 p2 a jp j aipi anpn
t' t ''
经过一次对换结果如此, 经过一次对换结果如此,经过多次对换结果当然 还是如此.于是,经过若干次对换,使得: 还是如此.于是,经过若干次对换,使得:列标排列 p1 p2 pi p j pn 逆序数为 )变为标准排列(逆序数为 (逆序数为t)变为标准排列( 0);行标排列则从相应的标准排列变为某个新的排列, );行标排列则从相应的标准排列变为某个新的排列 );行标排列则从相应的标准排列变为某个新的排列, q1q2,其逆序数为 ,则有 其逆序数为s, qn (-1) a 设此排列为 a a
D = 3 4 1 5 0 1 2 2 2 1 3 2 5 3 4 4
行列式的性质(3)、克莱姆法则和行列式的逆序定义
§3 克莱姆法则 一、齐次与非齐次线性方程组的概念
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 对线性方程组 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
提示：从第一行起，每一行都减去其下一行。
四、行列式的其他常见计算方法简介： 1.按定义：不同行不同列元素乘积的代数和； (在介绍行列式的逆序定义后介绍） 2.数学归纳法：如范德蒙行列式的计算（课本24 页例5）； 3.递推法：找出n阶行列式与其结构相同的较低阶 行列式的关系再求解； 4.加边法（添加一行一列，变成n+1阶再求解）； 5.折成行列式之积（或和）； 6.作辅助行列式； · · · · · ·
a1 a1 1. a1 a1 a1 a2 a1 a2 x a2 a2 a2 a3 a3 a3 a3 an 1 an 1 an 1 an an an an an 1 an x
a2 a3 x
an 2 an 1 x an 1
1.行列式可按任一行（列）展开。 二、简单行列式的计算：
1.直接判断为零； 2.降阶法：按多零的行（列）展开 （也可以利用性 质把某一行（列）元素尽可能多化为零）；
3.化为三角行列式。
a11 a1k ak1 akk 课后思考： D c11 c1k cn1 cnk
（推论1的逆否命题） 推论2：若齐次线性方程组(1)有非零解，则其系数
行列式 D 0.
x1 x2 2 x3 0 例：若方程组 2 x1 x2 3 x3 0 有非零解，求 . 2x 2x 2x 0 1 2 3
三阶行列式计算技巧
三阶行列式计算技巧行列式是线性代数中的重要概念，它在矩阵理论、向量分析和微分几何等领域有广泛的应用。
在实际问题中，计算三阶行列式是一种常见的操作。
本文将介绍三阶行列式的计算技巧。
一、三阶行列式的定义ABCDEFGHI根据定义，三阶行列式的计算可以按照如下步骤进行：1.将行列式按行展开。
选择一个行号i，取第i行的元素a[i1]、a[i2]、a[i3]，其中i1、i2、i3是列号。
2.对于每一个选择，计算正负号。
一般的规则是：对于选择右上方元素的情况，取正号；对于选择左下方元素的情况，取负号。
3.将每一个选择的元素相乘，再将所有选择的结果相加。
得到的和就是行列式的值。
例如，对于三阶行列式，123，可以按照如下方式计算：123456789选择第1行，第1列的元素为1，选择右上方元素，取正号。
得到1*(5*9-6*8)=3选择第1行，第2列的元素为2，选择右上方元素，取正号。
得到2*(4*9-6*7)=-6选择第1行，第3列的元素为3，选择右上方元素，取正号。
得到3*(4*8-5*7)=3将三个结果相加，得到3+(-6)+3=0。
因此，该三阶行列式的值为0。
二、三阶行列式的性质1.换行性质：交换行列式的两行，结果变号。
考虑一个三阶行列式，ABC，如果交换第1行和第2行，行列式变为，DEF。
根据定义，交换行后的行列式为-(A*E*G+B*F*C+C*D*H)。
2.倍增性质：其中一行乘以k倍，行列式的值也乘以k。
考虑一个三阶行列式，ABC，如果将第1行乘以k，行列式变为，kAkBkC。
根据定义，乘以k后的行列式为k^3*(A*E*G+B*F*C+C*D*H)。
在实际计算中，为了简化计算和减少错误，可以使用一些技巧。
1.判断行列式是否等于0如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值等于0。
这是因为在展开计算时，相同的元素相乘得到的结果为0。
2.利用换行性质简化计算根据换行性质，交换行列式两行可以改变计算的顺序或者改变符号。
三阶行列式的计算
三阶行列式的计算
三阶行列式的计算
概述图利用加减消元法，为了容易记住其求解公式，但要记住这个求解公式是很困难的，因此引入三阶行列式的概念。
记称左式的左边为三阶行列式，右边的式子为三阶行列式的展开式。
下面是小编整理的三阶行列式的计算的资料，一起来看看吧。
三阶行列式可用对角线法则：
D = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32- a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32。
矩阵A乘矩阵B，得矩阵C，方法是A的第一行元素分别对应乘以B的第一列元素各元素，相加得C11，A的第一行元素对应乘以B 的第二行各元素，相加得C12，C的第二行元素为A的第二行元素按上面方法与B相乘所得结果，N阶矩阵都是这样乘，A的'列数要与B 的行数相等。
三阶行列式性质：
性质1：行列式与它的转置行列式相等。
性质2：互换行列式的两行(列)，行列式变号。
推论：如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零。
性质3：行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。
推论：行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。
性质4：行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零。
性质5：把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变。
第3节行列式的性质
121 D= 2 3 4
121
121
= − 2 3 4 = −D 121
因此 2D = 0 所以 D = 0
性质3： 用数 k 乘行列式的某一行，等于用数 k乘此
行列式，即
a11 a12 ⋯ a1n
⋮⋮
⋮
a11 a12 ⋯ a1n
⋮⋮
⋮
kai1 kai2 ⋯ kain = k ai1 ai2 ⋯ ain
3. 一些特殊行列式的值
a11 0 0 ⋯ 0 a21 a22 0 ⋯ 0
例1计算行列式 D = a31 a32 a33 ⋯ 0
⋯ ⋯ ⋯⋯ 0 an1 an2 an3 ⋯ ann
解：由定义法可知先找不为0的项，再来决定它 们的符号；根据分析，行列式展开式中不为0的 项只有 a11a22a33 ⋯ann 这一项，其它项都为0；
行列式的值
=其副对角线上冠上正负号的元素的乘积 2) 正负号是由 N (ni(n − 1)⋯2i1) 决定；
N (ni(n − 1)⋯ 2i1) = n(n − 1) 2
即
a11
a12 ⋯ a1n−1 a1n
0
a21
a22 ⋯ a2n−1 0
0
⋮⋮
⋮ ⋮ =⋮
0⋯ 0
a1n
0 ⋯ a2n−1
a2n
⋮
ka31 ka32 ka33
a31 a32 a33
正确的作法
ka11 ka12 ka13
a11 a12 a13
ka21 ka22 ka23 = k 3 a21 a22 a23
ka31 ka32 ka33
a31 a32 a33
推论2： 如果行列式有两行(列)的对应元素成比例，则 行列式的值为零. 例如：
行列式的性质
− a32a43a14a51a25a66 下标的逆序数为 t (452316) = 8
不是六阶行列式中的项. 所以 − a32a43a14a51a25a66 不是六阶行列式中的项
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例2 用行列式的定义计算
0 0 Dn = L n−1 0
0 L 0 1 0 0 L 2 0 0 L L L L L 0 0 L L 0 0 0 0 0 n
数之和， 数之和，那么可把行列式表示成两个行列式的 和，即
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a11 M a i 1 + a ′1 i M a n1
a11 M = ai1 M a n1 a12 M ai 2 M
a12
L
a1n
M M a i 2 + a′2 L a in + a ′ i in M an2
L a1n M
M L
设排列 p1 L p j L pi L pn 的逆序数为 s ,
则有
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(− 1 )
s
t
= − (− 1 ) ,
s
D1 = − ∑ (− 1) a1 p1 L a ip j L a jpi L a npn = − D.
1 7 5 1 7 5 6 6 2 = −3 5 8 , 3 5 8 6 6 2
p1 p2 L pn . 由定理１的推论有，这两个排列 由定理１的推论有，
p1 p2 L pn 与 q1q2 L qn 的奇偶性是相同的，即 的奇偶性是相同的，
( −1) a1 p1 a2 p2 L anpn = ( −1) aq 1 1aq2 2 L aqn n ,
t s
的逆序数． 其中 s为排列 q1q2 L qn 的逆序数． 该定理得证． 该定理得证．
2.行列式的性质和展开
ain a jn ain ann
ain ain 0 ain ann
推论 如果行列式中两行(列)相同，则行列式值为0，即：
性质4 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘 以同一数 k 等于用数k乘此行列式，即：
a12 ai 2 ai 2 an 2
ain ain a jn ann
ain ain ain ann
a11 a j1 ai1 an1
a11 ai1 ai1 an1
a12 a j2 ai 2 an 2
ai1 bi1 ai 2 bi 2 ain bin ai1 ai 2 ain bi1 bi 2 bin
性质3 互换行列式的两行(列) 则行列式变号即
a11 ai1 a j1 an1
a11 ai1 ai1 an1
a12 ai 2 a j2 an 2
a b 0 例3 a b满足什么条件时有 b a 0 0 ？ 1 0 1 解 a b 0 b a 0 a2b2 1 0 1
若要a2b20 则a与b须同时等于零 因此当a0且b0时 给定的行列式等于零
r4r3 r3r2 解 D r2r1 a b c d abc 0 a ab 0 a 2ab 3a2bc 0 a 3ab 6a3bc r4r3 a b c d r3r2 0 a ab abc 0 0 a 2ab 0 0 a 3ab a b c d r4r3 0 a ab abc a4 0 0 a 2ab 0 0 0 a
性质4行列式的某一行列中所有的元素都乘以同一数推论如果行列式中有两行列成比例则行列式值为0性质5把行列式的某一行列的各元素乘以同一数然后加到另一行列对应的元素上去行列式不变a是任意的n阶矩阵对于n阶的初等阵e有deteadetedeta以及detaedetadete推论利用上述的性质和推论结合特殊类型的行列式的结果可以计算一般的行列式
行列式及其性质
在求解特征值和特征向量的过程中，首先需要构建特征多项式，这个多项式的根即为特征值。而特征 多项式就是由原矩阵的行列式按照一定规则构造出来的，因此，利用行列式可以方便地找到特征值。 找到特征值后，再通过求解线性方程组可以得到对应的特征向量。
THANK YOU
感谢聆听
代数余子式的性质
代数余子式与原来的行列式具 有相同的符号。
行列式的转置
定义
行列式的转置是将行列式的行变为列，列变为行。
计算方法
将行列式的行和列互换，得到一个新的行列式即 为原行列式的转置。
转置的性质
行列式的转置与原行列式具有相同的值。
行列式的乘法性质
定义
01
两个行列式相乘得到一个新的行列式。
计算方法
05
行列式的应用实例
在线性方程组求解中的应用
总结词
行列式在求解线性方程组中起到关键作用，通过克拉默法则，可以基于行列式 值直接求解方程组。
详细描述
在求解线性方程组时，克拉默法则利用了行列式的性质，通过计算方程组系数 行列式，然后对每个方程分别除以对应的系数行列式，从而得到方程的解。
在矩阵求逆中的应用
02
将一个行列式的行与另一个行列式的列相乘，得到一个新的行
列式即为两个行列式的乘积。
乘法性质
03
两个行列式相乘时，其结果行列式的行和列的元素等于原来两
个行列式对应元素相乘之和。
行列式的加法性质
01
02
03
定义
两个同阶行列式相加得到 一个新的行列式。
计算方法
将两个同阶行列式的对应 元素相加，得到一个新的 行列式即为两个行列式的 和。
性质
三阶行列式满足交换律、结合律和代数余子式定理 。
3行列式的定义及性质
x1
x2
x1 x2 1 1 得：AX x2 1 1 x1
X x1
x2 1 1
对于由两个方程作成的二元线性方程组：
当
b1a22 a12b2 a11b2 b1a21 x1 , x2 a11a22 a12 a21 a11a22 a12 a21
对于 4 阶或 4 阶以上的行列式已不能单纯用
正，
负去确定每一项的符号。
a11
如
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
中 a14 a23 a32 a41 这一项
a21 a31 a41
所带的符号是正的，因为 4，3，2，1 是偶排列。
a1n a2 n1 an1 一般地， n 阶行列式中， n n 1 n 1...21 所带的符号是： 1 1 2
a31 ... an1
1
n n 1 2
a1n a2 n1 ...an1
副对角线（次对角线）之上三角形行列式
0 0
0 0 0 ...
n n 1 2
... ... ...
0 0 ...
0 a2 n 1 a3 n 1 ... an n 1
a1n a2 n a3n ... ann
0 0 ... 0 ann
a11a22 ...ann
下三角形行列式
a11 a21
a12 a32 ... 0
... a1 n 2 ... a3 n 2 ... ... ... 0
a1 n 1 a2 n 1 0 ... 0
a1n 0 0 ... 0
3
三阶行列式运算
三阶行列式运算摘要：一、三阶行列式的定义和性质1.定义2.性质二、三阶行列式的计算方法1.扩展法2.递推法3.高斯消元法三、三阶行列式的应用1.线性方程组的解2.矩阵的逆3.矩阵的秩四、三阶行列式的拓展1.更高阶行列式的研究2.与其他数学领域的联系正文：一、三阶行列式的定义和性质1.定义：三阶行列式是一个由九个元素构成的行列式，记作|A|，其中A是一个三阶方阵。
其定义为：|A| = a11*a22*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31 -a12*a21*a33 - a11*a23*a322.性质：（1）交换行列式的两行（或两列），行列式的值变为原来的相反数。
（2）交换行列式的两行（或两列）后，对应位置的元素符号相反。
（3）行列式的某一行（或列）乘以一个常数k，行列式的值也要乘以k。
（4）行列式的某一行（或列）加上另一行（或列）的k倍，行列式的值不变。
二、三阶行列式的计算方法1.扩展法：将三阶行列式扩展为六阶行列式，再通过减去四个二阶子行列式的和得到三阶行列式的值。
2.递推法：通过递推关系式计算三阶行列式的值，适用于具有特定结构的三阶行列式。
3.高斯消元法：将三阶行列式转化为上三角矩阵，然后逐步消元求解。
三、三阶行列式的应用1.线性方程组的解：利用高斯消元法求解线性方程组时，可以计算行列式的值，判断线性方程组是否有唯一解、无解或无穷多解。
2.矩阵的逆：求一个可逆矩阵的逆矩阵，可以通过计算行列式的值得到。
3.矩阵的秩：矩阵的秩等于其行（或列）的最大线性无关组个数，可以通过计算行列式的值判断。
四、三阶行列式的拓展1.更高阶行列式的研究：可以推广到四阶、五阶等更高阶行列式的计算和应用。
行列式性质
●某行(列)的k倍加到另一行(列)， 行列式不变。
应用举例
计算行列式常用方法：
利用消法运算把行列式化为上三角形行列式， 从而算得行列式的值．
例
1
2
0
1
(1)
1
2
0
1
1350
0 1 5 1
D
21
0156
015 6
1234
123 4
按此方法继续,化行列式为上三角形行列式
例：计算行列式
az a32 a33 bx a32 a33
性质4 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
证明 设A (aij )nn , B (bij )nn , 其中B是由A交换p, q两行得到的, 设p q。
| B |
(1) b b b b ( j1 j2 jp jq jn )
| A|
例如
175 175
6 6 2 3 5 8, 358 662
1 7 5 71 5 6 6 2 6 6 2. 3 5 8 53 8
推论 如果行列式有两行（列）完全相同， 则此行列式为零.
证明 互换相同的两行，有 D D,
D 0.
推论 行列式中如果有两行（列）元素 成 比例，则此行列式为零．
性质3 若行列式的某一行的元素都是两数之和.
a11
a12
a1n
例如 D bl1 cl1 bl2 cl2 bln cln
an1
an2
ann
分行可加性
则D等于下列两个行列式之和：
a11 a12 a1n
行列式
(1)
( j1 jk ji jn )
比较这两项，由已知有
aiji akji , aijk akjk .
也就是说，这两项有相同的数值. 但是排列
j1 ji jk jn 与 j1 jk ji jn
相差一个对换，因而有相反的奇偶性，所以这两项
的符号相反. 易知，全部 n 级排列可以按上述形式 两两配对. 因而，上述展开式中的每一项都有一数 值相同但符号相反的项与之成对出现，从而行列式 为零.
根据
证毕
性质 7 对换行列式中两行位置，行列式反号.
交换 i, j 两行记为 ri rj
1 2 3 0 1 1 r1 r3 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2 3
证明
a11 ai1 a j1 an1 a12 ai 2 a j2 an 2 a1n ain a jn ann
把行列式化为上(下)三角形行列式，从而算得行列式的 值．
性质 2、6、7介绍了行列式关于行和列的三 种运算，在本教案中分别称为数乘运算、线性
运算、交换运算，它们分别记为
交换运算： 线性运算：
数乘运算：
ri rj ci c j ri k rj ci k c j k ri k ci
rj - ri
ai1 a j1 ai1 an1
ai 2 a j 2 ai 2 an 2
a11
a12 a j2 ai 2 an 2 a12 a j2 ai 2 an 2
a1n a jn ain ann a1n a jn . ain ann
a11 b1
简述行列式的性质
简述行列式的性质
性质1：行列式与它的转置行列式相等。
性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号。
性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。
性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。
性质5：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第j列的元素都是两数之和。
行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det（A）或|A|。
无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。
行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。
或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。
行列式的性质
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7.2 行列式的性质
性质4 行列式中一行(或列) 性质4 行列式中一行(或列)的每一个元素 如果可以写成两数之和， 如果可以写成两数之和，
aij = bij + cij ( j = 1,2,L, n) ，
那么此行列式等于两个行列式之和，这两个 那么此行列式等于两个行列式之和， 行列式的第 i 行的元素分别是 bi1，bi 2 ， ， L 其他各行(或列) bin，和 ci1 ，ci 2 ，L ，cin ，其他各行(或列)的 元素与原行列式相应各行(或列)的元素相同， 元素与原行列式相应各行(或列)的元素相同，
a12 L M ai 2 L M an 2 L
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a1n M ain ． M ann
(7.2.2)
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7.2 行列式的性质
例如二阶行列式 a1 a2 = a1kb2 − a2 kb1 kb1 kb2 a1 a2 = k (a1b2 − a2b1 ) = k ． b1 b2 推论1 如果行列式中有一行(或列) 推论1 如果行列式中有一行(或列)的全部 元素都是零，那么这个行列式的值是零. 元素都是零，那么这个行列式的值是零.
1n 1n
2n 2n
M L nn L ann nn
a11 a11 a21 a11a11 a21 21 L an1 n1 a12 a22 a12 a12a12 a22 22 L an 2 an 2 T T T D = DD= = M M MM M M M an a1n n 2n a1na111nn a2a2n L ann nn
的转置行列式. 那么称行列式 D T为 D 的转置行列式. 的转置行列式. 显然 D 也是 D T 的转置行列式.
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性质6.将行列式某一行（列）的各元素乘以同一数后加到另一行（列）对应的元素上，行列式的值不变．即第 行乘 加到第 行上，有
性质7. 阶行列式中任意一行（列）的元素与另一行（列）相应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
3、为叙述方便，引进以下记号：
推论行列式有两行（列）相同，则此行列式为零。
性质3行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式。
推论1.行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．
推论2.行列式的某一行（列）中所有元素为零，则此行列式为零．
性质4.行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式为零．
1.者行列式的性质；
2.能够使用行列式的性质对行列式化简。
五、课堂练习和课后作业：
六、板书设计：
§1.3行列式的展开及行列式的性质
行列式性质
例题
课堂练习
七、课后分析
方便下节行列式的计算的讲解
（1）交换行列式的 两行（列），记为 （ ）；
（2）第 行（列）乘以 ，记作 ，第 行（列）提出公因子 ，记作 ；
（3）将行列式的第 行（列）乘 加到第 行（列）上，记为
3、补充（三角行列式）
定义. 对角线以下（或上）的元素均为零的行列式称为上（或下）三角行列式．
阶上三角行列式
阶下三角行列式
三、例题讲解
教案编号:NO3
课 题: 第三节行列式的性质
教学时间:
教学班级:
授课类型:讲授新课
教学目的的要求：
1. 理解行列式的性质；
2. 能够使用行列式的性质对行列式化简。
教学重点：
1. 理解行列式的性质；
2. 会用行列式的性质对行列进行化简计算。
教学难点：
1. 理解行列式的性质；
2.能够使用行列式的性质对行列式化简。；
例1：计算4阶行列式
解： - －
－ － ＝－1×（－1）×（－2）×（－2）＝4
小结：计算行列式时，常用行列式性质，把它化为三角形行列式来计算。例如化为上三角行列式的步骤是：如果第一列第一个元素为0，
先将第一行与其它行交换，使第一列的第一个元素不为0；然后将第一行分别乘以适当的数加到其它各行，使第一列除第一个元素外其余元素全为0；再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式；依次作下去，直至使它成为上三角行列式，这时主对角线上元素的乘积就是行列式的值。
教学过程：
一、教学引入:
1、复习回顾
（1）二阶、三阶行列式的计算；
（2）余子式、代数余子式及拉普拉期法则。
二、讲授新课
1.行列式的性质
（1）转置行列式
设
将 的行与列互换（顺序不变），得到的新行列式，记为 或 ，
称 为 的转置行列式．显然 也是 的转置行列式，即
性质1行列式与其转置行列式相等，即 。
性质2行列式的两行（列）互换，行列式变号。
教授思路及教学方法：
1.引导利用拉普拉斯法则为基础对性质1、2、3进行解释，使前后知识得以有机结合；
2.在证明性质7应把两个行列式同时写出来加以对比，把i、k行用彩色粉笔写出，指
出这两个行列式的异同，便于学生理解。
3.讲解三角形行列式的求法时，可引导学生探索解法，培的简单计算。
例2：计算行列式
解：因为第一列和第二列对应元素成比例，根据性质推论得
＝0
例3：计算4阶行列式
解：可以把第二行得元素分别看成：5＝1＋4；6＝2＋4；7＝3＋4；
8＝4＋4，由性质5有：
＝
＝ ＋ ＝0
例4：计算行列式D＝
解：这个行列式可以将第一行与第三行交换
即 － ＝－3×5×6＝－90
或 =
四、课时小结