次弹性敏感结构力学模型

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结构力学中的弹性理论分析

结构力学中的弹性理论分析弹性力学是力学的一个重要分支，研究的是物体在受力作用下的变形及其对应的应力分布。

弹性力学在工程学、地质学、物理学、地球物理学等领域都有着广泛的应用。

其中，弹性理论是一种重要的理论分析方法，可用于研究各种结构的受力情况和变形规律。

一、弹性理论的基本假设弹性理论的基本假设是：物体在作用力的作用下，其材料内部存在一种弹性应变能，当作用力消失时，这种应变能将物体恢复到原来的形状和尺寸。

弹性理论假设物体内部的弹性应变能只由物体的应变状态所决定，与作用力的历史无关。

这种假设在实际问题中具有很大的适用范围。

二、弹性理论的基本方程弹性理论的基本方程是：应力-应变关系、平衡方程和边界条件。

（1）应力-应变关系应力-应变关系是弹性理论的基本方程之一，它描述了物体中的应力与应变之间的关系。

杨氏模量、泊松比和切变模量是弹性体特性的重要参数，它们与应力、应变的关系描述了物体的本质特性。

（2）平衡方程平衡方程是弹性理论的基本方程之一，它表述了物体受到的力与物体本身所受的内力之和为零。

平衡方程可用来分析物体的力学平衡状态。

（3）边界条件边界条件是弹性理论的基本方程之一，它描述了边界上的应力和位移情况。

确定合理的边界条件是解决实际问题的关键之一。

三、弹性理论在工程中的应用弹性理论在工程领域中应用广泛。

在力学中，弹性力学是力学的一个重要分支，通过弹性理论的基本方程对实际工程问题进行分析，可以确定各种结构在受力和变形作用下的响应及其特征。

常见的工程问题都有基于弹性理论的解决方法，如梁的挠曲、拉伸、扭曲等问题，还有薄板、圆筒等结构的问题。

在实际工程中，可能会出现一些非常规形状的结构，这时弹性力学的理论可衍生出其相应的基本方程，用于分析这些结构的强度和变形行为。

此外，弹性理论在非线性动力分析和接触问题的研究中也有一定的应用。

总体来说，弹性理论在工程中是必不可少的。

材料力学通常研究的模型

材料力学通常研究的模型材料力学是研究材料在外力作用下的变形和破坏行为的学科。

在材料力学领域，研究者通常使用各种模型来描述材料的力学性质和行为。

这些模型可以帮助我们理解材料的力学行为，并为工程设计和材料选择提供依据。

弹性模型是材料力学中最基本的模型之一。

它假设材料在外力作用下会发生弹性变形，即在去除外力后能够恢复到初始状态。

弹性模型通常使用胡克定律来描述材料的弹性行为。

胡克定律表明，当外力对材料施加一个小的变形时，材料的应力与应变之间的关系是线性的。

这个模型在很多工程应用中都非常有用，例如弹簧和橡胶等弹性材料的设计。

除了弹性模型，塑性模型也是材料力学研究中常用的模型之一。

与弹性模型不同，塑性模型描述的是材料在外力作用下发生永久变形的行为。

在塑性模型中，材料的应力-应变关系是非线性的。

塑性模型可以帮助我们理解金属的塑性变形行为，以及材料的屈服和硬化等特性。

除了弹性和塑性模型，材料力学还研究了许多其他的模型，例如粘弹性模型和断裂模型等。

粘弹性模型结合了弹性和粘性两种行为，用于描述某些特殊材料的力学行为。

断裂模型研究材料在外力作用下发生断裂的行为，以及预测材料的断裂韧性和破坏模式。

除了这些基本的模型外，材料力学还使用了一些复杂的模型来描述材料的特殊行为。

例如，材料的疲劳行为可以使用疲劳模型来描述，材料的接触行为可以使用接触模型来描述。

这些模型在材料力学研究和工程应用中起到了重要的作用。

材料力学通常研究的模型包括弹性模型、塑性模型、粘弹性模型、断裂模型等。

这些模型可以帮助我们理解材料的力学行为，并为工程设计和材料选择提供依据。

在实际应用中，根据具体情况选择合适的模型可以更好地预测材料的力学行为，从而提高工程的安全性和可靠性。

结构力学之结构弹性稳定

2l3 2l
2EI
Pcr l 2
学习文档
例:求图示体系的临界荷载.
x
解:
2.设
y(x)
4a l2
(lx
x
2
)
P
l/2 l/2
y(x)
Pcr
12EI l2
误差:+21.6%
3.设杆中作用集中荷载所引起的位移作为失稳时的位移.
l
y(x) y
EI
x
y(x)
Q
(l2x
x3 )
(0 x l )
EIy(x) Py Q(l x) 或 y(x) P y Q (l x)
EI EI 令 n2 P
EI y(x) n2 y n2 Q (l x)
P
通解为
y(x) Acos nx B sin nx Q (l x) P
由边界条件
y(0) 0, y(0) 0, y(l) 0学习文档
l
EI
y
xM
y
得 A Ql 0 Bn PQ 0 P Acos nl B sin nl 0
1
0l
0
n 1 0
cosnl sin nl 0 稳定方程
nl cos nl sin nl 0 tan nl nl
y
y(nl) nl y(nl) tannl
x
P
P
Q
Q
l
EI
y
xM
3
5 nl
y
2
二.第二类稳定问题(极值点失稳) P
P
第二类稳定问题
非完善体系
三.分析方法大挠度理论。小挠度理论。
静力法能量法
偏心受压有初曲率
四 .稳定自由度

COMSOL3.5结构力学模型案例01

结构力学: 结构力学模型案例结构力学模型案例通过以下两个不同情况来介绍如何进行线性静态应力分析。

• 外边界的均布水平载荷• 重力载荷这个案例来自NAFEMS 基本系列 (参考文献. 1).锥形膜末端载荷第一个案例介绍厚度为0.1mm的膜的2D平面应力。

水平载荷沿右末端平均分布，为10 MN/m (也就是应力为 100 MPa)。

在左末端，x方向位移零。

左端的中间点固定在y方向。

模型使用以下材料属性：• 材料是各向同性的。

• 杨氏模量（弹性模量）为210·103 MPa。

• 泊松比为0.3。

在COMSOL Multiphysics中建模使用平面应力模式的静态分析，这样可以直接进行应力分析。

有限元模型使用拉格朗日二次三角单元。

为了确定结果已经收敛到基准值，细化网格然后再次计算结果。

结果点（0，2）处x方向应力求解值和基准目标值61.3 MPa吻合很好。

如果采用初始化网格，COMSOL Multiphysics 计算结果为61.41 MPa。

两次连续的细化网格后计算值分别为T 61.36 MPa 和 61.35 MPa。

图8-1: 均布末端载荷下x方向的应力分布模型库路径: COMSOL_Multiphysics/Structural_Mechanics/edge_load_2d 图形用户界面建模建模导航1 在空间维度下拉框中选择2D。

2 在应用模式树下，依次选择COMSOL Multiphysics>结构力学>平面应力>静态分析。

3 点击确定。

几何建模1 在绘图菜单下，选择指定对象>线。

2 在线对话框中，在x编辑框中输入0 4 4 0 0，在y编辑框中输入 0 134 0。

3 点击确定。

4 点击主工具栏的缩放至窗口大小按钮。

5 点击绘图工具栏的强迫成实体按钮。

定义的点就是约束点，也是应力基准值点。

物理量设定边界和点条件—载荷和约束求解域设定—材料属性6 在绘图菜单下，选择指定对象>点。

有限元-结构静力学分析

灰、白口铸铁球墨铸铁碳钢合金钢铸钢
轧制磷青铜轧制锰黄铜
铸铝青铜硬铝合金冷拔黄铜轧制纯铜
轧制锌轧制铝
铅钢铝铸铁不锈钢镁镍玻璃黄铜铜右墨钛钨木材
弹性模量E GPa
115～160 151～160 200～220
210 175 115 110 105 71 91～99 110 84 69 17 207 71.7 100 190 44.8 207 46.2 106 119 36.5 102.04 344.7 11
现在有限元静定、超静定全部都可以方便计算了。
杆件的结构静力分析分类
杆系结构还可分为平面结构和空间结构。当结构的全部杆件、支座及作用力均位于同一平面时，称结构为平面结构；否则即为空间结构。工程中的绝大多数结构都是空间结构。但在许多情况下往往可以引入一些适当的假定，把它们简化为平面结构，从而避免复杂的计算并取得精度符合工程要求的结果。在计算机发展后，习惯上常简化为平面结构的桁架和刚架（见框架）等，已逐步转向按空间结构计算。
0.42 0.29 0.33 0.211 0.305 0.35 0.291 0.245 0.324 0.326 0.425 0.3 0.28 0.33
第二部分杆件的结构分析
杆件的结构静力分析分类
杆件分析主要见于大型钢结构中的分析，如果都使用实体模型的话，模型将非常大。
杆系结构分为静定结构和超静定结构。凡是仅用静力平衡原理即可求出结构的全部内力和反力时，称结构为静定结构；否则为超静定结构。超静定结构可用力法、位移法或混合法等求解。在求得内力后，静定结构和超静定结构均可用位移计算公式或其他方法求得结构中任意指定点的位移。较复杂的超静定结构，由于其计算工作量很大,在20世纪30～ 50年代期间,曾发展了许多近似法、渐近法及实用的简化方法。这些方法在当时曾解决过许多工程结构的计算问题，也推动了结构力学的发展。但随着电子计算机的发展和普及，适合于计算机的矩阵力法、矩阵位移法及有限元法等已成为分析复杂问题的主要方法。

弹性力学本构方程刚度矩阵柔度矩阵

弹性力学本构方程刚度矩阵柔度矩阵弹性力学本构方程刚度矩阵柔度矩阵弹性力学本构方程刚度矩阵柔度矩阵中文名称:弹性力学英文名称:theory of elasticity其他名称:弹性理论定义:研究弹性体在荷载等外来因素作用下所产生的应力、应变、位移和稳定性的学科。

所属学科:水利科技(一级学科) ;工程力学、工程结构、建筑材料(二级学科) ;工程力学(水利)(三级学科)弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。

在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。

材料力学基本上只研究杆状构件;结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统;而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。

弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。

它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。

弹性体是变形体的一种，它的特征为:在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。

绝对弹性体是不存在的。

物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。

弹性力学的发展大体分为四个时期。

人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。

当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17世纪开始的。

发展初期的工作是通过实践，探索弹性力学的基本规律。

这个时期的主要成就是R.胡克于1678年发表的弹性体的变形与外力成正比的定律，后来被称为胡克定律。

第二个时期是理论基础的建立时期。

这个时期的主要成就是，从1822,1828年间，在A.-L?柯西发表的一系列论文中明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量概念，建立了弹性力学的几何方程、平衡(运动)微分方程，各向同性和各向异性材料的广义胡克定律，从而为弹性力学奠定了理论基础。

3_弹性模型

Sij 2Gs eij
Ks-割线体积变形模量 Gs-割线剪切变形模量
12
Cauchy弹性模型
m K s kk
Sij 2Gs eij
ij 2Gs eij Ks kkij
ij 2Gsij (3Ks 2Gs )8ij
工程材料本构关系
第3章弹性模型
主要内容
3.1 概述
3.2 线性弹性模型
3.3 非线性弹性模型理论 3.4 土的非线性弹性模型举例 3.5 混凝土的非线性模型举例 3.6 破坏准则
2
3.1 概述
3
弹性模型包括:线性弹性模型和非线性弹性模型二大类; 非线性弹性模型理论上又可分为 Cauchy 弹性模型、超弹性模型和次弹性模型三种; 弹性模型要求材料在加载和卸载时的应力-应变曲线是完全相同的，然而符合这一性状的工程材料很少; 为了采用弹性模型来描述，常常将加载和卸载两种情况加以区别，在加载和卸载时采用不同的弹性模量; 弹性模型有破坏准则，弹塑性模型中有屈服准则，不少材料的屈服准则同破坏准则具有相同的形式。
应力张量增量可分解为应力球张量增量和应力偏张量增量两部分
ij Sij 8ij
八面体正应变增量可表示为
ij Sij 3Kt8ij
8 kk kl kl
1 3 1 3
8 Kt kl kl
Sij 2(eij dGs 8 Gs eij ) d 8
6
线性弹性模型
ij 2 ij kk ij
ij
E E ij kk ij 1 (1 )(1 2 )
泊松比
弹性模量
若用球张量和偏张量来表示，线性弹性模型表达式为

弹性力学基础知识

y
dy
yx
yx
y
dy
注：这里用了小变形假定。
精品文档
22
Fx 0
(
x
x
x
dx)dy 1 xdy 1
(
yx
yx
y
dy)dx 1
yxdx 1
Xdx dy 1 0
x yx X 0
x y
x
O
y yx
x
yx
y
y
P D
xy
B
dy
yxA
X
x
x
x
dx
Y
C
xy
xy
x
dx
y
x
dx
Y
C
xy
xy
x
dx
y
y
y
dy
(
yx
yx
y
dy)dx 1
dy 2
yxdx 1
dy 2
0
xy
1 2
xy
x
dx
yx
1 2
yx
y
dy
当 dx 0, dy 0 时，有 xy yx —— 剪应力互等定理 24
精品文档 (dìnglǐ)
平面情况的平衡(pínghéng)微分方程
第二章弹性(tánxìng)力学的基
本知识
1
精品文档
2-1、弹性力学(lì xué)和材料力学(lì xué)
1、研究(yánjiū)的对象：
材料力学主要研究弹性杆件(如梁、柱、轴等）弹性力学主要研究弹性体。（杆、板、壳、块体）
2
精品文档
2、研究(yánjiū)的方
法：
已知
外力(wàilì)、边界条件、几何、材料

结构力学结构弹性

k1 1
M Fy k11
，令 n2 F
上式可写为
EI
y"n2 y n2 k11
F
微分方程的通解（挠曲线方程）
y Acosnx B sin nx k11
F
式中，A，B为任意常数。挠曲线的边界条件为
当 x=0 时，y=0， y′= 1 当 x=l 时，y k11
F
δF
y
y 1
k1
δ
y y 1
k1
F
B
EI
l x A
F
M
y
x
y 1
A
k1 1
F k11 0
k11
F
\
1.弹性支座（弹性）压杆的稳定
δF
取下段隔离体分析，由M A 0 有
B
F
M
EI
y
因 EIy" M 于是可得挠曲线微分方程
y
l
x
x
y 1
A
EIy" Fy k11
或
y" F y k11
EI EI
y 1
A
k1
F2=0.382kl 时，失稳形式是因 F2 <F1，所以临界荷载为而真正的失稳形式是
y2 F1 kl 0.618
y1
F1
y2 F2 kl 1.618
y1
F2
Fcr F2 0.382 kl y2 1.618 y1
2. 弹性压杆（无限自由度）的临界荷载
图示一段固定另一端铰支的等截面弹性压杆。设失稳时杆件的挠曲线为 y=y(x)，C为任一截面，其弯矩为M，取AC段分析，
(1) 按小变形分析
由于位移和变形都很小，近似地取 sin ，则平衡方程

弹性力学与有限元完整版

形状的变化，而改变了物体内部各个点的相对位置，引起位移。
• 后者与弹性体的应力有着直接的关系——弹性力学研究的主要变形，通常叫位移。
根据连续性假设，弹性体在变形前和变形后仍保持为连
续体。
弹性体中某点在变形过程中由M（x，y，z）移动至 M’(x’，y’，z’)，这一过程也是连续的，为 x、y、z
弹性力学各个量之间的关系
平衡方程
外力
物理方程
几何方程
应力
应变
位移
3.1 概述
根据几何方程和本构方程可见：
位移、应力和应变分量之间不是相互独立的。
• 假如已知位移分量，通过几何方程可以得到应变分量，然后通过物理方程可以得到应力分量。
弹性力学基本内容
外界作用
弹性体
外力温度变化
应力应变位移
1.1 弹性力学绪论
• 弹性力学，又称弹性理论。
– 是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等。为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备。
• 弹性力学的研究对象：
–是完全弹性体，包括构件、板和三维弹性体，比材料力学和结构力学的研究范围更为广泛。
合计 15
未知量：
应力分量——6个
x、 y、 z、 xy、 yz、 zx
应变分量——6个
x、 y、 z、 xy、yz、 zx
位移分量——3个
u、v、w
合计 15
• 第二章弹性力学平面问题
2.1 平面应力问题 2.2 平面应变问题 2.3 平面问题的基本方程
2.1 平面应力问题
1、平面应力问题的概念
• ②受力特征
– 外力平行于中心层 – 外力沿厚度不变化

结构力学第11章结构极限荷载与弹性稳定

结构力学第11章结构极限荷载与弹性稳定
§11-2 基本概念
由静力条件，有：
由此得出极限荷载FPu，即有
最后指出：这几个概念是非常重要的。讨论矩形截面梁在纯弯曲状态下所获得的结果，利用其它形式的截面形状，也有类似的结果。
结构力学第11章结构极限荷载与弹性稳定
§11-2 基本概念
三、稳定问题
的偏心受压直杆，一开始就处于同时受压和弯曲的状态。当 F达到临界值Fcr时，荷载不增加或减小，挠度仍继续增加如图b—丧失第二类稳定性。
工程结构实际上均属于第二类稳定问题。可将其简化为一类稳定问题
在弹塑性阶段中，随着M增大，弹性核的
高度逐渐减小，最后y00。此时相应弯矩是截面所能承受的最大弯矩，称为“极学第11章结构极限荷载与弹性稳定
§11-2 基本概念
比较两式可知：对于矩形截面，极限弯矩为弹性极限弯矩的1.5倍，即Mu=1.5Ms。
二、塑性铰和极限荷载
图c所示工字梁，荷载达到临界值前仅在复板平面内弯曲，荷载达到临界值时发生斜弯曲和扭转。
结构力学第11章结构极限荷载与弹性稳定
§11-2 基本概念
丧失第一类稳定性的特征：
结构的平衡形式及内力和变形状态发生质的突变，
原有平衡形式已不稳定，同时出现新的有质的区别的平衡形式。图a所示由塑性材料制成
极限弯矩，或称为屈服弯矩。即：
s
MS
bh2 6
s
y0
（2）图(b）—截面处于弹塑性阶段，
y0
截面外边缘处成为塑性区，应力为常数， s b) 结构力学第11章结构极限荷载与弹性稳定
§11-2 基本概念
=s；在截面内部(|y|y0)则仍为弹性区，称为弹性

COMSOL3.5结构力学模型案例01

结构力学: 结构力学模型案例结构力学模型案例通过以下两个不同情况来介绍如何进行线性静态应力分析。

• 外边界的均布水平载荷• 重力载荷这个案例来自NAFEMS 基本系列 (参考文献. 1).锥形膜末端载荷第一个案例介绍厚度为0.1mm的膜的2D平面应力。

水平载荷沿右末端平均分布，为10 MN/m (也就是应力为 100 MPa)。

在左末端，x方向位移零。

左端的中间点固定在y方向。

模型使用以下材料属性：• 材料是各向同性的。

• 杨氏模量（弹性模量）为210·103 MPa。

• 泊松比为0.3。

在COMSOL Multiphysics中建模使用平面应力模式的静态分析，这样可以直接进行应力分析。

有限元模型使用拉格朗日二次三角单元。

为了确定结果已经收敛到基准值，细化网格然后再次计算结果。

结果点（0，2）处x方向应力求解值和基准目标值61.3 MPa吻合很好。

如果采用初始化网格，COMSOL Multiphysics 计算结果为61.41 MPa。

两次连续的细化网格后计算值分别为T 61.36 MPa 和 61.35 MPa。

图8-1: 均布末端载荷下x方向的应力分布模型库路径: COMSOL_Multiphysics/Structural_Mechanics/edge_load_2d 图形用户界面建模建模导航1 在空间维度下拉框中选择2D。

2 在应用模式树下，依次选择COMSOL Multiphysics>结构力学>平面应力>静态分析。

3 点击确定。

几何建模1 在绘图菜单下，选择指定对象>线。

2 在线对话框中，在x编辑框中输入0 4 4 0 0，在y编辑框中输入 0 134 0。

3 点击确定。

4 点击主工具栏的缩放至窗口大小按钮。

5 点击绘图工具栏的强迫成实体按钮。

定义的点就是约束点，也是应力基准值点。

物理量设定边界和点条件—载荷和约束求解域设定—材料属性6 在绘图菜单下，选择指定对象>点。

建筑结构力学问题的数学建模与分析

建筑结构力学问题的数学建模与分析建筑结构力学问题的数学建模与分析一直是建筑工程领域的重要研究方向。

通过数学建模，可以更好地了解和分析建筑结构在受力状态下的性能和行为。

本文将从数学建模的角度出发，探讨建筑结构力学中的一些典型问题及其分析方法。

一、弹性力学模型的建立弹性力学模型是建筑结构力学问题中最为基础和常用的模型之一。

弹性力学模型的建立涉及到材料力学的知识，以及应力、应变和位移之间的关系。

通过建立弹性力学模型，可以分析建筑结构在受力过程中的变形和应力分布情况，进而评估其受力性能和安全性。

以简支梁为例，假设其材料为线弹性材料，可以通过弹性模量和横截面惯性矩等参数来描述材料的力学性质。

根据杨氏弹性模量、横截面积和长度等参数，可以建立梁的弹性力学模型，并通过数学方程来描述其受力状态和变形情况。

进一步分析这些方程的解及其特征，可以得到梁的应力分布、挠度和刚度等重要参数，为建筑设计和工程施工提供理论依据。

二、静力平衡的模拟与分析静力平衡是建筑结构力学分析的重要基础，通过建立静力平衡方程可以分析建筑结构受力平衡的条件和力学性能。

在实际工程中，建筑结构的受力分析常常涉及到多个力和力矩的作用，通过建立力的叠加原理和力矩的平衡条件，可以完成对建筑结构受力平衡的模拟与分析。

以三维空间中的刚性结构为例，可以分析力和力矩的平衡条件，建立受力平衡方程组，并通过求解方程组得到未知力和力矩的数值。

通过受力分析可以得到结构的受力平衡状态，以及各个节点和构件的内力分布情况。

这对于建筑结构设计和工程施工具有指导意义，可以保证结构在受力状态下的稳定性和安全性。

三、振动问题的数学建模与分析振动问题是建筑结构力学分析中的一个重要问题，通过数学建模和分析可以描述结构在振动状态下的动力特性和响应行为。

在地震、风荷载等自然灾害或外力的作用下，建筑结构的振动特性对于工程安全至关重要。

以简谐振动为例，可以通过建立质点和弹簧的等效模型，以及考虑振动阻尼的影响，建立建筑结构振动问题的数学模型。

结构力学模型

结构力学模型
结构力学模型是指将实际的物体或结构抽象为一种数学模型，用来描述物体或结构的力学性质。

这种模型一般包含一个或多个有限元素，每个元素都与物体的某一部分相对应。

这些元素可以是点、线、面或体，它们之间通过节点连接，形成一个完整的数学模型。

在结构力学模型中，通常使用弹性理论或塑性理论来描述物体的变形和应力分布。

这些理论可以根据物体的形状、材料和受力情况来进行计算，得到物体的应变、应力和变形等重要参数。

结构力学模型的建立是一个非常复杂的过程，需要考虑到多种因素，如物体的材料特性、受力情况、几何形状等。

为了精确描述物体的行为，还需要进行实验验证和校准。

这使得结构力学模型成为工程设计和科学研究中不可或缺的工具。

总之，结构力学模型是一种数学模型，用来描述物体或结构的力学性质，它可以帮助工程师和科学家更好地理解和设计物体的行为。