第11章 差错控制编码(1)

Ci
e
1
dmin
Cj
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（3）线性分组码的基本结论 11.1 差错控制编码的基本概念
b. 要在一个码组中能纠正t个误码，要求 dmin 2t＋1
将以t为半径的“球”内所有的禁用码组均判为球心中的准用码 组，可纠正t个以内的错误。
Ci
t
1
t
dmin
S1＝C6C5C4C2＝ 0001=1 S2＝C6C5C3C1＝ 0010=1 S3＝C6C5C3C0＝ 0000=0 根据效验子 S1 S2 S3＝110，可判断误码发生在C5。
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11.2 线性分组码
3.监督矩阵 前述的监督方程可用矩阵形式表示
Cj
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（3）线性分组码的基本结论 11.1 差错控制编码的基本概念
c. 要在一个码组中能纠正t个误码，同时检出e (e t) 个误码 dmin e＋t＋1
当误码数小于等于t时，可纠正； 当误码数大于t小于等于e时，不会落入另一码组的纠错范围内。
2.差错控制的基本实现方法 在信息上附加一定位数的监督码元，使其与信息位按某种规
则相互关联，若数据在传输过程中发生差错，关联关系被破坏， 从而可检出和/或纠正错误。
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11.1 差错控制编码的基本概念
3.差错控制编码的分类 （1）线性码： 信息码与监督码之间的关系为线性关系；
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3.校正[S]与H及误码的关系 设发送码组为[A]，接收码组为[B] 误码为：[B]-[A]=[E]=[en-1en-2……e1e0]
ei
0, 1,
bi ai bi ai
11.2 线性分组码
由 [B]=[A]+[E]：
得 [S]=[B]HT={[A]+[E]}HT＝[A]HT+[E]HT = 0 + [E]HT =[E]HT
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6.几种简单的检错码
11.1 差错控制编码的基本概念
（3）水平垂直奇偶效验码
在水平奇偶监督码的基础上增加列的奇偶效验。
可检出任一行和任一列的所有奇数个错误，及长度不大于
行数（按列发）或不大于列数（按行发）的突发错误。
（4）群计数码 计算码组中信息位“1”的个数，将计算值作为监督位，可检出除 “0”变“1”，“1”变“0”成对出现之外的所有错误。
H
Cn1 Cn2 ...
C1 C0
0
0
...
0
矩阵H称为监督矩阵。
对上例，有：
1 1 1 0 1 0 0
0
1 1 0 1 0 1 0 C6 C5 C4 C3 C2 C1 C0 T 0
1 0 1 1 0 0 1
0
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6.几种简单的检错码
11.1 差错控制编码的基本概念
（1）奇偶效验码（续前）
奇偶效验码码组间最小距离dmin＝2 证明（以偶效验为例）：因为
an-1an-2 … a1 a0 ＝0 所以当码组中任一位aj发生错误时aj /aj;
an-1an-2 …/aj…a1 a0 ＝1 至少可检出一位误码，故dmin大于或等于2。 当有两位ai，aj发生误码时
的最高位、次高位，… 依次发送：
an-1 an-2 …… a1 a0 an-1 an-2 …… a1 a0 …… … … …… … …
an-1 an-2 …… a1 a0 an-1 an-2 …… a1 a0
当突发的错误数小于m个时，每个码组中的误码个数小于2个，通 过奇偶效验可以检出。
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非线性码：信息码与监督码之间的关系为非线性关系。 （2）分组码：信息码与监督码以组为单位建立关系；
卷积码：监督码与本组和前面码组中的信息码有关。 （3）系统码： 编码后码组中信息码保持原图样顺序不变；
非系统码：编码后码组中原信息码原图样发生变化。 （4）数学方法：
代数码； 几何码； 算术码。
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11.1 差错控制编码的基本概念
4.误码的主要形式 （1）随机错误：误码的位置随机（误码间无关联），随机误码主
要由白噪声引起。 （2）突发错误：误码成串出现，主要由强脉冲及雷电等突发的强
干扰引起。 （3）混合错误：以上两种误码及产生原因的组合。
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6.几种简单的检错码
11.1 差错控制编码的基本概念
（5）恒比码
从某确定长度的码组中挑选出那些“1”和“0”的比例为恒定值 的
码组作为许用码组，当收到违反恒比特性的码组即可判为误码。
（6）ISBN国际统一图书编号 ISBN A BBB CCCCC X 国家代号 出版公司 书名编号 效验码
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11.1 差错控制编码的基本概念
5.检错与纠错的基本概念（续前） 直观地，冗余度越大，许（准）用码组间的区别越大，检错和纠 错能力越强。
（2）. 基本术语 a. 码重W：码组中非零码元的数目； b. 码距d（Hamming距）：两码组中对应码元位置上取值不同
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11.2 线性分组码
2.例：具有纠正一位误码的分组码
C6C5C4C3 C2C1C0
n = 7, k = 4,
信息位 监督位 r = n－k＝3
定义一组确定误码位置的参量：S1S2S3
误码位置 S1S2S3 误码位置 S1S2S3
无误码
000
C3 011
C0
001
C4 101
C1
010
C5 110
C2
100
C6 111
由上表可得：S1＝C6C5C4C2 S2＝ C6C5C3C1
S3＝C6C5C3C0
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2.例（续前）
11.2 线性分组码
容易验证，当出现一位误码时，校正子能够确定误码的位置。
的 个数； c. 最小码距dmin：准用码组中任两码组间的最小码距。
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5.检错与纠错的基本概念 11.1 差错控制编码的基本概念
（3）线性分组码的基本结论 a. 要在一个码组中检出e个误码，要求
dmin e＋1 即任一码组产生小于等于e个误码时，都不会变成另一准用码 组。
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11.1 差错控制编码的基本概念
5.有扰离散信道的编码定理（香农信道编码定理） 若有扰信道容量为C，信息传输速率为R，如果 R<C ，则存在编码
方法，使错误概率 P e-nE(R)
其中 E(R) 称为误差指数，n 为码组长度。
信道容量C作为曲线的 的参变量，包含有关 S/N的因素。
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6.几种简单的检错码
11.1 差错控制编码的基本概念
（2）水平奇偶效验码（续前）
在上面的分析中，整个方阵作为一个“码组”，长度为原来的m倍，
可检出不大于m个的突发错误，在未增加监督位的条件下，检错
能力为原来的m倍，这是香农信道编码定理应用的一个例子。
该编解码所付的代价：缓存空间和延时增大。
6.几种简单的检错码 （1）奇偶效验码
在信息码组an-1,an-2,…,a1中加入监督位a0，使编码后码组中 “1”的个数为奇数（奇效验）或偶数（偶效验）。 偶效验：取a0，使下式成立
an-1an-2 … a1 a0 ＝0 a0 = an-1an-2 … a1 奇效验：取a0，使下式成立 an-1an-2 … a1 a0 ＝1 a0 = an-1an-2 … a1 1
7 17 27 39 51 64 77 90 105 121
121 ＝ 0 mod 11
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11.2 线性分组码
1.基本概念 （1）线性分组码：码组中的信息位和监督位之间的关系由线性 方程确定； 线性分组码的特点： 两许用码组之和（逐位模2和）仍为一许用码组（封闭性）； 码组间的最小距离等于非零码的最小重量。
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2.例（续前）：
11.2 线性分组码
设信息码组C6C5C4C3＝0101 C2＝C6C5C4 ＝010＝1 C1＝C6C5C3 ＝011＝0 C0 ＝C6C5C4 = 001＝1
发送： C6C5C4C3 C2C1C0＝ 0101101 若接收时有一位，C5，位出错： C6C5C4C3 C2C1C0＝0001101
数字通信原理 （9）
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