变化的快慢与变化率
变化的快慢与变化率
1, 2
1, 1.1
1 , 1.001
0.999
, 1
1.999
1.99 1.9
0.99, 1
0.9,1
均变化率向2逼近.
五、抽象概括(2)
一般地, 函数
y f ( x) 在自变量 x 从 x0 变到 x1的过程中, 如果设
6.5 3.5 1 30
从第6个月到第12个月婴儿体 重的平均变化率：
11 8.6 0.4 12 6
o
3
6
9
12
t/月
二、抽象概括(1)
1.平均变化率的定义:
一般地,函数 f ( x) 在 [ x1 , x2 ] 区间上的平均变化率为:
y B(x2,f(x2))
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
某病人吃完退烧药，他的体温变化如图，比较时间x从 0min到20min 和从20min到30min体温的变化情况，哪段时 间体温变化较快？
y/(oC)
39 38
体温从0min到20min的平均变化率是： 解：
38.5 39 0.5 0.025 ( C/min) 20 0 20
一、生活中的平均变化率
百年银杏 雨后春笋
树高:15米 树龄:100年
高:15厘米 时间:三天
西安市2011年1.3～4.6最高气温变化表
日 期 最高气温 1月3日 0（℃） 3月23日 12 （℃） 4月6日 17（℃）
12 0 0.15 从1月3日~3月23日气温的平均变化率： 80
从3月23日~
f(x2)-f(x1) =△y
x
f ( x2 ) f ( x1 ) y x2 x1 x
2.1 变化的快慢与变化率 课件(北师大选修2-2)
其中自变量的变化
x2－x1
称作自变量的改变量，记
作 Δx ，函数值的变化 f(x2)－f(x1) 称作函数值的改变量， 记作 Δy .这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改 fx2－fx1 Δy 变量与自变量的改变量之比，即 ＝ x2－x1 . Δx (2)作用：刻画 函数值 在区间[x1，x2]上变化的快慢.
(1)由f(x)＝2x2＋1，得Δy＝f(2.01)－f(2)
Δx＝2.01－2＝0.01， Δy 0.080 2 ∴ ＝ ＝8.02. Δx 0.01 (2)∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
2 ＝2(x0＋Δx)2＋1－2x0－1
＝2Δx(2x0＋Δx)， Δy 2Δx2x0＋Δx ∴ ＝ ＝4x0＋2Δx. Δx Δx
s3－s2.5 2－1.25 (2)t∈[2.5,3]时， v ＝ ＝ ＝1.5. 0.5 3－2.5 s3＋Δt－s3 t∈[3,3＋Δt]时， v ＝ Δt Δt2＋2Δt ＝ ＝Δt＋2. Δt 当Δt趋于0时， v 趋于2，即为t＝3时的瞬时速度．
4．一辆汽车按规律s＝at2＋1做直线运动，若汽车在t＝2时 的瞬时速度为12，求a.
答案：B
2．已知函数f(x)＝x2，分别计算函数f(x)在区间[1,3]，[1,2]，
[1,1.1]，[1,1.001]上的平均变化率．
f3－f1 解：函数f(x)在区间[1,3]上的平均变化率为 ＝4. 3－1 f2－f1 函数f(x)在[1,2]上的平均变化率为 ＝3. 2－1 函数f(x)在[1,1.1]上的平均变化率为 f1.1－f1 ＝2.1.函数f(x)在[1,1.001]上的平均变化率为 1.1－1 f1.001－f1 ＝2.001. 1.001－1
变化的快慢与变化率学案一
变化的快慢与变化率()-一、学习目标1．理解“变化率问题”，课本中的问题1,2.2. 知道平均变化率的定义。
二、课前自学A 阅读课本26P 页平均变化率的概念回答下面的问题：1.（1）x ∆是相对于1x 的一个___________，它可以是_______，也可以是_________，可以用________ 代替2x .（2） 变化率是一个_________ ，分母x ∆可以很小，但不能为_____________.2. 由平均变化率的概念可得求函数()y f x =的平均变化率的步骤：（1）求自变量的增量______________；(2)求函数的增量________________；(3)求平均变化率______________________.注意：①Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘；②Δf=Δy=y 2-y 1；B 小试牛刀：1.函数()y f x =的自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数值的改变量Δy 为（ ）A.()0f x x +∆B.()0f x x +∆C.()0f x x ⋅∆D. ()()00f x x f x +∆-2．质点运动规律为32+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 ．3. 已知函数x x x f +-=2)(的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-则=∆∆x y .三、合作学习在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在105.69.4)(2++-=t t t h 的函数关系，如何计算运动员的平均速度？并分别计算0≤t ≤0.5，1≤t ≤2，1.8≤t ≤2，2≤t ≤2.2，时间段里的平均速度.思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里，___________.；在21≤≤t 这段时间里，___________.探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形计算和思考，展开讨论；四、课堂训练1、函数()2x x f =在区间[]3,1-上的平均变化率是（ ） A 、4 B 、2 C 、41 D 、432. 已知函数1)(2+-=x x f ，分别计算()x f 在下列区间上的平均变化率 （1）[1，1.01] (2)[0.9,1]3、已知一次函数)(x f y =在区间[-2，6]上的平均变化率为2，且函数图象过点（0，2），试求此一次函数的表达式。
一组数据的变化量和变化率
一组数据的变化量和变化率
变化量：用其末量减去初量。
表示某量变化的多少。
只要变化的多，其变化量就大，例如你的速度由1变成3，我的速度由1变成5，你的速度变化量是2，我的速度变化量是4，我就比你大。
变化率：用变化量除时间。
表示某量变化的快慢。
你的速度由1变成3，用时四秒，那你的速度每秒就增加0.5，“0.5”就是速度变化率（物理书上又把速度变化率叫做加速度）。
我的速度由1变成5，我用时两秒，我的速度每秒增加2，所以我的速度比你增加的快。
你提问问题，目的是听懂，并不在于回答者回答字数的多少，我是看你悬赏的分数多才回答的，我急需分数，用来悬赏提问与大学专业有关的问题，所以若感觉我回答的还可以的话，就把分给我吧，毕竟用手机打字很辛苦的。
变化的快慢与变化率》课件(北师大版选修
变化率：描述变 化速度的量，通 常用单位时间内 的变化量来表示
变化的快慢：描 述变化速度的直 观感受，通常用 变化量与变化时 间的比值来表示
关系：变化率是 变化的快慢的量 化表示，两者成 正比关系
应用：在物理、 化学、生物等领 域，变化率是描 述变化快慢的重 要参数，可以帮 助我们更好地理 解和分析问题
影响：变化的快慢与变化率对未来科技、经济、社会等领域的发展具有重要影响 意义：理解变化的快慢与变化率有助于我们更好地适应未来社会的变化，提高应对能力 挑战：未来发展的不确定性和复杂性将带来新的挑战，需要我们不断学习和适应 机遇：未来发展的变化将为我们带来新的机遇，需要我们积极把握和利用
气候变化：通过变化率预测 气候变化趋势
股票市场：通过变化率判断 股票价格走势
经济增长：通过变化率评估 经济增长速度
疾病传播：通过变化率预测 疾病传播速度
变化率：描述变化快慢的量，通常 用导数或微分表示
数学建模：将实际问题转化为数学 模型，通过求解模型得到问题的解
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
变化快慢：描述变化率的大小，通 常用积分或极限表示
初始状态：初始状态越接近目 标状态，变化越快
变化速度：变化速度越快，变 化越快
变化方向：变化方向与目标状 态一致，变化越快
干扰因素：干扰因素越小，变 化越快
变化率：描述 事物变化快慢
的量
意义：帮助理 解事物变化的
速度
应用：广泛应 用于物理、化 学、生物等领
域
计算方法：通 过比较两个时 间点的数据变 化来计算变化
率
高中数学知识点精讲精析 变化的快慢与变化率
1 变化的快慢与变化率
1.平均变化率：上述问题中的变化率可用式子 表示,称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率。
1．函数的平均变化率的概念：一般地，给出函数()f x 在区间12[]x x ，上的平均变化率2121
()()f x f x x x --； 2. 平均变化率的几何意义：直线的斜率；
3．平均变化率的实际作用：反映了函数某个区间上的平均变化率（变化快慢）；或者说在某个区间上曲线的陡峭程度．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．
提醒：平均变化率有局限．我们知道平均变化率只能反映函数在某个区间内的平均变化，而无法精确反映某一点的变化状态
1 已知函数x x x f +-=2)(的图象上的一点)2,1(--A 及
临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-则
=∆∆x
y . 【解析】
)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+- ∴x x
x x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 2 求2x y =在0x x =附近的平均变化率.
【解析】
2
020)(x x x y -∆+=∆
所以x x x x x y ∆-∆+=∆∆2020)(x x x x x x x x ∆+=∆-∆+∆+=020202022 1
212)()(x x x f x f --
所以2x y =在0x x =附近的平均变化率为x x ∆+02。
变化的快慢与变化率
y 2x2
在x =1处的瞬时变化率。
解：y x
f (x0 x) x
f (x0 ) 2 (1 x)2 2 12 x
2 2 x x2 4 2 x x
当△x→0时，
y x
4
即函数在x =1处的瞬时变化率为4.
适应性练习：估计x =-1处的瞬时变化率。
思考与交流
有一个长方体的容器，如图所示，它的宽为10cm，高
课后作业：课本31页A组第2、3题；B组第2题
y
100m
甲 乙
o
t0 t
抽象与概括
对一般的函数来说，当自变量x从x1变为x2时，
函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为：
f (x2 ) f (x1) x2 x1
记 x x2 x1, y f (x2 ) f (x1)
我们用 y x
来刻画函数值在区间[x1,x2]
上变化的快慢。
变化的快慢与变化率
临川一中曾志平
变化的快慢与变化率
气温“骤降” 房价“暴涨” 股市大幅“跳水” GDP“猛增”
这些形容词表述什么含义呢？
变化的快慢与变化率
例：甲、乙两人跑步，路程与时间关系如下 图所示，试问：
（1）甲、乙两人的百米速度哪个快？ （2）甲、乙两人的起跑速度哪个快？ （3）临终点时，谁的冲刺速度快？
为100cm。右侧面为一活塞。容器中装有1000ml的水，
活塞的初始位置（距左侧面）为x0=1cm,水面高度为
100cm。当活塞位于距左侧面xcm的位置时，水面高度为
ycm. （1）写出 y与x的函数解析式；
10
解：10 x y 1000
y 100 , x 1 x
y x
高中数学 第二章 变化率与导数 2.1 变化的快慢与变化率课件 北师大版选修22
∴瞬时速度为4a,即4a=8.∴a=2.
Δ
即为平均速度,
Δ
答案:A
=
5-3(1+Δ)2 -5+3×12
=-3Δt-6.
Δ
探究一
探究二
探究三
思维辨析
瞬时变化率
1
【例2】 已知s(t)= 2gt2,其中g=10 m/s2.
(1)求t从3 s到3.1 s的平均速度;
(2)求t从3 s到3.01 s的平均速度;
(3)求t在t=3 s时的瞬时速度.
(2)函数y=3x2+2在区间[2,2+Δx]上的平均变化率为
(2+Δ)-(2)
Δ
=
3(2+Δ)2 +2-(3×22 +2)
Δ
=
12Δ+3(Δ)2
=12+3Δx.
Δ
反思感悟求函数平均变化率的步骤
第一步,求自变量的改变量Δx=x2-x1,
第二步,求函数值的改变量Δy=f(x2)-f(x1).
Δ
=
4Δ+(Δ)2
=4+Δt,
Δ
∵≤5,∴4+Δt≤5,∴Δt≤1.
又∵Δt>0,∴Δt的取值范围是(0,1].
答案:(0,1]
探究一
探究二
探究三
思维辨析
因错用平均变化率公式而致误
【典例】 已知曲线y=-2x3+2和这条曲线上的两个点P(1,0),Q(2,14),求该曲线在PQ段的平均变化率.
名师点拨对平均变化率的理解
(1)y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率是曲线y=f(x)在区间[x1,x2]
上陡峭程度的“数量化”,曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.
高中数学课件-第2章 §1 变化的快慢与变化率
(2)自变量 x 从 1 变到 2 时，函数 f(x)的平均变化率为 f（2）2－－1f（1）＝2＋12－（1 1＋1）＝12； 自变量 x 从 3 变到 5 时，函数 f(x)的平均变化率为 f（5）5－－3f（3）＝5＋15－23＋13＝1145. 因为12<1145，所以函数 f(x)＝x＋1x在自变量 x 从 3 变到 5 时函数值变化得较快.
1.求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1. 第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1). 第三步，求平均变化率Δ Δyx＝f（x2）x2－ －fx（1 x1）. 2.求平均变化率的一个关注点 求点 x0 附近的平均变化率，可用f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0）的形式.
[构建·体系]
1.在曲线 y＝x2＋1 的图像上取一点(1，2)及附近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则Δ Δyx
为( )
A.Δx＋Δ1x＋2
B.Δx－Δ1x－2
C.Δx＋2 【解析】
D.2＋Δx－Δ1x Δ Δyx＝（1＋ΔΔx）x2＋1－2＝2＋Δx，故选 C.
【答案】 C
2.一质点运动的方程为 s＝5－3t2，则在一段时间[1，1＋Δt]内相应的平均速
阶
阶
段
段
一三Leabharlann §1 变化的快慢与变化率学
阶 段 二
业 分 层 测
评
通常我们把自变量的变化x2－x1 称作自变量的改变量，记作 Δx ，函数值的 变化 f(x2)－f(x1)称作函数值的改变量，记作 Δy .这样，函数的平均变化率就可以 表示为函数值 的改变量与自变量的改变量之比，即Δ Δyx＝ f（x2）x2－ －fx（1 x1）.
求函数 f(x)在点 x＝x0 处的瞬时变化率的步骤： (1)求Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)计算Δ Δyx，并化简，直到当Δx＝0 时有意义为止； (3)将Δx＝0 代入化简后的Δ Δyx即得瞬时变化率.
2.1 变换的快慢与变化率 课件3 (北师大选修2-2)
记 一 记
9
不需推导，但要注意符号的运算.
1 公式7 (1oga ) 1 x ln a ' 公式8 (1nx ) x
x '
公式5 (a ) a ln a x ' x 公式6 (e ) e
x ' x
记忆公式5遍!
10
练习 (1) 5x4 ;
(3) cost ;
(2) 6x5 ; (4) -sin .
y 0, x y ' ' f ( x ) C lim 0. x 0 x
C C 0
5
求下列函数的导数
(1) y=x的导数
解：根据导数定义， y f ( x x ) f ( x ) x x x x ,
y f ( x ) lim lim1 x 0 x x 0 1
12
( 5) y
x ( 6) y x
1 3
15
5、基本初等函数的导数公式
0 （1）若f(x)=c,则f′ (x)=_____; nxn-1 n(n∈R),则f ′(x)=_; （2）若f(x)=x cosx ′(x)=_____; （3）若f(x)=sinx,则f （4）若f(x)= cosx,则f
' '
y f ( x ) 2 lim lim0 0. x0 x x0
3
(2) 求函数f(x)=0的导数；
0
(3) 求函数f(x)=-2的导数. 0
4
公式1 C 0 (C为常数).
'
证明： f ( x ) C , y
y f ( x x ) f ( x )
北师大版数学选修1-1：第三章§1 变化的快慢与变化率
1.(2012·西安检测)某物体的位移公式为s ＝s (t )，从t 0到t 0＋Δt 这段时间内，下列理解正确的是( )A ．(t 0＋Δt )－t 0称为函数值增量B ．t 0称为函数值增量C ．Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)称为函数值增量D.Δs Δt称为函数值增量 解析：选C.函数值增量的概念是指函数值的改变量．2.已知函数f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( )A ．0.40B ．0.41C ．0.43D ．0.44解析：选B.∵x ＝2，Δx ＝0.1，∴Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝f (2.1)－f (2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41.3.函数y ＝1x在区间[x 0，x 0＋Δx ](x 0≠0，且x 0＋Δx ≠0)的平均变化率为________． 解析：Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝1x 0＋Δx －1x 0Δx＝－1x 0（x 0＋Δx ）. 答案：－1x 0（x 0＋Δx ）4.(2012·焦作检测)一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的距离s 与时间t 之间的函数关系为s ＝18t 2，则t ＝2时，木块的瞬时速度为________． 解析：Δs Δt ＝18（t ＋Δt ）2－18t 2Δt＝14t ＋18Δt . 当t ＝2，且Δt 趋于0时，Δs Δt趋于12.答案：12[A 级 基础达标]1.在曲线y ＝x 2＋1上取一点(1，2)及邻近一点(1＋Δx ，2＋Δy )，则Δy Δx为( ) A ．Δx ＋1Δx ＋2B ．Δx －1Δx－2 C ．Δx ＋2D ．2＋Δx －1Δx解析：选C.Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝(Δx )2＋2Δx ，∴Δy Δx＝Δx ＋2.2.(2012·石柱质检)某质点的运动规律为s ＝t 2＋3，则在时间(3，3＋Δt )中的平均速度等于( )A ．6＋ΔtB ．6＋Δt ＋9ΔtC ．3＋ΔtD ．9＋Δt解析：选A.v ＝Δs Δt ＝s （3＋Δt ）－s （3）Δt＝[（3＋Δt ）2＋3]－（32＋3）Δt＝6＋Δt . 3.水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，按顺序与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像相对应的一项是( )A ．①②③④B ．②①③④C ．②①④③D ．②④①③解析：选C.以第二个容器为例，由于容器上细下粗，所以水以恒速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快，反映在图像上，①符合上述变化情况．同理可知其他三种容器的情况．4.(2012·江津测试)某日中午12时整，甲车自A 处以40 km/h 的速度向正东方向行驶，乙车自A 处以60 km/h 的速度向正西方向行驶，至当日12时30分，两车之间的距离对时间的平均变化率为________．解析：Δs Δt＝0.5×60＋0.5×400.5＝100 km/h. 答案：100 km/h5.汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图像如图，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为________．解析：∵v 1＝s （t 1）－s （t 0）t 1－t 0＝k OA ； v 2＝s （t 2）－s （t 1）t 2－t 1＝k AB ； v 3＝s （t 3）－s （t 2）t 3－t 2＝k BC . 又∵k BC ＞k AB ＞k OA ，∴v 3＞v 2＞v 1.答案：v 3＞v 2＞v 16.求函数y ＝x 2在x ＝1，2，3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪点附近的平均变化率最大．解：在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f （1＋Δx ）－f （1）Δx＝（1＋Δx ）2－1Δx＝2＋Δx ； 在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f （2＋Δx ）－f （2）Δx＝（2＋Δx ）2－4Δx＝4＋Δx ； 在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f （3＋Δx ）－f （3）Δx＝（3＋Δx ）2－9Δx＝6＋Δx . 令Δx ＝13，可得k 1＝73，k 2＝133，k 3＝193，故函数f (x )在x ＝3附近的平均变化率最大． [B 级 能力提升]7.(2012·九江测试)将半径为R 的铁球加热，若铁球的半径增加ΔR ，则铁球的表面积增加( )A ．8πR (ΔR )B ．8πR (ΔR )＋4π(ΔR )2C ．4πR (ΔR )＋4π(ΔR )2D ．4π(ΔR )2解析：选B.ΔS ＝4π(R ＋ΔR )2－4πR 2＝8πR (ΔR )＋4π(ΔR )2.8.物体运动时位移s 与时间t 的函数关系是s ＝－4t 2＋16t ，此物体在某一时刻的速度为零，则相应的时刻为( )A ．t ＝1B ．t ＝2C ．t ＝3D ．t ＝4解析：选 B.Δs ＝－4(t ＋Δt )2＋16(t ＋Δt )－(－4t 2＋16t )＝16Δt －8t ·Δt －4(Δt )2.又因为在某时刻的瞬时速度为零，当Δt 趋于0时，Δs Δt＝16－8t －4Δt ＝0. 即16－8t ＝0，解得t ＝2.9.求函数f (x )＝x 2分别在[1，2]，[1，1]，[1，1.01]上的平均变化率，根据所得结果，你的猜想是________．解析：k 1＝Δy 1Δx 1＝f （2）－f （1）2－1＝22－121＝3， k 2＝Δy 2Δx 2＝f （1.1）－f （1）1.1－1＝1.12－120.1＝2.1， k 3＝Δy 3Δx 3＝f （1.01）－f （1）1.01－1＝1.012－120.01＝2.01.猜想x 0＝1不变，Δx 越小，函数的平均变化率越接近于2.答案：x 0＝1不变，Δx 越小，函数的平均变化率越接近于2.10.已知自由落体的运动方程为s ＝12gt 2(g ＝9.8 m/s 2)，求： (1)落体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度；(2)落体在t 0时的瞬时速度；(3)落体在t 0＝2 s 到t 1＝2.1 s 这段时间内的平均速度；(4)落体在t 0＝2 s 时的瞬时速度．解：(1)落体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的位移增量为Δs ＝12g (t 0＋Δt )2－12gt 20，因此，落体在这段时间内的平均速度为 v ＝Δs Δt ＝12g （t 0＋Δt ）2－12gt 20Δt ＝12g ·Δt （2t 0＋Δt ）Δt＝12g (2t 0＋Δt )． (2)落体在t 0时的瞬时速度即Δt 趋于0时，Δs Δt趋于gt 0这一速度． (3)落体在t 0＝2 s 到t 1＝2.1 s ，其时间增量Δt ＝t 1－t 0＝0.1(s)，由(1)知平均速度为v ＝12g (2×2＋0.1)＝2.05×9.8＝20.09(m /s)．(4)由(2)知落体在t 0＝2 s 时的瞬时速度为v ＝9.8×2＝19.6(m /s)．11.(创新题)质点M 按规律s ＝s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移s 的单位：m ，时间t 的单位：s)．问是否存在常数a ，使质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解：假设存在常数a ，则Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ×22－1＝4a ＋4a Δt ＋a (Δt )2＋1－4a －1＝4a Δt ＋a (Δt )2，所以Δs Δt ＝4a Δt ＋a （Δt ）2Δt＝4a ＋a Δt .当Δt 趋于0时，4a ＋a Δt 趋于4a ，由题易知4a ＝8，解得a ＝2.所以存在常数a ＝2，使质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m /s.。
第2章 §1 变化的快慢与变化率(有答案)
A级 基础巩固
一、选择题
1.如图，函数y＝f(x)在A，两点间的平均变化率等于(B)
A．1B．－1
C．2D．－2
[解析]平均变化率为 ＝－1.
2．已知函数f(x)＝－x2＋x，则f(x)从－1到－0.9的平均变化率为(D)
A．3B．0.29
C．2.09D．2.9
[解析]f(－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2.
8．在自行车比赛中，运动员的位移s与比赛时间t存在函数关系s＝10t＋5t2(s单位：m，t单位：s)，则t＝20 s时的瞬时速率为210_m/s__.
[解析]由导数的定义知在t＝20s时的瞬时速度为v＝ ＝ ＝10＋10t＋5Δt.
当Δt趋于0时，v趋于10＋10t，则v＝10×20＋10＝210.
二、填空题
6．物体做匀速运动，其运动方程是s＝vt，则该物体在运动过程中的平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是相等．
[解析]物体做匀速运动，所以任何时刻的瞬时速度都是一样的．
7．若物体运动方程为s(t)＝－2t2＋t，则其初速度为1_.
[解析]物体的初速度即t＝0时的瞬时速度， ＝ ＝－2Δt＋1，当Δt趋于0时， 趋于1，即初速度为1.
[解析]∵函数y＝f(x)在[2,2＋Δx]上的平均率为 ＝ ＝ ＝ ＝－3－Δx，
∴由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.
又∵Δx>0，∴Δx>0，即Δx的取值范围是(0，＋∞)．
C级 能力拔高
质点M按规律s(t)＝at2＋1作直线运动(位移s的单位：m，时间t的单位：s)．问是否存在常数a，使质点M在t＝2时的瞬时速度为8 m/s?
故选D.
5．函数y＝f(x)＝x2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为k1，在区间[x0－Δx，x0]上的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为(A)
§1 变化的快慢与变化率
分析：我们通常用平均速度来比较运动的快慢.
在0～2秒这段时间内，物体的平均速度为
60 3(米 / 秒)； 20
在10～13秒这段时间内，物体的平均速度为
32 20 4(米 / 秒) 13 10 显然，物体在后一段时间比前一段时间运动得快.
问题2 某病人吃完退烧药，他的体温变化如图所示：
第二章 变化率与导数
§1 变化的快慢与变化率
世界上变化无处不在，如何刻画事物变化的快慢呢？
银杏树高:15米 树龄:1000年
﹤
雨后春笋高:15厘米 时间:两天
1.理解函数平均变化率及瞬时变化率的概念. 2.会求给定函数在某个区间上的平均变化率，及某一 点的瞬时变化率.（重点） 3.理解平均变化率及瞬时变化率的意义，能够解释 生活中的现象.（难点）
时间下降得比从0min到20min这段时间要快.
分析：
上面的第一个问题中，我们用一段时间内物体的平均 速度刻画了物体运动的快慢，当时间从t0变为t1时， 物体所走的路程从s(t0)变为s(t1)，这段时间内物体
（t1 ）（ -s t 0） 的平均速度 = s
第二个问题中，我们用一段时间内体温的平均变化率 刻画了体温变化的快慢，当时间从x0变为x1时，体温
变化的快慢与变化率
变化的快慢与变化率【知识点的知识】1、平均变化率：我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f （x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即＝．2、瞬时变化率：变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：＝．当△x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某一点的变化率．3、导数的概念：函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）＝【典例例题分析】典例1：一质点的运动方程是s＝5﹣3t2，则在一段时间[1，1+△t]内相应的平均速度为（）A．3△t+6 B．﹣3△t+6 C．3△t﹣6 D．﹣3△t﹣6分析：分别求出经过1秒种的位移与经过1+△t秒种的位移，根据平均速度的求解公式平均速度＝位移÷时间，建立等式关系即可．解：，故选D．点评：本题考查函数的平均变化率公式：．注意平均速度与瞬时速度的区别．典例2：一质点运动的方程为s＝8﹣3t2．（1）求质点在[1，1+△t]这段时间内的平均速度；（2）求质点在t＝1时的瞬时速度（用定义及求导两种方法）．分析：本题考查的是变化率及变化快慢问题．在解答时：（1）首先结合条件求的△s，然后利用平均速度为进行计算即可获得问题的解答；（2）定义法：即对平均速度为当△t趋向于0时求极限即可获得解答；求导法：t＝1时的瞬时速度即s＝8﹣3t2在t＝1处的导数值，故只需求t＝1时函数s＝8﹣3t2的导函数值即可获得问题的解答．解答：由题意可知：（1）∵s＝8﹣3t2∴△s＝8﹣3（1+△t）2﹣（8﹣3×12）＝﹣6△t﹣3（△t）2，∴质点在[1，1+△t]这段时间内的平均速度为：．（2）定义法：质点在t＝1时的瞬时速度为．求导法：质点在t时刻的瞬时速度v＝s′（t）＝（8﹣3t2）′＝﹣6t，∴当t＝1时，v＝﹣6×1＝﹣6．点评：导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系．对位移s与时间t的关系式求导可得瞬时速度与时间t的关系．根据导数的定义求导数是求导数的基本方法，诮按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求．值得同学们体会和反思．【解题方法点拨】瞬时速度特别提醒：①瞬时速度实质是平均速度当△t→0时的极限值．②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，函数y＝f（x）在x＝x0处的导数特别提醒：①当△x→0时，比值的极限存在，则f（x）在点x0处可导；若的极限不存在，则f（x）在点x0处不可导或无导数．②自变量的增量△x＝x﹣x0可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但△x≠0．而函数的增量△y可正可负，也可以为0．③在点x＝x0处的导数的定义可变形为：f′（x0）＝或f′（x0）＝导函数的特点：①导数的定义可变形为：f′（x）＝；②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数；③可导的周期函数其导函数仍为周期函数；④并不是所有函数都有导函数．⑤导函数f′（x）与原来的函数f（x）有相同的定义域（a，b），且导函数f′（x）在x0处的函数值即为函数f（x）在点x0处的导数值．⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．。
2.1《变化的快慢与变化率》课件(北师大版选修2-2)
三、解答题（6题12分，7题13分，共25分）
6.一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s=3t-t2.
(1)求此物体的初速度； （2）求此物体在t=2时的瞬时速度；
（3）求t=0到t=2之间的平均速度.
）
3.以初速度为v0(v0>0)(单位:米/秒)作竖直上抛运动的物体, 1 t秒时的高度(单位:米)为s(t)=v0t- gt2,则物体在时刻t0时 2 的瞬时速度为__________.
知能巩固提高
一、选择题（每题5分，共15分） 1.已知函数f(x)=3x2+4的图象上一点(1,7)及附近一点 (1+Δ x,7+Δ y),则 y =（ x (A)6 (C)6+3Δ x 【解析】 ） (B)6x (D)6+3(Δ x)2
【练一练】1.函数f(x)=x2在下列区间上的平均变化率最大的 是（ ） (B)［1,2］ (D)［1,1.001］
(A)［1,1.1］ (C)［1,3］
2.一质点作直线运动，其位移s与时间t的关系为s=t2+1,该质点 在［2,2+Δ t］(Δ t>0)上的平均速度不大于5,则Δ t的取值范围 为__________.
(A)7米/秒
(C)5米/秒
(B)6米/秒
(D)8米/秒
【解析】
二、填空题（每题5分，共10分） 4.函数y=f(x)=x2+1在x=1附近的自变量的改变量为Δ x,则函数
改变量Δ y=_______.
【解析】Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)2+1-2=2Δx+(Δx)2 答案:2Δx+(Δx)2
2.1 变化的快慢与变化率
A．f(t+Δt)
B．f(t)+Δt
C．f(t)•Δt
D．f(t+Δt)-f(t)
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2．函数y＝x2＋1在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率是( C )
A．2
B．2x
C．2＋Δx
D．2＋(Δx)2
【解析】
∵(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋Δx2，
2
x+
∆
∆
=
(1 )−(0 )
1 −0
=
(0 +∆)−(0 )
.
∆
如果当△x趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是f（x）
在点xo的瞬时变化率.
瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢.
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课堂评价
1．函数y＝f(t)，当自变量t由t改变到t+Δt时，y的变化为( D )
x
∴
2 x ，故选C.
x
2
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3．做直线运动的物体，其位移 s 与时间 t 的关系是 s(t)＝3t－t2.求此物
体在 t＝2 时的瞬时速度．
解 取一时间段[2,2＋Δt]，
ΔS＝S(2＋Δt)－S(2)＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22)
= 4(m/s).
13 10
显然，物体在后一段时间比前一段时间运动得快.
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实例2：某病人吃完退烧药，他的体温变化如图.
比较时间x从0 min到20 min和从20 min到30 min体温的变化情况，哪
【数学】2.1 变化的快慢与变化率 课件(北师大版选修2-2)
这里出现了负号它表示体温下降了显然, 绝对值越大下降得 , , 越快, 这里, 体温从20 min到30 min 这段时间下降得比 min到 0 20 min 这段时间要快 .
归纳 在第一个问题中我们用一段时间内物体 , 的平均速度刻画了物
体运动的快慢 当时间从t0变为t1时, 物体所走的路程从s (t0 )变 , 为s (t1 ), 这段时间内物体的平均 速度是 : s(t1 ) s(t0 ) 平均速度 . t1 t0
如图设该物体在时刻t0 的位置是 ｓ (t0)＝OA0 ，在时刻t0 +t 的位置是s(t0+t) ＝OA1，则从 t0 到 t0 +t 这段时间内， 物体的 位移是
s OA1 OA0 s( t 0 t ) s( t 0 )
在时间段( t0+t)－ t0 = t 内，物体的平均速度为:
练习
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存 h 在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态?
o t
请计算
0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v :
在0 t 0.5这段时间里 , h(0.5) h(0) v 4.05(m / s ); 0.5 0 在1 t 2这段时间里 , h(2) h(1) v 8.2(m / s ). 2 1
s ( t 0 t ) s ( t 0 ) s v t 0 t t 0 t
要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物
体在每一时刻运动的快慢程度．如果物体的运动规
律是 s =s(t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度v，就是 物体在t 到 t+t 这段时间内，当 t0 温 , 的平均变化率刻画了 体温变化的快慢 当时间从x0变为x1时, 体温从 y ( x0 )变为y ( x1 ), , 这段时间内物体的平均 速度是 : y ( x1 ) y ( x0 ) 平均速度 . x1 x0
变化的快慢与变化率
变化的快慢与变化率知识点：1. 平均速度物体所走的路程s 是时间t 的函数s=(t)，当时间从0t 变为1t 时，路程从)(0t s 变为)(1t s ，则这段时间内物体的平均速度是0101)()(t t t s t s --2平均变化率对一般的函数)(x f y =来说，当字变量x 从1x 变为2x 时，函数值从)(1x f 变为)(2x f ，它的平均变化率为1212)()(x x x f x f --。
通常x ∆表示12x x -，y ∆表示()(12x f x f -3瞬时变化率对于函数)(x f y =，在自变量x 从0x 变到1x 时,设01x x x -=∆，)()(01x f x f y -=∆则当时x ∆趋进于0，平均变化率xx f x x f x x x f x f xy ∆-∆+=--=∆∆)()()()(000101趋于函数f(x)在0x 点的瞬时变化率。
学点一 平均变化率 求平均变化率的步骤：求函数)(x f y =在内[10,x x ]的平均变化率。
（1）先计算函数的增量)()(01x f x f y -=∆z （2）计算自变量增量01x x x -=∆ （3）得平均变化率101)()(x x x f x f xy --=∆∆例1求函数2x y =在x=1,2,3附近的平均变化率，取31=∆x 都为 ，哪一点附近平均变化率最大？解：在x=1附近平均变化率为;21)1()1()1(21x xx xf x f k ∆+=∆-∆+=∆-∆+=在x=2附近平均变化率为;42)2()2()2(222x xx xf x f k ∆+=∆-∆+=∆-∆+=在x=3附近平均变化率为;23)3()3()3(223x xx xf x f k ∆+=∆-∆+=∆-∆+=若31=∆x ,则373121=+=k ，319316,31432=+=+=k k 由于321k k k <<∴在x=3附近的平均变化率最大。
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已知函数 f(x)＝x2＋x，计算 f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率， 并求当 x0＝2，Δx＝0.1 时平均变化率的值．
求函数 f(x)＝－x2＋3x 在 x＝2 处的瞬时变化率．
当堂检测
1．求函数 y＝－2x2＋5 在区间[2,2＋Δx]内的平均变化率． 2．一辆汽车按规律 s＝3t2＋1 做直线运动，估计汽车在 t＝3 s 时,s 的 瞬时变化率．(时间单位:s;位移单位:m)
____t_2－__t1_____.
2．在刹车这一变化过程中，汽车行驶的速度 v 关于刹车时
间
t
的函数 v＝v(t)，从刹车开始 vt2－vt1
t＝t1
到汽车停止
t＝t2，汽车平
均减速_____t2_－__t1____.
3．已知函数 y＝f(x)，令 Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则 当 Δx≠0 时，比值___f_x_x2_2－－__fx_1x_1__＝ΔΔxy，为函数 f(x)从 x1 到 x2 的 平均变化率，即函数 f(x)图像上两点 A(x1，f(x1))、B(x2，f(x2)) 连线的_斜__率__.
已知函数 f(x)＝2x2＋3x－5. (1)求当 x1＝4，且 Δx＝1 时，函数增量 Δy 和平均变化率ΔΔyx； (2)求当 x1＝4，且 Δx＝0.1 时，函数增量 Δy 和平均变化率ΔΔyx； (3)若设 x2＝x1＋Δx.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义．
瞬时变化率
求函数y＝f(x)＝3x2＋x在点x＝1处的瞬时变化率．
瞬时变化率
对一般的函数 y＝f(x)，在自变量 x 从 x0 变化到 x1 的过程中， 若设fx1Δ－x＝fxx10－ x0，Δy＝ffx(x0＋1)－Δxf(－x0)f，x则0 函数的平均变化率为ΔΔyx＝ ____x_1_－__x_0______＝_______Δ__x______.当 Δx 趋于 0 时，平均变 化率就趋于函数在 x0 点的瞬时变化率．
课后作业
习题3-1 A组 2、3、4、5题
函数 f(x)在 x 从 x1 变到 x2 的平均变化率刻画的是函数值在 _区__间__[_x_1，__x_2_]上 ____变化的快慢；
函 数 f(x) 在 x ＝ x0 的 瞬 时 变 化 率 ， 刻 画 的 是 函 数 在 _x_＝__x0_这__一__点__处____变化的快慢.
平均变化率
北师大版选修1-1
第三章
紧
严
细
实
§1 变化的快慢与变化率
涡阳县第二中学 韩标 涡阳县第二中学
1. 了解函数平均变化率的概念． 2．掌握函数平均变化率的求法． 3．理解瞬时变化率的概念.
变化率问题
1.在高台跳水这一变化过程中，高台跳水运动员的高
度从h(t1)变化到h(t2)时，他的平均速度为
ht2－ht1