(江西版)高考数学总复习 第八章8.6 双曲线教案 理 北师大版
(北师大版)高三理科第一轮复习学案： 第8章第7节 双曲线学案
第七节双曲线[考纲传真] (教师用书独具)1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用．(对应学生用书第144页)[基础知识填充]1．双曲线的定义(1)平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；③当2a>|F1F2|时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质[1．三种常见双曲线方程的设法(1)若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax 2＋By 2＝1(AB<0)．(2)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ(λ≠0)． (3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y2b2＝λ(λ≠0)．2．等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程为y ＝±x，离心率为e ＝ 2.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“³”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( ) (2)方程x 2m －y2n＝1(mn>0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )(3)双曲线x 2m 2－y 2n 2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( ) [答案] (1)³ (2)³ (3)√ (4)√2．(教材改编)已知双曲线x 2a 2－y23＝1(a>0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2B ．62 C ．52D ．1 D [依题意，e ＝c a ＝a 2＋3a＝2，所以a 2＋3＝2a ，则a 2＝1，a ＝1.]3．若双曲线E ：x 29－y216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3B [由题意知a ＝3，b ＝4，∴c＝5.由双曲线的定义||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6，∴|PF 2|＝9.]4．已知双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( ) A ．x 24－y 2＝1B ．x 2－y24＝1C ．3x 220－3y25＝1D ．3x 25－3y220＝1A [由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，a 2＋b 2＝5，a ＞0，b ＞0，解得a ＝2，则b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1，故选A ．]5．(2017²全国卷Ⅲ)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.5 [∵双曲线的标准方程为x 2a 2－y29＝1(a>0)，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3ax.又双曲线的一条渐近线方程为y ＝35x ，∴a＝5.](对应学生用书第145页)(1)已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43|PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( )A ．48B ．24C ．12D ．6(2)(2017²湖北武汉调研)若双曲线x 24－y212＝1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则|PF|＋|PA|的最小值是( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．12(1)B (2)B [(1)由双曲线的定义可得 |PF 1|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2a ＝2，解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10， 由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形， 因此S △PF 1F 2＝12|PF 1|²|PF 2|＝24.(2)由题意知，双曲线x 24－y212＝1的左焦点F 的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B ，则B(4,0)，由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋(4－1)2＋(0－4)2＝4＋5＝9，当且仅当A ，P ，B 三点共线且P 在A ，B 之间时取等号． 所以|PF|＋|PA|的最小值为9.]121221【导学号：79140294】A ．14B ．13C ．24D ．23A [由e ＝ca＝2得c ＝2a ，如图，由双曲线的定义得|F 1A|－|F 2A|＝2a.又|F 1A|＝2|F 2A|，故|F 1A|＝4a ，|F 2A|＝2a ，∴cos∠AF 2F 1＝(4a)2＋(2a)2－(4a)22³4a³2a ＝14.](1)(2017²全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y23＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A ．x 28－y210＝1B ．x 24－y25＝1C ．x 25－y24＝1D ．x 24－y23＝1(2)(2018²湖北调考)已知点A(－1,0)，B(1,0)为双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点，点M 在双曲线上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则该双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y24＝1B ．x 2－y23＝1C ．x 2－y22＝1D ．x 2－y 2＝1(1)B (2)D [(1)由y ＝52x 可得b a ＝52. ① 由椭圆x 212＋y23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.②由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y25＝1.故选B ．(2)由题意知a ＝1.不妨设点M 在第一象限，则由题意有|AB|＝|BM|＝2，∠ABM＝120°.过点M 作MN⊥x 轴于点N ，则|BN|＝1，|MN|＝3，所以M(2，3)，代入双曲线方程得4－3b 2＝1，解得b ＝1，所以双曲线的方程为x 2－y 2＝1，故选D ．][跟踪训练] (1)已知双曲线C ：a 2－b 2＝1的离心率e ＝4，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A ．x 24－y23＝1B ．x 29－y216＝1C ．x 216－y29＝1D ．x 23－y24＝1(2)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为__________． (1)C (2)x 216－y29＝1 [由焦点F 2(5,0)知c ＝5.又e ＝c a ＝54，得a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9.所以双曲线C 的标准方程为x 216－y29＝1.(2)由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设曲线C 2上的一点P ，则||PF 1|－|PF 2||＝8. 由双曲线的定义知：a ＝4，b ＝3.故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1，即x 216－y29＝1.]◎角度1 双曲线的离心率问题(2018²长沙模拟(二))已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与圆(x －22)2＋y 2＝83相切，则该双曲线的离心率为( ) A ．62B ．32C ． 3D ．3A [由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线y ＝b a x ，即bx －ay ＝0与圆相切得|22b|b 2＋a 2＝22bc ＝223，即c＝3b ，则c 2＝3b 2＝3(c 2－a 2)，化简得2c ＝3a ，则该双曲线的离心率为e ＝c a ＝32＝62，故选A ．]◎角度2 双曲线的渐近线问题(2018²合肥二检)已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为________．y ＝±2x [因为e ＝c a ＝3，所以c 2＝a 2＋b 2＝3a 2，故b ＝2a ，则此双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x.]◎角度3 双曲线性质的综合应用(2017²全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( ) A ．13B ．12C ．23D ．32D [因为F 是双曲线C ：x 2－y23＝1的右焦点，所以F(2,0)．因为PF⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )． 因为P 是C 上一点，所以4－y 2P3＝1，解得y P ＝±3，所以P(2，±3)，|PF|＝3.又因为A(1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1， 所以S △APF ＝12³|PF|³1＝12³3³1＝32.故选D ．][跟踪训练] (1)(2017²全国卷Ⅱ)若a>1，则双曲线a2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)(2)(2016²全国卷Ⅰ)已知方程x 2m 2＋n －y23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) A ．(－1,3) B ．(－1，3) C ．(0,3)D ．(0，3)(3)(2017²武汉调研)双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为54，焦点到渐近线的距离为3，则C 的实轴长等于________.【导学号：79140295】(1)C (2)A (3)8 [(1)由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a .∴e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.∵a＞1，∴0＜1a ＜1，∴1＜1＋1a ＜2，∴1＜e ＜ 2.故选C ．(2)若双曲线的焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n ＞0，3m 2－n ＞0.又∵(m 2＋n)＋(3m 2－n)＝4，∴m 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋n ＞0，3－n ＞0，∴－1<n<3.若双曲线的焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程为y 2n －3m 2－x2－m 2－n ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧n －3m 2＞0，－m 2－n ＞0，即n>3m 2且n<－m 2，此时n 不存在．故选A ．(3)因为e ＝c a ＝54，所以c ＝54a ，设双曲线的一条渐近线方程为y ＝a b x ，即ax －by ＝0，焦点为(0，c)，所以bc a 2＋b 2＝b ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2516a 2－9，所以a 2＝16，即a ＝4，故2a ＝8.]。
2018一轮北师大版理数学教案：第8章 第7节 双曲线 含解析 精品
第七节双曲线[考纲传真] 1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单的几何性质．3.了解双曲线的简单应用．4.理解数形结合的思想．1．双曲线的定义(1)平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线，定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；③当2a>|F1F2|时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )(2)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．(教材改编)已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( ) A ．2 B.62 C.52D ．1D [依题意，e ＝ca ＝a 2＋3a ＝2， ∴a 2＋3＝2a ，则a 2＝1，a ＝1.]3．(2017·福州质检)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )【导学号：57962406】A ．11B ．9C ．5D ．3 B [由题意知a ＝3，b ＝4，∴c ＝5.由双曲线的定义||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6，∴|PF 2|＝9.]4．(2016·全国卷Ⅰ)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)A [∵原方程表示双曲线，且两焦点间的距离为4.∴⎩⎨⎧ m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，(m 2＋n )(3m 2－n )>0，则⎩⎨⎧m 2＝1，－m 2<n <3m 2，因此－1<n <3.]5．(2016·北京高考)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝__________.2 [双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，易得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对称性知ba ＝1.又正方形OABC 的边长为2，所以c ＝22， 所以a 2＋b 2＝c 2＝8，因此a ＝2.](2015·全国卷Ⅰ改编)已知F 是双曲线C ：x 2－y 8＝1的右焦点，P 是C的左支上一点，A (0,66)．则△APF 周长的最小值为__________．32 [由双曲线方程x 2－y 28＝1可知，a ＝1，c ＝3，故F (3,0)，F 1(－3,0)，当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF |－|PF 1|＝2.所以|PF |＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长＝|AP |＋|PF |＋|AF |＝|AP |＋|PF 1|＋2＋|AF |.因为|AF |＝32＋(66)2＝15为定值，所以当(|AP |＋|PF 1|)最小时，△APF 的周长最小，A ，F 1，P 三点共线． 又因为|AP |＋|PF 1|≥|AF 1|＝|AF |＝15.所以△APF 周长的最小值为15＋15＋2＝32.] [规律方法] 1.应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时需注意定义的转化应用．2．在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将||PF 1|－|PF 2||＝2a 平方，建立|PF 1|·|PF 2|间的联系．[变式训练1] 已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )A.14 B ．13 C.24D ．23A [由e ＝ca ＝2得c ＝2a ，如图，由双曲线的定义得|F 1A |－|F 2A |＝2a .又|F 1A |＝2|F 2A |，故|F 1A |＝4a ， |F 2A |＝2a ，∴cos ∠AF 2F 1＝(4a )2＋(2a )2－(4a )22×4a ×2a＝14.](1)(2017·广州模拟)已知双曲线C ：x a 2－y b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )【导学号：57962407】A.x 24－y 23＝1B ．x 29－y 216＝1C.x 216－y 29＝1 D ．x 23－y 24＝1(2)(2016·天津高考)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b ＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1 B ．x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1D ．x 24－y 212＝1(1)C (2)D [(1)由焦点F 2(5,0)知c ＝5. 又e ＝c a ＝54，得a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9. ∴双曲线C 的标准方程为x 216－y 29＝1.(2)由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±b 2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b 2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝44＋b 2，y ＝2b4＋b2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－44＋b 2，y ＝－2b 4＋b 2，即第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫44＋b2，2b 4＋b 2. 由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长为84＋b 2，4b 4＋b2，故8×4b 4＋b 2＝2b ，得b 2＝12. 故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选D.][规律方法] 1.确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件．“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a ，b 的值，常用待定系数法．若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)．2．对于共焦点、共渐近线的双曲线方程，可灵活设出恰当的形式求解．若已知渐近线方程为mx ＋ny ＝0，则双曲线方程可设为m 2x 2－n 2y 2＝λ(λ≠0)．[变式训练2] (1)(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________________．(2)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为__________．(1)x 24－y 2＝1 (2)x 216－y 29＝1 [(1)∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ， ∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)， ∴λ＝16－4×(3)2＝4， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(2)由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设曲线C 2上的一点P ，则||PF 1|－|PF 2||＝8.由双曲线的定义知：a ＝4，b ＝3.故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1，即x 216－y 29＝1.](1)(2016·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是双曲线E ：x a 2－y b 2＝1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32C. 3D ．2(2)(2017·石家庄调研)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线为__________.【导学号：57962408】(1)A (2)x ±y ＝0 [(1)如图，因为MF 1⊥x 轴，所以|MF 1|＝b 2a .在Rt △MF 1F 2中，由sin ∠MF 2F 1＝13得 tan ∠MF 2F 1＝24.所以|MF 1|2c ＝24，即b 22ac ＝24，即c 2－a 22ac ＝24， 整理得c 2－22ac －a 2＝0， 两边同除以a 2得e 2－22e －1＝0. 解得e ＝2(负值舍去)．(2)由题设易知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a .因为A 1B ⊥A 2C ，所以b 2a c ＋a ·－b 2a c －a＝－1，整理得a ＝b .因此该双曲线的渐近线为y ＝±ba x ，即x ±y ＝0.][规律方法] 1.(1)求双曲线的渐近线，要注意双曲线焦点位置的影响；(2)求离心率的关键是确定含a ，b ，c 的齐次方程，但一定注意e >1这一条件．2．双曲线中c 2＝a 2＋b 2，可得双曲线渐近线的斜率与离心率的关系ba ＝e 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＝c a .抓住双曲线中“六点”、“四线”、“两三角形”，研究a ，b ，c ，e 间相互关系及转化，简化解题过程．[变式训练3] (2015·全国卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D ．2D[不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，∴M点的坐标为()2a，3a.∵M点在双曲线上，∴4a2a2－3a2b2＝1，a＝b，∴c＝2a，e＝ca＝ 2.故选D.][思想与方法]1．求双曲线标准方程的主要方法：(1)定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a2，b2，得双曲线方程．(2)待定系数法：即“先定位，后定量”，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论．①若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．②当已知双曲线的渐近线方程bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)．③与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．2．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程，只需将双曲线的标准方程中“1”改为“0”即可．[易错与防范]1．区分双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.2．双曲线的离心率大于1，椭圆的离心率e∈(0,1)．求它们的离心率，不要忽视这一前提条件，否则会产生增解或扩大取值范围．3．直线与双曲线有一个公共点时，不一定相切，也可能直线与渐近线平行．。
高考新坐标高考数学总复习 第八章 第6节 双曲线名师课件
(2)设|PF1|＝m，|PF2|＝n，不妨设 m>n>0. 则 m＋n＝3b 且 m－n＝2a，
∴m＝3b＋2a，n＝3b－2a，①
2
2
又|PF1|·|PF2|＝mn＝94ab，②
将①代入②，得9b2－4a2＝9ab. 44
解之得ba＝43.则 e2＝ca22＝b2＋a2 a2＝1＋ba22＝295，故 e＝53.
又双曲线xa22－yb22＝1 的一条渐近线为 y＝2x. 所以b＝2，即 b＝2a，②
a 联立方程①②，得 a2＝5，b2＝20. 故所求双曲线方程为x2－ y2 ＝1.
5 20
[答案] (1)D (2)A
【通关锦囊】
1．(1)求双曲线的渐近线，要注意双曲线焦点位置的影响；(2) 求离心率的关键是确定含 a，b，c 的齐次方程，但一定注意 e>1 这一条件．
【变式训练 2】 已知双曲线xa22－yb22＝1(a＞0，b＞0)和椭圆1x62 ＋y2＝1 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，
9 求双曲线的标准方程
[解]
由椭圆x2＋y2＝1，知 c＝ 16－9＝ 7， 16 9
∴焦点 F1(－ 7，0)，F2( 7，0)，且离心率 e′＝ 47.
【变式训练 1】 已知 F1、F2 为双曲线 C：x2－y2＝2 的左、 右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|＝2|PF2|，则 cos∠F1PF2＝( )
A.14
B.35
C.34
D.45
[解析] 由 x2－y2＝2，知 a＝b＝ 2，c＝2. 由双曲线定义，|PF1|－|PF2|＝2a＝2 2， 又|PF1|＝2|PF2|， ∴|PF1|＝4 2，|PF2|＝2 2， 在△PF1F2 中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|PF|P1F|·2|2|－ PF|2F| 1F2|2＝34.
《双曲线的几何性质》教案
《双曲线的几何性质》教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生了解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程及几何性质，能够运用双曲线的性质解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生发现双曲线的几何性质，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的抽象思维能力，感受数学在实际生活中的应用。
二、教学重点1. 双曲线的定义及标准方程。
2. 双曲线的几何性质：焦点、实轴、虚轴、顶点、渐近线等。
三、教学难点1. 双曲线几何性质的理解和应用。
2. 双曲线方程的求解。
四、教学准备1. 教师准备：双曲线的教学课件、教案、例题及练习题。
2. 学生准备：预习双曲线相关知识，准备课堂讨论。
五、教学过程1. 导入新课：通过复习椭圆的知识，引出双曲线的学习，激发学生的兴趣。
2. 讲解双曲线的定义及标准方程：引导学生了解双曲线的定义，讲解双曲线的标准方程及求解方法。
3. 分析双曲线的几何性质：引导学生观察双曲线的图形，分析双曲线的焦点、实轴、虚轴、顶点、渐近线等几何性质。
4. 例题讲解：挑选具有代表性的例题，讲解解题思路和方法，引导学生运用双曲线的几何性质解决问题。
5. 课堂练习：为学生提供一些有关双曲线的练习题，巩固所学知识，提高学生的解题能力。
6. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调双曲线的几何性质及其在实际问题中的应用。
7. 布置作业：布置一些有关双曲线的练习题，让学生课后巩固所学知识。
8. 课后反思：教师对本节课的教学进行反思，针对学生的掌握情况，调整教学策略。
六、教学评价1. 学生对双曲线的定义、标准方程及几何性质的掌握程度。
2. 学生运用双曲线性质解决问题的能力。
3. 学生对数学学习的兴趣和积极性。
七、教学建议1. 注重双曲线几何性质的讲解，让学生充分理解并掌握。
2. 多举例子，让学生在实际问题中感受双曲线的应用。
3. 鼓励学生提问、讨论，提高课堂互动性。
2019高三数学理北师大版一轮教师用书：第8章 第7节 双
第七节双曲线[考纲传真](教师用书独具)1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用．(对应学生用书第144页)[基础知识填充]1．双曲线的定义(1)平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；③当2a>|F1F2|时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质[1．三种常见双曲线方程的设法(1)若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．(2)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)．(3)与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．2．等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝ 2.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(3)双曲线x2m2－y2n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.() [答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．(教材改编)已知双曲线x2a2－y23＝1(a>0)的离心率为2，则a＝()A ．2B ．62C ．52 D ．1D [依题意，e ＝ca ＝a 2＋3a ＝2，所以a 2＋3＝2a ，则a 2＝1，a ＝1.]3．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( ) A ．11 B ．9 C ．5 D ．3B [由题意知a ＝3，b ＝4，∴c ＝5.由双曲线的定义||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6，∴|PF 2|＝9.]4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( ) A ．x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C ．3x 220－3y 25＝1D ．3x 25－3y 220＝1A[由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，a 2＋b 2＝5，a ＞0，b ＞0，解得a ＝2，则b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1，故选A ．]5．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.5 [∵双曲线的标准方程为x 2a 2－y 29＝1(a >0)， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3a x .又双曲线的一条渐近线方程为y ＝35x ，∴a ＝5.](对应学生用书第145页)(1)已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43|PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( ) A ．48 B ．24 C ．12D ．6(2)(2017·湖北武汉调研)若双曲线x 24－y 212＝1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A (1,4)，则|PF |＋|P A |的最小值是( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．12(1)B (2)B [(1)由双曲线的定义可得 |PF 1|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2a ＝2，解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10， 由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形， 因此S△PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24.(2)由题意知，双曲线x 24－y 212＝1的左焦点F 的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B ，则B (4,0)，由双曲线的定义知|PF |＋|P A |＝4＋|PB |＋|P A |≥4＋|AB |＝4＋(4－1)2＋(0－4)2＝4＋5＝9，当且仅当A ，P ，B 三点共线且P 在A ，B 之间时取等号． 所以|PF |＋|P A |的最小值为9.][跟踪训练] 已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )【导学号：79140294】A ．14B ．13C ．24D ．23A [由e ＝ca ＝2得c ＝2a ，如图，由双曲线的定义得|F 1A |－|F 2A |＝2a .又|F 1A |＝2|F 2A |，故|F 1A |＝4a ，|F 2A |＝2a ，∴cos ∠AF 2F 1＝(4a )2＋(2a )2－(4a )22×4a ×2a ＝14.](1)(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A ．x 28－y 210＝1 B ．x 24－y 25＝1 C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1(2)(2018·湖北调考)已知点A (－1,0)，B (1,0)为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点，点M 在双曲线上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则该双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 24＝1B ．x 2－y 23＝1C ．x 2－y 22＝1D ．x 2－y 2＝1(1)B (2)D [(1)由y ＝52x 可得b a ＝52. ① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)， 可得a 2＋b 2＝9.②由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1. 故选B ．(2)由题意知a ＝1.不妨设点M 在第一象限，则由题意有|AB |＝|BM |＝2，∠ABM ＝120°.过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，则|BN |＝1，|MN |＝3，所以M (2，3)，代入双曲线方程得4－3b 2＝1，解得b ＝1，所以双曲线的方程为x 2－y 2＝1，故选D ．][跟踪训练] (1)已知双曲线C ：x a 2－y b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( ) A ．x 24－y 23＝1 B ．x 29－y 216＝1 C ．x 216－y 29＝1D ．x 23－y 24＝1 (2)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为__________．(1)C (2)x 216－y 29＝1 [由焦点F 2(5,0)知c ＝5. 又e ＝c a ＝54，得a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9. 所以双曲线C 的标准方程为x 216－y 29＝1.(2)由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设曲线C 2上的一点P ，则||PF 1|－|PF 2||＝8. 由双曲线的定义知：a ＝4，b ＝3.故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1，即x 216－y 29＝1.]◎角度1 双曲线的离心率问题(2018·长沙模拟(二))已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与圆(x －22)2＋y 2＝83相切，则该双曲线的离心率为( ) A ．62 B ．32 C ． 3D ．3A [由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线y ＝ba x ，即bx －ay ＝0与圆相切得|22b |b 2＋a2＝22b c ＝223，即c ＝3b ，则c 2＝3b 2＝3(c 2－a 2)，化简得2c ＝3a ，则该双曲线的离心率为e ＝c a ＝32＝62，故选A ．]◎角度2 双曲线的渐近线问题(2018·合肥二检)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为________．y ＝±2x [因为e ＝ca ＝3，所以c 2＝a 2＋b 2＝3a 2，故b ＝2a ，则此双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x .]◎角度3 双曲线性质的综合应用(2017·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( ) A ．13 B ．12 C ．23D ．32D [因为F 是双曲线C ：x 2－y23＝1的右焦点，所以F (2,0)．因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )． 因为P 是C 上一点，所以4－y 2P3＝1，解得y P ＝±3， 所以P (2，±3)，|PF |＝3.又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1， 所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32. 故选D ．][跟踪训练] (1)(2017·全国卷Ⅱ)若a >1，则双曲线x a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(2，2) C ．(1，2)D ．(1,2)(2)(2016·全国卷Ⅰ)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)(3)(2017·武汉调研)双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为54，焦点到渐近线的距离为3，则C 的实轴长等于________.【导学号：79140295】(1)C (2)A (3)8 [(1)由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a .∴e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.∵a ＞1，∴0＜1a 2＜1，∴1＜1＋1a 2＜2， ∴1＜e ＜ 2. 故选C ．(2)若双曲线的焦点在x 轴上，则⎩⎨⎧m 2＋n ＞0，3m 2－n ＞0.又∵(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4，∴m 2＝1，∴⎩⎨⎧1＋n ＞0，3－n ＞0，∴－1<n <3.若双曲线的焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程为y 2n －3m 2－x 2－m 2－n ＝1，即⎩⎨⎧n －3m 2＞0，－m 2－n ＞0，即n >3m 2且n <－m 2，此时n 不存在．故选A ．(3)因为e ＝c a ＝54，所以c ＝54a ，设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ab x ，即ax －by ＝0，焦点为(0，c )，所以bc a 2＋b 2＝b ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2516a 2－9，所以a 2＝16，即a ＝4，故2a ＝8.]。
2025数学大一轮复习讲义北师大版 第八章 §8.6 双曲线
同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为
A.x2－y82＝1
B.x82－y2＝1
√C.x2－y82＝1(x≤－1)
D.x2－y82＝1(x≥1)
设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切， 得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2<6， 所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(－3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的 左支， 且2a＝2，解得a＝1，又c＝3， 则b2＝c2－a2＝8， 所以动圆圆心 M 的轨迹方程为 x2－y82＝1(x≤－1).
知识梳理
标准方程 范围
ax22－by22＝1(a>0，b>0) x≤－a 或 x≥a ，y∈R
ay22－bx22＝1(a>0，b>0) y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 性质 顶点
对称轴： 坐标轴 ；对称中心：_原__点__
_A_1_(_－__a_，__0_)，__A__2(_a_，__0_)_
_A_1_(_0_，__－__a_)，__A__2(_0_，__a_)_
跟踪训练2 (1)(2024·榆林模拟)江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两
代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷
花瓶的外形可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成
的曲面，如图所示.若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都
是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是
知识梳理
2.双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
图形
2021届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第七节双曲线教师文档教案文北师大版.doc
第七节 双曲线授课提示：对应学生用书第167页[基础梳理]1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值(|F 1F 2|＝2c >0)为非零常数2a (2a <2c )的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作焦距． (2)集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0. ①当2a <|F 1F 2|时，M 点的轨迹是双曲线； ②当2a ＝|F 1F 2|时，M 点的轨迹是两条射线； ③当2a >|F 1F 2|时，M 点不存在． 2．双曲线的标准方程与几何性质图形标准方程 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)性质 范围x ≥a 或x ≤－a y ≤－a 或y ≥a 对称性对称轴：坐标轴； 对称中心：原点 对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点 顶点坐标：A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)顶点坐标：A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线 y ＝±b a x y ＝±abx离心率 e ＝ca，e ∈(1，＋∞)实、虚轴 线段A 1A 2叫作双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长a ，b ，c 间的关系 c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)1．在双曲线的定义中，|MF 1|－|MF 2|＝2a ，表示靠近F 2的一支，|MF 2|－|MF 1|＝2a ，表示靠近F 1的一支．2．双曲线的焦点到渐近线的距离等于其虚半轴长．3．方程x 2m －y 2n ＝1(mn ＞0)表示的曲线(1)当m ＞0，n ＞0时，表示焦点在x 轴上的双曲线． (2)当m ＜0，n ＜0时，则表示焦点在y 轴上的双曲线． 4．方程的常见设法(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．(2)若渐近线的方程为y ＝±b a x ，则可设双线曲方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．[四基自测] 1．(基础点：双曲线的标准方程)以椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为( )A ．x 2－y 23＝1 B ．x 23－y 2＝1C ．x 2－y 22＝1 D.x 24－y 23＝1答案：A2．(基础点：双曲线的定义)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( ) A ．11 B ．9 C ．5 D.3 答案：B3．(基础点：双曲线的渐近线)双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为________． 答案：y ＝±3x4．(基础点：双曲线的焦距)双曲线x 23－y 22＝1的焦距为________．答案：2 5授课提示：对应学生用书第167页考点一 双曲线的定义及应用挖掘1 利用定义求双曲线方程/ 自主练透[例1] (1)已知两圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2，C 2：(x －4)2＋y 2＝2，动圆M 与两圆C 1，C 2都相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是( )A ．x ＝0B ．x 22－y 214＝1(x ≥2)C.x 22－y 214＝1D.x 22－y 214＝1或x ＝0 [解析] 动圆M 与两圆C 1，C 2都相切，有四种情况：①动圆M 与两圆都外切；②动圆M 与两圆都内切；③动圆M 与圆C 1外切、与圆C 2内切；④动圆M 与圆C 1内切、与圆C 2外切．在①②情况下，显然，动圆圆心M 的轨迹方程为x ＝0；在③的情况下，设动圆M 的半径为r ， 则|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r － 2. 故得|MC 1|－|MC 2|＝22；在④的情况下，同理得|MC 2|－|MC 1|＝2 2. 由③④得|MC 1|－|MC 2|＝±2 2.已知|C 1C 2|＝8，根据双曲线定义，可知点M 的轨迹是以C 1(－4，0)，C 2(4，0)为焦点的双曲线，且a ＝2，c＝4，b 2＝c 2－a 2＝14，其方程为x 22－y 214＝1.故选D.[答案] D(2)已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 22－y 214＝1(x ≥2) B ．x 22－y 214＝1(x ≤－2)C.x 22＋y 214＝1(x ≥2) D.x 22＋y 214＝1(x ≤－2) [解析] 设动圆的半径为r ，由题意可得|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2，所以|MC 1|－|MC 2|＝22＝2a ，故由双曲线的定义可知动点M 在以C 1(－4，0)，C 2(4，0)为焦点，实轴长为2a ＝22的双曲线的右支上，即a ＝2，c ＝4⇒b 2＝16－2＝14，故动圆圆心M 的轨迹方程为x 22－y 214＝1(x ≥2)． [答案] A挖掘2 利用定义求点到焦点的距离/ 互动探究 [例2] (1)(2020·陕西师大附中模拟)设过双曲线x 2－y 2＝9右焦点F 2的直线交双曲线的左支于点P ，Q ，若|PQ |＝7，则△F 2PQ 的周长为( ) A ．19 B ．26 C ．43 D.50 [解析] 如图所示，由双曲线的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 2|－|PF 1|＝2a ， ①|QF 2|－|QF 1|＝2a ， ②①＋②得|PF 2|＋|QF 2|－|PQ |＝4a ， ∴△F 2PQ 的周长为|PF 2|＋|QF 2|＋|PQ | ＝4a ＋|PQ |＋|PQ |＝4×3＋2×7＝26. [答案] B(2)(2020·河南郑州一模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，实轴长为6，渐近线方程为y ＝±13x ，动点M 在双曲线左支上，点N 为圆E ：x 2＋(y ＋6)2＝1上一点，则|MN |＋|MF 2|的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D.11[解析] 由题意知2a ＝6，则a ＝3，又由b a ＝13得b ＝1，所以c ＝a 2＋b 2＝10，则F 1(－10，0)．根据双曲线的定义知|MF 2|＝2a ＋|MF 1|＝|MF 1|＋6，所以|MN |＋|MF 2|＝|MN |＋|MF 1|＋6＝|EN |＋|MN |＋|MF 1|＋5≥|F 1E |＋5＝（10）2＋（－6）2＋5＝9，当且仅当F 1，M ，N ，E 共线时取等号，故选B. [答案] B(3)已知双曲线C ：x 216－y 2b2＝1(b ＞0)，F 1、F 2分别为C 的左、右焦点，过F 2的直线l 分别交C的左、右支于点A 、B ，且|AF 1|＝|BF 1|，则|AB |＝( ) A ．4 B ．8C ．16D ．32[解析] 由双曲线定义知|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，由于|AF 1|＝|BF 1|，所以两式相加可得|AF 2|－|BF 2|＝4a ，而|AB |＝|AF 2|－|BF 2|，∴|AB |＝4a ，由双曲线方程知a ＝4，∴|AB |＝16，故选C. [答案] C[破题技法] 应用双曲线定义时要注意(1)距离之差的绝对值，不能漏掉“绝对值”，否则轨迹是一支． (2)2a <|F 1F 2|，否则轨迹是射线或不存在．(3)求双曲线方程时，注意标准形式的判断及焦点位置，否则x 2与y 2的系数会错． (4)注意a 、b 、c 的关系易错易混(c >a >0，c >b >0)．考点二 双曲线的方程及性质挖掘1 利用双曲线的性质求方程/ 自主练透[例1] (1)经过点(2，1)，且渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1相切的双曲线的标准方程为( ) A.x 2113－y 211＝1 B ．x 22－y 2＝1 C.y 2113－x 211＝1 D.y 211－x 2113＝1 [解析] 法一：设双曲线的渐近线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1相切可得圆心(0，2)到渐近线的距离等于半径1，由点到直线的距离公式可得|k ×0－2|k 2＋1＝1，解得k ＝±3.因为双曲线经过点(2，1)，所以双曲线的焦点在x 轴上，可设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，将(2，1)代入可得4a 2－1b 2＝1，由⎩⎨⎧4a 2－1b 2＝1，b a＝3得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝113，b 2＝11，故所求双曲线的标准方程为x 2113－y 211＝1.故选A.法二：设双曲线的方程为mx 2－ny 2＝1(mn ＞0)，将(2，1)代入方程可得，4m －n ＝1①.双曲线的渐近线方程为y ＝±mn x ，圆x 2＋(y －2)2＝1的圆心为(0，2)，半径为1，由渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，可得21＋mn＝1，即m n ＝3②，由①②可得m ＝311，n ＝111，所以该双曲线的标准方程为x 2113－y 211＝1.选A.[答案] A(2)若双曲线经过点(3，2)，且渐近线方程是y ＝±13x ，则双曲线的方程是________．[解析] 设双曲线的方程是y 2－x 29＝λ.因为双曲线过点(3，2)，所以λ＝2－99＝1.所以双曲线的方程为y 2－x29＝1.[答案] y 2－x 29＝1(3)(2020·成都模拟)设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是________．[解析] 法一：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点为(0，3)和(0，－3)，∴双曲线的焦距为2c ＝6. 由双曲线的定义得 （15）2＋（4＋3）2－（15）2＋12＝8－4＝4＝2a .∴a ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，双曲线方程为y 24－x 25＝1.法二：设双曲线的方程为x 227－λ＋y 236－λ＝1(27<λ<36)，由于双曲线过点(15，4)，故1527－λ＋1636－λ＝1，解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)． 故所求双曲线方程为y 24－x 25＝1.[答案] y 24－x25＝1[破题技法] 求双曲线标准方程的方法 方法 解读题型定义法根据定义求a 2和b 2，常用到|PF 1|－|PF 2|＝±2a 双曲线上有点到焦点的距离条件性质法 利用双曲线的性质，如渐近线、焦点等 已知双曲线的某些性质[例2] (1)(2019·高考全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( ) A. 2 B ． 3 C ．2 D. 5[解析] 设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 的坐标为(c ，0)．由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，如图，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c 2.由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2得⎝⎛⎭⎫c 22＋⎝⎛⎭⎫c 22＝a 2，故c a＝2，即e ＝ 2.故选A.[答案] A(2)(2019·高考全国卷Ⅲ)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( ) A.324 B ．322C ．2 2 D.3 2[解析] 双曲线x 24－y 22＝1的右焦点坐标为(6，0)，一条渐近线的方程为y ＝22x ，不妨设点P在第一象限，由于|PO |＝|PF |，则点P 的横坐标为62，纵坐标为22×62＝32，即△PFO 的底边长为6，高为32，所以它的面积为12×6×32＝324.故选A.[答案] A[例3] (1)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m ＞1)与双曲线C 2：x 2n2－y 2＝1(n ＞0)的焦点重合，e 1，e 2，分别为C 1，C 2的离心率，则( ) A ．m ＞n 且e 1e 2＞1 B ．m ＞n 且e 1e 2＜1 C ．m ＜n 且e 1e 2＞1 D.m ＜n 且e 1e 2＜1 [解析] 设P 为椭圆与双曲线在第一象限内的公共点， F 1，F 2为它们的左、右公共焦点，则|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，|PF 1|－|PF 2|＝2n ，∴m ＞n ，由结论一得1e 21＋1e 22＝2，法一：(利用均值不等式)∵e 1≠e 2，∴2＝1e 21＋1e 22＞2e 1e 2，e 1e 2＞1，故选A.法二：(利用三角换元) 由1e 21＋1e 22＝2，0＜e 1＜1，e 2＞1， 可设1e 1＝2cos θ，1e 2＝2sin θ，0＜θ＜π4，则e 1e 2＝1sin 2θ＞1.法三：(利用消元法) ∵1e 21＋1e 22＝2，∴1e 22＝2－1e 21， 1e 21e 22＝－1e 41＋2e 21＝－⎝⎛⎭⎫1e 21－12＋1， 由0＜e 1＜1，e 2＞1且1e 21＋1e 22＝2，得1＜1e 21＜2，令t ＝1e 21，f (t )＝－(t －1)2＋1，则1e 21e 22＝f (t )，t ∈(1，2)， f (t )在(1，2)上单调递减，f (1)＝1，f (2)＝0，故0＜1e 21e 22＜1，即e 1e 2＞1.[答案] A(2)已知F 1，F 2为椭圆和双曲线的公共焦点，P 为它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则该椭圆和双曲线的离心率之积的最小值是( )A.33 B ．32 C ．1 D. 3 [解析] 由结论二得1e 21＋3e 22＝4，同(1)的三种方法均可得到e 1e 2≥32，故选B.[答案] B[破题技法] 1.已知椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(其中a 1＞b 1＞0)与双曲线C 2：x 2a 22－y 2b 22＝1(其中a 2＞0，b 2＞0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则b 22e 21＋b 21e 22＝b 21＋b 22.2．已知F 1，F 2为椭圆和双曲线的公共焦点，P 为它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝θ，e 1，e 2分别为椭圆和双曲线的离心率，则1－cos θe 21＋1＋cos θe 22＝2.。
高中数学双曲线的教案
高中数学双曲线的教案
教学目标：学生能够理解双曲线的定义、性质和方程，掌握双曲线的图像和基本变换规律。
教学重点：双曲线的定义、性质和方程。
教学难点：双曲线的基本变换规律和图像的绘制。
教学准备：教材、教具、黑板、彩色粉笔、实例习题。
教学过程：
第一步：导入
1. 导入双曲线的概念，引导学生思考什么是双曲线。
2. 引出本节课的主要内容和目标。
第二步：概念讲解
1. 讲解双曲线的定义和性质。
2. 介绍双曲线的标准方程及其特征。
第三步：例题讲解
1. 通过例题引导学生理解双曲线的方程和图像。
2. 讲解双曲线的标准方程与图像之间的关系。
第四步：练习训练
1. 放置几道练习题，让学生巩固理论知识。
2. 指导学生独立解题，然后进行讲评。
第五步：拓展延伸
1. 提供一些拓展题目，让学生进一步探索双曲线的特性。
2. 引导学生探讨双曲线在实际生活中的应用。
第六步：课堂总结
1. 总结本节课的内容和重点。
2. 提醒学生复习和练习重点知识。
教学反馈：布置相关练习题，鼓励学生在课后进行复习和巩固。
教学辅导：提供学生在学习过程中遇到的问题进行辅导和帮助。
教学延伸：引导学生通过互联网等多种途径学习双曲线的相关知识，拓展课外学习。
教学评价：在课堂结束时对学生学习情况进行评价，评估学生对双曲线知识的掌握情况。
以上就是本次双曲线教学内容，希望学生们能够在学习过程中认真思考，积极提问，希望大家能够充实自己的数学知识，提高自己的数学能力。
《双曲线的定义及其标准方程》说课教案(北师大版)
《双曲线的定义及其标准方程》说课教案(北师大版)
《双曲线的定义及其标准方程》说课教案
——北师大版高二数学说课
各位专家，各位老师：
大家好！很高兴能在这里和大家进行交流。
我说课的题目是《双曲线的定义及其标准方程》，内容选自于北师大版《高中数学实验教材》高二下册第九章第二单元第一小节，课时安排为两课时，本课内容为第一课时。
下面我将从教材分析与处理、教学方法与手段、教学过程与设计、教学设计想法说明四大方面来阐述我的教学设想。
一、教材分析与处理
1、教材的地位与作用
学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。
如果双曲线研究的透彻、清楚，那幺抛物线的学习就会顺理成章。
所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质的学习打下基础。
2、学生状况分析：
学生在学习这节课之前，已掌握了椭圆的定义和标准方程，也曾经尝试过探究式的学习方式，所以说从知识和学习方式上来说学生已具备了自行探索和推导方程的基础。
另外，高二学生思维活跃，敢于表现自己，不喜欢被动地接受别人现成的观点，但同时也缺乏发现问题和提出问题的意识。
根据以上对教材和学生的分析......。
(江西版)高考数学总复习 第八章8.3 圆的方程教案 理 北师大版
2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第八章8.1 直线及其方程考纲要求1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，掌握确定直线位置的几何要素． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．3．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．知识梳理1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角：①定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴____与直线l ____方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为______．②倾斜角的取值范围为________． (2)直线的斜率： ①定义：一条直线的倾斜角α的______叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝______，倾斜角是______的直线的斜率不存在．②过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝________.2．直线的方程(1)点斜式：已知直线过点(x 0，y 0)，斜率为k ，则直线方程为____________，它不包括__________的直线．(2)斜截式：已知直线在y 轴上的截距b 和斜率k ，则直线方程为__________，它不包括垂直于x 轴的直线．(3)两点式：已知直线经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)，则直线方程为________，它不包括垂直于坐标轴的直线．(4)截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距分别为a ，b (其中a ≠0，b ≠0)，则直线方程为____________，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线．(5)一般式：任何直线的方程均可写成______________的形式． 基础自测1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( )． A ．π6 B ．π3 C ．23π D ．56π2．已知A (3,1)，B (－1，k )，C (8,11)三点共线，则k 的取值是( )． A ．－6 B ．－7 C ．－8 D ．－93．斜率为2的直线的倾斜角α所在的范围是( )． A ．0°＜α＜45° B ．45°＜α＜90° C ．90°＜α＜135° D ．135°＜α＜180° 4．直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )． A ．1 B ．－1 C ．－2或－1 D ．－2或15．若直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、三象限，则有( )． A ．ab ＞0，bc ＞0 B ．ab ＞0，bc ＜0 C ．ab ＜0，bc ＞0 D ．ab ＜0，bc ＜0 思维拓展1．如何正确理解直线的倾斜角与斜率的关系？提示：(1)所有的直线都有倾斜角，当直线与x 轴垂直，即倾斜角为π2时，斜率不存在；(2)直线倾斜角的范围为[0，π)，因为正切函数在[0，π)上不单调，所以在研究斜率与倾斜角的关系时，可结合正切函数在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π的图像，对其在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上的变化情况分别讨论．2．求直线方程时，应注意什么？提示：(1)因为点确定直线的位置，斜率确定直线的方向，所以求直线方程时可从寻求点的坐标或直线的斜率入手，再选择合适的形式写出直线的方程；(2)有时也可先设出直线的方程，再利用待定系数法确定其中的参数．此时，一定要注意斜率不存在的情况．一、直线的倾斜角与斜率【例1】已知A (－2,3)，B (3,2)，过点P (0，－2)的直线l 与线段AB 没有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是__________．方法提炼直线倾斜角的范围是[0，π)，但这个区间不是正切函数的单调区间．因此在考虑倾斜角与斜率的关系时，要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图像可以看出，当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)．请做[针对训练]1二、求直线的方程【例2】已知直线l 过(2,1)，(m,3)两点，求直线l 的方程．方法提炼用待定系数法求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意所选方程的适用条件．无论选择哪种直线方程的形式，最后结果都要化成一般式．请做[针对训练]4三、直线方程的应用【例3－1】已知点A (2,5)与点B (4，－7)，试在y 轴上求一点P ，使得|PA |＋|PB |的值为最小．【例3－2】已知两直线l 1：x ＋2＝0，l 2：4x ＋3y ＋5＝0及定点A (－1，－2)，求过l 1，l 2的交点且与点A 的距离等于1的直线l 的方程．方法提炼在求直线方程的过程中，若有以直线为载体的面积、距离的最值等问题，一般要结合函数、不等式或利用对称来加以解决．请做[针对训练]5考情分析通过对近几年的高考试题的统计分析可以看出，对于直线方程的考查，一是考查直线倾斜角与斜率的关系、斜率公式；二是考查求直线的方程．从分析五种直线方程成立的条件入手，确定相应的量是确定直线方程的关键．用待定系数法求直线方程时，要特别注意斜率不存在的情况．单独考查直线方程的题目较少，主要是以直线方程为载体，与其他知识相交汇进行综合考查．针对训练1．直线x sin α－y ＋1＝0的倾斜角的变化范围是( )． A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 B ．(0，π) C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π2．(2011山东临沂模拟)直线x cos θ＋3y ＋2＝0的倾斜角的取值范围为__________．3．(2011广东广州高三调研)已知直线l 经过坐标原点，且与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0相切，切点在第四象限，则直线l 的方程为__________．4．若直线l 过点P (－2,3)，与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l 的方程． 5．已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．(1)①正向 向上 0° ②0°≤α＜180° (2)①正切值 tan α 90° ②y 2－y 1x 2－x 12．(1)y －y 0＝k (x －x 0) 垂直于x 轴(2)y ＝kx ＋b (3)y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(4)x a ＋y b＝1 (5)Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0) 基础自测1．D 解析：∵直线的斜截式方程为y ＝－33x －33， ∴其斜率为－33. ∴其倾斜角为56π.2．B 解析：∵A ，B ，C 三点共线， ∴k －1－1－3＝11－18－3. ∴k ＝－7. 3．B 解析：由tan α＝2，结合正切函数在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π的图像，易知45°＜α＜90°.4．D 解析：当直线l 过原点时，则－2－a ＝0，即a ＝－2；当直线l 不过原点时，原方程可化为x a ＋2a＋ya ＋2＝1， 由a ＋2a＝a ＋2，得a ＝1. 所以a 的值为－2或1.5．D 解析：显然直线斜率存在，直线方程可化为y ＝－a b x －c b， 因为直线过第一、二、三象限， 所以有－a b ＞0，－c b＞0，即ab ＜0，bc ＜0. 考点探究突破【例1】⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，43 解析：如图，由斜率公式得k AP ＝－2－30－(－2)＝－52，k BP ＝－2－20－3＝43，当直线l 从与x 轴平行位置绕P 点逆时针旋转到直线PB 位置但不与PB 重合时满足题意，其斜率l 满足0≤k ＜k PB ＝43；当直线l 从AP 位置(与AP 不重合)绕P 点逆时针旋转到与x 轴平行的位置时，其斜率k满足k AP ＜k ＜0，即－52＜k ＜0.综上所述k 的取值范围是－52＜k ＜43.【例2】解：当m ＝2时，直线l 的方程为x ＝2；当m ≠2时，直线l 的方程为y －13－1＝x －2m －2，即2x －(m －2)y ＋m －6＝0.因为m ＝2时，方程2x －(m －2)y ＋m －6＝0，即为x ＝2， 所以直线l 的方程为2x －(m －2)y ＋m －6＝0.【例3－1】解：如图所示，先求出A 点关于y 轴的对称点A ′(－2,5)，直线A ′B 的方程为y ＋75＋7＝x －4－2－4，化简为2x ＋y －1＝0. 令x ＝0，得y ＝1.故所求P 点坐标为P (0,1)．【例3－2】解：先利用“过l 1、l 2的交点”写出直线系方程，再根据“l 与A 点距离等于1”来确定参数．过l 1、l 2交点的直线系方程是x ＋2＋λ(4x ＋3y ＋5)＝0，λ是参数．化为(1＋4λ)x ＋3λy ＋(2＋5λ)＝0①，由|－1×(1＋4λ)＋(－2)×3λ＋(2＋5λ)|(1＋4λ)2＋(3λ)2＝1， 得λ＝0.代入方程①，得x ＋2＝0.因为直线系方程①中不包含l 2，所以应检验l 2是否也符合已知条件．因A (－1，－2)到l 2的距离为|－4－6＋5|42＋32＝1，l 2也符合要求． 故直线l 的方程为x ＋2＝0和4x ＋3y ＋5＝0. 演练巩固提升 针对训练1．D 解析：直线x sin α－y ＋1＝0的斜率是k ＝sin α， 又∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k ≤1.当0≤k ≤1时，倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4；当－1≤k ＜0时，倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.2．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫56π，π 解析：把直线方程化为斜截式y ＝－33cos θ·x －233，则k ＝－33cos θ.∵－33≤k ≤33， ∴0≤α≤π6或56π≤α＜π.3．y ＝－33x 解析：将圆的一般方程化为标准方程：(x －2)2＋y 2＝1，圆心为(2,0)，半径r ＝1，如图，经过原点的圆的切线的倾斜角为150°，切线的斜率为tan 150°＝－33，切线方程为y ＝－33x .4．解：由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ， 则l 的方程为y －3＝k (x ＋2)． 令x ＝0，得y ＝2k ＋3；令y ＝0，得x ＝－3k－2，则12·|2k ＋3|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3k －2＝4， ∴(2k ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋2＝±8.若(2k ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋2＝8，化简得4k 2＋4k ＋9＝0，方程无解；若(2k ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋2＝－8，化简得4k 2＋20k ＋9＝0，解得k ＝－92或－12.∴直线l 的方程为y －3＝－92(x ＋2)或y －3＝－12(x ＋2)，即9x ＋2y ＋12＝0或x ＋2y －4＝0.5．解：解法一：设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)，则直线l 的方程为x a ＋y b＝1. ∵l 过点P (3,2)， ∴3a ＋2b ＝1，b ＝2a a －3. 从而S △ABO ＝12a ·b ＝12a ·2a a －3＝a 2a －3.故有S △ABO ＝(a －3)2＋6(a －3)＋9a －3＝(a －3)＋9a －3＋6≥2(a －3)·9a －3＋6＝12， 当且仅当a －3＝9a －3，即a ＝6时，(S △ABO )min ＝12，此时b ＝2×66－3＝4.∴所求直线l 的方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.解法二：设直线方程为x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)， 代入P (3,2)，得3a ＋2b ＝1≥26ab，得ab ≥24，从而S △AOB ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b 时，等号成立，此时k ＝－b a ＝－23，∴y －2＝－23(x －3)，∴所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0. 解法三：依题意知，直线l 的斜率存在． 设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k ＜0)，则有A (3－2k，0)，B (0,2－3k )，∴S △AOB ＝12(2－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋(－9k )＋4(－k )≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2(－9k )·4(－k ) ＝12(12＋12)＝12， 当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立．故所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.。
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2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第八章8.6 双曲线考纲要求1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质． 2．理解数形结合的思想．3．了解双曲线的简单应用，了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．知识梳理1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做______．这两个定点叫做双曲线的____，两焦点间的距离叫做双曲线的____．平面内到定点的距离和它到定直线的距离之比为一个常数e (e ＞1)的点的轨迹是双曲线，其中定点是一个焦点，定直线是双曲线的一条准线，这个常数e 就是双曲线的离心率．≥a ，或x ≤－a ，y ∈∈R ，y ≤－a ，或y ≥对称轴：坐标轴 对称中心：原点 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点坐标： A 1____，A 2____ 顶点坐标： A 1____，A 2____ F 1(－c,0)，F 2(c,0)1(0，－c )，F 2(0，c a 2y ＝±a 2cy ＝________1．(2011安徽高考，理2)双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( )． A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 22．如果双曲线x 24－y 212＝1上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的左焦点的距离是( )．A ．4B ．12C ．4或12D ．不确定3．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )．A ．4B ．3C ．2D ．14．已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且一条渐近线为直线3x ＋y ＝0，则该双曲线的离心率等于__________．5．已知双曲线x 2a －y 22＝1的一个焦点坐标为(－3，0)，则其渐近线方程为__________．思维拓展1．如何准确把握双曲线的定义？提示：(1)在双曲线的定义中，除了满足||PF 1|－|PF 2||＝定值，还要满足||PF 1|－|PF 2||＜|F 1F 2|且不等于零这一条件，动点P 的轨迹才是双曲线；若||PF 1|－|PF 2||＝|F 1F 2|，则动点P 的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线(包括端点)；若||PF 1|－|PF 2||＝0，则动点P 的轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线；若||PF 1|－|PF 2||＞|F 1F 2|，则动点P 的轨迹不存在．(2)若定义中的“绝对值”去掉后，则动点P 的轨迹为双曲线的一支．若|PF 1|－|PF 2|＝定值，则动点P 的轨迹为双曲线靠近F 2的一支；若|PF 2|－|PF 1|＝定值，则动点P 的轨迹为双曲线靠近F 1的一支．2．用待定系数法求双曲线的标准方程时，应注意什么？提示：(1)用待定系数法求双曲线的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把双曲线的方程设为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)．(2)若知一条渐近线方程为y ＝n m x ，则双曲线方程可设为x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)；若与已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1共渐近线，则双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．一、双曲线的定义及应用【例1－1】已知定点A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，求另一焦点F 的轨迹方程．【例1－2】△PF 1F 2的顶点P 在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，F 1，F 2是双曲线的焦点，且∠F 1PF 2＝θ.求△PF 1F 2的面积S .方法提炼1．求点的轨迹方程时，首先要根据给定条件，探求轨迹的曲线类型．若能确定是哪种曲线，则用待定系数法求得相应方程，这种做法可以减少运算量，提高解题速度与质量．在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．2．在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义是经常使用的知识点．另外，还经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立它与|PF 1||PF 2|的联系．请做[针对训练]3二、求双曲线的标准方程【例2】求与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线的方程． 方法提炼求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．请做[针对训练]4三、双曲线的几何性质【例3】已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为__________．方法提炼根据双曲线的特点，考查较多的几何性质就是双曲线的离心率和渐近线．求离心率或离心率的取值范围的方法通常是根据条件列出关于a ，c 的齐次方程或不等式，然后再转化成关于e 的方程或不等式求解．求渐近线方程的关键是分清两种位置下的双曲线所对应的渐近线方程．请做[针对训练]5考情分析通过对近几年高考试题的分析可以看出，对双曲线的考查以选择、填空为主，主要侧重以下几点：(1)求双曲线的方程；(2)以双曲线的方程为载体，研究与参数a ，b ，c ，e 及渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是重点．针对训练1．(2011福建高考，理7)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )．A ．12或32B ．23或2 C ．12或2 D ．23或322．(2011山东高考，理8)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均和圆C ：x2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )．A ．x 25－y 24＝1B ．x 24－y 25＝1 C ．x 23－y 26＝1 D ．x 26－y 23＝1 3．在△ABC 中，A ，B ，C 所对三边分别为a ，b ，c ，B (－1,0)，C (1,0)，求满足sin C －sin B ＝12sin A 时，顶点A 的轨迹，并画出图形．4．已知双曲线过P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，325和P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫437，4两点，求双曲线的标准方程． 5．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞1，b ＞0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线的离心率e 的取值范围．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．双曲线 焦点 焦距2．(－a,0) (a,0) (0，－a ) (0，a ) ±b a x ±a bx 实轴 2a 虚轴 2b a b 基础自测1．C 解析：由2x 2－y 2＝8变形得x 24－y 28＝1，∴a ＝2.∴2a ＝4.2．C 解析：由双曲线方程，得a ＝2，c ＝4.根据双曲线的定义|PF 1|－|PF 2|＝±2a ，则|PF 1|＝|PF 2|±2a ＝8±4， ∴|PF 1|＝4或12，经检验二者都符合题意．3．C 解析：由渐近线方程可知b a ＝32，所以a ＝23b ＝23×3＝2.4．2 解析：由渐近线方程知b a＝3，所以e ＝c a ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2. 5．y ＝±2x 解析：由a ＋2＝3，可得a ＝1，∴双曲线方程为x 2－y 22＝1.∴其渐近线方程为y ＝±2x . 考点探究突破【例1－1】解：设F (x ，y )为轨迹上的任意一点， 因为A ，B 两点在以C ，F 为焦点的椭圆上，所以|FA |＋|CA |＝2a ，|FB |＋|CB |＝2a (其中a 表示椭圆的长半轴长)． 所以|FA |＋|CA |＝|FB |＋|CB |. 所以|FA |－|FB |＝|CB |－|CA |＝122＋92－122＋(－5)2＝2， 即|FA |－|FB |＝2.由双曲线的定义知，F 点在以A ，B 为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上． 所以点F 的轨迹方程是y 2－x 248＝1(y ≤－1)． 【例1－2】解：设双曲线的左焦点为F 1，右焦点为F 2，如图所示．由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a . 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos θ＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2－|F 1F 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2－4c 22|PF 1|·|PF 2|＋1 ＝－2b 2|PF 1|·|PF 2|＋1， ∴|PF 1|·|PF 2|＝2b21－cos θ.在△F 1PF 2中，由正弦定理，得12F PF S ＝12|PF 1|·|PF 2|·sin θ＝sin θ1－cos θ·b 2. 【例2】解：设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线的方程为x 22－y 2＝k ，将点(2，－2)代入得k ＝222－(－2)2＝－2.∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.【例3】62 解析：设双曲线方程为x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，如图所示，由于在双曲线中c ＞b ，故在Rt △OF 1B 2中，只能是∠OF 1B2＝30°，所以b c＝tan 30°.所以c ＝3b .所以a ＝2b ，离心率e ＝c a＝3b 2b ＝62. 演练巩固提升 针对训练1．A 解析：∵|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，设|PF 1|＝4k ，|F 1F 2|＝3k ，|PF 2|＝2k ，其中|F 1F 2|＝2c ＝3k ，∴c ＝32k .若圆锥曲线Γ为椭圆，则|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6k ，∴a ＝3k .∴e ＝c a ＝32k 3k ＝12.若圆锥曲线Γ为双曲线，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2k ，∴a ＝k .∴e ＝c a ＝32k k ＝32.∴e 的取值为12或32.2．A 解析：由题意得，22x a－22y b ＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0.又圆C 的标准方程为22(3)x y －＋＝4，半径长为2，圆心坐标为(3,0)．∴a 2＋b 2＝32＝9＝2，解得a 2＝5，b 2＝4.∴该双曲线的方程为22154x y -=. 3．解：∵sin C －sin B ＝12sin A ，∴c －b ＝12a ＝12×2＝1.即|AB |－|AC |＝1＜|BC |＝2.动点A (x ，y )符合双曲线的定义，且双曲线中的⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，2c ＝2，b 2＝c 2－a 2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝32.∴A 点轨迹方程为x 214－y 234＝1.由于|AB |＞|AC |，可知A 点的轨迹是双曲线的右支，还需除去点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，如图所示．4．解法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵P 1，P 2在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3252b 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4372a 2－42b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝－116，1b 2＝－19.(不合题意，舍去)当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵P 1，P 2在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫3252a 2－(－2)2b 2＝1，42a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫4372b 2＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝19，1b 2＝116.即a 2＝9，b 2＝16.∴所求双曲线方程为y 29－x 216＝1.解法二：∵双曲线的焦点位置不确定，∴设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)． ∵P 1，P 2在双曲线上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4m ＋454n ＝1，169×7m ＋16n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－116，n ＝19.∴所求双曲线方程为－116x 2＋19y 2＝1，即y 29－x216＝1.5．解：直线l 的方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b (a －1)a 2＋b2.同理得到点(－1,0)到直线l 的距离d 2＝b (a ＋1)a 2＋b2.∴s ＝d 1＋d 2＝2ab a 2＋b 2＝2abc.由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a c 2－a 2≥2c 2.于是得5e 2－1≥2e 2，即4e 4－25e 2＋25≤0.解不等式，得54≤e 2≤5.由于e ＞1，∴e 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，5.。