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复变函数目标检测练习册

练习一复数及其代数运算、复数的几何表示一、填空题 1．(ii +-11)4＝2．i +1＝ Arg )(i +1= arg )(i +13.已知z=())())((i i i i +--+131131，则z = argz=4.将z=－cos 5π + isin 5π表示成三角形式为表示成指数形式为 Argz= argz=5.3－i 的三角表示形式为，指数表示形式为二．分别就0＜α≤π与-π＜α＜-2π两种情形将复数z=1 - cos α + isin α化成三角形式与指数形式，并求它的辐角主值。

三．利用复数表示圆的方程)(0≠a a (x 2+y2)+ bx + cy + d = 0，其中a , b , c , d 是实常数。

四．求下列方程所表示的曲线 ①)(i+1z + )(i —1z = 1②z z －)(i +2z －)(i -2z = 4五．证明⑴若z1 + z2 + z3 = 0且z1=z2=z3=1，则点z1 , z2 , z3为一内接单位圆的等边三角形的顶点。

⑵若z1 + z2 + z3 + z4 = 0且z1=z2=z3=z4，则点z1 , z2 , z3 , z4或者为一矩形的顶点，或者两两重合。

练习二复数的乘幂与方根、区域一、填空题1．（1＋i）3＋（1－i）3＝2．31-＝3．{z1<z<2}的内点是外点是边界点是4．0<Re(z)<1所确定的是（区域、闭区域）它是（有界、无界）二、求下列复数的值（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+ii313110（2）32221）＋（i三、已知正方形的两个相对顶点为z1(0，－1)于z3(2，5)，求另外两个顶点z2于z4的坐标。

四、画出23--zz≥1所表示的图形，并指出所表示的图形是否是区域，是否有界？五、已知x2+x+1=0，求x11+x7+x3的值。

六、求证：（1+cosθ+isinθ）n=2ncosn2θ(cos2θn+isin2θn)练习三复变函数、复变函数的极限和连续性一、选择题1．下列函数极限存在的是（）A．lim→z zz)Re(B.lim→z zzC.lim→z1222---+zzzz zD.lim→z i21(zz－zz)2．将Z平面上的曲线x2+y2=4映射成W平面上的曲线u2+v2=41的映射函数f(z)为（）A．W=Z B.W=Z2 C.W=Z1D.W=Z3．复变函数W=Z2确定的两个实元函数为（）A.u=x2+y2 v=2xyB.u=2xy v=x2-y2C.u=x2v=2xyD.u=x2+y2v=2xy 4．两个实二元函数u=5．在映射W=Z2之下，Z平面的双曲线x2－y2=4映射成W平面上的图形为（）A．直线u=4 B.圆u2+v2=4 C.直线v=4 D.双曲线uv=4二、考虑f(z)=z z +zz在z=0的极限三、函数W=Z1把下列z 平面上的曲线映射成W 平面上怎样的曲线？（1）y=x (2) x=1 (3) (x －1)2+y 2=1 四、试讨论函数f(z)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+022y x xy00=≠z z 的连续性练习四解析函数的概念函数解析的充要条件一、选择题1．下列命题正确的是（）A ．如果)(z f 在z 0连续，那么)('0z f 存在B ．如果)('0z f 存在，那么)(z f 在z 0解析C ．如果)(z f 在z 0解析，那么)('0z f 存在D ．如果z 0是)(z f 的奇点，那么)(z f 在z 0不可导 2．下列函数仅在z=0处可导的是（）A.)(z f ＝z 2B.)(z f =x+2yiC.)(z f =z 2D.)(z f =z13．下列函数在复平面内处处解析的是（）A ．f(z)=z B.f(z)=e x(cosy+isiny) C.f(z)=z 1 D.f(z)=zz 4.下面各式是柯西—黎曼方程的极坐标形式的是（）A ．r u ∂∂=θ∂∂v θ∂∂u =-rv ∂∂ B.r u ∂∂=r 1θ∂∂v θ∂∂u =-r 1r v ∂∂C.r u ∂∂=r 1θ∂∂v r v ∂∂=-r 1θ∂∂uD.r u ∂∂=r θ∂∂v θ∂∂u =-r rv ∂∂ 5．下列说法正确的是（）A ．如果z 0是f(z)和g(z)的一个奇点，那么z 0也是f(z)＋g(z)的一个奇点B ．如果z 0是f(z)和g(z)的一个奇点，那么z 0也是f(z)－g(z)的一个奇点C ．如果z 0是f(z)和g(z)的一个奇点，那么z 0也是f(z)g(z)的一个奇点D ．如果z 0是f(z)和g(z)的一个奇点，那么z 0也是f(z)/g(z)的一个奇点二．设ay 3+bx 2y+i(x 3+pxy 2)为解析函数，试求a,b,p 之值。

复变函数练习册(全套)

第一章复数与复变函数一、选择题1．当iiz -+=11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．设复数z 满足arg(2)3z π+=，5arg(2)6z π-=，那么=z （）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+-（D ）i 2123+- 3．一个向量顺时针旋转3π，对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数（）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 4．使得22z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数 5．方程232=-+i z 所代表的曲线是（）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周（B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周（D ）中心为i 32-，半径为２的圆周6．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）（A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续学号：____________ 姓名:______________ 班级:_____________二、填空题1．设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=，则=z2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg3．复数22)3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为4．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连接点和的线段的垂直平分线5．=+++→)21(lim 421z z iz三、将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1）i （2）13i -+四、求下列各式的值：（1）5(3)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3）1i +五、解方程：5()1z i +=六、设复数1≠z ，且满足,1||=z ，试证21]11Re[=-z .七、证明复平面上的直线方程可写成:0,(0a z a z c a ++=≠其中为复常数，c 为实常数）八、证明复平面上的圆周方程可写成:0,(z z a z az c a +++=其中为复常数，c 为实常数）九、函数1w z=把下列z 平面上的曲线映成w 平面中的什么曲线？ (1) yx = (2) 224x y +=十、)0(),(21)(≠-=z zzz z i z f 试证当0→z 时)(z f 的极限不存在。

复变函数习题及答案解释

第一篇复变函数第一章复数与复变函数1. 求下列复数的实部、虚部、共轭复数、模与幅角.（1） 72)52)(43(ii i −+；（2） .4218i i i +−2. 当x ，y 等于什么实数时，等式i iiy x +=+−++135)3(1 成立？3.证明：（1）;2z z z = （2）1122,z z z z = .02≠z4.求下列各式的值：（1）();35i −（2）().131i +−5.求方程083=+z 的所有根.6.设1z ,2z ,3z 三点适合条件0321=++z z z ，证明1z ,2z ,3z 是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点.7.指出下列各题中点z 的轨迹或所在的范围：（1）;65=−z（2）;12≥+i z（3）.i z i z −=+8.描述下列不等式所确定的区域，并指出它是有界的还是无界的：（1）;32≤≤z（2）.141+<−z z9.将方程tt z 1+=（t 为实参数）给出的曲线用一个实直角坐标方程表出.第一章复习题1.单项选择题（1）设iy x z +=，y x ≠||，4z 为实数，则（）.A ．0=xy B.0=+y x C ．0=−y x D.022=−y x（2）关于复数幅角的运算，下列等式中正确的是（）. A ．Argz Argz 22= B.z z arg 2arg 2=C ．2121arg arg )arg(z z z z += D.2121)(Argz Argz z z Arg += （3）=+31i （）.A ．ie 62πB.ie 62π−C ．ie 62π± D.i e62π±（4）2210<++<i z 表示（）. A ．开集、非区域 B.单连通区域 C ．多连通区域 D.闭区域（5）z i z f =−1，则()=+i f 1（）.A ．1 B.21i+ C ．21i− D.i −1 （6）若方程1−=z e ，则此方程的解集为（）.A ．空集 B.π)12(−=k z ，（k 为整数） C ．i k z π)12(−= D. πi z =2.对任何复数22,z z z =是否一定成立？3. 解方程.0)1(22=−++i z z4. 求)(i Ln −，)43(i Ln +−和它们的主值.5. 求i e 21π−，i i e41π+，i 3和ii )1(+值.第二章导数1．下列函数何处可导?何处解析? (1) ();2iy x z f −=(2) ().22y ix xy z f +=2.指出下列函数()z f 的解析性区域，并指出其导数.(1) ();22iz z z f +=(2) ();112−=z z f（3）(),dcz baz z f ++=（d c ,中至少有一个不为0）.3.设()2323lxy x i y nx my +++为解析函数，试确定l 、m 、n 的值.4.证明：如果()z f 在区域D 内解析，并满足下列条件之一，那么是常数. （1）()z f 恒取实值. （2）)(z f 在区域D 内解析. （3）()z f 在区域D 内是一个常数.5.应用导数的定义讨论下列函数的是否存在？（1）())Re(z z f =；（2）())Im(z z f =.6.证明；,sin z e z 在复平面上任一点都不解析.第二章复习题1.单项选择题（1）函数()z f w =在点0z 可导是可微的（）.A ．必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C ．充分必要条件D. 既非充分也非必要条件（2）函数()z f w =在点0z 可导是连续的（）.A ．必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C ．充分必要条件D. 既非充分也非必要条件（3）函数()),(),(y x iv y x u z f +=，则在()00,y x 点，v u ,均可微是函数()z f 在点0z 可微的（）.A ．必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C ．充分必要条件D. 既非充分也非必要条件（4）函数()22ix xy z f −=，那么（）. A ．()z f 处处可微 B. ()z f 处处不可导 C ．()z f 仅在原点可导 D. ()z f 仅在x 轴上可导（5）若,0,,00,),(222222=+≠++=y x y x y x xy y x u ，,),(xy y x v =()iv u z f +=，则()z f （）.A ．()z f 仅在原点可导 B. ()z f 处处不可导C ．()z f 除原点外处处可导 D. ()z f 处处可微（6）若()()y x y i xy x z f 233333+−+−=，那么()z f （）.A ．()z f 仅在原点可导且()00=′f B. ()z f 处处解析且()xy i y x z f 63322+−=′ C ．()z f 处处解析且()xy i y x z f 63322−−=′ D. ()z f 处处解析且()xy i x y z f 63322+−=′ （7）函数()z z z f = ，则（）. A ．()z f 在全平面解析 B. ()z f 仅在原点解析C ．()z f 仅在原点可导但不解析 D. ()z f 处处不可导（8）设()34−=′z z f ，且()i i f 31−=+，则()=z f （）.A ． i z z −−322 B. i z z 3322+− C ．i z z 43322+−+ D. i z z 43322−+− 2.指出函数112+z 的解析性区域，并求导数.3.如果0z 是()z f 的奇点，而()z g 在0z 解析，那么0z 是否是())(z g z f +和())(z g z f 的奇点.4.若()iv u z f +=是区域D 内的解析函数，那么在D 内v +iu 是否也是解析函数.第三章积分1.沿下列路径计算积分∫Czdz Re .（1）自原点至1+i 的直线段；（2）自原点沿实轴至1，再由1铅直向上至1+i ；（3）自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平向右至1+i .2.分别沿y =x 与2x y =计算积分()∫++i dz iy x102的值.3计算积分dz zzC∫，其中C 为正向圆周，2=z .4.计算下列积分，其中C 为正向圆周，1=z . （1）;21dz z C ∫− （2）;4212dz z z C ∫++（3）;cos 1dz zC ∫ （4）;211dz z C∫−（5）;dz ze Cz ∫（6）().)2(21dz i z z C∫−+5.沿指定曲线正向计算下列积分：（1）dz z C ∫−21，C ：12=−z ；（2）dz a z C ∫−221，C: a a z =−；（3）,3dz z zC ∫− C ：2=z ；（4）()()dz z z C∫++41122，C ：23=z ；（5）dz zzC ∫sin ，C ：1=z ；（6）dz z zC∫−22sin π，C ：2=z .6.计算下列各题：（1）∫−ii z dz e ππ32；（2）∫−iizdz ππ2sin ；（3）.)(0∫−−iz dz e i z7.计算下列积分：（1）dz i z z C ∫+++2314，C ：4=z ，正向；（2）dz z iC ∫+122，C ：61=−z ，正向；（3）,cos 213dz z zC C C ∫+= 1C ：2=z ，正向，2C ：3=z ，负向；（4）dz i z C ∫−1，C 为以i 56,21±±为顶点的正向菱形；（5）()dz a z eC z∫−3；其中a 为1≠a 的任何复数，C ：1=z ，正向.9. 设C 为不经过a 与a −的简单正向闭曲线，a 为不等于0的任何复数，试就a 与a −跟C 的各种不同位置，计算积分dz a z zC ∫−22的值.第三章复习题1.单项选择题.（1）设C 为θi e z =，θ从2π−到2π的一段，则=∫Cdz z （）.A ．i B.2i C ．-2i D.- i（2）设C 是从0=z 到i z +=1的直线段，则=∫Cdz z （）.A ．1+i B.21i+ C ．i e4π− D. ie 4π（3）设C 为θi e z =，θ从0到π的一段，则=∫Czdz arg （）.A ．i 2−−π B. π− C ．i 2+π D. i 2−π（4）设C 为t i z )1(−=，t 从1到0的一段，则=∫Cdz z （）.A ．1 B.-1 C ．i D.- i（5）设C 为1=z 的上半部分逆时针方向，则=−∫Cdz z )1(（）.A ．2i B.2 C ．-2i D.- 2（6）设C 为θi e z 21=，正向，则=−∫C z dz e e zsin （）.A ．sin1 B.e i 1sin 2π C ．e i 1sin 2π− D.0（7）=++∫=dz z z z 12221（）.A ．i π2 B.i π2− C ．0 D.π2 （8）设C 为沿抛物线12−=x y 从()0,1−到()0,1的弧度，则=+∫C dz z )1sin(（）.A ．0 B.2cos − C ．12cos − D. 12cos − （9）=++∫=+dz z z e z z 232)1(232（）. A ．0 B.i π32C ．i π2 D. i π2−（10）=++∫=dz z z zz 121682cos π（）A ．0 B.i π C ．i π− D. i π2.（11）=+∫=dz z zz 221（）.A ．0 B.i π2 C ．i π2− D. i π（12）=∫=dz z e z z12（）.A ．i π2 B. i π C ．0 D. π （13）1322z z z e dz ==∫（）.A ．i π2 B. i π16 C ．i π8 D. i π4 2.计算()∫Γ−=dz z z e I z12，其中Γ是圆环域：221≤≤z 的边界.3.（1）证明：当C 为任何不经过原点的闭曲线时，则;012=∫dz zC（2）沿怎样的简单闭曲线有;012=∫dz z C（3）沿怎样的简单闭曲线有.0112=++∫dz z z C4.设(),4ζζζπd ze zf C ∫−=其中C ：2=z ，试求()i f ，()i f −及()i f 43−的值.5.计算()22,2z Ce z I dz z =+∫其中C ：.1=z6.()()∫=−=12,ζζζdz z e z f z()1≠z ，求().z f ′第四章级数1.判别下列级数的绝对收敛性与收敛性：();11∑∞=n nni()∑∞=2;ln 2n nni();8)56(30∑∞=+n n ni().2cos 40∑∞=n n in2.求下列幂级数的收敛半径：()为正整数）；p nz n p n(,11∑∞=()∑∞=12;)!(2n nn z nn()∑∞=+0;)1(3n nnz i().41∑∞=n n n iz e π3.把下列各函数展开成z 的幂级数，并指出它们的收敛半径： ();1113z +();)1(1223z +();cos 32z();4shz();5chz().sin 622z e z4.求下列各函数在指定点0z 处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径： ();1,1110=+−z z z()();110,10,1122<−<<<−z z z z()()(),2113−−z z;21,110+∞<−<<−<z z()()为中心的圆环域内；在以i z i z z =−,142第四章复习题1.单项选择题：()().112的收敛半径为幂级数∑∞=n nin z e0.A 1.B 2.C ∞.D()()∑∞=1.1sin 2n nnz n 的收敛半径为幂级数0.A 1.B e C . ∞.D()()()∑∞=−1.13n n n z i 的收敛半径为幂级数1.A 21.B 2.C 21.D()()()∑∞=+12.434n n n z i 的收敛半径为幂级数5.A 51.B 5.C 51.D ()()∑∞=1.!5n nn z n 的收敛半径为幂级数1.A ∞.B 0.C e D .()()∑∞−∞=−=>=n nne a z za z z.,0,6721则设!71.A !71.−B !91.C !91.−D()∑∞==−10,2.2n nn z z a 收敛，能否在幂级数 .3发散而在=z().1.32的和函数求n n z n n ∑∞=−.0cos 1.40处的泰勒展开式在求=−∫z d zζζζ上的罗朗展开在求函数11sin .512>−∫=ζζζζz d z .式第五章留数1.判断下列函数奇点的类型，如果是极点，指出它的阶数：()();11122+z z();sin 23z z();11323+−−z z z()();1ln 4zz +();511−z e()().1162−z e z()..2在有限奇点处的留数求下列各函数z f();2112zz z −+();1242z e z −()();113224++zz();cos 4zz();11cos5z−().1sin 62zz3.计算下列各积分（利用留数，圆周均取正向）.();sin 123∫=z dz z z()();12222dz z e z z∫=−()();,cos 1323为整数m dz z zz m∫=−();tan 43∫=z zdz π().521111∫=−−z z dz ze点？并是下列各函数的什么奇判断∞=z .4.的留数求出在∞();121z e();sin cos 2z z −().3232zz+()[]的值，如果：求∞,Re 5.z f s()();112−=z ez f z()()()().41124−+=z z z z f6.计算下列各积分，C 为正向圆周：()()()∫=++Cz C dz zzz ;3:,211342215().2:,1213=+∫z C dz e z z zC7.计算下列积分：();sin 351120θθπd ∫+()();0,cos sin 2202>>+∫b a d b a θθθπ()()∫+∞∞−+;11322dx x()∫+∞∞−++.54cos 42dx x x x第五章复习题1.单项选择题：()().1sin101的是函数zz = 本性奇点.A 可去奇点.B 一级奇点.C 非孤立奇点.D()().0,1cos Re 2=z z s0.A 1.B 21.C 21.−D()()()().,11Re 32=+−i z i z s 4.i A 4.i B − 41.C 41.−D()().0,1Re 44=−−z e s z !31.A !31.−B !41.C !41.−D()()()∫=−=+21.,15z n n n dz z z 为正整数0.A i B π2. i n C π2. niD π2.()()∫=−=11.6z zz dz zei e A 1.−π i B π2. i e C 12.−π i D π2.−()()∫==−25.117z dz z 0.A i B π2. i C π25. i D π52.2.判断zz e 1+的孤立奇点的类型，并求其留数.3.计算n dz z z z n,1cos 1∫=是正整数.4.计算积分∫=−+114.1z z dz5.计算积分∫+πθθ20.cos 2d6.计算∫+∞+04.11dx x7.计算∫+∞+02.42cos dx x x复变函数总复习题一、单项选择题：(1) 函数z w ln =在i e z =处的值为（）. (k 为整数)A. ()i k 12+πB. ()i k π12+C. i k π2D. i k π+212(2) 设积分路径C 为从原点到i +2的直线段, 则积分()=∫Cydz .A. 21i− B. 21i +C. i +1D. i −1(3) 1=z 是函数1ln 2−z z的( ).A. 可去奇点B. 极点C. 本性奇点D. 非孤立奇点 (4) 设()33iy x z f −=, 则()z f 在复平面上( ).Ａ. 处处可导 B. 仅在0=z 处解析 C. 处处不可导 D. 仅在0=z 处可导(5) ()()=−∫=−dz z e z iz211221. A.21i+ B. i +1 C. ()i e i +−12π D. 2π−(6) 函数21z e z+以∞=z 为( ).Ａ. 可去奇点 B. 极点 C. 本性奇点 D. 解析点(7) 0=z 是ze z 111−−的( ).Ａ. 可去奇点 B. 极点 C. 本性奇点 D. 解析点(8) 由2121>−z 与2123>−i z 所确定的点集是( ).A. 开集、非区域Ｂ. 单连通区域 C. 多连通区域 D. 闭区域(9) ()=+−∫=dz z z z z z 122sin cos 1. A. 0 B. i π2 C. i π D. i π3二、填空题：1. =i e π9 .2.=+∫=dz z z 12121. 3. 设()()z z z f Im =, 则()=′0f .4. 级数()()()∑∞=+−+−0124121n n nz n 的收敛范围为 .5. 函数z 211−在+∞<<z 21内的罗朗展式为 . 6.()=−∫=dz z z 12 .7. 级数()∑∑∞=∞=+−12121n n n n n nn z z 的收敛范围是 .8. ()2236z z z z z f ++−=, ()()=∞,Re z f s .9. =−1,1sin Re z z s ;=−1,11sin Re z z s .三、解答下列各题:1. 已知()(),21i i z −+= 求()Re z .2. 求2122lim 1z zz z z z →+−−−.3. 讨论()2z z f =在0=z 处的可导性及解析性.4. 讨论()()yx i x y x z f 322322−++−−=的解析性, 并求出在解析点处的导数.5. 计算()12CIi z dz =+−∫, 其中C 为连接01=z , 12=z 和i z +=13, 从1z 至2z 至3z 的折线段.6. 将z 2sin 展开为z 的幂级数.7. 求级数()n n nn z n 214302+++∑∞=的收敛圆, 并讨论在47−=z 和49−=z 处的收敛性.8. 求()242−=z z z f 在3<z 内所有留数之和.9. 求函数z cot 在它所有有限孤立奇点处的留数.10. 求()()222aze zf ibz+=在ai −处的留数,(a , b 为实数).11. 计算积分()()dz z e z zI z z∫=−+−=232189.12. 计算积分dz z z I z ∫=++=2365112.13. 计算积分dz z z I z ∫=+−=22211.14. 计算积分dz z z e i I z z∫=++=2241221π.15. 计算积分()dx axx I ∫∞++=02222, ()0>a .四、证明题:1. 证明()=≠+=0,00,22z z yx xyz f 在0=z 处不连续.2. 证明0→z 时, 函数()()22Re zz z f =的极限不存在.第二篇积分变换1. 设() >≤=1,01,1t t t f , 试算出()ωF , 并推证:>=<=∫∞+1,01,41,2cos sin 0t t t d t ππωωωω. (提示()t f 为偶函数)2. 求矩形脉冲函数()≤≤=其它,00,τt A t f 的傅氏变换.3. 求()><−=1,01,1222t t t t f 的傅氏积分. 4. 求()2sin tt f = 的拉氏变换.5. 求()≥<≤−<≤=4,042,120,3t t t t f 的拉氏变换.6. 求下列函数的拉氏逆变换:(1) ()221as s F +=;(2) ()441a s s F −=答案第一章：,2295,135.3,13Im ,5.3Re )1.(1=+−=−=−=z i z z z ).(,23arctan ,10||,31,3Im ,1Re )2();(,)12()726arctan(arg Z k k Argz z i z z z Z k k z ∈+−==+=−==∈++=ππ.11,1.2==y x().2,1,0,2)2(;16316)1.(43275.06=−−+k ei k iπ5..31,2,31i i −−+7.（1）以z =5为圆心，6为半径的圆；（2）以z =-2i 为圆心，1为半径的圆周及圆周的外部；（3）i 和i 两点的连线的中垂线. 8.（1）圆环形闭区域，有界；（2）中心在,1517−=z 半径为158的圆周的外部区域，无界. 9．xy =1。

《复变函数》试题及参考答案

《复变函数》在线作业参考资料一、单选题1、设则（C ）ABCD2、当iiz −+=11时，5075100z z z ++的值等于（B ） A i B i − C 1 D 1−3、若，则双边幂级数的收敛域为(A)A B C D4、复数)2(tan πθπθ<<−=i z 的三角表示式是（D ）A )]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i B )]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i C )]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++−iD )]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++−i5、设为复数，则方程的解是（B ）A B C D6、若z 为非零复数，则22z z −与z z 2的关系是（C ）A z z z z 222≥−B z z z z 222=−C z z z z 222≤−D 不能比较大小 7、下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（B ）A BC D8、设y x ,为实数，yi x z yi x z +−=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（B ）A 圆B 椭圆C 双曲线D 抛物线 9、关于圆周的对称点是(C)ABCD10、一个向量顺时针旋转3π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31−，则原向量对应的复数是（A ）A 2B i 31+C i −3D i +311、积分( B)A0 B C10 D12、使得22z z =成立的复数z 是（D ）A 不存在的B 唯一的C 纯虚数D 实数13、设复数满足那么（A ）A B C D14、在复平面上(A)A 无可导点B 有可导点，但不解析C 有可导点，且在可导点集上解析D 处处解析15、方程232=−+i z 所代表的曲线是（C ）A 中心为i 32−，半径为2的圆周B 中心为i 32+−，半径为２的圆周C 中心为i 32+−，半径为2的圆周D 中心为i 32−，半径为２的圆周16、函数在点处是(B)A 解析的B 可导的C 不可导的D 既不解析也不可导17、00)Im()Im(lim0z z z z x x −−→（D ）A 等于iB 等于i −C 等于0D 不存在18、函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（C ）A ),(y x u 在),(00y x 处连续B ),(y x v 在),(00y x 处连续C ),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续D ),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续19、设为解析函数的级零点，那么(A)ABCD20、设C z ∈且1=z ，则函数zz z z f 1)(2+−=的最小值为（A ）A 3−B 2−C 1−D 1 21、积分(C)A0 B C D22、设为函数的级极点，那么(C)A5 B4 C3D223、设为负向，正向，则(B)AB0 CD24、幂级数在内的和函数为(A)A B C D25、设函数在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有个，那么(C)A1 B2 C3 D426、设在区域内解析，为内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于.如果在上的值为2，那么对内任一点(C)A等于0 B等于1 C等于2 D不能确定27、设函数的泰勒展开式为，那么幂级数的收敛半径(C)A B1 C D28、设是复数，则(C)A在复平面上处处解析 B的模为C一般是多值函数 D的辐角为的辐角的倍29、满足不等式的所有点构成的集合是（D）A有界区域 B无界区域 C有界闭区域D无界闭区域30、下列级数中，绝对收敛的级数为(D)A B C D31、设，则( A)A2 B C D32.、设为正向圆周，则(C)A B C0 D33、是函数的(D)A可去奇点B一级极点C一级零点 D本性奇点34、分式线性变换将区域:映射为(D)A BC D35、下列命题中，正确的是(C) A 设在区域内均为的共轭调和函数，则必有B 解析函数的实部是虚部的共轭调和函数C 若在区域内解析，则为内的调和函数D 以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数36、函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的(B) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既非充分条件也非必要条件 37、下列命题中，正确的是(D) A 设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy xB 若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导C 若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析 D 若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析 38、下列函数中，为解析函数的是(C)A xyi y x 222−−B xyi x +2C )2()1(222x x y i y x +−+−D 33iy x + 39、若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f −++−+=在复平面内处处解析，那么实常数=a (C)A 0B 1C 2D 2−40、如果)(z f ′在单位圆1<z 内处处为零，且1)0(−=f ，那么在1<z 内≡)(z f (C)A 0B 1C 1−D 任意常数41、设函数)(z f 在区域D 内有定义，则下列命题中，正确的是(C)A 若)(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数B 若))(Re(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数C 若)(z f 与)(z f 在D 内解析，则)(z f 在D 内是一常数 D 若)(arg z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 42、设22)(iy x z f +=，则=+′)1(i f (A) A 2 B i 2 C i +1 D i 22+43、ii 的主值为(D)A 0B 1C 2πe D 2π−e43、ze 在复平面上(A)A 无可导点B 有可导点，但不解析C 有可导点，且在可导点集上解析D 处处解析 44、设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是(C) A )(z f 在复平面上处处解析 B )(z f 以π2为周期 C 2)(iziz e e z f −−= D )(z f 是无界的45、设α为任意实数，则α1(D)A 无定义B 等于1C 是复数，其实部等于1D 是复数，其模等于1 46、下列数中，为实数的是(B)A 3)1(i − B i cos C i ln D i e23π−47、设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+∫cdz iy x )(2(D)A i 6561−B i 6561+−C i 6561−−D i 6561+ 48、设c 为不经过点1与1−的正向简单闭曲线，则dz z z zc∫+−2)1)(1(为(D)A 2iπ B 2i π− C 0 D(A)(B)(C)都有可能二、判断题1、如果是的可去奇点，则一定存在且等于零（错）2、若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析(错）3、若函数是区域内的解析函数，则它在内有任意阶导数（对）4、有界整函数必在整个复平面为常数（对）5、若在区域内解析，则||也在内解析（错）6、若}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛（对）7、是一个有界函数（错）8、若函数在处解析，则在满足Cauchy-Riemann 条件（对）9、有界整函数必为常数（对）10、若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）（对）11、如果函数为整函数，且存在实数，使得，则为一常数（错）12、若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点（对）13、若与在内解析，且在内一小弧段上相等，则（对）14、若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点（对）15、若函数在处解析，则它在该点的某个领域内可以展开为幂级数（对）16、（错）17、若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数(错）18、若函数是区域内的单叶函数，则（对）19、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续（对） 20、若函数在解析，则在的某个邻域内可导（对）21、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续（对）22、若，则为的n 阶零点（错）23、若在单连通区域内解析，则对内任一简单闭曲线都有（对）24、若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析(错） 25、若在区域内解析,则对内任一简单闭曲线（错）26、存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f (错）27、若函数是非常的整函数，则必是有界函数（错）28、若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数（对）29、若函数在区域内的解析，且在内某一条曲线上恒为常数，则在区域内恒为常数（对）30、若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析(错）31、设函数是有界区域内的非常数的解析函数，且在闭域上连续，则存在，使得对任意的，有（对）32、如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f （对）33、与在复平面内有界（错）34、若0z是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f （对）35、若是的一级极点，则（对）36、若f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件（对） 37、当复数时，其模为零，辐角也为零（错）38、若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析(错）39、如果是的极点，则一定存在且等于无穷大（对）40、函数z sin 与z cos 在整个复平面内有界(错）41、若收敛，则与都收敛（对）42、设函数与在区域内解析，且在内的一小段弧上相等，则对任意的，有（对）43、一定不存在（对）44、若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数. （对） 45、若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数.（对）46、若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析.（对） 47、若函数f (z )在z 0可导，则它在该点解析.（错） 48、设函数)(z f 在复平面上解析，若它有界，则必)(z f 为常数.（对）49、若函数()f z 在0z 解析，则()f z 在0z 的某个领域内可导.（对） 50、如果0z 是()f z 的本性奇点，则0lim ()z z f z →一定不存在.（对）51、若函数()f z 是区域D 内解析，并且()0()f z z D ′≠∀∈，则()f z 是区域D 的单叶函数.（错）52、如果函数()f z 在1z ≤内解析，则11max{()}max{()}.z z f z f z ≤==（对）。

《复变函数与积分变换》习题册

第一章复数与复变函数本章知识点和基本要求掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算；熟悉复平面、模与辐角的概念；熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式；了解区域的概念；理解复变函数的概念；理解复变函数的极限和连续的概念。

一、填空题1、若等式))(()75(i y i x i i -+=-成立，则=x ______, =y _______.2、设(12)(35)13i x i y i ++-=-，则x = ，y =3、若1231izi i，则z4、若(3)(25)2i i zi，则Re z5、若421iz i i+=-+，则z = 6、设(2)(2)z i i =+-+，则arg z =7复数1z i =-的三角表示式为，指数表示式为。

8、复数i z 212--=的三角表示式为 _________________，指数表示式为_________________.9、设i z 21=,i z -=12，则)(21z z Arg = _ _____.10、设4i e 2z π=,则Rez=____________. Im()z = 。

z11、.方程0273=+z 的根为_________________________________.12、一曲线的复数方程是2z i -=，则此曲线的直角坐标方程为。

13、方程3)Im(=-z i 表示的曲线是__________________________. 14、复变函数12+-=z z w 的实部=),(y x u _________,虚部=),(y x v _________.15、不等式114z z -++<所表示的区域是曲线的内部。

16二、判断题（正确打√，错误打⨯）1、复数7613i i +>+. ( )2、若z 为纯虚数，则z z ≠. ( )3、若 a 为实常数，则a a = （）4、复数0的辐角为0.5、()f z u iv =+在000iy x z +=点连续的充分必要条件是(,),(,)u x y v x y 在00(,)x y 点连续。

复变函数作业答案

2 ，0 r
i
3． 6 z
24 xy 2 z 3 6 y 2 z 。
j
+ (3xz 2 1)
F
( z 3 4 xy )
+ (6 y 2 x 2 )
k
则 F =0 ，故存在函数
u
，使
d u = ( z 3 4 xy )dx (6 y 2 x 2 )dy (3xz 2 1)dz 0 ,即微分方程的解为 u( x, y , z ) c, c 为常数五．势函数 u 向量势为 G
1 = 1 ( 1 ) ( 1)n 1 nz 2 n 2 ， R 1 ； 2 2 2 (1 z ) 2z 1 z n1
2 1 (1i ) z 2 22 n 2 n z 2 2． e sin z = (e e (1i ) z ) sin z ，R ； 2i 4 n 0 n!
2
3
3 0 0 2 0 1 sin 2 3 cos 2 1
四． 4a ，
2
五．
1 4 a 4
向量分析与场论作业 2 一． 1. 二．1.
x2 y2 z ;
b 三． 10 3
2. 0;
3. |grad u |.
四． 1 ( 2 e 4 )
3
五．1． u 1 3
六．
f ( z ) 连续 u, v 连续 f ( z ) 连续，
复变函数论作业 3 一．1．全平面，二． 1． b 三． (2) (0,0), (
f ( z ) 3z 2 2i ； 2． 1， 3,3 ； 3． cos x cosh y i sin x sinh y

复变函数习题.doc

《复变函数》考试试题(十二)
一、判断题。(正确者在括号内打J,错误者在括号内打X,每题2分)
1.设复数Z[ =*+，>]及z? = X? + i%，若工1=花或)'1=)2，则称Z|与之2是相等的复数。
( )
2.函数/(z) = Rez在复平面上处处可微。()
3.sin2z + cos2z = 1且sinz < I, cosz < 1 o ( )
连续解析分支在z = l-i处之值。（10分）
2.求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶），并求它们留数。（15分）
7 n 7
（1） f（z） = =y的各解析分支在Z = 1各有怎样的孤立奇点，并求这些点的留数（1。分）z~ -1
3.计算下列积分。（15分）
Lf(z)dz =.
4 .设z = o为.「(z)的极点，则lim /(z) =.z->a
2
7.级数l + z2+ z4+ z64-的收敛半径为。
8.coshz在z\<n(〃为正整数)内零点的个数为c
9.若z=。为函数/*(z)的一个本质奇点，且在点。的充分小的邻域内不为零，则z = a是
奇点。
10.设。为函数/'(z)的〃阶极点，则Res '⑵二
Z* /(2)
三、计算题（50分）
1.设区域。是沿正实轴割开的z平面，求函数wK在。内满足条件心=-1的单值
5.设/(z) = zsinz,则z = 0是/(z)的阶零点.
6.设/(z) = —则f(z)在z = 0的邻域内的泰勒展式为.
l + z~
7 .设z-q + z + q=Z?,其中ci,b为正常数，则点z的轨迹曲线是

复变函数与积分变换习题册(含答案)

第1章复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为。

2、k 为任意整数，则34+k 的值为。

3、复数i i (1)-的指数形式为。

4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划） 1、2121z z z z +=+ （）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （）3、()()i i i 125432+=++ （）三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（）（A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（）。

(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。

复变函数及积分变换习题册

一、填空题1、若等式))(()75(i y i x i i -+=-成立，则=x ______, =y _______.2、设(12)(35)13i x i y i ++-=-，则x = ，y =3、若1231izi i，则z4、若(3)(25)2i i zi，则Re z5、若421iz i i+=-+，则z =6、设(2)(2)z i i =+-+，则arg z =7复数1z i =-的三角表示式为，指数表示式为。

8、复数i z 212--=的三角表示式为 _________________，指数表示式为_________________.9、设i z 21=,i z -=12，则)(21z z Arg = _ _____. 10、设4i e 2z π=,则Rez=____________. Im()z = 。

z11、.方程0273=+z 的根为_________________________________.12、一曲线的复数方程是2z i -=，则此曲线的直角坐标方程为。

13、方程3)Im(=-z i 表示的曲线是__________________________. 14、复变函数12+-=z z w 的实部=),(y x u _________,虚部=),(y x v _________. 15、不等式114z z -++<所表示的区域是曲线的部。

(完整word版)《复变函数》考试试题与答案各种总结

《复变函数》考试试题（一）一、判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（）二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()(1)f z z z =-在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（一）参考答案一．判断题1．×2．√ ３．√ ４．√ ５．√ 6．√ ７．×８．×９．×10．× 二．填空题 1. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩； 2. 1； 3. 2k π，()k z ∈； 4. z i =±； 5. 16. 整函数；7. ξ；8. 1(1)!n -； 9. 0； 10. ∞.三．计算题.1. 解因为01,z << 所以01z <<111()(1)(2)12(1)2f z z z z z ==-----001()22nn n n z z ∞∞===-∑∑.2. 解因为22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z z ππππ→→=+===--, 22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z zππππ→-→-=--===-. 所以22212(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-==+=⎰. 3. 解令2()371ϕλλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内, ()()2()c f z dz i z z ϕλπϕλ==-⎰.所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i πϕππ=+''+==+=-+. 4. 解令z a bi =+, 则 222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a bi a bw z z a b a b a b -+-+==-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z bz a b -=+++. 四. 证明题.1. 证明设在D 内()f z C =.令2222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则.两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)0(2)x x yy uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为00x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨-=⎩. 消去x u 得, 22()0x u v v +=. 1) 若220u v +=, 则 ()0f z = 为常数.2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =. 所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数).所以12()f z c ic =+为常数. 2. 证明()(1)f z z z =-的支点为0,1z =. 于是割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角增加π. 所以()(1)f z z z =-的幅角共增加2π. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2π, 故2(1)22i f e i π-==.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f .( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（二）参考答案一. 判断题.1．√ ２．×３．√ ４．√ ５．×6．×７．×８．√ ９．×10．×. 二. 填空题1.1，2π-， i ； 2. 3(1sin 2)i +-； 3. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩； 4. 1； 5. 1m -. 6. 2k i π，()k z ∈. 7. 0； 8. i ±； 9. R ； 10. 0. 三. 计算题1. 解 3212163300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞∞==--==++∑∑.2. 解令i z re θ=. 则22(),(0,1)k if z z rek θπ+===.又因为在正实轴去正实值，所以0k =.所以4()if i eπ=.3. 单位圆的右半圆周为i z e θ=, 22ππθ-≤≤.所以22222ii i iz dz de ei ππθθππ---===⎰⎰.4. 解dz z zz ⎰=-22)2(sin π2)(sin 2ππ='=z z i 2cos 2ππ==z zi =0.四. 证明题.1. 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-. (12,c c 为实常数). 令12(,),(,)u x y c v x y c ==-. 则0x y y x u v u v ====. 即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析. (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-, 因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-.比较等式两边得 0x y y x u v u v ====. 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数.2. 即要证“任一 n 次方程 101100(0)n n n n a z a z a z a a --++⋅⋅⋅++=≠ 有且只有 n 个根”.证明令1011()0nn n n f z a z a z a z a --=++⋅⋅⋅++=, 取10max ,1n a a R a ⎧⎫+⋅⋅⋅+⎪⎪>⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 当z 在:C z R =上时, 有 111110()()n n nn n n z a R a R a a a R a R ϕ---≤+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+<.()f z =.由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++⋅⋅⋅++= 与 00na z = 有相同个数的根. 而 00na z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =. 因此n 次方程在z R <内有n 个根.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （） 8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

复变函数大作业

axis square;
grid on
问题验证：
1、选定入射角度为30度，入射点不同时
入射点为(0.3, 0.6)经过40次反射后matlab仿真结果：
入射点为(0.5, 0.2)反射40次后matlab仿真结果：
入射点为(0.1, 0.7)反射40次后matlab仿真结果：
2、入射点为(0.6, 0.4)，入射角不同时
cla reset %清空之前绘制的坐标
figure(1); %绘制x, y轴坐标系
ezplot('x^2+y^2=1'); %画出单位圆
hold on; %维持当前图像
plot(x,y,'*'); %入射点的坐标
in = sprintf('(%.2f,%.2f)',x,y);
text(x,y,in);
组员：17020310047陈建恒，17020310051胡伟津
复变函数大作业
问题描述：
在圆环内一点（X0,Y0）处有一条光线入射，圆环半径R。
推导该光线经过m次反射后方向的公式。
伴随（X0,Y0）的不同，分析按照相同方向入射的光线反射有什么特点？
给定相同（X0,Y0），分析按照不同的方向射出的光线反射方向有什么特点？
%对入射点，出射点进行初始化，out表示反射点，in表示入射点
if angle==0 %反射角为0度
out_y = y;
in_y = out_y;
in_x = -sqrt(1-y^2);
out_x = -in_x;
elseif angle==180 %反射角为180度
in_y = y;
out_y = y;
in_x = out_x; %原来的反射点变为新的入射点

《复变函数》练习题册

第一章1. 设,43,5521i z i z +−=−=求21z z 与21z z . 参考答案：i 515721−−=z z ，i 515721+−=z z2.iii z −−−=131求()().,Im ,Re z z z z参考答案：()().25,21Im ,23Re =−==z z z z3. （1）证明：().Re 2212121z z z z z z =+ （2）证明：11Re()();Im()()22zz z z z z i=+=+4. 求下列复数的辐角主值、三角表示式、指数表示式123456781,1,1,1,2023,,1,z z z z z z i z z i=+==−+=−===−=−参考答案：1234567822arg ,arg ,arg ,arg ,3333arg 0,arg,arg ,arg 22z z z z z z z z πππππππ==−==−====−23i cossin221cos sin 12cos sin 233ii i i e i e i e πππππππππ=+=−=+= ++=，，，5 求i z 212−−=的三角表示式。

参考答案：−=−−=65sin 65cos4212ππi i z6. 求下列复数z 的实部与虚部，共轭复数，模与辐角()()821112432i i i i−++，参考答案：()()()()()()3arctan arg ,10z i 31,3Im ,1Re i,i 4i 4.32arctan arg ,131z i 132133,132Im ,133Re i 2311218−==+=−==+−−==+=−==+z z z z z z z z ，，，7.求下列各式的值(幂)()()()()361121i ++ ())53i − 参考答案：()()()())365511i 8i 21855(3)2(cos()sin())66i ππ+=−+=−−=−+−，8.求下列各式的值（方根）((12()()1331i −参考答案：((1601234522441cossin ,0,1,2,3.442221cos()sin(),0,1,2,3,4,5.661111,,,,,2222k k i k k k i k w i w i w i w i w i w i ππππππππ+++=+++=+=+−=−−()()130********cos sin ,0,1,2.337755cos sin ,cossin ,cos sin 1212121244k k i i kw i w i w i ππππππππππ−+−+ −=+=−++第二章1研究函数()()()22,2,z z h yi x z g z z f =+==和的解析性。

复变函数目标检测练习册答案10页

复变函数目标检测练习册答案练习一一．1．12．2，)(24Z k k ∈+ππ，4π 3．1，6π 4．54sin 54cos ππi z +=，54πi e5．)611sin 611(cos 2ππi +，6112πi e二．（1）πϕ≤<0= 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=+)22sin()22cos(2sin 2)2cos 2(sin 2sin ϕπϕπϕϕϕϕi i 为三角形式z=2sin 2ϕ)22(ϕπ-i e 为指数形式argz ＝22ϕπ-（2）2πϕπ-<<-三角形式为z=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--)223sin()223cos(2sin2ϕπϕπϕi 指数形式为z=)223(2sin 2ϕπϕ--i eargz=)22(ϕπ+-三．根据共轭复数的形式 2z z x +=, 2z z y -=, z z z y x ==+222 令i c b 22+=α 四．（1）1))(1())(1(=--+++iy x i iy x i21=-y x 直线（2）4222222=+++-+---+y ix iy x y ix iy x y x9)1()2(22=++-y x 以（2，－1）为圆心，3为半径的圆五．（1）21212221212121212212))((z z z z z z z z z z z z z z z z --=+--=--=- 同理 32322322z z z z z z --=- 同理 12121-=+z z z z ，13131-=+z z z z∴ 3231232221=-=-=-z z z z z z 即 3313221=-=-=-z z z z z z（2）24322143214321)(0z z z z z z z z z z z z +=+⇒+-=+⇒=+++ 同理 4132z z z z -=-若上式全不为0，则为一矩形若上式有一式为0，则两两重合练习二一．1．－4；2.32sin32cosππππk i k +++ （k ＝0，1，2）；3.{}{}{}21;21;21==><<<z z z z z z z z 或或；4.区域，无界二．（1）i 2321+- （2）324sin 324cos ππππk i k +++ （k ＝0，1，2）三．)3,2(2-z )1,4(4z 四．25123≤⇒≥--x z z 闭区域无界五． 012=++x x ∴ 10)1)(1(32=⇒=++-x x x x ∴ 29211x x x x ==x xx x ==67 13=x ∴ 0123711=++=++x x x x x练习三一．1．C 2.C 3.A 4.B 5.A二．22222222)(y x y x zz z z z z z z z f +-=+=+= 沿 kx y = 2222222201)1(222lim k k x k x x k x x +-=+-→ 与k 有关所以 )(z f 的极限不存在三．z1=ω (1) y=x (2) x=1(3) 1)1(22=+-y x 四．关键在于讨论分界点z=01)1(lim lim )(lim 222202200+=+=+=→=→→k kx k kx y x xy z f x kx y z z 与k 有关所以)(lim 0z f z →不存在则f(z)在z=0处不连续当0≠z 时，f(z)连续五．xyb t bt e y bt e x iy x bt i bt e e e z at at at ibt at t arctan 1sin ,cos )sin (cos =⇒==⇒+=+===+αxyatc b a ey x tan 222=+练习四一．1．C 2.A 3.B 4.C 5.C 二．b=p=-3,a=1三．1.f(z)在i z ±≠处可导，解析。

复变函数习题一.doc

第一章复数与复变函数一、判断题(1)若C为实常数，则C = 3 (2)若Z为纯虚数，则Z尹初(3) i <2i；(4)零的辐角是零；(5)仅存在一个数z，使得+ = —各；(6) \z l + z2\ = i2i| + («2| j1一—-(7)= \z i(8)平面点集z = 2是单联通区域。

(9)如果z不是实数，则argz = -argz »二、选择题cos(—^) + z sin(—1.当々=——j -------------- ,一时，z~2009 + z2357 + z~256 + z74的值等于( )cos(—4)+ i sin(—勿)(A)i(B) -i(C) 0 (D) 12.一个复数乘以-I,则( )(A)复数的模不变，辐角减少兀/2。

(B)复数的模不变，辐角增加兀/2。

(C)复数的模增加，辐角减少K/2。

(D)复数的模减少，辐角增加兀/2。

7T 5TT3.设复数z 滴足arc(z + 2) = —, arc(z - 2)=——，那么z=( )3 6(A) -1 + V3z (B) -V3 + z (C) —z (D) - —+ -z2 2 2 24.复数z = tan 0 -i (—<0的三角表示式是( )2jr 冗 3 yr 3?r(A) secQ[cos(—+ 0) + i sin(— +。

)] (B) sec^[cos(——+ 0) + i sin(——+ 0)]2 2 2 23勿勿7T(C)一secQ[cos(——+ Q) + /sin(——+。

)] (D) 一secQ[cos(— + Q) + lsin(—+。

)]2 2 2 2(C) — i (D) V3 + i 7.设Z 为复数，则方2% -z =i[(2…=4一3,•的解是(Z1------ F —1 5 5_6_ 17. 乙~5— 536.Z]=— ----—5 56 _ _ 1 17.知 ---- r —L5 5 (B )3 6.寸一g6 17.Z 2 = --------------125 53 6. 寸V&=-里虬25 58. 方程|z + 2-3i| = V2所代表的曲线是 (A)中心为2 — 31,半径为yl~2,的圆周(B)中心为—2 + 3，，半径为2的圆(A) 2 (B) 1+妨5.设x,y 实数，Zi = x + ^6 + yi,z 2 =x-4^ + yi 且有= 2 ,则动点(x,y)的轨迹是()(A)圆 (B)椭圆(C)双曲线 (D)抛物线IT6.. 一个向量顺时针旋转#,向右平移3个单位，再向下平移1个单位后对应的复数为3 1-屈，则原向量对应的复数是()(C)中心为— 2 + 3，，半径为的圆周 (D)中心为2 — 3，，半径为2的圆周9.下列方程所表示的平面点集中，为有界区域的是()(A)>2(B) |z + 3| - |z - 3| > 4 (C) 1 < Rez < 2, Imz = 0(D)成++ 万z+ 0万一c > 0 (c > 0)10,设zeC 且|z|<l,。

复变函数综合练习题.doc

(B) -2x + 2yi (D) -2y-(B)0 (D) 20K i 一、单项选择题1.若 f(z) = x 2 -y 2 +2xyi ,则 f'(z)=().(A) -2y + 2yi(C) 2x + 2yir 10z 9 ' / 、2- J 7^dz=()T (A) it i 1 复变函数综合练习题3. /(Z ) = 3Z 8 -7Z 5 -2Z + 1 在|Z |<1 内有().(A) 8个零点 (B) 5个零点(C)4个零点 (D) 3个零点4. 将G:|z-l|<3映射为阳<1的映射是().z z — 1(A) w = — (B) w = ----3 3z +1 z — 1(C) w = ; (D) w = —5. 若w = Lnz ,则在有限点中()是其支点.(A)兀(B) i (C) 0 (D) 1二、填空题(本题共15分，每小题3分)1. 若y(z)在点。

，则称点。

为y(z)的奇点.2. 若 p>2 ,则 N(8, p) = (z ： _____ }.3. 若/(z) = sinz ,则 j/(z)dz =.国=i4. 设点力为函数/'(z)的孤立奇点，若/'(z)在点力的主要部分,则称点力为 f(z)的本性奇点.5. 若函数w=/(z)在区域G 内解析，则它在导数的点处是保角的.三、计算题(本题共50分，第1、2小题各7分，第3、4、5小题各12分) 1. 计算 L n(l + i).2. 计算 |sini|.3. 试将/(z)=— 在点z = 0展成幕级数.1+Z4. 设u = x + e x cosy ,试求解析函数 f(z) = u + iv ，使得u = x + e x cosy ,且 /(0) = l.5. 计算积分坪三dx.J_8 r +9四、证明题(本题共20分，每小题10分)1. 设/(Z ) = Z 3+4Z 2+4Z ,试证点z = —2为f(z)的二级零点.2. 试证：若f(z)在复平面上解析，且有界，则/'(z)必为常数.复变函数课程样卷一、单项选择题(本题共15分，每小题3分)1.若 /(z) = x 2 - y 2 + 2xyi,则广⑵=().(A) -2y + 2yi(B) -2x + 2yi (C) 2x + 2yi (D) -2y-2yi(A) Ji i(B) 0 (C) &(D) 20JT i 3. /(z) = 3z 8 -7z 9 10 11 12 -2z + l 在 |z|<l 内有().(A) 8个零点(B) 5个零点 (C) 4个零点 (D) 3个零点 4.将 G: z-1< 3映射为w < 1的映射是()z z-1 (A) w =- (B) w- 3 3 z z-1 (C) w- ；(D) M'- 5 5 5 .若 w = Lnz , 则在有限点中()是其支点.(A)兀(B) i (C) 0(D) 1 二、填空题(本题共15分，每小题3分)4. 设 u = x + e A cos v ,试求解析函数 /(z) = u + iv ,使得" = x+e''cosy,且 /(0) = l-9 设点力为函数/'(z)的孤立奇点，若/'(z)在点力的主要部分,则称点力为 f(z)的本性奇点.10 若函数叫=f(z)在区域G 内解析，则它在导数的点处是保角的.三、计算题(本题共50分，第1、2小题各7分，第3、4、5小题各12分) 1. 计算 Ln(l + i).2. 计算 |sini|.3. 试将/(z)=— 在点z = 0展成幕级数.1 + z1.若/'(z)在点",则称点。

复变函数作业纸.doc

复变函数作业纸.doc(1)3 + 2/(3)l-2z 2-i3 — 4, 57 习题1复数与复变函数1.求下列复数的实部、虚部、共侧复数、模以及辐角:(2)2.将下列复数化为三角表示式和指数表示式:(1)一1 +病(2) l-cosQ + isin。

3.求下列各式的值: ⑴呻(2) (V3-O20154.设z = x +，y.将方程|z| + Rez = l表示为关于x,)，的二元方程，并说明它是何种曲线.5.设/为实参数，求曲线Z = M"+3(0<r<2^)的直角坐标方程.< p="">6.若复数Z] , z2满足Z] V 1 , Z? V 1 ,证明 z 2 —Z x = Z 2 — z 3 = Z3 — Z]7.如果复数Z] ,Z 9 Z3满足等式二至—Z3一 z 3 - z, z 2并说明这些等式的儿何意义。

8 .试用复数乘法的儿何意义证明三角形内角之和等于;T.习题2解析函数1.填空：■f a(1)、已知/(z) = u + iv是解析函数，其中u = —ln(x2 + y2),则一^ = _________2 dy(2)^ 设/(z) = %3-3xy2 + (ajcy-y3)i在z平面上解析，则《/ =。

(3)、若/(z) = w + iv是复平面上的解析函数，则f'(z) = ____________ 尸- --------------------------- °(4)、对数函数W = lnz的解析区域为。

(5)Z JZ(—2) =、In(—2) = .2.利用导数定义推出：(Z〃)' = "Z〃T,3.下列函数何处可导？何处解析?(1 )> /(z) = 2x3 + 3y3i(2)> /(z) = xy2 +ix2y4?设叫寸+似2)+心3+女,2)为解析函数，试确I’m,"定的值5.求下列各式的值并给出它们的主值:(1)、L〃(一i).6.求下列函数的值:(2)、pl [ )4-171 / ](3)、3’(5)^ ?i(6)、? 1 +，)7.解下列方程：(1 )> k=l + V3z(2)、ri 0 z =习题3复变函数的积分1. 分别沿y = x 与)，=疽算出积分f"(x 2 + iy)dz o2. 计算下列积分，其中C 为正向圆周。

国开复变函数形考任务.docx

・单项选择题题目1还未回答满分3未标记标记题目题干若zl二(a, b), z2= (c, d),则选择一项:A.(ac+bd,a)B.(ac-bd,b)C.(ac-bd,bd+ad)D.(ac+bd,bd-ad)题目2还未回答满分3未标记标记题目题干若R>0,则N (a, R) ={z：( 选择一项:zl • z2= ( )o )}oA.I Z I <RB.0< I Z [ <RC.R< | Z I <+°°D.I z | >R题目3还未回答满分3更多试题及答案+扣二九七九一三九六八四未标记标记题目题干若z二x+iy,贝lj y=( )。

选择一项：A.B.C.D.题目4还未冋答满分3未标记标记题目题干若，则丨A丨二( )o选择一项:A.3B.0C.1D.2二、填空题（如果通过附件上传答案，请在答题输入框中，输入“见附件”字样）题目5还未回答满分3未标记标记题目题干若z二x+iy, w=z2=u+iv,贝ij v=复平面上满足Rez=4的点集为称为区域。

满分3未标记标记题目题干设zO=xO+iyO, zn=xn+iyn (n=l, 2,…)，则｛zn｝以zO 为极限的充分必要条件是= 且= 。

.三、计算题(要求写出解题过程，如果通过附件上传答案，请在答题输入框中，输入“见附件”字样)题目9还未回答满分10未标记标记题目题干求复数-1-i的实部、虚部、模与主辐角.写出复数-i的三角式.若f (z) =x2-y2+2xyi,贝！J=( )。

选择一项：A.2x-2y-2yiB.2xC.2yD.2x+2yi题目2还未冋答满分3未标记标记题目题干若f (z) =u (x, y) +iv (x, y),则柯西一黎曼条件为( )。

选择一项：A.B.C.D.题目3还未回答满分3未标记标记题目题干若f (z) =z+l,则f (z)在复平面上( )。

选择一项：A.在z=0不解析且在zHO解析B.处处解析C.仅在点z=0解析D.无处解析题目4还未回答满分3未标记标记题目题干若f (z)在复平面解析，g (z)在复平面上连续，则f (z) +g (z) 在复平面上()。

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(1)3 + 2/(3)l-2z 2-i3 — 4, 57 习题1复数与复变函数1.求下列复数的实部、虚部、共侧复数、模以及辐角:(2)2.将下列复数化为三角表示式和指数表示式:(1)一1 +病(2) l-cosQ + isin。

3.求下列各式的值: ⑴呻(2) (V3-O20154.设z = x +，y.将方程|z| + Rez = l表示为关于x,)，的二元方程，并说明它是何种曲线.5.设/为实参数，求曲线Z = M"+3(0<r<2^)的直角坐标方程.6.若复数Z] , z2满足Z] V 1 , Z? V 1 ,证明 z 2 —Z x = Z 2 — z 3 = Z3 — Z]7.如果复数Z] ,Z 9 Z3满足等式二至—Z3一 z 3 - z, z 2并说明这些等式的儿何意义。

(3)、若/(z) = w + iv是复平面上的解析函数，则f'(z) = ____________ 尸- --------------------------- °(4)、对数函数W = lnz的解析区域为。

(5)Z JZ(—2) =、In(—2) = .2.利用导数定义推出：(Z〃)' = "Z〃T,3.下列函数何处可导？何处解析?(1 )> /(z) = 2x3 + 3y3i(2)> /(z) = xy2 +ix2y4•设叫寸+似2)+心3+女,2)为解析函数，试确I’m,"定的值5.求下列各式的值并给出它们的主值:(1)、L〃(一i).6.求下列函数的值:(2)、pl [ )4-171 / ](3)、3’(5)^ «i(6)、® 1 +，)7.解下列方程：(1 )> k=l + V3z(2)、ri 0 z =习题3复变函数的积分1. 分别沿y = x 与)，=疽算出积分f"(x 2 + iy)dz o2. 计算下列积分，其中C 为正向圆周。

(3)、其中 C: z-1 =1；J Z 2-2r 2z — 1(4)、｛ ------- dz ,其中 C ：\z =2 o Jz(z-l)1(1)、 dz ! z 2 +4 其中C: Z =1； (2)COS Z % Z +，dz ,其中 C: z + 3z| = 1(3)、3. 计算下列积分sirr zdz,(2) ^ [ zsin zdz Jo4. 计算下列积分，其中C 为正向圆周。

(1)、f ——dz,其中 C: z =1； { z-2.71 sin —z(2)、f 己 4 dz,其中 C:|z + l| = l ；C Z —1r5z 2-3z + 2 j ] ------- ;一dz J (Z-1)3 其中C: z =2；5.设G和。

2是两条互不相交又互不包含的正向简单闭曲线，Z。

为不在曲线G和上的一个点，计算积分J 7 — 7C2乙乙（）6.设加=件其中。

涸=3,求/\1+ /)•c g _ Z7.验证下列各函数为调和函数，并根据已知条件求解解析函数/(z) = z/ + vi (1 )、u = y3 -3x2y, f(i) = l + i(2)、u = (x-y)(x2 + 4xy4- y2)习题4级数1 .判断下列级数的绝对收敛性与收敛性：00(1)、X-〃=1 〃⑵、onn=\ &2.求下列慕级数的收敛半径:00 巴(1)、» ” z〃 n=\8 7⑵、(1)、(1 + Z)2, Z°=0(2)、目，z°=0 1-Z(3)、，Z Q = 2 (l + z)(2+z)3.求下列各函数在指定点z°处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径:4.把下列各函数在指定的圆环域内展开成洛朗级数: (1)、—!——，0 < z < 1; 0 < z -11 < 1Z(l — Z)2 1(2)--------------- 、—，在以i为中心的圆环域内z2(z-i)5.如果C为正向圆周z=3,通过将下列函数/(z)在合适的区域内展开成级数来计算积分ff(z)dz 的值。

(1)、f(z) =z + 2(z + l)z⑵、f(z) =Z(Z + V(1)(2)]Z3 - z2 - z + \ (2)1 + z4(1 + z2)3习题5留数1.下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出它们的级: sin z(3)2.求下列各函数在有限点处的留数.(1)—(3) cos ------1 - Z 3.利用留数计算下列各积分（圆周均取正向）(1) 4 --------------------dz£(z — 1)(z + 4)4(2) . 2血山（Z-l ）2/c 、 f 1— COSZ j j “ 遂业心、(3) l --------------- d z,(其中〃z 为整数) J1士2 Z5计算下列各积分，C 为正向圆周 z 15(1)、 4 —5 ----- y --------- dz |2^(z 2+1)2(z 4+2)34.求下列各函数在无穷远点处的留数Res[/・(z),oo].1)f(z) =(2) /(z)z(z + l)4(z — 4)(2)> I ——e z dz 山1 + Z(1)、(3)、6. 计算下列枳分 ,2/r IB 2 0--------- de &任瑚 ° a+bs 0C xsinx - -clx 1 + X (2)、 * 1+疽A. vv z + 1 z + 1 C.w = -----1.单项选择题(1)、把点z = — 1分别映射为点w=oo, —1,0的分式线性映射为(R i(z + l) B. w = 1 - z八 '(z —1) D. vv =— ----------------------------------------- z + 1(2) 、映射w = 2z + z 2在点z 0 =l + z 处的伸缩率为() A. 2A /5B. 3V SC. 2V2D. 5V2(3) 、卬二小把带形区域0 <Imzv2〃映射成W 平面上的() A.上半复平面B.整个复平面C.割去负实轴及原点的复平面D.割去正实轴及原点的复平面2z(4) 、线性变换布二——( ) 1 + Z A 、将上半平面Imz > 0映射为上半平面Im w> 0B 、将上半平面lmz> 0映射为单位圆|vv|<lC 、将单位圆|z|<l 映射为上半平面Imvv>0D 、将单位圆|z| vl 映射为单位圆|w|<l2.填空题(1) 、线性映射vv=z 是关于的对称变换.(2) 、映射w = |是关于的对称变换. Z习题63.设D为Z平面上的扇形区域0 v argz<-,|z |v 1.求下列保角映射：3 (1)辎=f x (z)把。

映射为肉平面的上半单位圆盘Q；(2)/2(w,)把"映射为W平而上的第一象限；(3)w=f(z)把。

映射为W平面上的第一象限.4.设。

是Z平面上的带形区域：lvRe(z)vl + ”，求下列保角映射：(1)= /,(z)把。

映射为出平面的带形区域R： OvRe(叫)V》；(2)吗=人(坷)把。

］映射成抽平面上的带形区域。

2: 0 < Imvr2< 7T ；(3)吗=£(吗)把映射成W平面上的上半平面。

3： Imw〉0；(4)综合以上三步，求把。

映射成Z)3的保角映射w=/(z).习题1 Fourier变换一、填空：1、若f（t）为无穷次可微的函数，贝=2、F ［如）］=,F 0QT°）］ =,F ［1］ =,F ［卿］=.3、F ［/（r±r0）J= （位移性质）F ［./（，）］ = （微分性质）fl-/2 r2<i二、求函数/（，）= （、的Fourier积分0 r2 >1三、求函数f （t） = e~ftt（/? > 0,Z > 0）的Fourier正弦积分表达式和Fourier余弦积分表达式。

A 0 < Z < r四、求矩形脉冲函数/（♦） = < 0 其q 的Fourier变换五、已知某函数的Fourier变换为g（w） = 40（叫+%） + 5（叫一％）］,求该函数fQ）。

六、求函数f (/) = —0(，+。

) + 8{t — Cl) + 8(t 4—) + 8(t)］的Fourier 变换七、求下列函数的Fourier变换:（1）＞fO ei z t；(2)、fO 序渤t九、若/&) =(3) 、gQ) = $(，)+ 2g + 3$"Q)八、若F(w)=F [/(Z)],利用Fourier 变换的性质求下列函数的Fourier 变换:(2)、g() & >(j2)子sinr 0<r<— 八〜、「/、 2 , 求 / (0*^(0 其它十、求函数f(t) = sin w o t - w(r)的Fourier 变换卜一、利用Fourier变换，解下列积分、微分方程: r+8 ii t（1）、I 的 8 诚’ = --------Jo t(2)、x r0 4-叔〃e铲一"t -oo< <+oo习题2 Laplace变换一、填空：1、L 0（，）］=；L ［邪］=；L ［/］ =；L ［si 妞目2、L ［渺］=； L ［f（t-T）4.（延迟性质）3、L LfQ）］=；L =（微分性质）二、求下列函数的Laplace变换：（1）、.知）=广⑵、f（t） =『(3)、fO牛(4)> fO 0 0击黄一t •(1)、1s2 +4(2)、F(s) =——s +3(3)、F(5)=s + 3 (s + l)(s —3)三、求下列函数的Laplace变换:(1)、fOt=^-Q(3)、fO & - t四、求下列函数的Laplace逆变换:(2)、五、求下列卷积:(1)、t*t (3)、n G*六、求下列函数的Laplace 逆变换:(2) ^ F(s) = 2s+ 1 S(S + 1)(5 + 2) (3)、 F(s)=/+5?+4七、求下列常系数微分方程的解:(1)、y f^=e夕顶&(2)、W+4，+$N %通拿1'=(3)、#一劣心=Qf 0>2^ =八、求变系数微分方程ty n + V + 4(y = 0, y(0) = 3, /(0) = 0的解:。