复变函数作业纸.doc

(1)

3 + 2/

(3)

l-2z 2-i

3 — 4, 57 习题1复数与复变函数

1.求下列复数的实部、虚部、共侧复数、模以及辐角:

(2)

2.将下列复数化为三角表示式和指数表示式:

(1)一1 +病

(2) l-cosQ + isin。

3.求下列各式的值: ⑴呻

(2) (V3-O2015

4.设z = x +，y.将方程|z| + Rez = l表示为关于x,)，的二元方程，并说明它是何种曲线.

5.设/为实参数，求曲线Z = M"+3(0

6.若复数Z] , z2满足Z] V 1 , Z? V 1 ,

证明 z 2 —Z x = Z 2 — z 3 = Z3 — Z]

7.如果复数Z] ,Z 9 Z3满足等式 二至—Z3

一 z 3 - z, z 2

并说明这些等式的儿何意义。 8 .试用复数乘法的儿何意义证明三角形内角之和等于;T.

习题2解析函数

1.填空：

■f a

(1)、已知/(z) = u + iv是解析函数，其中u = —ln(x2 + y2),则一^ = _________

2 dy

(2)^ 设/(z) = %3-3xy2 + (ajcy-y3)i在z平面上解析，则《/ =。

(3)、若/(z) = w + iv是复平面上的解析函数，则f'(z) = ____________ 尸

- --------------------------- °

(4)、对数函数W = lnz的解析区域为。

(5)Z JZ(—2) =、In(—2) = .

2.利用导数定义推出：(Z〃)' = "Z〃T,

3.下列函数何处可导？何处解析?

(1 )> /(z) = 2x3 + 3y3i

(2)> /(z) = xy2 +ix2y

4•设叫寸+似2)+心3+女,2)为解析函数，试确I’m,"定的值

5.求下列各式的值并给出它们的主值:

(1)、L〃(一i).

6.求下列函数的值:

(2)、pl [ )4-171 / ]

(3)、3’

(5)^ «i

(6)、® 1 +，)

7.解下列方程：(1 )> k=l + V3z

(2)、ri 0 z =

习题3复变函数的积分

1. 分别沿y = x 与)，=疽算出积分f"(x 2 + iy)dz o

2. 计算下列积分，其中C 为正向圆周。

(3)、其中 C: z-1 =1；

J Z 2-2

r 2z — 1

(4)、｛ ------- dz ,其中 C ：\z =2 o Jz(z-l)

1(1)、 dz ! z 2 +4 其中C: Z =1； (2)COS Z % Z +，

dz ,其中 C: z + 3z| = 1

(3)、

3. 计算下列积分

sirr zdz,

(2) ^ [ zsin zdz Jo

4. 计算下列积分，其中C 为正向圆周。

(1)、f ——dz,其中 C: z =1； { z-2

.71 sin —z

(2)、f 己 4 dz,其中 C:|z + l| = l ；

C Z —1

r5z 2-3z + 2 j ] ------- ;一dz J (Z-1)3 其中C: z =2；

5.设G和。2是两条互不相交又互不包含的正向简单闭曲线，Z。为不在曲线G和上的一个点，计算积分

J 7 — 7

C2乙乙（）

6.设加=件其中。涸=3,求/\1+ /)•

c g _ Z

7.验证下列各函数为调和函数，并根据已知条件求解解析函数/(z) = z/ + vi (1 )、u = y3 -3x2y, f(i) = l + i

(2)、u = (x-y)(x2 + 4xy4- y2)

习题4级数1 .判断下列级数的绝对收敛性与收敛性：

00

(1)、X-

〃=1 〃

⑵、

on

n=\ &

2.求下列慕级数的收敛半径:

00 巴

(1)、» ” z〃 n=\

8 7

⑵、

(1)

、

(1 + Z)2, Z°=0

(2)、目，z°=0 1-Z

(3)、

，Z Q = 2 (l + z)(2+z)

3.求下列各函数在指定点z°处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径:

4.把下列各函数在指定的圆环域内展开成洛朗级数: (1)、—!——，0 < z < 1; 0 < z -11 < 1

Z(l — Z)2 1

(2)--------------- 、—，在以i为中心的圆环域内

z2(z-i)

5.如果C为正向圆周z=3,通过将下列函数/(z)在合适的区域内展开成级数来计算积分ff(z)dz 的值。

(1)、f(z) =

z + 2

(z + l)z

⑵、f(z) =

Z(Z + V

(1)

(2)

]

Z3 - z2 - z + \ (2)

1 + z4

(1 + z2)3习题5留数

1.下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出它们的级: sin z

(3)

2.求下列各函数在有限点处的留数.

(1)—