第十一章 在险价值

S
其中f是期权的价值，S是基本标的证券的价值。 dS 令： dx ， S 近似地，我们有：df dS S dx 对于存在着多个基本标的市场变量时，类似地有
df Si i dxi
其中 i Si i 。
i
VaR P N (1 X %) T

M
i 1 Si2 i 2
则公式（11.9）可表示成一种更一般的形式：
df i dxi i dxi2
i 1 i 1
M
M
■ 对待有关非线性证券问题的有效办法是对基本标的证券价格的随机行 为采用模拟方法，然后运用估价公式或算法来推导整个投资组合变动的 分布。 ■ 缺点：运算非常慢。
在下面的情况下达到极端值：
S dt
一个明显的结论是正的Gamma对一个投资组合是好的，而负的Gamma是不好的。具有一个正 的Gamma下侧是有限的，但是具有一个负的Gamma则上侧是有限的。
■ 考虑一个基于单个资产的期权组合，设该资产价格为S，投资组合的Delt为， Gamma为 。对投资组合价值变化运用Taylor展开式，我们有：
VaR S T day N (1 X％) T
我们采用的是实际漂移率，而不是风险中性下的漂移率。
而第i个资产和第j个资产之间的相关系数是ij 该投资组合价值一天的变动为：
S ■ 设投资组合由M个资产组成。第i个资产的价值为 i ，波动率是 ，
i
(其中
ii
=1)。因此，
P i xi
i 1
M
其中 xi 为第i个资产一天的价值变动率 xi Si / Si ，而i Si 为常数。
根据统计学的标准结论，投资组合的方差为：
i j i j ij
2 P j 1 i 1 2 i M M
2 i j i j ij
2.33 year S
1 52
如果时间期限是T（以天为单位），而要求的置信度是X％，我们有：
VaR -S day N (1 X％) T
其中 S day N (1 X％) 为单位股票日收益率在险价值(DEaR）； day 为股票收 益率的日波动率（标准差）。
■ 在(11.2)中我们假定股票的收益率具有均值为零的正态分布。 零均值的假定对很短时间期限是有效的，但对于较长的时间期限，收益 率以时间的比例量向右移。对于较长的时间度量，表达式(11.2)应该考 虑对资产价值的漂移加以修正。如果这个漂移率为μ ，那么(11.2)式变 成：
■ 注意的问题 1、VaR不是万能的，它主要针对的是 金融市场风险。 2、VaR是在假定正态分布的市场环境 中计算出来的，这意味着不考虑像市 场崩盘这类极端的市场条件。因此， VaR度量的是机构日常经营期间预期 能够发生的情况。 3、VaR的计算至少需要下列数据：投 资组合中所有资产的现价和波动率以 及它们相互之间的相关关系。通常， 假定投资组合构成的变动是随机的并 服从正态分布。
j 1 i 1 i j i
M
M
Fra Baidu bibliotek
j
ij
■ 对于基本标的证券价格的微小移动，Delta近似值是令人满意的。而对于较大的变动，更 高阶的近似可以达到更好的效果，这就要将Gamma效应或凸性效应结合进去。 假如我们的投资组合由一个股票的期权组成。基本标的证券价格的变动 dS 与期权价值变动 df 之间的关系是： 2
合管理的时间则可能选取为一个月）可能发生的最大（价值）损失。
VaR是对可能实现的价值损失的一种估计, 而不只是一种“账面”损 失估计。
例：假设一个基金经理希望在接下来的10天时间内，以95%概率保 证其所管理的基金价值损失不超过$1,000,000。则我们可以将其写作：
Pr ob(V -$1,000,000) 5% 其中 为投资组合价值的变动。用符合表示： V
大多数金融机构在内部风险管理中选用95％至99％之间的某一置信 度；而国际清算银行对监管资本计算所规定的置信度为99％。
■ VaR的特点 1、它用一个单一的数字捕捉住了风险的 一个重要方面； 2、它容易理解； 3、它询问简单的问题：“情况究竟有多糟糕”? ■ VaR的应用 1、被动式地应用：信息报告。 2、防御式地应用：控制风险。 3、积极式地应用：管理风险。 ■ VaR的应用机构 1、金融机构 2、监管机构 3、非金融机构 4、机构投资者
■ 从图11.5中我们可以看到用 Delta/Gamma 近似得到的分布远非一个正态分布。
图11.5 期权Delta近似分布、期权Delta/Gamma近似分布与标的证券分布的对照 df 由于表达式 (11.7) 是 的一个二次方程， 必须满足下列约束条件： 2 2 df 如果 0 或 df 2 如果 0 2
11.1 11.1.1 11.1.2 11.1.3 11.2 11.2.1 11.2.2 11.3 11.3.1 11.3.2 11.4 11.4.1 11.4.2 11.4.3 11.4.4 11.4.5 11.5 11.6 11.7 11.7.1 11.7. 2 11.8 11.8.1 11.8.2
■ 历史模拟的步骤为： 1、建立一个数年所有市场变量的日变动数据库。 2、第一次模拟是假设每个市场变量的波动率与数据库覆盖时段的 第一天的相应变量的波动率相同。 3、第二次模拟则假设各市场变量的波动率与数据库覆盖时段的第 二天相应变量的波动率相同。 4、依此类推，每次模拟就可以计算出一个投资组合的 df 样本值。
在险价值的定义 掌握 在险价值的定义 选择合适的VaR参数 了解 VaR的使用 了解 单一资产的在险价值计算 波动率换算 掌握 单个资产在险价值（VaR）的计算 掌握 投资组合的在险价值计算 线性模型 线性模型的适用范围了解 衍生工具的在险价值 掌握 Delta近似 Delta-Gamma近似 掌握 二次方程模型 掌握 估计模型的运用 了解 固定收益投资组合 了解 掌握 蒙特卡罗模拟 历史模拟 掌握 压力测试和回溯测试 了解 压力测试 回溯测试 了解 风险度量术（RiskMetrics） 掌握 风险度量术对参数的计算 资产流映射 掌握
（11.6）
1、股票的投资组合；2、债券的投资组合； 3、外汇的投资组合；4、商品实物的投资组合； 5、外汇远期合约的投资组合；6、利率互换和货币互换的投资合； 7、由上述工具共同构成的投资组合。 对远期和互换这两种情况该如何理解？
■ 考虑一个由单一的标的证券S的衍生证券组成的投资组合， f ，
■ 置信度X% 在计算VaR中通常使用的置信度是95％、97.5％或99％。如果我们 选用的是95％，如图11.1所示（横轴表示投资组合价值变化范围， 而纵轴表示变化发生的概率），就是要在图中找到如向下箭头表示 的位置，该位置使得价值变化的95％落在右边而5％落在左边，这 个位置上的横轴数值就是VaR的值。
它可写作：
df S dt S 1 2 S 2 2 dt 2
对于一阶项，期权的随机价值只是基本标的证券价值的一种简单比例关系。对于二阶项，由于S 的确定性漂移率和期权的Theta， df 存在一个确定性的漂移率。然而，更重要的是Gamma效应引 S的随机成分是非线性的。 入了一项，使
df f f f 2 dS 1 2 dS dt 2 S S t
由于我们假定
dS Sdt S dt
其中取自一个标准正态分布。这样我们有
2 f f f 1 f df S dt S 2 2 2 S 2 2 dt S S t S
■ 在险价值（VaR）是按某一确定的置信度，对某一给定的时间
期限内不利的市场变动可能造成投资组合的最大损失的一种估计。
■ 通俗地说，VaR是要在给定的置信度（典型的置信度为95％、 97.5％、99％等等）下衡量给定的资产或负债（即投资组合）在一段 给定的时间内（针对交易活动的时间可能选取为一天，而针对投资组
df f 1 2 f 1 2 dS dS dS dS 2 2 S 2 S 2
dS S 1 df S dx S 2dx 2 2
设：
dx
公式可表示成：
将上式扩展到包括M个市场变量的投资组合的情况，则公式变成：
1 M 2 Si i dxi2 2 i 1 i 1 其中 S i 是第i种市场变量的价值， i 和i 是第i种市场变量的Delta和Gamma值。 设： i Si i df Si i dxi
其中 为置信度，在上述的例子中是95%。 X% VaR询问的问题是： 我们有X%的信心在接下来的T个交易日中损失 程度将不会超过多大的
Pr ob(V -VaR) 1 X %
要使用VaR就必须选择定义中的两个参数——时间长度T和置 信度X%。 ■ 时间长度 在选择合适的时间长度参数时必须考虑下列三个主要因素： 1、新交易发生的频率。 2、收集市场风险数据的频率。 3、对风险头寸套期保值（对冲）的频率。 在金融机构中，内部VaR的计算最常选用1天的时间期限。国际清 算银行规定的作为计算银行监管资本的VaR的时间期限为10天。
i 1 2 i i j
M
（11.5）
M M
投资组合的VaR是：
VaR P N (1 X %) P T N (1 X %) T

j 1 i 1 i j i
j
ij
VaR VaR VaR
i 1 2 i i j i
M
j
ij
■ 在期权定价中我们将波动率表示 成年波动率 year ，在计算VaR中，我们将 波动率表达成日波动率 day 或周波动率
week
。它们之间的关系是：
year day 252
week day 5
year week 52
■ 假设我们持有某一股票，其价值为S，年波动率为σ 。我们想要知道在 接下来一个星期内具有99%确定性的最大可能损失是多少。假定股票收益 率是正态分布的。由于时间期限非常短, 我们可以合理地假定均值为零。 我们必须计算出对应1%=(100-99)%分布最左边的尾部位置。 N (x)=0.01 ，其中N () 为标准正态分布的累计函数。设 N () 为 N () 的逆函 数，则 x N (0.01) 2.3263 ，我们得到99%置信度对应于均值的2.33 个标准差。既然我们持有价值为S的股票，VaR被确定为：
■ 当资产或投资组合依赖于利率时，通常将每个工具的到期 收益率视为是正态分布的变量。 ■ 价格与到期收益率变动之间的关系通过久期（和高阶凸性） 联系在一起的。固定收益资产可以视为到期收益率的一种衍生 证券。
■ VaR的估计采用久期代替Delta（和凸性代替Gamma）的做法。
■ 蒙特卡罗模拟是使用随机数产生收益率及/或资产价格的一个分布。 ■ 该技术也可应用在VaR中:使用取自正态分布的随机数 来建立将来情景的一个 分布。对于这些情景中的每一分布运用某种定价方法计算投资组合的价值（基本 标的资产和其期权的价值），然后直接估计它的VaR。 ■ 以前面的公式（11.10）为例，我们假定投资组合价值变化 df 与基本标的价格 变化率 dxi 之间存在（11.10）的关系。如果我们希望计算一天的VaR值，蒙特卡 罗模拟的步骤为： 1、利用当天市场各变量现值计算投资组合的价值。 2、从 dxi 的多变量正态概率分布中进行抽样。 3、用抽样得到的 dxi 值模拟计算下一日各市场变量的价值。 4、利用这些模拟的市场变量价值，根据公式（11.10）就可计算得到 df 的一个 样本值。 5、不断重复第二步到第四步，就能得到 df 的模拟概率分布。 VaR值就是这个 df 概率分布的一个合适的分位数。