2016-2017学年天津市宝坻一中、静海一中五校联考高三上学期期末数学试卷(理科)含答案
天津市六校(静海一中、杨村一中、宝坻一中等)高三数学
第（3）题2017～2018学年度第一学期期末六校联考高三数学（理）试卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目涂写在答题卡上。
2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．（1）若集合{}{}22,R ,230,R x A y y x B x x x x ==∈=-->∈，那么R A B （）ð=（ ）.（A ）(]3,0 （B ）[]3,1- （C ）()+∞,3（D ）()()0,13,-+∞（2）已知实数y x ,满足11y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤，≤，≥，则目标函数12--=y x z 的最大值为（ ）.（A ）3-（B ）21（C ）4（D ）5（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出S 的值为（ ）.（A ）64 （B ）73 （C ）512 （D ）585（4）设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“2212a a <”是“数列{}n a 为递增数列”的（ ）. （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （5）已知双曲线 与抛物线x y 42=共焦点，双曲线与抛物线的一公共点到抛物线准线的距离为2，双曲线的离心率为 ，则22b e -的值是（ ）. （A1（B）2e)0,(12222>=-b a b ya x第（12）题（C ）4-（D ）4（6）已知函数2()2cos f x x x =-，则f ,13(log 2)f ,2(log 3)f 的大小关系是（ ）.（A ）)2(log 31f <)3(log 2f <)2(2f（B ）)2(log 31f <)2(2f <)3(log 2f（C ）)3(log 2f <)2(log 31f <)2(2f（D ）)2(2f <)3(log 2f <)2(log 31f（7）已知O 是ABC △的外心，10,6==AC AB ，若AC y AB x AO +=，且5102=+y x )0(≠x ，则ABC △的面积为（ ）.（A ）24（B（C ）18（D ）220（8）已知函数211)(--+=x x x f ，函数1)(2+-=x ax x g ．若函数)()(x g x f y -=恰好有2个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ）． （A ）),0(+∞（B ）),2()0,(+∞-∞（C ）),1()21,(+∞--∞（D ）)1,0()0,( -∞二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题纸相应位置上． （9）在复平面内，复数2)21(1i ii+++的共轭复数对应的点位于第______象限． （10）直线l 的参数方程为为参数），，t t y t x (33⎩⎨⎧=-=.以直角坐标系xOy 中的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为03cos 42=+-θρρ（ρ＞0，02θπ≤<），则圆心C 到直线l 的距离为______. （11）已知二项式nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+3的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中x 的系数等于______． （12）圆柱被一个平面截去一部分后与半径为r 的半球拼接组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为1620π+，则r =______.（13）在锐角ABC △中，c b a ,,分别为角C B A ,,所对的边，且A c a sin 23=，c ＝7，且ABC △，则b a +=______． （14）设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的R ∈x ，有2()()f x f x x -+=，且在(0,)+∞上()f x x '>，若(2)()22f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围为______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分13分）已知函数21()cos cos 2f x x x x =++. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期，并求当[,]62x ππ∈时，函数()f x 的值域；（Ⅱ）当[,]62x ππ∈时，若8()5f x =，求()12f x π-的值.（16）（本小题满分13分）已知盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． （Ⅰ）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率；（Ⅱ）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为321,,x x x ，随机变量X 表示321,,x x x 中的最大数，求X 的概率分布和数学期望)(X E ．（17）（本小题满分13分）如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为菱形，60=∠ABC ，侧面PAB 是边长为2的正三角形，侧面PAB ⊥底面ABCD ．（Ⅰ）设AB 的中点为Q ，求证：PQ ⊥底面ABCD ； （Ⅱ）求斜线PD 与平面PBC 所成角的正弦值；（Ⅲ）在侧棱PC 上存在一点M ，使得二面角C BD M --的大小为60°，求CPCM的值．（18）（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和112(N*)2n n n S a n -⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭，数列{}n b 满足n n n a b 2=．（Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n a n c 2l og =，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+22n n c c 的前n 项和为n T ，求满足25(N*)21nT n <∈的n 的最大值．（19）（本小题满分14分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的焦距为2，且与椭圆1222=+y x 有相同离心率，直线m kx y l +=:与椭圆C 交于不同的B A ,两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若在椭圆C 上存在点Q ，满足λ=+，（O 为坐标原点），求实数λ取值范围．（20）（本小题满分14分）已知函数)1(ln )(44--=x a x x x f ，R ∈a ． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）若当1x ≥时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）()f x 的极小值为()a ϕ,当0a >时，求证：()11414104a a e e a ϕ--⎛⎫-< ⎪⎝⎭≤．（ 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底）2017～2018学年度第一学期期末六校考试高三数学（理）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．（1）A ．提示：{}{}13,0-<>=>=x x x B y y A 或（2）C ．提示： ⎩⎨⎧-==+11y y x 相交于点)1,2(-A∴41122=-+⨯=y ．（3）B ．提示： 1,1;2,9;4,7350x S x S x S ======>． （4）B ．必要而不充分条件．（5）D ．提示：由抛物线的焦点.1),0,1(22=+b a F 得到①设公共点00000(,),12,1P x y x x ∴+=∴=，代入到抛物线方程得到420=y ， 从而.14122=-b a ②由①②可得到2232a b =-=．于是11ca e a==，，224e b ∴-=． （6）A ．提示：()22cos f x x x =- 是偶函数，()22sin f x x x '=+在)2,0(π上恒大于零，所以()22cos f x x x =-在)2,0(π单调递增.∵13333(log 2)(log 2)(log 2),0log 21f f f =-=<<，21log 32<<，22,π<<∴)2(log 31f <)3(log 2f <)2(2f .（7）D ．提示：取AC 中点D ，因为O 是ABC △的外心，则AC DO ⊥.50105,=⨯==⋅+⋅=⋅∴+= .又y x +=，=⋅∴y x ⋅+)(=x +⋅=60cos 10050x A y +=．又5102=+y x ，322sin ,31cos ,2cos 6=∴==∴A A x A x ．22032210621=⨯⨯⨯=∴S ． （8）D ．提示：由2()(1)0f x ax x --+=，得2()1f x x ax +-=．2(1),()121(11),(1).x x f x x x x x x -<-⎧⎪∴+-=--≤≤⎨⎪>⎩作函数()1y f x x =+-与函数2y ax =的图象， 当0<a 时，两个函数图象恒有两个公共点； 当0=a 时, 两个函数图象仅有一个公共点； 当0>a 时，①若01a <<，此时函数2ax y =图象与函数()1y f x x =+-，有两个公共点； ②若1=a ，此时函数2ax y =图象与函数12-=x y 相切，函数2ax y =与函数()1y f x x =+-的图象仅有一个公共点；③若1a >时，此时函数2ax y =与函数()1y f x x =+-的图象无公共点． 所以∈a )1,0()0,( -∞．二、填空题：本大题6小题，每小题5分，满分30分． （9）三． 提示：i z i z 2925,2925--=+-=． （10）235．提示：圆C 和直线l 的直角坐标方程分别是22430x y x +-+=，0y -+=，则圆心C 到直线l 的距离235133332=++=d ． （11）135．提示：令1x =，由已知6164:264,6,n n rr r r n T C -+=∴==，361,2,13522r rr T x -∴-==∴=．（12）2．提示：该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，视图表示的是几何体水平放置时的情形，其表面积ππππ2016222222S 22+=+⋅+⋅+=r rr r r r ，得到2=r ．（13）52sin sin ,sin 0sin A C A A C =≠∴．又三角形是锐角三角形，∴3C π=．1sin 62S ab C ab ==∴=．再由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，有27()126a b =+--，2()25,5a b a b ∴+=+=．（14）1≤m ．提示：令()22()(),()().22x x g x f x g x f x -=--=--得到0)()(=-+x g x g ，)(x g ∴为奇函数． 又∵在(0,)+∞上()()0g x f x x ''=->，),0()(+∞∴在x g 单调递增．而由奇函数性质得到()R g x 在上单调递增.已知(2)()22f m f m m --≥-，且22(2)2222m m m --=-， 有22(2)(2)()22m m f m f m ----≥，即(2)()0g m g m --≥． ∴m m ≥-2．解得1≤m ．三、解答题：本大题6小题，满分80分． （15）本题满分13分．解：(Ⅰ)211cos 21()cos cos 22222x f x x x x x +=++=++sin(2)16x π=++ ，……………………3分 22T ππ∴==． ……………………4分 又[,]62x ππ∈，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+67,262πππx ，且()y f x =在[]62ππ，上单调递减．又1()2,()622f f ππ==，所以()f x 的值域为1[2]2，．……………………7分 (Ⅱ)由8()5f x =，则3sin(2)65x π+=． ……………………8分又7[,],2,62266x x πππππ∈≤+≤4cos(2)65x π∴+=-．……………………9分又7()sin 21sin[(2)]1.12665f x x x πππ-=+=+-+=+……………13分 （16）本题满分13分．解：(Ⅰ) 取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以2224322963153618C C C P C ++++===． …………………………4分 （Ⅱ）随机变量X 所有可能的取值为2，3，4，1261)4(4944===C C x P ； 6313)3(4916331534=+==C C C C C x P ； 于是1411)4()3(1)2(==-=-==x P x P x P ． ………………………10分 所以随机变量X因此随机变量X 的数学期望E (X )＝2×1114＋3×1363＋4×1126＝209. ………………………………13分 （17）本题满分13分．（Ⅰ）证明：∵侧面PAB 是正三角形，AB 的中点为Q ，∴AB PQ ⊥．∵侧面PAB ⊥底面ABCD ，侧面PAB底面ABCD AB =，PQ ⊂侧面PAB ，∴PQ ⊥底面ABCD ． ……………………3分 （Ⅱ）连接AC ，设A CB D O =，以O 为原点，分别以,,OB OC QP 的方向为x 轴、y 轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O -， 则)3,21,233(),3,21,23(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,0(--=--PD P D C B O ．……………………4分设平面PBC 的法向量(,,)u x y z ==0,0,1022y u BC u BP x y ⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=--+=⎪⎪⎩⎩，则(1,3,1)u =．…………6分 6sin |cos |5u PD θ=<>=……………………8分另解：可求得四棱锥的体积=2V ，三棱锥P BCD -的体积=1，PBC S =△，进而可得三棱锥D PBC-的高h =．又PD =sin 5h PD θ===． （Ⅲ）设33(,)2CM tCP t ==-，(0<t <1)，……………………9分 则M )3,123,23(t t t +-，=BM )3,123,323(t t t +--，)0,0,32(=DB ， 设平面MBD 的法向量为),,(z y x =， 由0,0=∴=⋅⇒⊥x ． 由0n MB n MB ⊥⇒⋅=， 可取z =6(0,32tn t =-．……………………11分 又平面ABCD 的法向量)1,0,0(=，2160cos ,cos ==><= nm ． 12=．解得22()5t t ==舍或 ． 所以，此时52=CP CM ． ……………………13分 （18）本题满分13分．解：（Ⅰ）在11()22n n n S a -=--+中，令n=1，可得11112S a a =--+=，即112a =．当2n ≥时，2111()22n n n S a ---=--+，∴121111()22n n n n n n n a S S a a ----=-=-+-+（），1112()2n n n a a --=+．即11221n n n n a a --=+．而n nn a b 2=， ∴11n n b b -=+．即当2n ≥时，11n n b b --=．又1121b a ==，∴数列}{n b 是首项和公差均为1的等差数列．…………………………4分 于是1(1)1=2n n n b n n a =+-⨯=，∴2n nna =． ……………………………6分 （Ⅱ）∵22log log 2n n n n c n a ===，∴22211(2)2n n c c n n n n +==-++ ． ………………8分 ∴111111111111)()()()()132435112212n T n n n n n n =+-+-++-+-=+---++++（1- ………………10分由2521n T <，得11125121221n n +--<++，即11131242n n +>++， 又∵11()12f n n n =+++单调递减，且111313(4),(5)304242f f =>=， ∴n 的最大值为4． ………………………………13分 （19）本题满分14分．解：（I ）由已知可⎪⎩⎪⎨⎧==2222ac c 解得1,12=∴⎩⎨⎧==b c a ． ………………………3分 （II ）由⎩⎨⎧=++=2222y x m kx y 得0224)21(222=-+++m kmx x k ， )21(8)22)(21(416Δ222222m k m k m k -+=-+-=∴．由直线直线l 与椭圆C 交于不同的B A ,两点，由2221,0Δm k >+∴>． ① ……………………………6分设点),y x B,y x A 2211(),(，则122212241222.12km x x km x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 当0=m 时，易知点B A ,关于原点对称，则0=λ； ……………9分 当0≠m 时，易知点B A ,不关于原点对称，则0≠λ．由OA OB OQ λ+=，得12121(),1(),Q Q x x x y y y λλ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即224,(12)2.(12)Q Q km x k m y k λλ-⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩． ……………11分 Q 点在椭圆上，∴2])21(2[2])21(4[2222=+++-k m k km λλ． ……………12分 化简得22222)21()21(4k k m +=+λ．)21(4,0212222k m k +=∴≠+λ ． ② 由①②两式可得022,42≠<<-∴<λλλ且．综上可得实数λ的取值范围是22<<-λ． ……………14分（20）本题满分14分．解：（Ⅰ）333()4ln 4f x x x x ax '=+-， …………………………………1分 则(1)14f a '=-. 又(1)0f =，所以，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(14)(1)y a x =--. …………3分 （Ⅱ）由(Ⅰ)得3()(4ln 14)f x x x a '=+-.因为4ln 14y x a =+-为增函数，所以当1x …时， 4ln 144ln11414x a a a +-+-=-…， ①当14a …时，()0f x '…，当且仅当14a =，且1x =时等号成立. 所以()f x 在[1,)+∞上为增函数.因此，当1x …时，()(1)0f x f =…. 所以，14a …满足题意． …………………………………6分 ②当14a >时，由3()(4ln 14)0f x x x a '=+-=，得1ln 4x a =-. 解得14e a x -=. 因为14a >，所以104a ->，所以104e e 1.a ->= 当14(1,e )a x -∈时，()0f x '<，因此()f x 在14(1,e)a -上为减函数. 所以当14(1,e )a x -∈时，()(1)0f x f <=，不合题意．综上所述，实数a 的取值范围是1(,]4-∞．……………………………………9分 （Ⅲ）由3()(4ln 14)0f x x x a '=+-=，得1ln 4x a =-，14e a x -=. 当14(0,e)a x -∈时，()0f x '<，()f x 为减函数；当14(e ,)a x -∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数，所以()f x 的极小值14()(e)a a f ϕ-=411e 4a a -=-． ………………………………10分 由()a ϕ'=411e 0a --=，得14a =． 当1(0,)4a ∈时，()0a ϕ'>,()a ϕ为增函数； 当1(,)4a ∈+∞时，()0a ϕ'<,()a ϕ为减函数， 所以0)41()=<ϕϕa （． …………………………………11分 而114141()(e e )4a a a ϕ----114141411e (e e )44a a a a ---=---1141e 4a a -=-． 下证：0a >时，1141e 04a a --…． 1141e 04a a --…⇔1144e a a -…⇔1ln(4)14a a -…⇔1ln(4)104a a +-…．………………12分 令1()ln(4)14r a a a =+-，则221141()44a r a a a a -'=-=. 当1(0,)4a ∈时，()0r a '<，()r a 为减函数； 当1(,)4a ∈+∞时，()0r a '>,()r a 为增函数， 所以1()()=04r a r …，即1ln(4)104a a +-…．所以1141e 04a a --…，即114141()(e e )0.4a a a ϕ----…所以114141()(e e ).4a a a ϕ---… 综上所述，要证的不等式成立． ……………………………………………14分。
天津市五区县2017届高三上学期期末考试数学(理)试题 含答案
绝密★启用前天津市部分区2016~2017学年度第一学期期末考试高三数学(理科）试卷温馨提示：使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在答题卡上;不使用答题卡的区,学生作答时请将答案写在试卷上.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第I卷1至2页,第Ⅱ卷2至4页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘帖考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题，共40分)注意事项:1．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：如果事件,A B互斥，那么()()()=+．P A B P A P B如果事件,A B相互独立，那么()()()=．P A B P A P B锥体的体积公式13V Sh =,其中S 表示锥体的底面面积,h 表示锥体的高。
柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积,h 表示柱体的高。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1）已知集合2{1,4},{|log,}A B y y x x A ===∈,则A B =（A ）{}1,4 (B ）{}0,1,4 （C ）{}0,2 (D ）{}0,1,2,4（2）设变量x ,y 满足约束条件240,330,10.x y x y x y +-⎧⎪+-⎨⎪--⎩≤≥≤则目标函数2z x y =-的最小值为（A ）165- (B)3- （C ）0 （D ）1(3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序,则输出v 的值为（A ）4 （B)5 （C)6 （D ）7（4）已知ABC ∆是钝角三角形,若2,1==BC AC ，且ABC ∆3 则=AB(A 3 （B 7(C ）22 (D ）3（5）设｛na ｝是公比为q 的等比数列，则“1q >” 是“｛na ｝为单调递增数列”的（A ）充分不必要条件 (B ）必要不充分条件(C ）充要条件 (D ）既不充分也不必要条件(6)已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的焦点到渐近线的距离为2，且双曲线的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则双曲线的方程为(A ）221164x y -=(B ）22194x y -=（C ）22149x y -=（D ）22184x y -=（7）在ABC ∆中,D 在AB 上，:1:2AD DB =，E为AC 中点，CD 、BE 相交于点P ,连结AP ．设AP xAB yAC =+,x y ∈R （），则x ,y 的值分别为 (A)11,23(B ）12,33(C)12,55(D ）11,36（8)已知2()(3)e x f x x=-（其中x ∈R ，e 是自然对数的底数），当10t >时，关于x 的方程12[()][()]0f x t f x t --=恰好有5个实数根，则实数2t 的取值范围是（A ）(2e,0)- （B ）(]2e,0- (C ）32e,6e -⎡⎤-⎣⎦ (D ）(32e,6e-⎤-⎦第Ⅱ卷（非选择题,共110分）注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2．本卷共12小题，共110分.二、填空题：本大题共有6小题,每小题5分,共30分。
2016-2017学年天津市静海一中高三(上)开学数学试卷(文科)(解析版)
2016-2017学年天津市静海一中高三（上）开学数学试卷（文科）一、选择题（共5小题，每小题4分，满分20分）1．（4分）已知全集U＝R，集合M＝{y|y＝，x∈R}，N＝{x|2x﹣1≥1，x∈R}，则M ∩（∁U N）等于（）A．[﹣2，2]B．[﹣2，1）C．[1，4]D．[0，1）2．（4分）复数z满足zi＝1+3i，则z在复平面内所对应的点的坐标是（）A．（1，﹣3）B．（﹣1，3）C．（﹣3，1）D．（3，﹣1）3．（4分）已知函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x﹣5m﹣3是幂函数且是（0，+∞）上的增函数，则m的值为（）A．2B．﹣1C．﹣1或2D．04．（4分）若a，b为实数，则“0＜a|b|＜1”是“b＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）已知定义在R上的函数f（x）＝x2+cos x，则三个数a＝f（1），b＝f（），c＝f（log2）的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b二、填空题（共8小题，每小题5分，满分40分）6．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣3ax+b的单调递减区间为（﹣1，1），其极小值为2，则f （x）的极大值是．7．（5分）函数f（x）＝，关于x的方程f（x）＝kx﹣k至少有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为．8．（5分）已知a，b都是正实数，且满足log9（9a+b）＝log3，则3a+b的最小值为．9．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC、DC上，．若，则实数λ的值为．10．（5分）在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，AB＝AD＝4，BC＝2，若P为线段CD上一点，且满足，•＝5，则|＝．11．（5分）函数f（x）＝ln（4+3x﹣x2）的单调递减区间是．12．（5分）将函数y＝2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则ω的最小值为．13．（5分）已知函数f（x）＝若函数g（x）＝a﹣|f（x）|有四个零点x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则ax1x2+的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分90分）14．（27分）利用函数的性质（如单调性与奇偶性）来解不等式是我们常用方法，通过下列题组体会此方法的适用范围及应注意什么问题？（1）已知函数f（x）＝x|x﹣2|，则不等式f（﹣x）≤f（1）的解集为．（2）已知定义在R上的奇函数f（x）在x＞0时满足f（x）＝x4，且f（x+t）≤4f（x）在x∈[1，16]恒成立，则实数t的最大值是．（3）已知函数f（x）＝，则不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的解集是．15．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足4S＝（a2+b2﹣c2）．（1）求角C的大小；（2）若1+＝，且•＝﹣8，求c的值．16．（12分）函数f（x）＝6cos2sinωx﹣3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的值域；（Ⅱ）若f（x0）＝，且x0∈（﹣），求f（x0+1）的值．17．（13分）已知函数f（x）＝x3+ax2+b的图象上一点P（1，0），且在P点处的切线与直线3x+y＝0平行．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在区间[0，t]（0＜t＜3）上的最大值和最小值；（3）在（1）的结论下，关于x的方程f（x）＝c在区间[1，3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围．18．（12分）设a∈R，函数f（x）＝lnx﹣ax．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）已知x1＝（e为自然对数的底数）和x2是函数f（x）的两个不同的零点，求a 的值并证明：x2＞．19．（14分）已知函数f（x）＝x2﹣（a+）x+lnx，其中a＞0．（Ⅰ）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处切线的方程；（Ⅱ）当a≠1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若a∈（0，），证明对任意x1，x2∈[，1]（x1≠x2），＜恒成立．2016-2017学年天津市静海一中高三（上）开学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每小题4分，满分20分）1．【解答】解：∵集合M＝{y|y＝，x∈R}＝[0，2]，∵2x﹣1≥＝1＝20，∴x≥1，∴N＝[1，+∞），∴∁R N＝（﹣∞，1），∴M∩（∁U N）＝[0，1），故选：D．2．【解答】解：∵复数z满足zi＝1+3i，∴﹣i•i•z＝﹣i（1+3i），化为z＝3﹣i．∴z在复平面内所对应的点的坐标是（3，﹣1）．故选：D．3．【解答】解：因为函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x﹣5m﹣3是幂函数，所以m2﹣m﹣1＝1，即m2﹣m﹣2＝0，解得m＝2或m＝﹣1．又因为幂函数在（0，+∞），所以﹣5m﹣3＞0，即m＜﹣，所以m＝﹣1．故选：B．4．【解答】解：由0＜a|b|＜1，∴a＞0，∴|b|＜，∴b＜．反之不成立，取a＝1，b＝﹣2，则，但是a|b|＝2＞1．∴“0＜a|b|＜1”是“b＜”的充分不必要条件，故选：A．5．【解答】解：f（x）＝x2+cos x，f′（x）＝2x﹣sin x，f″（x）＝2﹣cos x＞0，∴f′（x）在R递增，而f′（0）＝0，∴x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）递减，x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，而f（﹣x）＝x2+c0s（﹣x）＝x2+cos x＝f（x），∵＝2，log2＝﹣，∴f（log2）＝f（﹣）＝f（），∵＜1＜2，∴f（）＜f（1）＜f（2），∴c＜a＜b，故选：C．二、填空题（共8小题，每小题5分，满分40分）6．【解答】解：依题意，f（x）的单调期间为（﹣1，1），由f′（x）＝3x2﹣3a＝3，可得a＝1，由f（x）＝x3﹣3ax+b在x＝1处取得极小值2，可得1﹣3+b＝2，故b＝4．∴f（x）＝x3﹣3x+4的极大值为f（﹣1）＝（﹣1）3﹣3×（﹣1）+4＝6．故答案为：6．7．【解答】解：由f（x）＝kx﹣k至少有两个不相等的实数根，得f（x）＝k（x﹣1）至少有两个不相等的实数根，设g（x）＝k（x﹣1），则等价为f（x）与g（x）至少有两个不同的交点，作出函数f（x）的图象如图：g（x）＝k（x﹣1），过定点C（1，0），当x＞0时，f（x）＝x2﹣x的导数f′（x）＝2x﹣1，在x＝1处，f′（1）＝2﹣1＝1，当k＝1时，g（x）＝x﹣1与f（x）＝+x＝x+1平行，此时两个图象只有一个交点，不满足条件．当k＞1时，两个函数有两个不相等的实数根，当0≤k＜1时，两个函数有3个不相等的实数根，当k＜0时，当直线经过点A（﹣，）时，两个图象有两个交点，此时k（﹣﹣1）＝，即k＝﹣，当﹣＜k＜0时，两个图象有3个交点，综上要使方程f（x）＝kx﹣k至少有两个不相等的实数根，则k＞﹣且k≠1，故答案为：k≥﹣且k≠1．8．【解答】解：∵，∴9a+b＝ab，即＝1，所以，3a+b＝（3a+b）•1＝（3a+b）•（）＝3+9++≥12+2•＝12+6，当且仅当：a＝1+，b＝3（3+）时，取“＝”，即3a+b的最小值为：12+6，故答案为：12+6．9．【解答】解：∵＝+＝+，＝+＝+，∴•＝（+）（+），＝•+•+•+•，＝||•||cos120°+||•||cos0°+||•||cos0°+||•| |cos120°，＝2×2×（﹣）+×2×2×1+×2×2×1+×2×2×（﹣）＝＝1，解得λ＝﹣，故答案为：﹣．10．【解答】解：由题意可得，BC∥AD、BC＝2，AD＝4，则，所以＝，因为P为CD的中点，所以＝＝﹣λ（），因为＝＝﹣2，＝，则＝（）•（+）＝（λ+﹣2）[（1﹣λ）λ（）]＝5，又＝0，且AB＝4，BC＝2，所以λ＝；所以＝＝﹣2，|＝＝；故答案为：．11．【解答】解：函数f（x）的定义域是（﹣1，4），令u（x）＝﹣x2+3x+4＝﹣+的减区间为，∵e＞1，∴函数f（x）的单调减区间为．答案[，4）12．【解答】解：把函数y＝2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为：y＝2sin[ω（x+）﹣]＝2sin（ωx+），向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为：y＝2sin[ω（x﹣）﹣]＝2sin（ωx﹣）．∵所得的两个图象对称轴重合，∴ωx+＝ωx﹣①，或ωx+＝ωx﹣+kπ，k∈Z②．解①得ω＝0，不合题意；解②得ω＝2k，k∈Z．∴ω的最小值为2．故答案为：2．13．【解答】解：由题意，画出函数y＝|f（x）|的图象，如图所示，又函数g（x）＝a﹣|f（x）|有四个零点x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，所以0＜a≤2，且log2（﹣x1）＝﹣log2（﹣x2）＝2﹣x3＝x4﹣2，所以x1x2＝1，x3+x4＝4，所以ax1x2＝a，＝，所以ax1x2+＝a+≥2＝4，当且仅当a＝2时“＝”成立；所以ax1x2+的取值范围是[4，+∞）．故答案为：[4，+∞）．三、解答题（共6小题，满分90分）14．【解答】解：（1）由函数f（x）＝x|x﹣2|，可得f（1）＝1，由f（x）＝1，解得x＝1，或x＝1+，f（x）的图象如图所示：则由不等式f（﹣x）≤f（1），可得f（﹣x）≤1，可得﹣x≤1+，求得x≥﹣1，故答案为：[﹣1，+∞）．（2）已知定义在R上的奇函数f（x）在x＞0时满足f（x）＝x4，且f（x+t）≤4f（x）在x∈[1，16]恒成立，可得这个函数是严格单调的，而f（x+t）≤4f（x），等价于f（x+t）≤f（x）故问题等价于当x属于[1，16]时，x+t≤x恒成立，将x+t≤x变形为t≤（﹣1）x，∵x∈[1，16]，∴只需t≤（﹣1）×1＝﹣1，故t的最大值为﹣1，故答案为：﹣1．（3）已知函数f（x）＝，则由不等式f（1﹣x2）＞f（2x），可得①，或1﹣x2＜2x≤1 ②．解①求得x＞，解②求得x＜﹣1﹣或﹣1+＜x≤，综上可得，不等式的解集为{x|x＜﹣1﹣或x＞﹣1+}，故答案为：{x|x＜﹣1﹣或x＞﹣1+}．15．【解答】解：（Ⅰ）∵根据余弦定理得a2+b2﹣c2＝2ab cos C，△ABC的面积，∴由得，化简得sin C＝cos C，可得，∵0＜C＜π，∴；（Ⅱ）∵，∴＝，可得，即．∴由正弦定理得，解得，结合0＜A＜π，得A＝．∵△ABC中，，∴B＝π﹣（A+C）＝，因此，＝﹣||•||cos B＝﹣c2∵，∴﹣c2＝﹣8，解之得c＝4（舍负）．16．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得，f（x）＝3cosωx+sinωx＝2sin（ωx+），又正三角形ABC的高为2，从而BC＝4，∴函数f（x）的周期T＝4×2＝8，即＝8，ω＝，∴函数f（x）的值域为[﹣2，2]．（Ⅱ）∵f（x0）＝，由（Ⅰ）有f（x0）＝2sin（x0+）＝，即sin（x0+）＝，由，知x0+∈（﹣，），∴cos（x0+）＝＝．∴f（x0+1）＝2sin（x0++）＝2sin[（x0+）+]＝2[sin（x0+）cos+cos（x0+）sin]＝2（×+×）＝．17．【解答】解：（1）因为f′（x）＝3x2+2ax，所以曲线在P（1，0）处的切线斜率为f′（1）＝3+2a，即3+2a＝﹣3，所以a＝﹣3．又函数过（1，0）点，即﹣2+b＝0，所以b＝2．所以f（x）＝x3﹣3x2+2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）（2）由f（x）＝x3﹣3x2+2，f′（x）＝3x2﹣6x．由f′（x）＝0，得x＝0或x＝2．①当0＜t≤2时，在区间（0，t）上f′（x）＜0，f（x）在[0，t]上是减函数，所以f（x）max＝f（0）＝2，f（x）min＝f（t）＝t3﹣3t2+2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）②当2＜t＜3时，当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况见下表：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）f（x）min＝f（2）＝﹣2，f（x）max为f（0）与f（t）中较大的一个．f（t）﹣f（0）＝t3﹣3t2＝t2（t﹣3）＜0．所以f（x）max＝f（0）＝2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（3）令g（x）＝f（x）﹣c＝x3﹣3x2+2﹣c，g′（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2）．在x∈[1，2）上，g′（x）＜0；在x∈（2，3]上，g′（x）＞0．要使g（x）＝0在[1，3]上恰有两个相异的实根，则，解得﹣2＜c≤0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）18．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．求导数，得f′（x）＝﹣a＝．①若a≤0，则f′（x）＞0，f（x）是（0，+∞）上的增函数，无极值；②若a＞0，令f′（x）＝0，得x＝．当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数．∴当x＝时，f（x）有极大值，极大值为f（）＝ln﹣1＝﹣lna﹣1．综上所述，当a≤0时，f（x）的递增区间为（0，+∞），无极值；当a＞0时，f（x）的递增区间为（0，），递减区间为（，+∞），极大值为﹣lna﹣1（Ⅱ）∵x1＝是函数f（x）的零点，∴f（）＝0，即﹣a＝0，解得a＝＝．∴f（x）＝lnx﹣x．∵f（）＝﹣＞0，f（）＝﹣＜0，∴f（）•f（）＜0．由（Ⅰ）知，函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，∴函数f（x）在区间（，）上有唯一零点，因此x2＞．19．【解答】（Ⅰ）解：当a＝2时，f（x）＝，f′（x）＝，∴f′（1）＝，∵f（1）＝．∴切线方程为：y+2＝（x﹣1），整理得：x+2y+3＝0；（Ⅱ）f′（x）x﹣＝（x＞0），令f′（x）＝0，解得：x＝a或x＝．①若0＜a＜1，，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如表：）∴f（x）在区间（0，a）和（）内是增函数，在（a，）内是减函数；②若a＞1，，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如表：）∴f（x）在区间（0，）和（a，+∞）内是增函数，在（，+∞）内是减函数；（Ⅲ）∵0＜a＜，∴f（x）在[，1]内是减函数，又x1≠x2，不妨设0＜x1＜x2，则f（x1）＞f（x2），．于是等价于，即．令（x＞0），∵g′（x）＝在[，1]内是减函数，故g′（x）≤g′（）＝2﹣（a+）．从而g（x）在[，1]内是减函数，∴对任意，有g（x1）＞g（x2），即，∴当，对任意，恒成立．。
天津市五区县高三上学期期末考试数学理试题Word版含答案
（ 19）（本小题满分 14 分）
已知椭圆
x2 C : a2
y2 b2
1 (a
b
0) 的左、右焦点分别为
F1 ， F2 ，上顶点为 B ，若
BF1F2 的周长为 6 ，且点 F1 到直线 BF2 的距离为 b . （Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）设 A1, A2 是椭圆 C 长轴的两个端点，点 P 是椭圆 C 上不同于 A1, A2 的任意一点，
解：（ I）函数 f ( x) 2cos 2 x 2 3 sin xcos x a cos 2x 1 3 sin 2x a
2sin(2 x ) a 1 ， 6
故函数 f (x) 的最小正周期为 T .
…………………… 4 分 ……………………… 6 分
（ II）由题意得 x 0, , 2 x
7 ,
，
4x x2 , x 1,
若方程 f ( x) kx 有且仅有一个实数解，则实数 k 的
ex ,
x 1.
取值范围为 __________.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . （15）（本小题满分 13 分）
已知函数 f x 2cos x(cos x 3sin x) a （ a R ） .
（ A） 1, 4
（ B） 0, 1, 4
（C） 0, 2 （ D） 0, 1, 2, 4
（2）设变量 x ， y 满足约束条件
x 2y 4≤0, 3x y 3≥0, 则目标函数 z x y 1≤0.
x 2 y的最小值为
（ A） 16 5
（ B） 3
（ C） 0
（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出
天津市五区县高三数学上学期期末考试试题文
天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试高三数学（文科）试卷温馨提示：使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在答题卡上；不使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在试卷上.题 号 一 二三总 分1516 17 18 19 20 得 分本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘帖考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题，共40分）注意事项：1．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2．本卷共8小题，每小题5分，共40分. 参考公式：如果事件,A B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+U ． 如果事件,A B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =I ． 锥体的体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高. 柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高.一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合2{0,1,4},{|,}A B y y x x A ===∈，则A B =U（A ）{}0,1,16 （B ）{}0,1 （C ）{}1,16（D ）{}0,1,4,16（2）从数字1，2，3，4，5，6中任取两个数，则取出的两个数的乘积为奇数的概率为（A ）115（B ）215（C ）15（D ）415（3）已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是（A ）48（B ）36 （C ）24（D ）12（4）设x ∈R ，则“2x >”是“11x ->”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）已知3log 0.5a =，0.3log 0.2b =，0.30.5c =，则（A ）a c b >> （B ）b c a >> （C ）b a c >>（D ）c a b >>（6）已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的焦点到渐近线的距离为2，且双曲线的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则双曲线的方程为（A ）221164x y -=（B ）22184x y -= （C ）2214-=x y（D ）2214y x -= （7）已知向量(cos 40,sin 40)=︒︒a ，(sin 20,cos 20)=︒︒b ，3λ=+u a b （其中λ∈R ），则u的最小值为 （A ）6 （B ）34（C ）3（D ）3（8）已知函数21||,1,()(1), 1.x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩若方程(1)0f x m --=有三个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（A ）(,1)-∞ （B ）3(,)4+∞ （C ）(0,2)（D ）(0,1)第Ⅱ卷（非选择题，共110分）注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2．本卷共12小题，共110分.二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.（9）已知i 是虚数单位，若(2i)24i z -=+，则复数z =___________．（10）阅读右边的程序框图，运行相应的程序， 则输出v 的值为___________. （11）已知2()(2)e xf x x x =-（其中e 是自 然对数的底数），()f x '为()f x 的导 函数，则(0)f '的值为___________. （12）在等比数列{n a }中，已知114a =，3544(1)a a a =-， 则{n a }的前10项和10S =___________. （13）如图，ABC ∆为边长为1的正三角形，D 为AB 的中点，E 在BC 上，且:1:2BE EC =，连结DE并延长至F ，使EF DE =，连结FC ．则FC AC ⋅uu u r uuu r的值为________.（14）已知()sin 3cos f x x x ωω=+（0,x ω>∈R ），若函数()f x 在区间(0,4)π内恰有5个零点，则ω的取值范围是___________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ,B ,C 的对边分别为,,a b c ，且满足2cos cos -=a b cB C． （I ）求角C 的值；（II ）若7c =，ABC ∆的面积为103，求a b +的值． （16）（本小题满分l3分）某石材加工厂可以把甲、乙两种类型的大理石板加工成,,A B C 三种规格的小石板，每种类型的大理石板可同时加工成三种规格小石板的块数如下表所示：板材类型 A B C甲型石板（块） 1 2 4 乙型石板（块）215某客户至少需要订购,A B 两种规格的石板分别为20块和22块，至多需要C 规格的石板100块．分别用,x y 表示甲、乙两种类型的石板数．第13题（I ）用,x y 列出满足客户要求的数学关系式，并画出相应的平面区域；（II ）加工厂为满足客户的需求，需要加工甲、乙两种类型的石板各多少块，才能使所用石板总数最少？（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PCD ∆为等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥,//AD BC ,22AD BC ==,3AB =，点E 、F 分别为AD 、CD的中点.（I ）求证：直线//BE 平面PCD ； （II ）求证：平面PAF ⊥平面PCD ； （III ）若3PB =，求直线PB 与平面PAF 所成的角.（18）（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和2=n A n （n *∈N ），11n n n n na ab a a ++=+（n *∈N ），数列{}n b 的前n 项和为n B .（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设2n n n a c =（n *∈N ），求数列{}n c 的前n 项和n C ； （III ）证明： 222<<+n n B n （n *∈N ）. （19）（本小题满分14分）已知椭圆2222: 1 (0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，若12BF F ∆的周长为6，且点1F 到直线2BF 的距离为b .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设12,A A 是椭圆C 长轴的两个端点，点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的任意一点，直线1A P 交直线14x =于点M ，求证：以MP 为直径的圆过点2A .（20）（本小题满分14分） 已知函数325()2f x x x ax b =+++（,a b ∈R ），函数()f x 的图象记为曲线C . （I ）若函数()f x 在1x =-时取得极大值2，求,a b 的值； （II ）若函数25()2()(21)32F x f x x a x b =----存在三个不同的零点，求实数b 的取值范围；（III ）设动点00(,())A x f x 处的切线1l 与曲线C 交于另一点B ，点B 处的切线为2l ，两切线的斜率分别为12,k k ，当a 为何值时存在常数λ使得21k k λ=？并求出λ的值.天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试 高三数学（文科）参考答案 一、选择题: 1-4 DCDA 5-8 BACD 二、填空题:9. 10. 11. 12. 13. 14. 三、解答题:15.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）已知 可化为， …………………………3分 整理得 ， ，又 …………………………6分 （Ⅱ）由 得 ，由（Ⅰ） ， 所以由余弦定理得： ，，即， …………………………9分所以 . …………………………13分 16.（本小题满分13分）解：（I ）由题意得 ………………………………3分 二元一次不等式组所表示的区域为图中的阴影部分. ………………………………6分（Ⅱ）解：设需要加工甲、乙两种类型的板材数为 ，则目标函数 ，作出直线 ，平移直线 ，如图，易知直线经过点A 时， 取到最小值，解方程组 得点 的坐标为 ，………………………………10分 所以最少需要加工甲、乙两种类型的板材分别8块和6块．答：加工厂为满足客户需求，最少需要加工甲、乙两种类型的板材分别8块和6块．………………………………13分17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ），且为的中点， .又因为，则四边形是平行四边形，∴，平面，平面，直线平面 . ……………4分（II）∵在等边中，是的中点，；又，；又，，又，，又，平面，故平面平面；……8分（I II）设与交于点，由（II）知平面，，故平面，连结，为直线与平面所成的角.在中，，，. ………………………13分18．（本小题满分13分）解：（I）当时，，，两式相减：；当时，，也适合，故数列的通项公式为；………………………………….3分（II），，，，两式相减可得：，………………………………… 4分即，， . ………………… 7分（III），显然，即，；………………………………. 9分另一方面，，即，，…，，，即： . ……………………….. 13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得，解得 .所以椭圆的方程为 . ……………5分（Ⅱ）由题意知，……………6分设，则，得 .且由点在椭圆上，得 . ……………9分所以…………13分以为直径的圆过点 . ……………14分20．（本小题满分14分）解：函数的导函数为 .（I）当时极大值2，则，解得；…… 4分（II）由题意可得有三个不同的零点，即方程有三个实数解.令，则，由可得或，且是其单调递增区间，是其单调递减区间， .因此，实数的取值范围是 . 9分（III）由（I）知点处的切线的方程为，与联立得，即，所以点的横坐标是，可得，即，等价于，解得 .综上可得，当时存在常数使得 . ……………14分天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试高三数学（文科）参考答案一、选择题:1-4 DCDA 5-8 BACD 二、填空题:9. 2i 10. 6 11.2- 12. 1023413. 112- 14. 717612ω<≤三、解答题:15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）已知0cos cos )2(=--B c C b a 可化为0cos sin cos )sin sin 2(=--B C C B A ， …………………………3分整理得B C C B C A cos sin cos sin cos sin 2+=A C B sin )sin(=+=，,0sin π,0≠∴<<A A Θ21cos =∴C ， 又.3ππ,0=∴<<C C Θ …………………………6分 （Ⅱ）由11πsin sin 103223ABC S ab C ab ∆===得40=ab ， 由（Ⅰ）21cos =C ， 所以由余弦定理得： 222222cos ()3()340c a b ab C a b ab a b =+-=+-=+-⨯，249()340a b ∴=+-⨯，即，2()169a b += …………………………9分所以13a b +=. …………………………13分 16.（本小题满分13分）解：（I ）由题意得0,02200,2220,451000,.y x y x y x y x +-⎧⎪+-⎪⎨+-⎪⎪⎩≥≥≤≥≥………………………………3分二元一次不等式组所表示的区域为图中的阴影部分.………………………………6分（Ⅱ）解：设需要加工甲、乙两种类型的板材数为z ，则目标函数z x y =+，作出直线0:0l x y +=，平移直线0l ，如图，易知直线经过点A 时，z 取到最小值，解方程组220222x y x y +=⎧⎨+=⎩得点A 的坐标为(8,6)A ，………………………………10分所以最少需要加工甲、乙两种类型的板材分别8块和6块．答：加工厂为满足客户需求，最少需要加工甲、乙两种类型的板材分别8块和6块．………………………………13分17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）Q 22AD BC ==，且E 为AD 的中点，BC ED ∴=.又因为//AD BC ，则四边形BCDE 是平行四边形，∴ //BE CD ，CD ⊂Q 平面PCD ，BE ⊄平面PCD ，∴直线//BE 平面PCD . ……………4分（II ）∵在等边PCD ∆中，F 是CD 的中点，CD PF ∴⊥； 又//,BC AD AB AD ⊥，AB BC ∴⊥； 又3,1AB BC ==，2AC ∴=，又2AD =，CD AF ∴⊥，又PF AF F =Q I ，CD ∴⊥平面PAF ， 故平面PAF ⊥平面PCD ； ……8分 （III ）设AF 与BE 交于点G ，由（II ）知CD ⊥平面PAF ，//BE CD ，故BG ⊥平面PAF ，连结PG ，BPG ∴∠为直线BP 与平面PAF 所成的角.在Rt PBG ∆中，32BG =，332sin 3BG BPG PB ∠===3BPG π∴∠=. ………………………13分18．（本小题满分13分）解：（I ）当2n ≥时，2=n A n ，21(1)-=-n A n ， 两式相减：121-=-=-n n n a A A n ；当1n =时，111==a A ，也适合21=-n a n ，故数列{}n a 的通项公式为21=-n a n ；………………………………….3分 （II ）2122-==n n n na n c ，12n n C c c c =+++L ， 123135212222-=++++L n n n C ，23411352122222+-=++++L n n C n ，两式相减可得： 1231122221222222+-=++++-L n n n C n ， ………………………………… 4分 即123-111111121()2222222+-=+++++-L n n n C n ， -111121(1)2222+-=+--n n n C n ，2332+=-n n n C . ………………… 7分 （III ）21212121-+=++-n n n b n n ，显然212121212221212121-+-++>⋅=+-+-n n n n n n n n ， 即2n b >，122n n B b b b n =+++>L ；………………………………. 9分 另一方面，21212222112212*********-++=-++=+-+-+--+n n n n n n n n ， 即122213=+-b ，222235=+-b ，…，11222121⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭n b n n ，2222222(2)(2)(2)22221335212121=+-++-+++-=+-<+-++L n B n n n n n ， 即：222<<+n n B n . ……………………….. 13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得2222262c a cb ab a b c ⎧+=⎪=⎨⎪=+⎩，解得231a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩.所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分 （Ⅱ）由题意知12(2,0),(2,0)A A -， ……………6分设00(,)P x y ，则100:(2)2A P y l y x x =++，得0016(14,))2y M x +. 且由点P 在椭圆上，得22003(1)4x y =-. ……………9分 所以20022000001616(12,)(2,)12(2)22y y A M A P x y x x x ⋅=⋅-=-+++u u u u u r u u u u r 2000000012(4)12(2)(2)12(2)12(2)022x x x x x x x --+=-+=--=++ …………13分 以MP 为直径的圆过点2A . ……………14分20．（本小题满分14分）解：函数325()2f x x x ax b =+++的导函数为2()35f x x x a '=++. （I ）当1x =-时极大值2，则(1)0,(1)2f f '-=-=，解得52,2a b ==；…… 4分 （II ）由题意可得25()2()(21)32F x f x x a x b =----有三个不同的零点，即方程325202x x x b ++-=有三个实数解. 令325()22g x x x x =++，则2()651(21)(31)g x x x x x '=++=++，由()0g x '=可得12x =-或13x =-，且11(,),(,)23-∞--+∞是其单调递增区间，11(,)23--是其单调递减区间，1117(),()28354g g -=--=-.因此，实数b 的取值范围是71(,)548--. 9分 （III ）由（I ）知点00(,())A x f x 处的切线1l 的方程为000()()()y f x f x x x '-=-，与()y f x =联立得000()()()()f x f x f x x x '-=-，即2005()(2)02x x x x -++=，所以点B 的横坐标是05(2)2B x x =-+，可得221002005535,3(2)5(2)22k x x a k x x a =++=+-++，即22002512204k x x a =+++，21k k λ=等价于20025(35)(4)(1)4x x a λλ+-=--，解得254,12a λ==. 综上可得，当2512a =时存在常数4λ=使得21k k λ=. ……………14分。
2016-2017学年天津市静海县第一中学高二上学期期末五校联考理数试卷(带解析)
绝密★启用前2016-2017学年天津市静海县第一中学高二上学期期末五校联考理数试卷（带解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题1．命题“∃0),ln x0=x0−1”的否定是（）A. ∀x0∈(0,+∞),ln x0≠x0−1B. ∀x0∉(0,+∞),ln x0=x0−1C. ∃x0∈(0,+∞),ln x0≠x0−1D. ∃x0∉(0,+∞),ln x0=x0−12．如图，在正方体A B C D−A1B1C1D1中，E、F分别为B C、B B1的中点，则下列直线中与直线E F相交的是（）A. 直线AA1B. 直线A1B1C. 直线A1D1D. 直线B1C13．如图，在三棱柱A B C−A1B1C1中，M为A1C1的中点，若A B=a,AA1=c,B C=b，则B M可表示为（）A. −12a+12b+c B. 12a+12b+cC. −12a−12b+c D. 12a−12b+c4．直线y−1=k(x−1)(x∈R)与x2+y2−2y=0的位置关系是（）A. 相离或相切B. 相切C. 相交D. 相切或相交5．方程(x2+y2−2)x−3=0表示的曲线是（）A. 一个圆和一条直线B. 一个圆和一条射线C. 一个圆D. 一条直线6．设α，β是两个平面，m,n是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m⊥n,m⊥α,n//β，那么α⊥β.（2）如果m⊥α,n//α，那么m⊥n.（3）如果α//β,m⊂α，那么m//β.其中正确命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 37．条件p:k=3；条件q：直线y=k x+2与圆x2+y2=1相切，则¬p是¬q的（）A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件8．已知抛物线C1:y2=8x的焦点F到双曲线C2:y2a −x2b=1(a>0,b>0)的渐近线的距离为455，P是抛物线C1的一动点，P到双曲线C2上的焦点F1(0,c)的距离与到直线x+2=0的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（）A. y22−x23=1 B. y2−x24=1 C. y24−x2=1 D. y23−x22=1第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题9．双曲线2x的实半轴长与虚轴长之比为__________．10．由直线y=x+1上的一点向圆(x−3)2+y2=1引切线，则切线长的最小值为__________．11．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是__________．12．如图，椭圆E的左、右焦点分别为F1,F2，过F1且斜率为43的直线交椭圆E于P,Q两点，若ΔPF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为__________．13．若关于x的方程x+b=3−4x−x2只有一个解，则实数b的取值范围是__________．14．在平面直角坐标系x O y中，直线l:a x+b y+c=0被圆x2+y2=16截得的弦的中点为M，且满足a+2b−c=0，当|O M|取得最大值时，直线l的方程是__________．三、解答题15．已知圆锥曲线E:x22+y2k=1.命题p：方程E表示焦点在x轴上的椭圆；命题q：圆锥曲线E的离心率e∈(2,3)，若命题¬p∧q为真命题，求实数k的取值范围.16．如图，四棱锥P−A B C D的底面A B C D为正方形，P A⊥底面A B C D，E,F分别是A C,P B的中点，P A=A B=2.（Ⅰ）求证E F∥平面P C D；（Ⅱ）求直线E F与平面P A B所成的角；（Ⅲ）求四棱锥P−A B C D的外接球的体积.17．已知椭圆E:x2a +y2b=1(a>b>0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为12c.（Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ）如图，A B是圆M:(x+2)2+(y−1)2=52的一条直径，若椭圆E经过A,B两点，求椭圆E的方程.18．已知曲线C在x的上方，且曲线C上的任意一点到点F(0,1)的距离比到直线y=−2的距离都小1.（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设m>0，过点M(0,m)的直线与曲线C相交于A,B两点.①若ΔA F B是等边三角形，求实数m的值；②若F A⋅F B<0，求实数m的取值范围.19．如图所示的多面体中，A B C D菱形，B D E F是矩形，E D⊥平面A B C D，∠B A D=π3，A D=2,D E=3.（Ⅰ）异面直线A E与D C所成的角余弦值；（Ⅱ）求证平面A E F⊥平面C E F；（Ⅲ）在线段A B取一点N，当二面角N−E F−C的大小为60°时，求|A N|.20．（本小题满分16分）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足M D⊥C D，连接C M，交椭圆于点P．证明：O M⋅O P为定值．（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以M P为直径的圆恒过直线D P、M Q的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．A【解析】特称命题的否定是把存在量词改为全称量词并否定结论，则应为∀x0∈(0,+∞),ln x0≠x0−1.故本题正确答案为A.点睛:(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“∀x0∈M,p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M中的一个特殊值x0，使p(x0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x=x0，使p(x0)成立即可，否则就是假命题. 2．D【解析】根据异面直线的概念可看出直线AA1,A1B1,A1D1都和直线E F为异面直线;B1C1和E F在同一平面内,且这两直线不平行;∴直线B1C1和直线E F相交,即选项D正确.3．A【解析】∵B M=B B1+B1M=c+12(B A+B C)=c+12(−a+b)=−12a+12b+c,故本题正确答案为A.4．C【解析】由已知l过定点A(1,1).∵12+12−2×1=0，∴点A在圆上.又∵直线x=1过点A且为圆的切线，又l斜率存在，所以l与圆一定相交. 故本题正确答案为C.5．D【解析】由题意(x2+y2−2)x−3=0可化为x−3=0或x2+y2−2=0(x−3≥0），∵x−3=0在x2+y2−2=0的右方，∴x2+y2−2=0(x−3≥0）不成立，∴x−3=0，∴方程(x2+y2−2)x−3=0表示的曲线是一条直线.故本题正确答案为D.6．C【解析】对于①，m⊥n,m⊥α,n//β，则α,β的位置关系无法确定，故错误；对于②,因为n//α，所以过直线n作平面γ与平面β相交于直线C，则n//c，因为m⊥α,∴m⊥c,∴m⊥n，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；故本题正确答案为C. 7．B【解析】若k=3，则直线y=k x+2为y=3x+2.，圆x2+y2=1的圆心到直线的距离为d=1+3=1，圆半径r=1，所以d=r，所以直线与圆相切；所以p是q的充分条件，若直线y=k x+2与圆x2+y2=1相切，则圆心到直线的距离为d==1，解得k=±3. 所以p是q的不必要条件，即p是q的充分不必分条件，所以¬p是¬q的必要不充分条件.故本题正确答案为B .点晴：本题考查的是充要条件. 充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件的判断的一般方法是： ①充分不必要条件：如果p ⇒q ，且p ⇐q ，则说是的充分不必要条件； ②必要不充分条件：如果p ⇒q ，且p ⇐q ，则说是的必要不充分条件； ③既不充分也不必要条件：如果p ⇒q ，且p ⇐q ，则说是的既不充分也不必要条件.8．C【解析】抛物线y 2=8x 的焦点F (2,0),双曲线C :y 2a −x 2b =1(a >0,b >0)的一条渐近线的方程为a x −b y =0,∵抛物线y 2=8x 的焦点F 到双曲线C :y 2a −x 2b =1(a >0,b >0)的渐近线的距离为4 55, ∴ =4 55∴b =2a ∵P 到双曲线C 的上焦点F 1(0,c )的距离与到直线x +2=0的距离之和的最小值为3,∴FF 1=3∴c 2+4=9∴c = 5∵c 2=a 2+b 2,b =2a∴a =1,b =2∴双曲线的方程为y 24−x 2=1 故本题正确答案为C .点晴：本题考查的是圆锥曲线的几何性质的综合.关键是根据抛物线焦点F 到双曲线的渐近线的距离为4 55，可列式a=4 55，得到b =2a ，又根据到双曲线C 的上焦点的距离与到直线x +2=0的距离之和的最小值为3，可得FF 1=3，解得c = 5，最终可以确定双曲线方程. 9． 24【解析】∵双曲线方程2x 2−y 2=8,∴双曲线的标准方程为: x 24−y 28=1,∴a =2,b =2 2，∴该双曲线的实半轴长为a =2,,虚轴长为2b =4 2，∴a2b =42= 24.故本题正确答案为 24. 10． 7【解析】从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理， 显然圆心到直线的距离最小时，切线长也最小． 圆心到直线的距离为：= 2=2 2, 切线长的最小值为 (2 2)2−1= 7：故本题正确答案为 7.11．2+2 5【解析】根据三视图画出该空间几何体的立体图：SΔA C B=12×2×2=2；SΔA B D=12×5×1=52；SΔC B D=12×5×1=52；SΔA C D=12×2×5=5，所以S表=2+52+52+5=2+25.故本题正确答案为2+25.点睛:本题考查的是由三视图求出立体图的表面积问题，由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.12．57【解析】设PF2=4m，则由于tan∠PF1F2=43所以PF2=3m,F1F2=5m.因为2a=PF1+PF2=7m所以椭圆E的离心率为2c2a=57.13．−1<b≤3或b=1−22【解析】关于x的方程x+b=3−4x−x2只有一解等价于−x+3−b=4x−x2有一解, 等价于y=4x−x2与y=−x+3−b的图象有一个公共点,y=4x−x其图象为（2，0）为圆心2为半径的圆的上半部分,作图可得当平行直线y=−x+3−b介于两直线之间时满足题意,易得直线m的截距为0,设直线n的截距为t,由直线与圆相切可得直线x+y−t=0到点（2，0）的距离为2,可得2=2,计算得出t=2+22,或t=2−22(舍去), ∴0≤3−b<4或者3−b=2+22，解得−1<b≤3或b=1−22因此，本题正确答案是:−1<b≤3或b=1−22.点睛：本题考查的是方程x +b =3− 4x −x 2只有一解的问题，利用转化与化归思想转化为函数y = 4x −x 2与函数y =−x +3−b 的图象有一个公共点的问题，关键是正确画出两个函数的图像以及搞明白3−b 的几何意义.当直线平移时有一个交点的情况即为所求，特别地，当直线与圆相切时容易丢掉.14．x +2y +5=0【解析】因为a +2b −c =0则直线l :a x +b y +c =0可表示为a (x +1)+b (y +2)=0过定点（−1，−2），被圆C :x 2+y 2=16截得的弦的中点为M ,则满足（−1，−2）为M 时, O M 取最大，此时直线l ⊥O M ,K O M =2,∴k l =−12,∴y +2=−12(x +1),即x +2y +5=0. 15．−4<k <−2.【解析】试题分析: 分别求出两个命题的为真命题的等价条件,利用复合命题真假之间的关系进行判断求解.试题解析：因为E :x 22+y 2k =1表示曲线，所以k ≠0，命题p 是真命题，则0<k <2；命题q 是真命题时，因为e ∈( 2, 3),所以( 2)2<2−k 2<( 3)2,解得−4<k <−2.因为命题¬p ∧q 为真命题，所以¬p ，q 均为真命题，当¬p 为真命题时，k <0或k ≥2,于是命题¬p ∧q 为真命题时满足{k <0,或k ≥2,−4<k <−2，解得−4<k <−2. 16．（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）45°;（Ⅲ）4 3π.【解析】试题分析：(Ⅰ)欲证E F ∥平面P C D ；连B D ,根据中位线可以知道E F //P D ,而E F 不在平面P C D 内,满足定理所需条件;(Ⅱ)关键是证明H E ⊥平面P A B ，找到∠E F H 是直线E F 与平面P A B 所成的角;（Ⅲ）利用补成正方体的思想，求外接球的半径.试题解析：（Ⅰ）如图，连结B D ，则E 是B D 的中点，又F 是F B 的中点，∴E F //P D .又∵E F ⊄平面P C D ，P D ⊂面P C D∴E F //平面P C D .（Ⅱ）取A B 的中点H ，连接E H ,H F .在正方形A B C D 中，E 是B D 的中点，有H E ⊥A B . ∵P A ⊥平面A B C D ，H E ⊂平面A B C D ，∴P A ⊥H E ， ∵P A ∩A B =A ，∴H E ⊥平面P A B ， ∴H F 是直线E F 在平面P A B 的射影，∴∠E F H 是直线E F 与平面P A B 所成的角， 在直角三角形F E H 中，H E =H F =1，所以tan ∠E F H =1. ∴直线E F 与平面P A B 所成的角为45°.（Ⅲ）设四棱锥P −A B C D 的外接球半径为R ，P A =A B =A D =2，则 2R = AB 2+AD 2+AP 2= 4+4+4=2 3，即R = 3. 所以外接球的体积为V =43πR 3=43π( 3)3=4 3π.点睛：本题第三问考查的是四棱锥外接球的问题，若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段P A ，P B ，P C 两两互相垂直，且P A =a ,P B =b ,P C =c ，一般把四棱锥P −A B C D “补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2=a 2+b 2+c 2求解． 17．（Ⅰ）e =32;（Ⅱ）x 212+y 23=1.【解析】试题分析：（1）依题意，由点到直线的距离公式可得d =b ca，又有d =12c ，联立可求离心率；（2）由（1）设椭圆方程，再设直线A B 方程，与椭圆方程联立，求得|A B |，令|A B |= 10，可得b ，即得椭圆方程. 试题解析：（Ⅰ）过点(c ,0),(0,b )的直线方程为b x +cy −b c =0， 则原点O 到直线的距离d ==b c a，由d =12c ，得a =2b =2 a 2−c 2，解得离心率e =ca= 32. （Ⅱ）由（1）知，椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2. 依题意，圆心M (−2,1)是线段A B 的中点，且|A B |= 10. 易知，A B 不与x 轴垂直.设其直线方程为y =k (x +2)+1，代入（1）得 (1+4k 2)x 2+8k (2k +1)x +4(2k +1)2−4b 2=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则x 1+x 2=−8k (2k +1)1+4k 2，x 1x 2=−4(2k +1)2−4b 21+4k 2.由x 1+x 2=−4，得−8k (2k +1)1+4k=−4，解得k =12.从而x 1x 2=8−2b 2.于是|A B |= 1+(12)2|x 1−x 2|=52 (x 1+x 2)−4x 1x 2= b 2.由|A B |= 10，得 10(b 2−2)= 10，解得b 2=3. 故椭圆E 的方程为x 212+y 23=1.18．（Ⅰ）x 2=4y (y >0);（Ⅱ）3−2 2<m <3+2 2.【解析】试题分析：（1）设出P 点坐标，根据题意可建立等式求出曲线方程，同时要注意y >0. （2）①由题意|A F |=|B F |，得到|A B |=|x 1−x 2|=2 x 2 是关键.②联立直线与抛物线方程，用坐标表示出F A ⋅F B ，令F A ⋅F B <0，解出m 的范围即可试题解析：（Ⅰ）设点P (x ,y )曲线C 上任意一点，由题设有|P F |+1=y −(−2)， 于是x 2+(y −1)2=(y +1)2，整理得x 2=4y . 由于曲线C 在x 轴的上方，所以y >0. 所以曲线C 的方程为x 2=4y (y >0). （Ⅱ）设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由题意|A F |=|B F |，即x 12+(y 1−1)2=x 22+(y 2−1)2， 于是x 12−x 22+(y 1−1)2−(y 2−1)2=0，将{x 12=4y 1,x 22=4y 2代入，得(y 1−y 2)(y 1+y 2+2)=0，由y 1>0,y 2>0，得y 1=y 2. 从而x 1=−x 2，所以|A B |=|x 1−x 2|=2|x 2|.因为ΔA F B 是等边三角形，所以2|x 2|= x 22+(y 2−1)2.将x 22=4y 2代入，y 22−14y 2+1=0，解得y 2=7±4 3，此时m =7±4 3.（此题也可结合抛物线性质求解，其它解法酌情给分） 设直线A B :y =k x +m ，联立{x 2=4y ,y =k x +m得x 2−4k x −4m =0，Δ=16(k 2+m )>0， x 1+x 2=4k ,x 1x 2=−4m .y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2m ，y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m )=k 2x 1x 2+k m (x 1+x 2)+m 2于是F A ⋅F B =(x 1,y 1−1)(x 2,y 2−1)=x 1x 2+(y 1−1)(y 2−1)=x 1x 2+y 1y 2−(y 1+y 2)+1=m 2−6m +1−4k 2.因为F A ⋅F B <0，即m 2−6m +1<4k 2. 因k ∈R ，从而m 2−6m +1<0. 解得3−2 2<m <3+2 2.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 19．（Ⅰ） 77;（Ⅱ）见解析;（Ⅲ）2 3−2.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用A B //D C ，找到∠B A E 就是异面直线A E 与D C 所成的角； （Ⅱ）通过证明A M ⊥E F ,C M ⊥E F ，得到∠A M C 就是二面角A −E F −C 的平面角 ；（Ⅲ）引入变量λ，通过坐标法求解. 试题解析：（Ⅰ）因为A B //D C ，所以∠B A E 就是异面直线A E 与D C 所成的角，连接B E ， 在ΔA B E 中，A B =2,A E = 7=B E ，于是cos ∠B A E =2×2×7=77，所以异面直线A E 与D C 所成的角余弦值为 77.（Ⅱ）取E F 的中点M .由于E D ⊥面A B C D ，E D //F B ，∴E D ⊥A D ,E D ⊥D C ,F B ⊥B C ,F B ⊥A B ，又A B C D 是菱形，B D E F 是矩形，所以，ΔA D E ,ΔE DC ,ΔA B F ,ΔB C F 是全等三角形， A E =A F ,C E =C F ，所以A M ⊥E F ,C M ⊥E F ，∠A M C 就是二面角A −E F −C 的平面角经计算A M =C M = 6,A C =2 3，所以AM 2+CM 2=AC 2，即A M ⊥M C . 所以平面A E F ⊥平面C E F .（Ⅲ）建立如图的直角坐标系，由A D =2，则M ( 32,12, 3),C (0,2,0),A ( 3,1, 3),E (0,0, 3),F ( 3,1, 3).平面C E F 的法向量n 1=A M =(− 32,32, 3). 设N ( 3,λ,0)，则E N =( 3,λ,− 3),E F =( 3,1,0)设平面N E F 的法向量n 2=(x ,y ,z )，则{E F ⋅n 2 =0E N ⋅n 2=0得 { 3x +y =0 3x +my − 3z =0，令x =1，则y =− 3,z =1−λ，得n 2 =(1,− 3,1−λ).因为二面角N −E F −C 的大小为60°， 所以cos 60°=n 2 ⋅A N|n 2 |⋅|A N |=|− 32−3 32+3(1−λ)| 34+94+3 1+3+(1−λ)2，整理得λ2+6λ−3=0，解得λ=2 3−3所以|A N |=2 3−2.点晴：本题考查是空间的直线与直线所成的角，平面与平面垂直的判定以及平面和平面所成的二面角问题.解答时第一问充分借助A B //D C ，得到∠B A E 就是异面直线A E 与D C 所成的角，第二问中通过证明A M ⊥E F ,C M ⊥E F ，利用二面角的定义得到∠A M C 就是二面角A −E F −C 的平面角；第三问中引入变量λ，通过坐标法求解即可. 20．x 24+y 22=1，定值为4，存在Q （0，0）满足条件【解析】试题分析：（1）由题意知，，，由此可知椭圆方程为x 24+y 22=1；（2）设M (2,t )，则直线：y =t4(x +2)，代入椭圆方程x 24+y 22=1，得，然后利用根与系数的关系能够推导出为定值；（3）设存在满足条件，则，直线D P 的斜率K 1=−2t ，直线Q M 的斜率K 2=t2−m ，再由，由此可知存在Q (0,0)满足条件．试题解析：（1）{b =ca 2=b 2+c 2=4，∴{a =2b = 2椭圆方程为：x 24+y 22=1．（2）∵M D ⊥C D ，∴设M (2,t )，则直线的方程为：y =t4(x +2)，{y =t4(x +2)x 24+y 22=1⇒(8+t 2)x 2+4t 2x +4t 2−3z =0，解设：x =−2t 2−16t +8或x =−2（舍去），y =t 4(x +2)=8tt 2+8，∴p (−2t 2−16t 2+8,8tt 2−8)，从而，∴．（3）设Q (m ,0)，若以P M 为直径的圆过P D 与M Q 的交点即直线P D ⊥Q M ， 直线D P 的斜率K 1=−2t ，直线Q M 的斜率K 2=t2−m ， 所以，即t2−m ·(−2t )=−1，∴m=0，即Q(0,0)．考点：（1）椭圆的的标准方程；（2）直线与圆锥曲线的综合问题.。
2016-2017学年度第一学期期末数学数学五校联考
2016-2017学年度第一学期期末五校联考高二数学（理）试卷命题人：静海一中 翟建柱 芦台一中 张振山第I 卷(选择题 共40分)一、选择题:每小题5分,共40分,把答案涂在答题卡上．1．命题“()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是A ．()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-B ．()0,,ln 1x x x ∀∉+∞=-C ．()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞≠-D ．()0000,,ln 1x x x ∃∉+∞=- 2．如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是A ．直线AA 1B ．直线A 1B 1C ．直线A 1D 1 D ．直线B 1C 1 3．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 为11AC 的中点，若AB = a ，1AA=c ，BC = b ，则BM 可表示为A ．1122-++a b cB ．1122++a b cC ．1122--+a b cD ．1122-+a b c4．直线()1(1)y k x k -=-∈R 与2220x y y +-=的位置关系A ．相离或相切B ．相切C ．相交D ．相切或相交 5．方程22(0x y +-表示的曲线是A ．一个圆和一条直线B ．一个圆和一条射线C ．一个圆D ．一条直线11正(主)视图11俯视图侧(左)视图216．设,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥． （2）如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥． （3）如果//,m αβα⊂，那么//m β． 其中正确命题的个数A ．0B ．1C ．2D ．37．条件:p k =:q 直线2y kx =+与圆221x y +=相切，则p ¬是q ¬的A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知抛物线21:8C y x =的焦点F 到双曲线()22222:1,0,0y x C a b a b-=>>的渐P 是抛物线1C 的一动点，P 到双曲线2C 的上焦点()10,F c 的距离与到直线20x +=的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为A ．22123y x -=B ．2214x y -=C ．2214y x -= D ． 22132y x -= 第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．双曲线2228x y -=的实半轴长与虚轴长之比为 ▲ ．10．由直线1y x =+上的一点向圆()2231x y -+=引切线，则切线长的最小值为▲ ．11．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 ▲ ．12．如图，椭圆E 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且斜率为43的直线交椭圆E 于P ，Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为 ▲ ．13．若关于x 的方程243x x b x --=+只有一个解， 则实数b 的取值范围是 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，直线:0l ax by c ++=被圆2216x y +=截得的弦的中点为M ，且满足20a b c +-=，当||OM 取得最大值时，直线l 的方程是 ▲ ．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15． (本小题满分13分)已知圆锥曲线22:12x y E k+=．命题p ：方程E 表示焦点在x 轴上的椭圆；命题q ：圆锥曲线E的离心率e ∈，若命题p q ⌝∧为真命题，求实数k 的取值范围．16．(本小题满分13分)如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为正方形，⊥PA 底面ABCD ，F E ,分别是PB AC ,的中点，2PA AB ==． （Ⅰ）求证//EF 平面PCD ；（Ⅱ）求直线EF 与平面PAB 所成的角； （Ⅲ）求四棱锥P ABCD -的外接球的体积．17．(本小题满分13分)已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ．（Ⅰ）求椭圆E 的离心率；（Ⅱ）如图，AB 是圆()()225:212M x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过,A B 两点，求椭圆E 的方程．18． (本小题满分13分)已知曲线C 在x 的上方，且曲线C 上的任意一点到点()0,1F 的距离比到直线2y =-的距离都小1．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设0m >，过点()0,M m 的直线与曲线C 相交于,A B 两点．①若△AFB 是等边三角形，求实数m 的值；②若0FA FB ⋅<，求实数m 的取值范围．19．(本小题满分14分)如图所示的多面体中， ABCD 是菱形，BDEF 是矩形，ED ⊥平面ABCD ，π3BAD ∠=，2AD =，DE ．（Ⅰ）异面直线AE 与DC 所成的角余弦值； （Ⅱ）求证平面AEF ⊥平面CEF ； （Ⅲ）在线段AB 取一点N ，当二面角N EF C --的大小为60︒时，求||AN ．20．(本小题满分14分)已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，短轴两个端点为A ，B ，且四边形12F AF B 是边长为2的正方形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若C ，D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连结CM ，交椭圆于点P ．证明：OM OP ⋅为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线,DP MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．2016-2017学年度第一学期期末五校联考高二数学（理）答题纸二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．10．11．12．13．14．三、解答题：本大题共6小题，共80分．15．(本小题满分13分)16．(本小题满分13分)18．(本小题满分13分)。
天津市静海一中2017届高三上学期9月学生能力调研数学理试卷 含解析
2016-2017学年天津市静海一中高三(上）9月调研数学试卷（理科）(1） 已知集合 则=( ）（A)[2，3］ （B ）( -2,3 ］ (C ）［1,2） （D)(,2][1,)-∞-⋃+∞（2）已知m R ∈，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数”的（ )(A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D)既不充分也不必要条件（3)已知x ，y R ∈,且0x y >>,则下式一定成立的是（ ）（A ）110x y y ->- （B) 230x y -> （C) 11()()022x y x --< （D ）ln ln 0x y +> （4) 设1,1()(1),1x e x f x f x x -⎧≤=⎨->⎩，则(ln 3)f = ( ）(A ）23e (B ）ln 32- （C ）31e- （D)31e - （5) 二次函数2y ax bx =+ 与指数函数()x b y a = 的图象只可能是 （ )(A ） （B) （C ） (D ）(6) 设函数2()34,f x x x '=+- 则()1y f x =+的单调减区间为（ ）（A ）()4,1- （B)()5,0- （C ）3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ （D ）5,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ （7）设()f x x =-，12111(log ),(log ),(log )ee af b f c f e πππ===，则下述关系式正确的是（ ) （A)a b c >> (B)b c a >> (C ）c a b >> （D ）b a c >>（8） 设函数)(x f 是定义在)0,(-∞上的可导函数，其导函数为)(x f '，且有0)()(3>'+x f x x f ，则不等式0)3(27)2015()2015(3>-+++f x f x 的解集（ ）(A))2015,2018(-- （B ）)2016,(--∞ （C ）)2015,2016(-- （D ）)2012,(--∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
天津市五区县2017届高三上学期期末考试数学(理)试题 含答案
绝密★启用前天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试高三数学（理科）试卷温馨提示：使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在答题卡上；不使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在试卷上.本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第I 卷1至2页，第Ⅱ卷2至4页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘帖考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题，共40分）注意事项：1．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2．本卷共8小题，每小题5分，共40分. 参考公式：如果事件,A B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+U ． 如果事件,A B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =I ． 锥体的体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高. 柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高.一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合2{1,4},{|log ,}A B y y x x A ===∈，则A B =U（A ）{}1,4（B ）{}0,1,4（C ）{}0,2 （D ）{}0,1,2,4（2）设变量x ，y 满足约束条件240,330,10.x y x y x y +-⎧⎪+-⎨⎪--⎩≤≥≤则目标函数2z x y =-的最小值为（A ）165-（B ）3-（C ）0（D ）1（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出v 的值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（4）已知ABC ∆是钝角三角形，若2,1==BC AC ，且ABC ∆3 则=AB（A 3 （B 7 （C ）22（D ）3（5）设{n a }是公比为q 的等比数列，则“1q >” 是“{n a }为单调递增数列”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的焦点到渐近线的距离为2，且双曲线的一条渐近线与直线230x y -+=平行，则双曲线的方程为（A ）221164x y -=（B ）22194x y -= （C ）22149x y -=（D ）22184x y -= （7）在ABC ∆中，D 在AB 上，:1:2AD DB =，E 为AC 中点，CD 、BE 相交于正视图侧视图俯视图点P，连结AP．设AP xAB yAC=+u u u r u u u r u u u r,x y∈R（），则x，y的值分别为（A）11,23（B）12,33（C）12,55（D）11,36（8）已知2()(3)e xf x x=-（其中x∈R，e是自然对数的底数），当1t>时，关于x的方程12[()][()]0f x t f x t--=恰好有5个实数根，则实数2t的取值范围是（A）(2e,0)-（B）(]2e,0-（C）32e,6e-⎡⎤-⎣⎦（D）(32e,6e-⎤-⎦第Ⅱ卷（非选择题，共110分）注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2．本卷共12小题，共110分.二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.（9）已知a，∈b R，i是虚数单位，若(12i)(2i)2ia b-+=-，则a b+的值为__________.（10）在261(4)xx-的展开式中，3x-的系数为__________. （用数字作答）（11）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是__________.（12）在平面直角坐标系xOy中，由曲线1yx=（0x>）与直线y x=和3y=所围成的封闭图形的面积为__________.（13）在直角坐标系xOy中，已知曲线1:C11x tty tt⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t为参数)，曲线2:Ccossinx ayθθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，1a>)，若1C恰好经过2C的焦点，则a的值为__________.（14）已知24,1,()e, 1.xx x xf xx⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩若方程()f x kx=有且仅有一个实数解，则实数k的取值范围为__________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）已知函数()2cos (cos )f x x x x a =+（a ∈R ）. （I ）求()f x 的最小正周期； （II ）当[0,]2x π∈时，()f x 的最小值为2，求a 的值.（16）（本小题满分13分）某区选派7名队员代表本区参加全市青少年围棋锦标赛，其中3名来自A 学校且1名为女棋手，另外4名来自B 学校且2名为女棋手.从这7名队员中随机选派4名队员参加第一阶段的比赛．（I ）求在参加第一阶段比赛的队员中，恰有1名女棋手的概率；（II ）设X 为选出的4名队员中A 、B 两校人数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥，//AD BC ，122AD BC ==，E 在BC 上，且112BE AB ==，侧棱PA ⊥平面ABCD .（I ）求证：平面PDE ⊥平面PAC ； （II ）若PAB ∆为等腰直角三角形.（i ）求直线PE 与平面PAC 所成角的正弦值； （ii ）求二面角A PC D --的余弦值.（18）（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和2=n A n （n *∈N ），11n n n n na ab a a ++=+（n *∈N ），数列{}n b 的前n 项和为n B .（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设2nn n a c =（n *∈N ），求数列{}n c 的前n 项和n C ； （III ）证明： 222<<+n n B n （n *∈N ）.PA BECD（19）（本小题满分14分）已知椭圆2222: 1 (0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，若12BF F ∆的周长为6，且点1F 到直线2BF 的距离为b .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设12,A A 是椭圆C 长轴的两个端点，点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的任意一点，直线1A P 交直线x m =于点M ，若以MP 为直径的圆过点2A ，求实数m 的值. （20）（本小题满分14分）已知函数321()3f x x x cx d =-++（,c d ∈R ），函数()f x 的图象记为曲线C . （I ）若函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，求c 的取值范围；（II ）若函数()y f x m =-有两个零点,()αβαβ≠，且x α=为()f x 的极值点，求2αβ+的值；（III ）设曲线C 在动点00(,())A x f x 处的切线1l 与C 交于另一点B ，在点B 处的切线为2l ，两切线的斜率分别为12,k k ，是否存在实数c ，使得12k k 为定值？若存在，求出c 的值；若不存在，说明理由.天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题:1-4 DACB 5-8 DACD二、填空题:9.8 10. 24-11. 32+4ln 3-(,e)-∞三、解答题:15.（本小题满分13分）解：（I）函数2()2cos cos cos 212f x x x x a x x a =++=+++2sin(2)16x a π=+++， ……………………4分故函数()f x 的最小正周期为T π=. ………………………6分 （II ）由题意得70,,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ……………………10分故min ()112f x a =-++=，所以2a =. ……………………13分 16.（本小题满分13分）解：（I ）由题意知，7名队员中分为两部分，3人为女棋手，4人为男棋手，设事件A =“恰有1位女棋手”，则()1334471235C C P A C ==，………………………4分 所以参加第一阶段的比赛的队员中，恰有1位女棋手的概率为1235.…………5分 （II ）随机变量X 的所有可能取值为0,2,4.其中()22344718035C C P X C ===， ()133134344716235C C C C P X C +===， ()0434471435C C P X C ===. ………………………………9分 所以，随机变量X 分布列为随机变量X 的数学期望()1816136024********E X =⨯+⨯+⨯=. ………………………………13分 17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）法一：∵△AGD :△CGE ，知23DG AD AG GE EC GC ===，且AC =故3655GC AC ==. 同理可得33555GE DE ==，且3EC =，222GC GE EC +=,ED AC ⊥. ………2分又∵PA ⊥平面ABCD ∴PA ED ⊥ ……3分 而PA AC A =I ∴ED ⊥平面PAC .ED ⊂平面PDE ,故平面PDE ⊥平面PAC ； ……4分法二：∵PA ⊥平面ABCD ∴AB PA ⊥ 又∵AB AD ⊥，故可建立建立如图所示坐标系.由已知(0,2,0)D ，(2,1,0)E ，(2,4,0)C ，(0,0,)P λ（0λ>）∴(2,4,0)AC =u u u r ，(0,0,)AP λ=u u u r ，(2,1,0)DE =-u u u r∴4400DE AC ⋅=-+=u u u r u u u r ，0DE AP ⋅=u u u r u u u r.……3分，∴DE AC ⊥，DE AP ⊥，∴ED ⊥平面PAC ，ED ⊂平面PDE ,平面PDE ⊥平面PAC ；……4分（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ），平面PAC 的一个法向量是(2,1,0)DE =-u u u r，因为PAB ∆为等腰直角三角形，故2PA =，(2,1,2)PE =-u u u r.设直线PE 与平面PAC 所成的角为θ，则5sin cos ,5PE DE θ=<>=u u u r u u u r ………8分（ii ）设平面PCD 的一个法向量为n 000(,,)x y z =，(2,2,0)DC =u u u r ，(0,2,2)DP =-u u u r由n DC ⊥u u u r ，n DP ⊥u u u r ∴0000220220x y y z +=⎧⎨-+=⎩，令01x =，则n (1,1,1)=--， ………10分∴cos <n ，2115535DE +>==⨯u u u r .………11分 显然二面角A PC D --的平面角是锐角， ∴二面角A PC D --的余弦值为515.………13分（其他方法可酌情给分） 18．（本小题满分13分）解：（I ）当2n ≥时，2=n A n ，21(1)-=-n A n ， 两式相减：121-=-=-n n n a A A n ；当1n =时，111==a A ，也适合21=-n a n ，故数列{}n a 的通项公式为21=-n a n ；. ………3分（II ）由题意知：2122-==n n n na n c ，12n n C c c c =+++L ，123135212222-=++++L n n n C ，23411352122222+-=++++L n n C n ，两式相减可得：1231122221222222+-=++++-L n n n C n ， ……… 4分 即123-111111121()2222222+-=+++++-L n n n C n ，-111121(1)2222+-=+--n n n C n ，2332+=-n n n C .………7分 （III ）21212121-+=++-n n n b n n，显然212122121-++>=+-n n n n ， 即2n b >，122n n B b b b n =+++>L ； ………9分 另一方面，21212222112212*********-++=-++=+-+-+--+n n n n n n n n ， 即122213=+-b ，222235=+-b ，…，11222121⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭n b n n ，2222222(2)(2)(2)22221335212121=+-++-+++-=+-<+-++L n B n n n n n ， 即：222<<+n n B n . ………13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得2222262c a cb ab a b c ⎧+=⎪=⎨⎪=+⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分 （Ⅱ）由题意知12(2,0),(2,0)A A -， ……………6分设00(,)P x y ，则100:(2)2A P y l y x x =++，得00(,(2))2yM m m x ++. 且由点P 在椭圆上，得22003(1)4x y =-. ……………8分 若以MP 为直径的圆过点2A ，则220A M A P ⋅=u u u u u r u u u u r， ……………9分所以20000000(2,(2))(2,)(2)(2)(2)022y y m m x y m x m x x -+⋅-=--++=++2000000033(4)(2)(2)44(2)(2)(2)(2)(2)(2)022x x x m x m m x m x x --+--++=---+=++ ……………12分因为点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的点，所以02x ≠±. 所以上式可化为3(2)(2)04m m --+=，解得14m =. ……………14分 20．（本小题满分14分）解法一:（I ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥所以2min (2)0x x c -+≥，而22x x c -+在1x =处取得最小值，所以120c -+≥，1c ≥；……………4分 （II ）因为x α=为()f x 的极值点，所以21()20k f c ααα'==-+=，所以22c αα=-+， 又因为()y f x m =-有不同的零点,αβ，所以()()f f αβ=，即32321133c d c d ααααββ-++=-++， 整理得：21(23)()03αβαβ+--=， 所以23αβ+=．……………9分 （III ）满足条件的实数c 存在，由2()2f x x x c '=-+，知过00(,())A x f x 点与曲线相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，且21002k x x c =-+将000()()+()y f x x -x f x '=与()y f x =联立即得B 点得横坐标，所以000()()+(())f x x -x f x f x '=即：3223200000011(2)()+33x x cx d x x c x -x x x cx d -++=-+-++ 整理得：2001(23)()03x x x x +--=由已知0x x ≠,所以0230x x +-=所以032x x =-，即B 点的横坐标为032x - 所以过点B 的曲线的切线斜率为22()2k f x x x c '==-+200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-因此当且仅当 330c -=时，1k 、1k 成比例， 这时1c =即存在实数1c =，使12k k 为定值．……………14分 解法二：（I ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥，所以2(2)c x x ≥--对任意的[0,)x ∈+∞恒成立，故2max [(2)]c x x ≥--， 即2max [(2)]1x x --=，故c 的取值范围是[1,)+∞；…………… 4分（II ）因为x α=为()f x 的极值点，且()y f x m =-有两个零点,()αβαβ≠， 所以()0f x m -=的三个实数根分别为,,ααβ， 由根与系数的关系得12313ααβαβ-++=+=-=；……………9分 （III ）满足条件的实数c 存在，因为2()2f x x x c '=-+，所以过00(,())A x f x 点且与曲线C 相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，其中21002k x x c =-+.设1l 与C 交于另一点11(,)B x y ，则001,,x x x 必为方程'000()()()+()f x f x x -x f x =的三个实数根由'000()()()+()f x f x x -x f x =得32200001(2)()+()3x x cx d x x c x -x f x -++=-+ 因为上述方程的右边不含三次项和二次项，所以0011313x x x -++=-= ，所以1032x x =- 所以'22111()2k f x x x c ==-+ 200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-.因此当且仅当 330c -=时，1k 、1k 成比例， 这时1c =，即存在实数1c =，使12k k 为定值. ……………14分天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题:1-4 DACB 5-8 DACD二、填空题:9.8 10. 24-11. 32+4ln 3-(,e)-∞ 三、解答题:15.（本小题满分13分）解：（I）函数2()2cos cos cos 212f x x x x a x x a =++=+++2sin(2)16x a π=+++， ……………………4分故函数()f x 的最小正周期为T π=. ………………………6分 （II ）由题意得70,,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ……………………10分故min ()112f x a =-++=，所以2a =. ……………………13分 16.（本小题满分13分）解：（I ）由题意知，7名队员中分为两部分，3人为女棋手，4人为男棋手，设事件A =“恰有1位女棋手”，则()1334471235C C P A C ==，………………………4分 所以参加第一阶段的比赛的队员中，恰有1位女棋手的概率为1235.…………5分 （II ）随机变量X 的所有可能取值为0,2,4.其中()22344718035C C P X C ===， ()133134344716235C C C C P X C +===， ()0434471435C C P X C ===. ………………………………9分 所以，随机变量X 分布列为X 024 P18351635135随机变量X 的数学期望()1816136024********E X =⨯+⨯+⨯=. ………………………………13分 17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）法一：∵△AGD :△CGE ，知23DG AD AG GE EC GC ===，且25,AC = 故3655GC AC ==. 同理可得3355GE DE ==，且3EC =，222GC GE EC +=,ED AC ⊥. ………2分又∵PA ⊥平面ABCD ∴PA ED ⊥ ……3分 而PA AC A =I ∴ED ⊥平面PAC .ED ⊂平面PDE ,故平面PDE ⊥平面PAC ； ……4分法二：∵PA ⊥平面ABCD ∴AB PA ⊥ 又∵AB AD ⊥，故可建立建立如图所示坐标系.由已知(0,2,0)D ，(2,1,0)E ，(2,4,0)C ，(0,0,)P λ（0λ>）∴(2,4,0)AC =u u u r ，(0,0,)AP λ=u u u r ，(2,1,0)DE =-u u u r∴4400DE AC ⋅=-+=u u u r u u u r ，0DE AP ⋅=u u u r u u u r.……3分，∴DE AC ⊥，DE AP ⊥，∴ED ⊥平面PAC ，ED ⊂平面PDE ,平面PDE ⊥平面PAC ；……4分（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ），平面PAC 的一个法向量是(2,1,0)DE =-u u u r，因为PAB ∆为等腰直角三角形，故2PA =，(2,1,2)PE =-u u u r.设直线PE 与平面PAC 所成的角为θ，则5sin cos ,PE DE θ=<>=u u u r u u u r ………8分（ii ）设平面PCD 的一个法向量为n 000(,,)x y z =，(2,2,0)DC =u u u r ，(0,2,2)DP =-u u u r由n DC ⊥u u u r ，n DP ⊥u u u r ∴0000220220x y y z +=⎧⎨-+=⎩，令01x =，则n (1,1,1)=--， ………10分∴cos <n，DE >==u u u r .………11分 显然二面角A PC D --的平面角是锐角， ∴二面角A PC D --的余弦值为515.………13分（其他方法可酌情给分） 18．（本小题满分13分）解：（I ）当2n ≥时，2=n A n ，21(1)-=-n A n ， 两式相减：121-=-=-n n n a A A n ；当1n =时，111==a A ，也适合21=-n a n ，故数列{}n a 的通项公式为21=-n a n ；. ………3分（II ）由题意知：2122-==n n n na n c ，12n n C c c c =+++L ，123135212222-=++++L n n n C ，23411352122222+-=++++L n n C n ，两式相减可得：1231122221222222+-=++++-L n n n C n ， ……… 4分 即123-111111121()2222222+-=+++++-L n n n C n ，-111121(1)2222+-=+--n n n C n ，2332+=-n n n C . ………7分 （III ）21212121-+=++-n n n b n n，显然212122121-++>=+-n n n n ， 即2n b >，122n n B b b b n =+++>L ； ………9分 另一方面，21212222112212*********-++=-++=+-+-+--+n n n n n n n n ， 即122213=+-b ，222235=+-b ，…，11222121⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭n b n n ，2222222(2)(2)(2)22221335212121=+-++-+++-=+-<+-++L n B n n n n n ， 即：222<<+n n B n . ………13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得2222262c a cb ab a b c ⎧+=⎪=⎨⎪=+⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分 （Ⅱ）由题意知12(2,0),(2,0)A A -， ……………6分 设00(,)P x y ，则100:(2)2A P y l y x x =++，得00(,(2))2yM m m x ++. 且由点P 在椭圆上，得22003(1)4x y =-. ……………8分 若以MP 为直径的圆过点2A ，则220A M A P ⋅=u u u u u r u u u u r， ……………9分所以20000000(2,(2))(2,)(2)(2)(2)022y y m m x y m x m x x -+⋅-=--++=++2000000033(4)(2)(2)44(2)(2)(2)(2)(2)(2)022x x x m x m m x m x x --+--++=---+=++ ……………12分因为点P 是椭圆C 上不同于12,A A 的点，所以02x ≠±. 所以上式可化为3(2)(2)04m m --+=，解得14m =. ……………14分 20．（本小题满分14分）解法一:（I ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥所以2min (2)0x x c -+≥，而22x x c -+在1x =处取得最小值，所以120c -+≥，1c ≥；……………4分 （II ）因为x α=为()f x 的极值点，所以21()20k f c ααα'==-+=，所以22c αα=-+， 又因为()y f x m =-有不同的零点,αβ，所以()()f f αβ=，即32321133c d c d ααααββ-++=-++，整理得：21(23)()03αβαβ+--=， 所以23αβ+=．……………9分 （III ）满足条件的实数c 存在，由2()2f x x x c '=-+， 知过00(,())A x f x 点与曲线相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，且21002k x x c =-+将000()()+()y f x x -x f x '=与()y f x =联立即得B 点得横坐标，所以000()()+(())f x x -x f x f x '=即：3223200000011(2)()+33x x cx d x x c x -x x x cx d -++=-+-++ 整理得：2001(23)()03x x x x +--=由已知0x x ≠,所以0230x x +-=所以032x x =-，即B 点的横坐标为032x - 所以过点B 的曲线的切线斜率为22()2k f x x x c '==-+200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-因此当且仅当 330c -=时，1k 、1k 成比例， 这时1c =即存在实数1c =，使12k k 为定值．……………14分解法二：（I ）2()2f x x x c '=-+，当[0,)x ∈+∞时2()20f x x x c '=-+≥，所以2(2)c x x ≥--对任意的[0,)x ∈+∞恒成立，故2max [(2)]c x x ≥--， 即2max [(2)]1x x --=，故c 的取值范围是[1,)+∞；…………… 4分（II ）因为x α=为()f x 的极值点，且()y f x m =-有两个零点,()αβαβ≠， 所以()0f x m -=的三个实数根分别为,,ααβ， 由根与系数的关系得12313ααβαβ-++=+=-=；……………9分 （III ）满足条件的实数c 存在，因为2()2f x x x c '=-+，所以过00(,())A x f x 点且与曲线C 相切的直线1l 为：000()()+()y f x x -x f x '=，其中21002k x x c =-+.设1l 与C 交于另一点11(,)B x y ，则001,,x x x 必为方程'000()()()+()f x f x x -x f x =的三个实数根由'000()()()+()f x f x x -x f x =得32200001(2)()+()3x x cx d x x c x -x f x -++=-+ 因为上述方程的右边不含三次项和二次项，所以0011313x x x -++=-= ，所以1032x x =- 所以'22111()2k f x x x c ==-+ 200(32)2(32)x x c =---+2004(2)33x x c c =-++-1433k c =+-.因此当且仅当 330c -=时，1k 、1k 成比例， 这时1c =，即存在实数1c =，使12k k 为定值. ……………14分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2016-2017学年天津市宝坻一中、静海一中、杨村一中、芦台一中、蓟县一中五校联考高三上学期数学期末试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合A={1，4}，B={y|y=log2x，x∈A}，则A∪B=（）A．{1，4}B．{0，1，4}C．{0，2}D．{0，1，2，4}2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣2y的最小值为（）A．B．﹣3 C．0 D．13．（5分）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出v的值为（）A．4 B．5 C．6 D．74．（5分）已知△ABC是钝角三角形，若AC=1，BC=2，且△ABC的面积为，则AB=（）A．B．C．D．35．（5分）设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}为单调递增数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知双曲线的焦点的渐近线的距离为2，且双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+3=0平行，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．7．（5分）在△ABC中，D在AB上，AD：DB=1：2，E为AC中点，CD、BE相交于点P，连结AP．设=x+y（x，y∈R），则x，y的值分别为（）A．B．C．D．8．（5分）已知f（x）=（x2﹣3）e x（其中x∈R，e是自然对数的底数），当t1＞0时，关于x的方程[f（x）﹣t1][f（x）﹣t2]=0恰好有5个实数根，则实数t2的取值范围是（）A．（﹣2e，0）B．（﹣2e，0]C．[﹣2e，6e﹣3]D．（﹣2e，6e﹣3]二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1﹣2i）（2+ai）=b﹣2i，则a+b的值为．10．（5分）在的展开式中，x﹣3的系数为．（用数字作答）11．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，由曲线与直线y=x和y=3所围成的封闭图形的面积为．13．（5分）在直角坐标系xOy中，已知曲线（t为参数），曲线（θ为参数，a＞1），若C1恰好经过C2的焦点，则a的值为．14．（5分）已知，若方程f（x）=kx有且仅有一个实数解，则实数k的取值范围为．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）当时，f（x）的最小值为2，求a的值．16．（13分）某区选派7名队员代表本区参加全市青少年围棋锦标赛，其中3名来自A学校且1名为女棋手，另外4名来自B学校且2名为女棋手．从这7名队员中随机选派4名队员参加第一阶段的比赛（I）求在参加第一阶段比赛的队员中，恰有1名女棋手的概率；（Ⅱ）设X为选出的4名队员中A、B两校人数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，AD∥BC，AD=BC=2，E在BC上，且BE=AB=1，侧棱PA⊥平面ABCD．（1）求证：平面PDE⊥平面PAC；（2）若△PAB为等腰直角三角形．（i）求直线PE与平面PAC所成角的正弦值；（ii）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．18．（13分）已知数列{a n}的前n项和，数列{b n}的前n项和为B n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{c n}的前n项和C n；（3）证明：．19．（14分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，若△BF1F2的周长为6，且点F1到直线BF2的距离为b．（1）求椭圆C的方程；（2）设A1，A2是椭圆C长轴的两个端点，点P是椭圆C上不同于A1，A2的任意一点，直线A1P交直线x=m于点M，若以MP为直径的圆过点A2，求实数m的值．20．（14分）已知函数，函数f（x）的图象记为曲线C．（1）若函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，求c的取值范围；（2）若函数y=f（x）﹣m有两个零点α，β（α≠β），且x=α为f（x）的极值点，求2α+β的值；（3）设曲线C在动点A（x0，f（x0））处的切线l1与C交于另一点B，在点B处的切线为l2，两切线的斜率分别为k1，k2，是否存在实数c，使得为定值？若存在，求出c的值；若不存在，说明理由．2016-2017学年天津市宝坻一中、静海一中、杨村一中、芦台一中、蓟县一中五校联考高三上学期数学期末试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合A={1，4}，B={y|y=log2x，x∈A}，则A∪B=（）A．{1，4}B．{0，1，4}C．{0，2}D．{0，1，2，4}【解答】解：∵集合A={1，4}，B={y|y=log2x，x∈A}={0，2}，∴A∪B={0，1，2，4}．故选：D．2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣2y的最小值为（）A．B．﹣3 C．0 D．1【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（，），由z=x﹣2y得：y=x﹣z，平移直线y=x，结合图象直线过A（，）时，z最小，z的最小值是：﹣，故选：A．3．（5分）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出v的值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：模拟程序的运行，可得n=2，a0=1，a1=2，a2=3，v=3，i=1满足条件i≥0，执行循环体，v=5，i=0满足条件i≥0，执行循环体，v=6，i=﹣1不满足条件i≥0，退出循环，输出v的值为6．故选：C．4．（5分）已知△ABC是钝角三角形，若AC=1，BC=2，且△ABC的面积为，则AB=（）A．B．C．D．3【解答】解：由题意得，钝角三角形ABC，若AC=1，BC=2，且△ABC的面积为，则×sinC=，解得sinC=，由0＜C＜π得，C=或，当C=时，由余弦定理得：AB2=AC2+BC2﹣2AC•BC•cosC=1+4﹣2×1×=3，AB=，则A是最大角，cosA=0，则A是直角，这与三角形是钝角三角形矛盾，所以C=，则AB2=AC2+BC2﹣2AC•BC•c osC=1+4+2×1×=7，则AB=，故选：B．5．（5分）设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}为单调递增数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：等比数列﹣1，﹣2，﹣4，…，满足公比q=2＞1，但{a n}不是递增数列，充分性不成立．若a n=﹣1•（）n﹣1为递增数列，但q=＞1不成立，即必要性不成立，故“q＞1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选：D．6．（5分）已知双曲线的焦点的渐近线的距离为2，且双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+3=0平行，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线的焦点的渐近线的距离为2，可得b=2；双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+3=0平行，可得，解得a=4．所求双曲线方程为：．故选：A．7．（5分）在△ABC中，D在AB上，AD：DB=1：2，E为AC中点，CD、BE相交于点P，连结AP．设=x+y（x，y∈R），则x，y的值分别为（）A．B．C．D．【解答】解：由D、P、C三点共线，则存在实数λ使得=λ=λ（﹣），∴﹣==λ（﹣），∴=λ+（1﹣λ），∵AD：DB=1：2，∵=，∴=λ+（1﹣λ），由E为AC中点，由E、P、B三点共线，同理存在实数μ使得=+μ，∴，解得∴=+，∵=x+y（x，y∈R），∴x=，y=，故选：C．8．（5分）已知f（x）=（x2﹣3）e x（其中x∈R，e是自然对数的底数），当t1＞0时，关于x的方程[f（x）﹣t1][f（x）﹣t2]=0恰好有5个实数根，则实数t2的取值范围是（）A．（﹣2e，0）B．（﹣2e，0]C．[﹣2e，6e﹣3]D．（﹣2e，6e﹣3]【解答】解：f（x）=（x2﹣3）e x的导数为f′（x）=（x2+2x﹣3）e x=（x﹣1）（x+3）e x，当﹣3＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＞1或x＜﹣3时，f′（x）＞0，f（x）递增．可得f（x）的极小值为f（1）=﹣2e，极大值为f（﹣3）=6e﹣3，作出y=f（x）的图象，如图：当t1＞0时，关于x的方程[f（x）﹣t1][f（x）﹣t2]=0恰好有5个实数根，即为f（x）=t1或f（x）=t2恰好有5个实数根，若t1＞6e﹣3，f（x）=t1只有一个实根，不合题意；若0＜t1＜6e﹣3，f（x）=t1有三个实根，只要﹣2e＜t2≤0或t2=6e﹣3满足题意；若t1=6e﹣3，f（x）=t1有两个实根，只要0＜t2＜6e﹣3，满足题意；综上可得，t2的范围是（﹣2e，6e﹣3]．故选：D．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1﹣2i）（2+ai）=b﹣2i，则a+b的值为8．【解答】解：∵（1﹣2i）（2+ai）=（2+2a）+（a﹣4）i=b﹣2i，∴，解得．则a+b的值为：8．故答案为：8．10．（5分）在的展开式中，x﹣3的系数为﹣24．（用数字作答）=•（4x2）6﹣r•（﹣）r=【解答】解：的展开式的通项公式为T r+1（﹣1）r•46﹣r••x12﹣3r，令12﹣3r=﹣3，解得r=5，∴展开式中x﹣3的系数为﹣24．故答案为﹣24．11．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，底面面积为：×2×4=4，底面周长为：2+4+=6+2，故棱柱的表面积S=2×4+4×（6+2）=，故答案为：12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，由曲线与直线y=x和y=3所围成的封闭图形的面积为4﹣ln3．【解答】解：由题意，由曲线与直线y=x和y=3所围成的封闭图形的面积为+=（3x﹣lnx）+2=4﹣ln3．故答案为4﹣ln3．13．（5分）在直角坐标系xOy中，已知曲线（t为参数），曲线（θ为参数，a＞1），若C1恰好经过C2的焦点，则a的值为．【解答】解：∵曲线（t为参数），曲线（θ为参数，a＞1），∴曲线C1的普通方程为x2﹣y2=4，曲线C2的普通方程为=1，a＞1，∵C1恰好经过C2的焦点（，0），∴a2﹣1=4，解得a=．故答案为：．14．（5分）已知，若方程f（x）=kx有且仅有一个实数解，则实数k的取值范围为（﹣∞，e）．【解答】解：，若方程f（x）=kx有且仅有一个实数解，就是分段函数与y=kx的图象只有一个交点，如图：显然k小于OA的斜率时满足题意，y=e x，x≥1，导函数为y′=e x，是增函数，当x=1时函数取得最小值，此时OA的斜率最小，最小值为：e，可得k＜e．故答案为：（﹣∞，e）．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）当时，f（x）的最小值为2，求a的值．【解答】解：（1）函数=，…（4分）∴f（x）的最小正周期为π；（2）当时，2x+∈[，]，∴f（x）的最小值为﹣1+a+1=2，∴a=2．16．（13分）某区选派7名队员代表本区参加全市青少年围棋锦标赛，其中3名来自A学校且1名为女棋手，另外4名来自B学校且2名为女棋手．从这7名队员中随机选派4名队员参加第一阶段的比赛（I）求在参加第一阶段比赛的队员中，恰有1名女棋手的概率；（Ⅱ）设X为选出的4名队员中A、B两校人数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望【解答】解：（I）由题意知，7名队员中分为两部分，3人为女棋手，4人为男棋手，设事件A=“恰有1位女棋手”，则，…（4分）所以参加第一阶段的比赛的队员中，恰有1位女棋手的概率为．…（5分）（II）随机变量X的所有可能取值为0，2，4．其中，，．…（9分）所以，随机变量X分布列为随机变量X的数学期望．…（13分）17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，AD∥BC，AD=BC=2，E在BC上，且BE=AB=1，侧棱PA⊥平面ABCD．（1）求证：平面PDE⊥平面PAC；（2）若△PAB为等腰直角三角形．（i）求直线PE与平面PAC所成角的正弦值；（ii）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．【解答】（本小题满分13分）证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，又∵AB⊥AD，故可建立建立如图所示坐标系．由已知D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0），P（0，0，λ），（λ＞0）∴=（2，4，0），=（0，0，λ），=（2，﹣1，0），∴=4﹣4+0=0，．…（3分），∴DE⊥AC，DE⊥AP，∴ED⊥平面PAC，∵ED⊂平面PDE，平面PDE⊥平面PAC．…（4分）解：（2）（i）由（1）得，平面PAC的一个法向量是=（2，﹣1，0），∵△PAB为等腰直角三角形，故PA=2，．设直线PE与平面PAC所成的角为θ，则===，∴直线PE与平面PAC所成角的正弦值为．…（8分）（ii）设平面PCD的一个法向量为=（x，y，z），=（2，2，0），=（0，﹣2，2），则，令x=1，则=（1，﹣1，﹣1），…（10分）∴cos＜＞==．…（11分）∵二面角A﹣PC﹣D的平面角是锐角，∴二面角A﹣PC﹣D的余弦值为．…（13分）18．（13分）已知数列{a n}的前n项和，数列{b n}的前n项和为B n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{c n}的前n项和C n；（3）证明：．【解答】（本小题满分13分）解：（I）当n≥2时，，，两式相减：a n=A n﹣A n﹣1=2n﹣1；当n=1时，a1=A1=1，也适合a n=2n﹣1，故数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1；．…（3分）（II）由题意知：，C n=c1+c2+…+c n，，，两式相减可得：，…（4分）即，，．…（7分）（III），显然，即b n＞2，B n=b1+b2+…+b n＞2n；…（9分）另一方面，，即，，…，，，即：2n＜B n＜2n+2．…（13分）19．（14分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，若△BF1F2的周长为6，且点F1到直线BF2的距离为b．（1）求椭圆C的方程；（2）设A1，A2是椭圆C长轴的两个端点，点P是椭圆C上不同于A1，A2的任意一点，直线A1P交直线x=m于点M，若以MP为直径的圆过点A2，求实数m的值．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得，解得．所以椭圆C的方程为．…（5分）（Ⅱ）由题意知A1（﹣2，0），A2（2，0），…（6分）设P（x0，y0），则，得．且由点P在椭圆上，得．…（8分）若以MP为直径的圆过点A2，则，…（9分）所以..…（12分）因为点P是椭圆C上不同于A1，A2的点，所以x0≠±2．所以上式可化为，解得m=14．…（14分）20．（14分）已知函数，函数f（x）的图象记为曲线C．（1）若函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，求c的取值范围；（2）若函数y=f（x）﹣m有两个零点α，β（α≠β），且x=α为f（x）的极值点，求2α+β的值；（3）设曲线C在动点A（x 0，f（x0））处的切线l1与C交于另一点B，在点B处的切线为l 2，两切线的斜率分别为k1，k2，是否存在实数c，使得为定值？若存在，求出c的值；若不存在，说明理由．【解答】解法一：（1）f'（x）=x2﹣2x+c，当x∈[0，+∞）时f'（x）=x2﹣2x+c≥0所以（x2﹣2x+c）min≥0，而x2﹣2x+c在x=1处取得最小值，所以1﹣2+c≥0，c≥1；…（4分）（2）因为x=α为f（x）的极值点，所以，所以c=﹣α2+2α，又因为y=f（x）﹣m有不同的零点α，β，所以f（α）=f（β），即，整理得：，所以2α+β=3．…（9分）（3）满足条件的实数c存在，由f'（x）=x2﹣2x+c，知过A（x0，f（x0））点与曲线相切的直线l1为：y=f'（x0）（x﹣x0）+f（x0），且k1=﹣2x0+c，将y=f'（x0）（x﹣x0）+f（x0）与y=f（x）联立即得B点得横坐标，所以f'（x0）（x﹣x0）+f（x0）=f（x）即：整理得：由已知x≠x0，所以x+2x0﹣3=0所以x=3﹣2x0，即B点的横坐标为3﹣2x0所以过点B的曲线的切线斜率为：===4k1+3﹣3c因此当且仅当3﹣3c=0时，k1、k1成比例，这时c=1即存在实数c=1，使为定值．…（14分）解法二：（1）f'（x）=x2﹣2x+c，当x∈[0，+∞）时f'（x）=x2﹣2x+c≥0，所以c≥﹣（x2﹣2x）对任意的x∈[0，+∞）恒成立，故c≥[﹣（x2﹣2x）]max，即[﹣（x2﹣2x）]max=1，故c的取值范围是[1，+∞）；…（4分）（2）因为x=α为f（x）的极值点，且y=f（x）﹣m有两个零点α，β（α≠β），所以f（x）﹣m=0的三个实数根分别为α，α，β，由根与系数的关系得；…（9分）（3）满足条件的实数c存在，因为f'（x）=x2﹣2x+c，所以过A（x0，f（x0））点且与曲线C相切的直线l1为：y=f'（x0）（x﹣x0）+f（x0），其中．设l1与C交于另一点B（x1，y1），则x0，x0，x1必为方程f（x）=f′（x0）（x﹣x0）+f（x0）的三个实数根，由f（x）=f′（x0）（x﹣x0）+f（x0）得，因为上述方程的右边不含三次项和二次项，所以，所以x1=3﹣2x0，所以===4k1+3﹣3c．因此当且仅当3﹣3c=0时，k1、k1成比例，这时c=1，即存在实数c=1，使为定值．…（14分）。