第五章对流扩散方程的离散格式
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对均分网格：
2. 对流项离散格式的重要性及两种离散方式
2.2 构造对流项离散格式的两种方式 （2）控制容积积分
给出界面上被求函数的插值方式
2. 对流项离散格式的重要性及两种离散方式
2.2 构造对流项离散格式的两种方式 （3）两种定义之间的关系
对某种对流项离散格式，都可以用两种方法给出其相应 的定来自百度文库；
发生在某一地点上的扰动只能向其下游方向传递而不会逆向传播。
为某一物理量的扰动，t0 为初始 时刻， t1 ，t2 表示相继时刻；虚 线所示图形表示在扩散或对流作用 下扰动的传递情形。
2. 对流项离散格式的重要性及两种离散方式
2.1 重要性
数学观点：对流项是一阶导数项，离散不存在困难。 物理过程观点：对流作用带有强烈的方向性 难 ！
离散扰动分析法：采用非稳态显式的某种格式来研究该格式传递扰动的特性。
研究一维非稳态扩散方程
=
的显式格式:
− =
∆
−+ ∆
开始时刻物理量场均匀， 处处相等，且假定其为零。在某一时刻 n， 某一节点 i 上突然有一个扰动 ，其余各点上扰动为零，随着时间的推
移，这一扰动传递的情形可按上述差分方程来确定：
1. 简 介
3.2 对流项的中心差分
特性分析： 将x=L/2带入，得P点精确解：
中心差分解：
3. 对流项的中心差分与迎风差分
3.2 对流项的中心差分
特性分析：
P∆ 精确解 P 中心差分 P
对数值计算及其结果而言，对流项的离散方式构造得是否 合适，影响到： 1. 数值解的准确性 （一阶截差严重的数值结算误差，假扩散问题） 2. 数值解的稳定性（一定条件下解的震荡，中心差分的条件稳定） 3. 数值解的经济性（复杂格式，求解耗内存与时间，加速）
2. 对流项离散格式的重要性及两种离散方式
2.2 构造对流项离散格式的两种方式 （1）Taylor展开方式
aP = aE + aW
aE = De – Fe / 2 aW = Dw + Fw / 2
在流场的实际求解过程中， 每一个迭代层次上，即使速度 场尚未收敛，也要保证连续方 程是满足的。
3. 对流项的中心差分与迎风差分
3.2 对流项的中心差分
三点说明：
系数 aE , aW 包含了对流 F 与扩散 D的作用的影响；
3.1 一维对流-扩散问题模型方程的精确解
上游优势
3. 对流项的中心差分与迎风差分
3.1 一维对流-扩散问题模型方程的精确解
希望所构建的离散方程形式也具有这样的物理特性
3. 对流项的中心差分与迎风差分
3.2 对流项的中心差分 Central Scheme （CS）
分段线性
均分网格
令
对流项
----界面上的流量
1. 简 介
对流与扩散作用在物理本质上的区别
从物理过程来看，扩散作用与对流作用在传递信息或扰动方面 的特点有很大区别：
扩散是由分子的不规则热运动所致，分子不规则热运动对空间不同方向
的几率都是一样的，因而扩散过程可以把发生在某一地点上的扰动的影响 向各个方向传递。
对流是流体微团宏观的定向运动，带有强烈的方向性。在对流的作用下，
De , Dw 部分是由扩散项的中心差分所形成， 代表了扩散作用的影响； 与流量有关的部分则是界面上分段线性型线 在均匀网格下的表现，体现了对流的作用。
3. 对流项的中心差分与迎风差分
3.2 对流项的中心差分
三点说明：
所谓不同格式，具体表现在这两部分表达形式 的不同上；
本章如无特别说明，扩散项均取中心差分，其 表达式即为
3. 对流项的中心差分与迎风差分
3.2 对流项的中心差分
特性分析：
3. 对流项的中心差分与迎风差分
3.2 对流项的中心差分
特性分析：
在一维模型方程离散求解的均匀网格中，已知 W 100 ， E 200 。试对P∆=0, 1, 2, 4 四种情形，按中心差分计算 的 P 值，并解释结果。
3. 对流项的中心差分与迎风差分
扩散作用下扰动的传递
1. 简 介
两个一阶导数项：非线性对流项、压力梯度项。数值处理 方法远比二阶扩散项复杂的多。
不可压缩流场数值解的关键问题都是由这两个一阶导数项 的离散所引起的。
1. 非线性对流项处理 对流项的离散格式 （本章） 2. 动量方程中压力梯度项的处理 压力与速度之间的耦
合关系 （下章）
可以证明，扩散项具有二阶截差的中心差分确实具有 把扰动向四周均匀传递的特性。中心差分离散格式能够很 好地反映扩散过程的的特点；
对大多数有实际意义的问题，这一离散格式能很好地反 映扩散过程的特点，且已完全能满足需要。数值计算结果 误差的主要来源，在于对流项的离散格式。
1. 简 介
证明：扩散项的中心差分可以将扰动均匀地向四周传递
对节点 i：
− =
∆
0
0
−+
∆
=
−
对节点 i+1：
0
−
∆
=
=
=−
00
−
+
∆
=
1. 简 介
0
对节点 i-1：
− =
∆
=
00
−
+
∆
=
若取
=0.25 <0.5（稳定性条件），则n时刻的扰动到n+1时刻如图：
n 时刻
n +1 时刻
/2
i-2 i-1 i i+1 i+2 x
/4
i-2 i-1 i i+1 i+2 x
3. 对流项的中心差分与迎风差分
3.2 对流项的中心差分
令
扩散项
----界面上的扩导
3. 对流项的中心差分与迎风差分
3.2 对流项的中心差分
aP
aE
aW
aP = aE + aW + ( Fe - Fw )
3. 对流项的中心差分与迎风差分
3.2 对流项的中心差分
求解过程中连续方程始终满足： Fe = Fw
两种定义方式的截断误差阶数是一致的，均为二阶截差 （中心差分，分段线性）；
Taylor 展开： 逼近 P点导数值 控制容积积分：逼近 控制容积内导数的积分平均值
3. 对流项的中心差分与迎风差分
3.1 一维对流-扩散问题模型方程的精确解
该数学描写的精确解（解析解）：
3. 对流项的中心差分与迎风差分
第五章 对流-扩散方程的离散格式
王娴
西安交通大学航天学院
内容
简介 对流项离散格式的重要性及两种离散方式 对流项的中心差分与迎风差分 对流离散格式假扩散特性 克服或减轻假扩散的格式 对流项离散格式讨论小结
1. 简 介
描写对流换热的控制方程包括质量守恒，动量守恒，能量 守恒。这些微分方程中最高阶导数项为二阶（扩散项）： 离散 中心差分 （无方向性，容易）
2. 对流项离散格式的重要性及两种离散方式
2.2 构造对流项离散格式的两种方式 （2）控制容积积分
给出界面上被求函数的插值方式
2. 对流项离散格式的重要性及两种离散方式
2.2 构造对流项离散格式的两种方式 （3）两种定义之间的关系
对某种对流项离散格式，都可以用两种方法给出其相应 的定来自百度文库；
发生在某一地点上的扰动只能向其下游方向传递而不会逆向传播。
为某一物理量的扰动，t0 为初始 时刻， t1 ，t2 表示相继时刻；虚 线所示图形表示在扩散或对流作用 下扰动的传递情形。
2. 对流项离散格式的重要性及两种离散方式
2.1 重要性
数学观点：对流项是一阶导数项，离散不存在困难。 物理过程观点：对流作用带有强烈的方向性 难 ！
离散扰动分析法：采用非稳态显式的某种格式来研究该格式传递扰动的特性。
研究一维非稳态扩散方程
=
的显式格式:
− =
∆
−+ ∆
开始时刻物理量场均匀， 处处相等，且假定其为零。在某一时刻 n， 某一节点 i 上突然有一个扰动 ，其余各点上扰动为零，随着时间的推
移，这一扰动传递的情形可按上述差分方程来确定：
1. 简 介
3.2 对流项的中心差分
特性分析： 将x=L/2带入，得P点精确解：
中心差分解：
3. 对流项的中心差分与迎风差分
3.2 对流项的中心差分
特性分析：
P∆ 精确解 P 中心差分 P
对数值计算及其结果而言，对流项的离散方式构造得是否 合适，影响到： 1. 数值解的准确性 （一阶截差严重的数值结算误差，假扩散问题） 2. 数值解的稳定性（一定条件下解的震荡，中心差分的条件稳定） 3. 数值解的经济性（复杂格式，求解耗内存与时间，加速）
2. 对流项离散格式的重要性及两种离散方式
2.2 构造对流项离散格式的两种方式 （1）Taylor展开方式
aP = aE + aW
aE = De – Fe / 2 aW = Dw + Fw / 2
在流场的实际求解过程中， 每一个迭代层次上，即使速度 场尚未收敛，也要保证连续方 程是满足的。
3. 对流项的中心差分与迎风差分
3.2 对流项的中心差分
三点说明：
系数 aE , aW 包含了对流 F 与扩散 D的作用的影响；
3.1 一维对流-扩散问题模型方程的精确解
上游优势
3. 对流项的中心差分与迎风差分
3.1 一维对流-扩散问题模型方程的精确解
希望所构建的离散方程形式也具有这样的物理特性
3. 对流项的中心差分与迎风差分
3.2 对流项的中心差分 Central Scheme （CS）
分段线性
均分网格
令
对流项
----界面上的流量
1. 简 介
对流与扩散作用在物理本质上的区别
从物理过程来看，扩散作用与对流作用在传递信息或扰动方面 的特点有很大区别：
扩散是由分子的不规则热运动所致，分子不规则热运动对空间不同方向
的几率都是一样的，因而扩散过程可以把发生在某一地点上的扰动的影响 向各个方向传递。
对流是流体微团宏观的定向运动，带有强烈的方向性。在对流的作用下，
De , Dw 部分是由扩散项的中心差分所形成， 代表了扩散作用的影响； 与流量有关的部分则是界面上分段线性型线 在均匀网格下的表现，体现了对流的作用。
3. 对流项的中心差分与迎风差分
3.2 对流项的中心差分
三点说明：
所谓不同格式，具体表现在这两部分表达形式 的不同上；
本章如无特别说明，扩散项均取中心差分，其 表达式即为
3. 对流项的中心差分与迎风差分
3.2 对流项的中心差分
特性分析：
3. 对流项的中心差分与迎风差分
3.2 对流项的中心差分
特性分析：
在一维模型方程离散求解的均匀网格中，已知 W 100 ， E 200 。试对P∆=0, 1, 2, 4 四种情形，按中心差分计算 的 P 值，并解释结果。
3. 对流项的中心差分与迎风差分
扩散作用下扰动的传递
1. 简 介
两个一阶导数项：非线性对流项、压力梯度项。数值处理 方法远比二阶扩散项复杂的多。
不可压缩流场数值解的关键问题都是由这两个一阶导数项 的离散所引起的。
1. 非线性对流项处理 对流项的离散格式 （本章） 2. 动量方程中压力梯度项的处理 压力与速度之间的耦
合关系 （下章）
可以证明，扩散项具有二阶截差的中心差分确实具有 把扰动向四周均匀传递的特性。中心差分离散格式能够很 好地反映扩散过程的的特点；
对大多数有实际意义的问题，这一离散格式能很好地反 映扩散过程的特点，且已完全能满足需要。数值计算结果 误差的主要来源，在于对流项的离散格式。
1. 简 介
证明：扩散项的中心差分可以将扰动均匀地向四周传递
对节点 i：
− =
∆
0
0
−+
∆
=
−
对节点 i+1：
0
−
∆
=
=
=−
00
−
+
∆
=
1. 简 介
0
对节点 i-1：
− =
∆
=
00
−
+
∆
=
若取
=0.25 <0.5（稳定性条件），则n时刻的扰动到n+1时刻如图：
n 时刻
n +1 时刻
/2
i-2 i-1 i i+1 i+2 x
/4
i-2 i-1 i i+1 i+2 x
3. 对流项的中心差分与迎风差分
3.2 对流项的中心差分
令
扩散项
----界面上的扩导
3. 对流项的中心差分与迎风差分
3.2 对流项的中心差分
aP
aE
aW
aP = aE + aW + ( Fe - Fw )
3. 对流项的中心差分与迎风差分
3.2 对流项的中心差分
求解过程中连续方程始终满足： Fe = Fw
两种定义方式的截断误差阶数是一致的，均为二阶截差 （中心差分，分段线性）；
Taylor 展开： 逼近 P点导数值 控制容积积分：逼近 控制容积内导数的积分平均值
3. 对流项的中心差分与迎风差分
3.1 一维对流-扩散问题模型方程的精确解
该数学描写的精确解（解析解）：
3. 对流项的中心差分与迎风差分
第五章 对流-扩散方程的离散格式
王娴
西安交通大学航天学院
内容
简介 对流项离散格式的重要性及两种离散方式 对流项的中心差分与迎风差分 对流离散格式假扩散特性 克服或减轻假扩散的格式 对流项离散格式讨论小结
1. 简 介
描写对流换热的控制方程包括质量守恒，动量守恒，能量 守恒。这些微分方程中最高阶导数项为二阶（扩散项）： 离散 中心差分 （无方向性，容易）