线性代数2_3逆矩阵[1]1

2a c 1, 2b d 0 , a 0, b 1,
《线性代数》
a 0, b 1, c 1, d 2.
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0 1 B 1 2
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例1
设
2 A 1
那么,F 矩阵 是怎么得到 的呢？
.
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2. 可逆矩阵的定义
定义1 对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得 ABBAE， 那么矩阵A称为可逆的，而B称为A的逆矩阵.
逆矩阵的唯一性 如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的. 这是因为，如果B和B1都是A的逆矩阵，则有 ABBAE， AB1B1AE
。
注：求解矩阵方程
(1) AX B X A B (2) XA B X BA
1 1 1
1
(3) AXB C X A CB
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3.6 伴随矩阵的常用性质
1. AA＊＝A＊A＝|A|E ; 2. 若|A|≠0, 则A＊＝|A|A-1 ;
3. 若|A|≠0, 则|A*|=|A|n-1 .
，
B 1
3 1 ， 5 2
1 3 2 0 3 1
2 1 3 1 10 4 5 2 10 4
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.
《线性代数》
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1 2 例6．设A 2 2 3 4 求矩阵X 使AXBC。 解： XA1CB1
3 1 3 2 1 ， C 2 0 1 ， B 5 3 3 3 1 2 1 10 4 。 10 4
5 2 1 * 因此A的伴随矩阵 A 1 1 2 1 1 1
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4. (非)奇异矩阵 定义3 对于n阶矩阵A，若行列式|A|0，则称A是奇异的 (或降秩的或退化的)，否则称A为非奇异的(或满秩的或非退 化的) .
5. 方阵可逆的充分必要条件
定理2 n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是|A|0，而且 1 A1 — A*，其中A*为方阵A的伴随矩阵. |A|
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ห้องสมุดไป่ตู้
1 矩阵 A 可逆 |A|0； A1 — A* . |A|
1 0 1 例2．求矩阵 A 2 1 0 的逆矩阵. 3 2 5
1 0 1 解: 因为 |A| 2 1 0 20，所以A可逆. 3 2 5
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5 2 1 A11 A21 A31 又因为 A* A12 A22 A32 10 2 2 A13 A23 A33 7 2 1
，
5 2 1 5/2 1 1/2 1 1 所以 A1 — A* — 10 2 2 5 1 1 . |A| 2 7 2 1 7/2 1 1/2
的伴随矩阵A*.
解: 三阶矩阵A的伴随矩阵A*为
A11 A21 A31 A12 A22 A32 A13 A23 A33
1 2
A11 (1)
11
2 3 1 1
5 ， A12 (1)
1 3 0 1
1
同理 A13=1， A21=-2， A22=1， A23=-1， A31=-1， A32=2， A33=1
a11 a 定义2 由矩阵 A 21 an1 A11 A12 A1n
称为矩阵A的伴随矩阵，记为A* .即
A11 A12 * A = A1n
《线性代数》
A21 A22 A2n

An1 An2 Ann
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1 1 1 例1. 求 A 1 2 3 0 1 1
于是
B BE B(AB1) ( BA)B1 EB1 B1 .
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2. 可逆矩阵的定义
定义1 对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得 ABBAE， 那么矩阵A称为可逆矩阵，而B称为A的逆矩阵. 定理1 如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的. A的逆矩阵记为A1 . 即若ABBAE ，则BA1 . 由于A，B位置对称，故A，B互逆，即BA1， AB1. 如
1
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3.2
3. 伴随矩阵
方阵可逆的充分必要条件 a12 a1n a22 a2n 的代数余子式构成的矩阵 an2 ann 特别注意 A21 An1 A*的元素 A22 An2 排列顺序 A2n Ann
4. (AB)*=B*A* 5. (kA)*=kn-1A* 6. 若A可逆，则(A-1)*=(A*)-1
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小结
逆矩阵的概念及运算性质.
逆矩阵 A1 存在 A 0.
逆矩阵的计算方法
A 1 1待定系数法; 2 利用公式A ; A
后面介绍 . 3初等变换法
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2 1 , 求A的逆阵. 例1 设 A 1 0 解 利用待定系数法 a b 是 A 的逆矩阵, 则 设 B c d 2 1 a b 1 0 2a c 2b d 1 0 AB b 0 1 1 0 c d 0 1 a
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3.4 用逆矩阵求解线性方程组
线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 an1 x1 an 2 x2 a1n xn b1 , a2 n xn b2 , ann xn bn .
1 , 求A的逆阵. 0
又因为
AB
0 1 B 1 2
BA
2 1 0 1 0 1 2 1 1 0 , 1 0 1 2 1 2 1 0 0 1
所以
0 1 A . 1 2
逆矩阵
3.1 逆矩阵的概念
x1 x2 1
1 1 x1 3 解：将其写成矩阵方程 1 1 1 x 2 1 / 2 1 / 2 两边都左乘矩阵F得 ( F 1 / 2 1 / 2 ) 1 / 2 1 / 2 1 1 x1 1 / 2 1 / 2 3 1 / 2 1 / 2 1 1 1 / 2 1 / 2 1 x 2 x1 1 1 0 x1 1 0 1 2 2 x x 2 2 从而得方程组的解: x1 1 , x2 2
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3.5 用逆矩阵求解矩阵方程
例6． 设A
1 2 3
2 2 4
3 1 3 2 1 ， C 2 0 1 ， B 5 3 3 3 1
为什么？
.
求矩阵X 使AXBC . 解:
XA1CB1 1 3 2 A1 3/2 3 5/2 1 1 1 1 3 2 X 3/2 3 5/2 1 1 1
aa a a 1,
1 其中 a 为a 的倒数， （或称 a 的逆）； a
1
1
1
在矩阵的运算中， 单位阵 E 相当于数的乘法运算中 的1，那么，对于矩阵A, 如果存在一个矩阵A-1 ,
使得
AA1 A1 A E ,
1 A 则矩阵 即为 A 的可逆矩阵或逆阵.
《线性代数》
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1 1 3 A 2 1 4 1 2 4 可以验证， AB BA E
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4 2 1 B 4 1 2 3 1 1
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比较—逆矩阵与倒数
在数的运算中，当数a 0时， 有
第3节 逆矩阵(inverse matrix)
3.1 逆矩阵的定义 3.2 方矩阵可逆的充分必要条件 3.3 可逆矩阵的性质
3.4 用逆矩阵求解线性方程组
3.5 用逆矩阵求解矩阵方程 3.6 伴随矩阵的常用性质
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第 3节
1. 逆矩阵概念的引入 解方程组 x1 x2 3
当|A|≠0时，A-1存在， AX=b两边左乘A-1，得 X=A-1b
这就是线性方程组解的矩阵表达式.
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例5. 利用逆矩阵求解方程组
2 x1 2 x2 3 x3 2 2 . x1 x2 x 2x x 4 2 3 1
解: 将方程组写成矩阵形式 AX b
的矩阵形式为 AX a11 a12 其中 a21 a22 A an1 an 2
b
a1n a2 n ann
x1 x2 X x n
b1 b2 b b n
2 3 2 A 1 1 0 , 1 2 1
1
x1 X x2 , x 3
2 b 2 . 4
计算得 A 1 0 ，故A可逆. 因而有 X A1b ，即
x1 2 2 3 2 1 4 3 2 18 x 1 1 0 2 1 5 3 2 20 2 . x 1 2 1 4 1 6 4 4 26 3