菱形的性质与判定(培优辅导班试题)
菱形的性质与判定练习题
菱形的性质与判定练习题一、填空、选择题：1、(2010•肇庆）菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）A．2 B．C．1 D．2、(2010•襄阳）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：13、已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为__________cm2．4、已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是__________cm2．5、如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_______.5题图6题图7题图6、2003•温州）如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是__________．7、如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE=__________度．8、(2013南京）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF= __________8题图9题图10题图9、（2013•黔西南州）如图所示，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B=60°，则菱形的面积为__________10、（2013•临沂）如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是__________11、如图：菱形ABCD的对角线AC、BD相较于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH ⊥AB，垂足为H．试求点O到边AB的距离OH__________12、如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD,请你添加一个适当的条件____________,使ABCD成为菱形.（只需添加一个即可）13、如图:在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连结DF，则∠CDF的度数=____________,。
菱形的性质与判定练习题
菱形的面积等于两条对角线乘积的一半. 若用a、b表示菱形的两条对角线，那么菱形的面 积为：
1 S a b 2
有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角 形的问题来解决.
如图，已知AD平分∠BAC，DE//AC， DF//AB,AE=5. （1）判断四边形AEDF的形状？ A （2）四边形AEDF的周长为多少？
C
∴四边形CEGF是平行四边形.
又∵ FC=FG A
∴四边形CEGF是菱形. （有一组邻边相等的平行四边形是菱形）
F ３ ４ １ E ２ D G
B
如图，已知在□ABCD中， AD=2AB，E、F在直线 AB上，CE与AD交与点M， DF与CB交与点N，且 AE=AB=BF， E
D M N
C
A
B
F
1 （
．
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
A . 菱形的四条边相等. 菱形的两组对角分别相等,邻角互补. 菱形的两条对角线互相垂直平分. 菱形的每一条对角线都平分一组对角.
菱 形 的 性 质
角
对角线
对称性
菱形是轴对称图形.
∵ 在□ABCD中，AB =AD,
∴ □ABCD是菱形.
求证:CE⊥DF.
如图所示，∠ADB=∠ADC，BD=CD． （1）求证：△ABD≌△ACD； 线上的动点，当点E移动到什么位置时，四边形ACEB为菱形
．如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD 1）求证：△ADE≌△CBF． （2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．
B
A
D
C
∵四边形ABCD是平行四边形，AC ⊥ BD，
∴ □ABCD是菱形.
菱形的性质与判定复习题含答案
菱形的性质1、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A. 对角相等B. 对边相等C. 对角线互相垂直D. 对角线相等2、 菱形的周长为100cm ，一条对角线长为14cm ，它的面积是（ ） A. 168cm 2B. 336cm 2C. 672cm 2D.84cm 23、下列语句中，错误的是（ ）A. 菱形是轴对称图形，它有两条对称轴B. 菱形的两组对边可以通过平移而相互得到C. 菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到D. 菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到4、菱形的两条对角线分别是6 cm ，8 cm ，则菱形的边长为_____，面积为______．5、四边形ABCD 是菱形，点O 是两条对角线的交点，已知AB ＝5, AO ＝4，求对角线BD 和菱形ABCD 的面积.6、如图，在菱形ABCD 中，∠ADC=120°，则BD ：AC 等于（ ）．（A ）：2 （B ）：3 （C ）1：2 （D ）：17、菱形ABCD 的周长为20cm ，两条对角线的比为3∶4，求菱形的面积。
8、如左下图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且AC ＝16cm ，BD ＝12cm ，求菱形ABCD 的高DH 。
3339、如右上图，在菱形ABCD中,∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF的度数为．10、在菱形ABCD中，∠A与∠B的度数比为1：2，周长是48cm．求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．11、如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4） B．M（4，0），N（8，4）C．M（5，0），N（7，4） D．M（4，0），N（7，4）12、（2010•襄阳）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：113、如左下图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH= _________ ．14、如右上图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．15、【提高题】如图，在菱形ABCD中，顶点A到边BC、CD的距离AE、AF都为5，EF＝6，那么，菱形ABCD的边长是菱形的判定1、能够判别一个四边形是菱形的条件是（）A. 对角线相等且互相平分B. 对角线互相垂直且相等C. 对角线互相平分D. 一组对角相等且一条对角线平分这组对角2、平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O, AB=5, AO=2, OB=1. 四边形ABCD 是菱形吗？为什么？3、如左下图，AD是△ABC的角平分线。
中考数学知识点过关培优训练卷：菱形的性质与判定(附解析)
中考数学知识点过关培优训练卷：菱形的性质与判定•选择题1.下列说法中错误的是（ ）A.四边相等的四边形是菱形 B. 菱形的对角线长度等于边长 C. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形如图，在/ MON 勺两边上分别截取 OA OB 使OA= OB 分别以点 AB 为圆心, 半径作弧，两弧交于点 C;连接AC BC AB 0C 若AB= 2cm 四边形OAC 的面积为的距离为12cm 点B, D 之间的距离为16cm 则线段AB 的长为（）2. OA 长为4cm .则3. C. 4D. 5如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD 若测得AC 之间A. 9.6 cmB. 10cmC. 20cm4.如图，在四边形 ABCD 中, AB= 1,则四边形 ABC 啲周长为（D. 12cm)B. 4D. 丁A. 15•如图是以KL所在的直线为对称轴的轴对称图形，六边形EFGHL的各个内角相等，记四边形HCH L、四边形EKE A、A BGF的周长分别为G、C2、Q,且C= 2C2= 4Q,已知FG=LK, EF= 6,则AB的长是（）A. 9.5B. 10C. 10.5D. 116•如图，E, F, G, H分别是BD BC AC AD的中点，且AB= CD下列结论：①EGL FH;②四边形EFGH!菱形；③HF平分/ EHG④EG= （BC- AD,其中正确的个数是（）RFCA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.如图，人。
是厶ABC的角平分线，DE/ AC交AB于点E , DF// AB交AC于点F,且AD交EF于点Q则/ AOF^（）A. 60°B. 90°C. 100 °D. 110 °&如图所示,在Rt△ ABC中，/ ABC= 90°, / BAC= 30° ,分别以直角边AB斜边AC为边，向外作等边△ ABD和等边△ ACE F为AC的中点，DE与AC交于点O, DF与AB交于点G给出如下结论：①四边形ADFE为菱形；②DF L AB③AO=*AE④CE= 4FG其中正确的是（）9.如图，在平行四边形 ABCDK / BAD 勺平分线交BC 于点E,/ ABC 勺平分线交 AD 于点F.若二.填空题11.如图，AD >^ ABC 的角平分线，DE// AC 交AB 于E , DF// AB 交AC 于F .且AD 交EF 于Q 则/ AQF= ______ 度.12.如图，在△ ABC 中, AB= AC D, E , F 分别为AB BC AC 的中点，则下列结论：①△ ADFFEC ②四边形ADEF 为菱形 ,③ S ^ ADF ： S ^ABC = 1 : 4. 其中正确的结论是 _______ .（填写所有正确结论的序号）13•如图，在△ ABC 中，/ ABC= 90°, BD 为AC 的中线，过点 C 作CEL BD 于点E,过点AA.①②③B.①②④C.①③④D.②③④C. 16D. 1810.如图，AC BD 是菱形ABCD 勺对角线, E 、F 分别是边AB AD的中点，连接 EF, EQ FQA. EF = DQC.四边形EQFA 是菱形B. EF 丄 AQ D.四边形EBQF1菱形则下列结论错误的是（E作BD的平行线，交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG= BD连接BG DF.若AG= 13，CF= 6,贝U BG= _____ •14.如图所示，在四边形ABCDh AD/ BC ABL BC AD= 2, BC= 6, CD= 8, E, F 分别是边AB CD的中点，DH L BC于H,现有下列结论；①/ CDH= 30°;②EF= 4;③四边形EFCH H菱形；④ S A EF C=3S A BEC你认为结论正确的有 _________ •（填写正确的序号）A____ D15•如图，平行四边形ABCD中, AE! BC AFL CD垂足分别为E F,连结EF,给出下列判断：①若厶AEF是等边三角形，则/ B= 60°,②若/ B= 60°,则厶AEF是等边三角形，③若AE= AF,则平行四边形ABCD是菱形，④若平行四边形ABCD1菱形，则AE= AF,其中，结论正确的是（只需填写，正确结论的序号）.16.如图，在厶ABC中 , / ABC= 90° , BD为AC边的中线，过点C作CEL BD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG= BD连接BG DF.若AB= 12 , BC= 5 ,则四边形BDFG勺周长为 _____ .17.（如图所示）两个长宽分别为7cm 3cm的矩形如图叠放在一起，则图中阴影部分的面积OA OB使OA= OB分别以点A B为圆心，0A长为半径作弧，两弧交于点C;连接AC BC AB 0C若AB=2cm四边形OAC的面积为4cn i.则0C的长为cm19.如图，已知平行四边形ABCD中, AB= BC BC= 10,/BC』60 °，两顶点B D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接OA则OA的长的最小值是 _____________________________________________________________ .20.如图，在菱形ABCD^，过对角线BD上任一点P,作EF// BC GH AB,下列结论正确的是_______ .（填序号）①图中共有3个菱形;②厶BEP^ BGP③四边形AEPH勺面积等于厶ABD的面积的一半;④四边形AEPH勺周长等于四边形GPFC勺周长.三•解答题21.如图，在△ ABC中，/ ACB= 90°, CD为AB边上的中线，过点D作DEL BC于E,过点C作AB的平行线与DE的延长线交于点F,连接BF.(1)求证：四边形BDC为菱形；(2)若CE= 4, AC= 6，求四边形BDCF勺面积.22.如图，在四边形ABCDK/ BAC= 90°, E是BC的中点，AD// BC AE// DC EFL CD于点F.(1)求证：四边形AECDI菱形;23.在四边形ABCDK AD/ BC, AD= 2BC 点E为AD的中点，」连接BE BD / ABD= 90°.(1)如图I ,求证：四边形BCDE^菱形；(2)如图2,连接AC交BD于点F,连接EF,若AC平分/ BAD在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ABC面积的:.图1 图224•如图，在平行四边形ABCD^，对角线AC BD交于点Q OA 0D满足等式彳3(52也)-3 + 2(QA- 5) = 0, AD= 13(1) 求证：平行四边形ABCD1菱形；(2) 过点D作DE/ AC交BC的延长线于点E, DF平分/ BDE请求出DF的长度.25.如图，在△ ABC中, CD平分/ ACB CD的垂直平分线分别交AC DC BC于点E、F、G,连接DE DG(1)求证：四边形DGC是菱形；(2)若/ ACB= 30°,/ B= 45°, ED= 6,求BG的长.26•如图，在Rt△ ABC中,/ ABC= 90°, D E分别是边BC AC的中点，连接ED并延长到点F,使DF= ED 连接BE BF CF AD.(1)求证：四边形BFCE!菱形；(2)若BC= 4, EF= 2，求AD的长.27.如图，在四边形 ABCDK AB// CD , AB= BC= 2CD E 为对角线 AC 的中点，F 为边BC 的 中点，连接DE EF.(1) 求证：四边形 CDEI 为菱形；(2) 连接DF 交BC 于点G 若DF = 2, CD- '，求AD 的长.328•如图，?ABCD 中，点E, F 分别是BC 和AD 边上的点，AE 垂直平分BF,交BF 于点P,连接 EF, PD.(1) 求证：平行四边形 ABEF 是菱形；(2) 若 AB= 4, AD- 6，/ ABC= 60°，求 tan / ADP 勺值.29.已知：如图，在四边形 ABCD 中, AD// BC / B - 90°,对角线AC 的垂直平分线与边 ADBC 分别相交于点E 、F .(1) 求证：四边形 AFCE1菱形； (2) 若 AB= 6, BC= 8, 求 EF 的长.30•如图，在△ ABC 中，点D 为BC 上一点，连接 AD 过点D 作DG/ AB 交AC 于点G, / BDG 的平分线交 AB 于点E,过点E 作BC 的平行线交 DG 于点M 交AD 于点N,交AC 于点F , 过点F 作FH// AD 交BC 于点H.（1） 如图1，求证：四边形 BDM 是菱形；（2） 如图2，若AB= BC 点D 为BC 的中点，且点 M F 、G 重合•在不添加任何辅助线 的情况下，请直接写出图 2中所有的平行四边形（不包括以DH 为一边的平行四边形）團1§2参考答案1解：•••四边相等的四边形是菱形••• A选项正确•• •菱形的对角线长度不一定等于边长，•B选项错误••一组邻边相等的平彳亍四边形是菱形•C选项正确••对角线互相垂直平分的四边形是菱形“•••选项D正确故选：B.2•解：根据作图，AC= BO OA•OA= OB•OA= OB= BO AC•四边形OAC是菱形，•/ AB= 2cm四边形OAC的面积为4cm ,•—AB?OC= X 2 X OC= 4,2 2解得OC= 4cm故选：C.3.解：作ARL BC于R AS丄CD于S,连接AC BD交于点O.由题意知：AD// BC AB// CD•四边形ABCDi平行四边形，••两个矩形等宽，•AR= AS•AF?BO AS?CD•BO CD•平行四边形ABC毘菱形，•AC L BD在Rt △ AOB中, • OA^ —AC= 6cm, OB= , BD= 8cm,••• AB=.二訂； =10 (cm ),•••四边形ABCD 是平行四边形，•/ AB= BC•平行四边形 ABCD 是菱形，•四边形 ABC 啲周长=4X 1 = 4, 故选：B.5•解：•••六边形EFGHL 的各个内角相等，•••该六边形的每个内角为 120°,每个外角都是 60°,• △ BFG △ AEK △ CHL 都是等边三角形，•••/ B =Z BAC=Z ACB= 60°, BF = FG AE= AK CL = HL ,• △ ABC 是等边三角形，• AB= AC 即 BF +F 曰AE = AK +KL +CL又••• BF = FG= KL ,• EF = CL = 6= CH由轴对称可得，四边形 HCH L 、四边形EKE A 都是菱形,G= 2C> ,••• AE= CH= 3 ,又••• 2C 2= 4C B ,• AB= BF +EF +AE= 2+6+3= 11, 故选：D.6.解：••• E、F、G H分别是BD BC AC AD的中点，••• EF=2CD FG=±AB GH=±CD HE=2AB2 2 2 2•/ AB= CD•EF= FG= GH= HE•四边形EFGH U菱形，•••① EGL FH,正确；②四边形EFGH!菱形，正确；③HF平分/ EHG正确；④当AD/ BC如图所示：E, G分别为BD AC中点，•连接CD延长EG到CD上一点N,•EN= BC GN= 1 AD2 2」• EG^—(BC- AD,只有AD// BC时才可以成立，而本题AD与BC很显然不平行，故本小题错误.综上所述,①②③共3个正确.•四边形AEDF为平行四边形，• OA= OD OE= OF / 2=Z 3 ,••• AD>^ ABC的角平分线，•••/ 1 = Z 2 ,••• AE= DE••• ?AEDF为菱形.• ADL EF,即/ AOF= 90°故选：B.&解：•••/ BAC= 30°,A ABD是等边三角形,•••/ BAD= 60°,•••/ DAF= 90°,•••DF> AD•四边形ADF环可能是菱形•故①错误.连接BF.•••△ ABC是直角三角形，AF= CF,•F心FB, •/ DA= DB•DF垂直平分线段AB故②正确，••• AE! AB DF1AB•AE// DF,•/ AE= 2AF, DF= 2AF,•AE= DF,•四边形AEFD是平行四边形，•OA= OF,•AE= AC= 4OA故③正确，在Rt △ AFG中，/ FAG= 30° ,•AF= 2FG••• EO AO 2AE•EO 4FG故④正确，故选：D.9.解：如图所示：•••四边形ABCD平行四边形，••• AD// BC•••/ DAE=Z AEB•••/ BAD勺平分线交BC于点E,•••/ DAE=Z BEA•••/ BAE=Z BEA•AB= BE同理可得AB= AF,•AF= BE•四边形ABEF是平行四边形，•/ AB= AF,•四边形ABEF是菱形，•AE! BF, OA= OE OB= 0F= BF= 6 ,l—l •OA=H” 二=.f 广=8 ,•AE= 20A= 16;故选：C.R E10.解：•••菱形ABCD•BO- OD BDL AC••• E、F分别是边AB AD的中点,•2EF= BD= BGOD EF/ BD• EF= DO EF! AO••• E是AB的中点，0是BD的中点，••• 2EO= AD同理可得：2FO= AB,••• AB= AD•AE= OE= OF= AF,•四边形EOFAi菱形，•/ AB^ BD•四边形EBOF!平行四边形，不是菱形,故选：D.11.证明：••• DE// AC DF// AB•••四边形AEDF为平行四边形，•0A= OD 0E= OF / 2=Z 3 ,••• AD>^ ABC的角平分线，•••/ 1 = Z 2 ,•/ 1 = Z 3 ,•AE= DE•?AEDF为菱形.•ADLEF,即/ AOF= 90°.故答案为：90.12•解：①••• D E、F分别为AB BC AC的中点，•DE DF EF%A ABC的中位线，•AD= .AB= FE, AF= .AC= FC DF= . BC= EC2 2 2'AD=FE在厶FEC中 ,・AF=FC ,DF 二EC•△ ADF^A FEC(SSS,结论①正确；②••• E、F分别为BC AC的中点，•••ABC的中位线，••• EF// AB EF=—AB= AD2•••四边形ADEF为平行四边形.••• AB= AC D F分别为AB AC的中点，•AD= AF,•四边形ADEF为菱形，结论②正确；③••• D F分别为AB AC的中点，•DF ABC的中位线，•DF// BC DF^— BC2•••△ADF^A ABC•3" =（［）2=，结论③正确.S/kABC BC 4故答案为：①②③.13.解：T AG/ BD, BD= FQ•四边形BGFDI平行四边形，•/ CFL BD•CFL AG又•••点D是AC中点，•BD= DF= AC•四边形BGFDi菱形，设GF= x,贝y AF= 13 -x , AC= 2x ,•••在Rt△ ACF中，/ CFA= 90° ,•A F+C F= AC,即（13 - x）2+62=（2x）2, 解得：x = 5 ,即BG= 5.故答案是：5.14.解：① T AD// BC ABL BC DHL BC•四边形ABHDi矩形,••• BH= AD= 2, AB= DH•••CH= BC- BH= 6- 2= 4,•/ CD= 8,•CH= CD2•••/ CD= 30° :①正确；②：E, F分别是边AB CD的中点，•CF^— CD= 4, EF// BC EF=—(AD+BC = 4,②正确;2 2③••• EF// BC EF= CH= 4,•四边形EFCH是平行四边形，又••• EF= CF= 4,•四边形EFCH是菱形；③正确；④••• EF= 4, BH= 2,•S^EFC= 2S^ BEH ④错误；故选：①②③.15•解：①•••△ AEF是等边三角形，•/ EAF= 60 °, AE= AF,又••• AEL BC, AF! CD•/ C= 120 ° ,•••四边形ABCDi平行四边形，•AB// CD / C=Z BAD= 120° ,•/ B= 180° -Z C= 60°,故①正确；②•••/ D=Z B= 60°,•Z BAE=Z DAF= 90°- 60° = 30°,•Z EAF= 120° - 30°- 30° = 60°,但是AE不一定等于AF,故②错误；③若AE= AF,贝U BC?AE= CD?AF,2 2••• BC= CD,•••平行四边形ABC［是菱形，故③正确;④若平行四边形ABC［是菱形,贝U BC= CD•BC?AE= CD T AF,2 2•AE= AF,故④正确；故答案为：①③④.16.解：T AG/ BD, BD= FG•四边形BGFD是平行四边形,•/ CFL BD• CFL AG又•••点D是AC中点,BD= DF= _ AC•四边形BGFDI菱形,• BG= GF= DF= BD•••在△ ABC中 , / ABC= 90° , AB= 12 , BC= 5 ,由勾股定理AC=13 , 得:•/ BD^^ ACB的中线,• BG= GF= DF= BDt—,故四边形BDFG勺周长=4GF= 26.故答案为：26.17•解：如图：根据题意得：AD/ BC, BF// DE•四边形ABCDI平行四边形，•••两个矩形等高，即DH= ABS?BED p= BE?AB= BF?DH••• BE= BF,•••四边形BEDF是菱形，•BF= DF,设BF= xcm,贝U DF= xcm, AF= AD- DF= 7 - x (cm),在Rt△ ABF中，AB+AF= BF,•32+ ( 7 -x) 2= x2,解得：x =—,四•BE=〒cm•S 菱形BEDF= BE>AB= —cm-故答案为：兰cm2.18•解：根据作图，AC= BC= OA•/ OA= OB• OA= OB= BC= AC,•四边形OAC是菱形，T AB= 2cm四边形OAC的面积为4cm ,解得OC= 4cm故答案为：4.19.解：如图所示：过点A作AE! BD于点E,当点A, O, E在一条直线上，此时A0最短，•••平行四边形ABCD^ , AB= BC BC= 10 , / BCD= 60• AB= AD= CD= BC= 10 , / BAD=Z BC= 60 ° ,•••△ABD是等边三角形，••• AE过点O, E为BD中点，则此时EO= 5,故A0的最小值为：AO= AE- EO= ABs in60故答案为: 眾-5._ cA£xz_ ,A绘20.解：•••图中有三个菱形，如菱形ABCD菱形HOFD菱形BEPG：①正确;•••四边形ABCDI菱形，•AB// DC AD// BC, / ABD=Z CBD•/ EF// BC GH/ AB•••四边形BEPG^平行四边形，•PE= BG PG= BE在厶BEF^H^ PGB^ ,r BE=P6“BP-BPPE 二BG•••△BEP^A PGB( SSS,•••②正确；•••只有当H为AD中点,E为AB中点时，四边形AEPH勺面积等于厶ABD的面积的一半, •••③错误；•••四边形ABCDI菱形，•AB// CD AD// BC••• EF// BC GH/ AB•AD// EF// BC AB// GH/ CD•四边形AEPH四边形HPFD四边形BEPG四边形PFC侥平行四边形，•AH= BG= PE AE= HP= DF, BE= PG= CF, DH= PF= VG•••四边形ABCD!菱形，•••/ EB1 GBP••• PE// BG:丄 EPB=Z GBP:丄 EBP^Z EPB•BE= PE•AH= PE= BG= BE= Cl PG同理AE= HP= D& PF= CG•四边形AEPH勺周长=四边形GPFC勺周长，•④正确; 故答案为：①②④.21.证明：(1)v DEL BC / ACB= 90° ,:丄 BED=Z ACB•DF// AC••• CF// AB•四边形ADFCl平行四边形，•AD= CF,•/ D为AB的中点，•AD= BD•BD= CF,•/ BD// CF,•四边形BDCF!平行四边形，•••/ ACB= 90° , D为AB的中点，•DC= BD•四边形BDCF!菱形；(2)•••四边形BDCF i菱形•BC=2CE=8, BC L DF••四边形ADFCl平行四边形，•DF= AC= 6•S 菱形BDC F=X B°DF= 242 2. (1)证明：• AD// BC AE// DC•••四边形AECD是平行四边形，•••/ BAC= 90°, E是BC的中点,• AE= CE= BC2.•四边形AECD是菱形；(2)解：过A作AHL BC于点H,如图所示•••/ BAC= 90°, AB= 5, AC= 12,• B C= = 13,上ABC的面积A I A B X AC6013?•••点E是BC的中点，四边形AECD是菱形, • CD h CE•••S?AEC F CE?AH= CD P EF,• EF= AH=1323.证明(1 )T AD h 2BC E为AD的中点,• DE= BC•/ AD// BC•四边形BCD是平行四边形，•••/ ABD= 90° , AE= DE• BE= DE•四边形BCD是菱形.(2 )△ ABF △ AEF △ DEF △ DCF理由如下：••• BC/ AD• △BFS A DFA.EC _CF _1•亠匸’广匸FD二丄，FD=2BFAC_3S^ABF= —-S^ ABC,•/ FD= 2BFS^AFD^ 2S^ABF,且点E 是AD中点•••四边形BED(是菱形，••• ED= CD / BDE=Z BDC 且DF= DF•••△ DEF^A DCF( SAS24•解：(1)T 卡；(OA- 5) 2= 0,•OA= 5, OD= 12,••• OA+OD= 52+122= 169,•/ AD= 13,•AD2= 169,•O A+O D= A D,•••/ AOD= 90°,•ACLBD•平行四边形ABC毘菱形；(2 )过F 作FGL BD于G•••DE// AC AC L BD•BDL DE 即/ BDE= 90° ,•/ DF平分/ BDE•/ BDF= 45° ,•△ FDG为等腰直角三角形，• DG= FG设FG= x，贝U BG= 24 - x,••8/ FG•••△BOg BGF…；-::，• 5 12 x120…,x = ,d 17• DF= "FG=「x= _ ..25.解：(1)v CD平分/ ACB•••/ AC=/ DCG•/ EG垂直平分CD••• DG= CG DB EC:丄 DC=Z GDC / ACD=Z EDC•••/ ED(=Z DC=Z ACD=Z GDC• CE// DG DE// GC•四边形DEC(是平行四边形，且DE= EC•四边形DGC是菱形；(2)如图，过点D作DH L BC••四边形DGC是菱形,••• D= DG= 6 , DG/ EC•••/ ACB=Z DGB= 30°，且DH L BC•DH= 3, HG= T DH= 3 二•••/ B= 45°, DHL BC•/ B=Z BDH= 45°•BH= DH= 3•BG= Bb+HG= 3+3 二26. (1)证明：• D是边BC的中点,••• BD= CD•••DP ED•四边形BFCE!平行四边形，••在Rt△ ABC中，/ ABC= 90°, E是边AC的中点, •BE= CE•四边形BFCE!菱形；(2 )解：连接AD••四边形BFCE1 菱形，BC= 4，EF= 2,•BD- BC= 2, DE= EF= 1,2 2•BE=廿才打j r，•AC= 2BE= 2“•严，•AB= ' - :' = ■ - ■ =2，• AD= ' =2'■-27•证明：(1)v E为对角线AC的中点，F为边BC的中点, •EF= 1-AB EF// AB CF=2BC AE= CE:，， :•/ AB// CD•AB// CD// EF,•AB= BC= 2CD•EF= CF= CD 且AB// CD/ EF,•四边形DEFCl平行四边形，且EF= CF•四边形CDE为菱形；(2)如图，设DF与EC交于点GD•••四边形CDE为菱形，DF= 2,•••DG= 1, DF丄CE EG= GC••• EG= GC= - - 「十•AE= CE= 2EG=:3•AG= AE^CG= 4二AD=,••」_；：=28. (1)证明：T AE垂直平分BF,•AB= AF,•••/ BAE=Z FAE•••四边形ABCDi平行四边形，•AD// BC•/ FAE=Z AEB•/ AEB=Z BAE•AB= BE•AF= BE•/ AF/ BC•四边形ABEF是平行四边形.•/ AB= BE•四边形ABEF是菱形；(2)解：作PHLAD于H•••四边形ABEF是菱形，/ ABC= 60° , AB= 4 , •AB= AF= 4, / ABF=Z AFB= 30° , API BF,•AF= , AB= 2 ,•FH=二,DH= 5 ,•••tan / AD—「29.证明：(1)v EF是对角线AC的垂直平分线,••• AO= CO ACL EF,•/ AD// BC•••/ AEO=Z CFO在厶AECm CFC中,'Z EAO=Z FCO’ ZAE0=ZCF0,AO=CO•••△ AEO^ CFO( AAS ,•AE= CF,•四边形AFCE!平行四边形，又••• AC L EF,•四边形AFCE!菱形；(2)•••/ B= 90° , AB= 6 , BC= 8 ,•AC=•••四边形AFCE!菱形，•AF= FC在Rt △ ABF中，设AF= FC= x,贝U BF= 8 - x •AB+BF= AF2,•62+ ( 8 - x) 2=x2,30•证明：(1)v DO AB EM/ BC•••四边形BDM是平行四边形•/ DE平分/ BDG•••/ BDE=Z MDE••• AB// DG•••/ BED=Z EDM•••/ BED=Z BDE•BD=BE•平行四边形BDM是菱形(2)••• AB= BC 点D为BC的中点，BD= BE•AE= BE= BD= CD•DE= AC DE// AC2•/ AB// DF, EF// BC AD// FH, DE// AC•••四边形BDFE!平行四边形，四边•:形EDFA是平行四边形,••• EF= BD= CD DE= AF= AC= FC 且EF// BC DE// AC2•四边形EDCF!平行四边形，•/ FH// AD•：1 .•:----•••DH= CH同理可得：AN= DN• NH/ AC 且FH// AD EF// BC•四边形ANHFl平行四边形，四边形FNHCl平行四边形.。
菱形的性质与判定(培优辅导班试题)
全国中考真题解析考点汇编菱形的性质与判定一、选择题1.（2011江苏淮安，5，3分）在菱形ABCD 中，AB=5cm ，则此菱形的周长为（ ）A. 5cmB. 15cmC. 20cmD. 25cm2.（2011云南保山，5，3分）如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=60°，BD=4，则菱形ABCD 的周长是_______．3. （2011•西宁）用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD 是菱形的依据是（ ） A 、一组邻边相等的四边形是菱形B 、四边相等的四边形是菱形C 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形D 、每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形4.（2011•青海）已知菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长度是6和8，则这个菱形的周长是（ ）A 、20B 、14C 、28D 、245.（2011山东济南，7，3分）如图，菱形ABCD 的周长是16，∠A=60°，则对角线BD 的长度为（ ）A ．2 B． C ．4D．6. （2010广东佛山，6，3分）依次连接菱形的各边中点，得到的四边形是（）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形7.（2011•包头，9，3分）已知菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（ ）A 、16错误！未找到引用源。
B 、16C 、8错误！未找到引用源。
D 、88. （2011湖南衡阳，8，3分）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO 的顶点P 的坐标是（3，4），则顶点M 、N 的坐标分别是（ ） A 、M （5，0），N （8，4） B 、M （4，0），N （8，4） C 、M （5，0），N （7，4）D 、M （4，0），N （7，4）9.（2011清远，10，3分）如图．若要使平行四边形ABCD 成为菱形．则需要添加的条件是（ ）第3题第2题第5题第8题 第9题第10题A.AB ＝CDB.AD ＝BCC.AB ＝BCD. AC ＝BD10. （2011，台湾省，21,5分）如图为菱形ABCD 与△ABE 的重叠情形，其中D 在BE 上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE 的长度为何？（ ）A 、8B 、9C 、11D 、12二、填空题11. （2011江苏南京，12，2分）如图，菱形ABCD 的边长是2cm ，E 是AB 的中点，且DE 丄AB ，则菱形ABCD 的面积为 错误！未找到引用源。
菱形的性质与判定练习
菱形的性质与判定练习1、一个菱形的周长为52cm，一条对角线长为10cm，则其面积为 cm2．2、已知菱形的周长为40cm,两条对角线之比3:4，则菱形面积为______________cm2．3、如图，菱形ABCD的周长为8，对角线AC和BD相交于点O，AC：BD=1：2，则AO：BO= ，菱形ABCD的面积S= ．4、如图，在菱形ABCD中，已知AB=10，AC=16，那么菱形ABCD的面积为_______．5、如图，正方形ABCD中，以对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠FAB= ．6、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=120°，CE∥BD，DE∥AC，若AD=4，则四边形CODE的周长．7、已知菱形的周长为 40 cm ，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_________．8、如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长等于 .9、如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是____________(写出一个即可)．10、如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O， E是CD的中点，且OE=2，则菱形ABCD的周长等于．11、如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BD、CD的中点，EF=6 cm，则AB=________cm.12、两对角线分别是6cm和8cm的菱形面积是 cm2，周长是 cm．13、如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD= 时，平行四边形CDEB为菱形。
14、如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，对角线BD=22，则点D到直线AB的距离DE= ，点D到直线BC的距离等于．15、如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6，若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为．16、如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，只要添加条件，就能保证四边形EFGH是菱形．17、如图，已知矩形ABCD的对角线长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD．DA的中点，则四边形EFGH的周长等于 cm．18、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于．19、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE ⊥BC，垂足为点E，则OE= ．20、．如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，过点E作EG⊥AD 于G，连接GF．若∠A=80°，则∠DGF的度数为．21、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=120°，则∠AOE= ．22、如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D 的坐标为（0，2），则点C的坐标为．23、如图，点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE= 度．24、在如图的方格纸中有一个菱形ABCD（A、B、C、D四点均为格点），若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该菱形的面积为．25、如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为10cm，24cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是 cm．26、将矩形纸片ABCD，按如图所示的方式折叠，点A、点C恰好落在对角线BD上，得到菱形BEDF．若BC=6，则AB的长为．27、如图，在菱形ABCD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC的长为．28、如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为．29、如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80º，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于．30、如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA=OB；分别以点A、B 为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC.若AB=2 cm，四边形OACB的面积为4 cm2.则OC的长为________cm.31、把两张宽为2 cm的矩形纸片重叠在一起，然后将其中的一张任意旋转一个角度，则重叠部分(图中的阴影部分)的四边形ABCD的形状为________，其面积的最小值为________cm2.32、如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值9，那么菱形面积的最大值是．33、如图，菱形ABCD周长为16，∠ADC=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．34、如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，E，F分别是BC，DC上的点，∠EAF=60°，连接EF，则△AEF的面积最小值是．35、已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值= ．36、如图，菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为．37、如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影部分的面积是_________.38、如图，在平面直角坐标系中有一菱形OABC且∠A=120°，点O、B在y 轴上，OA=1，现在把菱形向右无滑动翻转，每次翻转60°，点B的落点依次为B1、B2、B3……，连续翻转2017次，则B2017的坐标为__ ______.39、如图，菱形AB1C1D1的边长为1，∠B1=60°；作AD2⊥B1C1于点D2，以AD2为一边，做第二个菱形AB2C2D2，使∠B2=60°；作AD3⊥B2C2于点D3，以AD3为一边做第三个菱形AB3C3D3，使∠B3=60°…依此类推，这样做的第n个菱形AB n C n D n的边AD n的长是．40、已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第4个图形中直角三角形的个数有_____________个；第2014个图形中直角三角形的个数有_____________个．参考答案1、答案为：120．2、答案为：243、答案为：1：2，．4、答案为：96．°．6、答案为：16．7、答案为：96 cm 28、答案为：3；9、答案为：AB=AD(答案不唯一)10、答案为：1611、答案为：1212、答案为：24，20．13、答案为：1.4；14、答案为：11，11．15、答案为：4.8；16、答案为：AC=BD．17、答案为：16．18、答案为：3.5；19、答案为：2.4．20、答案为：50°．21、答案为：60°．22、答案为：（4，4）；23、答案为：45；24、答案为：12．25、答案为：．26、答案为：2．27、答案为：6．28、答案为：2.5；29、答案为：60度30、答案为：431、答案为：菱形，432、答案为：15．33、答案为：2．34、答案为：．35、答案为：5．36、答案为：2．37、答案为：38、答案为：（1345.5，）39、答案为：（）n﹣1．40、答案为：8， 4028。
菱形的性质与判定复习题
菱形练习题知识点1 菱形的定义菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形;数学语言：如图,在平行四边形ABCD中,如果AB=AD,那么平行四边形ABCD 是菱形;知识点2 菱形的性质（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角；（3）对称性：既是关于对角线的交点成中心对称图形,又是以对角线所在直线为对称轴的轴对称图形；（4）菱形的面积公式：①菱形的面积=底×高；②菱形的面积=两条对角线乘积的一半巩固练习1．菱形的对角线长分别为6和8,则菱形的边为 ,菱形的面积为 ;2．若菱形周长为52cm,一条对角线长为10cm,则其面积为A．240 cm2 B．120 cm2 C．60 cm2 D．30 cm23．如下图,菱形ABCD中,O是对角线AC BDAO=,则，的交点,5cmAB=,4cmBD=____________cm．4、如上图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC＝8,BD＝6,过点O作OH丄AB,垂足为H,则点O到边AB的距离___________5．一个菱形两条对角线之比为1︰2,一条较短的对角线长为4cm,那么菱形的边长为A ．2cmB ．4cmC ．(225)cm +D ．25cm6．如图,菱形ABCD 的边长为2,45ABC ∠=,则点D 的坐标为 ．7．如图,将一个长为10cm,宽为8cm 的矩形纸片对折两次后,沿所得矩形两邻边中点的连线虚线剪下,再打开,得到的菱形的面积为A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm8.如图所示,菱形ABCD 中,对角线AC BD 、相交于点O ,H 为AD 边中点,菱形ABCD 的周长为24,则OH 的长等于 ． 9．菱形ABCD 中,AE 垂直平分BC ,垂足为E ,AB ＝4cm ．那么,菱形ABCD 的面积是 ,对角线BD 的长是 ． 10．如图,点E ,F 分别是菱形ABCD 中BC ,CD 边上的点E ,F 不与B ,C ,D 重合在不连辅助线的情况下请添加一个条件,说明AE ＝AF ．11、如图,在菱形ABCD 中,AE⊥BC,E 为垂足.且BE=CE,AB=2.求：1∠BAD 的度数；2对角线AC 的长及菱形ABCD 的周长.AD CE BO B AD x yC B AHD CO12．如图,在菱形ABCD 中,E 是AB 的中点,且DE ⊥AB ,AB ＝4．求：1∠ABC 的度数；2菱形ABCD 的面积． 13.在菱形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,AB=5,AC=6.过点D 作DE∥AC 交BC 的延长线于点E.1求△BDE 的周长； 2点P 为线段BC 上的点,连接PO 并延长交AD 于点Q,求证：BP=DQ. 14．如图,四边形ABCD 是菱形,DE ⊥AB 交BA 的延长线于E ,DF ⊥BC ,交BC 的延长线于F ;请你猜想DE 与DF 的大小有什么关系并证明你的猜想．有一个角为60°的特殊菱形1．若菱形的边长为1cm,其中一内角为60°,则它的面积为A ．23cm 2B ．23cmC ．22cmD ．223cm 2．已知菱形的周长为96㎝,两个邻角的比是1︰2,则较短对角线的长是A ．21㎝B ．22㎝C ．23㎝D ．24㎝3．如图,在菱形ABCD 中,60A ∠=°,E 、F 分别是AB 、AD 的中点,若2EF =,则菱形ABCD 的边长是_____________．4．如图,菱形ABCD 中,∠B ＝60°,AB ＝2,E 、F 分别是B C ．CD 的中点,连接AE 、EF 、AF ,则△AEF 的周长为A ． 32B ． 33C ． 34D ． 3提高题1．如图,菱形111AB C D 的边长为1,160B ∠=；作211AD B C ⊥于点2D ,以2AD 为一边,做第二个菱形222AB C D ,使260B ∠=；作322AD B C ⊥于点3D ,以3AD 为一边做第三个菱形333AB C D ,使360B ∠=；依此类推,这样做的第n 个菱形n n n AB C D 的边n AD 的长是 ． A D FC E B2．如图,在菱形ABCD 中,∠A ＝110°,E ,F 分别是边AB 和BC 的中点,EP ⊥CD 于点P ,则∠FPC ＝A ．35° B．45° C．50° D．55°知识点3 菱形的判定方法（1） 有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2） 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3） 四条边都相等的四边形是菱形.1．把菱形ABCD 沿对角线AC 的方向平移到菱形A′B′C′D′的位置,它们重叠部分的四边形A′FCE 是A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．不确定2．如图,下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为①AC BD ⊥ ②90BAD ∠= ③AB BC = ④AC BD =A ．①③B ．②③C ．③④D ．①②③ 3．如图,□ABCD 中,AE 、CF 分别是∠BAD 和∠BCD 的角平分线,根据现有的图形,请添加一个条件,使四边形AECF 为菱形,则添加的一个条件可以是 只需写出一个即可,图中不能再添加别的“点”和“线”.4．如图,在三角形ABC 中,AB ＞AC ,D 、E 分别是AB 、AC 上的点,△ADE 沿线段DE 翻折,使点A 落在边BC 上,记为A '．若四边形ADA E '是菱形,则下列说法正确的是1D B A C BCDB DC ABC DA．DE是△ABC的中位线 B．AA'是BC边上的中线C．AA'是BC边上的高 D．AA'是△ABC的角平分线5．四个点A,B,C,D在同一平面内,从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD= BC；⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个,能使四边形ABCD是菱形的选法有．A．1种 B．2种 C．3种 D．4种证明题1.如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点,求证：四边形ADEF是菱形2．两个完全相同的矩形纸片ABCD、BFDE如图放置,AB＝BF．求证：四边形BNDM为菱形．3、如图,将两张等宽的长方形纸条交叉叠放,重叠部分是一个四边形ABCD,若AD=6cm,∠ABC=60°,则四边形ABCD的面积等于__________cm2．4、如图,在平行四边形ABCD中,∠DAB＝60°,AB＝2AD,点 E、F分别是CD的中点,过点A 作AG∥BD,交CB的延长线于点G;求证：四边形DEBF是菱形;5、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F在DE上,且AF=CE=AE．1说明四边形ACEF是平行四边形；2当∠B满足什么条件时,四边形ACEF是菱形,并说明理由;6．在矩形ABCD中,AB＝6cm, BC＝8cm,若将矩形对角线BD对折,使B点与D 点重合,折痕为EF,问：四边形EBFD是菱形吗请说明理由,并求这个菱形的边长．7．如图,□ABCD中,AB⊥AC,AB＝1,BC＝5．对角线AC,BD相交于点O,将直线AC绕点O顺时针旋转,分别交BC,AD于点E,F．1证明：当旋转角为90°时,四边形ABEF是平行四边形；2试说明在旋转过程中,线段AF与EC总保持相等；3在旋转过程中,四边形BEDF可能是菱形吗如果不能,请说明理由；如果能,画出图形并写出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．8．如图,ABC△中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN BC∥,设MN交BCA∠的平分线于点E,交BCA∠的外角平分线于点F．1探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；2当点O在边AC上运动时,四边形BCFE有可能是菱形吗若是,请证明,若不是,则说明理由AF NDCBM E O。
菱形经典题型(培优提高)
菱形的性质与判定知识归纳1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等．③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形．例题讲解例1：已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若AE AF EF AB ===，求C ∠的度数．FEDCBA例2：如图2所示，在菱形ABCD 中，对角线AC=10，BD=24，AE ⊥BC 于E ，则AE 的长是（ ） A ．12060240..131313B C D ．8例3：如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分．P HFE DCBA例4：如图3，在菱形ABCD 中，110A ∠=︒，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点，EP CD ⊥于点P ，则FPC ∠=（ ）A ．35︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒图3E DP CFBA例5：已知等腰ABC △中，AB AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D 点，在线段AD 上任取一点P （A 点除外），过P 点作EF AB ∥，分别交AC 、BC 于E 、F 点，作PM AC ∥，交AB 于M 点，连结ME .⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当P 点在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？MPFABCDE课堂练习1. 已知菱形ABCD 的两条对角线AC BD ，的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是2. 依次连结菱形四条边的中点所构成的四边形是（ ）A ．菱形B ．矩形C ．一般平行四边形D ．一般四边形 3. 菱形周长为52cm ，一条对角线长为10cm ，则其面积为 ．4. 已知菱形的一个内角为60︒，一条对角线的长为23，则另一条对角线的长为________．5. 菱形ABCD 的对角线交于O ，AO =1，且∠ABC ∶∠BAD =1∶2，∠ABO =300，则下列结论：①．∠ABC =600；②．AC =2；③．BD =4；④．S ABCD =23；⑤菱形ABCD 的周长是8，其中正确的有（ ）A ．①②③④⑤B ．①②④⑤C ．②③④⑤D ．①②③⑤AB CDO6. 已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数．FEDCBA7. 如图所示，在菱形ABCD 中，BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，E ，F 为垂足，AE=ED ，求∠EBF 的度数．8. 如图3所示，在菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC•上的一个动点，则PE+PB 的最小值是________．9. 如图所示，在菱形ABCD 中，已知E 是BC 上一点，且AE=AB，∠EAD=2∠BAE ，• 求证：BE=AF ．10. 如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE ．当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由．EDCB A11. 如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，交BC 于D ，CH 是AB 边上的高，交AD 于F ，DE AB ⊥于E ，求证：四边形CDEF 是菱形．HF DECBA12. 如图，M 是矩形ABCD 内的任意一点，将MAB ∆沿AD 方向平移，使AB 与DC 重合，点M 移动到点'M 的位置⑴画出平移后的三角形；⑵连结'MD MC MM ，，，试说明四边形'MDM C 的对角线互相垂直，且长度分别等于AB AD ，的长；⑶当M 在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形'MDM C 是菱形？为什么？M'MDC BA课下练习1. 如图，E 是菱形ABCD 边AD 的中点，EF ⊥AC 于点H ，交CB 延长线于点F ，交AB于点G ，求证：AB 与EF 互相平分。
菱形的性质与判定练习题
菱形的性质与判定练习题菱形是一种常见的几何图形，它有一些独特的性质和判定方法。
在本篇文章中，我们将探讨菱形的性质，并提供一些练习题来帮助读者加深对菱形的理解。
一、菱形的定义和基本性质菱形是一种四边形，它有以下几个基本性质：1. 所有边相等：菱形的四条边的长度相等，即AB = BC = CD = DA。
2. 对角线相互垂直：菱形的两条对角线互相垂直，并且相互平分。
3. 对角线相等：菱形的两条对角线的长度相等，即AC = BD。
4. 内角和为360度：菱形的内角和等于360度，即∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°。
二、菱形的判定方法判定一个四边形是否是菱形有以下几种方法：1. 边长相等判定：如果一个四边形的四条边的长度都相等，那么它是一个菱形。
2. 对角线相等判定：如果一个四边形的两条对角线的长度相等，那么它是一个菱形。
3. 对角线垂直判定：如果一个四边形的两条对角线互相垂直，并且相互平分，那么它是一个菱形。
练习题：1. 判断下列四边形是否是菱形，并给出理由：a) AB = BC = CD = AD，AC = BDb) AB = BC = CD = DA，并且AC ⊥ BDc) AB = BC = CD = DA，AC ≠ BD2. 在平面上画出一个菱形ABCD，使得AB = 5cm，AC = 7cm，BD = 8cm。
解答：1. a) 是一个菱形。
根据菱形的定义，四条边相等，且对角线相等，符合给定的条件。
b) 是一个菱形。
根据菱形的定义，四条边相等，且对角线相等且垂直，符合给定的条件。
c) 不是一个菱形。
尽管四条边相等，但对角线不相等，不符合给定的条件。
2. 请参考下图所示的菱形。
（在这里插入一张带有标签的菱形图，其中AB = 5cm，AC =7cm，BD = 8cm）通过以上的练习题，我们可以进一步巩固对菱形性质和判定方法的理解。
菱形作为一种常见的几何形状，在解决实际问题中有着广泛的应用。
专题1 1菱形的性质与判定 新版初中北师大版数学9年级上册同步培优专题
初中数学9年级上册同步培优专题题库（北师大版）专题1.1 菱形的性质与判定姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•海安市期中）下列性质中，菱形所具备而平行四边形却不一定具有的是（）A．对角线互相平分B．对角线相等C．邻角相等D．邻边相等【分析】根据平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分；菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角进行解答即可．【解析】菱形具备但平行四边形不一定具有的是邻边相等，故选：D．2．（2020春•锡山区期中）如图，已知点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD＝BC【分析】由点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，根据三角形中位线的性质，可得EG＝FH=12AB，EH＝FG=12CD，又由当EG＝FH＝GF＝EH时，四边形EGFH是菱形，即可求得答案．【解析】∵点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，∴EG＝FH=12AB，EH＝FG=12CD，∵当EG ＝FH ＝GF ＝EH 时，四边形EGFH 是菱形，∴当AB ＝CD 时，四边形EGFH 是菱形．故选：A ．3．（2020春•锡山区期中）菱形的对角线不具备的性质是（ ）A ．对角线互相平分B ．对角线一定相等C ．对角线一定垂直D ．对角线平分一组对角【分析】由菱形的性质即可得出结论．【解析】菱形的性质：四条边都相等，对角线互相垂直平分，是轴对称图形，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的对角线不一定相等；故选：B ．4．（2020春•大悟县期中）如图，在菱形ABCD 中，AC ＝2√3，BD ＝2，DH ⊥AB 于点H ，则BH 的长为（ ） A ．1 B ．√3 C ．23 D ．2√33【分析】利用菱形的对角线互相平分线且垂直即可得出菱形的边长，再利用菱形面积公式求出即可求出DH 的长，再由勾股定理即可求出BH 的长． 【解析】∵在菱形ABCD 中，AC ＝2√3，BD ＝2，∴AO ＝CO =12AC =√3，BO ＝DO =12BD ＝1， ∴AB =√3+1=2， ∴DH ×2=12AC ×BD ， ∴DH =12×2√3×22=√3， ∴BH =√4−3=1，故选：A ．5．（2020春•锡山区期中）如图，四边形ABCD 是菱形，AC ＝8，DB ＝6，DH ⊥AB 于H ，则DH ＝（ ）A ．125B ．245 C ．12 D ．24【分析】由四边形ABCD 是菱形，AC ＝8，DB ＝6，可求得此菱形的面积与AB 的长，继而求得答案．【解析】设AC 与BD 交于O ，∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝8，DB ＝6，∴AC ⊥BD ，OA =12AC ＝4，OB =12BD ＝3， ∴AB =√AO 2+BO 2=5，∵S 菱形ABCD =12AC •BD ＝24，DH ⊥AB ， ∴DH ＝24÷DH =245． 故选：B ．6．（2020春•江阴市校级期中）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5cm ，∠ADC ＝120°，点E 、F 同时由A 、C 两点出发，分别沿AB 、CB 方向向点B 匀速移动（到点B 为止），点E 的速度为1cm /s ，点F 的速度为2cm /s ，经过t 秒△DEF 为等边三角形，则t 的值为（ ）A ．34B ．43C ．32D ．53 【分析】连接BD ，证出△ADE ≌△BDF ，得到AE ＝BF ，再利用AE ＝t ，CF ＝2t ，则BF ＝BC ﹣CF ＝5﹣2t 求出时间t 的值．【解析】连接BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，∠ADB =12∠ADC ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∴AD ＝BD ，又∵△DEF 是等边三角形，∴∠EDF ＝∠DEF ＝60°，又∵∠ADB ＝60°，∴∠ADE ＝∠BDF ，在△ADE 和△BDF 中，{∠ADE =∠BDFAD =BD ∠A =∠DBF，∴△ADE ≌△BDF （ASA ），∴AE ＝BF ，∵AE ＝t ，CF ＝2t ，∴BF ＝BC ﹣CF ＝5﹣2t ，∴t ＝5﹣2t∴t =53， 故选：D ．7．（2020春•西城区校级期中）在菱形ABCD 中，∠A ：∠B ＝1：2，若周长为8，则此菱形中较短的那条对角线长为（ ）A ．2√3B ．4C ．1D ．2【分析】由菱形ABCD 中，∠DAB ：∠ABC ＝1：2，可求得∠DAB 的度数，由周长为8，可求得菱形的边长，然后由勾股定理求得菱形的两条对角线的长，即可求解．【解析】如图：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝AB＝BC＝CD，AC⊥BD，∵菱形ABCD的周长为8，∴AB＝2，AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∵∠DAB：∠ABC＝1：2，∴∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝2，∵在Rt△OAB中，∠OAB=12∠DAB＝30°，∴OB＝1，OA=√3OB=√3，∴AC＝2OA＝2√3，∵2√3＞2，∴较短的那条对角线长为2，故选：D．8．（2020春•西山区期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝4，∠ABC＝60°，则BD的长为（）A．4√3B．4 C．2√3D．3【分析】由菱形的性质得出AC⊥BD，BD＝2OB，OA＝OC，证△ABC是等边三角形，得AC＝AB＝4，则OA＝2，由勾股定理求出OB，即可得出答案．【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BD＝2OB，OA＝OC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝4，∴OA＝2，∴OB=√AB2−OA2=√42−22=2√3，∴BD＝2OB＝4√3故选：A．9．（2020春•番禺区期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF＝2，则菱形ABCD 的周长为（）A．16 B．8 C．4√2D．4【分析】根据三角形的中位线定理求出BC，再根据菱形的四条边解答即可．【解析】∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴BC＝2EF＝2×2＝4，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∴菱形ABCD的周长＝4×4＝16．故选：A．10．（2020春•滨江区期末）如图，若要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的条件是（）A．AB＝CD B．∠ADB＝∠DBCC．AO＝BO D．AC，BD互相垂直【分析】根据菱形的判定方法得出D正确，A、B、C不正确；即可得出结果．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，AC，BD互相垂直，∴平行四边形ABCD是菱形，故D选项正确；故选：D．二．填空题（共8小题）11．（2020春•贵港期末）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则添加一个适当的条件：AC⊥BD或AB＝BC（答案不唯一）可使其成为菱形（只填一个即可）．【分析】利用菱形的判定方法确定出适当的条件即可．【解析】▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，当AC⊥BD或AB＝BC使其成为菱形．故答案为：AC⊥BD或AB＝BC（答案不唯一）．12．（2020春•曹县期末）如图，菱形ABCD中，AC，BD相交于O，DE⊥BC于E，连接OE，∠BAD＝40°，则∠OED的度数为20°．【分析】根据菱形的性质得出∠DAO=12∠BAD＝20°，AC⊥BD，DO＝BO，AD∥BC，求出DE⊥AD，根据垂直的定义求出∠ADE＝90°，∠DEB＝90°，求出∠ADO，∠ODE的度数，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出OD＝OE，求出∠ODE＝∠OED即可．【解析】∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝40°，∴∠DAO=12∠BAD＝20°，AC⊥BD，DO＝BO，AD∥BC，∴∠DOA＝90°，∴∠ADO＝90°﹣∠DAO＝70°，∵AD∥BC，DE⊥BC，∴DE⊥AD，∴∠ADE＝90°，∴∠ODE＝∠AD∠E﹣∠ADO＝20°，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵DO＝BO，∴OE=12BD＝OD，∴∠OED＝∠ODE＝20°，故答案为：20°．13．（2020春•南京期末）如图，在菱形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥AB，垂足为E，PE＝5，则点P到BC的距离是5．【分析】利用菱形的性质，得BD平分∠ABC，利用角平分线的性质，得结果即可．【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ABC，∵PE⊥AB，PE＝5，∴点P到BC的距离等于5，故答案为：5．14．（2020•陕西）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为2√7．【分析】过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，可得矩形AGHE，再根据菱形ABCD中，AB ＝6，∠B＝60°，可得BG＝3，AG＝3√3=EH，由题意可得，FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，进而根据勾股定理可得EF的长．【解析】如图，过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，得矩形AGHE ，∴GH ＝AE ＝2，∵在菱形ABCD 中，AB ＝6，∠B ＝60°，∴BG ＝3，AG ＝3√3=EH ，∴HC ＝BC ﹣BG ﹣GH ＝6﹣3﹣2＝1，∵EF 平分菱形面积，∴FC ＝AE ＝2，∴FH ＝FC ﹣HC ＝2﹣1＝1，在Rt △EFH 中，根据勾股定理，得EF =√EH 2+FH 2=√27+1=2√7．故答案为：2√7．15．（2020春•锦江区期末）如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，过点A 作AE ⊥CB 交CB 的延长线于点E ，连接OE ．若菱形ABCD 的面积等于12，对角线BD ＝4，则OE 的长为 3 ．【分析】由菱形的性质得出BD ＝12，由菱形的面积得出AC ＝9，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ，∵BD ＝4，S 菱形ABCD ═12AC ×BD ＝12， ∴AC ＝6，∵AE ⊥BC ，∴∠AEC ＝90°，∴OE=12AC＝3，故答案是：3．16．（2020春•淮安区期末）已知菱形ABCD的对角线AC＝10，BD＝8，则菱形ABCD的面积为40．【分析】根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半列式计算即可得解．【解析】∵菱形ABCD的对角线AC＝10，BD＝8，∴菱形的面积S=12AC•BD=12×10×8＝40，故答案为：40．17．（2020•哈尔滨）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD＝2BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段AE的长为2√2．【分析】设BE＝x，则CD＝2x，根据菱形的性质得AB＝AD＝CD＝2x，OB＝OD，AC⊥BD，再证明DE＝DA＝2x，所以1+x=32x，解得x＝2，然后利用勾股定理计算OA，再计算AE的长．【解析】设BE＝x，则CD＝2x，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD＝CD＝2x，OB＝OD，AC⊥BD，∵∠DAE＝∠DEA，∴DE＝DA＝2x，∴BD＝3x，∴OB＝OD=32 x，∵OE+BE＝BO，∴1+x=32x，解得x＝2，即AB＝4，OB＝3，在Rt△AOB中，OA=√42−32=√7，在Rt△AOE中，AE=√12+(√7)2=2√2．故答案为2√2．18．（2020春•北仑区期末）如图，菱形ABCD中，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，当菱形的边长为10，一条对角线为12时，则阴影部分的面积为48．【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，再根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半解答．【解析】连接AC、BD，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝10，OB＝OD=12BD＝6，OA＝OC，AC⊥BD，∴OA=√AB2−OB2=√102−62=8，∴AC＝2OA＝16，∴菱形ABCD的面积=12AC×BD=12×16×12＝96，∵O是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积=12×96＝48；故答案为：48．三．解答题（共7小题）19．（2020•海陵区一模）已知：如图，BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在AB、BC上，且ED∥BC，EF∥AC．（1）求证：BE＝DE；（2）当AB＝AC时，试说明四边形EFCD为菱形．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠CBD＝∠EDB，则可证明∠EBD＝∠EDB，然后根据等腰三角形的判定方法得到结论；（2）先判断四边形EFCD为平行四边形，再证明∠EBC＝∠EFB得到BE＝FE，而BE＝DE，从而得到DE＝FE，然后根据菱形的判定方法可判断四边形EFCD为菱形．【解答】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠EBD＝∠CBD，∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE；（2）解：∵ED∥BC，EF∥AC，∴四边形EFCD为平行四边形，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵EF∥AC，∴∠EFB＝∠C，∴∠EBC＝∠EFB，∴BE＝FE，而BE＝DE，∴DE＝FE，而四边形EFCD为平行四边形，∴四边形EFCD为菱形．20．（2020春•万州区期末）已知，如图，在▱ABCD中，分别在边BC、AD上取两点，使得CE＝DF，连接EF，AE、BF相交于点O，若AE⊥BF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若菱形ABEF的周长为16，∠BEF＝120°，求AE的长．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，证出AF＝BE，则四边形ABEF是平行四边形，由AE⊥BF，即可得出四边形ABEF是菱形；（2）由菱形的性质得出AB＝BE＝4，AB∥EF，证出△ABE是等边三角形，得出AE＝AB＝4．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵CE＝DF，∴AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形，又∵AE⊥BF，∴四边形ABEF是菱形；（2）解：∵菱形ABEF的周长为16，∴AB＝BE＝4，AB∥EF，∴∠ABE＝180°﹣∠BEF＝180°﹣120°＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝4．21．（2020•恩施州）如图，AE∥BF，BD平分∠ABC交AE于点D，点C在BF上且BC＝AB，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．【分析】由AE∥BF，BD平分∠ABC得到∠ABD＝∠ADB，得到AB＝AD，再由BC＝AB，得到对边AD ＝BC，进而得到四边形ABCD为平行四边形，再由邻边相等即可证明四边形ABCD为菱形．【解答】证明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD，又∵AB＝BC，∴AD＝BC，∵AE∥BF，即AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，又∵AB＝AD，∴四边形ABCD为菱形．22．（2020•鼓楼区二模）如图，△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，点F是BC上一点，∠B＝∠DEF．（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；（2）直接写出当△ABC满足什么条件时，四边形BDEF是菱形．【分析】（1）由三角形中位线定理可得DE∥BC，得出∠B＝∠ADE，则∠ADE＝∠DEF，则可得出结论；（2）根据菱形的判定可得出答案．【解答】（1）证明：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，又∵∠B＝∠DEF，∴∠ADE＝∠DEF，∴BD∥EF，∵DE ∥BC ，BD ∥EF ，∴四边形BDEF 是平行四边形；（2）答案不唯一；如AB ＝BC ．∵AB ＝BC ，DE =12BC ，BD =12AB ， ∴BD ＝BF ，∵四边形BDEF 是平行四边形，∴四边形BDEF 是菱形．23．（2020•福建）如图，点E ，F 分别在菱形ABCD 的边BC ，CD 上，且BE ＝DF ．求证：∠BAE ＝∠DAF ．【分析】根据菱形的性质可得∠B ＝∠D ，AB ＝AD ，再证明△ABE ≌△ADF ，即可得∠BAE ＝∠DAF ．【解答】证明：四边形ABCD 是菱形，∴∠B ＝∠D ，AB ＝AD ，在△ABE 和△ADF 中，{AB =AD ∠B =∠D BE =DF，∴△ABE ≌△ADF （SAS ），∴∠BAE ＝∠DAF ．24．（2020春•中山市期末）如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AC 平分∠BAD ，DP ∥AC ．CP∥BD ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若AC ＝4，BD ＝6，求OP 的长．【分析】（1）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明四边形ABCD是菱形；（2）根据已知条件证明平行四边形DOCP是矩形，再根据AC＝4，BD＝6，即可求OP的长．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠BCA＝∠BAC，∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠DOC＝90°，∵DP∥AC，CP∥BD，∴四边形DOCP是平行四边形，∵∠DOC＝90°，∴平行四边形DOCP是矩形，∴OP＝CD，∵AC＝4，BD＝6，∴OC＝2，OD＝3，∴CD=√OC2+OD2=√13，∴OP＝CD=√13．答：OP的长为√13．25．（2020春•姜堰区期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE：AC＝1：2，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长．【分析】（1）先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD＝90°，证明OCED是矩形，可得OE＝CD即可；（2）根据菱形的性质得出AC＝AB，再根据勾股定理得出AE的长度即可．【解答】（1）证明：在菱形ABCD中，OC=12 AC．∵DE：AC＝1：2，∴DE＝OC，∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形．∴OE＝CD．（2）解：在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2．∴在矩形OCED中，CE＝OD=√AD2−AO2=√22−12=√3．在Rt△ACE中，AE=√AC2+CE2=√22+(√3)2=√7．。
九上数学 第1讲 1.1菱形的性质和判定【培优】
学大教育2019暑期九上数学课程第1讲《特殊的平行四边形》培优训练菱形的性质与评定第1课时菱形的概念及其性质知识点1 菱形的定义及对称性1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、性质：（1）菱形的四条边都相等。
（2）菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角。
（3）菱形是轴对称图形，也是中心对称图形。
3、判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
（2）四条边都相等的四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
1．如图1－1－1，在▱ABCD中，若添加下列条件：①AB＝CD；②AB＝BC；③∠1＝∠2.其中能使▱ABCD成为菱形的有()A．0个B．1个C．2个D．3个2．菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图1－1－2所示，点C的坐标是(6，0)，点A的纵坐标是1，则点B的坐标是()A．(3，1) B．(3，－1) C．(1，－3) D．(1，3)1－1－2 图1－1－33．如图1－1－3，P是菱形ABCD对角线BD上的一点，PE⊥AB于点E，PE＝4 cm，则点P到BC的距离是________cm.知识点2 菱形的边的性质4．如图1－1－4，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°.已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是() A．25 B．20 C．15 D．101－1－41－1－55．如图1－1－5，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边的中点．若菱形ABCD的周长为32，则OH的长为________．6．如图1－1－6，在△ABC中，AB＝AC，四边形ADEF是菱形．求证：BE＝CE.知识点3 菱形的对角线的性质7．如图1－1－7，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的边长为()A．5 B．10 C．6 D．88．已知菱形的边长是2 cm，一条对角线长是2 cm，则另一条对角线长是()A．4 cm B．2 3 cm C. 3 cm D．3 cm1－1－71－1－89．如图1－1－8，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，若∠BCO＝55°，则∠CBO＝________°. 10．如图1－1－9，四边形ABCD是菱形，A(3，0)，B(0，4)，则点C的坐标为()图1－1－9 A．(－5，4) B．(－5，5) C．(－4，4) D．(－4，3)11．一个菱形的边长为4 cm，且有一个内角为60°，则这个菱形的面积是________．12．如图1－1－10，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，对角线AC，BD相交于点O，点E在AB上，且BE ＝BO，则∠EOA＝________°.1－1－10图1－1－1113．如图1－1－11，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段DH的长为________．14．如图1－1－12所示，已知菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，M，N分别是边BC，CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM＋PN的最小值是________．15．如图1－1－13，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，O为对角线BD的中点，过点O作OE⊥AB，垂足为E.(1)求∠ABD的度数；(2)求线段BE的长．16.如图1－1－14所示，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，请你猜想CE与CF在数量上有什么关系，并证明你的猜想．图1－1－1417．如图1－1－15，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.(1)求证：BD＝CE；(2)若∠E＝50°，求∠BAO的度数．图1－1－15第2课时菱形的判定知识点1由菱形的定义作判定1．如图1－1－16，要使▱ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是()图1－1－16A．AC＝AD B．BA＝BC C．∠ABC＝90°D．AC＝BD2．如图1－1－17，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，DF∥AB.求证：四边形AEDF是菱形．图1－1－17 知识点2根据菱形的对角线作判定3．下列命题中，正确的是()A．对角线相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形图1－1－184．如图1－1－18，在▱ABCD中，AB＝13，AC＝10，当BD＝________时，四边形ABCD 是菱形．5．教材例2变式题如图1－1－19，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，BD＝8.求证：四边形ABCD是菱形．图1－1－19知识点3根据菱形的边作判定6．用直尺和圆规作一个菱形，如图1－1－20，能判定四边形ABCD是菱形的依据是()图1－1－20A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形7．如图1－1－21，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，∠F AC，∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠F AC，CD平分∠ECA.求证：四边形ABCD是菱形．图1－1－28．如图1－1－22所示，在▱ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线．添加一个条件，仍无法判定四边形AECF为菱形的是()A．AE＝AF B．EF⊥AC C．∠B＝60°D．AC是∠EAF的平分线1－1－221－1－23 9．如图1－1－23，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC的中点．若四边形ADEF 是菱形，则△ABC必须满足的条件是()A．AB⊥AC B．AB＝AC C．AB＝BC D．AC＝BC10．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是________．图1－1－2411．如图1－1－24，E，F，G，H分别是任意四边形ABCD中AD，BD，BC，CA的中点，当四边形ABCD的边满足条件____________时，四边形EFGH是菱形．12．如图1－1－25，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，作边AC的垂直平分线l 交AB于点D，过点C作AB的平行线交l于点E，判断四边形DBCE的形状，并说明理由．图1－1－2513．如图1－1－26，在Rt△ABC中，∠B＝90°，E是AC的中点，AC＝2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC.求证：四边形ADCF是菱形．图1－1－2614．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同且含60°角的三角板ABC 与三角板AEF按如图1－1－27①所示方式放置，现将三角板AEF绕点A按逆时针方向旋转α(0°＜α＜90°)，如图②，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P.(1)求证：AM＝AN；(2)当旋转角α＝30°时，判断四边形ABPF的形状，并说明理由．图1－1－27第3课时菱形的性质与判定的综合应用知识点1菱形的面积1．已知菱形的两条对角线长分别是12和16，则此菱形的面积是()A．192 B．96 C．48 D．40图1－1－282．如图1－1－28，菱形ABCD的周长是20，对角线AC，BD相交于点O，若BD＝6，则菱形ABCD的面积是()A．6 B．12C．24 D．483．如图1－1－29，已知菱形ABCD两条对角线BD与AC的长度之比为3∶4，周长为40 cm，求菱形的面积及高．图1－1－29知识点2菱形的性质与判定的应用4．如图1－1－30，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝2，则四边形ABCD 的周长为()A．4 B．6 C．8 D．121－1－301－1－315．如图1－1－31，剪两张对边平行且宽度相等的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是()A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCDB．AB＝BCC．AB＝CD，AD＝BCD．∠DAB＋∠BCD＝180°6．如图1－1－32，将等边三角形ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD，BD，则下列结论：①AD＝BC；②BD，AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④BD⊥DE.其中正确的个数是()A．1 B．2 C．3 D．41－1－31－1－337．如图1－1－33，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(8，2)，点D的坐标为(0，2)，则点C的坐标为________．8．如图1－1－34所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC，BE＝EC，AE＝2，则AB＝________．1－1－31－1－359．如图1－1－35，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，且AD交EF于点O，则∠AOF＝________°.10．如图1－1－36，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE＝6，∠BEF＝120°，求四边形BCFE的周长．11．如图1－1－37，四边形ABCD的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC＝24 cm，则四边形ABCD的周长为()A．52 cm B．40 cmC．39 cm D．26 cm12．如图1－1－38，在给定的一张平行四边形纸片ABCD上作一个菱形，甲、乙两人的作法如下：图1－1－38甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于点M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于点E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．根据两人的作法可判断()A．甲正确，乙错误B．甲错误，乙正确C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误图1－1－3913．如图1－1－39，菱形ABCD的边长为8 cm，∠A＝60°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC 于点F，则四边形BEDF的面积为________ cm2.14．如图1－1－40，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点(不与点A，B重合)，连接DP交对角线AC于点E，连接BE.(1)求证：∠APD＝∠CBE；(2)试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的14，为什么？图1－1－4015．2017·贺州如图1－1－41，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，AC⊥BD，垂足为O.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若CD＝3，BD＝2 5，求四边形ABCD的面积．图1－1－4116．教材“做一做”变式题明明将两张长为8 cm，宽为2 cm的长方形纸条交叉叠放，如图1－1－42①所示，他发现重叠部分可能是一个菱形．(1)请你帮助明明证明四边形ABCD是菱形；(2)明明又发现：如图②所示，当菱形的一条对角线与长方形纸条的一条对角线重合时，菱形ABCD 的周长最大，求此时菱形ABCD 的周长．图1－1－42菱形的判定练习判别方法：(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）四条边都相等的四边形是菱形（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 基础过关1.能够判别一个四边形是菱形的条件是（ ）A.对角线相等且互相平分B.对角线互相垂直且相等C.对角线互相平分D.一组对角相等且一条对角线平分这组对角 2.如图，在ABC 中，点E 、D 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，且DE ∥CA ，DF ∥BA ．下列四个判断中，不正确．．．的是（ ）Ａ．四边形AEDF 是平行四边形 Ｂ．如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF 是矩形Ｃ．如果AD 平分∠BAC ，那么四边形AEDF 是菱形Ｄ．如果AD ⊥BC 且AB=AC ，那么四边形AEDF 是菱形3.已知一个四边形ABCD 的四边的长依次为a 、b 、c 、d ，且a 2+ab-ac-bc=0,b 2+bc-bd-cd=0，那么四边形ABCD 是 （ ）A ．平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 梯形 能力提高4．下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形； ②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④顺次连结等腰梯形各边中点所得到的四边形是菱形.其中正确的是（ ） A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②③④5.如图，过矩形ABCD 的四个顶点作对角线AC 、BD 的平行线，分别相交于E 、F 、G 、H 四点，则四边形EFGH 是( )A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形6. 如图，将一张矩形纸片纸对折，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（ ）ＡＦ Ｃ Ｄ Ｂ Ｅ（第2题图）A.三角形B.矩形C.菱形D.梯形7.如图, □ABCD 中,AF 、CE 分别是∠BAD 、∠BCD 的平分线.根据现有的图形，请你添加一个条件,使四边形AECF 是菱形.则添加一个条件是___________.(只需写出一个即可,图中不能再添加别的“点”或“线”)8．在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O 点，从(1)AB=CD ；(2)AB ∥CD ；(3)OA=OC ；(4)OB=OD ；(5)AC ⊥BD ；(6)AC 平分∠BAD 这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD 是菱形.如(1)(2)(5) ⇒四边形ABCD 是菱形四边形；再写出符合要求的两个: ⇒四边形ABCD 是菱形； ⇒四边形ABCD 是菱形.9.如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点， 若EFGH 是菱形，则四边形ABCD 符合____________条件.10.如图，矩形ABCD 对角线相交于O ，DE ∥AC ，CE ∥DB ，DE 、CE 交于E.求证：四边形DOCE 是菱形.CFGEH A BD（第7题图）（第8题图）OF EBAC D(9题图)EFHGDCB A（第11题图）O E DA BC11．如图，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与AB CD ，的延长线分别交于E F ，． （1）求证：BOE DOF △≌△；（2）当EF 与AC 满足什么关系时，以A E C F ，，，为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．12．将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D ′ 处，折痕为EF ．（1）求证：△ABE ≌△AD ′F ；（2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论．13.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AD 是角平分线，CH 是高，交AD 于F ，DE ⊥AB 于E.求证：四边形CDEF 是菱形.FDOB EAA BCDEF D ′B FEDGCA14.如图，□ABCD 中，AB ⊥AC ，AB=1，BC=5，对角线AC 、BD 交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC 、AD 于点E 、F.（1）证明：当旋转角度是90°时，四边形ABEF 是平行四边形； （2）试说明在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由，并求出此时AC 绕O 点顺时针旋转的度数.EOBACDF。
《菱形的判定与性质》培优训练(附答案)
八年级数学下册《6.1菱形的判定与性质》培优训练（附答案）1．如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AB ＝4，BD ＝43，E 为AB 的中点，点P 为线段AC 上的动点，则EP+BP 的最小值为（ ）A ．4B ．25C ．27D ．82．如图，菱形ABCD 的边长为4,60,A E ∠=是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点，将线段EF 绕着E 逆时针旋转60，得到EG ，连接EG CG 、，则BG CG +的最小值为（ ）A ．33 B ．27 C ．43 D ．223+3．如图，在菱形ABCD 中，AB=6，∠ABC=60°，点E 在AD 上，且AE=2，点P 是对角线BD 上的一个动点，则PE+PA 的最小值是 ．4．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BD 平分∠ABC ，过点D 作DE ⊥BC ，交BC 的延长线于点E ，连接OE ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若DC ＝25，AC ＝4，求OE 的长．5．如图，在Rt ABC ∆中，090BAC ∠=，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作//BC AF 交BE 的延长线于点F（1）求证：四边形ADCF 是菱形（2）若4,5AC AB ==，求菱形ADCF 的面积6．在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，P 是射线BD 上一动点，以AP 为边向右侧作等边△APE ，连接CE ．（1）如图1，当点P 在菱形ABCD 内部时，则BP 与CE 的数量关系是 ，CE 与AD 的位置关系是 ．（2）如图2，当点P 在菱形ABCD 外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图2，连接BE ，若AB ＝23，BE ＝219，求AP 的长．7．如图，菱形ABCD 中，4AB =，E 为BC 中点，AE BC ⊥，AF CD ⊥于点F ，CG ∥AE ，CG 交AF 于点H ，交AD 于点G ．（1）求菱形ABCD 的面积；（2）求CHA ∠的度数．8．四边形ABCD 为菱形，点E 在边AD 上，点F 在边CD 上(1) 若AE=CF ，求证：EB=BF(2) 若AD=4，DE=CF ，且△EFB 为等边三角形，求四边形DEBF 的面积(3) 若∠DAB=60°，点H 在边BC 上，且BH=HC=2．若∠DFA=2∠HAB ，直接写出CF 的长9．如图，在菱形ABCD 中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF 为正三角形，E 、F 在菱形的边BC ，CD 上．（1）证明：BE=CF ．（2）当点E ，F 分别在边BC ，CD 上移动时（△AEF 保持为正三角形），请探究四边形AECF 的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．（3）在（2）的情况下，请探究△CEF 的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．10．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，AE 平分BAC ∠，分别交BC ，CD 于E ，F ，EH AB ⊥于H .连接FH ，求证：四边形CFHE 是菱形.11．在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE∥DB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠DAB=60°，且AB=4，求OE的长．12．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点E，F分别是边AB，AD上的点，且满足∠BCE=∠DCF，连结EF．（1）若AF=1，求EF的长；（2）取CE的中点M，连结BM，FM，BF．求证：BM⊥FM．13．在Rt△ABC中，∠BAC=,D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCFD 的面积．14．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF。
完整版)菱形的性质和判定练习题
完整版)菱形的性质和判定练习题1.这个菱形的高为9cm。
2.较短对角线长为10cm。
3.边长为5cm。
4.各角分别为72°和108°。
5.添加的条件可以是AB=AD或BC=CD。
6.错误的说法是A，即两组对边分别平行。
7.对角线互相垂直。
8.菱形。
9.不正确的说法是B，即菱形的对角线平分各内角。
10.周长为40cm。
11.互相垂直且不平分。
12.AB长为8cm。
13.CD的长为4.14.对角线BD的长为2.15.边长为5.16.OH的长为7.17.若菱形的周长为20cm，则它的边长为4cm。
18.在菱形ABCD中，由对角线AC和BD相交于点O可知，菱形的对角线相等，即AC=BD。
又已知BD=6，则AC=6.设菱形ABCD的边长为a，则2a=20，即a=10.由菱形对角线的长度公式可得。
$AC=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$，代入AC=6可得a=6/$\sqrt{2}$，因此菱形ABCD的面积为36.19.在菱形ABCD中，由$\angle ADC=120^\circ$可知，$\angle ADB=60^\circ$。
设$\angle ABD=\theta$，则$\angle ADB=120^\circ-\theta$。
由余弦定理可得，$BD^2=15^2+15^2-2\times15\times15\times\cos\theta$，化简可得$\cos\theta=1/2$，因此$\sin\theta=\sqrt{3}/2$。
由正弦定理可得，$BD/\sin\theta=2a$，其中a为菱形的边长。
又已知BD=15，代入可得$a=15\sqrt{3}/4$。
设B、D两点之间的距离为h，则$h=\sqrt{(15\sqrt{3}/4)^2-(15/2)^2}=15\sqrt{3}/4$，因此选项D 正确。
20.设菱形的较长对角线为2x，较短对角线为x，则菱形的面积为$x^2$。
人教版八年级下册数学 第六讲 菱形的判定与性质(培优版)
第六讲菱形的判定与性质（培优版）【版块一菱形的性质】【题型一】对角线互相垂直1．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC＝10，BD＝24，则FG的长为（）A．5B．6.5C．10D．122．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S＝48，则OH的长为（）菱形ABCDA．4B．8C．D．63．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A，D分别在y轴的正半轴和负半轴上，顶点B在x轴的负半轴上，若OA＝3OD，S菱形ABCD＝16，则点C的坐标为．【题型二】线段和最小值问题（将军饮马模型）4．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点G是边CD边的中点，点E、F分别是AG、AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是．5．如图，在△ABC中，AB＝3+，∠B＝45°，∠C＝105°，点D，E，F分别在AC、BC、AB上，且四边形ADEF为菱形，则菱形的边长为；若点P是AE上一个动点，则PF+PB的最小值为．【题型三】规律探究6．如图，在平面直角坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，点B在y轴上，OA＝1，将菱形OABC 沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2021次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2021的坐标为（）A．（1010，0）B．（1345，）C．（，）D．（1346，0）【题型四】动点问题7．如图，在菱形ABCD中，AB＝4cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB 方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为．【题型五】奔驰模型8．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，对角线AC平分∠BAD，点P是△ABC内一点，连接P A、PB、PC，若P A＝6，PB＝8，PC＝10，则菱形ABCD的面积等于．【题型六】做辅助线构造全等9．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，M、N分别为线段AB、BC上的两点，且BM＝CN，AN、CM相交于点E （1）证明：△BCM≌△CAN．（2）求∠AED的度数．（3）证明：AE+CE＝DE．【版块二菱形的判定】【题型一】邻边相等的平行四边形为菱形1．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．【题型二】对角线互相垂直+平行四边形=菱形2．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，将△ABD沿着BD折叠，使点A与点E重合．（1）如图（1），对角线AC、BD相交于点O，连接OE，则线段OE的长＝；（2）如图（2），过点E作EF∥CD交线段BD于点F，连接AF，求证：四边形ABEF是菱形；（3）如图（3），在（2）条件下，线段AE、BD相交于M，连接CE，求线段CE的长．【版块三菱形的性质与判定】【题型一】几何多项选择问题（综合）1．如图所示，分别以Rt△ABC的直角边AC，斜边AB为边向△ABC外构造等边△ACD和等边△ABE，F 为AB的中点，连接CF，DF，EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．有下列五个结论：①AC⊥DF；②DA+DF ＝BE；③四边形ADCF是菱形；④S四边形BCDE＝6S△ACD；⑤四边形BCDF是平行四边形．其中正确的结论是（填序号）【变式】如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F 为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，给出如下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④4FH＝BD；其中正确结论的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【题型二】动点问题3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝40cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤10）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）四边形AEFD能构成菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．【题型三】构造直角三角形求线段长3．如图1，在▱ABCD中，AB＝AD，AC＝16，BD＝12，AC、BD相交于点O．（1）求AB的长．（2）若CE∥BD，BE∥AC，连接OE，求证：OE＝AD．（3）在（2）条件下如图2，设BC与OE相交于点P，连接DP，求DP的长．【巩固训练】1．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：其中正确的是（）①BE⊥AC；②EG＝GF；③△EFG≌△GBE；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．A．①②③B．①③④C．①②⑤D．②③⑤2．如图，在等边△ABC中，BC＝8cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）填空：①当t为s时，以A、F、C、E为顶点的四边形是平行四边形；②当t为s时，四边形ACFE是菱形．3．如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接AD、CF，过点D作DG⊥CF于点G．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？为什么？（3）在（2）的条件下，若AB＝6，BC＝10，求DG的长．11。
菱形的性质和判定(含解析)
菱形的性质和判定一、选择题1、如图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点,BP=3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠,A的对应点A′．当CA′的长度最小时，CQ的长为（ )A 。
5B 。
7C .8D .二、解答题2、如图，菱形ABCD，对角线AC、BD交于点O,DE//AC，CE//BD，求证：OE=BC3、如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△的位置，AB与相交于点D，AC与、分别交于点E、F．（1）求证：△BCF≌△．(2）当∠C=α度时，判定四边形的形状并说明理由．4、如图,矩形ABCD 中,对角线AC 的垂直平分线交AD 、BC 于点E 、F,AC 与EF 交于点O ，连结AF 、CE ．（1）求证：四边形AFCE 是菱形；（2）若AB=3,AD=4，求菱形AFCE 的边长。
5、如图，CD 是△ABC 的中线，点E 是AF 的中点，CF∥AB． （1)求证：CF=AD ；（2）若∠ACB=90°,试判断四边形BFCD 的形状，并说明理由．6、如图,将矩形A 1B 1C 1D 1沿EF 折叠,使B 1点落在A 1D 1边上的B 点处；再将矩形A 1B 1C 1D 1沿BG 折叠，使D 1点落在D 点处且BD 过F 点．（1)求证：四边形BEFG 是平行四边形；(2）当∠B 1FE 是多少度时,四边形BEFG 为菱形？试说明理由．菱形的性质和判定的答案和解析一、选择题1、答案：B试题分析：作CH⊥AB于H，如图，根据菱形的性质可判断△ABC为等边三角形,则CH=AB=4，AH=BH=4，再利用勾股定理计算出CP=7，再根据折叠的性质得点A′在以P点为圆心，PA为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点A′在PC上时，CA′的值最小，然后证明CQ=CP即可。
解：作CH⊥AB于H，如图，∵菱形ABCD的边AB=8,∠B=60°,∴△ABC为等边三角形，∴CH=AB=4，AH=BH=4，∵PB=3,∴HP=1，在Rt△CHP中，CP= =7，∵梯形APQD沿直线PQ折叠,A的对应点A′，∴点A′在以P点为圆心，PA为半径的弧上，∴当点A′在PC上时,CA′的值最小，∴∠APQ=∠CPQ，而CD∥AB，∴∠APQ=∠CQP，∴∠CQP=∠CPQ，∴CQ=CP=7．故选：B．二、解答题2、答案：证明见解析试题分析：先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90°，证明OCED 是矩形，利用勾股定理即可求出BC=OE．证明：∵DE∥AC，CE∥BD,∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形,∴∠COD=90°，∴四边形OCED是矩形，∴DE=OC，∵OB=OD，∠BOC=∠ODE=90°，∴BC===OE3、答案：（1)见解答过程(2)见解答过程试题分析:（1）根据等腰三角形的性质得到AB=BC，∠A=∠C，由旋转的性质得到=AB=BC，∠A=∠=∠C，∠BD=∠，根据全等三角形的判定定理得到△BCF≌△（2)由旋转的性质得到∠=∠A,根据平角的定义得到∠DEC=180°-α，根据四边形的内角和得到∠ABC=360°—∠—∠C—∠=180°-α，证的四边形是平行四边形，由于=BC，即可得到四边形是菱形。
专题01菱形的性质与判定(四大类型)(题型专练)(原卷版)
专题01 菱形的性质与判定（四大类型）【题型1 菱形的性质】【题型2 菱形的判定】【题型3 菱形的性质与判定综合运用】【题型4 菱形中最小值问题】【题型1 菱形的性质】1．（2023•新郑市模拟）关于菱形，下列说法错误的是（）A．对角线垂直B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对角线互相平分2．（2023春•鹤山市校级期中）如图，菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长是（）A．12B．24C．20D．16 3．（2023•邗江区一模）图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中∠ABC的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°4.（2023•河西区一模）如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是，（0，1），点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的面积等于（）A．B．C．D．5．（2023春•通州区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC，O 为坐标原点，点C在x轴上，A的坐标为（﹣3，4），则顶点B的坐标是（）A．（﹣5，4）B．（﹣6，3）C．（﹣8，4）D．（2，4）6．（2023春•朝阳区校级期中）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC 的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长是（）A．12B．16C．20D．247．（2023春•江阴市期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，S＝24，则OH的长菱形ABCD为（）A．6B．5C．3D．2.5 8．（2023春•金坛区期中）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝120°，则菱形ABCD的面积是（）A．B．C．D．9．（2023春•鄞州区期中）如图，菱形ABCD的顶点A，B分别在y轴正半轴，x轴正半轴上，点C的横坐标为10，点D的纵坐标为8，若直线AC平行x 轴，则菱形ABCD的边长值为（）A．9B．C．6D．3 10．（2023春•朝阳区校级期中）把一个平面图形分成面积相等的两部分的线段称作这个图形的等积线段，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，则菱形ABCD 的等积线段长度a取值范围是（）A．B．C．D．11．（2023•川汇区一模）如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC，垂足为点H，则AH的长为（）A．3B．4C．4.8D．5【题型2 菱形的判定】12．（2023•西安二模）在下列条件中，能判定平行四边形ABCD为菱形的是（）A．AB⊥BC B．AC＝BD C．AB＝BC D．AB＝AC 13．（2023•张家口二模）依据所标数据（度为所在角的度数，数字为所在边的长度），下列平行四边形不一定是菱形的是（）A．B．C．D．14．（2023•新城区校级一模）在平行四边形ABCD中，添加下列条件，能判定平行四边形ABCD是菱形的是（）A．AB＝AD B．AC＝BD C．∠ABC＝90°D．AB＝CD 15．（2023春•长寿区校级月考）下列说法错误的是（）A．角平分线上的点到角两边的距离相等B．同旁内角互补C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形16．（2023春•秦皇岛月考）已知如图，在▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角，将△ABC沿对角线AC边平移，得到△A′B′C′，连接AB′和C′D，若使四边形AB′C′D是菱形，需添加一个条件，现有三种添加方案，甲方案：AB′＝DC′；乙方案：B′D⊥AC′；丙方案：∠A′C′B′＝∠A′C′D；其中正确的方案是（）A．甲、乙、丙B．只有乙、丙C．只有甲、乙D．只有甲17．（2022秋•兴平市期末）下列条件中，能判定四边形是菱形的是（）A．对角线垂直B．两对角线相等C．两对线互相平分D．两对角线互相垂直平分18．（2023春•海珠区期中）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC 的中点，G、H分别是BD、AC的中点，依次连接E、G、F、H得到四边形EGFH，要使四边形EGFH是菱形，可添如条件．19．（2023春•通州区期中）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE交BF于点C，CD ∥AB交AE于点D．求证：四边形ABCD是菱形．20．（2023春•天河区校级期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BC 至E，使点C是BE的中点，连接AD，AC，CE，DE，AG与DE相交于点O．（1）求证：AC＝DE；（2）当∠BAE＝90°时，求证：四边形ACED是菱形．21．（2023•崂山区一模）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点B作BP∥AC，过点C作CP∥BD，BP与CP相交于点P．（1）证明四边形BPCO为平行四边形；（2）给▱ABCD添加一个条件，使得四边形BPCO为菱形，并说明理由．22．（2023春•栖霞区校级期中）如图，在▱ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，点M、N在对角线AC上，且AM＝CN．（1）求证：四边形EMFN是平行四边形；（2）当△ABC满足条件时，▱EMFN是菱形．23．（2023春•青秀区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE．（1）求证：△AGE≌△BGF；（2）求证：四边形AFBE是菱形．【题型3 菱形的性质与判定综合运用】24．（2023•西山区一模）如图，将两条宽度都为1的纸条重叠在一起，使∠ABC ＝60°，则四边形ABCD的面积为（）A．B．C．D．25．（2022春•高邑县期末）如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；再分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；再连接AC，BC，AB，OC．若AB＝2，OC＝4．则四边形AOBC的面积是（）A．4B．8C．4D．26．（2022秋•青羊区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以C、B为圆心取AB的长为半径作弧，两弧交于点D．连接BD、AD．若∠ABD＝130°，则∠CAD＝．27．（2022春•互助县期中）如图，线段AB＝10，分别以A、B两点为圆心，以6长为半径画弧，两弧交于点C、点D，连接CD，则CD＝．28．（2023春•长沙期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若，BD＝2，求OE的长．29．（2023春•璧山区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．（1）求证：四边形BNDM是菱形；（2）若菱形BNDM的周长为68，MN＝16，求菱形BNDM的面积．30．（2023•安岳县一模）如图，在▱ABCD中，O为BD的中点，过点O作EF ⊥BD，交AD于点E，交BC于点F．（2）若AB＝2，AD＝4，∠BAD＝120°，求DE的长．31．（2023•市一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝6，BD＝4，求OE的长．32．（2023•九台区一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，过点D作∠ADC 的角平分线交AB于点E，连接AC交DE于点O，AD∥CE．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若AD＝10，△ACD的周长为36，求菱形AECD的面积．33．（2023春•天津期中）如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC．（2）若∠BAC＝90°，且，求四边形AFDE的面积．34．（2023•长沙模拟）如图，在Rt△ABF中，∠F＝30°，E，D分别是AF，BF的中点，延长ED到点C，使得CD＝2DE，连接CB．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若DE＝，求菱形ABCD的面积．【题型4 菱形中最小值问题】35．（2022春•铜山区期中）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一动点，且点P不与点B、C重合．作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连结EF，取EF的中点M，则PM的最小值为（）A．2B．2.4C．3D．2.5 36．（2022春•东营区期末）已知菱形ABCD，E、F是动点，边长为5，BE＝AF，∠BAD＝120°，则下列命题中正确的是（）①△BEC≌△AFC；②△ECF为等边三角形；③△ECF的边长最小值为3；④若AF＝2，则S△FGC ＝S△EGC．A．①②B．①③C．①②④D．①②③37．（2022春•孝感期末）如图，菱形ABCD的两条对角线长AC＝6，BD＝8，点E是BC边上的动点，则AE长的最小值为（）A．4B．C．5D．38．（2022春•余姚市期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC 上的动点，连结AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连结GH．若∠B ＝45°，BC＝2，则GH的最小值为（）A．B．C．2D．339．（2023•泰山区一模）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝6，BD ＝8，点P为边BC上一点，且P不与B、C重合．过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连接EF，则EF的最小值等于．40．（2023春•溧阳市期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，点H是线段BC的动点，连接OH．若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的最小值是．41．（2022春•东城区期末）如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，点E是AD边上一动点（不与A，D重合），点F是CD边上一动点，DE+DF ＝2，则∠EBF＝°，△BEF面积的最小值为．42．（2022春•泗阳县期中）如图，在菱形ABCD中，∠A＝2∠B，AB＝2，点E 和点F分别在边AB和边BC上运动，且满足AE＝CF，则DF+CE的最小值为4．【答案】4．43．（2022春•民勤县校级期中）如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB（提＝60°，点E为AB中点，点F是AC上一动点，则EF+BF的最小值为．示：根据轴对称的性质）44．（2022春•桥西区校级期中）如图所示，在菱形ABCD中，AB＝8，∠BAD ＝120°，△AEF为等边三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF．（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．。
第十三讲 菱形性质与判定培优辅导含答案
第十三讲菱形性质与判定培优辅导一、知识梳理1、菱形的定义：__________________的平行四边形叫做菱形．2、菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它具有四边形和平行四边形的______：还具有自己独特的性质①菱形既是_____图形（两条对称轴分别是），也是_______对称图形；②菱形的四条边 ______ ；③菱形的对角线，并且每一条对角线平分；菱形的面积S菱形=底边长×高=_________________ 。
注意：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于____________。
3、菱形的判定：①一组邻边相等的______ 是菱形；②四条边______的是菱形；③对角线的平行四边形是菱形．二、经典例题《菱形的性质与应用》【例1】如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝4．求：(1)∠ABC的度数；(2)菱形ABCD的面积．【变式题组】如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE＋CF ＝2．(1)求证：△BDE≌△BCF；(2)判断△BEF的形状，并说明理由；(3)设△BEF的面积为S，求S的取值范围．《菱形的 判定与应用》【例2】如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 平分∠BAD ，CE ∥AD 交AB 于E ．(1)求证：四边形AECD 是菱形；(2)若点E 是AB 的中点，试判断△ABC 的形状，并说明理由．【例3】已知如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 平分∠ABC ，交AD 于M ，EF ⊥BC 于F ．求证：四边形AEFM 是菱形．【例4】如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，E 是AB 边的中点，P 是AC 边上一动点，PB ＋PE 的最小值是，求AB 的值．三、【综合提升】【例5】、如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF ＝BD ，连接BF ．3（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）①当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．②当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是菱形？并说明理由．【变式题组】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.培优升级检测一、选择题1、若菱形的周长为24cm，一个内角为60°，则菱形较短的一条对角线为（）A ．9cmB ．8cmC ．7cmD ．6c m2、过矩形ABCD 的对角线AC 的中点O 作EF ⊥AC ，交BC 边于点E ，交AD 边于点F ，分别连接A E 、C F ．若A B ＝，∠D C F ＝30°，则E F 的长为（ ）A ．2B ．3C ．D ．3、如图，菱形ABCD 中，AB ＝2，∠A ＝120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD上的任意一点，则PK +QK 的最小值为（ ）A ．1B ．C ．2D ．+1二、填空题4、菱形的对角线长分别为6和8，则此菱形的周长为 ，面积为 ．5、菱形ABCD 中，∠A ∶∠B ＝1∶5，若周长为8cm ，则此菱形的高等于_ _.6、已知□ABCD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，请你添 ，使□ABCD 成为一个菱形．7、如图所示，在菱形ABCD 中，对角线AC=10，BD=24，AE ⊥BC 于E ，则AE 的长是 ．8、如图已知菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若AE AF EF AB ===，求C∠的度数 ．9、如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 边上一点，且∠A=∠EDF=60°，有下列结论：①AE=BF ；②△DEF 是等边三角形；③△BEF 是等腰三角形；④∠ADE=∠BEF ，其中结论正确的个数是 ．7题图 8题图 9题图 10题图 11题图10、如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC于F ，则EF 的最小值为 ．11、如图将两张长为8,宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值 ，菱形周长的最大值是 ．12、如图，四边形ABCD 是菱形，O 是两条对角线的交点，过O 点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为 ．F ED C BA13、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是．．14、已如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm，一只电子甲虫，从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2022cm时停下，则它停的位置是.12题图 13题图 14题图 15题图15、如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°．顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连接四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…，则四边形A2B2C2D2的周长是20 ；四边形A2017B2017C2017D2017的周长是．三、解答题16、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为6，∠ABC ＝60°，求AE的长．17、如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（20，0），C（0，8），点D是OA的中点，点P在BC边上以每秒1个单位长度的速度由点C向点B运动．（1）当t为何值时，四边形PODB是平行四边形？（2）在线段PB上是否存在一点Q，使得ODQP为菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当△OPD为等腰三角形时，写出点P的坐标（不必写过程）．第十三讲菱形性质与判定培优辅导答案二、知识梳理1、菱形的定义：__有一组邻边相等_的平行四边形叫做菱形．2、菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它不仅具有四边形和平行四边形的_一切性质____，还具有自己独特的性质。
专题06 菱形的性质和判定(解析版)
专题06 菱形的性质和判定姓名：___________考号：___________分数：___________（考试时间：100分钟满分：120分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列命题中，正确的是（）．A．两邻边相等的四边形是菱形B．一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C．对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D．对角线垂直的四边形是菱形【答案】B【分析】根据菱形的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【解析】两邻边相等的平行四边形是菱形，故选项A不符合题意；一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形，故选项B符合题意；对角线垂直且一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项C不符合题意；对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了命题、菱形的知识；解题的关键是熟练掌握菱形的性质，从而完成求解．2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，点E，F分别为AO，DO的中点，则线段EF的长为（）A．2.5 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出AD的长，再根据中位线定理即可求出EF的长．【解析】解：因为在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，∴AC⊥BD，AO=4，DO=3，∴AD=2222435AO DO+=+=，∵点E，F分别为AO，DO的中点，∴12.52==EF AD；故选：A．【点睛】本题考查的是菱形的性质和中位线的性质，注意到菱形的对角线互相垂直平分是解决本题的关键．3．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=6，则BC的长为（）．A．3 B．2C．3D．32 2【答案】C【分析】根据菱形AECF，得∠FCO=∠ECO，再利用∠ECO=∠ECB，可通过折叠的性质，结合直角三角形勾股定理求解．【解析】解：∵菱形AECF，AB=6，设BE=x，则AE=CE=6-x，∵菱形AECF，∴∠FCO=∠ECO，∵∠ECO=∠ECB，∴∠ECO=∠ECB=FCO=30°，∴2BE=CE，即CE=2x，∴2x=6-x，解得：x=2，∴CE=4，又EB=2，则利用勾股定理得：23BC ，故选：C．【点睛】此题主要考查了折叠问题以及勾股定理等知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．4．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，M为AD中点，P为对角线BD上一动点，连接PA和PM，则PA＋PM的最小值是( )A．3 B．23C．33D．6【答案】C【分析】首先连接AC，交BD于点O，连接CM，则CM与BD交于点P，此时PA+PM的值最小，由在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，易得△ACD是等边三角形，BD垂直平分AC，继而可得CM⊥AD，则可求得CM的值，继而求得PA+PM的最小值．【解析】解：连接AC，交BD于点O，连接CM，则CM与BD交于点P，此时PA+PM的值最小，∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，∴∠ADC=∠ABC=60°，AD=CD=6，BD垂直平分AC，∴△ACD是等边三角形，PA=PC，∵M为AD中点，∴DM=12AD=3，CM⊥AD，∴CM=22CD DM -=33，∴PA+PM=PC+PM=CM=33．故选C ．【点睛】此题考查了最短路径问题、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及菱形的性质．注意准确找到点P 的位置是解此题的关键．5．如图在平面直角坐标系xOy 中若菱形ABCD 的顶点,A B 的坐标分别为(6,0),(4,0)-，点D 在y 轴上，则点C 的坐标是（ ）A ．(6,8)B ．(10,8)C ．(10,6)D ．(4,6)【答案】B【分析】 首先根据菱形的性质求出AB 的长度，再利用勾股定理求出DO 的长度，进而得到点C 的坐标．【解析】∵菱形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别为(-6，0)、(4，0)，点D 在y 轴上，∴AB=AO+OB=6+4＝10，∴AD=AB=CD=10，∴22221068DO AD AO =-=-=，∴点C 的坐标是：(10，8)．故选：B ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，解题的关键是利用勾股定理求出DO 的长度． 6．如图，ABCD 中，AC 平分BAD ∠，若2,3AC AB ==ABCD 的面积为（ ）A ．2B ．22C ．42D ．82【答案】B【分析】 连接BD 交AC 于点O ，首先证明四边形ABCD 为菱形，然后求出BD 的长，最后根据菱形的面积公式解答．【解析】解：如图，连接BD 交AC 于点O ，在ABCD 中，//AD BC ，,DAC ACB ∴∠=∠AC 平分BAD ∠，DAC BAC ∴∠=∠，BAC BCA ∴∠=∠，AB BC ∴=，∴四边形ABCD 为菱形，11,2122AC BD OA AC ∴⊥==⨯=， 22312OB AB OA ∴=-=-222BD OB ==，ABCD ∴的面积为：112222222ABCD S AC BD =•=⨯⨯=故选B ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质以及勾股定理等知识，解题的关键是证得四边形ABCD 为菱形．7．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点C 作CE ⊥AD 于点E ，连接OE ，若OB ＝6，S 菱形ABCD ＝60，则OE 的长为（ ）A ．23B ．5C ．5D ．6【答案】C【分析】 先根据菱形的性质、面积公式可得AC 的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得．【解析】四边形ABCD 是菱形，6OB =，212BD OB ∴==，OA OC =，162ABCD BD AC S AC =⋅=菱形， 60ABCD S =菱形，660AC ∴=，解得10AC =，又OA OC =，CE AD ⊥，OE ∴是Rt ACE △斜边AC 上的中线，1110522OE AC ∴==⨯=， 故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握菱形的性质是解题关键．8．如图，在菱形ABCD 中，E F ，分别是BC CD ，的中点，设ABCD S S =四边形，1AEF S S ∆=，则（ ）A ．112S S =B ．112S S <C ．112S S >D ．152S S = 【答案】B【分析】利用三角形的中线得到12AECF S S =四边形，判断出A 、C 错误，B 符合题意，利用三角形中位线定理求得CEF 18S S =，通过计算得到183S S =，即可得到正确的答案． 【解析】连接BD 、AC ，∵E ，F 分别是BC ，CD 的中点， ∴ABE ABC ADF ACD 1122S S S S ==，， ∴A CD 1122AECF B S S S ==四边形菱形， ∵AEF AECF S S <四边形，即112S S <，故A 、C 错误，B 符合题意； ∵E ，F 分别是BC ，CD 的中点，∴EF=12BD ，EF ∥BD ， ∴CEF CBD A CD 111488B S S S S ===菱形，∴1AEF CEF 113288AECF S S S S S S S ==-=-=四边形， 即183S S =，故D 错误，故选：B ．【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中线有关的面积计算，三角形中位线与三角形的面积，熟练掌握菱形的性质是解决问题的关键．9．如图，在▱ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E ，以A 为圆心，AB 为半径的弧交AD 于点F ，连接EF ．若BF ＝6，AB ＝5，则四边形ABEF 面积是（ ）A ．12B ．24C ．36D ．48【答案】B【分析】 根据题意AB ＝AF ，利用角平分线和平行证明BA ＝BE ，用一组对边平行且相等证明四边形ABEF 为平行四边形，再用邻边相等证明它是菱形，最后用菱形面积公式计算面积．【解析】记AE 与BF 相交于O 点，如图，由作法得AB ＝AF ＝10，AE 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝∠DAE ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DAE ＝∠BEA ，∴∠BAE ＝∠BEA ，∴BA ＝BE ，∴AF ＝BE ，∵AF ∥BE ，∴四边形ABEF 为平行四边形，∵AB＝AF，∴四边形ABEF为菱形，∴OA＝OE，OB＝OF＝12BF＝3，AE⊥BF，在Rt△AOB中，OA22534=-=，∴AE＝2AO＝8，∴四边形ABEF面积116824 22AE BF=⋅=⨯⨯=．故选：B．【点睛】本题考查角平分线的性质，菱形的判定和面积求解，解题的关键是根据题目中的角平分线和平行的条件能够证明等腰三角形，再根据菱形的判定和面积公式求四边形面积．10．如图，在菱形ABCD中，AE是菱形的高，若对角线AC、BD的长分别是6、8，则AE的长是()A．174B．245C．163D．5【答案】B【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，BO=DO=4，CO=AO=3，由勾股定理可求CB=5，由菱形的面积公式可求AE的长．【解析】解：四边形ABCD是菱形AC BD∴⊥，4BO DO==，3CO AO==225BC BO CO ∴=+=12ABCD S AC BD BC AE =⨯⨯=⨯菱形 245AE ∴=245AE ∴= 故选B ．【点睛】本题菱形的性质，熟练运用菱形的面积公式是本题的关键．11．如图，菱形ABCD 的边长为13，对角线AC 的长为24，延长AB 至E ，BF 平分CBE ∠，点G 是BF 上任意一点，则ACG 的面积为（ ）A ．30B ．60C ．90D ．120【答案】B【分析】 连接BD 交AC 于点O ，根据菱形的性质可得BD 与AC 互相垂直平分，再根据AC 平分∠DAB ，BF 平分∠CBE ，可以证明AC ∥FB ，根据平行线间的距离处处相等可得S △CBG =S △ABG ，进而可得S △ACG =S △ABC ．【解析】解：如图，连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴BD 与AC 互相垂直平分，∴OA=OC=12，∴OB=OD=221312=5，∵DA∥CB，∴∠DAB=∠CBE，∵AC平分∠DAB，∴∠CAB=12∠DAB，∵BF平分∠CBE，∴∠FBE=12∠CBE，∴∠CAB=∠FBE，∴AC∥FB，∴S△CBG=S△ABG，∴S△ACG=S△ABC=12×AC•OB=12×24×5=60，则△ACG的面积为60．故选：B．【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的面积，解决本题的关键是掌握菱形的性质．12．两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，AB=AF，AE=BC．若AB=1，BC=3，则图中重叠（阴影）部分的面积为（）．A．2 B3C．53D．43【答案】C【分析】证得四边形AGCH是平行四边形，由△ABG≌△CEG（AAS），证得四边形AGCH是菱形，设AG=CG=x，则BG=BC-CG=3-x，在Rt△ABG中，由勾股定理得出方程，解方程求得CG的长，即可求出菱形AGCH的面积．【解析】设BC 交AE 于G ，AD 交CF 于H ，如图所示：∵四边形ABCD 、四边形AECF 是全等的矩形，∴AB=CE ，∠B=∠E=90°，AD ∥BC ，AE ∥CF ，∴四边形AGCH 是平行四边形，在△ABG 和△CEG 中，AGB CGE B EAB CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABG ≌△CEG （AAS ），∴AG=CG ，∴四边形AGCH 是菱形，设AG=CG=x ，则BG=BC-CG=3-x ，在Rt △ABG 中，由勾股定理得：12+(3-x)2=x 2，解得：x=53， ∴CG=53， ∴菱形AGCH 的面积=CG ⋅AB=55133⨯=， 即图中重叠（阴影）部分的面积为53． 故选：C ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．菱形的周长为12cm ，一个内角等于120︒，则这个菱形的面积为_________2cm ． 932【分析】作AE ⊥BC 于E ，由直角三角形的性质求出菱形的高AE ，再运用菱形面积公式＝底×高计算即可．【解析】解：作AE⊥BC于E，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，周长为12cm，∠BCD＝120°，∴AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，∵AE⊥BC，∴∠BAE＝30°，∴BE＝12AB＝32cm，AE=3BE＝332cm，∴菱形的面积＝BC•AE＝3×332932cm2）；932【点睛】本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质、菱形的面积等知识；熟练掌握菱形的性质，求出菱形的高是解决问题的关键．14．己知菱形ABCD的边长是3，点E在直线AD上，DE=1，联结BE与对角线AC相交于点M，则AMMC的值是______．【答案】23或43【分析】首先根据题意作图，注意分为E在线段AD上与E在AD的延长线上，然后由菱形的性质可得AD∥BC，则可证得△MAE∽△MCB，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案．【解析】解：∵菱形ABCD的边长是3，∴AD=BC=3，AD∥BC，如图①：当E在线段AD上时，∴AE=AD－DE=3－1=2，∴△MAE∽△MCB，∴23 MA AEMC BC==；如图②，当E在AD的延长线上时，∴AE=AD+DE=3+1=4，∴△MAE∽△MCB，∴43 MA AEMC BC==．∴MAMC的值是23或43．故答案为23或43．【点睛】此题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键是注意此题分为E在线段AD 上与E在AD的延长线上两种情况，小心不要漏解．15．如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF 并延长与AB的延长线相交于点G，则EG ＝____．【答案】10；【分析】连接菱形的另一条对角线，利用菱形性质特征和勾股定理可求BD长；利用三角形中位线定理可得EF长；在利用三角形全等可证EF GF=即可得解．【解析】连接BD 交AC 与点O ，在菱形ABCD 中 ∵111222AC BD OC OA AC OD OB BD ⊥=====，，， 在RT DOC △中 222213125OD DC OC =-=-=，∴10BD =，∵点E 、F 分别是边CD 、BC 的中点，∴152EF BD ==， ∵//AB CD ，∴BGF CEF GBF ECF ∠=∠∠=∠，，又∵CF BF =，∴BGF CEF ≅△△，∴5EF GF ==，∴10EG =．故答案为：10．【点睛】本题主要考查菱形的性质特征、三角形的中位线定理、平行线性质、勾股定理以及全等三角形等．中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．运用三角形中位线定理求线段长的方法：当题中有中点，特别是一个三角形中出现两边中点时，我们常常考虑运用三角形的中位线来解决问题，首先证明出它是三角形的中位线，然后利用中位线构造线段这间的关系，并由此建立待求线段与已知线段的联系，从而求出线段的长．16．在数学必修拓展课上，小兰利用一张直角三角形纸片折出了一个菱形AFDE ，如图所示，若∠ACB ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，则折痕EF 的长为______．【答案】354【分析】过点D 作DH ⊥AB 于 H ，连结AD 、EF ，设CD=x ，则DH=x ，BD=4−x ，由勾股定理求得x 的值，设CF=y ，则 AF=3−y=FD ，由勾股定理求得y 的值，由菱形的性质得AD 与EF 垂直平分，进而求得EF 的长．【解析】解：如图，过点D 作DH ⊥AB 于 H ，连结AD 、EF ，∵菱形AFDE ，∴AD 平分∠BAC ，∵∠ACB=90°，∴CD=DH ，∴AH=AC=3，设CD=x ，则DH=x ，BD=4−x ，∵2222345AC BC +=+=，∴HB=5−3=2，在Rt △DBH 中，()22222242BD DH BH x x =+-=+，，∴x=1.5，即CD=1.5，设CF=y ，则AF=3−y=FD ，在Rt △CDF 中，()222222321.534CF CD FD y y y +=+=-=，，， 即CF=324，∴AF=3−324， 在Rt △ACD 中，2222363 1.5AC CD +=+=， ∴AO=136362=，由菱形的性质得AD 垂直平分EF ，OF=22223236353448AF AO ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴EF=2OF= 3535284⨯=， 故答案为35． 【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，角平分线的性质．17．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH AB ⊥于点H ，连接OH ，若20DHO ∠=︒，则HDB ∠的度数是______．【答案】20︒【分析】先根据菱形的性质得OD ＝OB ，而DH ⊥AB ，所以OH 为Rt △DHB 的斜边DB 上的中线，得到OH ＝OD ，利用等腰三角形的性质得∠HDB ＝∠DHO ．【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴OD ＝OB ，∵DH ⊥AB ，∴∠DHB ＝90°，∴OH 为Rt △DHB 的斜边DB 上的中线，∴OH ＝OD ，∴∠HDB ＝∠DHO ＝20°，故填：20°．【点睛】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18．已知：如图，点P 是边长为2的菱形ABCD 对角线AC 上的一个动点，点M 是AB 边的中点，且60BAD ∠=︒，则MP PB +的最小值是_______．【答案】3 【分析】 找出B 点关于AC 的对称点D ，连接DM ，则DM 就是PM+PB 的最小值，求出即可．【解析】解：连接DE 交AC 于P ，连接BD ，BP ，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B 、D 关于AC 对称，则PD=PB ，∴PE+PB=PE+PD=DE ，即DM 就是PM+PB 的最小值，∵∠BAD=60°，AD=AB ，∴△ABD 是等边三角形，∵AE=BE ，∴DE ⊥AB （等腰三角形三线合一的性质）在Rt △ADE 中，DM=22AD AM －=2221=3－．故PM+PB 的最小值为3．故答案为：3．三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ．过点B 作AC 的平行线，过点C 作BD的平行线，两线相交于点P ．（1）求证：四边形OBPC 是菱形．（2）已知3AB =，5BC =，求四边形OBPC 的面积．【答案】（1）证明过程见解析；（2）152OBPC S =四边形 【分析】（1）根据平行四边形的判定证得四边形OBPC 是平行四边形，再根据矩形的性质可知OB=OC ，然后根据菱形的判定即可证得结论；（2）根据菱形的性质和三角形的中线将三角形面积平分可证得四边形OBPC 的面积等于三角形ABC 的面积，利用直角三角形的面积公式即可解答．【解析】（1）∵//BP OC ，//CP OB ，∴四边形OBPC 是平行四边形，在矩形ABCD 中，AC BD =，且AC 与BD 互相平分，∴OB OC =，∴'平行四边形OBPC 是菱形．（2）∵四边形OBPC 是菱形，∴OBC BCP S S =△△，又∵AO OC =，∴AOB BOC S S =△△，∴OBC BCP AOB S S S ==△△△，∴四边形OBPC 的面积等于三角形ABC 的面积， ∴11522ABC S AB BC =⋅=△， ∴152OBPC S =四边形． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、三角形的中线与面积关系、三角形的面积公式，属于基础题型，难度适中，解答的关键是熟练掌握菱形的判定与性质的应用．20．如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F．（1）求证：AE＝BF；（2）若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．【答案】（1）见解析；（2）BD=2【分析】（1）根据菱形的性质和平行线的性质得到AB＝BC，∠A＝∠CBF，结合垂直的性质得到△AEB≌△BFC，根据三角形全等的性质即可证明；（2）首先证明BE是AD的垂直平分线，然后根据垂直平分线的性质即可求解．【解析】（1）证明：四边形ABCD是菱形∴AB＝BC，AD∥BC∴∠A＝∠CBF∵BE⊥AD、CF⊥AB∴∠AEB＝∠BFC＝90°∴△AEB≌△BFC（AAS）∴AE＝BF（2）∵E是AD中点，且BE⊥AD∴直线BE为AD的垂直平分线∴BD＝AB＝2【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的证明，垂直平分线的性质，关键是要利用好菱形的性质求解．，连接CE．21．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE DE（1）求证：DE CE =．（2）当EA AB ⊥于点A ，1AE ED ==时，求菱形的边长．【答案】（1）见解析；（2）3【分析】（1）根据SAS 证明△ADE ≌△CDE ，从而得到AE ＝CE ，再根据AE ＝DE ，再得出结论；（2）连接AC 交BD 于H ，由菱形的性质可得AB=AD ，AC ⊥BD ，BH=DH ，AH=CH ，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠DAE=∠ADE=∠ABD=30°，利用直角三角形的性质可求解即可．【解析】（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝DC ，∠ADE ＝∠CDE ，在△ADE 和△CDE 中，AD DC ADE CDE DE DE ⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝＝ ，∴△ADE ≌△CDE （SAS ），∴AE ＝CD ，又∵AE=DE ，∴DE CE =；（2）如图，连接AC 交BD 于H ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=AD ，AC ⊥BD ，BH=DH ，AH=CH ，∴∠ABD=∠ADB ，∵AE═ED=1，∴∠DAE=∠EDA ，∴∠DAE=∠ADE=∠ABD ，∵∠DAE+∠ADE+∠BAE+∠ABD=180°，∴∠DAE=∠ADE=∠ABD=30°，∴BE=2AE=2，∴BD=BE+DE=3，∴BH=DH=32， ∵∠ABD=30°，AH ⊥BD ，∴AB=2AH ，BH=3 AH ，∴AH=3，AB=2AH=3， ∴菱形的边长为3．【点睛】考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，解题关键是灵活运用其性质． 22．如图，ABC ∆中，90BCA ∠=︒，CD 是边AB 上的中线，分别过点C ，D 作BA 和BC 的平行线，两线交于点E ，且DE 交AC 于点O ，连接AE ．（1）求证：四边形ADCE 是菱形；（2）若60B ∠=︒，6BC =，求四边形ADCE 的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）S 菱形ADCE 183=【分析】（1）先证明四边形ADCE 为平行四边形，再证明AC ⊥DE 即可证明；（2）根据勾股定理得到AC 的长度，由含30度角的直角三角形的性质求得DE 的长度，然后由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求．【解析】（1）证明：∵DE∥BC，EC∥AB，∴四边形DBCE是平行四边形．∴EC∥DB，且EC=DB．在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∴AD=DB=CD．∴EC=AD．∴四边形ADCE是平行四边形．∴ED∥BC．∴∠AOD=∠ACB．∵∠ACB=90°，∴∠AOD=∠ACB=90°，∴AC⊥DE，∴ADCE是菱形；（2）解：Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B=60°，BC=6，∴AD=DB=CD=6．∴AB=12，由勾股定理得AC=63．∵四边形DBCE是平行四边形，∴DE=BC=6．∴S菱形ADCE6361832AC ED⋅⨯===．【点睛】本题主要考查菱形的性质和判定以及面积的计算，含30°角的直角三角形．（1）掌握菱形的判定定理并能灵活运用是解题关键；（2）中理解菱形的面积等于对角线的乘积的一半是解题关键．23．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）当AC=6时，求出四边形OCED的周长.【答案】（1）详见解析；（2）12【分析】（1）首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形OCED是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD，即可判定四边形OCED是菱形，（2）求出OC=OD=3，由菱形的性质即可得出答案．【解析】（1）∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形OCED为平行四边形，又∵四边形 ABCD 是矩形，∴OD=OC，∴四边形OCED为菱形；（2）∵四边形 ABCD 是矩形，∴OC=OD=12 AC，又∵AC=6，∴OC=3，由（1）知，四边形OCED为菱形，∴四边形OCED的周长为=4OC=4×3=12．【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．24．如图，四边形ABCD中，60B︒∠=，连接对角线AC，AC BC=，点E在AB上，将CE绕点C顺时针旋转60︒得到CF，且点F在AD上．（1）求证：AF BE=；（2）若AE DF=，求证：四边形ABCD是菱形．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）证明ABC ∆是等边三角形，由旋转的性质得出CE CF =，60ECF ︒∠=，通过证明ACF BCE ∆≅∆进行求证；（2）由已知条件可求出AD BC =，由（1）可证//AD BC ，进而可得出四边形ABCD 是平行四边形，最后根据邻边相等的平行四边形是菱形进行求证．【解析】证明：（1）∵60B ︒∠=，AC BC =，ABC ∆∴是等边三角形，60ACB ︒∴∠=，AB AC BC ==， CE 绕点C 顺时针旋转60︒得到CF ，CE CF ∴=，60ECF ︒∠=，∵ACB ACE ECB ∠=∠∠＋，ECF ACE ACF ∠=∠∠＋，BCE ACF ∴∠=∠，在ACF 和BCE 中AC BC ACF BCE CF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACF BCE SAS ∴∆≅∆，AF BE ∴=；（2）AE DF =，AF BE =，DF AF AE BE ∴+=+，即AB AD =，又AB BC =，AD BC ∴=，由（1）知BCE ACF ∆∆≌，60B CAF ︒∴∠=∠=，60ACB CAF ︒∴∠=∠=，//AD BC ∴，∴四边形ABCD 是平行四边形，又AB AD =，∴四边形ABCD 是菱形．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，旋转的性质，平行四边形与菱形的判定，由已知条件证明BCE ACF ∆∆≌是解题的关键．。
22.14菱形的性质与判定大题专练(重难点培优)(原卷版)【沪教版】
2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【沪教版】专题22.14菱形的性质与判定大题专练姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一．解答题（共24小题）1．（2021春•黄浦区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，∠BAC＝90°，点E为BC的中点（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）联结BD，如果BD平分∠ABC，AD＝2，求BD的长．2．（2020春•万州区期末）已知，如图，在▱ABCD中，分别在边BC、AD上取两点，使得CE＝DF，连接EF，AE、BF相交于点O，若AE⊥BF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若四边形ABEF的周长为16，∠BEF＝120°，求AE的长．3．（2019春•闵行区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，点D、E分别在边AB、BC上，且DE∥AC，AD ＝DE，点F在边AC上，且CE＝CF，联结FD．（1）求证：四边形DECF是菱形；（2）如果∠A＝30°，CE＝4，求四边形DECF的面积．4．（2019•松江区二模）如图，已知▱ABCD中，AB＝AC，CO⊥AD，垂足为点O，延长CO、BA交于点E，联结DE．（1）求证：四边形ACDE是菱形；（2）联结OB，交AC于点F，如果OF＝OC，求证：2AB2＝BF•BO．5．（2017•新区一模）如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE＝∠BAD，AE⊥AC（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）如果DA平分∠BDE，AB＝5，AD＝6，求AC的长．6．（2021秋•浦东新区校级月考）已知：点E在菱形ABCD的边BC的延长线上，AE交CD于点F，FG∥CE交DE于点G．求证：FG＝FC．7．（2021春•青浦区期末）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边AB的中点，FC与对角线BD交于点G，过G作GE⊥BC于点E，∠ADB＝∠FCB．（1）求证：AB＝2BE；（2）求证：DG＝CF+GE．8．（2019•兴化市模拟）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为点E，且E为边AB的中点．（1）求∠A的度数；（2）如果AB＝4，求对角线AC的长．9．（2021春•临沧期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE∥AC，且BE＝AC，连接EC．（1）求证：四边形BECO是矩形；（2）连接ED交AC于点F，连接BF，若AC＝6，AB＝5，求BF的长．10．（2021春•永城市期末）如图，在▱ABCD中，G是CD的中点，E是边长AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线相交于点F，连接CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形．（2）若BC＝2AB＝8，∠B＝60°．填空：①当AE＝时，四边形CEDF是矩形；②当AE＝时，四边形CEDF是菱形．11．（2021•饶平县校级模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．（1）求证：四边形AODE是矩形；（2）若△ABC是边长为2的正三角形，求四边形AODE的面积．12．（2020•中山市一模）如图，已知平行四边形ABCD．（1）若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM，求证：四边形AMCN是矩形；（2）若∠BAD＝120°，CD＝4，AB⊥AC，求平行四边形ABCD的面积．13．（2020春•濮阳期末）如图，在平行四边形ABCD中，点O是BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠A＝50°，①则当∠ADE＝°时，四边形BECD是矩形；②则当∠ADE＝°时，四边形BECD是菱形．14．（2021•黄冈模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF＝BE，连接DF，（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）连接OE，若AB＝13，OE＝，求AE的长．15．（2020秋•西城区校级月考）如图，菱形ABCD中，AC与BD交于点O，DE∥AC，DE＝AC．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）连接AE，交OD于点F，连接CF，若CF＝CE＝1，求AC长．16．（2021•房山区一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，点F在BC上，且CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）连接BD，若∠ABD＝90°，AE＝4，CF＝2，求BD的长．17．（2020春•雨花区校级期末）如图，在▱ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，∠AND＝90°，连接CM交DN于点O．（1）求证：△ABN≌△CDM；（2）求证：四边形CDMN为菱形；（3）过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE＝1，∠1＝∠2，求NC的长．18．（2021秋•丹东期末）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AB于点E交AC于点P，BF⊥CD于点F．（1）判断四边形DEBF的形状，并说明理由；（2）如果BE＝3，BF＝6，求出DP的长．19．（2020•新华区校级一模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是CD边上一点，作等边△BEF，连接AF．（1）求证：CE＝AF；（2）EF与AD交于点P，∠DPE＝46°，求∠CBE的度数．20．（2017秋•莲湖区校级月考）如图，菱形ABCD中，E、F分别是边AD，CD上的两个动点（不与菱形的顶点重合），且满足CF＝DE，∠A＝60°．（1）求证：△BEF是等边三角形．（2）若菱形ABCD的边长为6，当△DEF的面积为时，求DE的长．21．（2020•滦州市二模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF ∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明：四边形ADCF是菱形；（3）若AC＝4，AB＝5，直接写出菱形ADCF的面积．22．（2020•易门县二模）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG，如图1所示．（1）证明平行四边形ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，连接BG、CG、DG，如图2所示，①求证：△DGC≌△BGE；②求∠BDG的度数．（3）若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，如图3所示，求DM的长．23．（2021•西湖区校级三模）如图，四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，AC的垂线EF交AD于点M，交CD的延长线于点F．（1）求证：AM＝AE；（2）连接CM，DF＝2．①求菱形ABCD的周长；②若∠ADC＝2∠MCF，求ME的长．24．（2020•衢州模拟）【猜想】如图1，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交AD．BC于点E．F．若平行四边形ABCD的面积是8，则四边形CDEF的面积是．【探究】如图2，在菱形ABCD中，对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，若AC＝5，BD＝10，求四边形ABFE的面积．【应用】如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，延长BC到点D，使DC＝BC，连接AD，若AC＝3，AD＝2，则△ABD的面积是．。
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全国中考真题解析考点汇编菱形的性质与判定
一、选择题
1.（2011江苏淮安，5，3分）在菱形ABCD 中，AB=5cm ，则此菱形的周长为（ ）
A. 5cm
B. 15cm
C. 20cm
D. 25cm
2.（2011云南保山，5，3分）如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=60°，BD=4，则菱形ABCD 的周长是_______．
3. （2011•西宁）用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD 是菱形的依据是（ ） A 、一组临边相等的四边形是菱形
B 、四边相等的四边形是菱形
C 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D 、每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
4.（2011•青海）已知菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长度是6和8，则这个菱形的周长是（ ）
A 、20
B 、14
C 、28
D 、24
5.（2011山东济南，7，3分）如图，菱形ABCD 的周长是16，∠A=60°，则对角线BD 的长度为（ ）
A ．2
B ．23
C ．4
D ．43
6. （2010广东佛山，6，3分）依次连接菱形的各边中点，得到的四边形是（
）
A ．矩形
B ．菱形
C ．正方形
D ．梯形
7.（2011•包头，9，3分）已知菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（ ）
A 、163
B 、16
C 、83
D 、8
8. （2011湖南衡阳，8，3分）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO 的顶点P 的坐标是（3，4），则顶点M 、N 的坐标分别是（ ） A 、M （5，0），N （8，4） B 、M （4，0），N （8，4） C 、M （5，0），N （7，4）
D 、M （4，0），N （7，4）
第3题
第2题 第5题
第8题
第9题
第10题
9.（2011清远，10，3分）如图．若要使平行四边形ABCD成为菱形．则需要添加的条件是（）
A.AB＝CD
B.AD＝BC
C.AB＝BC
D. AC＝BD
10.（2011，台湾省，21,5分）如图为菱形ABCD与△ABE的重迭情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE的长度为何？（）
A、8
B、9
C、11
D、12
二、填空题
11.（2011江苏南京，12，2分）如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD 的面积为 cm2．
第11题第12题第13题
12.（2011重庆綦江，14，4分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD 相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点O到边AB的距离
13.（2011•贵港）如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=6cm，∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积等于 cm2．
14.（2011河北，14，3分）如图，已知菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝．
第15题
第14题
15.（2011丽江市中考，5,3分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，BD=4，则菱形ABCD的周长是．
16.（2011甘肃兰州，20，4分）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去.已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积
为 .
……
第16题
三、解答题
17. （2011广州，18，9分）如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且AE=AF 。
求证：△ACE≌△ACF。
18.（2011南昌，20，6分）如图，四边形ABCD 为菱形，已知A （0，4），B （﹣3，0）．
（1）求点D 的坐标；
（2）求经过点C 的反比例函数解析式．
19.（2011云南保山，18，8分）如图，在平行四边形ABCD 中，点P 是对角线AC 上一点，PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E 、F ，且PE=PF ，平行四边形ABCD 是菱形吗？为什么？
20. （2011邵阳，19，3分）在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，顺次连接
EF 、FG 、GH 、HE ．（1）请判断四边形EFGH 的形状，并给予证明；
（2）试添加一个条件，使四边形EFGH 是菱形．（写出你添加的条件，不要求证明）
A
D
F
E
B
C
思考题：
21.（2011四川广安，23，8分）如图所示，在菱形ABCD 中，∠ABC＝ 60°，DE∥AC 交BC 的延长线于点
E ．求证：DE ＝1
2
BE ．
22.（2011新疆乌鲁木齐，20）如图，在平行四边形ABCD 中，∠DAB＝60°，AB ＝2AD ，点 E 、F 分别是CD 的中点，过点A 作AG∥BD，交CB 的延长线于点G ． （1）求证：四边形DEBF 是菱形；
（2）请判断四边形AGBD 是什么特殊四边形？并加以证明．
23. （2011•恩施,18，）如图，四边形ABCD 中，AB=AC=AD ，BC=CD ，锐角∠BAC 的角平分线AE 交BC 于点E ，AF 是CD 边上的中线，且PC⊥CD 与AE 交于点P ，QC⊥BC 与AF 交于点Q ．求证：四边形APCQ 是菱形．
E
D
C
B
A
24.（2011•安顺）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE 上，且AF=CE=AE．
（1）说明四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．
25.（2011•湘西州）如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠ACB=30°，AB=2．
（1）求AC的长．
（2）求∠AOB的度数．
（3）以OB、OC为邻边作菱形OBEC，求菱形OBEC的面积．
26.（2011•西宁）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是菱形；
（2）若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE是怎样的四边形？
27.（2011湖州，22，10分）如图，已知E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若BC=10，∠BAC=90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．
28.（2011浙江衢州，22，10分）如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC．
（1）求证：AD=EC；
（2）当∠BAC=Rt∠时，求证：四边形ADCE是菱形．。