数学概念的定义形式
数学概念的要素
数学概念的要素数学概念的要素是指构成数学概念的基本元素，包括定义、性质、定理以及应用等。
下面将详细讨论数学概念的要素。
首先，数学概念的核心要素是定义。
定义是对一个概念进行精确定义的描述。
在数学中，定义是一种精确而准确的语言工具，用于界定一个概念的内涵和外延。
通过准确定义可以确立起某个数学概念的基本特征，使其能够被准确地理解和研究。
例如，对于一元二次方程，可以定义为形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知实数，且a≠0。
其次，数学概念的要素还包括性质。
性质是对某个数学概念所具备的特点和规律的描述。
性质是通过数学推理和证明来获得的，可以从中得出结论或揭示某个概念的内在联系。
性质是数学研究和应用的重要依据，可以用来研究概念之间的关系、推导出其他定理以及解决实际问题。
例如，一元二次方程的性质包括：有两个根；判别式Δ=b^2-4ac≥0时有实根，Δ<0时无实根；当a>0时，抛物线开口向上，a<0时开口向下等。
另外，数学概念的要素还包括定理。
定理是对某个数学命题进行证明得到的结论。
定理是数学中最基本也最重要的推理手段，通过定理可以对数学概念和性质进行深入研究，揭示数学规律和真理。
定理在数学研究中起着桥梁和纽带的作用，可以串联起不同概念和性质之间的关系，促进数学的发展和应用。
例如，一元二次方程求根公式定理即是描述一元二次方程根的计算公式，它可以表达为x=(-b±√Δ)/2a。
此外，数学概念的要素还包括应用。
数学概念在现实生活中的应用非常广泛，它可以用来分析和解决实际问题。
数学应用将数学概念和定理运用到实际情况中，通过数学建模和计算等手段，将问题转化为数学问题并进行求解。
数学应用可以帮助人们理解和解决现实生活中的各种问题，例如物理、经济、工程等领域的问题。
例如，一元二次方程可以应用于物理力学中的抛体运动问题，经济学中的成本收益分析以及工程学中的曲线绘制等。
综上所述，数学概念的要素包括定义、性质、定理和应用等。
最全面的初中数学概念定义公式大全
初中数学定义定理公式总结一、基本知识㈠、数与代数A、数与式：1、有理数有理数：①整数→正整数/0/负整数②分数→正分数/负分数数轴：①画一条水平直线,在直线上取一点表示0〔原点,选取某一长度作为单位长度,规定直线上向右的方向为正方向,就得到数轴。
②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
③如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数,也称这两个数互为相反数。
在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的两侧,并且与原点距离相等。
④数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的大。
正数大于0,负数小于0,正数大于负数。
绝对值：①在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。
两个负数比较大小,绝对值大的反而小。
有理数的运算：加法：①同号相加,取相同的符号,把绝对值相加。
②异号相加,绝对值相等时和为0；绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
③一个数与0相加不变。
减法：减去一个数,等于加上这个数的相反数。
乘法：①两数相乘,同号得正,异号得负,绝对值相乘。
②任何数与0相乘得0。
③乘积为1的两个有理数互为倒数。
除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。
②0不能作除数。
乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫幂,A叫底数,N叫次数。
混合顺序：先算乘法,再算乘除,最后算加减,有括号要先算括号里的。
2、实数无理数：无限不循环小数叫无理数平方根：①如果一个正数X的平方等于A,那么这个正数X就叫做A的算术平方根。
②如果一个数X的平方等于A,那么这个数X就叫做A的平方根。
③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。
④求一个数A的平方根运算,叫做开平方,其中A叫做被开方数。
立方根：①如果一个数X的立方等于A,那么这个数X就叫做A的立方根。
②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。
数学概念及其逻辑结构
三、概念间的关系
有某种可比较关 系的概念. 例如，“正数”和“整数”就是可比较的概念， 而“正数”和“多边形”就是不可比较的概念. 在可比较的概念间，有相容关系和不相容关系.
（一）相容关系 （Compatible relation ）
二、概念的内涵与外延
概 念 的 内 涵与 外 延 明确 了 ,就 可 以 更 好地 认 识 概念 ,把 握 概 念 ,否 则 就 会 出 现 错误 。 例 如 ,若 对“ 算 术 平 方 根 ” 这 个 概 念的 内 涵 不明 确 ,往 往 会 出 现 如 下 的 错误 :
(-2) 2
=-2，
( x - 1) 2 = x - 1
。
要 对 概 念 加深 认 识 ,不 仅 要 明确 概 念 的内 涵 与 外延 ,还 要 掌 握 概 念 的 内涵 与 外 延之 间 的 关系 。
（二）内涵与外延之间的关系
概念的内涵严格确定了概念的外延；反过来，概念的外延完全 确定了概念的内涵。因此，对概念的内涵所作的改变一定 导致概念外延的改变。具体来说即：这两个方面是相互联 系、互相制约的:当概念的内涵扩大时,则概念的外延就缩 小;当概念的内涵缩小时,则概念的外延就扩大。反过来也 一样。内涵和外延之间的这种关系,称为反变关系。\例如,
物区别于另一种事物的根本依据。
数学概念是反映思考对象在空间形式和数量关系及其模式方面的本 质属性的思维形式。 （二）产生与发展途径 概念是通过概括以及与概括紧密相联系的抽象而形成的。
数学概念的产生和发展有各种不同的途径：
1）从现实模型中直接反映得来，如初等数学中的点、线、面、体、 自然数等；
2）在原有数学概念的基础上，经过多级抽象和概括而形成，如近 代数学中的群、环、域、空间等；
小学数学定义(全部)
小学数学定义(全部)小学数学定义数学，作为一门科学，是人类探索和研究数量、结构、空间以及变化等概念的学科。
在小学阶段，学生接触到的数学内容主要包括数的认知、计算、数据分析和几何等方面。
下面将逐一介绍小学数学的主要定义。
1. 数字（Number）：数字是用来表示数量的基本符号，也可称为数。
数字包括0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个阿拉伯数字和无穷大等。
2. 自然数（Natural Numbers）：自然数是由1开始，依次递增的整数，如1、2、3、4、5等。
自然数常用于计数和排序。
3. 整数（Integers）：整数是包括正整数、零和负整数的集合，用来描述数量关系，如-3、-2、-1、0、1、2、3等。
4. 分数（Fractions）：分数是用来表示整数间的关系的数，由一个整数的分子和分母组成，分母不为零。
例如，1/2、2/3、3/4等。
5. 小数（Decimals）：小数是除法结果的数学表示形式，包括整数部分和小数部分，小数部分用十进制表示，如1.5、3.14等。
6. 正数（Positive Numbers）：正数是大于零的数，如1、2、3、4等。
正数可用于计数、表示增加或增长等概念。
7. 负数（Negative Numbers）：负数是小于零的数，如-1、-2、-3、-4等。
负数可用于表示减少或下降等概念。
8. 算术（Arithmetic）：算术是数学中研究数的四则运算（加法、减法、乘法和除法）的一门学科。
9. 加法（Addition）：加法是一种基本的运算方式，用来将两个或多个数值相加，得到它们的和。
10. 减法（Subtraction）：减法是一种基本的运算方式，用来从一个数中减去另一个数，得到它们的差值。
11. 乘法（Multiplication）：乘法是一种基本的运算方式，用来将两个或多个数相乘，得到它们的积。
12. 除法（Division）：除法是一种基本的运算方式，用来将一个数分成若干等份或将一个数分配给若干个部分，得到它们的商。
数学概念的学习
数学概念的学习【摘要】：能够识别一类刺激的共性，并对此作出相同的反映，这一过程称为概念学习。
例如，上述关于矩形概念的学习，学生将矩形与平行四边形比较，发现新概念是已有的旧概念的组合，于是通过建立新旧概念的联系去获得矩形概念。
由于数学概念具有多级抽象的特征，学生学习新概念在很大程度上依赖于旧概念以及原有的认知结构，所以概念同化的学习方式在数学概念学习中是经常和普遍使用的，特别是对高年级的学生学习数学概念更加适合。
数学概念是数学知识的重要组成部分，是数学学习的主要内容。
一、数学概念的定义能够识别一类刺激的共性，并对此作出相同的反映，这一过程称为概念学习。
概念学习的特点是抽取一类对象的共同特征，而辨别学习的特点则是识别一类对象的不同特征，这是两者的区别。
但是，在概念学习中，共性的抽象总需要有一定的区分能力，因此，辨别学习又是概念学习的前提。
数学研究的对象是现实世界的空间形式和数量关系。
数学概念是反映这些数学对象的本质属性和特征的思维形式。
如平行四边形的概念在人的思维中反映出：这样的对象是四边形形状的而且两组对边是分别平行的。
这就是四边形的本质属性。
例如，人们从现实的圆形物体的形象得到了圆的感性认识。
在实践活动中，为了创造圆形工具或器皿需要画圆，从而逐步认识圆的本质属性：“圆是平面内到一个定点的距离等于定长的点集（或封闭曲线）。
”这样就形成了圆的概念。
数学概念的语词表达的一般形式是“（概念的本质属性）……叫做……（概念的名词）”。
二、数学概念的特征（一）数学概念具有抽象和具体的双重性数学概念是反映一类事物在数量关系和空间形式上的本质属性的思维形式，它排除了对象具体的物质内容，抽象出内在的、本质的属性。
这种抽象可以脱离具体的物质内容，在已有的数学概念基础上进行多级的抽象，形成一种具有层次性的体系。
譬如，函数→连续函数→可微函数。
这就是一个函数概念体系的抽象体系。
显然，随着概念的多级抽象，所得到的概念的抽象程度就会越来越高。
数学概念教学
一般地说，一个概念的内 涵越大（本质属性越多），它 的外延则越小（即包括的对象 越少）；
反之，一个概念的内涵越小 （即本质属性越少），它的外延 则越大（即包括的对象越多）。
内涵越大，外延越小，概 念则越是处于特殊地位。
数学语言中所谓某概念是某 概念的特例，正是因为前者的外 延小于后者的外延，或者，前者 的内涵大于后者的内涵。
础概念。
认知根源的三个特性： 不唯一性、二重性、
辅助性
2、 数学概念的类别 从外延方面的某些特点出发， 数学概念可区分为： 单独概念和普遍概念；种概念 和属概念。
从内涵方面的某些特点出发， 数学概念又可区分为： 组合概念和个体概念； 抽象概念和具体概念； 否定概念和肯定认为，概念具有
发展性，随着知识结构的不断完善， 学生对概念的理解就从具体水平向抽
象性水平发展，从日常概念向科学概
念发展。 概念通常包括三个方面：概念的
名称、定义、属性。
2、概念的内涵
概念的内涵：一个概念所 概括或涉及到的具体对象的全 体。
3、概念的外延
概念的外延：一个概念的本 质属性的全体。
为概念下定义，还要遵守一定的 规则： 首先，定义的“两端”必须对称的； 其次，定义不准许“恶性循环”； 再有，除区已经明确的矛盾概念外， 概念的定义一般不准采取否定式的叙述； 最后，定义必须是简要、精练的。
2、
数学概念学习的认知分析
（1）数学概念学习的认知模式 从概念学习的心理过程划分，可
将数学概念学习分为概念获得、概念
第五、改革测试、评估模式。
维果斯基将概念分为： 日常概念和科学概念——来源 赫尔斯（S.H.Hulse）将概念分为： 易下定义的概念和难下定义的 概念—本质 奥苏贝尔将概念分为： 初级概念和二级概念——结构 加涅将概念分为： 具体概念和定义概念——结构
八年级上册数学必背概念定义全部公式总结
八年级上册数学必背概念定义全部公式总结章节一：数与代数基础1. 整数- 定义：由整数集合(Z)中的正整数、负整数和零组成。
- 公式：Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}2. 实数- 定义：由有理数集合(Q)和无理数集合的全体组成。
- 公式：R=Q∪D3. 代数表达式- 定义：由常数、变量和运算符号组成的式子。
- 公式：a+bx+c=x^2+2章节二：平面几何1. 对称- 定义：两个点、图形、式子在某个点、轴等方面相同。
- 公式：点(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y)。
2. 相似- 定义：两个图形的形状相同，但尺寸不同。
- 公式：∆ABC∼∆DEF，则AB/DE=BC/EF=AC/DF。
3. 勾股定理- 定义：直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方之和。
- 公式：c²=a²+b² (c为斜边）章节三：函数与方程1. 函数- 定义：一组有序数对，在数对中，第一元素为定义域中的一个数，第二元素为值域中的一个数。
- 公式：y=f(x)2. 一元一次方程- 定义：形如ax+b=c(a≠0)的方程。
- 解法：等式两边同时减去b，再同除以a。
- 公式：ax+b=c, x=(c-b)/a3. 二元一次方程组- 定义：两个形如ax+by=c的方程。
- 解法：用消元法将两个方程消去其中一个变量，再带回求解另一个变量。
- 公式：ax+by=c, dx+ey=f数与代数基础是数学学科的基本内容。
在中学数学的学习过程中，了解这些基础概念、定义与公式是非常必要的。
本章主要包括整数、实数、代数表达式等知识点。
首先，整数的定义是由整数集合(Z)中的正整数、负整数和零组成。
在计算中，我们可以使用整数实现对于数量的整数计量。
例如，当我们需要表达“3个苹果减去5个苹果，在数学中可以表示为3-5=-2。
整数的范围非常广泛，因此我们可以应用它们来完成数学分析、几何分析、统计分析等。
数学的定义与性质
统计学：数学在经济学中广泛应用于统计分析，如回归分析和时间序列分析。 计量经济学：使用数学模型和统计方法来研究经济关系和预测经济趋势。 决策理论：数学在经济学中用于制定优化决策，如线性规划、动态规划等。 博弈论：数学在经济学中用于研究竞争和策略互动，如纳什均衡和微分对策等。
购物时计算找零 制作食品时测量材料 计算时间和速度 测量长度和距离
进行有效的交流和合作
数学模型和算法在解决实际 问题中发挥着重要作用，为 决策和预测提供了有力支持
数字：表示数量 或度量
运算符：表示数 学运算的符号， 如加号、减号、 乘号、除号等
括号：用于组合 数字和运算符， 表示运算顺序
函数：表示数学 关系或映射的符 号，如sin、cos 等
数学公式是用数学语言表述事物 间数量关系和运算方式的符号体 系。
XX,a click to unlimited possibilities
01 数 学 的 定 义 02 数 学 的 特 性 03 数 学 的 基 本 要 素 04 数 学 的 应 用 领 域 05 数 学 在 日 常 生 活 中 的 应 用
数学是一门研究数量、结构、变 化以及空间等概念的抽象科学。
分类：分为平 面图形和立体 图形，包括点、 线、面、体等
基本元素
性质：具有位 置关系、度量 关系和变换关 系等基本性质
应用：在科学、 工程、技术等 领域有广泛应
用
物理学：数学在 物理学中有着广 泛的应用，如力 学、电磁学、量 子力学等领域。
化学：数学在化 学中用于描述和 预测分子的结构 和性质，以及化 学反应的过程。
土木工程：数学在建筑设计、 结构分析等方面具有不可或
缺的地位。
电子工程：数学在信号处理、 电路设计等方面具有重要应
初中数学 七年级上册数学必背概念、定义全部公式总结,新学期用上
初中数学七年级上册数学必背概念、定义全部公式总结，新学期用上初中数学 | 七年级上册数学必背概念、定义全部公式总结，新学期用上！_有理数_绝对值_个数人教版第一章有理数概念、定义：1、大于0的数叫做正数（positive number）。
2、在正数前面加上负号“-”的数叫做负数（negative number）。
3、整数和分数统称为有理数（rational number）。
4、人们通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴（number axis）。
5、在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点（origin）。
6、一般的，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值（absolute value）。
7、由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
8、正数大于0，0大于负数，正数大于负数。
9、两个负数，绝对值大的反而小。
10、有理数加法法则（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的负号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0。
（3）一个数同0相加，仍得这个数。
11、有理数的加法中，两个数相加，交换交换加数的位置，和不变。
12、有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
13、有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数。
14、有理数乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值向乘。
任何数同0相乘，都得0。
15、有理数中仍然有：乘积是1的两个数互为倒数。
16、一般的，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。
17、三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。
18、一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。
19、有理数除法法则除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。
20、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
名词解释 数学概念
名词解释数学概念好的,以下是一份关于数学概念的名词解释,包括以下内容:1. 数学概念:数学概念是指用符号、公式和逻辑推理来描述的抽象概念,通常用于描述自然现象、社会现象和人类行为。
数学概念是数学的基础,是数学研究的重要工具。
2. 加法:加法是一种基本的数学运算,用于将两个或多个数相加。
加法的定义是:将两个数相加,得到它们的和。
例如,3 + 4 = 7。
3. 乘法:乘法是一种基本的数学运算,用于将两个数相乘,得到它们的积。
乘法的定义是:将两个数相乘,得到它们的积。
例如,4 × 5 = 20。
4. 除法:除法是一种基本的数学运算,用于将一个数除以另一个数,得到商和余数。
除法的定义是:将一个数除以另一个数,得到商,余数就是被除数减去商的余数。
例如,2 ÷ 3 = 0,4 ÷ 5 = 0,8 ÷ 9 = 2。
5. 几何学:几何学是一门研究几何图形的学科,包括平面几何、立体几何和空间几何等分支。
几何学的应用广泛,包括数学、物理、工程、计算机科学等领域。
6. 数论:数论是一门研究数的基本性质和规律的学科,包括整数、分数、小数、百分数、自然数等概念。
数论在数学中具有重要的地位,被广泛应用于计算机科学、金融、密码学等领域。
7. 函数:函数是一种将一个集合映射到另一个集合的映射关系。
函数的定义是:一个映射,将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
例如,f(x) = x + 1,其中x表示整数,f表示函数。
8. 集合论:集合论是一门研究集合的性质和关系的学科。
集合论是数学中的一个重要分支,研究的对象包括集合、元素、关系、集合的并集、补集、交集等概念。
9. 微积分:微积分是一门研究函数变化的学科,包括微分和积分两个部分。
微积分的应用广泛,包括物理学、工程学、经济学、计算机科学等领域。
以上是一些数学概念的名词解释,数学概念是数学的基础,是数学研究的重要工具。
了解和掌握这些概念对于学习数学和应用数学都非常重要。
数学概念的定义形式
数学概念的界说方法一．给概念下界说的意义和界说的构造前面提到过,概念是反应客不雅事物思惟,是客不雅事物在人的脑筋中的抽象归纳综合,是看不见摸不着的,要用词语表达出来,这就是给概念下界说.而明白概念就是要明白概念的内在和外延.所以,概念界说就是揭示概念的内在或外延的逻辑办法.揭示概念内在的界说叫内在界说,揭示概念外延的界说叫做外延界说.在中学里,大多半概念的界说是内在界说.任何界说都由被界说项.界说项和界说联项三部分构成.被界说项是须要明白的概念,界说项是用来明白被界说项的概念,界说联项则是用来联接被界说项和界说项的.例如,在界说“三边相等的三角形叫做等边三角形”中,“等边三角形”是被界说项,“三边相等的三角形”是界说项,“叫做”是界说联项.二.罕有界说办法.1.原始概念.数学界说请求简明,不克不及暧昧不清.假如界说暧昧不清,也就不克不及明白概念,掉去了界说的感化.例如,“点是没有部分的那种器械”就是暧昧不清的界说.按这个请求,给某概念下界说时,界说项选用的必须是在此之前已明白界说过的概念,不然概念就会隐约不清.如许按序上溯,终必消失不克不及用前面已被界说过的概念来下界说的概念,如许的概念称为原始概念.在中学数学中,对原始概念的解释并不是是下界说,这是要明白的.比方：代数中的聚集.元素.对应等,几何中的点.线.面等2.属加种差界说法.这种界说法是中学数学中最经常运用的界说办法,该法即按公式：“临近的属+种差=被界说概念”下界说,个中,种差是指被界说概念与统一属概念之下其他种概念之间的不同,即被界说概念具有而它的属概念的其他种概念不具有的属性.例如,平行四边形的概念临近的属是四边形,平行四边形差别于四边形的其他种概念的属性即种差是“一组对边平行并且相等”,如许即可给平行四边形下界说为“一组对边平行并且相等的四边形叫做平行四边形”.运用临近的属加种差界说办法给概念下界说,一般情形下,应找出被界说概念最临近的属,如许可使种差简略一些.像下列两个界说：等边的矩形叫做正方形;等边且等角的四边形叫做正方形.前者的种差要比后者的种差简略.临近的属加种差的界说办法有两种特别情势：（1）产生式界说办法.它是以被界说概念所反应的对象产生或形成的进程作为种差来下界说的.例如,“在平面内,一个动点与一个定点等距离活动所成的轨迹叫做圆”等于产生式界说.在个中,种差是描写圆的产生进程.（2）关系界说法.它是以被界说概念所反应的对象与另一对象之间关系或它与另一对象对第三者的关系作为种差的一种界说方法.例如,若a b=N,则log a N=b(a＞0,a≠1).等于一个关系界说概念.3.揭示外延的界说办法.数学中有些概念,不轻易揭示其内在,可直接指出概念的外延作为它的概念的界说.罕有的有以下种类：（1）逆式界说法.这是一种给出概念外延的界说法,又叫归纳界说法．例如,整数和分数统称为有理数;正弦.余弦.正切和余切函数叫做三角函数;椭圆.双曲线和抛物线叫做圆锥曲线;逻辑的和.非.积运算叫做逻辑运算等等,都是这种界说法．（2）商定式界说法.揭示外延的界说办法还有一种特别情势,即外延的揭示采取商定的办法,因而也称商定式界说办法.例如,a0=1(a ≠0),0！=1,就是用商定式办法界说的概念.三.概念的引入（1）原始概念一般采取描写法和抽象化法或用直不雅解释或指明对象的办法来明白.“针尖刺木板”的陈迹引入“点”.用“拉紧的绳”或“小孔中射入的光线”来引入“直线”的办法是直不雅解释法,“1,2,3,···叫做天然数”是指明对象法.（2）对于用概念的形成来进修的概念一般可经由过程浏览实例,启示学生抽象出本质属性,师生配合进行评论辩论,最后再精确界说.（3）对于用概念的同化来进修的概念（a）用属加种差界说的概念新概念是已知概念的特例,新概念可以从认知构造华夏有的具有较高归纳综合性的概念中繁衍出来.（b）由概念的推广引入的概念讲清三点：推广的目标和意义;推广的合理性;推广后加倍普遍的寄义.（c）采取比较办法引入新概念当新概念与认知构造中已有概念不克不及产生从属关系,但与已有的旧概念有类似之处时可采取此法.症结是弄清不合之处,防止概念的负迁徙.（d）依据逆反关系引入新概念多项式的乘法引入多项式的因式分化.由乘方引入开方.由指数引入对数等.症结是弄清逆反关系.(4)产生式界说经由过程浏览实例或引诱学生思虑,进行评论辩论,天然得出构造进程,即揭示出界说的合理性.四.概念的形成的方法概念形成就是让学生浏览大量同类事物的不合例证中自力发明同类事物的本质属性,从而形成概念.是以,数学概念的形成本质上是抽象出数学对象的配合本质特点的进程.可归纳综合如下：（1）经由过程浏览比较,分辩各类刺激模式,在知觉程度长进行剖析.辨认,依据事物的外部特点进行归纳综合.（2）分化出各类刺激模式的属性.（3）抽象出各个刺激模式的配合属性.（4）在特定的情境中磨练假设,确认症结属性.（5）归纳综合,形成概念.（6）把新概念的配合症结属性推广到同类事物中去.（7）用习惯的情势符号暗示新概念.数学概念的界说什么叫给概念下界说,就是用已知的概念来熟悉未知的概念,使未知的概念转化为已知的概念,叫做给概念下界说．概念的界说都是由已下界说的概念(已知概念)与被下界说的概念(未知概念)这两部分构成的．例如,有理数与无理数(下界说的概念),统称为实数(被下界说的概念);平行四边形(被下界说的概念)是两组对边分离平行的四边形(下界说的概念)．其界说办法有下列几种．1.直觉界说法直觉界说亦称原始界说,凭直觉产生的原始概念,这些概念不克不及用其它概念来解释,原始概念的意义只能借助于其它术语和它们各自的特点赐与形象的描写．如几何中的点.直线.平面.聚集的元素.对应等．原始概念是人们在长期的实践活动中,对一类事物归纳综合.抽象的成果,是原创性抽象思维活动的产品．直觉界说为数不久不多．2.“种+类差”界说法种+类差”界说法：被界说的概念=最临近的种概念(种)+类差.这是下界说经常运用的内在法.“最临近的种概念”,就是被界说概念的最临近的种概念,“类差”就是被界说概念在它的最临近的种概念里差别于其它类概念的那些本质属性.例如,以“平行四边形”为最临近的种概念的类概念有“矩形”.“菱形”,“菱形”的“邻边相等”是差别于“矩形”的本质属性,“邻边相等”就是“菱形”的类差.我们先看几个用“种+类差”界说的例子:等腰梯形是两腰相等的梯形．直角梯形是有一个底角是直角的梯形．等腰三角形是双方相等或两角相等的三角形．逻辑上还可以经由过程总结外延给出界说．例如：“有理数和无理数统称为实数”等．由上述几例可看出,用“种加类差”的方法给概念下界说,起首要找出被界说概念的最临近的种概念,然后把被界说概念所反应的对象同种概念中的其它类概念所反应的对象进行比较,找出“类差”,最后把类差加最临近的种概念构成下界说概念而给出界说.种加类差界说法在情势逻辑中也称为本质界说,属于演绎型界说,其次序是从一般到特别.这种界说,既揭示了概念所反应对象的特别性,又指出了一般性,是行之有用的界说办法.因为概念本身的类别特色及类差性质的不合,在论述情势上也有差别.这种界说办法,能用已知的种概念的内在来揭示被界说概念的内在.揭示了概念的内在,既精确又清晰明了,有助于树立概念之间的接洽,使常识体系化,是以,在中学数学概念的界说中运用较多．3.产生式界说法产生界说法(也称构造性界说法):经由过程被界说概念所反应对象产生进程,或形成的特点的描写来揭示被界说概念的本质属性的界说办法称产生界说法.这种界说法是“种+类差”界说的一种特别情势.界说中的类差是描写被界说概念的产生进程或形成的特点,而不是揭示被界说概念的特有的本质属性.例如,平面(空间)上与定点等距离的点的轨迹叫做圆(球)．此外,中学数学中对圆柱.圆锥.圆台.微分.积分.坐标系等概念也都是采取的产生式界说法．又如：平面内与两个定点的距离的和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．环绕一中间点或轴迁移转变,同时又逐渐远离的动点轨迹称为螺线．一向杆与圆相切作无滑动的滚动,此直杆上必定点的轨迹称为圆的渐开线．设是实验E中的一个事宜,若将E反复进行n次,个中A产生了次,则称为n次实验中事宜A产生的频率．在必定前提下,当实验次数越来越多时,事宜A消失的频率慢慢稳固于某一固定的常数P,称P为事宜A消失的概率．由此可知,只要有人类的数学活动,就有概念的产生式界说．4.逆式界说法这是一种给出概念外延的界说法,又叫归纳界说法．例如,整数和分数统称为有理数;正弦.余弦.正切和余切函数叫做三角函数;椭圆.双曲线和抛物线叫做圆锥曲线;逻辑的和.非.积运算叫做逻辑运算等等,都是这种界说法．5.商定性界说法因为实践须要或数学自身成长的须要而被指定的数学概念．在实践活动中,人们发明一些概念异常主要,便指明这些概念,以便数学活动中运用．比方一些特定的数：圆周率.天然对数的底e等;某些主要的值：平均数.频数.方差等;某类数学活动的归纳综合：比方代数指研讨有限多元素有限次运算的数学活动;几何指研讨空间及物体在空间构造中构造与情势的数学活动;随机事宜指在社会和天然界中,雷同前提下,可能产生也可能不产生,但在大量反复实验中其消失的频率呈现稳固性的工作;概率指随机事宜产生的可能性大小的数学器量;等等．同时,数学概念有时是数学成长所须要商定的．如零次幂的商定,模为零的向量划定为零向量,模为1的向量划定为单位向量．又如矢量积的偏向由右手轨则划定．数学教授教养中应向学生灌注贯注如许一种不雅念,即数学概念是可以商定的(其更深入的寄义是数学可以创造)．商定是简约思惟的成果,它使得数学因为有了如许的商定而运算轻便．商定不是惟一的,但应具有合理性或相符客不雅事物的纪律．如划定矢量积的偏向按左手轨则也不是不成以的．商定不是随便针对的,一般只商定那些有主要感化的概念,履商定当n趋于无穷大时的极限为天然对数的底e,因为这个数对盘算十分主要．6.描绘性界说描绘性界说法亦称描写性界说法,数学中那些表现活动.变更.关系的概念佛严厉地赐与表述(超越直觉描写阶段),这些概念即属于描绘性界说．比方等式函数.数列极限.函数极限等概念．函数概念：设D是实数集的子集,假如对D内每一个,经由过程给定的轨则 ,有惟一一个实数y与此对应,称是界说在D上的一元实值函数,记为概念中描绘了变量y与变量的关系．数列极限概念：对于数列{ }和一个数 ,假如对随便率性给定的正数,都消失一个天然数 ,对一切天然数n, ,成立 ,称数n是数列{ }当n趋于无穷大时的极限,记为．概念中描绘了与“要何等接近就可以何等接近(只要)”的程度,使“ 无穷接近”的直觉说法上升到严厉程度．函数极限概念：对于在临近有界说的函数和一个数A,假如对随便率性给定的正数 ,都消失一个正数,对界说域中的x只要 ,成立 ,称数是当趋近于时的极限,记为,概念中描绘了与A“要多接近就可以有多接近（只要）”的程度,是严厉的数学概念.7.进程性界说有些庞杂的数学概念是由在实践基本上的数学活动培养的,如许的概念由进程来引诱．例如：导数：设y=f(x) 在点(x0,f(x0))临近有界说．当自变量x取得转变量△x (△x ≠0),函数取得响应转变量△y=y-y 0,比值,当0→∆x 时xy ∆∆的极限消失,这个极限值就称作的导数,记作)(x f '.导数概念经由过程“作转变量——作商——求极限”的进程获得． 定积分：设有界函数 界说在[ ]上．在[ ]中拔出分点： 取 ,作和 令当 时,和 的极限消失,这个极限值称作 在[ ]上的定积分．定积分概念经由过程“朋分[ ](拔出了分点)一作和一求极限”的进程获得．此外,数学中的概念还有其他给出方法．如n 维向量空间的界说：“n 为有序实数组( )的全部,并付与加法与数乘的运算( )+”．它是二维向量空间{ }的类比推广．再如“群”和“距离空间”的概念,则是用一组正义来界说的．正义法界说的方法多用于高级数学,中学中涉及得很少．此外,中学数学中还有递推式界说法(如"阶行列式.n 阶导数.n 重积分的界说),借助另一对象来进行界说(如借助指数概念界说对数概念)等等．上述分类是大致的,进修概念的界说,其实不在于区分它毕竟属于那种界说方法,而在于懂得概念的内在,掌控概念的外延,运用它们去进修数学常识息争决有关问题.为了精确地给概念下界说,界说要相符下列根本请求：(1)界说应该相当．即界说概念的外延与被界说概念的外延必须是雷同的,既不克不及扩展也不克不及缩小．即应该恰到好处,既不宽也不窄．例如,无穷不轮回小数,叫做无理数．而以无穷小数来界说无理数(过宽),或以除不尽方根的数来界说无理数(过窄)．显然,这都是错误的．(2)界说不克不及轮回．即在统一个科学体系中,不克不及以A概念来界说B概念,而同时又以B概念来界说A概念．例如,的角叫做直角,直角的九十分之一,叫做1度,这就产生轮回了．(3)界说应清晰.简明,一般不必否认的情势和未知的概念．例如,笔挺笔挺的线,叫做直线(不清晰);两组对边互相平行的平面平行四边形(不简明);不是有理数的数,叫做无理数(否认情势);对初中生来说,在复数a+ i中,虚部6—0的数,叫做实数(运用未知概念)等,这些都是不当的．。
数学概念教学设计
（6）符号表示：用习惯的形式符号表示概念。例如平行线用符号“∥”表示。 （7）具体运用。通过举出概念的实例，在一类事物中辨认出概念，或运用概念
解答数学问题，使新概念与已有的认知结构中的相关概念建立起牢固的实质性联
系，把所学的概念纳入到相应的概念体系中。 在实际的数学学习中，对那些初次接触或教难理解的概念，大多数会采用概 念形成的学习方式，以减少学习上的困难，使学生更容易接受。 2、概念同化 数学概念的同化，是指学生在直接用定义形式陈述概念时，主动地与其认知 结构中原有的相关概念相联系，相互作用，并理解和领会新概念的本质属性，从
数学概念
PART 01
数学概念：
概念是反映客观事物本质属性的思维形式。
数学概念是事物在数量关系和空间形式方面的本质属性的反映，是人们通过 实践，从数学所研究的对象的许多属性中，抽出其本质属性概括而成的。它是进 行数学推理、判断的依据，是建立数学定理、法则、公式的基础，也是形成数学 思想方法的出发点。概念包括内涵和外延两个方面，内涵就是概念所反映的一切 事物的本质属性，即反映概念质的方面；外延就是概念所反映的事物的范围，即 反映了概念的量的方面。
案例1
模式三：数学概念的现代教学模式（APOS模式） 1、杜宾斯基的APOS理论 美国教育学家杜宾斯基（Ed Dubinsky）等人在数学教育研究实践中提出了APOS
理论，对数学概念教学具有指导意义。APOS 理论分别是由英文 action（活
动）,process（过程）,object（对象）,scheme（图式）的首字母大写所组合而
一、数学概念学习的内容： 一般来说，数学概念学习包括以下四个方面：
（1）数学概念名称。例如“三角形”、“正方形”、“圆”、“函数”等。
数学的形式化定义与数学概念有什么不同？
分数的概念是非常重要数学概念，是小学数学中重要的学习内容。
只有加强概念教学，才能使学生在获取数学知识的同时，进一步培养各种数学能力。
对分数初步概念的理解，帮助学生建立分数的初步概念分成以下几步：数学概念是现实生活中某一数量关系和空间形式的本质属性在人的思维中的反映。
按概念的抽象水平可以将概念分为描述性概念和定义性概念两类。
描述性概念是可以直接通过观察获得的。
如“分数”等；定义性概念的本质性特征不能通过直接观察获得，必须通过下定义来揭示，即是“一个物体、一些物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干等份，这样的一份或几份都可以用分数来表示”。
不管是哪一类概念，都是小学生掌握数学基本知识和基本技能的基石，都将直接影响以后继续学习及思维能力的发展。
数学形式化是一个过程．是一个“用日益有效的符号或符号法来改进语言表达”的过程，是对“语言的整理、修正和转化的过程”．是“数学化”过程的有机组成部分．1. 通过具体操作，认识几分之一。
例如“分数”一个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫做整体“1”。
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数。
把“1”平均分成分母份，表示这样的分子份。
所以分数可以表述成一个除法算式：如二分之一相当于1除以2。
其中，1 分子相当于被除数，——分数线相当于除号，2 分母相于除数，而0.5分数值相当于商。
分数还可以表述为一个比，例如；二分之一相当于1比2，其中1分子相当于前项，“——”分数线相当于比号，2分母相当于后项，而0.5分数值相当于比值。
2.出现几分之几，巩固几分之一。
如：出现方图格，表示出十分之五，用笔来划一划，得出5个十分之一就是十分之五总之，概念的小学不能强加于学生。
什么是数学数学的基本概念
什么是数学数学的基本概念数学是一门研究数量、结构、变化和空间等概念及其相互关系的学科。
它是一种精确的、形式化的、逻辑推理的学科，通过定义概念、建立公理，并利用逻辑推理等方法，研究数学对象的性质和规律。
数学的基本概念有很多，下面我将介绍其中一些重要的概念。
数学的基础概念之一是数。
数是用来表示数量的符号，可以分为自然数、整数、有理数和实数等不同的类型。
自然数是人们最早认识和使用的数，由0、1、2、3、……依次递增；整数包括正整数、负整数和零，由……、-3、-2、-1、0、1、2、3……等组成；有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数和分数；实数是数轴上的所有点构成的集合，包括有理数和无理数。
不同类型的数之间有着各自的运算规则和性质。
另一个重要的基本概念是代数。
代数是研究数与数之间的运算关系和变量之间的关系的数学分支。
代数包括了数的四则运算、数的性质和方程的解法等内容。
数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法，通过对运算符的运用，可以将数进行各种复杂的运算。
方程是代数中的重要概念，它表示一个等式，其中包含一个或多个未知数，通过解方程，可以求得未知数的值。
几何是数学中的另一个重要分支，它研究空间和图形的性质和相互关系。
几何的基本概念包括点、线、面和体等。
点是几何中最基本的元素，它没有大小和形状，只有位置。
线是由连续的点组成的，它只有长度和方向，没有宽度。
面是由连续的线组成的，它具有长度和宽度，但没有厚度。
体是由连续的面组成的，它具有长度、宽度和厚度，有体积。
几何研究了图形的形状、大小、相似性、对称性等性质，以及空间中的距离、角度、平行性等概念。
数学的基本概念中还包括函数。
函数是一种关系，它将一个或多个输入映射为唯一的输出。
函数的定义包括自变量、因变量和映射规则。
自变量是函数的输入，因变量是函数的输出，映射规则是函数的定义域和值域之间的映射关系。
函数的图像是函数在坐标系中的图形表示，它可以用来描述函数的性质和变化规律。
数学概念和数学原理学与教的心理分析
2.根据学生认知的心理特点引入
概念学习是有意义的学习，根据有意义学习 的条件，学习者必须具备有意义学习的心向. 要做到这一点，除了激发外在动机的手段之 外，教师应根据学生认知的心理特点，充分激发 学生的内在动机.
学生认知的心理特点，一方面表现为天生就具备的积极 向上、探索奥秘的求知欲，另一方面表现为心理平衡倾向 . 如果教学内容具有新奇性、运动性、可探索性等特点， 那么就能激发学生的求知欲.一旦他们觉得“有趣”，就 能自觉地集中注意力，全神贯注地学习. 原苏联教育家奥加涅相教授指出：“学生学习数学的 好坏很大程度上取决于学习兴趣的产生和保持.”因此， 在引入新概念时，若能注意引入方式的趣味性，就会收到 良好的教学效果.
日常概念是指未经专门的教学，而在日常 生活中通过辨别学习、积累经验而掌握的概念.
如儿童脑中的“垂线”概念是日常概念，因为 儿童根据日常经验认为垂线是与水平线垂直 的线.
科学概念则是在教学过程中通过揭示概念的内涵 而形成的概念.
二、概念的获得
概念的获得意味着要求学生掌握一类事物的 共同本质属性，并能辨别本质属性和非本质属 性，能列举出概念的例证和反例. 儿童获得概念的三种基本形式是 概念的形成、 概念的同化、 和概念的顺应.
辨别刺 激模式
比较 类化
找出共 同属性
抽象 检验
确认本 质属性
概括
形成 概念
图 5-3 概念形成的心理过程
2．概念的同化（concept assimilation）
同化是指学习者的认知结构吸收新的信息，从而使 原有的认知结构发生变化的过程.
概念的同化是指学习者利用原有认知结构中的观念 来理解接纳新概念的过程.
（2）在以属概念加种差的形式定义的概念中，有些概念 的属概念的内涵很少，外延很大，而种差较为抽象，学生 同化有困难.这时，教师应该避开抽象内涵的讲解，从概 念的外延入手，选择概念形成的方式来引入. 例如，等比数列的概念：“如果一个数列从第二项 起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就 叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比.” 如果学生的认知水平较高，那么可以按概念同化的方 式来引入.但如果学生的认知水平较低，那么可以按概念 形成的方式来引入.
教师招考中学数学数学概念的定义
数学概念一、数学概念的意义1．概念的意义逻辑学认为，概念是反映事物(思维对象)及其特有属性(本质属性)的思维形式。
人们对客观事物的认识一般是通过感觉、知觉、思维形成观念(印象或表象)，这是感性认识阶段，在感性认识的基础上，通过对客观事物的分析、综合、比较、抽象、概括、归纳与演绎等一系列思维活动，从而认识事物的本质属性形成概念，这是认识的理性阶段。
理性认识在实践基础上不断深化，形成的概念又会进一步发展。
2．数学概念的意义数学概念是一类特殊的概念，是其所反映的事物在现实世界中的空间形式和数量关系及其本质属性在思维中的反映。
如平行四边形的概念在人的思维中反映出：这样的对象是四边形形状的而且两组对边是分别平行的。
这就是四边形的本质属性。
数学概念在数学思维中起着十分重要的作用，它是最基本的思维形式。
判断是由概念构成的，推理和证明又是由判断构成的，可以说，数学概念是数学的细胞。
概念是反映客观事物的思想，是客观事物在人们头脑中的抽象概括，是看不见摸不着的。
要通过语词表达出来，才便于人们研究、交流，数学概念也不例外。
如平行四边形概念用语词表达就是：“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”。
数学概念的语词表达的一般形式是“(概念的本质属性)……叫做……(概念的名词)”。
二、数学概念的内涵和外延及它们之间的反变关系1．数学概念的内涵和外延客观世界的事物千差万别，反映在人的思维中也就千差万别，所形成的概念也千差万别，语词表达出来也是如此。
但它们都有一个共同特点，都是用来认识和区别事物的。
我们把一个概念所反映的所有对象的共同本质属性的总和，叫做这个概念的内涵。
如平行四边形的内涵就是平行四边形所代表的所有对象的共同本质属性的总和：有四条边，两组对边分别平行……我们把适合概念的所有对象的范围，叫做概念的外延。
如有理数和无理数，就是实数这个概念的外延。
同样，实数和虚数，也是复数这个概念的外延。
内涵和外延是概念的两个方面，正确的思维要求概念明确，明确概念即是要明确概念的内涵和外延。
也谈数学概念的定义方式
也谈数学概念的定义方式——以矩形的定义为例近期，贵刊连续刊登了戎松魁老师、马建平老师和张奠宙老师的文章，其中均涉及到对数学概念定义方式的不同理解。
对此，谈些粗浅的感受。
众所周知，数学概念是数学知识体系建立的基本要素，是数学判断、推理的基础，是培养学生数学能力和发展智力的起点。
因此，概念教学历来是数学教学的重点内容之一。
就小学生而言，对数学概念的理解水平既是数学素养的基本体现，更关系到掌握数学知识的基础是否扎实。
但是，鉴于小学生的知识基础和思维能力，小学课本对于许多数学概念并没有给出符合逻辑学要求的严格定义，但这并不意味着概念的呈现可以“生活化”，可以随心所欲，而同样应该体现数学的特性、数学的魅力。
这种“数学的薰陶”能从小给学生以逻辑的严谨性感受，这是其他学科所无法替代的。
数学概念的定义方式是多样的，在初等数学中用得最多的是属加种差定义。
这是因为我们认识客观世界大多遵循从已知到未知，用已知解释未知，进而把未知变为已知的往复循环、逐步深入的过程。
而属加种差的定义概念方式是对数学知识形成过程最好的诠释。
另一方面，在同一数学知识体系中总会有一系列概念属于同一类型，例如，四边形→平行四边形→矩形、菱形→正方形等。
这些概念之间的外延存在包含关系，称之为属种关系。
即前面的概念是后面概念的属概念、后面的概念是前面概念的种概念。
因而，利用已知的属概念和其他已知的可用来表述种差的有关概念来解释未知的种概念便成为可能。
例如，“有一个角是直角的平行四边形是矩形（长方形）”。
这一定义表明，矩形是一种平行四边形，它和其他平行四边形的区别是“有一个角是直角”。
一般而言，在属加种差定义中指明了两点：①指出了一个更一般的概念（属概念），被定义的概念则是它的特例；②指出了被定义概念从属概念中划分出来所依据的属性（种差）。
因而，属加种差定义可用公式表示为：属概念+种差=被定义概念。
基于上述理解，笔者认为对数学概念（即使是小学数学教学）下定义应该注意以下几个方面。
数学概念定义形式
数学概念定义形式
数学概念的定义形式通常采用被定义项、定义项和定义联项这三个部分组成。
被定义项是需要被明确的概念。
例如，在定义“等边三角形”时，“等边三角形”就是被定义项，需要被明确。
定义项是用来明确被定义项的概念。
它通常由一个或多个已知的概念或者定义组合而成。
例如，在定义“等边三角形”时，定义项可能是“三条边相等的三角形”。
定义联项则是用来联接被定义项和定义项的。
常用的联项有“是”、“叫做”、“定义为”等。
例如，在定义“等边三角形”时，定义联项可能是“叫做”。
因此，一个完整的数学概念的定义形式可以表述为：被定义项（比如“等边三角形”）叫做定义项（比如“三条边相等的三角形”）。
维基百科对数学的定义
维基百科对数学的定义数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念的学科，是自然科学中的基础学科之一。
它涉及的范围非常广泛，包括算术、代数、几何、数论、概率论、统计学等多个分支。
数学作为一种工具，被广泛应用于其他学科以及现实生活中的各个领域。
数学的起源可以追溯到古代文明，最早的数学知识可以追溯到公元前3000年左右的古代美索不达米亚。
随着时间的推移，数学在古希腊、古印度、古埃及等文明中得到了进一步的发展，并随着时间的推移传播到了其他地区。
数学的核心概念之一是数。
数学研究不同类型的数，包括自然数、整数、有理数、无理数、实数和复数等。
数的运算是数学的基础，包括加法、减法、乘法和除法。
数的运算规则和性质是数学研究的重要内容之一。
代数是数学的一个重要分支，研究数与运算的关系。
代数包括代数方程、代数式、多项式、矩阵等内容。
代数方程是代数的基础，研究了方程的解以及方程的性质。
代数式则研究了变量之间的关系。
几何是数学的另一个重要分支，研究空间和形状的性质以及它们之间的关系。
几何涉及点、线、面、体等概念，研究它们的性质、变换和测量等。
几何学中的一些重要概念包括平行、垂直、角度、三角形、圆等。
数论是数学的一个分支，研究整数及其性质。
数论是纯粹数学的一部分，研究了整数的性质、因子分解、素数等。
数论在密码学、计算机科学等领域有重要应用。
概率论和统计学是数学的另外两个重要分支，研究随机事件和数据分析。
概率论研究随机事件的发生概率和统计规律，统计学则研究如何收集、分析和解释数据。
数学的研究方法包括归纳法和演绎法。
归纳法从具体的例子出发，总结规律并推广到一般情况。
演绎法则从已知的定理和规则出发，推导出新的结论。
数学的证明是数学研究的重要手段，通过逻辑推理和严密的论证来验证数学结论的正确性。
数学在现实生活中有着广泛的应用。
在物理学中，数学被用来描述自然界的物理现象，如运动、力学、电磁学等。
在工程学中，数学被用来解决工程问题，如结构力学、电路分析等。
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数学概念的定义方式一、给概念下定义的意义和定义的结构前面提到过，概念是反映客观事物思想，是客观事物在人的头脑中的抽象概括，是看不见摸不着的，要用词语表达出来，这就是给概念下定义。
而明确概念就是要明确概念的内涵和外延。
所以，概念定义就是揭示概念的内涵或外延的逻辑方法。
揭示概念内涵的定义叫内涵定义，揭示概念外延的定义叫做外延定义。
在中学里，大多数概念的定义是内涵定义。
任何定义都由被定义项、定义项和定义联项三部分组成。
被定义项是需要明确的概念，定义项是用来明确被定义项的概念，定义联项则是用来联接被定义项和定义项的。
例如，在定义“三边相等的三角形叫做等边三角形”中，“等边三角形”是被定义项，“三边相等的三角形”是定义项，“叫做”是定义联项。
二、常见定义方法。
1原始概念。
数学定义要求简明，不能含糊不清。
如果定义含糊不清，也就不能明确概念，失去了定义的作用。
例如，“点是没有部分的那种东西”就是含糊不清的定义。
按这个要求，给某概念下定义时，定义项选用的必须是在此之前已明确定义过的概念，否则概念就会模糊不清。
这样顺次上溯，终必出现不能用前面已被定义过的概念来下定义的概念，这样的概念称为原始概念。
在中学数学中，对原始概念的解释并非是下定义，这是要明确的。
比如：代数中的集合、元素、对应等，几何中的点、线、面等2、属加种差定义法。
这种定义法是中学数学中最常用的定义方法，该法即按公式：“邻近的属+种差=被定义概念”下定义，其中，种差是指被定义概念与同一属概念之下其他种概念之间的差别，即被定义概念具有而它的属概念的其他种概念不具有的属性。
例如，平行四边形的概念邻近的属是四边形，平行四边形区别于四边形的其他种概念的属性即种差是“一组对边平行并且相等”，这样即可给平行四边形下定义为“一组对边平行并且相等的四边形叫做平行四边形”。
利用邻近的属加种差定义方法给概念下定义，一般情况下，应找出被定义概念最邻近的属，这样可使种差简单一些。
像下列两个定义：等边的矩形叫做正方形；等边且等角的四边形叫做正方形。
前者的种差要比后者的种差简单。
邻近的属加种差的定义方法有两种特殊形式：(1 )发生式定义方法。
它是以被定义概念所反映的对象产生或形成的过程作为种差来下定义的。
例如，“在平面内，一个动点与一个定点等距离运动所成的轨迹叫做圆”即是发生式定义。
在其中，种差是描述圆的发生过程。
(2)关系定义法。
它是以被定义概念所反映的对象与另一对象之间关系或它与另一对象对第三者的关系作为种差的一种定义方式。
例如，若a b=N，则log a N=b(a >0, 1)。
即是一个关系定义概念。
3、揭示外延的定义方法。
数学中有些概念，不易揭示其内涵，可直接指出概念的外延作为它的概念的定义。
常见的有以下种类：(1)逆式定义法。
这是一种给出概念外延的定义法，又叫归纳定义法•例如，整数和分数统称为有理数；正弦、余弦、正切和余切函数叫做三角函数；椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；逻辑的和、非、积运算叫做逻辑运算等等，都是这种定义法.(2)约定式定义法。
揭示外延的定义方法还有一种特殊形式，即外延的揭示采用约定的方法，因而也称约定式定义方法。
例如，a°=i(a z0), 0! =1，就是用约定式方法定义的概念。
三、概念的引入(1 )原始概念一般采用描述法和抽象化法或用直观说明或指明对象的方法来明确。
针尖刺木板”的痕迹引入点”、用拉紧的绳”或小孔中射入的光线”来引入直线”的方法是直观说明法，“1 2, 3, ••叫做自然数”是指明对象法。
(2) 对于用概念的形成来学习的概念一般可通过阅读实例，启发学生抽象出本质属性，师生共同进行讨论，最后再准确定义。
(3) 对于用概念的同化来学习的概念(a)用属加种差定义的概念新概念是已知概念的特例，新概念可以从认知结构中原有的具有较高概括性的概念中繁衍出来。
(b)由概念的推广引入的概念讲清三点：推广的目的和意义；推广的合理性；推广后更加广泛的含义。
(c)采用对比方法引入新概念当新概念与认知结构中已有概念不能产生从属关系，但与已有的旧概念有相似之处时可采用此法。
关键是弄清不同之处，防止概念的负迁移。
(d)根据逆反关系引入新概念多项式的乘法引入多项式的因式分解、由乘方引入开方、由指数引入对数等。
关键是弄清逆反关系。
(4) 发生式定义通过阅读实例或引导学生思考，进行讨论，自然得出构造过程，即揭示出定义的合理性。
四、概念的形成的方式概念形成就是让学生阅读大量同类事物的不同例证中独立发现同类事物的本质属性，从而形成概念。
因此，数学概念的形成实质上是抽象出数学对象的共同本质特征的过程。
可概括如下：(1)通过阅读比较，辨别各种刺激模式，在知觉水平上进行分析、辨认，根据事物的外部特征进行概括。
(2 )分化出各种刺激模式的属性。
(3)抽象出各个刺激模式的共同属性。
(4)在特定的情境中检验假设，确认关键属性。
(5)概括，形成概念。
(6)把新概念的共同关键属性推广到同类事物中去。
(7)用习惯的形式符号表示新概念。
数学概念的定义什么叫给概念下定义，就是用已知的概念来认识未知的概念，使未知的概念转化为已知的概念，叫做给概念下定义.概念的定义都是由已下定义的概念(已知概念)与被下定义的概念(未知概念）这两部分组成的.例如，有理数与无理数（下定义的概念），统称为实数（被下定义的概念）；平行四边形（被下定义的概念）是两组对边分别平行的四边形（下定义的概念）•其定义方法有下列几种.1直觉定义法直觉定义亦称原始定义，凭直觉产生的原始概念，这些概念不能用其它概念来解释，原始概念的意义只能借助于其它术语和它们各自的特征给予形象的描述. 如几何中的点、直线、平面、集合的元素、对应等•原始概念是人们在长期的实践活动中，对一类事物概括、抽象的结果，是原创性抽象思维活动的产物•直觉定义为数不多.2、“种+类差”定义法种+类差”定义法：被定义的概念=最邻近的种概念（种）+类差。
这是下定义常用的内涵法。
“最邻近的种概念”，就是被定义概念的最邻近的种概念，“类差”就是被定义概念在它的最邻近的种概念里区别于其它类概念的那些本质属性。
例如，以“平行四边形”为最邻近的种概念的类概念有“矩形”、“菱形”，“菱形”的“邻边相等”是区别于“矩形”的本质属性，“邻边相等”就是“菱形”的类差。
我们先看几个用“种+类差”定义的例子：等腰梯形是两腰相等的梯形.直角梯形是有一个底角是直角的梯形.等腰三角形是两边相等或两角相等的三角形.逻辑上还可以通过总结外延给出定义•例如：“有理数和无理数统称为实数”等.由上述几例可看出，用“种加类差”的方式给概念下定义，首先要找出被定义概念的最邻近的种概念，然后把被定义概念所反映的对象同种概念中的其它类概念所反映的对象进行比较找出“类差”，最后把类差加最邻近的种概念组成下定义概念而给出定义。
种加类差定义法在形式逻辑中也称为实质定义，属于演绎型定义，其顺序是从一般到特殊。
这种定义，既揭示了概念所反映对象的特殊性，又指出了一般性，是行之有效的定义方法。
由于概念本身的类别特点及类差性质的不同，在叙述形式上也有差异。
这种定义方法，能用已知的种概念的内涵来揭示被定义概念的内涵。
揭示了概念的内涵，既准确又明了，有助于建立概念之间的联系，使知识系统化，因此，在中学数学概念的定义中应用较多.3、发生式定义法发生定义法（也称构造性定义法）:通过被定义概念所反映对象发生过程，或形成的特征的描述来揭示被定义概念的本质属性的定义方法称发生定义法。
这种定义法是“种+类差”定义的一种特殊形式。
定义中的类差是描述被定义概念的发生过程或形成的特征，而不是揭示被定义概念的特有的本质属性。
例如，平面（空间）上与定点等距离的点的轨迹叫做圆（球）.此外，中学数学中对圆柱、圆锥、圆台、微分、积分、坐标系等概念也都是采用的发生式定义法.又如：平面内与两个定点的距离的和等于定长的点的轨迹叫做椭圆.围绕一中心点或轴转动，同时又逐渐远离的动点轨迹称为螺线.一直杆与圆相切作无滑动的滚动，此直杆上一定点的轨迹称为圆的渐开线.设是试验E中的一个事件，若将E重复进行n次，其中A发生了次，则称为n次试验中事件A发生的频率.在一定条件下，当试验次数越来越多时，事件A出现的频率逐步稳定于某一固定的常数P,称P为事件A出现的概率.由此可知，只要有人类的数学活动，就有概念的发生式定义.4、逆式定义法这是一种给出概念外延的定义法，又叫归纳定义法.例如，整数和分数统称为有理数；正弦、余弦、正切和余切函数叫做三角函数；椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；逻辑的和、非、积运算叫做逻辑运算等等，都是这种定义法.5、约定性定义法由于实践需要或数学自身发展的需要而被指定的数学概念.在实践活动中，人们发现一些概念非常重要，便指明这些概念，以便数学活动中使用•比如一些特定的数：圆周率、自然对数的底e等；某些重要的值：平均数、频数、方差等；某类数学活动的概括：比如代数指研究有限多元素有限次运算的数学活动；几何指研究空间及物体在空间结构中结构与形式的数学活动；随机事件指在社会和自然界中，相同条件下，可能发生也可能不发生，但在大量重复试验中其出现的频率呈现稳定性的事情；概率指随机事件发生的可能性大小的数学度量；等等.同时，数学概念有时是数学发展所需要约定的. 如零次幕的约定，模为零的向量规定为零向量，模为1的向量规定为单位向量. 又如矢量积的方向由右手法则规定. 数学教学中应向学生灌输这样一种观念，即数学概念是可以约定的（其更深刻的含义是数学可以创造）•约定是简约思想的结果，它使得数学因为有了这样的约定而运算简便. 约定不是惟一的，但应具有合理性或符合客观事物的规律. 如规定矢量积的方向按左手法则也不是不可以的. 约定不是随意针对的，一般只约定那些有重要作用的概念，如约定当n趋于无限大时的极限为自然对数的底e,因为这个数对计算十分重要.6、刻画性定义刻画性定义法亦称描述性定义法，数学中那些体现运动、变化、关系的概念经严格地给予表述（逾越直觉描述阶段），这些概念即属于刻画性定义•比如等式函数、数列极限、函数极限等概念.函数概念：设D是实数集的子集，如果对D内每一个，通过给定的法则，有惟一一个实数y与此对应，称是定义在D上的一元实值函数，记为概念中刻画了变量y与变量的关系.数列极限概念：对于数列｛｝和一个数，如果对任意给定的正数，都存在一个自然数，对一切自然数n,，成立，称数n是数列｛｝当n趋于无限大时的极限，记为.概念中刻画了与“要多么接近就可以多么接近（只要）”的程度，使“无限接近”的直觉说法上升到严格水平.函数极限概念：对于在附近有定义的函数和一个数A,如果对任意给定的正数，都存在一个正数，对定义域中的x只要，成立，称数是当趋近于时的极限，记为，概念中刻画了与A “要多接近就可以有多接近（只要）”的程度，是严格的数学概念。