专题一、根与系数的关系

1 专题一 根的判别式及根与系数的关系

2019年下期九年级培优 唐国栋

知识提炼

1、一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 的根的判别式：ac b 42-=∆，用来判断一元二次方程的实根的个数。当0>∆时，方程有 的实数根；当∆=0时，方程有 的实数根；当0<∆时，方程 实数根。

2、一元二次方程的求根公式：a

ac b b x 2422,1-±-=。一元二次方程的根有下列基本结论：（1）若有无理根必成对出现；（2）若0=++c b a ⇔有根为1；（3）若0=+-c b a ⇔有根为-1.

3、一元二次方程的根与系数的关系（通常也称韦达定理）：设一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根为1x 和2x ，那么：a b x x -=+21，a

c x x =•21。 经典·考题·赏析

例1（天津中考）关于x 的一元二次方程0)2(2=-+-m mx x 的根的情况是（ ）

A 、有两个不相等的实数根

B 、有两个相等的实数根

C 、没有实数根

D 、无法确定 例2（山东中考）若关于x 的一元二次方程0235)1(22=+-++-m m x x m 的常数项为0，则m 的值为（ ）

A 、1

B 、2

C 、1或2

D 、0 例3（河南中考）已知21,x x 是方程031222=-+-m x x 的两个实数根，且0)(22121>++⋅x x x x ，那么实数m 的取值范围是 。

例4（全国联赛)已知t 是实数，若b a ,是关于一元二次方程0122=-+-t x x 的两个非负实根，则()()1122--b a 的最小值是 。

例5(北京市) 已知关于x 的一元二次方程04222=-++k x x 有两个不相等的实数根.

（1）求k 的取值范围；

（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值.

2 例6（湖北中考）已知关于x 的方程02)2(2=++-k x k x

（1）求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根；

（2）若等腰三角形ABC 的一边长1=a ，另两边长c b ,恰好是这个方程的两个根，求ABC ∆的周长。

练一练

1. (2019 聊城市) 若

11x =-是关于x 的方程250x mx +-=的一个根，则此方程的另一个

根2x =＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 2. (2019 安顺市) 已知1是关于x 的一元二次方程2(1)10m x x -++=的一个根，则m 的值是（ ）

（A ）1 （B ）1- （C ）0 （D ）无法确定

3.(2019 丽水市) 一元二次方程

16)6(2=+x 可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是46=+x ，则另一个一元一次方程是（ ）

（A ）46-=-x （B ）46=-x （C ）46=+x （D ）46-=+x

4. (2019 呼和浩特市) 已知βα、是关于x 的一元二次方程()22230x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足111-=+β

α，则m 的值是（ ） （A ）3 （B ）1 （C ）3或-1 （D ）-3或1

5、 (2019 潍坊市) 已知关于x 的方程()0112=--+x k kx ，下列说法正确的是（ ）

（A ）当0=k 时，方程无解

（B ）当1=k 时，方程有一个实数解

（C ）当1-=k 时，方程有两个相等的实数解

（D ）当0≠k 时，方程总有两个不相等的实数解

3 6、(2019 泸州市) 设12x x 、是方程2330x x +-=的两个实数根，则2112x x x x +的值为( )

（A ）5 （B ）-5 （C ）1 （D ）-1

7、(2019 桂林市) 已知关于x 的一元二次方程2210x x a ++-=有两根为1x 和2x ，且21120x x x -=，则a 的值是（ ）

（A ）1a = （B ）1a =或2a =- （C ）2a = （D ）1a =或2a =

8、(2019 烟台市) 已知实数a b ，分别满足22640640a a b b -+=-+=，，且a b ≠，则b a a b

+的值是（ ）．

（A ）7 （B ）7- （C ）11 （D ）11-

9、 (2019 咸宁市) 关于x 的一元二次方程2(1)230a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是（ ）

（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）-1

10、(2019 南充市) 关于x 的一元二次方程2310x x m ++-=的两个实数根分别为1x ，2x ．

（1）求m 的取值范围；

（2）若

12122()100x x x x +++=，求m 的值．

11、(2019 南充市) 关于x 的一元二次方程为2(1)210m x mx m --++=．

（1）求出方程的根；

（2）m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？

4 12、(2019 乐山市) 已知一元二次方程x 2-(2k +1)x +k 2+k =0 .

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)若△ABC 的两边AB 、AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5.当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值.

13、(2019 孝感市) 已知关于x 的一元二次方程22(21)20x k x k k -+++=有两个实数根1x ，2x 。

（1）求实数k 的取值范围；

（2）是否存在实数k 使得221212x x x x ⋅--≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明

理由。