专题一、根与系数的关系
中考专题一元二次方程根与系数关系解析
中考专题一元二次方程根与系数关系解析1、如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根是x 1、x 2，那么x 1+x 2= ，x 1·x 2= 。
2、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x －4=0的两个根，那么：x 1+x 2= ；x 1·x 2= ；2111x x + ；x 21+x 22= ；(x 1+1)(x 2+1)= ；｜x 1－x 2｜= 。
3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 。
4、如果关于x 的一元二次方程x 2+2x+a=0的一个根是1－2，那么另一个根是 ，a 的值为 。
5、如果关于x 的方程x 2+6x+k=0的两根差为2，那么k= 。
6、已知方程2x 2+mx －4=0两根的绝对值相等，则m= 。
7、一元二次方程px 2+qx+r=0(p ≠0)的两根为0和－1，则q ∶p= 。
8、已知方程x 2－mx+2=0的两根互为相反数，则m= 。
9、已知关于x 的一元二次方程(a 2－1)x 2－(a+1)x+1=0两根互为倒数，则a= 。
10、已知关于x 的一元二次方程mx 2－4x －6=0的两根为x 1和x 2，且x 1+x 2=－2，则m= ，(x 1+x 2)21x x ⋅= 。
11、已知方程3x 2+x －1=0，要使方程两根的平方和为913，那么常数项应改为 。
12、已知一元二次方程的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为 。
13、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为 。
(其中二次项系数为1)14、已知关于x 的一元二次方程x 2－2(m －1)x+m 2=0。
若方程的两根互为倒数，则m= ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m= 。
15、已知方程x 2+4x －2m=0的一个根α比另一个根β小4，则α= ；β= ；m= 。
16、已知关于x 的方程x 2－3x+k=0的两根立方和为0，则k= 17、已知关于x 的方程x2－3mx+2(m －1)=0的两根为x 1、x 2，且43x 1x 121-=+，则m= 。
专题02 一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训(解析版)
专题02一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训【题型目录】题型一利用根与系数的关系直接求代数式的值题型二利用根与系数的关系间接求代数式的值题型三利用根与系数的关系降次求代数式的值题型四构造一元二次方程求代数式的值题型五由两根关系求方程字母系数题型六根与系数关系的新定义问题题型七一元二次方程根与系数的关系综合【知识梳理】如果一元二次方程20ax bx c （0a ）的两根为12x x ，，那么，就有212ax bx c a x x x x 比较等式两边对应项的系数，得1212b x x a c x x a①，②①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系．因此，给定一元二次方程20ax bx c 就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数1x ，2x 满足①与②，那么这两数12x x ，必是一个一元二次方程20ax bx c 的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题．利用根与系数的关系，我们可以不求方程20ax bx c 的根，而知其根的正、负性．在24b ac ≥0的条件下，我们有如下结论：当0c a 时，方程的两根必一正一负．若0b a ≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0b a ，则此方程的正根小于负根的绝对值．当0c a 时，方程的两根同正或同负．若0b a ，则此方程的两根均为正根；若0b a ，则此方程的两根均为负根．⑴韦达定理（根与系数的关系）：如果20(0)ax bx c a 的两根是1x ，2x ，则12b x x a ，12c x x a．(隐含的条件：0 )⑵若1x ，2x 是20(0)ax bx c a 的两根(其中12x x )，且m 为实数，当0 时，一般地：①121()()0x m x m x m ，2x m②12()()0x m x m 且12()()0x m x m 1x m ，2x m③12()()0x m x m 且12()()0x m x m 1x m ，2x m特殊地：当0m 时，上述就转化为20(0)ax bx c a 有两异根、两正根、两负根的条件．⑶以两个数12,x x 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：21212()0x x x x x x ．⑷其他：1若有理系数一元二次方程有一根a b a b a ，b 为有理数)．2若0ac ，则方程20(0)ax bx c a 必有实数根．3若0ac ，方程20(0)ax bx c a 不一定有实数根．4若0a b c ，则20(0)ax bx c a 必有一根1x ．5若0a b c ，则20(0)ax bx c a 必有一根1x ．⑸韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面：1已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；2已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；3已知方程的两根，求作方程；4结合根的判别式，讨论根的符号特征；5逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑤利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的 ．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．【经典例题一利用根与系数的关系直接求代数式的值】【例1】（2023·天津河北·统考二模）已知一元二次方程2310x x 有两个实数根12x x 、，则1212x x x x 的值为（）A ．6B ．2C ．4D ．3【答案】B【分析】先根据根与系数的关系得121231x x x x ，，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：根据根与系数的关系得121231x x x x ，，所以1212312x x x x ．故选：B ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若12x x 、是一元二次方程 200ax bx c a 的两根时，1212b c a x x x x a，．【变式训练】1．（2023·湖北武汉·统考二模）已知a ，b 是一元二次方程2320x x 的两根，则2a b a a b a的值是（）A ．3B ．3C ．2D ．2 【答案】A 【分析】先将2a b a a b a化简，再根据一元二次方程根与系数的关系即可得到a b 的值，从而得到答案．【详解】解：根据题意可得：222a b a b a b a a b a a a b a b a a b a a b a，∵a ，b 是一元二次方程2320x x 的两根，331a b ，23a b a a b a，故选：A ．【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，是解题的关键．2．（2023·江西景德镇·统考二模）已知1x ，2x 是方程222x x 的两个根，则1211 x x 的值为______．【答案】1【分析】先把方程转化为一般式，再根据根与系数的关系得到122x x ，122x x ，再把1211x x 进行通分得到1212x x x x ，再利用整体代入进行计算即可．【详解】解：222x x 转化为一般式为：2220x x ，根据题意可得：122x x ，122x x ，∴121212112===12x x x x x x ，故答案为：1 ．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、整体代入求值，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系得到122x x ，122x x 是解题的关键．3．（2022春·八年级单元测试）已知1x ，2x 是方程2630x x 的两实数根，求：(1)2112x x x x ，(2)2212x x 的值．【答案】(1)10(2)30【分析】（1）由1x ，2x 是方程2630x x 的两实数根，得出12+6x x =，123x x ，由222221212112121212++x x x x x x x x x x x x x x ==，代入相关数据即可得；（2） 222121212++2x x x x x x =代入即可．【详解】（1）解：∵1x ，2x 是方程2630x x 的两实数根，∴126+61b x x a ===，12331c x x a ==，∴ 2222121212++262330x x x x x x ===，∴222221************+30+103x x x x x x x x x x x x x x ====；（2）解：∵1x ，2x 是方程2630x x 的两实数根，∴126+61b x x a ===，12331c x x a ==，∴ 2222121212++262330x x x x x x ===；【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟记12+b x x a，12c x x a 解题关键．【经典例题二利用根与系数的关系间接求代数式的值】【例2】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知a ，b 是一元二次方程2210x x 的两根，则2222a b ab a b a b的值是（）A ．12B ．2C ．12D ．2【答案】A 【分析】先根据一元二次方程根与系数关系得到2a b ，1ab ，再化简分式代值求解即可．【详解】解：∵a ，b 是一元二次方程2210x x 的两根，∴2a b ，1ab ，∴2222a b ab a b a b22ab a b a b a b b b b a a a22a b a b a b aba b a b ab a bab a b12，故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系、分式的化简求值，解答的关键是正确化简分式，熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程20ax bx c 的两个根为1x 、2x ，则12b x x a，12c x x a ．【变式训练】1．（2023·内蒙古包头·二模）已知m ，n 是一元二次方程260x x 的两个实数根，则代数式22m m n 的值等于（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】由一元二次方程根与系数的关系，可得1m n ，根据一元二次方程根的定义得26m m ，由 222m m n m m m n ，整体代入求解即可．【详解】解：m ∵，n 是一元二次方程260x x 的两个实数根，1m n ，26m m ，222615m m n m m m n ，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值等知识．解题的关键在于熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．2．（2022·江西萍乡·校考模拟预测）设a ，b 是方程220220x x 的两个不相等的实数根，则22a a b ab ___________．【答案】1【分析】根据一元二次方程的解的定义，以及根与系数的关系，进行求值即可．【详解】解：∵a ，b 是方程220220x x 的两个不相等的实数根，∴220220,1,2022a a a b ab ，∴22022,a a ∴222a ab ab a a a b ab2a a a b ab 2022120021 ；故答案为：1 ．【点睛】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系．熟练掌握相关知识点，利用整体思想求代数式的值，是解题的关键．3．（2023·湖北襄阳·统考一模）已知关于x 的一元二次方程 22210x m x m ．(1)若方程有实数根，求m 的取值范围；(2)若方程的两实数根分别为12,x x ，且满足221214x x ．求212410x x 的值．【答案】(1)12m (2)2124105x x 【分析】（1）根据方程有实数根，得到0 ，进行求解即可；（2）根据根与系数的关系，利用整体思想代入求值即可.【详解】（1）由题意得， 222140m m ．解得：12m ；（2）解：由一元二次方程根与系数关系可得 21212,21x x m x x m ．∵ 222121212214x x x x x x ，∴ 2221214m m ．解得：125,1m m ．∵12m ，∴1m ．∴212114,410x x x x ．∴21141x x ．∴ 21212124104141041144115x x x x x x ．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数关系，解决问题的关键是掌握一元二次方程判别式与方程根的情况的对应以及一元二次方程根与系数关系．【经典例题三利用根与系数的关系降次求代数式的值】【例3】（2022秋·浙江温州·八年级校考阶段练习）已知 、是方程210x x 的两根，则435 的值是（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C 【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得出1 ，1 ，21 ，21 ，再对所求式子变形整理，求出答案即可．【详解】解：∵ 、是方程210x x 的两根，∴1 ，1 ，21 ，21 ，∴4353315115225115272179 ，故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系，若一元二次方程20ax bx c （a 、b 、c 为常数，0a ）的两根为1x ，2x ，则12b x x a，12c x x a ．【变式训练】1．（2022秋·四川达州·九年级校联考期末）设1x ，2x 是一元二次方程230x x 的两根，则3212420x x 等于（）A ．1B ．5C ．11D ．13【答案】A【分析】根据根与系数的关系得到：12121,3x x x x ，以及方程的根的定义得到：22112230,30x x x x ，将3212420x x 进行转化计算即可．【详解】解：∵1x ，2x 是一元二次方程230x x 的两根，∴22112230,30x x x x ，12121,3x x x x ，∴2211223,3x x x x ，∴ 322121124204320x x x x x 112341220x x x 2112348x x x1123348x x x 1245x x 451 ；故选A ．【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系．熟练掌握方程的根是使方程成立的未知数的值，利用整体思想进行化简，是解题的关键．2．（2023·江苏苏州·校考二模）如果一元二次方程2320x x 的两个根为1x ，2x ，则32111223+2=x x x x x _____．【答案】4【分析】将1x 代入方程可得21132x x ，利用一元二次方程根与系数的关系求得 12x x 和12x x 的值；再将所求代数式提取公因式后代入求值即可；【详解】解：∵1x 是方程2320x x 的根，∴211320x x ，∴21132x x ，由一元二次方程根与系数的关系可得：123x x ，122x x ，∵ 322111221111223232x x x x x x x x x x x ，∴ 32111221122121232222=2×32=4x x x x x x x x x x x x x ，故答案为：4 ．【点睛】本题考查了方程的根的意义，因式分解；掌握一元二次方程 200ax bx c a 的两根1x ，2x 满足12bx x a ，12c x x a是解题关键．3．（2022秋·福建泉州·九年级晋江市第一中学校考期中）已知a ，b 是方程2320x x 的两个不相等的实根，求下列各式的值：(1)22a b ；(2)22()(1)1a b ；(3)3232a a b【答案】(1)13；(2)18；(3)6 ．【分析】（1）由根与系数的关系得出32a b ab ，，整体代入222()2a b a b ab 计算可得；（2）将原式展开整理成222)1()(a b ab ，再将22a b 、ab 的值整体代入计算可得；（3）由a 是方程的一个根得到232a a ，将原式整理成2(3)2a a a b ，再将232a a 、3a b 的值整体代入计算可得．【详解】（1）解：∵a 、b 是方程2320x x 的两个不相等的实根，∴32a b ab ，，则222()29413a b a b ab ；（2）解：由（1）得2213a b ，2ab ，∴22()(1)1a b 22221a b a b 222)1(()a b ab 21213)( 18 ；（3）解：由（1）得3a b ，∵a 是方程2320x x 的根，∴2320a a ，即232a a ，∴3232a a b2(3)2a a a b22a b2()a b 6 ．【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握12x x ，是一元二次方程20(0)ax bx c a 的两根时，12b x x a，12c x x a ．【经典例题四构造一元二次方程求代数式的值】【例4】（2022秋·四川眉山·九年级校考期中）已知实数a 、b 满足2222,22a a b b ，且a b ¹，则b a a b 的值（）A ．0B ．4C ．4D ．2 【答案】B 【分析】根据题意可知a 、b 是一元二次方程2220x x 的两个不相等实数根，再由根与系数的关系可得22a b ab ，，再将b a a b进行变形，然后代入计算即可．【详解】解：∵2222,22a a b b ，a b ¹，∴22220220a a b b ，，∵a b ¹，∴a 、b 是一元二次方程2220x x 的两个不相等实数根，∴22a b ab ，，∴2222()2(2)2(2)42b a a b a b ab a b ab ab 故选：B【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的解、根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．【变式训练】1．（2023春·浙江·八年级期中）若关于x 的一元二次方程220ax ax c (0)a 的一个根为m ，则方程21210a x a x c （）（）的两根分别是（）．A ．1m ，1m B ．1m ，1m C ．1m ，2m D ．1m ，1m 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求出方程220ax ax c 的另一个根，设1x t ，根据方程220ax ax c 的根代入求值即可得到答案；【详解】解：∵一元二次方程220ax ax c (0)a 的一个根为m ，设方程另一根为n ，∴22a n m a，解得：2n m ，设1x t ，方程21210a x a x c （）（）变形为220at at c ，由一元二次方程220ax ax c (0)a 的根可得，1t m ，22t m ，∴12x m ，1x m ，∴11x m ，21x m ，故答案为：A ．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系及换元法解一元二次方程，解题的关键是用换元法变形方程代入求解．2．（2023春·山东枣庄·九年级校联考阶段练习）已知实数a 、b 满足2310a a ，2310b b ，则b aa b_______．【答案】2或11【分析】实数a 、b 满足等式2310a a ，2310b b ，①当a b 时，a ，b 可能是方程2310x x 的同一个根，两数相等；②当a ≠b 时，由根与系数的关系，得3a b ，1ab ，把代数式变形成与两根之和和两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积，即可求得代数式的值．【详解】解：①当a b 时，原式b aa b112 ．②当a b 时，可以把a ，b 看作是方程2310x x 的两个根．由根与系数的关系，得3a b ，1ab ．∴b a a b 2292111a b ab ab ．故本题答案为：2或11 ．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的应用以及分类讨论思想的运用．此题综合性较强，特别注意不要漏掉“a b ”的情况．3．（2023·湖北襄阳·统考一模）阅读材料，解答问题：已知实数m ，n 满足210m m ，210n n ，且m n ，则m ，n 是方程210x x 的两个不相等的实数根，由韦达定理可知1m n ，1mn ．根据上述材料，解决以下问题：(1)直接应用：已知实数a ，b 满足：2710a a ，2710b b ，且a b ¹，则a b _____，ab ______；(2)间接应用：在（1）条件下，求11a b的值；(3)拓展应用：已知实数m ，n 满足：2117m m ，27n n 且10mn ，则1n m______．【答案】(1)7；1(2)7(3)1【分析】（1）利用韦达定理直接求解；（2）对11a b进行通分，然后利用韦达定理求解；（3）令1t m，则由题得270t t ，270n n ，且n t ，利用韦达定理可求n t 的值，进而求解1n m．【详解】（1）解：∵2710a a ，2710b b ，且a b ¹，a ，b 是方程2710x x 的两个不相等的实数根， 7a b ，1ab ．故答案为：7，1；（2）解：∵7a b ，1ab ，11771a b a b ab ．（3）解：由27n n ，得270n n ．令1t m，则由2117m m ，得270t t ．由10mn ，得1n m，即n t ．∵270n n ，270t t ，且n t ，n ，t 是方程270x x 的两个不相等的实数根， 1n t ，即11n m，11n m．故答案为：1 ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，韦达定理的应用，熟练掌握韦达定理的原理是解题的关键．【经典例题五由两根关系求方程字母系数】【例5】（2022秋·重庆万州·九年级重庆市万州第二高级中学校考期中）等腰三角形的三边长分别为a ，b ，1，且关于x 的一元二次方程2420x x n 的两个根是a 和b ，则n 的值为（）A ．1B ．1或2C ．2D ．1且2【答案】C【分析】分1为底边长或腰长两种情况考虑：当1为底时，由a b 及4a b 即可求出a 、b 的值，利用三角形的三边关系确定此种情况存在，再利用根与系数的关系找出222n 即可；当1为腰时，则a 、b 中有一个为1，则另一个为3，由1、1、3不能围成三角形可排除此种情况．综上即可得出结论．【详解】解：当1为底边长时，则a b ，4a b ，1∵，2，2能围成三角形，222n ，解得：2n ；当1为腰长时，a 、b 中有一个为1，则另一个为3，1∵，1，3不能围成三角形，此种情况不存在．故选：C ．【点睛】本题考查了根与系数的关系、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分1为底边长或腰长两种情况考虑是解题的关键．【变式训练】1．（2023·山东日照·统考二模）关于x 的方程22210x x m 有实数根，方程的两根分别是1x 、2x ，且211212x x x x x x ，则m 值是（）A ．52B ．52C ．52D ．32【答案】B【分析】根据韦达定理可知122x x ，1221x x m ，利用完全平方公式可得22212122112122x x x x x x x x x x，整体代入解方程即可．【详解】解：∵关于x 的方程22210x x m 有实数根，方程的两根分别是1x 、2x ，122x x ，1221x x m ，∵ 22421810m m ，1m ，∵211212x x x x x x ， 22212122121121212122x x x x x x x x x x x x x x x x 2422121m m ，整理得：245m ，解得52m，52m，故选：B ．【点睛】本题考查了根与系数的关系、解一元二次方程，掌握根与系数的关系并利用完全平方公式变形是解题关键．2．（2023春·广东广州·九年级铁一中学校考阶段练习）已知关于x 的方程 24400x k x k k 的两实数根为1x 、2x ，若 121223x x x x ，则k _____．【答案】45/0.8【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到12124,4x x k x x k ，代入121223x x x x 得到 2434k k ，解这个一元一次方程即可得到答案．【详解】解：∵关于x 的方程 24400x k x k k 的两实数根为1x 、2x ，∴12124,4x x k x x k ，∵121223x x x x ，∴ 2434k k ，解得45k ，故答案为：45．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系1212,b cx x x x a a是解决问题的关键．3．（2023·北京石景山·统考二模）已知关于x 的一元二次方程22210x mx m ．(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；(2)若1m ，且该方程的一个根是另一个根的2倍，求m 的值．【答案】(1)证明见解析(2)3【分析】（1）利用根的判别式进行证明即可；（2）设方程的两个根分别为2s s 、，利用根与系数的关系得到22221s s ms s m，由此建立关于m 的方程求解即可．【详解】（1）证明：由题意得，22Δ2411m m22444m m 40 ，∴关于x 的一元二次方程22210x mx m 总有两个不相等的实数根；（2）解：设方程的两个根分别为2s s 、，∴22221s s ms s m，∴23s m，∴222213m m，∴22819m m ，解得3m ，又∵1m ，∴3m ．【点睛】本题主要考查了根的判别式、根与系数的关系，熟知相关知识是解题的关键．【经典例题六根与系数关系的新定义问题】【例6】（2022秋·湖北鄂州·九年级统考期末）定义新运算“※”：对于实数m 、n 、p 、q ，有[,][,]m p q n mn pq ※，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2,3][4,5]253422 ※．若关于x 的方程 21,52,0x x k k ※有两个实数根，则k的取值范围是（）A ．54kB ．54kC ．54k且0k D ．54k且0k 【答案】C【分析】按新定义规定的运算法则，将其化为关于x 的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决．【详解】解：∵[x 2+1，x ]※[5−2k ，k ]=0，∴ 21520k x k x ．整理得， 2520kx k x k ．∵方程有两个实数根，∴判别式0 且0k ．由0 得， 225240k k ，解得，54k．∴k 的取值范围是54k 且0k ．故选：C【点睛】本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视．【变式训练】1．（2023·河北·模拟预测）对于任意实数a ，b ，我们定义新运算“*”：22*2a b a ab b ，例如：223*53235514 ．若m ，n 是方程 2*30x 的两个实数根，则11m n的值为（）A ．107B ．-3C ．17D ．107【答案】D【分析】先根据新定义得到原方程即为21070x x ，再根据根与系数的关系得到107m n mn ，，最后代值计算即可．【详解】解：∵ 2*30x ，∴ 226290x x ，∴21070x x ，∵m ，n 是方程 2*30x 的两个实数根，∴107m n mn ，，∴11107m n m n mn ，故选D ．【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，正确根据题意得到107m n mn ，是解题的关键．2．（2022秋·湖南衡阳·九年级校联考期末）已知对于两个不相等的实数a 、b ，定义一种新的运算：@ab a b a b，如615310106@15615217，已知m ，n 是一元二次程22170x x 的两个不相等的实数根，则[()@]@3m n mn _______．【答案】25【分析】首先根据韦达定理求解两根之和与两根之积，然后代入原式根据定义进行求解．【详解】由m ，n 是22170x x 的两个不相等的实数根可得：21m n ，7mn 故[()@]@3(21@7)@3m n mn 217@3217 147@328 73@328 3@343343343425325【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系（也叫韦达定理），实数的定义新运算，此类题型一定要严格按照题目中的定义来求解，注意过程的正确性．3．（2023春·福建南平·九年级专题练习）阅读材料：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造闭法：方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m 、n 满足210m m 、210n n ，且m n ，则可将m 、n 看作是方程210x x 的两个不相等的实数根．方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a 、b 满足3a b 、2ab ，则可以将a 、b 看作是方程2320x x 的两实数根．根据上述材料解决下面问题：(1)已知一元二次方程2510x x 的两根1x ，2x ，则12x x ______，12x x ______；(2)已知实数m n 、满足2320m m ，2320n n ，求n mm n的值．(3)已知实数a b c 、、满足5a b c 、165ab c，且5c ，求c 的最大值．【答案】(1)5 ；1(2)136或2(3)1【分析】（1）根据根与系数关系12b x x a、12cx x a ，结合一元二次方程2510x x 直接求解即可得到答案；（2）当m n 时，m 、n 是方程2320x x 的两根，利用根与系数的关系可求得m n 和mn的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值；当m n 时，易得原式2 ；（3）将a 、b 看作是方程216(5)05x c x c的两实数根；利用判别式的意义得到△216(5)405c c，所以3(5)64c ，解得1c ，从而得到c 的最大值．【详解】（1）解：∵一元二次方程2510x x 的两根1x ，2x ，12551b x x a，12111c x x a ；（2）解：当m n 时，∵实数m 、n 满足2320m m ，2320n n ，m 、n 可看作方程2320x x 的两根，13m n，23mn ，原式222122()()21393263n m m n mn mn mn，当m n ，则原式112 ；综上所述，原式的值为136或2；（3）解：5a b c ∵，165ab c， 将a 、b 看作是方程216(5)05x c x c的两实数根，∵△216(5)405c c，5c ，即50c ，3(5)64c ，54c ，即1c ，c 的最大值为1．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若1x ，2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a 的两根时，12b x x a，12c x x a ，也考查了一元二次方程根的判别式，灵活应用根与系数的关系是解决关键．【经典例题七一元二次方程根与系数关系的综合】【例7】（2022·四川宜宾·九年级专题练习）关于x 的方程ax 2+（a +2）x +9a ＝0有两个不等的实数根x 1，x 2，且x 1＜1＜x 2，那么a 的取值范围是（）A ．﹣27＜a ＜25B ．a ＞25C ．a ＜﹣27D ．﹣211＜a ＜0【答案】D【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a 的不等式，求出a 的取值范围．又存在x 1＜1＜x 2，即（x 1-1）（x 2-1）＜0，x 1x 2-（x 1+x 2）+1＜0，利用根与系数的关系，从而最后确定a 的取值范围．【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，则a≠0且△＞0，由（a+2）2-4a×9a=-35a 2+4a+4＞0，解得2275a，又∵x 1＜1＜x 2，∴x 1-1＜0，x 2-1＞0，那么（x 1-1）（x 2-1）＜0，∴x 1x 2-（x 1+x 2）+1＜0，122a x x a∵，x 1x 2=9，即2910a a，解得2011a，综上所述，a 的取值范围为：2011a .故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系.掌握相关知识是关键：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．根与系数的关系为：1212,b c x x x x a a.【变式训练】1．（2023春·浙江·八年级期末）若方程22320x px p 的两个不相等的实数根12x x 、满足232311224x x x x ，则实数p 的所有值之和为（）A ．0B ．34C ．1D ．54【答案】B【分析】先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到2112320x px p ，122x x p ，进而推出113211322x px x px ，则3212211111322x px x px x x ，3222222222322x px x px x x ，即可推出 22121232124p x x p x x ，然后代入122x x p ， 22212124x x x x p 得到 24310p p p ，再根据判别式求出符号题意的值即可得到答案．【详解】解：∵12x x 、是方程22320x px p 的两个相等的实数根，∴2112320x px p ，1212232x x p x x p ，，∴211232x px p ，∴211131232x px px x ，∴113211322x px x px ，∴3222111111322x x px x px x ，同理得3222222222322x px x px x x ，∵232311224x x x x ＋，∴232311224x x x x ，∴2222111122223223224px x px x px x px x ，∴22121232124p x x p x x ，∴ 23221222324p p p p p，∴2264124644p p p p p ，∴2226446424644p p p p p p p ，∴222224640p p p p p ，∴ 2246410p p p p ，∴224730p p p ，∴ 24310p p p ，解得1233014p p p ，，，∵ 2Δ24320p p ，∴2320p p ，∴ 130p p ，∴1p 不符合题意，∴1334p p∴符合题意，故选B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．2．14．（2023春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）如果关于x 的一元二次方程20ax bx c 有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）．①方程220x x 是“倍根方程”；②若(2)()0x mx n 是“倍根方程”，则22450m mn n ；③若,p q 满足2pq ，则关于x 的方程230px x q 是“倍根方程”；④若方程20ax bx c 是“倍根方程”，则必有229b ac ．【答案】②③④【分析】①求出方程的根，再判断是否为“倍根方程”；②根据“倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m ，n 之间的关系；③当,p q 满足2pq 时，有23px x q (1)()0px x q ，求出两个根，再根据2pq 代入可得两个根之间的关系，讲而判断是否为“倍根方程”；④用求根公式求出两个根，当122x x 或122x x 时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．【详解】①解方程220x x ，得1221x x ，，122x x ∵，方程220x x 不是“倍根方程”．故①不正确；②(2)()0x mx n ∵是“倍根方程”，且12x ，因此21x 或24x ．当21x 时，0m n ，当24x 时，40m n ，2245()(4)m mn n m n m n 0 ，故②正确；③2pq ∵，23(1)()0px x q px x q ，121x x q p ，，2122x q x p，因此230px x q 是“倍根方程”，故③正确；④方程20ax bx c 的根为2212b b 4ac b b 4ac x ,x 2a 2a，若122x x ，则224422b b ac b b ac a a 2，即22442022b b ac b b ac a a，23402b b aca ，2340b b ac ，234b ac b ，2294b ac b ，229b ac ，若122x x ，则2422b b ac a242b b ac a ，23402b b aca ，2340b b ac ，234b b ac ，2294b b ac ，229b ac ．故④正确，故答案为：②③④．【点睛】本题考查了解一元二次方程以及一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．3．（2023春·湖北十堰·九年级专题练习）定义：已知12x x ，是关于x 的一元二次方程 200ax bx c a 的两个实数根，若120x x ，且1234x x，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程213300x x 的两根为12103x x ，，因1030 ，10343，所以一元二次方程213300x x 为“限根方程”．请阅读以上材料，回答下列问题：(1)判断一元二次方程29140x x 是否为“限根方程”，并说明理由；(2)若关于x 的一元二次方程 222730x k x k 是“限根方程”，且两根12x x 、满足12121x x x x ，求k 的值；(3)若关于x 的一元二次方程 210x m x m 是“限根方程”，求m 的取值范围．【答案】(1)此方程为“限根方程”，理由见解析(2)k 的值为2(3)m 的取值范围为1134m 或43m 【分析】（1）解该一元二次方程，得出1272x x ，，再根据“限根方程”的定义判断即可；（2）由一元二次方程根与系数的关系可得出1272x x k ，21223k x x ，代入12121x x x x ，即可求出12k ，21k ．再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可；（3）解该一元二次方程，得出121x x m ，或121x m x ，．再根据此方程为“限根方程”，即得出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出0 ，0m 且1m ，可求出m 的取值范围．最后分类讨论即可求解．【详解】（1）解：29140x x ，270x x ，∴20x 或70x ，∴1272x x ，．∵72 ，773422，∴此方程为“限根方程”；（2）∵方程 222730x k x k 的两个根分比为12x x 、，∴1272x x k ，21223k x x ．∵12121x x x x ，∴231722k k ，解得：12k ，21k ．分类讨论：①当2k 时，原方程为22970x x ，∴172x =-，21x ，∴120x x ，124732x x，∴此时方程 222730x k x k 是“限根方程”，∴2k 符合题意；②当1k 时，原方程为22640x x ，∴12x ，21x ，∴120x x ，1232x x ，∴此时方程 222730x k x k 不是“限根方程”，∴1k 不符合题意．综上可知k 的值为2；（3） 210x m x m ，(1)()0x x m ，∴10x 或0x m ，∴121x x m ，或121x m x ，．∵此方程为“限根方程”，∴此方程有两个不相等的实数根，∴0 ，0m 且1m ，∴ 2140m m ，即 21+0m ，∴0m 且1m ．分类讨论：①当10m 时，∴121x x m ，，∵1234x x，∴134m，解得：1134m ；②当1m 时，∴121x m x ，，∵1234x x ，∴341m，解得：43m ．综上所述，m 的取值范围为1134m 或43m ．【点睛】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．读懂题意，理解“限根方程”的定义是解题关键．【重难点训练】1．（2023春·八年级课时练习）已知1x ，2x 为一元二次方程230x bx 的两个实数根，且122x x ，则（）A ．11x ，23xB ．11x ，23xC ．11x ，23xD ．11x ，23x 【答案】D【分析】先利用一元二次方程根和系数的关系求得2b ，将b 代入方程得到2230x x ，利用因式分解法解方程即可得到答案．【详解】解：1x ∵，2x 为一元二次方程230x bx 的两个实数根，12bx x b a，122x x ∵，2b ，一元二次方程2230x x ， 130x x ，11x ，23x ，故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握一元二次方程根和系数的关系：12b x x a，12cx x a ．2．（2022秋·山东枣庄·九年级统考期中）已知a ，b 是方程230x x 的两个实数根，则22023a b 的值是（）A ．2023B ．2021C ．2026D ．2027【答案】D【分析】将实数根a 代入方程得到23a a ，再利用根和系数关系得到1a b ，最后将代数式变形即可计算答案．【详解】解：∵a ，b 是方程230x x 的两个实数根，23a a ，1a b ，22023320232026120262027a b a b a b ，故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的含义、一元二次方程根与系数的关系及代数式求值，熟练掌握相关知识点是解题关键．3．（2022秋·河南安阳·九年级校联考期中）定义运算： *1a b a b ．若a ，b 是方程 200x x m m 的两根，则**b b a a 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．与m 有关【答案】A【分析】由根与系数的关系可找出1a b ，根据新运算找出 **11b b a a b b a a ，将其中的1替换成a b ，即可得出结论．【详解】解：∵a ，b 是方程 200x x m m 的两根，∴1a b ，∴ **110b b a a b b a a b a b b a a b a ab ab ．故选A ．【点睛】本题考查定义新运算，一元二次方程根与系数的关系．理解并掌握新运算的法则，掌握一元二次方程根与系数的关系，是解题的关键．4．（2022秋·湖北武汉·九年级统考期中）直线y x 与抛物线2(1)y x m x m 的两个公共点的横坐标分别是1x ，2x ，若2126x mx ，则m 的值是（）A ．2B ．3或2C ．3D ．3 或2【答案】A【分析】令2(1)x m x m x ，根据根与系数的关系可知12x x m ，由根的判别式可以得到0m 或4m ，把1x 代入整理得26m m ，解方程即可．【详解】解：令2(1)x m x m x ，整理得20x mx m ，12x x m ，∵抛物线与直线y x 有两个交点，240m m ，0m 或4m ，1x ∵是方程20x mx m 的解，211x mx m ，2126x mx ∵，212126x mx mx mx m ，即26m m ，解得3m （舍)或2m ，故选：A ．【点睛】本题考查根的判别式，根与系数的关系，解答的关键是利用数形结合把交点坐标转化为方程的解．5．（2022秋·福建泉州·九年级石狮市石光中学校考期中）设 ， 是方程2310x x 的两根，则 2244 的值是（）A ．1B ．5C ．3D ．3【答案】B【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出3,1 ，根据一元二次方程的解的定义得出223131 ，，代入代数式即可求解．【详解】解：∵ ， 是方程2310x x 的两根，∴3,1 ，223131 ，，∴ 2244223311 1 1315 ，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握以上知识是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数。
专题1.4 根与系数的关系【十大题型】(举一反三)(苏科版)(解析版)
专题1.4 根与系数的关系【十大题型】【苏科版】【题型1 由根与系数的关系直接求代数式的值】 (1)【题型2 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】 (3)【题型3 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】 (5)【题型4 由方程两根满足关系求字母的值】 (8)【题型5 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】 (10)【题型6 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】 (12)【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】 (15)【题型8 已知方程根的情况判断另一个方程】 (17)【题型9 根与系数关系中的新定义问题】 (20)【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】 (24)【知识点一元二次方程的根与系数的关系】若一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的两根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．注意它的使用条件为，a≠0，Δ≥0.【题型1由根与系数的关系直接求代数式的值】【例1】（2023春·广东广州·九年级统考期末）若x1，x2是一元二次方程x2−2x−3=0的两个根，则x21+x22 +x1x2的值是（）A．−7B．−1C．1D．7【答案】D【分析】利用两根之和为x1+x2=−ba ，两根之积为x1x2=ca，计算即可．【详解】解：∵x1、x2是一元二次方程x2−2x−3=0的两个根，∴x1+x2=2，x1x2=−3，∴x21+x22+x1x2=(x1+x2)2−x1x2=4−(−3)=7，故选：D．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系的公式．【变式1-1】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知m，n是一元二次方程x2+3x−2=0的两根，则2m−n −m3n m2−n2的值是（）A．−3B．−2C．−13D．−12【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出m+n=−3，然后将分式化简，代入m+n=−3即可求解．【详解】解：∵m，n是一元二次方程x2+3x−2=0的两根，∴m+n=−3，∴2 m−n −m3n m2−n2=2(m+n)−(m+3n) (m+n)(m−n)=2m+2n−m−3n (m+n)(m−n)=m−n (m+n)(m−n)=1 m+n=−13，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握以上知识是解题的关键．【变式1-2】（2023·上海·九年级假期作业）已知a，b是方程x2+6x+4=0的两个根，则值．【答案】−14【分析】由根与系数关系知a+b=−6，ab=4，即知a＜0，b＜0，化简原式)，所以原式=−14故答案为：﹣14．【详解】解：∵a，b是方程x2+6x+4=0的两个根，∴a+b=−6，ab=4，∴a＜0，b＜0，∴b+a) ==∴原式=×(−6)2−2×44=−2×7=−14故答案为：﹣14．【点睛】本题主要考查根与系数关系、完全平方公式变形及二次根式的运算及化简；能够根据a,b的关系式确定其取值范围，进而准确处理二次根式的运算及化简是解题的关键．【变式1-3】（2023春·九年级单元测试）已知x1、x2是方程x2−7x+8=0的两根，且x1>x2，则2x13x2的值为．【分析】由题意可得x1+x2=7，x2=.【详解】解：∵x1、x2是方程x2−7x+8=0的两根，∴x1+x2=7，x==∵x1>x2，∴x2∴2 x13x2=2x1x22x2【点睛】本题考查了一元二次方程的求解、根与系数的关系以及二次根式的混合运算，熟练掌握一元二次方程的相关知识、正确计算是解题的关键.【题型2由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】【例2】（2023春·浙江·九年级专题练习）设α、β是方程x2+x+2012=0的两个实数根，则α2+2α+β的值为（）A．－2014B．2014C．2013D．－2013【答案】D【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到x2+x+2012=0，即α2+α=-2012，则α2+2α+β可化为α2+α+α+β=-2012+α+β，然后利用根与系数的关系得到α+β=-1，再利用整体代入的方法计算即可．【详解】∵α是方程x2+x+2012=0的根，∴α2+α+2012=0，即α2+α=-2012，∴α2+2α+β=α2+α+α+β=-2012+α+β，∵α，β是方程x2+x+2012=0的两个实数根，∴α+β=-1，∴α2+2α+β=-2012-1=-2013．故选D．【点睛】考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba ，x1x2=ca．【变式2-1】（2023春·湖北恩施·九年级统考期中）已知a，b是关于x的一元二次方程x2+3x−1=0的两个实数根，则(a+2)2+b的值为()A．32B．5C．2D．−2【答案】C【分析】根据一元二次方程的根的定义可得a2+3a=1，根据一元二次方程根与系数的关系可得ab=−1，代入代数式即可求解．【详解】解：∵a，b是关于x的一元二次方程x2+3x−1=0的两个实数根，∴a2+3a=1，a+b=−3∴(a+2)2+b=a2+4a+4+b=a2+3a+a+b+4=1−3+4=2，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，得出a2+3a=1，a+b=−3是解题的关键．【变式2-2】（2023·江西萍乡·校考模拟预测）若α、β是一元二次方程x2−3x−9=0的两个根，则α2−4α−β的值是．【答案】6【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得α+β=3，由根的定义可得α2−3α=9，代入即可得答案．【详解】∵α2−3α=9，α+β=3，∴α2−4α−β=α2−3α−α−β=(α2−3α)−(α+β)=6．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系及方程根的概念．【变式2-3】（2023春·安徽池州·九年级统考期末）已知α和β是方程x2+2023x+1=0的两个根，则(α2+2024α+2)β2+2024β+2的值为（）A．−2021B．2021C．−2023D．2023【答案】A【分析】由α和β是方程x2+2023x+1=0的两个根，根据根于系数关系可得，α⋅β=1，α+β=−2023，由一元二次方程根的定义可得α2+2023α+1=0，β2+2023β+1=0，即可求解；【详解】∵α和β是方程x2+2023x+1=0的两个根，∴α2+2023α+1=0，β2+2023β+1=0，α⋅β=1，α+β=−2023，∴(α2+2024α+2)β2+2024β+2=(α2+2023α+1+α+1)β2+2023β+1+β+1=(α+1)(β+1)=α⋅β+α+β+1=1−2023+1=−2021故选A．【点睛】该题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟记一元二次方程根与系数关系公式是解答该题的关键．【题型3由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】【例3】（2023春·广东广州·九年级广州市第二中学校考阶段练习）若p、q是方程x2−3x−1=0的两个不相等的实数根，则代数式p3−4p2−2q+5的值为．【答案】−2【分析】根据一元二次方程的解的定义得到p2−3p−1=0，再根据根与系数的关系得到p+q=3，然后利用整体思想计算即可．【详解】∵若p、q是方程x2−3x−1=0的两个不相等的实数根，∴p2−3p−1=0，p+q=3，∴p3−4p2−2q+5=p p2−3p−1−p2+p−2q+5=−p2+p−2q+5=−3p−1+p−2q+5=−2p−2q+4=−2(p+q)+4=−2×3+4=−2，故答案为：−2．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数的关系，一元二次方程的解，利用整体思想降次消元是解题的关键．【变式3-1】（2023春·山东日照·九年级统考期末）已知a，b是方程x2−x−3=0的两个根，则代数a2+2b2 +a+ab的值为．【答案】8【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义，得a+b=1，ab=−3，b2−b−3=0，a2−a−3=0，再代入降次求值即可．【详解】解：由题意，得a+b=1，ab=−3，b2−b−3=0，a2−a−3=0，b2=b+3，a2=a+3，原式=a+3+2b+6+a−3，=2(a+b)+6，=2×1+6，=8．故答案为：8．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，整式的化简求值，本题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．【变式3-2】（2023春·浙江温州·九年级校考阶段练习）已知α、β是方程x2+x−1=0的两根，则α4β−β3+5的值是（）A．7B．8C．9D．10【答案】C【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得出α+β=−1，αβ=−1，α2=1−α，β2=1−β，再对所求式子变形整理，求出答案即可．【详解】解：∵α、β是方程x2+x−1=0的两根，∴α+β=−1，αβ=−1，α2=1−α，β2=1−β，∴α4β−β3+5=α3×(−1)−β3+5=−α(1−α)−β(1−β)+5=−α+α2−β+β2+5=−α+1−α−β+1−β+5=−2(α+β)+7=−2×(−1)+7=9，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系，若一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的两根为x1，x2，则x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca．【变式3-3】（2023春·九年级课时练习）已知a，b是方程x2−x−1=0的两根，则代数式2a3+5a+3b3+3b+1的值是（）A．19B．20C．14D．15【答案】D【分析】由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与b3采用降次的方法即可求得结果的值．【详解】∵a与b是方程x2−x−1=0的两根∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0∴a2=a+1，b2=b+1∵a3=a2·a=(a+1)a=a2+a=a+1+a=2a+1，同理：b3=2b+1∴2a3+5a+3b3+3b+1=2(2a+1)+5a+3(2b+1)+3b+1=9a+9b+6=9(a+b)+6=9×1+6=15故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行整式的运算是解题的关键．【题型4由方程两根满足关系求字母的值】【例4】（2023·四川乐山·统考中考真题）若关于x的一元二次方程x2−8x+m=0两根为x1、x2，且x1=3 x2，则m的值为（）A．4B．8C．12D．16【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2=8，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2−8x+m=0两根为x1、x2，∴x1+x2=8，∵x1=3x2，∴x2=2,x1=6，∴m=x1x2=12，故选：C．【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键．【变式4-1】（2023·上海·九年级校考期中）已知关于x的方程x2+(2k−1)x+k2−1=0的两根为x1,x2满足：x21+x22=16+x1x2，求实数k的值【答案】k=−2【分析】利用根的判别式求出k的取值范围，利用根与系数的关系求出x1+x2=1−2k，x1x2=k2−1，代入x21+x22=16+x1x2，即可求得k的值.【详解】解：∵关于x的方程x2+(2k−1)x+k2−1=0的两根为x1,x2∴Δ=b2−4ac=(2k−1)2−4×1×(k2−1)≥0解得：k≤54x1+x2=1−2k，x1x2=k2−1∵x21+x22=16+x1x2∴x21+x22−x1x2=16(x1+x2)2−3x1x2=16代入x1+x2=1−2k，x1x2=k2−1得：(1−2k)2−3(k2−1)=16解得：k1=6,k2=−2∵k≤54∴k=−2【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程求解，熟练掌握相关知识点是解题关键.【变式4-2】（2023春·广东佛山·九年级校考阶段练习）方程x2−(k2−4)x+k+1=0的两个实数根互为相反数，则k的值是．【答案】−2【分析】设方程的两根分别为x1，x2，根据根与系数的关系得到x1+x2=k2−4=0，解得k=±2，然后分别计算Δ，最后确定k=−2．【详解】解：设方程的两根分别为x1，x2，∵方程x2−(k2−4)x+k+1=0的两个实数根互为相反数，，∴x1+x2=k2−4=0，解得k=±2，当k=2，方程变为：x2+3=0，Δ=−12＜0，方程没有实数根，所以k=2舍去；当k=−2，方程变为：x2−1=0，Δ=4＞0，方程有两个不相等的实数根；∴k=−2．故答案为：−2．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=−ba ；x1⋅x2=ca．也考查了一元二次方程的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．【变式4-3】（2023春·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）若m、n是关于x的方程x2+(2k+3)x+k2=0的两个不相等的实数根，且1m +1n=−1，则k的值为．【答案】3【分析】根据根与系数的关系得到m+n=−2k−3，mn=k2，再根据1m +1n=−1得到k2−2k−3=0，解方程求出k的值，最后用根的判别式验证是否符合题意即可．【详解】解：∵m、n是关于x的方程x2+(2k+3)x+k2=0的两个不相等的实数根，∴m+n=−2k−3，mn=k2，∵1 m +1n=−1，−1，即m+n=−mn，∴−(−2k−3)=k2，∴k2−2k−3=0，解得k=3或k=−1，又∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=(2k+3)2−4k2>0，∴k>−34，∴k=3，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．【题型5不解方程由根与系数的关系判断根的正负】【例5】（2023春·江苏南京·九年级专题练习）关于x的方程(x−2)(x+1)=p2（p为常数）根的情况，下列结论中正确的是（）A．有两个相异正根B．有两个相异负根C．有一个正根和一个负根D．无实数根【答案】C【分析】先对方程进行化简，然后再根据一元二次方程根的判别式可进行求解．【详解】解：由题意得：方程可化为x2−x−2−p2=0，∴Δ=(−1)2−4−2−p2=1+8+4p2=4p2+9>0，∴该方程有两个不相等的实数根，设该方程的两个根为x1,x2，则根据根与系数的关系可知：x1⋅x2=−2−p2<0，∴该方程的两个根为一正一负，故选C．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．【变式5-1】（2023春·安徽合肥·九年级统考期末）方程2x2−3x+1=0根的符号是（）A．两根一正一负B．两根都是负数C．两根都是正数D．无法确定【答案】C【分析】利用一元二次方程根与系数的关系分析求解．【详解】解：2x2−3x+1=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2=32>0，x1⋅x2=12>0，∴方程的两根同号，且两根都是正数，故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，理解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1，x2满足x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ac是解题关键．【变式5-2】（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知a、b、c是△ABC的三条边的长，那么方程cx2+(a+b)x+c4=0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个不等的负实根D．只有一个实数根【答案】C【分析】首先根据根的判别式Δ=b2−4ac，结合三角形三边关系，得出方程有两个不相等的实数根，再根据根与系数的关系，判断出两根之和和两根之积的符号，即可作出判断．【详解】解：在方程cx2+(a+b)x+c4=0中，可得：Δ=(a+b)2−4c⋅c4=(a+b)2−c2，∵a、b、c是△ABC的三条边的长，∴a>0，b>0，c>0．a+b>c，即(a+b)2>c2，∴(a+b)2−c2>0，∴Δ>0，∴方程有两个不相等的实数根，又∵两根的和是−a bc <0，两根的积是c4c=14>0，∴方程有两个不等的负实根．故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、三角形的三边关系，解本题的关键在熟练掌握根据一元二次方程根与系数的关系，判断出方程有两个不等的负实根．【变式5-3】（2023·九年级统考课时练习）已知a<0，b>0，c<0，则方程ax2−bx−c=0的根的情况是（）.A．有两个负根B．两根异号且正根绝对值较大C．有两个正根D．两根异号且负根绝对值较大【答案】D【分析】先计算△=b2+4ac，由a＜0，b＞0，c＜0，得到△＞0，然后根据判别式的意义得到方程有两个实数根．设方程两根为x1，x2．由x1x2=−ca <0得到方程有异号两实数根，再由x1+x2=ba<0得到负根的绝对值大．【详解】△=（﹣b）2﹣4•a•（﹣c）=b2+4ac．∵a＜0，b＞0，c＜0，∴b2＞0，ac＞0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根．设方程两根为x1，x2．∵x1x2=−ca<0，∴方程有异号两实数根．∵x1+x2=ba<0，∴负根的绝对值大．故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式和根与系数的关系．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．【题型6由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】【例6】（2023·四川成都·三模）若方程x2+（m﹣4）x+134﹣m＝0有两个不相等的实数根x1和x2，且x1+x2＞﹣3，x1x2＜214，则m的取值范围为多少？【答案】﹣2＜m＜1或3＜m＜7【分析】由方程有两个不相等实数根结合根的判别式即可得出关于m的不等式，解不等式即可得出m的取值范围，结合根与系数的关系可得出关于m的不等式，解不等式可得出答案．【详解】解：∵方程x2+（m﹣4）x+134﹣m＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＝(m﹣4)2﹣−m＞0，整理得：m2−4m+3>0，即(m−3)(m−1)>0，根据乘法法则得：m−3>0m−1>0或m−3<0m−1<0，解前一不等式组得：m＞3；解后一不等式组得：m＞1，∴原不等式的解集为：m＞3或m＜1；由题意得x1+x8＝−ba＝（4﹣m）＞﹣3，解得m＜7；∵x1x2＝ca =134−m<214，解得m＞﹣2．综上所述，﹣2＜m＜1或3＜m＜7．【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式，根据题意得出关于m的不等式是解题的关键【变式6-1】（2023·山东日照·日照港中学统考二模）已知关于x的一元二次方程x2−4x+m−1=0的实数根x1,x2，满足3x1x2−x1−x2>5，则m的取值范围是．【答案】4<m≤5【分析】根据根的判别式Δ≥0、根与系数的关系列出关于m的不等式组，通过解该不等式组，求得m的取值范围．【详解】解：由题意得：x1+x2=4,x1x2=m−1，所以3x1x2−x1−x2=3×(m−1)−4，依题意得：(−4)2−4(m−1)≥03×(m−1)−4>5，解得4＜m≤5．故答案是：4＜m≤5．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于m的不等式，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2-4ac＜0时，一元二次方程没有实数根．【变式6-2】（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知关于x的方程4x2−(k+5)x−k−9=0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1=−1，0<x2<1，则k的取值范围是（）A．−18<k<−10B．0<k<8C．−9<k<−5D．−18<k<−10且k≠−13【答案】C【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．根据x1x2=−k−94，x1=−1，可得x2=0<x2<1，从而最后确定k的取值范围．【详解】解：∵方程4x2−(k+5)x−k−9=0有两个不相等的实数根，∴Δ=[−(k+5)]2−4×4×(−k−9)=(k+13)2>0，解得：k≠−13，∵x1x2=−k−94，x1=−1，∴x2=k94又∵0<x2<1，∴0<<1，解得：−9<k<−5，综上，k的取值范围为：−9<k<−5．故选：C．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，关键是得到x2=【变式6-3】（2023春·九年级单元测试）设关于x的方程ax2+(a+2)x+9a=0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1<−1<x2，那么实数a的取值范围是．【答案】0<a<29【分析】由方程有两个不相等的实数根利用根的判别式Δ＞0，可得出a的取值范围，利用根与系数的关系可得出x1+x2=−a2a，x1x2=9，由x1<−1<x2可得出(x1+1)(x2+1)<0，展开代入后可得出a的不等式，解之即可求出a取值范围．【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴△=(a+2)2−4a×9a=−35a2+4a+4>0，解得：−27<a<25，∵x1+x2=−a2a，x1x2=9，x1<−1<x2，∴x 1+1<0，x 2+1>0，∴(x 1+1)(x 2+1)<0，∴x 1x 2+(x 1+x 2)+1<0，即+1<0，当a <0时，解得a >29（舍去）；当a >0时，解得0<a <29，又∵−27<a <25，∴a 的取值范围为0<a <29．故答案为：0<a <29．【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，由根与系数的关系结合(x 1+1)(x 2+1)<0，找出关于a 的不等式是解题的关键．【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】【例7】（2023·陕西西安·校考二模）已知mn ≠1，且5m 2+2010m +9=0，9n 2+2010n +5=0，则m n 的值为（ ）A ．﹣402B ．59C ．95D ．6703【答案】C【详解】将9n 2+2010n +5=0方程两边同除以n 2，变形得：5×（1n ）2+2010×1n +9=0，又5m 2+2010m +9=0，∴m 与1n 为方程5x 2+2010x +9=0的两个解，则根据一元二次方程的根与系数的关系可得m •1n =m n =95．故选：C ．【变式7-1】（2023春·广东梅州·九年级校考阶段练习）已知a ≥2,m 2−2am +2=0,n 2−2an +2=0，则(m−1)2+(n−1)2的最小值是（ ）．A ．6B ．3C ．-3D ．0【答案】A【分析】由已知得m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2－2ax ＋2＝0的两个根，根据根与系数的关系得到m ＋n ＝2a ，mn ＝2，再根据完全平方公式展开化简，利用二次函数的性质解决问题．【详解】解：∵m 2－2am ＋2＝0，n 2－2an ＋2＝0，∴m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2－2ax ＋2＝0的两个根，∴m＋n＝2a，mn＝2，∴(m－1)2＋(n－1)2＝m2－2m＋1＋n2－2n＋1＝(m＋n)2－2mn－2(m＋n)＋2＝4a2－4－4a＋2＝4(a－12)2－3，∵a≥2，∴当a＝2时，(m－1)2＋(n－1)2有最小值，∴(m－1)2＋(n－1)2的最小值＝4(2－12)2－3＝6，故选A．【点睛】本题考查了根与系数的关系，二次函数的最值，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．【变式7-2】（2023·山东德州·统考一模）已知互不相等的三个实数a、b、c满足ca =−a−3，cb=−b−3，求a2 c +b2c−9c的值．【答案】﹣2【分析】将已知的两等式去分母得到关系式a2+3a+c=0和b2+3b+c=0，把a、b看成方程x2+3x+c=0的两根，由根与系数的关系得到a+b=﹣3，ab=c，所求式子变形后，把a+b=﹣3，ab=c代入，即可求出值．【详解】由ca=﹣a﹣3得：a2+3a+c=0①；由cb=﹣b﹣3得：b2+3b+c=0②；∵a≠b，∴a、b可以看成方程x2+3x+c=0的两根，∴a+b=﹣3，ab=c；∴a2c +b2c﹣9c==9−2c−9c=−2cc=﹣2．故答案为﹣2．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及分式的加减运算，灵活变换已知等式是解答本题的关键．【变式7-3】（2023春·江苏·九年级专题练习）设x，y，s，t为互不相等的实数，且(x2−s2)(x2−t2)=1，(y2−s2)(y2−t2)=1，则x2y2−s2t2的值为（）A．-1B．1C．0D．0.5【答案】A【分析】把x2,y2看作以上方程的两个不同的根，可得x4−(s2+t2)x2−s2t2−1=0，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可【详解】解：∵(x2−s2)(x2−t2)=1，(y2−s2)(y2−t2)=1，∴x2,y2看作以上方程的两个不同的根，即x2,y2是方程x4−(s2+t2)x2−s2t2−1=0的两根，故x2y2=−s2t2−1，即x2y2−s2t2=−1故选A【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，整体代入是解题的关键．【题型8已知方程根的情况判断另一个方程】【例8】（2023春·浙江·九年级期中）若关于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0(a≠0)的一个根为m，则方程a（x−1）2+2a（x−1）+c=0的两根分别是（）．A．m+1，−m−1B．m+1，−m+1C．m+1，m+2D．m−1，−m+1【答案】A【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求出方程ax2+2ax+c=0的另一个根，设x−1=t，根据方程ax2+2ax+c=0的根代入求值即可得到答案；【详解】解：∵一元二次方程ax2+2ax+c=0(a≠0)的一个根为m，设方程另一根为n，=−2，∴n+m=−2aa解得：n=−2−m，设x−1=t，方程a（x−1）2+2a（x−1）+c=0变形为at2+2at+c=0，由一元二次方程ax2+2ax+c=0(a≠0)的根可得，t1=m，t2=−2−m，∴x−1=−2−m，x−1=m，∴x1=−m−1，x2=1+m，故答案为：A．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系及换元法解一元二次方程，解题的关键是用换元法变形方程代入求解．【变式8-1】（2023春·江西萍乡·九年级统考期中）有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a−c≠0，以下四个结论中，错误的是（）A ．如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数根B ．如果方程M 有两根符号相同，那么方程N 的两根符号也相同C ．如果5是方程M 的一个根，那么15是方程N 的一个根D ．如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是x =1【答案】D【分析】求出方程M ：ax 2+bx +c =0的判别式△=b 2−4ac ，方程N ：cx 2+bx +a =0的判别式△=b 2−4ac ，再根据判别式的意义、根与系数的关系以及方程的解的意义求解即可．【详解】解：A 、∵M 有两个不相等的实数根，∴△>0即b 2−4ac >0，∴此时N 的判别式△=b 2−4ac >0，∴N 也有两个不相等的实数根，故此选项正确，不符合题意；B 、∵M 的两根符号相同：即x 1⋅x 2=c a >0，∴N 的两根之积a c 也大于0，∴N 的两个根也是同号的，故此选项正确，不符合题意；C 、如果5是M 的一个根，则：25a +5b +c =0①，我们只需要考虑将15代入N 方程看是否成立，代入得：125c +15b +a =0②，比较①与②，可知②式是由①式两边同时除以25得到，故②式成立，故此选项正确，不符合题意；D 、比较方程M 与N 可得：ax 2+bx +c−cx 2−bx−a =0，∴(a−c )x 2=a−c ，∵a−c ≠0，∴x 2=1，∴x =±1，∴它们如果有根相同的根可能是1或−1，故此选项错误，符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查了根的判别式，根与系数的关系以及一元二次方程的解的意义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程，根的判别式△=b 2−4ac ，根与系数的关系x 1+x 2=−b a ，x 1⋅x 2=c a ．【变式8-2】（2023春·安徽合肥·九年级校考期末）关于x 的一元二次方程x 2+px +q =0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p=0也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（）A．p是正数，q是负数B．(p−2)2+(q−2)2＜8C．q是正数，p是负数D．(p−2)2+(q−2)2>8【答案】D【分析】设方程x2+px+q＝0的两根为x1、x2，方程y2+qy+p＝0的两根为y1、y2．根据方程解的情况，结合根与系数的关系可得出x1•x2＝q＞0，y1•y2＝p＞0，即可判断A与C；②由方程有两个实数根结合根的判别式得出p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，利用不等式的性质以及完全平方公式得出（p﹣2）2+（q﹣2）2＞8，即可判断B与D．【详解】解：设方程x2+px+q＝0的两根为x1、x2，方程y2+qy+p＝0的两根为y1、y2．∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个同号非零整数根，∴x1•x2＝q＞0，y1•y2＝p＞0，故选项A与C说法均错误，不符合题意；∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个同号非零整数根，∴p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，∴（p﹣2）2+（q﹣2）2＝p2﹣4q+4+q2﹣4p+4＞8（p、q不能同时为2，否则两个方程均无实数根），故选项B说法错误，不符合题意；选项D说法正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，逐一分析四个选项说法的正误是解题的关键．【变式8-3】（2023春·九年级单元测试）一元二次方程M:ax2+bx+c=0；N:cx2+bx+a=0，其中ac≠0，a≠c，给出以下四个结论：①若方程M有两个不相等的实数根，则方程N也有两个不相等的实数是方程N 根；②若方程M的两根符号相同，则方程N的两根符号也相同；③若m是方程M的一个根，则1m的一个根；④若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根必是x=1，其中正确的结论是（）A．①③B．①②③C．①②④D．①③④【答案】B【分析】根据根的判别式，根的定义，计算判断即可．【详解】∵M:ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴Δ=b2−4ac＞0，∵N:cx 2+bx +a =0的判别式为Δ=b 2−4ca =b 2−4ac ＞0，∴方程N 也有两个不相等的实数根，故①正确；∵M:ax 2+bx +c =0两根符号相同，∴Δ=b 2−4ac ≥0,c a ＞0，∴Δ=b 2−4ac ≥0,a c ＞0，∴方程N 的两根符号也相同，故②正确；∵m 是方程 M:ax 2+bx +c =0的一个根，∴am 2+bm +c =0，∵c m 2+b ×1m +a =0∴1m 是方程N 的一个根；故③正确；设方程M 和方程N 相同的根为x 0，根据题意，得ax 02+bx 0+c =0,cx 02+bx 0+a =0，∴(a−c )x 02=a−c ，∵ac ≠0，a ≠c ，∴x 02=1，解得x 0=±1，故这个根是x =±1，故④错误；故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，公共根，方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，熟练掌握根的判别式是解题的关键．【题型9 根与系数关系中的新定义问题】【例9】（2023春·山东日照·九年级日照市田家炳实验中学校考阶段练习）定义：如果实数a 、b 、c 满足 a ²+b ²=c ²， 那么我们称一元二次方程 ax ²+bx +c =0(a ≠0)为“勾股”方程；二次函数y =ax ²+bx +c (a ≠0)为“勾股”函数．(1)理解：下列方程是“勾股”方程的有 ．①x ²-1=0；②x 2−x ；③13x 2+14x +15=0；④4x ²+3x =5(2)探究：若m 、n 是“勾股”方程 ax ²+bx +c =0 的两个实数根，试探究m 、n 之间的数量关系．【答案】(1)①②④；(2)m 2n 2−(m +n )2=1；【分析】（1）运用“勾股”方程的定义，即可得出答案；（2）利用根与系数关系可得：m +n =-b a ，mn =c a ，再结合a 2+b 2=c 2，即可得出答案；另解：根据题意可得：am 2+bm +c =0①，an 2+bn +c =0②，再结合a 2+b 2=c 2，即可得出答案；【详解】（1）根据“勾股”方程的定义，在方程x 2−1=0中，a =1，b =0，c =−1，∵a 2+b 2=1，c 2=1，∴a 2+b 2=c 2，∴一元二次方程x 2−1=0为“勾股”方程；在方程x 2−x 中，a =1，b =−1，c∵a 2+b 2=12+(−1)2=2，c 22=2，∴a 2+b 2=c 2，∴一元二次方程x 2−x 为“勾股”方程；在方程13x 2+14x +15=0中，a =13，b =14，c =15，∵a 2+b 2=(13)2+(14)2=25144，c 2=(15)2=125，∴a 2+b 2≠c 2，∴一元二次方程13x 2+14x +15=0不是“勾股”方程；在方程4x 2+3x =5中，a =4，b =3，c =−5，∵a 2+b 2=42+32=25，c 2=(−5)2=25，∴a 2+b 2=c 2，∴一元二次方程4x 2+3x =5为“勾股”方程；故答案为：①②④；（2）m 2n 2−(m +n )2=1；理由如下：∵m、n是“勾股”方程ax2+bx+c=0的两个实数根，∴m+n=−ba ，mn=ca，又根据“勾股”方程的定义，a2+b2=c2，∴(mn)2−(m+n)2=(ca )2−(−ba)2=c2−b2a2=1，即m2n2−(m+n)2=1；另解：∵m、n是“勾股”方程ax2+bx+c=0的两个实数根，∴am2+bm+c=0①，an2+bn+c=0②，由①、②得：b=−(m+n)a，c=mna，又∵a2+b2=c2，∴a2+(m+n)2a2=(mn)2a2，即m2n2−(m+n)2=1；【点睛】本题主要考查新定义问题，一元二次方程根与系数关系，理解并应用新定义是解题的关键．【变式9-1】（2023春·河南安阳·九年级校联考期中）定义运算：a∗b=a(1−b)．若a，b是方程x2−x+m=0 (m<0)的两根，则b∗b−a∗a的值为（ ）A．0B．1C．2D．与m有关【答案】A【分析】由根与系数的关系可找出a+b=1，根据新运算找出b∗b−a∗a=b(1−b)−a(1−a)，将其中的1替换成a+b，即可得出结论．【详解】解：∵a，b是方程x2−x+m=0(m<0)的两根，∴a+b=1，∴b∗b−a∗a=b(1−b)−a(1−a)=b(a+b−b)−a(a+b−a)=ab−ab=0．故选A．【点睛】本题考查定义新运算，一元二次方程根与系数的关系．理解并掌握新运算的法则，掌握一元二次方程根与系数的关系，是解题的关键．【变式9-2】（2023春·广东揭阳·九年级校联考阶段练习）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知x2+mx+n=0是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求m2+n2的值．【答案】5【分析】①根据凤凰方程的定义可知：x=1是方程的一个根，以及方程有两个相等的实数根，Δ=0，求出m,n的值，再进行计算即可；②利用凤凰方程的定义、根据系数法的关系求解．【详解】解：法一：根据题意得：1+m+n=0m2−4n=0解得：m=−2n=1，则m2+n2=(−2)2+12=5．法二：∵x2+mx+n=0是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，∴x2+mx+n=0的两个根均为1，∴−m=1+1=2,n=1×1=1，∴m=−2,n=1，∴m2+n2=(−2)2+12=5．【点睛】本题考查一元二次方程的解和一元二次方程判别式与根的个数的关系．理解凤凰方程的定义，得到x=1是方程的一个根，是解题的关键．本题也可以利用根与系数的关系进行解题．【变式9-3】（2023春·辽宁鞍山·九年级校考阶段练习）已知：α、β(α>β)是一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根，设S1=α+β，S2=α2+β2，……S n=αn+βn．根据根的定义，有α2−α−1=0、β2−β−1=0，将两式相加，得(α2+β2)−(α+β)−2=0，于是S2−S1−2=0根据以上信息，解答下列问题．(1)求α、β的值，并利用一元二次方程根与系数关系，求出S2的值．(2)猜想：当n⩾3时，S n、S n−1、S n−2之间满足的数量关系，并证明你的猜想．【答案】(1)3(2)当n⩾3时，S n=S n−1+S n−2，理由见解析【分析】（1）利用根与系数的关系得到α+β=1，αβ=−1，接着根据完全平方公式得到S2=α2+β2= (α+β)2−2αβ，然后利用整体代入的方法计算；（2）由于α+β=1，αβ=−1，则S n=αn+βn=(αn−1+βn−1)(α+β)−αn−1β−αβn−1=(αn−1+βn−1)+(αn−2+βn−2)，从而得到S n=S n−1+S n−2．【详解】（1）解：∵α、β(α>β)是一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根，其中a=1，b=−1，c=−1，根据根与系数的关系得α+β=−b a =1，αβ=c a =−1，∴S 2=α2+β2=(α+β)2−2αβ=12−2×(−1)=3；（2）解：猜想当n⩾3时，S n =S n−1+S n−2．理由如下：∵α+β=1，αβ=−1，∴S n =αn +βn =(αn−1+βn−1)(α+β)−αn−1β−αβn−1=(αn−1+βn−1)(α+β)−αβ(αn−2+βn−2)=(αn−1+βn−1)+(αn−2+βn−2)，∵S n−1=αn−1+βn−1，S n−2=αn−2+βn−2，∴S n =S n−1+S n−2．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系，掌握一元二次方程根与系数关系并进行合理的推理论证是解题的关键．【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】【例10】（2023春·广东广州·九年级广州白云广雅实验学校校考阶段练习）已知关于x 的方程x 2−(k +1)x +14k 2+1=0有两实数根x 1，x 2，(1)若x 1x 2=5，求k 的值．(2)是否存在实数k 满足|x 1|=x 2，若存在请求出k 的值，若不存在请说明理由．【答案】(1)k =4(2)k =32【分析】（1）利用根与系数的关系得到x 1x 2=14k 2+1，再由x 1x 2=5得到14k 2+1=5，解方程求出k =±4，再根据方程有解，利用根的判别式求出k 的范围即可得到答案；（2）由题意可得x 1=±x 2，当x 1=x 2，方程有两个相等的实数根，利用根的判别式求解即可；当x 1=−x 2时，则x 1+x 2=0，利用根与系数的关系求解即可．【详解】（1）解：∵关于x 的方程x 2−(k +1)x +14k 2+1=0有两实数根x 1，x 2，∴x 1x 2=14k 2+1，又∵x 1x 2=5，∴14k 2+1=5，。
中考数学专题 根与系数的关系_答案
专题 根与系数的关系例1. 152s ≥-且3,5s s ≠-≠ 例2. C 提示: 设三根为121,,x x ,则121x x -< 例3. 设223,A βα=+223,B αβ=+ 31004A B += ①A B -= ② 解由① ②联立的 方程组得1(4038A =-例 4. 0,s ≠Q 故第一个等式可变形为211()99()190,s s ++= 又11,,st t s ≠∴Q 是一元二次方程 299190x x ++=的两个不同实根, 则1199,19,t t s s +=-=g 即199,19.st s t s +=-=故41994519st s s st s++-+==- 例5. (1) 当a b =时, 原式=2; 当a b ≠时, 原式=-20, 故原式的值为2或-20(2) 由方程组得232,326(6),x y a z x y z az +=-=-+g 易知3,2x y 是一元二次方程22()6(6)0t a z t z az --+-+=的两个实数根,0∴∆≥, 即2223221440z az a -+-≤,由z 为实数知,22'(22)423(144)0,a a ∆=--⨯⨯-≥解得a ≥故正实数a的最小值为(3) xy 与x y +是方程217660m m -+=的两个实根,解得11,6x y xy +=⎧⎨=⎩或6,()xy 11.x y +=⎧⎨=⎩舍原式=()()222222212499x y x y xy x y +-++=． 例6 解法一：∵ac ＜0，2=40b ac ∆-＞，∴原方程有两个异号实根，不妨设两个根为x 1，x 2，且x 1<0<x 2，由韦达定理得x 1+ x 2=b a -，12cx x a =，由0=，得0b ca a +=，)12120x x x ++=，解得2x =假设2x ，由10x ＜推得3-不成立，故2x 假设21x ≥，1，由10x ＜推得10x ，矛盾．故21x ＜，综上所述21x ＜．解法二：设()2f x ax bx c =++，由条件得)b =，得)3355f a c a c=++=-++=，()1f a b c a a c⎤=++=-⎦．若a＞0，0c＜，则0f＜，()10f＞；若a＜0，0c＞，则0f＞，()10f＜．∴0ac＜时，总有()10f f.＜，故原方程必1之间．A级1．3 2．2 3．-2 m＞2 0＜m≤183提示：12x-＞，22x-＞与124x x+-＞，124x x⋅＞不等价．4．100134016-提示：由条件得2n na b n+=+，22n na b n⋅=-，则()()()2221n na b n n--=-+，则()()211112221na b n n⎛⎫=--⎪--+⎝⎭．5．C 6．C 7．A 8．A 9．提示：（1）()2=2120m∆-+＞（2）2124mx x=-≤0，m=4或m=0．10．（1）43k-＞且0k≠（2）存在k=4 11．由题意得2m n=，224840n m n--+＜．当n=1时，m=2；当n=2时，m=4．12．设方程两根为1x，2x，则1212,.x x mnx x m n+=⎧⎨=+⎩∵m，n，1x，2x均为正整数，设121x x≥≥，1m n≥≥，则()1212x x x x mn m n+-=-+，即有()()()()1211112x x m n--+--=，则()()()()12112,1,0,110,1,2.x xm n⎧--=⎪⎨--=⎪⎩∴123,2,5,2,2,1,5,2,3,1,2,2.xxmn=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩故5,2,3,1;2; 2.m m mn n n===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩B级1．0 提示：由条件得21130x x+-=，22230x x+-=，∴2113x x=-，2223x x=-，∴()3211111111333343x x x x x x x x=-=-+=-+=-，∴原式=()()121212434319431241944x x x x x x---+=--++=++．又∵121x x+=-,∴原式=0．2．853．5 4．638-提示：()2=240a∆-+＞，原式=2963632488a⎛⎫----⎪⎝⎭≤．5．D 6．C 7．B 8．B 9．()231αβαβ+-=，由根与系数关系得()241a b ab+-=，即()21a b-=，a -b =1．又由0∆≥得()2316a b ab +≥，从而()24a b +≤．由a -b =1，()24a b +≤，得满足条件的整数点对（a ，b ）是（1,0）或（0，-1）． 104447αβ+=，662248p αβαβ-==-，()2244227q αβαβαβ-==-．11．a +b =3,c +d =4,ab =1,cd =2,a +b +c +d =7,222219a b c d +++=．(1)原式=()()()()7a a b c d a b c d d a b c d d a b c aa b c d a b c b c d+++-+++++-+++=-++++++…+77777.b c d b c d M c d a d a b a b c +-+-+-=-++++++ （2）原式=()()()()2222a a b c d a b c d d a b c d d a b c b c da b c+++-+++++-+++=++++…+()()22227774968M a b c d M --+++=-．12．（1）m =． （2）原式=()()()22212121221212352312122m x x x x x x m m m x x x x ⎡⎤+-+⎛⎫⎣⎦=-+=-- ⎪-++⎝⎭．∵11m -≤≤,∴当m =-1时，22121211mx mx x x +--的最大值为10． 13．设20x ax b ++=的两根分别为,αβ（其中,αβ为整数且αβ≤），则方程20x cx a ++=的两根分别为1,1αβ++，又∵,(1)(1)a a αβαβ+=-++=，两式相加，得2210αβαβ+++=，即(2)(2)3αβ++=，从而2123αβ+=⎧⎨+=⎩，或2321αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得12αβ=-⎧⎨=⎩，或53αβ=-⎧⎨=-⎩，∴012a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，或8156a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴3a b c ++=-或29．。
专题根与系数的关系含答案
专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.已知关于x的方程mx2-2m-1x+m-2=0．1当m取何值时,方程有两个不相等的实数根；2若x1、x2为方程的两个不等实数根,且满足x12+x22-x1x2=2,求m的值．例2.已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0．1求证：此方程有两个不相等的实数根；2设此方程的两个根分别为x1,x2,其中x1＜x2．若2x1=x2+1,求m的值．例3．已知关于x的方程mx2+4-3mx+2m-8=0m＞0．1求证：方程有两个不相等的实数根；m,且点B m,n在x轴上,求m 2设方程的两个根分别为x1、x2x1＜x2,若n=x2-x1-12的值．.例4.已知关于x的一元二次方程：x2-2m+1x+m2+5=0有两个不相等的实数根．1求m的取值范围；2若原方程的两个实数根为x1、x2,且满足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2,求m的值．例5.已知关于x的方程x2-2k+1x+4k-1=0．21求证：无论k取什么实数值,这个方程总有实数根；2能否找到一个实数k,使方程的两实数根互为相反数若能找到,求出k的值；若不能,请说明理由．3当等腰三角形ABC的边长a=4,另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时,求△ABC的周长．训练1.已知关于x的方程mx2-m+2x+2=0m≠0．1求证：方程总有两个实数根；2已知方程有两个不相等的实数根α,β,满足1α+1α=1,求m的值．2.已知一元二次方程x2-2x+m=01若方程有两个实数根,求m的范围；2若方程的两个实数根为x1和x2,且x1+3x2=3,求m的值．3若方程的两个实数根为x1和x2,且x12-x22=0,求m的值．3.已知关于x的方程x2+m-3x-m2m-3=01证明：无论m为何值方程都有两个实数根；2是否存在正数m,使方程的两个实数根的平方和等于26若存在,求出满足条件的正数m的值；若不存在,请说明理由．4.已知关于x的一元二次方程x2-6x-k2=0k为常数．1求证：方程有两个不相等的实数根；2设x1、x2为方程的两个实数根,且2x1+x2=14,试求出方程的两个实数根和k 的值．5.已知关于x的方程x2-2k-3x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．1求k的取值范围；2若x1、x2满足|x1|+|x2|=2|x1x2|-3,求k的值．m-3=06.已知关于x的一元二次方程x2-m-2x+121求证：无论m取什么实数时,这个方程总有两个不相等的实数根；2如果方程的两个实数根为x1,x2,且2x1+x2=m+1,求m的值．7.已知关于x的一元二次方程a-1x2-5x+4a-2=0的一个根为x=3．1求a的值及方程的另一个根；2如果一个等腰三角形底和腰不相等的三边长都是这个方程的根,求这个三角形的周长．8.设x 1,x 2是关于x 的一元二次方程x 2+2ax +a 2+4a -2=0的两实根,当a 为何值时,x 12+x 22有最小值最小值是多少专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1. 解：1∵方程有两个不相等的实数根, 例2. ∴△=b 2-4ac =-2m -12-4mm -2=4m +1＞0, 例3. 解得：m ＞-14,∵二次项系数≠0,∴m ≠0, 例4. ∴当m ＞-14且m ≠0时,方程有两个不相等的实数根； 例5. 2∵x 1、x 2为方程的两个不等实数根,例6. ∴x 1+x 2=2α−1α,x 1x 2=α−2α, 例7. ∴x 12+x 22-x 1x 2=x 1+x 22-3x 1x 2=2α−1α2-3(α−2)α=2, 例8.解得：m 1=√2+1,m 2=-√2+1舍去；∴m =√2+1．例9. 解：1∵△=-4m 2-44m 2-9=36＞0,例10. ∴此方程有两个不相等的实数根； 例11. 2∵x =4α±√362=2m ±3,例12. ∴x 1=2m -3,x 2=2m +3,例13. ∵2x 1=x 2+1,∴22m -3=2m +3+1,例14.∴m =5．例15. 解：1∵△=4-3m 2-4m 2m -8, 例16. =m 2+8m +16=m +42例17. 又∵m ＞0∴m +42＞0即△＞0 例18. ∴方程有两个不相等的实数根； 例19. 2∵方程的两个根分别为x 1、x 2x 1＜x 2,例20. ∴x 1+x 2=-4−3αα,x 1x 2=2α−8α, 例21. n =x 2-x 1-12m ,且点B m ,n 在x 轴上, 例22. ∴x 2-x 1-12m =√(α1+α2)2−4α2α1-12m =√(4−3αα)2−4×2α−8α-12m =0, 例23. 解得：m =-2,m =4,例24.∵m ＞0,∴m =4．例25. .解：1∵方程x 2-2m +1x +m 2+5=0有两个不相等的实数根, 例26. ∴△=-2m +12-4m 2+5=8m -16＞0,解得：m ＞2． 例27. 2∵原方程的两个实数根为x 1、x 2, 例28. ∴x 1+x 2=2m +1,x 1x 2=m 2+5． 例29. ∵m ＞2,例30. ∴x 1+x 2=2m +1＞0,x 1x 2=m 2+5＞0, 例31. ∴x 1＞0、x 2＞0．例32. ∵x 12+x 22=(α1+α2)2-2x 1x 2=|x 1|+|x 2|+2x 1x 2, 例33. ∴4m +12-2m 2+5=2m +1+2m 2+5,即6m -18=0,例34.解得：m =3．例35. 证明：1∵△=2k +12-16k -12=2k -32≥0, 例36. ∴方程总有实根；例37. 解：2∵两实数根互为相反数, 例38. ∴x 1+x 2=2k +1=0,解得k =； 例39. 3①当b =c 时,则△=0, 例40. 即2k -32=0,∴k =32, 例41. 方程可化为x 2-4x +4=0,∴x 1=x 2=2,而b =c =2,∴b +c =4=a 不适合题意舍去；例42. ②当b =a =4,则42-42k +1+4k -12=0, 例43. ∴k =52, 例44. 方程化为x 2-6x +8=0,解得x 1=4,x 2=2, 例45. ∴c =2, C △ABC =10,例46. 当c =a =4时,同理得b =2,∴C △ABC =10,例47.综上所述,△ABC 的周长为10．训练1.1证明：∵方程mx 2-m +2x +2=0m ≠0是一元二次方程, ∴△=m +22-8m =m 2+4m +4-8m =m 2-4m +4=m -22≥0, ∴方程总有两个实数根；2解：∵方程有两个不相等的实数根α,β,∴由根与系数的关系可得α+β=α+2α,αβ=2α, ∵1α+1α=1,∴α+2α2α=α+22=1,解得m =0,∵m ≠0,∴m 无解．2.解：1∵方程x 2-2x +m =0有两个实数根,∴△=-22-4m ≥0,解得m ≤1；2由两根关系可知,x 1+x 2=2,x 1x 2=m ,解方程组{α1+α2=2α1+3α2=3, 解得{α1=32α2=12,∴m =x 1x 2=32×12=34； 3∵x 12-x 22=0,∴x 1+x 2x 1-x 2=0,∵x 1+x 2=2≠0,∴x 1-x 2=0,∴方程x 2-2x +m =0有两个相等的实数根,∴△=-22-4m =0,解得m =1．3. 1证明：∵关于x 的方程x 2+m -3x -m 2m -3=0的判别式△=m -32+4m 2m -3=9m -12≥0,∴无论m 为何值方程都有两个实数根；2解：设方程的两个实数根为x 1、x 2,则x 1+x 2=-m -3,x 1×x 2=-m 2m -3,令x 12+x 22=26,得：x 1+x 22-2x 1x 2=m -32+2m 2m -3=26,整理,得5m 2-12m -17=0,解这个方程得,m =175或m =-1, 所以存在正数m =175,使得方程的两个实数根的平方和等于26．4. 1证明：在方程x 2-6x -k 2=0中,△=-62-4×1×-k 2=4k 2+36≥36, ∴方程有两个不相等的实数根．2解：∵x 1、x 2为方程的两个实数根,∴x 1+x 2=6①,x 1x 2=-k 2,∵2x 1+x 2=14②,联立①②成方程组{α1+α2=62α1+α2=14, 解之得：{α1=8α2=−2, ∴x 1x 2=-k 2=-16,∴k =±4．5. 解：1∵原方程有两个不相等的实数根,∴△=-2k -32-4k 2+1=4k 2-12k +9-4k 2-4=-12k +5＞0,解得：k ＜512；2∵k ＜512,∴x 1+x 2=2k -3＜0,又∵x 1x 2=k 2+1＞0,∴x 1＜0,x 2＜0,∴|x 1|+|x 2|=-x 1-x 2=-x 1+x 2=-2k +3,∵|x 1|+|x 2|=2|x 1x 2|-3,∴-2k +3=2k 2+2-3,即k 2+k -2=0,∴k 1=1,k 2=-2,又∵k ＜512, ∴k =-2．6. 解：1∵△=m -22-4×12m -3=m -32+3＞0, ∴无论m 取什么实数值,这个方程总有两个不相等的实数根；2解：x1+x2=m-2,2x1+x2=x1+x1+x2=m+1,∴x1=m+1+2-m=3,把x1代入方程有：9-3m-2+12m-3=0解得m=245．7. 解：1将x=3代入方程中,得：9a-1-15+4a-2=0, 解得：a=2,∴原方程为x2-5x+6=x-2x-3=0,解得：x1=2,x2=3．∴a的值为2,方程的另一个根为x=2．2结合1可知等腰三角形的腰可以为2或3,∴C=2+2+3=7或C=3+3+2=8．∴三角形的周长为8或7．8. .解：∵△=2a2-4a2+4a-2≥0,∴α≤12又∵x1+x2=-2a,x1x2=a2+4a-2．∴x12+x22=x1+x22-2x1x2=2a-22-4．设y=2a-22-4,根据二次函数的性质．∵α≤12∴当α=12时,x12+x22的值最小．此时α12+α22=2(12−2)2−4=12,即最小值为12．。
3.中考数学专题一元二次方程根的判别式、根与系数的关系母题题源系列(解析版)
专题01 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系【母题来源一】【2019•河南】一元二次方程（x+1）（x-1）=2x+3的根的情况是A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【答案】A【解析】原方程可化为：x2-2x-4=0，∴a=1，b=-2，c=-4，∴Δ=（-2）2-4×1×（-4）=20>0，∴方程有两个不相等的实数根．故选A．【名师点睛】本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键．【母题来源二】【2019•河北】小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，只抄对了a=1，b=4，解出其中一个根是x=-1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是A．不存在实数根B．有两个不相等的实数根C．有一个根是x=-1 D．有两个相等的实数根【答案】A【解析】∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，只抄对了a=1，b=4，解出其中一个根是x=-1，∴（-1）2-4+c=0，解得：c=3，故原方程中c=5，则b2-4ac=16-4×1×5=-4<0，则原方程的根的情况是不存在实数根．故选A．【名师点睛】此题主要考查了根的判别式，正确得出c的值是解题关键．【母题来源三】【2019•荆州】若一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限，则关于x的方程x2+kx+b=0的根的情况是A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【答案】A【解析】∵一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限，∴k>0，b≤0，∴Δ=k2-4b>0，∴方程有两个不相等的实数根．故选A．【名师点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．【母题来源四】【2019•包头】已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根，则m的值是A．34 B．30C．30或34 D．30或36【答案】A【解析】当a=4时，b<8，∵a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根，∴4+b=12，∴b=8不符合；当b=4时，a<8，∵a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根，∴4+a=12，∴a=8不符合；当a=b时，∵a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根，∴12=2a=2b，∴a=b=6，∴m+2=36，∴m=34，故选A．【名师点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合韦达定理和三角形三边关系进行解题是关键．【母题来源五】【2019•上海】如果关于x的方程x2-x+m=0没有实数根，那么实数m的取值范围是________．【答案】m1 4 >【解析】由题意知Δ=1-4m<0，∴m14 >．故答案为：m14 >．【名师点睛】总结：一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：（1）Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ<0⇔方程没有实数根．【母题来源六】【2019•衡阳】关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m-1）x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根，求此时m的值．【解析】（1）根据题意得Δ=（-3）2-4k≥0，解得k94≤．（2）k的最大整数为2，方程x2-3x+k=0变形为x2-3x+2=0，解得x1=1，x2=2，∵一元二次方程（m-1）x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根，∴当x=1时，m-1+1+m-3=0，解得m32 =；当x=2时，4（m-1）+2+m-3=0，解得m=1，而m-1≠0，∴m的值为32．【母题来源七】【2019•黄石】已知关于x的一元二次方程x2-6x+（4m+1）=0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为x1、x2，且|x1-x2|=4，求m的值．【解析】（1）∵关于x的一元二次方程x2-6x+（4m+1）=0有实数根，∴Δ=（-6）2-4×1×（4m+1）≥0，解得：m≤2．（2）∵方程x2-6x+（4m+1）=0的两个实数根为x1、x2，∴x1+x2=6，x1x2=4m+1，∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=42，即32-16m=16，解得：m=1．【母题来源八】【2019•黄冈】若x1，x2是一元二次方程x2-4x-5=0的两根，则x1·x2的值为A．-5 B．5C．-4 D．4【答案】A【解析】∵x1，x2是一元二次方程x2-4x-5=0的两根，∴x1·x2ca==-5．故选A．【名师点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于ca是解题的关键．【母题来源九】【2019•广东】已知x1，x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根，下列结论错误的是A．x1≠x2B．x12-2x1=0C．x1+x2=2 D．x1·x2=2【答案】D【解析】∵Δ=（-2）2-4×1×0=4>0，∴x1≠x2，选项A不符合题意；∵x1是一元二次方程x2-2x=0的实数根，∴x12-2x1=0，选项B不符合题意；∵x1，x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根，∴x1+x2=2，x1·x2=0，选项C不符合题意，选项D符合题意．故选D．【名师点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．【母题来源十】【2019•淄博】若x 1+x 2=3，x 12+x 22=5，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是 A ．x 2-3x +2=0 B ．x 2+3x -2=0 C ．x 2+3x +2=0 D ．x 2-3x -2=0【答案】A【解析】∵x 12+x 22=5， ∴（x 1+x 2）2-2x 1x 2=5， 而x 1+x 2=3， ∴9-2x 1x 2=5， ∴x 1x 2=2，∴以x 1，x 2为根的一元二次方程为x 2-3x +2=0． 故选A ．【名师点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2b a =-，x 1x 2c a=． 【母题来源十一】【2019•江西】设x 1，x 2是一元二次方程x 2-x -1=0的两根，则x 1+x 2+x 1x 2=__________． 【答案】0【解析】∵x 1、x 2是方程x 2-x -1=0的两根， ∴x 1+x 2=1，x 1×x 2=-1， ∴x 1+x 2+x 1x 2=1-1=0． 故答案为：0．【名师点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2b a =-，x 1·x 2ca=．【母题来源十二】【2019•娄底】已知方程x 2+bx +3=0__________．【解析】设方程的另一个根为c ，c =3，∴c =-【名师点睛】本题考查的是根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系是解答此题的关键． 【母题来源十三】【2019•十堰】已知于x 的元二次方程x 2-6x +2a +5=0有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求a 的取值范围；（2）若x 12+x 22-x 1x 2≤30，且a 为整数，求a 的值．【解析】（1）∵关于x 的一元二次方程x 2-6x +2a +5=0有两个不相等的实数根x 1，x 2， ∴Δ>0，即（-6）2-4（2a +5）>0，解得a <2． （2）由根与系数的关系知：x 1+x 2=6，x 1x 2=2a +5， ∵x 1，x 2满足x 12+x 22-x 1x 2≤30， ∴（x 1+x 2）2-3x 1x 2≤30， ∴36-3（2a +5）≤30， ∴a 32≥-，∵a 为整数， ∴a 的值为-1，0，1．【名师点睛】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，利用根的判别式求得k 的取值范围是解题的关键，注意方程根的定义的运用．【母题来源十四】【2019•鄂州】已知关于x 的方程x 2-2x +2k -1=0有实数根． （1）求k 的取值范围；（2）设方程的两根分别是x 1、x 2，且2112x x x x +=x 1·x 2，试求k 的值． 【解析】（1）∵原方程有实数根， ∴b 2-4ac ≥0∴（-2）2-4（2k -1）≥0， ∴k ≤1．（2）∵x 1，x 2是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得： x 1+x 2=2，x 1·x 2=2k -1， 又∵2112x x x x +=x 1·x 2， ∴22121212x x x x x x +=⋅⋅， ∴（x 1+x 2）2-2x 1x 2=（x 1·x 2）2， ∴22-2（2k -1）=（2k -1）2，解之，得：1222k k ==-．经检验，都符合原分式方程的根，∵k ≤1，∴k =． 【名师点睛】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出k 的取值范围，此题难度不大．【命题意图】这类试题主要考查一元二次方程根的判别式，常与一次函数、等腰三角形等知识结合考查．一元二次方程根与系数的关系． 【方法总结】1．一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）当240b ac ->时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根； （2）当240b ac -=时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有1个（两个相等的）实数根； （3）当240b ac -<时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠没有实数根．2．（1）应用根的判别式时必须先将一元二次方程化成一般形式，然后确定a ，b ，c 的值；（2）此判别式只适用于一元二次方程，当无法判断方程是不是一元二次方程时，应对方程进行分类讨论；（3）当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根，不能说成方程有一个实数根． 3．一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况： （1）不解方程，判定根的情况；（2）根据方程根的情况，确定方程系数中字母的取值范围； （3）应用判别式证明方程根的情况． 4．根与系数关系对于一元二次方程20ax bx c ++=（其中a b c ，，为常数，0a ≠），设其两根分别为1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．5．一元二次方程根与系数的关系的应用（1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值； （2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值； （3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值； （4）与根的判别式相结合，解决一些综合题. 6．与一元二次方程两根有关的几个代数式的变形（1）()()22222121122*********x x x x x x x x x x x x +=++-=+-；（2）12121211x x x x x x ++=； （3）12x x -==（4）()222121221211212122x x x x x x x x x x x x x x +-++==； （5）()()221212124x x x x x x -=+-；（6）()()()2121212x k x k x x k x x k ++=+++．1．【天津市滨海新区2019届中考一模数学试题】下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是 A ．28170x x +=- B ．26100x x -=-C ．290x +=-D ．2440x x +=-【答案】B【解析】A ．Δ=（-8）2-4×1×17=-4<0，故方程没有实数根，该选项不符合题意， B ．Δ=（-6）2-4×1×（-10）=76>0，故方程有两个不相等的实数根，该选项符合题意， C ．Δ=（-2-4×1×9=-4<0，故方程没有实数根，该选项不符合题意， D ．Δ=（-4）2-4×1×4=0，故方程有两个相等的实数根，该选项不符合题意， 故选B ．【名师点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；Δ=0时，方程有两个相等的实数根；Δ<0时，方程没有实数根．2．【2019年河南省第二届名校联盟中考数学模拟试卷（5月份）】若关于x 的一元二次方程mx 2-2x +1=0有两个实数根，则实数m的取值范围是A．m≤1B．m≤-1C．m≤1且m≠0D．m≥1且m≠0【答案】C【解析】根据题意得m≠0且Δ=（-2）2-4m≥0，解得m≤1且m≠0．故选C．【名师点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ<0时，方程无实数根．3．【山东省诸城市部分学校2019届中考模拟（6月）数学试题】已知a、b、c为正数，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，则关于x的方程a2x2+b2x+c2=0解的情况为A．有两个不相等的正根B．有一个正根，一个负根C．有两个不相等的负根D．不一定有实数根【答案】C【解析】∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，∴Δ=b2-4ac≥0．又∵a、b、c为正数，∴b2-4ac+2ac=b2-2ac>0，b2+2ac>0．∵方程a2x2+b2x+c2=0的根的判别式Δ=b4-4a2c2=（b2+2ac）（b2-2ac）>0，∴该方程有两个不相等的实数根．设关于x的方程a2x2+b2x+c2=0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2=22ba<0，x1x2=22ca>0，∴关于x的方程a2x2+b2x+c2=0有两个不相等的负根．故选C．【名师点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根的判别式及根与系数的关系，找出关于x的方程a2x2+b2x+c2=0有两个不相等的负根是解题的关键．4．【2019年四川省内江市中考数学模拟试卷（三）】关于x的方程ax2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1-x1x2+x2=1-a，则a的值是A．1 B．-1C．1或-1 D．2【答案】B【解析】依题意Δ>0，即（3a+1）2-8a（a+1）>0，即a2-2a+1>0，（a-1）2>0，a≠1，∵关于x的方程ax2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1-x1x2+x2=1-a，∴x1-x1x2+x2=1-a，∴x1+x2-x1x2=1-a，∴3122a aa a++-=1-a，解得：a=±1，又a≠1，∴a=-1．故选B．【名师点睛】此题考查了根的判别式，根与系数的关系，以及一元二次方程的定义，一元二次方程中根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0时，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0时，方程没有实数根．5．【2019年山东省潍坊市中考数学一模试卷】已知关于x的方程x2+（k2-4）x+k-1=0的两实数根互为相反数，则k=__________．【答案】-2【解析】设方程的两根分别为x1，x2，∵x2+（k2-4）x+k-1=0的两实数根互为相反数，∴x1+x2，=-（k2-4）=0，解得k=±2，当k=2，方程变为：x2+1=0，Δ=-4<0，方程没有实数根，所以k=2舍去；当k=-2，方程变为：x2-3=0，Δ=12>0，方程有两个不相等的实数根；∴k=-2．故答案为：-2．【名师点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=-ba；x1·x2=ca．也考查了一元二次方程的根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．6．【2019年江西省南昌市十校联考中考数学模拟试卷（5月份）】已知α、β是一元二次方程x2-2019x+1=0的两实根，则代数式（α-2019）（β-2019）=__________．【答案】1【解析】∵α、β是一元二次方程x2-2019x+1=0的两实根，∴α+β=2019，αβ=1，∴（α-2019）（β-2019）=αβ-2019（α+β）+22019=1．故答案为：1．【名师点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练运用一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．7．【河南省2019年中考数学模试题（一）】已知关于x的一元二次方程ax2-（a+2）x+2=0有两个不相等的正整数根时，整数a的值是__________．【答案】1【解析】∵方程ax2-（a+2）x+2=0是关于x的一元二次方程，∴a≠0．∵Δ=（a+2）2-4a×2=（a-2）2≥0，∴当a=2时，方程有两个相等的实数根，当a≠2且a≠0时，方程有两个不相等的实数根．∵方程有两个不相等的正整数根，∴a≠2且a≠0．设方程的两个根分别为x1、x2，∴x1·x2=2a，∵x1、x2均为正整数，∴2a为正整数，∵a为整数，a≠2且a≠0，∴a=1，故答案为：1．【名师点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：①找出Δ=（a-2）2≥0；②找出x1·x2=2a为正整数．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，由方程的两根均为整数确定a的值是难点．8．【2019年江苏省盐城市建湖县中考数学二模试卷】已知关于x方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x1=2x2，求m的值．【解析】（1）∵关于x方程x2-6x+m+4=0有两个实数根，∴Δ=（-6）2-4×1×（m+4）≥0，解得：m≤5．（2）∵关于x方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1，x2，∴x1+x2=6，x1x2=m+4．又∵x1=2x2，∴x2=2，x1=4，∴4×2=m+4，∴m=4．【名师点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x1=2x2，求出x1，x2的值．9．【2019年江苏省泰州市兴化市中考数学二模试卷】已知关于x的一元二次方程x2-（m+2）x+2m=0．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）若直角△ABC的两直角边AB、AC的长是该方程的两个实数根，斜边BC的长为3，求m的值．【解析】（1）∵Δ=[-（m+2）]2-4×2m=（m-2）2≥0，∴不论m为何值，该方程总有两个实数根．（2）∵AB、AC的长是该方程的两个实数根，∴AB+AC=m+2，AB·AC=2m，∵ΔABC是直角三角形，∴AB2+AC2=BC2，∴（AB+AC）2-2AB·AC=BC2，即（m+2）2-2×2m=32，解得：m∴m的值是又∵AB•AC=2m，m为正数，∴m【名师点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．10．【湖北省黄石市河口中学2019届九年级中考模拟考试三数学试题】已知x1、x2是一元二次方程（a-6）x 2+2ax +a =0的两个实数根．（1）求实数a 的取值范围；（2）若x 1、x 2满足x 1x 2-x 1=4+x 2，求实数a 的值．【解析】（1）∵一元二次方程（a -6）x 2+2ax +a =0有两个实数根，∴（2a ）2-4（a -6）×a ≥0，a -6≠0， 解得，a ≥0且a ≠6．（2）∵x 1、x 2是一元二次方程（a -6）x 2+2ax +a =0的两个实数根，∴x 1+x 2=26a a -，x 1·x 2=x 1·x 2=6a a -， ∵x 1x 2-x 1=4+x 2， ∴x 1x 2=4+x 2+x 1，即6a a -=4+26a a -， 解得，a =24．【名师点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=b a ，x 1x 2=c a，反过来也成立． 11．【北京市石景山区2019届九年级统一练习暨毕业考试数学试题】关于x 的一元二次方程2(3)x m x-+20m ++=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是正整数，求m 的最小值．【解析】（1）依题意，得()()224[3]42b ac m m ∆=-=-+-+ 26948m m m =++--()21m =+．∵2(1)0m +≥，∴0∆≥．∴方程总有两个实数根．（2）由2320x m x m -+++=（）．可化为：[](1)(2)0x x m --+=， 得1212x x m ==+，，∵方程的两个实数根都是正整数，m+≥．∴21m≥-．∴1-．∴m的最小值为1【名师点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方程，熟知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数根或只有一个实数根，判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键．。
《根与系数关系(韦达定理)》专题
《根与系数关系（韦达定理）》专题班级 姓名忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。
请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根x 1，x 2与a 、b 、c 之间的关系：____________． 我们尝试证明一下若方程20ax bx c ++=(a ≠0)的两根为1x ，2x 则1x = ，2x = 。
则12x x += 12.x x =归纳一元二次方程的根与系数之间存在下列关系①20ax bx c ++= (0a ≠)的两个根为1x , 2x , 则12x x +=______ , 12x x ⋅=______ .② 方程20x px q ++=的两根为1x , 2x , 则12x x +=______ , 12x x ⋅=_______. 注意事项:使用一元二次方程根与系数的关系时要注意两个问题:①必须为一元二次方程(0a ≠); ②一定在有根的条件下(△≥0).不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： （1）2310x x ++=；（2）23210x x --=（3）2230x -+=； （4）2250x x +=【类型一】已知方程一根,求另一根及未知系数的值.例1 已知方程ax 2-7x -6=0(a ≠0)一根为2,求方程的另一根及a 的值.1.已知方程2230x x m --=的一个根是12，求它的另一个根和m 的值.2.若一元二次方程22(1)230m x m m -++-=的一根为零，求m 的值.【类型二】已知方程两根的关系,求未知系数的值例2若方程2380x x m -+=的两根之比为3:2,求m 的值.1. 已知方程x 2-2(m +1)x +m 2-2=0,m =___ _时,方程两根互为相反数; m = 时,方程两根互为负倒数.2. 若方程20x px q ++=的一个根是另一个根的2倍,则p 、q 之间的关系是【类型三】不解方程 求与根有关的代数式的值 例3 设1x 、2x 是一元二次方程22510x x -+=的两个根，利用根与系数关系求下列各式的值： （1）12(3)(3)x x --； （2）2212(1)(1)x x +++；（3）211211x xx x +++； （4）12x x -.【类型四】根据题意，求方程中某些待定字母系数的值 例4 已知关于x 的方程22(21)10k x k x +-+=有两个不相等的实数根1x 、2x ． ⑴求k 的取值范围；⑵k 为何值时，1x 与2x 互为倒数.1.已知方程22(21)20x k x k +++-=的两实根的平方和等于11，k 的取值是（ ） A ．－3或1 B ．－3 C ．1 D ．32.当m = 时，方程250x x m ++=的两根之差是7.例5已知关于x 的方程2320x mx +-=的两根的平方和为139，求m 的值.例6已知关于x 的一元二次方程2(21)10x k x k +---= （1）试判断此一元二次方程根的存在情况；（2）若方程有两个实数根21x x 和，且满足11121=+x x ，求k 的值．。
一元二次方程根与系数关系(知识讲解)九年级数学上册基础知识讲与练
专题2.14 一元二次方程根与系数关系（知识讲解）【学习目标】掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用. 【要点梳理】一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2. 一元二次方程的根与系数的关系的应用⎧⎪⎪⎪→→⎨⎪⎪⎪⎩知识框图：1、求代数式的值2、求待定系数一元二次方程求根公式根与系数关系应用3、构造方程4、解特殊的二元二次方程组5、二次三项式的因式分解【典型例题】类型一、由根与系数关系直接求值1．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：（1）2211+x x （2）1211+x x 【答案】（1）11；（2） －3． 【分析】由一元二次方程的根与系数的关系可得12123,1x x x x +=⋅=-；（1）将所求式子变形为(x 1＋x 2)2－2x 1x 2 ，然后整体代入上面两个式子计算即可； （2）将所求式子变形为1212x x x x +⋅，然后整体代入上面两个式子计算即可．解：∵x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，∵12123,1x x x x +=⋅=-，（1）2211+x x ＝ (x 1＋x 2)2－2x 1x 2 ＝32－2×(－1)＝11；)0(02≠=++a c bx ax 21x x ，a b x x -=+21ac x x =21（2）12121211331x x x x x x ++===-⋅-． 【点拨】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于基本题目，熟练掌握一元二次方程的两根之和与两根之积与系数的关系是解题关键．举一反三：【变式1】利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： （1）2760x x ++=； （2）22320x x --=．【答案】（1）12127,6x x x x +=-=；（2）12123,12x x x x +==-【分析】直接运用一元二次方程根与系数的关系求解即可． 解：（1）这里1,7,6a b c ===．22Δ474164924250b ac =-=-⨯⨯=-=>，∵方程有两个实数根． 设方程的两个实数根是12,x x ， 那么12127,6x x x x +=-=． （2）这里2,3,2a b c ==-=-．22Δ4(3)42(2)916250b ac =-=--⨯⨯-=+=>，∵方程有两个实数根．设方程的两个实数根是12,x x ，那么12123,12x x x x +==-．【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知1212,b cx x x x a a+=-=是解题的关键．【变式2】 甲、乙两人同解一个二次项系数为1的一元二次方程，甲抄错了常数项，解得两根分别为3和2，乙抄错了一次项系数，解得两根分别为－5和－1，求原来的方程.【答案】2550x x -+= 【分析】解法一：利用甲乙解出的根，可以得出两个一元二次方程，取甲方程的一次项系数，取乙方程的常数项，即可重新组合出原来正确的方程．解法二：利用根与系数的关系，取甲方程的一次项系数，取乙方程的常数项，即可重新组合出原来正确的方程．解：解法一：设原一元二次方程为2+a b 0+=x x ，代入甲解出的两根3、2得9+3a+b=04+2a+b=0⎧⎨⎩，解得a=5b=6-⎧⎨⎩，因为甲抄错常数项，所以取a=5-同理，代入乙解出的两根－5和－1，可得a=6b=5⎧⎨⎩，而乙抄错了常数项，所以取b=5，综上可得原方程为2550x x -+=解法二：甲抄错常数项，解得两个为3和2，两根之和正确；乙抄错了一次项系数，解得两根为－5和－1，则两根之积正确．设原方程的两根分别为1x 、2x ，可得12+=5x x ，12=5x x ，所以原方程就是2550x x -+=．【点拨】在没有学习根与系数关系之前，可用方程的解的性质，代入两根求出方程系数，学习之后可直接利用根与系数关系得出方程系数，更为简单．类型二、由根与系数关系求参数的值2．关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m --+=的两根为,a b ，且4a b ab +=-，求m 的值．嘉佳的解题过程如下： 解：221,a b m ab m +=-=，2214m m ∴-=-， 整理，得2230m m --=， 解得121,3m m =-=．嘉佳的解题过程漏了考虑哪个条件？请写出正确的解题过程． 【答案】m 的值为1-． 【分析】根据一元二次方程根的判别式结合根与系数的关系解答．解：嘉佳的解题过程漏了考虑0∆这一条件．正确的解题过程如下：根据题意得22(21)40m m ∆=--，解得14m． 221,a b m ab m +=-=，2214m m ∴-=-，整理得2230m m --=，解得121,3m m =-=（舍去）， m ∴的值为1-．【点拨】本题中忽略0∆这一条件导致错解针对这一类题，我们一定要看清题目中所给的条件，考虑一元二次方程有解的条件是“0∆”，才能得出正确结果．举一反三：【变式1】已知1x 、2x 是方程2220x kx k k -+-=的两个实根，是否存在常数k ，使122132x x x x +=成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】不存在．理由见分析【分析】根据根与系数关系列出关于k 的方程，根据方程有实数根列出关于k 的不等式，求解即可．解：不存在．∵1x 、2x 是方程2220x kx k k -+-=的两个实根， ∵240b ac -≥，即22(2)4()0k k k ---≥， 解得，0k ≥；由题意可知122x x k +=，212x x k k =-，∵12121212122221122()232x x x x x x x x x x x x x x +=+-=+=， ∵222(2)32)2(k k k k k --=-，解得120,7k k ==-，经检验，27k =-是原方程的解，∵0k ≥，∵不存在常数k ，使122132x x x x +=成立． 【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数关系和解方程，解题关键是根据根与系数关系列出方程并求解，注意：根的判别式要大于或等于0．【变式2】 已知方程2 420x x m +-=的一个根比另一个根小4，求这两个根和m 的值．【答案】10x =，24x =-，0m =【分析】设两根为x 1和x 2，根据根与系数的关系得x 1+x 2，x 1·x 2，由|x 2-x 1|=4两边平方，得(x 1+x 2)2-4x 1·x 2=16，代入解得m ，此时方程为x 2+4x=0，解出两根 .解：x 2+4x -2m=0设两根为x 1和x 2，则∵=16+8m>0， 且x 1+x 2=-4，x 1·x 2=-2m 由于|x 2-x 1|=4两边平方得x 12-2x 1·x 2+x 22=16 即(x 1+x 2)2-4x 1·x 2=16 所以16+8m=16 解得：m=0此时方程为x 2+4x=0， 解得 x 1=0 ， x 2=−4 .【点拨】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是灵活利用一元二次方程根与系数的关系，以及完全平方公式进行变形，求出两根．类型三、根的判断别与根与系数关系综合3、已知一元二次方程220x x m -+=． （1）若方程有两个实数根，求m 的范围；（2）若方程的两个实数根为12x x 、，且1233x x +=，求m 的值． 【答案】（1）1m ≤；（2)34m = 【分析】（1）一元二次方程220x x m -+=有两个实数根，∵≥0，把系数代入可求m 的范围； （2）利用根与系数的关系，已知122x x +=结合1233x x +=，先求12x x 、，再求m ． 解：（1）∵方程220x x m -+=有两个实数根，∵()22424440b ac m m =-=--=-≥， 解得1m ≤；（2）由根与系数的关系可知，122x x +=，12x x m =，解方程组1212233x x x x +=⎧⎨+=⎩，解得123212x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∵12313224m x x ==⨯=．【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握根的判别式、根与系数的关系是解题的关键．【变式1】已知关于x 的一元二次方程2(8)80x k x k -++=． （1）证明：无论k 取任何实数，方程总有实数根．（2）若221268x x +=，求k 的值．（3）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．【答案】（1）证明见分析；（2）2k =±；（3）这个等腰三角形的周长为21或18． 【分析】（1）根据根的判别式即可得到结论；（2）先计算∵＝（8＋k ）2−4×8k ，整理得到∵＝（k−8）2，根据非负数的性质得到∵≥0，然后根据∵的意义即可得到结论；（3）先解出原方程的解为x 1＝k ，x 2＝8，然后分类讨论：腰长为8时，则k ＝8；当底边为8时，则得到k ＝5，然后分别计算三角形的周长．解：（1）22(8)48(8)k k k ∆=+-⨯=-．2(8)0k -，0∴∆，∴无论k 取任何实数，方程总有实数根；（2）221212128,8,68x x k x x k x x +=+=+=，()2221212122x x x x x x +=++，2(8)6816k k ∴+=+，解得2k =±；（3）解方程2(8)80x k x k -++=得12,8x k x ==．∵当腰长为8时，8k ． 85138+=>，能构成三角形，∴周长为88521++=．∵当底边长为8时，5k =．55108+=>∴能构成三角形，周长为55818++=．综上，这个等腰三角形的周长为21或18．【点拨】本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝−b a ，x 1•x 2＝ca．也考查了一元二次方程的判别式和等腰三角形的性质，掌握这些知识点是解题关键．【变式2】 已知关于x 的一元二次方程()22121202x k x k -++-=．（1）求证：无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根1x ，2x 满足123x x -=，求k 的值． 【答案】（1）见分析 （2）0，-2 【分析】（1）根据根的判别式即可求证出答案；（2）可以根据一元二次方程根与系数的关系得k 与的1x 、2x 的关系式，进一步可以求出答案.解：(1)证明：∵()222121422492k k k k ⎛⎫∆=+-⨯-=++ ⎪⎝⎭()2217k =++，∵无论k 为何实数，()2210k +≥， ∵()22170k +∆=+>，∵无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)由一元二次方程根与系数的关系得： 1221x x k +=+，212122x x k =-， ∵123x x -=， ∵()2129x x -=， ∵()2121249x x x x +-=，∵()221214292k k ⎛⎫+-⨯-= ⎪⎝⎭，化简得：220k k +=，解得0k =，2-．【点拨】本题主要考查根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握概念和运算技巧即可解题.类型四、根与系数关系拓展应用14、已知m ，n 是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，是否存在实数a 使﹣（m +n ）（7m 2﹣14m +a ）（3n 2﹣6n ﹣7）的值等于8？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．【答案】存在，a ＝-6 【分析】根据方程的解的定义得出m 2-2m =1，n 2-2n =1，m +n =2，再整体代入即可得出a 的值． 解：存在，理由如下：∵m ，n 是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根， ∵m 2﹣2m ＝1，n 2﹣2n ＝1，m +n ＝2， ∵﹣（m +n ）（7m 2﹣14m +a ）（3n 2﹣6n ﹣7） ＝﹣（m +n ）[7（m 2﹣2m ）+a ][3（n 2﹣2n ）﹣7] ＝﹣2×（7+a ）（3﹣7） ＝8（7+a ），由8（7+a ）＝8得a ＝﹣6，∵存在实数a ＝﹣6，使﹣（m +n ）（7m 2﹣14m +a ）（3n 2﹣6n ﹣7）的值等于8． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系，解题的关键是得出m 2-2m =1，n 2-2n =1，m +n =2，注意解题中的整体代入思想．【变式1】阅读材料：已知方程p 2﹣p ﹣1＝0，1﹣q ﹣q 2＝0且pq ≠1，求1pq q+的值． 解：由p 2﹣p ﹣1＝0，及1﹣q ﹣q 2＝0可知p ≠0， 又∵pq ≠1，∵p ≠1q．∵1﹣q ﹣q 2＝0可变形为211()-q q ﹣1＝0，根据p 2﹣p ﹣1＝0和211()-q q﹣1＝0的特征，∵p 、1q 是方程x 2﹣x ﹣1＝0的两个不相等的实数根，则p +1q，即11pq q +=． 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答． 已知：2m 2﹣5m ﹣1＝0，21520n n+-=，且m ≠n ，求： （1）mn 的值； （2）2211m n +． 【答案】(1)12-；29．【分析】（1）由题意可知：可以将方程22510m m --=化简为21520m m+-=的形式，根据根与系数的关系直接得：11m n的值； （2）将2211m n +变形为2112m n mn ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭求解．解：由22m 5m 10--=知m≠0，∵21520m m+-=， ∵21520n n+-=，m ≠n ， ∵11m n≠， ∵1m 和1n是方程2520x x +-=的两个根， （1）由1m 和1n 是方程2520x x +-=的两个根得112m n⋅=-， ∵12mn =-；经检验：12mn =-是原方程的根，且符合题意．（2）由1m和1n是方程2520x x+-=的两个根得115m n+=-，112m n⋅=-，∵2221111225429 m n m n mn⎛⎫+=+-=+=⎪⎝⎭．【点拨】本题考查一元二次方程根与系数关系，代数式的值，乘法公式，掌握一元二次方程根与系数关系与乘法公式恒等变形是解题关键．【变式2】定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2（x1＜x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点．（1）若方程为x2﹣2x＝0，写出该方程的衍生点M的坐标．（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0（m＜0）的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．（3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝kx﹣2（k﹣2）的图象上，若有请直接写出b，c的值，若没有说明理由．【答案】（1）衍生点为M（0，2）；（2）12-；（3）存在，b＝﹣6，c＝8；【分析】（1）求出方程的两根，根据一元二次方程的衍生点即可解决问题；（2）求出方程的两根，根据一元二次方程的衍生点的定义，再利用正方形的性质构建方程即可解决问题；（3）求出定点，利用根与系数的关系解决问题即可；解：（1）∵x2﹣2x＝0，∵x（x﹣2）＝0，解得：x1＝0，x2＝2故方程x2﹣2x＝0的衍生点为M（0，2）．（2）x2﹣（2m+1）x+2m＝0（m＜0）∵m＜0∵2m＜0解得：x1＝2m，x2＝1，方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0（m＜0）的衍生点为M（2m，1）．点M在第二象限内且纵坐标为1，由于过点M向两坐标轴做垂线，两条垂线与x 轴y轴恰好围城一个正方形，所以2m ＝﹣1，解得12m =-．（3）存在．直线y ＝kx ﹣2（k ﹣2）＝k （x ﹣2）+4，过定点M （2，4）， ∵x 2+bx+c ＝0两个根为x 1＝2，x 2＝4， ∵2+4＝﹣b ，2×4＝c ， ∵b ＝﹣6，c ＝8．【点拨】本题考查一元二次方程的解法及根与系数的关系、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．类型五、根与系数关系拓展应用25、如图，在平面直角坐标系中，∵ABC 的BC 边与x 轴重合，顶点A 在y 轴的正半轴上，线段OB ，OC （OB OC <）的长是关于x 的方程2760x x -+=的两个根，且满足CO ＝2AO ．(1)求直线AC 的解析式；(2)若P 为直线AC 上一个动点，过点P 作PD ∵x 轴，垂足为D ，PD 与直线AB 交于点Q ，设∵CPQ 的面积为S （0S ≠），点P 的横坐标为a ，求S 与a 的函数关系式；(3)点M 的坐标为()m,2，当∵MAB 为直角三角形时，直接写出m 的值．【答案】(1)132y x =+； (2)22721,6042721,6042a a a a S a a a ⎧+-⎪⎪=⎨⎪---<<⎪⎩或；(3)m 的值为－3或－1或2或7；【分析】（1）根据一元二次方程的解求出OB 和OC 的长度，然后得到点B ，点C 坐标和OA 的长度，进而得到点A 坐标，最后使用待定系数法即可求出直线AC 的解析式；（2）根据点A ，点B 坐标使用待定系数法求出直线AB 的解析式，根据直线AB 解析式和直线AC 解析式求出点P ，Q ，D 坐标，进而求出PQ 和CD 的长度，然后根据三角形面积公式求出S ，最后对a 的值进行分类讨论即可；（3）根据∵MAB 的直角顶点进行分类讨论，然后根据勾股定理求解即可．(1)解：解方程2760x x -+=得16x =，21x =，∵线段OB ，OC （OB OC <）的长是关于x 的方程2760x x -+=的两个根，∵OB ＝1，OC ＝6，∵()10B ,，()6,0C -， ∵CO ＝2AO ，∵OA ＝3，∵()0,3A ，设直线AC 的解析式为()0y kx b k =+≠，把点()0,3A ，()6,0C -代入得603k b b -+=⎧⎨=⎩， 解得123k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∵直线AC 的解析式为132y x =+； (2)解：设直线AB 的解析式为y =px +q ，把()0,3A ，()10B ,代入直线AB 解析式得30q p q=⎧⎨=+⎩， 解得33p q =-⎧⎨=⎩， ∵直线AB 的解析式为33y x =-+，∵PD ∵x 轴，垂足为D ，PD 与直线AB 交于点Q ，点P 的横坐标为a ， ∵1,32P a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，(),33Q a a -+，(),0D a ， ∵()1733322PQ a a a ⎛⎫=-+-+= ⎪⎝⎭，6CD a =+， ∵1176222S PQ CD a a =⋅=⨯⋅+，当点P 与点A 或点C 重合时，即当a =0或6a =-时，此时S =0，不符合题意，当6a <-时，()21772162242S a a a a ⎛⎫⎡⎤=⨯--+=+ ⎪⎣⎦⎝⎭， 当60a -<<时，()21772162242S a a a a ⎛⎫=⨯-+=-- ⎪⎝⎭， 当0a >时，()21772162242S a a a a =⨯+=+， ∵22721,6042721,6042a a a a S a a a ⎧+-⎪⎪=⎨⎪---<<⎪⎩或； (3)解：∵()0,3A ，()10B ,，(),2M m ， ∵AB ==AM ==，BM =当∵MAB =90°时，222AM AB BM +=，∵222+=， 解得3m =-，当∵ABM =90°时，222AB BM AM+=，∵222+=， 解得m =7， 当∵AMB =90°时，222AM BM AB +=，∵222+=， 解得11m =-，22m =，∵m 的值为－3或－1或2或7．【点拨】本题考查解一元二次方程、待定系数法求一次函数解析式、三角形面积公式、勾股定理，正确应用分类讨论思想是解题关键．【变式1】PAC △在平面直角坐标系中的位置如图所示，AP 与y 轴交于点(0,2)B ，点P 的坐标为(1,3)-，线段OA ，OC 的长分别是方程29140x x -+=的两根，OC OA >．(1)求线段AC 的长；(2)动点D 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴负半轴向终点C 运动，过点D 作直线l 与x 轴垂直，设点D 运动的时间为t 秒，直线l 扫过四边形OBPC 的面积为S ，求S 与t 的关系式；(3)M 为直线l 上一点，在平面内是否存在点N ，使以A ，P ，M ，N 为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)9 (2)()()221201217317424t t t S t t t ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩ (3)存在满足条件的N 点，其坐标为（2，3）或（-4，0）或（-1，-3）．【分析】（1）解方程可求得OA 、OC 的长，则可求得A 、C 的坐标，从而可得AC 长；（2）分两种情况：∵当0＜t ≤1时；∵当1＜t ≤7时，利用梯形的面积公式即可求解； （3）分两种情况：∵AP 为正方形的对角线时，∵AP 为正方形的边时，根据正方形以及等腰直角三角形的性质，可求得N 点坐标．(1)解：解方程x 2﹣9x +14＝0可得x ＝2或x ＝7，∵线段OA ，OC 的长分别是方程x 2﹣9x +14＝0的两根，且OC ＞OA ，∵OA ＝2，OC ＝7，∵A （2，0），C （﹣7，0），279.AC(2) 解：过点P 作PH ∵OC 于H ，而()1,3P - ，1OH ∴=，3PH = ，6CH =设直线AB 解析式为y ＝kx +b ，而点B （0，2），∵32k b b -+=⎧⎨=⎩， 解得12k b =-⎧⎨=⎩， ∵直线AB 解析式为y ＝﹣x +2，∵如图1所示，当0＜t ≤1时，点E （﹣t ，t +2），∵S ＝S 梯形OBED ＝21122222t t t t （0＜t ≤1）； ∵如图2所示，当1＜t ≤7时，设直线CP 解析式为y ＝mx +n ，∵C （﹣7，0），点P 的坐标为（﹣1，3），∵703m n m n -+=⎧⎨-+=⎩ ，解得1272m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∵直线CP 解析式为1722y x =+， 设17,22E t t ， ∵DE ＝1722t ， ∵S ＝S 梯形OBPH +S 梯形HPED ＝11172+31+132222t t 217317424t t t ；综上，()()221201217317424t t t S t t t ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩；图1 图2(3) 分两种情况：∵AP 为正方形的对角线时，如图3所示，∵A （2，0），B （0，2），∵∵OAB ＝45°，∵四边形AMPN 是正方形，∵∵P AN ＝45°，∵NAM ＝90°，∵∵OAB +∵P AN ＝90°，∵点M 在x 轴上，NA ∵x 轴，NP x ∥轴，∵N （2，3）；∵AP 为正方形的边时，如图4所示，∵∵OAB ＝45°，四边形AMNP 是正方形，∵∵NAM ＝∵OAB ＝45°，AP ＝AM ，∵HN ＝PH ＝3，∵N （-4，0）；如图5所示，四边形ANMP 是正方形，∵PH ＝NH ＝3，∵()1,3N --；∵N （-4，0）或（-1，-3），综上可知，存在满足条件的N 点，其坐标为（2，3）或（-4，0）或（-1，-3）．图3 图4 图5【点拨】本题为四边形的综合题，考查了一元二次方程、勾股定理、待定系数法、正方形的性质、等腰直角三角形的性质等知识．在（1）中求得OA 、OC 的长是解题的关键，在（2）中分类讨论是解题的关键，在（3）中分类思想的运用是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．【变式2】 菱形ABCD 的边长为5，两条对角线AC 、BD 相交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的两根，求m 的值．【答案】3m =-．【分析】由题意可知：菱形ABCD 的边长是5，则AO 2+BO 2=25，则再根据根与系数的关系可得：AO +BO =−(2m −1)，AO ∙BO =m 2+3；代入AO 2+BO 2中，得到关于m 的方程后，即可求得m 的值．解：∵AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的两根，设方程的两根为1x 和2x ，可令1OA x =，2OB x =，∵四边形ABCD 是菱形，∵AC BD ⊥，在Rt AOB 中：由勾股定理得：222OA OB AB +=，∵222125+=x x ，则()21212225x x x x +-=，由根与系数的关系得：12(21)x x m +=--，2123x x m ⋅=+，∵[]()22(21)2325m m ---+=， 整理得：22150m m --=，解得：15m =，23m =-又∵0∆>，∵()22(21)430--+>m m ，解得114m <-， ∵3m =-．【点拨】此题主要考查了菱形的性质、勾股定理、以及根与系数的关系，将菱形的性质与一元二次方程根与系数的关系，以及代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．。
专题一、根与系数的关系
专题一、根与系数的关系知识提炼：21、一元二次方程 $ax+bx+c=(a\neq0)$ 的根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，用来判断一元二次方程的实根个数。
当$\Delta>0$ 时，方程有两个实数根；当 $\Delta=0$ 时，方程有一个实数根；当 $\Delta<0$ 时，方程无实数根。
2、一元二次方程的求根公式为 $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
一元二次方程的根有以下基本结论：（1）若有无理根，则必成对出现；（2）若 $a+b+c=0$，则有一个根为1；（3）若 $a-b+c=0$，则有一个根为-1.3、一元二次方程的根与系数的关系（通常也称韦达定理）：设一元二次方程 $ax+bx+c=(a\neq0)$ 的两个根为$x_1$ 和 $x_2$，那么：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1\cdotx_2=\frac{c}{a}$。
经典考题赏析：例1（天津中考）关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-mx+(m-2)=0$ 的根的情况是（）A、有两个不相等的实数根；B、有两个相等的实数根；C、没有实数根；D、无法确定。
例2（山东中考）若关于 $x$ 的一元二次方程 $(m-1)x^2+5x+m^2-3m+2=0$ 的常数项为0，则$m$ 的值为（）A、1；B、2；C、1或2；D、无法确定。
例3（河南中考）已知 $x_1,x_2$ 是方程 $2x^2-2x+1-3m=0$ 的两个实数根，且 $x_1\cdot x_2+2(x_1+x_2)>0$，那么实数 $m$ 的取值范围是？例4（全国联赛）已知 $t$ 是实数，若 $a,b$ 是关于一元二次方程 $x^2-2x+t-1=0$ 的两个非负实根，则 $\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)$ 的最小值是多少？例5（北京市）已知关于 $x$ 的一元二次方程$x^2+2x+2k-4=0$ 有两个不相等的实数根。
专题1.5根与系数的关系(韦达定理)(专项拔高卷)学生版
20232024学年苏科版数学九年级上册同步专题热点难点专项练习专题1.5 根与系数的关系（韦达定理）（专项拔高卷）考试时间：90分钟试卷满分：100分难度：0.56姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023秋•叙州区校级月考）已知m，n为一元二次方程x2+2x﹣9＝0的两个根，则m2+m﹣n的值为（）A．﹣7 B．0 C．7 D．112．（2分）（2022秋•徐汇区期末）若方程x2﹣3x+m＝0有一根是1，则另一根是（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣23．（2分）（2022秋•澄海区期末）已知2是关于x的方程x2+mx﹣3m＝0的一个根，则这个方程的另一个根为（）A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．34．（2分）（2022秋•大渡口区校级期末）对于实数a，b，定义新运算a*b＝，则下列结论正确的有（）①5*3＝1；②当x＝﹣1时，[（﹣2）*x]*7＝﹣21；③m*（2m﹣1）＝；④若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根，则x1*x2＝16或﹣17．A．1个B．2个C．3个D．4个5．（2分）（2023秋•山丹县校级月考）若x＝﹣2是一元二次方程x2+ax+2＝0的一个根，则此方程的另一个根是（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝﹣36．（2分）（2023•下陆区校级开学）已知方程x2﹣3x+2＝0的两根是x1，x2，则的值是（）A．1 B．2 C．1.5 D．2.57．（2分）（2023•花山区二模）关于x的方程x2﹣x﹣3＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2﹣x1•x2的值为（）A．4 B．﹣2 C．2 D．﹣48．（2分）（2023•江夏区校级模拟）已知m、n是一元二次方程x2+4x﹣1＝0的两根，则的值是（）A．4 B．﹣2 C．2 D．﹣49．（2分）（2023•江岸区模拟）已知a、b是一元二次方程3x2﹣x﹣1＝0的两根，则的值为（）A．﹣5 B．﹣3 C．﹣D．﹣10．（2分）（2023•沂源县一模）关于x的方程x2﹣2mx+m2＝4的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（）A．﹣3 B．1 C．3 D．9评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023秋•广水市月考）若m，n是方程x2﹣x﹣2021＝0的两个实数根，则m2+m+2n的值为．12．（2分）（2023•武侯区校级模拟）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣4＝0的两个实数根，且++x1x2＝6，则k的值为．13．（2分）（2023秋•铁岭月考）已知x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两个根，那么x1（2x1﹣x2）﹣3x2﹣5＝．14．（2分）（2023•赛罕区二模）若0是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的一根，则m的值为，另外一根等于．15．（2分）（2023春•宁明县期中）设m，n分别是一元二次方程x2﹣2x﹣2025＝0的两个实数根，则m2﹣3m ﹣n＝．16．（2分）（2023春•威海期末）若非零实数a，b（a≠b）满足a2+a﹣2007＝0，b2+b﹣2007＝0，则+的值为．17．（2分）（2023•攀枝花）x2﹣4x﹣2＝0的两根分别为m、n，则＝．18．（2分）（2023•东湖区校级二模）若a，β是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根，则α﹣αβ+β的值为．19．（2分）（2022秋•细河区期末）若一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根分别为a、b，则a2﹣3a+ab﹣2的值为．20．（2分）（2023•芜湖三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0的两个实数根分别为α、β，且α+2β＝5，则m的值为．评卷人得分三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•龙岩期末）已知关于x的方程x2﹣4x+2k+1＝0．（1）k取什么值时，方程有两个实数根；（2）如果方程有两个实数根x1，x2，且x2﹣2x1﹣2x2+9＝0，求k的值．22．（6分）（2022秋•鄞州区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣5＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是这个方程的两个根，且x12+x22+3x1•x2＝﹣3，求k的值．23．（8分）（2023秋•武侯区校级月考）若x1、x2是关于x的方程x2+mx﹣3m＝0的两个根，且+＝7．求m的值．24．（8分）（2023•老河口市模拟）已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0．（1）若方程有实数根，求m的取值范围；（2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足+＝14．求+4x2﹣10的值．25．（8分）（2023秋•铁岭月考）关于x的一元二次方程mx2+（2m+1）x﹣2＝0的两根为x1、x2．（1）是否存在m值，使两根互为相反数；（2）若两根的倒数和为2，求的m值．26．（8分）（2022秋•安徽期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0．（1）若x＝﹣1是该方程的一个根，求m的值及另一个根；（2）若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．27．（8分）（2023春•文登区期末）关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣mx+m﹣1＝0（1）试判断该方程根的情况并说明理由；（2）若x1，x2是该方程的两个实数根，且3x1﹣x1x2+3x2＝12，求该方程的解．28．（8分）（2023春•海阳市期末）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣9x+18＝0的两个根是3和6，则方程x2﹣9x+18＝0就是“倍根方程”．（1）若关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0是“倍根方程”，求k的值；（2）若关于x的一元二次方程nx2﹣（3n+3m）x+8m＝0（n≠0）是“倍根方程”，求该方程的根．。
初中数学 一元二次方程根与系数的关系 专题训练
一元二次方程根与系数的关系专题训练例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和，两根之积。
067)1(2=++x x 692)2(2-=-x x的值。
试求的两个实数根，2221221,067是方程x x ，若x1变式练习：x x x +=++21221,2,1211)2())(1(6922x x x x x x x x +--=-的值不解方程，求下列各式的两个根为，已知方程==-=+-a x x x x a x x x 则且的两个实数根为的一元二次方程，已知关于,10,,0532221122，求它的另一个根。
的一个根是：已知方程例3073222=--x x的值。
，求它的另一个根及的一个根是变式练习：已知方程m m x x 30322=--实数根两的一元关于知个的 05m 1)x 2(m - 二次方程x x 是 x , x ：已3例2221=+++的值m ，求 281)- 1)(x -(x )若1(21=（2）已知等腰三角形ABC 的一边长为7，若恰好21,x x 是△ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长例4：.已知关于x 的方程有两个不相等的实数根x 1，x 2（1）求k 的取值范围（2）是否存在k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在求出k 的值，如果不存在，请说明理由。
课堂检测：1. 关于x 的一元二次方程()01222=-+-+a x a a x 的两个实数根互为相反数，则a 的值为（ ） A 2 B 0 C 1 D 2或02. 在解一元二次方程时，甲抄错了常数项，因而得出该方程的两根是8与2;乙抄错了一次项系数，因而得出该方程的两根是-9与-1，那么正确的一元二次方程是（ ） A 09102=+-x x B 09102=++x x C 016102=+-x x D 0982=--x x3.已知关于x 的方程()0234222=-+--m x m x ，根据下列条件求出m 的值。
专题：一元二次方程的根与系数的关系
九年级数学专题一：一元二次方程的根与系数的关系一、知识要点：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：12,22b b x x a a-+--==所以：12b x x a+=+=-，12244ac c x x a a⋅====定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么： 12x x +=______________, 12x x =______________.说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定理．上述定理成立的前提是0∆≥．二、例题讲解类型一、一元二次方程的两个根的有关计算例1.设x 1，x 2是方程x 2+2x ﹣3＝0的两个实数根，求x 12+x 22的值． 解：∵x 1，x 2是方程x 2+2x ﹣3＝0的两个实数根，∴x 1+x 2＝﹣2，x 1•x 2＝﹣3，∴x 12+x 22＝（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝（﹣2）2﹣2×（﹣3）＝10；例2.设x 1与x 2为一元二次方程x 2+3x +2＝0的两根，求（x 1﹣x 2）2的值． 解：由题意可知：x 1+x 2＝﹣6，x 1x 2＝4，∴（x 1﹣x 2）2＝（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2 ＝（﹣6）2﹣4×4＝36﹣16＝20，练习1：（1）设a ，b 是方程x 2﹣x ﹣2021＝0的两个实数根，则a +b ﹣ab 的值为（ ）A ．2022B ．﹣2022C ．2020D ．﹣2020（2）已知方程x 2+2x +6＝10x +2的两实数根分别为x 1，x 2，则的值为（ ） A ．﹣2 B ．2 C ． D ．﹣（3）设x 1，x 2是方程x 2﹣3x ﹣3＝0的两个实数根，则x 12x 2+x 1x 22的值为（ ）A ．9B ．﹣9C ．1D ．﹣1（4）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x ﹣7＝0的两个实数根，则x 12+4x 1x 2+x 22的值是 ．（5）已知a 、b 是方程x 2+5x +3＝0的两个根，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ． 练习2：若12,x x 是方程2220090x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．类型二、由已知一元二次方程的一个根求出它的另一个根及未知系数例3.关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为1，则方程的另一个根与m的值.解：设方程的另一根为x＝p．∵关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为1，∴x＝1满足关于x的一元二次方程x2+mx+3＝0，∴1+m+3＝0，解得m＝﹣4；又由根与系数的关系知：1•p＝3，解得p＝3．故方程的另一根是3．练习3：（1）关于x的一元二次方程2x2﹣kx+12＝0的一个根x1＝2，则方程的另一个根x2和k的值为（）A．x2＝3，k＝10B．x2＝﹣3，k＝﹣10C．x2＝3，k＝﹣10D．x2＝﹣3，k＝10（2）已知方程x2+bx+3＝0的一根为+，则方程的另一根为．（3）若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（）A．﹣1B．0C．1D．2（4）已知关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为x＝1，则实数m的值为（）A．4B．﹣4C．3D．﹣3（5）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2＝0，若该方程的两实根x1、x2满足x1+2x2＝9，求m的值．三、构造一元二次方程例4.已知实数x1，x2满足x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2﹣3x﹣4＝0B．x2﹣3x+4＝0C．x2+3x﹣4＝0D．x2+3x+4＝0解：∵实数x1，x2满足x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，∴以x1，x2为根的一元二次方程是x2﹣3x﹣4＝0．故选：A．练习4：（1）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小明看错了常数项，得到方程的两个根是﹣3、﹣1，胖何看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5、﹣4，则原来的方程是（）A．x2+4x﹣3＝0B．x2+4x﹣20＝0C．x2﹣4x﹣20＝0D．x2﹣4x﹣3＝0（2）已知关于x的方程x2+mx+n＝0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；例5.已知a、b满足a2﹣15a﹣5＝0，b2﹣15b﹣5＝0，求a bb a的值；解：∵a、b满足a2﹣15a﹣5＝0，b2﹣15b﹣5＝0，∴a，b是x2﹣15x﹣5＝0的解，当a≠b时，a+b＝15，ab＝﹣5，＝＝＝＝﹣47．当a＝b时，原式＝2；练习5：若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则+的值为．练习6：已知实数a，b满足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且a≠b，求a4+b4的值．练习7：已知实数a≠b，且满足（a+1）2＝3﹣3（a+1），（b+1）2＝3﹣3（b+1），则的值为（）A．23B．﹣23C．﹣2D．﹣13练习8：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求①4s2﹣5s+t；②的值．例6.已知：m2﹣2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0且mn≠1，则的值为．解：由n2+2n﹣1＝0可知n≠0．∴1+﹣＝0．∴﹣﹣1＝0，又m2﹣2m﹣1＝0，且mn≠1，即m≠．∴m，是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根．∴m+＝2．∴＝m+1+＝2+1＝3，四、利用一元二次方程中的根降次例7.设a，b是方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2024B．2021C．2023D．2022解：∵a是方程x2+x﹣2023＝0的实数根，∴a2+a﹣2023＝0，∴a2＝﹣a+2023，∴a2+2a+b＝﹣a+2023+2a+b＝2023+a+b，∵a，b是方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，∴a+b＝﹣1，∴a2+2a+b＝2023+（﹣1）＝2022．故选：D．练习9：（1）设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a+b﹣ab的值为（）A．2023B．﹣2021C．2021D．﹣2023（2）已知m，n是方程x2+2016x+7＝0的两个根，则（m2+2015m+6）（n2+2017n+8）＝（）A．2008B．8002C．2009D．2020（3）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则的值为（）A．0B．2C．1D．﹣1（4）若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则m2+4m+2n的值是．（5）已知α、β是方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根，则α2﹣5α﹣2β+7＝．例8．如果m、n是一元二次方程x2+x＝3的两个实数根，那么多项式m3+2n2﹣mn﹣6m+2022的值是（）A．2022B．2023C．2029D．2030解：∵m、n是一元二次方程x2+x＝3的两个实数根，∴m2+m﹣3＝0，n2+n﹣3＝0，∴m2＝﹣m+3，n2＝﹣n+3，∴m3＝m（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（﹣m+3）+3m ＝4m﹣3，∴m3+2n2﹣mn﹣6m+2022＝4m﹣3+2（﹣n+3）﹣mn﹣6m+2022＝﹣2（m+n）﹣mn+2025，∵m、n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣1，mn＝﹣3，∴原式＝﹣2×（﹣1）﹣（﹣3）+2025＝2030．故选：D．练习10：（1）若a，b为一元二次方程x2﹣7x﹣1＝0的两个实数根，则a3+3ab+8b﹣42a值是（）A．﹣52B．﹣46C．60D．66（2）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x13﹣2022x1+x22的值是（）A．4045B．4044C．2022D．1（3）已知方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，则x12﹣的值为（）A．1B．﹣1C．2021D．﹣2021五、利用两根的性质解决有关的问题例9．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求实数m的取值范围；（2）若x1+x2＝6﹣x1x2，求m的值．解：（1）Δ＝（2m﹣3）2﹣4m2＝4m2﹣12m+9﹣4m2＝﹣12m+9，∵△≥0，∴﹣12m+9≥0，∴m≤，∴实数m的取值范围是m≤；（2）由题意可得，x1+x2＝﹣（2m﹣3）＝3﹣2m，x1x2＝m2，又∵x1+x2＝6﹣x1x2，∴3﹣2m＝6﹣m2，∴m2﹣2m﹣3＝0，解得m1＝3，m2＝﹣1，又∵m≤，∴m＝﹣1，即m的值为﹣1．练习11.已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1x2＝5，求k的值．练习12.已知关于x 的一元二次方程x 2+2mx +m 2+m ＝0有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为x 1、x 2，且x 12+x 22＝12，求m 的值．练习13.若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，求k 的值．练习14.已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m +1）x +m 2﹣2＝0．（1）若该方程有两个实数根，求m 的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为x 1，x 2，且（x 1﹣x 2）2+m 2＝21，求m 的值．例10.关于x 的方程x 2﹣（2k ﹣1）x +k 2﹣2k +3＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数k 的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为x 1、x 2，存不存在这样的实数k ， 使得|x 1|﹣|x 2|＝？若存在，求出这样的k 值；若不存在，说明理由． 解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝[﹣（2k ﹣1）]2﹣4（k 2﹣2k +3）＝4k ﹣11＞0，解得：k ＞；（2）存在，∵x 1+x 2＝2k ﹣1，x 1x 2＝k 2﹣2k +3＝（k ﹣1）2+2＞0，∴将|x 1|﹣|x 2|＝两边平方可得x 12﹣2x 1x 2+x 22＝5，即（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2＝5， 代入得：（2k ﹣1）2﹣4（k 2﹣2k +3）＝5，解得：4k ﹣11＝5，解得：k ＝4．练习15.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22＝31+|x1x2|，求实数m的值．练习16.已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若|x1+x2|＝x1x2﹣1，求k的值．例11.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0的两实数根x1，x2满足x1x2+x1+x2＞0，求a的取值范围．解：∵该一元二次方程有两个实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×a＝4﹣4a≥0，解得：a≤1，由韦达定理可得x1x2＝a，x1+x2＝2，∵x1x2+x1+x2＞0，∴a+2＞0，解得：a＞﹣2，∴﹣2＜a≤1．练习17.已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．。
中考专题一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【重点、难点、考点】重点：①判定一元二次方程根的情况，会利用判别式求待定系数的值、及取值范围。
②掌握根与系数的关系及应用难点：由判别式，根与系数的关系求字母的取值范围，或与根有关的代数式的值。
考点：中考命题的重点和热点，既可单独成题，又可与二次函数综合运用，是初中代数的重要内容之一。
【经典范例引路】例1 若关于x 的一元二次方程(m －2)2x 2＋(2m ＋1)x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A.m<43B.m ≤43C.m>43且m ≠2D.m ≥43且m ≠2（20XX 年山西省中考试题）【解题技巧点拨】 解 C①解答此题时，学生虽然能运用判别式定理，但往往忽略“方程ax 2＋bx ＋c ＝0 作为一元二次方程时 a ≠0”的情形解题原理：对方程ax 2＋bx ＋c ＝0 （a ≠0）方程有两实根Δ方程有两相等实根Δ方程有两不等实根Δ⇔≥⎭⎬⎫⇔=⇔>000Δ<0⇔方程没有实根注意：学生在运用时，可能会由“方程有两实根”得出“Δ>0” 题型：①判定方程根的情况或判断简单的二元二次方程组是否有解，②证明一元二次方程有无实根，③求待定系数的值或取值范围，④根与系数的关系综合运用。
例2 先阅读下列第（1）题的解答过程（1）已知αβ是方程x2＋2x－7＝0的两个实数根。
求α2＋3β2＋4β的值。
解法1 ∵α、β是方程x2＋2x－7＝0的两实数根∴α2＋2α－7＝0 β2＋2β－7＝0 且α＋β＝－2∴α2＝7－2αβ2＝7－2β∴α2＋3β2＋4β＝7－2α＋3（7－2β）＋4β＝28－2（α＋β）＝28－2×（－2）＝32解法2 由求根公式得α＝－1＋22β＝－1－22∴α2＋3β2＋4β＝（－1＋22）2＋3(－1－22)2＋4(－1－22)＝9－42＋3(9＋42－4－82)＝32解法3 由已知得：α＋β＝－2 αβ＝－7∴α2＋β2＝（α＋β）2－2αβ＝18 令α2＋3β2＋4β＝A β2＋3α2＋4α＝B∴A＋B＝4（α2＋β2）＋4（α＋β）＝4×18＋4×（－2）＝64 ①A－B＝2(β2－α2)＋4(β－α)＝2(β＋α) (β－α)＋4(β－α)＝0 ②①＋②得：2A＝64 ∴A＝32请仿照上面解法中的一种或自己另外寻找一种方法解答下列各题（2）已知x1、x2是方程x2－x－9＝0的两个实数根，求代数式。
专题根与系数的关系含答案
专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.已知关于x的方程mx2-（2m-1）x+m-2=0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）若x1、x2为方程的两个不等实数根，且满足x12+x22-x1x2=2，求m的值．例2.已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＜x2．若2x1=x2+1，求?m的值．例3．已知关于x的方程mx2+（4-3m）x+2m-8=0（m＞0）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；m，且点B（m，n）（2）设方程的两个根分别为x1、x2（x1＜x2），若n=x2-x1-12在x轴上，求m的值．.例4.已知关于x的一元二次方程：x2-2（m+1）x+m2+5=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若原方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2，求m的值．例5.已知关于x的方程x2-（2k+1）x+4（k-12）=0．（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k 的值；若不能，请说明理由．（3）当等腰三角形ABC的边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．训练1.已知关于x的方程mx2-（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）已知方程有两个不相等的实数根α，β，满足1α+1α=1，求m的值．2.已知一元二次方程x2-2x+m=0（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1和x2，且x1+3x2=3，求m的值．（3）若方程的两个实数根为x1和x2，且x12-x22=0，求m的值．3.已知关于x的方程x2+（m-3）x-m（2m-3）=0（1）证明：无论m为何值方程都有两个实数根；（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于26？若存在，求出满足条件的正数m的值；若不存在，请说明理由．4.已知关于x的一元二次方程x2-6x-k2=0（k为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设x1、x2为方程的两个实数根，且2x1+x2=14，试求出方程的两个实数根和k的值．5.已知关于x的方程x2-（2k-3）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1、x2满足|x1|+|x2|=2|x1x2|-3，求k的值．6.已知关于x的一元二次方程x2-（m-2）x+1m-3=02（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1+x2=m+1，求m的值．7.已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-5x+4a-2=0的一个根为x=3．（1）求a的值及方程的另一个根；（2）如果一个等腰三角形（底和腰不相等）的三边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长．8.设x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a-2=0的两实根，当a为何值时，x12+x22有最小值？最小值是多少？专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，例2.∴△=b2-4ac=[-（2m-1）]2-4m（m-2）=4m+1＞0，，∵二次项系数≠0，∴m≠0，例3.解得：m＞-14例4.∴当m＞-1且m≠0时，方程有两个不相等的实数根；4例5.（2）∵x1、x2为方程的两个不等实数根，例6. ∴x 1+x 2=2m−1m ，x 1x 2=m−2m ，例7. ∴x 12+x 22-x 1x 2=（x 1+x 2）2-3x 1x 2=（2m−1m ）2-3(m−2)m =2，例8. 解得：m 1=√2+1，m 2=-√2+1（舍去）；∴m =√2+1．例9.例10. 解：（1）∵△=（-4m ）2-4（4m 2-9）=36＞0，例11. ∴此方程有两个不相等的实数根；例12. （2）∵x =4m±√362=2m ±3，例13. ∴x 1=2m -3，x 2=2m +3，例14. ∵2x 1=x 2+1，∴2（2m -3）=2m +3+1，例15. ∴m =5．例16.例17. 解：（1）∵△=（4-3m ）2-4m （2m -8），例18. =m 2+8m +16=（m +4）2例19. 又∵m ＞0∴（m +4）2＞0即△＞0例20. ∴方程有两个不相等的实数根；例21. （2）∵方程的两个根分别为x 1、x 2（x 1＜x 2），例22. ∴x 1+x 2=-4−3m m ，x 1?x 2=2m−8m ， 例23. n =x 2-x 1-12m ，且点B （m ，n ）在x 轴上，例24. ∴x 2-x 1-12m =√(x 1+x 2)2−4x 2x 1-12m =√(4−3m m )2−4×2m−8m -12m =0，例25. 解得：m =-2，m =4，例26. ∵m ＞0，∴m =4．例27. .解：（1）∵方程x 2-2（m +1）x +m 2+5=0有两个不相等的实数根， 例28. ∴△=[-2（m +1）]2-4（m 2+5）=8m -16＞0，解得：m ＞2．例29. （2）∵原方程的两个实数根为x 1、x 2，例30. ∴x 1+x 2=2（m +1），x 1?x 2=m 2+5．例31. ∵m ＞2，例32. ∴x 1+x 2=2（m +1）＞0，x 1?x 2=m 2+5＞0，例33. ∴x 1＞0、x 2＞0．例34. ∵x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1?x 2=|x 1|+|x 2|+2x 1?x 2，例35. ∴4（m +1）2-2（m 2+5）=2（m +1）+2（m 2+5），即6m -18=0，例36. 解得：m =3．例37.例38. 证明：（1）∵△=（2k +1）2-16（k -12）=（2k -3）2≥0， 例39. ∴方程总有实根；例40. 解：（2）∵两实数根互为相反数，例41. ∴x 1+x 2=2k +1=0，解得k =-0.5；例42. （3）①当b =c 时，则△=0，例43. 即（2k -3）2=0，∴k =32， 例44. 方程可化为x 2-4x +4=0，∴x 1=x 2=2，而b =c =2，∴b +c =4=a 不适合题意舍去； 例45. ②当b =a =4，则42-4（2k +1）+4（k -12）=0， 例46. ∴k =52， 例47. 方程化为x 2-6x +8=0，解得x 1=4，x 2=2，例48. ∴c =2，C △ABC =10，例49. 当c =a =4时，同理得b =2，∴C △ABC =10，例50. 综上所述，△ABC 的周长为10．例51.训练1.（1）证明：∵方程mx 2-（m +2）x +2=0（m ≠0）是一元二次方程，∴△=（m +2）2-8m =m 2+4m +4-8m =m 2-4m +4=（m -2）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵方程有两个不相等的实数根α，β，∴由根与系数的关系可得α+β=m+2m ，αβ=2m ， ∵1α+1β=1，∴m+2m 2m =m+22=1，解得m =0，∵m ≠0，∴m 无解．2.解：（1）∵方程x 2-2x +m =0有两个实数根，∴△=（-2）2-4m ≥0，解得m ≤1；（2）由两根关系可知，x 1+x 2=2，x 1?x 2=m ，解方程组{x 1+x 2=2x 1+3x 2=3， 解得{x 1=32x 2=12，∴m =x 1?x 2=32×12=34；（3）∵x 12-x 22=0，∴（x 1+x 2）（x 1-x 2）=0，∵x 1+x 2=2≠0，∴x 1-x 2=0，∴方程x 2-2x +m =0有两个相等的实数根，∴△=（-2）2-4m =0，解得m =1．3.（1）证明：∵关于x 的方程x 2+（m -3）x -m （2m -3）=0的判别式△=（m -3）2+4m （2m -3）=9（m -1）2≥0，∴无论m 为何值方程都有两个实数根；（2）解：设方程的两个实数根为x 1、x 2，则x 1+x 2=-（m -3），x 1×x 2=-m （2m -3），令x 12+x 22=26，得：（x 1+x 2）2-2x 1x 2=（m -3）2+2m （2m -3）=26，整理，得5m 2-12m -17=0，解这个方程得，m =175或m =-1， 所以存在正数m =175，使得方程的两个实数根的平方和等于26． 4.（1）证明：在方程x 2-6x -k 2=0中，△=（-6）2-4×1×（-k 2）=4k 2+36≥36， ∴方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵x 1、x 2为方程的两个实数根，∴x 1+x 2=6①，x 1?x 2=-k 2，∵2x 1+x 2=14②，联立①②成方程组{x 1+x 2=62x 1+x 2=14， 解之得：{x 1=8x 2=−2， ∴x 1?x 2=-k 2=-16，。
专题21.8 一元二次方程的根与系数关系-重难点题型(举一反三)(人教版)(解析版)
专题21.8 一元二次方程的根与系数的关系-重难点题型【人教版】【题型1 利用根与系数的关系求代数式的值】【例1】（2020秋•普宁市期末）若一元二次方程x 2﹣x ﹣2＝0的两根为x 1，x 2，则（1+x 1）+x 2（1﹣x 1）＝ ． 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：x 1+x 2＝1，x 1x 2＝﹣2， ∴原式＝1+x 1+x 2﹣x 1x 2＝1+1﹣（﹣2）＝4， 故答案为：4【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型． 【变式1-1】（2021•龙马潭区模拟）设x 1，x 2是方程x 2+3x ﹣3＝0的两个实数根，则x 2x 1+x 1x 2的值为 ．【分析】欲求x 2x 1+x 1x 2的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．【解答】解：∵x 1，x 2是方程x 2+3x ﹣3＝0的两个实数根， ∴x 1+x 2＝﹣3，x 1•x 2＝﹣3， ∴x 2x 1+x 1x 2=x 12+x 22x 1⋅x 2=(x 1+x 2)2−2x 1⋅x 2x 1⋅x 2=(−3)2−2×(−3)−3=−5．故答案为﹣5．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．【变式1-2】（2020秋•解放区校级月考）一元二次方程x 2+4x +1＝0的两个根是x 1，x 2，则x 2x 1−x 1x 2的值为 ．（其中x 2＞x 1）【分析】利用根与系数的关系得到x 1+x 2＝﹣4，x 1x 2＝1，再通过通分和完全平方公式变形得到x 2x 1−x 1x 2=(x 1+x 2)√(x 2+x 1)2−4x 1x 2x 1x 2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得x 1+x 2＝﹣4，x 1x 2＝1， 所以x 2x 1−x 1x 2=x 22−x 12x 1x 2=(x 1+x 2)(x 2−x 1)x 1x 2=(x 1+x 2)√(x 2+x 1)2−4x 1x 2x 1x 2=−4×√(−4)2−4×11＝﹣8√3． 故答案为﹣8√3【点评】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=−ba，x 1x 2=c a．【变式1-3】（2020秋•淇滨区校级月考）已知a 、b 是方程2x 2+5x +1＝0的两实数根，则式子a√a b +b √ba 的值为 ．【分析】利用根与系数的关系可得出a +b =−52，a •b =12，进而可得出a ＜0，b ＜0，再将a +b =−52，a •b =12代入a√ab +b √b a =2√ab中即可求出结论． 【解答】解：∵a 、b 是方程2x 2+5x +1＝0的两实数根， ∴a +b =−52，a •b =12， ∴a ＜0，b ＜0，∴a√a b +b √b a =√a⋅a √a⋅b +√b⋅b √a⋅b =22√ab =2√ab =−(−52)2+2×12√12=−21√24．故答案为：−21√2 4．【点评】本题考查了根与系数的关系以及实数的运算，牢记“两根之和等于−ba，两根之积等于ca”是解题的关键．【题型2 利用根与系数的关系求系数字母的值】【例2】（2021•成都模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根为x1，x2，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立，则k的值．【分析】根据判别式的意义得到△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，然后解不等式求得k的取值范围，然后根据根与系数的关系得到x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，再把x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16变形为﹣（x1+x2）2+3x1•x2＝﹣16，所以﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，然后解方程后即可确定满足条件的k的值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根，∴△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，解得k≤1 4，由根与系数的关系得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16．∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]＝﹣16，即﹣（x1+x2）2+3x1•x2＝﹣16，∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，整理得k2﹣2k﹣15＝0，解得k1＝5（舍去），k2＝﹣3．∴k＝﹣3，故答案为﹣3．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−b a，x1x2=ca．也考查了根的判别式．【变式2-1】（2019秋•萍乡期末）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的二根为x1，x2，且x12﹣x1+x2＝3x1x2，则m＝．【分析】根据根与系数的关系求得x1+x2＝2，x1•x2＝m，且x12﹣2x1+m＝0，然后将其代入已知等式列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0的二根为x 1、x 2， ∴x 1+x 2＝2，x 1•x 2＝m ，且x 12﹣2x 1+m ＝0， ∴x 12﹣x 1＝﹣m +x 1， ∵x 12﹣x 1+x 2＝3x 1x 2， ∴﹣m +x 1+x 2＝3x 1x 2， 即﹣m +2＝3m ， 解得：m =12， 故答案为：12．【点评】本题考查了根与系数的关系．解题时，借用了“一元二次方程的解的定义”这一知识点． 【变式2-2】（2020春•文登区期中）已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k +1）x +k 2﹣2＝0的两根x 1和x 2，且x 12﹣2x 1+2x 2＝x 1x 2，则k 的值是 ．【分析】先由x 12﹣2x 1+2x 2＝x 1x 2，得出x 1﹣2＝0或x 1﹣x 2＝0，再分两种情况进行讨论：①如果x 1﹣2＝0，将x ＝2代入x 2+（2k +1）x +k 2﹣2＝0，得4+2（2k +1）+k 2﹣2＝0，解方程求出k ＝﹣2；②如果x 1﹣x 2＝0，那么△＝0，解方程即可求解． 【解答】解：∵x 12﹣2x 1+2x 2＝x 1x 2， x 12﹣2x 1+2x 2﹣x 1x 2＝0， x 1（x 1﹣2）﹣x 2（x 1﹣2）＝0， （x 1﹣2）（x 1﹣x 2）＝0， ∴x 1﹣2＝0或x 1﹣x 2＝0． ①如果x 1﹣2＝0，那么x 1＝2， 将x ＝2代入x 2+（2k +1）x +k 2﹣2＝0， 得4+2（2k +1）+k 2﹣2＝0， 整理，得k 2+4k +4＝0， 解得k ＝﹣2； ②如果x 1﹣x 2＝0，则△＝（2k +1）2﹣4（k 2﹣2）＝0． 解得：k =−94．所以k 的值为﹣2或−94．故答案为：﹣2或−9 4．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系时，需用判别式进行检验．【变式2-3】（2020秋•武侯区校级月考）已知二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2m+32=0的两个实数根为α和β，若|α|+|β|＝4，求m的值．【分析】先由根与系数的关系得到2m+1＝﹣（α+β），α•β＝m2﹣2m+32=（m﹣1）2+12＞0，那么α和β同号，再由|α|+|β|＝4，分α+β＝﹣4或α+β＝4进行讨论即可．【解答】解：∵二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2m+32=0的两个实数根为α和β，∴α+β＝﹣（2m+1），α•β＝m2﹣2m+3 2，∴2m+1＝﹣（α+β），α•β＝m2﹣2m+32=（m﹣1）2+12＞0，∴α•β＞0，即α和β同号，∴由|α|+|β|＝4得：α+β＝﹣4或α+β＝4．当α+β＝﹣4时，2m+1＝4，解得m=3 2；当α+β＝4时，2m+1＝﹣4，解得m=−5 2．∵△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2m+3 2）＝4m2+4m+1﹣4m2+8m﹣6＝12m﹣5≥0，∴m≥5 12；∴m=−52不合题意，舍去，则m=3 2．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足△≥0的条件．【题型3 利用根与系数的关系及代根法综合求值】【例3】（2021•九龙坡区校级期末）如果方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（）A．7B．6C．﹣2D．0【分析】根据方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，得到α+β＝1，αβ＝﹣2，α2＝α+2，将α2+β﹣2αβ变形为α+β+2﹣2αβ后代入即可求值．【解答】解：∵方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，∴α+β＝1，αβ＝﹣2，α2＝α+2，∴α2+β﹣2αβ＝α+2+β﹣2αβ＝1+2﹣2×（﹣2）＝7，故选：A．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．【变式3-1】（2020秋•抚州期末）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2+1的值为（）A．10B．9C．8D．7【分析】根据根与系数的关系找出x1+x2＝3、x1•x2＝1，将x12+3x2+x1x2+1变形为3（x1+x2）+x1x2，代入数据即可得出结论．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，∴x12﹣3x1+1＝0，x1+x2＝3，x1•x2＝1，∴x12＝3x1﹣1，则x12+3x2+x1x2+1＝3x1﹣1+3x2+x1x2+1＝3（x1+x2）+x1x2＝3×3+1＝10，故选：A．【点评】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出x1+x2＝3、x1•x2＝1是解题的关键．【变式3-2】（2020秋•宜宾期末）已知α、β是方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，则α4+3β的值是（）A．4B．4√2C．5D．5√2【分析】根据方程根的定义得到α2＝a+1，即可得到α4＝α2+2α+1，然后根据根与系数的关系即可求得α4+3β的值．【解答】解：∵α、β是方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，∴α2﹣α﹣1＝0，α+β＝1，∴α2＝a+1，∴α4＝α2+2α+1，则α4+3β＝α2+2α+1+3β＝α2﹣α﹣1+3α+3β+2＝3×1+2＝5．故选：C．【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是利用整体法代值计算，此题难度一般．【变式3-3】（2020秋•雅安期末）设x1、x2是方程x2﹣4x+1＝0的两个根，则x13+4x22+x1﹣1的值为．【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝1，x12=4x1﹣1，∴x13=4x12−x1，∴原式＝4x12−x1+4x22+x1﹣1＝4（x12+x22）﹣1＝4（x1+x2）2﹣8x1x2﹣1＝4×16﹣8﹣1＝55，故答案为：55【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．【题型4 构造一元二次方程求代数式的值】【例4】（2021春•柯桥区月考）如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2021＝．【分析】由题意可知m，n是x2﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：m+n＝1，mn＝﹣3，又n2＝n+3，利用它们可以化简2n2﹣mn+2m+2021＝2（n+3）﹣mn+2m+2021＝2n+6﹣mn+2m+2021＝2（m+n）﹣mn+2027，然后就可以求出所求的代数式的值．【解答】解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，所以m，n是x2﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根，则根据根与系数的关系可知：m+n＝1，mn＝﹣3，又n2＝n+3，则2n2﹣mn+2m+2021＝2（n+3）﹣mn+2m+2021＝2n+6﹣mn+2m+2021＝2（m+n）﹣mn+2027＝2×1﹣（﹣3）+2027＝2+3+2027＝2032． 故答案为：2032．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数，然后利用根与系数的关系式求值．【变式4-1】（2021春•崇川区月考）实数x ，y 分别满足99x 2+2021x ＝﹣1．y 2+2021y ＝﹣99，且xy ≠1．则xy+10x+1y= ．【分析】把y 2+2021y ＝﹣99变形为99（1y）2+2021•1y+1＝0，加上99x 2+2021x +1＝0，则实数x 、1y可看作方程99t 2+2021t +1＝0，利用根与系数的关系得到x +1y =−202199，x •1y =199，再把原式变形为x +10•x y+1y，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵y 2+2021y ＝﹣99， ∴99（1y）2+2021•1y+1＝0，∵99x 2+2021x ＝﹣1， 即99x 2+2021x +1＝0，∴实数x 、1y可看作方程99t 2+2021t +1＝0的两实数解，∴x +1y =−202199，x •1y =199，∴原式＝x +10•x y+1y=−202199+10×199 =−201199． 故答案为−201199． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=−ba ，x 1x 2=ca ．【变式4-2】（2021•郫都区校级模拟）已知a 2﹣2a ﹣1＝0，b 2+2b ﹣1＝0，且ab ≠1，则ab+b+1b的值为 ．【分析】先变形b 2+2b ﹣1＝0得到（1b）2﹣2•1b−1＝0，则a 和1b可看作方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两根，然后根据根与系数的关系求解．【解答】解：∵b 2+2b ﹣1＝0， ∴b ≠0，方程两边同时除以b 2，再乘﹣1变形为（1b）2﹣2•1b−1＝0，∵ab ≠1，∴a 和1b 可看作方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两根，∴a +1b =2， ∴ab+b+1b=a +1+1b=2+1＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=−ba ，x 1•x 2=c a．【变式4-3】（2020秋•蕲春县期中）已知实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，则1α2+3β的值为 ． 【分析】原方程变为（1α2）﹣3（1α）﹣1＝0，得到1α、β是方程x 2﹣3x ﹣1＝0的两根，根据根与系数的关系得到关系式，代入求出即可．【解答】解：∵实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1， ∴1α、β是方程x 2﹣3x ﹣1＝0的两根，∴1α+β＝3，βα=−1，1α2=1+3α，∴原式＝1+3α+3β＝1+3（1α+β）＝1+3×3＝10， 故答案为10．【点评】本题主要考查对根与系数的关系的理解和掌握，能熟练地根据根与系数的关系进行计算是解此题的关键．【题型5 根与系数的关系与三角形综合】【例5】（2020秋•西工区期中）已知关于x 的方程x 2﹣8x ﹣k 2+4k +12＝0． （1）求证：无论k 取何值，这个方程总有两个实数根；（2）若△ABC 的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值．【分析】（1）先计算出△＝4（k﹣2）2，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）先利用因式分解法求出方程的解为x1＝﹣k+6，x2＝k+2，然后分类讨论：当AB＝AC或AB＝BC或AC＝BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值．【解答】（1）证明：∵△＝（﹣8）2﹣4（﹣k2+4k+12）＝4（k﹣2）2≥0，∴无论k取何值，这个方程总有两个实数根；（2）解：x2﹣8x﹣k2+4k+12＝0，（x+k﹣6）（x﹣k﹣2）＝0，解得：x1＝﹣k+6，x2＝k+2，当AB＝AC时，﹣k+6＝k+2，则k＝2；当AB＝BC时，﹣k+6＝5，则k＝1；当AC＝BC时，则k+2＝5，解得k＝3，综合上述，k的值为2或1或3．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．【变式5-1】（2020秋•吉安期中）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．（2）m为何整数时，此方程的两个根都是正整数？（3）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求m的值．【分析】（1）先计算出△＝1，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）先求出方程的解，根据此方程的两个根都是正整数列出关于m的不等式，解不等式即可求解；（3）根据等腰三角形的性质和三角形三边关系得到关于m的方程，解方程即可求解．【解答】解：（1）∵△＝（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+1）＝4＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0，[（m﹣1）x﹣（m+1）]（x﹣1）＝0，x 1=m+1m−1，x 2＝1， ∵此方程的两个根都是正整数，∴m+1m−1＞0，当m +1＞0，m ﹣1＞0时，解得m ＞1，当m +1＜0，m ﹣1＜0时，解得m ＜﹣1，∴m ＝2或m ＝3；（3）∵一元二次方程（m ﹣1）x 2﹣2mx +m +1＝0的解为x 1=m+1m−1，x 2＝1， ∵△ABC 是等腰三角形，第三边BC 的长为5，∴m+1m−1=5，解得m ＝1.5，经检验，m ＝1.5是原方程的解．故m 的值是1.5．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根的判别式△＝b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．【变式5-2】（2021春•西湖区校级期中）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +4）x +m 2+4m ＝0．（1）求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根．（2）设方程的两个实数根分别为x 1，x 2；①求代数式x 12+x 22−4x 1x 2的最大值；②若方程的一个根是6，x 1和x 2是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长．【分析】（1）通过判别式△求解．（2）①通过两根之积与两根之和的关系将x 12+x 22−4x 1x 2配方求解．②把x ＝6代入方程求出m ，再将m 代入原方程求出另外一个解，再根据三角形两边之和大于第三边确定x 的值．【解答】解：（1）△＝（2m +4）2﹣4（m 2+4m ）＝16，16＞0，∴此方程总有两个不相等的实数根．（2）①x 12+x 22−4x 1x 2＝（x 1+x 2）2﹣6x 1x 2，∵x1+x2=−−(2m+4)1=2m+4，x1x2＝m2+4m，∴（x1+x2）2﹣6x1x2＝（2m+4）2﹣6（m2+4m）＝﹣2m2﹣8m+16＝﹣2（m+2）2+24，∴当m＝﹣2时x12+x22−4x1x2的最大值为24．②把x＝6代入原方程可得m2﹣8m+12＝0，解得m＝2或m＝6，当m＝2时，原方程化简为x2﹣8x+12＝0，解得x＝2或x＝6，三角形三边长为6，6，2时三角形周长为14，三角形边长为2，2，6时不存在．当m＝6时，原方程化简为x2﹣16x+60，解得x＝6或x＝10．三角形三边长为6，6，10时三角形周长为22，三角形三边长为10，10，6时，三角形周长为26．∴等腰三角形周长为14或22或26．【点评】本题考查一元二次方程综合应用，解题关键是熟练掌握一元二次方程的判别式与根与系数的关系．【变式5-3】（2021•永州模拟）已知关于x的方程x2−2mx+14n2=0，其中m、n是等腰三角形的腰和底边长．（1）说明这个方程有两个不相等的实数根．（2）若方程的两实数根的差的绝对值是8，且等腰三角形的面积是16，求m，n的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝4m2﹣n2＞0，进而可证出方程有两个不相等的实数根；（2）由根与系数的关系求出√m2−14n2=4，根据三角形的面积可求出m，n的值，则可求出答案．【解答】解：（1）∵m、n是等腰三角形的腰和底边长，∴2m＞n，又∵△＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4×1×14n2=4m2−n2，∴4m2＞n2，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）由题意得|x 1﹣x 2|＝8，∴（x 1﹣x 2）2＝64，∴（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2＝64，由韦达定理得：x 1+x 2＝2m ，x 1x 2=14n 2，∴（2m ）2﹣4×14n 2=64，即√m 2−14n 2=4， ∵等腰三角形的面积是16，如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∴BD ＝CD =n 2．∴AD =√AB 2−BD 2=√m 2−14n 2，∴12×n ×√m 2−14n 2=16，∴n ＝8，代入√m 2−14n 2=4，解得m ＝4√2，∴m ＝4√2，n ＝8．【点评】本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用根与系数的关系，得出m ，n 的关系式．【题型6 根与系数关系中的新定义问题】【例6】（2020秋•武侯区校级期中）如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0有两个实数根x 1，x 2，且满足数轴上x 1，x 2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有 ．（填序号）①方程x 2﹣4x ＝0是关于2的等距方程；②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x+1）（mx+n）＝0一定是关于2的等距方程；③若方程ax2+bx+c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）；④当两根满足x1＝3x2，关于x的方程px2﹣x+34=0是关于2的等距方程．【分析】①解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断；②解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断；③根据方程ax2+bx+c＝0是关于2的等距方程，且b＝﹣4a（a≠0）得到x1＝x2或x1+x2＝4，当x1＝x2时，x1＝x2=−b2a，不能判断a与b之间的关系，当x1+x2＝4时，即−ba=4，得到b＝﹣4a，据此即可判断；④根据韦达定理和x1＝3x2，得出3x22=34（3x2+x2）＝3x2，解得x2＝1或x2＝0（舍去），然后利用关于2的等距方程的定义进行判断．【解答】解：①∵x2﹣4x＝0，∴x（x﹣4）＝0，∴x1＝0，x2＝4，则|x2﹣2＝|x2﹣2|，①正确；②当m≠0，n≠0时，（x+1）（mx+n）＝0，则x1＝﹣1，x2=n−m，∵5m＝﹣n，∴x2＝5，∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，满足2的等距方程；当m＝n＝0时，原方程x+1＝0不是一元二次方程，故②错误；③对于方程ax2+b+c＝0（a≠0），由韦达定理得：x1+x2=−b a，∵方程是2的等距方程，∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，则x1﹣2＝x2﹣2或x1﹣2＝2﹣x2，∴x1＝x2或x1+x2＝4，当x1＝x2时，x1＝x2=−b2a，不能判断a与b之间的关系，当x1+x2＝4时，即−ba=4，∴b ＝﹣4a ，故ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）是2的等距方程时，b 不一定等于﹣4a ，故③错误；④对于方程px 2﹣x +34=0有两根满足x 1＝3x 2，由韦达定理得：x 1x 2=34p ，x 1+x 2=1p ， ∴x 1x 2=34×1p =34（x 1+x 2），∴3x 22=34（3x 2+x 2）＝3x 2，∴x 2＝1或x 2＝0（舍去），∴x 1＝3x 2＝3，∴|x 1﹣2|＝|x 2﹣2|，即px 2﹣x +34=0是关于2的等距方程，故④正确，故正确的有①④，故答案为①④．【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，正确的理解“关于2的等距方程”的定义是解题的关键．【变式6-1】（2021春•崇川区校级月考）x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两个实数根，若满足|x 1﹣x 2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：①x 2﹣4x ﹣5＝0；②2x 2﹣2√3x +1＝0；（2）已知关于x 的方程x 2+2ax ＝0是“差根方程”，求a 的值；（3）若关于x 的方程ax 2+bx +1＝0（a ，b 是常数，a ＞0）是“差根方程”，请探索a 与b 之间的数量关系式．【分析】（1）据“差根方程”定义判断即可；（2）根据x 2+2ax ＝0是“差根方程”，且x 1＝0，x 2＝﹣2a 得到2a ＝±1，从而得到a ＝±12； （3）设x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +1＝0（a ，b 是常数，a ＞0）的两个实数根，根据根与系数的关系得到√(−b a )2−4⋅1a =1，整理即可得到b 2＝a 2+4a ．【解答】解：（1）①设x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x ﹣5＝0的两个实数根，∴x 1+x 2＝4，x 1•x 2＝﹣5，∴|x 1﹣x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√42−4×(−5)=6，∴方程x 2﹣4x ﹣5＝0不是差根方程；②设x 1，x 2是一元二次方程2x 2﹣2√3x +1＝0的两个实数根，∴x 1+x 2=√3，x 1•x 2=12，∴|x 1﹣x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√(√3)2−4×12=1，∴方程2x 2﹣2√3x +1＝0是差根方程；（2）x 2+2ax ＝0，因式分解得：x （x +2a ）＝0，解得：x 1＝0，x 2＝﹣2a ，∵关于x 的方程x 2+2ax ＝0是“差根方程”，∴2a ＝±1，即a ＝±12；（3）设x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +1＝0（a ，b 是常数，a ＞0）的两个实数根，∴x 1+x 2=−b a ，x 1•x 2=1a ，∵关于x 的方程ax 2+bx +1＝0（a ，b 是常数，a ＞0）是“差根方程”，∴|x 1﹣x 2|＝1，∴|x 1﹣x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=1，即√(−b a )2−4⋅1a =1，∴b 2＝a 2+4a ．【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，一次函数图像上点的坐标特征，正确的理解“差根方程”的定义是解题的关键．【变式6-2】（2020秋•石狮市期中）如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t ，则另一根为2t ，因此ax 2+bx +c ＝a （x ﹣t ）（x ﹣2t ）＝ax 2﹣3atx +2t 2a ，所以有b 2−92ac ＝0；我们记“K ＝b 2−92ac ”，即K ＝0时，方程ax 2+bx +c ＝0为倍根方程：下面我们根据所获信息来解决问题：（1）以下为倍根方程的是 ；（写出序号）①方程x2﹣x﹣2＝0；②x2﹣6x+8＝0；（2）若关于的x方程mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0是倍根方程，求4m2+5mn+n2的值；（3）若A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，且关于x的一元二次方程x2−√mx+23n＝0是倍根方程，求此倍根方程．【分析】(1)据倍根方程定义判断即可；(2)根据（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，且x1＝2，x2=−nm得到m＝﹣n或m=−14n，从而得到m+n＝0，4m+n＝0，进而得到4m2+5mn+n2＝0；(3)设其中一根为t，则另一个根为2t，据此知ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，从而得倍根方程满足b2−92ac＝0，据此求解可得．【解答】解：(1)①x2﹣x﹣2＝0，（x+1）（x﹣2）＝0，x1＝﹣1，x2＝2，∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；②x2﹣6x+8＝0，（x﹣2)(x﹣4)＝0,x1＝2，x2＝4，∴方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程；故答案为②；（2）mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0，因式分解得：（x﹣2）（mx+n）＝0，解得：x1＝2，x2=−n m，∵方程mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0是倍根方程，∴2=−2nm或4=−nm，即m＝﹣n或m=−14n，∴m+n＝0或4m+n＝0；∵4m2+5mn+n2＝（4m+n）（m+n）＝0；（3）设其中一根为t ，则另一个根为2t ，则ax 2+bx +c ＝a （x ﹣t ）（x ﹣2t ）＝ax 2﹣3atx +2t 2a ，∴b 2−92ac ＝0，∵x 2−√mx +23n ＝0是倍根方程，∴（−√m ）2−92×2×23n ＝0，整理，得：m ＝3n ，∵A （m ，n ）在一次函数y ＝3x ﹣8的图象上，∴n ＝3m ﹣8，∴n ＝1，m ＝3，∴此倍根方程为x 2−√3x +23=0．【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，一次函数图像上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．【变式6-3】（2020秋•台儿庄区期中）阅读理解：材料一：若三个非零实数x ，y ，z 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实教x ，y ，z 构成“和谐三数组”．材料二：若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根分别为x 1，x 2，则有x 1+x 2=−b a ，x 1⋅x 2=c a ． 问题解决：（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ；（2）若x 1，x 2是关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0（a ，b ，c 均不为0）的两根，x 3是关于x 的方程bx +c ＝0（b ，c 均不为0）的解．求证：x 1，x 2，x 3可以构成“和谐三数组”.【分析】（1）根据“和谐三数组”写成一组即可得出结论；（2）先根据材料2，得出1x 1+1x 2=−b c ，再求出一元一次方程的解，进而得出1x 3=−b c ，即可得出结论．【解答】解：（1）∵12+13=56， ∴65，2，3是“和谐三数组”；故答案为：65，2，3（答案不唯一）； （2）证明：∵x 1，x 2是关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0 （a ，b ，c 均不为0）的两根，∴x 1+x 2=−b a ，x 1⋅x 2=c a ，∴1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1⋅x 2=−b a c a =−b c ， ∵x 3是关于x 的方程bx +c ＝0（b ，c 均不为0）的解，∴x 3=−c b ，∴1x 3=−b c ， ∴1x 1+1x 2=1x 3，∴x 1，x 2，x 3可以构成“和谐三数组”．【点评】此题主要考查了新定义的理解和运用，一元二次方程根与系数的关系，一元一次方程的解，正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．。
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1 专题一 根的判别式及根与系数的关系
2019年下期九年级培优 唐国栋
知识提炼
1、一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 的根的判别式：ac b 42-=∆，用来判断一元二次方程的实根的个数。
当0>∆时，方程有 的实数根；当∆=0时，方程有 的实数根；当0<∆时，方程 实数根。
2、一元二次方程的求根公式：a
ac b b x 2422,1-±-=。
一元二次方程的根有下列基本结论：（1）若有无理根必成对出现；（2）若0=++c b a ⇔有根为1；（3）若0=+-c b a ⇔有根为-1.
3、一元二次方程的根与系数的关系（通常也称韦达定理）：设一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根为1x 和2x ，那么：a b x x -=+21，a
c x x =•21。
经典·考题·赏析
例1（天津中考）关于x 的一元二次方程0)2(2=-+-m mx x 的根的情况是（ ）
A 、有两个不相等的实数根
B 、有两个相等的实数根
C 、没有实数根
D 、无法确定 例2（山东中考）若关于x 的一元二次方程0235)1(22=+-++-m m x x m 的常数项为0，则m 的值为（ ）
A 、1
B 、2
C 、1或2
D 、0 例3（河南中考）已知21,x x 是方程031222=-+-m x x 的两个实数根，且0)(22121>++⋅x x x x ，那么实数m 的取值范围是 。
例4（全国联赛)已知t 是实数，若b a ,是关于一元二次方程0122=-+-t x x 的两个非负实根，则()()1122--b a 的最小值是 。
例5(北京市) 已知关于x 的一元二次方程04222=-++k x x 有两个不相等的实数根.
（1）求k 的取值范围；
（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值.
2 例6（湖北中考）已知关于x 的方程02)2(2=++-k x k x
（1）求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC 的一边长1=a ，另两边长c b ,恰好是这个方程的两个根，求ABC ∆的周长。
练一练
1. (2019 聊城市) 若
11x =-是关于x 的方程250x mx +-=的一个根，则此方程的另一个
根2x =＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 2. (2019 安顺市) 已知1是关于x 的一元二次方程2(1)10m x x -++=的一个根，则m 的值是（ ）
（A ）1 （B ）1- （C ）0 （D ）无法确定
3.(2019 丽水市) 一元二次方程
16)6(2=+x 可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是46=+x ，则另一个一元一次方程是（ ）
（A ）46-=-x （B ）46=-x （C ）46=+x （D ）46-=+x
4. (2019 呼和浩特市) 已知βα、是关于x 的一元二次方程()22230x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足111-=+β
α，则m 的值是（ ） （A ）3 （B ）1 （C ）3或-1 （D ）-3或1
5、 (2019 潍坊市) 已知关于x 的方程()0112=--+x k kx ，下列说法正确的是（ ）
（A ）当0=k 时，方程无解
（B ）当1=k 时，方程有一个实数解
（C ）当1-=k 时，方程有两个相等的实数解
（D ）当0≠k 时，方程总有两个不相等的实数解
3 6、(2019 泸州市) 设12x x 、是方程2330x x +-=的两个实数根，则2112x x x x +的值为( )
（A ）5 （B ）-5 （C ）1 （D ）-1
7、(2019 桂林市) 已知关于x 的一元二次方程2210x x a ++-=有两根为1x 和2x ，且21120x x x -=，则a 的值是（ ）
（A ）1a = （B ）1a =或2a =- （C ）2a = （D ）1a =或2a =
8、(2019 烟台市) 已知实数a b ，分别满足22640640a a b b -+=-+=，，且a b ≠，则b a a b
+的值是（ ）．
（A ）7 （B ）7- （C ）11 （D ）11-
9、 (2019 咸宁市) 关于x 的一元二次方程2(1)230a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是（ ）
（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）-1
10、(2019 南充市) 关于x 的一元二次方程2310x x m ++-=的两个实数根分别为1x ，2x ．
（1）求m 的取值范围；
（2）若
12122()100x x x x +++=，求m 的值．
11、(2019 南充市) 关于x 的一元二次方程为2(1)210m x mx m --++=．
（1）求出方程的根；
（2）m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
4 12、(2019 乐山市) 已知一元二次方程x 2-(2k +1)x +k 2+k =0 .
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若△ABC 的两边AB 、AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5.当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值.
13、(2019 孝感市) 已知关于x 的一元二次方程22(21)20x k x k k -+++=有两个实数根1x ，2x 。
（1）求实数k 的取值范围；
（2）是否存在实数k 使得221212x x x x ⋅--≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明
理由。