用向量方法证明空间中的平行与垂直

用向量方法证明空间中的平行与垂

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用向量方法证明空间中的平行与垂直

1.已知直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，下列结论成立的是( C >

A．若a∥n，则a∥α B．若a·n＝0，则a⊥α

C．若a∥n，则a⊥α D．若a·n＝0，则a∥α

解读：由方向向量和平面法向量的定义可知应选 C.对于选项D，直线a⊂平面α也满足a·n＝0.

2.已知α，β是两个不重合的平面，其法向量分别为n1，n2，给出下列结论：

①若n1∥n2，则α∥β；②若n1∥n2，则α⊥β；

③若n1·n2＝0，则α⊥β；④若n1·n2＝0，则α∥β.

其中正确的是( A >

A．①③ B．①④

C．②③ D．②④

3.(原创>已知A(3，－2,1>，B(4，－5,3>，则与向量错误!平行的一个向量的坐标是( C >b5E2RGbCAP

A．(错误!，1,1> B． (－1，－3,2>

C．(－错误!，错误!，－1> D．(错误!，－3，－2错误!>p1EanqFDPw

解读：错误!＝(1，－3,2>＝－2(－错误!，错误!，－1>，DXDiTa9E3d

所以与向量错误!平行的一个向量的坐标是(－错误!，错误!，－1>，故选C.RTCrpUDGiT

4.设l1的方向向量为a＝(1,2，－2>，l2的方向向量为b＝(－2,3，m>，若l1⊥l2，则m等于 2 .5PCzVD7HxA

5.设平面α的法向量为(1,2，－2>，平面β的法向量为(－2，－4，k>，若α∥β，则k＝ 4 .

解读：因为α∥β，所以(－2，－4，k>＝λ(1,2，－ 2>，

所以－2＝λ，k＝－2λ，所以k＝4.

6.已知错误!＝(1,5，－2>，错误!＝(3,1，z>．若错误!⊥错误!，错误!＝(x－1，y，－3>，且BP⊥平面ABC，则实数x＝错误!，y＝－错误!，z＝ 4 .jLBHrnAILg

解读：由已知错误!，xHAQX74J0X

解得x＝错误!，y＝－错误!，z＝4.

7.(原创>若a＝(2,1，－错误!>，b＝(－1,5，错误!>，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为2错误!.LDAYtRyKfE 解读：因为a·b＝(2,1，－错误!>·(－1,5，错误!>＝0，

所以a⊥b，又|a|＝2错误!，|b|＝错误!，

所以以a，b为邻边的平行四边形的面积为

|a|·|b|＝2错误!×错误!＝2错误!.

8.如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC ＝10.设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE.Zzz6ZB2Ltk

证明：如图，连接OP，因为PA＝PC，AB＝BC，所以PO⊥AC，

BO⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，所以可以以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系

O­xyz.dvzfvkwMI1

则O(0,0,0>，A(0，－8,0>，B(8,0,0>，C(0,8,0>，

F(4, 0,3>．由题意，得

P(0,0,6>，E(0，－4,3>，

G(0,4,0>．rqyn14ZNXI 因为错误!＝(8,0,0>，错误!＝(0，－4,3>，EmxvxOtOco

设平面BOE的一个法向量为n＝(x，y，z>，

则错误!，即错误!，SixE2yXPq5

取y＝3，则z＝4，所以n＝(0,3,4>．由错误!＝(－4,4，－3>，得n·错误!＝0.6ewMyirQFL

又直线FG不在平面BOE内，所以FG∥平面BOE.

9.如图，四棱锥P­ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面

ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中

点．kavU42VRUs

(1>求证：PB∥平面EFH；

(2>求证：PD⊥平面AHF.

证明：建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz，

所以A(0,0,0>，B(2,0,0>，C(2,2,0>，D(0,2,0>，P(0,0,2>，

E(0,0,1>，F(0,1,1>，H(1，0,0>．y6v3ALoS89

(1>因为错误!＝(2,0，－2>，错误!＝(1,0，－1>，

M2ub6vSTnP

所以错误!＝2错误!，

因为PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH，

所以PB∥平面EFH.

(2>因为错误!＝(0,2，－2>，错误!＝(1,0,0>，错误!＝

(0,1,1>，0YujCfmUCw 所以错误!·错误!＝0×0＋2×1＋(－2>×1＝0，eUts8ZQVRd 错误!·错误!＝0×1＋2×0＋(－2>×0＝0，sQsAEJkW5T

所以PD⊥AF，PD⊥AH，

又因为AF∩AH＝A，所以PD⊥平面AHF.

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