函数图像专题研究

y=f(x-1)
(1) f ( x 1) ( x 3) 2 1 (2) f ( x 1) ( x 1) 2 1
(3) f ( x) 1 ( x 2) 2
y=f(x+1)
(4) f ( x) 1 ( x 2) 2
2
-1 O
y=f(x)-1 1 2
y cos x


正切函数 y tan x
y tan x


2
2
二、函数图象的三大变换
平移
对称
伸缩
问题1：如何由 f ( x) x 2 4x 3 的图象得到 y 下列各函数的图象？
f ( x) x 2 4x 3 ( x 2) 2 1
y=f(x)+1
2 2
4b -12ac 4(b -3ac)
a>0 Δ >0 Δ ≤0 Δ >0 a<0 Δ ≤0
x
x1 x2
x
x0
x x1 x2
x
x0
3、幂函数 y x y
y x2
1

(是常数)
y x3
y x
(1,1)
y
x
1 y x
o
1
x
4、指数函数 y a
1 x y( ) a
x
(aห้องสมุดไป่ตู้ 0, a 1)
ya
x
(a 1)
(0,1)
5、对数函数 y loga x
(a 0, a 1)
y log a x

(1,0)
(a 1)
y log 1 x
a
6、三角函数
正弦函数 y sin x
y sin x


2

2
余弦函数 y cos x
-4 -3 -2 -1 0 1 -1 -2 -3
1
x
-4 -3 -2
-1
y log2
x
y log2
y log2
x
0 1 -1 -2 -3
x
y log2
x
log2 x ( x 0) x log2 ( x 0)
y log2
x
x
函数图像的翻折变换规律：
log2 x ( x 1) x log2 (0 x 1)
3
x
函数图像的平移变换规律： 本质上是函数图像上的每个点的平移
y f ( x)
y f ( x)
y f ( x a)
y f ( x) k

a0
向左平移 向右平移
a0
k k
0 0
a 个单位 向上平移 k 个单位
a 个单位 左右平移
左加右减
上下平移 向下平移 k 个单位 上加下减
0 1 -1 -2 -3
x
-2
-1
0 1 -1 -2 -3
x
y 2
x
y 2 x
关于y轴对称
函数图像的对称变换规律：
关于x轴对称
关于原点对称
2、y f ( x) 关于x轴对称 y f ( x) （x,y)换成（x,-y) 3、y f ( x) 关于原点对称
关于y轴对称 y f ( x) 1、 y f ( x) （x,y)换成（-x,y)

A、 2 sin x
C、 sin 2 x
B、 2 cos x
D、 cos 2 x
由 y f ( x)
保留y轴右侧图像，再将y轴 右方图像对称翻折到y轴左方
y f ( x)
由 y f ( x)
保留x轴上方图像，再将x轴
下方图像对称翻折到x轴上方
y f ( x)
五、适应练习Ⅱ 分别作出下列函数的图像：
1、
y x 4x 3
2
2、
y x 4 x 3
2
点的任意一点，直线OP的倾斜角为 ， 若 的大致图 d，则函数 f OP d） 像是（ D
名题赏析： 2 2 1.已知P是圆 x 1 y 1 上异于坐标原
x 2 2 x， 0 2、已知函数 f ( x) ，若 ln( x 1), x＞0 f ( x) ax ，则 的取值范围是（D）
1 A、 ,16ln 2 e
ln 2 ,16 ln 2 C、 2
0
0
1 B、 e ,
ln 2 ,16 ln 2 D、 2
0
0
4、函数 y
f ( x) 向左平移 4个单位， 再向上平移1个单位后得到的函数对应 表达式为 y 2 cos2 x ，则函数 f ( x) 的表达式可以是（C ）
y f ( x)
（x,y)换成（-x,-y)
四、问题探究Ⅱ
画出函数
x yy log log22 的图像，并指出它与
x
y log2
y
4 3 2 1
x
的图像有何联系？
x
y log2
x
y
4 3 2
y log2
2 3 4
x
y log2
1,0
2 3 4
1,0 1,0
a
A C
， 0
B D
， 1
2， 1
2， 0
3．已知函数
ln x, f ( x) 2 ln x,
1 x 4 1 ，若函数 x 1 4
1 , 4 4
F ( x) f ( x) kx 在区间
上恰有一
个零点，则k的取值范围为（A ）
二、问题探究Ⅰ
在同一坐标系下作出函数
y
4 3
2 2 y 2，的图像， y 2 与yy
x
4 3 2 1
x xx
观察函数图像的特征，你能得出什么结论？
y2
x
x
y
y2
2
x
y
4 3 2 1
y 2x
2
y 2 x
-2 -1
2 1 0 1 -1 -2 -3 2 -2 -1
一、常见的基本函数图象
1、一次函数图象 y ax b
y
递减的 一次函数
递增的 一次函数
o
x
常数函数
2、二次函数的一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)
y
a>0
a<0
y
0
x
0
x
X=
b 2a
X=
b 2a
3、三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的 图象 ' 2
f ( x) 3ax 2bx c