根系关系及应用题

根系关系及应用题
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本讲主要分为两个版块，模块一主要讲解了一元二次方程的补充知识点，韦达定理，在这一板块重点进行了由定理直接进行的代数式的变形，对于这个补充版块，有的班级理解能力强些，老师们可能会有一些富余时间，故给老师们预备了对韦达定理的进一步探索。

模块二练习了各个类型的应用题，希望同学们能从不同的方面深入理解一元二次方程，并再次练习了解方程应用题的一般步骤：审、设、列、解、答，希望老师注意强调应用题的答千万不要忘记。

一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
若21,x x 是关于x 的一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 的两个根，则方程的两个根
21,x x 和系数c b a ,,有如下关系：a
c
x x a b x x =⋅-=+2121,.
【引例】 先阅读，再填空解题：
⑴方程x 2－x －12＝0 的根是：x 1＝3-，x 2＝4，则x 1＋x 2＝1，x 1·x 2＝12-；
⑵方程2x 2－7x ＋3＝0的根是：x 1＝12，x 2＝3，则x 1＋x 2＝72，x 1·x 2＝3
2
；
⑶方程x 2
－3x ＋1＝0的根是：x 1＝ ， x 2＝ ． 则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ； ⑷根据以上⑴⑵⑶你能否猜出：
如果关于x 的一元二次方程mx 2＋nx ＋p ＝0（m ≠0且m 、n 、p 为常数）的两根为x 1、x 2，那么x 1＋x 2、x 1·x 2与系数m 、n 、p 有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由．
⑸在⑶的条件下，求下列各式的值：①221221x x x x +；②221211
x x + （十一学校期末） 【解析】
；3，1；⑷1212n p
x x x x m m
+=-=，； ⑸①()22
12
211212==31=3x x x x x x x x ++⨯②()()
2
221212122
222212*********
====71x x x x x x x x x x x x +-+-+ 思路导航
例题精讲
题型一：根与系数关系
【例1】 不解方程，求下列方程两根的积与和．
⑴25100x x --= ⑵22710x x ++= ⑶23125x x -=+ ⑷()137x x x -=+
【解析】 ⑴1212510x x x x +==-， ⑵121271
22
x x x x +=-=，
⑶12122
23
x x x x +==-， ⑷121247x x x x +==-，
【例2】 已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ．
⑴求实数m 的取值范围；
⑵当22
12
0x x -=时，求m 的值． (毕节中考) 【解析】 ⑴由题意有22(21)40m m ∆=--≥，解得14m ≤．即实数m 的取值范围是1
4
m ≤．
⑵由22
12
0x x -=得1212()()0x x x x +-=． 若120x x +=，即(21)0m --=，解得1
2
m =．
∵12＞14，1
2m ∴=不合题意，舍去． 若120x x -=，即12x x =
∴ 0∆=，由⑴知1
4m =．
故当22
12
0x x -=时，14
m =．
【例3】 已知一元二次方程2(1)230m x mx m +++-=有两个不相等的实数根，并且这两个根又
不互为相反数. ⑴ 求m 的取值范围；
⑵ 当m 在取值范围内取最小偶数时，方程的两根为12,x x ，求2123(14)x x -的值.
（北京八中期中试题）
【解析】 ⑴根据题意，可得 ()()210441300m m m m m +≠⎧⎪
∆=-+->⎨⎪≠⎩
∴3
2
m >-且0m ≠且1m ≠-．
⑵依题意有2m =，原方程可化为23410x x +-=．
典题精练
方法一：∴121221143133410x x x x x x ⎧
+=-⎪⎪
⎪
=-⎨⎪
⎪+-=⎪⎩
∴()2121212123(14)(14)(14)11641x x x x x x x x -=--=+-+=
方法二：12222
133410x x x x ⎧
=-
⎪⎨⎪+-=⎩，()22221212123(14)3391x x x x x x -=⋅==
【探究对象】根系关系的进一步应用
【探究方式】在做含参一元二次方程根系关系的问题时，先考虑二次项系数不为0→再判断∆→然后根据题意看是否有两根的特殊关系（如例3，已知中强调两根不互为相反数，则根据根系关系能够得出0m ≠）．
在这里主要探讨一下根的正负性问题：
利用根与系数的关系，我们可以不直接求方程2++=0ax bx c 的根，而知其根的正、负性． 在2=40b ac ∆-≥的条件下，我们有如下结论：
①当<0c a
时，方程的两根必一正一负．若0b
a -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；
若<0b
a
-，则此方程的正根小于负根的绝对值．
②当>0c a
时，方程的两根同正或同负．若>0b a -，则此方程的两根均为正根；若<0b
a -，则
此方程的两根均为负根．
【探究1】已知关于x 的一元二次方程x 2－2ax +a 2－9=0 （1）a 为何值时，方程有两个正根？ （2）a 为何值时，方程有一正根、一负根？
分析：此题根据上面的总结很容易得出：（1）a >3；（2）－3< a <3
【探究2】已知关于x 的一元二次方程（m +2）x 2
+2mx +
23
2
m -=0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；
（2）若 3
62m <<，试判断方程两个实数根的符号，并证明你的结论． 分析：（1）∵方程有两个不相等的实数根
【探究3】已知方程22430x x k -+-=，k 为实数且k ≠0，证明：此方程有两个实数根，其中一
根大于1，另一根小于1．
分析：先判断∆=4+4k 2>0，所以方程有两不等实根，设为α、β，且αβ≠ 由根系关系得 4αβ+=，23k αβ=-，拓展逆用上述结论： ()()111αβαβαβ--=--+ 223410k k =--+=-<
∴1α-与1β-中必有一个大于0，另一个小于0 即方程有两个实数根，其中一根大于1，另一根小于1．
列一元二次方程解应用题的时候，要注意检验得到的根是否符合题意．
【引例】 ⑴某汽车销售公司2009年盈利1500万元， 2011年盈利2160万元，且从2009年到2011
年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为x ，根据题意，下面所列方程
正确的是（ ）． （西城期末） A ．()2
150012160x += B ．2150015002160x x += C ．215002160x = D ．()()2
15001150012160x x +++=
例题精讲
思路导航
题型二：一元二次方程的应用题
⑵某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程为 ． (台州中考)
【解析】 ⑴A ；⑵100)1(1202=-x ．
【例4】 某商品进价为40元的衬衫按50元售出时.每月能卖500件.这种衬衫每涨价1元，其销
售量减少10件.如果商场计划每月赚8000元利润.售价应定为多少? 【解析】 设涨价x 元，则售价为()50x +元，每月卖出()50010x -件．
根据题意列出方程()()5001050408000x x -+-= 解得：121030x x ==，
答：当售价定在60元或者80元时，每月赚8000元．
【例5】 如图①，要设计一幅宽20cm ，长30cm 的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖
彩条的宽度比为2:3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？
图①
图②
分析：由横、竖彩条的宽度比为2:3，可设每个横彩条的宽为2x ，则每个竖彩条的宽为3x ．为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到矩形ABCD ． 结合以上分析完成填空：
⑴ 如图②，用含x 的代数式表示：
AB =____________________________cm ；AD =____________________________cm ； 矩形ABCD 的面积为_____________cm 2
；
⑵ 列出方程并完成本题解答．
（三帆中学期末试题）
【解析】 ⑴ 220630424260600.x x x x ---+，，
⑵ 根据题意，得2124260600132030x x ⎛⎫
-+=- ⎪⎝⎭
⨯⨯.整理，得2665500x x -+=.解方
程，得125106x x ==，（不合题意，舍去）.则55
2332
x x ==，．
答：每个横、竖彩条的宽度分别为53
cm ，5
2cm.
【例6】 如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面．请观察下列图形并解答有关问
典题精练
题：
⑴在第n个图中，每一横行共有块瓷砖，每一竖列共有块瓷砖；（均用含n 的代数式表示）
⑵设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与⑴中的行列的函数关系式；（不要求写自变量n的取值范围）
⑶按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；
⑷若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题⑶中，共需花多少元钱购买瓷砖？
⑸是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算说明理由．
...
n=3
n=2
n=1
【解析】⑴3
n+；2
n+．
⑵(3)(2)
y n n
=++，即256
y n n
=++．
⑶当y=506时，256506
n n
++=，即255000
n n
+-=
解得
12
2025
n n
==-
，（舍去）．
⑷白瓷砖块数是(1)20(201)420
n n+=⨯+=（块）．
黑瓷砖块数是50642086
-=（块）．
共需86442031604
⨯+⨯=（元）．
⑸2
(1)(56)(1)
n n n n n n
+=++-+
化简为2360
n n
--=
解得
12
n n
==<（舍去）．
∵n的值不为正整数，
∴不存在黑、白瓷砖块数相等的情形．
【例7】关于x的方程20
x px q
++=的两根和为
1
s，两根的平方和为
2
s，两根的立方和为
3
s，
试求
321
s ps qs
++的值．
【解析】设方程的两根为
1
x、
2
x，则
12
x x p
+=-，
12
x x q
=．
∴
1
s p
=-，()2
222
2121212
22
s x x x x x x p q
=+=+-=-．
()()()
2
332
312121212
33
s x x x x x x x x p p q
⎡⎤
=+=++-=--
⎣⎦
3
3pq p
=-．∴()()
32
321
320
s ps qs pq p p p q q p
++=-+-+-=．
真题赏析
训练1. 关于x 的一元二次方程()()23x x m --=有两个实数根1x 、2x ，
⑴ 求m 的取值范围;
⑵若1x 、2x 满足等式121210x x x x --+=求m 的值. （崇文区初三期末）
【解析】 由()()23x x m --=，
整理，得 2560x x m -+-=． ⑴ ∵方程有两个实数根，
∴24b ac =-=Δ254(6)0m --≥．解之，得1
4
m -≥ ．
⑵ ∵方程2560x x m -+-=的两个实根是1x 、2x ， ∴12121456m x x x x m -+==⎧⎪⎨⎪-⎪
⎪⎩
≥ ∵121210x x x x --+=
∴11
4650m m --+=⎧-⎪⎨⎪⎩≥ ∴2m =.
训练2. ⑴已知t 是实数，若a b ，是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，
则22(1)(1)a b --的最小值是____________.
⑵如果a b ，是质数，且22130130a a m b b m -+=-+=，那么
b a
a b
+的值为 （ ） A.12322 B. 12522或2 C. 12522 D. 12322
或2 【解析】 ⑴3-.提示：依题意有()2
2
4410210
2102
10
t a a t b b t a b ab t =--⎧⎪-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪+=⎪
=-⎪⎩
Δ≥≥，化简得2
2121212t a a t b b t ⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩≤≤ ∴()()222(1)(1)224a b a t b t t --=--=-，∴22(1)(1)a b --的最小值为3-． ⑵B ．提示：方法一：有两种情况：
① 若a b =，则2b a
a b
+=；
②若a b ≠，根据题意，a 、b 是方程2130x x m -+=的根，
思维拓展训练(选讲)
则13a b +=，因为a b ，是质数且和为奇数，所以两数分别为2和11．此时211125
11222
b a a b +=+=
． 方法二：两式相减，消m ，2213130a b a b --+=，()()130a b a b -+-=，所以有a b
=或13.a b +=
训练3. 为了鼓励居民节约用电，某地区规定：如果每户居民一个月的用电量不超过a 度时，每度
电按0.40元交费；如果每户居民一个月的用电量超出a 度时，则该户居民的电费将使用
二级电费计费方式，即其中有a 度仍按每度电0.40元交费，超出a 度部分则按每度电
150
a
元交费．下表是该地区一户居民10月份、11月份的用电情况．根据表中的数据，求在
该地区规定的电费计费方式中，a 度用电量为多少？ （西城期末）
【解析】 因为800.432⨯=，1000.44042⨯=<，
所以 80100a <≤.
由题意得 0.4(100)
42150
a
a a +-=. 去分母，得 60(100)42150a a a +-=⨯.
整理，得 216063000a a -+=. 解得 190a =，270a =. 因为 80a ≥，
所以 270a =不合题意，舍去. 所以 90a =．
答：在该地区规定的电费计费方式中，a 度用电量为90度.
训练4. ⑴两个相邻的自然数的平方和比这两个数中较小的数的2倍大51，试求这两个自然数．
⑵某两位数的十位数字与个位数字之和为5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对
调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为736，求原来的两位数．
【解析】 ⑴设这两个自然数分别为1n n +，．
根据题意得()2
21251n n n ++=+
解得：1255n n ==-，（舍） 所以这两个自然数为5和6
⑵设这个数为()10595x x x +-=+，新的数为()105509x x x -+=- 根据题意得：()()95509736x x +-= 解得1223x x ==，
所以这个两位数为23或32
知识模块一 根与系数的关系 巩固练习
【练习1】 ⑴方程2520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ，则1212x x x x +-⋅的值为（ ）
A ．7-
B ．3-
C ．7
D ．3
⑵设1x ，2x 是一元二次方程2320x x --=的两个实数根，则22
11223x x x x ++的值
为__________________．
【解析】 ⑴D ；⑵7．
【练习2】 已知α，β是一元二次方程210x x +-=的两个根，求5325αβ+的值． 【解析】 因为α是方程210x x +-=的根，所以
210αα+-=，即21αα=-． ()2
4211223ααααα=-=-+=-，
()542232353αααααααα=⋅=-=-=-．
同理()322121ββββββββ=⋅=-=-=-．
所以()()()5325253521101121αβαβαβ+=-+-=+-=-．
【练习3】 已知关于x 的方程()2120x k x k -+++=的两个实数根的平方和等于6，求k 的值． 【解析】 设方程的两个根为1x ，2x ，则
121x x k +=+，122x x k =+．
∵22126x x +=，∴()2
121226x x x x +-=． ∴()()2
1226k k +-+=． 解得13k =，23k =-． 又()()2
142k k ∆=+-+．
当3k =时，0∆<，所以，3k =不符合题意．舍去． 当3k =-时，0∆>，所以，3k =-即为所求．
复习巩固
题型二 一元二次方程的应用问题 巩固练习
【练习4】 某市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次
降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少．
【解析】 设平均每次降价的百分率为x ，则
2200(1)128x -=，即10.8x -=±，
解得1 1.8x =（舍去），20.220%x ==
答：这种药品平均每次降价20%．
【练习5】 一条长64m 的铁丝被剪成两段，每段均折成一个正方形，若两个正方形的面积和等
于2160cm ，求这两个正方形的边长，
【解析】 设一个正方形的边长为x cm ，则另一个正方形的边长是644(16)cm 4
x x -=-． ∴22(16)160x x +-=，
整理，得216480x x -+=，解得12412x x ==，，
则1612x -=或164x -=．
答：这两个正方形的边长分别为4cm ，12cm ．。