根系关系及应用题
专题根与系数的关系含答案
专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.已知关于x的方程mx2-2m-1x+m-2=0．1当m取何值时;方程有两个不相等的实数根；2若x1、x2为方程的两个不等实数根;且满足x12+x22-x1x2=2;求m的值．例2.已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0．1求证：此方程有两个不相等的实数根；2设此方程的两个根分别为x1;x2;其中x1＜x2．若2x1=x2+1;求m的值．例3．已知关于x的方程mx2+4-3mx+2m-8=0m＞0．1求证：方程有两个不相等的实数根；2设方程的两个根分别为x1、x2x1＜x2;若n=x2-x1-m;且点B m;n在x轴上;求m的值．.例4.已知关于x的一元二次方程：x2-2m+1x+m2+5=0有两个不相等的实数根．1求m的取值范围；2若原方程的两个实数根为x1、x2;且满足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2;求m的值．例5.已知关于x的方程x2-2k+1x+4k-=0．1求证：无论k取什么实数值;这个方程总有实数根；2能否找到一个实数k;使方程的两实数根互为相反数若能找到;求出k 的值；若不能;请说明理由．3当等腰三角形ABC的边长a=4;另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时;求△ABC的周长．训练1.已知关于x的方程mx2-m+2x+2=0m≠0．1求证：方程总有两个实数根；2已知方程有两个不相等的实数根α;β;满足+=1;求m的值．2.已知一元二次方程x2-2x+m=01若方程有两个实数根;求m的范围；2若方程的两个实数根为x1和x2;且x1+3x2=3;求m的值．3若方程的两个实数根为x1和x2;且x12-x22=0;求m的值．3.已知关于x的方程x2+m-3x-m2m-3=01证明：无论m为何值方程都有两个实数根；2是否存在正数m;使方程的两个实数根的平方和等于26 若存在;求出满足条件的正数m的值；若不存在;请说明理由．4.已知关于x的一元二次方程x2-6x-k2=0k为常数．1求证：方程有两个不相等的实数根；2设x1、x2为方程的两个实数根;且2x1+x2=14;试求出方程的两个实数根和k的值．5.已知关于x的方程x2-2k-3x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．1求k的取值范围；2若x1、x2满足|x1|+|x2|=2|x1x2|-3;求k的值．6.已知关于x的一元二次方程x2-m-2x+m-3=01求证：无论m取什么实数时;这个方程总有两个不相等的实数根；2如果方程的两个实数根为x1;x2;且2x1+x2=m+1;求m的值．7.已知关于x的一元二次方程a-1x2-5x+4a-2=0的一个根为x=3．1求a的值及方程的另一个根；2如果一个等腰三角形底和腰不相等的三边长都是这个方程的根;求这个三角形的周长．8.设x1;x2是关于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a-2=0的两实根;当a为何值时;x12+x22有最小值最小值是多少专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.解：1∵方程有两个不相等的实数根;例2.∴△=b2-4ac=-2m-12-4mm-2=4m+1＞0;例3.解得：m＞-;∵二次项系数≠0;∴m≠0;例4.∴当m＞-且m≠0时;方程有两个不相等的实数根；例5.2∵x1、x2为方程的两个不等实数根;例6.∴x1+x2=;x1x2=;例7.∴x12+x22-x1x2=x1+x22-3x1x2=2-=2;例8.解得：m1=+1;m2=-+1舍去；∴m=+1．例9.例10.解：1∵△=-4m2-44m2-9=36＞0;例11.∴此方程有两个不相等的实数根；例12.2∵x==2m±3;例13.∴x1=2m-3;x2=2m+3;例14.∵2x1=x2+1;∴22m-3=2m+3+1;例15.∴m=5．例16.例17.解：1∵△=4-3m2-4m2m-8;例18.=m2+8m+16=m+42例19.又∵m＞0∴m+42＞0即△＞0例20.∴方程有两个不相等的实数根；例21.2∵方程的两个根分别为x1、x2x1＜x2;例22.∴x1+x2=-;x1x2=;例23.n=x2-x1-m;且点B m;n在x轴上;例24.∴x2-x1-m=-m=-m=0; 例25.解得：m=-2;m=4;例26.∵m＞0;∴m=4．例27..解：1∵方程x2-2m+1x+m2+5=0有两个不相等的实数根;例28.∴△=-2m+12-4m2+5=8m-16＞0;解得：m＞2．例29.2∵原方程的两个实数根为x1、x2;例30.∴x1+x2=2m+1;x1x2=m2+5．例31.∵m＞2;例32.∴x1+x2=2m+1＞0;x1x2=m2+5＞0;例33.∴x1＞0、x2＞0．例34.∵x12+x22=-2x1x2=|x1|+|x2|+2x1x2;例35.∴4m+12-2m2+5=2m+1+2m2+5;即6m-18=0;例36.解得：m=3．例37.例38.证明：1∵△=2k+12-16k-=2k-32≥0;例39.∴方程总有实根；例40.解：2∵两实数根互为相反数;例41.∴x1+x2=2k+1=0;解得k=-0.5；例42.3①当b=c时;则△=0;例43.即2k-32=0;∴k=;例44.方程可化为x2-4x+4=0;∴x1=x2=2;而b=c=2;∴b+c=4=a不适合题意舍去；例45.②当b=a=4;则42-42k+1+4k-=0;例46.∴k=;例47.方程化为x2-6x+8=0;解得x1=4;x2=2;例48.∴c=2;C△ABC=10;例49.当c=a=4时;同理得b=2;∴C△ABC=10;例50.综上所述;△ABC的周长为10．例51.训练1.1证明：∵方程mx2-m+2x+2=0m≠0是一元二次方程;∴△=m+22-8m=m2+4m+4-8m=m2-4m+4=m-22≥0;∴方程总有两个实数根；2解：∵方程有两个不相等的实数根α;β;∴由根与系数的关系可得α+β=;αβ=;∵+=1;∴==1;解得m=0;∵m≠0;∴m无解．2.解：1∵方程x2-2x+m=0有两个实数根;∴△=-22-4m≥0;解得m≤1；2由两根关系可知;x1+x2=2;x1x2=m;解方程组;解得;∴m=x1x2=×=；3∵x12-x22=0;∴x1+x2x1-x2=0;∵x1+x2=2≠0;∴x1-x2=0;∴方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根;∴△=-22-4m=0;解得m=1．3.1证明：∵关于x的方程x2+m-3x-m2m-3=0的判别式△=m-32+4m2m-3=9m-12≥0;∴无论m为何值方程都有两个实数根；2解：设方程的两个实数根为x1、x2;则x1+x2=-m-3;x1×x2=-m2m-3;令x12+x22=26;得：x1+x22-2x1x2=m-32+2m2m-3=26;整理;得5m2-12m-17=0;解这个方程得;m=或m=-1;所以存在正数m=;使得方程的两个实数根的平方和等于26．4.1证明：在方程x2-6x-k2=0中;△=-62-4×1×-k2=4k2+36≥36;∴方程有两个不相等的实数根．2解：∵x1、x2为方程的两个实数根;∴x1+x2=6①;x1x2=-k2;∵2x1+x2=14②;联立①②成方程组;解之得：;∴x1x2=-k2=-16;∴k=±4．5.解：1∵原方程有两个不相等的实数根;∴△=-2k-32-4k2+1=4k2-12k+9-4k2-4=-12k+5＞0;解得：k＜；2∵k＜;∴x1+x2=2k-3＜0;又∵x1x2=k2+1＞0;∴x1＜0;x2＜0;∴|x1|+|x2|=-x1-x2=-x1+x2=-2k+3;∵|x1|+|x2|=2|x1x2|-3;∴-2k+3=2k2+2-3;即k2+k-2=0;∴k1=1;k2=-2;又∵k＜;∴k=-2．6.解：1∵△=m-22-4×m-3=m-32+3＞0;∴无论m取什么实数值;这个方程总有两个不相等的实数根；2解：x1+x2=m-2;2x1+x2=x1+x1+x2=m+1;∴x1=m+1+2-m=3;把x1代入方程有：9-3m-2+m-3=0解得m=．7.解：1将x=3代入方程中;得：9a-1-15+4a-2=0;解得：a=2;∴原方程为x2-5x+6=x-2x-3=0;解得：x1=2;x2=3．∴a的值为2;方程的另一个根为x=2．2结合1可知等腰三角形的腰可以为2或3;∴C=2+2+3=7或C=3+3+2=8．∴三角形的周长为8或7．8..解：∵△=2a2-4a2+4a-2≥0;∴又∵x1+x2=-2a;x1x2=a2+4a-2．∴x12+x22=x1+x22-2x1x2=2a-22-4．设y=2a-22-4;根据二次函数的性质．∵∴当时;x12+x22的值最小．此时;即最小值为．。
初中数学专题复习33.一元二次方程的根系关系
一元二次方程的根系关系一、 利用根系关系解决三角形问题 二、 韦达定理与直接应用三、 利用根系关系求代数式的值 四、 根的分布一、 利用根系关系解决三角形问题1.【易】已知a 、b 是方程2350x x -+=的两个正根，c 是方程29x =的正根，试判断以a 、b 、c 为边的三角形是否存在？并说明理由 【答案】不存在，理由：∵3a b c +==，与a b c +>矛盾2.【易】（眉山市2011年初中学业水平暨高中阶段教育学校招生考试）已知三角形的两边长是方2560x x -+=的两个根．则该三角形的周长L 的取值范围是（ ） A ．15L << B ．26L << C ．59L << D ．610L << 【答案】D3.【中】已知三角形的两边长分别是方程2320x x -+=的两根，第三边的长是方程22530x x -+=的根，求这个三角形的周长．【答案】924.【中】已知ABC ∆的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程22(23)320x k x k k -++++=的两个实数根，第三边BC 的长是5 ⑴k 为何值时，ABC △是以BC 为斜边的直角三角形； ⑵k 为何值时，ABC △是等腰三角形，并求ABC ∆的周长 【答案】⑴2k =⑵4k =时，周长为16；3k =时，周长为14二、 韦达定理与直接应用5. 【易】已知3x =-是关于x 的一元二次方程()21230k x kx -++=的一个根，则k 与另一根分别为（） A.2，1- B.1-，2 C.2-，1 D.1，2- 【答案】A6. 【易】已知方程()()23410x m x m ++++=的两根互为相反数，则m 的值是（）A.4B.4-C.1D.1- 【答案】B7. 【易】若方程20x x k ++=有两负根，则k 的取值范围是（）A.0k >B.0k <C.14k <D.104k <≤【答案】D8. 【易】若方程20x px q ++=的两根中，只有一个是0，那么（）A.0p q ==B.00p q ≠=，C.00p q =≠，D.不能确定 【答案】B9. 【易】方程22104p x px --+=的大根与小根之差等于（）A.1±B.221p -C.1【答案】C10.【易】1的一元二次方程是（） A.210x x ++= B.210x x +-= C.210x x -+= D.210x x --= 【答案】B11.【易】已知关于x 的一元二次方程220ax ax c ++=的一根12x =，则方程的另一根2_________x = 【答案】4-12.【易】（北大附中2010-2011学年度初二第二学期期末考试）已知方程2520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ，则1212x x x x +-⋅的值为（ ） A ．7- B ．3- C ．7 D ．3 【答案】D13.【易】（上海中考）若1x ，2x 是一元二次方程2620x x --=的两个实数根，则12x x +的值是（ ） A ．6- B ．2- C ．6 D ．2 【答案】C14.【易】（2011年来宾市初中毕业升学统一考试试题）已知一元二次方程220x mx +-=的两个实数根分别是1x 、2x ，则12_________x x ⋅= 【答案】2-15.【易】（实验中学部2013月考）若3是关于方程250x x c -+=的一个根，则这个方程的另一个根是（ ） A ．2- B ．2 C ．5- D ．5 【答案】B16.【易】已知12,x x 为方程20x px q ++=的两根，且126x x +=，221220x x +=，求,p q 的值．【答案】6p =-，8q =．17.【易】已知关于x 的方程2130x x k -+=的两根α、β满足条件31αβ-=，求k 的值． 【解析】由一元二次方程根与系数的关系，得13αβ+=，与31αβ-=联列方程组，解得10α=，3β=．所以30k αβ==．【答案】3018.【易】设1x 、2x 是方程()222120x k x k -+++=的两个不同的实根，且()()12118x x ++=，则k 的值是___________．【解析】由根与系数的关系得()1221x x k +=+，2122x x k ⋅=+．且有()()224142840k k k ∆=+-+=->，即12k >． 所以()()12118x x ++=． 从而2230k k +-=， 解之得3k =-或1k =．又12k >，所以1k =． 【答案】1k =19. 【易】已知关于x 的方程22(23)30x k x k +-+-=有两个实数根1x ，2x ，且121211x x x x +=+，求k 值．【解析】∵方程22(23)30x k x k +-+-=有两个实数根1x ，2x ，∴2212212(23)4(3)21120(23)3k k k x x k x x k ⎧∆=---=-⎪+=--⎨⎪⋅=-⎩≥，由（1）得：74k ≤．∵121211x x x x +=+，∴121212x x x x x x ++=，120x x +=或121x x =当120x x +=时，320k -=，32k =，∵3724k =<，所以32k =符合题意．当121x x =时，231k -=，2k =±，∵74k ≤，∴2k =舍去．∴k 的值为32或2-．此题是已知方程两根满足的条件，求参数的取值．【答案】32或2-20. 【易】已知关于y 的方程220y ay a -+-=，分别写出下列情形中a 所满足的条件：⑴方程有两个正实数根；⑵方程两根异号．【解析】2(2)40a ∆=-+>，所以不论a 取何值，方程都有两个不等的实数根． ⑴由根与系数的关系可得020a a >⎧⎨->⎩，解得2a >；⑵两根异号积小于零，即20a -<，2a <．【答案】⑴2a >；⑵2a <21. 【易】已知关于x 的方程22290x mx m ++-=只有一个正根，求m 的取值范围．【解析】原方程可化为：2()9x m +=，解得13x m =--，23x m =-，显然12x x <， 根据题意可得：1200x x ⎧⎨>⎩≤，即3030m m --⎧⎨->⎩≤，解得33m -<≤．【答案】33m -<≤22. 【易】已知关于x 的方程22290x mx m ++-=至少有一个正根，求m 的取值范围．【解析】原方程可化为：2()9x m +=，解得13x m =--，23x m =-，显然12x x <，根据题意只需20x >，即30m -+>，即3m <．【答案】3m <23. 【易】已知关于x 的方程211300x x a -++=的两根都大于5，求a 的取值范围．【解析】设1x ，2x 是方程的两根，1212121212(5)(5)5()250301112141200x x x x x x x x a x x a --=-++>⎧⎪=+⎪⎨+=⎪⎪∆=--⎩≥，解得104a <≤． 【答案】104a <≤24. 【易】已知关于x 的方程24280x x m --+=的一个根大于1，另一个根小于1，求m的取值范围．【解析】设1x ，2x 是方程的两根，且11x >，21x <，即110x ->，210x -<，1212121212(1)(1)()10284164(28)0x x x x x x x x m x x m --=-++<⎧⎪=-+⎪⎨+=⎪⎪∆=+->⎩，解得52m >． 【答案】52m >25. 【易】关于x 的二次方程22(1)40(0)mx m x m ---=≠的两根一个比1大，另一个比1小，则m 的取值范围是______________．【解析】设方程有两个根为12,x x ，由韦达定理得12122(1)4,,m x x x x m m-+=⋅=- 又由已知，有121212(1)(1)0,()10x x x x x x --<-++<即故有2(1)410m m m ---+< ∴20mm+>，∴0m >或2m <- 【答案】0m >或2m <-26. 【易】实数k 为何值时，关于x 的一元二次方程2(23)(24)0x k x k --+-=．⑴有两个正根？⑵两根异号，且正根的绝对值较大？ ⑶一根大于3，一根小于3？【解析】[]2(23)(24)0(1)(24)0x k x k x x k --+-=⇒---=，故1x =或24x k =-⑴若两根均为正，则240k ->，故2k >；⑵若两根异号，且正根的绝对值较大，则0421k <-<，故322k <<； ⑶由13<可知，72432k k ->⇒>． 【答案】⑴2k >；⑵322k <<；⑶72k >27. 【易】已知二次方程2(23)100kx k x k +-+-=的两根都是负数，则k 的取值范围是____________．【解析】此方程丙实根为12,x x ，由已知得12120000k x x x x ≠⎧⎪∆⎪⎨+<⎪⎪>⎩≥ 即： 30(23)4(10)023100k k k k k k k k≠⎧⎪---⎪⎪-⎨-<⎪⎪->⎪⎩≥ 得：∴0928302010k k k k k k ≠⎧⎪⎪-⎪⎨⎪><⎪⎪<>⎩≥或或 即9028k -<≤或10k >．【答案】9028k -<≤或10k >28. 【易】关于x 的方程22410x kx +-=的一个根是2-，则方程的另一根是________；k =________．【答案】72，3-．29. 【易】已知关于x 的方程05)2(222=-+++m x m x 有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值。
2.4一元二次方程根系关系的专题
专题一：一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++两根的三种特殊情况 1.一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++的两根是互为相反数： 设方程两根为21x x ，，则⇔⎪⎩⎪⎨⎧=⇒==+≥∆0b 0a b -x x 021方程）（0a 0c bx ax 2≠=++的两根是互为相反数 例1：已知关于x 的一元二次方程()()010m 2x 9-m x 3-m 22=+++有两根互为相反数，求m 及两根。
2.一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++的两根是互为倒数：设方程两根为21x x ，，则⇔⎪⎩⎪⎨⎧=⇒==≥∆c a 1a c x x 021方程）（0a 0c bx ax 2≠=++的两根是互为倒数 例2：已知关于x 的一元二次方程()02-m 3x 3m x m 22=+++有两根互为倒数，求m 的值。
3.一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++必有一根为0：设方程两根为21x x ，，则⇔⎪⎩⎪⎨⎧=⇒==≥∆0c 0a c x x 021方程）（0a 0c bx ax 2≠=++必有一根为0 例3：已知关于x 的一元二次方程()()04-k x 32k -x 2k 22=+++有一根为0，求k 的值及方程的根。
专题二：利用一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++根的关系求待定系数及两根 例1：已知一元二次方程两根之和是4，两根之积为1，求这两根。
例2：已知关于x 的一元二次方程()05-m x 2m 2x 22=+++有两个实数根，且两根平方和比两根积大16，求m 的值。
例3：已知关于x 的一元二次方程0m 53x x 22=++的两根都小于1，求m 的取值范围。
例4：已知以斜边长为13的直角三角形的两条直角边长分别是一元二次方程()()02m 3x 1-m -x 2=++的两根，求直角三角形两直角边长。
专题三：利用一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++根系关系判断根的符号 （1）两根同号⇔⎪⎩⎪⎨⎧⇒>⇒>≥∆同号与c a 0a c 0x x 021 （2）两根异号⇔⎪⎩⎪⎨⎧⇒<⇒<>∆异号与c a 0a c 0x x 021 例：k 为何值时，方程()03k kx 2x 1-k 2=+++有一正根，有一负根，求k 的取值范围。
关于根与系数关系的题及答案
一、基本知识原理设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x1 ，x2 ，则有根与系数的关系：x1 +x2 = -(b/a)；x1 x2 =c/a ；根与方程的关系：ax12+bx1+c=0 ，ax22+bx2+c=0 。
二、解题方法与策略对于中考数学中这种常见填空题型，出题方式一般是，条件中直接告诉方程有两个根，但通常不会告诉这两个根的具体值，就算你用求根公式可以解出根的具体值，看起来非常繁琐，也不利于求解。
所以，对于这种题目我们的解题方法与策略是：（1）运用根与系数的关系，先求出方程两个根的和与积；（2）对方程进行适当变形，使二次项转化为一次项或常数；或对所求代数表达式进行适当的变形，使其变为含有两根的和或积的形式；（3）代入两个根的和与积，或者代入根与方程的关系，进行计算，问题便迎刃而解。
三、例题详解例1、已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2020＝0的两个根，则a2+2b﹣3的值等于解：由题意可知：a2﹣2a＝2020，（对方程进行适当的变形，使高次项转化为一次项或常数）由根与系数的关系可知：a+b＝2，（根据方程求出两个根的和）∴原式＝a2﹣2a+2a+2b﹣3 （对所求代数表达式进行适当的变形，使表达式中含有两根之和的形式；）＝2020+2（a+b）﹣3＝2020+2×2﹣3＝2021例2、一个直角三角形的两条直角边的长度恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是.例4、已知关于x的方程x2-4x+k-1=0的两根之差等于6，那么k ．解：设方程的两根为a、b，∴a+b=4 , ab = k-1（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab = 42 -4(k-1)=36解得：k=-4例5、设m、n是一元二次方程x2-2018x+1=0的两个实数根，则代数式2017m2+2018n2-2018n-2017×20182 的值为（）解：由已知得m+n = 2018 , mn=1（先求出方程两个根的和与积）m2+n2 =(m+n)2 -2mn = 20182 -2 （利用和与积化简高次项为常数）∴2017m2+2018n2-2018n-2017×20182 （对所求代数表达式进行适当的变形）= 2017(m2+n2) + n2 -2018n-2017×20182= 2017( 20182 -2)-1-2017×20182= -4035。
根与系数关系例题附答案
根与系数关系专练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知α，β方程x 2+3x ﹣8＝0的两个实数根，则为x 1、x 2，则α2+β2的值为（ ） A ．﹣7 B ．25 C ．17 D ．1【答案】B 【分析】根据韦达定理可得α＋β＝-3，αβ＝-8，再根据完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：∵α，β方程x 2+3x ﹣8＝0的两个实数根， ∴α＋β＝-3，αβ＝-8，∴α2+β2=（α＋β）2-2αβ＝9+16=25， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根时，则x 1＋x 2＝−b a，x 1x 2＝c a ．2．一元二次方程240x kx +-=的一个根是1x =-，则另一个根是（ ） A ．4 B ．-1 C ．-3 D ．-2【答案】A 【分析】设方程的另一个根为m ，由根与系数的关系即可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为m ， 则有m ×（-1）=-4， 解得：m =4． 故选：A ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及解一元一次方程，牢记两根之积等于ca是解题的关键．3．已知,m n 是方程2310x x +-=的两根，则24m m n ++的值为（ ）A ．2-B ．2C ．3-D ．4【答案】A 【分析】,m n 是方程2310x x +-=的两根,则有2310m m +-=，3m n +=-，将原式变形代入求解即可． 【详解】解：∵,m n 是方程2310x x +-=的两根 ∴2310m m +-=，3m n +=- ∴231m m +=∴22+4+=3=132m m n m m m n +++-=- 故选：A 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及方程解的定义，根据所对应的代数式进行适当的变形是解题关键．4．若x 1，x 2是一元二次方程x 2+x ﹣1＝0的两根，则x 12﹣2017x 1﹣2018x 2的值为（ ） A ．2020 B ．2019 C ．2018 D ．2017【答案】B 【分析】根据一元二次方程的解的定义可得21110x x +-=，根与系数的关系求得12x x +1=-，代入求解即可． 【详解】x1，x 2是一元二次方程x 2+x ﹣1＝0的两根，∴21110x x +-=，12x x +1=-，()()2111220181201812019x x x x ∴=+-+=-⨯-=原式．故选B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键． 5．已知实数a ，b 满足a ≠b ，且a 2－4a ＝b 2－4b ＝2，则a 2＋b 2的值为（ ） A ．16 B ．20 C ．25 D ．30【答案】B 【分析】根据题意可得则,a b 为2x 4x 2-=的两根，进而根据一元二次方程根与系数的关系以及完全平方公式的变形求值即可． 【详解】242a a -=，242b b -=，则,a b 为2x 4x 2-=的两根 2420x x --=， 4,2a b ab ∴+==-，()222216420a b a b ab ∴+=+-=+=，故选B 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，理解,a b 为2x 4x 2-=的两根是解题的关键．6．等腰三角形三边长分别为a 、b 、4，且a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x +k +2＝0的两根，则k 的值为（ ） A ．30 B ．34或30C ．36或30D ．34【答案】D 【分析】分三种情况讨论，①当a =4时，②当b =4时，③当a=b 时；结合一元二次方程根与系数的关系即可求解； 【详解】解：当4a =时，440448b -=<<+=时，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x k -++=的两根， 412b ∴+=， 8b ∴=不符合；当4b =时，440448a -=<<+=，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x k -++=的两根， 412a ∴+=，8a ∴=不符合；当a b =时，a b 、是关于x 的一元二次方程21220x x k -++=的两根， 1222a b ∴==， 6a b ∴==，236k ab ∴+==，34k ∴=； 故选D ． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合一元二次方程根与系数的关系和三角形三边关系进行解题是关键． 7．方程2x 2+（k +1）x －6=0的两根和是－2，则k 的值是（ ） A ．k =3 B ．k =－ 3 C ．k =0 D ．k =1【答案】A 【分析】设方程22(1)60x k x ++-=的两根分别为1x ，2x ，则由题意得12122k x x ++=-=-，解方程即可． 【详解】解：设方程22(1)60x k x ++-=的两根分别为1x ，2x ， ∵方程22(1)60x k x ++-=的两根之和是-2， ∴12122k x x ++=-=-， ∴3k =， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． 8．点(),A a b 在反比例函数9y x=上的点图象上，且a ，b 是关于的一元二次方程260x x m -+=的两根，则点A 坐标是（ ）A ．（1，9）B ．92,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．（3，3）D ．（-3，-3）【答案】C 【分析】根据点(),A a b 在反比例函数9y x=上的点图象上，可得9ab = ，再利用一元二次方程根与系数的关系，可得ab m =，从而得到9m = ，然后解出方程，即可求解． 【详解】解：∵点(),A a b 在反比例函数9y x=上的点图象上， ∴9ab = ，∵a ，b 是关于的一元二次方程260x x m -+=的两根， ∴ab m =， ∴9m = ，∴方程260x x m -+=为2690x x -+=， 解得：123x x == ， 即3a b == ， ∴点A 坐标是()3,3 ． 故选：C 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握反比例函数的性质，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．二、填空题9．设a ，b 是方程x 2＋x ﹣2021＝0的两个实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为____． 【答案】2020 【分析】由于a 2＋2a ＋b ＝（a 2＋a ）＋（a ＋b ），故根据方程的解的意义，求得（a 2＋a ）的值，由根与系数的关系得到（a ＋b ）的值，即可求解． 【详解】解：∵a ，b 是方程x 2＋x −2021＝0的两个实数根， ∴a 2＋a −2021＝0，即a 2＋a ＝2021，a ＋b ＝ba-＝−1，∴a 2＋2a ＋b ＝a 2＋a ＋a ＋b ＝2021−1＝2020， 故答案为：2020． 【点睛】本题综合考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形．10．若方程x 2﹣3x +1＝0的两根是x 1，x 2，则x 1（1+x 2）+x 2的值为___． 【答案】4 【分析】根据根与系数的关系可得出x 1+x 2＝3、x 1x 2＝1，将其代入x 1（1+x 2）+x 2＝（x 1+x 2）+x 1x 2中即可求出结论． 【详解】解：∵方程x 2﹣3x +1＝0的两根是x 1，x 2， ∴x 1+x 2＝3，x 1x 2＝1，∴x 1（1+x 2）+x 2＝x 1+x 1x 2+x 2＝（x 1+x 2）+x 1x 2＝3+1＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-b a、两根之积等于ca 是解题的关键．11．设a ，b 是方程x 2+x ﹣2021＝0的两个实数根，则（a +1）（b +1）的值为_______． 【答案】-2021 【分析】首先根据一元二次方程根与系数的关系得出1,2021a b ab +=-=-，然后整体代入求解即可． 【详解】∵a ，b 是方程x 2+x ﹣2021＝0的两个实数根， 1,2021a b ab ∴+=-=-，()()()()1112021112021a b ab a b ∴++=+++=-+-+=-，故答案为：-2021． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握一元二次方程根与系数的关系是关键．12．已知方程3x 2﹣x ﹣1＝0的两根分别是x 1和x 2，则x 1+x 2﹣x 1x 2的值为_________． 【答案】23【分析】根据一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系可得x 1+x 2＝13，x 1x 2＝13-，再将它们代入x 1+x 2﹣x 1x 2，计算即可． 【详解】解：∵方程3x 2﹣x ﹣1＝0的两根分别是x 1和x 2，∴x 1+x 2＝13，x 1x 2＝13-，∴x 1+x 2﹣x 1x 2＝13﹣1()3-＝23．故答案为：23．【点睛】本题考查了根与系数的关系：x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2＝﹣b a，x 1•x 2＝ca ．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．也考查了一元二次方程的解的定义．13．设x 1，x 2是方程2x 2+3x ﹣4＝0的两个实数根，则4x 12+4x 1﹣2x 2的值为 ______． 【答案】11 【分析】先根据一元二次方程根的定义得到2x 12＝﹣3x 1+4，则4x 12+4x 1﹣2x 2化为﹣2（x 1+x 2）+8，再根据根与系数的关系得到x 1+x 2＝﹣32，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵x 1是方程2x 2+3x ﹣4＝0的根， ∴2x 12+3x 1﹣4＝0， ∴2x 12＝﹣3x 1+4，∴4x 12+4x 1﹣2x 2＝2（﹣3x 1+4）+4x 1﹣2x 2＝﹣2（x 1+x 2）+8， ∵x 1，x 2是方程2x 2+3x ﹣4＝0的两个实数根， ∴x 1+x 2＝﹣32，∴4x 12+4x 1﹣2x 2＝﹣2（x 1+x 2）+8＝﹣2×（﹣32）+8＝11．故答案为:11． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根，则12bx x a +=-，12c x x a=．14．设α、β是方程x 2+2x ﹣2021＝0的两根，则α2+3α+β的值为______． 【答案】2019 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到α2+2α-2021=0，则α2+2α=2021，于是α2+3α+β可化为2021+α+β，再利用根与系数的关系得到α+β=-2，然后利用整体代入的方法计算求解即可． 【详解】解：根据题意知，α2+2α﹣2021＝0，即α2+2α＝2021． 又∵α+β＝﹣2．所以α2+3α+β＝α2+2α+（α+β）＝2021﹣2＝2019． 故答案是：2019． 【点睛】此题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，1212,b cx x x x a a+=-=，也考查了一元二次方程的解．解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解以及根与系数的关系．三、解答题15．已知关于x 的方程240x x m -+=的一个根为2+ （1）求m 的值及方程的另一个根； （2）设方程的两个根为1x ，2x ，求20212022121x xx +的值．【答案】（1）m =1，（2）4 【分析】（1）设方程的另一个根为a ，则由根与系数的关系得：a ，（a =m ，求出即可．（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到x 1+x 2=4，x 1•x 2=1，根据积的乘方把原式变形，代入计算即可． 【详解】解：（1）设方程的另一个根为a ，则由根与系数的关系得：a ，（a =m ，解得：a m =1，即m =1，方程的另一个根为 （2）x 1，x 2是方程x 2-4x +1=0的两个根， 则x 1+x 2=4，x 1•x 2=1，∴x 12021x 22022+x 1=（x 1x 2）2021x 2+x 1=x 2+x 1=4． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的应用，x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=ba -，x 1x 2=c a ，反过来也成立．16．已知关于x 的方程221(2)04x m x m --+=有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由．【答案】（1）m ＜1；（2）不存在；理由见解析． 【分析】（1）由题意根的判别式大于0即可求解；（2）根据互为相反数的两数和等于0得方程，求解并判断即可． 【详解】解：（1）∵关于x 的方程221(2)04x m x m --+=有两个不相等的实数根，∴Δ=（m -2）2-2144m ⨯ ＞0即：4-4m ＞0 m ＜1（2）由题意，x 1+x 2=()214m ---=4m -8， 若方程两实数根互为相反数，则4m -8=0， 解得，m =2， 因为m ＜1，所以m =2时，原方程没有实数根，所以不存在实数，使方程两实数根互为相反数． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系．（2）易错，只关注求m 的值而忽略m 的范围．17．定义：若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两个实数根为12,x x （12x x <），分别以12,x x 为横坐标和纵坐标得到点M （12,x x ），则称点M 为该一元二次方程的奇特点． （1）若方程为x 2=3x ，写出该一元二次方程的奇特点M 的坐标；（2）若关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +1）x +2m ＝0（m ＜0）的奇特点为M ，过点M 向x 轴和y 轴作垂线，两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m 的值； （3）是否存在b ，c ，使得不论k （k ≠0）为何值，关于x 的一元二次方程x 2+bx +c ＝0的奇特点M 始终在直线y ＝3kx ﹣2（k ﹣2）上，若存在请算出b ，c 的值，若不存在请说明理由．【答案】（1）()0,3 ；（2）12m =- ；（3）存在，148,33b c ==【分析】（1）先解出一元二次方程，再根据奇特点M 的定义，即可求解；（2）先解出一元二次方程，再根据奇特点M 的定义，可得奇特点M 的坐标为()2,1m ，再由过点M 向x 轴和y 轴作垂线，两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，可得到关于m 的方程，解出即可；（3）将直线解析式变形，可得直线过定点2,43⎛⎫⎪⎝⎭，从而得到一元二次方程x 2+bx +c ＝0的两个根为122,43x x == ，即可求解．【详解】解：（1）23x x = ，整理得： 230x x -=，即()30x x -=，解得：120,3x x == ， ∴奇特点M 的坐标为()0,3 ； （2）x 2﹣（2m +1）x +2m ＝0， ∴()()210x m x --= ， 解得：122,1x m x == ， ∵m ＜0， ∴21m < ，∴奇特点M 的坐标为()2,1m ，∵过点M 向x 轴和y 轴作垂线，两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形， ∴21m -= ，解得：12m =- ；（3）存在，理由如下：∵()()322324y kx k k x =--=-+ ，∴当320x -= ，即23x =时，4y = ， ∴直线y ＝3kx ﹣2（k ﹣2）过定点2,43⎛⎫⎪⎝⎭ ，∵一元二次方程x 2+bx +c ＝0的奇特点M 始终在直线y ＝3kx ﹣2（k ﹣2）上，一元二次方程x 2+bx +c ＝0的两个根为122,43x x == ， ∴224,433b c +=-⨯= ， 解得：148,33b c == ． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正方形的性质，一次函数的性质，理解新定义是解题的关键．18．已知方程2x ﹣（m ﹣3）x ﹣3m ＝0有一个根为4，求它的另一个根．【答案】﹣3【分析】直接把4代入方程即可求得m 的值，然后利用根与系数关系求另一个根即可．【详解】解：把4代入已知方程得：24﹣4（m ﹣3）﹣3m ＝0，解得m ＝4，∴两根之积为﹣3m ＝﹣12，∴另一个根为：﹣12÷4＝﹣3．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数关系定理，熟练掌握根与系数关系定理是解题的关键．19．利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：（1）(31)10x x --=； （2）(25)(1)7x x x ++=+．【答案】（1）1213x x +=，1213x x =-；（2）123x x +=-，121x x =-． 【分析】将原式整理为一元二次方程一般式，然后根据根与系数的关系：1212,b c x x x x a a+=-⋅=，求解即可．【详解】解：（1）原式整理为：2310x x --=，∴3,1,1a b c ==-=-， ∴1213b x x a +=-=，1213c x x a ⋅==-； （2）原式整理为：2310x x +-=，∴1,3,1a b c ===-， ∴123b x x a +=-=-，121c x x a⋅==-． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．20．求下列方程两个根的和与积：（1）25100x x --=； （2）22710x x ++=；（3）23125x x -=+； （4）(1)37x x x -=+．【答案】（1）125x x +=，x x ⋅=-1210；（2）1272x x +=-，1212x x ⋅=；（3）1223x x +=，122x x ⋅=-；（4）124x x +=，x x ⋅=-127 【分析】（1）直接根据根与系数的关系求解；（2）直接根据根与系数的关系求解；（3）先把方程化为一般式为23260x x --=，然后根据根与系数的关系求解； （4）先把方程化为一般式为2470x x --=，然后根据根与系数的关系求解．【详解】解：（1）设方程的两根为1x ，2x ，则125x x +=，x x ⋅=-1210 ．（2）设方程的两根为1x ，2x ，则1272x x +=-，1212x x ⋅=． （3）原方程化为23260x x --=，设方程的两根为1x ，2x ，则1223x x +=，122x x ⋅=-． （4）原方程化为2470x x --=，设方程的两根为1x ，2x ，则124x x +=，x x ⋅=-127．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1＋x 2＝−b a，x 1x 2＝c a ． 21．根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根12,x x 的和与积： （1）26150x x --=（2）23790x x +-=（3）2514x x -=【答案】（1）12126,15x x x x +==-；（2）12127,33x x x x +=-=-；（3）121251,44x x x x +== 【分析】（1）根据如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根为，1x 和2x ，那么12b x x a +=-，12c x x a=进行求解即可得到答案； （2）根据如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根为，1x 和2x ，那么12b x x a +=-，12c x x a=进行求解即可得到答案； （3）根据如果一元二次方程20ax bx c ++=的两根为，1x 和2x ，那么12b x x a +=-，12c x x a=进行求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵26150x x --=，∴1a =，6b =-，15c =-， ∴126b x x a +=-=，1215c x x a==-； （2）∵23790x x +-=，∴3a =，7b =，9c =-， ∴1273b x x a +=-=-，123c x x a==-； （3）∵2514x x -=，即24510x x -+=∴4a =，5b =-，1c =， ∴1254b x x a +=-=，1214c x x a ==． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根于系数的关系．22．已知1x ，2x 是一元二次方程22210x x m -++=的两个实数根．（1）求实数m 的取值范围；（2）如果1x ，2x 满足不等式2121246()x x x x +>+，且m 为整数，求m 的值．【答案】（1）12m；（2）1-或0 【分析】（1）由题意得一元二次方程判别式Δ≥0，进而求解．（2）由根与系数的关系用含m 的代数式表示12x x +与12x x ⋅，进而求解．【详解】解：（1）方程22210x x m -++=有两个实数根，∴Δ0，即2(2)42(1)0m --⨯+， 解得12m ， ∴实数m 的取值范围是12m； （2）1x ，2x 是一元二次方程22210x x m -++=的两个实数根，121x x ∴+=，121(1)2x x m ⋅=+，2121246()x x x x +>+，2146(1)12m ∴+⨯+>， 解得2m >-， 12m 且m 为整数， m ∴的值为1-或0．【点睛】本题考查一元二次的判别式及根与系数的关系，解题关键是掌握一元二次方程根的情况与Δ的关系，掌握12b x x a +=-，12c x x a=． 23．已知关于x 的方程 (k 2+1)x 2+(2k 2+1)x +k 2−1=0．（1）证明：无论k 取何值，方程都有两个不相等的实数根；（2）是否存在实数k ，使方程两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值，如不存在，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）不存在符合条件的实数k ，理由见解析【分析】（1）根据方程各项的系数结合根的判别式即可得出Δ=4k 2+5＞0，由此可得出无论k 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程(k 2+1)x 2+(2k 2+1)x +k 2−1=0的两根分别为x 1、x 2，利用根与系数的关系结合x 1、x 2互为相反数，可得出关于k 的方程，解之即可求出k 值，再由（1）中k 的取值范围，即可得出不存在符合条件的k 值．【详解】（1）证明：Δ=(2k 2+1)2-4×(k 2+1)×(k 2-1) =4k 4+4k 2+1-4k 4+4=4k 2+5，∴k 2+1＞0，4k 2+5＞0，∴无论k 为何值，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）不存在符合条件的实数k ，理由如下：设方程(k 2+1)x 2+(2k 2+1)x +k 2−1=0的两根分别为x 1、x 2，由根与系数关系得：x 1+x 2=-22211k k ++． ∵x 1、x 2互为相反数，∴x 1+x 2=0，即-222101k k +=+， ∵k 2≥0，∴2k 2+1≥1，∴不存在符合条件的k 值．【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义、相反数以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据非负数的性质得到根的判别式Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）根据根与系数的关系结合x 1、x 2互为相反数，求出k 值．24．关于x 的方程2210x x k -++=的两个实数根是1x ，2x ．（1）求k 的取值范围；（2）若k 为整数，且满足12124x x x x +-<，求k 的值．【答案】（1）0k ≤；（2）2k =-，1-，0【分析】（1）根据“方程2210x x k -++=有两个实数根，”可得0∆≥，即可求解；（2）根据“k 为整数，且满足12124x x x x +-<，”可得3k >-，结合（1）0k ≤，即可求解．【详解】解：（1）∵方程2210x x k -++=有两个实数根，∴0∆≥，即()244410b ac k -=-+≥，解得0k ≤；（2）∵122x x +=，121x x k =+，∴214k --<，由（1）0k ≤，可得30k -<≤，∵k 为整数，∴2k =-，1-，0．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根的判别式24b ac ∆=-，根与系数的关系12b x x a+=-，12c x x a =是解题的关键．。
一元二次方程之根系关系及应用题
题型切片（两个）对应题目题型目标根与系数关系例1；例2；例3；例7；演练1；演练2；演练3；一元二次方程的应用题例4；例5；例6；演练4；演练5．一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）若21,xx是关于x的一元二次方程)0(02≠=++acbxax的两个根，则方程的两个根21,xx和系数cba,,有如下关系：acxxabxx=⋅-=+2121,.思路导航题型切片知识互联网一元二次方程根系关系及应用题题型一：根与系数关系【引例】 先阅读，再填空解题：⑴方程x 2－x －12＝0 的根是：x 1＝3-，x 2＝4，则x 1＋x 2＝1，x 1·x 2＝12-；⑵方程2x 2－7x ＋3＝0的根是：x 1＝12，x 2＝3，则x 1＋x 2＝72，x 1·x 2＝32；⑶方程x 2－3x ＋1＝0的根是：x 1＝ ， x 2＝ ． 则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ； ⑷根据以上⑴⑵⑶你能否猜出：如果关于x 的一元二次方程mx 2＋nx ＋p ＝0（m ≠0且m 、n 、p 为常数）的两根为x 1、x 2，那么x 1＋x 2、x 1·x 2与系数m 、n 、p 有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由．⑸在⑶的条件下，求下列各式的值：①221221x x x x +；②221211x x + （十一学校期末） 【解析】 ⑶35+，35-；3，1；⑷1212n px x x x m m+=-=，； ⑸①()2212211212==31=3x x x x x x x x ++⨯②()()2221212122222212*********====71x x x x x x x x x x x x +-+-+【例1】 不解方程，求下列方程两根的积与和．⑴25100x x --= ⑵22710x x ++=⑶23125x x -=+ ⑷()137x x x -=+例题精讲典题精练【例2】 已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ．⑴求实数m 的取值范围；⑵当22120x x -=时，求m 的值．【例3】 已知一元二次方程2(1)230m x mx m +++-=有两个不相等的实数根，并且这两个根又不互为相反数. ⑴ 求m 的取值范围；⑵ 当m 在取值范围内取最小偶数时，方程的两根为12,x x ，求2123(14)x x -的值.列一元二次方程解应用题的时候，要注意检验得到的根是否符合题意．【引例】 ⑴某汽车销售公司2009年盈利1500万元， 2011年盈利2160万元，且从2009年到2011年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）． （西城期末）A ．()2150012160x += B ．2150015002160x x += C ．215002160x = D ．()()215001150012160x x +++=⑵某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程为 ． (台州中考)【解析】 ⑴A ；⑵100)1(1202=-x ．例题精讲思路导航题型二：一元二次方程的应用题【例4】 某商品进价为40元的衬衫按50元售出时.每月能卖500件.这种衬衫每涨价1元，其销售量减少10件.如果商场计划每月赚8000元利润.售价应定为多少?【例5】 如图①，要设计一幅宽20cm ，长30cm 的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2:3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？20cm 30cm图①图②30cm20cm ABCD分析：由横、竖彩条的宽度比为2:3，可设每个横彩条的宽为2x ，则每个竖彩条的宽为3x ．为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到矩形ABCD ． 结合以上分析完成填空：⑴ 如图②，用含x 的代数式表示：AB =____________________________cm ；AD =____________________________cm ； 矩形ABCD 的面积为_____________cm 2；⑵ 列出方程并完成本题解答．【例6】 如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面．请观察下列图形并解答有关问题：⑴ 在第n 个图中，每一横行共有 块瓷砖，每一竖列共有 块瓷砖；（均用含n 的代数式表示）典题精练⑵设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与⑴中的行列的函数关系式；（不要求写自变量n的取值范围）⑶按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；⑷若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题⑶中，共需花多少元钱购买瓷砖？⑸是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算说明理由．...n=3n=2n=1【例7】关于x的方程20x px q++=的两根和为1s，两根的平方和为2s，两根的立方和为3s，试求321s ps qs++的值．知识模块一根与系数的关系巩固练习【练习1】⑴方程2520x x-+=的两个解分别为1x、2x，则1212x x x x+-⋅的值为（）A．7-B．3-C．7 D．3⑵设1x，2x是一元二次方程2320x x--=的两个实数根，则2211223x x x x++的值为__________________．【练习2】已知α，β是一元二次方程210x x+-=的两个根，求5325αβ+的值．真题赏析复习巩固【练习3】 已知关于x 的方程()2120x k x k -+++=的两个实数根的平方和等于6，求k 的值．题型二 一元二次方程的应用问题 巩固练习【练习4】 某市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少．【练习5】 一条长64m 的铁丝被剪成两段，每段均折成一个正方形，若两个正方形的面积和等于2160cm ，求这两个正方形的边长，。
一元二次方程根系关系
学习必备欢迎下载一元二次方程的根系关系[ 教学目标 ]1、知识目标：掌握一元二次方程根与系数的关系，并会根据条件和根与系数的关系不解方程确定相关的方程和未知的系数值。
2、过程与方法目标：经历探索根系关系的过程，理解方程思想和整体变换思想.3、情感目标：[ 知识要点 ]对于一元二次方程ax2bx c0(a0)若方程有实数根x1， x2时，则 x x b c且 x x12a 12a特别对于方程 x2px q0 ，若有两个实根、时，则p ，q【例 1】关于x的方程2x2kx410的一个根是－2，则方程的另一根是； k ＝.分析：设另一根为 x1，由根与系数的关系可建立关于x1和k的方程组，解之即得。
答案：5，－ 1 2【例 2】已知方程x23x 10 的根为x1，x2，求下列各式的值（ 1）x12x22（2）x13x23（ 3）( x1x2)2（ 4）x2x1（ 5）x1x2（ 6）( x12)( x22) x1x2【例 3】求做一个一元二次方程，使它的两个根为2332和2332。
【例 4】已知：a27a 1 0 ， b27b 10，求a b的值。
b a【例 5】已知关于 x 的方程2x22mx m 20 ，求m为和值时（1）方程有两实根一正、一负；（2）方程两根均为正。
【例 6】已知：一元二次方程mx2( m 1)x 1 0 有有理数根。
求整数m 的值【例 7】已知：方程x2(a 6) x a 0 的两个根都是整数，求 a 的值【例8】已知关于x的方程x22( m2) x m 250有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m的值。
分析：有实数根，则△≥0，且x12x22x1 x216 ，联立解得 m 的值。
略解：依题意有：x1x22(m2)x1 x2m25x12x22x1 x2164(m2) 24(m 25)0由①②③解得： m1或 m15，又由④可知 m ≥9 4∴ m 15 舍去，故 m1探索与创新：【问题一】已知 x1、 x2是关于 x 的一元二次方程4x 24(m1) x m 20 的两个非零实数根，问： x1与 x2能否同号？若能同号请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。
第十二讲 一元二次方程的根系关系(提尖班)
第十二讲一元二次方程的根系关系一、直接应用【韦达定理】若1x 、2x 是关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的两个根，则方程的两个根1x 、2x 和系数a 、b 、c[证明]使用求根公式，有：1b x a -=，22b x a --=故122222b bb b x x a a a a-+---+=+==-()22124b ac c x x --⋅==【示例】1x 、2x 是方程2560x x -+=的两个根，则12x x +=5，12x x ⋅=6。
1x 、2x 是方程22310x x -+=的两个根，则12x x += 1.5，12x x ⋅=0.5。
1x 、2x 是方程2810x x -++=的两个根，则12x x +=8，12x x ⋅=-1。
【题型】[已知一根，求另一根]已知5、a 是方程250x mx -+=的两个根，则a =_____，m =_____。
解：由韦达定理，得：555a m a +=⎧⎨=⎩，解得：16a m =⎧⎨=⎩。
[对称式]利用韦达定理求诸如：12x x +、12x x ⋅、2212x x +、221212x x x x +、1211x x +、2112x x x x +已知1x 、2x 是方程2310x x -+=的两个根，则2112x x x x +=_____。
解：由韦达定理，得：121231x x x x +=⎧⎨=⎩，故222221121212121212()232171x x x x x x x x x x x x x x ++--⨯+====[根据根系关系求参数的值或范围]已知1x 、2x 是方程22210x kx k ++-=的两个根，且()()12110x x ++=，则k =_____。
解：22(2)4(1)40k k ∆=-⨯-=>，故k 可以取任意值，由韦达定理，得：1221221x x k x x k +=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，故()()2121212111121x x x x x x k k ++=+++=--+，由题意，得：21210k k --+=，解得：0k =或2[补充题1]已知1x 、2x 是关于x 的方程()()23x x m --=的两个实数根，(1)求m 的取值范围；(2)若121210x x x x --+=，求m 的值。
根与系数关系知识讲解及练习
根与系数关系知识讲解及练习TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，则 说明：（1）定理成立的条件0∆≥（2）注意公式重12bx x a+=-的负号与b 的符号的区别根系关系的几大用处① 验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根； ②例如：已知方程x 2-5x+6＝0，下列是它两根的是（ ）A ． 3，-2 B. -2, 3 C. -2，-3 D. 3, 2③ 求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于x 1和x 2的代数式的值，如；④⑤ 求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式. ⑥⑦ 求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数.（后三种为主） （1）计算代数式的值例 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-(1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---= (2)121212112220072007x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=- (4) 22212121212||()()4(2)4(2007)22008x x x x x x x x -=-=+-=---= 说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-， 2121212||()4x x x x x x -=+-，2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．（2）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。
根与系数的关系知识点及综合应用
根与系数的关系知识点及综合应用一、一元二次方程根与系数的关系（1） 若方程02=++c bx ax (a ≠0)的两个实数根是x 1，x 2，则x 1+x 2= -a b ，x 1x 2=a c（2） 若一个方程的两个根为x 1,，x 2，那么这个一元二次方程为()[]021212=+++x x x x x x a (a ≠0) 二、根与系数的关系的应用：（1）验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；（2）判别一元二次方程两根的符号。
例1：不解方程，判别方程两根的符号。
分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。
因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定 或的正负情况。
解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0∴方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个根为， ∵＜0∴原方程有两个异号的实数根。
说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。
（3）求根及未知数字母系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数字母系数.例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。
分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。
解法一：把代入原方程，得：即解得当时，原方程均可化为：，解得：∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
解法二：设方程的另一个根为，根据题意，利用韦达定理得：，∵，∴把代入，可得：∴把代入，可得：，即解得∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。
根与系数的关系十一种常见应用(专题)
第4讲：根与系数的关系十一种常见应用--专题三 类型一：已知方程一根，求另一根及待定系数已知方程062=-+kx x 的一个根为2，求它的另一根及k 的值。
练1. 已知方程042=+-m x x 的一个根为-2，求方程的另一根及m 的值。
类型二：已知方程，求含两根的代数式的值已知1x ，2x 是方程0242=+-x x 的两根，求下列各式的值；（1）2111x x + （2）221)(x x -练2. 已知1x ，2x 是方程0522=--x x 的两根，求下列两个代数式的值：（1）2111x x +（2）)5)(5(21++x x类型三：已知两个根，求含两未知数的代数式的值已知方程01522=--m m 与01522=--n n 且n m ≠，求nm 11+的值。
练3. 化简求值：已知131+=x ，131-=x ，是方程02=++c bx x 的两个根，求代数式)11(4)2(222c b b b c b +•---的值。
类型四：已知方程及其根满足关系式，求字母的取值范围已知关于x 的一元二次方程0132=++-k x x 的两根的平方和小于5，求k 的取值范围。
练4. 若关于x 的一元二次方程0322=-+-k x x 的两根的平方和小于6,求k 的取值范围？类型五：已知方程及其根满足的关系式，求字母的值已知关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且两根的平方和比两根的积大21，求m 的值。
练5. 若m 是非负整数，且关于x 的方程022)1(2=++--m mx x m 有两个实数根，求m 的值及其对应方程的根。
类型六：已知方程，判断根的符号不解方程，判断方程07322=-+x x 两根的符号。
练6. 不解方程,判断下列方程根的符号（如果两根异号,试确定是正根还是负根的绝对值大）0532=--x x ，03622=+-x x 。
类型七：已知两根求一元二次方程已知-1和3是某个二次项系数为1的一元二次方程的根，请写出这个方程。
根系关系专练
根系关系专练1、用配方法解一元二次方程x 2－2x －3=0时，方程变形正确的是【 】A ．（x －1）2=2B ．（x －1）2=4C ．（x －1）2=1D ．（x －1）2=72、用配方法解关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0，配方后的方程可以是【 】A ．（x ﹣1）2=4B ．（x+1）2=4C ．（x ﹣1）2=16D ．（x+1）2=163、如果关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0的两个不相等实数根x 1，x 2满足x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=0，那么a 的值为4、如果关于x 的一元二次方程2kx 10+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是5、已知一元二次方程：x 2﹣3x ﹣1=0的两个根分别是x 1、x 2，则x 12x 2+x 1x 22的值为6、已知关于x 的一元二次方程（a ﹣l ）x 2﹣2x+l=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是7、方程()21k 1x =04-有两个实数根，则k 的取值范围是 8、已知m 、n 是方程x 2＋22x ＋1＝0的两根，则代数式m 2＋n 2＋3mn 的值为9、关于x 的一元二次方程()2x mx+5m 5=0--的两个正实数根分别为x 1，x 2，且2x 1+x 2=7，则m 的值是 10、11、设242a 2a 10b 2b 10+-=--=，，且1－ab 2≠0，则522ab +b 3a+1a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭= 12、设x 1、x 2是一元二次方程x 2＋5x －3=0的两个实根，且21222x (x 6x 3)a 4+-+=，则a= 13、已知m 和n 是方程2x 2﹣5x ﹣3=0的两根，则11+m n = 14、设x 1,x 2是一元二次方程x 2 – 3x – 1 =0的两个实数根，则221212x x 4x x ++的值为15、一元二次方程2ax 2x+40-=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围为16、若关于x 的方程ax 2＋2（a ＋2）x ＋a=0有实数解，那么实数a 的取值范围是17、若关于x 的方程()22x +a 1x+a =0-的两根互为倒数，则a=19、已知a 、b 满足2215a 50,1550a b b ---==-,求b a +的值；20、一元二次方程25x 2x 04--=的某个根，也是一元二次方程29x (k 2)x 04-++=的根，求k 的值．解方程：2(x 3)3x(x 3)-=-。
根与系数的关系及应用题(自己整理)
一元二次方程根的判别式，根与系数关系◆回顾归纳1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，常用符号“△”表示，即△=•______；△>0时，方程_____；△=0时，方程______；△<0时，方程______．2．如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1，x2，则x1+x2=____，x1x2=____．◆课堂测控1．（1）一元二次方程3x2+4x+1=0中，△=_____，因此该方程_____实数根．（2）一元二次方程ax2+2x+1=0有两个相等的实数根，则a=_____．2．若方程x2－2x－1=0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2=______．3．一元二次方程x2+x－2=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．有一个实数根4．设一元二次方程x2－6x+4=0的两实根分别为x1和x2，则x1+x2=_____，x1·x2=______．5．等腰三角形ABC中，BC=8，AB，AC的长是关于x的方程x2－10x+m=0的两根，求m的值．解：当AB或AC的长为8时，64－10×8+m=0，∴m=_____；当AB=AC时，方程x2－10x+m=0有两个相等的实数根，则△=0，即______，∴m=____．测试点2 一元二次方程根与系数的关系6．一元二次方程x2－5x+6=0的一个实数根x1=2，则另一个实数根x2=（•）A．3 B．－3 C．6 D．－67．设一元二次方程x2－2x－4=0的两个实数为x1和x2，则下列结论正确的是（）A．x1+x2=2 B．x1+x2=－4 C．x1x2=－2 D．x1x2=48．已知x=－1是一元二次方程x2+mx+1=0的一个根，那么m的值是（）A．0 B．1 C．2 D．－29．已知x1，x2是方程x2+3x=4的两根，则（）A．x1+x2=－3，x1·x2=－4 B．x1+x2=3，x1·x2=4C．x1+x2=－3，x1·x2=4 D．x1+x2=3，x1·x2=－410．阅读材料：设一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1+x 2=－b a ，x 1·x 2=c a．根据该材料填空： （1）已知x 1，x 2是方程x 2+6x+3=0的两实数根，则2112x x x x 的值为_____． （2）已知x 1，x 2是方程x 2－9x+18=0的两个根，那么x 1－x 2=_______．◆课后测控1．若关于x 的一元二次方程x 2+2x －k=0没有实数根，则k 的取值范围是_____．2．在解方程x 2+bx+c=0时，甲看错了b ，解得两根为－1和6；乙看错了c ，•解得两根为－3与4，那么正确的方程是______．3．已知一个等腰三角形两边长为方程x 2－6x+8=0的两根，•则此等腰三角形的周长为_____．4．若关于x 的方程x 2－（m+2）x+m=0的根的判别式△=5，则m=_____．5．方程x （x+1）=3（x+1）的解情况是______．6．关于x 的一元二次方程kx 2－6x+1=0有两个不相等的实数根，•则k•的取值范围是_____．7．已知关于x 的方程x 2－2ax+a 2－2a+2=0的两个实数根x 1，x 2，满足x 12+x 22=2，•则a•的值是_____．8．已知一元二次方程x 2+3x+1=0的两根为x 1和x 2，那么（1+x 1）（1+x 2）的值为______．9．如果一元二次方程3x 2－2x=0的两个根是x 1和x 2，那么x 1·x 2等于（ ）A ．2B ．0C ．23D ．－2310．已知α、β满足α+β=5，且αβ=6，则以α、β为两根的一元二次方程是（ ）A ．x 2+5x+6=0B ．x 2－5x+6=0C ．x 2－5x －6=0D ．x 2+5x －6=011．如果关于x 的方程2x 2－7x+m=0的两实数根互为倒数，那么m 的值为（ ）A ．12B ．－12C ．2D ．－2 12．若关于x 的方程kx 2+2x －1=0有两个不相等的实数根，则k•的取值范围是（ ）A ．k>－1B ．k<－1C ．k≥－1且k≠0D ．k>－1且k≠013．已知关于x 的一元二次方程x 2－mx+2m －1=0的两个实数根的平方和为7，那么m 的值是（ ）A ．5B ．－1C ．5或－1D ．－5或114．关于x 的一元二次方程x 2－5x+p 2－2p+5=0的一个根为1，则实数p•的值是（ ）A ．4B ．0或2C ．1D ．－115．已知关于x 的方程x 2－m=2x 有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．16．已知关于x的一元二次方程x2+（2m－3）x+m2=0•的两个不相等的实数根α、β满足11αβ+=1，求m的值．17．若0是关于x的方程（m－2）x2+3x+m2+2m－8=0的解，求实数m的值，并讨论此方程解的情况．18．若关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+m+4=0两实根的平方和为2，求m的值．解：设方程的两个实根为x1，x2，那么x1+x2=m+1，x1x2=m+4．∴x12+x22=（x1+x2）2－2x1x2=（m+1）2－2（m+4）=m2－7=2．即m2=9，解得m=3．答：错误或不完整之处有：__________．◆拓展创新实数k取何值时，一元二次方程x2－（2k－3）x+2k－4=0．（1）有两个正根；（2）有两个异号根，并且正根的绝对值较大；（3）一根大于3，一根小于3．一元二次方程应用题（一）传染问题与循环问题1.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。
根与系数的关系题型精选
根与系数的关系1.设一元二次方程x 2-6x+４＝０的两个实数根分别为x １x 2，则x 1＋x ２＝＿＿＿＿＿＿＿x １x 2＿＿＿＿＿＿＿.2、设x 1、x 2是方程3x 2+4x –5=0的两根，则=+2111x x .x 12+x 22= .3、关于x 的方程2x 2+(m 2–9)x +m +1=0，当m = 时，两根互为倒数； 当m = 时，两根互为相反数.4、若x 1 =23-是二次方程x 2+ax +1=0的一个根，则a = ，该方程的另一个根x 2 = .5、方程x 2+2x +a –1=0有两个负根，则a 的取值范围是 . 6、若p 2–3p –5=0，q 2－3q –5=0，且p ≠q ，则=+pq11 .7、若方程02=++q px x 的两个根是2-和3，则q p ,的值分别为 8、已知方程022=-+kx x 的一个根是1，则另一个根是 ，k 的值是 。
9、以2+3和2-3为实根的关于y 的一元二次方程是10、已知关于x 的方程x ²-6x+m =0的一个根是另一个根的两倍，则m 的值为 。
11、已知方程x ²-3x+1=0的两根为x 1、x 2， 那么（1+ x 1）（1+ x 2）=12、已知关于x 的方程x 2-（a 2-2a-15）+a-1=0的两个根是互为相反数，则a 的值为 。
13、已知方程22=+x x ，则下列说中，正确的是（ ） （A ）方程两根和是1 （B ）方程两根积是2（C ）方程两根和是－1 （D ）方程两根积是两根和的2倍14、如果关于x 的一元二次方程x 2+px +q =0的两根分别为x 1＝3、x 2＝1，那么这个一元二次方程是（ ）A. x 2+3x +4=0B. x 2-4x +3=0C. x 2+4x -3=0D. x 2+3x -4=0 15、以3和1-为两根的一元二次方程是 （ ）；（A ）0322=-+x x （B ）0322=++x x （C ）0322=--x x （D ）0322=+-x x 16、已知方程x ²+x-1=0，以它的两根的倒数为根的新方程应是（ ） (A) y ²-y-1=0 (B) y ²+y+1=0 (C) y ²-y+1=0 (D) y ²-2y-1=017、已知关于x 的方程x ²-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为7，那么m 的值是（ ） （A ） 5 （B ）-1 （C ）5或-1 （D ）-5或118.设方程3x2-5x+q=0的两根为x1和x2，且6x1+x2=0,那么q的值等于( ).19.若关于x的方程3(x-1)(x-2m)=x(m-12)的两根之积等于两根之积，则此方程的两根为( ).20.已知关于x的二次方程x2+2px+2q=0有实数根，其中p,q都是奇数，那么它的根( ).(A) 一定都是奇数(B)一定都是偶数(C) 有可能是真分数(D) 有可能是无理数21已知2+3是方程x2-4x+c=0的一个根，求方程的另一个根及c值。
九年级数学-根的判别式与根系关系
第2讲 根的判别式与根系关系题型一 用于参数方程根的判定【例1】关于x 的一元二次方程2(3)220x a x a -+++=． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根大于3，求a 的取值范围． 【解析】（1）∵22(3)41(22)(1)0a a a ⎡⎤∆=-+-⨯⨯+=-⎣⎦≥，∴方程总有两个实数根；（2）∵[]2(3)22(2)(1)0x a x a x x a -+++=--+=，∴12x =，21x a =+， ∵13a +>，∴2a >．题型二 判别式求参数的取值范围【例2】若关于x 的方程22(1)2(2)10m x m x --++=有实数根，求m 的取值范围．【解析】分两种情况讨论：①210m -≠，此时[]222(2)4(1)0m m ∆=-+--≥，解得54m -≥且1m ≠±；②210m -=，即1m =±，此时方程为一元一次方程，显然有实数根. 综合①②两种情况，得出m 的取值范围为54m -≥．【例3】已知关于x 的一元二次方程2(12)10k x ---=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．【解答】2(4(12)(1)0k ∆=--⨯-⨯->，且120k -≠，且10k +≥． 解得12k -<≤，且12k ≠．∴k 的取值范围是12k -<≤且12k ≠． 【点评】注意例2与例3的区别与联系．【例4】若关于x 的方程24x ax +=只有3个不相等的实数根，求a 的值或取值范围. 【解析】原方程可化为下面两个方程：240x ax +-=①，240x ax ++=②， 方程①21160a ∆=+>，方程②22160a ∆=-≥．因为12∆>∆， 所以只可能20∆=，即4a =±．故4a =±． 题型三 判别式用于整数根问题例5 当m 是什么整数时，关于x 的方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数？ 解析：由两个方程都有实数根，得514m -≤≤，∵ m 为整数，∴ m ＝－1,0,1当m ＝0时，代入第二个方程，得250,x x -== 当m ＝1时，方程2440mx x -+=为212440,2x x x x -+===其根为方程2244450x mx m m -+--=为2450x x --=，其根为125,1x x ==- 当m ＝－1时，方程2440mx x -+=为2440x x -+=其根不是整数；综上，当m ＝1时，方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数题型四 判别式法求极值例6 若x ，y 是实数，且224644m x xy y x y =-+--,试确定m 的最小值解析：解法一：将原等式改写为2246440x xy y x y m -+---=，即22(44)640x y x y y m -++--=，∵ x 是实数，∴ 判别式△≥0，即22(44)4(64)0y y y m +---≥，配方，得28(3)8840y m --++≥，∴ 当y ＝3时，m 有最小值－22解法二：2222224(1)(22)64(22)(22)2(3)22m x y x y y y y x y y =-++++--+=--+-- ∴ 当x －2y －2＝0且y －3＝0时，即x ＝8且y ＝3时，m 取得最小值－22针对练习11、当k ＝ 时，关于x 的二次三项式22(1)7x k x k -+++是完全平方式 解：－3或22、已知关于x 的方程21(1)(1)04k x k x ---+=有两个相等的实数根，求k 的值 解：∵ 关于x 的方程21(1)(1)04k x k x ---+=有两个相等的实数根，∴△＝0且k －1≠0∴ 221[(1)]4(1)03204k k k k ----⋅=⇒-+=，解得k ＝1(舍去)或k ＝2，∴ k ＝23、m 为何值时，关于x 的方程2(1)230m x mx m -+++= （1）有两个实根？ （2）只有一个实根？ （3）有实根？解：（1）由题意得m ≠1且△≥0，得312m m ≤≠且，∴当312m m ≤≠且时，方程有两个实数根 （2）由题意，方程为一元一次方程，此时m －1＝0, ∴当m ＝1时，方程为2x ＋4＝0，方程只有一个实数根（3）①当m ＝1时，方程2x ＋4＝0，方程有一个实数根；②当m ≠1时，由题意得23=2)4(1)(3)8120.2m m m m m ∆--+=-+≥≤（解得 ∴ 当312m m ≤≠且时，方程有两个实数根。
初中数学专题：根与系数的关系【十大题型】(举一反三)
专题1.4 根与系数的关系【十大题型】【苏科版】【题型1 由根与系数的关系直接求代数式的值】 (1)【题型2 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】 (1)【题型3 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】 (2)【题型4 由方程两根满足关系求字母的值】 (2)【题型5 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】 (3)【题型6 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】 (3)【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】 (4)【题型8 已知方程根的情况判断另一个方程】 (4)【题型9 根与系数关系中的新定义问题】 (5)【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】 (5)【知识点一元二次方程的根与系数的关系】若一元二次方程（a、b、c为常数，）的两根为，，则，．注意它的使用条件为，，.【题型1 由根与系数的关系直接求代数式的值】【例1】（2023春·广东广州·九年级统考期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值是（）A．B．C．1 D．7【变式1-1】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知m，n是一元二次方程的两根，则的值是（）A．B．C．D．【变式1-2】（2023·上海·九年级假期作业）已知a，b是方程的两个根，则的值．【变式1-3】（2023春·九年级单元测试）已知、是方程的两根，且，则的值为．【题型2 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】【例2】（2023春·浙江·九年级专题练习）设α、β是方程的两个实数根，则的值为（）A．－2014 B．2014 C．2013 D．－2013【变式2-1】（2023春·湖北恩施·九年级统考期中）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为()A．B．C．D．【变式2-2】（2023·江西萍乡·校考模拟预测）若、是一元二次方程的两个根，则的值是．【变式2-3】（2023春·安徽池州·九年级统考期末）已知和是方程的两个根，则的值为（）A．B．2021 C．D．2023【题型3 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】【例3】（2023春·广东广州·九年级广州市第二中学校考阶段练习）若p、q是方程的两个不相等的实数根，则代数式的值为．【变式3-1】（2023春·山东日照·九年级统考期末）已知，是方程的两个根，则代数的值为．【变式3-2】（2023春·浙江温州·九年级校考阶段练习）已知、是方程的两根，则的值是（）A．7 B．8 C．9 D．10（2023春·九年级课时练习）已知，是方程的两根，则代数式【变式3-3】的值是（）A．B．C．D．【题型4 由方程两根满足关系求字母的值】【例4】（2023·四川乐山·统考中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（）A．4 B．8 C．12 D．16【变式4-1】（2023·上海·九年级校考期中）已知关于x的方程的两根为满足：，求实数k的值【变式4-2】（2023春·广东佛山·九年级校考阶段练习）方程的两个实数根互为相反数，则的值是．【变式4-3】（2023春·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）若、是关于的方程的两个不相等的实数根，且，则的值为．【题型5 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】【例5】（2023春·江苏南京·九年级专题练习）关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（）A．有两个相异正根B．有两个相异负根C．有一个正根和一个负根D．无实数根【变式5-1】（2023春·安徽合肥·九年级统考期末）方程根的符号是（）A．两根一正一负 B．两根都是负数C．两根都是正数D．无法确定【变式5-2】（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知a、b、c是的三条边的长，那么方程的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的负实根D．只有一个实数根【变式5-3】（2023·九年级统考课时练习）已知，，，则方程的根的情况是（）.A．有两个负根B．两根异号且正根绝对值较大C．有两个正根D．两根异号且负根绝对值较大【题型6 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】【例6】（2023·四川成都·三模）若方程x2+（m﹣4）x+﹣m＝0有两个不相等的实数根x1和x2，且x1+x2＞﹣3，x1x2＜，则m的取值范围为多少？【变式6-1】（2023·山东日照·日照港中学统考二模）已知关于x的一元二次方程的实数根，满足，则m的取值范围是．【变式6-2】（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，，则k的取值范围是（）A．B．C．D．且【变式6-3】（2023春·九年级单元测试）设关于的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是．【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】【例7】（2023·陕西西安·校考二模）已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则的值为（）A．﹣402 B．C．D．【变式7-1】（2023春·广东梅州·九年级校考阶段练习）已知，则的最小值是（）．A．6 B．3 C．-3 D．0【变式7-2】（2023·山东德州·统考一模）已知互不相等的三个实数a、b、c满足，，求的值．【变式7-3】（2023春·江苏·九年级专题练习）设，，，为互不相等的实数，且，，则的值为（）A．-1 B．1 C．0 D．0.5【题型8 已知方程根的情况判断另一个方程】【例8】（2023春·浙江·九年级期中）若关于x的一元二次方程的一个根为m，则方程（）（）的两根分别是（）．A．，B．，C．，D．，【变式8-1】（2023春·江西萍乡·九年级统考期中）有两个一元二次方程：：；：，其中，以下四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是【变式8-2】（2023春·安徽合肥·九年级校考期末）关于x的一元二次方程有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（）A．p是正数，q是负数B．＜C．q是正数，p是负数D．【变式8-3】（2023春·九年级单元测试）一元二次方程；，其中，，给出以下四个结论：①若方程M有两个不相等的实数根，则方程N也有两个不相等的实数根；②若方程M的两根符号相同，则方程N的两根符号也相同；③若m是方程M的一个根，则是方程N的一个根；④若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根必是，其中正确的结论是（）A．①③B．①②③C．①②④D．①③④【题型9 根与系数关系中的新定义问题】【例9】（2023春·山东日照·九年级日照市田家炳实验中学校考阶段练习）定义：如果实数a、b、c满足a²+b²=c²，那么我们称一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)为“勾股”方程；二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)为“勾股”函数．(1)理解：下列方程是“勾股”方程的有．①x²-1=0；②-；③；④4x²+3x=5(2)探究：若m、n是“勾股”方程ax²+bx+c=0 的两个实数根，试探究m、n之间的数量关系．【变式9-1】（2023春·河南安阳·九年级校联考期中）定义运算：．若a，b是方程的两根，则的值为（）A．0 B．1 C．2 D．与m有关【变式9-2】（2023春·广东揭阳·九年级校联考阶段练习）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求的值．【变式9-3】（2023春·辽宁鞍山·九年级校考阶段练习）已知：、是一元二次方程的两个实数根，设，，．根据根的定义，有、，将两式相加，得，于是根据以上信息，解答下列问题．(1)求、的值，并利用一元二次方程根与系数关系，求出的值．(2)猜想：当时，、、之间满足的数量关系，并证明你的猜想．【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】【例10】（2023春·广东广州·九年级广州白云广雅实验学校校考阶段练习）已知关于x的方程有两实数根，，(1)若，求k的值．(2)是否存在实数k满足，若存在请求出k的值，若不存在请说明理由．【变式10-1】（2023春·黑龙江大庆·九年级统考阶段练习）已知关于x的方程有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围．(2)若两个实数根分别是，，且，求m的值．【变式10-2】（2023·安徽·模拟预测）关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，则．【变式10-3】（2023·浙江·九年级假期作业）已知，关于x的方程有两个实数根．(1)求k的取值范围．(2)若方程的两实根为，且满足，求k的值．(3)当k为何值时，式子有最小值，并求出该最小值．专题1.4 根与系数的关系【十大题型】【苏科版】【题型1 由根与系数的关系直接求代数式的值】 (1)【题型2 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】 (1)【题型3 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】 (2)【题型4 由方程两根满足关系求字母的值】 (2)【题型5 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】 (3)【题型6 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】 (3)【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】 (4)【题型8 已知方程根的情况判断另一个方程】 (4)【题型9 根与系数关系中的新定义问题】 (5)【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】 (5)【知识点一元二次方程的根与系数的关系】若一元二次方程（a、b、c为常数，）的两根为，，则，．注意它的使用条件为，，.【题型1 由根与系数的关系直接求代数式的值】【例1】（2023春·广东广州·九年级统考期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值是（）A．B．C．1 D．7【答案】D【分析】利用两根之和为，两根之积为，计算即可．【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根，∴，，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系的公式．【变式1-1】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知m，n是一元二次方程的两根，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后将分式化简，代入即可求解．【详解】解：∵，是一元二次方程的两根，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握以上知识是解题的关键．【变式1-2】（2023·上海·九年级假期作业）已知a，b是方程的两个根，则的值．【答案】【分析】由根与系数关系知，，即知a＜0，b＜0，化简原式，所以原式故答案为：﹣14．【详解】解：∵a，b是方程的两个根，∴，，∴a＜0，b＜0，∴∴原式故答案为：﹣14．【点睛】本题主要考查根与系数关系、完全平方公式变形及二次根式的运算及化简；能够根据a,b的关系式确定其取值范围，进而准确处理二次根式的运算及化简是解题的关键．【变式1-3】（2023春·九年级单元测试）已知、是方程的两根，且，则的值为．【答案】【分析】由题意可得，，然后代入所求式子计算即可.【详解】解：∵、是方程的两根，∴，，∵，∴，∴；故答案为：.【点睛】本题考查了一元二次方程的求解、根与系数的关系以及二次根式的混合运算，熟练掌握一元二次方程的相关知识、正确计算是解题的关键.【题型2 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】【例2】（2023春·浙江·九年级专题练习）设α、β是方程的两个实数根，则的值为（）A．－2014 B．2014 C．2013 D．－2013【答案】D【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到x2+x+2012=0，即α2+α=-2012，则α2+2α+可化为α2+α+α+β=-2012+α+β，然后利用根与系数的关系得到α+β=-1，再利用整体代入的方法计算即可．【详解】∵α是方程x2+x+2012=0的根，∴α2+α+2012=0，即α2+α=-2012，∴α2+2α+β=α2+α+α+β=-2012+α+β，∵α，β是方程x2+x+2012=0的两个实数根，∴α+β=-1，∴α2+2α+β=-2012-1=-2013．故选D．【点睛】考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．【变式2-1】（2023春·湖北恩施·九年级统考期中）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为()A．B．C．D．【答案】C【分析】根据一元二次方程的根的定义可得，根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入代数式即可求解．【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，得出，是解题的关键．【变式2-2】（2023·江西萍乡·校考模拟预测）若、是一元二次方程的两个根，则的值是．【答案】6【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，由根的定义可得，代入即可得答案．【详解】∵，，∴．故答案为：6【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系及方程根的概念．【变式2-3】（2023春·安徽池州·九年级统考期末）已知和是方程的两个根，则的值为（）A．B．2021 C．D．2023【答案】A【分析】由和是方程的两个根，根据根于系数关系可得，，，由一元二次方程根的定义可得，，即可求解；【详解】和是方程的两个根，，，，，故选A．【点睛】该题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟记一元二次方程根与系数关系公式是解答该题的关键．【题型3 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】【例3】（2023春·广东广州·九年级广州市第二中学校考阶段练习）若p、q是方程的两个不相等的实数根，则代数式的值为．【答案】【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体思想计算即可．【详解】∵若p、q是方程的两个不相等的实数根，∴，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的解，利用整体思想降次消元是解题的关键．【变式3-1】（2023春·山东日照·九年级统考期末）已知，是方程的两个根，则代数的值为．【答案】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义，得，，，，再代入降次求值即可．【详解】解：由题意，得，，，，，，原式，，，=．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，整式的化简求值，本题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．【变式3-2】（2023春·浙江温州·九年级校考阶段练习）已知、是方程的两根，则的值是（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得出，，，，再对所求式子变形整理，求出答案即可．【详解】解：∵、是方程的两根，∴，，，，∴，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系，若一元二次方程（a、b、c 为常数，）的两根为，，则，．（2023春·九年级课时练习）已知，是方程的两根，则代数式【变式3-3】的值是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与b3采用降次的方法即可求得结果的值．【详解】∵a与b是方程的两根∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0∴a2=a+1，b2=b+1∵，同理：∴故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行整式的运算是解题的关键．【题型4 由方程两根满足关系求字母的值】【例4】（2023·四川乐山·统考中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为、，∴，∵，∴，∴，故选：C．【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键．【变式4-1】（2023·上海·九年级校考期中）已知关于x的方程的两根为满足：，求实数k的值【答案】【分析】利用根的判别式求出k的取值范围，利用根与系数的关系求出，，代入，即可求得k的值.【详解】解：∵关于x的方程的两根为∴解得：，∵∴代入，得：解得：∵∴【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程求解，熟练掌握相关知识点是解题关键.【变式4-2】（2023春·广东佛山·九年级校考阶段练习）方程的两个实数根互为相反数，则的值是．【答案】【分析】设方程的两根分别为，，根据根与系数的关系得到，解得，然后分别计算，最后确定．【详解】解：设方程的两根分别为，，∵方程的两个实数根互为相反数，，∴，解得，当，方程变为：，＜，方程没有实数根，所以舍去；当，方程变为：，＞，方程有两个不相等的实数根；∴．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程（，，，为常数）根与系数的关系：若方程的两根分别为，，则；．也考查了一元二次方程的根的判别式：当＞，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当＜，方程没有实数根．【变式4-3】（2023春·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）若、是关于的方程的两个不相等的实数根，且，则的值为．【答案】3【分析】根据根与系数的关系得到，，再根据得到，解方程求出k的值，最后用根的判别式验证是否符合题意即可．【详解】解：∵、是关于的方程的两个不相等的实数根，∴，，∵，∴，即，∴，∴，解得或，又∵方程有两个不相等的实数根，∴，∴，∴，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．【题型5 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】【例5】（2023春·江苏南京·九年级专题练习）关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（）A．有两个相异正根B．有两个相异负根C．有一个正根和一个负根D．无实数根【答案】C【分析】先对方程进行化简，然后再根据一元二次方程根的判别式可进行求解．【详解】解：由题意得：方程可化为，∴，∴该方程有两个不相等的实数根，设该方程的两个根为，则根据根与系数的关系可知：，∴该方程的两个根为一正一负，故选C．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．【变式5-1】（2023春·安徽合肥·九年级统考期末）方程根的符号是（）A．两根一正一负 B．两根都是负数C．两根都是正数D．无法确定【答案】C【分析】利用一元二次方程根与系数的关系分析求解．【详解】解：的两根分别为，，则，，∴方程的两根同号，且两根都是正数，故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，理解一元二次方程的两根，满足，是解题关键．【变式5-2】（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知a、b、c是的三条边的长，那么方程的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的负实根D．只有一个实数根【答案】C【分析】首先根据根的判别式，结合三角形三边关系，得出方程有两个不相等的实数根，再根据根与系数的关系，判断出两根之和和两根之积的符号，即可作出判断．【详解】解：在方程中，可得：，∵a、b、c是的三条边的长，∴，，．，即，∴，∴，∴方程有两个不相等的实数根，又∵两根的和是，两根的积是，∴方程有两个不等的负实根．故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、三角形的三边关系，解本题的关键在熟练掌握根据一元二次方程根与系数的关系，判断出方程有两个不等的负实根．【变式5-3】（2023·九年级统考课时练习）已知，，，则方程的根的情况是（）.A．有两个负根B．两根异号且正根绝对值较大C．有两个正根D．两根异号且负根绝对值较大【答案】D【分析】先计算=b2+4ac，由a＜0，b＞0，c＜0，得到＞0，然后根据判别式的意义得到方程有两个实数根．设方程两根为x1，x2．由得到方程有异号两实数根，再由得到负根的绝对值大．【详解】=（﹣b）2﹣4•a•（﹣c）=b2+4ac．∵a＜0，b＞0，c＜0，∴b2＞0，ac＞0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根．设方程两根为x1，x2．∵，∴方程有异号两实数根．∵，∴负根的绝对值大．故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式和根与系数的关系．当＞0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根．【题型6 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】【例6】（2023·四川成都·三模）若方程x2+（m﹣4）x+﹣m＝0有两个不相等的实数根x1和x2，且x1+x2＞﹣3，x1x2＜，则m的取值范围为多少？【答案】﹣2＜m＜1或3＜m＜7【分析】由方程有两个不相等实数根结合根的判别式即可得出关于m的不等式，解不等式即可得出m的取值范围，结合根与系数的关系可得出关于m的不等式，解不等式可得出答案．【详解】解：∵方程x2+（m﹣4）x+﹣m＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＝﹣﹣4×＞0，整理得：，即，根据乘法法则得：或，解前一不等式组得：m＞3；解后一不等式组得：m＞1，∴原不等式的解集为：m＞3或m＜1；由题意得x1+x8＝＝（4﹣m）＞﹣3，解得m＜7；∵x1x2＝，解得m＞﹣2．综上所述，﹣2＜m＜1或3＜m＜7．【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式，根据题意得出关于m的不等式是解题的关键【变式6-1】（2023·山东日照·日照港中学统考二模）已知关于x的一元二次方程的实数根，满足，则m的取值范围是．【答案】【分析】根据根的判别式Δ≥0、根与系数的关系列出关于m的不等式组，通过解该不等式组，求得m的取值范围．【详解】解：由题意得：，所以，依题意得：，解得4＜m≤5．故答案是：4＜m≤5．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于m的不等式，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2-4ac＜0时，一元二次方程没有实数根．【变式6-2】（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，，则k的取值范围是（）A．B．C．D．且【答案】C【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．根据，，可得，结合，从而最后确定的取值范围．【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴，解得：，∵，，∴又∵，∴，解得：，综上，的取值范围为：．故选：C．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，关键是得到．【变式6-3】（2023春·九年级单元测试）设关于的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是．【答案】【分析】由方程有两个不相等的实数根利用根的判别式Δ＞0，可得出a的取值范围，利用根与系数的关系可得出，，由可得出，展开代入后可得出a的不等式，解之即可求出a取值范围．【详解】解：方程有两个不相等的实数根，，解得：，，，，，，，，即，当时，解得（舍去）；当时，解得，又，的取值范围为．故答案为：．【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，由根与系数的关系结合，找出关于a的不等式是解题的关键．【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】【例7】（2023·陕西西安·校考二模）已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则的值为（）A．﹣402 B．C．D．【答案】C【详解】将9n2+2010n+5=0方程两边同除以n2，变形得：5×（）2+2010×+9=0，又5m2+2010m+9=0，∴m与为方程5x2+2010x+9=0的两个解，则根据一元二次方程的根与系数的关系可得m•==．故选：C．【变式7-1】（2023春·广东梅州·九年级校考阶段练习）已知，则的最小值是（）．A．6 B．3 C．-3 D．0【答案】A【分析】由已知得m，n是关于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的两个根，根据根与系数的关系得到m＋n ＝2a，mn＝2，再根据完全平方公式展开化简，利用二次函数的性质解决问题．【详解】解：∵m2－2am＋2＝0，n2－2an＋2＝0，∴m，n是关于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的两个根，∴m＋n＝2a，mn＝2，∴(m－1)2＋(n－1)2＝m2－2m＋1＋n2－2n＋1＝(m＋n)2－2mn－2(m＋n)＋2＝4a2－4－4a＋2＝4(a－)2－3，∵a≥2，∴当a＝2时，(m－1)2＋(n－1)2有最小值，∴(m－1)2＋(n－1)2的最小值＝4(2－)2－3＝6，故选A．【点睛】本题考查了根与系数的关系，二次函数的最值，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．【变式7-2】（2023·山东德州·统考一模）已知互不相等的三个实数a、b、c满足，，求的值．【答案】﹣2【分析】将已知的两等式去分母得到关系式a2+3a+c=0和b2+3b+c=0，把a、b看成方程x2+3x+c=0的两根，由根与系数的关系得到a+b=﹣3，ab=c，所求式子变形后，把a+b=﹣3，ab=c代入，即可求出值．【详解】由=﹣a﹣3得：a2+3a+c=0①；由=﹣b﹣3得：b2+3b+c=0②；∵a≠b，∴a、b可以看成方程x2+3x+c=0的两根，∴a+b=﹣3，ab=c；∴+﹣=====﹣2．故答案为﹣2．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及分式的加减运算，灵活变换已知等式是解答本题的关键．【变式7-3】（2023春·江苏·九年级专题练习）设，，，为互不相等的实数，且，，则的值为（）A．-1 B．1 C．0 D．0.5【答案】A【分析】把看作以上方程的两个不同的根，可得，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可【详解】解：，，看作以上方程的两个不同的根，即是方程的两根，故，即故选A【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，整体代入是解题的关键．【题型8 已知方程根的情况判断另一个方程】【例8】（2023春·浙江·九年级期中）若关于x的一元二次方程的一个根为m，则方程（）（）的两根分别是（）．A．，B．，C．，D．，【答案】A【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求出方程的另一个根，设，根据方程的根代入求值即可得到答案；【详解】解：∵一元二次方程的一个根为m，设方程另一根为n，∴，解得：，设，方程（）（）变形为，由一元二次方程的根可得，，，∴，，∴，，故答案为：A．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系及换元法解一元二次方程，解题的关键是用换元法变形方程代入求解．【变式8-1】（2023春·江西萍乡·九年级统考期中）有两个一元二次方程：：；：，其中，以下四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根。
综合训练 根与系数的关系应用的十种常见题型PPT课件
8．已知实数x，y，z满足x＝6－y，z2＝xy－9. 求证：x＝y.
证明：由题设知x＋y＝6，xy＝z2＋9， 所以x，y是关于t的一元二次方程t2－6t＋z2＋9 ＝0 ①的两个实数根． 所以Δ＝36－4(z2＋9)＝－4z2≥0. 解得z＝0，所以Δ＝0. 所以方程①有两个相等的实数根．所以x＝y.
(2)(x1－x2)2. (x1－x2)2＝x＋x－2x1x2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝42－4×2 ＝16－8＝8.
3．已知方程 2m2－5m－1＝0 与 2n2－5n－1＝0，且 m≠n，求m1 ＋ n1的值．
解：由题意得 m 和 n 是关于 x 的一元二次方程 2x2－5x－1＝0
的两根，
课后训练
【思路点拨】正确使用试电笔时通过人体的电流用欧姆定律公 式计算，“220 V 40 W”灯泡正常工作时的电流用电功率公式 计算。通过试电笔的电流 I 笔＝RU笔＝1.12×2100V6 Ω＝2×10－4 A，灯泡 正常工作时的电流 I 灯＝PU灯＝24200WV＝121 A，然后求两电流间的 倍数关系。
9 火；断路；不能 10 D
5D
11 试电笔；大地
6 火线；220
12 见习题
课堂导练
8．漏电保护器的作用：如果站在地上的人不小心接触 ___火___线，电流经过人体流入大地，这时总开关上的 “漏电保护器”就要起作用了，它会迅速__切__断____电流 ，对人体起到保护作用。
课堂导练
10．现在一般标准住宅户内配电系统都使用了空气开关、漏电 保护器等设备，有一配电系统如图所示，以下各个设备的特 征叙述正确的是( ) A．电能表上可以直接读出应该交的电费 B．所选空气开关的断路电流应等于或略 小于该电路允许通过的最大电流 C．漏电保护器用于当灯泡的灯丝烧断时，将电流导入大地 D．漏电保护器跳闸可能是因为其安装的位置湿度过大
八年级数学第11讲.根系关系及应用题.尖子班.教师版
方程11级 解特殊复杂方程方程12级 特殊根问题 方程6级方程13级 根系关系及应用题春季班 第十一讲春季班 第九讲考古发现漫画释义满分晋级阶梯11根系关系及应用题题型切片（两个）对应题目题型目标根与系数关系 例1；例2；例3；例7；演练1；演练2；演练3； 一元二次方程的应用题例4；例5；例6；演练4；演练5．本讲主要分为两个版块，模块一主要讲解了一元二次方程的补充知识点，韦达定理，在这一板块重点进行了由定理直接进行的代数式的变形，对于这个补充版块，有的班级理解能力强些，老师们可能会有一些富余时间，故给老师们预备了对韦达定理的进一步探索。
模块二练习了各个类型的应用题，希望同学们能从不同的方面深入理解一元二次方程，并再次练习了解方程应用题的一般步骤：审、设、列、解、答，希望老师注意强调应用题的答千万不要忘记。
知识互联网题型切片编写思路题型一：根与系数关系一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）若21,x x 是关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根，则方程的两个根21,x x 和系数c b a ,,有如下关系：ac x x a b x x =⋅-=+2121,.【引例】 先阅读，再填空解题：⑴方程x 2－x －12＝0 的根是：x 1＝3-，x 2＝4，则x 1＋x 2＝1，x 1·x 2＝12-；⑵方程2x 2－7x ＋3＝0的根是：x 1＝12，x 2＝3，则x 1＋x 2＝72，x 1·x 2＝32；⑶方程x 2－3x ＋1＝0的根是：x 1＝ ， x 2＝ ． 则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ； ⑷根据以上⑴⑵⑶你能否猜出：如果关于x 的一元二次方程mx 2＋nx ＋p ＝0（m ≠0且m 、n 、p 为常数）的两根为x 1、x 2，那么x 1＋x 2、x 1·x 2与系数m 、n 、p 有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由．⑸在⑶的条件下，求下列各式的值：①221221x x x x +；②221211x x + （十一学校期末）【解析】 ⑶352+，352-；3，1；⑷1212n px x x x m m+=-=，； ⑸①()2212211212==31=3x x x x x x x x ++⨯②()()2221212122222212*********====71x x x x x x x x x x x x +-+-+【例1】 不解方程，求下列方程两根的积与和．⑴25100x x --= ⑵22710x x ++= ⑶23125x x -=+ ⑷()137x x x -=+【解析】 ⑴1212510x x x x +==-， ⑵12127122x x x x +=-=，⑶1212223x x x x +==-， ⑷121247x x x x +==-，【例2】 已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ．⑴求实数m 的取值范围；⑵当22120x x -=时，求m 的值． (毕节中考) 【解析】 ⑴由题意有22(21)40m m ∆=--≥，解得14m ≤．即实数m 的取值范围是14m ≤．典题精练例题精讲思路导航⑵由22120x x -=得1212()()0x x x x +-=． 若120x x +=，即(21)0m --=，解得12m =． ∵12＞14，12m ∴=不合题意，舍去．若120x x -=，即12x x =∴ 0∆=，由⑴知14m =．故当22120x x -=时，14m =．【例3】 已知一元二次方程2(1)230m x mx m +++-=有两个不相等的实数根，并且这两个根又不互为相反数. ⑴ 求m 的取值范围；⑵ 当m 在取值范围内取最小偶数时，方程的两根为12,x x ，求2123(14)x x -的值.（北京八中期中试题）【解析】 ⑴根据题意，可得 ()()210441300m m m m m +≠⎧⎪∆=-+->⎨⎪≠⎩∴32m >-且0m ≠且1m ≠-．⑵依题意有2m =，原方程可化为23410x x +-=．方法一：∴121221143133410x x x x x x ⎧+=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪+-=⎪⎩∴()2121212123(14)(14)(14)11641x x x x x x x x -=--=+-+=方法二：12222133410x x x x ⎧=-⎪⎨⎪+-=⎩，()22221212123(14)3391x x x x x x -=⋅==【探究对象】根系关系的进一步应用 【探究方式】在做含参一元二次方程根系关系的问题时，先考虑二次项系数不为0→再判断∆→然后根据题意看是否有两根的特殊关系（如例3，已知中强调两根不互为相反数，则根据根系关系能够得出0m ≠）． 在这里主要探讨一下根的正负性问题：利用根与系数的关系，我们可以不直接求方程2++=0ax bx c 的根，而知其根的正、负性． 在2=40b ac ∆-≥的条件下，我们有如下结论：①当<0c a时，方程的两根必一正一负．若0b a -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若<0b a -，则此方程的正根小于负根的绝对值．②当>0c a时，方程的两根同正或同负．若>0b a -，则此方程的两根均为正根；若<0ba -，则此方程的两根均为负根．【探究1】已知关于x 的一元二次方程x 2－2ax +a 2－9=0 （1）a 为何值时，方程有两个正根？（2）a 为何值时，方程有一正根、一负根？ 分析：此题根据上面的总结很容易得出：（1）a >3；（2）－3< a <3【探究2】已知关于x 的一元二次方程（m +2）x 2+2mx +232m -=0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）若 362m <<，试判断方程两个实数根的符号，并证明你的结论．分析：（1）∵方程有两个不相等的实数根 ∴()()22324221202m m m m -∆=-+=-+> 解得：m ＜6； 又因为m +2≠0，则m ≠－2；所以m 的取值范围是m ＜6且m ≠－2； （2）设方程的两个实根分别为α与β，则根据根与系数的关系得：22mm αβ+=-+，()2322m m αβ-=+，又知362m <<，则202mm αβ+=-<+，()23022m m αβ-=>+ 逆用上述结论可知，方程有两个负实数根．【探究3】已知方程22430x x k -+-=，k 为实数且k ≠0，证明：此方程有两个实数根，其中一根大于1，另一根小于1．分析：先判断∆=4+4k 2>0，所以方程有两不等实根，设为α、β，且αβ≠ 由根系关系得 4αβ+=，23k αβ=-，拓展逆用上述结论： ()()111αβαβαβ--=--+223410k k =--+=-<∴1α-与1β-中必有一个大于0，另一个小于0 即方程有两个实数根，其中一根大于1，另一根小于1．列一元二次方程解应用题的时候，要注意检验得到的根是否符合题意．思路导航题型二：一元二次方程的应用题【引例】 ⑴某汽车销售公司2009年盈利1500万元， 2011年盈利2160万元，且从2009年到2011年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）． （西城期末）A ．()2150012160x += B ．2150015002160x x += C ．215002160x = D ．()()215001150012160x x +++=⑵某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程为 ． (台州中考)【解析】 ⑴A ；⑵100)1(1202=-x ．【例4】 某商品进价为40元的衬衫按50元售出时.每月能卖500件.这种衬衫每涨价1元，其销售量减少10件.如果商场计划每月赚8000元利润.售价应定为多少?【解析】 设涨价x 元，则售价为()50x +元，每月卖出()50010x -件．根据题意列出方程()()5001050408000x x -+-=解得：121030x x ==，答：当售价定在60元或者80元时，每月赚8000元．【例5】 如图①，要设计一幅宽20cm ，长30cm 的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2:3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？20cm 30cm图①图②30cm20cm ABCD分析：由横、竖彩条的宽度比为2:3，可设每个横彩条的宽为2x ，则每个竖彩条的宽为3x ．为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到矩形ABCD ．结合以上分析完成填空：⑴ 如图②，用含x 的代数式表示：AB =____________________________cm ；AD =____________________________cm ； 矩形ABCD 的面积为_____________cm 2； ⑵ 列出方程并完成本题解答．（三帆中学期末试题）例题精讲典题精练【解析】 ⑴ 220630424260600.x x x x ---+，，⑵ 根据题意，得2124260600132030x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭⨯⨯.整理，得2665500x x -+=.解方程，得125106x x ==，（不合题意，舍去）.则552332x x ==，．答：每个横、竖彩条的宽度分别为53cm ，52cm.【例6】 如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面．请观察下列图形并解答有关问题：⑴ 在第n 个图中，每一横行共有 块瓷砖，每一竖列共有 块瓷砖；（均用含n 的代数式表示）⑵ 设铺设地面所用瓷砖的总块数为y ，请写出y 与⑴中的行列的函数关系式；（不要求写自变量n 的取值范围）⑶ 按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n 的值； ⑷ 若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题⑶中，共需花多少元钱购买瓷砖？ ⑸ 是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算说明理由．...n=3n=2n=1【解析】⑴ 3n +；2n +． ⑵ (3)(2)y n n =++，即256y n n =++．⑶ 当y =506时，256506n n ++=，即255000n n +-=解得122025n n ==-，（舍去）． ⑷ 白瓷砖块数是(1)20(201)420n n +=⨯+=（块）．黑瓷砖块数是50642086-=（块）． 共需86442031604⨯+⨯=（元）． ⑸ 2(1)(56)(1)n n n n n n +=++-+化简为2360n n --=解得12333333022n n +-==<，（舍去）． ∵n 的值不为正整数，∴不存在黑、白瓷砖块数相等的情形．【例7】 关于x 的方程20x px q ++=的两根和为1s ，两根的平方和为2s ，两根的立方和为3s ，试求321s ps qs ++的值．【解析】 设方程的两根为1x 、2x ，则12x x p +=-，12x x q =．∴1s p =-，()2222212121222s x x x x x x p q =+=+-=-．()()()233231212121233s x x x x x x x x p p q ⎡⎤=+=++-=--⎣⎦真题赏析33pq p =-．∴()()32321320s ps qs pq p p p q q p ++=-+-+-=．训练1. 关于x 的一元二次方程()()23x x m --=有两个实数根1x 、2x ，⑴ 求m 的取值范围;⑵若1x 、2x 满足等式121210x x x x --+=求m 的值. （崇文区初三期末）【解析】 由()()23x x m --=，整理，得 2560x x m -+-=．⑴ ∵方程有两个实数根，∴24b ac =-=Δ254(6)0m --≥．解之，得14m -≥ ．⑵ ∵方程2560x x m -+-=的两个实根是1x 、2x ，∴12121456m x x x x m -+==⎧⎪⎨⎪-⎪⎪⎩≥ ∵121210x x x x --+=∴114650m m --+=⎧-⎪⎨⎪⎩≥ ∴2m =.训练2. ⑴已知t 是实数，若a b ，是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则22(1)(1)a b --的最小值是____________.⑵如果a b ，是质数，且22130130a a m b b m -+=-+=，那么b aa b+的值为 （ ） A.12322 B. 12522或2 C. 12522 D. 12322或2 【解析】 ⑴3-.提示：依题意有()224410210210210t a a t b b t a b ab t =--⎧⎪-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪+=⎪=-⎪⎩Δ≥≥，化简得22121212t a a t b b t ⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩≤≤ ∴()()222(1)(1)224a b a t b t t --=--=-，∴22(1)(1)a b --的最小值为3-．⑵B ．提示：方法一：有两种情况：① 若a b =，则2b aa b+=；②若a b ≠，根据题意，a 、b 是方程2130x x m -+=的根，则13a b +=，因为a b ，是质数且和为奇数，所以两数分别为2和11．此时21112511222b a a b +=+=． 思维拓展训练(选讲)方法二：两式相减，消m ，2213130a b a b --+=，()()130a b a b -+-=，所以有a b =或13.a b +=训练3. 为了鼓励居民节约用电，某地区规定：如果每户居民一个月的用电量不超过a 度时，每度电按0.40元交费；如果每户居民一个月的用电量超出a 度时，则该户居民的电费将使用二级电费计费方式，即其中有a 度仍按每度电0.40元交费，超出a 度部分则按每度电150a元交费．下表是该地区一户居民10月份、11月份的用电情况．根据表中的数据，求在该地区规定的电费计费方式中，a 月份 用电量 所交电费总数（元）10月 80 32 11月10042【解析】 因为800.432⨯=，1000.44042⨯=<，所以 80100a <≤.由题意得 0.4(100)42150aa a +-=.去分母，得 60(100)42150a a a +-=⨯.整理，得 216063000a a -+=. 解得 190a =，270a =. 因为 80a ≥，所以 270a =不合题意，舍去. 所以 90a =．答：在该地区规定的电费计费方式中，a 度用电量为90度.训练4. ⑴两个相邻的自然数的平方和比这两个数中较小的数的2倍大51，试求这两个自然数．⑵某两位数的十位数字与个位数字之和为5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为736，求原来的两位数．【解析】 ⑴设这两个自然数分别为1n n +，．根据题意得()221251n n n ++=+解得：1255n n ==-，（舍）所以这两个自然数为5和6⑵设这个数为()10595x x x +-=+，新的数为()105509x x x -+=- 根据题意得：()()95509736x x +-= 解得1223x x ==，所以这个两位数为23或32知识模块一 根与系数的关系 巩固练习【练习1】 ⑴方程2520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ，则1212x x x x +-⋅的值为（ ）A ．7-B ．3-C ．7D ．3⑵设1x ，2x 是一元二次方程2320x x --=的两个实数根，则2211223x x x x ++的值为__________________．【解析】 ⑴D ；⑵7．【练习2】 已知α，β是一元二次方程210x x +-=的两个根，求5325αβ+的值．【解析】 因为α是方程210x x +-=的根，所以210αα+-=，即21αα=-．()24211223ααααα=-=-+=-，()542232353αααααααα=⋅=-=-=-．同理()322121ββββββββ=⋅=-=-=-．所以()()()5325253521101121αβαβαβ+=-+-=+-=-．【练习3】 已知关于x 的方程()2120x k x k -+++=的两个实数根的平方和等于6，求k 的值．【解析】 设方程的两个根为1x ，2x ，则121x x k +=+，122x x k =+．∵22126x x +=，∴()2121226x x x x +-=．∴()()21226k k +-+=．解得13k =，23k =-．又()()2142k k ∆=+-+．当3k =时，0∆<，所以，3k =不符合题意．舍去．当3k =-时，0∆>，所以，3k =-即为所求．题型二 一元二次方程的应用问题 巩固练习 复习巩固【练习4】 某市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少．【解析】 设平均每次降价的百分率为x ，则2200(1)128x -=，即10.8x -=±，解得1 1.8x =（舍去），20.220%x ==答：这种药品平均每次降价20%．【练习5】 一条长64m 的铁丝被剪成两段，每段均折成一个正方形，若两个正方形的面积和等于2160cm ，求这两个正方形的边长，【解析】 设一个正方形的边长为x cm ，则另一个正方形的边长是644(16)cm 4x x -=-． ∴22(16)160x x +-=，整理，得216480x x -+=，解得12412x x ==，，则1612x -=或164x -=．答：这两个正方形的边长分别为4cm ，12cm ．第十六种品格：诚信感恩对手读完《感恩对手》这本书后，它让我明白了对手的存在是一种必然。
人教版九年级上学期21.2-21.3一元二次方程根系关系及应用题教学案(无答案)
一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）若21,x x 是关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根，则方程的两个根21,x x 和系数c b a ,,有如下关系：acx x a b x x =⋅-=+2121,.【引例】 先阅读，再填空解题：⑴方程x 2－x －12＝0 的根是：x 1＝3-，x 2＝4，则x 1＋x 2＝1，x 1·x 2＝12-；⑵方程2x 2－7x ＋3＝0的根是：x 1＝12，x 2＝3，则x 1＋x 2＝72，x 1·x 2＝32；⑶方程x 2－3x ＋1＝0的根是：x 1＝ ， x 2＝ ． 则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ； ⑷根据以上⑴⑵⑶你能否猜出：如果关于x 的一元二次方程mx 2＋nx ＋p ＝0（m ≠0且m 、n 、p 为常数）的两根为x 1、x 2，那么x 1＋x 2、x 1·x 2与系数m 、n 、p 有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由．⑸在⑶的条件下，求下列各式的值：①221221x x x x +；②221211x x +【解析】 35+35-；3，1；⑷1212n px x x x m m+=-=，； ⑸①()2212211212==31=3x x x x x x x x ++⨯②()()2221212122222212*********====71x x x x x x x x x x x x +-+-+ 例题精讲思路导航根系关系及应用题题型一：根与系数关系【例1】 不解方程，求下列方程两根的积与和．⑴25100x x --= ⑵22710x x ++=⑶23125x x -=+ ⑷()137x x x -=+【例2】 已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ．⑴求实数m 的取值范围；⑵当22120x x -=时，求m 的值．【例3】 已知一元二次方程2(1)230m x mx m +++-=有两个不相等的实数根，并且这两个根又不互为相反数. ⑴ 求m 的取值范围；⑵ 当m 在取值范围内取最小偶数时，方程的两根为12,x x ，求2123(14)x x -的值.典题精练列一元二次方程解应用题的时候，要注意检验得到的根是否符合题意．【例4】 某商品进价为40元的衬衫按50元售出时.每月能卖500件.这种衬衫每涨价1元，其销售量减少10件.如果商场计划每月赚8000元利润.售价应定为多少?【例5】 如图①，要设计一幅宽20cm ，长30cm 的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2:3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？图①图②分析：由横、竖彩条的宽度比为2:3，可设每个横彩条的宽为2x ，则每个竖彩条的宽为3x ．为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到矩形ABCD ． 结合以上分析完成填空：⑴ 如图②，用含x 的代数式表示：AB =____________________________cm ；AD =____________________________cm ； 矩形ABCD 的面积为_____________cm 2；⑵ 列出方程并完成本题解答．思路导航典题精练题型二：一元二次方程的应用题知识模块一 根与系数的关系 巩固练习【练习1】 ⑴方程2520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ，则1212x x x x +-⋅的值为（ ）A ．7-B ．3-C ．7D ．3⑵设1x ，2x 是一元二次方程2320x x --=的两个实数根，则2211223x x x x ++的值为__________________．【练习2】 已知α，β是一元二次方程210x x +-=的两个根，求5325αβ+的值．【练习3】 已知关于x 的方程()2120x k x k -+++=的两个实数根的平方和等于6，求k 的值．题型二 一元二次方程的应用问题 巩固练习【练习4】 某市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少．【练习5】 一条长64m 的铁丝被剪成两段，每段均折成一个正方形，若两个正方形的面积和等于2160cm ，求这两个正方形的边长，复习巩固。
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根系关系及应用题知识互联网题型切片编写思路本讲主要分为两个版块，模块一主要讲解了一元二次方程的补充知识点，韦达定理，在这一板块重点进行了由定理直接进行的代数式的变形，对于这个补充版块，有的班级理解能力强些，老师们可能会有一些富余时间，故给老师们预备了对韦达定理的进一步探索。
模块二练习了各个类型的应用题，希望同学们能从不同的方面深入理解一元二次方程，并再次练习了解方程应用题的一般步骤：审、设、列、解、答，希望老师注意强调应用题的答千万不要忘记。
一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）若21,x x 是关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根，则方程的两个根21,x x 和系数c b a ,,有如下关系：acx x a b x x =⋅-=+2121,.【引例】 先阅读，再填空解题：⑴方程x 2－x －12＝0 的根是：x 1＝3-，x 2＝4，则x 1＋x 2＝1，x 1·x 2＝12-；⑵方程2x 2－7x ＋3＝0的根是：x 1＝12，x 2＝3，则x 1＋x 2＝72，x 1·x 2＝32；⑶方程x 2－3x ＋1＝0的根是：x 1＝ ， x 2＝ ． 则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ； ⑷根据以上⑴⑵⑶你能否猜出：如果关于x 的一元二次方程mx 2＋nx ＋p ＝0（m ≠0且m 、n 、p 为常数）的两根为x 1、x 2，那么x 1＋x 2、x 1·x 2与系数m 、n 、p 有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由．⑸在⑶的条件下，求下列各式的值：①221221x x x x +；②221211x x + （十一学校期末） 【解析】；3，1；⑷1212n px x x x m m+=-=，； ⑸①()2212211212==31=3x x x x x x x x ++⨯②()()2221212122222212*********====71x x x x x x x x x x x x +-+-+ 思路导航例题精讲题型一：根与系数关系【例1】 不解方程，求下列方程两根的积与和．⑴25100x x --= ⑵22710x x ++= ⑶23125x x -=+ ⑷()137x x x -=+【解析】 ⑴1212510x x x x +==-， ⑵12127122x x x x +=-=，⑶1212223x x x x +==-， ⑷121247x x x x +==-，【例2】 已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ．⑴求实数m 的取值范围；⑵当22120x x -=时，求m 的值． (毕节中考) 【解析】 ⑴由题意有22(21)40m m ∆=--≥，解得14m ≤．即实数m 的取值范围是14m ≤．⑵由22120x x -=得1212()()0x x x x +-=． 若120x x +=，即(21)0m --=，解得12m =．∵12＞14，12m ∴=不合题意，舍去． 若120x x -=，即12x x =∴ 0∆=，由⑴知14m =．故当22120x x -=时，14m =．【例3】 已知一元二次方程2(1)230m x mx m +++-=有两个不相等的实数根，并且这两个根又不互为相反数. ⑴ 求m 的取值范围；⑵ 当m 在取值范围内取最小偶数时，方程的两根为12,x x ，求2123(14)x x -的值.（北京八中期中试题）【解析】 ⑴根据题意，可得 ()()210441300m m m m m +≠⎧⎪∆=-+->⎨⎪≠⎩∴32m >-且0m ≠且1m ≠-．⑵依题意有2m =，原方程可化为23410x x +-=．典题精练方法一：∴121221143133410x x x x x x ⎧+=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪+-=⎪⎩∴()2121212123(14)(14)(14)11641x x x x x x x x -=--=+-+=方法二：12222133410x x x x ⎧=-⎪⎨⎪+-=⎩，()22221212123(14)3391x x x x x x -=⋅==【探究对象】根系关系的进一步应用【探究方式】在做含参一元二次方程根系关系的问题时，先考虑二次项系数不为0→再判断∆→然后根据题意看是否有两根的特殊关系（如例3，已知中强调两根不互为相反数，则根据根系关系能够得出0m ≠）．在这里主要探讨一下根的正负性问题：利用根与系数的关系，我们可以不直接求方程2++=0ax bx c 的根，而知其根的正、负性． 在2=40b ac ∆-≥的条件下，我们有如下结论：①当<0c a时，方程的两根必一正一负．若0ba -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若<0ba-，则此方程的正根小于负根的绝对值．②当>0c a时，方程的两根同正或同负．若>0b a -，则此方程的两根均为正根；若<0ba -，则此方程的两根均为负根．【探究1】已知关于x 的一元二次方程x 2－2ax +a 2－9=0 （1）a 为何值时，方程有两个正根？ （2）a 为何值时，方程有一正根、一负根？分析：此题根据上面的总结很容易得出：（1）a >3；（2）－3< a <3【探究2】已知关于x 的一元二次方程（m +2）x 2+2mx +232m -=0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）若 362m <<，试判断方程两个实数根的符号，并证明你的结论． 分析：（1）∵方程有两个不相等的实数根【探究3】已知方程22430x x k -+-=，k 为实数且k ≠0，证明：此方程有两个实数根，其中一根大于1，另一根小于1．分析：先判断∆=4+4k 2>0，所以方程有两不等实根，设为α、β，且αβ≠ 由根系关系得 4αβ+=，23k αβ=-，拓展逆用上述结论： ()()111αβαβαβ--=--+ 223410k k =--+=-<∴1α-与1β-中必有一个大于0，另一个小于0 即方程有两个实数根，其中一根大于1，另一根小于1．列一元二次方程解应用题的时候，要注意检验得到的根是否符合题意．【引例】 ⑴某汽车销售公司2009年盈利1500万元， 2011年盈利2160万元，且从2009年到2011年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）． （西城期末） A ．()2150012160x += B ．2150015002160x x += C ．215002160x = D ．()()215001150012160x x +++=例题精讲思路导航题型二：一元二次方程的应用题⑵某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程为 ． (台州中考)【解析】 ⑴A ；⑵100)1(1202=-x ．【例4】 某商品进价为40元的衬衫按50元售出时.每月能卖500件.这种衬衫每涨价1元，其销售量减少10件.如果商场计划每月赚8000元利润.售价应定为多少? 【解析】 设涨价x 元，则售价为()50x +元，每月卖出()50010x -件．根据题意列出方程()()5001050408000x x -+-= 解得：121030x x ==，答：当售价定在60元或者80元时，每月赚8000元．【例5】 如图①，要设计一幅宽20cm ，长30cm 的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2:3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？图①图②分析：由横、竖彩条的宽度比为2:3，可设每个横彩条的宽为2x ，则每个竖彩条的宽为3x ．为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到矩形ABCD ． 结合以上分析完成填空：⑴ 如图②，用含x 的代数式表示：AB =____________________________cm ；AD =____________________________cm ； 矩形ABCD 的面积为_____________cm 2；⑵ 列出方程并完成本题解答．（三帆中学期末试题）【解析】 ⑴ 220630424260600.x x x x ---+，，⑵ 根据题意，得2124260600132030x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭⨯⨯.整理，得2665500x x -+=.解方程，得125106x x ==，（不合题意，舍去）.则552332x x ==，．答：每个横、竖彩条的宽度分别为53cm ，52cm.【例6】 如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面．请观察下列图形并解答有关问典题精练题：⑴在第n个图中，每一横行共有块瓷砖，每一竖列共有块瓷砖；（均用含n 的代数式表示）⑵设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与⑴中的行列的函数关系式；（不要求写自变量n的取值范围）⑶按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；⑷若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题⑶中，共需花多少元钱购买瓷砖？⑸是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算说明理由．...n=3n=2n=1【解析】⑴3n+；2n+．⑵(3)(2)y n n=++，即256y n n=++．⑶当y=506时，256506n n++=，即255000n n+-=解得122025n n==-，（舍去）．⑷白瓷砖块数是(1)20(201)420n n+=⨯+=（块）．黑瓷砖块数是50642086-=（块）．共需86442031604⨯+⨯=（元）．⑸2(1)(56)(1)n n n n n n+=++-+化简为2360n n--=解得12n n==<（舍去）．∵n的值不为正整数，∴不存在黑、白瓷砖块数相等的情形．【例7】关于x的方程20x px q++=的两根和为1s，两根的平方和为2s，两根的立方和为3s，试求321s ps qs++的值．【解析】设方程的两根为1x、2x，则12x x p+=-，12x x q=．∴1s p=-，()2222212121222s x x x x x x p q=+=+-=-．()()()233231212121233s x x x x x x x x p p q⎡⎤=+=++-=--⎣⎦33pq p=-．∴()()32321320s ps qs pq p p p q q p++=-+-+-=．真题赏析训练1. 关于x 的一元二次方程()()23x x m --=有两个实数根1x 、2x ，⑴ 求m 的取值范围;⑵若1x 、2x 满足等式121210x x x x --+=求m 的值. （崇文区初三期末）【解析】 由()()23x x m --=，整理，得 2560x x m -+-=． ⑴ ∵方程有两个实数根，∴24b ac =-=Δ254(6)0m --≥．解之，得14m -≥ ．⑵ ∵方程2560x x m -+-=的两个实根是1x 、2x ， ∴12121456m x x x x m -+==⎧⎪⎨⎪-⎪⎪⎩≥ ∵121210x x x x --+=∴114650m m --+=⎧-⎪⎨⎪⎩≥ ∴2m =.训练2. ⑴已知t 是实数，若a b ，是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则22(1)(1)a b --的最小值是____________.⑵如果a b ，是质数，且22130130a a m b b m -+=-+=，那么b aa b+的值为 （ ） A.12322 B. 12522或2 C. 12522 D. 12322或2 【解析】 ⑴3-.提示：依题意有()224410210210210t a a t b b t a b ab t =--⎧⎪-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪+=⎪=-⎪⎩Δ≥≥，化简得22121212t a a t b b t ⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩≤≤ ∴()()222(1)(1)224a b a t b t t --=--=-，∴22(1)(1)a b --的最小值为3-． ⑵B ．提示：方法一：有两种情况：① 若a b =，则2b aa b+=；②若a b ≠，根据题意，a 、b 是方程2130x x m -+=的根，思维拓展训练(选讲)则13a b +=，因为a b ，是质数且和为奇数，所以两数分别为2和11．此时21112511222b a a b +=+=． 方法二：两式相减，消m ，2213130a b a b --+=，()()130a b a b -+-=，所以有a b=或13.a b +=训练3. 为了鼓励居民节约用电，某地区规定：如果每户居民一个月的用电量不超过a 度时，每度电按0.40元交费；如果每户居民一个月的用电量超出a 度时，则该户居民的电费将使用二级电费计费方式，即其中有a 度仍按每度电0.40元交费，超出a 度部分则按每度电150a元交费．下表是该地区一户居民10月份、11月份的用电情况．根据表中的数据，求在该地区规定的电费计费方式中，a 度用电量为多少？ （西城期末）【解析】 因为800.432⨯=，1000.44042⨯=<，所以 80100a <≤.由题意得 0.4(100)42150aa a +-=. 去分母，得 60(100)42150a a a +-=⨯.整理，得 216063000a a -+=. 解得 190a =，270a =. 因为 80a ≥，所以 270a =不合题意，舍去. 所以 90a =．答：在该地区规定的电费计费方式中，a 度用电量为90度.训练4. ⑴两个相邻的自然数的平方和比这两个数中较小的数的2倍大51，试求这两个自然数．⑵某两位数的十位数字与个位数字之和为5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为736，求原来的两位数．【解析】 ⑴设这两个自然数分别为1n n +，．根据题意得()221251n n n ++=+解得：1255n n ==-，（舍） 所以这两个自然数为5和6⑵设这个数为()10595x x x +-=+，新的数为()105509x x x -+=- 根据题意得：()()95509736x x +-= 解得1223x x ==，所以这个两位数为23或32知识模块一 根与系数的关系 巩固练习【练习1】 ⑴方程2520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ，则1212x x x x +-⋅的值为（ ）A ．7-B ．3-C ．7D ．3⑵设1x ，2x 是一元二次方程2320x x --=的两个实数根，则2211223x x x x ++的值为__________________．【解析】 ⑴D ；⑵7．【练习2】 已知α，β是一元二次方程210x x +-=的两个根，求5325αβ+的值． 【解析】 因为α是方程210x x +-=的根，所以210αα+-=，即21αα=-． ()24211223ααααα=-=-+=-，()542232353αααααααα=⋅=-=-=-．同理()322121ββββββββ=⋅=-=-=-．所以()()()5325253521101121αβαβαβ+=-+-=+-=-．【练习3】 已知关于x 的方程()2120x k x k -+++=的两个实数根的平方和等于6，求k 的值． 【解析】 设方程的两个根为1x ，2x ，则121x x k +=+，122x x k =+．∵22126x x +=，∴()2121226x x x x +-=． ∴()()21226k k +-+=． 解得13k =，23k =-． 又()()2142k k ∆=+-+．当3k =时，0∆<，所以，3k =不符合题意．舍去． 当3k =-时，0∆>，所以，3k =-即为所求．复习巩固题型二 一元二次方程的应用问题 巩固练习【练习4】 某市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少．【解析】 设平均每次降价的百分率为x ，则2200(1)128x -=，即10.8x -=±，解得1 1.8x =（舍去），20.220%x ==答：这种药品平均每次降价20%．【练习5】 一条长64m 的铁丝被剪成两段，每段均折成一个正方形，若两个正方形的面积和等于2160cm ，求这两个正方形的边长，【解析】 设一个正方形的边长为x cm ，则另一个正方形的边长是644(16)cm 4x x -=-． ∴22(16)160x x +-=，整理，得216480x x -+=，解得12412x x ==，，则1612x -=或164x -=．答：这两个正方形的边长分别为4cm ，12cm ．。