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叶轮机械内部流场数值分析方法概论

席光

第一章叶轮机械气体动力学的一般知识

1.1绪论

1.2描述流体运动的两种方法：拉格朗日法和欧拉法

1.3绝对与相对坐标系，标量和矢量函数在两类坐标系下的关联

1.4相对和绝对坐标系下作用力和功的概念

1.5三元流动控制方程组

第二章基于两类相对流面理论的数值分析方法

2.1两类相对流面的基本概念

2.2流线曲率法

2.3有限差分法

2.4应用实例

第三章三元流动的直接数值求解方法

3.1不同坐标系下控制方程的分量表达式

3.2压力求解变量类方法（SIMPLE）

3.3密度求解变量类方法（时间相关法）

3.4通用软件简介

第四章非定常流动的数值分析方法

4.1叶轮机械中非定常流的概念

4.2滑移网格法

4.3应用实例

1.2 相对、绝对坐标系下各类函数的关联

1.2.1 坐标系的基本概念

坐标系的定义：一般地，对于某个函数对象的集合，若有使它的元素对应于

数量的结构，则称此结构为坐标系。

坐标系的分类：几何⎩⎨⎧），非正交曲线坐标系（

系等）卡尔，圆柱，球形坐标正交曲线坐标系（如笛

ηξ；

图1 非正交曲线坐标系示例

运动⎩⎨⎧常）轮上，叶轮内流边界定相对坐标系（固定在转结在一起，惯性系）绝对坐标系（与地面固

。

最常用的坐标系：

1. 笛卡尔直角坐标系（z y x ,,）

特点：坐标线为直线，且相互垂直；坐标面为平面；坐标矢基为单位常

向量，不随空间位置变化。

图2 笛卡尔直角坐标系

2. 圆柱坐标系（z r ,,θ） r ：空间点到z 轴的距离； θ：x 轴为起点，逆时针为正的角度； z ：与直角坐标的z 轴相同。

【问题】坐标线／面为什么形式？ 图3 圆柱坐标系

⎪⎩

⎪

⎨⎧===z

z r y r x θθsin cos 基矢量的特点⎩⎨⎧置变化．是常矢量，不随空间位是空间坐标的函数；ｚe e e r ρ

ρρ,θ 课堂练习：推导直角坐标系与圆柱坐标系单位基矢量之间的关系

几何法：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=k

e j i e j

i e z r ρρρρρ

ρρρ

θθθθθcos sin sin cos

解析法：设空间任一点的矢径

k z j r i r k z j y i x R p ϖ

ϖϖϖϖϖϖ++=++=θθsin cos

则有 图4

⎪⎪⎪

⎪

⎩⎪⎪

⎪

⎪⎨⎧=∂∂∂∂=+-=∂∂∂∂=

+=∂∂∂∂=

k

z R z R e j i R R e j i r R r R e p p z p

p p p r ϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖ

ϖϖ

ϖϖθθθθθθθcos sin sin cos 1.2.2 流体运动的两种描述方法

1. 拉格朗日法：以流场中个别质点的运动作为研究的出发点，从而进一步研究整个流体的运动。这种方法是质点系力学研究方法的自然延续。

对某个流体质点),,(c b a 在空间运动时，其直角坐标系下的位置与时间的关系为：

⎪⎩

⎪

⎨⎧===),,,(),,,(),,,(t c b a z z t c b a y y t c b a x x 其中),,(c b a 为0t t =时刻该质点的空间位置。 对于任意质点，由于各个质点在0t t =时刻的坐标),,(c b a 不一样，各质点在任意时刻的空间位置将是t c b a ,,,四个变量的函数。

⎪⎩

⎪

⎨⎧===),,,(),,,()

,,,(t c b a z z t c b a y y t c b a x x k z j y i x R ϖϖϖϖ++= 对于一个确定的质点，即),,(c b a 确定，根据速度的定义有：

dt

R d t t R t t R V t ϖ

ϖϖϖ=∆-∆+=→∆)()(lim 0

当研究所有质点时，),,(c b a 也是自变量，这时

t R V ∂∂=ϖϖ t

z w t y v t x u ∂∂=

∂∂=∂∂=,, 同样质点的加速度： 2

2

t R t V

a ∂∂=∂∂=ϖϖϖ， ),,,(t c

b a 称为拉格朗日变数。

2. 欧拉法：不着眼于研究个别质点的运动特性，而是以流体流过的空间某点

的运动特性作为研究的出发点，从而研究流体在整个空间里的运动情况。 在欧拉法中，各物理量将是时间t 和空间坐标点),,(z y x 的函数，如：

),,,(t z y x V V ϖ

ϖ=

1.2.3 相对和绝对坐标系 1. 直角坐标系

绝对坐标系记为),,(z y x ；

相对坐标系记为)',','(z y x ；

其中z 轴和'z 轴相同，都与机器轴线一致。 图5

相对坐标系的'''y o x 平面绕z 轴以角速度ϖ逆时针旋转，0=t 时刻'x 与x 坐标轴重合。其关系为：

⎪⎩

⎪

⎨⎧=+=-='cos 'sin 'sin 'cos 'z z t y t x y t

y t x x ϖϖϖϖ

⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=⇒'cos 'sin 'sin 'cos 'k k t j t i j t

j t i i ϖϖϖϖ

ϖϖ

ϖϖϖϖϖϖ

⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=⇒k

k t j t i j t

j t i i ϖϖϖϖϖ

ϖ

ϖϖ'cos sin 'sin cos 'ϖϖϖϖ 图6

注意：由上式可知，',','k j i ϖ

ϖϖ基矢量与时间有关，与空间坐标无关！ 2. 圆柱坐标系