复变函数第一章(2)复数的乘幂与方根

2
w0
) )
w2
x
2 (cos
w3
四个根是内接于中心在原点,半 径为21/8的圆的正方形的四个 顶点.
1.3 平面点集
1.3.1 区域
平面上以 z0为中心, d (任意的正数)为半径的圆: |zz0|<d 内部的点的集合称为z0的邻域, 而称由不等式 0<|zz0|<d 所确定的点集为z0的去心邻域. 设G为一平面点集, z0为G中任意一点. 如果存在z0的一 个邻域, 该邻域内的所有点都属于G, 则称z0为G的内点. 如果G内的每个点都是它的内点, 则称G为开集 平面点集D称为一个区域, 如果它满足下列两个条件: 1) D是一个开集; 2) D是连通的。就是说D中任何两点都可以用完全属于D 的一条折线连接起来.

4
2 k 4 )
( k 0,1,2,3)
即
w0 w1 w2 w3
8 8 8
2 (cos 2 (cos 2 (cos

16 9 16 17 16 25 16
i sin i sin i sin i sin

w1
) )
y
1 i
8
16 9
8
16 17 16 25 16
设C: z=z(t) (atb)为一条连续曲线, z(a)与z(b)分别为C 的起点与终点. 对于满足 a<t1<b, at2b 的 t1与 t2, 当 t1t2 而有 z(t1)=z(t2) 时, 点 z(t1)称为曲线 C的重点. 没有重点的 连续曲线 C, 称为简单曲线或若尔当(Jardan)曲线. 如果简 单曲线 C的起点与终点闭合, 即 z(a)=z(b) , 则曲线 C 称为 简单闭曲线. z (b )
3 i)
Arg (
i

6
6
2 k
i 6 6

6

3 i 2e
(
3 i) 2 6 e
（1 i ） (
5 6
3 i)

(
2) e 2 e
6 i 6 6
5
i
5 4

(
2) 2
6
5
i(
5 4

6 6
)
e
8
1 2
i

4来自百度文库
e
1.2.3 复数的方根(乘幂的逆运算)
sin sin
3
)

cos 3 cos 3 cos sin
（1 i ） (

例 2 ： 计算
3 i)
2

4
解:

1 i
1 i
3 i 2
Arg ( 1 i )
i

4
2 k
5
i 5 4
2e
(1 i ) ( 2 ) 5 e
称满足方程
1
w
n
z ( w 0 , n 2 ) 的复数 w 为 z 的 n 次方根，
记作
n
z 或 z n。
设 z r cos i sin , w cos i sin
则

n

w
n
(cos n i sin n )
n
n
cos n r cos ,
n
sin n r sin

r , cos n cos , sin n sin
n 2 k , k 0 , 1, 2 ,


n
2 k
n
n
, k 0 , 1,
w
k 0
z
r (cos
r (cos
注:
n
（1 ）复数 z 的 n 次方根共有
n 个。
，
( 2 ) 几何意义：
z 的 n 个值就在以原点为圆心 n 边形的 n 个顶点。
r 为半径的圆内接正
4
例 3： 计算
1 i
1 i 2 (cos
解: 因为 所以
4

4
i sin

4
)

1 i
8
2 (cos 4
2 k 4 i sin
例4:
圆环： r1 z z 0 r2
r2
z0
r1
z0
r
区域 不是区域( 不是开集)
z1 z2
z z0 r
点集 S { z | z 1 } { z | z 2 1 }
不是区域(不连通)
如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面, 即存在正数 M,使区域 D的每个点z都满足 |z|<M, 则称 D为 有界的, 否则称为无界的.
z (b ) z (a ) z (a )
z ( a ) z (b )
简单,闭
简单,不闭
非简单,不闭
z ( a ) z (b )
非简单,闭
2.光滑曲线,逐段光滑曲线
设曲线 C 的方程为
z ( t ) x ( t ) iy ( t ), ( a t b )
若在区间 [ a,b ] 上， x ' ( t ), y ' ( t ) 连续且不全为零，则称 曲线 C 为光滑曲线。
|z|>M M
0
1.3.2 曲线
1.简单曲线,简单闭曲线
在数学上, 经常用参数方程来表示各种平面曲线. 如果 x(t)和y(t)是两个连续的实变函数, 则方程组 x=x(t), y=y(t), (atb) 代表一条平面曲线, 称为连续曲线. 如果令 z(t)=x(t)+iy(t) 则此曲线可用一个方程 z=z(t) (atb) 来代表. 这就是平面曲线的复数表示式.
n
n
r (cos
r (cos
2 ( n 1 )
2n
n
n
i sin
n 2 ( n 1 )
i sin
2 n
) wn 2
i sin
n 2n
n
)
)
w0
z r (cos
n
n
2k
n
n
i sin
2k
n
), k o,1, , n 1
2 k

n
n
i sin
i sin

n )
2 k
n
)
2 n 2 n
w0
n
k 1,
w1
n
r (cos
2
n
i sin
2
n
w1 (cos
i sin
) w0
)
wn 1 (cos
2
k n 1, w n 1
k n, wn
解:
cos 3 Re[cos
3 i sin 3 ]
3
cos 3 i sin 3 (cos i sin )


2
3 k0
c 3 (cos ) ( i sin )
2
k
k
3 k
cos
3
3 cos sin
3
5 6
2
i ( 3 cos