提分微课(04) 构造辅助圆

针方向旋转的过程中,线段QP长度的最小值为2
,最大值为8
.
图W4-2
3.如图W4-3,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点 E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离 的最小值是 1.2 .
图W4-3
4.如图W4-4,在边长为4的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边的中点,点N是AB
图W4-11
13. [2018·徐州节选]如图W4-12,将等腰直角三角形ABC对折,折痕为CD.展平 后,再将点B折叠在边AC上(不与A,C重合),折痕为EF,点B在AC上的对应点为M, 设CD与EM交于点P,连接PF.随着点M在边AC上取不同的位置,△PFM的形状是 否发生变化?请说明理由.
图W4-12
边上一动点,将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN,连接A'C,则线段A'C长
度的最小值是
.
图W4-4
[答案] 2 7 − 2
[解析]如图所示, ∵在 N 的运动过程中,A'在以 M 为圆心,MA 的长为半径的圆上运动, ∴MA'是定值,A'C 长度取最小值时,A'在 MC 上. 过点 M 作 MF⊥DC 交 CD 延长线于点 F, ∵在边长为 4 的菱形 ABCD 中,∠A=60°,M 为 AD 中点, ∴MD=2,∠FDM=60°,∴∠FMD=30°,∴FD=12MD=1, ∴FM=DM·cos30°= 3,CF=FD+DC=5,∴在 Rt△MFC 中,MC= ������������2 + ������������2=2 7, ∴A'C=MC-MA'=2 7-2.故答案为:2 7-2.
9.如图W4-8,AC=3,BC=5,且∠BAC=90°,D为AC上一动点,以AD为直径作圆,
连接BD交圆于点E,连接CE,则CE的最小值为
.
[答案] 13-2
[解析]连接 AE,则∠AED=90°,即∠AEB=90°,
故点 E 在以 AB 为直径的圆弧上,在 Rt△ABC 中,
图W4-8
AC=3,BC=5,∴AB=4.当 C,E,F 三点共线时,CE 取得最小值,
因为点 B 在☉O 外,所以当 O,P,B 三点共线时,BP 的最小值为 BO-OP.
此时 OB 垂直平分 AC,记垂足为点 D,则 PD=AD·tan30°= 33×1= 33,BD= 3AD= 3, 故 PB 的最小值为 BO-OP=BD-DP= 3 − 33=23 3.
12.如图W4-11,等边三角形ABC边长为6,AB边中点为F,动点D,E分别从A,B两点 同时出发,以相同的速度沿直线向各自终点C,A运动,连接BD,CE,交于点P,则线 段PF的最小值为 ������������-2 ������ .
14. [2016·宿迁]已知△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=2,D是边AB上一动点 (A,B两点除外),将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF,其中点E是点 A的对应点,点F是点D的对应点. (1)如图W4-13①,当α=90°时,G是边AB上一点,且BG=AD,连接GF.求证 :GF∥AC. (2)如图②,当90°≤α≤180°时,AE与DF相交于点M. ①当点M与点C,D不重合时,连接CM,求∠CMD的度数; ②设D为边AB的中点,当α从90°变化到180°时,求点M运动的路径长.
图W4-13
解:(1)证明:∵CA=CB,∠ACB=90°,∴∠A=∠ABC=45°, ∵△CEF是由△CAD逆时针旋转90°得到的, ∴CB与CE重合,∠CBF=∠A=45°,∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°, ∵BG=AD=BF,∴∠BGF=∠BFG=45°, ∴∠A=∠BGF=45°,∴GF∥AC.
CE 的最小值=CF-EF= 32 + 22-2= 13-2.
10. [2015·淮安改编]将一张正方形纸片ABCD折叠,再展开,如图W4-9所示,其中 CE,CF为折痕,∠BCE=∠ECF=∠FCD,点B‘为点B的对应点,点D’为点D的对应 点,EB',FD'相交于点O.连接AB',则∠AB'E的度数为 45° .
8.如图W4-7,E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF,连接CF交
BD于点G,连接BE交AG于点H,连接DH,若正方形的边长是2,则线段DH长度的
最小值是
.
图W4-7
[答案] 5-1 [解析]由△ABE≌△DCF,得∠ABE=∠DCF,根据正方形的轴对称性,可得∠DCF= ∠DAG,∴∠ABE=∠DAG,∴∠AHB=90°,故点 H 在以 AB 为直径的圆弧上.取 AB 中点 O,以 O 为圆心,OA 长为半径作半圆,连接 OD 交半圆 O 于点 H,此时 DH 最小, ∵OH=12AB=1,OD= 5,∴DH 的最小值为 OD-OH= 5-1.
.
[答案] 45°
[解析]由题意可得C,B,A,F四点在同一个圆上. ∴∠BFC=∠BAC.∵直线 a∥CD,∴∠BAC=∠ACD. 又∵△ACD是等腰直角三角形,∴∠ACD=45°. ∴∠BFC=45°.∵∠CBF=90°,∴∠BCF=45°.
图W4-5
7. [2016·宁波考纲]如图W4-6,在等腰直角三角形ABC中,AB=BC=2,点P为等 腰直角三角形ABC所在平面内一点,且满足PA⊥PB,则PC的取值范围为 .
图W4-9
(2)定角
11.如图W4-10,△ABC为等边三角形,AB=2,若点P为△ABC内一动点,且满足
∠PAB=∠ACP,则线段PB长度的最小值为
.
图W4-10
[答案]
2 3
3
[解析]由∠PAB=∠ACP,∠CAB=60°,得∠APC=120°,
如图,以 AC 为弦作☉O,则点 P 的运动路径是������������(不包含两端点),
14. [2016·宿迁]已知△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=2,D是边AB上一动点 (A,B两点除外),将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF,其中点E是点 A的对应点,点F是点D的对应点. (2)如图②,当90°≤α≤180°时,AE与DF相交于点M. ①当点M与点C,D不重合时,连接CM,求∠CMD的度数; ②设D为边AB的中点,当α从90°变化到180°时,求点M运动的路径长.
类型一 定点定长
1.如图W4-1,在四边形ABCD中,AB=AC=AD,若∠BAC=25°,∠CAD=75°,则 ∠BDC= 12.5 °,∠DBC= 37.5 °.
图W4-1
2.如图W4-2,在△ABC中,AC=6,BC=8,∠ACB=90°,将△ABC绕顶点C按顺时针
方向旋转,得到△MNC.点P,Q分别是线段AC,MN的中点,在△ABC绕点C按顺时
解:△PFM 的形状不变,始终是以 PM,PF 为腰的等腰直角三角形,理由如下: 等腰直角三角形 ABC 中,CD⊥AB,∴AD=DB,CD=12AB=DB,∴∠B=∠DCB=45°, 由折叠可得∠PMF=∠B=45°,∴∠PMF=∠DCB,∴P,M,C,F 四点共圆, ∴∠FPM+∠FCM=180°, ∴∠FPM=180°-∠FCM=90°,∠PFM=90°-∠PMF=45°=∠PMF,∴PM=PF. ∴△PFM 的形状不变,始终是以 PM,PF 为腰的等腰直角三角形.
图W4-6
[答案] 5-1≤PC≤ 5+1 [解析]根据条件可知线段 AB 是定值,且 AB 所对的张角∠APB 是定值.根据同弧所 对的圆周角相等可知,动点 P 的运动轨迹在过点 A,B,P 三点的圆周上(不与 A,B 重 合).又因为∠APB=90°,所以 AB 恰好是直径,设 AB 中点为 O,以 O 为圆心,OA 为半 径作圆,连接 CO 并延长交圆 O 于点 P1,P2,CP1 最小,CP2 最大,所以 PC 的取值范围 为 5-1≤PC≤ 5+1.
提分微课（四）
构造辅助圆
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“隐圆”一般有如下呈现方式:①定点定长:当遇到同一个端点出发的等长线 段时,通常以这个端点为圆心,等线段长为半径构造辅助圆;②定弦定角:当遇到 动点对定线段所张的角为定值时,通常把张角转化为圆周角构造辅助圆.当遇 到直角时,通常以斜边为直径构造辅助圆.“隐圆”常与线段最值结合考查.如图 ①,点A到圆O的最短距离为AB,最长距离为AC.如图②,点A到圆O的最短距离 为AB,最长距离为AC.
图W4-13
(2)①如图①,∵CA=CE,CD=CF,∴∠CAE=∠CEA,∠CDF=∠CFD, ∵∠ACD=∠ECF,∴∠ACE=∠DCF, ∵2∠CAE+∠ACE=180°,2∠CDF+∠DCF=180°,∴∠CAE=∠CDF, ∴A,D,M,C 四点共圆,∴∠CMD=180°-∠CAD=135°. ②如图②,O 是 AC 中点,连接 OD,CM.∵AD=DB,CA=CB, ∴CD⊥AB,∴∠ADC=90°,由①可知 A,D,M,C 四点共圆,∴当 α 从 90°变化到 180° 时, 点 M 在以 AC 为直径的☉O 上,运动路径是������������, ∵OA=OC,CD=DA,∴DO⊥AC,∴∠DOC=90°,∴������������的长=9108π0·1=π2. ∴当 α 从 90°变化到 180°时,点 M 运动的路径长为π2.
5.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,3), [答案] 4
在x轴上找一点P,使得△AOP是等腰三角形, [解析]如图:
则这样的点P共有
个.
类型二 定弦定角或张角互补
(1)直角
6.如图W4-5,三角板ACD,BCE中,△ACD是等腰直角三角形
,∠CAD=∠CBE=90°,直线a∥CD,则∠BCF=