您的位置：360文档中心› 2020-2020学年苏州市高一(上)期末数学试卷(含答案解析)

2020-2020学年苏州市高一(上)期末数学试卷(含答案解析)

合集下载

江苏省苏州市高一上学期期末考试数学试题

江苏省苏州市高一上学期期末考试数学试题

江苏省苏州市2021-2021学年上学期高一期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共分）1.已知集合，，则______．【答案】【解析】【分析】集合A、B的公共元素是2，进而可得到集合A、B的交集。

【详解】集合A、B的公共元素是2，则AB＝{2}.【点睛】本题考查了集合的交集，考查了学生对基础知识的掌握，属于基础题。

2.函数的定义域为_________．【答案】【解析】【分析】由对数的真数大于0，列出不等式求解即可。

【详解】由题意，，解得，故函数的定义域为.【点睛】本题考查了函数定义域的求法，考查了对数的性质，属于基础题。

3.若角的终边经过点,则的值为____【答案】-2【解析】由三角函数的定义可得，应填答案。

4.已知向量＝(3，5)，＝(4，1)，则向量的坐标为_________．【答案】【解析】【分析】由即可得到答案。

【详解】由题意，.【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示及运算，考查了学生对平面向量知识的掌握，属于基础题。

5.已知＝，且是第四象限角，则的值是_________．【答案】【解析】【分析】由是第四象限角，可得，进而可以求出，结合，可得到答案。

【详解】因为是第四象限角，所以，则，则.【点睛】本题考查了三角函数求值，考查了三角函数诱导公式，属于基础题。

6.下列函数中，定义域是R且在定义域上为减函数的是_________．①；②；③；④．【答案】①【解析】【分析】对四个函数逐个分析，①满足题意；②是单调递增函数；③定义域不是R；④不是递减函数。

【详解】①，故的定义域是R且在定义域上为减函数；②，为定义域上的增函数，不满足题意；③，定义域为，不满足题意；④，在定义域上不是单调函数，不满足题意。

故答案为①.【点睛】本题考查了函数的定义域，考查了函数单调性的判断，涉及指数函数、对数函数、一次函数与分段函数，属于基础题。

7.设，若，则 .【答案】【解析】当，解得（舍去），当，解得或（舍去），当，解得（舍去），综上故填．8.已知函数的零点(n，n＋1)，，则n的值是_________．【答案】1【解析】【分析】分析可得函数是上的增函数，，，可知零点在(1，2)上，进而可得到答案。

2020年江苏省苏州市中考数学试卷(解析版)

2020年江苏省苏州市中考数学试卷(解析版)

江苏省苏州市2020年中考数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B 铅笔涂在答题卡相应位置上．1.在下列四个实数中，最小的数是（ ）A. 2-B.13C. 0D.【答案】A 【解析】 【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【详解】解：根据实数大小比较的方法，可得-2＜0＜13所以四个实数中，最小的数是-2． 故选：A ．【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．2.某种芯片每个探针单元的面积为20.00000164cm ，0.00000164用科学记数法可表示为（ ） A. 51.6410-⨯ B. 61.6410-⨯C. 716.410-⨯D. 50.16410-⨯【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于1的数利用科学记数法表示的一般形式为a×10-n ，指数n 由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.00000164=1.64×10-6， 故选：B ．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小数的方法，写成a×10n 的形式是关键． 3.下列运算正确的是（ ） A. 236a a a ⋅= B. 33a a a ÷=C. ()325a a =D. ()2242a ba b =【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的运算法则逐一计算可得．【详解】解： A 、235a a a ⋅=，此选项错误； B 、32a a a ÷=，此选项错误；C 、()326a a =，此选项错误；D 、()2242a ba b =，此选项正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握幂的运算法则． 4.如图，一个几何体由5个相同的小正方体搭成，该几何体的俯视图是（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据组合体的俯视图是从上向下看的图形，即可得到答案． 【详解】组合体从上往下看是横着放的三个正方形． 故选C ．【点睛】本题主要考查组合体的三视图，熟练掌握三视图的概念，是解题的关键． 5.不等式213x -≤的解集在数轴上表示正确的是（ ） A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：移项得，2x≤3+1， 合并同类项得，2x≤4， 系数化为1得，x≤2， 在数轴上表示为：故选：C ．【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右，在表示解集时≥，≤要用实心圆点表示；＜，＞要用空心圆点表示”是解答此题的关键．6.某手表厂抽查了10只手表的日走时误差，数据如下表所示（单位：s ）： 日走时误差 0 1 2 3 只数 3421则这10只手表的平均日走时误差（单位：s ）是（ ） A. 0 B. 0.6C. 0.8D. 1.1【答案】D 【解析】 【分析】根据加权平均数的概念，列出算式，即可求解． 【详解】由题意得：（0×3+1×4+2×2+3×1）÷10=1.1（s ） 故选D ．【点睛】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法，是解题的关键．7.如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB 的高度，他作了如下操作：（1）在点C 处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角ACE α∠=；（2）量得测角仪的高度CD a =；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB b =．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ）A. tan a b α+B. sin a b α+C. tan ba α+D. sin b a α+【答案】A 【解析】 【分析】延长CE 交AB 于F ，得四边形CDBF 为矩形，故CF=DB=b ，FB=CD=a ，在直角三角形ACF 中，利用CF 的长和已知的角的度数，利用正切函数可求得AF 的长，从而可求出旗杆AB 的长． 【详解】延长CE 交AB 于F ，如图，根据题意得，四边形CDBF 为矩形， ∴CF=DB=b ，FB=CD=a ，在Rt △ACF 中，∠ACF=α，CF=b ， tan ∠ACF=AFCF∴AF=tan tan CF ACF b α∠=, AB=AF+BF=tan a b α+， 故选：A ．【点睛】主要考查了利用了直角三角形的边角关系来解题，通过构造直角三角形，将实际问题转化为数学问题是解答此类题目的关键所在．8.如图，在扇形OAB 中，已知90AOB ∠=︒，2OA =，过AB 的中点C 作CD OA ⊥，CE OB ⊥，垂足分别为D 、E ，则图中阴影部分的面积为（ ）A.1π-B.12π- C. 12π-D.122π-【答案】B 【解析】 【分析】连接OC ，易证CDO CEO ≅△△，进一步可得出四边形CDOE 为正方形，再根据正方形的性质求出边长即可求得正方形的面积，根据扇形面积公式得出扇形AOB 的面积，最后根据阴影部分的面积等于扇形AOB 的面积剪去正方形CDOE 的面积就可得出答案． 【详解】连接OC 点C 为AB 的中点AOC BOC ∠=∠∴在CDO 和CEO 中90AOC BOC CDO CEO CO CO ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()CDO CEO AAS ∴≅△△,OD OE CD CE ∴==又90CDO CEO DOE ∠=∠=∠=︒∴四边形CDOE 为正方形2OC OA ==1OD OE ∴===11=1CDOE S ∴⨯正方形由扇形面积公式得()2902==3602AOBSππ⨯扇形==12CDOE AOB S S S π∴--阴影正方形扇形故选B ．【点睛】本题考查了扇形面积的计算、正方形的判定及性质，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 9.如图，在ABC ∆中，108BAC ∠=︒，将ABC ∆绕点A 按逆时针方向旋转得到AB C ''∆．若点B '恰好落在BC 边上，且AB CB ''=，则C '∠的度数为（ ）A. 18︒B. 20︒C. 24︒D. 28︒【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质得出边和角相等，找到角之间的关系，再根据三角形内角和定理进行求解，即可求出答案． 【详解】解：设C '∠=x°. 根据旋转的性质，得∠C=∠'C = x°，'AC =AC, 'AB =AB. ∴∠'AB B =∠B.∵AB CB ''=，∴∠C=∠CA 'B =x°. ∴∠'AB B =∠C+∠CA 'B =2x°. ∴∠B=2x°.∵∠C+∠B+∠CAB=180°，108BAC ∠=︒， ∴x+2x+108=180. 解得x=24.∴C '∠的度数为24°. 故选：C.【点睛】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质的应用及等腰三角形得性质.10.如图，平行四边形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，点()3,2D 在对角线OB 上，反比例函数()0,0k y k x x =>>的图像经过C 、D两点．已知平行四边形OABC 的面积是152，则点B 的坐标为（ ）A. 84,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 9,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 105,3⎛⎫⎪⎝⎭D. 2416,55⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出反比例函数解析式，设出点C 坐标6,a a ⎛⎫⎪⎝⎭，得到点B 纵坐标，利用相似三角形性质，用a 表示求出OA ，再利用平行四边形OABC 的面积是152构造方程求a 即可． 【详解】解：如图，分别过点D 、B 作DE ⊥x 轴于点E ，DF ⊥x 轴于点F ，延长BC 交y 轴于点H∵四边形OABC 是平行四边形 ∴易得CH=AF∵点()3,2D 在对角线OB 上，反比例函数()0,0ky k x x=>>的图像经过C 、D 两点 ∴236k =⨯= 即反比例函数解析式为6y x=∴设点C 坐标为6,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭∵DEBF∴ODE OBF △△ ∴DE OEBF OF=∴236OF a=∴6392a OF a⨯== ∴9OA OF AF OF HC a a =-=-=-，点B 坐标为96,a a ⎛⎫⎪⎝⎭∵平行四边形OABC 的面积是152∴96152a a a ⎛⎫-⋅=⎪⎝⎭ 解得122,2a a ==-（舍去） ∴点B 坐标为9,32⎛⎫⎪⎝⎭故应选：B【点睛】本题是反比例函数与几何图形的综合问题，涉及到相似三角形的的性质、反比例函数的性质，解答关键是根据题意构造方程求解．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相应位置上．11.使3在实数范围内有意义的x 的取值范围是__________． 【答案】1x ≥ 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，列出不等式，即可求解． 【详解】∵x-1≥0， ∴x≥1．故答案是：1x ≥．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键． 12.若一次函数36y x =-的图像与x 轴交于点(),0m ，则m =__________．【分析】把点（m ，0）代入y=3x-6即可求得m 的值．【详解】解：∵一次函数y=3x-6的图象与x 轴交于点（m ，0）， ∴3m-6=0， 解得m=2. 故答案为:2．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． 13.一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是___________．【答案】38【解析】 【分析】先求出黑色方砖在整个地面中所占的比值，再根据其比值即可得出结论． 【详解】解：∵由图可知，黑色方砖6块，共有16块方砖， ∴黑色方砖在整个区域中所占的比值=63=168， ∴小球停在黑色区域的概率是38；故答案为：38【点睛】本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率=相应的面积与总面积之比． 14.如图，已知AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，连接OC 交O 于点D ，连接BD ．若40C ∠=︒，则B 的度数是_________︒．【分析】先由切线的性质可得∠OAC=90°，再根据三角形的内角和定理可求出∠AOD=50°，最后根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”即可求出∠B 的度数． 【详解】解：∵AC 是O 的切线，∴∠OAC=90° ∵40C ∠=︒， ∴∠AOD=50°， ∴∠B=12∠AOD=25° 故答案为：25．【点睛】本题考查了切线的性质和圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 15.若单项式122m x y -与单项式2113n x y +是同类项，则m n +=___________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式是同类项.可列式子m-1=2,n+1=2,分别求出m,n 的值，再代入求解即可. 【详解】解：∵单项式122m x y -与单项式2113n x y +是同类项，∴m-1=2,n+1=2, 解得：m=3,n=1. ∴m+n=3+1=4. 故答案为：4.【点睛】本题考查了同类项的概念，正确理解同类项的定义是解题的关键.16.如图，在ABC ∆中，已知2AB =，AD BC ⊥，垂足为D ，2BD CD =．若E 是AD 的中点，则EC =_________．【答案】1 【解析】根据“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似”证明△ADB ∽△EDC ，得2AB BDEC DC==，由AB=2则可求出结论． 【详解】2BD DC =2BDDC∴= E 为AD 的中点，2AD DE ∴=，∴2ADDE=， 2BD ADDC DE∴==， AD BC ⊥90ADB EDC ∴∠=∠=︒ADBEDC ∴2AB BDEC DC∴== 2AB =1EC ∴=故答案为：1．【点睛】此题主要考查了三角形相似的判定与性质，得出2BD ADDC DE==是解答此题的关键． 17.如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为()4,0-、()0,4，点()3,C n 在第一象限内，连接AC 、BC ．已知2BCA CAO ∠=∠，则n =_________．【答案】145【解析】 【分析】过点C 作CD ⊥y 轴，交y 轴于点D ，则CD ∥AO ，先证CDE ≌CDB （ASA ），进而可得DE ＝DB ＝4－n ，再证AOE∽CDE，进而可得42434nn-=-，由此计算即可求得答案．【详解】解：如图，过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO，∴∠DCE＝∠CAO，∵∠BCA＝2∠CAO，∴∠BCA＝2∠DCE，∴∠DCE＝∠DCB，∵CD⊥y轴，∴∠CDE＝∠CDB＝90°，又∵CD＝CD，∴CDE≌CDB（ASA），∴DE＝DB，∵B（0，4），C（3，n），∴CD＝3，OD＝n，OB＝4，∴DE＝DB＝OB－OD＝4－n，∴OE＝OD－DE＝n－（4－n）＝2n－4，∵A（－4，0），∴AO＝4，∵CD∥AO，∴AOE∽CDE，∴AO OECD DE=，∴424 34nn-=-，解得：145n=，故答案：145．【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及点的坐标的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．18.如图，已知MON ∠是一个锐角，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM 、ON 于点A 、B ，再分别以点A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，两弧交于点C ，画射线OC ．过点A 作AD ON ，交射线OC 于点D ，过点D 作DE OC ⊥，交ON 于点E ．设10OA =，12DE =，则sin MON ∠=________．【答案】2425【解析】 【分析】连接AB 交OD 于点H ，过点A 作AG ⊥ON 于点G ，根据等腰三角形的性质得OH ⊥AB ，AH=BH ，从而得四边形ABED 是平行四边形，利用勾股定理和三角形的面积法，求得AG 的值，进而即可求解． 【详解】连接AB 交OD 于点H ，过点A 作AG ⊥ON 于点G ， 由尺规作图步骤，可得：OD 是∠MON 的平分线，OA=OB ， ∴OH ⊥AB ，AH=BH ， ∵DE OC ⊥， ∴DE ∥AB ， ∵ADON ，∴四边形ABED 是平行四边形， ∴AB=DE=12， ∴AH=6， ∴22221068AO AH --=，∵OB∙AG=AB∙OH ， ∴AG=AB OH OB ⋅=12810⨯=485， ∴sin MON ∠=AG OA =2425． 故答案是：2425．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质定理，勾股定理，锐角三角函数的定义，添加合适的辅助线，构造直角三角形是解题的关键．三、解答题：本大题共10小题，共76分．把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B 铅笔或黑色墨水签字笔．19.209(2)(3)π---． 【答案】6 【解析】 【分析】根据算术平方根、乘方的定义、零指数幂法则计算即可． 【详解】解：原式341=+-6=．【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键． 20.解方程：2111x x x +=--． 【答案】32x = 【解析】 【分析】根据解分式方程的步骤解答即可．【详解】解：方程两边同乘以（1x -），得()12x x +-=. 解这个一元一次方程，得32x =． 经检验，32x =是原方程的解． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握把分式方程转化为整式方程是解答本题的关键．21.如图，“开心”农场准备用50m 的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为()a m ，宽为()b m ．（1）当20a =时，求b 的值；（2）受场地条件的限制，a 的取值范围为1826a ≤≤，求b 的取值范围． 【答案】（1）b=15；（2）1216b ≤≤ 【解析】 【分析】（1）根据等量关系“围栏的长度为50”可以列出代数式，再将a=20代入所列式子中求出b 的值；（2）由（1）可得a,b 之间的关系式，用含有b 的式子表示a,再结合1826a ≤≤，列出关于b 的不等式组，接着不等式组即可求出b 的取值范围. 【详解】解：（1）由题意，得250a b +=， 当20a =时，20250b +=． 解得15b =．（2）∵1826a ≤≤，502a b =-， ∴5021850226b b -≥⎧⎨-≤⎩解这个不等式组，得1216b ≤≤． 答：矩形花园宽的取值范围为1216b ≤≤．【点睛】此题主要考查了列代数式，正确理解题意得出关系式是解题关键．还考查了解不等式组，难度不大.22.为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园．某初中学校组织全校1200名学生参加了“垃圾分类知识竞赛”，为了解学生的答题情况，学校考虑采用简单随机抽样的方法抽取部分学生的成绩进行调查分析． （1）学校设计了以下三种抽样调查方案：方案一：从初一、初二、初三年级中指定部分学生成绩作为样本进行调查分析；方案二：从初一、初二年级中随机抽取部分男生成绩及在初三年级中随机抽取部分女生成绩进行调查分析； 方案三：从三个年级全体学生中随机抽取部分学生成绩进行调查分析．其中抽取的样本具有代表性的方案是__________．（填“方案一”、“方案二”或“方案三”） （2）学校根据样本数据，绘制成下表（90分及以上为“优秀”，60分及以上为“及格”）： 样本容量 平均分 及格率 优秀率 最高分 最低分 10093.5100%70%10080分数段统计（学生成绩记为x ）分数段 080x ≤<8085x ≤<8590x ≤<9095x ≤<95100x ≤≤频数 05253040请结合表中信息解答下列问题：①估计该校1200名学生竞赛成绩的中位数落在哪个分数段内； ②估计该校1200名学生中达到“优秀”的学生总人数．【答案】（1）方案三；（2）①该校1200名学生竞赛成绩的中位数落在9095x ≤<分数段内；②该校1200名学生中达到“优秀”的学生总人数为840人 【解析】 【分析】（1）抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性，所谓代表性，就是抽取的样本必须是随机的． （2）①根据中位数的定义，即可求出这次竞赛成绩的中位数所落的分数段； ②用优秀率乘以该校共有的学生数，即可求出答案．【详解】解：（1）要调查学生的答题情况，需要考虑样本具有广泛性与代表性，就是抽取的样本必须是随机的，则抽取的样本具有代表性的方案是方案三． 答案是：方案三；（2）①∵由表可知样本共有100名学生，∴这次竞赛成绩的中位数是第50和51个数的平均数， ∴这次竞赛成绩的中位数落在落在9095x ≤<分数段内； ∴该校1200名学生竞赛成绩的中位数落在9095x ≤<分数段内； ②由题意得：120070%840⨯=（人）．∴该校1200名学生中达到“优秀”的学生总人数为840人． 【点睛】解决此题，需要能从统计表中获取必要的信息，根据题意列出算式是本题的关键，用到的知识点是抽样的可靠性，中位数的定义，用样本估计总体等．23.如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，DF AE ⊥，垂足为F ．（1）求证：ABE DFA ∆∆∽；（2）若6AB =，4BC =，求DF 的长．【答案】（1）见解析；（2）5DF = 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，90B ∠=︒，AD BC ∥．再根据“两直线平行，内错角相等”可得AEB DAF ∠=∠，再由垂直的定义可得90DFA ∠=︒．从而得出B DFA ∠=∠，再根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”可得出结论；根据中点的定义可求出BE=2，然后根据勾股定理求出AE=.再根据相似三角形的性质求解即可. 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是矩形， ∴90B ∠=︒，AD BC ∥． ∴AEB DAF ∠=∠， ∵DF AE ⊥， ∴90DFA ∠=︒． ∴B DFA ∠=∠， ∴ABE DFA ∆∆∽． 解：（2）∵ABE DFA ∆∆∽， ∴AB AEDF AD=． ∵4BC =，E 是BC 的中点， ∴114222BE BC ==⨯=．∴在Rt ABE ∆中，AE ==又∵4AD BC ==，∴6DF =∴5DF =． 【点晴】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键.24.如图，二次函数2y x bx =+的图像与x 轴正半轴交于点A ，平行于x 轴的直线l 与该抛物线交于B 、C 两点（点B 位于点C 左侧），与抛物线对称轴交于点()2,3D -．（1）求b 的值；（2）设P 、Q 是x 轴上的点（点P 位于点Q 左侧），四边形PBCQ 为平行四边形．过点P 、Q 分别作x 轴的垂线，与抛物线交于点()11,P x y '、()22,Q x y '．若12||2y y -=，求1x 、2x 的值．【答案】（1）4b =-；（2）123272x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或121252x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】 【分析】（1）根据直线l 与抛物线对称轴交于点()2,3D -可得对称轴为直线2x =，由此即可求得b 的值； （2）先求得点B 、C 的坐标，可得2BC =，再根据四边形PBCQ 为平行四边形可得2PQ BC ==，即212x x -=，最后根据21114y x x =-，22224y x x =-，12||2y y -=可得125x x +=或123x x +=，由此分别与212x x -=联立方程组求解即可．【详解】解：（1）∵直线l 与抛物线2y x bx =+的对称轴交于点()2,3D -，∴抛物线2y x bx =+的对称轴为直线2x =， 即22b-=， ∴4b =-．（2）由（1）得：抛物线的解析式为24y x x =-， 把3y =-代入抛物线的解析式24y x x =-， 得243x x -=-， 解得1x =或3，∴B 、C 两点的坐标为()1,3B -，()3,3C -， ∴2BC =，∵四边形PBCQ 为平行四边形， ∴2PQ BC ==，∴212x x -=，又∵21114y x x =-，22224y x x =-，12||2y y -=，∴()()221122442x x x x ---=， ∴1241x x +-=，∴125x x +=或123x x +=，由211225x x x x -=⎧⎨+=⎩，解得123272x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 由211223x x x x -=⎧⎨+=⎩解得121252x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴1x 、2x 的值为123272x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或121252x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．【点睛】本题考查了二次函数的图像性质以及平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的相关性质是解决本题的关键．25.问题1：如图①，在四边形ABCD 中，90B C ∠=∠=︒，P 是BC 上一点，PA PD =，90APD ∠=︒．求证：AB CD BC +=．问题2：如图②，在四边形ABCD 中，45B C ∠=∠=︒，P 是BC 上一点，PA PD =，90APD ∠=︒．求AB CCDB +的值．【答案】问题1：见解析；问题2：22【解析】 【分析】问题1：先根据AAS 证明ABP PCD ≌，可得AB PC =，BP CD =，由此即可证得结论；问题2：分别过点A 、D 作BC 的垂线，垂足为E 、F ，由（1）可知AE DF EF +=，利用45°的三角函数值可得2sin 45AE AB AE ==︒，2sin 45DFCD DF ==︒，由此即可计算得到答案．【详解】问题1：证明：∵90B ∠=︒， ∴90APB BAP ∠+∠=︒． ∵90APD ∠=︒，∴90APB CPD ∠+∠=︒． ∴BAP CPD ∠=∠． 在ABP △和PCD 中，B CBAP CPD PA DP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()ABP PCD AAS △≌△． ∴AB PC =，BP CD =， ∴AB CD BP PC BC +=+=．问题2：如图，分别过点A 、D 作BC 的垂线，垂足为E 、F ． 由（1）可知AE DF EF +=，在Rt ABE △和Rt DFC 中，45B C ∠=∠=︒， ∴AE BE =，DF CF =，2sin 45AE AB AE ==︒，2sin 45DFCD DF ==︒．∴()2BC BE EF CF AE DF =++=+，()2AB CD AE DF +=+．∴2()22()2AB CD AE DF BC AE DF ++==+．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、解直角三角形，作出正确的辅助线并能利用解直角三角形的相关知识是解决本题的关键．26.某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润y （元）与销售量()x kg 之间函数关系的图像如图中折线所示．请你根据图像及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下列问题：日期 销售记录6月1日库存600kg ，成本价8元/kg ，售价10元/kg （除了促销降价，其他时间售价保持不变）．6月9日 从6月1日至今，一共售出200kg ．6月10、11日 这两天以成本价促销，之后售价恢复到10元/kg ． 6月12日 补充进货200kg ，成本价8.5元/kg ．6月30日 800kg 水果全部售完，一共获利1200元．（1）截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？ （2）求图像中线段BC 所在直线对应的函数表达式． 【答案】（1）400元；（2）16200099y x =- 【解析】 【分析】（1）根据利润= （售价-成本价）×销售量计算即可；（2）设点B 坐标为(),400a ，根据题意列出方程计算即可求得350a =，再利用待定系数法即可求得线段BC 所在直线对应的函数表达式．销售量【详解】解：（1）()200108400⨯-=（元）．答：截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利400元． （2）设点B 坐标为(),400a ．根据题意，得()()()108600108.52001200400a -⨯-+-⨯=-， 解这个方程，得350a =． ∴点B 坐标为()350,400．设线段BC 所在直线的函数表达式为y kx b =+，∵,B C 两点的坐标分别为()350,400，()800,1200，∴3504008001200k b k b +=⎧⎨+=⎩解这个方程组，得16920009k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． ∴线段BC 所在直线的函数表达式为16200099y x =-． 【点睛】本题考查了一次函数的实际运用，熟练掌握利润= （售价-成本价）×销售量以及待定系数法求一次函数表达式是解决本题的关键．27.如图，已知90MON ∠=︒，OT 是MON ∠的平分线，A 是射线OM 上一点，8OA cm =．动点P 从点A 出发，以1/cm s 的速度沿AO 水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q 从点O 出发，也以1/cm s 的速度沿ON 竖直向上作匀速运动．连接PQ ，交OT 于点B ．经过O 、P 、Q 三点作圆，交OT 于点C ，连接PC 、QC ．设运动时间为()t s ，其中08t <<．（1）求OP OQ +的值； （2）是否存在实数t ，使得线段OB 的长度最大？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由． （3）求四边形OPCQ 的面积． 【答案】（1）8cm ；（2）存在，当t=4时，线段OB 的长度最大，最大为22cm ；（3）216cm 【解析】 【分析】 （1）根据题意可得8OP t =-，OQ t =，由此可求得OP OQ +的值； （2）过B 作BD OP ⊥，垂足为D ，则//BD OQ ，设线段BD 的长为x ，可得BD OD x ==，22OB BD x ==，8PD t x =--，根据//BD OQ 可得PBD PQO △∽△，进而可得PD BD OP OQ =，由此可得288t t x -=，由此可得228224)2288t t OB t -==--+，则可得到答案； （3）先证明PCQ △是等腰直角三角形，由此可得214PCQ S PQ =△，再利用勾股定理可得222(8)PQ t t =-+，最后根据四边形OPCQ 的面积POQ PCQ S S S =+△△即可求得答案．【详解】解：（1）由题可得：8OP t =-，OQ t =．∴88()OP OQ t t cm +=-+=．（2）当4t =时，线段OB 的长度最大．如图，过B 作BD OP ⊥，垂足为D ，则//BD OQ ．∵OT 平分MON ∠，∴45BOD OBD ∠=∠=︒，∴BD OD =，OB =． 设线段BD 的长为x ，则BD OD x ==，OB ==，8PD t x =--． ∵//BD OQ ，∴PBD PQO △∽△， ∴PD BD OP OQ=， ∴88t x x t t --=-， 解得：288t t x -=．∴2284)88t t OB t -==--+．∴当4t =时，线段OB 的长度最大，最大为．（3）∵90POQ ∠=︒，∴PQ 是圆的直径．∴90PCQ ∠=︒．∵45PQC POC ∠=∠=︒，∴PCQ △是等腰直角三角形． ∴12PCQ S PC QC =⋅△12= 214PQ =． 在Rt POQ △中，22222(8)PQ OP OQ t t =+=-+．∴四边形OPCQ 的面积POQ PCQ S S S =+△△21124OP OQ PQ =⋅+ 2211(8)(8)24t t t t ⎡⎤=-+-+⎣⎦ 2211416422t t t t =-++- 16=．∴四边形OPCQ 的面积为216cm ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，直径的判定及性质，二次函数的最值问题等相关知识，熟练掌握相关知识是解决本题的关键．。

苏州市2022-2023学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

苏州市2022-2023学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

苏州市2022～2023学年第一学期高二期中调研试卷数学2022.11一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．1．直线2x π=的倾斜角为A ．不存在B ．2πC ．0D ．π2．等比数列{}n a 中，15116a a ==，，则4a =A ．8-B ．8C ．8±D ．4±3．直线0x y b ++=与线段AB 没有公共点，其中()()1,233A B -，，则实数b 的取值范围是A ．()(),30,-∞-+∞ B ．()3,0-C ．[]3,0-D ．()(),03,-∞+∞ 4．已知等差数列{}n a 公差0d ≠，数列{}n b 为正项等比数列，已知3399a b a b ==，，则下列结论中正确的是A ．22a b >B ．66a b <C ．88a b >D ．1212a b >5．已知(0,0),(2,0),(2,2),(,1)A B C D m --四点共圆，则实数m 的值为A 1B 1C 1-D ．16．n S 为等差数列{}n a 前n 项和，若613S a =，10a >，则使n n S a >的n 的最大值为A ．2B ．12C ．11D ．107．直线l 按向量()3,1a =-平移后得直线l '，设直线l 与l '之间的距离为d ，则d 的范围是A ．)+∞B ．⎡⎣C ．[]1,3D ．[]0,108．已知数列{}n a 前n 项和n S 满足：223n S n n =+，数列{}n b 前n 项和n T 满足：21n n T b =-，记12n b b n b M a a a +++= ，则使得n M 值不超过2022的项的个数为A ．8B ．9C ．10D ．11二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．．9．下述四个结论，正确的是A ．过点(1,1)A 在x 轴，y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=B ．直线0x y k -+=与圆221x y +=相交的充分不必要条件是1k =C ．直线10ax y ++=表示过点()0,1-的所有直线D．过点B 与圆224x y +=相切的直线方程为40x +-=10．对于数列{}n a ，设其前n 项和n S ，则下列命题正确的是A ．若数列{}n a 为等比数列，396S S S ，，成等差，则285a a a ，，也成等差B ．若数列{}n a 为等比数列，则223n n nS S S =⋅C ．若数列{}n a 为等差数列，且5810S S a =<，，则使得0n S >的最小的n 值为13D ．若数列{}n a为等差数列，且1311a a ==，，则{}n a 中任意三项均不能构成等比数列11．设直线()()210,0mx m y m m R m -++=∈≠与圆22(1)(1)2x y -+-=交于,A B 两点，定点()2,0C ，则ABC ∆的形状可能为A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形12．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列{}n a ，正方形数构成数列{}n b ，则下列说法正确的是A ．12311111n na a a a n ++++=+ B ．1225既是三角形数，又是正方形数C ．12311113320n b b b b ++++<D ．*,m N m ∀∈≥2，总存在*,p q N ∈，使得m p q b a a =+成立三、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．已知点P 在直线10x y --=上，点()()1,22,6A B -，，则PA PB -取得最小值时点P 坐标为●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●________．14．设正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，若存在,m n a a ，使得14a =，则数列14m n+的最小值为________．15．曲线2221221x y x y x +=-++-所围成图形面积为________．16．在平面直角坐标系xoy 中，A 为直线:20l x y -=上的点，()5,0B ，以AB 为直径的C （圆心为C ）与直线l 交于另一点D ，若ABD ∆为等腰三角形，则点A 的横坐标为________；若C 与()22:510B x y -+= 相交于E F ，两点，则公共弦EF 长度最小值为________．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．17．(本小题满分10分)已知直线12:80:210l mx y n l x my ++=+-=，，试分别确定满足下列条件的实数m n ，的值.（1）1l 和2l 相交于点(),1P m -；（2）12//l l ；（3）12l l ⊥，且1l 在y 轴上的截距为1-．18．(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足263225n n a a S S =+=，．（1）求9a 的值；（2）设x 为25a a ，的等比中项，数列{}n b 是以25a x a ，，为前三项的等比数列，试求数列{}n b 的通项n b 及前n 项和n T 的表达式．已知点()1,1P -，()22:211C x y a +--= ，过点P 斜率为a 的直线l 交圆C 于A B ，两点．（1）当ABC ∆面积最大时，求直线l 方程；（2）若0a >，在（1）条件下，设点T 为圆C 上任意一点，试问在平面内是否存在定点Q ，使得2TP TQ =成立，若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．20．(本小题满分12分)设正项数列{}n a 前n 项和为n S ，从条件：①()12311113572121nna a a n a n ++++=++ ，②()241n n S a =+，③11114n n n a a a S +=+=，，任选一个，补充在下面横线上，并解答下面问题．已知正项数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足．（1）求n S ；（2）令1n a n n b a +=⋅，记数列{}n b 前n 项和为n T ，若对任意的*,2n N n ∈≥，均有()2641615n T m n n --+≥恒成立，求实数m 的取值范围．已知圆()22:13D x y +-=，过点()0,1P -的直线l 与圆D 相交于M ，N 两点，且2MN =，圆Q 是以线段MN 为直径的圆．（1）求圆Q 的方程；（2）设()()()0,0,652A t B t t +--，≤≤，圆Q 是ABC ∆的内切圆，试求ABC ∆面积的取值范围．22．(本小题满分12分)已知正项数列{}n a 满足1111122n n n n n a a a a a +++=+=，．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：12118n a a a +++<．2022～2023学年第一学期高二期中调研试卷数学参考答案2022.11一、单项选择题：题号12345678答案BCACDCBC二、多项选择题题号9101112答案BDADABBCD三、填空题13.()34--，14.3215.48π+16.3或1-，四、解答题17.(本小题满分10分)解：（1）因为1l 和2l 相交于点(),1P m -，所以P 点在1l 上也在2l 上，于是有280210m n m m ⎧-+=⎨--=⎩，解得17m n =⎧⎨=⎩………………………………………………………………………………………3分（2）因为12:80:210l mx y n l x my ++=+-=，，12//l l ，所以有2168m mn ⎧=⎨≠-⎩，解得42m n =⎧⎨≠-⎩或42m n =-⎧⎨≠⎩.…………………………………………………………………………6分(3)当0m≠时，由2184m m ⎛⎫⎛⎫-⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知，1l 和2l 不垂直。

2020-2021学年江苏省苏州市吴江区高一(上)期中数学试卷及答案

2020-2021学年江苏省苏州市吴江区高一(上)期中数学试卷及答案

2020-2021学年江苏省苏州市吴江区高一（上）期中数学试卷一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x＞1}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{0}B．{0，1}C．{1，2}D．{0，1，2} 2．（5分）已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知函数，则f（2）等于（）A．0B．C．3D．4．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+c＞b﹣c B．（a﹣b）c2≥0C．ac＞bc D．5．（5分）“∀x＜0，x2+ax+2≥0”为真命题，则实数a的取值范围为（）A．a≤B．a≤C．a≥D．a≥6．（5分）对∀x∈R，用M（x）表示f（x），g（x）中的较大值，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}，若M（x）＝max{﹣x+3，（x﹣1）2}，则M（x）的最小值为（）A．﹣1B．0C．1D．47．（5分）有一支长Lm的队伍匀速前进，速度大小为v1m/s，排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，且往返速度大小均为v2m/s，如果传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了Lm，则v1：v2值为（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）+f（a﹣x）＝2，若函数的图象与y ＝f（x）的图象有4个交点，分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），则y1+y2+y3+y4＝（）A．2B．4C．8D．2a二､选择题本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9．（5分）下列函数中，对∀x∈R，满足f（2x）＝2f（x）的是（）A．f（x）＝|x|B．f（x）＝x2C．f（x）＝x﹣|x|D．10．（5分）设全集为U，在下列选项中，是B⊆A的充要条件的有（）A．A∪B＝A B．A∩B＝AC．（∁U A）⊆（∁U B）D．A∪（∁U B）＝U11．（5分）已知x，y是正数，且2x+y＝1，下列叙述正确的是（）A．xy最大值为B．4x2+y2的最小值为C．x（x+y）最大值为D．最小值为412．（5分）已知f（x）＝，则下列结论正确的是（）A．方程f（x）＝0无解B．f（x）的最小值为2C．f（x）的图象关于（﹣1，0）对称D．f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）三、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分13．（5分）命题“∃x＞1，x2＞1”的否定为．14．（5分）函数f（x）＝，对∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）＝0，则实数a 的值为．15．（5分）图①是某公交车线路的收支差额（票价总收入减去运营成本）与乘客量x的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门提出了两种扭亏为赢的建议，如图②和图③，根据图象分别说明这两种建议，图②的建议是；图③的建议是．16．（5分）已知a，b，c＞0，a2+ab+2ac+2bc＝3，则的最小值为．四、解答题：（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）幂函数f（x）＝x a过点（4，2）．（1）求a的值，并证明f（x）在[0，+∞）是增函数；（2）幂函数g（x）是偶函数且在（0，+∞）是减函数，请写出g（x）的一个表达式．（直接写结果，不需要过程．）18．（12分）设全集为R，A＝{x|a﹣1＜x＜2a}，．（1）若a＝4，求A∩B，∁R（A∩B）；（2）若“x∈A”是“x∈B”的______条件，求实数a的取值范围．请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件．这三个条件中选一个填在横线上，使实数a有解，并解答问题．19．（12分）已知f（x）＝2x2+（a﹣2）x+a．（1）若方程f（x）＝0在[﹣1，1]上有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式f（x）＜a2．20．（12分）2010年上海世博会某国要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由二个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字型地域，计划在正方形MNPQ 上建一座“观景花坛”，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角（如△DQH等）上铺草坪，造价为80元/m2．（1）设总造价为S元，AD长为xm，试建立S与x的函数关系；（2）当x为何值时，S最小？并求这个最小值．21．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣|x|+2a﹣1（a＞0）．（1）请在如图所示的直角坐标系中作出a＝时f（x）的图象，并根据图象写出函数的单调区间；（2）设函数f（x）在x∈[1，2]上的最小值为g（a）；①求g（a）的表达式；②若，求g（a）的最大值．22．（12分）已知函数f（x）＝．（1）若在[1，6]上∃x0，使得|f（x0）﹣6|≥a成立，求实数a的取值范围；（2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围；（3）若函数g（x）＝|f（x）﹣a|+a在区间[1，4]上的最大值是5，求a的取值范围．2020-2021学年江苏省苏州市吴江区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x＞1}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{0}B．{0，1}C．{1，2}D．{0，1，2}【分析】判断出阴影部分中的元素在A中但不在B中即在A与B的补集的交集中．【解答】解：由已知中阴影部分在集合A中，而不在集合B中，故阴影部分所表示的元素属于A，不属于B（属于B的补集）即（∁R B）∩A＝{0，1}．故选：B．【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据图象确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．2．（5分）已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先有a＝3成立判断是否能推出A⊆B成立，反之判断“A⊆B”成立是否能推出a ＝3成立；利用充要条件的题意得到结论．【解答】解：当a＝3时，A＝{1，3}所以A⊆B，即a＝3能推出A⊆B；反之当A⊆B时，所以a＝3或a＝2，所以A⊆B成立，推不出a＝3故“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件故选：A．【点评】本题考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的什么条件．3．（5分）已知函数，则f（2）等于（）A．0B．C．3D．【分析】由x+1＝2，得x＝1，代入函数的解析式求出即可．【解答】解：∵函数f（x+1）＝，∴f（2）＝f（1+1）＝＝0，故选：A．【点评】本题考查了函数求值问题，是一道基础题．4．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+c＞b﹣c B．（a﹣b）c2≥0C．ac＞bc D．【分析】根据条件，取特殊值即可排除ACD，由不等式的基本性质即可判断B．【解答】解：根据a，b，c∈R，且a＞b，取a＝2，b＝0，c＝﹣2，则可排除AD；取a＝1，b＝﹣1，c＝0，则可排除C；根据不等式的基本性质，由a＞b，可知（a﹣b）c2≥0成立，故B正确．故选：B．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题．5．（5分）“∀x＜0，x2+ax+2≥0”为真命题，则实数a的取值范围为（）A．a≤B．a≤C．a≥D．a≥【分析】根据含有量词的命题的定义进行判断，分离参数a即求a≤[（﹣x）+（﹣）]的最小值即可．【解答】解：“∀x＜0，x2+ax+2≥0”为真命题，即a≤＝（﹣x）+（﹣），x＜0，即当∀x＜0时，a≤[（﹣x）+（﹣）]的最小值，令f（x）＝（﹣x）+（﹣），x＜0，由基本不等式可得f（x）＝（﹣x）+（﹣）≥2＝2，x＜0，当且仅当（﹣x）＝（﹣），x＝﹣时取等号，所以f（x）min＝2，则实数a的取值范围为是a．故选：A．【点评】本题主要考查命题的真假，根据全称命题的定义和一元二次不等式的解法求解是解决本题的关键．6．（5分）对∀x∈R，用M（x）表示f（x），g（x）中的较大值，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}，若M（x）＝max{﹣x+3，（x﹣1）2}，则M（x）的最小值为（）A．﹣1B．0C．1D．4【分析】先求出函数M（x）的解析式，然后根据分段函数求最值的方法求出最小值即可．【解答】解：令﹣x+3＞（x﹣1）2，解得﹣1＜x＜2，则M（x）＝，当﹣1＜x＜2时，M（x）＞M（2）＝1，当x≥2或x≤﹣1时，M（x）min＝M（2）＝1，所以函数M（x）的最小值为1，故选：C．【点评】本题考查了分段函数求最值的问题，涉及到解一元二次不等式问题，属于基础题．7．（5分）有一支长Lm的队伍匀速前进，速度大小为v1m/s，排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，且往返速度大小均为v2m/s，如果传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了Lm，则v1：v2值为（）A．B．C．D．【分析】设传令兵从队尾到队头的时间为t1，从队头到对尾的时间为t2，队伍前进用的时间为t，由t＝t1+t2可得，化简整理即可求出v1：v2值．【解答】解：设传令兵从队尾到队头的时间为t1，从队头到对尾的时间为t2，队伍前进用的时间为t，由传令兵往返总时间与队伍运动时间相等可得如下方程：t＝t1+t2，∴，整理得：，解得：，∴，故选：C．【点评】本题主要考查了函数的实际应用，是中档题．8．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）+f（a﹣x）＝2，若函数的图象与y ＝f（x）的图象有4个交点，分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），则y1+y2+y3+y4＝（）A．2B．4C．8D．2a【分析】根据f（x）+f（a﹣x）＝2可知，f（x）的图象关于（，1）对称，然后将y＝化简后也可以看出关于（）对称，由此它们的交点也关于（）对称，问题可解．【解答】解：因为函数f（x）满足f（x）+f（a﹣x）＝2，故f（x）的图象关于（）对称；而＝，该函数图象是由函数y＝的图象向右平移个单位，然后向上平移一个单位得到的，结合y＝的图象关于（0，0）对称，故y＝的图象关于（）对称．设该它们的四个交点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4）分成两对各自关于对称，不妨设（x1，y1）与（x2，y2）对称，（x3，y3）与（x4，y4）对称，则y1+y2+y3+y4＝2×2＝4．故选：B．【点评】本题考查函数的零点与函数的性质的综合考查，注意对称性在研究函数零点时的应用．属于中档题．二､选择题本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9．（5分）下列函数中，对∀x∈R，满足f（2x）＝2f（x）的是（）A．f（x）＝|x|B．f（x）＝x2C．f（x）＝x﹣|x|D．【分析】利用已知的条件即可判断选项是否正确．【解答】解：选项A：f（2x）＝|2x|＝2|x|＝2f（x），A正确，选项B：f（2x）＝（2x）2＝4x2≠2f（x），B错误，选项C：f（2x）＝2x﹣|2x|＝2（x﹣|x|）＝2f（x），C正确，选项D：f（2x）＝2x+≠2f（x），D错误，故选：AC．【点评】本题考查了函数的性质以及解析式问题，属于基础题．10．（5分）设全集为U，在下列选项中，是B⊆A的充要条件的有（）A．A∪B＝A B．A∩B＝AC．（∁U A）⊆（∁U B）D．A∪（∁U B）＝U【分析】利用集合的包含关系定义，以及充要条件的定义分别判断即可．【解答】解：对于A：当B⊆A有A∪B＝A成立，反之，若A∪B＝A成立，B⊆A成立，所以A符合；对于A：当B⊆A，有A∩B＝B；反之，若A∩B＝A成立，A⊆B成立，所以B不符合；对于C：若B⊆A有（∁U A）⊆（∁U B），反之若（∁U A）⊆（∁U B），则B⊆A，故C符合；对于D：A∪∁U B＝U⇔B⊆A，故D符合；故选：ACD．【点评】本题考查了集合的图形语言，考查了子集与集合运算的等价关系，属于基础题．11．（5分）已知x，y是正数，且2x+y＝1，下列叙述正确的是（）A．xy最大值为B．4x2+y2的最小值为C．x（x+y）最大值为D．最小值为4【分析】由已知结合基本不等式及一些常见的结论分别检验各选项即可判断．【解答】解：∵x，y是正数，且1＝2x+y≥2，当且仅当2x＝y时取等号，∴解可得，xy，即xy的最大值，A正确；4x2+y2＝（2x+y）2﹣4xy＝1﹣4xy＝，当且仅当2x＝y且2x+y＝1即y＝，x＝时取得最小值，B正确；因为2x+y＝1，所以y＝1﹣2x，所以x（x+y）＝x（1﹣x）＜＝，当且仅当x＝1﹣x即y＝0，x＝时取等号，结合已知可知，等号取不到，即没有最大值，C错误；因为＝＝＝（4+）＝4，当且仅当且2x+y＝1即x＝，y＝时取等号，D正确．故选：ABD．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是结论的灵活变形，属于中档试题．12．（5分）已知f（x）＝，则下列结论正确的是（）A．方程f（x）＝0无解B．f（x）的最小值为2C．f（x）的图象关于（﹣1，0）对称D．f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）【分析】结合函数的零点及基本不等式的应用条件，函数对称性的应用及导数与单调性的关系检验各选项即可判断．【解答】解：由f（x）＝＝0可得x2+2x+2＝0，且x≠0，此时方程没解，A正确；当x＝﹣2时f（﹣2）＝﹣2，显然2不是最小值，B不正确；因为f（x）＝＝＝x+1+，所以f（﹣2﹣x）＝﹣1﹣x+＝﹣（1+x+）＝﹣f（x），故f（x）的图象关于（﹣1，0）对称，C正确；＝，当x＞0或x＜﹣2时，f′（x）＞0，函数单调递增，D正确．故选：ACD．【点评】本题综合考查了函数的最值，对称轴及单调性的判断，属于函数性质的综合应用．三、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分13．（5分）命题“∃x＞1，x2＞1”的否定为∀x＞1，x2≤1．【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论【解答】解：命题为特称命题，则命题“∃x＞1，x2＞1”的否定为∀x＞1，x2≤1，故答案为：∀x＞1，x2≤1．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．14．（5分）函数f（x）＝，对∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）＝0，则实数a 的值为﹣2．【分析】利用已知求出f（﹣x），然后令f（﹣x）＝﹣f（x），即可求解．【解答】解：因为f（﹣x）+f（x）＝0，所以f（﹣x）＝﹣f（x），当x≥0时，﹣x≤0，则f（﹣x）＝﹣x（a+x），又f（x）＝x（x﹣2），所以﹣x（a+x）＝﹣x（x﹣2），所以a＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查了分段函数的性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．15．（5分）图①是某公交车线路的收支差额（票价总收入减去运营成本）与乘客量x的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门提出了两种扭亏为赢的建议，如图②和图③，根据图象分别说明这两种建议，图②的建议是提高票价；图③的建议是降低成本．【分析】根据题意知图象反应了收支差额y与乘客量x的变化情况，即直线的斜率说明票价问题；当x＝0的点说明公司的成本情况，再结合图象进行说明．【解答】解：由图②看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，由图③知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；综上可得图②的建议是提高票价，图③的建议是降低成本．故答案为：提高票价，降低成本．【点评】本题考查了用函数图象说明两个量之间的变化情况，主要根据实际意义进行判断，考查了读图能力和数形结合思想．16．（5分）已知a，b，c＞0，a2+ab+2ac+2bc＝3，则的最小值为．【分析】根据条件可得（a+b）（a+2c）＝3，然后由，利用基本不等式，即可求出的最小值．【解答】解：∵a2+ab+2ac+2bc＝3，∴（a+b）（a+2c）＝3，∴，当且仅当a+b＝a+2c，即b＝2c时取等号，∴的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想，属中档题．四、解答题：（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）幂函数f（x）＝x a过点（4，2）．（1）求a的值，并证明f（x）在[0，+∞）是增函数；（2）幂函数g（x）是偶函数且在（0，+∞）是减函数，请写出g（x）的一个表达式．（直接写结果，不需要过程．）【分析】（1）根据待定系数法求出函数的解析式，根据单调性的定义证明即可；（2）写出满足条件的函数的解析式即可．【解答】解：（1）将（4，2）代入f（x）＝x a，得：4a＝2，解得：a＝，故f（x）＝＝，设∀x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝，∵+＞0，x1﹣x2＜0，∴＜0，故f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故f（x）在[0，+∞）递增；（2）g（x）＝﹣x4．【点评】本题考查了求函数的解析式问题，考查根据定义证明函数的单调性问题，考查函数的奇偶性和单调性问题，是一道常规题．18．（12分）设全集为R，A＝{x|a﹣1＜x＜2a}，．（1）若a＝4，求A∩B，∁R（A∩B）；（2）若“x∈A”是“x∈B”的______条件，求实数a的取值范围．请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件．这三个条件中选一个填在横线上，使实数a有解，并解答问题．【分析】（1）a＝4时，求出集合A，B，由此能求出A∩B和∁R（A∩B）．（2）选①，求出集合B，推导出A⊆B，当A＝∅时，a﹣1＞2a，当A≠∅时，，由此能求出实数a的取值范围．选②，求出集合B，推导出B⊆A，由此能求出实数a的取值范围．选③，求出集合B，推导出A＝B，无解．【解答】解：（1）∵a＝4时，A＝{x|3＜x＜8}，＝{x|≥0}＝{x|2＜x≤5}．∴A∩B＝{x|3＜x≤5}，∁R（A∩B）＝{x|x≤3或x＞3}．（2）选①，A＝{x|a﹣1＜x＜2a}，＝{x|2＜x≤5}．“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，∴A⊆B，当A＝∅时，a﹣1＞2a，则a＜﹣1，当A≠∅时，，解得a∈∅．综上，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．选②，A＝{x|a﹣1＜x＜2a}，＝{x|2＜x≤5}．“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，∴B⊆A，∴，解得＜a＜3．∴实数a的取值范围是（，3）．选③，A＝{x|a﹣1＜x＜2a}，＝{x|2＜x≤5}．“x∈A”是“x∈B”充要条件，∴A＝B，无解．故应该①或②，不应该选③．【点评】本题考查交集、补集、并集、实数的取值范围的求法，考查交集、补集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．（12分）已知f（x）＝2x2+（a﹣2）x+a．（1）若方程f（x）＝0在[﹣1，1]上有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式f（x）＜a2．【分析】（1）利用方程的根与函数的关系，构造不等式即可；（2）由题意得关于x的一元二次不等式，然后通过分类讨论求解．【解答】解：（1）因为f（x）＝0在[﹣1，1]上有两个不等实根，故，解得．所以实数a的取值范围为[0，6）．（2）不等式f（x）＜a2即2x2+（a﹣2）x+a﹣a2＜0，等价于，当，即a＝时，，显然无解；当，即时，不等式解集为；当，即时，不等式的解集为（）．综上可知，a＝时，不等式无解；当时，不等式解集为；当时，不等式的解集为（）．【点评】本题考查函数与方程之间的关系，一元二次不等式的解法．属于中档题．20．（12分）2010年上海世博会某国要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由二个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字型地域，计划在正方形MNPQ 上建一座“观景花坛”，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角（如△DQH等）上铺草坪，造价为80元/m2．（1）设总造价为S元，AD长为xm，试建立S与x的函数关系；（2）当x为何值时，S最小？并求这个最小值．【分析】（1）先设DQ＝y，又AD＝x，根据由二个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字型地域得出y的函数表达式，最后建立建立S与x的函数关系即得；（2）利用基本不等式求出（1）中函数S的最小值，并求得当x取何值时，函数S的最小值即可．【解答】解：（1）设DQ＝y，又AD＝x，则x2+4xy＝200，∴（0＜x＜10），∴S＝4200x2+210•4xy+80•2y2＝（0＜x＜10）．（2），当且仅当，即时，S min＝118000元．【点评】本小题主要函数模型的选择与应用、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．21．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣|x|+2a﹣1（a＞0）．（1）请在如图所示的直角坐标系中作出a＝时f（x）的图象，并根据图象写出函数的单调区间；（2）设函数f（x）在x∈[1，2]上的最小值为g（a）；①求g（a）的表达式；②若，求g（a）的最大值．【分析】（1）代入a的值，函数解析式即可求出，进而可以作出函数图象，单调区间即可求出；（2）①讨论对称轴与区间的三种位置关系，即可求解；②分析出函数g（a）在定义域上的单调性，即可求出最大值．【解答】解：（1）当a＝时，f（x）＝x2﹣|x|＝，函数f（x）的图象如图所示：增区间为（﹣1，0），（1，+∞），减区间为（﹣∞，﹣1），（0，1）；（2）①因为x∈[1，2]，所以f（x）＝ax2﹣x+2a﹣1，（a＞0），因为a＞0，所以f（x）＝a（x﹣）2+2a﹣﹣1，若＜1，即a＞时，f（x）在[1，2]上单调递增，所以f（x）min＝f（1）＝3a﹣2；若1，即时，f（x）在[1，]上递减，在[]上递增，所以f（x）min＝f（）＝2a﹣﹣1；若＞2，即0＜a＜时，f（x）在[1，2]上单调递减，所以f（x）min＝f（2）＝6a﹣3，综上：g（a）＝，②a∈[]时，g（a）＝2a﹣，因为y＝2a，y＝﹣在[]上单调递增，所以g（a）＝2a﹣﹣1在[]单调递增，所以g（a）的最大值为g（）＝﹣．【点评】本题考查了分段函数的图象以及的单调性，考查了含参数二次函数闭区间上求最值的问题，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）＝．（1）若在[1，6]上∃x0，使得|f（x0）﹣6|≥a成立，求实数a的取值范围；（2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围；（3）若函数g（x）＝|f（x）﹣a|+a在区间[1，4]上的最大值是5，求a的取值范围．【分析】（1）运用单调性的定义判断f（x）在（1，2）递减，（2，6）递增，求得f（x）在[1，6]的值域，|f（x）﹣6|的范围，由存在性可得a的范围；（2）可令t＝（t∈（0，1]），运用参数分离和二次函数的最值求法，可得所求范围；（3）求得x+∈[4，5]，讨论a≥5，4＜a＜5，a≤4，去绝对值，运用基本不等式，解方程可得所求范围．【解答】解：（1）设任意的x1，x2∈[1，2]，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝x1+﹣x2﹣＝，因为x1，x2∈[1，2]，且x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，x1x2﹣4＜0，x1x2＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＝＞0，所以f（x1）＞f（x2），即f（x）在[1，2]递减，同理可得f（x）在[2，6]递增，所以4≤f（x）≤，所以﹣2≤f（x）﹣6≤，即0≤|f（x）﹣6|≤2，因为∃x0，使得|f（x0）﹣6|≥a成立，可得a≤2；（2）设t＝（t∈（0，1]），由题意可得t+≥mt+16对t∈（0，1]恒成立，所以m≤（﹣+1）min，因为﹣+1＝4（﹣2）2﹣15，在t＝时有最小值﹣15，所以m≤﹣15；（3）因为x∈[1，4]，所以x+∈[4，5]，①当a≥5时，g（x）＝a﹣x﹣+a＝2a﹣x﹣≤2a﹣2＝2a﹣4，所以g（x）的最大值为2a﹣4＝5，即a＝（舍去）；②当a≤4时，g（x）＝x+﹣a+a＝x+≤5，此时命题成立；③当4＜a＜5时，g（x）max＝max{|4﹣a|+a，|5﹣a|+a}，则或，解得a＝或a＜．综上，实数a的取值范围是（﹣∞，]．【点评】本题考查对勾函数的单调性的判断和运用：求最值，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．。

2020-2021学年江苏省徐州一中高一(上)期中数学试卷及答案

2020-2021学年江苏省徐州一中高一(上)期中数学试卷及答案

2020-2021学年江苏省徐州一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{﹣4，1，3，5}，则A∩B＝（）A．{﹣4，1}B．{1，5}C．{3，5}D．{1，3}2．（5分）已知幂函数f（x）＝x a的图象过点（3，27），则f（2）＝（）A．4B．8C．9D．163．（5分）函数y＝的定义域为（）A．[﹣1，0）B．（0，+∞）C．[﹣1，0）∪（0，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，+∞）4．（5分）己知函数f（x）＝，则f（f（4））的值为（）A．﹣B．0C．1D．45．（5分）某中学高一年级的学生积极参加体育锻炼，其中有1056名学生喜欢足球或游泳，660名学生喜欢足球，902名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数是（）A．682B．616C．506D．4626．（5分）函数y＝的值域是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，）∪（﹣，+∞）C．（﹣∞，）∪（﹣，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（﹣，+∞）7．（5分）若关于x的不等式x2﹣2x+c2＜0的解集为（a，b），则+的最小值为（）A．9B．﹣9C．D．﹣8．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，对任意两个正数x1，x2，都有＜0，且f（2）＝0，则满足（x﹣1）f（x）＞0的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（0，1）∪（2，+∞）B．（﹣2，0）∪（1，2）C．（﹣2，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）二.选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得了分。

9．（5分）若a＜b＜0，则（）A．|a|＞|b|B．a2＞b2C．＜D．＞10．（5分）下列函数与y＝x2﹣2x+3的值域相间的是（）A．y＝4x（x≥）B．y＝+2C．y＝D．y＝2x﹣11．（5分）已知2a＝3．b＝log32，则（）A．a+b＞2B．ab＝1C．3b+3﹣b＝D．＝log91212．（5分）某学习小组在研究函数f（x）＝的性质时，得出了如下的结论，其中正确的是（）A．函数f（x）的图象关于y轴对称B．函数f（x）的图象关于点（2，0）中心对称C．函数f（x）在（﹣2，0）上是增函数D．函数f（x）在[0，2）上有最大值﹣三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省苏州市第一中学2019-2020学年高一下学期期中数学试卷及解析

江苏省苏州市第一中学2019-2020学年高一下学期期中数学试卷及解析

江苏省苏州市第一中学2019-2020学年高一下学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.在△ABC 中，若1sin cos 2A B ==，则C ∠=（ ） A.90°B.60°C.45°D.30°2.若直线a b ⊥，且直线//a 平面α，则直线b 与平面α的位置关系可能是（ ） A.//b αB.相交C.b α⊂D.以上都有可能3.下列各直线中，与直线230x y --=相交的是（ ） A.()2600ax ay a -+=≠ B.2y x = C.230x y +-=D.250x y -+=4.2020年5月20日，数学周练成绩出来之后，甲、乙两位同学的6次周练成绩如下表所示.计甲、乙的平均成绩分别为x 甲，x 乙，下列判断正确的是（ ）参考公式：方差2211()n i i s x x n ==-∑A.x x >甲乙，甲比乙成绩稳定B.x x <甲乙，乙比甲成绩稳定C.x x >甲乙，甲比乙成绩稳定D.x x <甲乙，甲比乙成绩稳定5.在平面直角坐标系xOy 中，若圆()()222x a y a -+-=与圆()2268x y +-=外切，则实数a 的值为（ ） A.1B.2C.3D.46.在ABC ∆中，内角A ， B ， C 所对的边分别是a ， b ， c ，已知85b c =， 2C B =，则cos C =（ ）A.725 B. 725- C. 725± D. 24257.直线3y x m =-+与圆221x y += 在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是（ ）A.2)B.C.⎝⎭D.1,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭8.如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB ==，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ）A.15B.25C.35D.45第II 卷（非选择题）二、填空题9.点关于直线−y −1=0的对称点是______.10.直线420mx y +-=与直线25120x y --=垂直，且点()1,P n 在直线420mx y +-=上，则n 的值是________.11.在平面直角坐标系xOy 中，若点A 到原点的距离为2，到直线x ＋y －2＝0的距离为1，则满足条件的点A 的个数为______．三、解答题在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知3cos 24C =-. （Ⅰ）求sin C ；（Ⅱ）当2c a =，且b =a .13.某市电力公司为了制定节电方案，需要了解居民用电情况，通过随机抽样，电力公司获（1）求a ， b 的值；（2）为了解用电量较大的用户用电情况，在第5、6两组用分层抽样的方法选取5户. ①求第5、6两组各取多少户？②若再从这5户中随机选出2户进行入户了解用电情况，求这2户中至少有一户月平均用电量在[]1000,1200范围内的概率.14.某学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月11日至3月15日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：（1）请根据3月12日至3月14日的三组数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆybx a =+ ； （2）若由线性回归方程得到的估计数据与所需要检验的数据误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试用3月11日与3月15日的两组数据检验，问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：1221ˆni ii nii x y nxybxnx ==-=-∑∑，ˆ=-ay bx ） 15.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD CD ⊥.（1）求证：CD PD ⊥；（2）若2AD =，3BC =，F 为PD 中点，13BE BC =，求证：//EF 平面PAB . 16.如图，在三棱锥P ABC -中，除棱PC 外，其余棱均等长，M 为棱AB 的中点，O 为线段MC 上靠近点M 的三等分点.（1）若PO MC ⊥，求证：PO ⊥平面ABC ；（2）试在平面PAB 上确定一点Q ，使得//OQ 平面PAC ，且//OQ 平面PBC ，并给出证明.17.已知直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方.（1）求圆C 的方程；（2）过点()1,0M 的直线与圆C 交于A ，B 两点（A 在x 轴上方），问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.四、新添加的题型，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列说法中正确的有（ ） A.若cos cos cos a b cA B C==，则ABC 一定是等边三角形B.若cos cos a A b B =，则ABC 一定是等腰三角形C.若cos cos b C c B b +=，则ABC 一定是等腰三角形D.若222a b c +<，则ABC 一定是钝角三角形19.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A.若//m α，//n α，则//m n B.若m α⊥，n ⊂α，则m n ⊥ C.若m α⊥，n α⊥，则//m nD.若//m α，m n ⊥，则n α⊥20.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为棱11C D ，1C C 的中点，则以下四个结论中，正确的有（ ）A.直线AM 与1CC 是相交直线B.直线BN 与1MB 是异面直线C.直线AM 与1A D 所成的角为90°D.直线MN 与AC 所成的角为60°21.已知点P ，Q 是圆O ：221x y +=上的两个动点，点A 是直线l ：0x y +=上的一定点，若PAQ ∠的最大值为90°，则点A 的坐标可以是（ ）A.B.1)C.0)D.1,1)22.在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，4b =，6c =，且sin a B =，则角A =________；若角A 的平分线为AD ，则线段AD 的长为________.参考答案1.A【解析】1.首先根据题中所给的条件，结合所给的三角函数值，根据三角形内角的取值范围，确定出60B =︒，30A =︒，再利用三角形内角和求得结果.△ABC 中，若1sin cos 2A B ==，,(0,)A B π∈， 则60B =︒，所以30A =︒，所以180306090C =︒-︒-︒=︒， 故选：A. 2.D【解析】2.作出正方体模型，从图形观察线面的位置关系，即可得答案；如图，在正方体中，令平面α为平面ABCD ，则直线b 与平面α的位置关系可能是平行、相交、在面内，故选：D. 3.C【解析】3.分别确定直线的斜率，利用两直线相交时，斜率不相等，就可以得出结论． 解：直线230x y --=的斜率为：2∴与直线230x y --=相交的直线的方程的斜率不等于2A ，B ，D 的斜率均为2，C 的斜率为2-故选：C ． 4.D【解析】4.分别计算出平均成绩x 甲，x 乙，根据数据估计出乙比甲成绩稳定，从而求出答案．()1125110868313292104.676x =+++++≈甲， ()110811689123126113112.56x =+++++=乙， x x <甲乙，结合数据得：乙比甲成绩稳定， 故选：D ． 5.C【解析】5.根据题意，求出两个圆的圆心以及半径，由圆与圆的位置关系可得222(6)a a +-=，解可得a 的值，即可得答案．根据题意，圆22()()2x a y a -+-=的圆心为(,)a a ，半径1r =，圆22(6)8x y +-=的圆心为(0,6)，半径2r =若圆22()()2x a y a -+-=与圆22(6)8x y +-=相外切，则有222(6)a a +-=， 解可得：3a =； 故选：C. 6.A【解析】6.试题分析：据正弦定理结合已知可得，整理得55sin sin cos 8422C C C = sin2C=，故，由二倍角公式得.7.D【解析】7.求出直线过(0,1)时m 的值，以及直线与圆相切时m 的值，即可确定出满足题意m 的范围． 解：如图所示：当直线过(0,1)时，将(0,1)代入直线方程得：1m =；当直线与圆相切时，圆心到切线的距离d r =1=，解得：m =或m = 则直线与圆在第一象限内有两个不同的交点时，m的范围为1m <<． 故选：D ．8.D【解析】8.由题意结合棱柱的几何特征可得1AD C ∠或其补角为异面直线1A B 与1AD 所成角，再结合余弦定理即可得解. 如图，连接1D C ，AC ，11//A D BC ，11A D BC =，四边形11A BCD 为平行四边形，11//D C A B ，1AD C ∴∠或其补角为异面直线1A B 与1AD 所成角，在1AD C 中，由已知可得11AD DC ==AC =，∴22214cos 5AD C +-∠==． ∴异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为45. 故选：D. 9.(2,−2)【解析】9.利用对称轴的性质布列方程组，即可得到结果.设点M （﹣1，1）关于直线l ：x ﹣y ﹣1=0对称的点N 的坐标（x ，y ） 则MN 中点的坐标为（x−12，y+12）， 利用对称的性质得：K MN =y−1x+1=﹣1，且 x−12﹣y+12﹣1=0， 解得：x=2，y=﹣2， ∴点N 的坐标（2，﹣2）， 故答案为（2，﹣2）． 10.2-【解析】10.利用两条直线相互垂直的充要条件、直线的交点即可得出． 解：直线420mx y +-=与直线25120x y --=垂直，垂足为(1,)n ，∴2145m -⨯=-，25120n --=，420m n +-=， 解得10m =，2n =-，故答案为：2-．11.3【解析】11.点A 到原点的距离为2，所以点A 在以原点为圆心，2为半径的圆上，圆心O(0,0)＋y －2＝0的距离为：1=.所以圆上到直线＋y －2＝0的距离为1的点共3个.故答案为：3.12.解：（Ⅰ） sin 4C =.（Ⅱ）a =.【解析】12.试题（Ⅰ）又二倍角公式2cos 212sin C C =-，又因为在ABC ∆中，sin 0C >，即可求得sin C 的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，2c a =由正弦定理得sin 2sin C A =，由（Ⅰ）知，sin A =又因ABC ∆是锐角三角形， 所以可求得cos A ，cos C ，又sin sin()sin cos cos sin B A C A C +A C =+=，代入数值即可求出sin B 的值，然后由正弦定理sin sin a b A B=，即可求得a 的值． 试题解析：（Ⅰ）由已知可得2312sin 4C -=-．所以27sin 8C =． 因为在ABC ∆中，sin 0C >，所以sin 4C =．（Ⅱ）因为2c a =，所以1sin sin 28A C ==．因为ABC ∆是锐角三角形，所以cos C =，cos A =． 所以sin sin()B A C =+sin cos cos sin A C A C =+8484=⨯+=．由正弦定理可得：sin sin a B A=，所以a =． 13.（1）6,0.12a b ==；（2）①第5、6两组的频数分别为3和2；②710.【解析】13.试题分析：（1）由频率分布直方图，可知第5组的频率为0.00062000.12b =⨯=，由样本容量是50，可得500.126a =⨯=；（2）根据第56、两组的频数比为3:2,由分层抽样原理可知第56、两组分别抽取3户与2户，用列举法求出这5户中随机选出2户的可能结果，共10种，其中2户中至少有一户月平均用电量在[]1000,1200范围内的结果，有7种，由古典概型概率公式可得结果.试题解析：（1）根据频率分布直方图，可知第5组的频率为0.00062000.12⨯=，即0.12b =，又样本容量是50，所以500.126a =⨯=．（2）①因为第5、6两组的频数比为3:2，所以在第5、6两组用分层抽样的方法选取的5户中，第5、6两组的频数分别为3和2．②记“从这5户中随机选出2户中至少有一户月平均用电量在[1000,1200]范围内”为事件A ，第5组的3户记为123,,a a a ，第6组的2户记为12,b b ，从这5户中随机选出2户的可能结果为：12131112232122313212,,,,,,,,,a a a a a b a b a a a b a b a b a b b b ， 共计10个，其中2户中至少有一户月平均用电量在[1000,1200]范围内的结果为：11122122313212,,,,,,a b a b a b a b a b a b b b ，共计7个．所以()710P A =， 答：这2户中至少有一户月平均用电量在[1000,1200]范围内的概率为710． 14.（1）532y x =-；（2）线性回归方程可靠；【解析】14. （1）计算横、纵坐标的平均值，利用最小二乘法得到线性回归方程的系数，写出线性回归方程；（2）利用线性回归方程，计算两个变量对应的y 值，与检验数据的误差比较即可． 解:（1）由表中数据，求得1(111312)123x =⨯++=， 1(253026)273y =⨯++=，3972x y =， 31112513301226977ii i x y ==⨯+⨯+⨯=∑，322221111312434i i x==++=∑，23432x =； 由公式求得12219779725ˆ4344322n ii i i ni i x y nxy b x nx ==--===--∑∑， 5271232a y bx =-=-⨯=-， 所以y 关于x 的线性回归方程为532y x =-； （2）当10x =时，5ˆ103222y =⨯-=，|2223|2-<； 同样，当8x =时，5ˆ83172y =⨯-=，|1716|2-<； 所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的．15.（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】15.（1）根据已知中PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD C ⊥，结合线面垂直的定义及线面垂直的判定定理，我们易得到结论； （2）根据已知中2AD =，3BC =，F 为PD 中点，13BE BC =，取PA 的中点G ，连接EG ，FG ，AE ，BG ，我们易得到//EF BG ，结合线面平行的判定定理，即可得到答案．解：（1）PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ，PA CD ∴⊥，又AD CD ⊥，AD PA A ⋂=，AD ⊂平面PAD ，PA ⊂平面PADCD 平面PAD又由PD ⊂平面PADCD PD ∴⊥；（2）取PA 的中点G ，连接EG ，FG ，AE ，BG则112GF AD ==，且//GF AD 113BE BC ==，且//BE AD 故BE GF =且//BE GF故四边形BEGF 为平行四边形则//EF BG又EF ⊂/平面PAB ，BG ⊂平面PAB故//EF 平面PAB16.（1）证明见解析；（2）Q 为线段MP 上靠近M 点的三等分点时，//OQ 平面PAC ，且//OQ 平面PBC【解析】16.（1）由已知条件推导出CM AB ⊥，PM AB ⊥，从而AB ⊥平面PMC ，进而AB PO ⊥．又PO MC ⊥，由此能证明PO ⊥平面ABC ．（2）Q 为线段MP 上靠近M 点的三等分点时，//OQ 平面PAC ，且//OQ 平面PBC ，利用平行线等分线段成比例性质进行证明．（1）证明：由题意得：O 为ABC 的中心，则CM AB ⊥， M 为棱AB 的中点，PA PB =，PM AB ∴⊥，又PM CM M ⋂=，PM ⊂平面PMC ，CM ⊂平面PMC ，AB ∴⊥平面PMC ，又PO ⊂平面PMC ，AB PO ∴⊥．又PO MC ⊥，MC AB M =，MC ⊂平面ABC ，AB 平面ABCPO ∴⊥平面ABC（2）解：O 为线段MC 上靠近点M 的三等分点，Q ∴为线段MP 上靠近M 点的三等分点时，//OQ 平面PAC ，且//OQ 平面PBC 证明如下：MQ MO QP OC=，//OQ PC ∴，又OQ ⊂/平面PAC ，PC ⊂平面PAC ， //OQ ∴平面PAC//OQ PC ，又OQ ⊂/平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，//OQ ∴平面PBC ．17.（1）224x y +=；（2）存在，()4,0N【解析】17.（1）设出圆心C 坐标，根据直线l 与圆C 相切，得到圆心到直线l 的距离d r =，确定出圆心C 坐标，即可得出圆C 方程；（2）当直线AB x ⊥轴，则x 轴平分ANB ∠，当直线AB 斜率存在时，设直线AB 方程为()1y k x =-，联立圆与直线方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，由若x 轴平分ANB ∠，则AN BN k k =-，求出t 的值，确定出此时N 坐标即可.（1）设圆心()5,02C a a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭， ∵直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，∴d r =，即41025a +=， 解得：0a =或5a =-（舍去），则圆C 方程为224x y +=；（2）当直线AB x ⊥轴，则x 轴必平分ANB ∠，此时N 可以为x 轴上任一点，当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为()()10y k x k =-≠，(),0N t ，()11,A x y ，()22,B x y ， 由()2241x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩得()22221240k x k x k +-+-=，经检验>0∆， ∴212221k x x k +=+，212241k x x k -=+，若x 轴平分ANB ∠，设N 为(),0t ，则AN BN k k =-，即()()1212110k x k x x t x t --+=--，整理得：()12122(1)20x x t x x t -+++=，即()2222242(1)2011k k t t k k -+-+=++， 解得：4t =，综上，当点()4,0N ，使得x 轴平分ANB ∠.18.ACD【解析】18.根据正弦定理，三角函数恒等变换的应用逐一判断各个选项即可．解：对于A ，若cos cos cos a b c A B C==，则sin sin sin cos cos cos A B C A B C ==，即tan tan tan A B C ==，即A B C ==，即ABC 是等边三角形，故正确；对于B ，若cos cos a A b B =，则由正弦定理得2sin cos 2sin cos r A A r B B =，即sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B +=︒，即A B =或90A B +=︒，则ABC 为等腰三角形或直角三角形，故错误；对于C ，若cos cos b C c B b +=，所以sin cos sin cos sin B C C B B +=，所以sin()sin sin B C A B +==，即A B =，则ABC 是等腰三角形，故正确；对于D ，ABC 中，222a b c +<，又2222cos c a b ab C =+-，所以cos 0C <∴角C 为钝角，但ABC 一定是钝角三角形，故正确；故选：ACD ．19.BC【解析】19.根据空间线面位置关系的定义、性质和判定定理进行判断对于A ，当//m α，//n α时，m ，n 可能平行，可能相交，也有可能异面，所以A 错误； 对于B ，当m α⊥，n ⊂α时，由线面垂直的定义可知m n ⊥，所以B 正确；对于C ，当m α⊥，n α⊥时，由线面垂直的性质定理可知//m n ，所以C 正确；对于D ，当//m α，m n ⊥时，直线n 与平面α，有可能平行，可能相交不一定垂直，所以D 错误，故选：BC20.BCD【解析】20.对于A,B ，由异面直线的定义直接判断即可；对于C ，连接1AD ，可证得1A D ⊥平面1AD M ，从而可得结论；对于D ，连接1CD ，由于1ACD △为正三角形，由此可作判断 解：由异面直线的定义可知，直线AM 与1CC 是异面直线，直线BN 与1MB 是异面直线，所以A 错误，B 正确；对于C ，连接1AD ，因为11C D ⊥平面11AA D D ，所以111C D A D ⊥， 因为11A D AD ⊥，1111AD C D D =，所以1A D ⊥平面1AD M ，所以1A D AM ⊥，所以直线AM 与1A D 所成的角为90°，所以C 正确； 对于D ，连接1CD ，则MN ∥1CD ，所以1ACD ∠（或补角）为MN 与AC 所成的角，因为1ACD △为正三角形，所以160ACD ∠=︒，所以直线MN 与AC 所成的角为60°，所以D 正确， 故答案为：BCD21.AC【解析】21.设点A 坐标为()t t ，当AP 、AQ 均为圆切线时90PAQ ∠=︒，从而得到||OA =，即可求得A 的坐标；解：设点A 坐标为()t t -，当AP 、AQ 均为圆切线时90PAQ ∠=︒，此时四边形PAQO 为正方形，则||OA =22)2t t +=，解得0t =，t =，故A ，)B， 故选：AC ．22.3π【解析】22.首先根据正弦定理，求得sin sin a B b A ==，将4b =代入，得到sin A =，结合三角形的形状，求得3A π=；利用内角平分线定理得到32BD DC =，利用向量知识得到2355=+AD AB AC ，利用向量的平方和向量模的平方相等，结合向量数量积公式求得结果. 根据正弦定理得sin sin a b A B=，所以sin sin a B b A ==，因为4b =，所以sin 2A =，且三角形为锐角三角形， 所以3A π=； 由三角形内角平分线定理可得6342BD AB DC AC ===， 所以2355=+AD AB AC ， 所以22222234129()55252525AD AD AB AC AB AB AC AC ==+=+⋅+ 41294323664cos 16252532525π=⨯+⨯⨯⨯+⨯=，所以5AD =.故答案为：①3π；②5.。

2023-2024学年江苏省苏州市高一(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省苏州市高一(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省苏州市高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合U ＝R ，集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |x ＞1}，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{0}B ．{0，1}C ．{2，3}D ．{0，1，2}2．函数f(x)=x−11+x的定义域为（ ）A ．（1，+∞）B ．（﹣1，1）C ．（﹣1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）3．“|x |＞2”的一个充分不必要条件是 （ ） A ．﹣2＜x ＜2B ．﹣4＜x ≤﹣2C ．x ＞﹣2D ．x ＞24．19世纪德国数学家狄利克雷提出了一个有趣的函数D （x ）={1，x 是有理数，0，x 是无理数．若函数f （x ）＝D （x ）﹣x 2，则下列实数中不属于函数f （x ）值域的是（ ） A ．0B ．﹣1C ．﹣2D ．﹣35．若f （x ）是定义在[﹣6，6]上的偶函数，且f （5）＞f （2），下列各式中一定成立的是（ ） A ．f （﹣2）＜f （5） B ．f （0）＜f （6） C ．f （4）＜f （5）D ．f （0）＜f （4）6．已知函数f （x ）＝x 4+x 2﹣2，x ∈R ，则满足f （2x ）＜f （x +2）的x 的取值范围为（ ） A ．（0，2）B ．(−23，2)C ．（﹣∞，0）∪（2，+∞）D ．(−∞，−23)∪(2，+∞)7．给定函数f （x ）＝x 2﹣2，g （x ）=−12x +1，用M （x ）表示函数f （x ），g （x ）中的较大者，即M （x ）＝max {f （x ），g （x ）}，则M （x ）的最小值为（ ） A ．0B ．7−√178C ．14D ．28．已知f （x ）={x 2+4x +3，x ≤0，|3−2x |，x ＞0，若x 1＜x 2＜x 3＜x 4，且f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝f （x 4），则1x 1+1x 2+1x 3+1x 4的取值范围是（ ）A．(−∞，53)B．（﹣∞，2）C．(−∞，133)D．(53，133)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．设a，b为正数，且a＞b，下列不等式中一定成立的是（）A．ba4＞ab4B．ba ＜b+1a+1C．a+1a＞b+1b D．b−a b＜a−b a10．将某几何图形置于坐标系xOy中，直线l：x＝t从左向右扫过，将该几何图形分成两部分，其中位于直线l左侧部分的面积为S，若函数S＝f（t）的大致图象如图所示，则该几何图形可以是（）A．B．C．D．11．定义在R上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈R，f（x+y）＝f（x）+f（y），则下列结论一定正确的有（）A．f（0）＝0B．f（x﹣y）＝f（x）﹣f（y）C．f（x）为R上的增函数D．f（x）为奇函数12．某数学兴趣小组对函数f(x)=1−x|x|+1进行研究，得出如下结论，其中正确的有（）A．f（﹣2023）+f（2023）＝2B．∃x1≠x2，都有f（x1）＝f（x2）C．f（x）的值域为（0，2）D．∀x1，x2∈（0，+∞），都有f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若幂函数f（x）＝xα（α∈R）是奇函数，且在（﹣∞，0）上单调递减，则α的值可以是．（只要写一个即可）14．命题“∃x ＞1，x 2＜1”的否定为 ．15．函数f （x ）＝[x ]的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2，若集合A ＝{y |y =[2x 2−3x 2+1]，x ∈R }，则A 中元素的个数是 ． 16．已知函数f （x ）＝﹣x +2，g （x ）=x 2+5x+10x+3+m ，若对任意x 1∈[1，2]，存在x 2∈（﹣2，3），使得f （x 1）＝g （x 2），则实数m 的取值范围 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设全集为U ＝R ，集合A ＝{x |x ＜﹣3或x ＞5}，B ＝{x |﹣2＜x ＜10}． （1）求（∁U A ）∩B ；（2）已知C ＝{x |a ＜x ＜a +1}，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围． 18．（12分）若正数a ，b 满足ab ＝4a +b +t ，t ∈R ． （1）当t ＝0时，求a +4b 的最小值； （2）当t ＝5时，求ab 的取值范围．19．（12分）已知二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c 的图象与直线y ＝﹣4有且仅有一个公共点，且不等式f （x ）＜0的解集为[﹣1，3]． （1）求f （x ）的解析式；（2）关于x 的不等式f （x ）＜（m ﹣1）x ﹣3﹣m 的解集中恰有两个整数，求实数m 的取值范围． 20．（12分）立德中学学生在社会实践活动中，通过对某商店一种换季商品销售情况的调查发现：该商品在过去的两个月内（以60天计）的日销售价格P （x ）（元）与时间x （天）的函数关系近似满足P （x ）＝1+2x．该商品的日销售量 Q （x ）（个）与时间x （天）部分数据如下表所示：给出以下两种函数模型：①Q （x ）＝a （x ﹣25）2+b ，②Q （x ）＝a |x ﹣30|+b ．（1）请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该商品的日销售量Q （x ）与时间x 的关系，并求出该函数的解析式；（2）求该商品的日销售收入f （x ）（1≤x ≤60，x ∈N *）的最小值．21．（12分）定义：对于函数f 1（x ），f 2（x ），h （x ），如果存在实数a ，b ，使得af 1（x ）+bf 2（x ）＝h （x ），那么称h （x ）为f 1（x ）和f 2（x ）的生成函数．（1）给出函数f 1（x ）=−14x 2−12x +154，f 2（x ）＝x 2﹣4x ﹣5，h （x ）＝x 2﹣10x +5，请判断h （x ）是否为f（x）和f2（x）的生成函数？并说明理由；（2）设f1（x）＝x（x＞0），f2（x）=1x（x＞0），当a＝2，b＝8时，f1（x）和f2（x）的生成函数为h （x）．若对于任意正实数x1，x2且x1+x2＝2，是否存在实数m，使得h（x1）h（x2）＞m恒成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知f（x）＝x（|x﹣4a|+2），a∈R．（1）若f（1）＝3，判断f（x）的奇偶性；（2）若f（x）在[1，3]上的最小值是3，求正数a的值．2023-2024学年江苏省苏州市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合U ＝R ，集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |x ＞1}，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{0}B ．{0，1}C ．{2，3}D ．{0，1，2}解：由Venn 图可知，阴影部分所表示的集合为A ∩（∁U B ）＝{0，1，2，3}∩{x |x ≤1}＝{0，1}． 故选：B ． 2．函数f(x)=2x√x−1√1+x的定义域为（ ）A ．（1，+∞）B ．（﹣1，1）C ．（﹣1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）解：要使原函数有意义，则{x −1＞01+x ＞0，解得x ＞1．∴函数f(x)=2x√x−1√1+x的定义域为（1，+∞）．故选：A ．3．“|x |＞2”的一个充分不必要条件是 （ ） A ．﹣2＜x ＜2B ．﹣4＜x ≤﹣2C ．x ＞﹣2D ．x ＞2解：由|x |＞2解得：x ＜﹣2或x ＞2，找“|x |＞2”的一个充分不必要条件，即找集合{x |x ＜﹣2或x ＞2}的真子集， ∵{x |x ＞2}⫋{x |x ＜﹣2或x ＞2}，∴“|x |＞2”的一个充分不必要条件是{x |x ＞2}． 故选：D ．4．19世纪德国数学家狄利克雷提出了一个有趣的函数D （x ）={1，x 是有理数，0，x 是无理数．若函数f （x ）＝D （x ）﹣x 2，则下列实数中不属于函数f （x ）值域的是（ ） A ．0B ．﹣1C ．﹣2D ．﹣3解：由题意得f（x）={1−x2，x是有理数−x2，x是无理数，A：由于f（1）＝0，A正确；B：由f（x）＝﹣1，当x是有理数时，1﹣x2＝﹣1，则x=±√2，不合题意；当x是无理数时，﹣x2＝﹣1，则x＝±1，不合题意；C：因为f（√2）＝﹣2，故﹣2为函数的一个函数值；D：由f（√3）＝﹣3，故﹣3为函数的一个函数值．故选：B．5．若f（x）是定义在[﹣6，6]上的偶函数，且f（5）＞f（2），下列各式中一定成立的是（）A．f（﹣2）＜f（5）B．f（0）＜f（6）C．f（4）＜f（5）D．f（0）＜f（4）解：因为f（x）是定义在[﹣6，6]上的偶函数，所以f（﹣5）＝f（5），f（﹣2）＝f（2），因为f（5）＞f（2），所以f（5）＞f（﹣2），故A正确，因为无法判断函数的单调性，故其余选项不能判断．故选：A．6．已知函数f（x）＝x4+x2﹣2，x∈R，则满足f（2x）＜f（x+2）的x的取值范围为（）A．（0，2）B．(−23，2)C．（﹣∞，0）∪（2，+∞）D．(−∞，−23)∪(2，+∞)解：因为f（﹣x）＝x4+x2﹣2，所以f（﹣x）＝f（x），所以f（x）为偶函数，当x＞0时，y＝x4，y＝x2单调递增，所以函数f（x）＝x4+x2﹣2在（0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减，因为f（2x）＜f（x+2），所以|2x|＜|x+2|，所以（2x）2＜（x+2）2，整理得3x2﹣4x﹣4＜0，解得−23＜x＜2，所以x的取值范围为（−23，2）．故选：B．7．给定函数f （x ）＝x 2﹣2，g （x ）=−12x +1，用M （x ）表示函数f （x ），g （x ）中的较大者，即M （x ）＝max {f （x ），g （x ）}，则M （x ）的最小值为（ ） A ．0B ．7−√178C ．14D ．2解：令x 2﹣2=−12x +1，解得x ＝﹣2或x =32， 作出函数M （x ）的图象如图所示：由图象可知，当x =32时，M （x ）取得最小值为M （32）=14．故选：C ．8．已知f （x ）={x 2+4x +3，x ≤0，|3−2x |，x ＞0，若x 1＜x 2＜x 3＜x 4，且f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝f （x 4），则1x 1+1x 2+1x 3+1x 4的取值范围是（ ）A ．(−∞，53) B ．（﹣∞，2）C ．(−∞，133)D ．(53，133)解：画出f （x ）={x 2+4x +3，x ≤0|3−2x |，x ＞0的图象，如图所示：设f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4）＝a，则a∈（0，3），令x2+4x+3＝3，解得x＝﹣4或0，因为y＝x2+4x+3的对称轴为x＝﹣2，由对称性可得x1+x2＝﹣4，且x1∈（﹣4，﹣3），x2∈（﹣1，0），其中1x1+1x2=x1+x2x1x2=−4x1x2=−4(−4−x2)x2=4(x2+2)2−4，因为x2∈（﹣1，0），所以（x2+2）2﹣4∈（﹣3，0），故1x1+1x2=4(x2+2)2−4∈（﹣∞，−43），又2x3−3＝3−2x4，故1x3+1x4=3，所以1x1+1x2+1x3+1x4∈（﹣∞，53）．故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．设a，b为正数，且a＞b，下列不等式中一定成立的是（）A．ba4＞ab4B．ba ＜b+1a+1C．a+1a＞b+1b D．b−a b＜a−b a解：对于A，因为a，b为正数，且a＞b，则ba4﹣ab4＝ab（a3﹣b3）＞0，故A正确；对于B，b（a+1）﹣a（b+1）＝b﹣a＜0，则B正确；对于C，（a+1a）﹣（b+1b）＝（a﹣b）−a−bab=（a﹣b）（1−1ab），由于1−1ab的符号不确定，故C错误；对于D，（b−ab）﹣（a−ba）＝（b﹣a）−a2−b2ab=（b﹣a）（1+a+bab），由于b﹣a＜0，ab＞0，a+b＞0，则（b﹣a）（1+a+bab）＜0，则D正确．故选：ABD．10．将某几何图形置于坐标系xOy中，直线l：x＝t从左向右扫过，将该几何图形分成两部分，其中位于直线l左侧部分的面积为S，若函数S＝f（t）的大致图象如图所示，则该几何图形可以是（）A．B．C．D．解：由已知图像可知面积S的增速经历三种变化，首先面积S增速越来越大，之后面积S匀速增加，最后面积S增速越来越小，A选项：由圆的性质可知，面积S的增速先越来越大，后越来越小，A选项不符合；B选项：面积S增速越来越大，之后面积S匀速增加，最后面积S增速越来越小，B选项符合；C选项：面积S增速越来越大，之后面积S匀速增加，最后面积S增速越来越小，C选项符合；D选项：面积S增速越来越小，之后面积S匀速增加，最后面积S增速越来越大，D选项不符合．故选：BC．11．定义在R上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈R，f（x+y）＝f（x）+f（y），则下列结论一定正确的有（）A．f（0）＝0B．f（x﹣y）＝f（x）﹣f（y）C．f（x）为R上的增函数D．f（x）为奇函数解：令x＝y＝0，可得f（0）＝2f（0），即f（0）＝0，故A正确；令y＝﹣x，可得f（0）＝f（x）+f（﹣x）＝0，即f（﹣x）＝﹣f（x），且定义域为R，则f（x）为奇函数，故D正确；由f（x）为奇函数，可得f（x﹣y）＝f（x）+f（﹣y）＝f（x）﹣f（y），故B正确；设f（x）＝﹣x，满足对任意的x，y∈R，都有f（x+y）＝f（x）+f（y），但f（x）＝﹣x为递减函数，故C错误．故选：ABD．12．某数学兴趣小组对函数f(x)=1−x进行研究，得出如下结论，其中正确的有（）|x|+1A．f（﹣2023）+f（2023）＝2B．∃x1≠x2，都有f（x1）＝f（x2）C．f（x）的值域为（0，2）D ．∀x 1，x 2∈（0，+∞），都有f(x 1+x 22)≤f(x 1)+f(x 2)2 解：根据题意，可得f(x)=1−x|x|+1的定义域为R ， 对于A ，因为f(−x)=1−−x |−x|+1=1+x |x|+1，所以f （﹣x ）+f （x ）＝2，对任意x ∈R 成立，故f （﹣2023）+f （2023）＝2成立，A 正确；对于B ，化简得f(x)={1x+1，x ≥02+1x−1，x ＜0，可知f （x ）在（﹣∞，0）上与在[0，+∞）上都是减函数，所以f （x ）在R 上为减函数，不存在x 1≠x 2，使f （x 1）＝f （x 2）成立，故B 错误；对于C ，由f(x)={1x+1，x ≥02+1x−1，x ＜0，可知当x ∈（﹣∞，0）时，−1＜1x−1＜0，f （x ）=2+1x−1∈（1，2），当x ∈[0，+∞）时，f （x ）=1x+1∈（0，1]，所以f （x ）在R 上的值域为（0，2），C 正确； 对于D ，当x ∈（0，+∞）时，f （x ）=1x+1，其图像是由反比例函数y =1x 向左平移1个单位而得， 图象是单调递减的曲线且以x 轴为渐近线，可知f （x ）是凹函数， 可知∀x 1，x 2∈（0，+∞），都有f(x 1+x 22)≤f(x 1)+f(x 2)2成立，故D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若幂函数f （x ）＝x α（α∈R ）是奇函数，且在（﹣∞，0）上单调递减，则α的值可以是 ．（只要写一个即可） 解：当α＝﹣1时，则f （x ）=1x为奇函数，且在（﹣∞，0）上单调递减，符合题意． 故答案为：﹣1（答案不唯一）．14．命题“∃x ＞1，x 2＜1”的否定为 ． 解：“∃x ＞1，x 2＜1”的否定为：∀x ＞1，x 2≥1． 故答案为：x ＞1，x 2≥1．15．函数f （x ）＝[x ]的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2，若集合A ＝{y |y =[2x 2−3x 2+1]，x ∈R }，则A 中元素的个数是 ． 解：∵2x 2−3x 2+1=2(x 2+1)−5x 2+1=2−5x 2+1，x 2+1≥1，0＜5x 2+1≤5，∴−3≤2−5x 2+1＜2， ∴−3≤2x 2−3x 2+1＜2， ∴A ＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，A 中元素的个数为5． 故答案为：5．16．已知函数f （x ）＝﹣x +2，g （x ）=x 2+5x+10x+3+m ，若对任意x 1∈[1，2]，存在x 2∈（﹣2，3），使得f （x 1）＝g （x 2），则实数m 的取值范围 ．解：∵f （x ）＝﹣x +2为减函数，∴当x ∈[1，2]时，其值域A ＝[0，1]； ∵x ∈（﹣2，3），∴x +3∈（1，6）， 令t ＝x +3，则t ∈（1，6），g （x ）=x 2+5x+10x+3+m ，可化为y =(t−3)2+5(t−3)+10t +m ＝t +4t+m ﹣1（1＜t ＜6）， 由对勾函数的性质可知，h （t ）＝t +4t+m ﹣1在区间（1，2]上单调递减，在区间[2，6）上单调递增， ∴h （t ）min ＝h （2）＝3+m ，又h （1）＝4+m ，h （6）=173+m ，h （6）＞h （1）， ∴h （t ）∈[3+m ，173+m ），∴当x ∈（﹣2，3）时，g （x ）的值域为B ＝[3+m ，173+m ）；∵对任意x 1∈[1，2]，存在x 2∈（﹣2，3），使得f （x 1）＝g （x 2）， ∴A ⊆B ， ∴{3+m ≤0173+m ＞1，解得−143＜m ≤﹣3．故答案为：（−143，﹣3]． 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设全集为U ＝R ，集合A ＝{x |x ＜﹣3或x ＞5}，B ＝{x |﹣2＜x ＜10}． （1）求（∁U A ）∩B ；（2）已知C ＝{x |a ＜x ＜a +1}，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围． 解：（1）因为集合A ＝{x |x ＜﹣3或x ＞5}，B ＝{x |﹣2＜x ＜10}， 所以∁U A ＝{x |﹣3≤x ≤5}，（∁U A ）∩B ＝（﹣2，5]；（2）因为C ⊆B ，所以{a +1≤10a ≥−2，解得﹣2≤a ≤9，即a 的取值范围[﹣2，9]．18．（12分）若正数a ，b 满足ab ＝4a +b +t ，t ∈R ． （1）当t ＝0时，求a +4b 的最小值；（2）当t ＝5时，求ab 的取值范围． 解：（1）当t ＝0时，4a +b ＝ab ， 所以4b +1a=1，所以a +4b ＝（a +4b ）（1a +4b ）＝17+4ba +4ab ≥17+2√4b a ⋅4ab =25，当且仅当4a b=4b a且ab ＝4a +b ，即a ＝b ＝5时取等号；（2）当t ＝5时，ab ＝4a +b +5≥2√4ab +5，当且仅当b ＝4a ，即a =52，b ＝10时取等号， 解得ab ≥25，故ab 的取值范围为[25，+∞）．19．（12分）已知二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c 的图象与直线y ＝﹣4有且仅有一个公共点，且不等式f （x ）＜0的解集为[﹣1，3]． （1）求f （x ）的解析式；（2）关于x 的不等式f （x ）＜（m ﹣1）x ﹣3﹣m 的解集中恰有两个整数，求实数m 的取值范围． 解：（1）根据题意，可得f （x ）＜0的根为﹣1和3，且ax 2+bx +c +4＝0有两个相等的实数根， 故{−1+3=−ba −1×3=c a ，且b 2﹣4a （c +4）＝0，解得a ＝1，b ＝﹣2，c ＝﹣3，f （x ）＝x 2﹣2x ﹣3；（2）f （x ）＜（m ﹣1）x ﹣3﹣m ，即x 2﹣2x ﹣3＜（m ﹣1）x ﹣3﹣m ，整理得x 2﹣（m +1）x +m ＜0， 若m ＝1，不等式化为（x ﹣1）2＜0，解集为空集，不符合题意； 若m ≠1，不等式化为（x ﹣m ）（x ﹣1）＜0，当m ＜1时，解集为（m ，1），若恰有两个整数在区间（m ，1），则﹣2≤m ＜﹣1； 当m ＞1时，解集为（1，m ），若恰有两个整数在区间（1，m ），则3＜m ≤4． 综上所述，实数m 的取值范围是[﹣2，﹣1）∪（3，4]．20．（12分）立德中学学生在社会实践活动中，通过对某商店一种换季商品销售情况的调查发现：该商品在过去的两个月内（以60天计）的日销售价格P （x ）（元）与时间x （天）的函数关系近似满足P （x ）＝1+2x．该商品的日销售量 Q （x ）（个）与时间x （天）部分数据如下表所示：给出以下两种函数模型：①Q （x ）＝a （x ﹣25）2+b ，②Q （x ）＝a |x ﹣30|+b ．（1）请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该商品的日销售量Q （x ）与时间x 的关系，并求出该函数的解析式；（2）求该商品的日销售收入f （x ）（1≤x ≤60，x ∈N *）的最小值．解：（1）模型①：Q （x ）＝a （x ﹣25）2+b ，x ＝25时，Q （25）＝b ＝1670， x ＝20时，Q （20）＝25a +1670＝1680，解得a ＝0.4； 所以Q （x ）＝0.4（x ﹣25）2+1670；计算Q （45）＝0.4×202+1670＝1830＞1690， Q （60）＝0.4×352+1670＝2160＞1720；模型②：Q （x ）＝a |x ﹣30|+b ，表示在x ＝30两侧“等距”的函数值相等， 由{Q(25)=5a +b =1670Q(20)=10a +b =1680，解得a ＝2，b ＝1660， 所以Q （x ）＝2|x ﹣30|+1660，所以Q （45）＝15×2+1660＝1690，Q （60）＝30×2+1660＝1720； 所以利用模型②最合适，此时Q （x ）＝2|x ﹣30|+1660；（2）由（1）知，该商品的日销售收入f （x ）＝P （x ）•Q （x ）＝（1+2x）（2|x ﹣30|+1660）={3440x −2x +1716，1≤x ≤302x +3200x+1604，30＜x ≤60， 当1≤x ≤30时，f （x ）是单调递减函数，最小值为f （30）=344030−60+1716≈1771， 当30＜x ≤60时，f （x ）＝2x +3200x +1604≥2√2x ⋅3200x +1604＝1764，当且仅当2x =3200x，即x ＝40时“＝”成立，综上，f （x ）的最小值是1764．21．（12分）定义：对于函数f 1（x ），f 2（x ），h （x ），如果存在实数a ，b ，使得af 1（x ）+bf 2（x ）＝h （x ），那么称h （x ）为f 1（x ）和f 2（x ）的生成函数． （1）给出函数f 1（x ）=−14x 2−12x +154，f 2（x ）＝x 2﹣4x ﹣5，h （x ）＝x 2﹣10x +5，请判断h （x ）是否为f （x ）和f 2（x ）的生成函数？并说明理由；（2）设f 1（x ）＝x （x ＞0），f 2（x ）=1x （x ＞0），当a ＝2，b ＝8时，f 1（x ）和f 2（x ）的生成函数为h （x ）．若对于任意正实数x 1，x 2且x 1+x 2＝2，是否存在实数m ，使得h （x 1）h （x 2）＞m 恒成立？若存在，求出m 的最大值；若不存在，请说明理由．解：（1）h （x ）是f 1（x ），f 2（x ）的生成函数，理由如下：若h （x ）是f 1（x ），f 2（x ）的生成函数，则存在实数a ，b 使得h （x ）＝af 1（x ）+bf 2（x ）成立， 所以x 2−10x +5=a(−14x 2−12x +154)+b(x 2−4x −5)，即{ −14a +b =1−12a −4b =−10154a −5b =5，解得a ＝4，b ＝2， 所以h （x ）是f 1（x ），f 2（x ）的生成函数．（2）f 1（x ）＝x （x ＞0），f 2(x)=1x (x ＞0)，当a ＝2，b ＝8时的生成函数ℎ(x)=2x +8x， 假设存在实数m ，使得对任意正实数x 1，x 2，满足x 1+x 2＝2，h （x 1）h （x 2）≥m 恒成立， 所以ℎ=ℎ(x 1)ℎ(x 2)=4x 1x 2+64x 1x 2+16(x 1x 2+x2x 1)=4x 1x 2+64x 1x 2+16[(x 1+x 2)2x 1x 2−2]=4x 1x 2+128x 1x 2−32，令t =x 1x 2，t =x 1x 2≤(x 1+x 22)2=1， 因为ℎ=4t +128I−32在（0，1]单调递减， 所以h 的最小值为100，所以m 的最大值为100． 22．（12分）已知f （x ）＝x （|x ﹣4a |+2），a ∈R ． （1）若f （1）＝3，判断f （x ）的奇偶性；（2）若f （x ）在[1，3]上的最小值是3，求正数a 的值． 解：（1）根据题意，f （x ）＝x （|x ﹣4a |+2），其定义域为R ， 若f （1）＝3，即|1﹣4a |+2＝3，解得a ＝0或a =12， 当a ＝0时，f （x ）＝x |x |+2x ，因为f （﹣x ）＝﹣x |﹣x |﹣2x ＝﹣x |x |﹣2x ＝﹣f （x ），所以f （x ）是奇函数， 当a =12时，f （x ）＝x |x ﹣2|+2x ，所以 f （﹣1）＝﹣5，f （1）≠f （﹣1），f （1）≠﹣f （﹣1）， 所以f （x ）既不是奇函数，也不是偶函数； （2）由题意得f （x ）={x 2−(4a −2)x ，x ≥4a −x 2+(4a +2)x ，x ＜4a，对于f （x ）＝x 2﹣（4a ﹣2）x ，其对称轴为x ＝2a ﹣1，开口向上， 对于f （x ）＝﹣x 2﹣（4a +2）x ，其对称轴为x ＝2a +1，开口向下， 又由f （x ）在[1，3]上的最小值是3，则有f （1）＝|1﹣4a |+2≥3， 解可得a ≤0或a ≥12，又由a为正数，则a≥1 2，当a=12时，f（x）＝x|x﹣2|+2x，易得f（x）在[1，3]上递增，且f（1）＝3，符合题意；当a＞12时，有4a＞2a+1＞2a﹣1，f（x）在（﹣∞，2a+1]单调递增，在[2a+1，4a]单调递减，在[4a，+∞）单调递增．有1＜2a+1且f（4a）＝8a＞4＞3，则f（x）在[1，3]上的最小值只能在x＝1处取到，但f（1）＝4a+2＞3，与之矛盾；故a＞12不符合题意，综合可得：a=1 2．。

2020-2021学年江苏省苏州市高一(上)期末数学试卷 (解析版)

2020-2021学年江苏省苏州市高一(上)期末数学试卷 (解析版)

2020-2021学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．设有下面四个命题：p1：∃x∈R，x2+1＜0；p2：∀x∈R，x+|x|＞0；p3：∀x∈Z，|x|∈N；p4：∃x∈R，x2﹣2x+3＝0．其中真命题为（）A．p1B．p2C．p3D．p42．已知角α终边上一点P的坐标为（﹣1，2），则cosα的值为（）A．﹣B．﹣C．D．3．对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A且x∉B}叫作集合A与B的差集，记作A﹣B．若A ＝{x|lnx≤2ln}，B＝{x|x≥1}，则A﹣B为（）A．{x|x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜3}D．{x|1≤x≤3} 4．下列四个函数中，以π为最小正周期且在区间（，π）上单调递增的函数是（）A．y＝sin2x B．y＝cos x C．y＝tan x D．y＝cos5．“双十一”期间，甲、乙两个网购平台对原价相同的某种商品进行打折促销活动，各进行了两次降价．甲平台第一次降价a%，第二次降价b%；乙平台两次都降价%（其中0＜a＜b＜20），则两个平台的降价力度（）A．甲大B．乙大C．一样大D．大小不能确定6．已知函数f（x）的图象如图所示，则函数y＝xf（x）的图象可能是（）A．B．C．D．7．若θ为第二象限角，则﹣化简为（）A．2tanθB．C．﹣2tanθD．﹣8．已知函数f（x）＝，若函数y＝f（f（x））﹣k有3个不同的零点，则实数k的取值范围是（）A．（1，4）B．（1，4]C．[1，4）D．[1，4]二、多项选择题（共4小题）.9．已知幂函数f（x）的图象经过点（3，），则（）A．f（x）的定义域为[0，+∞）B．f（x）的值域为[0，+∞）C．f（x）是偶函数D．f（x）的单调增区间为[0，+∞）10．为了得到函数y＝cos（2x+）的图象，只要把函数y＝cos x图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍B．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍C．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度D．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度11．已知实数a，b，c满足0＜a＜1＜b＜c，则（）A．b a＜c a B．log b a＞log c aC．＜D．sin b＜sin c12．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[﹣2.1]＝﹣3，[2.1]＝2．已知函数f（x）＝sin|x|+|sin x|，函数g（x）＝[f（x）]，则（）A．函数g（x）的值域是{0，1，2}B．函数g（x）是周期函数C．函数g（x）的图象关于x＝对称D．方程•g（x）＝x只有一个实数根三、填空题（共4小题）.13．函数f（x）＝+lg（2﹣x）的定义域为．14．关于x的方程sin x+x﹣3＝0的唯一解在区间（k﹣，k+）（k∈Z）内，则k的值为．15．已知a，b为正实数，且ab+a+3b＝9，则a+3b的最小值为．16．当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若生物体内原有的碳14含量为A，按照上述变化规律，生物体内碳14含量y与死亡年数x的函数关系式是，考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的62.5%，则可以推测该生物的死亡时间距今约年．（参考数据：lg2≈0.3）四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在条件①＝；②4sin2A＝4cos A+1；③sin A cos A tan A＝中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．已知角A为锐角，_____．（1）求角A的大小；（2）求sin（π+A）cos（﹣A）的值．18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x||x﹣a|＜1}．（1）当a＝3时，求A∪B；（2）设p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象经过点（，），其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在[0，π]上的单调增区间．20．（12分）已知定义在R上的函数f（x）＝2x+k•2﹣x（k∈R）．（1）若f（x）是奇函数，求函数y＝f（x）+f（2x）的零点；（2）是否存在实数k，使f（x）在（﹣∞，﹣1）上调递减且在（2，+∞）上单调递增？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．21．（12分）经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q（单位：L）、百公里耗油量W（单位：L）与速度v（单位：km/h）（40≤v≤120）的数据关系如表：v406090100120Q 5.268.3251015.6W139.25为描述Q与v的关系，现有以下三种模型供选择Q（v）＝0.5v+a，Q（v）＝av+b，Q（v）＝av3+bv2+cv．（1）请填写表格空白处的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）已知某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道和内侧车道，车速范围分别是[60，90），[90，110），[110，120]（单位：km/h），问：该型号汽车应在哪个车道以什么速度行驶时W最小？22．（12分）已知函数f（x）和g（x）的定义域分别为D1和D2，若足对任意x0∈D1，恰好存在n个不同的实数x1，x2…，x n∈D2，使得g（x i）＝f（x0）（其中i＝1，2，……，n，n∈N*），则称g（x）为f（x）的“n重覆盖函数．”（1）判断g（x）＝|x﹣1|（x∈[0，4]）是否为f（x）＝x+2（x∈[0，1]）的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值；如果不是，说明理由．（2）若g（x）＝为f（x）＝的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围；（3）若g（x）＝sin（ωx﹣）（x∈[0，2π]）为f（x）＝的“2k+1重覆盖函数”（其中k∈N），请直接写出正实数ω的取值范围（用k表示）（无需解答过程）．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．设有下面四个命题：p1：∃x∈R，x2+1＜0；p2：∀x∈R，x+|x|＞0；p3：∀x∈Z，|x|∈N；p4：∃x∈R，x2﹣2x+3＝0．其中真命题为（）A．p1B．p2C．p3D．p4解：设有下面四个命题：对于p1：∃x∈R，x2+1＜0不成立，故该命题为假命题；p2：∀x∈R，当x＜0时，x+|x|＝0，故该命题为假命题；p3：∀x∈Z，|x|∈N，该命题为真命题；p4：∃x∈R，由于x2﹣2x+3＝0中△＝4﹣12＝﹣8＜0，故不存在实根，故该命题为假命题；故选：C．2．已知角α终边上一点P的坐标为（﹣1，2），则cosα的值为（）A．﹣B．﹣C．D．解：由题意，点（﹣1，2）到原点的距离是，＝故cosα＝＝﹣故选：B．3．对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A且x∉B}叫作集合A与B的差集，记作A﹣B．若A ＝{x|lnx≤2ln}，B＝{x|x≥1}，则A﹣B为（）A．{x|x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜3}D．{x|1≤x≤3}解：集合A＝{x|lnx≤2ln}＝{x|0＜x≤3}，B＝{x|x≥1}，A﹣B＝{x|0＜x＜1}．故选：B．4．下列四个函数中，以π为最小正周期且在区间（，π）上单调递增的函数是（）A．y＝sin2x B．y＝cos x C．y＝tan x D．y＝cos解：函数y＝sin2x的周期为，又x∈（，π），则2x∈（π，2π），所以y＝sin2x在区间（，π）上不是单调递增，故选项A错误；函数y＝cos x的周期为2π，故选项B错误；函数y＝tan x的周期为π，且在区间（，π）上单调递增，故选项C正确；函数的周期为，故选项D错误．故选：C．5．“双十一”期间，甲、乙两个网购平台对原价相同的某种商品进行打折促销活动，各进行了两次降价．甲平台第一次降价a%，第二次降价b%；乙平台两次都降价%（其中0＜a＜b＜20），则两个平台的降价力度（）A．甲大B．乙大C．一样大D．大小不能确定解：由题意可知，甲平台的降价力度为：1﹣（1﹣a%）（1﹣b%），乙平台的降价力度为：1﹣（1﹣%）2，作差得：[1﹣（1﹣a%）（1﹣b%）]﹣[1﹣（1﹣%）2]＝（%）2﹣a%•b%＝﹣2＜0，所以乙平台的降价力度大，故选：B．6．已知函数f（x）的图象如图所示，则函数y＝xf（x）的图象可能是（）A．B．C．D．解：由图象可知，函数f（x）是偶函数，则y＝xf（x）为奇函数，则图象关于原点对称，排除C，D，在原点的右侧，函数值为先负后正，故排除B，故选：A．7．若θ为第二象限角，则﹣化简为（）A．2tanθB．C．﹣2tanθD．﹣解：∵θ为第二象限角，∴sinθ＞0，∴原式＝﹣＝﹣＝＝﹣．故选：D．8．已知函数f（x）＝，若函数y＝f（f（x））﹣k有3个不同的零点，则实数k的取值范围是（）A．（1，4）B．（1，4]C．[1，4）D．[1，4]解：函数f（x）＝，当x时，f（f（x））＝（x2﹣3）2﹣3，当时，f（f（x））＝﹣（x2﹣3）+1，当x＜0时，f（f（x））＝（﹣x+1）2﹣3，作出函数f（f（x））的图象可知，当1＜k≤4时，函数y＝f（f（x））﹣k有3个不同的零点．∴k∈（1，4]．故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知幂函数f（x）的图象经过点（3，），则（）A．f（x）的定义域为[0，+∞）B．f（x）的值域为[0，+∞）C．f（x）是偶函数D．f（x）的单调增区间为[0，+∞）解：设幂函数f（x）＝x a，∵f（x）过点（3，），∴3a＝，a＝，∴f（x）＝，故函数的定义域是[0，+∞），A正确，C错误，值域是[0，+∞），B正确，D正确，故选：ABD．10．为了得到函数y＝cos（2x+）的图象，只要把函数y＝cos x图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍B．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍C．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度D．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度解：把函数y＝cos x图象上所有的点向左平移个单位长度，可得y＝cos（x+）的图象；再将横坐标变为原来的倍，可得y＝cos（2x+）的图象．或把函数y＝cos x图象上所有的点横坐标变为原来的倍，得到y＝cos2x的图象；再向左平移个单位长度，可得y＝cos（2x+）的图象．故选：BC．11．已知实数a，b，c满足0＜a＜1＜b＜c，则（）A．b a＜c a B．log b a＞log c aC．＜D．sin b＜sin c解：因为实数a，b，c满足0＜a＜1＜b＜c，则函数y＝x a为单调递增函数，所以b a＜c a，故选项A正确；不妨取，则log b a＝，log c a＝，所以log b a＜log c a，故选项B错误；不妨取，则，，所以，故选项C正确；因为b和c所对应的角是哪一个象限角不确定，故sin b和sin c无法比较大小，故选项D 错误．故选：AC．12．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[﹣2.1]＝﹣3，[2.1]＝2．已知函数f（x）＝sin|x|+|sin x|，函数g（x）＝[f（x）]，则（）A．函数g（x）的值域是{0，1，2}B．函数g（x）是周期函数C．函数g（x）的图象关于x＝对称D．方程•g（x）＝x只有一个实数根解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sin x|＝f（x），所以f（x）是偶函数，而sin|x|不是周期函数，|sin x|为周期函数，对于x＞0，当2kπ＜x＜π+2kπ时，f（x）＝2sin x，当π+2kπ＜x＜2π+2kπ时，f（x）＝0，所以g（x）＝，k＝0，±1，±2，…，故A正确，由f（x）是偶函数，则g（x）为偶函数，x＞0时，f（x）成周期性，但起点为x＝0，所以g（x）在（﹣∞，+∞）上不是周期函数，故B不正确；函数g（x）的图象关于x＝0对称，不关于x＝对称，故C不正确；，当x＝0时，g（0）＝0，当x＝时，g（）＝1，与g（x）只有（0，0）交点即方程•g（x）＝x只有一个实数根，故D正确．故选：AD．三、填空题（共4小题）.13．函数f（x）＝+lg（2﹣x）的定义域为[1，2）．解：要使函数的解析式有意义，自变量x须满足：解得：1≤x＜2．故函数的定义域为[1，2）故答案为[1，2）14．关于x的方程sin x+x﹣3＝0的唯一解在区间（k﹣，k+）（k∈Z）内，则k的值为2．解：设f（x）＝sin x+x﹣3，f（）＝sin+﹣3＝sin﹣＜0，f（）＝sin+﹣3＝sin﹣＝sin﹣sin ＞0，（，所以sin＞sin）．由零点定理知，f（x）在区间（，）内一定有零点，所以k＝2．故答案为：2．15．已知a，b为正实数，且ab+a+3b＝9，则a+3b的最小值为6．解：因为a，b为正实数，且ab+a+3b＝9，所以a+3b＝9﹣ab＝9﹣，当且仅当a＝3b时取等号，解得，a+3b≥6或a+3b≤﹣18（舍），则a+3b的最小值为6．故答案为：6．16．当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若生物体内原有的碳14含量为A，按照上述变化规律，生物体内碳14含量y与死亡年数x的函数关系式是y＝A•，考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的62.5%，则可以推测该生物的死亡时间距今约3820年．（参考数据：lg2≈0.3）解：由题意知，y＝A•，当y＝62.5%A时，有62.5%A＝A•，即＝，∴＝＝＝log28﹣log25＝3﹣＝3﹣≈，∴x＝3820，∴可以推测该生物的死亡时间距今约3820年．故答案为：y＝A•；3820．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在条件①＝；②4sin2A＝4cos A+1；③sin A cos A tan A＝中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．已知角A为锐角，_____．（1）求角A的大小；（2）求sin（π+A）cos（﹣A）的值．解：若选择条件①，（1）由于＝，可得14sin A﹣7cos A＝3sin A+4cos A，可得sin A＝cos A，即tan A＝1，因为A为锐角，可得A＝；（2）sin（π+A）cos（﹣A）＝（﹣sin A）cos（1010π+﹣A）＝﹣sin2A＝﹣．若选择②，（1）由于4sin2A＝4cos A+1，4（1﹣cos2A）＝4cos A+1，可得4cos2A+4cos x﹣3＝0，解得cos A＝，或﹣（舍去），因为A为锐角，可得A＝．（2）sin（π+A）cos（﹣A）＝（﹣sin A）cos（1010π+﹣A）＝﹣sin2A＝﹣．若选择③，（1）因为sin A cos A tan A＝sin2A＝，可得sin A＝，或﹣，因为A为锐角，sin A＞0，可得sin A＝，可得A＝；（2）sin（π+A）cos（﹣A）＝（﹣sin A）cos（1010π+﹣A）＝﹣sin2A＝﹣．18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x||x﹣a|＜1}．（1）当a＝3时，求A∪B；（2）设p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．解：由题意得，A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|a﹣1＜x＜a+1}．（1）a＝3时，B＝{x|2＜x＜4}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜4}＝（﹣1，4）．（2）因为p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，则A⫋B，所以（等号不能同时成立），经验证a≠2，解之得0≤a＜2，所以实数a的取值范围是[0，2）．19．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象经过点（，），其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在[0，π]上的单调增区间．解：（1）由题意可得A＝2，T＝π，所以ω＝＝2，所以f（x）＝2sin（2x+φ），又图象经过点（，），所以f（）＝2sin（2×+φ）＝，即sin（+φ）＝，因为|φ|＜，所以φ＝，所以f（x）＝2sin（2x+）．（2）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，再根据x∈[0，π]，可得函数的单调增区间为[0，]，[，π]．20．（12分）已知定义在R上的函数f（x）＝2x+k•2﹣x（k∈R）．（1）若f（x）是奇函数，求函数y＝f（x）+f（2x）的零点；（2）是否存在实数k，使f（x）在（﹣∞，﹣1）上调递减且在（2，+∞）上单调递增？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）因为f（x）是奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），即2﹣x+k•2x＝﹣2x﹣k•2﹣x，可得k＝﹣1，所以f（x）＝2x﹣2﹣x，令y＝f（x）+f（2x）＝2x﹣2﹣x+22x﹣2﹣2x＝0，即（2x﹣2﹣x）（1+2x+2﹣x）＝0，所以2x﹣2﹣x＝0，解得x＝0，即函数y＝f（x）+f（2x）的零点为x＝0．（2）当k≤0时，函数f（x）＝2x+k•2﹣x在R上单调递增，不符合题意；当k＞0时，令t＝2x，当x∈（﹣∞，﹣1）时，t∈（0，），当x∈（2，+∞）时，t∈（4，+∞），因为f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减且在（2，+∞）上单调递增，所以g（t）＝t+在（0，）上单调递减且在（4，+∞）上单调递增，所以≤≤4，解得≤k≤16，故存在实数k∈[，16]使f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减且在（2，+∞）上单调递增．21．（12分）经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q（单位：L）、百公里耗油量W（单位：L）与速度v（单位：km/h）（40≤v≤120）的数据关系如表：v406090100120Q 5.268.3251015.6W139.25为描述Q与v的关系，现有以下三种模型供选择Q（v）＝0.5v+a，Q（v）＝av+b，Q（v）＝av3+bv2+cv．（1）请填写表格空白处的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）已知某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道和内侧车道，车速范围分别是[60，90），[90，110），[110，120]（单位：km/h），问：该型号汽车应在哪个车道以什么速度行驶时W最小？解：（1）填表如下：v406090100120Q 5.268.3251015.6W13109.251013由题意可得符合的函数模型需满足在40≤v≤120时，v都可取，三种模型都满足，且该函数模型应为增函数，所以第一种函数模型不符合，若选择第二种模型，代入（40，5.2），（60，6），得，解得，则Q（v）＝0.04v+3.6，此时Q（90）＝7.2，Q（100）＝7.6，Q（120）＝8.4，与实际数据相差较大，所以第二种模型不符合，经观察，第三种函数模型最符合实际，代入（40，5.2），（60，6），（100，10），则，解得，∴Q（v）＝0.000025v3﹣0.004v2+0.25v．（2）∵W＝＝0.0025v2﹣0.4v+25＝0.0025（v﹣80）2+9，∴当v＝80时，W取得最小值9，所以该型号汽车应在外侧车道以80km/h的速度行驶时W最小．22．（12分）已知函数f（x）和g（x）的定义域分别为D1和D2，若足对任意x0∈D1，恰好存在n个不同的实数x1，x2…，x n∈D2，使得g（x i）＝f（x0）（其中i＝1，2，……，n，n∈N*），则称g（x）为f（x）的“n重覆盖函数．”（1）判断g（x）＝|x﹣1|（x∈[0，4]）是否为f（x）＝x+2（x∈[0，1]）的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值；如果不是，说明理由．（2）若g（x）＝为f（x）＝的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围；（3）若g（x）＝sin（ωx﹣）（x∈[0，2π]）为f（x）＝的“2k+1重覆盖函数”（其中k∈N），请直接写出正实数ω的取值范围（用k表示）（无需解答过程）．解：（1）因为g（x）＝|x﹣1|（x∈[0，4]），f（x）＝x+2（x∈[0，1]），则对∀x0∈[0，1]，∃n个不同的实数x1，x2…，x n∈[0，4），使得g（x i）＝f（x0）（i＝1，2，…，n），即|x i﹣1|＝x0+2∈[2，3]，则x i∈[3，4]，所以对于∀x0∈[0，1]，都能找到一个x1，使|x1﹣1|＝x0+2，所以g（x）是f（x）的“n重覆盖函数”，故n＝1；（2）因为f（x）＝，其定义域为（0，+∞），即对∀x0∈（0，+∞），存在2个不同的实数x1，x2∈R，使得g（x i）＝f（x0）（i＝1，2），即∈（0，+∞），即对任意k＞0，g（x）＝k要有两个实根，当x＞1时，g（x）＝log2x＝k已有一个根，故只需x＜1时，g（x）＝k仅有一个根，①当a＝0时，g（x）＝1，不符合题意；②当a＞0时，则必须满足g（1）＝a+2a﹣3+1≤0，解得；③当a＜0时，抛物线开口向下，存在最大值，故不符合题意；综上可得，实数a的取值范围为．；（3）正实数ω的取值范围为．。

江苏省苏州市常熟市高一(上)期中数学试卷含答案

江苏省苏州市常熟市高一(上)期中数学试卷含答案

D. (2 2,4)
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 幂函数的图象过点(2,14)，则它的解析式是______ ． 14. 函数푓(푥) = 푥2−2푥−3的单调增区间为______．
15. 如图，函数푓(푥)的图象是两条线段，其定义域为 [−1,0) ∪ (0,1]，则满足不等式|푓(푥)−푓(−푥)| ≥ 1的 x 的取值集 合为______．
8.【答案】B
【解析】解：令푡
= 2푥(푡
> 0) ，
∴ 函数푦 = 4푥 + 2푥 + 1 +3(푥 ∈ 푅)化为푓(푡) = 푡2 +2푡 + 3 = (푡 + 1)2 +2(푡 > 0)，
∴ 푓(푡) > 3．
即函数푦 = 4푥 + 2푥 + 1 +3(푥 ∈ 푅)的值域为(3, + ∞) ．
2，必有0 < 푎 < 1，
对于函数푓(푥) = log푎(푥−1)
(1, + ∞)
，其定义域为
，且在其定义域上为减函数，
分析选项：C 符合；
故选：C． 根据题意，求出 a 的取值范围，进而求出函数푓(푥) = log푎(푥−1)的定义域，分析其单调
性，分析选项即可得答案．
本题考查对数函数的图象变化，注意分析 a 的取值范围，属于基础题．
A. (−∞,2)
B. [−2, + ∞)
C. [−2,2)
D. (0,2)
4. 化简2푙푔5 + 푙푔4−5푙표푔52的结果为( )
A. 0
B. 2
C. 4
D. 6
5. 若푎−2 > 푎2(푎 > 0 且 푎 ≠ 1)，则函数

2020-2021学年江苏省苏州市吴中区、吴江区、相城区八年级(下)期末数学试卷(解析版)

2020-2021学年江苏省苏州市吴中区、吴江区、相城区八年级(下)期末数学试卷(解析版)

2020-2021学年江苏省苏州市吴中区、吴江区、相城区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列调查，适合普查的是（）A．夏季冷饮市场上冰淇淋的质量B．某书中的印刷错误C．某电视节目的收视率D．洗衣机的使用寿命3．下列条件中，能使菱形ABCD为正方形的是（）A．AB＝AD B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD 4．下列计算或化简正确的是（）A．2+4＝6B．＝4C．＝﹣3D．＝3 5．若关于x的一元二次方程x2+k﹣3＝0没有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞3B．k＜3C．k＞﹣3D．k＜﹣36．如果＝，那么的值是（）A．3B．﹣3C．D．﹣7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为（）A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺8．如果反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝x的图象有交点，那么该反比例函数的图象在（）A．第一、三象限B．第一、二象限C．第二、四象限D．第三、四象限9．在四边形ABCD中AB∥CD，对角线AC与BD交于P，过点P作AB的平行线，交AD、BC于M、N．若AB＝2，△PDC与△PAB的面积比为1：4，则MN的长是（）A．B．C．D．10．如图，已知△ABC是等边三角形，边AC经过坐标原点O，点A、C在反比例函数y＝的图象上．若点B在反比例函数y＝的图象上，则k的值是（）A．﹣3B．3C．﹣6D．6二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案直接填在答题卡相应位置上）11．如果二次根式在实数范围内有意义，那么x的取值范围是．12．若分式的值为0，则x的值为．13．平行四边形ABCD中，若∠B＝2∠A，则∠A的度数是．14．一只不透明的袋子中装有n个白球、2个黄球和3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出一个球，摸出白球的概率是，则n等于．15．像（+）（﹣）＝3、•＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．请写出﹣的一个有理化因式．16．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+1的值为．17．已知反比例函数y1＝的图象与一次函数y2＝x+1的图象的一个交点的横坐标是﹣3．下列结论：①k＝6；②当x＜﹣1时，﹣6＜y1＜0；③y1随x的增大而增大；④以双曲线y1＝与直线y2＝x+1的两个交点和坐标原点为顶点的三角形的面积是，其中不正确的是（填序号）．18．如图，已知▱OABC的顶点A、C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为．三、解答题（本大题共10小题，共76分.把解答过程写答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明，作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔）19．计算：﹣|2﹣|+（2021–π）0．20．解下列方程：（1）x2﹣3x＝﹣2；（2）＝．21．先化简，再求值：÷（x+1）•，其中x＝．22．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点A、B均在格点上，请回答下列问题．（1）直接写出AB的长度为；（2）在格点上找一点C，连接BC，使AB⊥BC；（3）利用格点，画线段AB的中点D；（4）在格点上找一点E，连接DE，使DE∥BC．23．“足球运球”是备受某校关注的体育项目之一．为了解该校九年级学生“足球运球”的掌握情况，随机抽取部分九年级学生“足球运球”的测试成绩，按A、B、C、D四个等级进行统计，制成了统计图．根据所给信息，解答以下问题：（1）补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，等级C对应扇形圆心角的度数是；（3）所抽取学生的“足球运球”测试成绩的中位数会落在等级；（4）若该校九年级有1300名学生，请估计“足球运球”测试成绩达到等级A的学生有多少人？24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．（1）求证：四边形ACDE是平行四边形；（2）若AC＝8，BD＝6，则△BDE的周长是．25．某学校组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90千米，队伍8：00从学校出发．辅导员因有事请，8：30从学校自驾小车以大巴车1.5倍的速度追赶，结果同时达到目的地．求大巴车与小车的平均速度各是多少？26．如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝10．连接OA、AB，且OA＝AB＝13．（1）求反比例函数的解析式；（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D．①求OC的长；②求的值．27．如图1，矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝8cm，E为AB上一点，F为AB延长线上一点，且BF＝acm．点P从A点出发，沿AD方向以4cm/s的速度向D运动，连结PE、PF，PF交BC于点H．设点P运动的时间为t（s），△PAE的面积为y（cm2），当0≤t≤1时，△PAE的面积y（cm2）关于时间t（s）的函数图象如图2所示．（1）AE的长是cm；（2）当a＝2cm，△PAE∽△FAP时，求t的值；（3）如图3，将△HBF沿线段BF进行翻折，与CB的延长线交于点M，连结AM，当t 为何值时，四边形PAMH为菱形？28．定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形．（1）矩形垂等四边形（填“是”或“不是”）；（2）如图1，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在AD、AB、BC上，四边形DEFG 是垂等四边形，且∠EFG＝90°，AF＝CG．①求证：EG＝DG；②若BG＝n•BC，求n的值；（3）如图2，在Rt△ABC中，＝2，AB＝2，以AB为对角线，作垂等四边形ACBD．过点D作CB的延长线的垂线，垂足为E，且△ACB与△DBE相似，则四边形ACBD的面积是．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上）1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；C．是中心对称图形，故本选项符合题意；D．不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C．2．下列调查，适合普查的是（）A．夏季冷饮市场上冰淇淋的质量B．某书中的印刷错误C．某电视节目的收视率D．洗衣机的使用寿命解：A．夏季冷饮市场上冰淇淋的质量，适合抽样调查，故A选项不合题意；B．某书中的印刷错误，适宜全面调查，故B选项符合题意；C．某电视节目的收视率，适合抽样调查，故C选项不合题意；D、洗衣机的使用寿命，适合抽样调查，故D选项不合题意．故选：B．3．下列条件中，能使菱形ABCD为正方形的是（）A．AB＝AD B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD 解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角（2）对角线相等．即∠ABC＝90°或AC＝BD．故选：B．4．下列计算或化简正确的是（）A．2+4＝6B．＝4C．＝﹣3D．＝3解：A、2与4不能合并，所以A选项错误；B、原式＝2，所以B选项错误；C、原式＝|﹣3|＝3，所以C选项错误；D、原式＝＝3，所以D选项正确．故选：D．5．若关于x的一元二次方程x2+k﹣3＝0没有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞3B．k＜3C．k＞﹣3D．k＜﹣3解：∵关于x的一元二次方程x2+k﹣3＝0没有实数根，∴Δ＝02﹣4×1×（k﹣3）＝﹣4k+12＜0，∴k的取值范围是k＞3；故选：A．6．如果＝，那么的值是（）A．3B．﹣3C．D．﹣解：∵＝，∴b＝2a，∴原式＝＝﹣＝﹣3．故选：B．7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为（）A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺解：设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长＝一丈五尺＝15尺，标杆长＝一尺五寸＝1.5尺，影长五寸＝0.5尺，∴，解得x＝45（尺）．故选：B．8．如果反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝x的图象有交点，那么该反比例函数的图象在（）A．第一、三象限B．第一、二象限C．第二、四象限D．第三、四象限解：由正比例函数y＝x可知，直线y＝x经过一、三象限，∵反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝x的图象有交点，∴反比例函数y＝（k≠0）的图象在一、三象限，故选：A．9．在四边形ABCD中AB∥CD，对角线AC与BD交于P，过点P作AB的平行线，交AD、BC于M、N．若AB＝2，△PDC与△PAB的面积比为1：4，则MN的长是（）A．B．C．D．解：设PM＝x，PN＝y，∵AB∥CD，MN∥AB，∴AB∥MN∥CD，∴△CDP∽△ABP，∵AB＝2，△PDC与△PAB的面积比为1：4，∴CD＝1，∵AB∥MN∥CD，∴△DMP∽△DAB，△CPN∽△CAB，∴，，∵，∴，∴，解得：x＝y＝，∴MN＝x+y＝．故选：C．10．如图，已知△ABC是等边三角形，边AC经过坐标原点O，点A、C在反比例函数y＝的图象上．若点B在反比例函数y＝的图象上，则k的值是（）A．﹣3B．3C．﹣6D．6解：连接OB，∵边AC经过坐标原点O，点A、C在反比例函数y＝的图象上，∴OA＝OC，∵△ABC是等边三角形，∴BO⊥AC，∴＝，作AE⊥x轴于E，BD⊥x轴于D，∵∠AOE+∠BOD＝90°＝∠AOE+∠EAO，∴∠BOD＝∠EAO，∵∠BDO＝∠OEA＝90°，∴△BOD∽△OAE，∴＝（）2，即，∴|k|＝6，∵在第三象限，∴k＝﹣6，故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案直接填在答题卡相应位置上）11．如果二次根式在实数范围内有意义，那么x的取值范围是x≥2．解：由题意得：x﹣2≥0，解得：x≥2，故答案为：x≥2．12．若分式的值为0，则x的值为2．解：依题意得：x﹣2＝0，解得x＝2．经检验x＝2符合题意．故答案是：2．13．平行四边形ABCD中，若∠B＝2∠A，则∠A的度数是60°．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠A+∠B＝180°，把∠B＝2∠A代入得：3∠A＝180°，∴∠A＝60°，故答案为：60°．14．一只不透明的袋子中装有n个白球、2个黄球和3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出一个球，摸出白球的概率是，则n等于1．解：根据题意得：＝，解得：n＝1；故答案为：1．15．像（+）（﹣）＝3、•＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．请写出﹣的一个有理化因式．解：∵，∴是的一个有理化因式．故答案为：（答案不唯一）．16．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+1的值为4．解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1＝0，∴2m2﹣3m＝1，∴原式＝3（2m2﹣3m）+1＝4．故答案为：4．17．已知反比例函数y1＝的图象与一次函数y2＝x+1的图象的一个交点的横坐标是﹣3．下列结论：①k＝6；②当x＜﹣1时，﹣6＜y1＜0；③y1随x的增大而增大；④以双曲线y1＝与直线y2＝x+1的两个交点和坐标原点为顶点的三角形的面积是，其中不正确的是③（填序号）．解：把x＝﹣3代入y＝x+1中，得y＝﹣3+1＝﹣2，∴交点为（﹣3，﹣2），把（﹣3，﹣2）代入比例函数y＝中，得k＝6，故结论①正确；把y＝﹣6代入y＝，解得x＝﹣1，如图：由图象可知，当x＜﹣1时，﹣6＜y＜0，故结论②正确；在每个象限内，y1随x的增大而减小，故结论③错误；联立方程组，解得，或，∴交点坐标为：（﹣3，﹣2）和（2，3），直线y＝x+1与x轴的交点（﹣1，0），∴双曲线y1＝与直线y2＝x+1的两个交点和坐标原点为顶点的三角形的面积为：＝，故结论④正确；故答案为③．18．如图，已知▱OABC的顶点A、C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为5．解：过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x＝1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x＝4与AB交于点N，如图：∵四边形OABC是平行四边形，∴∠OAB＝∠BCO，OC∥AB，OA＝BC，∵直线x＝1与直线x＝4均垂直于x轴，∴AM∥CN，∴四边形ANCM是平行四边形，∴∠MAN＝∠NCM，∴∠OAF＝∠BCD，∵∠OFA＝∠BDC＝90°，∴∠FOA＝∠DBC，在△OAF和△BCD中，，∴△OAF≌△BCD．∴BD＝OF＝1，∴OE＝4+1＝5，∴OB＝．由于OE的长不变，所以当BE最小时（即B点在x轴上），OB取得最小值，最小值为OB＝OE＝5．故答案为：5．三、解答题（本大题共10小题，共76分.把解答过程写答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明，作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔）19．计算：﹣|2﹣|+（2021–π）0．解：原式＝2﹣2++1＝3﹣1．20．解下列方程：（1）x2﹣3x＝﹣2；（2）＝．解：（1）方程整理得：x2﹣3x+2＝0，分解因式得：（x﹣1）（x﹣2）＝0，可得x﹣1＝0或x﹣2＝0，解得：x1＝1，x2＝2；（2）去分母得：2（x﹣2）＝3（x﹣3），去括号得：2x﹣4＝3x﹣9，移项合并得：﹣x＝﹣5，解得：x＝5，检验：当x＝5时，（x﹣2）（x﹣3）≠0，∴分式方程的解为x＝5．21．先化简，再求值：÷（x+1）•，其中x＝．解：÷（x+1）•＝＝﹣，当x＝时，原式＝﹣．22．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点A、B均在格点上，请回答下列问题．（1）直接写出AB的长度为；（2）在格点上找一点C，连接BC，使AB⊥BC；（3）利用格点，画线段AB的中点D；（4）在格点上找一点E，连接DE，使DE∥BC．解：（1）AB＝＝．故答案为：．（2）如图，线段BC即为所求．（3）如图，点D即为所求．（4）如图，线段DE即为所求．23．“足球运球”是备受某校关注的体育项目之一．为了解该校九年级学生“足球运球”的掌握情况，随机抽取部分九年级学生“足球运球”的测试成绩，按A、B、C、D四个等级进行统计，制成了统计图．根据所给信息，解答以下问题：（1）补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，等级C对应扇形圆心角的度数是117°；（3）所抽取学生的“足球运球”测试成绩的中位数会落在等级；（4）若该校九年级有1300名学生，请估计“足球运球”测试成绩达到等级A的学生有多少人？解：（1）∵被调查的总人数为18÷45%＝40（人），∴C等级人数为40﹣（4+18+5）＝13（人），补全条形统计图如下：（2）C对应的扇形的圆心角是360°×＝117°，故答案为：117°；（3）∵被调查的总人数为40，将测试成绩从小到大排列第20、21个数据均落在B等级，∴所抽取学生的“足球运球”测试成绩的中位数会落在B等级，故答案为：B；（4）估计“足球运球”测试成绩达到等级A的学生有1300×＝130（人）．答：估计“足球运球”测试成绩达到等级A的学生有130人．24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．（1）求证：四边形ACDE是平行四边形；（2）若AC＝8，BD＝6，则△BDE的周长是24．解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴AE∥CD，∠AOB＝90°．∵DE⊥BD，即∠EDB＝90°，∴∠AOB＝∠EDB，∴DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，DO＝3，AD＝CD＝＝＝5．∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8，∴△BDE的周长＝BD+BE+DE＝6+10+8＝24．故答案为：24．25．某学校组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90千米，队伍8：00从学校出发．辅导员因有事请，8：30从学校自驾小车以大巴车1.5倍的速度追赶，结果同时达到目的地．求大巴车与小车的平均速度各是多少？解：设大巴车的平均速度为x千米/时，则小车的平均速度为1.5x千米/时，依题意，得：﹣＝，解得：x＝60，经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，∴1.5x＝90．答：大巴车的速度为60千米/时，小车的速度为90千米/时．26．如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝10．连接OA、AB，且OA＝AB＝13．（1）求反比例函数的解析式；（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D．①求OC的长；②求的值．解：（1）过A作AE⊥OB于E，如图1，∵OA＝AB，∴OE＝BE＝，∴＝12，∴A的坐标为（5，12），∵A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，∴k＝60，∴反比例函数的解析式为：；（2）①∵OB＝10，∴B的坐标为（10，0），∵BC⊥x轴交反比例函数图象于C点，∴C的横坐标为10，令x＝10，则y＝，∴C（10，6），∴BC＝6，∴＝；②设直线OC为y＝mx，代入点C的坐标得m＝，∴直线OC的解析式为，设直线AB的解析式为y＝n（x﹣10），代入点A的坐标得n＝，∴直线AB的解析式为，联立，解得，∴D的坐标为（），∴，∴，∴．27．如图1，矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝8cm，E为AB上一点，F为AB延长线上一点，且BF＝acm．点P从A点出发，沿AD方向以4cm/s的速度向D运动，连结PE、PF，PF交BC于点H．设点P运动的时间为t（s），△PAE的面积为y（cm2），当0≤t≤1时，△PAE的面积y（cm2）关于时间t（s）的函数图象如图2所示．（1）AE的长是0.5cm；（2）当a＝2cm，△PAE∽△FAP时，求t的值；（3）如图3，将△HBF沿线段BF进行翻折，与CB的延长线交于点M，连结AM，当t 为何值时，四边形PAMH为菱形？解：（1）由题意可知，y＝×4t×AE，由图2可知，当t＝0.5时，y＝0.5，∴0.5＝×4×0.5×AE，∴AE＝0.5cm，故答案分别为：0.5；（2）当a＝2cm，BF＝2cm．AF＝AB+BF＝6cm，∵△PAE∽△FAP，∴，∵AP＝4t，∴16t2＝6×0.5，∴t＝±（负值不合题意，舍去），∴t＝s；（3）如图3，∵四边形PAMH是菱形，∴AM＝MH＝2BM，AM∥PF，∵∠ABM＝90°，BM＝AM，∴∠MAB＝30°，∴∠PFA＝MFA＝∠MAB＝30°，∴MA＝MF，∵MB⊥AF，∴AB＝BF＝4cm，∴FA＝AB+BF＝8cm，令PA＝x，则PF＝2x，根据勾股定理可得，PF2＝PA2+AF2，即（2x）2＝x2+82，解得x＝，（负值已舍去）∴P的运动时间为÷4＝（秒）．∴t＝s时，四边形PAMH为菱形．28．定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形．（1）矩形是垂等四边形（填“是”或“不是”）；（2）如图1，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在AD、AB、BC上，四边形DEFG 是垂等四边形，且∠EFG＝90°，AF＝CG．①求证：EG＝DG；②若BG＝n•BC，求n的值；（3）如图2，在Rt△ABC中，＝2，AB＝2，以AB为对角线，作垂等四边形ACBD．过点D作CB的延长线的垂线，垂足为E，且△ACB与△DBE相似，则四边形ACBD的面积是4或．【解答】（1）解：矩形有一组邻边垂直且对角线相等，故矩形是垂等四边形．故答案为：是；（2）①证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠C．又∵AF＝CG，∴△ADF≌△CDG（SAS），∴DF＝DG．∵四边形DEFG是垂等四边形，∴EG＝DF，∴EG＝DG；②解：如图1，过点G作GH⊥AD，垂足为H，∴四边形CDHG为矩形，∴CG＝DH．由①知EG＝DG，∴DH＝EH．由题意知∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，AF＝CG，∴AB﹣AF＝BC﹣CG，即BF＝BG，∴△BFG为等腰直角三角形，∴∠GFB＝45°．又∵∠EFG＝90°，∴∠EFA＝180°﹣90°﹣45°＝45°，∴△AEF为等腰直角三角形，∴AE＝AF＝CG，∴AE＝EH＝DH，∴BC＝3AE，BG＝2AE．∵BC＝n•BG，∴n＝＝；（3）解：如图2，过点D作DF⊥AC，垂足为F，∴四边形CEDF为矩形．∵＝2，∴AC＝2BC．在Rt△ABC中，AB＝2，根据勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，即（2BC）2+BC2＝5，∴AC＝4，BC＝2．∵四边形ACBD为垂等四边形，∴AB＝CD＝2．第一种情况：当△ACB∽△BED时，＝＝2，设DE＝x，则BE＝2x，∴CE＝2+2x．在Rt△CDE中，根据勾股定理得，CE2+DE2＝CD2，即（2+2x）2+x2＝20，解得x1＝，x2＝（舍去），∴DE＝，CE＝DF＝2+2x＝，∴S四边形ACBD＝S△ACD+S△DCB＝×4×+×2×＝4；第二种情况：当△ACB∽△DEB时，＝2，设BE＝y，则DE＝2y，∴CE＝2+y．在Rt△CDE中，根据勾股定理得，CE2+DE2＝CD2，即（2+y）2+（2y）2＝20，解得y1＝，y2＝（舍去），∴CE＝DF＝2+y＝，DE＝2y＝，∴S四边形ACBD＝S△ACD+S△DCB＝×4×+×2×＝．综上所述，四边形ACBD的面积为4或．故答案为：4或．。

苏州市2023-2024学年高三上学期期中调研数学试卷(含答案)

苏州市2023-2024学年高三上学期期中调研数学试卷(含答案)

苏州市2023～2024学年第一学期高三期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．1．下列条件中，使得“>a b ”成立的充分不必要条件是A ．>a bB ．11>a bC ．22>a b D ．ln ln >a b2．已知集合2{650}=-+<A x x x ，{}=<B x x a ，且=A B A ，则实数a 的取值范围为A ．(1,)+∞B ．[3,)+∞C ．[5,)+∞D ．(5,)+∞3．已知4cos 35-πα（）=，则sin 6+πα（）的值为A ．45-B ．35-C ．35D ．455．在△ABC 中，3=A π，AB 边上的高等于3AB ，则sin =CA ．14B ．14C ．14D ．146．已知曲线e ln =+x y a x x 在点(1,e)a 处的切线方程为2=+y x b ，则7二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．10．函数()tan 4=-f x x （2，则A ．()f x 的一个周期为2πB ．()f x 是增函数C ．()f x 的图象关于点3π(,0)8对称D ．将函数tan 2=y x 的图象向右平移π4个单位长度可得到()f x 的图象11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱AB ，1AA 的中点，点P 在对角线1A B 上，则A ．三棱锥-P CEF 体积为16B ．点P 到平面CEF 的距离为23C ．1APD P +的最小值为D ．四面体BCEF 外接球的表面积为14π12．对于数列{}n a ，若存在正数M ，使得对一切正整数n ，都有n a M ≤，则称数列{}n a 为有界数列；若这样的正数M 不存在，则称数列{}n a 为无界数列．下列说法正确的有三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．（第14（第15题图．如图，一个半径为3两点为直径AB 的三等分点，⋅DE=▲．已知函数()3=-f x x 且()()=f m f n ，则m 的取值范围为围为▲.（本小题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本大题共6小题，共计70分．17．(本小题满分10分)已知函数()2sin cos 442=+x x xf x .（1）求()f x 的最小值及取得最小值时x 的取值集合；（2）若()f x 的图象向右平移m (0)>m 个单位后得到的函数恰好为偶函数，求m 的最小值．18．(本小题满分12分)在①∠BAC 的平分线长为65；②D 为BC 中点，AD ；③AH 为BC 边上的高，AH 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．△ABC 中，角A ,B ,C 的对边为a ,b ,c ，已知b =2，2cos 3cos =-A a B .（1）求c ;（2）若，求∠BAC 的大小.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．如图，在四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD BC ∥，2=AD BC ，090∠=DAB ，平面⊥PDB 平面ABCD ，⊥AC BD ，⊥AB PD ，1=BC ，2=PD .（1）求证：⊥PD 平面ABCD ；（2）求二面角--D PC B 的余弦值．20．(本小题满分12分)已知函数()f x 满足2()e 2=-+x f x x x ．（1）求()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()(2)1>-+f x a x 在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11=a ，21221++=++n n S S n n ．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若11=b ,1(1)++-=n n n n b b a ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．22．(本小题满分12分)已知函数2()+(2)ln =--f x ax a x x ．（1）若()f x 在区间(1,2)上有极值，求实数a 的取值范围；（2）当01<<a 时，求证：()f x 有两个零点1x ，2x 12()≠x x ，且12()()0''+<f x f x ．2023～2024学年第一学期高三期中调研试卷数学参考答案及评分建议2023.11一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．题号12345678答案DCDBDACB二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．题号9101112答案ADACBCDABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．13．20;;15．12;16．(，(3,3)-四、解答题：本大题共6小题，共计70分．17．（本小题满分10分）解：（1）因为()sin 2sin()2223π=+=+x x x f x ，……………………………………………2分当2,232ππ+=-+π∈x k k Z 即54,3π=π-∈x k k Z 时，f (x )取得最小值－2，………………4分所以f (x )的最小值为－2，此时x 的取值集合为5{|4,}3π=π-∈x x k k Z ．………………5分（2）设()f x 的图象向右平移m (0)>m 个单位后得到函数()g x ，则()2sin()23-π=+x m g x ，因为()g x 为偶函数，所以()()-=g x g x ，即sin()sin()223223ππ-+=--+x m x m ，所以sin cos()0223π-+=x m 恒成立，所以,232ππ-+=+π∈m k k Z ，………………………8分所以2,3π=--π∈m k k Z ，…………………………………………………………………9分又因为0>m ，所以min 53π=m ．……………………………………………………………10分18．(本小题满分12分)解：（1）由b =2及2cos 3cos =-A a B 得cos 3cos b A a B =-，即cos cos 3+=b A a B，………2分由余弦定理得222222322+-+-+=b c a a c b b a bc ac，……………………………………………4分所以3c =．……………………………………………………………………………………5分（2）若选①，记∠BAC=2θ，∠BAC 的平分线交BC 于D ，则有=+ABC ABD ACD S S S △△△，…………………………………………………………………………………………6分即111sin 2sin sin 222=⋅+⋅bc b AD c AD θθθ，…………………………………………………7分即12186sin 2sin sin 55=+θθθ即sin 2sin =θθ，所以2sin cos sin =θθθ，………………9分因为(0,)2∈πθ，所以sin 0≠θ从而1cos 2=θ即3=πθ，…………………………………11分所以23∠=BAC π.……………………………………………………………………………12分若选②，由于D 为BC 中点，所以1()2=+AD AB AC ，…………………………………6分z即22242=++⋅ADAB AC AB AC，…………………………………………………………7分又因为72= AD ，3=AB ，2=AC ，所以3⋅=-AB AC ，……………………………9分即cos 3⋅⋅∠=-AB AC BAC ，所以1cos 2∠=-BAC ，……………………………………11分又因为(0,)∠∈BAC π，所以23∠=BAC π.………………………………………………12分若选③，由于AH 为BC 边上的高，在t R BAH△中，2229571449191919⨯=-=-=⨯BH AB AH ，所以121919=BH ，……………7分在t R CAH △中，222957494191919⨯=-=-=⨯CH AC AH ，所以71919=CH ……………9分所以19=+=BC BH CH 由余弦定理得22294191cos 22322+-+-∠===-⋅⨯⨯AB AC BC BAC AB AC，…………………………11分又因为(0,)∠∈BAC π，所以23∠=BAC π.………………………………………………12分19．(本小题满分12分)解：（1）因为平面⊥PDB 平面ABCD ，平面PDB 平面ABCD =BD ，⊥AC BD ，⊂AC 平面ABCD所以AC ⊥平面PDB ，…………………………………………………………………………1分又因为⊂PD 平面PDB ，所以AC ⊥PD ，…………………………………………………2分又因为⊥AB PD ，=AC AB A ，⊂AC 平面ABCD ，⊂AB 平面ABCD ，所以PD ⊥平面ABCD ，………………………………………………………………………4分（2）由（1）知PD ⊥平面ABCD ，又AD⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AD ，PD ⊥AB ，过A 引AZ PD ∥，则有AZ ⊥AD ，AZ ⊥AB ，又因为090∠=DAB ，即AD AB ⊥，以A 为原点，以AB 为x 轴，以AD 为y 轴，以AZ 为z轴建立空间直角坐标系，……5分设(0)=>AB t t ，则)0,0,0(A ，)0,0,(t B ，)0,1,(t C ，(0,2,0)D ，(0,2)P ,所以)0,1,(t AC =，)0,2,(t BD -=，)2,0,0(=DP ,由于⊥AC BD ，所以⋅AC 0=BD ，所以22=t ，即2=t ，………………………………………………………………………7分从而)0,1,2(C ，则)0,1,2(-=DC ，………………………………………………………8分设平面PDC 的一个法向量为),,(z y x n =，则有00⎧⋅=⎨⋅=⎩n DP n DC ，，即2020⎧=⎨-=⎩y ，，取1=x ，解得2,⎧=⎨⎩y z 即20)=n，………………………………………………9分同理，可求得平面PBC 的一个法向量为)1,0,1(=m ，…………………………………10分所以|cos,||<>== m n …………………………………………………………11分设二面角B PC D --的平面角为θ，θ为钝角，所以二面角B PCD --的平面角余弦值为.…………………………………………12分20．(本小题满分12分)解：（1）因为2()2=-+x f x e x x ，所以()22'=-+x f x e x ，………………………………………1分()()22'==-+x m x f x e x 令，则()2'=-x m x e ，当(,ln 2)∈-∞x 时，()0'<m x ；当(ln 2,)∈+∞x 时，()0'>m x ．所以()m x 在(,ln 2)-∞上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增．所以min ()(ln 2)2(2ln 2)0==->m x m ，…………………………………………………………3分即()0'>f x 恒成立，所以()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间．…………………………………5分（2）由题意()(2)1>-+f x a x 在区间(0,)+∞上恒成立，即2221-+>-+xe x x x ax 恒成立，即1e>+-xax xx 在区间(0,)+∞上恒成立，………………6分令1e ()=+-xg x x xx ，(0,)∈+∞x ，只需max ()>ag x ，……………………………………………7分有222(1)(1e )1e e ()1-+--'=-+-=x x x x x x g x x x x ，(0,)∈+∞x ，……………………………………8分令()1e =+-x h x x ，[0,)∈+∞x ，有()1e 0'=-x h x ≤，从而()(0)0=h x h ≤，…………………9分所以当(0,1)∈x 时，()0'>g x ；当(1,)∈+∞x 时，()0'<g x ，所以()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，……………………………………10分所以()(1)2e ==-g x g max ，…………………………………………………………………11分所以2>-ae .…………………………………………………………………………………12分21．(本小题满分12分)解：（1）法一:当1n =时，215S S +=，即2125a a +=，由11a =，得23a =，由21221n n S S n n ++=++，得212(1)2(1)1n n S S n n -+=-+-+(2)n ≥，两式相减得：14(2)++=n n a a n n ≥．又214a a +=，满足上式．所以当*n N ∈时，14n n a a n++=，…………………………………………………………1分又当2n ≥时，14(1)n n a a n -+=-，两式相减得：114(2)+--=n n a a n ≥，…………………………………………………………2分所以数列{}n a 的奇数项是以11a =为首项，4为公差的等差数列，所以11412(1)212-=+⨯=+-=-nn a a n n (n 为奇数)，……………………………………3分数列{}n a 的偶数项是以23a =为首项，4为公差的等差数列，所以11412(1)212-=+⨯=+-=-nn a a n n (n 为偶数)，……………………………………4分所以21=-n a n ，即{}n a 的通项公式是21n a n =-．…………………………………………5分法二：因为21221++=++n n S S n n ，所以22211(1)()(1)(1)+-+=--==-- n n n S n S n S ，………2分因为2110-=S ，所以20n S n -=，即2n S n =，………………………………………………3分当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，…………………………………………4分当1=n时，11a =适合上式，所以{}n a 的通项公式是21n a n =-.…………………………5分（2）因为1(1)n n n n b b a ++-=，所以：当*21()n k n N =-∈时，221212(21)143k k k b b a k k ---==--=-……①当*2()nk n N =∈时，212222141k k k b b a k k ++==⨯-=-……②①、②两式相减得：21212(1)+-+=k k b b k ≥，…………………………………………………6分因为11b =，312b b +=，所以31b =，因为21212(1)+-+=k k b b k ≥，所以当n 为奇数时，1n b =，…………………………………7分当n 为偶数时，112(1)123n n n b b a n n ---==--=-，所以1123122n n b a n n -=+=-+=-，…………………………………………………………8分所以1,22,nn b n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，…………………………………………………………………9分(i)当n 为偶数时，213124(222)112()()12222-+-=+++++++=⨯+=+ n n n n n n T b b b b b b n n ．…………10分(ii)当n 为奇数时，2111111[(1)(1)][2(1)2]22++++=-=-=+++-+-n n n n n T T b T b n n n 211122=-+n n ．………11分综上,22111,221122⎧-+⎪=⎨+⎪⎩n n n n T n n n 为奇数，为偶数.………………………………………………………12分22．(本小题满分12分)解：（1）因为2()(2)ln f x ax a x x =+--，(1,2)x ∈所以22(2)1(21)(1)1()22+--+-'=+--==ax a x x ax f x ax a x x x，…………………………1分①当0a ≤时，()0f x '<所以()f x 在(1,2)上单调递减，所以()f x 在(1,2)上无极值点，…………………………2分②当0a>时，当1(0,)∈x a 时，()0f x '<；当1(,)∈+∞x a 时，()0g x '>，所以()f x 在1(0,a 上单调递减，在1(,)+∞a上单调递增．所以()f x 的极小值点为1a，无极大值点，因为()f x 在(1,2)上有极值，所以1(1,2)∈a，所以112<<a .……………………………………………………………………………4分（2）当01a <<时，(21)(1)()+-'=x ax f x x，0x >由(1)知：111()()ln 1==--+f x f a a a 极小，01a <<，11>a令1=t a，1t >，则()ln 1f t t t =--+因为1()10'=--<f t t ，(1,)t ∈+∞恒成立，所以()f t 在(1,)+∞上单调递减所以()(1)0f t f <=即1()(0=<f x f a极小，…………………………………………………5分因为221212(ln 10-=+-=++->a a a a f e e e e ee e ，由(1)知：()f x 在1(0,a上单调递减，且11(()0⋅<f f e a ，所以()f x 在1(0,a上存在唯一的零点1x ，使1()0f x =，……………………………………6分因为3(2)39333()ln 3ln -=+-=+-a f a a a a a a ，又33ln 1,01<-<<a a a，所以3(3140>+=>f a ，由(1)知()f x 在1(,)+∞a上单调递增，且13()()0⋅<f f a a ，所以()f x 在1(,)+∞a上存在唯一的零点2x ，使2()0f x =．所以()f x 有两个零点1x ，212()x x x ≠.………………………………………………………7分下面证明12()()0f x f x ''+<：设120x x <<，则22111111112222222222()(2)ln ()2ln 0()(2)ln ()2ln 0f x ax a x x a x x x x f x ax a x x a x x x x ⎧=+--=+--=⎨=+--=+--=⎩．两式相减：2212121212[()()]2()(ln ln )0-+-----=a x x x x x x x x 即11212122()(1)2()ln 0-++---=x a x x x x x x x 所以112212122()ln ()(1)-+=-++xx x x a x x x x ，………………………………………………………………8分因为22(2)11()22+--'==-+-ax a x f x ax a xx 所以12121212121111()()2()()2(2)2(1)(4''+=+-++-=++-+-f x f x a x x a a x x x x x x 1112221212112121222()ln 2ln ()(1)(11112(1)()4())-+-++-=++-+-=-+x x x x x x xx x x x x x x x x x x ，……………9分要证：12()()0f x f x ''+<，即证：1211212211()0()02()ln-+<<<-x x x x x x x x ，只要证：122211112ln (()0)--+>x x x x x x ，即证：12212102ln -+>xx x x x x .……………………10分令12,(0,1)=∈x t t x ，即证：1ln 02-+>t t t ，(0,1)t ∈．令()2ln 1-=+m t t t t ，(0,1)t ∈，则222(1)112(0)----='=<m t t t t t ，(0,1)t ∈恒成立所以()m t 在(0,1)上单调递减，所以()(1)0m t m >=．即12212102ln-+>x x x x x x 成立，故()f x 有两个零点1x ，2x 12()≠x x ，且12()()0''+<f x f x .……………………………12分。

2022-2023学年江苏省苏州市高一(上)期中数学试卷【答案版】

2022-2023学年江苏省苏州市高一(上)期中数学试卷【答案版】

2022-2023学年江苏省苏州市高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2}，则∁U（A∪B）＝（）A．{﹣2，3}B．{﹣2，2，3}C．{﹣2，﹣1，0，3}D．{﹣2，﹣1，0，2，3}2．命题“存在一个素数，它的平方是偶数”的否定是（）A．任意一个素数，它的平方是偶数B．任意一个素数，它的平方不是偶数C．存在一个素数，它的平方是素数D．存在一个素数，它的平方不是偶数3．若集合A的子集个数有4个，则集合A中的元素个数是（）A．2B．4C．8D．164．已知f（x）是定义在R上的增函数，则（）A．函数f（x）+f（﹣x）为奇函数，且在R上单调递增B．函数f（x）+f（﹣x）为偶函数，且在R上单调递减C．函数f（x）﹣f（﹣x）为奇函数，且在R上单调递增D．函数f（x）﹣f（﹣x）为偶函数，且在R上单调递减5．已知幂函数f（x）＝（2m2﹣5m+3）x m为偶函数，则关于函数g(x)=f(x)的下列四个结论中正确的f(x)+1是（）A．g（x）的图象关于原点对称B．g（x）的值域为[0，1]C．g（x）在（0，+∞）上单调递减D．g(x)+g(1)=1x6．若函数f（x）＝|x﹣a|+b在区间[﹣1，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（）A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关7．已知函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数．利用该结论，则函数f（x）＝2x3﹣3x2图象的对称中心是（）A ．（1，﹣1）B ．（﹣1，1）C ．(12，−12)D ．(−12，12)8．若将有限集合A 的元素个数记为card （A ），对于集合M ＝{x |x 2﹣（a +3）x +3a ＜0，x ∈Z }，N ＝{x |x 2﹣5x +4≤0，x ∈Z }，下列说法正确的是（ ） A ．若a ＝1，则card （M ∪N ）+card （M ∩N ）＝4 B ．若card （M ∩N ）＝1，则a ≥4或a ≤2 C ．若card （M ∪N ）＝4，则0≤a ≤5D ．存在实数a ，使得card （M ∩N ）＝card （M ）+card （N ）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列命题为真命题的是（ ） A ．A ∩B ≠∅是A ⊆B 的必要不充分条件B ．x 或y 为有理数是xy 为有理数的既不充分又不必要条件C ．A ∪B ＝A 是B ⊆A 的充分不必要条件D ．a 2+b 2+c 2＝ab +bc +ca 的充要条件是a ＝b ＝c10．函数f （x ）满足条件：①对于定义域内任意不相等的实数a ，b 恒有f(a)−f(b)a−b＜0；②对于定义域内的任意两个不相等的实数x 1，x 2都有f(x 1+x 22)＜f(x 1)+f(x 2)2成立，则称其为G 函数．下列函数为G 函数的是（ ） A ．f （x ）＝﹣x +1 B ．f （x ）=1x，x ＞0C ．f （x ）=−√xD ．f （x ）＝﹣x 2+4x ﹣3，x ＜211．函数f （x ）={a−1x+2，−2＜x ＜0，(x −a)2−1，x ≥0是定义在（﹣2，+∞）上的函数，则（ ）A ．若a ＝﹣1，则函数y ＝f （x ）的值域为[0，+∞）B ．若a ＝﹣1，则函数y ＝f （x ）的值域为（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞）C ．若函数y ＝f （x ）单调递增，则a 的取值范围是（﹣∞，0]D ．若函数y ＝f （x ）单调递增，则a 的取值范围是（﹣∞，−12] 12．下列说法正确的是（ ）A ．函数u ＝t 2，t ∈（﹣∞，+∞）与函数x ＝y 2，y ∈（﹣∞，+∞）是同一个函数B ．直线x ＝a 与函数y ＝f （x ）的图象至多有一个公共点C ．满足“值域相同，对应关系相同，但定义域不同”的函数组不存在D ．满足“定义域相同，值域相同，但对应关系不同”的函数有无数个 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若2＜a ＜3，1＜b ＜2，则2a ﹣b 的取值范围是 ． 14．若函数f(x)={x 2+4x ，x ≤0−x 2+ax ，x ＞0为奇函数，则f （a ﹣1）＝ ．15．已知正数x ，y 满足2x +y ＝1，若不等式x 2﹣mxy +y ≥0恒成立，则实数m 的最大值是 ． 16．若函数f （x ）的定义域为R ，对任意的x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞2，且f （3）＝8，则不等式f （2x﹣1）＜4x 的解集是 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知函数f(x)=√3−x 1√x A ，集合B ＝{x |1﹣a ＜x ≤2a +4}（a ＞﹣1）．（1）若a ＝0，求A ∩B ，A ∪B ；（2）若命题“∀x ∈A ，x ∈B ”是真命题，求实数a 的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝ax2+（a﹣1）x+2﹣a．（1）若关于x的不等式f（x）≥0的解集为[m，1]，求实数a，m的值；（2）若关于x的不等式f（x）＜1的解集为∅，求实数a的取值范围．19．（12分）阅读：序数属性是自然数的基本属性之一，它反映了记数的顺序性，回答了“第几个”的问题．在教材中有如下顺序公理：①如果a＞b，b＞c，那么a＞c；②如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc．（1）请运用上述公理①②证明：“如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd．”（2）求证：|(yx+xy+1)(yx+xy)|≥2．20．（12分）某地区上年度电价为0.8元/（kW•h），年用电量为akW•h，本年度计划将电价下降到0.55元/（kW•h）至0.75元/（kW•h）之间，而用户期望电价为0.4元/（kW•h）．经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为k）．该地区的电力成本价为0.3元/（kW•h）．记本年度电价下调后电力部门的收益为y（单位：元），实际电价为x（单位：元/（kW•h））．（收益＝实际电量×（实际电价﹣成本价））（1）当k＝0.2a时，实际电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？（2）当k＝0.4a时，求收益y的最小值．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax，g（x）＝x﹣1．（1）当a＝1时，∀x∈R，用M（x）表示f（x），g（x）中的较大者，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}，求M（x）的最小值；（2）若不等式|f（x1）﹣g（x1）|＜|f（x2）﹣g（x2）|对任意x1，x2∈[1，2]（x1＜x2）恒成立，求实数a 的取值范围．22．（12分）已知二次函数y＝f（x）的图象经过点（0，﹣3），且f（x+1）＝f（1﹣x），方程f（x）+4＝0有两个相等的实根．（1）求y＝f（x）的解析式；（2）设g(x)=f(x)+4x(x＞0)，①判断函数g（x）的单调性，并证明；②已知m∈R，求函数y=x2+1x2−|g(x)+2−m|的最小值h（m）．2022-2023学年江苏省苏州市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2}，则∁U（A∪B）＝（）A．{﹣2，3}B．{﹣2，2，3}C．{﹣2，﹣1，0，3}D．{﹣2，﹣1，0，2，3}解：集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2}，则A∪B＝{﹣1，0，1，2}，则∁U（A∪B）＝{﹣2，3}，故选：A．2．命题“存在一个素数，它的平方是偶数”的否定是（）A．任意一个素数，它的平方是偶数B．任意一个素数，它的平方不是偶数C．存在一个素数，它的平方是素数D．存在一个素数，它的平方不是偶数解：“存在一个素数，它的平方是偶数”的否定是“任意一个素数，它的平方不是偶数”．故选：B．3．若集合A的子集个数有4个，则集合A中的元素个数是（）A．2B．4C．8D．16解：设集合A中的元素个数是n，则2n＝4，解得n＝2．故选：A．4．已知f（x）是定义在R上的增函数，则（）A．函数f（x）+f（﹣x）为奇函数，且在R上单调递增B．函数f（x）+f（﹣x）为偶函数，且在R上单调递减C．函数f（x）﹣f（﹣x）为奇函数，且在R上单调递增D．函数f（x）﹣f（﹣x）为偶函数，且在R上单调递减解：不妨令F（x）＝f（x）+f（﹣x），则F（﹣x）＝f（﹣x）+f（x）＝F（x），且F（x）的定义域为R，故F（x）＝f（x）+f（﹣x）为偶函数，则F（x）的图像关于y轴对称，则F（x）不可能在R上单调，故AB错误；令H（x）＝f（x）﹣f（﹣x），则H（﹣x）＝f（﹣x）﹣f（x）＝﹣H（x），且H（x）的定义域为R，故H（x）是奇函数，因为f（x）是定义在R上的增函数，所以由复合函数单调性可知，f（﹣x）在R上是减函数，故H（x）＝f（x）﹣f（﹣x）在R上是增函数，故C正确，D错误．故选：C．5．已知幂函数f（x）＝（2m2﹣5m+3）x m为偶函数，则关于函数g(x)=f(x)f(x)+1的下列四个结论中正确的是（）A．g（x）的图象关于原点对称B．g（x）的值域为[0，1]C．g（x）在（0，+∞）上单调递减D．g(x)+g(1x)=1解：因为f（x）＝（2m2﹣5m+3）x m是幂函数，所以2m2﹣5m+3＝1，解得m＝2或m=1 2，又f（x）是偶函数，所以m＝2，故f（x）＝x2，故g(x)=f(x)f(x)+1=x2x2+1，对于A；g（﹣x）＝g（x），故g（x）是偶函数，图象关于y轴对称，故A错误，对于B；g(x)=x2x2+1=1−1x2+1，由于x2+1≥1，所以0＜1x2+1≤1，故g（x）∈[0，1），故值域为[0，1），故B错误，对于C；g(x)=1−1x2+1，由于y＝x2+1在（0，+∞）单调递增，故y1=1x2+1在（0，+∞）单调递减，故g（x）在（0，+∞）递增，故C错误，对于D；g(1x)=(1x)2(1x)2+1=1x2+1，从而g(x)+g(1x)=1x2+1+x2x2+1=1，故D正确，故选：D．6．若函数f（x）＝|x﹣a|+b在区间[﹣1，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（）A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关解：因为f （x +2a ）＝|x +a |+b ，f （﹣x ）＝|﹣x ﹣a |+b ＝|x +a |+b ， 所以f （x +2a ）＝f （﹣x ），所以函数f （x ）关于x ＝a 对称，f(x)=|x −a|+b ={x −a +b ，x ≥a −x +a +b ，x ＜a ，当a ≥1时，M ＝f （﹣1）＝a +b +1，m ＝f （1）＝a +b ﹣1， 则M ﹣m ＝2，与a 无关，与b 无关，当a ≤﹣1时，M ＝f （1）＝﹣a +b +1，m ＝f （﹣1）＝﹣a +b ﹣1， 则M ﹣m ＝2，与a 无关，与b 无关，当﹣1＜a ＜0时，M ＝f （1）＝1﹣a +b ，m ＝f （a ）＝b ， 则M ﹣m ＝1﹣a ，与a 有关，与b 无关，当0≤a ＜1时，M ＝f （﹣1）＝1+a +b ，m ＝f （a ）＝b ， 则M ﹣m ＝1+a ，与a 有关，与b 无关， 综上所述M ﹣m 与a 有关，但与b 无关． 故选：B ．7．已知函数y ＝f （x ）的图象关于点P （a ，b ）成中心对称图形的充要条件是函数y ＝f （x +a ）﹣b 为奇函数．利用该结论，则函数f （x ）＝2x 3﹣3x 2图象的对称中心是（ ） A ．（1，﹣1）B ．（﹣1，1）C ．(12，−12)D ．(−12，12)解：设f （x ）的图象关于点P （a ，b ），令g （x ）＝f （x +a ）﹣b ，则g （x ）＝2（x +a ）3﹣3（x +a ）2﹣b ＝2x 3+（6a ﹣3）x 2+（6a 2﹣6a ）x +2a 3﹣3a 2﹣b ，g （﹣x ）＝﹣2x 3+（6a ﹣3）x 2﹣（6a 2﹣6a ）x +2a 3﹣3a 2﹣b ， 由g （x ）为奇函数，故g （x ）+g （﹣x ）＝0，即2x 3+（6a ﹣3）x 2+（6a 2﹣6a ）x +2a 3﹣3a 2﹣b +[﹣2x 3+（6a ﹣3）x 2﹣（6a 2﹣6a ）x +2a 3﹣3a 2﹣b ]＝0， 化简得2（6a ﹣3）x 2+2（2a 3﹣3a 2﹣b ）＝0， 故6a ﹣3＝0且2a 3﹣3a 2﹣b ＝0， 解得a =12，b =−12，故f （x ）对称中心为(12，−12)， 故选：C ．8．若将有限集合A 的元素个数记为card （A ），对于集合M ＝{x |x 2﹣（a +3）x +3a ＜0，x ∈Z }，N ＝{x |x 2﹣5x+4≤0，x∈Z}，下列说法正确的是（）A．若a＝1，则card（M∪N）+card（M∩N）＝4B．若card（M∩N）＝1，则a≥4或a≤2C．若card（M∪N）＝4，则0≤a≤5D．存在实数a，使得card（M∩N）＝card（M）+card（N）解：解x2﹣5x+4≤0得1≤x≤4，所以N＝{x|x2﹣5x+4≤0，x∈Z}＝{1，2，3，4}，对于A：当a＝1时x2﹣4x+3＜0，即（x﹣3）（x﹣1）＜0，解得1＜x＜3，所以M＝{x|x2﹣（a+3）x+3a＜0，x∈Z}＝M＝{x|1＜x＜3，x∈Z}＝{2}，所以M∪N＝{1，2，3，4}，M∩N＝{2}，所以card（M∪N）+card（M∩N）＝5，故A错误；由x2﹣（a+3）x+3a＜0，即（x﹣3）（x﹣a）＜0，当a＞3时解得3＜x＜a，当a＝3时解得x∈∅，当a＜3时解得a＜x＜3，即当a＞3时M＝{x|3＜x＜a，x∈Z}，当a＝3时M＝∅，当a＜3时M＝{x|a＜x＜3，x∈Z}，对于B：若card（M∩N）＝1，若a＜3则M＝{x|a＜x＜3，x∈Z}，则M＝{2}，此时1≤a＜2，若a＞3则M＝{x|3＜x＜a，x∈Z}，则M＝{4}，此时a＞4，综上可得a＞4或1≤a＜2，故B错误；，解得3＜a≤5，对于C：若card（M∪N）＝4，当a＝3时显然满足，当a＞3时则{a＞3a≤5，解得0≤a＜3，当a＜3时则{a＜3a≥0综上可得0≤a≤5，故C正确；对于D：因为card（N）＝4，card（M∩N）≤card（N）＝4，若card（M∩N）＝card（M）+card（N），则card（M∩N）＝4，此时card（M）＝0，即M＝∅，则M∩N＝∅，与card（M∩N）＝4矛盾，故D错误；故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列命题为真命题的是（）A．A∩B≠∅是A⊆B的必要不充分条件B．x或y为有理数是xy为有理数的既不充分又不必要条件C．A∪B＝A是B⊆A的充分不必要条件D．a2+b2+c2＝ab+bc+ca的充要条件是a＝b＝c解：选项A ，必要性：A ⊆B ，当A ＝∅时，此时A ∩B ＝∅，该选项错误；选项B ，x ，y 中有一个数为有理数时，xy 不一定为有理数（如：1×√2=√2），所以x 或y 为有理数不一定能推导出xy 为有理数；xy 为有理数时，x ，y 可能均为无理数（如：√2×√2=2），所以，此时xy 为有理数不一定能推导出x 或y 为有理数，所以该选项正确； 选项D ，必要性：a 2+b 2+c 2＝ab +bc +ca ，所以（a 2+c 2）+（b 2+c 2）+（a 2+c 2）＝2ab +2bc +2ca ， 即（a ﹣c ）2+（b ﹣c ）2+（a ﹣b ）2＝0，所以a ＝b ＝c ； 充分性：a ＝b ＝c ，则a 2+b 2+c 2＝3a 2＝ab +bc +ac ，该选项正确．选项C ，充分性：A ∪B ＝A ⇒B ⊆A ，必要性：B ⊆A ⇒A ∪B ＝A ，应为充要条件，所以该选项错误； 故选：BD ．10．函数f （x ）满足条件：①对于定义域内任意不相等的实数a ，b 恒有f(a)−f(b)a−b＜0；②对于定义域内的任意两个不相等的实数x 1，x 2都有f(x 1+x 22)＜f(x 1)+f(x 2)2成立，则称其为G 函数．下列函数为G 函数的是（ ） A ．f （x ）＝﹣x +1 B ．f （x ）=1x，x ＞0C ．f （x ）=−√xD ．f （x ）＝﹣x 2+4x ﹣3，x ＜2解：对于定义域内任意不相等的实数a ，b 恒有f(a)−f(b)a−b＜0，所以 f （x ）是减函数；若对于定义域内的任意两个实数x 1，x 2都有f(x 1+x 22)＜f(x 1)+f(x 2)2成立，f （x ）是下凹函数． A 选项中，f （x ）＝﹣x +1是减函数，且f(x 1+x 22)=f(x 1)+f(x 2)2，故不满足条件，不是G 函数； B 选项中，f(x)=1x，x ＞0是减函数，图象下凹，f(x 1+x 22)＜f(x 1)+f(x 2)2，是G 函数； C 选项中，f(x)=−√x 是减函数，图象下凹，f(x 1+x 22)＜f(x 1)+f(x 2)2，是G 函数； D 选项中，f （x ）＝﹣x 2+4x ﹣3，x ＜2是增函数，不是G 函数．故选：BC ．11．函数f （x ）={a−1x+2，−2＜x ＜0，(x −a)2−1，x ≥0是定义在（﹣2，+∞）上的函数，则（ ）A ．若a ＝﹣1，则函数y ＝f （x ）的值域为[0，+∞）B ．若a ＝﹣1，则函数y ＝f （x ）的值域为（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞）C ．若函数y ＝f （x ）单调递增，则a 的取值范围是（﹣∞，0]D ．若函数y ＝f （x ）单调递增，则a 的取值范围是（﹣∞，−12]解：若a ＝﹣1，则函数f （x ）={−2x+2，−2＜x ＜0(x +1)2−1，x ≥0，当﹣2＜x ＜0时，0＜x +2＜2，2x+2＞1，则−2x+2＜−1，当x ≥0时，f （x ）≥f （0）＝0，所以f （x ）∈（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞），故A 错误B 正确； 若函数y ＝f （x ）单调递增，则{a −1＜0a ≤0a 2−1≥a−12，解得a ≤−12，所以a 的取值范围是（−∞，−12]，故C错误，D 正确． 故选：BD ．12．下列说法正确的是（ ）A ．函数u ＝t 2，t ∈（﹣∞，+∞）与函数x ＝y 2，y ∈（﹣∞，+∞）是同一个函数B．直线x＝a与函数y＝f（x）的图象至多有一个公共点C．满足“值域相同，对应关系相同，但定义域不同”的函数组不存在D．满足“定义域相同，值域相同，但对应关系不同”的函数有无数个解：对于A；函数的对应关系，定义域相同，故为同一个函数，A正确，对于B；根据函数的定义，对于定义域内任意的自变量x，都有唯一确定的y与之对应，故直线x＝a与函数y＝f（x）的图象至多有一个公共点，B正确，对于C；如f（x）＝x2，x∈[0，1]，g（x）＝x2，x∈[﹣1，0]，两函数的值域均为[0，1]，对应关系相同，但定义域不同，故C错误，对于D；例如对任意的一次函数y＝kx+b，k≠0，定义域值域均为R，但对应关系不同，故D正确，故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若2＜a＜3，1＜b＜2，则2a﹣b的取值范围是（2，5）．解：∵2＜a＜3，∴4＜2a＜6①，又∵1＜b＜2，∴﹣2＜﹣b＜﹣1②，①+②可得2＜2a﹣b＜5，即2a﹣b的取值范围是（2，5）．故答案为：（2，5）．14．若函数f(x)={x2+4x，x≤0−x2+ax，x＞0为奇函数，则f（a﹣1）＝3．解：因为f（x）是奇函数，所以f（﹣1）＝﹣f（1），即（﹣1）2﹣4＝﹣（﹣12+a），解得a＝4，故f（a﹣1）＝f（3）＝﹣32+4×3＝3．故答案为：3．15．已知正数x，y满足2x+y＝1，若不等式x2﹣mxy+y≥0恒成立，则实数m的最大值是4．解：∵x＞0，y＞0，由x2﹣mxy+y≥0恒成立得m≤xy+1x恒成立，即求xy+1x的最小值，又xy +1x=1−y2y+1x=12y+1x−12=(12y+1x)(2x+y)−12=xy+yx+2≥2√xy⋅yx+2=4，当且仅当{xy =yx2x+y=1，即x=y=13时等号成立，∴x y+1x的最小值为4，∴m ≤4，即实数m 的最大值是4． 故答案为：4．16．若函数f （x ）的定义域为R ，对任意的x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞2，且f （3）＝8，则不等式f （2x﹣1）＜4x 的解集是 （﹣∞，2） ． 解：函数f （x ）的定义域为R ，且f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞2，设x 1＞x 2，则f （x 1）﹣f （x 2）＞2（x 1﹣x 2）⇒f （x 1）﹣2x 1＞f （x 2）﹣2x 2， 令g （x ）＝f （x ）﹣2x ，则g （x 1）＞g （x 2），又x 1＞x 2， 所以函数g （x ）在R 上单调递增．不等式f （2x ﹣1）＜4x 可变为f （2x ﹣1）﹣2（2x ﹣1）＜2， 又f （3）＝8，所以f （3）﹣2×3＝8﹣6＝2，所以f （2x ﹣1）﹣2（2x ﹣1）＜f （3）﹣2×3，即g （2x ﹣1）＜g （3）， 有误函数g （x ）在R 上单调递增，所以2x ﹣1＜3，解得x ＜2， 所以不等式f （2x ﹣1）＜4x 的解集是（﹣∞，2）． 故答案为：（﹣∞，2）．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知函数f(x)=√3−x 1√x A ，集合B ＝{x |1﹣a ＜x ≤2a +4}（a ＞﹣1）．（1）若a ＝0，求A ∩B ，A ∪B ；（2）若命题“∀x ∈A ，x ∈B ”是真命题，求实数a 的取值范围． 解：（1）由题意得{3−x ≥0x ＞0，解得0＜x ≤3，故A ＝（0，3]，若a ＝0，则B ＝（1，4]，∴A ∩B ＝（1，3]，A ∪B ＝（0，4]； （2）由（1）得A ＝（0，3]，若命题“∀x ∈A ，x ∈B ”是真命题，则A ⊆B ， ∴{a ＞−11−a ≤02a +4≥3，解得a ≥1，故实数a 的取值范围是{a |a ≥1}．18．（12分）已知函数f （x ）＝ax 2+（a ﹣1）x +2﹣a ．（1）若关于x 的不等式f （x ）≥0的解集为[m ，1]，求实数a ，m 的值；（2）若关于x 的不等式f （x ）＜1的解集为∅，求实数a 的取值范围． 解：（1）∵不等式ax 2+（a ﹣1）x +2﹣a ≥0的解集为[m ，1]，∴a ＜0且方程ax 2+（a ﹣1）x +2﹣a ＝0的两不等根为m 和1（m ＜1）， 由韦达定理得m +1=−a−1a ，m ×1=2−aa ， 解得a ＝﹣1，m ＝﹣3；（2）∵关于x 的不等式f （x ）＜1的解集为∅， ∴当a ＝0时，不等式为﹣x +2＜1，解得x ＞1， 不等式的解集为{x |x ＞1}，不满足题意；当a ≠0时，ax 2+（a ﹣1）x +1﹣a ＜0的解集为∅， ∴{a ＞0Δ=(a −1)2−4a(1−a)≤0，解得15≤a ≤1，故实数a 的取值范围是{a |15≤a ≤1}．19．（12分）阅读：序数属性是自然数的基本属性之一，它反映了记数的顺序性，回答了“第几个”的问题．在教材中有如下顺序公理：①如果a ＞b ，b ＞c ，那么a ＞c ；②如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc ． （1）请运用上述公理①②证明：“如果a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，那么ac ＞bd ．” （2）求证：|(yx +xy +1)(yx +xy )|≥2． 证明：（1）∵a ＞b ＞0，且c ＞0， ∴ac ＞bc ＞0， 同理bc ＞bd ＞0， ∴ac ＞bd ； （2）法一：当x ，y 同号时，xy＞0，y x＞0，∴xy+y x≥2√x y ⋅y x=2．当x ，y 异号时，−xy ＞0，−yx ＞0， ∴(−xy )+(−yx )≥2√(−xy )⋅(−yx )=2， ∴xy +y x ≤−2．综上可知，xy+y x的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），∴xy +yx+1的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∴|xy+yx|≥2且|xy+yx+1|≥1，由（1）中的结论可知：|(xy+yx)(xy+yx+1)|=|xy+yx|⋅|xy+yx+1|≥2×1=2．法二：令m=xy，则关于m的函数F(m)=m+1m在区间（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）上单调递增，在（﹣1，0）和（0，1）上单调递减，所以F(m)=m+1m的值域为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．令t=xy+yx，则t的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），令函数g（t）＝t（t+1），则g（t）在（﹣∞，﹣2]上单调递减，在[2，+∞）上单调递增．所以函数g（t）的值域为[2，+∞），所以|g（t）|∈[2，+∞），故|(xy+yx)(xy+yx+1)|=|g(t)|≥2．法三：令m=xy，则(xy+yx)(xy+yx+1)=(m+1m)(m+1m+1)=m2+1m2+m+1m+2，令t=m+1m，则t的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），又m2+1m2=(m+1m)2−2=t2−2，所以m2+1m2+m+1m+2=t2+t．因为|t2+t|2﹣4＝（t2+t+2）（t2+t﹣2）＝（t2+t+2）（t﹣2）（t+1），当t≥2时，（t2+t+2）（t﹣2）（t+1）≥0；当t≤﹣2时，（t2+t+2）（t﹣2）（t+1）≥0．所以|t2+t|2≥4，又|t2+t|≥0，所以|t2+t|≥2，原命题即证．20．（12分）某地区上年度电价为0.8元/（kW•h），年用电量为akW•h，本年度计划将电价下降到0.55元/（kW•h）至0.75元/（kW•h）之间，而用户期望电价为0.4元/（kW•h）．经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为k）．该地区的电力成本价为0.3元/（kW•h）．记本年度电价下调后电力部门的收益为y（单位：元），实际电价为x（单位：元/（kW•h））．（收益＝实际电量×（实际电价﹣成本价））（1）当k＝0.2a时，实际电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？（2）当k＝0.4a时，求收益y的最小值．解：（1）由题意知，下调电价后新增用电量为kx−0.4，故电力部门的收益y =(kx−0.4+a)(x −0.3)，0.55≤x ≤0.75． （1）当k ＝0.2a 时，y =(0.2ax−0.4+a)(x −0.3)=a(0.2x−0.4+1)(x −0.3)． 由题意知a(0.2x−0.4+1)(x −0.3)≥a(0.8−0.3)×(1+20%)且0.55≤x ≤0.75， 化简得x 2﹣1.1x +0.3≥0， 解得x ≤0.5或x ≥0.6，又0.55≤x ≤0.75，∴0.6≤x ≤0.75，所以实际电价最低定为：0.6元/（kW •h ）时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%． （2）当k ＝0.4a 时，y =(0.4ax−0.4+a)(x −0.3)=a(0.4x−0.4+1)(x −0.3)， 令t ＝x ﹣0.4，∵0.55≤x ≤0.75，∴0.15≤t ≤0.35， ∵a ＞0，∴y =a(0.4t +1)(t +0.1)=a(0.04t+t +0.5)≥a(2√0.04+0.5)=0.9a ， 当且仅当t ＝0.2时取等号， 故收益y 的最小值0.9a ．21．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣2ax ，g （x ）＝x ﹣1．（1）当a ＝1时，∀x ∈R ，用M （x ）表示f （x ），g （x ）中的较大者，记为M （x ）＝max {f （x ），g （x ）}，求M （x ）的最小值；（2）若不等式|f （x 1）﹣g （x 1）|＜|f （x 2）﹣g （x 2）|对任意x 1，x 2∈[1，2]（x 1＜x 2）恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝x 2﹣2x ，则f （x ）﹣g （x ）＝x 2﹣3x +1， 由f(x)−g(x)=x 2−3x +1≥0⇒x ≤3−√52或x ≥3+√52，此时f （x ）≥g （x ）； f(x)−g(x)=x 2−3x +1＜0⇒3−√52x ＜3+√52，此时f （x ）＜g （x ）， 从而M(x)={x 2−2x ，x ∈(−∞，3−√52]∪[3+√52，+∞)x −1，x ∈(3−√52，3+√52)，结合一元二次函数和一次函数性质可知，M （x ）在(−∞3−√52)上单调递减，在[3−√52，+∞)单调递增， 从而M(x)min =M(3−√52)=1−√52， 故M （x ）的最小值为1−√52． （2）令F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）＝x 2﹣（2a +1）x +1，由|f （x 1）﹣g （x 1）|＜|f （x 2）﹣g （x 2）|对任意x 1，x 2∈[1，2]（x 1＜x 2）恒成立，即|F（x1）|＜|F（x2）|对任意x1，x2∈[1，2]（x1＜x2）恒成立，故y＝|F（x）|在[1，2]上单调递增，由二次函数性质可知，F（x）的图像开口向上，①若Δ＝[﹣（2a+1）]2﹣4≤0时，即−32≤a≤12时，F（x）≥0在R上恒成立，则若要y＝|F（x）|＝F（x）在[1，2]上单调递增，只需x=2a+12≤1即可，则−32≤a≤12；②若Δ＝[﹣（2a+1）]2﹣4＞0时，即a＜−32或a＞12时，令F（x）＝0，解得x=x3=2a+1−√4a2+4a−32，x=x4=2a+1+√4a2+4a−32，且x3＜x4，则由二次函数性质可知，y＝|F（x）|在（﹣∞，x3）和(2a+12，x4)上单调递减，在(x3，2a+12)和（x4，+∞）上单调递增，若要y＝|F（x）|在[1，2]上单调递增，则{x3=2a+1−√4a2+4a−32≤12a+12≥2或x4=2a+1+√4a2+4a−32≤1，解得a≥32或a＜−32，综上所述，实数a的取值范围为(−∞，12]∪[32，+∞)．22．（12分）已知二次函数y＝f（x）的图象经过点（0，﹣3），且f（x+1）＝f（1﹣x），方程f（x）+4＝0有两个相等的实根．（1）求y＝f（x）的解析式；（2）设g(x)=f(x)+4x(x＞0)，①判断函数g（x）的单调性，并证明；②已知m∈R，求函数y=x2+1x2−|g(x)+2−m|的最小值h（m）．解：（1）设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），则f（0）＝c＝﹣3，由f（x+1）＝f（1﹣x）得a（x+1）2+b（x+1）+c＝a（1﹣x）2+b（1﹣x）+c，化简得（2a+b）x＝0恒成立，则2a+b＝0，即b＝﹣2a，因为方程f（x）+4＝0有两个相等实根，即ax2﹣2ax+1＝0有两个相等实根，所以Δ＝4a2﹣4a＝0，可得a＝1，b＝﹣2．第21页（共21页） ∴f （x ）＝x 2﹣2x ﹣3．（2）g(x)=x 2−2x+1x =x +1x−2(x ＞0)， ①g （x ）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增．证明：任取x 1＞x 2＞0，则g(x 1)−g(x 2)=(x 1+1x 1−2)−(x 2+1x 2−2)=(x 1−x 2)+(1x 1−1x 2)=(x 1x 2−1)(x 1−x 2)x 1x 2• 当x 1＞x 2＞1时，x 1x 2＞1，x 1﹣x 2＞0，则g （x 1）﹣g （x 2）＞0，g （x ）在（1，+∞）单调递增； 当1＞x 1＞x 2＞0时，x 1x 2＜1，x 1﹣x 2＞0，则g （x 1）﹣g （x 2）＜0，g （x ）在（0，1）单调递减． 因此g （x ）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增．②令t =x +1x ，则x 2+1x 2=t 2−2． 因为x ＞0，所以x +1x ≥2，当且仅当x =1x，即x ＝1时取等号，所以t ≥2． 设φ（t ）＝t 2﹣2﹣|t ﹣m |，t ≥2，当m ≤2时，φ（t ）＝t 2﹣t +m ﹣2，φ（t ）在[2，+∞）上单调递增，∴h （m ）＝φ（2）＝m ，当m ＞2时，φ(t)={t 2−t +m −2，t ≥m t 2+t −m −2，2≤t ＜m， 当t ≥m 时，φ（t ）在[m ，+∞）上单调递增；当2≤t ＜m 时，φ（t ）在[2，m ）上单调递增， 所以φ（t ）在[2，+∞）上单调递增，∴h （m ）＝φ（2）＝4﹣m ，综上，h （m ）＝m 或4﹣m ．。

2020-2021学年江苏省苏州市吴中区八年级(上)期中数学试卷 解析版

2020-2021学年江苏省苏州市吴中区八年级(上)期中数学试卷 解析版

2020-2021学年江苏省苏州市吴中区、吴江区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把你认为正确的答案填在答题卷相应的位置上）1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列实数，，，0.101001，其中无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．下列各组数中互为相反数的一组是（）A．2与B．|﹣2|与C．﹣2与D．2与4．下列计算正确的是（）A．B．C．D．5．下列二次根式中，最简二次根式的是（）A．B．C．D．6．等腰三角形的顶角是80°，则它的底角是（）A．50°B．80°C．50°或80°D．20°或80°7．下列关于的说法中，错误的是（）A．是无理数B．2＜＜3C．5的平方根是D．是5的算术平方根8．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．a＝5，b＝12，c＝13C．（c+b）（c﹣b）＝a2D．a＝，b＝，c＝9．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'．若点B'恰好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C'的度数为（）A．18°B．20°C．24°D．28°10．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝50°，以下四个结论：①△ADC≌△ABE；②CD＝BE；③∠DOB＝50°；④点A在∠DOE的平分线上，其中结论正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案填在答题卷相应的横线上）11．﹣1的立方根是．12．小亮的体重为43.85kg，精确到0.1kg所得近似值为kg．13．使有意义的x的取值范围是．14．若最简二次根式与是同类二次根式，则a＝．15．等腰三角形的两边分别为7cm，3cm，则它的周长为cm．16．如图，在△ACB中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB、AC于点M、N，AC＝8，BC ＝4，则NC的长度为．17．一个正数的两个平方根为a+2和a﹣6，则这个数为．18．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，点E为AD边上一点，连接BD、CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若∠A＝60°，AB＝4，CE＝3，则BC的长为．三、解答题（本大题共10题，共76分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．求下列各式中的x的值：（1）x3+125＝0．（2）（x+1）2﹣25＝0．20．计算：（1）+﹣|﹣1|．（2）（﹣+）×．21．（1）若实数m、n满足等式|m﹣2|+＝0，求2m+3n的平方根；（2）已知y＝+﹣8，求的值．22．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C'；（2）四边形ABB'A'的周长为；（3）在直线l上找一点P，使P A+PB的长最短，则这个最短长度为．23．学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．请你设法帮小明算出旗杆的高度．24．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F．（1）求证：△EBO为等腰三角形；（2）若△AEF的周长为15，AB＝8，求AC的长度．25．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，E为对角线BD的中点，连接AE、CE．（l）求证：AE＝CE；（2）若AC＝8，BD＝10，求△ACE的面积．26．像＝2；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号．（1）；（2）．勤奋好学的小明发现：可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．（3）化简：．解：设x＝，易知，∴x＞0．由：x2＝3+＝2．解得x＝．即＝．请你解决下列问题：（1）2的有理化因式是；（2）化简：；（3）化简：．27．【探索发现】如图①，已知在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE相交于F．（1）线段AF与BC的数量关系是：AF BC（用＞，＜，＝填空）；（2）若∠ABC＝67.5°，试猜想线段AF与BD有何数量关系，并说明理由．【拓展应用】（3）如图②，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，已知∠BAC＝45°，∠C＝22.5°，AD＝，求△ABC的面积．28．某校机器人兴趣小组在如图所示的三角形场地上开展训练．已知：AB＝10，BC＝6，AC＝8；机器人从点C出发，沿着△ABC边按C→B→A→C的方向匀速移动到点C停止；机器人移动速度为每秒2个单位，移动至拐角处调整方向需要1秒（即在B、A处拐弯时分别用时1秒）．设机器人所用时间为t秒时，其所在位置用点P表示（机器人大小不计）．（1）点C到AB边的距离是；（2）是否存在这样的时刻，使△PBC为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．2020-2021学年江苏省苏州市吴中区、吴江区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．2．下列实数，，，0.101001，其中无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据无理数的定义即可判定选择项．【解答】解：是分数，属于有理数；0.101001是有限小数，属于有理数；无理数有，共2个．故选：B．3．下列各组数中互为相反数的一组是（）A．2与B．|﹣2|与C．﹣2与D．2与【分析】直接利用互为相反数的定义，分别分析得出答案．【解答】解：A、2与不是互为相反数，不合题意；B、|﹣2|与，两数相等，不是互为相反数，不合题意；C、﹣2与是互为相反数，符合题意；D、2与两数相等，不是互为相反数，不合题意；故选：C．4．下列计算正确的是（）A．B．C．D．【分析】直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：A、﹣，无法合并，故此选项错误；B、×＝，故此选项正确；C、（2）2＝22×（）2＝4×2＝8，故此选项错误；D、＝，故此选项错误；故选：B．5．下列二次根式中，最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】最简二次根式满足：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．【解答】解：A、中被开方数是分数，故不是最简二次根式；B、中被开方数是分数，故不是最简二次根式；C、中被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数或因式，故是最简二次根式；D、中含能开得尽方的因数，故不是最简二次根式；故选：C．6．等腰三角形的顶角是80°，则它的底角是（）A．50°B．80°C．50°或80°D．20°或80°【分析】根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可以求得其底角的度数．【解答】解：∵等腰三角形的顶角是80°，∴底角＝（180°﹣80°）÷2＝50°．故选：A．7．下列关于的说法中，错误的是（）A．是无理数B．2＜＜3C．5的平方根是D．是5的算术平方根【分析】根据无理数、算术平方根、平方根的定义以及无理数大小的估算法则解答．【解答】解：A、是无理数，本选项不符合题意；B、2＜＜3，本选项不符合题意；C、5的平方根是±，本选项符合题意；D、是5的算术平方根，本选项不符合题意；故选：C．8．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．a＝5，b＝12，c＝13C．（c+b）（c﹣b）＝a2D．a＝，b＝，c＝【分析】利用勾股定理逆定理和三角形内角和定理进行计算即可．【解答】解：A、∵∠C＝∠A+∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意；B、∵52+122＝132，则△ABC是直角三角形，故此选项不符合题意．C、∵（c+b）（c﹣b）＝a2，∴c2﹣b2＝a2，∴c2＝b2+a2，能是直角三角形，故此选项符合题意；D、（）2+（）2≠（）2，不能组成直角三角形，故此选项符合题意；故选：D．9．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'．若点B'恰好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C'的度数为（）A．18°B．20°C．24°D．28°【分析】由旋转的性质可得∠C＝∠C'，AB＝AB'，由等腰三角形的性质可得∠C＝∠CAB'，∠B＝∠AB'B，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解．【解答】解：∵AB'＝CB'，∴∠C＝∠CAB'，∴∠AB'B＝∠C+∠CAB'＝2∠C，∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，∴∠C＝∠C'，AB＝AB'，∴∠B＝∠AB'B＝2∠C，∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，∴3∠C＝180°﹣108°，∴∠C＝24°，∴∠C'＝∠C＝24°，故选：C．10．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝50°，以下四个结论：①△ADC≌△ABE；②CD＝BE；③∠DOB＝50°；④点A在∠DOE的平分线上，其中结论正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】证明△ADC≌△ABE（SAS），可得出CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，则得出∠DOB ＝50°，连接OA，过点A作AM⊥CD于点M，AN⊥BE于点N，证明△ABN≌△ADM （AAS），则可得出点A在∠DOE的平分线上．【解答】解：∵∠DAB＝∠CAE＝50°，∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，在△ADC与△ABE中，，∴△ADC≌△ABE（SAS），∴CD＝BE；故①，②正确；如图1，若AB与CD相交于点F，∵△ABE≌△ADC，∴∠ADC＝∠ABE，∵∠AFD＝∠CFB，∴∠DOB＝∠DAB＝50°．故③正确．如图2，连接OA，过点A作AM⊥CD于点M，AN⊥BE于点N，∴∠AMD＝∠ANB＝90°，∵△ABE≌△ADC，∴∠ABN＝∠ADM，在△ABN和△ADM中，，∴△ABN≌△ADM（AAS），∴AN＝AM，∴点A在∠DOE的平分线上．故④正确．故选：D．二．填空题（共8小题）11．﹣1的立方根是﹣1．【分析】直接利用立方根的定义计算．【解答】解：∵（﹣1）3＝﹣1∴﹣1的立方根是﹣1．12．小亮的体重为43.85kg，精确到0.1kg所得近似值为43.9kg．【分析】把百分位上的数字5进行四舍五入即可．【解答】解：43.85kg精确到0.1kg所得近似值为43.9kg．故答案为43.9．13．使有意义的x的取值范围是x≥2．【分析】当被开方数x﹣2为非负数时，二次根式才有意义，列不等式求解．【解答】解：根据二次根式的意义，得x﹣2≥0，解得x≥2．14．若最简二次根式与是同类二次根式，则a＝2．【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程求解．【解答】解：由题意，得7a﹣1＝6a+1，解得a＝2，故答案为：2．15．等腰三角形的两边分别为7cm，3cm，则它的周长为17cm．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为7cm和3cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当7cm为腰，3cm为底，此时周长＝7+7+3＝17（cm）；当7cm为底，3cm为腰，则3+3＜7无法构成三角形，故舍去．故其周长是17cm．故答案为：17．16．如图，在△ACB中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB、AC于点M、N，AC＝8，BC＝4，则NC的长度为3．【分析】连接BN，根据线段垂直平分线性质求出BN＝AN，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：连接BN，∵AB的垂直平分线交AB、AC于点M、N，∴AN＝BN，设NC＝x，则AN＝BN＝8﹣x，在Rt△BCN中，由勾股定理得：BN2＝BC2+CN2，即（8﹣x）2＝42+x2，解得：x＝3，即CN＝3，故答案为：3．17．一个正数的两个平方根为a+2和a﹣6，则这个数为16．【分析】由于正数的两个平方根应该互为相反数，由此即可列方程解出a．【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是a+2和a﹣6，∴a+2+a﹣6＝0，解得：a＝2，故a+2＝2+2＝4，则这个正数是：42＝16．故答案为：16．18．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，点E为AD边上一点，连接BD、CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若∠A＝60°，AB＝4，CE＝3，则BC的长为．【分析】连接AC交BD于点O，先证△ABD是等边三角形，得AB＝AD＝BD＝4，再证△ABC≌△ADC（SSS），可得∠BAO＝∠DAO＝30°，BO＝OD＝2，通过证明△EDF是等边三角形，可得DE＝EF＝DF＝1，由勾股定理可求OC，BC的长．【解答】解：如图，连接AC交BD于点O，∵AB＝AD＝4，BC＝DC，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝AD＝BD＝4，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAO＝∠DAO＝30°，BO＝OD＝2，∵CE∥AB，∴∠BAO＝∠ACE＝30°，∠CED＝∠BAD＝60°，∴∠DAO＝∠ACE＝30°，∴AE＝CE＝3，∴DE＝AD﹣AE＝4﹣3＝1，∵∠CED＝∠ADB＝60°，∴△EDF是等边三角形，∴DE＝EF＝DF＝1，∴CF＝CE﹣EF＝2，OF＝OD﹣DF＝1，∴OC＝＝＝，∴BC＝＝＝，故答案为：．三．解答题19．求下列各式中的x的值：（1）x3+125＝0．（2）（x+1）2﹣25＝0．【分析】（1）式子变形后，根据立方根的定义求解即可；（2）式子变形后，根据平方根的定义求解即可．【解答】解：（1）x3+125＝0，x3＝﹣125，x＝﹣5；（2）（x+1）2﹣25＝0，（x+1）2＝25，x+1＝±5，x＝4或x＝﹣6．20．计算：（1）+﹣|﹣1|．（2）（﹣+）×．【分析】（1）直接利用算术平方根以及绝对值的性质分别化简得出答案；（2）直接化简二次根式，再利用二次根式乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）原式＝﹣1+4﹣（﹣1）＝﹣1+4﹣+1＝3；（2）原式＝（3﹣2+）×＝2×＝4．21．（1）若实数m、n满足等式|m﹣2|+＝0，求2m+3n的平方根；（2）已知y＝+﹣8，求的值．【分析】（1）先由非负数的性质求出m＝2，n＝4，再把m、n的值代入2m+3n，然后根据平方根的定义求解即可；（2）根据二次根式的被开方数为非负数可得，据此可得x＝24，进而求出y 的值，再根据立方根的定义求解即可．【解答】解：（1）∵|m﹣2|+＝0，|m﹣2|≥0，，∴m﹣2＝0，n﹣4＝0，解得m＝2，n＝4，∴2m+3n＝4+12＝16，∴2m+3n的平方根为；（2）∵y＝+﹣8，∴，∴x＝24，y＝﹣8，∴．22．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C'；（2）四边形ABB'A'的周长为8+2；（3）在直线l上找一点P，使P A+PB的长最短，则这个最短长度为．【分析】（1）分别作出点A、B关于直线l的对称点，再与点C首尾顺次连接即可；（2）先利用勾股定理求出AB、A′B′的长度，再根据周长公式求解即可得出答案；（3）连接AB′，与直线l的交点即为所求，再利用勾股定理求解可得答案．【解答】解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求．（2）∵AB＝A′B′＝＝，∴四边形ABB'A'的周长2+2+6＝8+2，故答案为：8+2．（3）如图所示，点P即为所求，这个最短长度为＝，故答案为：．23．学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．请你设法帮小明算出旗杆的高度．【分析】根据旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设出旗杆的高度，再利用勾股定理解答即可．【解答】解：设旗杆的高为x米，则绳子长为x+1米，由勾股定理得，（x+1）2＝x2+52，解得，x＝12米．答：旗杆的高度是12米．24．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F．（1）求证：△EBO为等腰三角形；（2）若△AEF的周长为15，AB＝8，求AC的长度．【分析】（1）由BO平分∠ABC可得出∠ABO＝∠OBC，由EF∥BC，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠OBC＝∠EOB，进而可得出∠ABO＝∠EOB，再利用等角对等边可得出EB＝EO，即△EBO为等腰三角形；（2）同（1）可得出FO＝FC，由三角形的周长公式结合EB＝EO，FO＝FC可得出AB+AC ＝15，结合AB＝8即可求出AC的长．【解答】（1）证明：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠OBC．∵EF∥BC，∴∠OBC＝∠EOB，∴∠ABO＝∠EOB，∴EB＝EO，∴△EBO为等腰三角形；（2）解：同理，可知FO＝FC．∵△AEF的周长为15，∴AE+EF+AF＝AE+EO+FO+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝15，又∵AB＝8，∴AC＝15﹣8＝7．25．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，E为对角线BD的中点，连接AE、CE．（l）求证：AE＝CE；（2）若AC＝8，BD＝10，求△ACE的面积．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推知AE＝CE＝BD；（2）如图，过点E作EG⊥AC，根据等腰△AEC的性质和勾股定理求得EG的长度，然后结合三角形的面积公式解答即可．【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，E为对角线BD的中点，∴AE＝BD，CE＝BD，∴AE＝CE；（2）解：如图，过点E作EG⊥AC，由（1）知，AE＝CE＝BD，BD＝10，∴AE＝CE＝5．又∵EG⊥AC，∴AG＝CG＝AC．又∵AC＝8，∴AG＝CG＝4．在直角△ABE中，AE＝5，AG＝4，则由勾股定理知：EG＝＝3．∴S＝＝12．26．像＝2；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号．（1）；（2）．勤奋好学的小明发现：可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．（3）化简：．解：设x＝，易知，∴x＞0．由：x2＝3+＝2．解得x＝．即＝．请你解决下列问题：（1）2的有理化因式是2+3；（2）化简：；（3）化简：．【分析】（1）找出原式的有理化因式即可；（2）原式各式分母有理化，计算即可求出值；（3）设x＝﹣，判断出x小于0，将左右两边平方求出x的值即可．【解答】解：（1）2﹣3的有理化因式是2+3；故答案为：2+3；（2）原式＝++1+2﹣＝+3；（3）设x＝﹣，可得＜，即x＜0，由题意得：x2＝6﹣3+6+3﹣2＝12﹣6＝6，解得：x＝﹣，则原式＝﹣．27．【探索发现】如图①，已知在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE相交于F．（1）线段AF与BC的数量关系是：AF＝BC（用＞，＜，＝填空）；（2）若∠ABC＝67.5°，试猜想线段AF与BD有何数量关系，并说明理由．【拓展应用】（3）如图②，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，已知∠BAC＝45°，∠C＝22.5°，AD＝，求△ABC的面积．【分析】（1）先利用等角对等边得出EA＝EB，再判断出∠CAD＝∠CBE，进而判断出△AEF≌△BEC，即可得出结论；（2）先根据三角形的内角和求出∠C＝67.5°＝∠CBA，得出AC＝AB，进而判断出BD＝BC，即可得出结论；（3）先判断出△ACD≌△CDE，得出∠ECD＝∠ACD＝22.5°，进而得出∠AGC＝90°，再求出BC＝4，最后用三角形的面积公式，即可得出结论．【解答】解：（1）∵BE⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC＝90°，∵∠BAC＝45°，∴∠EBA＝90°﹣∠BAC＝45°＝∠EAB，∴EA＝EB，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°＝∠AEB，∵∠EF A＝∠DFB，∴∠CAD＝∠CBE，在△AEF和△BEC中，，∴△AEF≌△BEC（ASA），∴AF＝BC，故答案为：AF＝BC；（2）AF＝2BD，理由：在△ABE中，∠CAB＝45°，∠CBA＝67.5°，∴∠C＝67.5°，∴∠C＝∠CBA，∴AC＝AB，∵AD⊥BC，∴CD＝BD＝BC，由（1）知，AF＝BC，∴AF＝2BD；（3）如图②，延长AD至E，使DE＝DA，连接CE，延长AB与CE交于点Q，∵CD⊥AE，∴∠ADC＝∠CDE＝90°，在△ACD和△ECD中，，∴△ACD≌△CDE（SAS），∴∠ECD＝∠ACD＝22.5°，∴∠ECA＝∠BAC＝45°，∴∠AGC＝90°，∴AG⊥CE，由（2）知，BC＝2AD＝4，∴S△ABC＝BC•AD＝×4×2＝8．28．某校机器人兴趣小组在如图所示的三角形场地上开展训练．已知：AB＝10，BC＝6，AC＝8；机器人从点C出发，沿着△ABC边按C→B→A→C的方向匀速移动到点C停止；机器人移动速度为每秒2个单位，移动至拐角处调整方向需要1秒（即在B、A处拐弯时分别用时1秒）．设机器人所用时间为t秒时，其所在位置用点P表示（机器人大小不计）．（1）点C到AB边的距离是 4.8；（2）是否存在这样的时刻，使△PBC为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积公式解答即可；（2）根据等腰三角形的性质分四种情况解答即可．【解答】解：（1）∵AB＝10，BC＝6，AC＝8，∵62+82＝102，∴AB2＝BC2+AC2，∴△ABC是直角三角形，∴点C到AB边的距离＝；（2）使△PBC为等腰三角形时，P在AB上时，①BC＝BP，∵BP＝2（t﹣1）﹣6，∴2（t﹣1）﹣6＝6，解得：t＝7（s）；②CB＝CP，可得：，解得：t＝7.6（s）；③PB＝CP，2t﹣8＝，解得：t＝6.5（s）；当P在AC上，CB＝CP，8﹣[2（t﹣2）﹣16]＝6，解得：t＝11（s）．综上所述，t的值为7或7.6或6.5或11秒．故答案为：（1）4.8．。

2020-2021学年江苏省苏州市七年级(上)期末数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年江苏省苏州市七年级(上)期末数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年江苏省苏州市七年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.−2的相反数是()A. −2B. 2C. −12D. 122.若a>b，则则下列不等式一定成立的是()A. a>b+2B. a+1>b+1C. −a>−bD. |a|>|b|3.下列运算正确的是()A. 5a2−3a2=2B. 2x2+3x2=5x4C. 3a+2b=5abD. 7ab−6ba=ab4.当前，手机移动支付已经成为新型的消费方式，中国正在向无现金社会发展．下表是妈妈元旦当天的微信零钱支付明细：则元旦当天，妈妈微信零钱最终的收支情况是()微信转账−60.00扫二维码付款−105.00微信红包．+88.00便民菜站−23.00A. 收入88元B. 支出100元C. 收入100元D. 支出188元5.下列选项中说法错误的是()A. −a的次数与系数都是1B. 单项式−23ab的系数是−23C. 数字0是单项式D. 多项式x2+xyz2+y2的次数是46.如图，在立定跳远中，体育老师是这样测量运动员成绩的：用一块直角三角板的一边紧贴在起跳线上，另一边与拉直的皮尺重合．这样做的理由是()A. 过一点可以作无数条直线B. 过两点有且只有一条直线C. 两点之间，线段最短D. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7.《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱.问有多少人，物品的价格是多少？”设有x人，可列方程为()A. 8x−3=7x+4B. 8x+3=7x+4C. 8x−3=7x−4D. 8x+3=7x−48.如图，点A、O、B在一条直线上，∠1是锐角，则∠1的余角是()A. 12∠2−∠1 B. 12∠2−32∠1 C. 12(∠2−∠1) D. 13(∠1+∠2)9.如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…按照此规律下去，数字“2021”应落在()A. 射线OB上B. 射线OC上C. 射线OD上D. 射线OE上10.已知AB=2a(a>0)，下面四个选项中：①AC+BC=2a，②AB=2AC，③AC=BC，④AC=BC=a，能确定点C是线段AB中点的选项个数有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.网红和明星直播“带货”，成为当下重要的营销方式，数据显示，今年在淘宝“双十二”期间，全国共有60多个产业带的商家开启了超过一万场直播，直播成交商品超过8100000件．8100000这个数用科学记数法可表示为______．12.若∠α=35°，则∠α的补角为______度．13.已知代数式x−2y的值为5，则代数式14−x+2y的值为______．14.如图，数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a、b、c，则化简|a−b|−|c−a|=______．15.不等式4(x−1)<3x−2的正整数解为______ ．16.长方体纸盒的展开图如图所示，根据图中表示的数据，可知长方体的体积为______cm3．17.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD；OF平分∠COE，若∠AOC=82°，则∠BOF=______°.18.如图所示，点A，B，C是数轴上的三个点，其中AB=12，如果点P以每秒1个单位的速度从点A出发向右运动，那么经过______秒时，PC=2PB．三、解答题（本大题共10小题，共76.0分）19.计算：(1)8+(−10)+(−2)−(−5)；(2)(−2)÷1×(−3)+(−3)3．320.解方程：(1)9−3y=5y+5；(2)2x+13−x−24=1．21.解不等式组：{x−2(x−1)≥1x+13<x+3，并将其解集在数轴上表示出来．22.先化简再求值：4ab−[(a2+5ab−b2)−(a2+3ab−2b2)]，其中a、b满足|a+1|+(b−2)2=0．23.在如图所示的方格纸中，A，B，C为3个格点，点C在直线AB外，(1)借助格点，过C点画出AB的垂线m和平行线n；(2)指出(1)中直线m、n的位置关系为______．(3)连接AC和BC，若图中每个最小正方形的边长为1，则三角形ABC的面积是______．24.如图是由一些大小相同的5个小正方体组合成的简单几何体．(1)请在方格纸中用实线画出它的三个视图．(2)保持小正方体的个数不变，只改变小正方体的位置，摆放一个不同于上图的几何体，使得它的俯视图和左视图与你在方格纸中所画的一致，还有______种不同的摆放方法．25.补全下面的解题过程：如图，已知OC是∠AOB内部的一条射线，OD是∠AOB的平分线，∠AOC=2∠BOC，且∠BOC=40°，求∠COD的度数．解：∵∠AOC=2∠BOC，∠BOC=40°，∴∠AOC=______°.∴∠AOB=∠AOC+∠______=______°.∵OD平分∠AOB，∠______=______°.∴∠AOD=12∴∠COD=∠______−∠AOD=20°．26.如图，已知点C在直线AB上，点D、E分别是线段AC、CB的中点．(1)若点C在线段AB上，AC=6，CB=10.则线段DE的长度是______；(2)若点C为线段AB上任意一点，满足AC+CB=a，你能猜想出DE的长度吗？并说明理由．(3)若点C为线段AB外任意一点，AC=m，CB=n，则线段DE的长度是______．27.某学校要举办一次数学文化节活动，要求准备普通口罩、医用口罩、专业口罩三种口罩共1000个(每种口罩都要有)，其中医用口罩的单价比普通口罩的单价贵0.2元，买5个医用口罩和8个普通口罩共需要6.2元．(1)问医用口罩和普通口罩的单价分别是多少元？(2)若专业口罩市场上有三个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如下表：现在学校用3480元去购买这三种口罩，且普通口罩和专业口罩的数量是相同的，应该选择哪种级别的专业口罩比较合适？购买方案是什么？请说明理由．(3)若要求购买专业口罩的数量是普通口罩的一半，普通口罩和医用口罩单价不变，其中专业口罩单价为a元，在总数量不变的前提之下，无论这三种口罩的数量如何分配，总费用始终不变．求此时a的值和总费用．28.【阅读新知】如图①，射线OC在∠AOB内，图中共有三个角∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的2倍，则称射线OC是∠AOB的“巧线”．【理解运用】(1)∠AOB的角平分线______这个角的“巧线”；(填“是”或“不是”)(2)若∠AOB=90°，射线OC是∠AOB的“巧线”，则∠AOC的度数是______．【拓展提升】如图②，一副三角板如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器0°刻度线重合，边AP 与量角器180°刻度线重合，将三角板ABP绕量角器中心点P以每秒5°的速度顺时针方向旋转，当边PB与0°刻度线重合时停止运动，设三角板ABP的运动时间为t秒．(3)求t何值时，射线PB是∠CPD的“巧线”？(4)若三角板ABP按照原来方向旋转的同时，三角板PCD也绕点P以每秒2°的速度逆时针方向旋转，此时三角板ABP绕点P旋转的速度比原来每秒快了3°.当三角板ABP 停止旋转时，三角板PCD也停止旋转，问：在旋转过程中，是否存在某一时刻t，使三条射线PB、PC、PD中，其中一条恰好是以另两条组成的角的“巧线”？若存在，请直接写出t的值．若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：−2的相反数是：−(−2)=2，故选：B．根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号，求解即可．本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0.不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．2.【答案】B【解析】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．利用不等式的基本性质判断即可．解：A.由a>b不一定能得出a>b+2，故本选项不合题意；B.若a>b，则a+1>b+1，故本选项符合题意；C..若a>b，则−a<−b，故本选项不合题意；D.由a>b不一定能得出|a|>|b|，故本选项不合题意．故选：B．3.【答案】D【解析】解：A、合并同类项系数相加字母及指数不变，故A错误；B、合并同类项系数相加字母及指数不变，故B错误；C、不是同类项不能合并，故C错误；D、合并同类项系数相加字母及指数不变，故D正确；故选：D．根据合并同类项系数相加字母及指数不变，可得答案．本题考查了合并同类项，合并同类项系数相加字母及指数不变是解题关键，注意不是同类项不能合并．4.【答案】B【解析】解：−60−105+88−23=−100，所以元旦当天，妈妈微信零钱最终的收支情况是支出100元．故选：B．根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案．本题考查了正数和负数，确定相反意义的量是解题关键．5.【答案】A【解析】解：A、−a的系数为−1、次数为1，原说法错误，此选项符合题意；B、单项式−23ab的系数是−23，原说法正确，此选项不符合题意；C、数字0是单项式，原说法正确，此选项不符合题意；D、多项式x2+xyz2+y2的次数是1+1+2=4，原说法正确，此选项不符合题意；故选：A．根据单项式及其相关的概念、多项数的相关概念逐一判断可得．本题主要考查单项式、多项式，解题的关键是掌握单项式、多项式及有关概念．6.【答案】D【解析】解：他的跳远成绩是垂线段AB的长度．这样做的理由是直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．故选：D．由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则作出分析和判断．本题考查了垂线段最短性质的运用，解答此题的关键是熟练掌握由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则．7.【答案】A【解析】解：由题意可得，设有x人，可列方程为：8x−3=7x+4．故选：A．根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程，就可以解答本题．本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．8.【答案】C【解析】解：由图知：∠1+∠2=180°；∴12(∠1+∠2)=90°；∴90°−∠1=12(∠1+∠2)−∠1=12(∠2−∠1)．故选：C．由图知：∠1和∠2互补，可得∠1+∠2=180°，即12(∠1+∠2)=90°；而∠1的余角为90°−∠1，可将上式代入90°−∠1中，即可求得结果．此题综合考查余角与补角，难点在于将∠1+∠2=180°进行适当的变形，从而与∠1的余角产生联系．9.【答案】D【解析】解：由题可知，6个数字循环一次，∵2021÷6=336…5，∴2021落在OE上，故选：D．由题可知，6个数字循环一次，再由2021÷6=336…5，即可判断2021的位置．本题考查数字的变化规律，根据题意，找到数字的循环规律是解题的关键．10.【答案】A【解析】解：①AC+BC=2a，如图，∴点C不一定是AB中点；②AB=2AC，如图，点C可能在线段AB外，故不一定；③AC=BC，如图，可能三点不共线，故不一定；④AC=BC=a，如图，点C一定是AB中点，故选：A．先画出图形，再根据线段中点定义判断即可．本题考查了对线段中点定义的应用，注意：如果一个点把一条线段分成相等的两条线段，那么这个点就叫作这条线段的中点．11.【答案】8.1×106【解析】解：8100000=8.1×106．故答案为：8.1×106．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n 比原来的整数位数少1，据此判断即可．此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．12.【答案】145【解析】解：180°−35°=145°，则∠α的补角为145°，故答案为：145．根据两个角的和等于180°，则这两个角互补计算即可．本题考查的是余角和补角，若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补．13.【答案】9【解析】解：∵代数式x−2y的值为5，∴x−2y=5．∴14−x+2y=14−(x−2y)=14−5=9．故答案为：9．将代数式适当变形，利用整体代入的方法解答即可得出结论．本题主要考查了求代数式的值，将代数式适当变形利用整体代入的方法解答是解题的关键．14.【答案】b−c【解析】解：由数轴得，c>0，a<b<0，因而a−b<0，c−a>0，∴|a−b|−|c−a=b−a−c+a=b−c．故答案为：b−c．由数轴可知：c>0，a<b<0，所以可知：a−b<0，c−a>0，根据负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身可求值．此题考查了整式的加减运算，数轴，以及绝对值的意义，根据数轴提取有用的信息是解本题的关键．15.【答案】1【解析】解：不等式的解集是x<2，故不等式4(x−1)<3x−2的正整数解为1．故答案为：1．首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可．本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．16.【答案】192【解析】解：由题意得：长方体的长为8cm.宽为6cm，∴长方体的高=26−6−2×8=4cm，∴长方体的体积=6×8×4=192立方厘米，故答案为：192．根据长方体的平面展开图求出长方体的高，然后再根据长方体的体积公式计算即可．本题考查了列代数式，几何体的展开图，根据题目的已知并结合图形求出长方体的高是解题的关键．17.【答案】28.5【解析】解：∵∠BOD=∠AOC=82°，又∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=12∠BOD=12×82°=41°．∴∠COE=180°−∠DOE=180°−41°=139°，∵OF平分∠COE，∴∠EOF=12∠COE=12×139°=69.5°，∴∠BOF=∠EOF−∠BOF=69.5°−41°=28.5°．故答案是：28.5．根据对顶角相等求得∠BOD的度数，然后根据角的平分线的定义求得∠EOD的度数，则∠COE即可求得，再根据角平分线的定义求得∠EOF，最后根据∠BOF=∠EOF−∠BOF求解．本题考查了角平分线的定义，以及对顶角的性质，理解角平分线的定义是关键．18.【答案】20或383【解析】解：设经过t秒PC=2PB，由已知，经过t秒，点P在数轴上表示的数是−6+t．∴PC=|−6+t+2|=|t−4|，PB=|−6+t−6|=|t−12|．∵PC=2PB．∴|t−4|=2|t−12|．，解得：t=20或383．故答案为：20或383设经过t秒PC=2PB.由已知，经过t秒，点P在数轴上表示的数是−6+t.根据两点之间距离公式即可求出答案．本题考查一元一次方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．19.【答案】解：(1)原式=8−10−2+5=(8+5)+(−10−2)=13−12=1；(2)原式=−6×(−3)−27=18−27=−9．【解析】(1)减法转化为加法，再进一步计算即可；(2)先计算除法和后面的乘方，再计算乘法，最后计算减法即可．本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．20.【答案】解：(1)移项，可得：−3y−5y=5−9，合并同类项，可得：−8y=−4，系数化为1，可得：y=0.5．(2)去分母，可得：4(2x+1)−3(x−2)=12，去括号，可得：8x+4−3x+6=12，移项，可得：8x−3x=12−4−6，合并同类项，可得：5x=2，系数化为1，可得：x=0.4．【解析】(1)移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．(2)去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．21.【答案】解：由x−2(x−1)≥1，得：x≤1，<x+3，得：x>−4，由x+13则不等式组的解集为−4<x≤1，将解集表示在数轴上如下：【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．22.【答案】解：原式=4ab−(a2+5ab−b2)+(a2+3ab−2b2)=4ab−a2−5ab+b2+a2+3ab−2b2=2ab−b2，∵|a+1|+(b−2)2=0，∴a+1=0，b−2=0，∴a=−1，b=2．∴原式=2×(−1)×2−22=−4−4=−8．【解析】原式去括号合并得到最简结果，根据绝对值和偶次幂的非负性求出a和b的值，再把a与b的值代入计算即可求出值．本题考查了整式的加减−化简求值，涉及去括号法则，同类项的定义，合并同类项法则等知识，熟练掌握运算法则是解本题的关键．本题可先去小括号，也可先去中括号．23.【答案】m⊥n6【解析】解：(1)如图，直线m，直线n即为所求；(2)∵m⊥AB，n//AB，∴m⊥n，故答案为：m⊥n；×4×3=6，(3)S△ABC=12故答案为：6．(1)利用数形结合的思想以及垂线，平行线的定义作出图形即可；(2)利用垂线的判定方法解决问题；(3)根据三角形面积公式求解即可．本题考查作图−应用与设计作图，平行线的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握垂线，平行线的定义，属于中考常考题型．24.【答案】2【解析】解：(1)这个组合体的三视图如图所示：(2)重新摆放，使其左视图、俯视图与(1)中的相同，因此摆放的“第2个小正方体”可以在俯视图第一行的三个位置的其中之一，因此还有2种摆放，故答案为：2．(1)根据简单的组合体的三视图的画法，画出相应的图形即可；(2)在俯视图上相应的位置摆放“第2个”，结合左视图进行判断即可．本题考查简单组合体的三视图，掌握视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是解决问题的关键．25.【答案】80BOC120AOB60AOC【解析】解：∵∠AOC=2∠BOC，∠BOC=40°，∴∠AOC=80°，∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=120°，∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=12∠AOB=60°，∴∠COD=∠AOC−∠AOD=20°，故答案为：80，BOC，120，AOB，60，AOC．根据题目的已知条件先求出∠AOC，进而求出∠AOB，再根据角平分线的定义求出∠AOD 即可解答．本题考查了角的计算，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形去分析是解题的关键．26.【答案】812(n−m)或12(m−n)【解析】解：(1)∵点D、E分别是AC、BC的中点，∴DC=12AC=12×6=3，CE=12BC=12×10=5，∴DE=DC+CE=3+5=8，故答案为：8；(2)DE=12a.理由如下：∵点D、E分别是AC、BC的中点，∴DC=12AC，CE=12BC，∴DE=DC+CE=12(AC+CB)=12a；当C在BA的延长线上时，∵点D、E分别是AC、BC的中点，∴DC=12AC，CE=12BC，∴DE=CE−CD=12(BC−AC)=12(n−m)；当C在AB的延长线上时，∵点D、E分别是AC、BC的中点，∴DC=12AC，CE=12BC，∴DE=CD−CE=12(AC−BC)=12(m−n)，综上，DE=12(n−m)或12(m−n)．故答案为：12(n−m)或12(m−n)．(1)根据线段中点的定义得到DC=12AC=3，CE=12BC=5，然后利用DE=DC+CE进行计算；(2)根据线段中点的定义得到DC=12AC，CE=12BC，然后利用DE=DC+CE得到答案；(3)分两种情况：当C在BA的延长线上和当C在AB的延长线上，再根据线段中点的定义可得答案．本题考查了两点间的距离，利用线段的和差和线段中点的定义是解题关键．27.【答案】解：(1)设普通口罩单价为x元，医用口罩单价为(x+0.2)元，由题意得：5(x+0.2)+8x=6.2，解得：x=0.4，∴x+0.2=0.6，答：普通口罩单价为0.4元，医用口罩单价为0.6元；(2)设购买普通口罩y个，专业口罩y个，则医用口罩(1000−2y)个，①当选Ⅰ级口罩购买时，则0.4y+0.6(1000−2y)+2y=3480，解得：y=2400>1000，不合题意；②当选Ⅱ级口罩购买时，则0.4y+0.6(1000−2y)+5y=3480，则1000−2y=1000−2×686=−372<0，不合题意，当选Ⅲ级口罩购买时，则0.4y+0.6(1000−2y)+8y=3480，解得：y=400，1000−2y=1000−800=200，符合题意，∴购买普通口罩和专用口罩个400个，医用口罩200个；(3)设购买m个专业口罩，则购买普通口罩2m个，医用口罩(1000−3m)个，总费用为T 元，由题意得：T=0.4×2m+0.6(1000−3m)+am=0.8m+600−1.8m+am=(0.8+a−1.8)m+600，T与m无关，则0.8+a−1.8=0，解得：a=1，T=600，答：此时a的值为1，总费用为600元．【解析】(1)设普通口罩单价为x元，医用口罩单价为(x+0.2)元，根据买5个医用口罩和8个普通口罩共需要6.2元列出方程求解即可；(2)设购买普通口罩y个，专业口罩y个，则医用口罩(1000−2y)个，然后分购买Ⅰ级、Ⅱ级、Ⅲ级口罩的总费用=3480列方程，解方程取符合题意的值即可；(3)设购买m个专业口罩，则购买普通口罩2m个，医用口罩(1000−3m)个，总费用为T 元，由题意列出方程，根据总费用始终不变，求出a和T的值即可．本题考查一元一次方程的应用，关键是找出等量关系列出方程．28.【答案】是30°或45°或60°【解析】解：(1)如图，∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOB=2∠AOC，∴OC是∠AOB的“巧线”，故答案为：是；(2)∵∠AOB=90°，射线OC是∠AOB的“巧线”，∴∠AOC=13∠AOB，即∠AOC=30°，∠AOC=12∠AOB，即∠AOC=45°，∠AOC=23∠AOB，即∠AOC=60°，综上，∠AOC的度数是30°或45°或60°，故答案为：30°或45°或60°；(3)如图，由题意得，0≤t≤27，∠CPB=5t−75°，∠CPD=60°，∵射线PB是∠CPD的“巧线“，∴∠CPB=13∠CPD，即5t−75=20，t=19，∠CPB=12∠CPD，即5t−75=30，t=21，∠CPB=23∠CPD，即5t−75=40，t=23，综上，t的值是19或21或23；(4)由题意得0≤t≤1678，分三种情况：①PC在∠BPD内部，PC是∠BPD的巧线，∠BPC=75−10t，∠BPD=135−10t，故这种情况不存在；②PB在∠CPD内部，PB是∠CPD的巧线，∠BPC=10t−75，∠CPD=60°，∴∠BPC=13∠CPD，10t−75=20，t=9.5，∠BPC=12∠CPD，10t−75=30，t=10.5，∠BPC=23∠CPD，10t−75=40，t=11.5；③PD在∠CPB内部，PD是∠BPC的巧线，∠BPC=10t−75，∠CPD=60°，∴∠CPD=13∠BPC，60=13(10t−75)，t=25.5(舍去)，第21页，共22页∠CPD=12∠BPC，60=12(10t−75)，t=19.5(舍去)，∠CPD=23∠BPC，60=23(10t−75)，t=16.5；综上，t的值是9.5或10.5或11.5或16.5．(1)根据巧线的定义直接判断即可；(2)分三种情况计算即可；(3)用含t的式子表示∠CPD，再分三种情况计算即可；(4)由(3)的思路分情况解答即可．本题考查角的计算，根据题意列出方程是解题关键．第22页，共22页。

2020-2021学年江苏省扬州市高一(上)期末数学试卷 (解析版)

2020-2021学年江苏省扬州市高一(上)期末数学试卷 (解析版)

2020-2021学年江苏省扬州市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．设集合U＝{0，1，2，3}，A＝{0，1，3}，B＝{1，2}，则A∩（∁U B）＝（）A．{0，3}B．{1，3}C．{1}D．{0}2．命题“∃x∈R，x≤0”的否定是（）A．∀x∈R，x≤0B．∀x∈R，x＞0C．∃x∈R，x＜0D．∃x∈R，x＞0 3．已知，，则cosα＝（）A．B．C．D．4．若方程的解在区间[k，k+1]（k∈Z）内，则k的值是（）A．﹣1B．0C．1D．25．函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．6．设函数，将函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象，若g（x）为偶函数，则φ的最小值是（）A．B．C．D．7．计算器是如何计算sin x，cos x，e x，lnx，等函数值的？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如，，其中n!＝1×2×3×⋅⋅⋅×n．英国数学家泰勒（B．Taylor，1685﹣1731）发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的sin x和cos x的值也就越精确．运用上述思想，可得到cos1的近似值为（）A．0.50B．0.52C．0.54D．0.568．在必修第一册教材“8.2.1 几个函数模型的比较”一节的例2中，我们得到如下结论：当0＜x＜2或x＞4时，2x＞x2；当2＜x＜4时，2x＜x2，请比较a＝log43，，的大小关系（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a二、多项选择题（共4小题）.9．下列说法中，正确的有（）A．若a＜b＜0，则ab＞b2B．若a＞b＞0，则C．若对∀x∈（0，+∞），恒成立，则实数m的最大值为2D．若a＞0，b＞0，a+b＝1，则的最小值为410．如图，摩天轮的半径为40米，点O距地面的高度为50米，摩天轮按逆时针方向做匀速转动，每30分钟转一图，摩天轮上点P的起始位置在最低点处，下面的有关结论正确的有（）A．经过15分钟，点P首次到达最高点B．从第10分钟到第20分钟摩天轮上的点P距离地面的高度一直在升高C．若摩天轮转速减半，则其旋转一圈所需要的时间变为原来的倍D．在摩天轮转动的一圈内，有10分钟的时间点P距离地面超过70m11．设函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣m有四个零点，则实数m 可取（）A．﹣1B．1C．3D．512．对于任意两正数u，v（u＜v），记区间[u，v]上曲线下的曲边梯形（图中阴影部分）面积为L（u，v），并约定L（u，u）＝0和L（v，u）＝﹣L（u，v），且L（1，x）＝lnx，则下列命题中正确的有（）A．L（1，6）＝L（1，2）+L（1，3）B．L（1，uv）＝L（1，u）+L（u，uv）C．D．对正数u，h有三、填空题（共4小题）.13．已知幂函数f（x）＝xα图象过点，则f（9）＝．14．已知扇形的半径为6cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为．15．已知函数f（x）＝x|x|，则满足f（x）+f（3x﹣2）≥0的x的取值范围是．（用区间表示）16．定义域为R的函数F（x）＝2x可以表示为一个奇函数f（x）和一个偶函数g（x）的和，则f（x）＝；若关于x的不等式f（x）+a≥bF（﹣x）的解的最小值为1，其中a，b∈R，则a的取值范围是．四、解答题（本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算：（1）；（2）．18．已知关于x的不等式ax2+x+2≥0的解集为A．（1）当a＝0时，“x∈A”是“x∈{x|m﹣1≤x≤m+1，m∈R}”的必要条件，求m的取值范围；（2）若A＝R，求实数a的取值范围．19．已知函数，、分别为其图象上相邻的最高点、最低点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在上的单调区间和值域．20．现有三个条件：①对任意的x∈R都有f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣2；②不等式f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜2}；③函数y＝f（x）的图象过点（3，2）．请你在上述三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并求解（请将所选条件的序号填写在答题纸指定位置）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c，且满足_____（填所选条件的序号）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设g（x）＝f（x）﹣mx，若函数g（x）在区间[1，2]上的最小值为3，求实数m的值．21．某企业去年某产品的年销售量为1万只，每只销售价为10元，成本为8元．今年计划投入适当的广告费进行促销，预计年销售量P（万只）与投入广告费x（万元）之间的函数关系为，且当投入广告费为4万元时，销售量3.4万只．现每只产品的销售价为“原销售价”与“年平均每只产品所占广告费的”之和．（1）当投入广告费为1万元时，要使得该产品年利润不少于4.5万元，则m的最大值是多少？（2）若m＝3，则当投入多少万元广告费时，该产品可获最大年利润？22．若函数f（x）的图象关于点（a，b）中心对称，则对函数f（x）定义域中的任意x，恒有f（x）＝2b﹣f（2a﹣x）．如：函数f（x）的图象关于点（3，5）中心对称，则对函数f（x）定义域中的任意x，恒有f（x）＝10﹣f（6﹣x）．已知定义域为[0，2m+2]的函数f（x），其图象关于点（m+1，e）中心对称，且当x∈[0，m+1）时，f（x）＝e|x﹣m|，其中实数m＞﹣1，e为自然对数的底．（1）计算f（m+1）的值，并求函数f（x）在[0，2m+2]上的解析式；（2）设函数，对任意x1∈[0，2m+2]，总存在，使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数m的取值范围．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．设集合U＝{0，1，2，3}，A＝{0，1，3}，B＝{1，2}，则A∩（∁U B）＝（）A．{0，3}B．{1，3}C．{1}D．{0}解：∵集合U＝{0，1，2，3}，A＝{0，1，3}，B＝{1，2}，∴∁U B＝{0，3}，∴A∩（∁U B）＝{0，3}．故选：A．2．命题“∃x∈R，x≤0”的否定是（）A．∀x∈R，x≤0B．∀x∈R，x＞0C．∃x∈R，x＜0D．∃x∈R，x＞0解：因为特称命题的否定是全称命题，所以“∃x∈R，x≤0”的否定是：“∀x∈R，x＞0”．故选：B．3．已知，，则cosα＝（）A．B．C．D．解：因为，，∴sinα＝，∴cosα＝﹣＝﹣．故选：D．4．若方程的解在区间[k，k+1]（k∈Z）内，则k的值是（）A．﹣1B．0C．1D．2解：设f（x）＝，易知，f（0）＝0﹣1＝﹣1＜0，f（1）＝1﹣＞0，由零点定理知，f（x）在区间[0，1]内一定有零点，即方程一定有解．所以k的值是0，故选：B．5．函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．解：函数f（x）＝，则f（﹣x）＝＝＝f（x），可知f（x）是偶函数，排除A，B选项．当x＝时，f（）＝＞0，∴图象在x轴的上方．故选：C．6．设函数，将函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象，若g（x）为偶函数，则φ的最小值是（）A．B．C．D．解：函数，将函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）＝sin（2x+2φ﹣）的图象．若g（x）为偶函数，则2φ﹣＝kπ+，k∈Z，令k＝﹣1，求得φ的最小值为，故选：A．7．计算器是如何计算sin x，cos x，e x，lnx，等函数值的？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如，，其中n!＝1×2×3×⋅⋅⋅×n．英国数学家泰勒（B．Taylor，1685﹣1731）发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的sin x和cos x的值也就越精确．运用上述思想，可得到cos1的近似值为（）A．0.50B．0.52C．0.54D．0.56解：由题意可得，＝1﹣0.5+0.041﹣0.001+…≈0.54，故选：C．8．在必修第一册教材“8.2.1 几个函数模型的比较”一节的例2中，我们得到如下结论：当0＜x＜2或x＞4时，2x＞x2；当2＜x＜4时，2x＜x2，请比较a＝log43，，的大小关系（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a解：，，故b＞c因为，故，所以c＜a，因为，所以，故＝＝a，故b＞a，所以b＞a＞c．故选：B．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9．下列说法中，正确的有（）A．若a＜b＜0，则ab＞b2B．若a＞b＞0，则C．若对∀x∈（0，+∞），恒成立，则实数m的最大值为2D．若a＞0，b＞0，a+b＝1，则的最小值为4解：a＜b＜0，则ab﹣b2＝b（a﹣b）＞0，则ab＞b2，所以A正确；若a＞b＞0，则＝＜0，所以，所以B不正确；对∀x∈（0，+∞），≥2＝2≥m恒成立（当且仅当x＝1时取等号），则实数m的最大值为2，所以C正确；若a＞0，b＞0，a+b＝1，则＝（）（a+b）＝2+≥4，当且仅当a＝b＝1时取等号，所以的最小值为4，所以D正确；故选：ACD．10．如图，摩天轮的半径为40米，点O距地面的高度为50米，摩天轮按逆时针方向做匀速转动，每30分钟转一图，摩天轮上点P的起始位置在最低点处，下面的有关结论正确的有（）A．经过15分钟，点P首次到达最高点B．从第10分钟到第20分钟摩天轮上的点P距离地面的高度一直在升高C．若摩天轮转速减半，则其旋转一圈所需要的时间变为原来的倍D．在摩天轮转动的一圈内，有10分钟的时间点P距离地面超过70m解：由图形知，可以以点O在地面上的垂足为原点，OP所在直线为y轴，与OP垂直的向右的方向为x轴建立坐标系，设y＝A sin（ωx+φ）+k，x表示时间．由题意可得：A＝40，k＝50，T＝30，可得ω＝＝，因为P（0，10），可得10＝40sin（×0+φ）+50，解得sinφ＝﹣1，可得φ＝﹣，故有点P离地面的高度h＝40sin（x﹣）+50，A．经过15分钟，h＝40sin（×15﹣）+50＝90．点P首次到达最高点，故A正确；B．经过15分钟，点P首次到达最高点，再经过15分钟，点P到达最低点．故B错误；C．若摩天轮转速减半，则其周期变为原来的2倍，故C错误；D．令f（t）＞70，可得40sin（x﹣）+50＞70，化为：cos x＜﹣，可得2kπ+＜x＜2kπ+，k∈Z，解得30k+10＜x＜30k+20，k∈Z，可得20﹣10＝10，在摩天轮转动的一圈内，有10分钟的时间点P距离地面超过70m，故D正确．故选：AD．11．设函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣m有四个零点，则实数m可取（）A．﹣1B．1C．3D．5解：令g（x）＝0得f（x）＝m，做出f（x）的函数图象如图所示：∵函数f（x）的图象与y＝m有四个交点，∴m的取值范围为0＜m＜4．故选：BC．12．对于任意两正数u，v（u＜v），记区间[u，v]上曲线下的曲边梯形（图中阴影部分）面积为L（u，v），并约定L（u，u）＝0和L（v，u）＝﹣L（u，v），且L（1，x）＝lnx，则下列命题中正确的有（）A．L（1，6）＝L（1，2）+L（1，3）B．L（1，uv）＝L（1，u）+L（u，uv）C．D．对正数u，h有解：对于A，L（1，6）＝ln6＝ln2+ln3＝L（1，2）+L（1，3），则A对；对于B，对于区间[1，uv]＝[1，u]∪[u，uv]，[1，u]∩[u，uv]＝{u}，由题设得，L（1，uv）＝L（1，u）+L（u，uv），则B对；对于C，由于f（x）是向下凸函数，则C错；对于D，存在t∈（v，v+h），使得f（t）h＝L（v，v+h），t∈（v，v+h）⇒⇒⇒＜L（v，v+h）＜，则D对；故选：ABD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知幂函数f（x）＝xα图象过点，则f（9）＝81．解：∵幂函数f（x）＝xα图象过点，∴f（）＝＝2，解得α＝2，∴f（x）＝x2，∴f（9）＝92＝81．故答案为：81．14．已知扇形的半径为6cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为36cm2．解：由题意得，S＝＝＝36cm2，故答案为：36cm2．15．已知函数f（x）＝x|x|，则满足f（x）+f（3x﹣2）≥0的x的取值范围是．（用区间表示）解：f（﹣x）＝﹣f（x），且，则f（x）在R上单调递增，∴由f（x）+f（3x﹣2）≥0得，f（x）≥f（2﹣3x），∴x≥2﹣3x，解得，∴x的取值范围是：．故答案为：．16．定义域为R的函数F（x）＝2x可以表示为一个奇函数f（x）和一个偶函数g（x）的和，则f（x）＝；若关于x的不等式f（x）+a≥bF（﹣x）的解的最小值为1，其中a，b∈R，则a的取值范围是a≠﹣2．解：由题意可得f（x）+g（x）＝F（x）＝2x，①又f（﹣x）+g（﹣x）＝F（﹣x）＝2﹣x，即为﹣f（x）+g（x）＝2﹣x，②由①②解得f（x）＝（2x﹣2﹣x）；关于x的不等式f（x）+a≥bF（﹣x）即为（2x﹣2﹣x）+a≥b•2﹣x，整理可得2x﹣（1+2b）2﹣x+2a≥0，可令t＝2x，由x≥1可得t≥2，所以t﹣（1+2b）•+2a≥0，即t2+2at﹣（1+2b）≥0，由题意可得t2+2at﹣（1+2b）≥0的解的最小值为t＝2，所以△＝4a2+4（1+2b）＞0，即2b＞﹣1﹣a2，又4+4a﹣1﹣2b≥0，即有3+4a≥2b，则3+4a＞﹣1﹣a2，解得a≠﹣2．故答案为：f（x）＝（2x﹣2﹣x）；a≠﹣2．四、解答题（本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算：（1）；（2）．解：（1）原式＝；（2）原式＝．18．已知关于x的不等式ax2+x+2≥0的解集为A．（1）当a＝0时，“x∈A”是“x∈{x|m﹣1≤x≤m+1，m∈R}”的必要条件，求m的取值范围；（2）若A＝R，求实数a的取值范围．解：（1）当a＝0时，由x+2≥0，得x≥﹣2，所以A＝[﹣2，+∞），因为“x∈A”是“x∈{x|m﹣1≤x≤m+1，m∈R}”的必要条件，所以[m﹣1，m+1]⊆[﹣2，+∞），所以m﹣1≥﹣2，得m≥﹣1，故实数m的取值范围为[﹣1，+∞）．（2）1°当a＝0时，不等式即为x+2≥0，不符合题意．2°当a≠0时，因为ax2+x+2≥0的解集为R，所以，解得．综上，实数a的取值范围是．19．已知函数，、分别为其图象上相邻的最高点、最低点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在上的单调区间和值域．解：（1）因为f（x）图象上相邻两个最高点和最低点分别为，，所以A＝2，，解得T＝π；又，ω＞0，所以ω＝2，f（x）＝2sin（2x+φ）；又图象过点，所以，即；所以，k∈Z，即，k∈Z．又，所以，所以．（2）由，k∈Z，解得，k∈Z，所以f（x）的单调递增区间为，k∈Z；又，所以f（x）的单调递增区间为，同理f（x）的单调递减区间为．又，，，所以当时，f（x）值域为．20．现有三个条件：①对任意的x∈R都有f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣2；②不等式f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜2}；③函数y＝f（x）的图象过点（3，2）．请你在上述三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并求解（请将所选条件的序号填写在答题纸指定位置）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c，且满足_____（填所选条件的序号）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设g（x）＝f（x）﹣mx，若函数g（x）在区间[1，2]上的最小值为3，求实数m的值．解：（1）条件①：因为f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），所以f（x+1）﹣f（x）＝a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）＝2ax+a+b＝2x﹣2，即2（a﹣1）x+a+b+2＝0对任意的x恒成立，所以，解得，条件②：因为不等式f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜2}，所以，解得，且a＞0，条件③：函数y＝f（x）的图象过点（3，2），所以9a+3b+c＝2，若选择条件①②：则a＝1，b＝﹣3，c＝2，此时f（x）＝x2﹣3x+2；若选择条件①③：则a＝1，b＝﹣3，c＝2，此时f（x）＝x2﹣3x+2；若选择条件②③：则a＝1，b＝﹣3，c＝2，此时f（x）＝x2﹣3x+2．（2）由（1）知g（x）＝x2﹣（m+3）x+2，其对称轴为，①当，即m≤﹣1时，g（x）min＝g（1）＝3﹣（m+3）＝﹣m＝3，解得m＝﹣3，②当，即m≥1时，g（x）min＝g（2）＝6﹣（2m+6）＝﹣2m＝3，解得（舍），③当，即﹣1＜m＜1时，，无解．综上所述，所求实数m的值为﹣3．21．某企业去年某产品的年销售量为1万只，每只销售价为10元，成本为8元．今年计划投入适当的广告费进行促销，预计年销售量P（万只）与投入广告费x（万元）之间的函数关系为，且当投入广告费为4万元时，销售量3.4万只．现每只产品的销售价为“原销售价”与“年平均每只产品所占广告费的”之和．（1）当投入广告费为1万元时，要使得该产品年利润不少于4.5万元，则m的最大值是多少？（2）若m＝3，则当投入多少万元广告费时，该产品可获最大年利润？解：x＝4时，P＝3.4，∴，解得a＝4，故．（1）当投入广告费为1万元时，，销售价为，年利润，得m≤2，∴m的最大值为2．故要使得该产品年利润不少于4.5万元，则m的最大值是2；（2）当m＝3时，年利润＝，当且仅当，即x＝2时等号成立．故当投入2万元广告费时，该产品可获最大年利润．22．若函数f（x）的图象关于点（a，b）中心对称，则对函数f（x）定义域中的任意x，恒有f（x）＝2b﹣f（2a﹣x）．如：函数f（x）的图象关于点（3，5）中心对称，则对函数f（x）定义域中的任意x，恒有f（x）＝10﹣f（6﹣x）．已知定义域为[0，2m+2]的函数f（x），其图象关于点（m+1，e）中心对称，且当x∈[0，m+1）时，f（x）＝e|x﹣m|，其中实数m＞﹣1，e为自然对数的底．（1）计算f（m+1）的值，并求函数f（x）在[0，2m+2]上的解析式；（2）设函数，对任意x1∈[0，2m+2]，总存在，使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数m的取值范围．解：（1）因为f（x）图象关于点（m+1，e）中心对称，所以f（x）＝2e﹣f（2m+2﹣x），则f（m+1）＝2e﹣f（2m+2﹣m﹣1），即f（m+1）＝e．当x∈（m+1，2m+2]时，2m+2﹣x∈[0，m+1），则f（x）＝2e﹣f（2m+2﹣x）＝2e﹣e|m+2﹣x|．综上，f（x）＝．（2）设f（x）在区间[0，2m+2]上值域为A，在[（1﹣e）3，（e﹣1）3]的值域为B，则B＝[2e﹣e2，e2]．因为对任意x1∈[0，2m+2]，总存在，使得f（x1）＝g（x2）成立，所以A⊆B．①当﹣1＜m≤0时，．当0≤x≤m+1时，f（x）＝e x﹣m∈[e﹣m，e]，当m+1＜x≤2m+2时，f（x）＝2e﹣e m+2﹣x∈（e，2e﹣e﹣m]，所以f（x）值域为[e﹣m，2e﹣e﹣m]．又因为﹣1＜m≤0，所以2e﹣e2＜0＜e﹣m，2e﹣e﹣m＜2e＜e2，所以A⊆B，符合题意．②当m＞0时，函数f（x）在[0，m]上单调递减，在[m，m+1]上单调递增，又f（x）图象关于点（m+1，e）中心对称，所以f（x）在[0，m]和[m+2，2m+2]上单调递减，在[m，m+2]上单调递增，又f（0）＝e m，f（m）＝1，f（m+2）＝2e﹣1，f（2m+2）＝2e﹣e m，因为2e﹣e2≤1≤e2，2e﹣e2≤2e﹣1≤e2，所以要使得A⊆B，只需，解得m≤2．又m＞0，所以0＜m≤2．综上，m的取值范围是（﹣1，2]．。

2022-2023学年江苏省苏州市六校高一(上)期中数学试卷【答案版】

2022-2023学年江苏省苏州市六校高一(上)期中数学试卷【答案版】

2022-2023学年江苏省苏州市六校高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8题，每题5分，共40分）1．若集合A ＝{x |x ＜2}，B ＝{y |y =√x −1}，则A ∩B ＝（ ）A ．{x |1＜x ＜2}B ．{x |0＜x ＜2}C ．{x |1≤x ＜2}D ．{x |0≤x ＜2}2．已知全集U ＝{x ∈R |x ＜0}，M ＝{x |x ＜﹣1}，N ＝{x |﹣3＜x ＜0}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．{x |﹣3＜x ＜﹣1}B ．{x |﹣3＜x ＜0}C ．{x |﹣1≤x ＜0}D ．{x |﹣1＜x ＜0}3．已知a ，b ∈R ，则“ab ＝0”是“a 2+b 2＝0”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4．已知集合A ＝{0，1，2}，B ＝{1，2，3}，若M ⊆A 且M ⊆B ，则M 的个数为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．65．若x ＜1，则函数f （x ）＝x +2x−1的最大值为（ ）A ．2√2B ．﹣2√2C ．2√2+1D ．﹣2√2+16．若关于x 的不等式x 2﹣（m +3）x +3m ＜0的解集中恰有3个正整数，则实数m 的取值范围为（）A ．5＜m ≤6B ．5≤m ≤6C ．6＜m ≤7D ．6≤m ≤77．已知实数x ，y 满足﹣4≤x ﹣y ≤﹣1，﹣1≤4x ﹣y ≤5，则3x +y 的最大值为（ ）A ．8B ．9C ．16D ．188．已知正实数a ，b 满足a +b =52，则a 2a+1+2b 22b+1的最小值是（ ）A ．2B ．2516C ．3112D ．134二、多选题（本大题共4题，每题5分，共20分）9．已知全集U ＝Z ，集合A ＝{x |2x +1≥0，x ∈Z }，B ＝{﹣1，0，1，2}，则（ ）A ．A ∩B ＝{0，1，2} B ．A ∪B ＝{x |x ≥0}C ．（∁U A ）∩B ＝{﹣1}D ．A ∩B 的真子集个数是710．若不等式m ＜n 与1m ＞1n （m ，n 为实数）同时成立，则下列不等关系可能成立的是（ ）A ．m ＜n ＜0B ．0＜m ＜nC ．m ＜0＜nD ．mn ＜011．小王从甲地到乙地往返的速度分别为a 和b （a ＜b ），其全程的平均速度为v ，则（ ）A ．a ＜v ＜√abB ．v =√abC ．√ab ＜v ＜a+b 2D ．v =2ab a+b12．在整数集Z 中，被6除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{x |x ＝6n +k ，n ∈Z }，k ＝0，1，2，3，4，5，则（ ）A ．﹣5∈[5]B ．Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]∪[5]C ．“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a ﹣b ∈[0]”D ．“整数a ，b 满足a ∈[1]，b ∈[2]”是“a +b ∈[3]”的必要不充分条件三、填空题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．命题p ：∀x ＞0，x 2+1＞0的否定是 ．14．某班共40人，其中20人喜欢篮球运动，15人喜欢乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为 ．15．x 2﹣2x ﹣m ＜0在x ∈{x |1≤x ≤2}上有解的一个必要不充分条件可以是 ．16．实数x ，y 满足x 2﹣xy ＝1，则当x ＝ 时，y 2+3xy 的最小值为 ．四、解答题（本大题共6题，共70分）17．（10分）已知集合A ＝{x |a ﹣1≤x ≤2a +1}，B ＝{x |﹣2≤x ≤3}．在①A ∪B ＝B ；②“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件；③A ∩B ＝∅这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．（1）当a ＝2时，求∁R （A ∪B ）；（2）若____，求实数a 的取值范围．18．（12分）已知集合A ＝{x |2x+1x−1＜1}，B ＝{x |2x 2+（m ﹣2）x ﹣m ＜0}．（1）当m ＝1时，求A ∩B ；（2）x ∈A 是x ∈B 的必要条件，求m 的取值范围．19．（12分）已知x ＞0，y ＞0，2xy ＝x +4y ．（1）求xy 的最小值；（2）求x +y 的最小值．20．（12分）某企业开发了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产x 百件，需另投入成本c （x ）（单位：万元），当年产量不足30百件时，c （x ）＝10x 2+100x ；当年产量不小于30百件时，c （x ）＝501x +10000x−4500．若每百件电子产品的售价为500万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完．（1）求年利润y（万元）关于年产量x（百件）的函数关系式；（2）年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？21．（12分）设函数f（x）＝x2+ax﹣b（1）若不等式f（x）＜0的解集是{x|2＜x＜3}，求不等式bx2﹣ax+1≤0的解集；（2）当a+b＝3时，f（x）≥0对1≤x≤2上恒成立，求实数a的取值范围．22．（12分）定义：已知集合M＝{x|2a﹣3＜x＜2a}（a≥0），∀x∈M，ax2﹣（a2+a+2）x+2a+2＞0，则称ax2﹣（a2+a+2）x+2a+2＞0为“有界恒正不等式”．（1）当a＝4时，判断ax2﹣（a2+a+2）x+2a+2＞0是否为“有界恒正不等式”；（2）设ax2﹣（a2+a+2）x+2a+2＞0为“有界恒正不等式”，求a的取值范围．2022-2023学年江苏省苏州市六校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本大题共8题，每题5分，共40分）1．若集合A＝{x|x＜2}，B＝{y|y=√x−1}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|0＜x＜2}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0≤x＜2}解：∵集合A＝{x|x＜2}，B＝{y|y=√x−1}＝{y|y≥0}，∴A∩B＝{x|0≤x＜2}，故选：D．2．已知全集U＝{x∈R|x＜0}，M＝{x|x＜﹣1}，N＝{x|﹣3＜x＜0}，则图中阴影部分表示的集合是（）A．{x|﹣3＜x＜﹣1}B．{x|﹣3＜x＜0}C．{x|﹣1≤x＜0}D．{x|﹣1＜x＜0}解：由题可知，阴影部分表示的集合为N∩∁U M，因为全集U＝{x∈R|x＜0}，M＝{x|x＜﹣1}，N＝{x|﹣3＜x＜0}，则∁U M＝{x|﹣1≤x＜0}，则N∩∁U M＝{x|﹣1≤x＜0}，故选：C．3．已知a，b∈R，则“ab＝0”是“a2+b2＝0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件解：∵a2+b2＝0⇔a＝0且b＝0，ab＝0⇔a＝0或b＝0，∴“ab＝0”是“a2+b2＝0”的必要不充分条件．故选：B．4．已知集合A＝{0，1，2}，B＝{1，2，3}，若M⊆A且M⊆B，则M的个数为（）A．1B．3C．4D．6解：∵M⊆A且M⊆B，∴M ⊆（A ∩B ），∵A ＝{0，1，2}，B ＝{1，2，3}，∴A ∩B ＝{1，2}，∴M 的个数为22＝4．故选：C ．5．若x ＜1，则函数f （x ）＝x +2x−1的最大值为（ ）A ．2√2B ．﹣2√2C ．2√2+1D ．﹣2√2+1解：∵x ＜1，∴1﹣x ＞0，∴f （x ）＝x +2x−1=−[（1﹣x ）+21−x ]+1≤−2√(1−x)⋅21−x +1＝﹣2√2+1，当且仅当1﹣x =21−x ，即x ＝1−√2时等号成立，故函数f （x ）＝x +2x−1的最大值﹣2√2+1，故选：D ．6．若关于x 的不等式x 2﹣（m +3）x +3m ＜0的解集中恰有3个正整数，则实数m 的取值范围为（）A ．5＜m ≤6B ．5≤m ≤6C ．6＜m ≤7D ．6≤m ≤7解：关于x 的不等式x 2﹣（m +3）x +3m ＜0，可化为（x ﹣m ）（x ﹣3）＜0，该不等式的解集中恰有3个正整数，故不等式的解集为{x |3＜x ＜m }，且6＜m ≤7；故选：C ．7．已知实数x ，y 满足﹣4≤x ﹣y ≤﹣1，﹣1≤4x ﹣y ≤5，则3x +y 的最大值为（ ）A ．8B ．9C ．16D ．18解：实数x ，y 满足﹣4≤x ﹣y ≤﹣1，﹣1≤4x ﹣y ≤5的可行域如图：则3x +y 的最大值就是平移图中的直线，可知A 是最优解，由：{x −y =−44x −y =5，解得A （3，7），则3x +y 的最大值为：3×3+7＝16．故选：C ．8．已知正实数a ，b 满足a +b =52，则a 2a+1+2b 22b+1的最小值是（ ） A ．2 B ．2516 C ．3112 D ．134解：∵a +b =52，∴2a +2b ＝5，两边平方得：4a 2+4b 2＝25﹣8ab ，∵a +b =52，∴2a +2+2b +1＝8，∴a 2a+1+2b 22b+1=2a 22a+2+2b 22b+1=18(2a 22a+2+2b 22b+1)[(2a +2)+(2b +1)]=18[2a 2+2a 2(2b+1)2a+2+2b 2(2a+2)2b+1+2b 2]=18[252−4ab +2a 2(2b+1)2a+2+2b 2(2a+2)2b+1] ≥18(252−4ab +2√2a 2⋅2b 2)=18×(252−4ab +4ab) =2516，当且仅当2a 2(2b+1)2a+2=2b 2(2a+2)2b+1，即a =53，b =56时，等号成立， 故 a 2a+1+2b 22b+1的最小值的最小值为2516．故选：B ．二、多选题（本大题共4题，每题5分，共20分）9．已知全集U＝Z，集合A＝{x|2x+1≥0，x∈Z}，B＝{﹣1，0，1，2}，则（）A．A∩B＝{0，1，2}B．A∪B＝{x|x≥0}C．（∁U A）∩B＝{﹣1}D．A∩B的真子集个数是7解：集合A＝{x|2x+1≥0，x∈Z}＝{x|x≥−12，x∈Z}，B＝{﹣1，0，1，2}，所以A∩B＝{0，1，2}，故选项A正确；A∪B＝{x|x≥﹣1，x∈Z}，故选项B错误；∁U A＝{x|x＜−12，x∈Z}，所以（∁U A）∩B＝{﹣1}，故选项C正确；由A∩B＝{0，1，2}，则A∩B的真子集个数为23﹣1＝7，故选项D正确．故选：ACD．10．若不等式m＜n与1m ＞1n（m，n为实数）同时成立，则下列不等关系可能成立的是（）A．m＜n＜0B．0＜m＜n C．m＜0＜n D．mn＜0解：由与1m ＞1n，可得1m−1n=n−mmn＞0，又∵m＜n，∴n﹣m＞0，∴mn＞0，即m，n同号，∴m＜n＜0或0＜m＜n，故选：AB．11．小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b（a＜b），其全程的平均速度为v，则（）A．a＜v＜√ab B．v=√ab C．√ab＜v＜a+b2D．v=2aba+b解：根据题意，设甲、乙两地之间的距离为s，则全程所需的时间为sa +sb，则全程的平均速度v=2ssa+sb=2aba+b，D正确，又由b＞a＞0，由基本不等式可得√ab＜a+b2，则v=2aba+b2ab2√ab=√ab，同时v=2aba+b＜2(a+b2)2a+b=a+b2，v−a=2aba+b−a=ab−a2a+b＞a2−a2a+b=0，v＞a，则a＜v＜√ab，A正确，故选：AD．12．在整数集Z中，被6除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{x|x＝6n+k，n∈Z}，k＝0，1，2，3，4，5，则（）A．﹣5∈[5]B．Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]∪[5]C．“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a﹣b∈[0]”D．“整数a，b满足a∈[1]，b∈[2]”是“a+b∈[3]”的必要不充分条件解：因为﹣5＝6×（﹣1）+1，故﹣5∈[1]，故选项A不正确；选项B，[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]∪[5]＝{6n1|n1∈Z}∪{6n2+1|n2∈Z}∪{6n3+2|n3∈Z}∪{6n4+3|n4∈Z}∪{6n5+4|n5∈Z}∪{6n6+5|n6∈Z}＝Z，故选项B正确；选项C，若整数a，b属于同一“类”，则整数a，b被6除所得余数相同，从而a﹣b被6除所得余数为0，即a﹣b∈[0]；若a﹣b∈[0]，则a﹣b被6除所得余数为0，则整数a，b被6除所得余数相同，所以“整数a、b属于同一‘类’”的充要条件是“a﹣b∈[0]”，故选项C正确；选项D，若整数a，b满足a∈[1]，b∈[2]，则a＝6m+1，m∈Z，b＝6n+2，n∈Z，所以a+b＝6（m+n）+3，m+n∈Z，故a+b∈[3]；若a+b∈[3]，则可能有a∈[2]，b∈[1]，所以“整数a、b满足a∈[1]，b∈[2]是“a+b∈[3]”的充分不必要条件，故选项D错误．故选：BC．三、填空题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．命题p：∀x＞0，x2+1＞0的否定是∃x＞0，x2+1≤0．解：∀x＞0，x2+1＞0，则￢p为．∃x＞0，x2+1≤0．故答案为：∃x＞0，x2+1≤014．某班共40人，其中20人喜欢篮球运动，15人喜欢乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为17．解：因为共40人，有8人对这两项运动都不喜爱，则热爱这两项运动的有40﹣8＝32（人），因为15人喜欢乒乓球运动，20人喜欢篮球运动，则两项都喜欢的有15+20﹣32＝3（人）则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为20﹣3＝17（人），故答案为：17．15．x2﹣2x﹣m＜0在x∈{x|1≤x≤2}上有解的一个必要不充分条件可以是m＞﹣2（不唯一）．解：不等式x 2﹣2x ﹣m ＜0在[1，2]上有解，只需m ＞（x 2﹣2x ）min ，又因为函数x 2﹣2x ＝（x ﹣1）2﹣1在[1，2]上单调递增，所以当x ＝1时，（x 2﹣2x ）min ＝﹣1，所以m ＞﹣1，又因为{m |m ＞﹣1}⫋{m |m ＞﹣2}，所以m ＞﹣2是不等式x 2﹣2x ﹣m ＜0在x ∈{x |1≤x ≤2}上有解的一个必要不充分条件，故答案为：m ＞﹣2（不唯一）．16．实数x ，y 满足x 2﹣xy ＝1，则当x ＝ ±√22 时，y 2+3xy 的最小值为 ﹣1 ． 解：实数x 、y 满足x 2﹣xy ＝1，∴x ≠0，y =x 2−1x ， 则y 2+3xy =(x 2−1x )2+3x ⋅x 2−1x =x 2−2+1x 2+3x 2−3=4x 2+1x 2−5≥2√4x 2⋅1x 2−5＝﹣1， 当且仅当4x 2=1x 2，即x =±√22时取等号， ∴y 2+3xy 的最小值为﹣1．故答案为：±√22；﹣1．四、解答题（本大题共6题，共70分）17．（10分）已知集合A ＝{x |a ﹣1≤x ≤2a +1}，B ＝{x |﹣2≤x ≤3}．在①A ∪B ＝B ；②“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件；③A ∩B ＝∅这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．（1）当a ＝2时，求∁R （A ∪B ）；（2）若____，求实数a 的取值范围．解：（1）当a ＝2时，集合A ＝{x |1≤x ≤5}，B ＝{x |﹣2≤x ≤3}，∴A ∪B ＝{x |﹣2≤x ≤5}，∁R （A ∪B ）＝{x |x ＜﹣2或x ＞5}．（2）选择①，∵A ∪B ＝B ，∴A ⊆B ，若A ＝∅，即a ﹣1＞2a +1，解得a ＜﹣2；若A ≠∅，即{a −1≤2a +1a −1≥−22a +1≤3，解得﹣1≤a ≤1，∴实数a 的取值范围是{a |a ＜﹣2或﹣1≤a ≤1}；选择②，∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，∴A ⫋B ，若A ＝∅，即a ﹣1＞2a +1，解得a ＜﹣2；若A ≠∅，则a ﹣1≤2a +1，且{a −1≥−22a +1≤3，且等号不能同时成立， 解得﹣1≤a ≤1，∴实数a 的取值范围是{a |a ＜﹣2或﹣1≤a ≤1}； 选择③，∵A ∩B ＝∅，若A ＝∅，即a ﹣1＞2a +1，解得a ＜﹣2；若A ≠∅，即{a −1≤2a +12a +1＜−2或{a −1≤2a +1a −1＞3， 解得﹣2≤a ＜−32或a ＞4，综上实数a 的取值范围是{a |a ＜−32或a ＞4}．18．（12分）已知集合A ＝{x |2x+1x−1＜1}，B ＝{x |2x 2+（m ﹣2）x ﹣m ＜0}．（1）当m ＝1时，求A ∩B ；（2）x ∈A 是x ∈B 的必要条件，求m 的取值范围． 解：（1）由A ＝{x |2x+1x−1＜1}＝{x |﹣2＜x ＜1}，∵m ＝1，∴B ＝{x |2x 2﹣x ﹣1＜0}＝{x |−12＜x ＜1}，所以A ∩B ＝{x |−12＜x ＜1}；（2）因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件，所以B ⊆A ， 由B ＝{x |2x 2+（m ﹣2）x ﹣m ＜0}＝{x |（x ﹣1）（2x +m ）＜0}， 故方程（x ﹣1）（2x +m ）＝0的根为：1，−m 2， 若−m 2＞1，集合B ＝{x |1＜x ＜−m 2}，不符合题意； 若−m 2=1即m ＝﹣2时，B ＝∅，符合题意； 若−m 2＜1，则B ＝{x |−m 2＜x ＜1}，由B ⊆A ，得﹣2≤−m 2＜1，解得﹣2＜m ≤4； 综上，m ∈[﹣2，4]．19．（12分）已知x ＞0，y ＞0，2xy ＝x +4y ．（1）求xy 的最小值；（2）求x +y 的最小值．解：（1）由2xy ＝x +4y ，得2x +12y =1．因为x ＞0，y ＞0，所以1=2x +12y ⩾2√2x ⋅12y =2√1xy ，所以xy ≥4，当且仅当2x =12y 即x ＝4，y ＝1时，等号成立，所以xy 的最小值为4．（2）由2xy ＝x +4y ，得2x+12y =1， 所以x +y =(2x +12y )⋅(x +y)=52+x 2y +2y x ⩾52+2√x 2y ⋅2y x =92，当且仅当x =3，y =32时等号成立，所以x +y 的最小值为92． 20．（12分）某企业开发了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产x 百件，需另投入成本c （x ）（单位：万元），当年产量不足30百件时，c （x ）＝10x 2+100x ；当年产量不小于30百件时，c （x ）＝501x +10000x−4500．若每百件电子产品的售价为500万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完．（1）求年利润y （万元）关于年产量x （百件）的函数关系式；（2）年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？解：（1）当0＜x ＜30时，y ＝500x ﹣10x 2﹣100x ﹣2500＝﹣10x 2+400x ﹣2500，当x ≥30时，y ＝500x ﹣501x −10000x +4500−2500=2000−(x +10000x)， 故y ={−10x 2+400x −2500，0＜x ＜302000−(x +10000x )，x ≥30． （2）当0＜x ＜30时，y ＝﹣10（x ﹣20）2+1500，当x ＝20时，y max ＝1500，当x ≥30时，y =2000−(x +10000x )≤2000−2√x ⋅10000x =2000−200=1800， 当且仅当x =10000x，即x ＝100时， ∵1800＞1500，∴年产量为100百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大．21．（12分）设函数f （x ）＝x 2+ax ﹣b（1）若不等式f （x ）＜0的解集是{x |2＜x ＜3}，求不等式bx 2﹣ax +1≤0的解集；（2）当a +b ＝3时，f （x ）≥0对1≤x ≤2上恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）f（x）＝x2+ax﹣b，不等式f（x）＜0的解集是{x|2＜x＜3}，则方程x2+ax﹣b＝0的两根为x＝2或x＝3，将x＝2，x＝3代入方程x2+ax﹣b＝0得{4+2a−b=09+3a−b=0，解得{a=−5b=−6，∴bx2﹣ax+1≤0，即﹣6x2+5x+1≤0，解得x≤−16或x≥1，∴不等式bx2﹣ax+1≤0的解集为{x|x≤−16或x≥1}；（2）由a+b＝3得b＝3﹣a，则f（x）＝x2+ax﹣3+a，∵f（x）≥0对1≤x≤2上恒成立，∴x2+ax﹣3+a≥0对1≤x≤2上恒成立，∴a≥−x2+3x+1对1≤x≤2上恒成立，令g（x）=−x2+3x+1=−(x+1)2+2(x+1)+2x+1=−（x+1）+2x+1+2，x∈[1，2]，∵y＝﹣x﹣1在[1，2]上单调递减，y=2x+1在[1，2]上单调递减，∴g（x）＝﹣（x+1）+2x+1+2在[1，2]上单调递减，∴当x＝1时，g（x）max＝g（1）＝1，∴a≥1，故实数a的取值范围为[1，+∞）．22．（12分）定义：已知集合M＝{x|2a﹣3＜x＜2a}（a≥0），∀x∈M，ax2﹣（a2+a+2）x+2a+2＞0，则称ax2﹣（a2+a+2）x+2a+2＞0为“有界恒正不等式”．（1）当a＝4时，判断ax2﹣（a2+a+2）x+2a+2＞0是否为“有界恒正不等式”；（2）设ax2﹣（a2+a+2）x+2a+2＞0为“有界恒正不等式”，求a的取值范围．解：（1）当a＝4时，M＝{x|5＜x＜8}，不等式2x2﹣11x+5＝（2x﹣1）（x﹣5）＞0，解得x＜12或x＞5，设此不等式解集为A，得A={x|x＜12或x＞5}，∵M⊆A，∴当a＝4时，ax2﹣（a2+a+2）x+2a+2＞0是“有界恒正不等式”；（2）设ax2﹣（a2+a+2）x+2a+2＞0的解集为N，则M⊆N，由题可得ax2﹣（a2+a+2）x+2a+2＝（ax﹣2）（x﹣a﹣1），①当a＝0时，M＝{x|﹣3＜x＜0}，由﹣2（x﹣1）＞0得，N＝{x|x＜1}，∴M⊆N，符合题意；②当a＞0时，由（ax﹣2）（x﹣a﹣1）＝0得x1=a+1，x2=2a，（i）当a+1=2a，即a＝1时，M＝{x|﹣1＜x＜2}，又（x﹣2）2＞0的解集为N＝{x|x≠2}，∴M⊆N，符合题意；（ii）当a+1＞2a，即a＞1时，M＝{x|2a﹣3＜x＜2a}，N={x|x＜2a或x＞a+1}，由于M⊆N，则2a≥2a或a+1≤2a﹣3，解得﹣1≤a≤1，或a≥4，又a＞1，故a≥4；（iii）当a+1＜2a，即0＜a＜1时，M＝{x|2a﹣3＜x＜2a}，N={x|x＜a+1或x＞2a}，由于M⊆N，则2a≤a+1或2a ≤2a−3，解得a≤1或a≤−12或a≥2，则此时0＜a＜1；综上所述，实数a的取值范围为[0，1]∪[4，+∞）．。

江苏省苏州市2024-2025学年高一上学期期中调研数学试卷含答案

江苏省苏州市2024-2025学年高一上学期期中调研数学试卷含答案

2024~2025学年第一学期高一期中调研试卷数学（答案在最后）2024.11注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）､多项选择题（第9题~第11题）､填空题（第12题~第14题）､解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名､调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区城内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.清注意字体工整，笔迹清楚.4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠､破损.一律不准使用胶带纸､修正液､可擦洗的圆珠笔.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}14A x x =<<，{}2B x x =>，则A B = （）A.()1,2 B.()2,4 C.()1,4 D.()1,+∞【答案】B 【解析】【分析】利用交集的定义可求得集合A B ⋂.【详解】因为集合{}14A x x =<<，{}2B x x =>，则()2,4A B = .故选：B. 2.已知函数1x y x=的定义域为A ，则“(0,)x ∈+∞”是“x A ∈”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】求出函数的定义域，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】函数y x =中，100x x +≥⎧⎨≠⎩，解得1x ≥-且0x ≠，[1,0)(0,)A =-+∞ ，因此(0,)+∞是A 的真子集，所以“(0,)x ∈+∞”是“x A ∈”的充分不必要条件.故选：A3.已知命题:p x ∀∈R ，220x x m ++≥，若p 为真命题，则实数m 的取值范围为（）A.(),1-∞ B.(],1-∞- C.()1,-+∞ D.[)1,+∞【答案】D 【解析】【分析】由题意可得0∆≤，由此可解得实数m 的取值范围.【详解】因为命题:p x ∀∈R ，220x x m ++≥，且p 为真命题，则440m ∆=-≤，解得1m ≥.故选：D.4.已知幂函数()y f x =的图象过点(，则函数()2y f x x =-的值域是（）A.(],1-∞ B.(],0-∞ C.[)1,-+∞ D.[)1,+∞【答案】A 【解析】【分析】利用待定系数法求出幂函数()f x 的解析式，然后利用配方法可求得函数()2y f x x =-的值域.【详解】因为函数()y f x =为幂函数，设()af x x =，其中a 为常数，则()22a f ==12a =，则()12f x x ==，所以，())22111y f x x x =-=-+=--+≤，当且仅当1x =时，等号成立，故函数()2y f x x =-的值域为(],1-∞.故选：A.5.如图所示，正方体容器内放了一个圆柱形烧杯，向放在容器底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满正方体容器，则正方体容器中水面上升高度h 与注水时间t 之间的函数图象可能是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】分析水槽内水面上升的高度的速度，可得问题答案.【详解】开始注水时，水注入烧杯中，水槽内无水，高度不变；烧杯内注满水后，继续注水，水槽内水面开始上升，且上升速度较快；当水槽内水面和烧杯水面持平以后，继续注水，水槽内水面继续上升，且上升速度减慢.故选：D6.已知0a >，函数2()f x ax bx c =++，若0x 满足关于x 的方程20ax b +=，则下列选项的命题中为假命题的是A.0,()()x R f x f x ∃∈≤B.0,()()x R f x f x ∃∈≥C.0,()()x R f x f x ∀∈≤D.0,()()x R f x f x ∀∈≥【答案】C 【解析】【详解】试题分析：因为，0x 满足关于x 的方程20ax b +=，所以，02bx a=-，使2()f x ax bx c =++取得最小值，因此，0,()()x R f x f x ∀∈≤是假命题，选C ．考点：方程的根，二次函数的图象和性质，全称命题、存在性命题．点评：小综合题，二次函数，当a>0时，2bx a=-使函数取得最小值．7.一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好，则（）A.若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为2220m ，则这所公寓的窗户面积至少应该为222mB.若窗户面积和地板面积在原来基础上都增加了10%，公寓采光效果会变好C.若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果会变好D.若同时增加窗户面积和地板面积，且增加的地板面积是增加的窗户面积的8倍，公寓采光效果一定会变差【答案】C 【解析】【分析】设该公寓窗户面积为x ，依题意列出不等式组求解可判断A ；记窗户面积为a 和地板面积为b ，同时根据BCD 设增加的面积，表示出增加面积前后的比值作差比较即可判断BCD.【详解】对于A ，设该公寓窗户面积为x ，则地板面积为220x -，依题意，10%220220xx x x⎧≥⎪-⎨⎪<-⎩，解得20110x ≤<，因此这所公寓的窗户面积至少为220m ，A 错误；对于B ，记窗户面积为a 和地板面积为b ，窗户增加的面积为10%a ，地板增加的面积为10%b ，而0a b <<，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为10%,10%a a a ab b b b+=+，公寓采光效果不变，B 错误；对于C ，记窗户面积为a 和地板面积为b ，同时增加的面积为c ，0,0a b c <<>，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为,a a c b b c++，则()()()()()b ac a b c c b a a c a b c b b b c b b c +-+-+-==+++，而0,0,0a b c b a <<>->，于是0a c a b c b +->+，即a c ab c b+>+，同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了，C 正确；对于D ，记窗户面积为a 和地板面积为b ，窗户增加的面积为c ，地板增加的面积为8c ，而0,0a b c <<>，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为,8a a cb b c++，则()(8)8(8)8(8)(8)(8)a c ab ac a b c bc ac c b a b c b b b c b b c b c ++-+---===++++，若80b a ->，则8a c a b c b +>+；若80b a -=，则8a c a b c b +=+；若80b a -<，则8a c ab c b+<+，因此无法判断公寓的采光效果是否变差了，D 错误.故选：C8.设奇函数()f x 的定义域为R ，对任意的1x 、()20,x ∈+∞，且12x x ≠，都有不等式()()1122120x f x x f x x x ->-，且()21f -=-，则不等式()211f x x ->-的解集是（）A.()1,3- B.()(),13,-∞-⋃+∞C.()(),11,3-∞- D.()()1,13,-+∞ 【答案】D 【解析】【分析】令()()g x xf x =，分析函数()g x 的奇偶性与单调性，计算可得出()()222g g =-=，然后分10x -<、10x ->两种情况解不等式()211f x x ->-，即可得出原不等式的解集.【详解】对任意的1x 、()20,x ∞∈+，且12x x ≠，都有不等式()()1122120x f x x f x x x ->-，不妨设12x x <，则()()1122x f x x f x <，令()()g x xf x =，则()()12g x g x <，即函数()g x 在0,+∞上为增函数，因为函数()f x 为上的奇函数，即−=−，则()()()()g x xf x xf x g x -=--==，所以函数()g x 为偶函数，所以函数()g x 在0,+∞上单调递增，在(),0∞-上单调递减，因为()21f -=-，则()()()22222g g f =-=--=，当10x -<时，即当1x <时，由()211f x x ->-可得()()()()11122g x x f x g -=--<=-，则210x -<-<，解得11x -<<；当10x ->时，即当1x >时，由()211f x x ->-可得()()()()11122g x x f x g -=-->=，则12x ->，解得3x >.综上所述，不等式()211f x x ->-的解集为()()1,13,∞-⋃+.故选：D.【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下：（1）先分析出函数在指定区间上的单调性；（2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域；（3）求解关于自变量的不等式，从而求解出不等式的解集.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设全集{}U 1,0,1,2,3,4=-，集合{}0,1,2A =，{}2,4B =，{}1,3C =-，则（）A.集合A 的真子集个数是7B.{}0,1,2,4A B ⋃=C.()()UUA C ⋂=∅痧 D.U B C⊆ð【答案】ABD 【解析】【分析】利用真子集的个数公式可判断A 选项；利用并集运算可判断B 选项；利用补集和交集运算可判断C 选项；利用集合的包含关系可判断D 选项.【详解】对于A 选项，集合A 的元素个数为3，则集合A 的真子集个数是3217-=，A 对；对于B 选项，因为{}0,1,2A =，{}2,4B =，则{}0,1,2,4A B ⋃=，B 对；对于C 选项，因为全集{}U 1,0,1,2,3,4=-，集合{}0,1,2A =，{}1,3C =-，则{}U 1,3,4A =-ð，{}U 0,1,2,4C =ð，则()(){}U U4A C ⋂=痧，C 错；对于D 选项，由C 选项可知，因为{}2,4B =，{}U 0,1,2,4C =ð，则U B C ⊆ð，D 对.故选：ABD.10.已知0,0a b >>，若1a b +=，则（）A.ab 的最大值为14B.14a b+的最小值为10C.222a b -的最大值为2D.4b a b+的最小值为8【答案】AD 【解析】【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用，结合二次函数的性质逐项分析求解即可.【详解】对于A ，0,0a b >>，1a b +=，则21(24a b ab +≤=，当且仅当12a b ==时取等号，A 正确；对于B ，14144()()559b a a b ab a b a b +=++=++≥+，当且仅当223b a ==时取等号，B 错误；对于C ，01b <<，2222222(1)221(1)22a b b b b b b -=--=--+=--+<，C 错误；对于D ，444484()b a abab a bb b a b +=+=+≥++=，当且仅当223b a ==时取等号，D 正确.故选：AD11.设函数()()2f x x x =-，则（）A.直线1x =是曲线()y f x =的对称轴B.若函数()f x 在()0,m 上单调递减，则01m <≤C.对()12,0,x x ∀∈+∞，不等式()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭总成立D.当12x -<<时，()()2f x f x -≥【答案】BCD 【解析】【分析】根据函数的对称性、单调性、不等式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】()()()()2,022,0x x x f x x x x x x ⎧-≥⎪=-=⎨--<⎪⎩，画出()f x 的图象如下图所示，A 选项，由图可知，1x =不是()f x 的对称轴，A 选项错误.B 选项，若函数()f x 在()0,m 上单调递减，由图可知，01m <≤，B 选项正确.C 选项，对()12,0,x x ∞∀∈+，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫-⎪⎝⎭()()11221212222222x x x x x x x x -+-++⎛⎫=--⎪⎝⎭()()()22212121212242x x x x x x x x ++-+=-+-()()2222112212121222244x x x x x x x x x x +++=-+-++()2221211222044x x x x x x --+=-=-≤，所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭总成立，所以C 选项正确.D 选项，当02x <<时，20,022x x -<-<<-<,此时()()2f x x x =-关于直线1x =对称，所以()()2f x f x -=，()()2f x f x -≥成立.当0x =时，()()2000f f -==，()()2f x f x -≥成立.当10x -<<时，01,223x x <-<<-<，()()20f x f x ->>，()()2f x f x -≥成立.综上所述，当12x -<<时，()()2f x f x -≥，D 选项正确.故选：BCD【点睛】关键点睛:函数图象的辅助分析：通过画出函数的图象并结合代数分析，可以更直观地理解函数的行为，是解题过程中非常有效的辅助手段.单调性与对称性结合分析：通过结合单调性和对称性，确保对函数的所有性质都有准确的理解，这是判断选项的关键步骤.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设a ，R b ∈，{}1,P a =，{}1,Q b =--，若P Q =，则a b -=____________．【答案】0【解析】【分析】根据集合之间的等量关系，建立方程，可得答案.【详解】a ，R b ∈，{}1,P a =，{}1,Q b =--，P Q =，1a ∴=-，1b -=，1a ∴=-，1b =-，110a b ∴-=---=（）；故答案为：0.13.已知()y f x x =+是偶函数且()10f =，若()()1g x f x =+，则()1g -=______.【答案】3【解析】【分析】利用函数()y f x x =+为偶函数可求出()1f -，进而可求得()1g -的值.【详解】设()()h x f x x =+，则()()1111h f =+=，因为函数()()h x f x x =+为偶函数，则()()()11111h f h -=--==，可得()12f -=，因为()()1g x f x =+，则()()1113g f -=-+=.故答案为：3.14.设函数()22,22,2x a x f x x ax a x ⎧-+≤=⎨-+>⎩，若()2f 是函数()f x 的最小值，则实数a 的取值范围是______.【答案】[]2,4【解析】【分析】分析可知，2a ≥，然后分22a ≤、22a>两种情况讨论，根据()()min 2f x f =可得出关于实数a 的不等式，综合可得出实数a 的取值范围.【详解】因为()22,22,2x a x f x x ax a x ⎧-+≤=⎨-+>⎩，当2a <且2x ≤时，则()()22f x x a f a =-+≥=，这与()()min 2f x f =矛盾，不合乎题意，所以，2a ≥，因为二次函数22y x ax a =-+的对称轴为直线2a x =，当22a≤时，即当24a ≤≤时，则函数()f x 在()2,+∞上为增函数，根据题意，则有()222224224f a a a a a =-+=-+=≤-+=，此时，24a ≤≤；当22a >时，即4a >时，当2x >时，()2min 224a a f x f a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，由题意可得()2224a f a a =≤-，整理可得240a a -≤，解得04a ≤≤，此时，a 不存在.综上所述，实数a 的取值范围是[]2,4.故答案为：[]2,4.【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法：（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知全集为R ，集合(){13},{5}A xx B x a x a a =-<<=<<+∈R ∣∣.（1）若1a =，求集合()R A B ð；（2）若A B A = ，求a 的取值范围.【答案】（1）{|11}x x -<≤；（2）21a -≤≤-.【解析】【分析】（1）把1a =代入，再利用补集、交集的定义求解.（2）利用给定的交集结果，结合集合的包含关系列式求解.【小问1详解】当1a =时，R {|16},{|1B x x B x x =<<=≤ð或6}x ≥，而{|13}A x x =-<<，所以()R {|11}A B x x =-<≤ ð.【小问2详解】由A B A = ，得A B ⊆，则153a a ≤-⎧⎨+≥⎩，解得21a -≤≤-，所以a 的取值范围是21a -≤≤-.16.已知函数2()f x x ax c =-+，其中,a c ∈R .（1）若不等式()0f x <的解集为{13}xx <<∣，解关于x 的不等式111cx ax -<+；（2）解关于x 的不等式()1f x a c <-+.【答案】（1）1(,2)(,)4-∞--+∞ ；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）利用给定的解集求出,a c ，再解分式不等式即得.（2）分类讨论求解含参的不等式.【小问1详解】依题意，{13}xx <<∣是不等式20x ax c -+<的解集，则1,3是方程20x ax c +=-的二根，于是1313a c+=⎧⎨⨯=⎩，解得4,3a c ==，不等式111cx ax -<+为313121100414141x x x x x x --+<⇔->⇔>+++，因此(2)(41)0x x ++>，解得2x <-或14x >-，所以所求不等式的解集为1(,2)(,)4-∞--+∞ .【小问2详解】不等式2()11(1)(1)0f x a c x ax c a c x x a <-+⇔-+<-+⇔--+<，当2a <时，11a -<，解得11a x -<<；当2a =时，11a -=，不等式无解；当2a >时，11a ->，解得11x a <<-，所以当2a <时，原不等式的解集为{|11}x a x -<<；当2a =时，原不等式的解集为∅；当2a >时，原不等式的解集为{|11}x x a <<-.17.函数()221a x f x bx-=+是定义在()10,27b b -+上的偶函数，且()01f =.（1）求()f x 的解析式及其值域；（2）求()1f m f m ⎛⎫+⎪⎝⎭的值，并计算()()()111872238f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【答案】（1）()2211x f x x-=+，()9,9x ∈-；值域为40,141⎛⎤- ⎥⎝⎦.（2）()10f m f m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；()()()1118720238f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义域关于原点对称可求得b 的值，利用()01f =可求得a 的值，由此可得出函数()f x 的解析式及定义域，然后利用不等式的基本性质可求得函数()f x 的值域；（2）代值可计算得出()1f m f m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，由偶函数的性质可得出()()110f m f f m f m m ⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而可求得()()()111872238f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.【小问1详解】解：因为函数()221a x f x bx -=+是定义在()10,27b b -+上的偶函数，则1027330b b b -++=-=，解得1b =，则()221a x f x x -=+，又因为()01f a ==，故()2211x f x x-=+，所以，()()()()22221111x x f x f x x x ----===++-，即函数()f x 为偶函数，所以，()2211x f x x-=+，()9,9x ∈-，则2081x ≤<，所以，21182x ≤+<，则2111821x <≤+，所以，()()222222112401,111141x x f x x x x -+-⎛⎤===-∈- ⎥+++⎝⎦，所以，函数()f x 的值域为40,141⎛⎤- ⎥⎝⎦.【小问2详解】解：()22222222222222111111111011111111m m m m m m m f m f m m m m m m m m ⎛⎫-- ⎪----⎛⎫⎝⎭+=+=+=+= ⎪++++⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 为偶函数，则()()110f m f f m f m m ⎛⎫⎛⎫-+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，()()()111872238f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()1112380238f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+++-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦ .18.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800立方米，深为3米.甲工程队参与投标，给出的报价为：池底每平米的造价为150元，池壁每平米造价为120元.设总造价为S 元，池底一边长为x 米，另一边长为y 米.（1）若按照甲工程队的报价，怎样设计能使水池造价最低？最低造价是多少？（2）现有乙工程队也参与投标，其给出的整体报价为()22283200a x y ++元，其中56a ≤≤，试问甲工程队一定能中标吗？（报价总低于对手即为中标）【答案】（1）答案见解析（2）能，理由见解析【解析】【分析】（1）由贮水池的容积可求得1600xy =，然后利用基本不等式可求出甲工程队的造价的最小值，利用等号成立的条件求出x 、y 的值，即可得出结论；（2）由题意可知对任意的x 、()0,y ∈+∞，不等式()()22240000720283200x y a x y++<++恒成立，可得出()()2720602x y a x y xy+->+-，令6020t x y =+-≥，可得出720400120a t t>++，利用基本不等式求出720400120t t++的最大值，可得出实数a 的取值范围，结合题意判断可得出结论.【小问1详解】解：由题意可知，水池的容积为34800xy =，可得1600xy =，甲工程队的造价为()()15012023720240000xy x y x y +⨯+⨯=++72024000072090240000297600≥⨯=⨯+=（元），当且仅当1600x yxy =⎧⎨=⎩时，即当40x y ==时，等号成立，所以，将贮水池的池底涉及为边长为40米的正方形时，总造价最低，最低造价是297600元.【小问2详解】解：若甲工程队一定能中标成功，则对任意的x 、()0,y ∈+∞，不等式()()22240000720283200x y a x y++<++恒成立，即对任意的x 、()0,y ∈+∞，()()()22272060720602x y x y a x y x y xy+-+->=++-恒成立，因为80x y +≥=，当且仅当40x y ==时，等号成立，令6020t x y =+-≥，则()22720720720400400120603200120tt a t t t t t>==+++-++，由基本不等式可得72094002120t t ≤++，当且仅当()40020t t t=≥时，即当20t =时，即当40x y ==时，等号成立，所以，92a >，所以，要使得甲工程队一定能竞标成功，则92a >，又因为952a ≥>，所以，甲工程队一定能竞标成功.19.已知函数4()f x x x=+.（1）判断()f x 的奇偶性，并证明你的结论；（2）记()|()5|g x f x =-.（i ）讨论()f x 在(0,)+∞上的单调性，并说明理由.再请直接写出()g x 在(0,)+∞上的单调区间；（ii ）是否存在这样的区间[,](0)a b a >，使得()g x 在[,]a b 上是单调函数，且()g x 的取值范围是11[,]22a b .若存在，求出区间[,]a b ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）（i ）()f x 在(0,2)上递减，在(2,)+∞上递增，()g x 在(0,1),[2,4]上递减，在[1,2),(4,)+∞上递增，；（ii ）存在，4[,2]3.【解析】【分析】（1）利用函数奇偶性定义判断证明.（2）（i ）利用单调性定义求出()f x 的单调区间，进而求出()g x 的单调区间；（ii ）假定存在，分类讨论并结合单调性求值域建立方程求解即得.【小问1详解】函数()f x 是奇函数，函数4()f x x x=+的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，44()(()f x x x f x x x -=-+=-+=--，所以函数()f x 是奇函数.【小问2详解】（i ）1212,(0,),x x x x ∀∈+∞<，121212121212444()()()x x f x f x x x x x x x x x --=+--=-⋅，由120x x <<，得12120,0x x x x <->，当22x ≤时，124x x <，则12()()f x f x >，函数()f x 在(0,2)上单调递减；当12x ≥时，124x x >，则12()()f x f x <，函数()f x 在(2,)+∞上单调递增，当0x >时，45,(0,1)(4,)4()545,[1,4]x x xg x x x x x x ∞⎧+-∈⋃+⎪⎪=+-=⎨⎪--+∈⎪⎩，因此函数()g x 在(0,1),[2,4]上单调递减，在[1,2),(4,)+∞上单调递增.（ii ）由（i ）知，函数()g x 在(0,1),[2,4]上单调递减，在[1,2),(4,)+∞上单调递增，假设存在区间[,](0)a b a >符合条件，①当[,](0,1]a b ⊆时，()g x 在[,]a b 上单调递减，则1()21()2g a b g b a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即41524152a b a b ab⎧+-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，化简得()(5)0a b a b -+-=，而,(0,1],a b a b ∈<，因此()(5)0a b a b -+-=不成立，即,a b 无解，不存在；②当[,][1,2]a b ⊆时，()g x 在[,]a b 上单调递增，则1()21()2g a a g b b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即41524152a a a b bb ⎧--+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩，,a b 是方程4152x x x --+=，即231080x x -+=的两个实根，解得4,23a b ==，符合题意，区间[,]a b 为4[,2]3；③当[,][2,4]a b ⊆时，()g x 在[,]a b 上单调递减，则1()21()2g a b g b a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，化简得()(5)0a b a b -+-=，而a b <，则5a b +=，即5b a =-，由415(5)2a a a --+=-，得2580a a -+=，253270∆=-=-<，无解，不存在；④当[,][4,)a b ⊆+∞时，()g x 在[,]a b 上单调递增，则1()21()2g a a g b b⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，,a b 是方程4152x x x --+=，即231080x x -+=的两个实根，此方程在[4,)+∞无解，不存在，所以存在区间[,](0)a b a >，使得()g x 在[,]a b 上是单调函数，且()g x 的取值范围是11[,]22a b ，该区间为4[,2]3.【点睛】关键点点睛：求出函数()g x 在(0,)+∞上的单调区间，再按单调性分类讨论是求解问题的关键.。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2020-2020学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，则A∩B=．2．（5分）已知f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=x+1，则f（﹣1）=．3．（5分）若tanα=3，，则tan（α﹣β）等于．4．（5分）已知A（﹣3，4）、B（5，﹣2），则||=．5．（5分）函数y=e2x﹣1的零点是．6．（5分）把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），再将图象上所有点向右平移个单位，所得函数图象所对应的解析式为．7．（5分）若函数f（x）=，则f（log23）=．8．（5分）函数的单调递增区间为．9．（5分）设是两个不共线向量，，，，若A、B、D三点共线，则实数P的值是．10．（5分）若=﹣，则sin2α的值为．11．（5分）f（x）=x2，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是．12．（5分）如图，O是坐标原点，M、N是单位圆上的两点，且分别在第一和第三象限，则的范围为．13．（5分）如图，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，若，则折痕l的长度=cm．14．（5分）函数是奇函数，且f（﹣2）≤f（x）≤f （2），则a=．二、解答题：本大题共6小题，计90分．15．（14分）已知=（1，2），=（﹣3，1）．（Ⅰ）求；（Ⅱ）设的夹角为θ，求cosθ的值；（Ⅲ）若向量与互相垂直，求k的值．16．（14分）已知，，，．（I）求tan2β的值；（II）求α的值．17．（14分）已知函数f（x）满足f（x+1）=lg（2+x）﹣lg（﹣x）．（1）求函数f（x）的解析式及定义域；（2）解不等式f（x）＜1；（3）判断并证明f（x）的单调性．18．（16分）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不低于51元．（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为p元，写出函数p=f（x）的表达式；（3）当销售商一次订购多少个时，该厂获得的利润为6000元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价﹣成本）19．（16分）如图1，在△ABC中，，，点D是BC的中点．（I）求证：；（II）直线l过点D且垂直于BC，E为l上任意一点，求证：为常数，并求该常数；（III）如图2，若，F为线段AD上的任意一点，求的范围．20．（16分）已知g（x）=x2﹣2ax+1在区间[1，3]上的值域[0，4]．（1）求a的值；（2）若不等式g（2x）﹣k•4x≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围；（3）若函数有三个零点，求实数k的取值范围．2020-2020学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，则A∩B={0，1} ．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，∴A∩B={0，1}．故答案为：{0，1}．2．（5分）已知f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=x+1，则f（﹣1）=2．【解答】解：∵f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=x+1，∴当x＜0时，f（x）=﹣x+1，∴f（﹣1）=﹣（﹣1）+1=2．故答案为：2．3．（5分）若tanα=3，，则tan（α﹣β）等于．【解答】解：tan（α﹣β）===，故答案为．4．（5分）已知A（﹣3，4）、B（5，﹣2），则||=10．【解答】解：由题意A（﹣3，4）、B（5，﹣2），∴||===10故答案为105．（5分）函数y=e2x﹣1的零点是0．【解答】解：令y=0，即e2x=1，解得：x=0，故答案为：0．6．（5分）把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），再将图象上所有点向右平移个单位，所得函数图象所对应的解析式为y=sin （2x﹣）．【解答】解：把图象上所有点的横坐标缩小到原来的，得到y=sin2x，再函数y=sin2x的图象上所有点向右平移个单位，得到y=sin[2（x﹣）]=sin （2x﹣）对图象，∴所求函数的解析式为：y=sin（2x﹣）．故答案为：y=sin（2x﹣）．7．（5分）若函数f（x）=，则f（log23）=9．【解答】解：∵函数f（x）=，log23＞log22=1，∴f（log23）===9．故答案为：9．8．（5分）函数的单调递增区间为．【解答】解：令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z，故函数的增区间为故答案为．9．（5分）设是两个不共线向量，，，，若A、B、D三点共线，则实数P的值是﹣1．【解答】解：∵，，∴，∵A、B、D三点共线，∴，∴2=2λ，p=﹣λ∴p=﹣1，故答案为：﹣1．10．（5分）若=﹣，则sin2α的值为﹣．【解答】解：∵=﹣，∵2cos2α=sin（﹣α），∴2（cos2α﹣sin2α）=cosα﹣sinα，∴cosα﹣sinα=0，或cosα+sinα=，平方可得1﹣sin2α=0，或1+sin2α=，∴sin2α=1，或s in2α=﹣，∵若sin2α=1，则cos2α=0，代入原式可知应舍去，故答案为：﹣．11．（5分）f（x）=x2，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．【解答】解：f（x）=x2，x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）=f（x）在[t，t+2]恒成立，即|x+t|≥|x|在[t，t+2]恒成立，即：x≤（1+）t在[t，t+2]恒成立，或x≤（1﹣）t在[t，t+2]恒成立，解得：t≥或t≤﹣，故答案为：（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．12．（5分）如图，O是坐标原点，M、N是单位圆上的两点，且分别在第一和第三象限，则的范围为[0.）．【解答】解：设的夹角为θ，，则cosθ∈[﹣1，0），2==2+2cosθ∈[0，2）的范围为：[0，），故答案为[0，）．13．（5分）如图，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，若，则折痕l的长度=cm．【解答】解：由已知及对称性知，GF=BF=lcosθ，GE=B E=lsinθ，又∠GEA=∠GFB=2θ，∴AE=GEcos2θ=lsinθcos2θ，又由AE+BE=lsinθcos2θ+lsinθ=6得：l===．故答案为：．14．（5分）函数是奇函数，且f（﹣2）≤f（x）≤f （2），则a=．【解答】解：∵函数是奇函数且定义域内有0∴f（0）=0解得c=0，故f（x）=．x＞0，a＞0，f（x）==≤（ax=时取等号）∵f（﹣2）≤f（x）≤f（2），∴2a=，∴a=．故答案为．二、解答题：本大题共6小题，计90分．15．（14分）已知=（1，2），=（﹣3，1）．（Ⅰ）求；（Ⅱ）设的夹角为θ，求cosθ的值；（Ⅲ）若向量与互相垂直，求k的值．【解答】解：（Ⅰ）=（1，2）﹣2（﹣3，1）=（1+6，2﹣2）=（7，0）．（Ⅱ）=﹣．（Ⅲ）因为向量与互相垂直，所以，（）•（）=0，即因为=5，，所以，5﹣10k2=0，解得．16．（14分）已知，，，．（I）求tan2β的值；（II）求α的值．【解答】（本题满分为14分）解：（I）∵，，可得：sin=， (2)分∴tan==﹣2，…4分∴tan2β==…7分（II）∵，，∴α+β∈（，），又∵，∴cos（α+β）=﹣=﹣，…9分∴cosα=cos（α+β﹣β）=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ=（）×（﹣）+×（）=，∵，∴α=．…14分17．（14分）已知函数f（x）满足f（x+1）=lg（2+x）﹣lg（﹣x）．（1）求函数f（x）的解析式及定义域；（2）解不等式f（x）＜1；（3）判断并证明f（x）的单调性．【解答】解：（1）f（x+1）=lg（2+x）﹣lg（﹣x），可令t=x+1，则x=t﹣1，可得f（t）=lg（1+t）﹣lg（1﹣t），即有f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x），由1+x＞0且1﹣x＞0，解得﹣1＜x＜1，则函数f（x）的定义域为（﹣1，1）；（2）由f（x）＜1即lg（1+x）﹣lg（1﹣x）＜1，即为lg（1+x）＜lg10（1﹣x），可得0＜1+x＜10（1﹣x），解得﹣1＜x＜，则不等式的解集为（﹣1，）；（3）证明：f（x）在（﹣1，1）上为增函数．理由：设﹣1＜m＜n＜1，则f（m）﹣f（n）=lg（1+m）﹣lg（1﹣m）﹣[lg（1+n）﹣lg（1﹣n）]=lg﹣lg=lg•=lg•，由于﹣1＜m＜n＜1，可得1﹣m＞1﹣n＞0，1+n＞1+m＞0，可得0＜＜1，0＜＜1，则0＜•＜1，即有lg•＜0，则f（m）﹣f（n）＜0，即f（m）＜f（n），故f（x）在（﹣1，1）上为增函数．18．（16分）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不低于51元．（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为p元，写出函数p=f（x）的表达式；（3）当销售商一次订购多少个时，该厂获得的利润为6000元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价﹣成本）【解答】解：（1）设每个零件的实际出厂价格恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则（个）因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价格恰好降为51元．…（2分）（2 ）当0≤x≤100时，p=60；…（3分）当100＜x＜550时，；…（4分）当x≥550时，p=51．…（5分）所以…（6分）（3）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则…（9分）当0＜x≤100时，L≤2000；…（10分）当x≥500时，L≥6050；…（11分）当100＜x＜550时，．由，解得x=500．答：当销售商一次订购500个时，该厂获得的利润为6000元．…（13分）19．（16分）如图1，在△ABC中，，，点D是BC的中点．（I）求证：；（II）直线l过点D且垂直于BC，E为l上任意一点，求证：为常数，并求该常数；（III）如图2，若，F为线段AD上的任意一点，求的范围．【解答】（I）证明：延长AD到A1使得AD=DA1，连接CA1，A1B，∵D是BC的中点，∴四边形ACA1B是平行四边形，∴=+，∵；（II）证明：∵=+，∴•（﹣）=（+）•（﹣）=•+•，∵DE⊥BC，∴•=0，∵•=（）=，∴•（﹣）=（III）解：△ABC中，||=2，||=1，cosA=，，∴||==，同理+=2，∴•（+）=•2=||•||，设||=x，则||=﹣x（0），∴•（+）=2x（﹣x）≤2=1，当且仅当x=时取等号，∴•（+）∈（0，1]．20．（16分）已知g（x）=x2﹣2ax+1在区间[1，3]上的值域[0，4]．（1）求a的值；（2）若不等式g（2x）﹣k•4x≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围；（3）若函数有三个零点，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）g（x）=x2﹣2ax+1=（x﹣a）2+1﹣a2在区间[1，3]上的值域[0，4]．若1≤a≤3时，g（x）的最小值为g（a）=1﹣a2，由1﹣a2=0，可得a=1（﹣1舍去），g（x）=（x﹣1）2满足在区间[1，3]上的值域[0，4]；若a＞3时，g（x）在[1，3]递减，g（x）的最小值为g（3），由g（3）=10﹣6a=0，解得a=（舍去）；若a＜1，则g（x）在[1，3]递增，g（x）的最小值为g（1），由g（1）=2﹣2a=0，解得a=1．综上可得，a=1；（2）由g（2x）﹣k•4x≥0即（2x）2﹣2•2x+1﹣k•4x≥0，化为k≤（2﹣x）2﹣2•2﹣x+1，令t=2﹣x，由x≥1可得0＜t≤，则k≤t2﹣2t+1，0＜t≤，记h（t）=t2﹣2t+1，0＜t≤，由单调递减，可得h（t）的最小值为（﹣1）2=，则k的取值范围是k≤；（3）令y=0，可化为|2x﹣1|2﹣2•|2x﹣1|+1+2k﹣3k•|2x﹣1|=0（|2x﹣1|≠0）有3个不同的实根．令t=|2x﹣1|，则t＞0，由2x﹣1＞﹣1，当x＜0时，t=|2x﹣1|=1﹣2x，t∈（0，1]且递减，当0＜x＜1时，t=|2x﹣1|=2x﹣1，t∈（0，1）且递增，当x=1时，t=1．当x＞1时，t=|2x﹣1|=2x﹣1，t∈（1，+∞）且递增，t2﹣（3k+2）t+1+2k=0有两个不同的实数解t1，t2，已知函数有3个零点等价为0＜t1＜1，t2＞1或0＜t1＜1，t2=1，记m（t）=t2﹣（3k+2）t+1+2k，则或，解得k＞0或k无实数解，综上可得，k的取值范围是（0，+∞）．。

相关文档
最新文档