第十五章 傅里叶级数

第十五章 傅里叶级数

1 三角级数与傅里叶级数

1．证明

(1) sin x ，sin 2x ， ， sin nx ， 是[0,]π上的正交系； (2) sin x ，sin 3x ， ， ()sin 21n x +， 是[0,

]2

π

上的正交系；

(3) 1，cos x ，cos 2x ， ，cos nx ， 是[0,]π上的正交系； (4) 1，sin x ，sin 2x ， ， sin nx ， 不是[0,]π上的正交系； 2．求下列周期为2π的函数的傅里叶级数： (1) 三角多项式()()0

cos sin n

n i

i

i P x a ix b ix ==

+∑；

(2) ()()3

f x x x ππ=-<<； (3) ()cos

2

x

f x =； (4) ()() ax

f x e x ππ=-<<； (5) ()()sin f x x x ππ=-<<； (6) ()()cos f x x x x ππ=-<<； (7) (), 0

0, 0x x f x x ππ

-<<⎧=⎨

≤<⎩；

(8) ()()2

2

f x x x πππ=--<<； (9) ()sgncos f x x =； (10) ()() 022

x

f x x ππ-=

<<.

3．设()f x 以2π为周期，在[,]ππ-绝对可积，证明： (1) 如果函数()f x 在[,]ππ-满足()()f x f x π+=，则

21210, 1,2,m m a b m --=== ；

(2) 如果函数()f x 在[,]ππ-满足()()f x f x π+=-，则

220, 1,2,m m a b m === .

2 傅里叶级数的收敛性

1．将下列函数展成傅里叶级数，并讨论收敛性： (1) ()sin [,]f x x x x ππ=∈-；

(2) ()2, [0,]

1, [,0)

x x f x x ππ⎧∈=⎨∈-⎩；

2．由展开式

()1

1sin 2(1) n n nx

x x n

ππ∞

+==--<<∑， (1) 用逐项积分法求2

x ，3

x ，4

x 在(,)ππ-中的傅里叶展开式；

(2) 求级数

()

1

4

1

1n n n +∞

=-∑

，

4

11

n n

∞

=∑的和. 3． (1) 在 (,)ππ-内，求()x

f x e =的傅里叶展开式； (2) 求级数

2

1

1

1n n ∞

=+∑的和. 4．设()f x 在[,]ππ-上逐段可微，且()()f f ππ-=. n a ，n b 为()f x 的傅里叶系数，

'n a ，'n b 是()f x 的导函数'()f x 的傅里叶系数，证明：

0'0a =，'n n a nb =，'n n b na =- ( n 1,2,=

. 5．证明：若三角级数

()01

cos sin 2n n n a a nx b nx ∞

=++∑ 中的系数n a ，n b 满足关系

{}

33max ,n n n a n b M ≤，

M 为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导函数.

6．设()()01

cos sin 2n

n k k k a T x a kx b kx ==++∑，求证：

()()1sin 122sin

2

n n n t

T x T x t dt t πππ-⎛

⎫+ ⎪⎝⎭=+⎰. 7．设()f x 以2π为周期，在(0,2)π上单调递减，且有界，求证：()0 0n b n ≥>. 8．设()f x 以2π为周期，在(0,2)π上导数'()f x 单调上升有界. 求证：

()0 0n a n ≥>.

9．证明：若()f x 在0x 点满足α阶的利普希茨条件，则()f x 在0x 点连续. 给出一个表明这论断的逆命题不成立的例子.

10．设()f x 是以2π为周期的函数，在[,]ππ-绝对可积，又设()n S x 是()f x 的傅里叶级数的前n 项部分和

()()01

cos sin 2n

n k k k a S x a kx b kx ==++∑，

则 ()()()

()20

224

22

n n f x t f x t S x D t dt π

π

++-=⎰

，

其中()n D t 是狄利克雷核.

11．设()f x 是以2π为周期，在(),-∞∞连续，它的傅里叶级数在0x 点收敛. 求证：

()()()00 n S x f x n →→+∞.

12．设()f x 是以2π为周期、连续，其傅里叶系数全为0，则()0f x ≡. 13．设()f x 是以2π为周期，在[,]ππ-绝对可积. 又设0(,)x ππ∈-满足

()()000lim 2

t f x t f x t L +→++-= 存在. 证明()0lim n n x L σ→∞

=. 进一步，若()f x 在0x 点连续，则()()00lim n n x f x σ→∞

=，其中

()()0

11n

n k k x S x n σ==+∑.