现代控制理论：4.5g 线性系统的结构分解和零极点相消
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难点喔!
线性系统的结构分解和零极点相消(3/3)
本节讨论的主要问题: ➢ 基本概念: 能控分解、能观分解、能控能观分解、零极 点相消 ➢ 基本方法: 能控分解、能观分解、能控能观分解、零极 点相消判据
本节讲授顺序为: ➢ 能控性分解 ➢ 能观性分解 ➢ 能控能观分解 ➢ 系统传递函数中的零极点相消定理
4.5 线性系统的结构分解和零极点相消
一个系统状态不完全能控,意味着系统的部分状态不能控, 但也存在部分状态能控。 ➢ 到底哪一部分状态能控,哪一部分状态不能控的问题,对 于控制系统的分析、设计和综合,显然是至关重要的。 ➢ 由前面的结论已知,系统的非奇异线性变换不改变能控 性,那么是否存在线性变换后将系统的状态变量中完全 能控的部分和完全不能控的部分分离开来? ➢ 对状态不完全能观的系统, ✓ 也存在类似的区分哪些状态能观,哪些状态不能观 的问题。
BB~~12
u
y
~ [C1
0]~x~x12
其中no维子系统
~yx1C~A~11~x11~x1 B~1u
是状态完全能观的。
➢
而n-no维子系统 ~x2
A~21~x1
A~22~x2
B~2u
是状态完全不能观的。
能观性分解(7/10)
因此,由上式可归纳出一结论: ➢ 状态不完全能观系统的传递函数阵等于其能观性分解后 能观子系统的传递函数阵。 ➢ 由于状态不完全能观系统的传递函数阵等于其能观子系 统的传递函数阵,则其极点必少于n个, ✓ 即系统存在零极点相消现象。
0 1 0
A~ Po1APo -1 - 2
0
1 0 -1
C~ CPo [1 0 0]
则能观子系统的状态方程为
1 B~ Po1B -1
0
~x1
~x2
0 1
y [ 1
1 2
~x1 ~x2
1 1u
0
线性系统的结构分解和零极点相消(2/3)
✓ 也存在能否基于线性变换将系统的完全能观部分 和完全不能观部分分离开来?
➢ 系统状态空间模型的状态能控性/能观性问题是系统的 两个不变的结构性问题,描述了系统的本质特征的问题, ✓ 它们与描述系统的输入输出特性的传递函数阵之 间有何联系?
本节主要讨论上述关于线性系统状态空间结构性的2个问题, 即: ➢ 状态空间模型的结构性分解以及 ➢ 传递函数阵与能控性/能观性的关系。
能控性分解(1/18)—能控性分解定理
4.5.1 能控性分解
对状态不完全能控的线性定常连续系统,存在如下能控性结 构分解定理。
定理4-17 若线性定常连续系统
x Ax Bu
y
Cx
状态不完全能控,其能控性矩阵的秩为
rankQc=rank[B AB … An-1B]=nc<n 则存在非奇异线性变换x=Pc x ,使得状态空间模型可变换成
能控性分解(16/18)—例4-15
例4-15 试求如下系统的能控子系统:
1 2 1 0 x 0 1 0 x 0u
1 4 3 1
y [1 1 1 ]x
解 由于
0 1 4
rankQc rank[B AB A2B] rank 0 0
0
2
3
1 3 0
故该系统为状态不完全能控且能控部分的维数为2。
能控性分解(2/18)
其中nc维子系统
~x1 ~x2
A~11 0
A~~12 A22
~x1 ~x2
B~1 0
u
y
~ [C1
~ C2
]~x~x12
是状态完全能控的。 ➢ 而n-nc维子系统
是状态完全不能控的。
能控性分解(15/18)
➢ 因此,由上式可归纳出一结论: ✓ 状态不完全能控系统的传递函数阵等于其能控性分 解后能控子系统的传递函数阵。 ✓ 由于状态不完全能控系统的传递函数阵等于其能控 子系统的传递函数阵,则其极点必少于n个, ❖ 即系统存在零极点相消现象。
定理4-18 若线性定常连续系统
x Ax Bu y Cx
状态不完全能观,其能观性矩阵的秩为
C
rank Qo
rank
CA ...
no
n
CAn1
能观性分解(2/10)
则存在非奇异线性变换x=Pox~,使得状态空间模型可变换为
~x1 ~x2
AA~~1211
0 A~22
~x1 ~x2
能控性分解(17/18)
➢ 为分解系统,选择变换矩阵 0 1 0
Pc 0 0 1 1 3 0
其中前两列取自能控性矩阵Qc,后一列是任意选择的但保证 变换矩阵为非奇异的。
✓ 该变换矩阵的逆矩阵为
3 0 1 Pc1 1 0 0
0 1 0
能控性分解(18/18)
➢ 经变换所得的状态空间模型的各矩阵为
能观性分解(9/10)
➢ 为分解系统,选择变换矩阵
0 1 - 2
Po1 1 - 2
3
0 0 1
其中前两行取自能观性矩阵Qo,后一行是任意选择的但保证 变换矩阵为非奇异的。
➢ 于是变换矩阵的逆矩阵为
2 1 1 Po 1 0 2
0 0 1
能观性分解(10/10)
➢ 经变换所得的状态空间模型的各矩阵为
0 4 2 A~ Pc1APc 1 4 2
0 0 1 C~ CPc [1 2 1]
1 B~ Pc1B 0
0
则能控子系统的状态方程为
~x1
~x2
0 1
4
4
~x1 ~x2
ห้องสมุดไป่ตู้
2 2
~x3
10u
能观性分解(1/10)—能观性分解定理
4.5.2 能观性分解
类似于能控性分解,对状态不完全能观的线性定常连续系统, 有如下能观性结构分解定理。
目录
概述 4.1 线性连续系统的能控性 4.2 线性连续系统的能观性 4.3 线性定常离散系统的能控性和能观性 4.4 对偶性原理 4.5 线性系统的结构性分解和零极点相消 4.6 能控规范形和能观规范形 4.7 实现问题 4.8 Matlab问题 本章小结
目录(1/1)
线性系统的结构分解和零极点相消(1/3)
能观性分解(8/10)—例4-16
例4-16 试求如下系统的能观子系统:
0 0 -1 1 x 1 0 - 3x 1u
0 1 - 3 0
y [0 1 - 2]x
列3=列1-2列2
解 由于
C
0 1 - 2
rank QO
rank
CA
rank
1
-2
3
2
3
CA2
- 2 3 - 4
故该系统为状态不完全能观且能观部分的维数为2。
线性系统的结构分解和零极点相消(3/3)
本节讨论的主要问题: ➢ 基本概念: 能控分解、能观分解、能控能观分解、零极 点相消 ➢ 基本方法: 能控分解、能观分解、能控能观分解、零极 点相消判据
本节讲授顺序为: ➢ 能控性分解 ➢ 能观性分解 ➢ 能控能观分解 ➢ 系统传递函数中的零极点相消定理
4.5 线性系统的结构分解和零极点相消
一个系统状态不完全能控,意味着系统的部分状态不能控, 但也存在部分状态能控。 ➢ 到底哪一部分状态能控,哪一部分状态不能控的问题,对 于控制系统的分析、设计和综合,显然是至关重要的。 ➢ 由前面的结论已知,系统的非奇异线性变换不改变能控 性,那么是否存在线性变换后将系统的状态变量中完全 能控的部分和完全不能控的部分分离开来? ➢ 对状态不完全能观的系统, ✓ 也存在类似的区分哪些状态能观,哪些状态不能观 的问题。
BB~~12
u
y
~ [C1
0]~x~x12
其中no维子系统
~yx1C~A~11~x11~x1 B~1u
是状态完全能观的。
➢
而n-no维子系统 ~x2
A~21~x1
A~22~x2
B~2u
是状态完全不能观的。
能观性分解(7/10)
因此,由上式可归纳出一结论: ➢ 状态不完全能观系统的传递函数阵等于其能观性分解后 能观子系统的传递函数阵。 ➢ 由于状态不完全能观系统的传递函数阵等于其能观子系 统的传递函数阵,则其极点必少于n个, ✓ 即系统存在零极点相消现象。
0 1 0
A~ Po1APo -1 - 2
0
1 0 -1
C~ CPo [1 0 0]
则能观子系统的状态方程为
1 B~ Po1B -1
0
~x1
~x2
0 1
y [ 1
1 2
~x1 ~x2
1 1u
0
线性系统的结构分解和零极点相消(2/3)
✓ 也存在能否基于线性变换将系统的完全能观部分 和完全不能观部分分离开来?
➢ 系统状态空间模型的状态能控性/能观性问题是系统的 两个不变的结构性问题,描述了系统的本质特征的问题, ✓ 它们与描述系统的输入输出特性的传递函数阵之 间有何联系?
本节主要讨论上述关于线性系统状态空间结构性的2个问题, 即: ➢ 状态空间模型的结构性分解以及 ➢ 传递函数阵与能控性/能观性的关系。
能控性分解(1/18)—能控性分解定理
4.5.1 能控性分解
对状态不完全能控的线性定常连续系统,存在如下能控性结 构分解定理。
定理4-17 若线性定常连续系统
x Ax Bu
y
Cx
状态不完全能控,其能控性矩阵的秩为
rankQc=rank[B AB … An-1B]=nc<n 则存在非奇异线性变换x=Pc x ,使得状态空间模型可变换成
能控性分解(16/18)—例4-15
例4-15 试求如下系统的能控子系统:
1 2 1 0 x 0 1 0 x 0u
1 4 3 1
y [1 1 1 ]x
解 由于
0 1 4
rankQc rank[B AB A2B] rank 0 0
0
2
3
1 3 0
故该系统为状态不完全能控且能控部分的维数为2。
能控性分解(2/18)
其中nc维子系统
~x1 ~x2
A~11 0
A~~12 A22
~x1 ~x2
B~1 0
u
y
~ [C1
~ C2
]~x~x12
是状态完全能控的。 ➢ 而n-nc维子系统
是状态完全不能控的。
能控性分解(15/18)
➢ 因此,由上式可归纳出一结论: ✓ 状态不完全能控系统的传递函数阵等于其能控性分 解后能控子系统的传递函数阵。 ✓ 由于状态不完全能控系统的传递函数阵等于其能控 子系统的传递函数阵,则其极点必少于n个, ❖ 即系统存在零极点相消现象。
定理4-18 若线性定常连续系统
x Ax Bu y Cx
状态不完全能观,其能观性矩阵的秩为
C
rank Qo
rank
CA ...
no
n
CAn1
能观性分解(2/10)
则存在非奇异线性变换x=Pox~,使得状态空间模型可变换为
~x1 ~x2
AA~~1211
0 A~22
~x1 ~x2
能控性分解(17/18)
➢ 为分解系统,选择变换矩阵 0 1 0
Pc 0 0 1 1 3 0
其中前两列取自能控性矩阵Qc,后一列是任意选择的但保证 变换矩阵为非奇异的。
✓ 该变换矩阵的逆矩阵为
3 0 1 Pc1 1 0 0
0 1 0
能控性分解(18/18)
➢ 经变换所得的状态空间模型的各矩阵为
能观性分解(9/10)
➢ 为分解系统,选择变换矩阵
0 1 - 2
Po1 1 - 2
3
0 0 1
其中前两行取自能观性矩阵Qo,后一行是任意选择的但保证 变换矩阵为非奇异的。
➢ 于是变换矩阵的逆矩阵为
2 1 1 Po 1 0 2
0 0 1
能观性分解(10/10)
➢ 经变换所得的状态空间模型的各矩阵为
0 4 2 A~ Pc1APc 1 4 2
0 0 1 C~ CPc [1 2 1]
1 B~ Pc1B 0
0
则能控子系统的状态方程为
~x1
~x2
0 1
4
4
~x1 ~x2
ห้องสมุดไป่ตู้
2 2
~x3
10u
能观性分解(1/10)—能观性分解定理
4.5.2 能观性分解
类似于能控性分解,对状态不完全能观的线性定常连续系统, 有如下能观性结构分解定理。
目录
概述 4.1 线性连续系统的能控性 4.2 线性连续系统的能观性 4.3 线性定常离散系统的能控性和能观性 4.4 对偶性原理 4.5 线性系统的结构性分解和零极点相消 4.6 能控规范形和能观规范形 4.7 实现问题 4.8 Matlab问题 本章小结
目录(1/1)
线性系统的结构分解和零极点相消(1/3)
能观性分解(8/10)—例4-16
例4-16 试求如下系统的能观子系统:
0 0 -1 1 x 1 0 - 3x 1u
0 1 - 3 0
y [0 1 - 2]x
列3=列1-2列2
解 由于
C
0 1 - 2
rank QO
rank
CA
rank
1
-2
3
2
3
CA2
- 2 3 - 4
故该系统为状态不完全能观且能观部分的维数为2。