11-标量衍射理论3-衍射的角谱理论、菲涅耳衍射

即为普遍的衍射公式。
使用时需要化简。 在不同的近似条件下，可 以得到菲涅耳衍射公式和夫琅禾费衍射公式
§2-3 标量衍射的角谱理论
3、菲涅耳衍射公式
x0
x
y0
y
近似条件：
z
孔径和观察平面
z
x02maxy02max
之间的距离远远 大于孔径的线度
z
xm 2 axym 2 ax
只对轴附 近的一个
U 0 ( x 0 ,y 0 )ex j2 k z ( p x 0 2 [ y 0 2 ) ] fx x z ,fy y z
§2-3 标量衍射的角谱理论
3、菲涅耳衍射公式：频域形式
或写成卷积式: U (x ,y) U 0(x ,y) h (x ,y)
其中, 脉冲响应函数为:
h(x,y)j1 zexjp k)e z (x jp 2 kz(x2y2)
§2-3 标量衍射的角谱理论
3、菲涅耳衍射公式：F.T.形式
由菲涅耳衍射的空域表达式：
p U ( x ,y ,z ) ejx j z) k p U z ( x ( ,y , ) ex jz [ p x (x { ) ( y y ) ]d } d x
§2-3 标量衍射的角谱理论
2、基于平面波角谱的衍射理论
从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题
xyz平面的光场分布与x0y00平面光场分布的关系：
U(x,y,z) U(x0,y0,0)exjp2p(z 12fx22fy2)

exjp 2p{ [fx(xx0)fy(yy0)]d}0xd0ydxfdyf
xyz平面上复振幅分布U(x,y,z)的空间频谱, 其 空间频率宗量用传播矢量的方向余弦表示
§2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播
3、衍射孔径对角谱的作用
Effect of Diffraction Aperture on Angular Spectrum
孔径的复振幅透过率：
1 在∑内
t (x0,y0) = 0
p p U ( x ,y ,z ) A (fx ,fy , ) ej x z p (fx fy ) ej x (fx p x fy [ y )d x ] d y

p A 0 (fx,fy,0 )U 0 (x 0 ,y 0 ,0 )ex j2 p(f[ xx 0 fyy 0 )d ]0 d x 0y
衍射现象
平
面
波
入
射 UPP
几
何
阴
影
区
(2)
衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点为P 的复
振幅 U(P) 能否用光场中各源点的复振幅表示出来。
§2-3 标量衍射的角谱理论
1、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式
衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点为P 的复 振幅 U(P) 能否用光场中其它各点的复振幅表示出来。
U ( x ,y ) j1 z ex j) k p U z ( ( x 0 ,y 0 )e x j2 k z [ p x (x 0 ) 2 (y y 0 ) 2 ] d 0 d x 0
在菲涅耳衍射公式基础上再做远场近似，可得夫琅禾费衍射公式。
利用高斯函数的傅里叶变换和F.T.的缩放性质：
p p p e x jz p fx fy ej x fx p x fy y d x d y f f j z e j x z x p y
得到菲涅耳衍射的空域表达式：
p U ( x ,y ,z ) ejx j z) k p U z 0 ( ( x 0 ,y 0 ,0 )ex jz [ p x (x { 0 ) 2 (y y 0 ) 2 ]d } 0 d x 0
§2-3 标量衍射的角谱理论
3、菲涅耳衍射公式：卷积形式
菲涅耳衍射的空域表达式：
UPP 1. 惠更斯包络作图法 (1678): 从某一时刻的波阵面求下 一时刻波阵面的方法.把波阵面上每一面元作为次级子 波的中心,后一时刻的波阵面是所有这些子波的包络面.
惠更斯原理不仅能解释光的反射和折射, 也能预见光在通 (2)
过简单孔径时的衍射现象.但它只能判断光的传播方向,不 能定量计算.
§2-3 标量衍射的角谱理论
1、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式
2. 菲涅耳子波干涉说 (1818): 子波间应当互相干涉,并且应当 考虑不同方向子波的差异. — 惠更斯-菲涅耳原理
惠更斯-菲涅耳原理: 波阵面上任意未受阻挡的点,产生一个 与原波频率相同的子波. 此后空间任何一点的光振动是这 些子波叠加的结果. 其数学表述为:
p U ( x ,y ,z ) ejx j z) k p U z 0 ( ( x 0 ,y 0 ,0 )ex jz [ p x (x { 0 ) 2 (y y 0 ) 2 ]d } 0 d x 0
可以写为：
p U (x ,y ) ejx j zk )p U z0 ( (x 0 ,y 0 )ex jz [ p x ( { x 0 )2 (y y 0 )2 ]d } 0 d x 0y
§2-3 标量衍射的角谱理论
1、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式
菲涅耳衍射公式
略去 (x-x0)/z 和 (y-y0)/z 的二次以上的项, 则
rz11xx021yy02 2 z 2 z
在振幅部分取r的一级近似, 位相因子用r的二级近似, 代入基尔霍夫公式, 即得菲涅耳衍射公式
1、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式
基尔霍夫衍射公式
U (P )j1 U (P 0) co nrs), 2 (co nrs'), (er jkd r s
在傍轴近似下 consr(,)consr(,')1
2
r z2(xx0)2(yy0)2
随近似程度的不同, 将衍射现象分为菲涅耳衍射和 )cos[2pnt - j(P)] U(P) = a(P) e jj(P)
2ptnj(P)2pT tt 2p T xxT yyT zz
y
k
k 2p
x
平面波在x和y方向的空间频率:
fxcos;
fy cosc矢os的,方co向s余为弦波
§2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播
3、衍射孔径对角谱的作用
例: 单位振幅平面波垂直入射照明一矩孔,
求角谱的变化
Ui (x0,y0)
Ui (x0,y0) = 1 t (x0,y0)=rect(x0/a)rect(y0/b) Ai (fx,fy)= d (fx,fy) T (fx,fy)=absinc(afx)sinc(bfy)
其它
Ui (x0,y0) Ut (x0,y0)
光场通过衍射屏后的变化：
Ut (x0,y0) = Ui (x0,y0) t (x0,y0)
F.T. 角谱的变化： At (fx,fy) = Ai (fx,fy) T (fx,fy)
由于卷积运算具有展宽带宽的性质，因此，引入衍射孔径使 入射光波在空间上受到限制，其效应就是展宽了光波的角谱。
注意fx=cos /, fy=cos / ，上式可写为:
A (fx,fy) A 0 (fx,fy)e x jk p 1 z2fx 22fy2
这就是衍射现象的频域（角谱）表达式。
衍射现象的传递函数：H (fx,fy)ex jp k1 z2fx22fy2
At (fx,fy) = d (fx,fy) T (fx,fy) = T (fx,fy) 角谱展宽
Ut(x0,y0)
孔径限制了入射波面的范围, 展宽了入射角谱
故角谱的展宽就是在出射波增加了与入射光波传播方向不同的 平面波分量，即增加了一些高空间频率的波，这就是衍射波。
§2-3 标量衍射的角谱理论
r
d
s
源点处的面元法线
源点
所考虑的传播方向与面元法线的夹角 源点到场点的距离
场点 成功: 可计算简单孔径
源波阵面
的衍射图样强度分布.
局限:难以确定K(q ).无法引入-p /2的相移
§2-3 标量衍射的角谱理论
1、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式
在单色点光源照明平面孔径的情况下: 惠-菲原理
平面波传播方向在xz平面, 与z轴夹角为q, sin q
则此平面波复振幅沿x方向的空间频率为:
空间频率的单位: cm-1, mm-1, 周/mm, 条数/mm , lp/mm 等
平面波的复振幅分布：U (x ,y ) A ex j( k x c po [ y c s o )] s
复振幅分布的角谱: p U (x ,y)A ex j2 p (fx [xfyy)]
§2-3 标量衍射的角谱理论
2、基于平面波角谱的衍射理论
从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题
xyz平面的光场分布的角谱与x0y00平面角谱的关系（角谱传播）：
A ( c, o c, o s z ) A ( s c, o c, o s ) es jx k c p z o c s os
U(P)cU(P0)K(q)erjk
r
d
s
n
r' P’
P0
∑
r
基尔霍夫 边界条件
P
U (P )j1 U (P 0) co nrs), 2 (co nrs'), (er jkd r
基尔霍夫衍射公式
常数幅相因子 1/j 自动出现，K(q)函数形式确定
§2-3 标量衍射的角谱理论