2019年度-2020年度高考数学小题综合训练4

2019-2020年高考数学小题综合训练4

1．已知全集U ＝{1,2,3,4}，若A ＝{1,3}，B ＝{3}，则(∁U A )∩(∁U B )等于( ) A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{2,3} D ．{2,4} 答案 D

解析 根据题意得∁U A ＝{2,4}，∁U B ＝{1,2,4}， 故(∁U A )∩(∁U B )＝{2,4}．

2．设i 是虚数单位，若复数z ＝i

1＋i ，则z 的共轭复数为( )

A.12＋12i B ．1＋12i C ．1－12i D.12－12i 答案 D

解析 复数z ＝i

1＋i ＝

i 1－i

1＋i

1－i ＝i ＋1

2， 根据共轭复数的概念得，z 的共轭复数为12－1

2

i.

3．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示．若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为( )

A ．30

B ．25

C ．22

D ．20 答案 D

解析 50×(1.00＋0.75＋0.25)×0.2＝20.

4．已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，f (－1))处切线的斜率为8，则f (－1)等于( ) A ．7 B ．－4 C ．－7 D ．4 答案 B

解析 ∵y ′＝4x 3＋2ax ，∴－4－2a ＝8， ∴a ＝－6，∴f (－1)＝1＋a ＋1＝－4. 5．已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 在b 方向上的投影为( )

A ．1 B. 2 C.12 D.

22

答案 D

解析 设a 与b 的夹角为θ， ∵a ⊥(a －b )，

∴a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝0，即a 2－|a |·|b |cos θ＝0，

∴cos θ＝

22

，

∴向量a 在b 方向上的投影为|a |·cos θ＝22

.

6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A.83

B.163

C.20

3 D ．8 答案 B

解析 由三视图可知，该几何体是底面积为8，高为2的四棱锥，如图所示．

∴该几何体的体积V ＝13×8×2＝16

3

.

7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1

2

，则ω的

最小值为( ) A.23 B ．1 C.4

3 D ．2 答案 A

解析 方法一 当x ＝π2时，ωx ＋φ＝π

2ω＋φ＝k 1π，k 1∈Z ，

当x ＝π4时，ωx ＋φ＝π4ω＋φ＝2k 2π＋π6或2k 2π＋5π

6，k 2∈Z ，

两式相减，得π4ω＝(k 1－2k 2)π－π6或(k 1－2k 2)π－5π

6，k 1，k 2∈Z ，

即ω＝4(k 1－2k 2)－23或4(k 1－2k 2)－10

3，k 1，k 2∈Z ，

又因为ω>0，所以ω的最小值为4－103＝2

3

.

方法二 直接令π2ω＋φ＝π，π4ω＋φ＝5π6，得π4ω＝π

6，

解得ω＝2

3

.

8．《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，可用如图所示的程序框图解决此类问题．现执行该程序框图，输入的d 的值为33，则输出的i 的值为( )

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7 答案 C

解析 i ＝0，S ＝0，x ＝1，y ＝1，开始执行程序框图，i ＝1，S ＝1＋1，x ＝2，y ＝1

2

；i ＝2，

S ＝1＋2＋1＋12，x ＝4，y ＝1

4；…；i ＝5，S ＝(1＋2＋4＋8＋16)＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫1＋12＋14＋18＋116<33，

x ＝32，y ＝

1

32，再执行一次，S >d 退出循环，输出i ＝6，故选C.

9．在△ABC 中，tan A ＋B

2

＝sin C ，若AB ＝2，则△ABC 的周长的取值范围是( )

A ．(2,2

2]

B ．(2

2，4]

C ．(4,2＋22]

D ．(2＋2

2，6]

答案 C

解析 由题意可得

tan A ＋B 2＝tan ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π2－C 2＝

cos C

2sin

C

2

＝2sin C

2cos C

2， 则sin 2

C 2＝1

2，即1－cos C 2＝12

， ∴cos C ＝0，C ＝π2

.

据此可得△ABC 是以点C 为直角顶点的直角三角形， 则

4＝a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－2×

⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ＋b 22， 据此有a ＋b ≤2

2，

∴△ABC 的周长a ＋b ＋c ≤2＋2

2.

三角形满足两边之和大于第三边， 则a ＋b >2，∴a ＋b ＋c >4.

综上可得，△ABC 周长的取值范围是(4,2＋2

2]．

10．一个三棱锥A －BCD 内接于球O ，且AD ＝BC ＝3，AC ＝BD ＝4，AB ＝CD ＝13，则

球心O 到平面ABC 的距离是( ) A.152 B.153 C.154 D.156

答案 D

解析 由题意可得三棱锥A －BCD 的三对对棱分别相等，