大学物理习题静电场中的导体和电介质

解：设两球半径分别 为 r1和r2,导线连接后的带
电量分别为 q1和q2 , 而 q1+q2= 2q, 则两球电
势分别是
U1

q1
4π 0r1
,
U2

q2
4π 0r2
两球相连后电势相等, U1=U2 则有
q1 q2 q1 q2 2q r1 r2 r1 r2 r1 r2
由此得到
（A）球体的静电能等于球面的静电能； （B）球体的静电能大于球面的静电能； （C）球体的静电能小于球面的静电能； （D）无法比较。
[B]
11.一个大平行板电容器水平放置，两极板
间的一半空间充有各向同性均匀电介质，
另一半为空气，如图。当两极板带上恒定
的等量异号电荷时，有一个质量为m、带
电量为+q的质点，平衡在极板间的空气域
根据高斯定理 sD1 d S q0 (自由) r1 r2
D1S 1 S 1得D1
S
同法作高斯面 S’ ,则 sD1 d S -D1S 2 D2S 2 0
S1 S'
D2 D1
S2
介质内电位移 D 1.77 10 -5 C m -2 d1 d2
21
-n n
CU 2 1 - n 0. 外力作正功
2n
(3)介质1表面束缚电荷面密度
UA
UB
1 ' P1 1.42 10 -5 C m -2
介质2表面束缚电荷面密度
r1 r2 S
2 ' P2 8.85 10 -6 C m -2
S1 S'
(靠近带正电极板端 ’为 负,另一端为 ’正)
S2
d1 d2
14.用输出电压 U 为稳压电源为一电容为 C 的空气平行板电容器充电,在电源保持
–q‫׳‬2 = –0.86×10–7C
UA
E AB d AB

q1
r0S
d AB
9.7 10 2 V
13.平行板电容器的极板面积 S=200 cm2,
两板间距 d=5.0 mm,极板间充以两层均匀
电介质,电介质,其一厚度为 d1=2.0 mm,相
对介电常数 r1=5.0 ,其二厚度为d2=3.0mm,
C2
[A]
9. 一球形导体,带电量 q ,置于一任意形状
的空腔导体中,当用导线将两者连接后,则 与末连接前相比系统静电能能将
(A) 不变；
(B) 增大；
(C) 减小；
q
(D) 如何变化无法确定。
[C]
10.真空中有一均匀带电球体和一均匀带 电球面,如果它们的半径和所带的电量都 相等,则它们的静电能之间的关系是：
连接的情况下,试求把两个极板间距增大
至 n 倍时外力所做的功。
解：因保持与电源连接,两极间电势保持不变,而
电容值为 C 0S / d C' 0S /(nd ) C / n
电容器储存的电场能量由 We CU 2 / 2
We' C'U 2 / 2 CU 2 / 2n
We
We'-We
UA
E AB
d AB
q1
0S
d AB
1.0 10 -7 4.0 10 -3 8.85 10 -12 200 10 -4
- q1 q1 q2 - q2
CA B
2.3 10 3 V
(2)当 AB 充以电介质时,满足下列 - q1 q1 q2
关系式 q‫ ׳‬1+ q‫׳‬2 = q ①
中。此后，若把电介质抽去，则该质点将
（A）保持不动。
（B）向上运动。 （C）向下运动。 （D）是否运动不能确定
-Q m q Q
[B]
12.A、B、C 是三块平行金属板,面积均为 200cm2，A、B 相距 4.0mm，A、C 相距 2.0mm，B、C 两板都接地（如图）。
(1)设A板带正电 3.0×10-7C, 不 计边缘效应,求 B 板和 C 板上的 感应电荷,以及 A 板的电势。 C A B (2) 若在 A 、B 间充以相对 介电常数为 r = 5 的均匀电 介质,再求 B 板和 C 板上的 感应电荷,以及 A 板的电势。
- q2
EAB

q1
0 r S
E AC

q2
0S
CA B
q1 r EAB 5d AC
q2
E AC
d AB
q1 / q2 5 / 2 ②
解①②式:得B 板感应 q‫׳‬1 = – 2.14×10–7C,
–q‫׳‬1 = – 2.14×10–7C,
C板感应, q‫׳‬2 = 0.86×10–7C,
相对介电常数 r2=2.0,若以 3800V 的电势
差 (UA-UB) 加在此电容器的两极板U上A , U B
求: (1)板上的电荷面密度；
r1 r2
(2)介质内的场强、电位移及电
极化强度;
S
(3)介质表面上的极化电荷密度.
d1 d2
解:
C
1
1
1
C1C2 C1 C2
C1 C2
导体壳与导体球等势：
R1
r R3,
U
1
'

U
2
'

U
3
'

q Q
4 0 R 3
r

R3,
U4'
q Q
4 0r
(同上)
R2 R3
(b)外壳接地外表面 (q+Q) 入地,则为两均匀
带电球面电势迭加
r R1,
U1''
1
4 0r
q R1
-
q R2

R1 r R2,
(1)电势分布表示式,作图表示U～r关系曲线； (2) (a)用导线连接球和球壳后的电势分布；
(b)外壳接地后的电势分布。
Q
q R1
R2
R3
解：(1)根据静电平衡条件：导体内场强为
零.可知球壳内表面感应电荷为–q ,且均匀分 布, 导体球所带电量 q 均匀分布在导体球表
面。由电荷守恒得导体球壳外表面均匀分布
U2

1
4 0
q r
-
q R2

q Q R3

R2 r R3,
U3

q Q
4 0 R3
r R3,
U4
q Q
4 0r
q -q Qq R1
R2
R3 V
R1 R2 R3
r
(2) (a)导体连接后,导体球带电量
q与球壳内表面感应电荷–q 中和,
q -q Qq
q1
r1 2q r1 r2
6.67 103C,
q2
r2 2q r1 r2
13.33103C
两球电势
U1
U2

q1
4π 0r1

6.0 103 V
5.半径为 R1 的导体球,被一与其同心的导体 球壳包围着,其内外半径分别为 R2、R3 ,使内 球带电 q,球壳带电 Q ,试求：
;
E AC
q2 ;
0S
q1 E AB ②
q2 E AC
根据题意: UA–UB=UA –UC
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
即有: dABEAB= dACEAC
得:
E AB 1 E AC 2
③
解 ①②③得:
q1=1.0×10–7C; q2=2.0×10–7C;
B 板上感应电荷为 –q1=1.0×10–7C; C 板上感应电荷为 –q2=2.0×10–7C;
U2''

1
4 0r
q r
-
q R2

r R2, U3''U4'' 0
6.一个带电量 q、半径为 R 的金属球壳, 壳内是真空,壳外是介电常数为 的无限 大各向同性均匀介质,则此球壳的电势U=
(A) q /4R (B) q /4R (C) q /4R2 (D) q /4R2
r10S r20S

d1
r10S
d2
r20S
d1
d2
∴C

0S
d1 d2
9.32 10 -11 F
r1 r2
UA
UB
r1 r2
S
d1 d2
即
Q
S

C (U
A -U B S
)
1.77
10 -5 C
m -1
(2)作闭合圆柱形高斯面S如图.
UA
UB
[A]
7. C1 和 C2 两空气电容器并联起来接上电
源充电.然后将电源断开，再把一电介质插
入 C1 中，则
(A) C1 和 C2 极板上电量都不变. (B) C1极板上电量增大,C2极板上的电量不变. (C) C1极板上电量增大,C2极板上的电量减少. (D) C1极板上的电量减少,C2极板上电量增大.
电量(Q+q),所以静电平衡后空间电势分布
可视为三个均匀带电球面电势迭加,均匀带 电球面电势为：
q
U 40R
q
4 0r
(r R ) (r R )
q -q Qq R1
R2
R3
r R,
U1

1
4 0
q R1
-
q R2

q Q R3

R1 r R2 ,
U
2
/ 2(C
/n
-C)
CU 2
21
-n n

0
在两极板间距增大过程中电容器上带电量由 Q
减至 Q’ ,电源作功：
W1

(Q'-Q )U
(C'U
- CU
)U
CU
21
-n n

0
在拉开极板过程中,外力做功为W2,
根据功能原理:W1+W2=W
W2

We
- W1

CU 2
21
-n n
- CU
分别带电量 ±q , 忽略边缘效应,则两极
板间的作用力为：
(A)
q2
0S
(B)
q2
20S
(C) q2
20S 2
(D) q 2
0S 2
[B]
4.半径分别为 1.0 cm 与 2.0 cm 的两个 球性导体,各带电量 1.010-8C ，两球心 间相距很远.若用导线将两球相连.求 (1)每个球所带电量. (2)每球的电势.
1.“无限大”均匀带电平面 A 附近平行放
置有一定厚度的“无限大”平面导体板 B,
如图所示,已知 A 上的电荷面密度为 + ,
则在导体板 B 的两个表面 1 和 2 上的感
应电荷面密度为
（A） 1=–, 2=0 （B） 1=–, 2=+, （C） 1=– /2 , 2=+ /2 （D） 1=– /2 , 2=– /2
1 2
AB
[C]
2.在一个带电量为 +q 的外表面为球形的 空腔导体 A 内,放有一带电量为 +Q 的带 电导体 B ,则比较空腔导体 A 的电势 UA, 和导体 B 的电势 UB 时,可得以下结论：
（A）UA>UB （C）UA=UB
（B）UA<UB
（D）两者无法比较。
[B]
3.面积为 S 的空气平行板电容器,极板上
介介D质质 内2r内10E电场, 极强化介E强质2 度1内rD2场 P01 强 1.E0111-016rrD11V0m14.-41.0211005-V5Cmm-1-2
介质内2电极化强度
P2

1

-1
r2


8.85
10 -6 C m -2
解：(1) A 板带正电 B,C 两板接地,且两板
在 A 板附近,所以 A 板上的正电荷电量为
q , 分布在左右两表面,设 B 板感应电荷为
–q1 C 板感应电荷为 –q2 ,
q1+ q2 = q
①
- q1 q1 q2 - q2
由于 AB 间和 BC 间均可视为匀 C A B
强电场
EAB

q1
0S
C1
C2
[C]
8. C1 和 C2 两空气电容器串联起来接上
电源充电,保持电源联接,再把一电介质板
插入 C1 中,则
(A) C1上电势差减小,C2上电量增大； (B) C1上电势差减小,C2上电量不变； (C) C1上电势差增大,C2上电量减小； (D) C1上电势差增大,C2上电量不变。
C1