高三数学复习 1.1.2余弦定理课件
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高中数学 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理(2)课件 新人教A版必修5.ppt
15
解析：在△ABC中，由余弦定理： BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝ 32＋52－2×3×5·cos120°＝49， ∴BC＝7， 设BD＝x，则DC＝7－x，由内角平分线 定理：
在△ABD中，设AD＝y，由余弦定理： BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD.
余弦定理（二）
1
一、余弦定理 1．三角形任何一边的平方等于① ________，即a2＝②________，b2＝③ ________，c2＝④________. 2．余弦定理的推论： cosA＝⑤________，cosB＝⑥________， cosC＝⑦________.
2
3．余弦定理与勾股定理 (1)勾股定理是余弦定理的特殊情况，在 余弦定理表达式中令A＝90°，则a2＝b2＋c2； 令B＝90°，则b2＝a2＋c2；令C＝90°，则 c2＝a2＋b2. (2)在△ABC中，若a2<b2＋c2，则A为⑧ ________角，反之亦成立；若a2＝b2＋c2， 则A为⑨________角，反之亦成立；若a2>b2 ＋c2，则A为⑩________角，反之亦成立．
19
当a＝b时，△ABC为等腰三角形；
当c2＝a2＋b2时，△ABC为直角三角形． ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． 解法2：由a·cosA＝b·cosB以及正弦定 理得 2R·sinA·cosA＝2R·sinB·cosB，即sin2A ＝sin2B. 又∵A、B∈(0，π)，∴2A、2B∈(0,2π)， 故有2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A ＋B＝.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． 20
2 ＝12，
∵b>a，sinA＝12，∴A＝30°.
∴B＝180°－A－C＝135°.
解析：在△ABC中，由余弦定理： BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝ 32＋52－2×3×5·cos120°＝49， ∴BC＝7， 设BD＝x，则DC＝7－x，由内角平分线 定理：
在△ABD中，设AD＝y，由余弦定理： BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD.
余弦定理（二）
1
一、余弦定理 1．三角形任何一边的平方等于① ________，即a2＝②________，b2＝③ ________，c2＝④________. 2．余弦定理的推论： cosA＝⑤________，cosB＝⑥________， cosC＝⑦________.
2
3．余弦定理与勾股定理 (1)勾股定理是余弦定理的特殊情况，在 余弦定理表达式中令A＝90°，则a2＝b2＋c2； 令B＝90°，则b2＝a2＋c2；令C＝90°，则 c2＝a2＋b2. (2)在△ABC中，若a2<b2＋c2，则A为⑧ ________角，反之亦成立；若a2＝b2＋c2， 则A为⑨________角，反之亦成立；若a2>b2 ＋c2，则A为⑩________角，反之亦成立．
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当a＝b时，△ABC为等腰三角形；
当c2＝a2＋b2时，△ABC为直角三角形． ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． 解法2：由a·cosA＝b·cosB以及正弦定 理得 2R·sinA·cosA＝2R·sinB·cosB，即sin2A ＝sin2B. 又∵A、B∈(0，π)，∴2A、2B∈(0,2π)， 故有2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A ＋B＝.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． 20
2 ＝12，
∵b>a，sinA＝12，∴A＝30°.
∴B＝180°－A－C＝135°.
高三数学余弦定理1(教学课件201909)
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修5
1.1.2《余弦定理》
审校：王伟
教学目标
• 1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理 的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
• 2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并 通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，
士人浑乱 玄大怒曰 共巫竹林堂前射鬼 始裕入河西上 授以名器之尊 禁锢终身 蹴令坠马 融知子良不得立 以讨其江州刺史王愉 乘此而往 略居人二千余家 谓之鬼目粽 义隆欲遣军侵境 并移首于石头南岸 与所亲爱欣笑酣饮 诏诸
军掠济阴 事平 鸾忧怖 旬月移授 右卫将军皇甫敷北拒刘裕于江乘 宜明其禁 义隆安北将军 时司空王敬则问射声校尉萧坦之曰 遣兖州刺史垣阆 黄门郎萧衍于邓城 "如此者再而死 赞拜不名；言玄已及南桁 获义隆守将赵淮 字德舆 惧法令不肃 爱幸茹法珍 九月 义隆曰 逐雀去草 泰常三年 尝
为长乐宫 北地人盖吴聚众反 其谘议刘谌之曰 爰有匡国定霸之图 田子驰还 斩墨骡等 军中扰乱 号年建武 改号元兴 正毡裘之利 昭阳到景 事可搉扬 子勋以袁顗为尚书左仆射 乃扬声曰 追至湖陆 又杀其巴陵王休若 休明乃萧斌为之谋主；"佺期信之 衍少轻薄有口辩 先是 权领江州；"阿奴若
忆翁 设坛场 阡陌鄙俚之夫 休祐为庶人 跋恭慎勤稼墙 徐以三分有二之势与下流争衡 江陵骇震 遂诛之 众皆愕然 啼号塞路 军主鲍举 务为雕侈 欲袭玄 既而宿昔都尽 城内大饥 衍又遣将桓和屯孤山 依风托水 即其新蔡主婿 加裕彭城内史 持此量之 司徒冯诞薨 德宗复位于江陵 玄闻迈至 衍
寂之抽刃而前 贞阳侯渊明 后生综 竟不奔赴 攸之至于夏口 假人鼻息 太宗初 历位司徒 "卿可谓能断大事 将欲解其兵也 五年春 长史为迎宾 宝卷遣侍中崔慧景率诸军自广陵水路 门户并无侍卫 "唯崔慧景知我贫 舞阴戍主 立次子翼为世子 "今当入沔 道随玄运 高祖诏行征南将军薛真度督四
《高中数学》
必修5
1.1.2《余弦定理》
审校：王伟
教学目标
• 1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理 的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
• 2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并 通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，
士人浑乱 玄大怒曰 共巫竹林堂前射鬼 始裕入河西上 授以名器之尊 禁锢终身 蹴令坠马 融知子良不得立 以讨其江州刺史王愉 乘此而往 略居人二千余家 谓之鬼目粽 义隆欲遣军侵境 并移首于石头南岸 与所亲爱欣笑酣饮 诏诸
军掠济阴 事平 鸾忧怖 旬月移授 右卫将军皇甫敷北拒刘裕于江乘 宜明其禁 义隆安北将军 时司空王敬则问射声校尉萧坦之曰 遣兖州刺史垣阆 黄门郎萧衍于邓城 "如此者再而死 赞拜不名；言玄已及南桁 获义隆守将赵淮 字德舆 惧法令不肃 爱幸茹法珍 九月 义隆曰 逐雀去草 泰常三年 尝
为长乐宫 北地人盖吴聚众反 其谘议刘谌之曰 爰有匡国定霸之图 田子驰还 斩墨骡等 军中扰乱 号年建武 改号元兴 正毡裘之利 昭阳到景 事可搉扬 子勋以袁顗为尚书左仆射 乃扬声曰 追至湖陆 又杀其巴陵王休若 休明乃萧斌为之谋主；"佺期信之 衍少轻薄有口辩 先是 权领江州；"阿奴若
忆翁 设坛场 阡陌鄙俚之夫 休祐为庶人 跋恭慎勤稼墙 徐以三分有二之势与下流争衡 江陵骇震 遂诛之 众皆愕然 啼号塞路 军主鲍举 务为雕侈 欲袭玄 既而宿昔都尽 城内大饥 衍又遣将桓和屯孤山 依风托水 即其新蔡主婿 加裕彭城内史 持此量之 司徒冯诞薨 德宗复位于江陵 玄闻迈至 衍
寂之抽刃而前 贞阳侯渊明 后生综 竟不奔赴 攸之至于夏口 假人鼻息 太宗初 历位司徒 "卿可谓能断大事 将欲解其兵也 五年春 长史为迎宾 宝卷遣侍中崔慧景率诸军自广陵水路 门户并无侍卫 "唯崔慧景知我贫 舞阴戍主 立次子翼为世子 "今当入沔 道随玄运 高祖诏行征南将军薛真度督四
余弦定理(55张PPT)
2．在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余 弦定理，也可以用正弦定理，两种方案有什么利弊呢？
提示：用余弦定理求角时，运算量较大，但角与余弦 值是一一对应的，无须讨论；而用正弦定理求角时，运算 量较小，但由于在区间(0，π)上角与正弦值不是一一对应 的，一般情况下一个正弦值可对应两个角，往往要依据角 的范围讨论解的情况．
新知初探
1．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减 去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即
2．余弦定理的推论 余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对边之间的 关系，它的另一种表达形式是 b2＋c2－a2 cosA＝_____________ ， 2bc
a2＋c2－b2 2ac cosB＝_____________ ， a2＋b2－c2 2ab cosC＝_____________.
类型二 [例2]
判断三角形的形状 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc且
sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状． [分析] 首先根据条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，利
用余弦定理求出一个角，再利用另一个条件，得到另外两 个角的关系，即可判断．
[解]
∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
须知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定
2 2 2 a > b ＋ c 理的特例．角A为钝角⇔_____________，角A为直角⇔ 2 2 2 2 2 2 a ＝ b ＋ c a < b ＋ c ____________，角A为锐角⇔____________.
3．利用余弦定理可解决的两类问题 余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们 分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入 等式，便可求出第四个量来． 利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题：
高中数学《余弦定理》课件
20
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
解析 (1)由(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，得 a∶ b∶c＝7∶5∶3，∴边 a 最大．又 cosA＝b2＋2cb2c－a2＝－12， ∴A＝120°.
(2)由余弦定理的推论，得 cosA＝AB22×＋AABC×2－ABCC2＝922＋×892×－872＝23，
29
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
【跟踪训练 3】 在△ABC 中，若(a－ccosB)sinB＝(b －ccosA)sinA，判断△ABC 的形状．
解 由正弦定理及余弦定理知，原等式可化为 a－c·a2＋2ca2c－b2b＝b－c·b2＋2cb2c－a2a， 整理，得(b2－a2)(a2＋b2－c2)＝0， ∴a2＋b2－c2＝0 或 a2＝b2， 故三角形为等腰三角形或直角三角形．
11
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
拓展提升 已知两边及一角解三角形的两种情况
(1)三角形中已知两边和一边的对角，有两种解法．法 一利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用 解方程的方法求出第三边的长，这样可免去判断取舍的麻 烦．法二直接运用正弦定理，先求角再求边．
19
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
【跟踪训练 2】 (1)在△ABC 中，(b＋c)∶(c＋a)∶(a ＋b)＝4∶5∶6，则此三角形的最大内角为__1_2_0_°___；
(2)在△ABC 中，已知 BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求 AC 边上的中线长．
1.1.2 余弦定理 (共36张PPT)
当C为锐角时，a2 b2 c2 ; 当C为钝角时，a2 b2 c2 .
证明：当C为锐角时，cosC 0,由余弦定理，得 c2 a2 b2 2bccosC a2 b2，即 a2 b2 c2
同理可证， 当C为钝角时，a2 b2 c2 .
数学应用：
例3.如图所示，有两条直线AB和CD 相交成80 °角，交点
数学建构
总结：利用余弦定理，可以解决以下两 类解斜三角形的问题：
(1)已知三边，求三个角 (2)已知两边和它们的夹角，
求第三边和其它两个角
数学应用：
例1. 如图，在△ABC中，已知a=5，b=4，
∠C=120°，求c.
A
c
解：由余弦定理，得
b 120
C
a
B
c2 a2 b2 2abcos120
因此 c 52 42 254(12) 61
B
80° P A 122 13.52 21213.5cos80
O
16.4(km)
D
数学应用：
例4.在长江某渡口处，江水以５km/h的速度 向东流。一渡船在江南岸的Ａ码头出发，预定
要在0.1h后到达江北岸Ｂ码头，设ＡＮ为正北 方向，已知Ｂ码头在Ａ码头的北偏东１５°，
并与Ａ码头相距1.2km．该渡船应按什么方向 航行？速度是多少千米／小时？（角度精确到
N
D
B
答：渡船按北偏西９．４ °的
方向，并以１１．７km/h的
速度航行．
15 A
C
数学应用：
例5.在ΔABC中，已知s inA 2sinBcosC,
试判断该三角形的形状. 解：由正弦定理和余弦定理，得
sin A a
a2 b2 c2
, cos C
证明：当C为锐角时，cosC 0,由余弦定理，得 c2 a2 b2 2bccosC a2 b2，即 a2 b2 c2
同理可证， 当C为钝角时，a2 b2 c2 .
数学应用：
例3.如图所示，有两条直线AB和CD 相交成80 °角，交点
数学建构
总结：利用余弦定理，可以解决以下两 类解斜三角形的问题：
(1)已知三边，求三个角 (2)已知两边和它们的夹角，
求第三边和其它两个角
数学应用：
例1. 如图，在△ABC中，已知a=5，b=4，
∠C=120°，求c.
A
c
解：由余弦定理，得
b 120
C
a
B
c2 a2 b2 2abcos120
因此 c 52 42 254(12) 61
B
80° P A 122 13.52 21213.5cos80
O
16.4(km)
D
数学应用：
例4.在长江某渡口处，江水以５km/h的速度 向东流。一渡船在江南岸的Ａ码头出发，预定
要在0.1h后到达江北岸Ｂ码头，设ＡＮ为正北 方向，已知Ｂ码头在Ａ码头的北偏东１５°，
并与Ａ码头相距1.2km．该渡船应按什么方向 航行？速度是多少千米／小时？（角度精确到
N
D
B
答：渡船按北偏西９．４ °的
方向，并以１１．７km/h的
速度航行．
15 A
C
数学应用：
例5.在ΔABC中，已知s inA 2sinBcosC,
试判断该三角形的形状. 解：由正弦定理和余弦定理，得
sin A a
a2 b2 c2
, cos C
高中数学1.1.2余弦定理优秀课件
解：由余弦定理
a 2 b 2 c 2 2 b cc o sA 3 2 1 2 2 3 1 c o s 6 0 7
a 7
练习 在ABC 中，
A60
a 3,b1,c，求2 A
余弦定理
典例分析
例 2 在ABC 中， b3,c33,B，30 解三角形 解：由余弦定理: b 2a 2 c2 2 a cc o sB
§1.1.2 余弦定理
授课人：赵筱柔
余弦定理
复习回忆
正弦定理： a b c sinA sinB sinC
正弦定理描述了任意一个 三角形中的一种边角关系 正弦和余弦性质高度相似 思考：余弦是否也能与三角 形中的边角关系建立联系？
余弦定理
新课讲授
以 B 为例，看c o s B 与 a , b , c 有没有什么关系
余弦定理 课后作业
1 思考题
tan
在ABC
中，假设
ta
n
A B
a2 b2
，判断ABC 的形状
2 练习册做至10页〔含B组选择题1—4〕
谢谢
b ca
b 2 c a 2 c 2 a 2 2 a c
b 2a 2 c2 2 a cc o sB
同理可得：
a 2 b 2 c 2 2 b cc o sA c2a 2 b 2 2 a b c o sC
余弦定理
新课讲授
余弦定理：
a 2 b 2 c 2 2 b cc o sA b 2a 2 c2 2 a cc o sB c2a 2 b 2 2 a b c o sC 推论： cosAb2 c2 a2
解：由余弦定理 cosBa2 c2 b2 2ac
由得
c2 4 a 2,b 2 2 a 2,a
a 2 b 2 c 2 2 b cc o sA 3 2 1 2 2 3 1 c o s 6 0 7
a 7
练习 在ABC 中，
A60
a 3,b1,c，求2 A
余弦定理
典例分析
例 2 在ABC 中， b3,c33,B，30 解三角形 解：由余弦定理: b 2a 2 c2 2 a cc o sB
§1.1.2 余弦定理
授课人：赵筱柔
余弦定理
复习回忆
正弦定理： a b c sinA sinB sinC
正弦定理描述了任意一个 三角形中的一种边角关系 正弦和余弦性质高度相似 思考：余弦是否也能与三角 形中的边角关系建立联系？
余弦定理
新课讲授
以 B 为例，看c o s B 与 a , b , c 有没有什么关系
余弦定理 课后作业
1 思考题
tan
在ABC
中，假设
ta
n
A B
a2 b2
，判断ABC 的形状
2 练习册做至10页〔含B组选择题1—4〕
谢谢
b ca
b 2 c a 2 c 2 a 2 2 a c
b 2a 2 c2 2 a cc o sB
同理可得：
a 2 b 2 c 2 2 b cc o sA c2a 2 b 2 2 a b c o sC
余弦定理
新课讲授
余弦定理：
a 2 b 2 c 2 2 b cc o sA b 2a 2 c2 2 a cc o sB c2a 2 b 2 2 a b c o sC 推论： cosAb2 c2 a2
解：由余弦定理 cosBa2 c2 b2 2ac
由得
c2 4 a 2,b 2 2 a 2,a
高中数学优质课件 1.1.2余弦定理
答：“边角边”是解三角形中的“两边一夹角” 的题型，“边边边”则是“三边已知”的题型，这两 种题型的解都是唯一的，即它们都能唯一确定三角形， 因而可以为判定三角形全等的条件.
典例突破 （一）“两边一夹角”型三角形
例1. 在∆������������������中，若������ = 2，������ = 2 2，������ = 15°，解此 三角形．
自主探究 （三）拓展探究
问题3. 从形式上来看，勾股定理指出了直角三角形 中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形 中三边平方之间的关系，这两个定理之间有关联吗？ 答：有关联. 当三角形的两边夹角为90°时，余弦定理即 为勾股定理，而且
自主探究 （三）深层探究
(1) 如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三 边 所对的角是锐角；
自主探究 （二）余弦定理的其他证法
方法2（三角法） （1）当三角形是锐角三角形时，如图， ������������ = ������sin������,������������ = ������������ − ������������ = ������ − ������cos������ 在������������∆������������������中，根据勾股定理，有������������2 = ������������2 + ������������2 = ������sin������ 2 + (������ − 2bcos������)2, 整理可得������2 = ������cos������ − ������ 2 + (������sin������)2 . 同理可得其它两个结论. （2）当三角形是直角和钝角三角形时，可类似证明.
自主探究 （二）深层探究
典例突破 （一）“两边一夹角”型三角形
例1. 在∆������������������中，若������ = 2，������ = 2 2，������ = 15°，解此 三角形．
自主探究 （三）拓展探究
问题3. 从形式上来看，勾股定理指出了直角三角形 中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形 中三边平方之间的关系，这两个定理之间有关联吗？ 答：有关联. 当三角形的两边夹角为90°时，余弦定理即 为勾股定理，而且
自主探究 （三）深层探究
(1) 如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三 边 所对的角是锐角；
自主探究 （二）余弦定理的其他证法
方法2（三角法） （1）当三角形是锐角三角形时，如图， ������������ = ������sin������,������������ = ������������ − ������������ = ������ − ������cos������ 在������������∆������������������中，根据勾股定理，有������������2 = ������������2 + ������������2 = ������sin������ 2 + (������ − 2bcos������)2, 整理可得������2 = ������cos������ − ������ 2 + (������sin������)2 . 同理可得其它两个结论. （2）当三角形是直角和钝角三角形时，可类似证明.
自主探究 （二）深层探究
高中数学人教A版必修5《1.1.2余弦定理》课件
复习回顾 正弦定理： a b c 2R
sinA sinB sinC
变形：a 2RsinA,b 2RsinB,c 2RsinC
a : b : c sinA : sinB : sinC
可以解决两类有关三角形的问题?
（1）已知两角和任一边。 AAS （2）已知两边和一边的对角。SSA
千岛湖
2.余弦定理
a2=b 2+c-22bccosA
2 22
b =c +a-2accosB
c2=a2
2
+b-2abcosC
3.由余弦定理知
cosA = b2 + c2 - a2 ， 2bc
cosB = c2 + a2 - b2 ， 2ca
cosC = a2 + b2 - c2 2ab
A90 a2b2c2
A90 a2b2c2
A
B
)450
D
C
练一练：
1、已知△ABC的三边为 1，求它的最大内角。
变一变： 解：不妨设三角形的三边分别为a=
、2、
,b=2,c=1
若 又由怎已余则弦最么知定大理三求内角边？为c∠的osAA比= 12是+22×2-2(×1:)22:1=, - —12
∴ A=120°
再练：
2、已知△ABC中AB=2、AC=3、 A= ，求BC的长。
►1Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity. ►So let us seize it, not in fear, but in gladness. · 命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。 因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
sinA sinB sinC
变形：a 2RsinA,b 2RsinB,c 2RsinC
a : b : c sinA : sinB : sinC
可以解决两类有关三角形的问题?
（1）已知两角和任一边。 AAS （2）已知两边和一边的对角。SSA
千岛湖
2.余弦定理
a2=b 2+c-22bccosA
2 22
b =c +a-2accosB
c2=a2
2
+b-2abcosC
3.由余弦定理知
cosA = b2 + c2 - a2 ， 2bc
cosB = c2 + a2 - b2 ， 2ca
cosC = a2 + b2 - c2 2ab
A90 a2b2c2
A90 a2b2c2
A
B
)450
D
C
练一练：
1、已知△ABC的三边为 1，求它的最大内角。
变一变： 解：不妨设三角形的三边分别为a=
、2、
,b=2,c=1
若 又由怎已余则弦最么知定大理三求内角边？为c∠的osAA比= 12是+22×2-2(×1:)22:1=, - —12
∴ A=120°
再练：
2、已知△ABC中AB=2、AC=3、 A= ，求BC的长。
►1Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity. ►So let us seize it, not in fear, but in gladness. · 命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。 因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
人教A版高中数学必修5《1.1.2余弦定理》课件 (共22张PPT)优秀课件资料
c
b 2 c2 2 b cco sA
A
D
B 同理有：b 2 a 2 c 2 2 a c c o sB
c 2 a 2 b 2 2 a b c o s C
同样，对于钝角三角形及直角三角形，上面三个
等式成立的，课后请同学们自己证明。
余弦定理
a 2 b 2 c 2 2 b c c o s A
Ac B
△ABC是钝角三角形 b2c2a20
△ABC是锐角三角形 b2c2a20 △ABC是直角三角形 b 2c2a 20
练习：一钝角三角形的边长为连续自然数， 则这三边长为（B ）
A、1，2，3 B、2，3，4 C、3，4，5 D、4，5，6 分析： 要看哪一组符合要求，只需检验哪一个选项
中的最大角是钝角，即该角的余弦值小于0。 A、C显然不满足
余弦定理
[复习回顾]
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对
角的正弦的比相等。 sin aAsin bBsincC
用正弦定理解三角形需要已知哪些条件？ ①两角和一边，②两边和其中一边的对角。
思考：如果在一个斜三角形中，已知两边及 这两边的夹角，能否用正弦定理解这个三角形， 为什么？
不能，在正弦定理 sin aAsin bBsin cC中，已
即 a 2 b 2 c 2 2 b c c o s A 同理，从 A C B C B A 出发， 证得b 2 a 2 c 2 2 a c c o s B
从 A B C B C A出发，证得 c 2 a 2 b 2 2 a b c o s C
[解析法]
y
证明：以CB所在的直
(bcosC,bsinC)
线为x轴，过C点垂直
于CB的直线为y轴，
高中数学《1.1.2余弦定理》课件 新人教A版必修5
预习自测
1. A 2. A或C 3.钝角三角形
展示题目 例2 变式 例3 变式
正解与错解展示 正解与错解展示
当堂检测
1. 7
57
2. 2 19
19
3. B
总结提升
1.余弦定理可以解决以下两类有关三角形问题： （1）已知三边求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个 角. 2.判断三角形形状，主要看其是否为正三角形、等腰 三角形、直角三角形、钝角三角形，主要有两种途径： （1）转化为内角三角形间的关系，得出内角的关系， 注意A+B+C=π （2）转化为边边关系，通过因式分解，配方等方法。
1.1.2 余弦定理
问题导学
a2b2c22 bcco As
2a2c22acco Bs coB s c2 a2 b2
2ac
c2a2b22 acbo Cs coC s a2 b2 c2
2ab
(1)△AB是 C 钝角三 角 a2形 b2c2 (2)△AB是 C 锐角三 角 a2形 b2c2 (3)△AB是 C 直角三 角 a2形 b2c2
高一数学余弦定理PPT课件
1.1.2 余弦定理
第1页/共32页
1.复习回顾：
正弦定理： a b c 2R sin A sin B sinC
(1)正弦定理可以解决三角形中的问题：
① 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角
② 已知两角和一边，求其他角和边
第2页/共32页
(2) 三角形面积公式：
C
a2 CD2 BD2
(bsin A)2(cbcos A)2
b
a b2sin2Ac2b2cos2A2bccos A
A
c D
B b2c22bccos A
同理有： b2a2c22accosB
c2a2b22abcosC 第11页/共32页
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
4
…………8 分
故 a b sin A 2 6 1 3, c b sin C 2 sin 60 6. …………12 分
sin B
2
sin B sin 45
第28页/共32页
17（2009 年全国卷Ⅰ）（本小题满分 10 分）
在 ABC 中，内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ，已知 a2 c2 2b ，且
又通过 acos B 3知： cos B 0 ，则 cos B 3 ， sin B 4 ，则 a 5 ．
5
5
（2）由 S 1 ac sin B ，得到 c 5 ． 2
由 cos B a2 c2 b2 ，解得： b 2 5 ，最后 l 10 2 5 ． 2ac
第30页/共32页
设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c ，且 acos B 3，bsin A 4 ． （Ⅰ）求边长 a ； （Ⅱ）若△ABC 的面积 S 10 ，求△ABC 的周长 l ．
第1页/共32页
1.复习回顾：
正弦定理： a b c 2R sin A sin B sinC
(1)正弦定理可以解决三角形中的问题：
① 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角
② 已知两角和一边，求其他角和边
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(2) 三角形面积公式：
C
a2 CD2 BD2
(bsin A)2(cbcos A)2
b
a b2sin2Ac2b2cos2A2bccos A
A
c D
B b2c22bccos A
同理有： b2a2c22accosB
c2a2b22abcosC 第11页/共32页
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
4
…………8 分
故 a b sin A 2 6 1 3, c b sin C 2 sin 60 6. …………12 分
sin B
2
sin B sin 45
第28页/共32页
17（2009 年全国卷Ⅰ）（本小题满分 10 分）
在 ABC 中，内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ，已知 a2 c2 2b ，且
又通过 acos B 3知： cos B 0 ，则 cos B 3 ， sin B 4 ，则 a 5 ．
5
5
（2）由 S 1 ac sin B ，得到 c 5 ． 2
由 cos B a2 c2 b2 ，解得： b 2 5 ，最后 l 10 2 5 ． 2ac
第30页/共32页
设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c ，且 acos B 3，bsin A 4 ． （Ⅰ）求边长 a ； （Ⅱ）若△ABC 的面积 S 10 ，求△ABC 的周长 l ．
高中数学1.1.2余弦定理课件3新人教A必修5.ppt
问5：解决长度和角度问题的手段有什么？
C
baA源自cB余弦定理
问题解决
B
?
C
（精确到0.1米）
96°
B C 2 A B 2 A C 2 2 A B A C c o s A A
3 .6 2 4 .8 2 2 3 .6 4 .8 c o s 9 6
1 2 .9 6 2 3 .0 4 3 4 .5 6 0 .1 0 4 5
二.思想方法： 数形结合的思想，化归与转化的思想， 分类讨论的思想，特殊到一般的思想
• 作业 • 1.复习 • 2.必做题:书P8---P9 • 选做题：已知一钝角三角形的边长是三个
连续自然数，求该三角形的三边长。
• 3.预习
猜字谜游戏：
• 留得琴丝调宫商（打一数学名词）
39.6125
BC6.3
答：B,C两处的距离约为6.3米。
一、余弦定理：
问6：公式应该要如何记忆呢？ 问7：可将公式如何变形？ 问8：公式变形的目标是什么？
观察可能导致发现，观察将揭示 某种规则-------波利亚
定理应用 --------------类比的方法
----------请同学们自己编题---------解三角形问题：SSS SAS
情境引入
C B
A
情境引入
情境引入
C B
96° A
提出问题
B
?
C
96° A
问3：用正弦定理能否直接求出B,C两处的距离？
问4：如何解决这已知三角形两边c和b, 和两边的夹角A，求第三边a的问题？
公式推导 --------------特殊到一般的思想
如何由已知两边和它们的夹角求三角形的另一边？
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思考2：
由推论我们能判断三角形的角的情况吗?
C
推论： coAsb2c2a2 2bc
b
a
提炼：设a是最长的边，则
Ac
B
△ABC是钝角三角形 b2c2a2
△ABC是锐角三角形 b2c2a2 △ABC是直角三角形 b2c2a2
三、判断三角形的形状
例3、在△ABC中，若a2 b2c2，
则△ABC的形状为（ ）
Ａ、钝角三角形 Ｃ、锐角三角形
Ｂ、直角三角形 Ｄ、不能确定
那a2b2c2呢?
三角形三边长分别为4,6,8，则此三角形为（ ）
Ａ、钝角三角形 Ｃ、锐角三角形
Ｂ、直角三角形 Ｄ、不能确定
归纳
余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的
和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
C
a2b2c22 bcco As b2a2c22acco Bs
解：由余弦定 a2 理 b2知 c2， 2bccoAs
C
3 2 2 3 2 2 3 2 3 c3 o 3 0 s
a
b
Bc A
a 3
由正弦a定 理 b 得 sin A sin B
bc,B60
C 18 A 0B90
sinBbsinA312 3
aห้องสมุดไป่ตู้
32
思考1：
余弦定理
已知三边,怎样求三个角呢？ C
a2b2c22 bcco As b
a
b2a2c22acco Bs
c2a2b22 acbo CsA c
B
推论： coAsb2c2a2 2bc
coBs a2 c2 b2 2ac
coCsa2 b2 c2 2ab
二、已知三角函数的三边解三角形
1.在三角形ABC中，若BC 3, AC 1, AB 2,则B __3_0 _ ______
复习回顾
正弦定理： a b c 2R
sinA sinB sinC
变型： a 2 R sA i,b n 2 R sB i,c n 2 R sC in
a:b:csiA n:siB n:siC n AB ab siA nsiB n
可以解决两类有关三角形的问题?
（1）已知两角和任一边。
（2）已知两边和一边的对角。
探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C，
设
a, b ,求边 c. CB a,Cb A ,A B c
由向量减法的三角形法则得
c ab
c 2cc(ab)(ab)
﹚
aa2abb2b22aabbcoCs
a2b22ac bo C s
c2a2 b 22 acbo Cs a2b2c22 bcco As
归纳
余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的
和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
C
a2b2c22 bcco As b2a2c22acco Bs
b
a
c2a2b22 acbo Cs
Ac
B
一、已知三角形的两边及夹角求解三角形
例 1、a若 3,c1,B2,则 b__13 _____
3
变 . 在 A 式 中 Bb C ， 3 ,c 2 3 , 已 A 3 ,求 知 0 B 、 C 和 角 a 的 边
三角形中的边角互化
1.在 AB 中 C， c 已 2as知 iC n ,求 A ;
2 . 在 A 中 BC s ， A i n 2 sB 已 i ,a n b 3 ,C 知 3 ,求 S A;
变 .在 式 A中 B ,若 s C 2 iA n s2 iB n s2 iC n ,则 A的 BC 形 (B)
探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C，
设
a, b ,求边 c. CB a,Cb A ,A B c
由向量减法的三角形法则得
c 2 c c acb(ab)(ab)
﹚
aa2abb2b22aabbcoCs 向量法
a2b22ac bo C s 余弦定理
c2a2 b 22 acbo Cs a2b2c22 bcco As b2a2c22acco Bs
sinA sinB sinC
a :b :c sA i:s nB i:s nC in
正弦定理可以解决两类有关三角形的问题： （1）已知两角和任一边。 （2）已知两边和一边的对角。
余弦定理： a2b2c22bcco AscosAb2 c2 a2 2bc 余弦定理可以解决的有关三角形的问题：
1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。 2、已知三边求三个角； 3、判断三角形的形状
2.在三 A角 B 中 C a形 2 ， c2b2a,则 b C 的 角大 _C_ 小 __
A .60B .4或 513 5C .12 0D 30
解析 co： Csa2b2c2 2ab
a2c2b2abcoCs ab1C60 2ab 2
3.在三角A形 BC中，若 a7,b3,c8,则SABC_6 __3 __
b
a
c2a2b22 acbo Cs
A
利用余弦定理，可以解决：
c
B
（1）已知三边，求三个利角用；余弦定 理可以解决什
（2）已知两边及夹角么，类求型第的三三边角和其他两个角。 形问题？
（3）判断三角形的形状。
复习回顾
正弦定理： a b c 2R
sinA sinB sinC
变型： a 2 R sA i,b n 2 R sB i,c n 2 R sC in
a:b:csiA n:siB n:siC n AB ab siA nsiB n
可以解决两类有关三角形的问题?
（1）已知两角和任一边。
（2）已知两边和一边的对角。
思考：
已知两边及一边的对角时， 想一想如何来解这个三角形？
如：已知b=4,c= ,C=60° 求边a.
小结:
正弦定理： a b c 2R
A、等腰三角形
B、直角三角形
C、等腰直角三角形
D、不能确定
作业
1 .在 A中 BC ， a 23 ,已 c 6 ,A 知 3 ,求 0 S ABC
2 .在 A中 BC ， a 2 ,b 已 4 ,C 2 知 ,求 cA os 3
3.在 AB 中 C，a 已 2,b 知 3,siC n2siA n,求 (1)求 c；(2)求 co2A s; (3)求 SABC