《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案

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复变函数与积分变换期末考试试卷A及答案

复变函数与积分变换期末考试试卷A及答案

复变函数与积分变换期末试题(A )答案及评分标准复变函数与积分变换期末试题(A )一.填空题(每小题3分,共计15分)1.231i -的幅角是(Λ2,1,0,23±±=+-k k ππ);2.)1(i Ln +-的主值是(i 432ln 21π+ );3. 211)(z z f +=,=)0()5(f( 0 );4.0=z 是 4sin z z z -的(一级)极点;5. z z f 1)(=,=∞]),([Re z f s (-1); 二.选择题(每小题3分,共计15分)1.解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为( B );(A ) y x iu u z f +=')(; (B )y x iu u z f -=')(;(C )y x iv u z f +=')(; (D )x y iv u z f +=')(.2.C 是正向圆周3=z ,如果函数=)(z f ( D ),则0d )(=⎰Cz z f .(A )23-z ; (B )2)1(3--z z ; (C )2)2()1(3--z z ; (D )2)2(3-z .3.如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛,则级数在( C )(A )2-=z 点条件收敛 ; (B )i z 2=点绝对收敛;(C )i z+=1点绝对收敛; (D )i z 21+=点一定发散.4.下列结论正确的是( B )(A )如果函数)(z f 在0z 点可导,则)(z f 在0z 点一定解析;(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析, 则0)(=⎰Cdz z f(C )如果0)(=⎰Cdz z f ,则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析;(D )函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数.5.下列结论不正确的是( D ).(A) 的可去奇点;为z1sin ∞ (B) 的本性奇点;为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞ (D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三.按要求完成下列各题(每小题10分,共计40分)(1)设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数,求.,,,d c b a(2).计算⎰-Czz z z e d )1(2其中C 是正向圆周:2=z ; (3)计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z(4)函数3232)(sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点,如果有极点,请指出它的级. 四、(本题14分)将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数; (1)110<-<z ,(2)10<<z ,(3)∞<<z 1五.(本题10分)用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、(本题6分)求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换,并由此证明:te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos三.按要求完成下列各题(每小题10分,共40分)(1).设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数,求.,,,d c b a解:因为)(z f 解析,由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xvy u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ,,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分,正确求导给2分,结果正确2分。

最新复变函数与积分变换期末考试试卷(A卷)

最新复变函数与积分变换期末考试试卷(A卷)

复变函数与积分变换期末考试试卷(A 卷)一、单项选择题(本大题共15小题,每小题2分,共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.下列复数中,位于第四象限的复数是( )A. 4+3iB. -3-3iC.-1+3iD.5-3i 2.下列等式中,不成立的等式是( ) A. z·z =Re (z·z ).arg(3)arg()B i i -=- .rg(3)arg(3)C A =2.||D z z z ⋅=3.不等式 ||3z > 所表示的区域为( ) A. 圆的外部B.上半平面C. 角形区域D.圆的内部4.积分||322z dz z =-⎰的值为( )A. 8i πB.2C. 2i πD. 4i π 5.下列函数中,在整个复平面上解析的函数是( ).z A z e +.sin z B z e + .tan z C z e + .R e ()s i n D z z+6.在复平面上,下列命题中,错误..的是( )A. cosz 是周期函数B. ze 是解析函数.cos sin iz C e z i z =+.||D z =7.在下列复数中,使得ze =成立的是( ).ln 224iA z i ππ=++.ln 424iB z i ππ=++.ln 22C z i π=+.l n 42D z iπ=+ 8.设C 为正向圆周1||=z , 则积分 cos z c e dzz⎰等于( )A .2πB .2πiC .0D .-2π 9.设C 为正向圆周||2z =, 则21(1)C dz z i --⎰等于( )A.i21π B. 0 C.i 2πD.2i π-10.以下关于级数的命题不正确的是( )A.级数0327nn i ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑是绝对收敛的B.级数212(1)n n in n ∞=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭∑是收敛的 C.级数01(1)2n n n i n ∞=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑是收敛的D.级数212n n i n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑是收敛的11.已知31z i =+,则下列正确的是( )12.iA z π=34.iB z eπ=712.i C z π=3.iD z π=12.下列关于幂级数的叙述,不正确 的是( ) A.在收敛圆内,幂级数绝对收敛 B.在收敛圆外,幂级数发散 C.在收敛圆周上,可能收敛,也可能发散 D.在收敛圆周上,条件收敛13.0=z 是函数sin z e z z的( )A.本性奇点B.一级极点C.二级极点D.可去奇点14.cos z zz π-在点 z π= 处的留数为( ) A. π-.B πC.1D. -115.关于0Im lim z zzω→=下列命题正确的是( )A.0ω=B. ω不存在C.1ω=-D.1ω=二、填空题(本大题共5小题,每小题2分,共10分)16.sincos 33z i ππ=+复数的三角形式为____________. 17. 已知22()()()f z x ay x i bxy y =++++在复平面上可导,则a b +=_________. 18. 设函数)(z f =3zt te dt ⎰,则)(z f 等于____________.19. 幂极数n n2n 1(-1)z n∞=∑的收敛半径为_______.20.设121,1z i z =-+=,求12z z ⎛⎫=⎪⎝⎭____________.三、计算题(本大题共4小题,每题7分,共28分) 21.设C 为从原点到2+3i 的直线段,计算积分[(2)]CI x y ixy dz =-+⎰22. 设2()cos 4ze f z z z=+-. (1)求)(z f 的解析区域,(2)求).(z f '23. 将函数1()(1)(2)f z z z =--在点0=z 处展开为泰勒级数.24. 将函数112()(1)z ef z z -=-在圆环0|1|z <-<∞内展开成洛朗级数.四、综合题(共4小题,每题8分,共32分)25.已知22(,)2u x y x y x =-+,求一解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+,并使(0)2f i =。

复变函数与积分变换期末试题(附有答案解析)

复变函数与积分变换期末试题(附有答案解析)

复变函数与积分变换期末试题一.填空题(每小题3分,共计15分)1.231i -的幅角是;2.)1(i Ln +-的主值是();3.211)(z z f +=,=)0()5(f( 0 ),4.0=z 是4sin z z z -的( 一级 )极点;5. zz f 1)(=,=∞]),([Re z f s (-1 ); 二.选择题(每题3分,共15分)1.解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为( );(A )y x iu u z f +=')(; (B )y x iu u z f -=')(;(C )y x iv u z f +=')(; (D )x y iv u z f +=')(.2.C 是正向圆周3=z ,如果函数=)(z f ( ),则0d )(=⎰Cz z f .(A )23-z ; (B )2)1(3--z z ; (C )2)2()1(3--z z ;3.如果级数∑∞=1n nnz c在2=z 点收敛,则级数在(A )2-=z点条件收敛 ; (B )i z 2=点绝对收敛;(C )i z +=1点绝对收敛; (D )i z 21+=点一定发散.4.下列结论正确的是( )(A )如果函数)(z f 在0z 点可导,则)(z f 在0z 点一定解析;(C )如果0)(=⎰Cdz z f ,则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析;(D )函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数.5.下列结论不正确的是( ).(A) 的可去奇点;为z1sin ∞(B) 的本性奇点;为z sin ∞(C) 1sin 1的孤立奇点为z∞三.按要求完成下列各题(每小题10分,共40分)(1).设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数,求.,,,d c b a解:因为)(z f 解析,由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xv y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ,,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分,正确求导给2分,结果正确2分。

复变函数与积分变换2014-2015_1_A_参考答案

复变函数与积分变换2014-2015_1_A_参考答案

+
4
,求其
Laplace
逆变换
L−1
[
F
(s)]。
解:由 ,因此 F
(s)
=
(s
(s +1) + 2 +1)[(s +1)2 +
3]
2
L−1
[
F
(
s)]
=
e−t

L−1
s s(s
+2 2 + 3)
=
e−t

L−1
2 3

1 s
+
1 3
s2
3 +
3

2⋅ 3
s2
s +
3
= e−t [2 + 3 sin( 3t) − 2 cos( 3t)] 3
=
z −2 1⋅1−
1
1 z −1
=

2
n=0
(z −1)−n−1
=
−1
2 (z −1)n
n=−∞
因此, 。 ∑ f
(z)
=
z
1 −1
+
−2
2
n=−∞
(
z
−1)n
六、〖12 分〗利用 Laplace 变换求解微分初值问题:

y′′′ + y′′(0)
6 y′′ + 12 y′ + 8y = t = y′(0) = 0, y(0) = 1
点,记 。于是, 。因此,实 z0 = 2
R = min{ z1 − z0 , z2 − z0 , zy − z0 | y >1} = 5

《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案

《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案

得分得分«复变函数与积分变换»期末试题(A ) 正文:一.填空题(每小题3分,共计15分)1.231i -的幅角是( );2.)1(i Ln +-的主值是( );3. 211)(zz f +=,=)0()5(f ( ); 4.0=z 是 4sin z z z -的( )极点;5. z z f 1)(=,=∞]),([Re z f s ( );二.选择题(每小题3分,共计15分)1.解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为( );(A )y x iu u z f +=')(; (B )y x iu u z f -=')(; (C )y x iv u z f +=')(; (D )x y iv u z f +=')(.2.C 是正向圆周3=z ,如果函数=)(z f ( ),则0d )(=⎰C z z f .(A ) 23-z ; (B )2)1(3--z z ; (C )2)2()1(3--z z ; (D )2)2(3-z . 3.如果级数∑∞=1n n nz c 在2=z 点收敛,则级数在(A )2-=z点条件收敛 ; (B )i z 2=点绝对收敛; (C )i z +=1点绝对收敛; (D )i z 21+=点一定发散.4.下列结论正确的是( )(A )如果函数)(z f 在0z 点可导,则)(z f 在0z 点一定解析;(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析,则0)(=⎰C dz z f (C )如果0)(=⎰C dz z f ,则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析;(D )函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数.5.下列结论不正确的是( ). (A) 的可去奇点;为z1sin ∞(B) 的本性奇点;为z sin ∞ (C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三.按要求完成下列各题(每小题10分,共计40分)(1)设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数,求.,,,d c b a(2).计算⎰-C z z z z e d )1(2其中C 是正向圆周:2=z ;得分(3)计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z(4)函数323 2)(sin)3 ()2)(1()(z zzzzzfπ-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点?,如果有极点,请指出它的级.四、(本题14分)将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数; (1)110<-<z ,(2)10<<z ,(3)∞<<z 1五.(本题10分)用Laplace 变换求解常微分方程定解问题 ⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x得分 得分六、(本题6分)求)()(0>=-ββt e t f 的傅立叶变换,并由此证明:t e d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos«复变函数与积分变换»期末试题(A )答案及评分标准一.填空题(每小题3分,共计15分) 得分1.231i -的幅角是( 2,1,0,23±±=+-k k ππ);2.)1(i Ln +-的主值是( i 432ln 21π+ );3. 211)(z z f +=,=)0()5(f ( 0 ),4.0=z 是4sin z z z -的( 一级 )极点;5. zz f 1)(=,=∞]),([Re z f s (-1 ); 二.选择题(每题3分,共15分)1----5 B D C B D三.按要求完成下列各题(每小题10分,共40分)(1).设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数,求.,,,d c b a解:因为)(z f 解析,由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xv y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ,,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分,正确求导给2分,结果正确2分。

复变函数与积分变换期末考试试卷及答案

复变函数与积分变换期末考试试卷及答案

一、单项选择题(本大题共15小题,每小题2分,共30分) 1.下列复数中,位于第三象限的复数是( )A. 12i +B. 12i --C. 12i -D. 12i -+ 2.下列等式中,不成立的等式是( )4.34arctan3A i π-+-的主辐角为 .arg(3)arg()B i i -=-2.rg(34)2arg(34)C a i i -+=-+2.||D z z z ⋅=3.下列命题中,正确..的是( ) A. 1z >表示圆的内部B. Re()0z >表示上半平面C. 0arg 4z π<<表示角形区域D. Im()0z <表示上半平面4.关于0limz zz zω→=+下列命题正确的是( ) A.0ω=B. ω不存在C.1ω=-D.1ω=5.下列函数中,在整个复平面上解析的函数是( ).z A z e +2sin .1z B z + .tan z C z e + .sin zD z e +6.在复平面上,下列命题中,正确..的是( )A. cos z 是有界函数B. 22Lnz Lnz =.cos sin iz C e z i z =+.||D z =7.在下列复数中,使得ze i =成立的是( ).ln 223iA z i ππ=++.ln 423iB z i ππ=++.ln 226C z i ππ=++.ln 426D z i ππ=++8.已知31z i =+,则下列正确的是( )12.iA z e π=34.i B z π=712.i C z eπ=3.iD z π=9.积分||342z dz z =-⎰的值为( )A. 8i πB.2C. 2i πD. 4i π10.设C 为正向圆周||4z =, 则10()zC e dz z i π-⎰等于( ) A.110!B.210!iπ C.29!iπ D.29!iπ- 11.以下关于级数的命题不正确的是( )A.级数0327nn i ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑是绝对收敛的B.级数212(1)n n in n ∞=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭∑是收敛的 C. 在收敛圆内,幂级数绝对收敛D.在收敛圆周上,条件收敛12.0=z 是函数(1cos )ze z z -的( )A. 可去奇点B.一级极点C.二级极点D. 三级极点13.1(2)z z -在点 z =∞ 处的留数为( )A. 0.1B C.12D. 12-14.设C 为正向圆周1||=z , 则积分 sin z c e dzz⎰等于( )A .2πB .2πiC .0D .-2π15.已知()[()]F f t ω=F ,则下列命题正确的是( ) A. 2[(2)]()j f t eF ωω-=⋅FB. 21()[(2)]j ef t F ωω-⋅=+FC. [(2)]2(2)f t F ω=FD. 2[()](2)jte f t F ω⋅=-F二、填空题(本大题共5小题,每小题2分,共10分) 16. 设121,1z i z =-=,求12z z ⎛⎫=⎪⎝⎭____________. 17. 已知22()()()f z bx y x i axy y =++++在复平面上可导,则a b +=_________. 18. 设函数)(z f =cos zt tdt ⎰,则)(z f 等于____________.19. 幂极数n n2n 1(2)z n ∞=-∑的收敛半径为_______. 20. 设3z ω=,则映射在01z i =+处的旋转角为____________,伸缩率为____________.20. 设函数2()sin f t t t =,则()f t 的拉氏变换等于____________.三、计算题(本大题共4小题,每题7分,共28分) 21.设C 为从原点到3-4i 的直线段,计算积分[()2]CI x y xyi dz =-+⎰22. 设2()cos ze f z z z i=+-. (1)求)(z f 的解析区域,(2)求).(z f '24.已知22(,)4u x y x y x =-+,求一解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+,并使(0)3f = 23. 将函数1()(1)(2)f z z z =--在点0=z 处展开为洛朗级数.25. 计算2||3(1)()(4)z dzz z i z =++-⎰.四、综合题(共4小题,每题8分,共32分) 25. 计算201.54cos d πθθ-⎰26. 求分式线性映射()f z ω=,使上半平面映射为单位圆内部并满足条件(2)0f i =,arg (0)1f =.27. 求函数2,10(),010,t f t t t --<≤⎧⎪=<≤⎨⎪⎩其它的傅氏变换。

云南师范大学《复变函数与积分变换》期末试卷-A卷及答案

云南师范大学《复变函数与积分变换》期末试卷-A卷及答案

云南师范大学2007 --2008 学年下学期统一考试__复变函数与积分变换__试卷学院 物电 班级__06 __专业 电子类 学号__ __姓名__ ___考试方式:闭卷 考试时间:120 分钟 试卷编号:A 卷 题号一 二 三 四 总分 评卷人得分 评卷人一.单项选择题(本大题共5题,每题2分,共10分)请在每小题的括号中填上正确的答案。

选项中只有一个答案是正确的,多选或不选均不得分1.设y e y x V ax sin ),(=是调和函数,则常数=a ( )A.0B.1C.2D.32.设i iz z z f 48)(3++=,则=-'),1(i f ( )A.-2iB.2iC.-2D.23.设C 为正向圆周0)(a >=-a a z ,则积分⎰-C a z dz 22=( ) A.ai2π- B. a i π- C. a i 2π D. ai π 4.设C 为正向圆周|z-1|=1,则⎰=-C dz z z 53)1(( ) A.0B.πiC.2πiD.6πi 5.f(z)=211z +在z=1处的泰勒展开式的收敛半径为( ) A.23 B.1C.2D.3 得分 评卷人二、填空题(本大题共10个题,每题3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确的答案。

填错、不填均无分。

1、FT 解决的问题主要是: _____ ______.2、傅立叶级数中系数n a 、n b 和n c 之间的关系为__________________________.3、)(t f 的傅立叶积分公式为:____ ________.4、)(t f 的傅立叶变换为__ _____________.5、幂级数50n n nz +∞=∑的收敛半径为________________.6、函数21()1f z z =+的幂级数展开式为______________________________. 7、积分==⎰∞∞-ωπωd e t f t i 21)( . 8、.=)(at δ ____ ___________。

《复变函数与积分变换》期末考试试卷含答案

《复变函数与积分变换》期末考试试卷含答案

一.填空题(每小题3分,共计15分)1.231i -的幅角是( 2,1,0,23±±=+-k k ππ); 2.)1(i Ln +-的主值是( i 432ln 21π+ ); 3. 211)(z z f +=,=)0()5(f ( 0 ), 4.0=z 是 4sin zzz -的( 一级 )极点; 5.zz f 1)(=,=∞]),([Re z f s (-1 );二.选择题(每题4分,共24分) 1.解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为(B ); (A ) y x iu u z f +=')(; (B )y x iu u z f -=')(;(C )y x iv u z f +=')(; (D )x y iv u z f +=')(.2.C 是正向圆周3=z ,如果函数=)(z f ( D ),则0d )(=⎰Cz z f . (A )23-z ; (B )2)1(3--z z ; (C )2)2()1(3--z z ; (D )2)2(3-z .3.如果级数∑∞=1n n nz c 在2=z 点收敛,则级数在(C )(A )2-=z 点条件收敛 ; (B )i z 2=点绝对收敛;(C )i z +=1点绝对收敛; (D )i z 21+=点一定发散.4.下列结论正确的是( B )(A )如果函数)(z f 在0z 点可导,则)(z f 在0z 点一定解析;(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析,则0)(=⎰Cdz z f(C )如果0)(=⎰Cdz z f ,则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析;(D )函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v在该区域内均为调和函数.5.下列结论不正确的是( D ).的可去奇点;为、z A 1sin )(∞的本性奇点;为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、z C 11∞的孤立奇点;为、z D sin )(1∞ 三.按要求完成下列各题(每小题10分,共40分) (1).设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数,求.,,,d c b a解:因为)(z f 解析,由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xvy u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ,,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分,正确求导给2分,结果正确2分。

《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案详解(可打印修改)

《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案详解(可打印修改)

给出 C-R 条件 6 分,正确求导给 2 分,结果正确 2 分。
(2).计算
C
(z
ez 1)2
z
dz
其中
C
是正向圆周:
解:本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算, 仅给出用前者计算过程
因为函数
f
(z)
(z
ez 1)2
z
在复平面内只有两个奇点
z1
0, z 2
1,分别以
z15
(3).
dz
z 3 (1 z 2 )2 (2 z 4 )3
解:设 f (z) 在有限复平面内所有奇点均在: z 3 内,由留数定理
z15
dz 2i Re s[ f (z), ]
z 3 (1 z 2 )2 (2 z 4 )3
-----(5 分)
2i Re s[ f (1) 1 ] z z2
f (1) 1
( 1 )15 z
1
z z 2 (1 1 )2 (2 (1 )4 )3 z 2
z2
z
----(8 分)
1 f( )
1
1
有唯一的孤立奇点z 0,
z z 2 z(1 z 2 )2 (2z 4 1)3
lim lim Re s[ f
1 ()
1
,0]
1 zf ( )
1
1
1
z z2
z 0
(4) z 2,3,4L ,为f (z)的三级极点;

f
(z)
z(z2
1)(z 2)3 (z (sin z)3
3)2
的奇点为z
k, k
0,1,2,3,L

(1) z k,k 0,1,2,3,L 。。 sinz。 3 0。。。。。。

2020-2021大学《复变函数与积分变换》期末课程考试试卷A(含答案)

2020-2021大学《复变函数与积分变换》期末课程考试试卷A(含答案)

2020-2021大学《复变函数与积分变换》期末课程考试试卷A考试时间: 类型:闭卷 时间:120分钟 总分:100分 专业:信工一、填空题(3'824'⨯=)1、幂级数()1nn i ∞=+∑的敛散性是____________(绝对收敛、条件收敛、发散)。

2、i 22+的三角形式____________________。

3、z=0是f(z)=[ln(l+z)]/z 的奇点,其类型为_____4、11z -在z=0处的幂级数是_______。

5、0z=为函数()81cos zf z z -=的_____阶极点;在该点处的留数为_____6、ln(1)=_______。

7、25_____(2)zz e z ==-⎰。

8、21nn z n∞=∑的收敛半径为_______。

二、选择题 (3'515'⨯=)1、不等式4z arg 4π<<π-所表示的区域为( ) A.角形区域 B.圆环内部 C.圆的内部 D.椭圆内部2. 复数 8i z -= 的辐角主值 =z arg ( )(A) 2π ; (B)π; (C) 0; (D) 2π3. 设v(x ,y)=e ax siny 是调和函数,则常数a 可以取下列哪个值( ) (A )0 (B )1(C )2 (D )3 4. 0=z 是函数 zzz f sin )(=的 ( ) (A) 本性奇点; (B) 一级极点; (C) 零点 ; (D) 可去奇点5、下列积分值不为零的是 ( ) A 、z-1=22z+3)dz ⎰( B 、 z z-1=2e dz ⎰C 、z =1sin z dz z ⎰D 、z =1coszdz z⎰三、解答题(共7题,共计61分)1、(8分)已知f(z)=u+iv 是解析函数,且v=2xy 、f(1)=2, 求f(z)2、(1)(8分)计算积分(1)423z =5dz(z 2)(z-2)+⎰(2)(6分)21(21)(3)z z dz z z z =++-⎰院系: 专业班级: 姓名: 学号:装 订 线 内 不 准 答 题装 订 线3、(8分)设f(z)=x 3– 3xy 2+ i (3x 2y – y 3),问)(z f 在何处可导?何处解析?并在可导处求出导数值.4、(10分) (1)将函数()1(1)(2)f z z z =--在圆环2z <<+∞内展开为Laurent 级数。

(完整版)《复变函数》期末试卷及答案(A卷)(可编辑修改word版)

(完整版)《复变函数》期末试卷及答案(A卷)(可编辑修改word版)

a - b1- abn (z -1) n (z -1) XXXX 学院 2016—2017 学年度第一学期期末考试复变函数 试卷7.幂级数∑(-1)n n =0z n2nn !的和函数是()学号和姓名务必正确清 A. e -zz B. e2- zC. e2dzD. sin z楚填写。

因填写错误或不清 8. 设C 是正向圆周 z = 2 ,则⎰C z2=()楚造成不良后果的,均由本 A. 0 B. - 2i C. iD. 2i人负责;如故意涂改、乱写 的,考试成绩 答一、单项选择题(本大题共 10 小题,每题 3 分,共 30 9. 设函数 f (z ) 在0 < z - z 0 < R (0 < R ≤ +∞) 内解析,那么 z 0 是 f (z ) 的极点的充要条件是()A. lim f (z ) = a ( a 为复常数)B. lim f (z ) = ∞视为无效。

题分,请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项,z → z 0z → z 0请勿1.Re(i z ) =并将其前面的字母填在题中括号内。

)()10. 10. C. lim f (z ) 不存在D.以上都对z → z 0ln z 在 z = 1处的泰勒级数展开式为 ()超 A. - Re(i z )B. Im(i z )∞(z -1)n +1∞ (z -1)n A. ∑(-1)n, z -1 < 1B. ∑(-1)n, z -1 < 1过C. - Im z此 D. Im zn =1∞n +1n +1n =1 n∞n2. 函数 f (z ) =z 2在复平面上()C. ∑(-1) , z -1 < 1D. ∑(-1) , z -1 < 1密 封 A.处处不连续B.处处连续,处处不可导线 C.处处连续,仅在点 z = 0 处可导D.处处连续,仅在点 z = 0 处解析,3. 设复数 a 与b 有且仅有一个模为 1,则的值()n =0n +1 n =0n 否 则 A.大于 1 B.等于 1 C.小于 1D.无穷大视 4. 设 z = x + i y ,f (z ) = - y + i x ,则 f '(z ) = ()二、填空题(本大题共 5 小题,每题 3 分,共 15 分)为A.1+ i无B. isin zC. -1D. 011. z = 1+ 2i 的5. 设C 是正向圆周 z = 1 , ⎰C dz = 2i ,则整数n 等于 ()zn A. -1B. 0e z -1C.1D. 26. z = 0 是 f (z ) =的()z2A.1阶极点B. 2 阶极点C.可去奇点D.本性奇点∞系别专业姓名班级学号(最后两位)总分 题号 一 二 三四统分人 题分 30203030复查人得分得分评卷人复查人得分评卷人复查人⎰18.求在映射 w = z 2 下, z _ _ _ _ 平面上的直线 __ _z = (2 + i)t 被映射成 w 平面上的曲线的方程.12.设 z = (2 - 3i)(-2 + i) ,则arg z =.13.在复平面上,函数 f (z ) = x 2 - y 2 - x + i(2xy - y 2 ) 在直线上可导.cos 5z.19.求e z 在 z = 0 处的泰勒展开式.14. 设C 是正向圆周 z = 1 ,则 ⎰Cdz = .z∞ ∞∞15. 若级数∑ zn 收敛,而级数∑ zn 发散,则称复级数∑ zn 为.n =1n =1n =1三、计算题(本大题共 5 小题,每小题 8 分,共 40 分)16. 利用柯西-黎曼条件讨论函数 f (z ) = z 的解析性.20.计算积分1+iz 2dz .2017 + n i 17.判断数列 z n = n +1的收敛性. 若收敛,求出其极限.三、证明题(本大题共1 小题,每小题15 分,共15 分)nn !⎩ 21.试证明柯西不等式定理:设函数 f (z ) 在圆C : z - z 0 = R 所围的区域内解析,且在C因此在任何点(x , y ) 处, ∂u ≠∂v,所以 f (z ) 在复平面内处处不解析。

《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案

《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案

《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案六、(本题6分)求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换,并由此证明:te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos三.按要求完成下列各题(每小题10分,共40分)(1).设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数,求.,,,d c b a解:因为)(z f 解析,由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xvy u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ,,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分,正确求导给2分,结果正确2分。

(2).计算⎰-C zz zz e d )1(2其中C 是正向圆周: 解:本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算,仅给出用前者计算过程因为函数z z e z f z2)1()(-=在复平面内只有两个奇点1,021==z z ,分别以21,z z 为圆心画互不相交互不包含的小圆21,c c 且位于c 内⎰⎰⎰-+-=-21d )1(d )1(d )1(222C z C z C zz z z e z zz e z z z e i z e iz e i z zz z πππ2)1(2)(2021=-+'===无论采用那种方法给出公式至少给一半分,其他酌情给分。

(3).⎰=++3342215d )2()1(z z z z z解:设)(z f 在有限复平面内所有奇点均在:3<z 内,由留数定理]),([Re 2d )2()1(3342215∞-=++⎰=z f s i z z z z z π -----(5分) ]1)1([Re 22z z f s i π= ----(8分)234221521))1(2()11()1(1)1(z z zz zz f ++=0,z )12()1(11)1(34222=++=有唯一的孤立奇点z z z z z f 1)12()1(11)1(]0,1)1([Re 34220202lim lim =++==→→z z z z zf z z f s z z⎰==++∴33422152d )2()1(z i z z z z π --------(10分)(4)函数2332)3()(sin )2)(1()(-+-=z z z z z z f π在扩充复平面上有什么类型的奇点?,如果有极点,请指出它的级. 解:∞±±±==-+-=,的奇点为 ,3,2,1,0,)(sin )3()2)(1()(3232k k z z z z z z z f π(1)的三级零点,)为(032103=±±±==z kk z πsin ,,,,,(2)的可去奇点,是的二级极点,为,)()(,z f z z f z z 210-=±== (3)的一级极点,为)(3z f z =(4)的三级极点;,为)(4,3,2z f z±-=(5)的非孤立奇点。

复变函数与积分变换期末试题(附有答案),DOC

复变函数与积分变换期末试题(附有答案),DOC

复变函数与积分变换期末试题一.填空题(每小题3分,共计15分)1.231i -的幅角是( 2,1,0,23±±=+-k k ππ);2.)1(i Ln +-的主值是(i 432ln 21π+);3.211)(z z f +=,=)0()5(f (0),4.0=z 是4sin z z z -的(一级)极点;5.zz f 1)(=,=∞]),([Re z f s (-1); 二.选择题(每题3分,共15分)1.解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为();(A )y x iu u z f +=')(;(B )y x iu u z f -=')(;(C )y x iv u z f +=')(;(D )x y iv u z f +=')(.2.C 是正向圆周3=z ,如果函数=)(z f (),则0d )(=⎰Cz z f . (A )23-z ;(B )2)1(3--z z ;(C )2)2()1(3--z z ;(D )2)2(3-z . 3.如果级数∑∞=1n n nz c 在2=z 点收敛,则级数在(A )2-=z 点条件收敛;(B )i z 2=点绝对收敛;(C )i z +=1点绝对收敛;(D )i z 21+=点一定发散.4.下列结论正确的是()(A )如果函数)(z f 在0z 点可导,则)(z f 在0z 点一定解析; (B)如果)(z f 在C 所围成的区域内解析,则0)(=⎰C dz z f(C )如果0)(=⎰C dz z f ,则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析;(D )函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数.5.下列结论不正确的是().(A)的可去奇点;为z1sin ∞(B)的本性奇点;为z sin ∞ (C);1sin 1的孤立奇点为z ∞(D).sin 1的孤立奇点为z ∞ 三.按要求完成下列各题(每小题10分,共40分)(1).设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数,求.,,,d c b a 解:因为)(z f 解析,由C-R 条件,2,2==d a ,,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分,正确求导给2分,结果正确2分。

最新复变函数与积分变换期末考试试卷(A卷)(1)

最新复变函数与积分变换期末考试试卷(A卷)(1)

复变函数与积分变换期末考试试卷(A 卷)一、单项选择题(本大题共15小题,每小题2分,共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.下列复数中,位于第四象限的复数是( )A. 4+3iB. -3-3iC.-1+3iD.5-3i 2.下列等式中,不成立的等式是( ) A. z·z =Re (z·z ).arg(3)arg()B i i -=- .rg(3)arg(3)C A =2.||D z z z ⋅=3.不等式 ||3z > 所表示的区域为( ) A. 圆的外部B.上半平面C. 角形区域D.圆的内部4.积分||322z dz z =-⎰的值为( )A. 8i πB.2C. 2i πD. 4i π 5.下列函数中,在整个复平面上解析的函数是( ).z A z e +.sin z B z e + .tan z C z e + .R e ()s i n D z z+6.在复平面上,下列命题中,错误..的是( )A. cosz 是周期函数B. ze 是解析函数.cos sin iz C e z i z =+.||D z =7.在下列复数中,使得ze =成立的是( ).ln 224iA z i ππ=++.ln 424iB z i ππ=++.ln 22C z i π=+.l n 42D z iπ=+ 8.设C 为正向圆周1||=z , 则积分 cos z c e dzz⎰等于( )A .2πB .2πiC .0D .-2π 9.设C 为正向圆周||2z =, 则21(1)C dz z i --⎰等于( )A.i21π B. 0 C.i 2πD.2i π-10.以下关于级数的命题不正确的是( )A.级数0327nn i ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑是绝对收敛的B.级数212(1)n n in n ∞=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭∑是收敛的 C.级数01(1)2n n n i n ∞=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑是收敛的D.级数212n n i n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑是收敛的11.已知31z i =+,则下列正确的是( )12.iA z π=34.iB z eπ=712.i C z π=3.iD z π=12.下列关于幂级数的叙述,不正确 的是( ) A.在收敛圆内,幂级数绝对收敛 B.在收敛圆外,幂级数发散 C.在收敛圆周上,可能收敛,也可能发散 D.在收敛圆周上,条件收敛13.0=z 是函数sin z e z z的( )A.本性奇点B.一级极点C.二级极点D.可去奇点14.cos z zz π-在点 z π= 处的留数为( ) A. π-.B πC.1D. -115.关于0Im lim z zzω→=下列命题正确的是( )A.0ω=B. ω不存在C.1ω=-D.1ω=二、填空题(本大题共5小题,每小题2分,共10分)16.sincos 33z i ππ=+复数的三角形式为____________. 17. 已知22()()()f z x ay x i bxy y =++++在复平面上可导,则a b +=_________. 18. 设函数)(z f =3zt te dt ⎰,则)(z f 等于____________.19. 幂极数n n2n 1(-1)z n∞=∑的收敛半径为_______.20.设121,1z i z =-+=,求12z z ⎛⎫=⎪⎝⎭____________.三、计算题(本大题共4小题,每题7分,共28分) 21.设C 为从原点到2+3i 的直线段,计算积分[(2)]CI x y ixy dz =-+⎰22. 设2()cos 4ze f z z z=+-. (1)求)(z f 的解析区域,(2)求).(z f '23. 将函数1()(1)(2)f z z z =--在点0=z 处展开为泰勒级数.24. 将函数112()(1)z ef z z -=-在圆环0|1|z <-<∞内展开成洛朗级数.四、综合题(共4小题,每题8分,共32分)25.已知22(,)2u x y x y x =-+,求一解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+,并使(0)2f i =。

复变函数与积分变换期末考试-11-12-1-A-试题&答案

复变函数与积分变换期末考试-11-12-1-A-试题&答案






2011-2012 学年第二学期《复变函数与积分变换》期末考试卷(A 卷)
(参考答案)
学院
专业
班级
学号
题 得 号 分 一 二
姓名
三 四 总分
阅卷人
一、填空题(每小题 3 分,共 18 分)
1. 复数 i 的指数形式为____ e 2.
i
2 k 2
______。
ln(3i)
2
π ln 3 i 2

3. 级数 1 z z
zn
的和函数的解析域是
| z |1

4.
1 e2 z 1 e2 z 4 z 0 是 4 的 3 阶极点, Re s[ 4 , 0] 。 z 3 z
2
5. 在映射 w z i z 下, z i 处的旋转角为__
(8 分)
由于 f (i) 2i ,得 c 1 (9 分) , f ( z ) (4 xy y 1) i(2 x 2 y x) (10 分)
2.
2

z
z z 1 e dz z 1
2 1 1 2 ( ) z 1 2! z 1
2
e z 1 1
v y 4 y u x , u 4 xy c( y) , v x (4 x 1) u y , (4 x 1) 4 x c( y)
c( y) 1, c( y) y c
u( x, y) 4 xy y c
2 2
我们有,
1 1 1 z 3 z 1 z1 3! 5! 7!
z =0为f ( z )的三阶极点, 1 Re s[ f ( z ),0] . 5!
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和函数. 5.下列结论不正确的是( D ). (A) (B) (C) (D)
三.按要求完成下列各题(每小题10分,共计40分)
(1)设是解析函数,求 (2).计算其中C是正向圆周:; (3)计算 (4)函数在扩充复平面上有什么类型的奇点?,如果有极点,请指出 它的级. 四、(本题14分)将函数在以下区域内展开成罗朗级数;
六、(6分)求的傅立叶变换,并由此证明: 解: --------3分
------4分 - -------5分 , -------6分
«复变函数与积分变换»期末试题(B)
1. 填空题(每小题3分,共计15分)
2. 1.的幅角是(
);2.的主值是(
);3. =( ),在复平面内处处解析.4.是
的(
)极点;5. ,(
(1),(2),(3) 五.(本题10分)用Laplace变换求解常微分方程定解问题
六、(本题8分)求的傅立叶变换,并由此证明:
«复变函数与积分变换»期末试题简答及评分标准 (B) 一.填空题(每小题3分,共计15分)
1.的幅角是( );2.的主值是( ,( 0 ) ;5. ,( 0 );
);3. ,( 0 );4.
).
(A)、是复平面上的多值函数; 是无界函数;
是复平面上的有界函数;(D)、是周期函数.
三.按要求完成下列各题(每小题8分,共计50分)
得分
(1)设是解析函数,且,求. (2).计算.其中C是正向圆周; (3).计算,其中C是正向圆周; (4).利用留数计算.其中C是正向圆周; (5)函数在扩充复平面上有什么类型的奇点?,如果有极点,请指出 它的级. 四、(本题12分)将函数在以下区域内展开成罗朗级数;
二.选择题(每小题3分,共计15分)
1----5 A A C C C
三.按要求完成下列各题(每小题10分,共计40分)
(1)求使是解析函数, 解:因为解析,由C-R条件
, 给出C-R条件6分,正确求导给2分,结果正确2分。 (2)..其中C是正向圆周; 解:本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗 展开计算,仅给出用前者计算过程 因为函数在复平面内只有两个奇点,分别以为圆心画互不相交互不包含 的小圆且位于c内 (3).计算,其中C是正向圆周; 解:设在有限复平面内所有奇点均在:内,由留数定理
)
(A)如果函数在点可导,则在点一定解析;
(B) 如果,其中C复平面内正向封闭曲线, 则在C所围成的区域内一
定解析;
(C)函数在点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以
展开成为的幂级数,而且展开式是唯一的;
(D)函数在区域内解析的充分必要条件是、在该区域内均为调和函
数.
5.下列结论不正确的是(
-----(5分)
(4)函数在扩充复平面上有什么类型的奇点?,如果有极点,请指出 它的级.
给出全部奇点给5分。其他酌情给分。 四、(本题14分)将函数在以下区域内展开成罗朗级数;
(1),(2),(3)
(1),(2),(3) 解:(1)当
而 --------6分
(2)当
= -----10分
(3)当
--------14分
2.C是正向圆周,如果函数( D ),则. (A) ; (B); (C); (D).
3.如果级数在点收敛,则级数在( C ) (A)点条件收敛 ; (B)点绝对收敛; (C)点绝对收敛; (D)点一定发散.
4.下列结论正确的是( B ) (A)如果函数在点可导,则在点一定解析; (B) 如果在C所围成的区域内解析, 则 (C)如果,则函数在C所围成的区域内一定解析; (D)函数在区域内解析的充分必要条件是、在该区域内均为调
);
二.选择题(每小题3分,共计15分)
1.解析函数的导函数为( );
(A); (B);
(C); (D). 2.C是正向圆周,如果函数( ),则.
(A) ; (B); (C); (D).
3.如果级数在点收敛,则级数在
(A)点条件收敛 ; (B)点绝对收敛;
(C)点绝对收敛; (D)点一定发散.
4.下列结论正确的是(
无论采用那种方法给出公式至少给一半分,其他酌情给分。
(3). 解:设在有限复平面内所有奇点均在:内,由留数定理
-----(5分) ----(8分)
--------(10分) (4)函数在扩充复平面上有什么类型的奇点?,如果有极点,请指出 它的级. 解 :(1) (2) (3) (4) (5) 备注:给出全部奇点给5分 ,其他酌情给分。 四、(本题14分)将函数在以下区域内展开成罗朗级数;
五.(本题10分)用Laplace变换求解常微分方程定解问题 解:对的Laplace变换记做,依据Laplace变换性质有
…(5分) 整理得
…(7分) …(10分)
六、(本题6分)求的傅立叶变换,并由此证明:
得分
解: -------2分
----- 4分 ----------- 5分 = --------------6分
«复变函数与积分变换»期末试题(A)答案及评分
标准
«复变函数与积分变换»期末试题(A)
一.填空的主值是( );3. ,( 0 ); 4.是 的(一级)极点;5. ,(-1);
二.选择题(每小题3分,共计15分)
1.解析函数的导函数为( B ); (A) ; (B); (C); (D).
(1),(2),(3) 解:(1)当
而 -------6分
(2)当
= -------10分
(3)当
------14分
每步可以酌情给分。
五.(本题10分)用Laplace变换求解常微分方程定解问题: 解:对的Laplace变换记做,依据Laplace变换性质有
…(5分) 整理得
…(7分) …(10分)
(1),(2),(3)
五.(本题10分)用Laplace变换求解常微分方程定解问题
六、(本题6分)求的傅立叶变换,并由此证明:
三.按要求完成下列各题(每小题10分,共40分)
(1).设是解析函数,求 解:因为解析,由C-R条件
, 给出C-R条件6分,正确求导给2分,结果正确2分。 (2).计算其中C是正向圆周: 解:本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗 展开计算,仅给出用前者计算过程 因为函数在复平面内只有两个奇点,分别以为圆心画互不相交互不包含 的小圆且位于c内
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