《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案

二．选择题（每小题3分，共计15分）
1----5 A A C C C
三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）
（1）求使是解析函数， 解：因为解析，由C-R条件
， 给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。 （2）．．其中C是正向圆周； 解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗 展开计算，仅给出用前者计算过程 因为函数在复平面内只有两个奇点，分别以为圆心画互不相交互不包含 的小圆且位于c内 （3）．计算，其中C是正向圆周； 解：设在有限复平面内所有奇点均在：内，由留数定理
（1），（2），（3）
五．（本题10分）用Laplace变换求解常微分方程定解问题
六、（本题6分）求的傅立叶变换，并由此证明：
三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）
（1）．设是解析函数，求 解：因为解析，由C-R条件
， 给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。 （2）．计算其中C是正向圆周： 解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗 展开计算，仅给出用前者计算过程 因为函数在复平面内只有两个奇点，分别以为圆心画互不相交互不包含 的小圆且位于c内
2．C是Βιβλιοθήκη Baidu向圆周，如果函数（ D ），则． （A） ； （B）； （C）； （D）.
3．如果级数在点收敛，则级数在（ C ） （A）点条件收敛 ； （B）点绝对收敛； （C）点绝对收敛； （D）点一定发散．
４．下列结论正确的是( B ) （A）如果函数在点可导，则在点一定解析； (B) 如果在C所围成的区域内解析， 则 （C）如果，则函数在C所围成的区域内一定解析； （D）函数在区域内解析的充分必要条件是、在该区域内均为调
）；
二．选择题（每小题3分，共计15分）
1．解析函数的导函数为（ ）；
（A）； （B）；
（C）； （D）. 2．C是正向圆周，如果函数（ ），则．
（A） ； （B）； （C）； （D）.
3．如果级数在点收敛，则级数在
（A）点条件收敛 ； （B）点绝对收敛；
（C）点绝对收敛； （D）点一定发散．
４．下列结论正确的是(
-----（5分）
（4）函数在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出 它的级.
给出全部奇点给5分。其他酌情给分。 四、（本题14分）将函数在以下区域内展开成罗朗级数；
（1），（2），（3）
（1），（2），（3） 解：（1）当
而 --------6分
（2）当
= -----10分
（3）当
--------14分
«复变函数与积分变换»期末试题（A）答案及评分
标准
«复变函数与积分变换»期末试题（A）
一．填空题（每小题3分，共计15分）
1．的幅角是（）；2.的主值是（ ）；3. ，（ 0 ）； 4．是 的（一级）极点；5． ，（-1）；
二．选择题（每小题3分，共计15分）
1．解析函数的导函数为（ B ）； （A） ； （B）； （C）； （D）.
)
（A）如果函数在点可导，则在点一定解析；
(B) 如果,其中C复平面内正向封闭曲线, 则在C所围成的区域内一
定解析；
（C）函数在点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以
展开成为的幂级数，而且展开式是唯一的；
（D）函数在区域内解析的充分必要条件是、在该区域内均为调和函
数．
5．下列结论不正确的是（
（1），（2），（3） 五．（本题10分）用Laplace变换求解常微分方程定解问题
六、（本题8分）求的傅立叶变换，并由此证明：
«复变函数与积分变换»期末试题简答及评分标准 （B） 一．填空题（每小题3分，共计15分）
1．的幅角是（ ）；2.的主值是（ ，（ 0 ） ；5． ，（ 0 ）；
）；3. ，（ 0 ）；4．
六、（6分）求的傅立叶变换，并由此证明： 解： --------3分
------4分 - -------5分 ， -------6分
«复变函数与积分变换»期末试题（B)
1． 填空题（每小题3分，共计15分）
2． 1．的幅角是（
）；2.的主值是（
）；3. =（ ），在复平面内处处解析．4．是
的（
）极点；5． ，（
五．（本题10分）用Laplace变换求解常微分方程定解问题 解：对的Laplace变换记做，依据Laplace变换性质有
…（5分） 整理得
…（7分） …（10分）
六、（本题6分）求的傅立叶变换，并由此证明：
得分
解： -------2分
----- 4分 ----------- 5分 = --------------6分
和函数． 5．下列结论不正确的是（ D ）． (A) (B) (C) (D)
三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）
（1）设是解析函数，求 （2）．计算其中C是正向圆周：； （3）计算 （4）函数在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出 它的级. 四、（本题14分）将函数在以下区域内展开成罗朗级数；
）．
（A）、是复平面上的多值函数； 是无界函数；
是复平面上的有界函数；（D）、是周期函数．
三．按要求完成下列各题（每小题8分，共计50分）
得分
（1）设是解析函数，且，求． （2）．计算．其中C是正向圆周； （3）．计算，其中C是正向圆周； （4）．利用留数计算．其中C是正向圆周； （5）函数在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出 它的级. 四、（本题12分）将函数在以下区域内展开成罗朗级数；
（1），（2），（3） 解：（1）当
而 -------6分
（2）当
= -------10分
（3）当
------14分
每步可以酌情给分。
五．（本题10分）用Laplace变换求解常微分方程定解问题： 解：对的Laplace变换记做，依据Laplace变换性质有
…（5分） 整理得
…（7分） …（10分）
无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。
（3）． 解：设在有限复平面内所有奇点均在：内，由留数定理
-----（5分） ----（8分）
--------（10分） （4）函数在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出 它的级. 解 ：（1） （2） （3） （4） （5） 备注：给出全部奇点给5分 ，其他酌情给分。 四、（本题14分）将函数在以下区域内展开成罗朗级数；