协方差传播律当σxy=时表示这两个观测值的误差之间互不影响
第三章 协方差传播率及权
xy E( x y )
• 式中 x E( X ) X 和 真误差。
y E(Y ) Y
分别是 X和Y的
• 协方差则是这两种真误差所有可能取值的乘积的理 论平均值，即 lim [ x y ] lim 1 ( xy x n n
n n
ˆ xy [ x y ] n
12 0 2 0 2 Dxx 0 0 0 0 2 n
4.互协方差阵
设有观测值向量 Y。 为 和 r ,1
X n ,1
X
n ,1
和
Y
r ,1
，它们的数学期望分别
D XY DYY
令：
X Z Y
在测量工作中，直接观测得到的高差、距离、角 度、方向和三角高程测量求得的高差等，都认为 是独立观测值。 一般来说，独立观测值的各个函数之间是不独立 的，或者说是相关的，因而它们是相关观测值。 例如，当一个测站上的水平方向观测值是独立观 测值时，由这些方向值所算得的相邻角度就是相 关观测值；又如，三角网或导线网中根据观测角 度和边长求得的各点的坐标也是相关观测值。
2 r
D XY
X 1Y1 X Y 21 X nY1
XY X Y
1 2
2 2
X Y
n 2
X 1Yr X 2Yr X nYr
T DYX DXY
若有 X 的
t 个线性函数：
Z 1 k11 X 1 k12 X 2 k1n X n k10 Z 2 k 21 X 1 k 22 X 2 k 2 n X n k 20 Z t k t1 X 1 k t 2 X 2 k tn X n k t 0
平差知识点总结
平差知识点总结(总10页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-CompanY One 1-CAL-本页仅作为文档封面，使甬请直接删除测量平差知识点观测误差包括：粗差、系统误差、偶然误差。
粗差：即粗大误差，或者说是一种大量级的误观测差，是由观测过程中的差错造成的。
发现粗差的方法：进行必要的重复测量或多余观测，采用必要而又严格的检核、验算等，发现后舍弃或重测。
系统误差：在相同条件下进行一系列观测，如果误差在大小、符号表现出一致性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者为一常数，这种误差称为系统误差。
消除或削弱的方法:采取合理的操作程序（正、倒镜,中间法，对向观测等）；用公式改正，即加改正裁（如钢尺量距时的尺长误差等）。
偶然误差：在相同条件下进行一系列观测，如果误差在大小、符号上表现出偶然性，即就单个误差而言，该误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差，或者随机误差。
采臥措施：处理带仔偶然误差的观测值，就是木课程的内容，也叫做测量平差。
偶然谋差又称随机误差，有以I、•四个特性：1）一定观测条件下，误差绝对值有一泄限值（有限性）；2）绝对•值较小的课差比绝对值较人的课差出现概率人（渐降性）：3）绝对值相等的正负误差出现概率相同（对称性）；4）偶然谋差的数学期望为零（抵偿性）。
衡量精度的指标有五个，分别眉中矗、平均矗、或然i灵差、极限i灵差以及相对中谋差。
其中中矗和极限误差以及相对中保差是工程測量中常用的指标。
5、相对谋差颠差、屮促差、极限促差等指标，对于菜些观测结果，有时还•侮全表达观测结果的好坏，例如，分别丈1000m及500⑴的两段距离，它们的中课差均为±2cn】，虽然两者■的中误差相同，但就M位长度而言，两者精度并彳、相同。
显然询耆的郴对蒂度比后者耍高。
一般:而言，一些与长度有关的观测俺或其函数值，单纯用中误苣还不能区分出蒂度的高低，所以常用相对课差。
第2章协方差传播律
2、等精度独立观测三角形三内角，若已知观测值的方差m， 则由三个平差值构成的向量的精度如何？
ˆ L （L L L 1800） L 1 1 1 2 3 ˆ L 2 ˆ L 3 1 3 1 L2 （L1 L2 L3 1800） 3 1 L3 （L1 L2 L3 1800） 3
若有函数：
ˆ L 1（L L L 1800） L 1 1 2 3 3 1 ˆ L 1（L L L 1800） L 2 2 2 3 3 1 ˆ L 1（L L L 1800） L 3 3 2 3 3 1
T ˆ L ˆ L ˆ L ˆ ，试求 D LL 并记 L ˆˆ 1 2 3
0
求其函数的协因数阵以及互协因数阵，即
QYY ? QZZ ? QYZ ?
下面由协方差传播律来导出协因数传播律
若：Y FX F 0 ,且QXX已知。
则：DYY FDXX F T
2 又因：DXX 0 Q XX 2 DYY 0 QYY
2 2 故： 0 QYY FDXX F T F 0 QXX F T
F12 F22 Fr 2
F1n F10 F F2 n , 0 20 F r 1 Frn Fr 0
则X的t个线性函数式可写为:
r 1
Y F X F0
r n n 1
r 1
同样,根据协方差阵的定义可得Y的协方差阵为:
E (CX ) CE ( X )
3、设有随机变量X和Y，则 E( X Y ) E( X ) E(Y ) 推广之，则有 E( X X X ) E( X ) E( X ) E( X ) 4、若随机变量X、Y相互独立，则有
测量不确定度试题
测量不确定度基本知识培训测验题李正东编姓名一．填空题成绩1．在一定的条件下事物的因果关系是确定的事件被称为事件，而在一定的条件下结果不可预知的事件被称为事件，也称事件。
2．随机变量具有的二个特点是性和性。
3．随机变量的特征值包括、、和等。
4．表示随机变量本身大小的取值中心，也称。
其估计值为一系列测量结果的。
5．测量误差是和之差，测量误差也称之为误差。
6．相对误差是除以所得之商。
7．误差通常按其性质和产生的原因，可分为误差、误差和误差三类。
8．在同一量的多次测量过程中，保持恒定或以可预知方式变化的测量误差的分量，被称之为误差。
9．在同一量的多次测量过程中，以不可预知的方式变化的测量误差分量，被称之为误差。
10．给定条件下，误差明显超出了预期值，被称之为误差，或称误差。
11．为消除或减小测量结果的系统误差，应将值与未修正的测量结果用法相加。
12．在相同的测量条件下，增加测量次数，取其平均值可以减小测量结果的误差，但不能消除误差。
13．测量不确定度是表征合理地赋予被测量之值的，与测量结果相关联的。
14．标准不确定度是以表示的测量不确定度，数学符号为。
15．评定标准不确定度的方法有两类：A类评定是用对一列观测值进行的方法来评定标准不确定度；B类评定是用的方法来评定标准不确定度。
任何一个不确定度分量既可以用A类评定法评定，也可以用B类评定法评定。
16．引起测量不确定度的因素可分为影响和影响两类。
但不要因此把用A类方法评定的不确定度错误地称为不确定度，亦不要把用B类方法评定不确定度错误地称为不确定度。
17．当测量结果是由若干个其它量的值求得时，按其它各量的和算得的标准不确定度，被称之为不确定度，它是测量结果的估计值，数学符号为。
18．计算合成标准不确定度应按定律计算，当各输入量彼此不相关时，协方差u ，式中的被称为灵敏度系数。
项等于，其数学表达式为c该数值的大小反映了对合成标准不确定度的影响程度。
19．为使测量结果以更高的置信概率落在某量值区间内，将合成标准不确定度乘以2~3的数字因子，该因子称之为因子，乘以该因子后的不确定度称之为不确定度，数学符号为。
4第三章 协方差传播律_第二部分
S
sin( 0 )] [
2
S
2 cos( 0 )]2 }
S
2 2
2
点位误差另一个计算公式：
2 c 2 s
S
2 2
2
§3 非线性函数的广义传播律
求函数协方差的步骤小结
38
§4 广义传播律在测量中的应用
① ② ③ ④
水准测量的精度 一个量独立等精度观测算术中数的中误差 三角高程测量的精度 距离丈量的精度
广义传播律
26
§3 非线性函数的广义传播律
设有观测值为
n×1
X
的非线性函数为
Y F ( X ) F ( X1 , X 2 , X 3 )
且已知 X 的协方差阵 DXX 求 Y 的方差阵 DYY
解此类问题的关键
？
27
将非线性方程线性化，转化成与线性问题
§3 非线性函数的广义传播律 如何线性化？
2 3
§4 广义传播律在测量中的应用
① ② ③ ④
水准测量的精度 一个量独立等精度观测算术中数的中误差 三角高程测量的精度 距离丈量的精度
49 49
§4 广义传播律在测量中的应用
二、一个量独立等精度观测算术中数的中误差
算数中数在测量中有着十分广
泛的应用
50 50
§4 广义传播律在测量中的应用
二、一个量独立等精度观测算术中数的中误差
L1 402912
L2 402910
A
L3 402911 L4 402913
套方差传播公式得：
我们需要的值：
用协方差传播定律推导
3-协方差传播律及权
Xn
§3-2 协方差传播律
1. 误差的传递
（2）非线性函数误差的传递
%
f ( x1 , x2 ,L
, xn
)
f x1
x1
f x2
x2
L
f xn
xn
令
f X i
ki ,
i 1,2,L n
则非线性函数误差的传递公式为：
Y
注意：求偏 导后，代入观 测值xi
Y k1 X1 k2 X 2 ... kn Xn
f1
Z1
Z
2
M
Z
t
X 1 f2 X 1 L
ft
X1
f1 X 2 f2 X 2 L
ft X 2
L
L O L
f1
X
n
f2 X n
L
ft
X1
X
2
M
X
n
X n
Z Z X
t1
X n1
tn
Z
Z
t1
X
tn
X n1
例题：测定待定点G，需测量水平角β和边长s
1. 误差的传递
（3）函数向量误差的传递 若有t 个线性函数
Z1 k11 X1 k12 X 2 ... k1n X n k10
Z2
k21 X1
k22 X 2
...
k2n Xn
k20
... ... ... ...
Zt kt1 X1 kt 2 X 2 ... ktn X n kt0
db1
S3 a2
da2
S3 b2
db2
S3 a3
da3
S3 b3
db3
S3 cot a1da1 cot b1db1 cot a2da2 cot b2db2 cot a3da3 cot b3db3
习题1-协方差传播律
目录
• 协方差传播律的基本概念 • 协方差传播律的推导过程 • 协方差传播律的实例分析 • 协方差传播律的优化方法 • 协方差传播律的未来研究方向
01
协方差传播律的基本概念
定义与公式
定义
协方差传播律是描述测量误差传递规 律的数学公式，用于评估测量误差对 估计量的影响。
公式
协方差传播律的公式为： cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]，其中X和 Y是随机变量，EX和EY分别是X和Y的 期望值。
4. 对优化后的算法进行测试和验证，确保其正确性和有 效性。
优化效果评估
评估指标
计算精度、计算效率、稳定性。
评估方法
通过对比优化前后的计算结果，分析优化后的算法在 计算精度、计算效率和稳定性方面的表现。
评估结果
经过优化，协方差传播律的计算精度和效率得到显著 提高，稳定性也得到增强。
05
协方差传播律的未来研究方 向
02
协方差传播律的推导过程
推导步骤与公式
推导步骤
协方差传播律的推导过程包括随机变量的定义、期望值的计算、方差的计算、协方差的定义和性质、 协方差与期望值的运算性质等步骤。
公式
协方差传播律的公式为$Delta X_i = E[X_i] cdot Delta Y_i$，其中$X_i$和$Y_i$是随机变量，$Delta X_i$和$Delta Y_i$是$X_i$和$Y_i$的增量，$E[X_i]$是$X_i$的期望值。
总结词
神经网络模型是一种复杂的机器学习模型， 其预测结果也可以通过协方差传播律进行解 释。
详细描述
神经网络模型是一种模拟人类神经系统的机 器学习模型，它由多个神经元组成，通过训 练来学习输入数据和目标输出之间的关系。 在神经网络模型中，协方差传播律可以用来 解释预测结果的方差，并考虑到输入特征和 输出结果之间的相关性。
协方差传播律是研究观测值方差与观测值函数 方差之间的协方
3、协方差与相关 Covariance and Correlation
协方差covariance
协方差是用数学期望来定义的。设有观测值向量X和Y，协方差好用来表示两个观 测量之间误差相关关系的量，它们的协方差定义是：
σ xy = E[( X − E( X ))(Y − E(Y ))] σ xy = E(Δ x Δ y )
X
=
⎢⎢X ⎢#
2
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎥ ⎣Xn ⎦
=
K
1,n
X+
n,1
k0
1,1
对上式两边取数学期望：
E(Z ) = E(KX + k0 ) = KE( X ) + k0 = Kμ X + k0
误差理论与测量平差基础
北京建筑工北程京学建院筑大测学绘测工绘程学系院
对上式两边取数学期望：
E(Z) =
Z的方差为
⎤ ⎥ ⎥
⎢⎣σ 31
σ 23
σ
2 3
⎥⎦
2. 把线性函数写成矩阵形式
⎡ β1 ⎤
L = β1 + β2 + β3 = [1
1
1]
⎢ ⎢
β
2
⎥ ⎥
⎢⎣β3 ⎥⎦
3. 应用方差协方差传播律计算函数的方差
⎡1.42 1 1 ⎤ ⎡1⎤
[ DLL
=
σ
2 L
= KDββ K T
=
1
1
1]
⎢ ⎢
1
1.42
1
⎥ ⎥
D XX
=
⎢⎢⎡σσXX22 X1 1
⎢"
⎢
⎢⎣σ X n X1
σ X1X2 σ2
第三章_协方差传播律及权
(3-2-6)
通常将（ ）、（3-2-5）和（3-2-6）诸式称为协方差传播律。 协方差传播律。 通常将（3-2-4）、（ ）、（ ） ）诸式称为协方差传播律 其中（ 其中（3-2-6）式是（3-2-5）式的特例。 ）式是（ ）式的特例。
的地图上， 【例题1】在1:500的地图上，量得某两点间的距离是d = 23.4 mm，d的量距 例题 】 的地图上 的量距 求两点间的实地距离S和其精度 和其精度σ 误差是 σ d = ±0.2 mm 。求两点间的实地距离 和其精度 S。 解：
第三章
协方差传播律及权
本章学习要点： 本章学习要点： 1、数学期望的传播 、 2、协方差传播定律 、 3、协因数和协因数传播律 、 4、由真误差计算中误差的方法 、 5、系统误差的传播 、
在实际测量工作中，往往有些未知量不是直接测定， 在实际测量工作中，往往有些未知量不是直接测定，而是由观测值 按一定函数关系计算出来的，即某些未知量是直接观测值的函数。 按一定函数关系计算出来的，即某些未知量是直接观测值的函数。
1.96 − 1 − 1 = 1.92( ′′)2 σ = KDββ K = (− 1 − 1) − 1 1.96 − 1
2 x T
σ x = ±1.4 ′′
图3-2
二、多个观测值线性函数的协方差阵 1、 设有观测值 X，它的数学期望 µX与协方差阵DXX ， n1
D XX
σ 12 σ 12 2 σ 21 σ 2 = L L σ n1 σ n 2
L σ 1n L σ 2n L L 2 L σn
(3-2-7)
L k1n k10 L k2n k , K0 = 20 , L L t 1 M L ktn kt 0
协方差传播律
协方差传播律1. 引言协方差是统计学中用来衡量两个随机变量之间关系的指标。
在金融领域，协方差被广泛应用于风险管理和资产组合优化等方面。
协方差传播律（Covariance Propagation Law）是指在多个随机变量之间存在关联时，如何计算它们之间的协方差。
2. 协方差的定义和性质协方差衡量了两个随机变量之间的线性关系程度。
对于两个随机变量X和Y，其协方差定义为：Cov(X,Y)=∑(X i−X‾)ni=1(Y i−Y‾)n−1其中，X i和Y i分别表示第i次观测到的X和Y的取值，X‾和Y‾分别表示X和Y的均值。
协方差具有以下性质：•对称性：Cov(X,Y)=Cov(Y,X)•线性性：Cov(aX+bY,Z)=a Cov(X,Z)+b Cov(Y,Z)，其中a和b为常数，X、Y和Z为随机变量。
3. 协方差传播律的推导在实际问题中，我们经常需要计算多个随机变量之间的关系。
假设有n个随机变量X1,X2,...,X n，它们与另一个随机变量Y之间存在关联。
我们希望计算Y与这n个随机变量的协方差。
根据协方差的线性性质，我们可以将Y表示为这n个随机变量的线性组合：Y=a1X1+a2X2+...+a n X n其中a1,a2,...,a n为常数。
现在我们来计算Y与任意两个随机变量X i和X j之间的协方差Cov(Y,X i)和Cov(Y,X j)。
根据协方差的定义：Cov(Y,X i)=∑(Y k−Y‾)mk=1(X ik−X i‾)m−1其中，Y k表示第k次观测到的Y的取值，X ik表示第k次观测到的X i的取值，Y‾和X i‾分别表示Y和X i的均值，m为样本数量。
将Y的表达式代入上述公式：Cov(Y,X i)=∑(a1X1k+a2X2k+...+a n X nk−Y‾)mk=1(X ik−X i‾)m−1展开并整理上式：Cov(Y,X i)=a1∑(X1k−X1‾)mk=1(X ik−X i‾)m−1+a2∑(X2k−X2‾)mk=1(X ik−X i‾)m−1+...+a n∑(X nk−X n‾)mk=1(X ik−X i‾)m−1可以看出，Cov(Y,X i)可以表示为n个随机变量X j与X i之间协方差的线性组合。
协方差传播律
协方差传播律协方差传播律指的是在多变量情况下怎么计算协方差。
协方差是衡量两个变量之间关系的统计度量，我们可以通过协方差矩阵分析多个变量之间的相互作用。
在多变量情况下，协方差传播律有很重要的作用，因为很多时候我们需要计算多个变量之间的协方差。
以下是协方差传播律的具体解释：假设有一个由多个变量组成的向量x，对应一个方差-协方差矩阵S，而且还有一个由x组成的函数y = f(x)，那么y对应的方差、协方差矩阵可以通过以下方式计算：Var(y) = J*S*J'，Cov(y) = J*S其中，J是一个m×n的Jacobian矩阵，m是y的维度，n是x的维度。
J由y对x每个元素的一阶偏导数组成。
这些公式可能看起来比较复杂，但实际上非常简单。
举个例子，如果我们有两个变量x和y，它们之间有一个函数z = x + y，那么z 的协方差矩阵可以通过以下方式求解：⎡ Var(x) Cov(x,y) ⎡⎡⎡⎡ Cov(y,x) Var(y) ⎡其中Var(x)是x的方差，Var(y)是y的方差，Cov(x,y)和Cov(y,x)是x和y之间的协方差。
在实际应用中，协方差传播律可以帮助我们解决很多问题。
比如，假设我们有一个模型，它包含多个变量，我们想要在这个模型的基础上进行优化，那么我们需要知道每个变量对模型的影响。
这时协方差传播律就派上用场了。
我们可以利用这个公式计算每个变量的方差和协方差，从而分析出它们对模型的重要性，并确定优化方向。
总之，协方差传播律是多变量统计分析中不可或缺的工具，通过它，我们可以更加深入地了解变量之间的相互作用，进一步优化我们的统计分析和预测模型。
第3章 协方差传播律及权
误差理论与测量平差
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
介绍协方差传播律公式及 其应用，权的定义，定权的常用 方法 ，协因数(阵)、权阵的计算 ，协因数传播律公式的应用 ， 利用真误差计算中误差的方法， 需重点掌握。
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协方差传播律及权
误差理论与测量平差
本章主要内容
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2) X、Y表达为同一向量的函数
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
X IX 0Y I
Y 0 X IY 0
X 0 Y
X I Y
由协方差传播律得：
DZX A1 DZY A1 DX A2 DYX DX A2 DYX D XY I A1 D X A2 DYX DY 0 D XY 0 A1 D XY A2 DY DY I
10
解: 1) 将函数式改写为:
Z A 1X A 2Y A 0 A 1 X A2 A0 KU A0 Y
式中
K A 1
X A2 , U Y
由方差阵的定义，即可写出U的方差阵为: 由协方差传播律得：
DX DU DYX DXY DY
10
例 1 设有函数Y=4x1-3x2-60, 已知X(= x1 的方差阵为： 7 2 2
x2
T
)
D
X
2 3
cm
试求Y的方差 。
2 Y
解: 将函数写成矩阵形式，即
Y 4x1 3x2 60 4 3x1 x2 60
T
误差理论与测量平差基础第三章协方差传播律及权
参数估计可采用最小二乘法或加权最小二乘法。在选择方 法时，需根据实际问题的特点和需求进行权衡。
算法性能评估指标选取
精度指标
精度指标是衡量算法性能的重要指标之一。常用的精度指标包括均方误差、均方根误差、 中误差等，可用于评估算法的估计精度和稳定性。
可靠性指标
可靠性指标用于评估算法在复杂环境和噪声干扰下的性能表现。常用的可靠性指标包括失 败率、误警率、漏警率等。
误差传递规律探讨
误差传递概念
在测量过程中，由于各种因素的影响，观测值会存在一定 的误差。这些误差在传播过程中会遵循一定的规律，即误 差传递规律。
线性函数误差传递
对于线性函数Z=aX+bY（其中a、b为常数），其误差传 递公式为D(Z)=a^2D(X)+b^2D(Y)+2abcov(X,Y)。可以 看出，误差传递与观测值的方差和协方差有关。
的线性相关程度。
对称性
Cov(X,Y) = Cov(Y,X)
加法性
Cov(aX+b, cY+d) = acCov(X,Y)
独立性
若X与Y独立，则Cov(X,Y) = 0
传播律意义与作用
传播律意义
协方差传播律描述了随机变量经过线 性变换后，其协方差矩阵如何变化。 这对于理解和分析复杂系统的误差传 递机制具有重要意义。
权重因子的选择应根据实际情况和测量任务的要求进行，要综合考虑观测值的 精度、稳定性、可靠性等因素。
使用方法
在平差计算中，应根据所选权重因子对观测值进行加权处理，以充分利用观测 值的信息并提高平差结果的精度和可靠性。同时，要注意避免过度加权或欠加 权的情况，以免对结果产生不良影响。
04
基于协方差传播律和权的平差算法设
中南大学《误差理论与测量平差基础》考研复习重点笔记
考试复习重点资料（最新版）资料见第二页封面第1页第一章测量误差理论§1-1正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。
一、一维正态分布§1-2偶然误差的规律性2.直方图由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。
3.误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。
当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。
因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。
4.偶然误差的特性第2章协方差传播律在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。
例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。
现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。
§2—1数学期望的传播数学期望是描述随机变量的数字特征之一，在以后的公式推导中经常要用到它，因此，首先介绍数学期望的定义和运算公式。
其定义是：§2—2协方差传播律从测量工作的现状可以看出：观测值函数与观测值之间的关系可分为以下3种情况，下面就按这3种情况来讨论两者之间中误差的关系。
第3章最小二乘平差§3-1条件平差原理以条件方程为函数模型的方法称之条件平差。
二、按条件平差求平差值的计算步骤及示例计算步骤：1.列出r=n-t个条件方程；2.组成并解算法方程；3.计算V和的值；4.检核。
3.1 第三讲 协方差传播律
1、几个名词
误差 测量误差 (观测误差) 真误差 名 词 方差 中误差 平均误差 偶然误差 随机误差 系统误差 粗差 精度 精确度 准确度
衡量精度的指标
或然误差
极限误差
相对误差 绝对误差
回 顾
2、一个事实 3、基本假设 4、统计规律
不论观测条件如何，观测误差总是不可避免的。
在本课程中，我们假设观测误差为偶然误差，即不含系统 误差和粗差。换句话说，我们假设观测误差服从正态分布。 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值， 即超过一定限值的偶然误差出现的概率为零； 绝对值较小的偶然误差比绝对值较大的偶然误差出现的概 率大； 绝对值相等的正负偶然误差出现的概率相同； 偶然误差的理论平均值为零。
1 ˆ L1 L2 L3 180 ; L Li (i 1,2,3)协方差 3
2 1 1 ˆ L1 L1 L2 L3 60 3 3 3 ˆ 1 L 2 L 1 L 60 L 2 1 2 3 3 3 3 ˆ 1 L 1 L 2 L 60 L 3 1 2 3 3 3 3
0 0 1
I
2
3. 方差-协方差阵
设有观测值向量 X 和
n ,1
X Y ，它们的数学期望分别为 n ,1
r ,1
X 和 Y 。令： Z ;则 Z 的方差阵为： DZZ r ,1 Y
DZZ
D XX DYX
D XY DYY
DZZ K DXX K T
t ,t t ,n n ,n n ,t
协方差传播律
三、多个观测值线性函数的协方差阵
设另有Ｘ的r个线性函数：
Y2 f 21 X 1 f 22 X 2 f 2 n X n f 20 Yr f r1 X 1 f r 2 X 2 f rn X n f r 0
协方差计算法则
协方差计算法则
协方差计算是互联网研究的重要计算统计技术，它可以用来比较多个不同的变量，以便更好地对数据在不同方面的变化进行评估。
协方差计算的基本思想是比较不同的变量的方差，以及两个变量之间的协方差，以更深入地了解这些变量之间的关系。
要正确计算协方差，首先需要计算两个变量x和y之间的平均值μx和μy，
其次计算x和y之间的均方差σx2和σy2，最后计算x和y之间的协方差σxy。
协方差的正负号代表x和y之间的相关性，正的协方差表示x和y的值增加或减少时，x和y的值也会增加或减少，而负的协方差表示x和y的值增加或减少时，x
和y的值会相反地变化。
协方差计算可以帮助互联网研究人员识别数据中可能存在的联系。
例如，研究
人员可以使用协方差计算来分析网站上的用户访问量和搜索走势之间的关系，从而推测出让用户更加满意的网站结构。
除此之外，研究人员还可以使用协方差计算来分析社交媒体用户的表现和其他民意的季节性变化。
这有助于他们更好地判断社交媒体和政治倾向之间的关系。
总而言之，协方差计算是互联网研究的重要计算技术，它有助于我们更深入地
了解网站结构和社交媒体等特定变量之间的关系，并利用此信息来完善系统设计和政策制定。
通过正确地计算协方差，我们将得到更好的互联网应用和政策执行效果。
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t ,1
kt
0
DZZ K DXX KT
t ,1
t,n n,n n,t
2、多个观测值线性函数的协方差阵
设另外还有X的r个线性函数： Y 1 = f11X1 +f12X2 + … + f1nXn + f10 Y 2 = f21X1 + f22X2 + … + f2nXn + f20 ……………………………………… Y r = fr1X1 + fr2X2 + … + frrXn + fr0
1,1
例题1
设X为独立观测变量L1，L2，L3的函数
X
1 7
L1
2 7
L2
4 7
L3
已知L1，L2，L3的中误差1= 3mm， 2 = 2mm，3 = 1mm，
求函数的中误差 X
解：因为L1，L2，L3是独立的观测变量，按协方差传播律，
2 X
（
1 7
）212
（2 7
1 2
,
D
2 1
21
12 2 2
1.96
1
1 1.96
B
根据协方差传播律，
β1
2 x
1
1 1221
12 2 2
1 1
1.92
A
β2
α
x
x 1.4''
即得 DZZ = K DXX KT 协方差传播
DZZ
2 Z
k1212
k22
2 2
kn2
2 n
2k1k212
2k1k313
2kn1kn n1,n
1,1
当各个观测量之间是相互独立的，那么协方 差为0，因此
DZZ
2 Z
k1212
k22
2 2
kn2
2 n
）2
2 2
（
4 7
）2
2 3
0.84
X 0.9mm
例题2
设在测站A上，已知BAC ，无误差，而观测角1，2的中
误差1
2
1.4 '，协方差12
1秒2，求角x的中误差
。
x
解：x 1 2 1
1
1 2
• 表示这两个观测值的误差之间互不影响，或者
说，它们的误差是不相关的
• 称这些观测值为不相关的观测值 • 也称为独立观测值；
如果σxy ≠0
• 表示它们的误差是相关的 • 称这些观测值为相关观测值 • 也称为不独立观测值。
对于正态分布而言
• “不相关”与“独立”是等价的。
即
• σxy = E [△X△Y]= E（△X）E（△Y）= 0
例如：在一个三角形中，观测了三个角 L1,L2,，L3其 闭合差和经经闭合差分配后所得到的各角平均值为：
L1 ,L2 ,L3
w=180 -(L1+L2 +L3 )
例如：侧方交会
S AC
S0
sin L1 sin L2
Li
=Li
-
1 3
w
C L2
AC 0 (180 -L1-L2 )
• 式中 (X - E（X）)和(Y - E（Y）)分别为X和Y的真误差△X和△Y，
σxy = E [△X△Y] =lim[△X△Y]/n =lim(△X1△Y1 + △X2△Y2 + … + △Xn△Yn)/n
其估值为：
ˆ xy
x y n
3-1协方差传播律
当σxy = 0时
假定有n个不同精度的相关观测值，它们的数 学期望和方差-协方差为：
x1
X
x2
xn
2 x1
DXX
x2 x1
xnx2
x1x2 2
xn
xn x2
1
x
2
E
x
n
x1xn
Z K X K0
t,1 t,n n,1
t ,1
2、多个观测值线性函数的协方差阵
Z K Z1
Z
2
k11 k21
t,1 t,n
k12 k22
Zt
kt1
kt 2
K k11n
k2n
k10
0
k20
ktn
C
2、多个观测值线性函数的协方差阵
若有X的t个线性函数： Z 1 = k11X1 + k12X2 + … + k1nXn + k10 Z 2 = k21X1 + k22X2 + … + k2nXn + k20 ……………………………………… Z t = kt1X1 + kt2X2 + … + ktnXn + kt0
x2xn
E[( X
x )( X
x )T
]
2 xn
DXX称为X的方差-协方差阵，简称为协方差阵
1、观测值线性函数的方差
x1
X
x2
xn
1 E X1
X
2
E
X
2
EX
n
E
X
n
DXX
2121
12
2 2
n1 n2
11n 2n
E[( X
x
)(
X
x
)T
]
2 n
1、观测值线性函数的方差
计算Z的方差DZZ
• Z = K X + k0 • E（Z）=E（KX+k0）= KE（X）+k0
数学期望的传播：
已知随机变量的数学期望求其函数的数学期望。
1、E(C) C,C为一常数 2、E(CX)=CE(X),C为一常数，X为随机变量 3、E(X+Y)=E(X)+E(Y),X,Y,为随机变量 4、E(X,Y)=E(X)E(Y),X,Y相互独立的随机变量
3-1协方差传播律
设有观测值X和Y，则它们的协方差被定义为： σxy = E [(X - E（X）) (Y - E（Y）)]
= K μ0+k0
• DZZ =σ2ZZ
= E（Z）= E [（Z-E（Z））（Z-E（Z））T ]
= E [ (KX-KμX)(KX-KμX)T ] = E [ K(X-μX)(X-μX)TKT ] = K E [ (X-μX)(X-μX)T ]KT = K DXX KT
1、观测值线性函数的方差
xC xA SAC cos AC yC yA SAC sin AC A
α0
L1
B
S0
第三章 误差传播定律及权
主要内容
协方差的传播及应用 权与定权的方法 协因数及协因数传播律 有真误差计算中误差及实际应用
数学期望的传播
数学期望的定义
E(x) xf (x)dx