协方差传播律当σxy=时表示这两个观测值的误差之间互不影响
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例如：在一个三角形中，观测了三个角 L1,L2,，L3其 闭合差和经经闭合差分配后所得到的各角平均值为：
L1 ,L2 ,L3
w=180 -(L1+L2 +L3 )
例如：侧方交会
S AC
S0
sin L1 sin L2
Li
=Li
-
1 3
w
C L2
AC 0 (180 -L1-L2 )
假定有n个不同精度的相关观测值，它们的数 学期望和方差-协方差为：
x1
X
x2
xn
2 x1
DXX
x2 x1
xnx2
x1x2 2
xn
xn x2
1
x
2
E
x
n
x1xn
• 式中 (X - E（X）)和(Y - E（Y）)分别为X和Y的真误差△X和△Y，
σxy = E [△X△Y] =lim[△X△Y]/n =lim(△X1△Y1 + △X2△Y2 + … + △Xn△Yn)/n
其估值为：
ˆ xy
x y n
3-1协方差传播律
当σxy = 0时
n
E
X
n
DXX
2121
12
2 2
n1 n2
11n 2n
E[( X
x
)(
X
x
)T
]
2 n
1、观测值线性函数的方差
计算Z的方差DZZ
• Z = K X + k0 • E（Z）=E（KX+k0）= KE（X）+k0
即得 DZZ = K DXX KT 协方差传播
DZZ
2 Z
k1212
k22
2 2
kn2
2 n
2k1k212
2k1k313
2kn1kn n1,n
1,1
当各个观测量之间是相互独立的，那么协方 差为0，因此
DZZ
2 Z
k1212
k22
2 2
kn2
2 n
数学期望的传播：
已知随机变量的数学期望求其函数的数学期望。
1、E(C) C,C为一常数 2、E(CX)=CE(X),C为一常数，X为随机变量 3、E(X+Y)=E(X)+E(Y),X,Y,为随机变量 4、E(X,Y)=E(X)E(Y),X,Y相互独立的随机变量
3-1协方差传播律
设有观测值X和Y，则它们的协方差被定义为： σxy = E [(X - E（X）) (Y - E（Y）)]
Z K X K0
t,1 t,n n,1
t ,1
2、多个观测值线性函数的协方差阵
Z K Z1
Z
2
k11 k21
t,1 t,n
k12 k22
Βιβλιοθήκη Baidu
Zt
kt1
kt 2
K k11n
k2n
k10
0
k20
ktn
C
2、多个观测值线性函数的协方差阵
若有X的t个线性函数： Z 1 = k11X1 + k12X2 + … + k1nXn + k10 Z 2 = k21X1 + k22X2 + … + k2nXn + k20 ……………………………………… Z t = kt1X1 + kt2X2 + … + ktnXn + kt0
x2xn
E[( X
x )( X
x )T
]
2 xn
DXX称为X的方差-协方差阵，简称为协方差阵
1、观测值线性函数的方差
x1
X
x2
xn
1 E X1
X
2
E
X
2
EX
1 2
,
D
2 1
21
12 2 2
1.96
1
1 1.96
B
根据协方差传播律，
β1
2 x
1
1 1221
12 2 2
1 1
1.92
A
β2
α
x
x 1.4''
xC xA SAC cos AC yC yA SAC sin AC A
α0
L1
B
S0
第三章 误差传播定律及权
主要内容
协方差的传播及应用 权与定权的方法 协因数及协因数传播律 有真误差计算中误差及实际应用
数学期望的传播
数学期望的定义
E(x) xf (x)dx
1,1
例题1
设X为独立观测变量L1，L2，L3的函数
X
1 7
L1
2 7
L2
4 7
L3
已知L1，L2，L3的中误差1= 3mm， 2 = 2mm，3 = 1mm，
求函数的中误差 X
解：因为L1，L2，L3是独立的观测变量，按协方差传播律，
2 X
（
1 7
）212
（2 7
• 表示这两个观测值的误差之间互不影响，或者
说，它们的误差是不相关的
• 称这些观测值为不相关的观测值 • 也称为独立观测值；
如果σxy ≠0
• 表示它们的误差是相关的 • 称这些观测值为相关观测值 • 也称为不独立观测值。
对于正态分布而言
• “不相关”与“独立”是等价的。
即
• σxy = E [△X△Y]= E（△X）E（△Y）= 0
t ,1
kt
0
DZZ K DXX KT
t ,1
t,n n,n n,t
2、多个观测值线性函数的协方差阵
设另外还有X的r个线性函数： Y 1 = f11X1 +f12X2 + … + f1nXn + f10 Y 2 = f21X1 + f22X2 + … + f2nXn + f20 ……………………………………… Y r = fr1X1 + fr2X2 + … + frrXn + fr0
= K μ0+k0
• DZZ =σ2ZZ
= E（Z）= E [（Z-E（Z））（Z-E（Z））T ]
= E [ (KX-KμX)(KX-KμX)T ] = E [ K(X-μX)(X-μX)TKT ] = K E [ (X-μX)(X-μX)T ]KT = K DXX KT
1、观测值线性函数的方差
）2
2 2
（
4 7
）2
2 3
0.84
X 0.9mm
例题2
设在测站A上，已知BAC ，无误差，而观测角1，2的中
误差1
2
1.4 '，协方差12
1秒2，求角x的中误差
。
x
解：x 1 2 1
1
1 2
L1 ,L2 ,L3
w=180 -(L1+L2 +L3 )
例如：侧方交会
S AC
S0
sin L1 sin L2
Li
=Li
-
1 3
w
C L2
AC 0 (180 -L1-L2 )
假定有n个不同精度的相关观测值，它们的数 学期望和方差-协方差为：
x1
X
x2
xn
2 x1
DXX
x2 x1
xnx2
x1x2 2
xn
xn x2
1
x
2
E
x
n
x1xn
• 式中 (X - E（X）)和(Y - E（Y）)分别为X和Y的真误差△X和△Y，
σxy = E [△X△Y] =lim[△X△Y]/n =lim(△X1△Y1 + △X2△Y2 + … + △Xn△Yn)/n
其估值为：
ˆ xy
x y n
3-1协方差传播律
当σxy = 0时
n
E
X
n
DXX
2121
12
2 2
n1 n2
11n 2n
E[( X
x
)(
X
x
)T
]
2 n
1、观测值线性函数的方差
计算Z的方差DZZ
• Z = K X + k0 • E（Z）=E（KX+k0）= KE（X）+k0
即得 DZZ = K DXX KT 协方差传播
DZZ
2 Z
k1212
k22
2 2
kn2
2 n
2k1k212
2k1k313
2kn1kn n1,n
1,1
当各个观测量之间是相互独立的，那么协方 差为0，因此
DZZ
2 Z
k1212
k22
2 2
kn2
2 n
数学期望的传播：
已知随机变量的数学期望求其函数的数学期望。
1、E(C) C,C为一常数 2、E(CX)=CE(X),C为一常数，X为随机变量 3、E(X+Y)=E(X)+E(Y),X,Y,为随机变量 4、E(X,Y)=E(X)E(Y),X,Y相互独立的随机变量
3-1协方差传播律
设有观测值X和Y，则它们的协方差被定义为： σxy = E [(X - E（X）) (Y - E（Y）)]
Z K X K0
t,1 t,n n,1
t ,1
2、多个观测值线性函数的协方差阵
Z K Z1
Z
2
k11 k21
t,1 t,n
k12 k22
Βιβλιοθήκη Baidu
Zt
kt1
kt 2
K k11n
k2n
k10
0
k20
ktn
C
2、多个观测值线性函数的协方差阵
若有X的t个线性函数： Z 1 = k11X1 + k12X2 + … + k1nXn + k10 Z 2 = k21X1 + k22X2 + … + k2nXn + k20 ……………………………………… Z t = kt1X1 + kt2X2 + … + ktnXn + kt0
x2xn
E[( X
x )( X
x )T
]
2 xn
DXX称为X的方差-协方差阵，简称为协方差阵
1、观测值线性函数的方差
x1
X
x2
xn
1 E X1
X
2
E
X
2
EX
1 2
,
D
2 1
21
12 2 2
1.96
1
1 1.96
B
根据协方差传播律，
β1
2 x
1
1 1221
12 2 2
1 1
1.92
A
β2
α
x
x 1.4''
xC xA SAC cos AC yC yA SAC sin AC A
α0
L1
B
S0
第三章 误差传播定律及权
主要内容
协方差的传播及应用 权与定权的方法 协因数及协因数传播律 有真误差计算中误差及实际应用
数学期望的传播
数学期望的定义
E(x) xf (x)dx
1,1
例题1
设X为独立观测变量L1，L2，L3的函数
X
1 7
L1
2 7
L2
4 7
L3
已知L1，L2，L3的中误差1= 3mm， 2 = 2mm，3 = 1mm，
求函数的中误差 X
解：因为L1，L2，L3是独立的观测变量，按协方差传播律，
2 X
（
1 7
）212
（2 7
• 表示这两个观测值的误差之间互不影响，或者
说，它们的误差是不相关的
• 称这些观测值为不相关的观测值 • 也称为独立观测值；
如果σxy ≠0
• 表示它们的误差是相关的 • 称这些观测值为相关观测值 • 也称为不独立观测值。
对于正态分布而言
• “不相关”与“独立”是等价的。
即
• σxy = E [△X△Y]= E（△X）E（△Y）= 0
t ,1
kt
0
DZZ K DXX KT
t ,1
t,n n,n n,t
2、多个观测值线性函数的协方差阵
设另外还有X的r个线性函数： Y 1 = f11X1 +f12X2 + … + f1nXn + f10 Y 2 = f21X1 + f22X2 + … + f2nXn + f20 ……………………………………… Y r = fr1X1 + fr2X2 + … + frrXn + fr0
= K μ0+k0
• DZZ =σ2ZZ
= E（Z）= E [（Z-E（Z））（Z-E（Z））T ]
= E [ (KX-KμX)(KX-KμX)T ] = E [ K(X-μX)(X-μX)TKT ] = K E [ (X-μX)(X-μX)T ]KT = K DXX KT
1、观测值线性函数的方差
）2
2 2
（
4 7
）2
2 3
0.84
X 0.9mm
例题2
设在测站A上，已知BAC ，无误差，而观测角1，2的中
误差1
2
1.4 '，协方差12
1秒2，求角x的中误差
。
x
解：x 1 2 1
1
1 2