2020年高考选择题填空题压轴系列1---解析几何部分

2020年高考选择题填空题压轴系列1----解析几何部分
1、12,F F 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右焦点，若双曲线上存在点P 满足212PF PF a ⋅=-uu u r uu u r ，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A. )+∞
B. )+∞
C.
D.
分析：求离心率的取值范围从题目中找出关于,,a b c 的不等式，不等式可以是题目存在的范围（例如,x y 或角的范围等等）
解析：由已知得12,(,0)F c F c （-,0)
，设点P （m,n)，则1=PF uu u r （-c-m,-n)，1=PF uu u r （c-m,-n)，222
m n a +≥，222212m PF PF c n a ⋅=-+=-uu u r uu u r ，得2222m n c a +=-
所以22222m n c a a +=-≥，22222c a e e ≥⇒≥⇒≥故选B
方法点睛：通过题目中现有范围（如,x y ，焦半径的范围等等），转化成,,a b c 的不等式，进而转化成离心率的范围
2、已知F 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点，过F 点作垂直于x 轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点M ，若2FM a =，记该双曲线的离心率为e ，则2
e =（ ）
A. 2
B.4
C. 2
D. 4
分析：求离心率题目，根据题目的条件构建一个,,a b c 的等式，本题2FM a =就是等式，只需转化为,,a b c 的等式即可.
解析：由题意得,0)F c （，双曲线的方程为b y x a =±
，不妨设M 在b y x a =上，则,)bc M c a （ 则2bc FM a a
==，即22bc a =，由222b c a =-得2224)4c a c a -=（即
22421)440e e e e -=⇒--=（，解得2e ，故选A 方法点睛：根据题目条件构建一个,,a b c 的等式，进而求出离心率.
3、已知椭圆的方程为22
+194
x y =，过椭圆中心的直线交椭圆于,A B 两点，2F 是椭圆的右
焦点，则三角形2ABF 的周长的最小值为______,三角形2ABF 的面积的最大值为_____. 分析：要熟悉椭圆的的几何性质，结合题目条件，与
焦点有关的性质，尤其是椭圆的定义及焦点三角形的
性质.
解析：如图因为椭圆的对称性得，四边形12F BF A 为平
行四边形，显然2212+=2=6BF F A AF F A a +=，所以
要使三角形2ABF 周长最小，只需=24AB b =，所以三角形2ABF 的周长的最小值为10. 因为212125252
ABF F F A A S S c y ==⨯⨯== 方法点睛：遇到与焦点有关问题一定联系椭圆的定义及焦点三角形，注意两个焦点可以相互转换.
4、已知F 是抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点，抛物线C 上的点,A B 满足4AF FB =uu u r uu r
，若,A B 在准线上的射影分别为,M N ，且MFN ∆的面积为5，则AB =
A. 94
B. 134
C. 214
D. 254
分析：本题是抛物线涉及到焦点弦的问题，设出焦点弦，用常规方法可以解决，也可以用平面几何的方法解决该问题.
解析：(法一)由已知得，设过焦点F 的直线为()2
p y k x =-，代入抛物线2:2(0)C y px p =>得
22
222
(2)04p k k x pk p x -+-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则212=y y p -，又4AF FB =uu u r uu r 所以12=4y y -，又因为221251052MFN S p MN p MN y y p ∆==⇒==⇒=- 则1121281252,4,44
y p x x AB x x p p =
⇒===⇒=++=，故选D
（法二）如图过点B 作x 轴的垂线，交x 轴
的于G ,交AM 于H ,设BF a =，由4=4AF FB AF a =⇒uu u r uu r ，由抛物线的定义得BF BN a ==,=4AF AM a = 所以GF p a =-，43AH a a a =-= 由三角形相似得1833555
p a p a GF a a -=⇒=⇒= 由勾股定理得4MN a =，由185255422544MFN S a a a p AB ∆==
⋅⋅⇒=⇒==， 故选D
方法点睛：焦点弦问题注意利用定义，特别还可用平面几何来解决会更加简单.
5、已知12,F F 分别为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，以12,F F 为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为,M N ，设四边形12F NF M 的周长为p ，面积S 为232S p =，且满足，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. 12
y x =± B. 22y x =± C. 32y x =± D. 223y x =± 分析：根据双曲线的定义和性质，找到,a b 的关系，特别是焦点三角形的特点. 解析：由已知得，122MF MF a -=，且122p MF MF +=，所以得12=,44
p p MF a MF a +=-因为以12,F F 为直径的圆，所以四边形12F NF M
为矩形，所以2212=()()4416p p p S MF MF a a a =⋅+-=-，即2
222232)3216
p a p p a -=⇒=（ 因为2
2
222
212+4c 248p MF MF a c =⇒+=， 所以2222222222244322222
b a a
c a c a b a b a +=⇒==+⇒=⇒
=± 故选B
F A
B M N x
y
G O H
方法点睛：要重视双曲线定义和焦点三角形的性质.
6、已知抛物线2
:4C y x =的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于两点
,A B ，
若在以线段AB 为直径的圆上存在两点,M N ，在直线:0l x y a ++=上存在点Q ，使得90MQN ︒∠=，则实数a 的取值范围（ ）
A. [13,3]-
B. [3,3]-
C. [3,13]-
D. [13,13]- 分析：本题的关键是把90MQN ︒∠=转化为点D 到点Q 的距离的范围，进而转化成点
3,2)D （到直线:0l x y a ++==
解析：设点,A B 两点的横坐标分别为12,x x ，线段AB 的中点为D ,过点F (1,0)且斜率为1的直线方程为1y x =-，联立得221
6104y x x x y x =-⎧⇒-+=⎨=⎩，所以12+=6x x
所以的中点坐标为3,2)D
（，12++2=8,AB x x =所以以线段AB 为直径的圆的圆心为3,2)D （，半径为4，所以圆的方程为22(3)+(2)=16x y --，因为在圆上存在两点,M N ，在直线:0l x y a ++=上存在点Q ，使得90MQN ︒
∠=，所以在直线上存在点Q ，使得点
Q 到3,2)D
（=，所以使得点Q 到3,2)D （的距离小于或等于
=只需点3,2)D （到直线:0l x y a ++=的距离小于或等于即可，即
133a ≤⇒-≤≤，故选A
方法点睛：注意用极限位置法找出界点的取值，本题中使得点Q 到3,2)D
（的距离小于或等
=就是个极限位置。