2020年高考选择题填空题压轴系列1---解析几何部分

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2020年高考数学选择、填空压轴题综合考法深度揭秘 - 专题3 立体几何

2020年高考数学选择、填空压轴题考法深度揭秘专题三、立体几何近几年，有的省市的高考题选择了以立体几何为背景的选择题或填空题作为压轴题，主要考查方式有：(1)与空间线面位置关系、数量关系有关命题真假的判断；(2)空间几何体间的接切问题；(3)立体几何中的动态问题．考法06 空间线面关系、数量关系判断(2016·安徽马鞍山二模，16)已知正方体ABCDA 1B1C1D1的棱长为1.给出下列五个命题：①对角线AC1被平面A1BD和平面B1CD1三等分；②正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的表面积之比为1∶2∶3；③以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是1 6；④正方体与以A为球心，1为半径的球的公共部分的体积是π6；⑤在正方形ABCD内，到顶点A与棱A1B1的距离相等的点的轨迹为一段抛物线．其中正确命题的序号为________(将你认为正确命题的序号都填上)．【知识揭秘】①如图所示，假设对角线AC1与平面A1BD相交于点M，可得AM⊥平面A1BD.由体积相等得出AM与AC1的关系，即可作出判断；②设出正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的半径，即可得出表面积之比；③以A 1，B ，D ，C 1为顶点的三棱锥的体积V ＝13－4×16＝13，不是16，即可作出判断；④正方体与以A 为球心，1为半径的球的公共部分的体积V ＝18×4π3×13＝π6；⑤以DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，在正方形ABCD 内，根据到顶点A 与棱A 1B 1的距离相等列等式判断．【思维揭秘】 ①假设对角线AC 1与平面A 1BD 相交于点M ，可得AM ⊥平面A 1BD ；②找准球心均为正方体的中心；③利用正方体的对称性；④公共部分的体积为球的八分之一；⑤以DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系化简求解．【解析揭秘】 ①如图所示，假设对角线AC 1与平面A 1BD 相交于点M ，可得AM ⊥平面A 1BD .由体积相等，得13AM ×34×(2)2＝13×12×12×1，解得AM ＝33＝13AC 1，因此对角线AC 1被平面A 1BD 和平面B 1CD 1三等分，正确；②设正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的半径分别为12，22，32.因此表面积之比为4π⎝ ⎛⎭⎪⎫122∶4π⎝ ⎛⎭⎪⎫222∶4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1∶2∶3，正确； ③以A 1，B ，D ，C 1为顶点的三棱锥的体积V ＝13－4×16＝13，不是16，不正确；④正方体与以A 为球心，1为半径的球的公共部分的体积V ＝18×4π3×13＝π6，正确；⑤以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，在正方形ABCD 内，到顶点A与棱A1B1的距离相等的点P(x，y，0)的轨迹为：x2＋y2＝1＋（1－x）2，化为y2＝2－2x(0≤x≤1)，为一段抛物线，正确．【答案】①②④⑤1.(2016·安徽合肥模拟，11)在棱长均相等的正三棱柱ABCA1B1C1中，D为BB1的中点，F在AC1上，且DF⊥AC1，则下述结论：①AC1⊥BC；②AF＝FC1；③平面DAC1⊥平面ACC1A1，其中正确的个数为()A．0 B．1C．2 D．31．C不妨设棱长为2.①如图连接AB1，则AB1＝AC1＝22，∴∠AC1B1≠90°，即AC1与B1C1不垂直，又BC∥B1C1，∴①错误；②如图连接AD，DC1，在△ADC1中，AD＝DC1＝5，而DF⊥AC1，∴F是AC1的中点，∴②正确；由②知在△ADC1中，DF＝3，如图连接CF，CD，易知CF＝2，而在Rt△CBD中，CD＝5，∴DF2＋CF2＝CD2，∴DF⊥CF.又DF⊥AC1，CF∩AC1＝F，∴DF⊥平面AA1C1C，∴③正确，故选C.2．(2016·浙江金华三模，8)已知一个高度不限的直三棱柱ABC－A1B1C1，AB ＝4，BC＝5，CA＝6，点P是侧棱AA1上一点，过A作平面截三棱柱得截面ADE.给出下列结论：①△ADE是直角三角形；②△ADE是等边三角形；③四面体APDE 为在一个顶点处的三条棱两两垂直的四面体，其中有可能成立的结论的个数是()A．0 B．1 C．2 D．32．C如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝4，BC＝5，CA＝6.不妨取AD＝6，AE＝10，DE＝8，则△ADE是直角三角形，①可能成立；不妨令AD＝AE＝DE＝a(a>6)，则△ADE是等边三角形，②可能成立；假设四面体APDE为在一个顶点处的三条棱两两垂直的四面体．当A为直角顶点时，在直三棱柱ABCA1B1C1中，P A⊥底面ABC，则E，D分别与C，B重合，此时∠EAD不是直角，与假设矛盾，假设不成立；当P为直角顶点时，可得PD∥AB，PE∥AC，由等角定理知，∠EPD不可能是直角，与假设矛盾，假设不成立；当E或D点为直角顶点时，不妨选E为直角顶点，则DE⊥EP，DE⊥EA，EP∩EA＝E，EP⊂平面ACC1A1，EA⊂平面ACC1A1，则平面ACC1A1与平面BCC1B1垂直，则在直三棱柱ABCA1B1C1中，可证∠ACB为二面角的平面角，∠ACB＝90°，与题意矛盾，假设不成立，∴③错误．故选C.考法07 空间几何体间的接切问题(2012·辽宁理，16)已知正三棱锥P ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上．若P A ，PB ，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为________．【知识揭秘】方法一：揭秘1：由P A ，PB ，PC 两两垂直，推出点P 在底面ABC 上的射影就是正三角形ABC 的中心M ；揭秘2：由O ，P ，M 三点共线，得OM ；揭秘3：在Rt △P AM 中，P A 2＝PM 2＋AM 2⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＝h 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2⇒h ＝66a ，在Rt △OAM 中，OA 2＝OM 2＋AM 2⇒(3)2＝(3－h )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2，可求a . 方法二：揭秘4：将三棱锥放在正方体中，外接球的直径等于正方体的体对角线，可以求得三棱锥的侧棱；等体积法：求三棱锥的体积，可以选择不同的顶点，设而不求得到点到直线的距离．【思维揭秘】方法一：利用条件，建立关于正三棱锥底面正三角形边长a 的方程，求a ，然后求三棱锥的高h ，则R 减去h 即为所求．方法二：将正三棱锥P ABC 放回正方体内，P A ，PB ，PC 为正方体的长、宽、高，外接球的直径为正方体的体对角线，直接求出a ，再利用等体积法求出球心到截面ABC 的距离．【解析揭秘】方法一：由于P A ，PB ，PC 两两垂直，则点P 在底面ABC 上的射影就是正三角形ABC 的中心M .设正三角形ABC 的边长为a ，则三棱锥的侧棱长为22a ，AM ＝33a ，三棱锥的高h ，在Rt △PAM 中，由勾股定理得P A 2＝PM 2＋AM 2⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＝h 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2⇒h ＝66a . 再设球心为O ，则OM ⊥底面ABC ，且OM ＝3－h ，在Rt △OAM 中，由勾股定理得OA 2＝OM 2＋AM 2⇒(3)2＝(3－h )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2. 又h ＝66a ，解得a ＝22，故球心到截面ABC 的距离为3－h ＝3－66a ＝3－66×22＝33.方法二：设正三角形ABC 的边长为a ，则三棱锥的侧棱长为22a ，三棱锥的高为h ，将正三棱锥P ABC 放入正方体内，则P A ，PB ，PC 为正方体的长、宽、高，外接球的直径为正方体的体对角线，所以3P A ＝23，P A ＝2＝22a ，所以a ＝2 2. 由等体积法得V P ABC ＝13S △ABC ·h ＝16×23，所以13×34×(22)2·h ＝16×23，∴h ＝233，故球心到截面ABC 的距离为3－h ＝3－233＝33.【答案】 331.(2016·河南六市一模，11)三棱锥P ABC 中，AB ＝BC ＝15，AC＝6，PC ⊥平面ABC ，PC ＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A.25π3B.25π2C.83π3D.83π21．D 由题意知，△ABC 中AC 边上的高为15－32＝6，球心O 在底面ABC 的投影即为△ABC 的外心D ，设DA ＝DB ＝DC ＝x ，∴x 2＝32＋(6－x )2，解得x ＝546，∴R 2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫PC 22＝758＋1＝838(其中R 为三棱锥外接球的半径)，∴外接球的表面积S ＝4πR 2＝83π2，故选D.2．(2016·山西太原一模，11)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体A ′BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD .若四面体A ′BCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )A ．π B.4π3 C.3π2 D.3π2．C 因为AB ＝AD ＝1，BD ＝2，所以AB 2＋AD 2＝BD 2，则AB ⊥AD .因为BD ⊥CD ，CD ＝1，所以BC ＝BD 2＋DC 2＝（2）2＋1＝ 3.因为翻折后平面A ′BD ⊥平面BCD ，且BD ⊥CD ，所以CD ⊥平面A ′BD .所以CD ⊥BA ′.又A ′B ⊥A ′D ，所以BA ′⊥平面A ′CD ，则△BA ′C ，△BDC 均为直角三角形，所以BC 为球的直径，即球的半径R ＝BC 2＝32，则V 球＝4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝3π2. 考法08 立体几何的动态问题近几年有些省市的高考选择、填空题的压轴题以空间几何体为载体，考查有关角、距离、体积等量的最值或某些点的轨迹等动态问题，这类问题主要考查学生的空间想象能力及转化能力．(2015·湖南理，10)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为⎝ ⎛⎭⎪⎫材料利用率＝新工件的体积原工件的体积( )A.89πB.169πC.4（2－1）3π D.12（2－1）3π【知识揭秘】揭秘1：观察三视图可知，该工件为圆锥；揭秘2：利用基本不等式放缩得V ＝xyh ≤x 2＋y 22h ；揭秘3：关于a 的函数y ＝2a 2(2－2a )的最值求法有两种：方法一利用abc ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 33；方法二利用导数求最值．【思维揭秘】由三视图可还原出该几何体为圆锥，设出长方体的长、宽、高，建立三者和圆锥的底面半径和高的关系，利用导数或基本不等式确定长方体的最大体积，再计算原工件材料的利用率．【解析揭秘】方法一：该三视图对应的几何体是底面半径为1，高为2的圆锥．如图，设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，上、下底面中心分别为O 1，O 2，上方截掉的小圆锥的高为h ，底面半径为r ，则a 2＋b 2＝4r 2.由三角形相似，得SO 1SO 2＝O 1A O 2B ，即h 2＝r 1，则h ＝2r .长方体的体积为V ＝abc ＝ab (2－2r )≤a 2＋b 22 ×(2－2r )＝2r 2(2－2r )＝4r 2－4r 3(当且仅当a ＝b 时取等号，且0<r <1)．设y ＝4r 2－4r 3(0<r <1)，则y ′＝8r －12r 2.由y ′＝0，得r ＝0或r ＝23.由y ′>0，得0<r <23.由y ′<0，得23<r <1.故当r ＝23时，y max ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫232－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝1627，即V max ＝1627. ∴原工件材料的利用率为162713π×12×2＝89π，故选A.方法二：由题意可知，问题等价于圆锥的内接长方体的体积的最大值．设长方体的长、宽、高分别为x，y，h，长方体上底面截圆锥的截面半径为a，则x2＋y2＝(2a)2＝4a2，圆锥的轴截面如图所示，则可知a1＝2－h2⇒h＝2－2a，而长方体的体积V＝xyh≤x2＋y22h＝2a2h＝2a2(2－2a)≤2×⎝⎛⎭⎪⎫a＋a＋2－2a33＝1627，当且仅当x＝y，a＝2－2a，即a＝23时，等号成立，此时利用率为162713π×12×2＝89π，故选A.【答案】A【名师点睛】立体几何中的最值问题，与实际应用相结合，立意新颖，属于较难题，需要考生从实际应用问题中提取出相应的几何元素，再利用基本不等式求解，解决此类问题的两大核心思路：一是化立体问题为平面问题，结合平面几何的相关知识求解；二是建立目标函数的数学思想，选择合理的变量，利用导数或利用基本不等式，求其最值．1.(2016·天津模拟，12)一矩形的一边在x轴上，另两个顶点在函数y＝2x1＋x2(x>0)的图象上，如图，则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是()A．π B.π3C.π4 D.π21．A ∵y ＝2x 1＋x 2(x >0)，∴yx 2－2x ＋y ＝0，将其视为关于x 的一元二次方程，设x 1，x 2是其两根，∴x 1＋x 2＝2y ，x 1x 2＝1，∴|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝4－4y 2y ，∴绕x 轴旋转而成的几何体的体积V ＝πy 2|x 1－x 2|＝πy 2·4－4y 2y＝2π14－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2－122≤π，当且仅当y 2＝12，即y ＝22时等号成立，故选A. 2．(2013·北京理，14)如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，则点P 在线段D 1E 上，则点P 到直线CC 1的距离的最小值为________．2．【解析】如图所示，过P 作PQ ⊥DE ，则PQ ⊥平面ABCD ，所以PQ ∥CC 1，所以P 到CC 1的距离即为CQ 的长．当P 在线段ED 1上运动时，距离的最小值为C 到线段DE 的距离，所以最小值为△CDE 中DE 边上的高，其长度为2×15＝255. 【答案】 25511。

2020年高考数学试题分类汇编解析几何精品

2 2c ：xy、选择题22 c cc1.（重庆理8）在圆x y 2x 6y 0内，过点E （0,1）的最长弦和最短弦分别是物线顶点的坐标为五、解析几何AC和BD,则四边形ABCDW 面积为A. 5.2B. 10.2C. 15,2 D . 20.22 2 C 1 :与戛 1（a> b>0） C 1:x 2 2.（浙江理8）已知椭圆 a b 与双曲线 2匕14有公共的焦点,C1的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于 A ，B两点，若C 1恰好将线段AB 三等分, 2aA.B. a 213C .b2iD. b 23.（四川理 210)在抛物线y x ax5（a 乒0）上取横坐标为 X i2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x 2 5y 236相切，则抛A. (2, 9) B . (°， 5)C. (2,9)D. (1, 6)【解析】由知的割线的坐标（4,11 4a),(2,2 a 1),K 2a,设直线方程为4. (a 2)x2y xy (a （陕西理 2A . y5.（山东36 b 2b,则 51 (2 a)2ax 5b 6 a 2)x b2）设抛物线的顶点在原点, 8x B . y 28x理8 ）已知双曲线(2, 9)准线方程为2C . y2 2 2,2a b4x 1(a> 0, 2,则抛物线的方程是D . y2 4xb> 0）的两条渐近线均和圆2 2 c：x y 6x 5 0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为1或3A. 222或皂D. 3 2cos AFB =D.(B. 3 或 22x2y_ 12x2 y_2 x 2匕1 2x2工154B. 4 5C. 3 6D. 63F案】 A（全国新课标理7）已知直线 l 过双曲线C 的一个焦点，且与 C 的对称轴垂直，l 与C 交于A. 6. A, B 两点，|ABI 为C 的实轴长的2倍，C 的离心率为(A)抵 (B)后(C) (D) 37.（全国大纲理 10）已知抛物线 2C ： y4x的焦点为F,直线y2x 4与C 交于A, B 两点.则A. 53B. 5C.D.8.（江西理 9)若曲线C I:2x与曲线C2:y(y mx m ） 0有四个不同的交点，则实数 m 的取值范围是A.(B.，0) U (0,C.[ 9.（湖南理 5) 设双曲线y9的渐近线方程为3x 2y 0,则a 的值为A. 4【答案】CD. 110.（湖北理 4）将两个顶点在抛物线2px(p °）上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为 A. n=0【答案】C11.（福建理 n, 7) PF 1 : F 1F 2 : 则B. n=1 C .n=2 D. n设圆锥曲线 r 的两个焦点分别为PF 2=4:3:2，则曲线r 的离心率等于F1, F2,若曲线r 上存在点P 满足【答案】A12.（北京理8）设A。

2020年普通高等学校招生全国统一考试压轴(一)数学(理)试题解析

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试压轴（一）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{1A y y ==，{}30B x x =-≤，则A B =I （） A ．[]1,2B ．[]1,3C ．[]2,3D ．()2,+∞ 答案：B首先分别化简集合A ，B ，再求交集即可.解： {{}11A y y y y ==+=≥，{}{}303B x x x x =-≤=≤，所以[]1,3A B ⋂=.故选：B.点评：本题主要考查集合的交集运算，同时考查了函数的值域，属于简单题.2．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，设复数cossin 33z i ππ=+，则3z 等于（）A ．122-B ．1-C ．122--D ．122-+ 答案：B 根据欧拉公式得到3i z e π=，再计算3z 即可.解：由题意得3cossin 33i z i e πππ=+=， 333()cos sin 1i i z e e i ππππ====-＋. 故选：B点评：本题主要考查三角函数求值问题，同时复数的概念，属于简单题.3．月形是一种特殊的平面图形，指有相同的底，且在底的同一侧的两个弓形所围成的图形.月形中的一种特殊的情形是镰刀形，即由半圆和弓形所围成的图形（如下图），若半圆的半径与弓形所在圆的半径之比为1:2，现向半圆内随机取一点，则取到镰刀形中的一点的概率为（）A．423 3-B．2313-C．3πD．31π-答案：B首先设半圆半径为r，分别计算半圆的面积和弓形的面积，再代入几何概型公式计算即可.解：如图所示：设半圆半径为r，半圆面积为22rπ，221(2)3OO r r r=-=弓形面积为()2221122233623r r r r rππ⨯⨯-⨯=-，概率为2222232312332rr rrπππ-+=-.故选：B点评：本题主要以数学文化为背景考查几何概型，同时考查学生的逻辑思维能力，属于中档题. 4．数列{}n a的前几项是：0、2、4、8、12、18、24、32、49、50⋅⋅⋅其规律是：偶数项是序号平方再除2；奇数项是序号平方减1再除2.如图所示的程序框图是为了得到该数列的前100项而设计的，那么在两个判断框中，可以先后填入（）A ．n 是偶数？，100n ≤？B ．n 是奇数？，100n ≤？C ．n 是偶数？，100n <？D ．n 是奇数？，100n <？答案：A模拟程序框图的运行过程，结合输出的条件，即可得到答案.解：根据偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，可知第一个框应该是“n 是偶数？”；执行程序框图，当101100n =>结束，所以第二个框应该填100n ≤？.故选：A点评：本题主要考查程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，属于简单题.5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意*N n ∈都有21n n S a =-，设2log n n b a =，则数列{}n b 的前6项之和为（）A ．11B ．16C ．10D ．15答案：D首先根据21n n S a =-得到12n n a -=，代入2log n n b a =，再计算数列{}n b 的前6项之和即可.解：因为21n n S a =-，当1n =时，11121S a a =-=，所以11a =.当2n ≥时，1n n n a S S -=-，所以121(21)n n n a a a -=---，即12n n a a -=. 所以数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以12n n a -=，12log 21n n b n -==-，11(2)1n n b b n n --=---=，所以数列{}n b 是以0为首项，以1为公差的等差数列，数列{}n b 的前6项之和为1656152b d ⨯+= 故选：D点评：本题主要考查由n S 求通项公式n a ，同时考查了等差数列的求和，属于中档题.6．声音中包含着正弦函数.音的四要素：音调、响度、音长和音色都与正弦函数的参数有关.我们平时听到的音乐不只是一个音在响，是由基音和许多个谐音的结合，其函数可以是()11sin sin 2sin 323f x x x x =++，则()f x 的图象可以是（） A ． B ．C ．D ．答案：D首先根据()f x 为奇函数，排除C ，根据42f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，排除B ，根据()11111=236f x <++，排除A ，排除法即可得到答案. 解：因为()f x 的定义域为R ，1111()sin()sin(2)sin(3)sin sin 2sin 3()2323f x x x x x x x f x -=-+-+-=---=-，所以()f x 为奇函数，排除C.1432f π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，223f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故42f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，排除B ；因为()11111=236f x <++，而A 选项的()max 2f x =，排除A. 故选：D点评：本题主要考查根据解析式判断函数的图象，同时考查了函数的奇偶性，特值法以及函数的最值，属于中档题.7．过双曲线M ：()22210y x b b -=>的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线的渐近线分别交于B 、C 两点，且54OB OA OC =+u u u r u u u r u u u r ，则双曲线的离心率是（）ABCD答案：B首先设出直线l 的方程为1y x =+，与渐近线方程联立得到1(,)11b B b b -++，1(,)11b C b b --.根据54OB OA OC =+u u u r u u u r u u u r 得到32b =，再计算离心率即可. 解：由题可知(1,0)A -，所以直线l 的方程为1y x =+.因双曲线M 的两条渐近线方程为y bx =或y bx =-.由1y bx y x =-⎧⎨=+⎩，解得1(,)11b B b b -++；同理可得1(,)11b C b b --. 又()1,0OA =-u u u r ，1,11b OB b b ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭u u u r ，1,11b OC b b ⎛⎫= ⎪--⎝⎭u u u r。

2020年全国高考数学试题分类汇编1-选择填空压轴题-含详细答案

2020年全国高考数学试题汇编选择填空压轴题一、选择题（本大题共11小题，共54.0分）1.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(πDay).历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔⋅卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔⋅卡西的方法，π的近似值的表达式是()A. 3n(sin30°n +tan30°n) B. 6n(sin30°n+tan30°n)C. 3n(sin60°n +tan60°n) D. 6n(sin60°n+tan60°n)2.设集合A={(x,y)|x−y≥1，ax+y>4，x−ay≤2}，则()A. 对任意实数a，(2,1)∈AB. 对任意实数a，(2,1)∉AC. 当且仅当a<0时，(2,1)∉AD. 当且仅当a≤32时，(2,1)∉A3.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与MN最接近的是()(参考数据：lg3≈0.48)A. 1033B. 1053C. 1073D. 10934.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2=1+|x|y就是其中之一(如图).给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过√2；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是()A. ①B. ②C. ①②D. ①②③5.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒，重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()A. 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B. 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C. 乙盒中红球不多于丙盒中红球D. 乙盒中黑球与丙盒中红球一样多6. 若2a +log 2a =4b +2log 4b ，则( )A. a >2bB. a <2bC. a >D. a <7. 已知函数f(x)={x 3,x ≥0,−x,x <0.若函数g(x)=f(x)−|kx 2−2x|(k ∈R)恰有4个零点，则k 的取值范围是( ) A. (−∞,−12)∪(2√2,+∞) B. (−∞,−12)∪(0,2√2) C. (−∞,0)∪(0,2√2)D. (−∞,0)∪(2√2,+∞)8. 已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为▵ABC 的外接圆.若⊙O 1的面积为4π，AB =BC =AC =OO 1，则球O 的表面积为( )A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π9. 0−1周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列a 1a 2…a n …满足a i ∈(0,1)(i =1,2,…)，且存在正整数m ，使得a i+m =a i (i =1,2,…)成立，则称其为0−1周期序列，并称满足a i+m =a i (i =1,2,…)的最小正整数m 为这个序列的周期．对于周期为m 的0−1序列a 1a 2…a n …，C(k)=1m ∑a i a i+k (k =1,2,…,m −1)m i=1是描述其性质的重要指标．下列周期为5的0−1序列中，满足C(k)≤15(k =1,2,3,4)的序列是( )A. 11010…B. 11011…C. 10001…D. 11001…10. 已知<，<.设a =3，b =5，c =8，则( )A. a <b <cB. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b11. 某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( )A. 2号学生进入30秒跳绳决赛B. 5号学生进入30秒跳绳决赛C. 8号学生进入30秒跳绳决赛D. 9号学生进入30秒跳绳决赛二、不定项选择题（本大题共1小题，共5.0分）12. 信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1，2，，n ，且P(X =i)=>0(i =1,2，，n)，=1，定义X 的信息熵H(X)=−( )A. 若n =1，则H (x )=0B. 若n =2，则H(x)随着的增大而增大C. 若=(i =1,2，，n)，则H(x)随着n 的增大而增大D. 若n =2m ，随机变量Y 的所有可能取值为1，2，，m ，且P(Y =j)=+(j =1,2，，m)则H(X)H(Y)三、填空题（本大题共12小题，共60.0分）13.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t)，用−f(b)−f(a)b−a的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论：①在[t1,t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在t3时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0,t1]，[t1,t2]，[t2,t3]这三段时间中，在[0,t1]的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是______．14.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；②这三天售出的商品最少有______种．15.某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(i)男学生人数多于女学生人数；(ii)女学生人数多于教师人数；(iii)教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为______．②该小组人数的最小值为______．16.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________．17.已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，双曲线N：x2m2−y2n2=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为________．18.三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3．(1)记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是______ ；(2)记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是______ ．19.设函数f(x)={x 3−3x,x≤a−2x,x>a．①若a=0，则f(x)的最大值为______；②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是______．20.如图，在三棱锥P−ABC的平面展开图中，AC=1，AB=AD=，AB AC，AB AD，CAE=，则FCB=__________．21.设有下列四个命题：P1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．P2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．P3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．P4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l．则下述命题中所有真命题的序号是________．①p1∧p4②p1∧p2③¬p2∨p3④¬p3∨¬p422.关于函数f(x)=x+有如下四个命题：f(x)的图像关于y轴对称．f(x)的图像关于原点对称，f(x)的图像关于直线x=对称．f(x)的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．23. 如图，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32，则实数λ的值为______，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______．24. 数列{a n }满足a n+2+(−1)n a n =3n −1，前16项和为540，则a 1=____．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查数学中的文化，考查圆的内接和外切多边形的边长的求法，考查运算能力，属于基础题．设内接正6n边形的边长为a，外切正6n边形的边长为b，运用圆的性质，结合直角三角形的锐角三角函数的定义，可得所求值．【解答】解：如图，设内接正6n边形的边长为a，外切正6n边形的边长为b，可得a=2sin360°12n =2sin30°n，b=2tan360°12n =2tan30°n，则2π≈6na+6nb2=6n(sin30°n+tan30°n)，即π≈3n(sin30°n +tan30°n)，故选：A．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查元素与集合的关系，考查运算求解能力，是中档题．根据题意，取特例判断求解即可．【解答】解：当a=−1时，集合A={(x,y)|x−y≥1，ax+y>4，x−ay≤2}={(x,y)|x−y≥1，−x+y>4，x+ y≤2}，显然(2,1)不满足，−x+y>4，x+y≤2，所以A不正确；当a=4时，集合A={(x,y)|x−y≥1，ax+y>4，x−ay≤2}={(x,y)|x−y≥1，4x+y>4，x−4y≤2}，可知：此时(2,1)∈A，所以B不正确；当a=1时，集合A={(x,y)|x−y≥1，ax+y>4，x−ay≤2}={(x,y)|x−y≥1，x+y>4，x−y≤2}，显然此时(2,1)∉A，所以C不正确；故选：D．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查指数形式与对数形式的互化，属于基础题．根据对数的性质：T=a log a T，可得：3=10lg3≈100.48，将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果．【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，根据对数性质有：3=10lg3≈100.48，∴M≈3361≈(100.48)361≈10173，∴MN ≈101731080=1093．故选D．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查了方程与曲线，属中档题．将x换成−x方程不变，所以图形关于y轴对称，根据对称性讨论y轴右边的图形可得．【解答】解：将x换成−x方程不变，所以图形关于y轴对称，当x=0时，代入得y2=1，∴y=±1，即曲线经过(0,1)，(0,−1)，当x>0时，方程变为y2−xy+x2−1=0，所以由△=x2−4(x2−1)≥0，解得x∈(0,2√33]，所以x只能取整数1，当x=1时，y2−y=0，解得y=0或y=1，即曲线经过(1,0)，(1,1)，根据对称性可得曲线还经过(−1,0)，(−1,1)，故曲线一共经过6个整点，故①正确，当x>0时，由x2+y2=1+xy得x2+y2−1=xy≤x2+y22，(当x=y时取等)，∴x2+y2≤2，∴√x2+y2≤√2，即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过√2，根据对称性可得：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过√2，故②正确，×2×1=1，在x轴上方图形面积大于矩形面积=1×2=2，x轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积=12因此曲线C所围成的“心形”区域的面积大于2+1=3，故③错误，故选C．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了推理与证明，重点是找到切入点逐步进行分析，对学生的逻辑思维能力有一定要求，属于中档题．取出的两球有四种情况，分别分析三个盒子中球的关系即可得出结果．【解答】解：取两个球共有4种情况：①红+红，则乙盒中红球数加1个；②黑+黑，则丙盒中黑球数加1个；③红+黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1个；④黑+红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1个．设一共有球2a个，则a个红球，a个黑球，甲中球的总个数为a，其中红球x个，黑球y个，x+y=a．则乙中有x个球，其中k个红球，j个黑球，k+j=x；丙中有y个球，其中l个红球，i个黑球，i+l=y；黑球总数a=y+i+j，又x+y=a，故x=i+j由于x=k+j，所以可得i=k，即乙中的红球等于丙中的黑球．故选B．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查指数及对数的运算性质，指数及对数函数的单调性，属中档题．【解答】解：根据指数及对数的运算性质，4b+2log4b=22b+log2b，∵log2(2b)=log2b+1>log2b，∴22b+log2(2b)>22b+log2b=2a+log2a，根据函数f(x)=2x+log2x是定义域上的增函数，由f(2b)>f(a)，得a<2b，故答案为B．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的零点，参数的取值范围，关键利用分类讨论思想，分析函数的交点，属于难题．问题转化为f(x)=|kx2−2x|有四个根，⇒y=f(x)与y=ℎ(x)=|kx2−2x|有四个交点，再分三种情况当k=0时，当k<0时，当k>0时，讨论两个函数四否能有4个交点，进而得出k的取值范围．【解答】解：若函数g(x)=f(x)−|kx2−2x|(k∈R)恰有4个零点，则f(x)=|kx2−2x|有四个根，即y=f(x)与y=ℎ(x)=|kx2−2x|有四个交点，当k=0时，y=f(x)与y=|−2x|=2|x|图象如下：两图象有2个交点，不符合题意，当k<0时，y=|kx2−2x|与x轴交于两点x1=0，x2=2k(x2<x1)图象如图所示，两图象有4个交点，符合题意，当k>0时，y=|kx2−2x|与x轴交于两点x1=0，x2=2k(x2>x1)在[0,2k)内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，只需y=x3与y=kx2−2x在(2k,+∞)还有两个交点，即可，即x3=kx2−2x在(2k,+∞)还有两个根，即k=x+2x 在(2k,+∞)还有两个根，函数y=x+2x≥2√2，(当且仅当x=√2时，取等号)，所以0<2k<√2，且k>2√2，所以k>2√2，综上所述，k的取值范围为(−∞,0)∪(2√2,+∞)．故选：D．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查球的结构与性质，球的表面积公式，属中档题．【解答】解：由圆O1的面积为4π=πr2，故圆O1的半径ρ=2，∵AB=BC=AC=OO1，则三角形ABC是正三角形，由正弦定理：ABsin60∘=2r=4，得AB=OO1=2√3，由R2=r2+OO12，得球O的半径R=4，表面积为4πR2=64π，故答案为A．9.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查新定义类型的问题，属于较难题．【解答】解：对于A选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+0+0)=15，C(2)=15∑a i5i=1a i+2=15(0+1+0+1+0)=25>15，不满足，排除；对于B选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+1+1)=35>15，不满足，排除；对于C选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(0+0+0+0+1)=15，C(2)=15∑a i5i=1a i+2=15(0+0+0+0+0)=0，C(3)=15∑a i5i=1a i+3=15(0+0+0+0+0)=0，C(4)=15∑a i5i=1a i+4=15(1+0+0+0+0)=15，满足；对于D选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+0+1)=25>15，不满足，排除；故选C．10.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查对数与对数函数，借助中间值比较大小．【解答】解：a=log53=ln 3ln 5，b=log85=ln 5ln 8，c=log138=ln 8ln 13，a−b=ln 3ln 5−ln 5ln 8=ln 3⋅ln 8−(ln 5)2ln 5⋅ln 8<(ln 3+ln 82)2−(ln 5)2ln 5⋅ln 8=(ln 24+ln 25)(ln 24−ln 25)4ln 5⋅ln 8<0；c−45=ln 8ln 13−45=5ln 8−4ln 135ln 13=ln 85−ln 1345ln 13>0；b−45=ln 5ln 8−45=5ln 5−4ln 85ln 8=ln 55−ln 845ln 13<0;综上所述，a<b<45<c,即a<b<c,故选A．11.【答案】B【解析】解：∵这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，故编号为1，2，3，4，5，6，7，8的学生进入立定跳远决赛，又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则3，6，7号同学必进入30秒跳绳决赛，剩下1，2，4，5，8号同学的成绩分别为：63，a，60，63，a−1有且只有3人进入30秒跳绳决赛，故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛，故选：B根据已知中这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，逐一分析四个答案的正误，可得结论．本题考查的知识点是推理与证明，正确利用已知条件得到合理的逻辑推理过程，是解答的关键．12.【答案】AC【解析】【分析】本题考查离散型随机变量的应用，重点考查对新定义的理解，属于难题．【解答】解：A选项中，由题意知p1=1，此时H(X)=−1×log21=0，故A正确；B选项中，由题意知p1+p2=1，且p1∈(0,1)，H(X)=−p1log2p1−p2log2p2=−p1log2p1−(1−p1)log2(1−p1)，设f(x)=−xlog2x−(1−x)log2(1−x)，x∈(0,1)则f′(x)=−log2x−1ln2+log2(1−x)+1ln2=log2(1x−1)，当x∈(12,1)时，f′(x)<0，当x∈(0,12)时，f′(x)>0，故当p1∈(0,12)时，H(X)随着p1的增大而增大，当p1∈(12,1)时，H(X)随着p1的增大而减小，故B错误；C 选项中，由题意知H(X)=n ×(−1n )log 21n =log 2n ，故H(X)随着n 的增大而增大，故C 正确．D 选项中，由题意知H(Y)=−∑(p j +p 2m+1−j )m j=1log 2(p j +p 2m+1−j )，H(X)=−∑p j 2m j=1log 2p j =−∑(p j m j=1log 2p j +p 2m+1−j log 2p 2m+1−j )， H(X)−H(Y)=∑log 2(p j +p 2m+1−j )p j +p 2m+1−j m j=1−∑(log 2p j p j +log 2p 2m+1−jp 2m+1−j m j=1) =∑log 2(p j +p 2m+1−j )p j +p 2m+1−j p j p j p 2m+1−j p 2m+1−j m j=1=∑log 2(p j +p 2m+1−j )p j (p j +p 2m+1−j )p 2m+1−j p j p j p 2m+1−j p 2m+1−j m j=1=∑log 2(1+p 2m+1−j p j )p j (1+p j p 2m+1−j )p 2m+1−j m j=1>0,故D 错误，故答案为AC ．13.【答案】①②③【解析】解：设甲企业的污水排放量W 与时间t 的关系为W =f(t)，乙企业的污水排放量W 与时间t 的关系为W =g(t)．对于①，在[t 1,t 2]这段时间内，甲企业的污水治理能力为−f(t 2)−f(t 1)t 2−t 1，乙企业的污水治理能力为−g(t 2)−g(t 1)t 2−t 1．由图可知，f(t 1)−f(t 2)>g(t 1)−g(t 2)，∴−f(t 2)−f(t 1)t 2−t 1>−g(t 2)−g(t 1)t 2−t 1，即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；对于②，由图可知，f(t)在t 2时刻的切线的斜率小于g(t)在t 2时刻的切线的斜率，但两切线斜率均为负值， ∴在t 2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故②正确；对于③，在t 3时刻，甲，乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，∴在t 3时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标，故③正确；对于④，由图可知，甲企业在[0,t 1]，[t 1,t 2]，[t 2,t 3]这三段时间中，在[t 1,t 2]的污水治理能力最强，故④错误．∴正确结论的序号是①②③．故答案为：①②③．由两个企业污水排放量W 与时间t 的关系图象结合平均变化率与瞬时变化率逐一分析四个命题得答案．本题考查利用数学解决实际生活问题，考查学生的读图视图能力，是中档题．14.【答案】16 29【解析】解：①设第一天售出商品的种类集为A ，第二天售出商品的种类集为B ，第三天售出商品的种类集为C ，如图，则第一天售出但第二天未售出的商品有19−3=16种；②由①知，前两天售出的商品种类为19+13−3=29种，第三天售出但第二天未售出的商品有18−4=14种，当这14种商品属于第一天售出但第二天未售出的16种商品中时，即第三天没有售出前两天的商品时，这三天售出的商品种类最少为29种．故答案为：①16；②29．①由题意画出图形得答案；②求出前两天所受商品的种数，由特殊情况得到三天售出的商品最少种数．本题考查集合的包含关系及其应用，考查了集合中元素的个数判断，考查学生的逻辑思维能力，是中档题． 15.【答案】6 12【解析】解：①设男学生女学生分别为x ，y 人，若教师人数为4，则{x >yy >42×4>x，即4<y <x <8，即x 的最大值为7，y 的最大值为6，即女学生人数的最大值为6．②设男学生女学生分别为x ，y 人，教师人数为z ，则{x >yy >z 2z >x，即z <y <x <2z即z 最小为3才能满足条件，此时x 最小为5，y 最小为4，即该小组人数的最小值为12，故答案为：6，12①设男学生女学生分别为x ，y 人，若教师人数为4，则{x >yy >42×4>x，进而可得答案；②设男学生女学生分别为x，y人，教师人数为z，则{x>yy>z2z>x，进而可得答案；本题考查的知识点是推理和证明，简易逻辑，线性规划，难度中档．16.【答案】①130；②15．【解析】【分析】本题考查不等式在实际问题的应用，考查化简运算能力，属于中档题．①由题意可得顾客一次购买的总金额，减去x，可得所求值；②在促销活动中，设订单总金额为m元，讨论m的范围，可得(m−x)×80%≥m×70%，解不等式，结合恒成立思想，可得x的最大值．【解答】解：①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得60+80=140(元)，即有顾客需要支付140−10=130(元)；②在促销活动中，设订单总金额为m元，当0<m<120时，显然符合题意；当m≥120时，可得(m−x)×80%≥m×70%，即有x≤m8，可得x≤1208=15，则x的最大值为15元．故答案为：130；15．17.【答案】√3−1；2【解析】【分析】本题考查椭圆和双曲线的简单性质，考查计算能力，属于中档题．根据题意，可得正六边形的一个顶点(c2,√3c2)，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率；再根据双曲线渐近线斜率求出双曲线离心率即可．【解答】解：椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，双曲线N：x2m2−y2n2=1，若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，又椭圆的一个焦点为(c,0)，可得正六边形的一个顶点(c2,√3c2)，可得：c 24a 2+3c 24b 2=1，可得14e 2+34(1e 2−1)=1，可得e 4−8e 2+4=0，e ∈(0,1)，解得e =√3−1．同时，双曲线的渐近线的斜率为√3，即n m =√3，可得：n 2m 2=3，即m 2+n 2m 2=4，可得双曲线的离心率为√m2+n 2m =2．故答案为：√3−1；2．18.【答案】Q 1；p 2【解析】【分析】本题考查的知识点是函数的图象，分析出Q i 和p i 的几何意义，是解答的关键．(1)若Q i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q i =A i +B i ，是A i B i 连线的中点的纵坐标的2倍，进而得到答案．(2)若p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p i 为A i B i 中点与原点连线的斜率；进而得到答案．【解答】解：(1)设A 1(x A 1,y A 1)，B 1(x B 1,y B 1)，线段A 1B 1的中点为E(x 1,y 1)，则Q 1=y A 1+y B 1=2y 1．因此，要比较Q 1，Q 2，Q 3的大小，只需比较线段A 1B 1，A 2B 2，A 3B 3中点纵坐标的大小，作图比较知Q 1最大．(2)若p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p i 为A i B i 中点与原点连线的斜率，故p 1，p 2，p 3中最大的是p 2.故答案为：Q 1，p 2.19.【答案】2；(−∞,−1)【解析】【分析】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的最值，难度中档．①将a =0代入，求出函数的导数，分析函数的单调性，可得当x =−1时，f(x)的最大值为2；②根据y =x 3−3x 与y =−2x 有三个交点，结合f(x)无最大值，可得答案．【解答】解：①若a =0，则f(x)={x 3−3x,x ≤0−2x,x >0，则f′(x)={3x 2−3,x ≤0−2,x >0，当x <−1时，f′(x)>0，此时函数为增函数，当x >−1时，f′(x)<0，此时函数为减函数，故当x =−1时，f(x)的最大值为2；②对于y =x 3−3x ，可知y′=3x 2−3，令y′=3x 2−3=0得x =±1，当x ∈(−∞,−1)∪(1,+∞)时，y′>0，函数单调递增；当x ∈(−1,1)时，y′<0，函数单调递减；且易知y =x 3−3x 与y =−2x 有三个交点，坐标为(0,0)，(1,−2)，(−1,2)，若f(x)无最大值，则a <−1，故答案为：2，(−∞,−1)．20.【答案】−14【解析】【分析】本题考查利用正余弦定理解三角形，属于中档题．【解答】解：由已知得BD =√2AB =√6，∵D 、E 、F 重合于一点，∴AE =AD =√3，BF =BD =√6，∴ △ACE 中，由余弦定理得，∴CE =CF =1，∴在△BCF 中，由余弦定理得．故答案为．21.【答案】①③④【解析】【分析】本题考查含逻辑联结词的命题真假的判断以及立体几何相关知识，属于中档题．【解答】解：对于p1：可设l1与l2，所得平面为α.若l3与l1相交，则交点A必在平面α内.同理l2与l3的交点B在平面α内，故直线AB在平面α内，即l3在平面α内，故p1为真命题．对于p2:过空间中任意三点，若三点共线，可形成无数个平面，故p2为假命题．对于p3:空间中两条直线的位置关系有平行，相交，异面，故p3为假命题．对于p4:若m⊥α，则m垂直于平面α内的所有直线，故m⊥l，故p4为真命题．综上可知，p1∧p4为真命题，¬p2∨p3为真命题，¬p3∨¬p4为真命题．故答案为①③④．22.【答案】②③【解析】【分析】本题主要考查了三角函数的图象与性质及函数的奇偶性、对称性等有关知识，属于中档题．根据函数奇偶性定义可判断出函数图象的对称性；通过函数图象关于直线对称可得等量关系，进而检验等式是否成立即可；特殊值法可判断出函数的最值．【解答】解：根据题意，易得函数定义域关于原点对称，f(−x)=sin(−x)+1sin(−x)=−(sinx+1sinx)=−f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称，故①错误，②正确；若函数f(x)关于直线x=π2对称，则有f(π2−x)=f(π2+x)，即sin(π2−x)+1sin(π2−x)=sin(π2+x)+1sin(π2+x)，通过化简可得等式成立.故③正确；当x=−π2时，f(−π2)=−2<2，故④错误．故答案为②③．23.【答案】16 132 【解析】【分析】本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题．以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点D 的坐标，即可求出λ的值，再设出点M ，N 的坐标，根据向量的数量积可得关于x 的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值．【解答】解：以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，∵∠B =60°，AB =3，∴A(32,3√32)， ∵BC =6，∴C(6,0)，∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AD//BC ，设D(x 0,3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−32,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,−3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32(x 0−32)+0=−32，解得x 0=52， ∴D(52,3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,0)，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴λ=16，∵|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，设M(x,0)，则N(x +1,0)，其中0≤x ≤5，∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52,−3√32)，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −32,−3√32)， ∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52)(x −32)+274=x 2−4x +212=(x −2)2+132，当x =2时取得最小值，最小值为132，第21页，共21页故答案为：16，132． 24.【答案】7【解析】【分析】本题主要考查累加法求通项公式，等差数列的求和公式以及数列的递推关系，属较难题．对n 取偶数，再结合条件可求得前16项中所有奇数项的和，对n 取奇数时，利用累加法求得a n+2的值，用其表示出前16项和可得答案．【解答】解：因为a n+2+(−1)n a n =3n −1，当n =2，6，10，14时，a 2+a 4=5，a 6+a 8=17， a 10+a 12=29，a 14+a 16=41因为前16项和为540，所以a 1+a 3+a 5+a 7+a 9+a 11+a 13+a 15=540−(5+17+29+41)，所以a 1+a 3+a 5+a 7+a 9+a 11+a 13+a 15=448，当n 为奇数时，a n+2−a n =3n −1，所以a 3−a 1=2，a 5−a 3=8，a 7−a 5=14⋯a n+2−a n =3n −1，累加得a n+2−a 1=2+8+14+⋯3n −1=(2+3n−1)⋅n+122，∴a n+2=(3n+1)⋅(n+1)4+a 1，∴a 3=2+a 1，a 5=10+a 1，a 7=24+a 1，a 9=44+a 1，a 11=70+a 1，a 13=102+a 1， a 15=140+a 1，因为a 1+a 3+a 5+a 7+a 9+a 11+a 13+a 15=448，所以8a 1+392=448，所以a 1=7．故答案为7．。

压轴题06 解析几何压轴题(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)

压轴题06解析几何压轴题题型/考向一：直线与圆、直线与圆锥曲线题型/考向二：圆锥曲线的性质综合题型/考向三：圆锥曲线的综合应用一、直线与圆、直线与圆锥曲线热点一直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.判断方法：(1)点线距离法(几何法).(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，＋By＋C＝0，x－a）2＋（y－b）2＝r2，消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2.圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.热点二中点弦问题已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上两点，AB的中点C(x0，y0)，直线AB 的斜率为k.(1)若椭圆E的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则k＝－b2a2·x0y0；(2)若双曲线E的方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则k＝b2a2·x0y0；(3)若抛物线E的方程为y2＝2px(p>0)，则k＝py0.热点三弦长问题已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，则|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2或|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2（y1＋y2）2－4y1y2.热点四圆锥曲线的切线问题1.直线与圆锥曲线相切时，它们的方程组成的方程组消元后所得方程(二次项系数不为零)的判别式为零.2.椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)在(x0，y0)处的切线方程为x0xa2＋y0yb2＝1；双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)在(x0，y0)处的切线方程为x0xa2－y0yb2＝1；抛物线y2＝2px(p＞0)在(x0，y0)处的切线方程为y0y＝p(x＋x0).热点五直线与圆锥曲线位置关系的应用直线与圆锥曲线位置关系的判定方法(1)联立直线的方程与圆锥曲线的方程.(2)消元得到关于x或y的一元二次方程.(3)利用判别式Δ，判断直线与圆锥曲线的位置关系.二、圆锥曲线的性质综合热点一圆锥曲线的定义与标准方程1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|).(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0＜2a＜|F1F2|).(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.热点二椭圆、双曲线的几何性质1.求离心率通常有两种方法(1)椭圆的离心率e＝ca＝1－b2a2(0<e<1)，双曲线的离心率e＝ca＝1＋b2a2(e>1).(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.2.与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0).热点三抛物线的几何性质抛物线的焦点弦的几个常见结论：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α是弦AB的倾斜角，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α.(3)1|FA|＋1|FB|＝2p.(4)以线段AB为直径的圆与准线x＝－p2相切.三、圆锥曲线的综合应用求解范围、最值问题的常见方法(1)利用判别式来构造不等关系.(2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系.(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式.(4)利用基本不等式.○热○点○题○型一直线与圆、直线与圆锥曲线一、单选题1．过圆224x y +=上的动点作圆221x y +=的两条切线，则连接两切点线段的长为（）A ．2B ．1C 32D 3【答案】D【详解】令点P 是圆224x y +=上的动点，过点P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，如图，则OA PA ⊥，而1||||12OA OP ==，于是260APB OPA ∠=∠= ，又||||3PB PA ==，因此PAB 为正三角形，||||3AB PA ==，所以连接两切点线段的长为3.故选：D2．过抛物线：()的焦点的直线交抛物线于，两点，若2AF BF AB ⋅=，则抛物线C 的标准方程是（）A ．28y x=B ．26y x=C ．24y x=D ．22y x=3．若直线0x y a +-=与曲线A ．[12,12]-+B ．(1C ．[2,12)+D ．(1【答案】B4．已知抛物线22y px =的焦点为4x =A ．4B ．42C ．8D ．【答案】D5．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过FC 交于A ，B 两点，D 为AB 的中点，且DM l ⊥于点M ，AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，四边形DMFN的面积为，则p =（）A．B ．4C．D．因为30DN DF DFN ⊥∠=︒，，故223DF DE p ==，FN6．已知圆22:4C x y +=，直线l经过点3,02P ⎛⎫⎪⎝⎭与圆C 相交于A ，B 两点，且满足关系OM =（O 为坐标原点）的点M 也在圆C 上，则直线l 的斜率为（）A ．1B ．1±C ．D ．±故选：D.7．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的上顶点为B ，斜率为32的直线l 交椭圆于M ，N 两点，若△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，则椭圆的离心率为（）A ．22BC ．12D8．已知双曲线()22:10,0C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y =与C的左、右两支分别交于A ，B 两点，若四边形12AF BF 为矩形，则C 的离心率为（）AB ．3C1D 1+二、多选题9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()()222:210C x y r r -+-=>，过原点O 的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则（）A ．当圆C 与y 轴相切，且直线l 的斜率为1时，2AB =B ．当3r =时，存在l ，使得CA CB⊥C ．若存在l ，使得ABC 的面积为4，则r 的最小值为D ．若存在两条不同l ，使得2AB =，则r 的取值范围为()1,3故选：BC10．已知0mn ≠，曲线22122:1x y E m n +=，曲线22222:1x y E m n-=，直线:1x y l m n +=，则下列说法正确的是（）A ．当3n m =时，曲线1E 离心率为3B ．当3n m =时，曲线2E 离心率为103C ．直线l 与曲线2E 有且只有一个公共点D ．存在正数m ，n ，使得曲线1E 截直线l11．已知抛物线:4C x y =，过焦点F 的直线l 与交于1122两点，1与F 关于原点对称，直线AB 和直线AE 的倾斜角分别是,αβ，则（）A ．cos tan 1αβ⋅>B ．AEF BEF∠=∠C ．90AEB ∠>︒D ．π22βα-<【答案】BD【详解】作AD y ⊥轴于D ，作BC y ⊥轴于C ，则,DAF DAEαβ=∠=∠由()()1122,,,A x y B x y ，则()()120,,0,D y C y ，故选：BD.12．已知双曲线22:145x y C -=的左､右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线与双曲线C 的右支交于,A B 两点，且1AF AB ⊥，则下列结论正确的是（）A ．双曲线C 的渐近线方程为2y x =±B ．若P 是双曲线C 上的动点，则满足25PF =的点P 共有两个C ．12AF =D ．1ABF 2○热○点○题○型二圆锥曲线的性质综合一、单选题1．设1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线交双曲线右支于A ，B 两点，若1123AF BF =，且223AF BF =，则该双曲线的离心率为（）A B ．2C D ．32．已知双曲线()22:10,0C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，12F F =P为C 上一点，1PF 的中点为Q ，2PF Q △为等边三角形，则双曲线C 的方程为（）．A ．2212y x -=B ．2212x y -=C ．2222133x y -=D ．223318y x -=A ．6B ．3或C ．D ．或4．已知双曲线221(0,0)a b a b-=>>的实轴为4，抛物线22(0)y px p =>的准线过双曲线的左顶点，抛物线与双曲线的一个交点为(4,)P m ，则双曲线的渐近线方程为（）A ．y x =B ．y =C ．23y x =±D ．4y x =±故选：A5．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线.在平面直角坐标系xOy中，把到定点()1,0F a -，()2,0F a 距离之积等于()20a a >的点的轨迹称为双纽线.已知点00(,)P x y 是双纽线C 上一点，有如下说法：①双纽线C 关于原点O 中心对称；②022a a y -≤≤；③双纽线C 上满足12PF PF =的点P 有两个；④PO .其中所有正确的说法为（）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①②④6．如图所示，1F ，2F 是双曲线22:1(0,0)C a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线C 的右支上存在一点B 满足12BF BF ⊥，1BF 与双曲线C 的左支的交点A 平分线段1BF ，则双曲线C 的离心率为（）A ．3B ．C D7．已知椭圆1和双曲线2的焦点相同，记左、右焦点分别为1，2，椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，设点P 为1C 与2C 在第一象限内的公共点，且满足12PF k PF =，若1211e e k =-，则k 的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若从椭圆右焦点2F 发出的光线经过椭圆上的点A 和点B 反射后，满足AB AD ⊥，且3cos 5ABC ∠=，则该椭圆的离心率为（）．A ．12B 22C D则113cos 5AB ABF BF ∠==，sin ABF ∠可设3AB k =，14AF k =，1BF =由1122AB AF BF AF BF AF ++=++二、多选题9．已知曲线E ：221mx ny -=，则（）A ．当0mn >时，E 是双曲线，其渐近线方程为y =B ．当0n m ->>时，E 是椭圆，其离心率为eC ．当0m n =->时，E 是圆，其圆心为()0,0D ．当0m ≠，0n =时，E是两条直线x =10．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）的正视图可以近似看成双纽线，在平面直角坐标系中，把到定点()1,0F a -和()2,0F a 距离之积等于()20a a >的点的轨迹称为双纽线，已知点()00,P x y 是双纽线C 上一点，则下列说法正确的是（）A ．若12F PF θ∠=，则12F PF △的面积为sin 2aθB ．022a a y -≤≤C ．双纽线C 关于原点O 对称D ．双纽线上C 满足12PF PF =的点P 有三个【答案】BC11．已知椭圆()2:1039C b b+=<<的左、右焦点分别为1F 、2F ，点2M在椭圆内部，点N 在椭圆上，椭圆C 的离心率为e ，则以下说法正确的是（）A ．离心率e 的取值范围为0,3⎛ ⎝⎭B ．存在点N ，使得124NF NF =C ．当6e =时，1NF NM +的最大值为62+D ．1211NF NF +的最小值为1如上图示，当且仅当2,,M N F12．已知P ，Q 是双曲线221x y a b-=上关于原点对称的两点，过点P 作PM x ⊥轴于点M ，MQ 交双曲线于点N ，设直线PQ 的斜率为k ，则下列说法正确的是（）A ．k 的取值范围是b bk a a-<<且0k ≠B ．直线MN 的斜率为2kC ．直线PN 的斜率为222b kaD ．直线PN 与直线QN 的斜率之和的最小值为ba2222PN QNb k b k k ka a +=+≥，当且仅当但PN QN k k ≠，所以等号无法取得，选项○热○点○题○型三圆锥曲线的综合应用1．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>2倍，且右焦点为()1,0F ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线():2l y k x =+交椭圆C 于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为23-．求直线l 的方程．【详解】（1）由椭圆C 的长轴长是短轴长的2倍，可得2a b =．所以()2222bb c =+．又()1,0F ，所以()2221bb =+，解得1b =．所以2a =．所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由()22122x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2222218820k x k x k +++-=．则2122821k x x k -+=+，21228221k x x k -=+．因为线段AB 中点的横坐标为23-，所以2122422213x x k k +-==-+．2．已知抛物线：2＝2的焦点为(1，0)，过的直线交抛物线于，两点，直线AO，BO分别与直线m：x＝－2相交于M，N两点．(1)求抛物线C的方程；(2)求证：△ABO与△MNO的面积之比为定值．3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，右焦点F 到其中一条渐近线的距离(1)求双曲线C 的标准方程；(2)(2)过右焦点F 作直线AB 交双曲线于,A B 两点，过点A 作直线1:2l x =的垂线，垂足为M ，求证直线MB 过定点.4．如图，平面直角坐标系中，直线l 与轴的正半轴及轴的负半轴分别相交于两点，与椭圆22:143x y E +=相交于,A M 两点（其中M 在第一象限），且,QP PM N = 与M关于x 轴对称，延长NP 交㮋圆于点B .(1)设直线,AM BN 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值；(2)求直线AB 的斜率的最小值.5．已知双曲线C ：221a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，一条渐近线的倾斜角为60°，且C 上的点到F 的距离的最小值为1．(1)求C 的方程；(2)设点()0,0O ，()0,2M ，动直线l ：y kx m =+与C 的右支相交于不同两点A ，B ，且AFM BFM ∠=∠，过点O 作OH l ⊥，H 为垂足，证明：动点H 在定圆上，并求该圆的方程．。

高考数学压轴专题2020-2021备战高考《平面解析几何》基础测试题及答案

数学高考《平面解析几何》试题含答案一、选择题1．过抛物线212x y =的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交抛物线的准线于点C ，若3AF FB =uu u r uu r，则BC =（）A ．4B ．43C ．6D ．8【答案】D 【解析】【分析】作出图象，作BM CP ⊥，AN CP ⊥，BH AN ⊥，设BF x =，根据抛物线的性质可得BM BF HN x ===，3AN AF x ==，进而得到1sin 2ACN ∠=，则可求出x 的值，进而得到BC 的值. 【详解】作BM CP ⊥，AN CP ⊥，BH AN ⊥，如图，因为3AF FB =uu u r uu r，不妨设BF x =，所以33AF BF x ==，4AB x =，根据抛物线的定义可得BM BF HN x ===，3AN AF x ==，6FP p ==，则32AH AN HN x x x =-=-=，所以1sin sin 2AH ABH ACN AB ∠=∠==，则212CF FP ==，2CB x =，则312CF CB BF x =+==，所以4x =，则28BC x ==，故选：D ．【点睛】本题考查抛物线的性质，涉及抛物线定义的应用，考查数形结合思想，属于中档题．2．已知抛物线2:6C x y =的焦点为F 直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，若AB 中点的纵坐标为5，则||||AF BF +=（）A ．8B ．11C ．13D ．16【答案】C 【解析】【分析】设点A 、B 的坐标，利用线段AB 中点纵坐标公式和抛物线的定义，求得12y y +的值，即可得结果；【详解】抛物线2:6C x y =中p ＝3，设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由抛物线定义可得：|AF |+|BF |＝y 1+ y 2+p ＝y 1+ y 2+3，又线段AB 中点M 的横坐标为122y y +=5， ∴12y y +＝10， ∴|AF |+|BF |＝13；故选：C . 【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用及中点坐标公式，是中档题．3．已知直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（）A ．12k >B ．16k <-或12k > C ．62k -<< D ．1162k -<< 【答案】D 【解析】【分析】联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，可解得交点坐标(,)x y ，由于直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，可得00x y >⎧⎨>⎩，解得即可．【详解】解：联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得24216121k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， Q 直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，∴240 21610 21kkkk-⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩，解得：1162k-<<．故选：D．【点睛】本题考查两直线的交点和分式不等式的解法，以及点所在象限的特征．4．已知椭圆C：2212xy+=的右焦点为F，直线l：2x=，点∈A l，线段AF交椭圆C于点B，若3FA FB=u u u v u u u v，则AFu u u v＝()A．2B．2C．3D．3【答案】A【解析】【分析】设点()2,A n，()00,B x y，易知F(1,0)，根据3FA FB=u u u v u u u v，得43x=，13y n=，根据点B在椭圆上，求得n=1，进而可求得2AF=u u u v【详解】根据题意作图：设点()2,A n，()00,B x y．由椭圆C：2212xy+=，知22a=，21b=，21c=，即1c=，所以右焦点F(1,0)．由3FA FB=u u u v u u u v，得()()001,31,n x y=-．所以()131x=-，且3n y=.所以43x=，13y n=.将x 0，y 0代入2212x y +=，得221411233n ⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解得21n =，所以AF u u u v ===故选A 【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，考查了向量的模的求法，考查了向量在解析几何中的应用；正确表达出各点的坐标是解答本题的关键.5．已知抛物线x 2＝16y 的焦点为F ，双曲线22145x y -=的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P是双曲线右支上一点，则|PF|＋|PF 1|的最小值为（） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 【答案】C 【解析】【分析】由题意并结合双曲线的定义可得1222(4)44PF PF PF PF PF PF FF +=++=++≥+，然后根据两点间的距离公式可得所求最小值．【详解】由题意得抛物线216x y =的焦点为()0,4F ，双曲线22145x y -=的左、右焦点分别为()()123,0,3,0F F -．∵点P 是双曲线右支上一点， ∴124PF PF =+．∴1222(4)44549PF PF PF PF PF PF FF +=++=++≥+=+=，当且仅当2,,F P F 三点共线时等号成立，∴1PF PF +的最小值为9．故选C ．【点睛】解答本题的关键是认真分析题意，然后结合图形借助数形结合的方法求解．另外在解题中注意利用双曲线的定义将所求问题进行转化，考查分析理解能力和解决问题的能力，属于基础题．6．设D 为椭圆2215y x +=上任意一点，A （0，－2），B （0，2），延长AD 至点P ，使得|PD|＝|BD|，则点P 的轨迹方程为（） A ．x 2＋（y －2）2＝20 B ．x 2＋（y －2）2＝5 C ．x 2＋（y ＋2）2＝20 D ．x 2＋（y ＋2）2＝5 【答案】C 【解析】【分析】由题意得PA PD DA DB DA =+=+=，从而得到点P 的轨迹是以点A 为圆心，半径为【详解】由题意得PA PD DA DB DA =+=+，又点D 为椭圆2215y x +=上任意一点，且()()0,2,0,2A B -为椭圆的两个焦点，∴DB DA +=，∴PA =∴点P 的轨迹是以点A 为圆心，半径为 ∴点P 的轨迹方程为()22220x y ++=．故选C ．【点睛】本题考查圆的方程的求法和椭圆的定义，解题的关键是根据椭圆的定义得到PA =然后再根据圆的定义得到所求轨迹，进而求出其方程．考查对基础知识的理解和运用，属于基础题．7．抛物线y 2＝8x 的焦点为F ,设A ,B 是抛物线上的两个动点, AF BF +=, 则∠AFB 的最大值为（） A ．3π B ．34π C ．56π D ．23π 【答案】D 【解析】【分析】设|AF |＝m ,|BF |＝n ,再利用基本不等式求解mn 的取值范围,再利用余弦定理求解即可. 【详解】设|AF |＝m ,|BF |＝n ,∵AF BF +=,AB ≥∴213mn AB ≤,在△AFB 中,由余弦定理得22222()2cos 22m n ABm n mn AB AFB mnmn+-+--∠==212213222AB mnmn mn mn mn --=≥=-∴∠AFB 的最大值为23π. 故选：D 【点睛】本题主要考查了抛物线的焦半径运用,同时也考查了解三角形与基本不等式的混合运用,属于中等题型.8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ，交y轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且满足点C 位于A ，B 之间.已知O 为原点，且53OA a =，则||||FB FC =（） A ．45B ．23C ．34D ．13【答案】A 【解析】【分析】设出直线AB 的方程，联立直线AB 方程和渐近线方程，由此求得,A B 两点的坐标，以及求得C 点的坐标，根据53OA a =列方程，求得,,a b c 的关系，由此求得||||FB FC 的值.【详解】由于双曲线渐近线为b y x a =±，不妨设直线AB 的斜率为ab-，故直线AB 的方程为()a y x c b =--.令0x =，得0,ac C b ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由()a y x c bb y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得2,a ab B c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.由()a y x c bb y xa ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得22222,a c abc A a b a b ⎛⎫- ⎪--⎝⎭，由53OA a =得22222222259a c abc a a b a b ⎛⎫-⎛⎫+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，化简得()()2222440a b a b --=，解得12b a =或2b a =.由于C 位于,A B 之间，故12b a =舍去，所以2b a=，即2b a =.故22222222||44||45B C aby FB b b a c ac FC y c a b a a b======++. 故选：A.【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查直线和直线相交所得交点坐标的求法，考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.9．若双曲线223mx my -=3的一个焦点是()0,2,则m 的值是A．-1 B．1 C．1020-D．102【答案】A【解析】双曲线223mx my-=3的标准方程为22113x ym m-=,∵焦点在y轴上,∴134m m+=,且0m<,∴ 1.m=-故选A．10．已知P是双曲线C上一点，12,F F分别是C的左、右焦点，若12PF F∆是一个三边长成等差数列的直角三角形，则双曲线C的离心率的最小值为（）A．2 B．3C．4 D．5【答案】A【解析】【分析】设直角三角形三边分别为3,4,5x x x，分23c x=，24c x=和25c x=三种情况考虑，即可算得双曲线离心率的最小值.【详解】如图，易知该直角三角形三边可设为3,4,5x x x.①若23c x=，则254a x x x=-=，得232cea==；②若24c x=，则2532a x x x=-=，得222cea==；③若25c x =，则243a x x x =-=，得252ce a==. 故选：A 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，体现了分类讨论的数学思想.11．已知P 是双曲线2221(0)8x y a a -=>上一点，12,F F 为左、右焦点，且19PF =，则“4a =”是“217PF =”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】化简得到229PF a =+或292PF a =-，故当4a =时，217PF =或21PF =；当217PF =时，4a =，得到答案.【详解】P 是双曲线2221(0)8x y a a -=>上一点，12,F F 为左、右焦点，且19PF =，则229PF a =+或292PF a =-，当4a =时，217PF =或21PF =；当217PF =时，4a =. 故“4a =”是“217PF =”的必要不充分条件. 故选：B . 【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力.12．已知椭圆221259x y +=上一点M 到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点M 到另一个焦点的距离等于（） A ．1 B ．3 C ．6 D ．10 【答案】C 【解析】由椭圆方程可得225210a a =∴= ，由椭圆定义可得点M 到另一焦点的距离等于6.故选C ．13．已知平面向量,,a b c r r r满足()()2,21a b a b a c b c ==⋅=-⋅-=r r r r r r r r ，则b c -r r 的最小值为（）A B C ．2-D 【答案】A 【解析】【分析】根据题意，易知a r 与b r的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r ，由()()21a c b c -⋅-=r r r r ，可得221202x y x +-+=，所以原问题等价于，圆221202x y x +-+=上一动点与点()20，之间距离的最小值，利用圆心和点()20，的距离与半径的差，即可求出结果. 【详解】因为2a b a b ==⋅=r r r r ，所以a r 与b r的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r，因为()()21a c b c -⋅-=r r r r ，所以221202x y x +-+=，又b c -=r r所以原问题等价于，圆221202x y x +-+=上一动点与点()20，之间距离的最小值，又圆221202x y x +-+=的圆心坐标为1⎛ ⎝⎭，所以点()20，与圆221202x y x +-+=上一动点距离的最小值为=. 故选：A. 【点睛】本题考查向量的模的最值的求法，考查向量的数量积的坐标表示，考查学生的转换思想和运算能力，属于中档题．14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，点()00,P x y 是直线40bx ay a -+=上任意一点，若圆()()22001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（）． A ．(]1,2 B ．(]1,4 C ．[)2,+∞ D ．[)4,+∞ 【答案】B 【解析】【分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线bx ay 2a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离d ，根据圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，可得d 1≥，解得即可．【详解】由题意，双曲线2222x y C :1(a 0,b 0)a b-=>>的一条渐近线方程为b y x a =，即bx ay 0-=，∵()00P x ,y 是直线bx ay 4a 0-+=上任意一点，则直线bx ay 4a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离224a 4a d ca b ==+， ∵圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则d 1≥， ∴41a c ≥，即4ce a=≤，又1e > 故e 的取值范围为(]1,4，故选：B ．【点睛】本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线C 的右支没有公共点得出d 1≥是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15．如图，12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（）A ．23y x =±B ．2y x =±C ．3y x =D ．2y x =±【答案】A【解析】【分析】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由by x a=±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =，所以12||F F ==c ⇒=因为2521a x a =-=⇒=，所以b =所以双曲线的渐近线方程为by x a=±=±. 【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.16．若圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >）始终平分圆2C ：()()22112x y +++=的周长，则12m n+的最小值为（） A ．92B ．9C ．6D ．3【答案】D 【解析】【分析】把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在的直线l 的方程，由题意知圆2C 的圆心在直线l 上，可得()123,213m n m n +=∴+=，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】把圆2C ：()()22112x y +++=化为一般式，得22220x y x y +++=，又圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >），两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线l 的方程：()()12150m x n y ++++=.Q 圆1C 始终平分圆2C 的周长，∴圆心()21,1C --在直线l 上，()()12150m n ∴-+-++=，即()123,213m n m n +=∴+=. ()112225331212121n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=+⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎝⎭⎭()115522333⎛≥+=+⨯= ⎝. 当且仅当2322m n n m mn +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1m n ==时，等号成立.12m n ∴+的最小值为3. 故选：D . 【点睛】本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式，属于中档题.17．若A ，B 分别是直线20x y --=与x 轴，y 轴的交点，圆C ：()()22448x y -++=上有任意一点M ，则AMB ∆的面积的最大值是（）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】C 【解析】【分析】先求出AB ，再求出M 到直线的最大距离为点M 到直线20x y --=加上半径，进而可得面积最大值. 【详解】由已知()2,0A ，()0,2B -则AB ==，又点M=所以最大面积为1102⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查圆上一点到直线的最大距离问题，是基础题.18．已知点1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，1e ，2e 分别是1C 和2C 的离心率，点P 为1C 和2C 的一个公共点，且1223F PF π∠=，若22e =，则1e 的值是（） ABC．7D【答案】D【解析】【分析】利用椭圆和双曲线的定义以及余弦定理可得到方程2221243c a a =+，由此得到关于离心率的方程求得结果. 【详解】设椭圆长半轴长为1a ，双曲线实半轴长为2a ，焦点坐标为()1,0F c -，()2,0F c ，不妨设P 为第一象限内的点，则1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ，则221212PF PF a a =-，由余弦定理得：2222212121212242cos3c PF PF PF PF PF PF PF PF π=+-=++， ()22222211212443c a a a a a ∴=--=+，2212314e e ∴+=，又22e =，2145e ∴=， 125e ∴=. 故选：D . 【点睛】本题考查共焦点的椭圆与双曲线问题的求解，关键是能够熟练应用椭圆和双曲线的定义，利用余弦定理构造等量关系，配凑出关于椭圆和双曲线离心率的方程.19．双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位.通过船（待定点）接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差，两个距离差即可形成两条位置双曲线，两者相交便可确定船位.我们来看一种简单的“特殊”状况；如图所示，已知三个发射台分别为A ，B ，C 且刚好三点共线，已知34AB =海里，20AC =海里，现以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建系.现根据船P 接收到C 点与A 点发出的电磁波的时间差计算出距离差，得知船P 在双曲线()222713664x y --=的左支上，根据船P 接收到A 台和B 台电磁波的时间差，计算出船P 到B 发射台的距离比到A 发射台的距离远30海里，则点P 的坐标（单位：海里）为（）A ．9011,77⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭B ．135322,77⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭C．3217,3⎛⎫±⎪⎝⎭D．()45,162±【答案】B【解析】【分析】设由船P到B台和到A台的距离差确定的双曲线方程为()22221x yx aa b-=≥，根据双曲线的定义得出15a=，再得出由船P到B台和到A台的距离差所确定的双曲线为()2211522564x yx-=>，与双曲线()222713664x y--=联立，即可得出点P坐标.【详解】设由船P到B台和到A台的距离差确定的双曲线方程为()22221x yx aa b-=≥由于船P到B台和到A台的距离差为30海里，故15a=，又=17c，故8b=故由船P到B台和到A台的距离差所确定的双曲线为()2211522564x yx-=>联立()()()222227121366411522564x yxx yx⎧--=<⎪⎪⎨⎪-=>⎪⎩，解得135322,77P⎛⎫±⎪⎪⎝⎭故选：B【点睛】本题主要考查了双曲线的应用，属于中档题.20．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322():16C x y x y=+恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；③曲线C围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x y xy+=<表示的曲线C在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( )A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④【答案】B 【解析】【分析】利用基本不等式得224x y +≤，可判断②；224x y +=和()3222216x y x y +=联立解得222x y ==可判断①③；由图可判断④.【详解】()2223222216162x y xyx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，解得224x y +≤（当且仅当222x y ==时取等号），则②正确；将224x y +=和()3222216x y x y +=联立，解得222x y ==，即圆224x y +=与曲线C 相切于点，(，(，，则①和③都错误；由0xy <，得④正确. 故选：B. 【点睛】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.。

2020年全国高考数学试题及解析

2020年全国高考数学试题及解析一、试题综述2020年全国高考数学试题遵循了《普通高中数学课程标准》的要求，试题结构稳定，难度适中，突出对基础知识、基本技能和基本思想方法的考查。

同时，试题注重考查学生的数学核心素养和创新意识，体现了数学的应用价值和时代特色。

二、试题分析选择题选择题部分主要考查学生对基础知识的掌握情况，包括函数、导数、三角函数、数列、概率统计等知识点。

其中，有些题目设置了一定的思维难度，需要学生灵活运用所学知识进行分析和判断。

填空题填空题部分主要考查学生的计算能力和思维严密性。

题目涉及的知识点包括解析几何、立体几何、数列求和、不等式求解等。

要求学生能够准确地运用所学知识进行计算和推理。

解答题解答题部分共有六道大题，分别考查了函数与导数、三角函数与解三角形、数列与不等式、立体几何、概率统计等知识点。

这些题目不仅要求学生掌握扎实的基础知识，还需要具备较高的分析问题和解决问题的能力。

其中，最后一道压轴题难度较大，考查了学生的创新思维和综合运用能力。

三、试题特点突出基础知识考查试题注重对基础知识的考查，包括数学概念、性质、定理等。

要求学生能够熟练掌握并准确运用这些知识解决问题。

强调数学思想方法试题在考查基础知识的同时，也注重对数学思想方法的考查。

如分类讨论、数形结合、化归等思想方法在解题过程中的运用。

注重数学应用试题结合生活实际和社会热点，设置了一些具有实际背景的数学问题，体现了数学的应用价值。

如概率统计部分的题目涉及到疫情防控背景下的数据分析和预测。

创新题型设计试题在保持传统题型的基础上，进行了一些创新设计。

如填空题中出现了多空填写的题型，要求学生能够更加灵活地运用所学知识进行求解。

四、备考建议重视基础知识的学习和理解学生在备考过程中应重视基础知识的学习和理解，熟练掌握数学概念、性质、定理等基础知识，并能够准确运用这些知识解决问题。

加强数学思想方法的培养和训练学生在备考过程中应加强数学思想方法的培养和训练，熟练掌握分类讨论、数形结合、化归等数学思想方法，并能够灵活运用这些方法解决复杂问题。

2020高考数学最后十天压轴题专题1.5 以向量与解析几何、三角形等相结合为背景的选择题(解析版)

2
AD
63
4.【山东省聊城市第一中学 2019 届高三上学期期中考试】已知 M 是△ABC 内的一点，且
，
，若△MBC，△MCA 和△MAB 的面积分别为 1，，，则的最小值是（）
A．2 B．8 C．6 D．3
5. 【湖北省宜昌市示范高中协作体 2019 届高三上学期期中联考】已知△ABC 的三个内角 A、B、C 所对边
长分别为 a、b、c，向量 =(a＋c，a－b)， =(b，a－c)，若 ∥ ，则∠C=(
)
A． B． C． D．
6. 【2019·山东高三期末（理）】过抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点 F 作直线 l ，交抛物线于点 M ， N ，交
抛物线的准线于点 P ，若 PM 2PN ，则直线 l 的斜率为( )
C．垂心
D．重心
【举一反三】【江西省赣州市十四县（市 )2019 届高三上学期期中联考】在
中,
,是
的内心,若
,其中
,动点的轨迹所覆
盖的面积为( )
A．
B．
C．
D．
类型三向量与三角函数的结合
典例 4．（多选题）（2019·山东高三期中）已知向量 m (sin x, 3) ， n cos x, cos2 x ，函数
uuur uuur 两点，且 AE EB ， AD 2DC ， BD 与 CE 交于点 O ，则下列说法正确的是（）
A． AB CE 1
B． OE OC 0
C． OA OB OC
3
2
7
D． ED 在 BC 方向上的投影为 6
2.（多选题）（2019·山东菏泽一中高三月考）下列命题中，是真命题的是（）

2020年高考数学试题分项版—解析几何(原卷版)

2020年高考数学试题分项版——解析几何（原卷版）一、选择题1．(2020·全国Ⅰ理，4)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p 等于( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．92．(2020·全国Ⅰ理，11)已知⊙M ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，直线l ：2x ＋y ＋2＝0，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |·|AB |最小时，直线AB 的方程为( ) A ．2x －y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y ＋1＝03．(2020·全国Ⅱ理，5)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( ) A.55 B.255 C.355 D.4554．(2020·全国Ⅱ理，8)设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点．若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．325．(2020·全国Ⅲ理，5)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫14，0 B.⎝⎛⎭⎫12，0 C ．(1,0) D ．(2,0) 6．(2020·全国Ⅲ理，10)若直线l 与曲线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝15都相切，则l 的方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x ＋12C ．y ＝12x ＋1D ．y ＝12x ＋127．(2020·全国Ⅲ理，11)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为 5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a 等于( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．88．(2020·新高考全国Ⅰ，9)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1.( ) A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m ＝n >0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±－m nxD ．若m ＝0，n >0，则C 是两条直线9．(2020·新高考全国Ⅱ，10)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1.( ) A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m ＝n >0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±－m nx D ．若m ＝0，n >0，则C 是两条直线10．(2020·北京，5)已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．711．(2020·北京，7)设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l .P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线( ) A ．经过点O B ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP12．(2020·天津，7)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过抛物线y 2＝4x 的焦点和点(0，b )的直线为l .若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 24＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 2＝113．(2020·浙江，8)已知点O (0,0)，A (－2,0)，B (2,0)，设点P 满足|PA |－|PB |＝2，且P 为函数y ＝34－x 2图象上的点，则|OP |等于( ) A.222 B.4105C.7D.10 14．(2020·全国Ⅰ文，6)已知圆x 2＋y 2－6x ＝0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．415．(2020·全国Ⅰ文，11)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2－y 23＝1的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP |＝2，则△PF 1F 2的面积为( ) A.72 B ．3 C.52D ．2 16．(2020·全国Ⅱ文，8)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( ) A.55 B.255 C.355 D.45517．(2020·全国Ⅱ文，9)设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点．若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．3218．(2020·全国Ⅲ文，7)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫14，0 B.⎝⎛⎭⎫12，0 C ．(1,0) D ．(2,0) 19．(2020·全国Ⅲ文，8)点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离的最大值为( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 二、填空题1．(2020·全国Ⅰ理，15)已知F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的离心率为________． 2．(2020·新高考全国Ⅰ，13)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________.3．(2020·新高考全国Ⅱ，14)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________.4．(2020·北京，12)已知双曲线C ：x 26－y 23＝1，则C 的右焦点的坐标为________；C 的焦点到其渐近线的距离是________．5．(2020·天津，12)已知直线x －3y ＋8＝0和圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点．若|AB |＝6，则r 的值为________．6．(2020·江苏，6)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 25＝1(a >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，则该双曲线的离心率是________． 7．(2020·江苏，14)在平面直角坐标系xOy 中，已知P ⎝⎛⎭⎫32，0，A ，B 是圆C ：x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝36上的两个动点，满足PA ＝PB ，则△PAB 面积的最大值是________．8．(2020·浙江，15)已知直线y ＝kx ＋b (k >0)与圆x 2＋y 2＝1和圆(x －4)2＋y 2＝1均相切，则k ＝________，b ＝________.9．(2020·全国Ⅲ文，14)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为y ＝2x ，则C的离心率为________．三、解答题1．(2020·全国Ⅰ理，20)已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的左、右顶点，G 为E的上顶点，AG →·GB →＝8.P 为直线x ＝6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D . (1)求E 的方程；(2)证明：直线CD 过定点．2．(2020·全国Ⅱ理，19)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |＝43|AB |.(1)求C 1的离心率；(2)设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |＝5，求C 1与C 2的标准方程．3．(2020·全国Ⅲ理，20)已知椭圆C ：x 225＋y 2m 2＝1(0<m <5)的离心率为154，A ，B 分别为C的左、右顶点． (1)求C 的方程；(2)若点P 在C 上，点Q 在直线x ＝6上，且|BP |＝|BQ |，BP ⊥BQ ，求△APQ 的面积．4．(2020·新高考全国Ⅰ，22)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且过点A (2,1)．(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．5．(2020·新高考全国Ⅱ，21)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点M (2,3)，点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12.(1)求C 的方程；(2)点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值．6．(2020·北京，20)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1过点A (－2，－1)，且a ＝2b .(1)求椭圆C 的方程；(2)过点B (－4,0)的直线l 交椭圆C 于点M ，N ，直线MA ，NA 分别交直线x ＝－4于点P ，Q .求|PB ||BQ |的值．7．(2020·天津，18)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (0，－3)，右焦点为F ，且|OA |＝|OF |，其中O 为原点．(2)已知点C 满足3OC →＝OF →，点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．8.(2020·江苏，18)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B .(1)求△AF 1F 2的周长；(2)在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP →·QP →的最小值； (3)设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2＝3S 1，求点M 的坐标．9.(2020·浙江，21)如图，已知椭圆C 1：x 22＋y 2＝1，抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)，点A 是椭圆C 1与抛物线C 2的交点．过点A 的直线l 交椭圆C 1于点B ，交抛物线C 2于点M (B ，M 不同于A )．(1)若p ＝116，求抛物线C 2的焦点坐标；(2)若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．10．(2020·全国Ⅰ文，21)已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的左、右顶点，G 为E的上顶点，AG →·GB →＝8.P 为直线x ＝6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D . (1)求E 的方程；(2)证明：直线CD 过定点．11．(2020·全国Ⅱ文，19)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |＝43|AB |.(1)求C 1的离心率；(2)若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．12．(2020·全国Ⅲ文，21)已知椭圆C：x225＋y2m2＝1(0<m<5)的离心率为154，A，B分别为C的左、右顶点．(1)求C的方程；(2)若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．。

高考理数真题训练07 平面解析几何(选择题、填空题)(原卷版)

专题07 平面解析几何（选择题、填空题）1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p = A ．2 B ．3C ．6D ．92．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为 A ．210x y --= B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=3.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为 A ． 1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ． 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ． (1,0)D ． (2,0)4．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】11.设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a = A ． 1 B ． 2C ． 4D ． 85.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为A BC D 6．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为A ．4B ．8C ．16D ．327．【2020年高考天津】设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为A ．22144x y -= B ．2214y x -= C ．2214x y -= D ．221x y -= 8．【2020年高考北京】已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为 A ． 4 B ． 5C ． 6D ． 79．【2020年高考北京】设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP10．【2020年高考浙江】已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =图象上的点，则|OP |=A ．2B ．5CD 11．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知曲线22:1C mx ny +=. A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线12．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y += C ．22143x y +=D ．22154x y += 13．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．814．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为A BC ．2D15．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A BC ．D ．16．【2019年高考北京卷理数】已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b17．【2019年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是 A ．① B ．② C ．①②D ．①②③18．【2019年高考天津卷理数】已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为A BC ．2D 19．【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A ．2B ．1CD ．220．【2018年高考北京卷理数】在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．421．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣22．【2018年高考全国Ⅱ理数】已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23 B ．12 C ．13D ．1423．【2018年高考浙江卷】双曲线2213x y -=的焦点坐标是A ．，0)，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，，(0D ．(0，−2)，(0，2)24．【2018年高考全国Ⅰ理数】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．y =B ．y =C ．2y x =±D ．y x = 25．【2018年高考全国III 理数】设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1|||PF OP =，则C 的离心率为A B ．2C D26．【2018年高考全国I 理数】设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=A ．5B ．6C ．7D ．827．【2018年高考全国I 理数】已知双曲线22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则||MN = A ．32B ．3C ．D ．428．【2018年高考天津卷理数】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．22139x y -= D ．22193x y -= 29．【2020年高考全国I 卷理数】已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为 .30．【2020年高考天津】已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．31．【2020年高考北京】已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．32．【2020年高考浙江】已知直线(0)y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______，b =_______．33．【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线222105()x y a a -=>的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率是 ▲ ．34．【2020年新高考全国Ⅰ卷】C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB=________．35．【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，已知0)P ，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△PAB 面积的最大值是 ▲ ．36．【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =___________，r =___________．37．【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．38．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.39．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．40．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .41．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ .42．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为________．43．【2018年高考浙江卷】已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP =2PB ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．44．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c，则其离心率的值是________________． 45．【2018年高考北京卷理数】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n-=．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________________；双曲线N 的离心率为________________．46．【2018年高考全国Ⅰ理数】已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________．。

2020年高考数学压轴题命题区间(六)解析几何

压轴题命题区间(六)⎪⎪解析几何增分点直线与圆专练一、选择题1．与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝2B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝2D ．(x －2)2＋(y －2)2＝2解析：选D 由题意知，曲线方程为(x －6)2＋(y －6)2＝18，过圆心(6,6)作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂线所在直线方程为y ＝x ，则所求的最小圆的圆心必在直线y ＝x 上．又(6,6)到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝|6＋6－2|2＝52，故最小圆的半径为2，圆心坐标为(2,2)，所以半径最小的圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.2．已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210解析：选C 圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为C (2,1)，半径r ＝2，因此2＋a －1＝0，a ＝－1，即A (－4，－1)，|AB |＝|AC |2－r 2＝(2＋4)2＋(1＋1)2－4＝6.3．若曲线y ＝1＋4－x 2与直线kx －y －2k ＋4＝0有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，512 B.⎝⎛⎦⎤13，34 C.⎝⎛⎦⎤512，34D.⎝⎛⎭⎫512，＋∞解析：选C 注意到y ≥1，曲线y ＝1＋4－x 2是圆x 2＋(y －1)2＝4在直线y ＝1的上方部分的半圆．又直线kx －y －2k ＋4＝0⇒y －4＝k (x －2)知恒过定点A (2,4)．如图，由B (－2,1)，知k AB ＝4－12－(－2)＝34，当直线与圆相切时，|－1－2k ＋4|k 2＋(－1)2＝2，解得k ＝512，故实数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤512，34.4．已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是( )A ．2 6B ．4 C. 6D ．2解析：选B 根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示．设点P 到圆心的距离为d ，求|AB |的最小值等价于求d 的最大值，易知d max ＝12＋32＝10，所以|AB |min ＝214－10＝4.5．已知P 是过三点O (0,0)，A (1,1)，B (4,2)的圆M 上一点，圆M 与x 轴、y 轴的交点(非原点)分别为S ，T ，则|PS |·|PT |的最大值为( )A ．25B ．50C ．75D ．100解析：选B 设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．则⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，D ＋E ＋F ＋2＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，解得D ＝－8，E ＝6，F ＝0.所以圆M 的方程为x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0，即(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.令y ＝0，得x 2－8x ＝0，解得x ＝0或x ＝8. 令x ＝0，得y 2＋6y ＝0，解得y ＝0或y ＝－6. 所以S (8,0)，T (0，－6)．而圆心(4，－3)在直线ST 上，所以PS ⊥PT .即|PS |2＋|PT |2＝(2r )2＝100. 所以|PS |·|PT |≤12(|PS |2＋|PT |2)＝50.所以(|PS |·|PT |)max ＝50.6．(2018·合肥质检)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0,3)与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0解析：选B 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，计算出弦长为23，符合题意；当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，由弦长为23可知，圆心到该直线的距离为1，从而有|k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝－34，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0.综上，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y －12＝0.7．若过点P (2,1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y －7＝0相交于两点A ，B ，且∠ACB ＝60°(其中C 为圆心)，则直线l 的方程是( )A ．4x －3y －5＝0B ．x ＝2或4x －3y －5＝0C ．4x －3y ＋5＝0D ．x ＝2或4x －3y ＋5＝0解析：选B 由题意可得，圆C 的圆心为C (－1,2)，半径为23，因为∠ACB ＝60°，所以△ABC 为正三角形，边长为23，所以圆心C 到直线l 的距离为3.若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝2，与圆相交且圆心C 到直线l 的距离为3，满足条件；若直线l 的斜率存在，不妨设l ：y －1＝k (x －2)，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|3k ＋1|k 2＋1＝3，解得k＝43，所以此时直线l 的方程为4x －3y －5＝0. 8．已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA ―→＋OB ―→|≥33|AB ―→|，那么k 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[2，22)D ．[3，22)解析：选C 当|OA ―→＋OB ―→|＝33|AB ―→|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k >0)的距离为1，此时k ＝ 2.当k >2时，|OA ―→＋OB ―→|>33|AB ―→|.又直线与圆x 2＋y 2＝4有两个不同的交点，故k <22，综上，k 的取值范围为[2，22)．9．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．[4,6]C ．(4,5)D ．(4,5]解析：选A 设直线4x －3y ＋m ＝0与直线4x －3y －2＝0间距等于1，则有|m ＋2|5＝1，m ＝3或m ＝－7.圆心(3，－5)到直线4x －3y ＋3＝0的距离等于6，圆心(3，－5)到直线4x －3y －7＝0的距离等于4，因此所求的圆的半径的取值范围是(4,6)．10．已知圆C 关于x 轴对称，经过点(0,1)，且被y 轴分成两段弧，弧长之比为2∶1，则圆的方程为( )A ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43 B ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝13C.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43D.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝13解析：选C 法一：(排除法)由圆心在x 轴上，可排除A 、B ，又圆过(0,1)点，故圆的半径大于1，排除D ，选C.法二：(待定系数法)设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2，圆C 与y 轴交于A (0,1)，B (0，－1)，由弧长之比为2∶1，易知∠OCA ＝12∠ACB ＝12×120°＝60°，则tan 60°＝|OA ||OC |＝1|OC |，所以a ＝|OC |＝33，即圆心坐标为⎝⎛⎭⎫±33，0，r 2＝|AC |2＝12＋⎝⎛⎭⎫332＝43.所以圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43.11．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为________．解析：如图，圆O 的半径为1，圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则∠APO ＝30°，在Rt △PAO 中，|PO |＝2，又圆M 的半径等于1，圆心坐标M (a ，a －4)， ∴|PO |min ＝|MO |－1，|PO |max ＝|MO |＋1， ∵|MO |＝a 2＋(a －4)2，∴由a 2＋(a －4)2－1≤2≤a 2＋(a －4)2＋1，解得2－22≤a ≤2＋22. 答案：⎣⎡⎦⎤2－22，2＋22 12．已知圆O ：x 2＋y 2＝9，过点C (2,1)的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，则当△OPQ 的面积最大时，直线l 的方程为( )A ．x －y －3＝0或7x －y －15＝0B ．x ＋y ＋3＝0或7x ＋y －15＝0C ．x ＋y －3＝0或7x －y ＋15＝0D ．x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0解析：选D 当直线l 的斜率不存在时，则l 的方程为x ＝2，则P ，Q 的坐标为(2，5)，(2，－5)，所以S △OPQ ＝12×2×25＝2 5.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x－2)⎝⎛⎭⎫k ≠12，则圆心到直线PQ 的距离d ＝|1－2k |1＋k 2，又|PQ |＝29－d 2，所以S △OPQ ＝12×|PQ |×d ＝12×29－d 2×d ＝(9－d 2)d 2≤ ⎝⎛⎭⎫9－d 2＋d 222＝92，当且仅当9－d 2＝d 2，即d 2＝92时，S△OPQ 取得最大值92.因为25<92，所以S △OPQ 的最大值为92，此时4k 2－4k ＋1k 2＋1＝92，解得k ＝－1或k ＝－7，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0.二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，若圆(x －2)2＋(y －2)2＝1上存在点M ，使得点M 关于x 轴的对称点N 在直线kx ＋y ＋3＝0上，则实数k 的最小值为________．解析：法一：由题意，设M (2＋cos θ，2＋sin θ)，则N (2＋cos θ，－2－sin θ)，将N 的坐标代入kx ＋y ＋3＝0，可得sin θ－k cos θ＝2k ＋1.因为sin θ－k cos θ＝k 2＋1sin(θ－φ)，其中tan φ＝k ，所以|2k ＋1|≤k 2＋1，即3k 2＋4k ≤0，解得－43≤k ≤0，故k 的最小值为－43.法二：圆(x －2)2＋(y －2)2＝1关于x 轴对称的圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. 问题转化为直线kx ＋y ＋3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋2)2＝1有公共点N . 所以|2k －2＋3|k 2＋1≤1，即|2k ＋1|≤k 2＋1，解得－43≤k ≤0，故k 的最小值为－43.答案：－4314．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.解析：如图所示，∵直线AB 的方程为x －3y ＋6＝0， ∴k AB ＝33，∴∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°. 在Rt △BOD 中， ∵|OB |＝23，∴|OD |＝2.取AB 的中点H ，连接OH ，则OH ⊥AB ， ∴OH 为直角梯形ABDC 的中位线， ∴|OC |＝|OD |，∴|CD |＝2|OD |＝2×2＝4. 答案：415．已知A (－2,0)，B (0,2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上不同的两点，P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点，如果M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，则△PAB 面积的最大值是________．解析：由题意知圆心⎝⎛⎭⎫－k 2，0在直线x －y －1＝0上，所以－k2－1＝0，解得k ＝－2，得圆心的坐标为(1,0)，半径为1.又知直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，所以圆心(1,0)到直线AB 的距离为322，所以△PAB 面积的最大值为12×22×⎝⎛⎭⎫1＋322＝3＋ 2.答案：3＋ 216．两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两条平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两条平行直线和圆有一个，两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”，已知直线l 1：2x －y ＋a ＝0，l 2：2x －y ＋a 2＋1＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4＝0相切，则a 的取值范围是________．解析：圆的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝5，圆心(－1,0)，r ＝5，两直线分别与圆相切时对应的a 的边界值为： |－2＋a 2＋1|5＝5时，a ＝±6； |a －2|5＝5时，a ＝－3或a ＝7，所以a 的边界值分别为－3,7，±6.由题意可知，两平行直线中必有一条与圆相切，另一条与圆相离，相切，相交三种情况都满足题意，故a ∈[]－3，－6∪[]6，7. 答案：[]－3，－6∪[]6，7增分点数形各显威，挑战离心率离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是描述圆锥曲线形状的重要参数．圆锥曲线的离心率的求法是一类常见题型，也是历年高考考查的热点．求解圆锥曲线的离心率的值或取值范围，其关键是建立恰当的等量或不等量关系，以过渡到含有离心率e 的等式或不等式使问题获解．[典例] (2016·全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13 B.12 C.23 D.34[思路点拨]本题以椭圆内点线的交错关系为条件，而结论是椭圆的离心率，思考目标自然是要得到a ，b ，c 满足的等量关系，那么方向不外乎两个：坐标关系或几何关系，抓住条件“直线BM 经过OE 的中点”作为突破口适当转化，获得所需等式．[方法演示]法一：数形结合法如图，设直线BM 与y 轴的交点为N ，且点N 的坐标为(0，m )，根据题意，点N 是OE 的中点，则E (0,2m )，从而直线AE 的方程为x －a ＋y2m＝1，因此点M 的坐标为－c ，2m (a －c )a .又△OBN ∽△FBM ，所以|FM ||ON |＝|FB ||OB |，即2m (a －c )a m ＝a ＋c a ，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13. 法二：交点法同法一得直线AE 的方程为x －a ＋y 2m ＝1，直线BN 的方程为x a ＋y m ＝1.又因为直线AE 与直线BN 交于点M ，且PF ⊥x 轴，可设M (－c ，n )．则⎩⎪⎨⎪⎧－c －a ＋n2m ＝1，－c a ＋nm ＝1，消去n ，解得ca ＝13，所以椭圆C 的离心率为13. 法三：三点共线法同法一得直线AE 的方程为x －a ＋y 2m ＝1，由题意可知M ⎝⎛⎭⎫－c ，2m ⎝⎛⎭⎫1－c a ，N (0，m )，B (a,0)三点共线，则2m ⎝⎛⎭⎫1－ca －m －c ＝m －a，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13.法四：方程法设M (－c ，m )，则直线AM 的方程为y ＝ma －c(x ＋a )，所以E ⎝⎛⎭⎫0，ma a －c .直线BM 的方程为y ＝m －c －a (x －a )，与y 轴交于点⎝⎛⎭⎫0，ma a ＋c ，由题意知，2ma a ＋c ＝maa －c ，即a ＋c ＝2(a －c )，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13.法五：几何法在△AOE 中，MF ∥OE ，所以MF OE ＝a －c a.在△BFM 中，ON ∥MF ，所以OE 2MF ＝a a ＋c ，即OE MF ＝2aa ＋c.所以MF OE ·OE MF ＝a －c a ·2a a ＋c ＝1，即a ＋c ＝2(a －c )，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13. [答案] A [解题师说]1．本题的五种方法，体现出三个重要的数学解题策略.利用已知条件和挖掘隐含条件建立起a 与c 的关系式．[注意] 在求离心率的值时需建立等量关系式，在求离心率的范围时需建立不等量关系式．[应用体验]1．(2018·新疆模拟)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A.433B.233 C ．3D ．2解析：选A 依题意，不妨设点P 在双曲线的右支上，F 1，F 2分别为其左、右焦点，设椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则有e 1＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|，e 2＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|，则1e 1＋1e 2＝2|PF 1||F 1F 2|.在△PF 1F 2中，易知∠F 1F 2P ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，由正弦定理得|PF 1||F 1F 2|＝sin ∠F 1F 2P sin ∠F 1PF 2＝23sin ∠F 1F 2P ，所以1e 1＋1e 2＝43sin ∠F 1F 2P ≤43＝433，当且仅当sin ∠F 1F 2P ＝1，即∠F 1F 2P ＝π2时取等号，因此1e 1＋1e 2的最大值是433.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，则双曲线离心率的取值范围为__________．解析：设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1.由已知，点(1,0)到直线l 的距离d 1与点(－1,0)到直线l 的距离d 2之和s ＝d 1＋d 2＝b (a －1)a 2＋b2＋b (a ＋1)a 2＋b2＝2ab c ≥45c ，整理得5a c 2－a 2≥2c 2，即5e 2－1≥2e 2，所以25e 2－25≥4e 4，即4e 4－25e 2＋25≤0，解得54≤e 2≤5，52≤e ≤ 5.故双曲线离心率的取值范围为52， 5. 答案：52， 5一、选择题1．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13 B.12 C.23D.34解析：选B 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c,0)，则直线l 的方程为x c ＋y b ＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc |b 2＋c 2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12.2．(2016·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32C. 3D ．2解析：选A 法一：作出示意图如图所示，离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝ 2.法二：因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a.又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13，即|MF 2|＝3|MF 1|.由双曲线的定义得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b 2a ，所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝ca＝ 2.3．(2018·宝鸡质检)已知双曲线C ：mx 2＋ny 2＝1(mn <0)的一条渐近线与圆x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0相切，则C 的离心率等于( )A.53 B.54 C.53或2516D.53或54解析：选D 当m <0，n >0时，圆x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1，则圆心为M (3,1)，半径R ＝1，由mx 2＋ny 2＝1，得y 21n －x 2－1m＝1，则双曲线的焦点在y轴上，对应的一条渐近线方程为y ＝±a b x ，设双曲线的一条渐近线为y ＝ab x ，即ax －by ＝0.∵一条渐近线与圆x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0相切，∴圆心到直线的距离d ＝|3a －b |a 2＋b 2＝1，即|3a－b |＝c ，平方得9a 2－6ab ＋b 2＝c 2＝a 2＋b 2，所以8a 2－6ab ＝0，即4a －3b ＝0，b ＝43a ，平方得b 2＝169a 2＝c 2－a 2，所以c 2＝259a 2，c ＝53a ，故离心率e ＝c a ＝53；当m >0，n <0时，双曲线的渐近线为y ＝±bax ，设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0， ∴|3b －a |a 2＋b 2＝1，即9b 2－6ab＋a 2＝c 2＝a 2＋b 2，∴8b 2－6ab ＝0，即4b ＝3a ，平方得16b 2＝9a 2，即16(c 2－a 2)＝9a 2，可得e ＝54.综上，e ＝53或54.4．(2018·广西三市第一次联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P 是双曲线C 右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，若直线PF 1与圆x 2＋y 2＝a 2相切，则双曲线的离心率为( )A.43B.53 C ．2D ．3解析：选B 取线段PF 1的中点为A ，连接AF 2，又|PF 2|＝|F 1F 2|，则AF 2⊥PF 1.∵直线PF 1与圆x 2＋y 2＝a 2相切，∴|AF 2|＝2a .∵|PA |＝12|PF 1|＝a ＋c ，∴4c 2＝(a ＋c )2＋4a 2，化简得(3c －5a )(a ＋c )＝0，则双曲线的离心率为53.5．已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是椭圆上一点(异于左、右顶点)，过点P 作∠F 1PF 2的角平分线交x 轴于点M ，若2|PM |2＝|PF 1|·|PF 2|，则该椭圆的离心率为( )A.12 B.22 C.32D.33解析：选B 记∠PF 1F 2＝2α，∠PF 2F 1＝2β，则有∠F 1MP ＝2β＋π－(2α＋2β)2＝π2＋(β－α)，sin ∠F 1MP ＝cos(α－β)＝sin ∠F 2MP ，则椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝sin (2α＋2β)sin 2α＋sin 2β＝2sin (α＋β)cos (α＋β)2sin (α＋β)cos (α－β)＝cos (α＋β)cos (α－β).由已知得2|PM ||PF 1|＝|PF 2||PM |，即2sin 2αcos (α－β)＝cos (α－β)sin 2β，2sin 2αsin2β＝cos 2(α－β)，cos(2α－2β)－cos(2α＋2β)＝cos 2(α－β)，即[2cos 2(α－β)－1]－[2cos 2(α＋β)－1]＝cos 2(α－β)，cos 2(α－β)＝2cos 2(α＋β)，cos (α＋β)cos (α－β)＝22＝e ，所以该椭圆的离心率e ＝22.6．(2018·云南11校跨区调研)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，直线4x －3y ＋20＝0过点F 且与C 在第二象限的交点为P ，O 为原点，若|OP |＝|OF |，则C 的离心率为( )A ．5B. 5C.53D.54解析：选A 依题意得F (－5,0)，|OP |＝|OF |＝5，tan ∠PFO ＝43，cos ∠PFO ＝35，|PF |＝2|OF |cos ∠PFO ＝6.记双曲线的右焦点为F 2，则有|FF 2|＝10.在△PFF 2中，|PF 2|＝|PF |2＋|FF 2|2－2|PF |·|FF 2|·cos ∠PFF 2＝8.由双曲线的定义得a ＝12(|PF 2|－|PF |)＝1，则C的离心率为e ＝ca＝5.7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，若双曲线右支上存在两点B ，C使得△ABC 为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)解析：选C如图，由△ABC 为等腰直角三角形，所以∠BAx ＝45°. 设其中一条渐近线与x 轴的夹角为θ，则θ＜45°，即tan θ＜1. 又其渐近线的方程为y ＝b a x ，则ba ＜1，又e ＝ 1＋b 2a2，所以1＜e ＜2，故双曲线的离心率e 的取值范围为(1，2)．8．(2018·广东五校协作体诊断)已知点F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与双曲线交于M ，N 两点，若MF 1―→·NF 1―→>0，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(2，2＋1)B ．(1，2＋1)C ．(1，3)D ．(3，＋∞)解析：选B 设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，依题意可得c 2a 2－y 2b 2＝1，所以y ＝±b 2a ，不妨设M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，N ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a ，则MF 1―→·NF 1―→＝－2c ，－b 2a ·⎝⎛⎭⎫－2c ，b 2a ＝4c 2－b 4a 2>0，得到4a 2c 2－(c 2－a 2)2>0，即a 4＋c 4－6a 2c 2<0，故e 4－6e 2＋1<0，解得3－22<e 2<3＋22，又e >1，故1<e 2<3＋22，得1<e <1＋ 2.9．(2018·贵阳检测)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫1，52 B.⎝⎛⎭⎫52，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫1，54 D.⎝⎛⎭⎫54，＋∞解析：选B 依题意，注意到题中的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，且“右”区域是由不等式组⎩⎨⎧y <b a x ，y >－ba x所确定，又点(2,1)在“右”区域内，于是有1<2b a ，即b a >12，因此题中的双曲线的离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2∈⎝⎛⎭⎫52，＋∞.10.过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F .若13<k <12，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫14，34 B.⎝⎛⎭⎫23，1 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选C 由题意可知，|AF |＝a ＋c ，|BF |＝a 2－c 2a ，于是k ＝a 2－c 2a (a ＋c ).又13<k <12，所以13<a 2－c 2a (a ＋c )<12，化简可得13<1－e 21＋e <12，从而可得12<e <23. 11．已知F 1，F 2是双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆内，则双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)解析：选A 如图，不妨设F 1(0，c )，F 2(0，－c )，则过点F 1与渐近线y ＝ab x 平行的直线为y ＝ab x ＋c .联立⎩⎨⎧y ＝ab x ＋c ，y ＝－ab x ，解得⎩⎨⎧x ＝－bc 2a，y ＝c2，即M ⎝⎛⎭⎫－bc 2a ，c 2. 因为点M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2内，故⎝⎛⎭⎫－bc 2a 2＋⎝⎛⎭⎫c22＜c 2，化简得b 2＜3a 2，即c 2－a 2＜3a 2，解得ca＜2，所以双曲线的离心率的取值范围为(1,2)．12．(2018·湘中名校联考)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，与双曲线的渐近线交于C ，D 两点，若|AB |≥35|CD |，则双曲线离心率的取值范围为( )A.53，＋∞ B.54，＋∞ C ．1，53D ．1，54解析：选B 将x ＝c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y ＝±b 2a ，不妨取A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a ，所以|AB |＝2b 2a .将x ＝c 代入双曲线的渐近线方程y ＝±b a x ，得y ＝±bc a ，不妨取C ⎝⎛⎭⎫c ，bc a ，D ⎝⎛⎭⎫c ，－bc a ，所以|CD |＝2bc a .因为|AB |≥35|CD |，所以2b 2a ≥35×2bc a ，即b ≥35c ，则b 2≥925c 2，即c 2－a 2≥925c 2，即1625c 2≥a 2，所以e 2≥2516，所以e ≥54. 二、填空题13.(2018·洛阳第一次统考)设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点为A .B ，C 是椭圆E 上关于原点对称的两点(B ，C 均不在x 轴上)，若直线BF 平分线段AC ，则E 的离心率为________．解析：法一：设AC 的中点为M (x 0，y 0)，依题意得点A (a,0)，C (2x 0－a,2y 0)，B (a －2x 0，－2y 0)，F (c,0)，其中y 0≠0.由B ，F ，M 三点共线得k BF ＝k BM ，2y 0c －a ＋2x 0＝3y 03x 0－a≠0，化简得a ＝3c ，因此椭圆E 的离心率为13.法二：连接AB ，记AC 的中点为M ，B (x 0，y 0)，C (－x 0，－y 0)，则在△ABC 中，AO ，BM 为中线，其交点F 是△ABC 的重心．又F (c,0)，由重心坐标公式得c ＝x 0－x 0＋a3，化简得a ＝3c ，因此椭圆E 的离心率为13.答案：1314．(2018·湖北部分重点高中联考)已知双曲线C 2与椭圆C 1：x 24＋y 23＝1具有相同的焦点，则两条曲线相交的四个交点形成的四边形面积最大时双曲线C 2的离心率为__________．解析：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知a 2＋b 2＝4－3＝1，由⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，x 2a 2－y2b 2＝1，解得交点的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4a 2，y 2＝3(1－a 2)，由椭圆和双曲线关于坐标轴对称知，以它们的交点为顶点的四边形是长方形，其面积S ＝4|xy |＝44a 2·3(1－a 2)＝83·a 2·1－a 2≤83·a 2＋1－a 22＝43，当且仅当a 2＝1－a 2，即a 2＝12时，取等号，此时双曲线的方程为x 212－y 212＝1，离心率e ＝ 2.答案： 215．已知点A (3,4)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，则当椭圆的中心到直线x ＝a 2a 2－b 2的距离最小时，椭圆的离心率为__________．解析：因为点A (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的点，所以9a 2＋16b 2＝1，所以b 2＝16a 2a 2－9.因为a >b >0，所以1＝9a 2＋16b 2>9a 2＋16a 2＝25a2，从而a 2>25.设椭圆的中心到直线x ＝a 2a 2－b 2的距离为d ，则d ＝a 2a 2－b 2＝a 4a 2－16a 2a 2－9＝a 21－16a 2－9＝a 2(a 2－9)a 2－25＝a 2－25＋400a 2－25＋41≥ 2400＋41＝9，当且仅当a 2－25＝400a 2－25，即a 2＝45时，等号成立，此时b 2＝20，c 2＝25，于是离心率e ＝c a ＝2545＝535＝53.答案：5316．已知抛物线y ＝14x 2的准线过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴的一个端点，且双曲线C 与直线l ：x ＋y ＝1相交于两点A ，B .则双曲线C 的离心率e 的取值范围为________．解析：抛物线y ＝14x 2化为x 2＝4y ，所以准线为y ＝－1，所以双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴的一个端点为(0，－1)，即b ＝1，所以双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－a 2y 2－a 2＝0，x ＋y ＝1，消去y ，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0. ∵与双曲线交于两点A ，B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0⇒0<a 2<2且a 2≠1. 而b ＝1，则c ＝a 2＋b 2＝a 2＋1， ∴离心率e ＝ca ＝a 2＋1a ＝1＋1a2> 1＋12＝62，且e ＝1＋1a2≠2， ∴e 的取值范围为⎝⎛⎭⎫62，2∪(2，＋∞)．答案：⎝⎛⎭⎫62，2∪(2，＋∞)增分点简化解析几何运算的5个技巧中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．思想为指导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量简化，使解题构筑在较高的水平上．[典例] 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A.2B. 3C.32D.62[方法演示]解析：由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设双曲线C 2的实半轴长为a ，由椭圆及双曲线的定义和已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|＋|AF 2|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|AF 1|2＋|AF 2|2＝12，解得a 2＝2，故a ＝ 2.所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝62. 答案：D [解题师说]本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1|，|AF 2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．[应用体验]1．抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则|PF ||PA |的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，由抛物线的定义，知|PF |＝x P ＋m ，又|PA |2＝(x P ＋m )2＋y 2P ＝(x P ＋m )2＋4mx P ，则⎝⎛⎭⎫|PF ||PA |2＝(x P ＋m )2(x P ＋m )2＋4mx P ＝11＋4mx P (x P ＋m )2≥11＋4mx P (2x P ·m )2＝12(当且仅当x P ＝m 时取等号)，所以|PF ||PA |≥22，所以|PF ||PA |的最小值为22. 答案：22对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦的中点的轨迹方程的问题时，常常可以用“代点法”求解．[典例] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的标准方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 [方法演示]解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，①②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2a 2.又k AB ＝0＋13－1＝12，所以b 2a 2＝12.又9＝c 2＝a 2－b 2，解得b 2＝9，a 2＝18，所以椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.答案：D [解题师说]本题设出A ，B 两点的坐标，却不求出A ，B 两点的坐标，巧妙地表达出直线AB 的斜率，通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．[应用体验]2．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴－b 2a 2＝－12，∴a 2＝2b 2.又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22.即椭圆C 的离心率e ＝22. 答案：22来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．[典例] 已知椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM ，AN 交椭圆于M ，N 两点．(1)当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2)当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．[方法演示]解：(1)直线AM 的斜率为1时，直线AM 的方程为y ＝x ＋2，代入椭圆方程并化简得5x 2＋16x ＋12＝0.解得x 1＝－2，x 2＝－65，所以M ⎝⎛⎭⎫－65，45. (2)设直线AM 的斜率为k ，直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1，化简得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0. 则x A ＋x M ＝－16k 21＋4k 2，x M ＝－x A －16k 21＋4k 2＝2－16k 21＋4k 2＝2－8k21＋4k 2.同理，可得x N ＝2k 2－8k 2＋4.由(1)知若存在定点，则此点必为P ⎝⎛⎭⎫－65，0. 证明如下：因为k MP ＝y Mx M ＋65＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2＋22－8k 21＋4k 2＋65＝5k4－4k 2，同理可计算得k PN ＝5k4－4k 2. 所以直线MN 过x 轴上的一定点P ⎝⎛⎭⎫－65，0. [解题师说]本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出x M ＝2－8k 21＋4k 2，这体现了整体思路．这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量．[应用体验]3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，左、右焦点分别为F 1，F 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的内切圆半径为327，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解：(1)由c a ＝12，得a ＝2c ，所以a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，将点P ⎝⎛⎭⎫1，32的坐标代入椭圆方程得c 2＝1，故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)可知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1，代入椭圆方程，整理得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0，显然判别式大于0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，△AF 2B 的内切圆半径为r 0，则有y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t2，r 0＝327，所以S △AF 2B ＝S △AF 1F 2＋S △BF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12|F 1F 2|·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12t 2＋14＋3t 2.而S △AF 2B ＝12|AB |r 0＋12|BF 2|r 0＋12|AF 2|r 0＝12r 0(|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|) ＝12r 0(|AF 1|＋|BF 1|＋|BF 2|＋|AF 2|) ＝12r 0·4a ＝12×8×327＝1227，所以12t 2＋14＋3t 2＝1227，解得t 2＝1，因为所求圆与直线l 相切，所以半径r ＝2t 2＋1＝2，所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.解题方法和技巧之一．[典例] 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29＝1 [方法演示]解析：由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，可设双曲线的方程为x 2－y 23＝λ(λ＞0)．因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，所以F (－6,0)是双曲线的左焦点，即λ＋3λ＝36，λ＝9，所以双曲线的方程为x 29－y 227＝1.答案：B [解题师说]本题利用了共渐近线系双曲线方程，可使问题马上得到解决．避免了复杂的判断、可能的分类讨论、繁杂的解方程组，事半功倍．[应用体验]4．圆心在直线x －y －4＝0上，且经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0B ．x 2＋y 2－x ＋7y －16＝0C ．x 2＋y 2－4x ＋4y ＋9＝0D ．x 2＋y 2－4x ＋4y －8＝0解析：选A 设经过两圆的交点的圆的方程为 x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0，即x 2＋y 2＋61＋λx ＋6λ1＋λy －4＋28λ1＋λ＝0，其圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，又圆心在直线x －y －4＝0上，所以－31＋λ＋3λ1＋λ－4＝0，解得λ＝－7，故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍．常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件．[典例] 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |＞ 3.[方法演示]证明：法一：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件，得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b 2＝1，消去y 0并整理，得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.①由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0. 而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝⎛⎭⎫a b 2＋4. 又a ＞b ＞0，故(1＋k 2)2＞4k 2＋4，即k 2＋1＞4，因此k 2＞3，所以|k |＞ 3.法二：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，得x 20a 2＋k 2x 20b2＝1.因为a ＞b ＞0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a 2＜1，即(1＋k 2)x 20＜a 2.②由|AP |＝|OA |及A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a1＋k 2，代入②，得(1＋k 2)·4a 2(1＋k 2)2＜a 2，解得k 2＞3，所以|k |＞ 3.法三：设P (a cos θ，b sin θ)(0≤θ＜2π)，则线段OP 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2cos θ，b2sin θ. |AP |＝|OA |⇔AQ ⊥OP ⇔k AQ ×k ＝－1. 又A (－a,0)，所以k AQ ＝b sin θ2a ＋a cos θ，即b sin θ－ak AQ cos θ＝2ak AQ .从而可得|2ak AQ |≤b 2＋a 2k 2AQ ＜a 1＋k 2AQ ，解得|k AQ |＜33，故|k |＝1|k AQ |＞ 3. [解题师说]求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量． [应用体验]5．(2018·长春质检)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且离心率为12，点P 为椭圆上一动点，△F 1PF 2面积的最大值为 3.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的左顶点为A 1，过右焦点F 2的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，连接A 1A ，A 1B 并延长分别交直线x ＝4于R ，Q 两点，问RF 2―→·QF 2―→是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．解：(1)已知椭圆的离心率为12，不妨设c ＝t ，a ＝2t ，则b ＝3t ，其中t ＞0，当△F 1PF 2面积取最大值时，点P 为短轴端点，因此12·2t ·3t ＝3，解得t ＝1，则椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)可知F 2(1,0)，A 1(－2,0)．设直线AB 的方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1，可得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，则y 1＋y 2＝－6m4＋3m 2，①y 1y 2＝－94＋3m 2，②直线AA 1的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，直线BA 1的方程为y ＝y 2x 2＋2(x ＋2)，则R ⎝⎛⎭⎫4，6y 1x 1＋2，Q ⎝⎛⎭⎫4，6y 2x 2＋2，F 2R ―→＝⎝⎛⎭⎫3，6y 1x 1＋2，F 2Q ―→＝⎝⎛⎭⎫3，6y 2x 2＋2，则F 2R ―→·F 2Q ―→＝9＋6y 1x 1＋2·6y 2x 2＋2＝6y 1my 1＋3·6y 2my 2＋3＋9＝36y 1y 2m 2y 1y 2＋3m (y 1＋y 2)＋9＋9，将①②两式代入上式，整理得F 2R ―→·F 2Q ―→＝0，即F 2R ―→·F 2Q ―→为定值0.1．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33 B.23 C.22D ．1解析：选C 如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0＞0)，则y 20＝2px 0，即x 0＝y 202p.设M (x ′，y ′)，由PM ―→＝2MF ―→，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′－x 0＝2⎝⎛⎭⎫p 2－x ′，y ′－y 0＝2(0－y ′)，化简可得⎩⎨⎧x ′＝p ＋x03，y ′＝y3.∴直线OM 的斜率为k ＝y 03p ＋x 03＝y 0p ＋y 202p ＝2p 2p 2y 0＋y 0≤2p 22p 2＝22(当且仅当y 0＝2p 时取等号)．2．设双曲线x 2a ＋y 2b ＝1的一条渐近线为y ＝－2x ，且一个焦点与抛物线y ＝14x 2的焦点相同，则此双曲线的方程为( )A.54x 2－5y 2＝1 B ．5y 2－54x 2＝1C ．5x 2－54y 2＝1D.54y 2－5x 2＝1 解析：选D 因为x 2＝4y 的焦点为(0,1)，所以双曲线的焦点在y 轴上．因为双曲线的一条渐近线为y ＝－2x ，所以设双曲线的方程为y 2－4x 2＝λ(λ＞0)，即y 2λ－x 2λ4＝1，则λ＋λ4＝1，λ＝45，所以双曲线的方程为54y 2－5x 2＝1.3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c,0)，P 为双曲线上任一点，且PF 1―→·PF 2―→最小值的取值范围是⎣⎡⎦⎤－34c 2，－12c 2，则该双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1，2]B ．[2，2]C ．(0，2]D ．[2，＋∞)解析：选B 设P (x 0，y 0)，则PF 1―→·PF 2―→＝(－c －x 0，－y 0)·(c －x 0，－y 0)＝x 20－c 2＋y 20＝a2⎝⎛⎭⎫1＋y 20b 2－c 2＋y 20，上式当y 0＝0时取得最小值a 2－c 2，根据已知－34c 2≤a 2－c 2≤－12c 2，所以14c 2≤a 2≤12c 2，即2≤c 2a 2≤4，即2≤c a ≤2，所以所求离心率的取值范围是[2，2]．4．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，斜率为43的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF ―→＝λFB ―→(λ＞1)，则λ的值为( )A ．5B ．4 C.43D.52解析：选B 根据题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AF ―→＝λFB ―→，得⎝⎛⎭⎫p 2－x 1，－y 1＝λ⎝⎛⎭⎫x 2－p 2，y 2，故－y 1＝λy 2，即λ＝－y 1y 2.设直线AB 的方程为y ＝43⎝⎛⎭⎫x －p 2，联立直线与抛物线方程，消去x ，得y 2－32py －p 2＝0.故y 1＋y 2＝32p ，y 1y 2＝－p 2，则(y 1＋y 2)2y 1y 2＝y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－94，即－λ－1λ＋2＝－94.又λ＞1，解得λ＝4.5．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4)解析：选D 设A ⎝⎛⎭⎫y 214，y 1，B ⎝⎛⎭⎫y 224，y 2，M y 21＋y 228，y 1＋y 22，C (5,0)为圆心，当y 1≠－y 2时，k AB ＝4y 1＋y 2，k CM ＝4(y 1＋y 2)y 21＋y 22－40，由k AB ·k CM ＝－1⇒y 21＋y 22＝24，所以M 3，y 1＋y 22，又r 2＝|CM |2＝4＋⎝⎛⎭⎫y 1＋y 222＝10＋12y 1y 2，所以(2r 2－20)2＝y 21y 22，所以y 21，y 22是方程t 2－24t ＋(2r 2－20)2＝0的两个不同的正根，由Δ＞0得2＜r ＜4.所以r 的取值范围是(2,4)．6．中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆方程为( ) A.2x 275＋2y 225＝1 B.x 275＋y 225＝1 C.x 225＋y 275＝1 D.2x 225＋2y 275＝1 解析：选C 由已知得c ＝52，设椭圆的方程为x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，y ＝3x －2，消去y 得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0，设直线y ＝3x －2与椭圆的交点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由根与系数关系得x 1＋x 2＝12(a 2－50)10a 2－450，由题意知x 1＋x 2＝1，即12(a 2－50)10a 2－450＝1，解得a 2＝75，所以该椭圆方程为y 275＋x 225＝1.7．已知双曲线C ：x 22－y 2＝1，点M 的坐标为(0,1)．设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P关于原点的对称点．记λ＝MP ―→·MQ ―→，则λ的取值范围是________．解析：设P (x 0，y 0)，则Q (－x 0，－y 0)，λ＝MP ―→·MQ ―→＝(x 0，y 0－1)·(－x 0，－y 0－1)＝－x 20－y 20＋1＝－32x 20＋2. 因为|x 0|≥2，所以λ≤－1，所以λ的取值范围是(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]8．已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则PA ―→·PB ―→的最小值为________．解析：由题意，设A (cos θ，sin θ)，P (x ，x ＋2)，则B (－cos θ，－sin θ)，∴PA ―→＝(cos θ－x ，sin θ－x －2)， PB ―→＝(－cos θ－x ，－sin θ－x －2)，∴PA ―→·PB ―→＝(cos θ－x )(－cos θ－x )＋(sin θ－x －2)·(－sin θ－x －2) ＝x 2＋(x ＋2)2－cos 2θ－sin 2θ ＝2x 2＋4x ＋3 ＝2(x ＋1)2＋1，当且仅当x ＝－1，即P (－1，1)时，PA ―→·PB ―→取最小值1. 答案：19．设抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，p ＞0)的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l的垂线，垂足为B .设C ⎝⎛⎭⎫72p ，0，AF 与BC 相交于点E .若|CF |＝2|AF |，且△ACE 的面积为32，则p 的值为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (p ＞0)消去t 可得抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，∴F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，|AB |＝|AF |＝12|CF |＝32p ，可得A (p ，2p )．易知△AEB ∽△FEC ， ∴|AE ||FE |＝|AB ||FC |＝12，故S △ACE ＝13S △ACF ＝13×3p ×2p ×12＝22p 2＝32，∴p 2＝6.∵p ＞0，∴p ＝ 6. 答案： 610．已知离心率为63的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点为F ，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点，|AB |＝233. (1)求此椭圆的方程；(2)已知直线y ＝kx ＋2与椭圆交于C ，D 两点，若以线段CD 为直径的圆过点E (－1,0)，。

备战2020高考黄金题系列之数学北京卷压轴专题05 解析几何(第一篇)(解析版)

备战2020高考黄金15题系列之数学选择题压轴题【北京版】专题5 解析几何1．（2020北京人大附中模拟）已知点P 是双曲线22:1169x y E -=的右支上一点，12F F 双曲线E 的左、右焦点，12PF F △的面积为20，则下列说法正确的有( ) A ．点P 的横坐标为203B ．12PF F △的周长为803C ．12F PF ∠小于3π D ．12PF F △的内切圆半径为32【答案】ABCD【解析】因为双曲线22:1169x y E -=，所以5c ==又因为12112102022P P F P F S c y y V =⋅=⋅⋅=，所以4P y = 将其代入22:1169x y E -=得2241169x -=，即203x =，所以选项A 正确；所以P 的坐标为20,43⎛⎫± ⎪⎝⎭，由对称性可知2133PF ==，由双曲线定义可知1213372833PF PF a =+=+=所以1212133721038033PF F C PF PF c V =++=++=，所以选项B 正确；因为122920tan tan 22PF F b S V θθ===，所以9tan tan 2206θπ=<=，即26θπ<，所以123F PF πθ∠=<，所以选项C 正确；因为1212180122320PF F PF F S r C r V V =⋅⋅=⋅⋅=，所以32r =，所以选项D 正确．故选ABCD【押题点】双曲线的焦点三角形问题，双曲线的标准方程及其几何性质2．（2020北京海定区模拟）已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N ．若V OMN 为直角三角形，则|MN |=（）A ．32B ．3C ．D ．4【答案】B【解析】根据题意，可知其渐近线的斜率为(2,0)F ，从而得到30FON ︒∠=，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为2)y x =-，分别与两条渐近线y x =和y x =联立，求得3(,22M N -，所以3MN ==，故选B ．【押题点】双曲线的标准方程及其几何性质3．（2020北京师大附中模拟）已知曲线1:2C y x -=与曲线222:4C x y λ+=怡好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（） A ．(][),10,1-∞-UB ．(]1,1--C ．[)1,1-D ．[]()1,01,-+∞U【答案】C【解析】双曲线1C 的方程为2,022,0y y x y y y -≥⎧=-=⎨--<⎩，所以，曲线1C 的图象与曲线2C 的图象必相交于点()0,2±，为了使曲线1C 与曲线2C 恰好有两个公共点，将2x y =-代入方程224y x λ+=，整理可得()214440y y λλλ+-+-=．①当1λ=-时，2y =满足题意；②当1λ≠-时，由于曲线1C 与曲线2C 恰好有两个公共点，()()2161611160λλλ∴∆=-+-=>，且2是方程()214440y y λλλ+-+-=的根，则()4101λλ-<+，解得11λ-<<．所以，当0y ≥时，11λ-≤<．根据对称性可知，当0y <时，可求得11λ-≤<．因此，实数λ的取值范围是[)1,1-．故选C ．【押题点】双曲线标准方程即其简单几何性质，直线与双曲线的位置关系4．（2020北京101中学模拟）对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该值为点P 到曲线C 的距离，记作(),d P C ，若曲线C 是边长为6的等边三角形，则点集(){|,1}D P d P C =≤所表示的图形的面积为（）A ．36B ．36-C ．36π+D ．36π-【答案】D【解析】点集S ={P |d （P ，l ）≤1}所表示图形如图中的阴影部分所示：其中三个顶点处的扇形正好是一个半径为1的圆，其面积为π，等边三角形ABC 外的三个矩形面积为61318⨯⨯=，等边三角形ABC 内的部分面积为66⨯2(6--故面积和为36π-，故选D ．【押题点】曲线与方程及其应用5．（2020北京东城区模拟）已知抛物线22y px =（0p >）与双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）有相同的焦点F ，点A 是两条曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的倾斜角所在的区间是（） A ．06π⎛⎫⎪⎝⎭，B ．32ππ⎛⎫⎪⎝⎭， C ．43ππ⎛⎫⎪⎝⎭， D ．64ππ⎛⎫⎪⎝⎭，【答案】B【解析】因为抛物线与双曲线焦点相同，所以2p c =，因为AF 与x 轴垂直，所以可求得点A 的坐标为,2p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将其代入双曲线方程可得：222214p p a b-=，因为222b c a =-，代入上式可得：2222241c c a c a-=-，化简得：422460c c a a -+=，两边同时除以4a 得：42610e e -+=，解得23e =+3-（舍），设渐近线斜率为k ，由22222211c b e k a a==+=+，解得223k =+>，所以倾斜角应大于60o ，所以区间可能是,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选B ．【押题点】抛物线与双曲线的几何性质6．（2020北京西城区模拟）已知点A （﹣1，0），B （1，0），C （0，1），直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（）A ．（0，1）B ．112⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， C ．1123⎛⎤- ⎥ ⎝⎦， D ．1132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【答案】B【解析】由题意可得，三角形ABC 的面积为12AB OC ⋅⋅=1，由于直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的交点为M （ba-，0），由直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，可得b ＞0，故ba-≤0，故点M 在射线OA 上．设直线y ＝ax +b 和BC 的交点为N ，则由1y ax b x y =+⎧⎨+=⎩可得点N 的坐标为（11b a -+，1a ba ++）．①若点M 和点A 重合，如图：则点N 为线段BC 的中点，故N （12，12），把A 、N 两点的坐标代入直线y ＝ax +b ，求得a ＝b 13=． ②若点M 在点O 和点A 之间，如图：此时b 13＞，点N 在点B 和点C 之间，由题意可得三角形NMB 的面积等于12，即1122N MB y ⋅⋅=，即 111212b a b a a +⎛⎫⨯+⋅= ⎪+⎝⎭，可得a 212b b=-＞0，求得 b 12＜，故有13＜b 12＜． ③若点M 在点A 的左侧，则b 13＜，由点M 的横坐标b a--＜1，求得b ＞a ．设直线y ＝ax +b 和AC 的交点为P ，则由 1y ax b y x =+⎧⎨=+⎩求得点P 的坐标为（11b a --，1a ba --），此时，由题意可得，三角形CPN 的面积等于12，即 12•（1﹣b ）•|x N ﹣x P |12=，即12（1﹣b ）•|1111b b a a ---+-|12=，化简可得2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|．由于此时 b ＞a ＞0，0＜a ＜1，∴2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|＝1﹣a 2 ．两边开方可得（1﹣b ）=1，∴1﹣b，化简可得 b ＞12-，故有12-b 13＜．综上可得b 的取值范围应是 112⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，故选B ．【押题点】点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用7．（2020北京模拟）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是 A ．① B ．②C ．①②D ．①②③【答案】C【解析】由221x y x y +=+得，221y x y x -=-，2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭厔，所以x 可为的整数有0，-1，1，从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0，1)，(0，-1)，(1，0)，(1，1)，(-1，0)，(-1，1)六个整点，结论①正确．由221x y x y +=+得，222212x y x y +++…，解得222x y +≤，所以曲线C 上任意一点到原点的距离都．结论②正确．如图所示，易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -，四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=，很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ，即“心形”区域的面积大于3，说法③错误．故选C ．【押题点】曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用8．（2020北京101中学模拟）已知两圆C 1：（x -4）2+y 2=169，C 2：（x +4）2+y 2=9．动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程是（）A ．2216448x y -=B ．2214864x y +=C ．2214864x y -=D ．2216448x y +=【答案】D【解析】设动圆的圆心(),M x y ，半径为r圆M 与圆1C ：()224169x y -+=内切，与C 2：()2249x y ++=外切．所以1213,3MC r MC r =-=+．1212+168MC MC C C =>=由椭圆的定义，M 的轨迹是以12,C C 为焦点，长轴为16的椭圆．则8,4a c ==，所以2228448b =-=动圆的圆心M 的轨迹方程为：2216448x y +=，故选D 。

高考数学复习总结专题05 立体几何(选择题、填空题) (解析版)

立体几何（选择题、填空题）1.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）515 1 5 1 5 1A. B. C. D.4 2 4 2【答案】C【解析】【分析】1设C D a,PE b，利用P O2 CD PE 得到关于a,b的方程，解方程即可得到答案.22a【详解】如图，设C D a,PE b，则P O PE 2 2 2 ，OE b41 a2 1 b b由题意P O2 ab，即b 2 ab，化简得4() 2 210，2 4 2 a ab1 5解得（负值舍去）.a 4故选：C.【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.2.【2020年高考全国I I卷理数】如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（）A. EB. FC.GD.H【答案】A【解析】【分析】根据三视图，画出多面体立体图形，即可求得M 点在侧视图中对应的点.【详解】根据三视图，画出多面体立体图形，D D B C上的点在俯视图中对应的点为N,3 4上的点在正视图中都对应点M,直线1 4∴在正视图中对应M ,在俯视图中对应N 的点是D4,线段D D,上的所有点在侧试图中都对应E ,∴点3 4D4在侧视图中对应的点为E .故选：A【点睛】本题主要考查了根据三视图判断点的位置，解题关键是掌握三视图的基础知识和根据三视图能还原立体图形的方法，考查了分析能力和空间想象，属于基础题.A, B,C 为球O 的球面上的三个点，⊙O为 A B C的外接圆，若⊙O3. 【2020 年高考全国Ⅰ卷理数】已知11的面积为 4π ， AB BC AC OO ，则球O的表面积为（）1A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π【答案】A 【解析】【分析】由已知可得等边 AB C 的外接圆半径，进而求出其边长，得出O O的值，根据球的截面性质，求出球的半 1径，即可得出结论. 【详解】设圆O半径为，球的半径为 R ，依题意， r 14,r 2 ， A B C为等边三角形，得r2由正弦定理可得 AB 2rsin 60 2 3 ，O O AB 2 3 ，根据球的截面性质O O 平面 ABC ， 11 O O O A ,R OA O O2 O A 2 OO 1 2 r 4 ， 21 1 1 1 O 球2 的表面积 S 4R 64 .故选：A【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 4. 【2020 年高考全国Ⅲ理数】下图为某几何体的三视图，则该几何体的的表面积是（）A.6+4 2B.4+4 2C.6+2 3D.4+2 3【答案】C【解析】【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形1根据立体图形可得：S△ABC S△AD C S△C DB 22 22根据勾股定理可得：AB A D DB 2 2△A DB是边长为22的等边三角形根据三角形面积公式可得：1 1 3S △A D B AB AD s in60(22) 2 2 32 2 2该几何体的表面积是：3223623.故选：C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题. 5. 【2020 年高考全国 I I 卷理数】已知△ABC 是面积为若球 O 的表面积为 16π，则 O 到平面 ABC 的距离为（ 3 9 34的等边三角形，且其顶点都在球 O 的球面上. ）3 A. 3 B.C. 1D.22【答案】C 【解析】【分析】根据球O 的表面积和 ABC 的面积可求得球O 的半径 R 和 AB C 外接圆半径，由球的性质可知所求距r 离 2 2 .d R r 【详解】设球O 的半径为 R ，则 4 R 16 ，解得： R 2 . 2 设 AB C 外接圆半径为，边长为 a，r 9 3ABC是面积为的等边三角形， 41 3 9 32 a 22 9 a 2 ，解得： a 3，r a 2 93 ， 2 24 3 4 3 4球心 O 到平面 ABC 2 2 的距离d R r 43 1.故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.6. 【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】已知三棱锥 P −AB C 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=P C ，△ABC 是边长为 2 的正三角形，E ，F 分别是 PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球 O 的体积为A ．8 6B ． 4 6 D ． 6C ． 2 6 【答案】D【解析】解法一： PA P B PC, ABC 为边长为 2 的等边三角形，P ABC为正三棱锥，△ PB AC ，又 E ， F 分别为 PA ， AB 的中点，EF ∥PB ，EF AC ，又 EF CE ，C E AC C,EF 平面 PAC ，∴ PB 平面 PAC ，APB PA PB PC 2 ，P ABC 为正方体的一部分， 2R 2 2 2 6 ，即6 4 4 6 68 R, V R 3 π 6，故选 D ． P A, AB 2 3 3解法二：设 PA PB PC 2x ，E, F 分别为的中点， 1EF ∥PB ，且 EF PB x ，△ABC 为边长为 2 的等边三角形，C F 3 ，21 又 CEF 90，CE 3 x 2, AE PA x ， 2 x 243 x 22 x2△AEC 中，由余弦定理可得 cos EAC作 PD AC 于 D ，，A D 1 x 2 4 3 x 4x 21PA PC \ D AC cos EAC ，，为的中点，，PA 2x 2x1 2 2x 2 1 2，x 2，x ，PA PB PC 2 ，2 2又 AB=B C=A C=2 ， PA , PB , PC 两两垂直，6 2R 2 2 2 6 ，R，24 4 6 68 V R 3 6 ，故选 D. 3 3【名师点睛】本题主要考查学生的空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．7. 【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线【答案】BB ．α内有两条相交直线与β平行 D ．α，β垂直于同一平面【解析】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是∥的充分条件，由面面平行性质定理知，若∥，则必要条件，故选 B ．内任意一条直线都与平行，所以平行是∥内两条相交直线都与的【名师点睛】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若 a ,b ,a b ，则 ∥ ∥”此类的错误．8. 【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】如图，点 N 为正方形 AB C D 的中心，△EC D 为正三角形，平面 EC D ⊥平面 ABC D ，M 是线段 E D 的中点，则A ．B M =E N ，且直线 B M ，EN 是相交直线 B ．B M ≠EN ，且直线 B M ，E N 是相交直线C ．B M =E N ，且直线 B M ，E N 是异面直线D ．B M ≠EN ，且直线 B M ，EN 是异面直线【答案】B【解析】如图所示，作 EO C D 于O ，连接O N ，B D ，易得直线 B M ，E N 是三角形 EB D 的中线，是相交直线.过 M 作 MF OD 于 F ，连接 BF ，AB C D ，E O C D, E O 平面C DE ，EO平面C D E 平面平面 ABC D ， M F 平面 AB C D ，△MFB 与△EO N 均为直角三角形．设正方形边长为 2 ，易知 E O 3,ON 1,EN 2 ，3 5M F,BF ,BM 7 ，B M EN ，故选 B ．2 2【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形.解答本题时，先利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．9. 【2018 年高考全国Ⅰ卷理数】某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图．圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A ，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B ，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为A ． 2 17B ． 2 5 D ．2C ．3 【答案】B【解析】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，知点 M 在上底面上，点 N 在下底面上，且可以确定点 M 和点 N 分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为，故选 B ．【名师点睛】该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.10. 【2018 年高考全国Ⅰ卷理数】已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为3 342 3 3 A ．C ．B ．D ．3 2 43 2【答案】A【解析】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，AB C D A B C D 中，1所以在正方体 1 1 1AB D AA , A B , A D 所成的角是相等的，11 11 1平面与线 1 1AB D 所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，11 C BD 1同理，平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，AB D C BD要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与1中间，且过棱的中点的正六边形，且1 12边长为，223 2 3 34所以其面积为S 6，故选A.4 2【名师点睛】该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.即首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.11.【2018年高考全国Ⅲ卷理数】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是【答案】A【解析】本题主要考查空间几何体的三视图.由题意知，俯视图中应有一不可见的长方形，且俯视图应为对称图形.故选A．12.【2018年高考全国Ⅲ卷理数】设A ，，，是同一个半径为的球的球面上四点，△A B C 为等边三B C D 4角形且其面积为A．12 3，则三棱锥D ABC 体积的最大值为9 3B．18 3D．54 3C．24 3【答案】B【解析】如图所示，设点 M 为三角形 ABC 的重心，E 为 AC 中点，当点 D 在平面 ABC 上的射影为 M 时，三棱锥 D ABC 的体积最大，此时，O D OB R 4，3 S △AB CAB 9 3 ，AB 6 ,点 M 为三角形 ABC 的重心，2 4 2B M BE 2 3 ，3 Rt △OB M 中，有O M OB 2 2 2，D M O D O M 4 2 6，B M1V DABCm ax9 36 18 3 ，故选 B. 3【名师点睛】本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当点 D 在平面 ABC 上的射影为三角形 AB C 的重心时，三棱锥 DABC 体积最大很关键，2由 M 为三角形 ABC 的重心，计算得到 B M BE 2 3 ，再由勾股定理得到 O M ，进而得到结果， 3属于较难题型.13. 【2018 年高考全国Ⅱ卷理数】在长方体 AB C D A B C D 中，AB BC 1，AA 3 ，则异面直线 A D 与 1 1 1 1 11 D B 所成角的余弦值为1 1 A ．5 5 B ． D ．6 5 2 C ．52【答案】C【解析】方法一：用一个与原长方体相同的长方体拼到原长方体的前面，B P ∥A D D B DP= 5B P 2，，则11如图，则 1，连接 DP ，易求得 1 DB P A D DB与所成的角，11是异面直线1 D B2 1 B P 2 DP 25 4 5 5 由余弦定理可得cos DB P 1. 12DB PB 4 5 5 1 1故选 C.方法二：以 D 为坐标原点，DA,D C,D D 所在直线分别为 x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系， 1D 0, 0, 0, A 1, 0, 0,B 1, 1, 3,D 0, 0, 3A D1, 0, 3 ,DB 1, 1, 3 ,则 ,所以 1 1 1 1cos AD , DB A D DB A D DB 1 3 2 5 5 1 1因为， 1 15 1 15 A D DB 所以异面直线与所成角的余弦值为 1，故选 C. 15【名师点睛】先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出直线的方向向量或平面的法向量；第四，破“应用公式关”. ABC A B C 中， ABC 120 BC CC 1，AB 2 ，，113. 【2017 年高考全国Ⅱ卷理数】已知直三棱柱1 1 1 AB BC 所成角的余弦值为1则异面直线与 13 15 5 A ．B ．D ．2 103 C ． 53【答案】CAB C D A B C D ，1【解析】如图所示，补成直四棱柱 1 1 1则所求角为 BC D,BC 2, BD 2 21 221cos 60 3,C D AB 5 ，11 1 1 BC12 5105 易得 C D 12 BD 2BC 12 ，因此cos BC D，故选 C ． 1C D1【名师点睛】平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,]，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面2直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．14.【2017年高考全国Ⅰ卷理数】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10 B．12D．16C．14【答案】B【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为12(24)212，故选．B2【名师点睛】三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图.15.【2017年高考全国Ⅱ卷理数】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A．90 C．42B．63 D．36【答案】B【解析】由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积V 32 436，上半部分是一个底面半径为，高为的圆柱的一半，其体积3 611 V (3 26) 27，故该组合体的体积V V V36 27 63．21 2 2故选 B ．【名师点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．16. 【2017 年高考全国Ⅲ卷理数】已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为3π π A ．C ．B ．D ．4 π π24【答案】B【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示：21 1 3 由题意可得： AC 1, AB ，结合勾股定理，底面半径 r 1 2，2 2 223 3由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是V πr 2h π 1 π ，故选 B.2 4【名师点睛】（1）求解空间几何体体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.17. 【2020 年高考全国 I I 卷理数】设有下列四个命题： p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.1p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面.2p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.3p ：若直线 l 平面α，直线 m ⊥平面α，则 m ⊥l . 4则下述命题中所有真命题的序号是__________.p p p p p ppp③④122334① ② 1 4【答案】①③④【解析】【分析】p p2利用两交线直线确定一个平面可判断命题的真假；利用三点共线可判断命题的真假；利用异面直线可1p p4判断命题的真假，利用线面垂直的定义可判断命题的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.3p1l1l2【详解】对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；l l若与相交，则交点A 在平面内，3 1l l同理，与的交点B 也在平面内，3 2所以，AB ，即l3，命题为真命题；p1p2对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，p命题为假命题；2p对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，3p命题为假命题；3p4，若直线m 平面，对于命题m 垂直于平面则内所有直线，直线l 平面，直线m 直线，lp命题为真命题.4综上可知，，为真命题，，为假命题，p p p p为假命题，1 2为真命题，1 4p p p p为真命题.3 4为真命题，2 3故答案为：①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.18. 【2020 年高考全国Ⅲ理数】已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________． 2 【答案】 3【解析】【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值. 【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，B C 2, AB AC 3 其中，且点 M 为 BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O ，1由于A M 3 2 1 22 2 ，故 S △ABC2 2 2 2 2 ， 2r设内切圆半径为，则：1 1 1 S △AB C S △A O B S △BO C S △A O C AB r BC r AC r2 2 21 3 3 2r2 2 ，22 4 2解得： r =，其体积：V r 3 . 2 3 32故答案为：. 3【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.19. 【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体AB C D A B C D 挖去四棱锥 O —EF G H 后所得的几何体，其中 O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分11 1 1AB = BC = 6 cm, AA = 4 cm 别为所在棱的中点，，3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm 3，不考虑打印 1损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g .【答案】118.81【解析】由题意得， S 46 4 23 12cm 2 ，四边形EF G H2 1∵四棱锥 O −EF G H 的高为 3cm ， ∴V O EF G H 123 12cm 3 ．3AB C D A B C D V 466 144cm，3又长方体的体积为 1 1 1 1 2 所以该模型体积为 VV V144 12 132cm 3 ，其质量为 0.9132 118.8g ．OEF G H2 【名师点睛】本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．根据题意可知模型的体积为长方体体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量即可.20. 【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空 2 分，第二空 3 分．）【答案】26，21【解析】由图可知第一层（包括上底面）与第三层（包括下底面）各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18826个面．x如图，设该半正多面体的棱长为，则AB BE x，延长CB与FE 的延长线交于点G，延长BC交正方体的棱于H ，由半正多面体对称性可知，△BG E 为等腰直角三角形，2 2BG GE C H x,G H 2x x(21)x1，2 21x21，21即该半正多面体的棱长为21．【名师点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键．立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形．721.【2018年高考全国I I卷理数】已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB 所成角的余弦值为，SA与圆锥8 底面所成角为45°，若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．【答案】402π7 15 8【解析】因为母线 SA ， SB 所成角的余弦值为，所以母线 SA ， SB 所成角的正弦值为，因为 81 15 8 △SAB 的面积为5 15 ，设母线长为l ,所以l 2 25 15 ,l80 ， 2π 2因为 SA 与圆锥底面所成角为 45°，所以底面半径为 r l cosl , 4 22 因此圆锥的侧面积为 πr lπl 40 2π. 22【名师点睛】本题考查线面角、圆锥的侧面积、三角形面积等知识点，考查学生空间想象与运算能力. 先根据三角形面积公式求出母线长，再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求结果.22. 【2017 年高考全国 I 卷理数】如图，圆形纸片的圆心为 O ，半径为 5 c m ，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D ，E ，F 为圆 O 上的点，△DB C ，△ECA ，△FA B 分别是以 BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以 BC ，CA ，AB 为折痕折起△DB C ，△ECA ，△FAB ，使得 D ，E ，F 重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为【答案】 4 15.【解析】如下图，连接 DO 交 BC 于点 G ，设 D ，E ，F 重合于 S 点，正三角形的边长为 x(x>0)，则 1 3 3O G x x. 3 2 63FG SG 5x ， 6223 3x3x， SO h SG2GO2 5 x 556 631 1 3 3 15 3 三棱锥的体积V S △ABC h x2 5 5 x 4 x 5 . 5x3 34 3 1233 5 3 设 n x 5x 4x 5 ，x>0，则 n x 20x 3 x 4， 3 3x 4 n x 0 ，即 4x 30，得，易知 n x 在令处取得最大值. x 4 3x 4 3 3 15∴V max 48 5 4 4 15 .12【名师点睛】对于三棱锥最值问题，需要用到函数思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导的方式进行解决.。

2020年新高考(全国卷)数学试卷结构与评析

新高考（全国卷）地区数学试卷结构及题型变化新高考数学考试试卷及试卷结构说明:新高考数学试卷结构:第一大题, 单项选择题, 共8小题, 每小题5分, 共40分；第二大题, 多项选择题, 共4小题, 每小题5分, 部分选对得3分, 有选错得新高考选择题部分分析:①新高考与之前相比, 最大的不同就是增加了多项选择题部分, 选择题部分由原来的12道单选题, 变成了8道单选题与4道多选题。

这有利于缩小学生选择题部分成绩的差距, 过去学生错一道单选题, 可能就会丢掉5分, 在新高考中, 考生部分选对就可以得3分, 在一定程度上保证了得分率。

②新高考的单项选择题部分主要考察学生的基础知识和基本运算能力, 总体上难度不大, 只要认真复习, 一般都可以取得一个较好的成绩。

在多项选择题上, 前两道较为基础, 后两道难度较大, 能够突出高考的选拔性功能, 总体上来看, 学生比以往来讲, 更容易取得一个不错的成绩, 但对于一些数学基础比较的好的同学来说, 这些题比以往应该更有挑战性。

过去, 只需要在四个选项中选一个正确答案, 现在要在四个选项中, 选出多个答案, 比以往来说, 要想准确的把正确答案全部选出来, 确实有一定的难度、③新高考数学试卷的第4题, 第6题和第12题都体现了创新性。

第4题, 以古代知识为背景, 考察同学们的立体几何知识, 这体现了数学考试的价值观导向。

弘扬传统文化的同时也鼓励同学们走进传统文化。

近年来, 对于这类题目也是屡见不鲜, 平时也应该鼓励学生去关注一些古代的数学著作, 如《九章算术》, 《孙子算经》等等, 通过对这些著作的了解, 再遇到这类题目时, 在一定程度上能够减少恐惧感与焦虑感。

第6题则体现了聚焦民生, 关注社会热点。

以新冠疫情为背景, 考察了指数与对数函数, 这也启示我们, 在未来, 数学试卷将会越来越贴近我们的现实生活, 平时我们对这些内容有所关注, 可以减少我们的焦虑感, 增强我们做题的自信心。

2020全国卷Ⅰ高考压轴卷数学(理)含解析

17.（本小题 12 分）
4sin2 A B 4sin Asin B 2 2
△ABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知
2
（1）求角 C 的大小；
（2）已知 b 4 ，△ABC 的面积为 6，求边长 c 的值.
18. （本小题 12 分）
BC CD 1 AB 2
如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PD⊥平面 ABCD，
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8.《九章算术》中有这样一个问题：今有竹九节，欲均减容之（其意为：使容量均匀递减），
上三节容四升，下三节容二升，中三节容几何？（）
A. 二升
B. 三升
C. 四升
D. 五升
9.在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，a 3, c 2
3,bsinA
21. （本小题 12 分）
设函数 f x a2 ln x x2 ax a R .
（1）求 f x 的单调区间；
（2）求使 e 1 f x e2 对 x 1, e 恒成立的 a 的取值范围.
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.
它表示以（﹣1，2）为圆心、半径等于 2 的圆；设弦心距为 d，由题意可得 22+d2=4，求得 d=0，可得直线经过圆心，故有﹣2a﹣2b+2=0，即 a+b=1，再由 a＞0，b＞0，可得
4 1 =（ 4 1 ）（a+b）=5+ 4b a ≥5+2
ab ab
ab
4b a 9 ab
e
e
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2020年高考数学(文数)选择题强化专练——解析几何、立体几何、三角函数与解三角形、函数与导数含答案

（文数）选择题强化专练——解析几何、立体几何、三角函数与解三角形、函数与导数一、选择题（本大题共15小题，共75.0分）1.已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则渐近线方程为（）A. y=±2xB. y=±xC. y=±xD. y=±x2.已知焦点为F的抛物线的方程为，点Q的坐标为（3,4），点P在抛物线上，则点P到y轴的距离与到点Q的距离的和的最小值为（）A. 3B.C.D. 73.过双曲线的左焦点作倾斜角为30°的直线l，若l与y轴的交点坐标为（0，b），则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.4.椭圆2x2-my2=1的一个焦点坐标为（0，），则实数m=（）A. B. C. D.5.在平面直角坐标系中，经过点P（2，-），渐近线方程为y=x的双曲线的标准方程为（）A. B. C. D.6.设m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，且m，n⊂α．则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的（）A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件7.已知四棱锥E-ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，ED=1，平面ECD⊥平面ABCD，当点C到平面ABE的距离最大时，该四棱锥的体积为（）A. B. C. D. 18.已知正方形ABCD的边长为2，CD边的中点为E，现将△ADE，△BCE分别沿AE，BE折起，使得C，D两点重合为一点记为P，则四面体P-ABE外接球的表面积是（）A. B. C. D.9.将函数向右平移个单位后得到函数，则具有性质A. 在上单调递增，为偶函数B. 最大值为1，图象关于直线对称C. 在上单调递增，为奇函数D. 周期为，图象关于点对称10.要得到函数y＝-sin3x的图象，只需将函数y＝sin3x＋cos3x的图象( )A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则b=( )A. B. C. D.12.在中，角的对边分别是，若，则的形状是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形13.函数f(x)＝|log2x|＋x－2的零点个数为()A. 1B. 2C. 3D. 414.已知函数f(x)＝(x<－1)，则()A. f(x)有最小值4B. f(x)有最小值－4C. f(x)有最大值4D. f(x)有最大值－415.若曲线y＝x2与曲线y＝a ln x在它们的公共点P处具有公共切线，则实数a等于()A. 1B.C. －1D. 2答案和解析1.【答案】C【解析】解：双曲线-=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得e==2，即有c=2a，由c2=a2+b2，可得b2=3a2，即b=a，则渐近线方程为y=±x，即为y=±x．故选：C．运用双曲线的离心率公式和a，b，c的关系可得b=a，再由近线方程y=±x，即可得到所求方程．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用离心率公式和a，b，c的关系，考查运算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了抛物线的定义，属于中档题．利用抛物线的定义进行转化，可知当三点共线时满足题设最小要求．【解答】解：如图所示:抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线l：x=-1,过点P作PM⊥l，垂足为M,则|PM|=|PF|,因为Q（3，4）在抛物线外，因此当F、P、Q三点共线时，|PF|+|PQ|取得最小值,也即|PM|+|PQ|最小∴（|PM|+|PQ|）min=（|PF|+|PQ|）min=|QF|=.则点P到y轴的距离与到点Q的距离的和的最小值为．故选B．3.【答案】A【解析】解：直线l的方程为，令x=0，得．因为，所以a2=c2-b2=3b2-b2=2b2，所以．故选：A．求出直线方程，利用l与y轴的交点坐标为（0，b），列出关系式即可求解双曲线的离心率．本题考查直线与双曲线的位置关系以及双曲线的标准方程，考查运算求解能力．4.【答案】A【解析】【分析】利用椭圆的标准方程，结合焦点坐标，求解即可．本题考查了椭圆的标准方程，椭圆的性质及其几何意义的应用，是基本知识的考查，基础题．【解答】解：椭圆2x2-my2=1的标准方程为：，一个焦点坐标为（0，），可得，解得m=，故选：A．5.【答案】B【解析】解：根据题意，双曲线的渐近线方程为y=x，设双曲线方程为：，双曲线经过点P（2，-），则有8-1=a，解可得a=7，则此时双曲线的方程为：，故选：B．设出双曲线的方程，经过点P（2，-），求出a的值，即可得双曲线的方程．本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的标准方程的求法，注意双曲线离心率公式的应用．6.【答案】A【解析】解：当α∥β 时，因为m，n⊂α，故能推出m∥β且n∥β，故充分性成立．当m∥β且n∥β 时，m，n⊂α，若m，n是两条相交直线，则能推出α∥β，若m，n不是两条相交直线，则α与β 可能相交，故不能推出α∥β，故必要性不成立．故选：A．由面面平行的性质得，充分性成立；由面面平行的判定定理知，必要性不成立．本题考查平面与平面平行的判定和性质，充分条件、必要条件的定义域判断方法．7.【答案】B【解析】解：如图所示，由题意可得：ED⊥平面ABCD时，△ADE的面积最大，可得点C即点D到平面ABE的距离最大．此时该四棱锥的体积==．故选：B．如图所示，由题意可得：ED⊥平面ABCD时，△ADE的面积最大，可得点C即点D到平面ABE的距离最大．即可得出此时该四棱锥的体积．本题考查了空间线面位置关系、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：如图，PE⊥PA，PE⊥PB，PE=1，△PAB是边长为2的等边三角形，设H是△PAB的中心，OH⊥平面PAB，O是外接球的球心，则OH=，PH=，则．故四面体P-ABE外接球的表面积是S=．故选：C．由题意画出图形，找出四面体P-ABE外接球的球心，求得半径，代入球的表面积公式求解．本题考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．9.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查三角函数平移、单调性、奇偶性、周期的知识，解答本题的关键是掌握相关知识，逐一分析，进行解答.【解答】解：将f（x）=2x的图象向右平移个单位，得g（x）=2（x-）=（2x-）=-2x，则g（x）为偶函数，在上单调递增，故A正确，g（x）的最大值为1，对称轴为2x=kπ，k∈Z，即x=，k∈Z，当k=1，图象关于x=对称，故B错误,由2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z，函数g（x）单调递增，∴kπ≤x≤kπ+，k∈Z，∴g（x）在上不是单调函数，故C错误,函数的周期T=π，不关于点对称，故D错误 .故选A．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查三角函数的图象的平移变换，是基础题.由条件利用y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：因为，所以将其图象向左平移个单位长度，可得，故选C.11.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，两角和与差的三角函数公式，是基础题．先求出sin B，再根据正弦定理求解即可.【解答】解：在△ABC中，，，则，，=，，.故选B．12.【答案】D【解析】【分析】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理的应用与三角函数化简运算的能力，属于中档题．化简，得出A=或B=A，即可求解.【解答】解：∵c-a cos B=（2a-b）cos A，C=π-（A+B），∴由正弦定理得：sin C-sin A cos B=2sin A cosA-sin B cos A，∴sin A cos B+cos A sin B-sin A cos B=2sin A cosA-sin B cos A，∴cos A（sin B-sin A）=0，∴cos A=0，或sin B=sin A，∵在中，角的取值范围均为，∴A=或B=A或B=π-A（舍去），故选D．13.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的零点的求法，零点个数问题，考查数形结合以及计算能力，转化思想的应用．转化函数零点问题为方程的根的问题，通过两个函数的图象交点个数判断求解即可．【解答】解：函数f(x)＝|log2x|＋x－2的零点个数，就是方程|log2x|＋x－2＝0的根的个数．令h(x)＝|log2x|，g(x)＝2－x，画出两函数的图象，如图．由图象得h(x)与g(x)有2个交点，∴方程|log2x|＋x－2＝0的解的个数为2.故选B.14.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查利用基本不等式求函数最值的知识，属于中档题.利用“配凑”将函数化为基本不等式的形式，然后根据基本不等式进行计算即可.【解答】解：f(x)＝＝－＝－＝－＝－(x＋1)＋＋2，因为x<－1，所以x＋1<0，－(x＋1)>0，所以f(x)≥2＋2＝4，当且仅当－(x＋1)＝，即x＝－2时，等号成立．故f(x)有最小值4.故选A.15.【答案】A【解析】【分析】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，属于中档题.利用导数的几何意义求切线的斜率以及切线方程，即可得结论.【解答】解：∵曲线的导数为，∴在P（s，t）处的斜率为，又∵曲线y=a ln x的导数为，∴在P（s，t）处的斜率为,∴曲线与曲线y=a ln x在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，∴，并且，t=a ln s，即，∴，解得s2=e，∴a=1.故选A.。

备战2020高考数学黄金30题系列之压轴题—专题05 解析几何(第一篇)(解析版)

专题5 解析几何1．（2020·陕西、湖北、山西3月联考）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:bl y x a =-，过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足11122OP OF OQ =+u uu r u u u r u u u r ，则该双曲线的离心率为（） A B ．3C D ．2【答案】A【解析】设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为bx y c a=-．联立2222,1,b x y c a x y ab ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩整理得()44232420b a y ab cy a b --+=，则()()3241212222222,ab a b y y y y b a c b a c +==--． ∵11122OP OF OQ =+u u u r u u u r u u u r，∴P 为线段1QF 的中点，∴212y y =，()()()()22622221222222224124942a b ba c y yb y y b a b ac a b -+===⋅--，整理得229b a =，故该双曲线的离心率e =故选A ．【押题点】直线与双曲线的位置关系；双曲线的标准方程及其几何性质；双曲线的离心率2．（2020·湖北宜昌3月调研）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为()32222x y x y +=．给出下列四个结论：①曲线C 有四条对称轴；②曲线C 上的点到原点的最大距离为14； ③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为18； ④四叶草面积小于4π．其中，所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②④【答案】C【解析】当x 变为x -时，()32222x y x y +=不变，∴四叶草图象关于y 轴对称；当y 变为y -时，()32222x y x y +=不变，∴四叶草图象关于x 轴对称；当y 变为x 时，()32222x y x y +=不变，∴四叶草图象关于y x =轴对称；当y 变为x -时，()32222x y x y +=不变，∴四叶草图象关于y x =-轴对称；综上可知：有四条对称轴，故①正确；∵()32222x yx y +=，∴()222322222x y x y x y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，∴2214x y +≤，12≤，取等号时2218x y ==，∴最大距离为12，故②错误；设任意一点(),P x y ，∴围成的矩形面积为xy ，∵()32222x y x y +=，∴()()3322222x y x y xy =+≥，∴18xy ≤，取等号时x y ==，∴围成矩形面积的最大值为18，故③正确；由②可知2214x y +≤，∴四叶草包含在圆2214x y +=的内部，∵圆的面积为：144S ππ=⋅=，∴四叶草的面积小于4π，故④正确，故选C ．【押题点】曲线与方程的综合运用；曲线的对称性；基本不等式3．（2020·湖南雅礼中学3月月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =u u u r u u u r，则k =（）A ．1 BC D ．2【答案】B【解析】∵c e a ==，∴c =，从而22224a b a c =-=，则椭圆方程为222241x y a a =+．依题意可得直线方程为()2y k x a =-，联立2222()2{41y k x a x y a a=-+=可得22222(14)(31)0k x ax k a +-+-=．设,A B 坐标分别为1122(,),(,)x y x y，则2212122(31)14k ax x x x k-+==+， ∵3AF FB =u u u r u u u r，∴1122(,)3(,)22a x y x a y --=-，从而有123x x +=① 再由3AF FB =u u u r u u u r可得3AF FB =12)3)x x -=-，即2133x x a -=②由①②可得12,x x ==，∴2221225(31)914k a x x a k -⋅==+，则22(31)5149k k -=+，解得k = ∵0k >，∴k =B ．【押题点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程及其几何性质4．（2020·河南鹤壁高中下学期二模）在平面直角坐标系xOy 中，已知,n n A B 是圆222x y n +=上两个动点，且满足()2*2n n n OA OB n N ⋅=-∈u u u u v u u u u v ，设,n n A B到直线()10x n n ++=的距离之和的最大值为n a ，若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S m <恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】由22n n n OA OB ⋅=-u u u u v u u u u v ，得2cos 2n n n n n A OB ⋅⋅∠=-，120n n A OB ∴∠=o ．设线段n n A B 的中点n C ，则2n n OC =，n C ∴在圆2224n x y +=上，n n A B到直线()10x n n ++=的距离之和等于点n C 到该直线的距离的两倍，点n C 到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和，而圆2224n x y +=的圆心(0,0)到直线()10x n n ++=的距离为()12n n d +==，()212222n n n n a n n +⎡⎤∴=+=+⎢⎥⎣⎦，211111222n a n n n n ⎛⎫∴==- ⎪++⎝⎭，1231111n n S a a a a ∴=+++⋅⋅⋅+=1111111112324352n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11113122124n n ⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭．34m ∴≥，故选B ．【押题点】直线与圆的位置关系；向量数量积；点到直线的距离；数列求和5．（2020·湖北襄阳期末）在平面直角坐标系中，定义(){}1212,max ,d A B x x y y =--为两点()11,A x y ，()22,B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ，称(),d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(),d P l ，给出下列三个命题：①对任意三点A 、B 、C ，都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥； ②已知点()3,1P 和直线l ：210x y --=，则()4,3d P l =； ③到定点M 的距离和到M 的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形．其中正确的命题有（） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】①对任意三点A 、B 、C ，若它们共线，设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，如图，结合三角形的相似可得(,)d C A ，(,)d C B ，(,)d A B 为AN ，CM ，AK ，或CN ，BM ，BK ，则(,)(,)(,)d C A d C B d A B +…；若B ，C 或A ，C 对调，可得(,)(,)(,)d C A d C B d A B +…；若A ，B ，C 不共线，且三角形中C 为锐角或钝角，如图，由矩形CMNK 或矩形BMNK ，(,)(,)(,)d C A d C B d A B +…；则对任意的三点A ，B ，C ，都有(,)(,)(,)d C A d C B d A B +…，故①正确； ②设点Q 是直线21y x =-上一点，且(,21)Q x x -，可得(,){|3|d P Q max x =-，|22|}x -，由|3||22|x x --…，解得513x -剟，即有(,)|3|d P Q x =-，当53x =时，取得最小值43；由|3||22|x x -<-，解得53x >或1x <-，即有(,)|22|d P Q x =-，(,)d P Q 的范围是()43,,3⎛⎫+∞+∞ ⎪⎝⎭U ，无最值．综上可得，P ，Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为43；故②正确；③假设定点(0,0)M ，到定点M 的距离和到M 的“切比雪夫距离”相等且距离为1的点为(,)Q x y ，则到定点(0,0)M 的距离为1的点Q 的轨迹为单位圆；到M 的“切比雪夫距离”的距离为1的点Q ，∴(){},max ,1d M Q x y ==，即,1,x y x ⎧≥⎪⎨=⎪⎩或,1,x y y ⎧≤⎪⎨=⎪⎩显然点Q 的轨迹为正方形，∴只有四个点(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)--符合要求，故③错误，故选C ．【押题点】新定义信息题；绝对值不等式的解法6．（2020·浙江温州中学3月月考）过点()2,1P 斜率为正的直线交椭圆221245x y +=于A ，B 两点．C ，D是椭圆上相异的两点，满足CP ，DP 分别平分ACB ∠，ADB ∠．则PCD ∆外接圆半径的最小值为（）A B C ．2413D ．1913【答案】D【解析】如图1，先固定直线AB ，设()BM f M AM =，则()()()f C f D f P ==，其中()BPf P AP=为定值，故点P ，C ，D 在一个阿波罗尼斯圆上，且PCD V 外接圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半径为r ，阿波罗尼斯圆会把点A ，B 其一包含进去，这取决于BP 与AP 谁更大，不妨先考虑BP AP >的阿波罗尼斯圆的。

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2020年高考选择题填空题压轴系列1----解析几何部分
1、12,F F 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右焦点，若双曲线上存在点P 满足212PF PF a ⋅=-uu u r uu u r ，则双曲线的离心率的取值范围为（）
A. )+∞
B. )+∞
C.
D.
分析：求离心率的取值范围从题目中找出关于,,a b c 的不等式，不等式可以是题目存在的范围（例如,x y 或角的范围等等）
解析：由已知得12,(,0)F c F c （-,0)
，设点P （m,n)，则1=PF uu u r （-c-m,-n)，1=PF uu u r （c-m,-n)，222
m n a +≥，222212m PF PF c n a ⋅=-+=-uu u r uu u r ，得2222m n c a +=-
所以22222m n c a a +=-≥，22222c a e e ≥⇒≥⇒≥故选B
方法点睛：通过题目中现有范围（如,x y ，焦半径的范围等等），转化成,,a b c 的不等式，进而转化成离心率的范围
2、已知F 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点，过F 点作垂直于x 轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点M ，若2FM a =，记该双曲线的离心率为e ，则2
e =（）
A. 2
B.4
C. 2
D. 4
分析：求离心率题目，根据题目的条件构建一个,,a b c 的等式，本题2FM a =就是等式，只需转化为,,a b c 的等式即可.
解析：由题意得,0)F c （，双曲线的方程为b y x a =±
，不妨设M 在b y x a =上，则,)bc M c a （则2bc FM a a
==，即22bc a =，由222b c a =-得2224)4c a c a -=（即
22421)440e e e e -=⇒--=（，解得2e ，故选A 方法点睛：根据题目条件构建一个,,a b c 的等式，进而求出离心率.
3、已知椭圆的方程为22
+194
x y =，过椭圆中心的直线交椭圆于,A B 两点，2F 是椭圆的右
焦点，则三角形2ABF 的周长的最小值为______,三角形2ABF 的面积的最大值为_____. 分析：要熟悉椭圆的的几何性质，结合题目条件，与
焦点有关的性质，尤其是椭圆的定义及焦点三角形的
性质.
解析：如图因为椭圆的对称性得，四边形12F BF A 为平
行四边形，显然2212+=2=6BF F A AF F A a +=，所以
要使三角形2ABF 周长最小，只需=24AB b =，所以三角形2ABF 的周长的最小值为10. 因为212125252
ABF F F A A S S c y ==⨯⨯== 方法点睛：遇到与焦点有关问题一定联系椭圆的定义及焦点三角形，注意两个焦点可以相互转换.
4、已知F 是抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点，抛物线C 上的点,A B 满足4AF FB =uu u r uu r
，若,A B 在准线上的射影分别为,M N ，且MFN ∆的面积为5，则AB =
A. 94
B. 134
C. 214
D. 254
分析：本题是抛物线涉及到焦点弦的问题，设出焦点弦，用常规方法可以解决，也可以用平面几何的方法解决该问题.
解析：(法一)由已知得，设过焦点F 的直线为()2
p y k x =-，代入抛物线2:2(0)C y px p =>得
22
222
(2)04p k k x pk p x -+-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则212=y y p -，又4AF FB =uu u r uu r 所以12=4y y -，又因为221251052MFN S p MN p MN y y p ∆==⇒==⇒=- 则1121281252,4,44
y p x x AB x x p p =
⇒===⇒=++=，故选D
（法二）如图过点B 作x 轴的垂线，交x 轴
的于G ,交AM 于H ,设BF a =，由4=4AF FB AF a =⇒uu u r uu r ，由抛物线的定义得BF BN a ==,=4AF AM a = 所以GF p a =-，43AH a a a =-= 由三角形相似得1833555
p a p a GF a a -=⇒=⇒= 由勾股定理得4MN a =，由185255422544MFN S a a a p AB ∆==
⋅⋅⇒=⇒==，故选D
方法点睛：焦点弦问题注意利用定义，特别还可用平面几何来解决会更加简单.
5、已知12,F F 分别为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，以12,F F 为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为,M N ，设四边形12F NF M 的周长为p ，面积S 为232S p =，且满足，则双曲线的渐近线方程为（）
A. 12
y x =± B. 22y x =± C. 32y x =± D. 223y x =± 分析：根据双曲线的定义和性质，找到,a b 的关系，特别是焦点三角形的特点. 解析：由已知得，122MF MF a -=，且122p MF MF +=，所以得12=,44
p p MF a MF a +=-因为以12,F F 为直径的圆，所以四边形12F NF M
为矩形，所以2212=()()4416p p p S MF MF a a a =⋅+-=-，即2
222232)3216
p a p p a -=⇒=（因为2
2
222
212+4c 248p MF MF a c =⇒+=，所以2222222222244322222
b a a
c a c a b a b a +=⇒==+⇒=⇒
=± 故选B
F A
B M N x
y
G O H
方法点睛：要重视双曲线定义和焦点三角形的性质.
6、已知抛物线2
:4C y x =的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于两点
,A B ，
若在以线段AB 为直径的圆上存在两点,M N ，在直线:0l x y a ++=上存在点Q ，使得90MQN ︒∠=，则实数a 的取值范围（）
A. [13,3]-
B. [3,3]-
C. [3,13]-
D. [13,13]- 分析：本题的关键是把90MQN ︒∠=转化为点D 到点Q 的距离的范围，进而转化成点
3,2)D （到直线:0l x y a ++==
解析：设点,A B 两点的横坐标分别为12,x x ，线段AB 的中点为D ,过点F (1,0)且斜率为1的直线方程为1y x =-，联立得221
6104y x x x y x =-⎧⇒-+=⎨=⎩，所以12+=6x x
所以的中点坐标为3,2)D
（，12++2=8,AB x x =所以以线段AB 为直径的圆的圆心为3,2)D （，半径为4，所以圆的方程为22(3)+(2)=16x y --，因为在圆上存在两点,M N ，在直线:0l x y a ++=上存在点Q ，使得90MQN ︒
∠=，所以在直线上存在点Q ，使得点
Q 到3,2)D
（=，所以使得点Q 到3,2)D （的距离小于或等于
=只需点3,2)D （到直线:0l x y a ++=的距离小于或等于即可，即
133a ≤⇒-≤≤，故选A
方法点睛：注意用极限位置法找出界点的取值，本题中使得点Q 到3,2)D
（的距离小于或等
=就是个极限位置。