受限约束回归的检验
线性回归模型检验方法拓展-三大检验
线性回归模型检验⽅法拓展-三⼤检验第四章线性回归模型检验⽅法拓展——三⼤检验作为统计推断的核⼼内容，除了估计未知参数以外，对参数的假设检验是实证分析中的⼀个重要⽅⾯。
对模型进⾏各种检验的⽬的是，改善模型的设定以确保基本假设和估计⽅法⽐较适合于数据，同时也是对有关理论有效性的验证。
⼀、假设检验的基本理论及准则假设检验的理论依据是“⼩概率事件原理”，它的⼀般步骤是（1）建⽴两个相对（互相排斥）的假设（零假设和备择假设）。
（2）在零假设条件下，寻求⽤于检验的统计量及其分布。
（3）得出拒绝或接受零假设的判别规则。
另⼀⽅⾯，对于任何的检验过程，都有可能犯错误，即所谓的第⼀类错误P（拒绝H|H0为真）=α和第⼆类错误P（接受H|H0不真）=β在下图，粉红⾊部分表⽰P（拒绝H0|H0为真）=α。
黄⾊部分表⽰P（接受H0|H0不真）=β。
⽽犯这两类错误的概率是⼀种此消彼长的情况，于是如何控制这两个概率，使它们尽可能的都⼩，就成了寻找优良的检验⽅法的关键。
下⾯简要介绍假设检验的有关基本理论。
参数显著性检验的思路是，已知总体的分布(,)F X θ，其中θ是未知参数。
总体真实分布完全由未知参数θ的取值所决定。
对θ提出某种假设001000:(:,)H H θθθθθθθθ=≠><或，从总体中抽取⼀个容量为n 的样本，确定⼀个统计量及其分布，决定⼀个拒绝域W ，使得0()P W θα=，或者对样本观测数据X ，0()P X W θα∈≤。
α是显著性⽔平，即犯第⼀类错误的概率。
既然犯两类错误的概率不能同时被控制，所以通常的做法是，限制犯第⼀类错误的概率，使犯第⼆类错误的概率尽可能的⼩，即在0()P X W θα∈≤ 0θ∈Θ的条件下，使得()P X W θ∈，0θ∈Θ-Θ达到最⼤，或1()P X W θ-∈，0θ∈Θ-Θ达到最⼩。
其中()P X W θ∈表⽰总体分布为(,)F X θ时，事件W ∈{X }的概率，0Θ为零假设集合（0Θ只含⼀个点时成为简单原假设，否则称为复杂原假设）。
《受约束回归》课件
多项式回归案例
总结词
多项式回归是一种扩展的线性回归模型 ，适用于非线性关系的数据。
VS
详细描述
多项式回归通过引入多项式项来扩展线性 回归模型，以适应非线性数据。它通过增 加自变量的幂次来构建更高阶的多项式， 从而更好地拟合数据的复杂模式。例如， 二次多项式回归模型可以表示为 (y = beta_0 + beta_1 x_1 + beta_2 x_1^2 + beta_3 x_2 + beta_4 x_2^2 + ...)。
自适应学习率调整
根据模型训练过程中的表现，动态调 整学习率。
避免学习率过高导致模型发散或学习 率过低导致模型训练缓慢的问题。
深度学习与受约束回归的结合
利用深度学习技术，提取高层次特征，提高受约束回归模型的性能。
结合深度学习中的优化算法，解决受约束回归中的复杂约束条件问题。
谢谢聆听自定义约束条件01约束条件形式
根据用户需求设定
02 03
约束条件描述
自定义约束条件是指用户可以根据自己的需求和假设，自 定义一些约束条件。这些约束条件可以是任何形式和逻辑 ，只要能够满足用户的需求和问题的要求。
实例
在预测产品销售量时，用户可以根据自己的经验和市场情 况，自定义一些约束条件，如“产品销售量与广告投入成 正比”、“产品销售量不会超过某一阈值”等。这些约束 条件可以作为自定义约束条件加入回归模型中。
约束条件的形式
线性约束
线性约束条件是指对回归系数施 加线性限制，如限制回归系数的 总和、平均值或范围等。
非线性约束
非线性约束条件是指对回归系数 施加非线性限制，如限制回归系 数的平方和、立方和等。
稀疏性约束
计量经济学--受约束回归和参数的稳定性检验
（一）不对参数施加零次齐次的约束
• 在出现的对话框中的 • Equation specification中输入被解释变量和解释变 量log(q) c log(x) log(p1) log(p0) • Sample输入1981 1994 • 也可直接输入命令ls log(q) c log(x) log(p1) log(p0) 在出现的Equation中点击Estimate将Sample修改 为1981 1994
武汉大学经济学系数量经济学教研室《2010实验教改项目组》编制
二、人均食品消费的时间趋势图
• 采用两种方式均可得到如下窗口。在Specific中选 择line & symbol，并点击“确定”。或者直接输 入命令 line q并回车。
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（三）检验约束条件的真实性
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（一）Chow稳定性检验
• 在eq03窗口的菜单中依次选择View/Stability Tests/Chow Breakpoint Test…，在对话框中输入分割点1995。
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（一）Chow稳定性检验
• 点击OK以后得到Chow Breakpoint检验的结果，发现 F=10.33821
• 给定=5;临界值，拒绝参数稳定的原假设，表明中国 城镇居民食品人均消费需求在1994年前后发生了显著变化。 • 也可根据伴随概率（0.0005）判断出结果。
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三、模型的估计（1981-1994）
• （一）不对参数施加零次齐次的约束
第7章受约束的回归模型
约束：g()=0
或求极值： L(β, 2 ) λg(β)
g():以各约束条件为元素的列向量,
'：以相应拉格朗日乘数为元素的行向量
受约束的函数值不会超过无约束的函数值， 但如果约束条件为真，则两个函数值就非常“接 近”。
由此，定义似然比（likelihood ratio）:
L β ~ ， ~ 2 L βˆ ， ˆ 2
则由约束条件可得： ˆ2 1 ˆ1 ˆk ˆk1
然而，对所考查的具体问题能否施加约束？ 需进一步进行相应的检验。常用的检验有：F检 验、x2检验与t检验。
F检验
在同一样本下，记无约束样本回归模型为:
Y Xβˆ e
受约束样本回归模型为:来自于是:Y Xβˆ * e*
e* Y Xβˆ * Xβˆ e Xβˆ * e X(βˆ * βˆ )
受约束的回归模型一模型参数的线性约束二对回归模型增加或减少解释变量三参数的稳定性四非线性约束在建立回归模型时有时根据经济理论需要对模型中的参数施加一定的约束条件
第7章 受约束的回归模型
一、模型参数的线性约束 二、对回归模型增加或减少解释变量 三、参数的稳定性 四、非线性约束
说明
• 在建立回归模型时，有时根据经济理论需要对 模型中的参数施加一定的约束条件。例如：
注意，kU - kR恰为约束条件的个数。
这里的F检验适合所有关于参数线性约束的检验
如：多元回归中对方程总体线性性的F检验：
H0： j=0
j=1,2,…,k
这里：受约束回归模型为
Y 0 *
F (RSSR RSSU ) /(kU kR ) (TSS ESSR RSSU ) / k
RSSU /(n kU 1)
~
第三章受约束回归问题
F
(RSSR RSSU ) /(kU kR ) RSSU /(n kU 1)
~
F (kU
kR , n kU
1)
5/18/2020
结论
如果约束条件无效， RSSR 与 RSSU的差异 较大，计算的F值也较大。
于是，可用计算的F统计量的值与所给定的 显著性水平下的临界值作比较，对约束条 件的真实性进行检验。
105.1
105.4
1344.1
731.3
108.2
107.0
1992 1671.7 884.8
108.6
110.7
1459.7
809.5
114.5
生产函数的1阶齐次性条件：α+β=1
模型施加约束条件后进行回归，称为受约束回 归（restricted regression）;
未加任何约束的回归称为无约束回归 （unrestricted regression）。
5/18/2020
一、模型参数的线性约束
多元回归模型:
Y 0 1X1 2 X 2 k X k
Q
AX
P P 1 2 3 10
对上式进行对数变换，得到:
ln(Q) 0 1 ln X 2 ln P1 3 ln P0 (6)
5/18/2020
考虑到零阶齐次性时
ln(Q) 0 1 ln( X / P0 ) 2 ln(P1 / P0 )
(7)
(7)式相当于是对（6）式施加如下约束而得: 1 2 3 0
98.3
96.5
1988 1104.0 567.0
120.7
125.2
1085.5
613.8
101.7
92.4
第七章 带有线性约束的多元线性回归模型及其假设检验(金融计量-浙大 蒋岳祥)
第七章 带有线性约束的多元线性回归模型及其假设检验在本章中，继续讨论第五章的模型，但新的模型中，参数β满足J 个线性约束集，R β=q ，矩阵R 有和β相一致的K 列和总共J 个约束的J 行，且R 是行满秩的，我们考虑不是过度约束的情况，因此，J ＜K 。
带有线性约束的参数的假设检验，我们可以用两种方法来处理。
第一个方法，我们按照无约束条件求出一组参数估计后，然后我们对求出的这组参数是否满足假设所暗示的约束，进行检验，我们在本章的第一节中讨论。
第二个方法是我们把参数所满足的线性约束和模型一起考虑，求出参数的最小二乘解，尔后再作检验，后者就是参数带有约束的最小二乘估计方法，我们在本章的第二节中讨论。
第一节 线性约束的检验 从线性回归模型开始，εβ+=X y （1）我们考虑具有如下形式的一组线性约束，JK JK J J K K K K q r r r q r r r q r r r =+++=+++=+++βββββββββ22112222212111212111这些可以用矩阵改写成一个方程q R =β （2）作为我们的假设条件0H 。
R 中每一行都是一个约束中的系数。
矩阵R 有和β相一致的K 列和总共J 个约束的J 行，且R 是行满秩的。
因此，J 一定要小于或等于K 。
R 的各行必须是线性无关的，虽然J =K 的情况并不违反条件，但其唯一决定了β，这样的约束没有意义，我们不考虑这种情况。
给定最小二乘估计量b ，我们的兴趣集中于“差异”向量d=Rb －q 。
d 精确等于0是不可能的事件（因为其概率是0），统计问题是d 对0的离差是否可归因于抽样误差或它是否是显著的。
由于b 是多元正态分布的，且d 是b 的一个线性函数，所以d 也是多元正态分布的，若原假设为真，d 的均值为0，方差为R X X R R b Var R q Rb Var d Var ''='=-=-12)(])[(][][σ （3）对H 0的检验我们可以将其基于沃尔德（Wald ）准则：d d Var d J W 12])[()(-'==χ=)(])([)(112q Rb R X X R q Rb -'''---σ （4）在假设正确时将服从自由度为J 的2χ分布(为什么?)。
第七章 受限OLS
该回归模型的估计为: 该回归模型的估计为
log Q = 4.17 0.247 log p + 0.96 log Y
SE :
(0.11) (0.017) (0.026)
^
（模型1） 模型 ）
R 2 = 0.371
线性约束最小二乘估计(受限最小二乘 受限最小二乘) 第七章 线性约束最小二乘估计 受限最小二乘
一、多个回归系数的联合检验 R2和F检验提供了对所有回归系数为零的原假设 检验提供了对所有回归系数为零的原假设 的检验， 的检验，但有时我们会想对部分回归系数所组成的子 集是否显著进行联合检验。 集是否显著进行联合检验。 考虑多元回归模型： 考虑多元回归模型：
三、有关不同回归模型的系数是否相等的检验 有时我们对是否应当将一个模型应用于两个不同 的数据集没有把握， 的数据集没有把握，可以从两个回归方程是相同的原 假设开始进行检验，称为Chow检验。考虑回归模型： 检验。 假设开始进行检验，称为 检验 考虑回归模型：
Yi = β1 + β2 X2i +βk Xki + ui (i =1N)
log Q D log Y 模型3） （模型 ） = β1 + α1 D + β 2 log p + α 2 D log p + β 3 (log Y D log Y ) + u
估计得R 估计得 2=0.3785
相对于模型3，模型2为无条件模型 模型3的 为无条件模型， 相对于模型 ，模型 为无条件模型，模型 的 约束条件个数为1，则相应的F统计量为 统计量为： 约束条件个数为 ，则相应的 统计量为：
线性约束检验流程
线性约束检验流程一、啥是线性约束检验呢？简单来说，线性约束检验就像是给一群调皮的小数据们设个规矩，看看它们有没有乖乖听话。
比如说，在一个数学模型里，可能有好多变量，这些变量之间不是随便乱来的，而是有着某种线性的关系。
这个检验就是要检查这种关系是不是真的成立呢。
就好比在一个班级里，老师规定了某些同学之间要按照特定的方式相处，这个检验就是看看同学们有没有按照老师说的做。
二、准备工作。
在做线性约束检验之前，那可得把东西都准备好。
1. 数据的收集。
这就像是出门买菜一样，得先把要用的数据都找齐了。
这些数据要是靠谱的哦，要是数据本身就像个调皮捣蛋的小娃娃，到处撒谎，那后面的检验可就全乱套了。
比如说要研究一个产品的销售情况和价格、广告投入等因素的关系，那就得把准确的销售数据、对应的价格数据还有广告投入的数据都收集好。
2. 模型的设定。
有了数据，就得给它们搭个小房子，也就是设定一个合适的模型。
这个模型要能够合理地描述变量之间的关系。
这就好比给小动物们搭个合适的窝，要考虑到每个小动物的习性一样。
如果模型设错了，那就像给小鸟搭了个狗窝，根本不合适嘛。
三、开始检验啦。
1. 假设的提出。
我们得先提出一些假设。
比如说假设这些变量之间确实存在着我们想要的线性约束关系，这就像猜谜语一样，我们先猜一个答案，然后再去验证。
这时候就像是充满期待地等着看自己的猜测对不对呢。
2. 选择合适的检验方法。
这可就像挑衣服一样，得选个合适的。
常见的有F检验之类的。
不同的情况适合不同的检验方法。
如果选错了，就像在夏天穿了个大棉袄，又热又不舒服。
3. 计算检验统计量。
这个过程就像是做数学题一样，按照公式一步一步地算出那个检验统计量。
这时候可得小心点，要是算错了，就像做饭的时候盐放多了，整个味道就不对了。
4. 确定临界值。
这个临界值就像是一个门槛，用来判断我们算出的检验统计量是在正常范围还是不正常范围。
就像考试有个及格线一样，超过这个线就说明我们之前的假设可能是对的，没超过就可能是错的。
计量经济学36受约束回归
讨论：
如果约束条件为真，即额外的变量Xk+1, …, Xk+q对Ｙ没有解释能力，则Ｆ统计量较小；
否则，约束条件为假，意味着额外的变量对Ｙ 有较强的解释能力，则Ｆ统计量较大。
因此，可通过F的计算值与临界值的比较，来判 断额外变量是否应包括在模型中。
Ｆ统计量的另一个等价式
F
(RU 2 RR 2)/q
(1RU 2)/(n(kq1))
F (0 .0 0 3 0 .0 30 1 )/3 1 5 2 0 .24301 0 .0 0/1 30 2 4 0
取=5%，查得临界值F0.05(1,10)=4.96 判断：不能拒绝中国城镇居民对食品的人均
消费需求函数具有零阶齐次特性这一假设。
这里的F检验适合所有关于参数线性约束的检验
如：多元回归中对方程总体线性性的F检验：
*四、非线性约束
也可对模型参数施加非线性约束,如对模型
Y 0 1 X 1 2 X 2 k X k
施加非线性约束12=1,得到受约束回归模型:
Y01X 11X 2 kX k* 1
该模型必需采用非线性最小二乘法 （nonlinear least squares）进行估计。
非线性约束检验是建立在最大似然原理基 础上的,有最大似然比检验、沃尔德检验与拉 格朗日乘数检验.
计量经济学36受约束回归
但是，如果约束条件为真，则受约束回归 模型与无约束回归模型具有相同的解释能力， RSSR 与 RSSU的差异变小。
可用RSSR - RSSU的大小来检验约束的真实性
根据数理统计学的知识：
于是：
RU S / 2 S ~2 (n k U 1 )
RR S / 2S ~2 (n k R 1 )
06受约束回归
这里的F检验适合所有关于参数线性约束的检验
如：多元回归中对方程总体线性性的F检验：
H0： j=0 受约束回归模型为： j=1,2,…,k
Y 0 *
( RSSR RSSU ) /(kU k R ) (TSS ESSR RSSU ) / k F RSSU /(n kU 1) RSSU /(n k 1) (TSS RSSU ) / k ESSU / k RSSU /(n k 1) RSSU /(n k 1)
e’e为无约束样本回归模型的残差平方和RSSU 受约束与无约束模型都有相同的TSS 由（*）式 从而 RSSR RSSU ESSR ESSU
这意味着，通常情况下，对模型施加约束条件会降低 模型的解释能力。
但是，如果约束条件为真，则受约束回归模型与无约束 回归模型具有相同的解释能力，RSSR 与 RSSU的差异变小。 可用RSSR - RSSU的大小来检验约束的真实性
ˆ ˆ X ˆ ˆ Y ˆ XY ˆ Y 这里，运用了ESSR ＝0。 0 1 0 0 1 2 ESS (Y ˆ ˆ )2 0 ˆ Y ) ( 0 0
二、对回归模型增加或减少解释变量
考虑如下两个 Y 0 1 X 1 k X k 回归模型： (*)
2 2 2 2 2 ~ 2 (n k 1) RSS / RSS / ~ ( n k 1 ) U (U RSS R RSS U ) /( k U k R ) R(R U R R ) /(k UR k R )
参数的约束检验05
㈡对约束的F检验 对约束的F
对于约束的有效性，需进一步进行相应的检验。 为此，在同一样本下，记无约束样本回归模型为: Y=XB+E 这是对模型的参数未加任何约束的回归，所以常称 为无约束回归(unrestricted regression)。且e’e为无约 束样本回归模型的残差平方和 残差平方和，表记为RSSU。 残差平方和 受约束样本回归模型记为: 受约束 Y=XB*+R 对该施加约束后的模型进行回归，称为受约束回归 (restricted regression)。其残差平方和 残差平方和r’r记为RSSR。 残差平方和
拉格朗日乘数检验的统计量为： LM=nR2 其中：n为样本容量；R2为以受约束的方程估计的残 差的平方为被解释变量，以所有原解释变量及其交 叉项为解释变量构成的辅助回归方程的可决系数。 在各约束条件为真的情况下，该统计量服从自 由度为约束条件个数的卡方分布。所以，检验时仍 然以LM＞χ2α(h)为否定域。 一般情况下，在有限样本中：LM ≤ LR ≤ W 。
参数的约束及设定检验
一、模型的线性约束检验 二、非线性约束及其估计与检验 三、参数的约束检验程序
一、模型的线性约束检验
㈠约束的含义及其形式 在建立回归模型时，有时根据经济理论需要对 模型中的参数施加一定的约束条件。例如： 需求函数的0阶齐次性条件 生产函数的1阶齐次性条件 线性约束的形式如下： H0: C·β=r；H1: C·β≠r 其中：C=(C0,C1,…Ck)；β=(β0,β1,…,βk)T
三、系数检验(Coefficient Tests)的程序
在方程对象中选View→Coefficient Tests→ 会有四个选项，如下图所示：
其中: 首项为可信椭圆检验； 次项为为解释变量系数的约束检验； 三项为缺失变量检验； 四项为多余变量检验
受限约束回归的检验
若 j j 则可写为:
(结构有变化)
Y1 Y2
=
X1 0
0 X2
β α
+
u1 u2
(实际做的是两段回归)
其中: β, α 为参数列向量，Y1, Y2 为列向量，X1, X2 为矩阵
这是 β α 情况下的无约束模型。 17
如果在时间 n1前后模型没有显著的结构变化，参数具
或
Y
*
1
2
X
* 2
L
m X m X m1 m1 L
k
1
X
* k 1
u*
其中
Y*
Y
X
3
，X
* 2
X2
X3
，
X* k 1
X k 1
Xk
与无约束模型（U）相比，这是受约束模型（R） 4
3. 对模型参数的非线性约束
相对于无约束模型（U）：
Y 1 2 X 2 3 X 3 L m X m X m1 m1 L X k1 k1 k X k u
这种情况下计算的F统计量其数值的平方根与对k 作t
检验的统计量相同，作受约束回归检验与作t检验等价
14
2. 解释变量的联合显著性检验
（U） Y 1 2 X 2 L m X m X m1 m1 L k X k u （R） Y 1 v 这里的（R）模型施加了除截距项外的所有解释变量的参
(RSSR ESSU ) 2 服从 2分布，自由度为 (kU kR )
两个独立 2 变量的比值服从F分布，则
F
(RSSR RSSU ) (kU RSSU (n kU )
kR )
~
F (kU
kR,n
kU
)
第七章 带有线性约束的多元线性回归模型及其假设检验(金融计量-浙大 蒋岳祥)
第七章 带有线性约束的多元线性回归模型及其假设检验在本章中，继续讨论第五章的模型，但新的模型中，参数β满足J 个线性约束集，R β=q ，矩阵R 有和β相一致的K 列和总共J 个约束的J 行，且R 是行满秩的，我们考虑不是过度约束的情况，因此，J ＜K 。
带有线性约束的参数的假设检验，我们可以用两种方法来处理。
第一个方法，我们按照无约束条件求出一组参数估计后，然后我们对求出的这组参数是否满足假设所暗示的约束，进行检验，我们在本章的第一节中讨论。
第二个方法是我们把参数所满足的线性约束和模型一起考虑，求出参数的最小二乘解，尔后再作检验，后者就是参数带有约束的最小二乘估计方法，我们在本章的第二节中讨论。
第一节 线性约束的检验 从线性回归模型开始，εβ+=X y （1）我们考虑具有如下形式的一组线性约束，JK JK J J K K K K q r r r q r r r q r r r =+++=+++=+++βββββββββ22112222212111212111这些可以用矩阵改写成一个方程q R =β （2）作为我们的假设条件0H 。
R 中每一行都是一个约束中的系数。
矩阵R 有和β相一致的K 列和总共J 个约束的J 行，且R 是行满秩的。
因此，J 一定要小于或等于K 。
R 的各行必须是线性无关的，虽然J =K 的情况并不违反条件，但其唯一决定了β，这样的约束没有意义，我们不考虑这种情况。
给定最小二乘估计量b ，我们的兴趣集中于“差异”向量d=Rb －q 。
d 精确等于0是不可能的事件（因为其概率是0），统计问题是d 对0的离差是否可归因于抽样误差或它是否是显著的。
由于b 是多元正态分布的，且d 是b 的一个线性函数，所以d 也是多元正态分布的，若原假设为真，d 的均值为0，方差为R X X R R b Var R q Rb Var d Var ''='=-=-12)(])[(][][σ （3）对H 0的检验我们可以将其基于沃尔德（Wald ）准则：d d Var d J W 12])[()(-'==χ=)(])([)(112q Rb R X X R q Rb -'''---σ （4）在假设正确时将服从自由度为J 的2χ分布(为什么?)。
实验三受约束条件的显著性检验
对实验的反思与建议
01
在实验设计阶段，应更加细致地考虑实验的约束条 件，以确保实验结果的可靠性和准确性。
02
在数据收集和分析阶段，应采用更加严谨的方法和 技术，以减少误差和偏差。
03
在实验过程中，应加强对实验过程的监控和记录， 以确保实验数据的完整性和准确性。
实验三受约束条件的显著 性检验
• 引言 • 受约束条件的显著性检验方法 • 实验过程 • 结果分析 • 结论与建议
01
引言
实验目的
确定受约束条件对实验结果的影响程度 评估约束条件对实验结果的影响是否显著 判断约束条件是否满足实验假设
实验背景
受约束条件是实验中必须满足的 条件，对实验结果具有重要影响
Lagrange Multiplier (LM) 检验：用于检验结构约束条件的显著性，通过估计一个额 外的参数来反映约束条件的违反程度，并计算LM统计量。
检验步骤
01
02
03
04
05
1. 确定约束条件 2. 构建回归模型 3. 计算残差平方 4. 计算F统计量或 5. 判断显著性
和
W…
根据研究问题和数据特点 ，确定需要检验的约束条 件。
THANKS
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设计实验方法
选择适当的实验方法，包括实验材料、实验步骤和实验条件等。
确定样本量和样本选取方法
根据实验目的和实验方法，确定所需的样本量和样本选取方法。
数据收集和处理
01
收集数据
按照实验方案进行实验，并记录实 验数据。
数据转换
对数据进行必要的转换，以便进行 后续的数据分析和处理。
约束条件的检验
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案例四：市场营销中的约束条件检验
约束条件
市场营销需要考虑市场需求、竞争环境、预算限制等约束 条件。
检验方法
通过市场调查、竞品分析、销售预测等方法，检验营销策略是 否满足约束条件，如市场份额、品牌知名度、销售目标等。
案例
快消品的市场营销需要考虑市场需求的变化、竞争对手的动态和预算限制 等约束条件，通过市场分析和销售数据来检验营销策略的可行性。
数据采集方法
根据数据来源和检验目标，选择合适 的数据采集方法，包括调查问卷、实 地考察、实验室测试等。
分析数据和信息
数据清洗和整理
对收集到的数据进行清洗和整理，去除异常值和缺失值，确保数据的完整性和准确性。
数据分析方法
选择合适的数据分析方法，包括统计分析、机器学习和数据挖掘等，以提取有用的信息和验证约束条 件。
几何法
02
通过图形或空间几何的方式来直观地检验约束条件，如线性规
划中的可行域。
解析法
03
通过数学分析的方法，如极限、导数等，来检验约束条件是否
满足。
逻辑推理
演绎推理
根据已知的前提和推理规则，推导出结论是否满足约 束条件。
归纳推理
通过观察和总结大量实例来推断约束条件是否满足。
反证法
通过假设约束条件不满足，然后推导出矛盾，从而证 明约束条件是满足的。
结果报告
编写检验结果报告，将结论呈现给相关人员，以便于后续的决策和改进。
04 约束条件的检验案例
案例一：工程设计中的约束条件检验
约束条件
案例
工程设计需要考虑结构安全、功能需 求、成本预算等约束条件。
桥梁设计需要考虑桥梁的承载能力、使 用寿命、施工难度等约束条件，通过有 限元分析等方法检验设计的可行性。
第7章 受约束的回归模型
记RSS1与RSS2为在两时间段上分别回归后所得的 残差平方和，容易验证， 于是
RSSU RSS1 RSS2
[ RSSR ( RSS1 RSS2 )] / k F ~ F[k , n1 n2 2(k 1)] ( RSS1 RSS2 ) /[n1 n2 2(k 1)]
2、邹氏预测检验
上述参数稳定性检验要求n2>k。 如果出现n2<k ，则往往进行如下的邹氏预 测检验（Chow test for predictive failure）。 邹氏预测检验的基本思想:
先用前一时间段n1个样本估计原模型，再用 估计出的参数进行后一时间段n2个样本的预测。
如果预测误差较大，则说明参数发生了 变化，否则说明参数是稳定的。 分别以、 表示第一与第二时间段的参数， 则:
ˆ , ˆ 2) L (β
~ ~2 L ( β , ) Max:
约束：g()=0
或求极值： L (β g (β) , 2 ) λ
g():以各约束条件为元素的列向量,
'：以相应拉格朗日乘数为元素的行向量 受约束的函数值不会超过无约束的函数值， 但如果约束条件为真，则两个函数值就非常“接 近”。 由此，定义似然比（likelihood ratio）:
Y1 X1β μ 1 Y2 X 2α μ X 2 (α β) μ γ μ 2 X 2β 2 X 2β 2
其中， γ X 2 (α β)
(*)
如果 =0，则 = ，表明参数在估计期与 预测期相同 (*)的矩阵式：
Y1 X1 Y 2 X2 0 β μ 1 I n2 γ μ 2
讨论： 如果约束条件无效， RSSR 与 RSSU的差异较 大，计算的F值也较大。 于是，可用计算的F统计量的值与所给定的显 著性水平下的临界值作比较，对约束条件的真实性 进行检验。 注意，kU - kR恰为约束条件的个数。
应用回归方程约束条件的检验
* * 或: Y * 0 1 X 1* 3 X 3 k 1 X k 1
10
如果对（**）式回归得出: 则由约束条件可得：
ˆ , ˆ , ˆ ,, ˆ 0 1 3 k 1
ˆ 1 ˆ 2 1
ˆ ˆ k k 1
12
受约束样本回归模型的残差平方和RSSR
ˆ ˆ ˆ ˆ e e e e ( β β ) X X( β β ) * * * *
于是
e *e* e e
(*)
e’e为无约束样本回归模型的残差平方和RSSU 受约束与无约束模型都有相同的TSS
13
由（*）式
从而
RSSR ≥ RSSU
2.约束回归：
i
3.进行F检验： RSS(r ) RSS(u ) / 1 F RSS(u ) /(n k 1)
F
1, n k 1
24
（四）非线性约束
也可对模型参数施加非线性约束,如对模型
Y 0 1 X 1 2 X 2 k X k
35拉格朗日统计量lm本身是一个关于拉格朗日乘数的复杂的函数在各约束条件为真的情况下服从一自由度恰为约束条件个数的渐近nrlm36n为样本容量r为如下被称为辅助回归的可决系数
回归方程约束条件的检验
回归方程约束条件的检验
• • • • 约束条件及参数假设 回归方程的约束条件的检验 线性约束条件的检验 非线性约束条件的检验方法
ESSR ≤ ESSU
这意味着，通常情况下，对模型施加约束 条件会降低模型的解释能力。 但是，如果约束条件为真，则受约束回归 模型与无约束回归模型具有相同的解释能力， RSSR 与 RSSU的差异变小。
多元线性回归模型的各种检验方法
对多元线性回归模型的各种检验方法对于形如u X X X Y k k +++++=ββββ 22110 （1） 的回归模型，我们可能需要对其实施如下的检验中的一种或几种检验：一、 对单个总体参数的假设检验：t 检验在这种检验中，我们需要对模型中的某个（总体）参数是否满足虚拟假设0H ：j j a =β，做出具有统计意义（即带有一定的置信度）的检验，其中j a 为某个给定的已知数。
特别是，当j a =0时，称为参数的（狭义意义上的）显著性检验。
如果拒绝0H ，说明解释变量j X 对被解释变量Y 具有显著的线性影响，估计值j βˆ才敢使用；反之，说明解释变量j X 对被解释变量Y 不具有显著的线性影响，估计值j βˆ对我们就没有意义。
具体检验方法如下：（1） 给定虚拟假设 0H ：j j a =β；（2） 计算统计量 )ˆ(ˆ)ˆ()(ˆjj j j j j Se a Se E t βββββ-=-= 的数值； 11ˆ)ˆ(++-==j j jj jj j C C Se 1T X)(X ，其中σβ（3） 在给定的显著水平α下（α不能大于1.0即 10%，也即我们不能在置信度小于90%以下的前提下做结论），查出双尾t （1--k n ）分布的临界值2/αt ；（4） 如果出现 2/αt t >的情况，检验结论为拒绝0H ；反之，无法拒绝0H 。
t 检验方法的关键是统计量 )ˆ(ˆj jj Se t βββ-=必须服从已知的t 分布函数。
什么情况或条件下才会这样呢？这需要我们建立的模型满足如下的条件（或假定）：（1） 随机抽样性。
我们有一个含n 次观测的随机样(){}n i Y X X X i ik i i ,,2,1:,,,,21 =。
这保证了误差u 自身的随机性，即无自相关性，0))())(((=--j j i i u E u u E u Cov 。
（2） 条件期望值为0。
给定解释变量的任何值，误差u 的期望值为零。
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怎样比较（RSSR—RSSU）的大小?
RSS的值与变量的度量单位有关，度量单位不同RSS 的取值也不同，因此不能只看（RSSR—RSSU）绝 对量的大小。而应当将（RSSR—RSSU）与RSSU 作比较，如果（RSSR—RSSU）相对于RSSU充分小，
说明模型（U）与模型（R）差异不大，施加的约束
受约束模型R为
Y 1 2 X 2
m X m v
k 0 是合理的
如果所施加的约束 m1 m2 被省略的变量 X , m1
X k 对Y没有显著影响
则模型U与模型R就不应该有明显差别 ESSR与ESSU 不应该有明显差别 剩余平方和RSSR与RSSU不应有较大差别 （RSSR—RSSU）应会很小
如果约束条件为合理的，则受约束回归模型与无约 束回归模型具有相同的解释能力， RSS与 的 RSS R U 差异应当充分小。
结论： 可用( RSS R — RSSU )的大小来检验约束的真实性
6
检验思想
对于无约束模型U:
Y 1 2 X 2 3 X 3 m X m m1 X m1 k 1 X k 1 k X k u
例如施加 2 3 1 的约束，则 3 1 2
受约束模型为:
Y 1 2 X 2 1 X3 m X m m1 X m1 k 1 X k原理基础上的,有 最大似然比检验、沃尔德检验与拉格朗日乘数检验等. （非线性约束的情况在高级计量经济学(二)中再讨论4)
是合理的。反之，如果（RSSR—RSSU）比RSSU并 不充分地小，说明模型（U）与模型（R）差异较大 ，施加的约束就是不合理的。 怎样检验（RSSR—RSSU）是否比RSSU充分地小呢？
8 8
三、 受线性约束模型的检验方法
2 可以证明: RSSU 服从 分布，自由度为
2
(n kU )
无约束样本回归的残差平方和： RSSU
受约束样本回归模型为
残差
2 e i ee
ˆ * Xβ ˆ e Xβ ˆ * e X(β ˆ * β ˆ) e* Y Xβ
利用最小二乘原则 有
ˆ * e* Y Xβ
受约束样本回归的残差平方和 RSS R 为：
ˆ -β ˆ )XX(β ˆ -β ˆ) RSSR e e e e + ( β * * * *
kU 个未知参数) 2 RSSR 服从 2分布，自由度为 (n kR ) (样本容量为n；受约束模型中包含 kR 个未知参数) ( RSSR ESSU ) 2 服从 2 分布，自由度为 (kU kR )
可称无约束回归模型（unrestricted regression） ，用 “U”表示 把施加了某种约束的模型称为受约束回归模型（restricted
1 regression） ，用“R”表示。所施加的约束有各种情况
1. 增加或减少解释变量的约束
相对于无约束模型（U）： Y 1 2 X 2 3 X 3 m X m m1 X m1 k 1 X k 1 k X k u
补充:受限约束回归的检验
一、问题的提出（对模型的约束)
在经典计量经济学中对模型的统计检验常用的是： 对单个系数显著性的 t 检验 对整个模型联合显著性的 F 检验 能否有更一般的检验呢？ 最一般的模型为(为表达简化，这里省略了下标i或t) Y 1 2 X 2 3 X 3 m X m m1 X m1 k 1 X k 1 k X k u
* X 其中 Y Y X 3 ， 2 X 2 X 3 ， X k*1 X k 1 X k
*
与无约束模型（U）相比，这是受约束模型（R）
3
3. 对模型参数的非线性约束
相对于无约束模型（U）：
Y 1 2 X 2 3 X 3 m X m m1 X m1 k 1 X k 1 k X k u
二、受线性约束模型的检验思想
对于U: Y 1 2 X 2 3 X3 m X m m1 X m1 k 1 X k 1 k X k u 例如施加约束 m1 m2 k 0 Y 1 2 X 2 m X m v 则 R为 ˆ e 无约束样本回归模型为 Y Xβ
于是有
RSSR e *e* e e RSSU
X e = 0
5
同一样本下受约束与无约束模型的总变差TSS都相同 TSSR = TSSU 都是(Yi Y )2
但 RSSR RSSU
从而 ESSR ESSU 说明:如果约束是不合理的，对模型施加约束条件可能 会降低模型的解释能力。
Y 1 2 X 2 (1 2 ) X 3
* * Y X 或 1 2 2
m X m m1 X m1
k 1 X k 1 k 1 X k u*
* * k 1 X k u 1
m X m m1 X m1
例如受约束模型（R）: Y 1 2 X 2 的约束。
m X m v
k 0
与无约束模型比较，（R）施加了 m1 m2
注意：样本容量为n；无约束模型（U）中包含 kU k
个未知参数；受约束模型（R）中包含 kR m 个未知参
数，未包含的参数个数（通过约束去除的变量个数）
为 kU kR k m 个。
2
2. 对模型参数的线性约束
相对于无约束模型（U）：
Y 1 2 X 2 3 X 3 m X m m1 X m1 k 1 X k 1 k X k u
若施加例如 2 3 1 或 k k 1 等约束，则有（R）为