机器人学的数学基础

第3章机器人学的数学基础

在机器人操作手工作时，我们需要在其特定三维工作空间中掌握各个物体之间的几何关系，这些物体包括操作手组成自身的各个活动杆件、底座、末端执行器、抓持工具、待抓取物体、障碍物等，它们之间的三维空间几何关系可用两个非常重要的特性来描述：位置和姿态。

3.1 位置和姿态表示

为了精确描述各个连杆或物体之间的位置和姿态关系，我们首先定义一个固定的坐标系，并以它作为参考坐标系，所有静止或运动的物体就可以统一在同一个参考坐标系中进行比较。该坐标系统通常被称为世界坐标系。基于此共同的坐标系描述机器人自身及其周围物体，是机器人在三维空间中工作的基础。通常，我们对每个物体或连杆都定义一个本体坐标系，又称局部坐标系，每个物体与附着在该物体上本体坐标系是相对静止的,即其相对位置和姿态是固定的。

因此，每个物体之间位置和姿态的关系就可以用它们自身的本体坐标系之间的位姿关系来确定了，本体坐标系原点之间的关系代表了它们的位置关系，本体坐标系各个坐标轴方向之间的关系代表了方位关系。图3-1表示了机器人手臂及其周围物体在世界坐标系∑w中及各自本体坐标系中的位置和姿态。

z

y

x

z

∑W y z x

x zzzzzz x y

y

x p z z

y

\

图 3-1 机器人手臂及其周围物体的位置和姿态

3.1.1 位置描述

建立坐标系之后，三维空间中的任何一点都可以用一个具有三个分量的位置矢量来进行定位。例如， 图3-1中立方体的质心p 在世界坐标系中的表示是：

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=wz wy wx w p p p p

下标w 代表了世界坐标系，因为位置矢量p 在不同坐标系中数值表示不同。以上就是典型的基于笛卡尔坐标系的三维空间位置矢量的描述方法。当采用不同的坐标系表示时，会有不同的位置描述方法。例如 基于圆柱坐标系的空间矢量表示方法，基于球坐标系的空间矢量表示方法等。

3.1.2 方位描述

机器人手臂工作时，不但要考虑所抓取的物体的质心的位置，还要考虑空间中该物体的姿态，既方位。空间中的物体，不但要考虑它的位置，还要考虑它的方位。空间物体通常用自身本体坐标系的坐标原点表示位置，坐标轴的方向代表方位。物体的相对位置和方位通常用它们各自的本体坐标系之间的关系来表示。相对位置关系用局部坐标系的坐标原点之间的关系表示，方位关系用各自本体坐标系的坐标轴单位方向矢量之间的关系来表示。常用的方位描述包括旋转矩阵表示法，固定角表示法，欧拉角表示法，等效轴角表示法，欧拉参数表示法等。我们主要介绍旋转矩阵方位描述法，并简介固定角表示法，其它方法参考教科书。

A. 旋转矩阵描述法

一个本体坐标系{B}相对于另一个参考坐标系{A}的姿态描述，用这个本体坐标系{B}的三个坐标轴的单位方向向量分别在参考坐标系的{A}三个坐标轴上的投影值，共9个投影分量所组成的矩阵（称作旋转矩阵）来表示两个坐标系之间的方位关系，这种方位描述方法称作旋转矩阵方位描述法。具体解释如下： B Z A z B Y

{A} {B}

A Y

A X

B X

图 3-2 本体坐标系{B}在参考坐标系{A}中的方位描述

如图3-2 所示，我们用 B B B Z Y X ˆ,ˆˆ,表示本体坐标系{B}的三个坐标轴的单位方

向矢量，A A A Z Y X ˆ,ˆˆ,表示参考坐标系{A}的三个坐标轴的单位方向矢量。则本体坐

标系{B}的X 轴单位方向向量B X ˆ 在参考坐标系{A}中的表示即本体坐标系B

X ˆ在参考坐标系{A}的三个坐标轴单位向量B B B Z Y X ˆ,ˆˆ,上的投影，我们用矢量：

()()()⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅=A B A B A B A B A B A B B A Z X COS Y X COS X X COS Z X Y X X X X ˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆˆˆˆˆˆˆ 来表示， 这三个投影值代表了本体坐标系{B}的X 轴与参考坐标系{A}的各个坐

标轴的夹角的余弦值。同样道理， 本体坐标系{B}的B

B Z Y ˆ,ˆ 在参考坐标系{A}中都可以如上述表示，得出矢量：

()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅=A

B A B A B A B A B A B B A Z Y COS Y Y COS X Y COS Z Y Y Y X Y Y ˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆˆˆˆˆˆˆ, ()()()⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅=A B A B A B A B A B A B B A Z Z COS Y Z COS X Z COS Z Z Y Z X Z Z ˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆˆˆˆˆˆˆ, 则，本体坐标系{B}在参考坐标系{A}中的方位描述可以用公式3-1表示,

其中三行三列矩阵R A B 中的9个分量描述了了{B} 在{A}中的方位，我们称该矩阵

为旋转矩阵。旋转矩阵的每个分量代表了两个坐标系坐标轴方向夹角的余弦值。

[]⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==A B A B A B A B A B A B A B A B A B B A B A

B A A B Z Z Z Z Z X Y Z Y Y Y X X Z X Y X X Z Y X R ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ 3-1

我们从空间几何意义上知道，姿态变换后又反变换回去，最终姿态不变。观察

{B}相对于{A}的方位（描述R A B ）（图3-2），{A}相对于{B}的方位（描述R B A ）与

之大小相等方向相反， 因此利用旋转矩阵描述的方位应满足如下关系：