高中数学第10章第3节课时分层训练

分层训练(五十四)

模拟方法概率的应用

A组基础达标

(建议用时：30分钟)

一、选择题

1．在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为()

A.4

5B．

3

5

C.2

5D．

1

5

B[在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1，

即－2≤X≤1的概率为P＝3

5.]

2．如图10-3-4所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆

中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是1

3，则阴影部分的面积是()

图10-3-4

导学号：66482467

A.π

3B．π

C．2π D．3π

D[设阴影部分的面积为S，且圆的面积S′＝π·32＝9π.

由几何概型的概率得S

S′＝1

3

，则S＝3π.]

3．若将一个质点随机投入如图10-3-5所示的长方形ABCD中，其中AB＝

2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )

图10-3-5

A.π2 B ．π4 C.π6

D ．π8

B [设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ，则P (A )＝阴影面积长方形面积

＝

12π·12

1×2＝π

4

.] 4．(2015·高考)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件 “－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫

x ＋12≤1”发生的概率为( )

A.3

4 B ．23 C.13

D ．14

A [不等式－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1可化为log 122≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫

x ＋12≤log 1212，即12≤x ＋

12≤2，解得0≤x ≤32，故由几何概型的概率公式得P ＝32－0

2－0

＝3

4.] 5．已知正三棱锥S -ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P -ABC ＜12V S -ABC 的概率是( )

A.78 B ．34 C.12

D ．14

A [当点P 到底面ABC 的距离小于3

2时，

V P -ABC ＜1

2V S -

ABC .

由几何概型知，所求概率为P ＝1－⎝ ⎛⎭

⎪⎫123＝7

8.]

6．(2017·西安模拟)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( )

导学号：66482468

A.34＋12π B ．12＋1π C.12－1π D ．14－12π

D [|z |＝

(x －1)2＋y 2≤1，即(x －1)2＋y 2≤1，表示的是圆及其内部，如图

所示．当|z |≤1时，y ≥x 表示的是图中阴影部分．

∵S 圆＝π×12＝π， S 阴影＝π4－12×12

＝π－24.

故所求事件的概率P ＝S 阴影S 圆＝π－24π＝14－1

2π.]

二、填空题

7．(2017·郑州模拟)在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为5

6，则m ＝________.

3 [由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m . 当m ≤2时，由题意得2m 6＝5

6， 解得m ＝2.5，矛盾，舍去．

当2＜m ＜4时，由题意得m －(－2)6

＝5

6，解得m ＝3.]

8．(2015·重庆高考)在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．

2

3

[∵方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根， ∴⎩⎪⎨⎪

⎧

Δ＝4p 2－4(3p －2)≥0，x 1＋x 2＝－2p <0，x 1x 2＝3p －2>0，

解得2

3

故所求概率P ＝⎝ ⎛

⎭⎪⎫1－23＋(5－2)5＝2

3

.]

9．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于1

2，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于1

4，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．

13

16

[∵去看电影的概率P 1＝π·12－π·

⎝ ⎛⎭⎪⎫122π·12＝34，

去打篮球的概率P 2＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫142

π·12＝1

16， ∴不在家看书的概率为P ＝34＋116＝13

16.]

10．一个长方体空屋子，长，宽，高分别为5米，4米，3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是________．

π120

[屋子的体积为5×4×3＝60米3， 捕蝇器能捕捉到的空间体积为18×43π×13

×3＝π2米3，

故苍蝇被捕捉的概率是π

2

60

＝π

120.]

B组能力提升

(建议用时：15分钟)

1．(2015·湖北高考)在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋

y≤

1

2”的概率，p2为事件“xy≤

1

2”的概率，则()

A．p1

1

2B．p2<

1

2

C.

1

2

1

2

D[如图，满足条件的x，y构成的点(x，y)在正方形OBCA内，其面积为1.事件“x＋y≤

1

2”对应的图形为阴影△ODE(如图①)，

其面积为1

2×

1

2×

1

2

＝1

8

，故p1＝1

8<

1

2

，事件“xy≤1

2”对应的图形为斜线表示

部分(如图②)，其面积显然大于1

2

，故p2>1

2

，则p1<1

2

A.

π

4B．1－

π

8

C．

π

8D．1－

π

4

D[由题意得长方形ABCD的面积为1×2＝2，其中满足到点O的距离小

于等于1的点在以AB为直径的半圆内，其面积为1

2×π×1

2＝π2，则所求概率为