不定积分求解方法毕业论文设计
不定积分求解方法
不定积分求解方法一、引言不定积分是微积分中的重要概念之一，它是求解函数的原函数的过程。
在实际中，很多问题需要对函数进行积分，而不定积分方法可以帮助我们快速求解这些问题。
本文将介绍不定积分的定义、基本性质以及几种常见的不定积分求解方法。
二、不定积分的定义不定积分，又称原函数或积分函数，是求解函数的导数反函数的过程。
给定函数f(x)，如果存在函数F(x)，使得F’(x) = f(x)，则称F(x)为f(x)的一个原函数。
记作F(x) = ∫f(x)dx。
在不定积分中，dx表示对x进行积分，∫表示积分符号，f(x)为被积函数，F(x)为原函数。
三、不定积分的基本性质不定积分具有以下几个基本性质：1.线性性质：设f(x)和g(x)是两个可积函数，k为常数，则有∫(kf(x)+g(x))dx = k∫f(x)dx + ∫g(x)dx。
2.常数项积分为0：∫kdx = kx + C，其中C为常数。
3.积分的和差规则：∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx。
4.乘法常数规则：∫kf(x)dx = k∫f(x)dx，其中k为常数。
5.递推性质：如果F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)+C也是f(x)的原函数，其中C为常数。
四、不定积分的求解方法1. 基本积分法基本积分法是通过基本积分公式表和积分运算的基本性质来求解不定积分的方法。
常用的基本积分公式有：•基本初等函数的积分公式：如幂函数、指数函数、对数函数等的积分公式。
•基本三角函数的积分公式：如正弦函数、余弦函数、正切函数等的积分公式。
使用基本积分公式和积分运算的基本性质，可以将复杂的积分转化为简单的积分，从而求解不定积分。
2. 分部积分法分部积分法是一种通过积分的乘法法则将不定积分转化为另一种形式的方法。
设有两个可导函数u(x)和v(x)，则有公式∫u(x)v’(x)dx = u(x)v(x) -∫v(x)u’(x)dx。
不定积分毕业论文开题报告
毕业论文开题报告题目不定积分的求解办法与技巧学生姓名学号所在院(系) 数学与计算机科学学院专业班级数学与应用数学专业(师范类)10级1班指导教师20 14 年 3 月 10 日下面是三个励志小故事，不需要的朋友可以下载后编辑删除!!!谢谢！！！你可以哭泣，但不要忘了奔跑2012年，我背着大包小包踏上了去往北京的火车，开启了北漂生涯。
彼时，天气阴沉，不知何时会掉下雨滴，就像我未知的前方一样，让人担忧。
去北京的决定是突然而果决的，我在宿舍纠结了一天，然后在太阳逃离窗口的时候打电话告诉父母，我要到首都闯一闯。
消息发出去之后，并没有预料之中的强烈反对，父亲只给我回了一个字：好。
就这样看似毫无忧虑的我，欣喜地踏上了北上的路。
有些事情只有真正迈出第一步的时候，才会迎来恐惧。
当我踏上北上的列车时，才惊觉对于北京，除了天安门、央视大楼这些着名建筑，我知之甚少。
俗话说无知者无畏，可于我而言，这句话并不适用，因为在坐上火车那一刻，我就开始对未来胆战心惊，毫无底气。
火车开动之后，我的心情变得更加复杂而紧张，甚至一度心生退意。
人类果然是一个无解的方程式，看似无畏的勇气背后不知藏下了多少怯懦和犹豫。
旁座的姐姐见我一人，开始和我有一搭没一搭地聊起了天。
几分钟后，我们竟如同许久未见的好友一般，开始聊起了各自的生活。
我说出了自己的恐惧与未见，期冀从她那里得到些许安慰和鼓励。
出乎意料地，她并没有说一些心灵鸡汤般的哲理语句，反而给我讲了一个故事，一个让我在很长一段时间都印象深刻，每次想起便会荷尔蒙再度升高的故事，一个她自己的故事。
那是一段并不愉快的经历，整段经历是蜿蜒前行的。
高考中，她因为做错了三道大题，成为家里的罪人。
朋友极尽嘲笑，亲戚们也开始暴露自己毒舌的属性，父母当时并没有过多指责，因为他们正在跟自己的兄弟姐妹们为了祖母的遗产争得死去活来。
那被人类歌颂的血缘、亲情，在所有的利益面前瞬间分崩离析。
那时的她，像极了一个被遗弃的孩子。
不定积分毕业论文
笫二换元积分法并不是单纯的复合函数求导的逆过程,也涉及到反函数求导 定理.第二积分换元法，主要应用于讣算无理根式的不定积分.针对此类含根式的 不定积分，该方法可设法消去根号,将其转化为简单函数的不定积分.
函数"、”的选择原则：
(l)lllv计算”要容易求得(应用分部积分公式的前提)；
m\vdu需比更容易导出(应用分部积分公式的LI的)[4].
1J此(x)aLtdx,JPn(a)sin如v类型积分.巴(x)是关于x的"次多项式,a> 0;其中 ，产,sind所表示的是指其代表的一类函数*是常数.取" =P”(x).
2.3计算某些无理根式的不定积分14
2.4计算分段函数的不定积分16
参考文献17
英文摘要、关键字18
不定积分的计算方法及拓展
数学与信息科学学院数学与应用数学
指导教师
作者
摘要:不定积分在数学分析学科中的占据着重要地位•不定积分是计算微分 的逆运算,是讣算函数定积分运算的基本前提，是一种处理具体应用如，物理学运 动、液体流速等，经济学函数数量统计，以及儿何学上曲线、曲面等问题的重要途 径.本文主要阐述了三种常用的计算方法和四类特殊函数的不定积分讣算方法.
角军:/ =x\]x2+a-fdx，由于J£dx = I-ai#_,
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论文_求一元函数的不定积分的方法
长沙学院信息与计算科学系本科生科研训练求一元函数的不定积分的方法系（部）：信息与计算科学专业：数学与应用数学学号： 2009031129学生姓名：陶莹成绩：2012年6月求一元函数不定积分的方法陶莹长沙学院 信息与计算科学系，湖南 长沙，410022摘要：本文给出反函数法、倒代换法、互余法、递推法和分解积分法五种求一元函数不定积分的方法技巧，并举例说明如何灵活运用．加以推广, 对于一些用一般方法去解较复杂的题目使用此方法可变的简单．关键字：不定积分，反函数法，倒代换法，互余法，递推法，分解积分法1综述求一元函数不定积分的方法是根据部分积分公式以及变量代换得出的一系列的求积分公式．在求解计算过程中，虽然某些类型的不定积分的求解，有固定的方法可用，但在计算时常常很繁杂，本文提供了反函数法、倒代换法、互余法、递推法和分解积分法五种求一元函数不定积分的方法技巧，并举例说明如何灵活运用．使用这些方法可使计算变的简单，并且起到化繁为简的作用．在利用反函数法求不定积分[1]中，根据原函数与反函数的关系，得出利用反函数法求不定积分的一系列积分公式．在不定积分的几种解法[2]中，倒代换法是根据函数本身的特点，利用倒数代换来求解函数的不定积分．互余法是利用三角函数互余性的关系来求解不定积分．递推法是利用数学计算中常用的递推关系来求解函数的不定积分．在求不定积分的一种新方法——分解积分法[3]中，分解积分法提供了一种解题的通用方法，在实际中分解积分法的求解思路，可用于任何求解题目中，具有广泛的推广性．2求解不定积分的方法 方法1 反函数法[1]定理1[1] 设函数)(x f y =的反函数)(1-y f x =存在且都可积，则有⎰⎰=dyy fx xf dx x f )( -)()(1-．证明 考虑分部积分公式⎰⎰=v d u uv udv -．（1） 令)(x f y u ==，)(1-y f x v ==，于是有dy du dx dv ==,． （2） 将（2）式代入（1）式，得⎰⎰=dyy fx xf dx x f )( -)()(1-．例1[1] 求不定积分⎰xdx c sin ar 解 由定理1得Cxx c x Cy x c x ydy x c x xdx c ++=++==⎰⎰2-1sin ar cos sin ar sin -sin ar sin ar定理2[1] 设函数)(x f y =的反函数)(1-y f x =存在且都可积，）（x G 是)(x g 的一个原函数且也可积，则有dyy fyx x f dx x x f k k ⎰⎰=))(G(k -))G(())g((-11-k ．证明 在分部积分公式⎰⎰=vdu uv udv -中，令)(x f u k = )(x G v =,则有dyy f yx x f dyy f x x f x f d x x x f x G d f dx x x f kkk kk k k⎰⎰⎰⎰⎰====))(G(k -))G(())(G(-))G(())(()G(-))G(( ))(((x)))g((1-1-k 1-例2[1] 求不定积分dx x x c 3)(2sin ar 2+⎰）（解 由定理2得Cx c x x x xc x x x c x x x c C y y y y y y y x x x c dyy y y x x x c dxx x c +++++=+++++=++=+⎰⎰sin ar -166-)2-(141sin ar -1)sin (ar 21-)3()sin (ar cos 6sin 6-2cos 412sin 2121-)3()sin (ar )3sin (sin 2-)3()sin (ar 3)(2sin ar 2222222222222）（定理3[1]设函数)(x f y =的反函数)(1-y f x =存在且都可积，)(x g 可导且)(x g n也可积，则有dy y fyn x x f n dx x x x f k k k ⎰⎰++++=))((g1k-)()g(11)()g ()g (1-1n 1-1n 'n ．证明 在分部积分公式⎰⎰=vdu uv udv -中，令)(x f u k = )(111x gn v n ++=,则有：dyy f y n x x f n dyx f g n x x f n x f d x g n x f n dx x x x f k k n kkn k k ⎰⎰⎰⎰++++++++=++=++=))((g1k -)()g(11))((11-)()g (11))(()(11-(x))g (11)()g ()g (1-1n 1-1n k1-11n 11n 'n例3[1] 求不定积分dxxx ⎰)1(-ln 52解 由定理3得Cxx xx xCeyex xdy yex x dx x yyy+++=+++==⎰⎰44244-4-244-4252321ln 81ln 4132181ln4142-)1(ln 41)x1(-ln定理4[1]设函数)(y x f =的反函数(y)1-f x =存在且都可积，则有⎰⎰=dyeyakx f adx x f afk xk kax(y)1-a 1--)e(1)(e．证明 在分部积分公式⎰⎰=vdu uv udv -中，令)(x f u k =，axe av 1=，则有⎰⎰⎰==dyeyak x f ax dfe ax f ax x f afk k kax k kax(y)1-axax1--)e(1)(1-)e(1)d (e例4 求不定积分dx x e x 221)(+⎰ 解 由定理4得Cee x ex C eyee x dy ye e x dx x exy y x y xx++++=+++=+=+⎰⎰x2x2221)-2(1)-(2221)-(22222411)(21-1)(214121-1)(21-1)(211)( 方法2 倒代换法[2]对⎰⎰⎰⎰±±2222222222,,-,-ax xdx ax x dx xa xdx xa x dx 等类型的不定积分,采用倒代换ta x =都能将积分化简并求值．例5[2] 求⎰+)(1d 24x x x解 令dttdx tx 21-,1==Cx c x xC t c t t dtt x t dt t x xdx++=++=++=+=+∴⎰⎰⎰1tanar -131-tan ar -31-]111)-[(-1-)(1232224-24方法3 互余法[2]定义[2]设βαβαβαπβαcsc sec ,cot tan ,cos sin 2====+，，则称三角函数的正弦于余弦，正切与余切，正割与余割间的这种性质称为三角函数的互余性．例6[2] 求⎰xdx x cos e解 根据三角函数的互余性，记⎰=xdxI xcos e 1，⎰=xdx I x sin e 2xdxe x e dexdx xxxxsin sin cosx cos e ⎰⎰⎰+==1x 21cos C x e I I +=-∴ (3)又⎰⎰⎰==xdx e x e xde xdx x x x x cos -sin sin sin e221sin C x e I I x +=+∴ (4)将(3)+(4)解得C cosx)(sin e 21cos e 1++==⎰x xdx I xx其中)(2121C C C +=．方法4 递推法[2]例7[2]⎰+=nn x adxI )(22（n 为自然数）解 Cax c axadx I +=+=⎰tan ar 1221当2≥n 时])(-)([1)-(211)(11)-(211)(1-)(1)(-11-221-2221-21-2221-222221)-(222222222n ⎰⎰⎰⎰⎰+++=++=++=++=n n n n n nn nx adxx a xn a I ax a xdn aI a dxx axax adxadx x a x x a a I经整理得2)()x 1)(-(21)-(23-21-2221-2≥++=n a n a xI n a n I n n nCax c aI +=tan ar 11方法5 分解积分法[3]定义[3]求不定积分 ⎰=dxx f X )(，若r r X X X X ααα+⋅⋅⋅++=2211． （5）其中，r),,21,(i ⋅⋅⋅=∈i α，i x 是某一函数的不定积分r),,21,(i ⋅⋅⋅=，称为辅助积分，且r X X X ⋅⋅⋅,,21满足：r rr r r r r r r bX X X b X X X b X X X =+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++ααααααααα22112222212111212111 （6）其中：r),1,2,(i b r),1,2,j (i,i ⋅⋅⋅=∈⋅⋅⋅=∈R R ij α，且0≠ij α，则通过解线性方程组（6）便得到r X X X ⋅⋅⋅,,21，这样不定积分X 由（5）就可以求出，我们把该方法称为分解积分法．例8[3] 求不定积分dxxx x x ⎰++cos 3sin 2cos 2sin解 令 dxx x xX ⎰++=cos 3sin 2cos 2sinx ， dx xx X ⎰+=cos 3sin 2sinx 1， dxxx x X⎰+=cos 3sin2cos 2，那么1213cosx2sinx 3cosx 2sinx 32C x dx X X +=++=+⎰（7）221cos 3sin 2ln cos 3sin2sin 3-cos 223-C x x dx xx xx XX ++=+=+⎰ （8）(8)2(7)3⨯+⨯得21223cos 3sin 2ln 234)X(9C C x x x ++++=+整理得1323cos 3sin 2ln 132133212C C x x x X ++++=)8(3)7(2⨯-⨯得2113-2cos 3sin 2ln 3-29)X (4C C x x x ++=+整理得133-2cos 3sin 2ln 133-132211C C x x x X ++=所以 Cx x X X X X +++=+=c o s 3s i n 2ln 131138221其中13821C C C +=．3总结本文给出反函数法、倒代换法、互余法、递推法和分解积分法五种求一元函数不定积分的方法技巧，并举例说明如何灵活运用．加以推广, 对于一些用一般方法去解较复杂的题目使用此方法可变的简单，并且起到化繁为简的作用．在求解函数不定积分时，观察函数的特征采用正确的解题方法，可以快速准确的求解出函数的不定积分．参考文献[1] 高丽.利用反函数法求不定积分[J].河南：河南科学,2006,24(1):9-10． [2] 傅涌.不定积分的几种解法[J].宜春师专学报，2005,22(5):43-47． [3] 王震.求不定积分的一种新方法——分解积分法[J].枣庄师专学报，1999，10（3）：10-12．[4] 华东师范大学数学系.数学分析第三版（上册）[M].北京：高等教育出版社，2001：252-280．。
不定积分毕业论文开题报告
毕业论文开题报告题目不定积分的求解办法与技巧学生姓名学号所在院(系) 数学与计算机科学学院专业班级数学与应用数学专业(师范类)10级1班指导教师20 14 年 3 月 10 日下面是三个励志小故事，不需要的朋友可以下载后编辑删除!!!谢谢！！！你可以哭泣，但不要忘了奔跑2012年，我背着大包小包踏上了去往北京的火车，开启了北漂生涯。
彼时，天气阴沉，不知何时会掉下雨滴，就像我未知的前方一样，让人担忧。
去北京的决定是突然而果决的，我在宿舍纠结了一天，然后在太阳逃离窗口的时候打电话告诉父母，我要到首都闯一闯。
消息发出去之后，并没有预料之中的强烈反对，父亲只给我回了一个字：好。
就这样看似毫无忧虑的我，欣喜地踏上了北上的路。
有些事情只有真正迈出第一步的时候，才会迎来恐惧。
当我踏上北上的列车时，才惊觉对于北京，除了天安门、央视大楼这些着名建筑，我知之甚少。
俗话说无知者无畏，可于我而言，这句话并不适用，因为在坐上火车那一刻，我就开始对未来胆战心惊，毫无底气。
火车开动之后，我的心情变得更加复杂而紧张，甚至一度心生退意。
人类果然是一个无解的方程式，看似无畏的勇气背后不知藏下了多少怯懦和犹豫。
旁座的姐姐见我一人，开始和我有一搭没一搭地聊起了天。
几分钟后，我们竟如同许久未见的好友一般，开始聊起了各自的生活。
我说出了自己的恐惧与未见，期冀从她那里得到些许安慰和鼓励。
出乎意料地，她并没有说一些心灵鸡汤般的哲理语句，反而给我讲了一个故事，一个让我在很长一段时间都印象深刻，每次想起便会荷尔蒙再度升高的故事，一个她自己的故事。
那是一段并不愉快的经历，整段经历是蜿蜒前行的。
高考中，她因为做错了三道大题，成为家里的罪人。
朋友极尽嘲笑，亲戚们也开始暴露自己毒舌的属性，父母当时并没有过多指责，因为他们正在跟自己的兄弟姐妹们为了祖母的遗产争得死去活来。
那被人类歌颂的血缘、亲情，在所有的利益面前瞬间分崩离析。
那时的她，像极了一个被遗弃的孩子。
不定积分的论文
- 1 -不定积分计算的各种方法广东石油化工学院高州师范学院312数学（2）班 蓝俊杰 【摘要】 本文简单介绍不定积分的性质，分析常见不定积分各种求解方法：直接积分法（公式法）、第一换元积分法、第二换元积分法（三角代换、倒代换、去根号法）、分部积分法，并且结合实例加以讨论分析，寻找快捷简便的解题方法。
【关键词】 不定积分 换元法 三角代换 倒代换 去根号法 分部积分法不定积分是《数学分析》中的一个重要内容，它是学习定积分、广义积分、重积分、曲线积分及各种有关积分函数的基础，因此，掌握不定积分的计算是非常重要的，但是求不定积分没有固定的方法，要根据题型的特点采取不同的方法，同一道题会有不同的解法，是数学分析学习是的一个难点。
本文对不定积分的求解方法进行了总结。
一、不定积分的定义与性质定义1：设()f x ， x I ∈，若存在函数()F x ，使得对任意x I ∈均有()()F x f x '=或()()dF x f x dx =，则称()F x 为()f x 的一个原函数。
显然，若f(x)存在原函数，则它的原函数有无穷多个，不同的原函数只相差一个常数。
定义2：()f x 的全部原函数称为()f x 在区间I 上的不定积分，记为()()f x dx F x C =+⎰由[1]，若f(x)在区间I 上连续，则f(x)必定存在原函数。
2.不定积分的运算性质- 2 -[]1.()()()()f x g x dx f x dx g x dx αβαβ+=+⎰⎰⎰2.()();()()f x dx f x d x dx f x dx '⎡⎤==⎣⎦⎰⎰ 3.'()),()F x dx F x c dF x F x c =+=+⎰⎰（（）二、直接积分法（公式法）利用不定积分运算性质、代数公式、三角函数公式及基本公式从而直接求出不定积分，这种方法就是直接积分法（另称公式法）本积分公式如下：10dx c =⎰（）．； 7kdx kx C =+⎰（）；112,11uu x dx x u u +=≠-+⎰（）； 8ln dx x C x=+⎰（）; 3sin cos xdx x c =-+⎰（）；9cos sin dx x c =+⎰（）； 214arctan 1dx x C x =++⎰（）；(10)arcsin ;x C =+ 215tan cos dx x C x =+⎰（）； 21(11)cot ;sin dx x C x=-+⎰ 6x x xe d e C =+⎰（）； 下面具体举例加以讨论：例：2.1.1求不定积分 32(4253)x x x dx -++⎰解：原式=34x dx ⎰-22x dx ⎰+5xdx ⎰+3dx ⎰=43x dx ⎰-22x dx ⎰+5xdx ⎰+3dx ⎰=.43225332x x x x c -+++注：计算多项式的不定积分时，可用不定积分运算性质［1］[]()()()()f x g x dx f x dx g x dx αβαβ+=+⎰⎰⎰进行计算。
浅谈无理函数不定积分的求解方法
浅谈无理函数不定积分的求解方法摘要：我们将自变量包含在根式之下的函数称为无理函数。
这样的特点使得无理函数不定积分，在通常情况下求解较为复杂。
对于一个无理函数来说，大多数情况下，较常见的情况是同一个无理函数有多个求不定积分的方法，如何从多种不定积分求解方法中选出最优的解法，就是一个我们需要考虑的问题了。
本文旨在将以往的无理函数不定积分求解方法进行综述，探讨各个方法在求解上的应用与具体使用过程。
同时，总结了对一些常见的无理函数不定积分类型的常用解法。
为无理函数不定积分的求解提供一种思路。
关键字：无理函数不定积分计算方法Abstract:We usually call the function which have one or more arguments under the radical as irrational function. The feature of irrational function makes the irrational function integral become tough problem for we to solve. For an irrational function, in most cases, the more common situation is the same irrational function with multiple indefinite integral method. So, how to select an optimal solution from a variety of indefinite integral method, is a problem that we need to consider.This article aims to past the irrational function of indefinite integral solution method to carry on the summary, discusses the application of various methods on solving the use with specific process. At the same time, summarizes the irrational function of some common indefinite integral types of commonly used method. In order to provide a way to solve the irrational function indefinite integral problems.key words:irrational function indefinite integral method1.无理函数不定积分的求解方法通常情况下，我们对无理函数不定积分的求解通常都会先对无理函数部分做前置处理工作。
不定积分求解方法毕业论文设计
学号14121401576Hunan Institute of Science and Technology本科毕业论文题目：关于不定积分解题思路的探讨作者何宇届别2017系别数学学院专业数学与应用数学指导教师罗德仁职称讲师完成时间2017年5月关于不定积分解题思路的探讨On the resolving idea of indefinite integral 专业:数学与应用数学作者:何宇指导老师:罗德仁湖南理工学院数学学院二○一七年五月岳阳摘要不定积分是求定积分的基础, 在一元微积分学中占有重要地位. 学好不定积分, 对于导数和微分学中其他相关知识的巩固很有帮助. 求解不定积分常用的方法主要有: 基本公式法, 换元积分法, 分部积分法, 有理函数的积分法. 如何快速找到解题的突破口, 灵活使用各类方法是关键.我们从被积函数的特点出发, 从易到难, 对不定积分进行多角度的观察和分析, 比较各类积分法, 发现和总结规律, 提高不定积分解题能力.关键词: 不定积分; 基本公式法; 换元积分法; 分部积分法; 有理函数的积分法AbstractIndefinite integral is the foundation of definite integral, i t occupies an important position in unitary differential calculus. Grasp the solving methods of indefinite integral is helping to derivative and other relevant knowledge. S everal methods of solving i ndefinite integral are f requently used, such as basic formula method, change the variable, integration by parts, primitives of rational functions. What matters is how to quickly find the ideas of subject and flexibly use various method.We observed and analysised the indefinite integral multi-angle, on the characteristics of integrand,from simple to difficult, compare various methods, sum up the laws, improve solving ability of the indefinite integral problem .Keywords:indefinite integral; basic formula method; change the variable; integration by parts;integration by parts primitives of rational functions目录摘要 (I)Abstract (II)0 引言 (1)1 原函数与不定积分 (1)1.1 原函数存在定理 (1)1.2 不定积分的定义 (2)2 不定积分的计算方法 (2)2.1 基本公式法 (2)2.1.1 不定积分线性运算法则 (2)2.1.2 基本积分公式及基本公式法 (3)2.2 第一换元积分法 (4)2.2.1 观察法和联合“凑”微分 (4)2.2.2 多次“凑”微分 (6)2.3 第二换元积分法 (6)2.3.1 根式代换法 (7)2.3.2 三角代换法 (7)2.3.3 倒代换法 (8)2.4 分部积分法 (9)2.4.1 幂三指两两相乘u,v的选取 (9)2.4.2 幂对反两两相乘u,v的选取 (10)2.5 有理函数的积分 (12)2.5.1 六个基本积分 (12)2.5.2 待定系数法 (13)参考文献 (15)0 引言不定积分与定积分构成一元函数积分学. 现实中许多问题, 如: 已知加速度求速度; 已知速度求路程等都与不定积分有关, 这些求导的逆运算便是不定积分的求解. 首先第1章第1节我们利用变上限积分的定义和积分第一中值定理, 证明原函数的存在定理, 1.2节给出了不定积分的定义并总结了不定积分和原函数之间的关系. 第2章在给出不定积分各类解题方法的基础上, 就解题思路和方法的选取技巧作进一步探讨.1 原函数与不定积分1.1 原函数存在定理定义1.1 设函数()F x 与()f x 区间I 上都有定义.若()(),,F x f x x I '=∈ (1.1) 则称()F x 为()f x 在I 区间上的一个原函数.定义1.2 设()f x 在[],a b 上可积, 由可积的充要条件可知, 对任意的[],,x a b ∈()f x 在[],a x 上也可积, 定义变上限积分()()(),xa d x f t dt f x dx'Φ==⎰[],.x a b ∈ (1.2) 定理1.1 若()f x 在[],a b 上连续, 则由上式（1.1）所定义的函数在[],a b 上处处可导,有()()(),xa d x f t dt f x dx 'Φ==⎰[],.x a b ∈ (1.3) 证 对任一确定的[],,x a b ∈当0x x +∆≠且[],x x a b +∆∈时, 由上式和积分第一中值, 存在θ使得1()(),x xx f t dt f x x x x θθ+∆∆Φ==+∆∆∆⎰0 1.θ≤≤ (1.4) 因()f x 在x 处连续, 故有0()lim lim ()(x x x f x x f x x θ∆→∆→∆Φ'Φ==+∆=∆ (1.5)由x 的任意性, 知()x Φ是()f x 在[],a b 上的原函数.1.2 不定积分的定义定义1.3 函数()f x 在区间I 上的全体原函数称为()f x 在区间I 上的不定积分，记作(),f x dx ⎰(1.6)其中称⎰为积分号, ()f x 为被积函数, ()f x dx 为被积表达式, x 为积分变量, (1.6)在使用时要看成一个整体.由定义3可知，不定积分和原函数是个体和总体的关系, 即如果()F x 为()f x 的一个原函数那么()f x 的不定积分是一个函数族{()},F x C +其中C 为任意常数, 记作()().f x dx F x C =+⎰ (1.7)不难发现,[]()=()(),f x dx F x C f x ''⎡⎤+=⎣⎦⎰(1.8)[]()()().d f x dx d F x C f x dx =+=⎰(1.9)显然, “存在原函数” 和 “存在不定积分” 说法是一样的.2 不定积分的计算方法2.1 基本公式法2.1.1 不定积分线性运算法则我们平时做题都会发现, 求导相对求原函数要简单很多. 因为导数的定义具有构造性, 而原函数的定义只告诉我们, 它的导数恰好等于某个已知的函数, 并没有给出由已知函数求原函数的具体形式和途径.下面先讲述怎样由导数线性运算法则来求不定积分的线性运算法则:定理 2.1 函数()f x 和()g x 在区间I 上都存在原函数, 12,c c 为任意常数，则12()()c f x c g x +在I 上也存在原函数, 且当12,c c 不同为零时, 有[]1212()()()().c f x c g x dx c f x dx c g x dx +=+⎰⎰⎰ (2.1)证 由导数的基本性质可知121212()()()()()().c f x dx c g x dx c f x dx c g x dx c f x c g x '''⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰2.1.2 基本积分公式及基本公式法上表便是常用的积分公式. 如果遇到被积函数和公式里的一样, 便可以直接利用公式; 但很多时候我们遇到的被积函数有所变化, 这时我们要将被积函数变形为积分公式中被积函数的代数和运算及数乘运算.我们将这种方法称为积分基本公式. 例1求. 分析: 被积函数显然是一个幂函数, 通过化简便能利用积分公式直接求解.解54x dx -=⎰514514xC -+-+=+144x C -=-+C =.例2求dx ⎰. 分析: 被积函数是两个带根号的分式, 并且两个分母不同, 但我们观察可以发现(1)(1)x x -+的乘积恰好是21x -, 这不正好是我们积分公式里的形式吗? 因此可将分子分母同乘一个数再化简求解.解 dx ⎰dx =⎰=⎰=2arcsin x C =+.求解不定积分的基本思路是: 先将被积函数变形为积分公式中被积函数的代数和运算及数乘运算, 然后应用不定积分的基本积分公式和线性运算法则来求解.2.2 第一换元积分法定理2.2 设()(),()f u du F u C u x ϕ=+=⎰是可微函数, 则(())()(()).f x x dx F x C ϕϕϕ'=+⎰ (2.2)上面求不定积分的方法称之为第一换元法, 也叫 “凑” 微分法.运用公式(2.2), 关键在于寻找合适的()x ϕ, 使()x ϕ'与dx 凑微分, 然后进行换元, 故这种方法又称为 “凑” 微分法.使用第一换元法的基本步骤是:()g x dx ⎰观察(())()f x x dx ϕϕ'⎰凑微分(())()f x d x ϕϕ⎰()x uϕ=令()f u du ⎰积分()F u C + ()u x ϕ=代回(()).F x C ϕ+ 2.2.1 观察法和联合“凑”微分有的被积函数通过观察便能很快 “凑” 出来, 比如以下的这种:例3(ln )(ln )(ln )f x dx f x d x x=⎰⎰; (cos )sin (cos )(cos )f x xdx f x d x =-⎰⎰; 2(cot )csc (cot )(cot )f x xdx f x d x =-⎰⎰;(csc )csc cot (csc )(csc )f x x xdx f x d x =-⎰⎰.第一个式子中的1x 能 “凑” 成ln||x 的微分, 即1(ln||)(ln||)x d x x'==. 中间变量ln x 便是(2.2)中的()x ϕ.其余式子与此类似. 而有的被积函数则比较复杂, 再看一个例题:例4 求21ln (ln )x dx x x +⎰.分析: 初看来无法下手, 但通过观察和推敲可以发现, 对分母中ln x x 进行求导, 有(ln )1ln x x x '=+. 故需将ln x x 与dx 凑微分, 称为联合凑微分法.解 由(ln )1ln x x x '=+, 则21ln (ln )xdx x x +⎰2ln (ln )dx x x x =⎰1ln C x x =-+. 我们再看一个例子: 例5 求3cos 2.(sin cos )xdx x x +⎰分析: 被积函数中分母为一个和式的高次幂, 和式应当成一个整体, 再看分子, 可以转化为与和式相关的式子.解 cos2(sin cos )x dx x x +⎰223cos sin (sin cos )x x dx x x -=+⎰ 2232cos sin (sin cos )(sin cos )(sin cos )1.sin cos x xdx x x d x x dx x x C x x-=++=+=-++⎰⎰2.2.2 多次“凑”微分有时候我们不能很快的就凑出微分, 这时需用到多次凑微分, 如例6. 例6 求.(12ln )dxx x +⎰分析: 被积函数中含有多个复合函数, 我们可以利用基本积分表中的积分公式，作多步的凑微分.解(13ln )dx x x +⎰(ln )13ln d x x =+⎰1(3ln )=313ln 1(13ln )=313ln 1ln |13ln |.3d x x d x x x C +++=++⎰⎰有的时候我们要多次同时凑微分, 这需要我们对导数公式特别熟悉.用凑微分法求解不定积分时, 首先要认真观察被积函数, 当被积函数为复合函数时, 首先考虑这种方法, 为复合函数的中间变量“凑微分”. 当看不清被积函数的特点时, 不妨从被积函数中拿出部分算式来求导尝试, 或许从中可以得到某些启发.2.3 第二换元积分法当被积函数是复合函数, 还是有很大一部分中间变量的微分不好用第一换元法 “凑” 出来, 这时我们可能用到第二换元积分法.定理2.3 设()x t ψ=是单调可导函数, 且()0,t ψ'≠ []()()f t t dt ψψ'⎰具有原函数, 则有[]1()()()()|t x f x dx f t t dt ψψψ-='=⎰⎰.(2.3)其中1()t x ψ-=是()x t ψ=的反函数.用好第二换元积分法, 关键在于找到合适的换元()x t ψ=使积分变得简单, 但在换元过程中要注意()x t ψ=需存在反函数且可导, 故需要()x t ψ=的可导性和单调性.使用第二换元积分法的基本步骤是:()f x dx ⎰()x t ψ=令(())()f t d t ψψ⎰微分(())()f t t dt ψψ'⎰积分()F t C +1()t x ψ-=代回1(()).F x C ψ-+下面我们通过例题先介绍根式代换. 2.3.1 根式代换法 例 7求⎰分析: 被积函数含有无理根式, 不管是基本公式法还是第一换元法, 都不好求解, 这时第二换元法恰到好处地解决了这个问题: 将无理根式看成一个整体进行根式代换. 解3, 2.t x t ==-⎰231t dt t =+⎰ 211311t dt dt tt ⎛⎫-=+ ⎪++⎝⎭⎰⎰ 23ln |1|2t t t C ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭3ln |1C ⎫⎪=++⎪⎝⎭. 由此可见, 当我们遇到被积函数为无理根式的时候, 可以优先考虑根式代换法. 下面再讲讲三角代换.2.3.2 三角代换法 例8求 分析:被积函数中让人联想到三角函数让人联想到三角函数, 在一个直角三角形中,a 为斜边, x 为一直角边, 如右下图1.解 sin ,x a t =令则arcsin .xt a ==dt =⎰ t C =+ arcsinxC a=+., 考虑换元令sin x a t =;, 考虑换元令tan x a t =;, 考虑换元令sec x a t =. 碰到这些形式的, 都可以使用三角代换法. 2.3.3 倒代换法 例9 求2018.(1)dx x x+⎰分析:被积函数中分母的幂函数次数很高, 能否找个中间变量使分母变成分子, 简化计算呢? 我们会想到以前的倒数!解 令1,x t =则21,dx dt t=-2018(1)dxx x+⎰220181111t dtt t -=⎛⎫⎪+⎝⎭⎰201720181t dtt =-+⎰201820182018201811(1)201811ln(1)201811ln(1).2018d t tt CC x =-++=-++=-++⎰不难发现, 当被积函数中分母的次数较高时, 我们考虑倒代换. 用第二换元积分法解题, 根式代换, 三角代换, 倒代换是常用手段.两类换元积分法的联系:基本方法都是换元, 进行的都是求微分的核心运算. 两类换元积分法的区别:(1)第一换元法是将x 看成自变量, 第二换元法是将t 看当成中间变量; (2)第一换元法先微分后换元, 第二换元法是先换元再微分;2.4 分部积分法设函数()u u x =和()v v x =都具有连续的导数, 则有分部积分公式:uv dx uv u vdx ''=-⎰⎰ 或 udv uv vdu =-⎰⎰. (2.4)其原理是函数四则运算的求导法则的逆用.当被积函数是指数函数, 三角函数, 幂函数, 对数函数或者反函数中任意两个的乘积时, 常考虑用分部积分法. 关键在于找好v ', 把它凑成dv , 用两个因式乘积减去vdu 的积分.那么, 在选取,u v 时, 应该注意哪些问题呢? 下面通过例题来探讨一下.2.4.1 幂三指两两相乘,u v 的选取 例10 求sin x xdx ⎰.解 (方法一) 将sin x 看成v ', 则sin =x xdx ⎰cos xd x -⎰cos cos x x xdx=-+⎰cos sin .x x x C =-++ (方法二) 将x 看成v ', 则sin =x xdx ⎰2sin 2x xd⎰22=sin cos 22x x x xdx -⎰,到这一步的时候我们发现比原题更难, 因此题中,u v 的选取是有技巧的.当被积函数是三角函数与幂函数的乘积时, 把三角函数看成v '是有利于计算的.下面继续探讨一种类型:例11 求2x x e dx -⎰.分析：被积函数是指数函数和幂函数的乘积, 发现u 选2x , 其余部分凑微分形成v , 这样在使用分部积分公式后可以对幂函数进行降幂. 这里我们还要用到多次分部积分. 解 2x x e dx -⎰2()x x d e -=-⎰ 22x x x e xe dx --=-+⎰ 222x x x x e xe e dx ---=-+⎰ 2(22)x x x e C -=--++.如果u 选xe -, 原式222()222xx x x x x e d e e dx ---==+⎰, 新积分22xx e dx -⎰不比原积分2x x e dx-⎰简单, 因此将幂函数看成u , 指数函数看成v '. 同理, 当被积函数是指数函数与三角函数的乘积时, 将指数函数看成v ', 这里还用到循环分部积分法.例12 求cos .x e xdx ⎰解 cos x e xdx ⎰=(sin )x e d x ⎰sin sin ()x x e x xd e =-⎰sin (cos )sin cos cos ()sin cos cos .x x x x x x x x e x e d x e x e x xd e e x e x e xdx =+=+-=+-⎰⎰⎰由于2cos (sin cos )2,x xe xdx e x x C =++⎰所以1cos (sin cos ).2xx e xdx e x x C =++⎰通过例题我们发现, 当被积函数是三角函数和指数函数的乘积时, 要分部积分两次.2.4.2 幂对反两两相乘,u v 的选取 例13 求2ln(1)x x dx -⎰.分析: 类似上面例题的思路, 发现选ln(1)x -为u 更好.解 32ln(1)ln(1)3x x x dx x d-=-⎰⎰331ln(1)331x x x dx x =--⋅-⎰3211ln(1)(1)331x x x x dxx =--+++-⎰ 32311ln(1)(1)().3332x x x x x C =---+++当被积函数是幂函数与对数函数的乘积时, 将对数函数看成u , 幂函数看成v '无疑是更利于计算的. 下面再看下幂函数与反三角函数的例子, 这里我们还得对式子作适当的变形. 例14求3.解 令arccos t x =, 则cos ,x t = sin ,dx tdt =- 有33cos (sin )sin tt t dt t=-⎰3cos t tdt =-⎰ 2(sin 1)sin t t d t =-⎰31(sin sin )3td t t dt =-⎰3211sin sin (sin 1)cos 33t t t t t d t =-+-⎰33121sin sin cos cos 339t t t t t t C =---+3121(933x x x x C =---++.当被积函数是幂函数与反三角函数的乘积时, 将幂函数看成v '. 同理, 若是对数函数与反三角函数的乘积, 将对数函数看成v '.综上所述, 分部积分法在选取,u v 时, 有一定的选取技巧, 这样使运算更为方便: （1）根据v '容易求出v ;（2）新积分vdu ⎰比udv ⎰容易求.一般的, 积分从反函数到指数函数会越来越简单. 被积函数中是 “反对幂三指” 5类函数的2种, 根据“反对幂三指” 先后顺序, 前者为u 后者为v '. 如被积函数是三角函数与对数函数的乘积时, 把三角函数看成v ', 即v '的选取顺序为指数函数, 三角函数, 幂函数, 对数函数, 反函数.2.5 有理函数的积分我们把形如10111011()()n n n n m m m m a x a x a x a P x Q x b x b x b x a ----++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++ (2.5) 称为有理函数. 其中012,,,n a a a a ⋅⋅⋅及012,,,m b b b b ⋅⋅⋅为常数, 且000,0.a b ≠≠()P x 的次数n 小于()Q x 的次数m , 称分式为真分式; ()P x 的次数n 大于()Q x 的次数m , 称分式为假分式.2.5.1 六个基本积分我们把被积函数分成基本类型的几个函数进行积分时, 总是假定它们可分成若干基本分式. 理论上任意一个有理真分式函数的积分, 都可以拆分成6个类型的基本积分的代数和:(1)ln ||;dxx k C x k =+++⎰(2)11(2);()(1)()m m dx C k x k k x k -=+≥+-+⎰(3)221arctan ;dx xC x k k k =++⎰(4)22221ln();2xdx x k C x k =+++⎰ (5)222211;()2(1)()m m xdx C x k n x k -=++-+⎰ (6)22()m dxx k +⎰(2)m ≥可由递推法求得.例15 简单的有理真分式拆分, 如23311(1)1x dx dx x x x x ⎛⎫=-⎪++⎝⎭⎰⎰31ln ||ln |1|2x x C =-++.有的时候, 被积函数不能很快地拆分成几个基本分式, 下面介绍一种好用的方法. 2.5.2 待定系数法(1) 被积函数拆成多个分式后, 如分母中含有因式()t x c -时, 部分分式形式中对应项应该是这样:122.()()ttK K K x c x c x c ++⋅⋅⋅+--- (2) 如分母中含有因式22()(40)m x rx s r s ++-<时, 分式形式中对应项应是这样:11222222.()()m m mM x N M x N M x N x rx s x rx s x rx s +++++⋅⋅⋅+++++++例16 求2132x dx x x +-+⎰. 解 被积函数的分母分解成(2)x -(1)x -, 故可设213212x A Bx x x x +=+-+--, 其中,A B 为待定系数. 上式两端去分母后, 得1(2)(1)x A x B x +=-+- ()2A B A B =+--,比较两端同次幂的系数, 有121A B A B +=⎧⎨+=-⎩， 解得2, 3.A B =-= 因此,21323221x dx dx x x x x +⎛⎫=- ⎪-+--⎝⎭⎰⎰ 3ln |2|2ln |1|.x x C =---+致谢本文是在罗德仁博士的指导和帮助下完成的, 他细心的教导令我受益匪浅, 无微不至的关怀更是让我平添许多信心. 在此对罗老师表示衷心的感谢!参考文献[1]数学分析(第4版)[M]. 高等教育出版社,2011.[2]王晓康. 浅谈不定积分的第一换元积分法[J]. 科技资讯,2008,(07):194.[3]曾亮. 第二换元法求解某类积分的探讨[J]. 中国科技信息,2008,(11):263-264.[4]杨艳华. 两类“换元积分法”的联系与区别[J]. 科教文汇(上旬刊),2013,(12):47+49.[5]汤茂林. 分部积分法在二重积分中的巧用[J]. 高等数学研究,2007,(02):52-53.[6]包树新,展丙军. 第二类分部积分法及其应用[J]. 高师理科学刊,2010,(01):39.[7]李鸿儒. 不定积分中的拆项积分法[J]. 数学学习,1994,(04):10-12.[8]王伟珠.有理函数的不定积分的求解技巧[J].中国商界(上半月),2010,(11):327-328.[9]崔连香.整体思想求解不定积分[J].硅谷,2011,(03):191.[10]王耀卫.浅谈求解不定积分的几个原则[J].赤峰学院学报(自然科学版),2009,(11):11-12.[11] Wright K. 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毕业论文：有关积分不等式证明的论文
,故命题成立.
例6设函数 在闭区间 上连续且单调递减,求证:当 时
证明:把闭区间 划分成两个区间 和 ,则有
从而有 由积分中值定理可得:存在 使得: ,由于 在闭区间 上单调递减 ,知 ,则
即 ,因此有
1.4利用拉格朗日中值定理来证明积分不等式
分析:设 在闭区间 上连续,在开区间 内可导,则存在 使得:
1.5利用分部积分法来证明不等式
分部积分法:若 与 可导,不定积分 存在,则 也存在,并且有:
利用分部积分法来证明不等式,实质上是利用分部积分法证明一个等式,然后在给出积分估计来实现证明的
例9:设 在 上具有连续导数, ,且 ,
求证:
证明: ,又因为
, ,故命题得证.
例10:设 在闭区间 上具有二阶导数并且导数连续, , 求证:
本科毕业论文（设计）
摘
积分不等式是微积分学中的一类重要不等式,在数学分析中有着广泛的应用,且在考研试卷中会经常出现.积分不等式的证明方法灵活多样,而且技巧性和综合性也比较强.研究积分不等式的证明方法,不仅解决了一些积分不等式的证明,而且可以把初等数学的知识与高等数学的知识结合起来,拓宽我们的视野,提高我们的发散思维能力和创新能力.本文综述了证明积分不等式的若干方法,通过对例题的分析,总结了求积分不等式的一般方法.本文主要从以下几个方面去研究积分不等式的证明:利用定积分的定义,利用积分的性质,利用拉格朗日中值定理、利用积分中值定理、利用泰勒公式 、利用二重积分等多种方法来证积分不等式及研究了杨格 不等式的证明,推广及应用和柯西——施瓦兹 不等式的证明,改进及应用.
(1-3)
同理 (1-4)
(1-3ห้องสมุดไป่ตู้(1-4)相加整理得
不定积分计算的各种方法论文.doc
不定积分计算的各种方法广东石油化工学院高州师范学院312数学（1）班梁多彬【摘要】本论文将要介绍常见的不定积分的各种计算方法以及某些特殊不定积分的求解方法，如：直接积分法（公式法）、分部积分法、换元积分法（第一换元积分法和第二换元积分法）、以及一些特殊函数的积分技巧与方法（有理函数的不定积分以及简单无理函数与三角函数的不定积分），并将结合例题探讨快捷方便的解题方法。
【关键词】不定积分直接积分法分部积分法换元积分法有理函数不定积分简单无理函数与三角函数有理式的不定积分一、引言不定积分是《数学分析》中的一个重要内容，它是定积分、广义积分，瑕积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的基础，掌握不定积分的计算方法对于学习这些后续内容具有重要意义。
不定积分的解法不像微分运算有一定的法则，它需要根据不同的题型特点采用不同的解法，因此积分运算比起微分运算来，方法更多样，技巧性更强。
下面将不定积分的各种计算方法分类归纳，以便于更好的掌握、运用。
二、不定积分的概念定义：函数f(x)在区间I的所有的原函数()()RF∈xCC+称为函数f(x)的不∀定积分，表为⎰+=C x F dxx f )()( （)()('x f x F =，C 为积分常数）,其中∫称为积分符号，x 称为积分变量，f(x)称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式，C 称为积分常数。
在这里要特别注意：一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是一个函数族。
列如：at at =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'221，而⎰+=C at atdt 221； ()x x cos sin '=,而⎰+=C x xdx sin cos ；2'331x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，而⎰+=C x dx x 3231. 这也就是说：()⎰)(dx f dx和⎰dx x f )('是不相等的，即前者的结果是一个函数，而后者是无穷多个函数，所以，在书写计算结果时一定不能忘记积分常数。
浅谈高等数学中不定积分的求法1
选题的意义
不定积分的计算是积分理论的重要组成 部分，有着广泛的应用。由于导数与积分 之间有逆运算关系，求不定积分时需要一 定的运算能力及变换技巧。在学习过程中 ，我们知道不定积分的计算有很多种方法 ，而且灵活多样，但面对一道题目时用哪 种方法计算，这是很多人面临的难点。本 文结合自己对不定积分的理解和总结，通 过实例对不定积分的求法进行了初浅的探 讨。
目录
• 选题背景 • 选题意义 • 论文目标 • 论文结构 • 论文主要内容 • 小结 • 致谢
选题背景
该论文是在学习“不定积分”一课时 ，觉得不定积分的计算有很多种方法，而 且灵活多样 ，对于初学者来说有很大的困 难，所以结合自己对不定积分的理解做一 些简单的归纳总结，希望对广大初学者有 所帮助。
第三章 不定积分的积分法
本章是论文的主要部分，主要介绍了 不定积分的几种常见积分法：直接积分法 ，换元积分法和分部积分法，还归纳出了 这几种方法的适用范围和解题步骤并用实 例进行了说明。
第四章 结论
本章是对全文的一个总结，总结归纳 出了在学习过程中计算不定积分的一般思 路:首先考虑到是否能用不定积分的性质， 或者是将被积函数进行化简，再用直接积 分法来求解；其次考虑到的是能否用换元 法来求解；最后考虑到的是用分部积分法 来求解，或者是综合使用上述方法求解。 以便初学者在今后的学习中能够有所帮助 。
• 谢辞
内容结构
原函数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分
积分
部
法
积
分
法
第一换元法
第二换元法
不定积分
基
直
本
接
积
积
分
分
表
法
第一章 绪论
本章主要介绍了微积分的发展史及其在 高等数学中的应用，以及不定积分在微积 分中的地位和意义 。
不定积分求解方法毕业论文设计
不定积分求解方法毕业论文设计
一、引言
随着物理学研究及新技术的发展，对不定积分的研究也变得愈加重要。
不定积分是微积分的一种，其中的积分变量与积分常数可以用不同的方法
求解积分，也叫做非线性积分。
不定积分求解的常用方法有曲线拟合法、
拉普拉斯变换法、对偶变换法、拉格朗日变换法、函数表法、高斯积分以
及展开变换法等。
本次设计中，将介绍不定积分的求解方法，并结合具体
的例子，分析不定积分的各种求解方法，对比不定积分的求解方法的优劣，最后得出求解不定积分的最佳方法。
二、不定积分求解方法
2.1曲线拟合法
曲线拟合法是用拟合曲线来对积分进行近似求解。
拟合的曲线可以是
线性、抛物线、三次曲线等，其中最常用的是二次曲线。
曲线拟合法必须
在精确求解之前，进行较为复杂的拟合工作，得出近似结果，然后再结合
实际情况进行精确求解。
2.2拉普拉斯变换法
拉普拉斯变换法将微分方程变换成拉普拉斯积分变换形式，用拉普拉
斯变换去解决积分。
由于拉普拉斯变换具有明显的特点，能够有效地解决
积分，并且对不定积分的求解具有很大的帮助，广泛应用于物理学、数学
等领域。
2.3对偶变换法。
浅谈不定积分的解题方法
浅谈不定积分的解题方法本科学生毕业论文浅谈不定积分的解题方法摘要本文介绍求不定积分的若干方法：直接积分法，换元积分法，分部积分法和有理函数积分法等，结合实例讨论了这些方法在不定积分求解中的可行性.关键词：不定积分;直接积分法;还原积分发;分部积分法;有理函数积分法ABSTRACTThere are three solution of indefinite integration in this paper: direct integration, exchangeable integration, parcel integration. It discussed the feasibility which these ways in the solution of indefinite integration, combine with real examples.Key words: Indefinite integral; Direct integral method, Change yean integral method and the division of integral method1 引论微积分是高等院校的一门重要基础课程，当代著名数学家柯朗[1]曾指出微积分和数学分析是人类思维的伟大成果之一，它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等数学的一种特别有效的工具. 不定积分是数学分析的基本内容和主要内容，不定积分也是微分学和积分学的联系纽带. 不定积分的一个重要内容，不定积分的解法不像徽分法有一定的方法可循.求不定积分思维方灵活多样，它要根据不同题型特点采取不同的解法，不定积分运算是微分运算的逆运算. 下面把常用的不定积分的解法分类归纳，以便学生更好地掌握，求解不定积分的常规方法有：直接积分法，换元积分法，分部积分法和特殊积分法. 而实际运用中使用较多的是换元积分法和分部积分法，分部积分法是学生学习的一个难点, 掌握不定积分的解法比较困难，但是求导相对容易，因为只要熟记了基本初等函数的导数公式、掌握了导数的四则运算法则以及复合函数的求导法则，就可以求出任何函数的导数.可是不定积分就没有这么容易，第一是没有适用于一切初等函数不定积分的方法，第二是许多初等函数的原函数本身就不是初等函数, 而出现不定积分存在但是求不出来的情况.2 不定积分2.1不定积分的定义不定积分的定义[2]若在某以区间上()()'F x f x =则在这个区间上函数F(x)叫函数()f x 的原函数. 我们把函数()f x 的原函数的一般表达式称为()f x 的不定积分.记为()f x dx ⎰，亦即()()f x dx F x C =+⎰,其中()F x 是()f x 的一个原函数，C 为任意常熟，又称()f x 是被积函数，x 为积分变量，C 为积分常数，记号:为积分号.例1 求多项式的积分()2321x x dx -+⎰解 利用积分的运算法则,有原式23232x dx xdx dx x x x C =-+=-++⎰⎰⎰.3 直接积分法直接积分法[3]就是利用积分公式和积分的基本性质求不定积分的方法，直接积分法的关键是把被积函数通过代数或三角恒等变形，变为代数和，再逐项积分.直接积分法的关键[4]是： 熟练的掌握积分的基本公式和运算法则是关键,也是学习不定积分的基本要求，由于求不定积分和求导数互为逆运算，因此基本积分公式是与基本微分公式对应的积分公式 在基本微分公式较熟悉的前提下，基本积分公式是不难记住的 .例2 求2cot xdx ⎰分析：基本关系中没有关于2cot x 的积分，但是由于他相关的2csc x 积分,于是，把2cot x 来表示，然后代入公式：解 ()22cot csc 1cot xdx x dx x x C =-=--+⎰⎰.例3 求421x dx x +⎰ 解 原式()4232211111arctan 113x dx x dx dx x x x C x x +-==-+=-++++⎰⎰⎰. 例4 求2cos x xdx *⎰解 21cos 21cos 21sin 2cos 22224x x x x xdx dx dx dx x C +*==+=++⎰⎰⎰⎰. 例5 求cos 2cos sin x dx x x-⎰ 解 被积函数有不同三角函数sin ,cos x x 和cos 2x 可利用倍角公式为()22cos 2cos sin cos sin sin cos cos sin cos sin x x x dx x x dx x x C x x x x -==+=-+--⎰⎰⎰ .4 换元积分法换元积分法，就是通过适当的变量代换，把积分转化为积分表中的类型或容易积分的形式，换元积分法包括第一换元积分法及第二换元积分法.4.1 第一换元积分法第一换积分法[5]（又称凑微分法)在求积分()g x dx ⎰，如果它可()[]'()f h x h x dx ⎰的形式时，可作变量代换u=h(x)则()du h x dx =，此时[()]'()()f h x h x dx f u du =⎰⎰而()f u du ⎰又可直接积分得()F u C +，最后再将u 换回()h x 即可运算形式下:()[()]'()g x dx f h x h x =⎰⎰[()](())f h x d h x ⎰()F u C +()[()]F h x dh x C +第一换元积分法的关键[4]是将被积表达()g x dx 化[()]'()f h x h x dx ()[()]f h x dh x ⎰ 再选择变量代换()u h x =.第一换元积分法的关键[4]是:将被积表达式凑成两部分，一部分为复合函数，其中外函数为基本公式的一个函数类，另一部分为内数的微分，这里要注意系数的调整 .例6 求345dx x- 分析 ()()()123345454510a x d x x C --=--+⎰其中外函数为幂函数，内函数为45x -.解 原式()()2133134545(45)510x d x x C =--=--+. 凑微分法[6]可概述为：凑微分——()()u x dv x ；可积出，则积出；积不出，则分部——()()u x dv x 之不定积分等于()u x 与()v x 之积减去()u x 和()v x 交换位置的不定积分.注意：1 可积出（a ）x 幂函数与指数函数，对数函数，正弦函数，余弦函数之积的不定积分只须取x 的幂函数作即可积出.（b ） x 幂函数与反三角函数的积的不定积分只须取反三角函数作()u x 即可积出.(c) 指数函数同正弦正数、余弦函数之积的不定积分则可以任取一种函数()u x 即可积出.2 积不出多项式与指数函数,对数函数,正(余)弦函数,反三角函数的乘积的不定积分.例7 求()2351cos 4x x xdx ++⎰解 根据不定积分的运算性质,得()()()222sin 4351cos 43cos 45cos 4cos 4840532cos 425.16x x x xdx x xdx x xdx xdx x x x x C ++=++=+++++⎰⎰⎰⎰ 4.1.2 常用的凑微公式常用的凑微公式主要有：()1dx ax b a=+； ()1ln dx d x x=； ()x x e dx d e =；()cos sin xdx d x =；221csc sin dx xdx x=； 21arctan 1dx d x x ⋅=+.例8 21I dx x x =-⎰ 解 令sec x t =,则22sec tan ,1sec 1tan dx t tdt x t t =-=-=11arccos sec tan I c t tdt x==+⎰. 4.2 第二换元积分法一般地，如果在积分()f x dx ⎰中,令()x h t =，且可导()(),'0h x h x ≠, 则有()()()'f x dx f h t h t dt =⎡⎤⎣⎦⎰⎰若该式右端易求出原函数， 则得第二类换元法[7]积分公式()()()1f x dx h h x C -⎡⎤=+⎣⎦⎰其中()()1h x -为()x h t =的反函数,()()1t h x -= .第二类换元法关键：是要引入适当的新的积分变量，将原来的不定积分转化成为对新的积分变量的积分 然而,如何引入新的积分变量一般没有什么规律可循,只有一条大原则,就是引入新的积分变量后,要使新的不定积分比原来的不定积分较易求出 这样,问题也就比灵活,也比较困难 在教学时,我将这个问题作了一些归纳总结,如何引入新的积分变量可大致归结为下列三种方法.4.2.1根式代换法根式代换法[4]的原则是将被积函数中含有的某个根式作为一个新的积分变量,即将被积函数中含有的某个根式用一个新的积分变量代换后,使其在新的被积函数中不再含有根式.例9 求331dx x + 解 根据上述原则，须引进一个新的积分变量使其在新的被积表达式中不再含有根式，显然，只须引入变量331t x =+,令331t x =+()3211,3x t dx t dt =-= ()()(()2222233111113523115531t dx t dt t t C x x C t x -+==++=+++⎰.4.2.2 三角代换三角代换法[8]的原则是通过引入适当的三角代换把被积表达式中之根号去掉,转化成为三角有理函数之积分 被积函数中若含有根式)220a x a ->)220a x a +>)220x a a ->都可用三角代换法解决 三角代换法的一般方法如下:被积式含有的根式 三角代换()220a x a -> sin 22x a t t ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭ ()220a x a +>22x atgt t ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭ ()220x a a -> sec 0,22x a t t t πππ⎛⎫=<<<< ⎪⎝⎭s例10 求()220a x dx a ->解 令sin ,,22x a t t ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦,则cos dx a tdt =,于是()()22222222222222sin cos cos 1cos 22arcsin arcsin .22a a x dx a a t a tdt a tdt t dta x x a x a x x C a x C a a a -=-==+⎛-=+=+- ⎝⎭⎰⎰ 4.2.2 倒代换所谓倒数代换法[7]就是将积分变量用一个新的变量的倒数去代换，将其被积表达式化简 一般地，形如()220dx a xx a >±； ()2220dx a x x a >±；2dx x ax bx c ++； 22dx x ax bx c++；2ax bx cdx ++； 等积分均可作倒数代换x t =.例11 求()()()111nx n N x x +>∈+⎰解 令211,x dx dt t t==-原式()1211ln 11111n nnn t t dt dt t C t n t t --==-=-+++⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰ 得 ()111ln 11n nC n x x x ⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭⎰. 5 分部积分法5.1分部积分法分部积分法[9]主要用于解决被积函数的两种初等函数的乘积或单一个函数(对数函数，反三角函数，初等函数)的不定积分的分部积分公式:()()()()()()u x dv x u x v x v x du x =-⎰⎰.5.2积分的关键选取哪个因子当作是键，选择不当不仅不会使积分由复杂到简单，反而更复杂 选要按以下顺序进行口(顺序在前者先选)对数函数、反三角函数、幂函数、指数函数、三角函数.例12 求ln x xdx ⎰分析 被积函数是幂函数与对数函数的乘积，由()u x 的选取顺序,()ln u x x =.解 原式2222211111ln ln ln ln 22224xdx x x x d x x x x C ==-=-+⎰⎰. 例13 求2xtg xdx ⎰分析 被积函数是幂函数与三角函数的乘积，由，的选取顺序，令解 原式()22211sec 1sec 2x x dx x xdx xdx xdtgx x C =-=-=-+⎰⎰⎰⎰222111cos 2cos 2xtgx tgxdx x C xtgx d x x C x =--+=+-+⎰⎰2211ln cos ln cos 22xtgx x x C atgx x x C =+-+=+-+ (12C C C =+).6 有理函数6.1有理函数有理函数[2]设P(x)和Q(x)是两个多项式，则成形如()()P x Q x 的函数为有理函数 如：222413221,,115x x x x x x x x -+++-+-等都是有理函数 下面为我们讨论有理函数的积分方法的一般方法. 6.2 分式有理函数把真分式分解为简单分实质和的方法归结起来，主要由以下两点：若Q(x)有一个k 重实根a ，则分解时必含有分式()()122kkA A A x a x a x a +++--- ,其中A 1,A ,2A k 为待定系数；(ii) 若Q(x)有一对k 重共轭复根和，这时Q(x)必有因子()2kx px q ++,其中()()22,40,x px q x x p q αβ++=---<则分解师比含有分式()()11222222x x kx kkB C B C B C x px q x px q xpx q ++++++++++++,其中1212,,,,,,,k k B B B C C C 都是待定系数 .由此可见，任何一个真分式都可以分解成若干个简单的部分分式之和，而这些简单分式不外乎以下四种类型：(1) Ax a-； (2)()()1,2,3,nAn x a =-；(3) 2Bx Cx px q +++；(4)()()21,2,3nBx Cn xpx q +=++.其中,,,,,A B C a p q 都是常数，并设二次三项式2x px q ++没有实根，即240p q -<于是，求任何一个真分式的不定积分问题也就化成以上四种类型的积分，现在，分别求出如下：(1)Adx x a-⎰这个积分早已会求，它是()ln Adx A x a C x a =-+-⎰(2 ()()1,2,3nAdx n x a =-⎰这个积分早已会求，它是()()()111,2,31nn AA dx C N n x a x a -=-+=---⎰(3)2Bx Cdx x px q+++⎰由2x px q ++分出完全平方项，从而有22224p p x px q x q ⎛⎫⎛⎫++=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，最后一个括号中的表达式为一正数，不妨记为 现在作代换,2px t dx dt +==, 于是()2222212ln arctan '22bp Bx C Bx C B Bp t dx dt t a C C x px q t a a a ⎛⎫+- ⎪+⎛⎫⎝⎭==++-+ ⎪+++⎝⎭⎰⎰, 其中为常数，代回变量x ，就有()2222ln arctan '244Bx C B dx x px q C x px q q p q p+=+++++--⎰. 例14 求()()222211x dx x x+-+⎰解 利用部分分时，即可求得 ()()()222222211211111x x x dx dx dx dx x x x x x ++=---+-++⎰⎰⎰⎰ ()()2211ln 1ln 1arctan 21x x x C x =--+-++.例15 求32231x x x dx x --+-⎰ 解 这是被积函数的次数高于分母的次数，因此首先用除法写成即可求得322223211ln 1121x x x x x dx x dx x C x x x --+-⎛⎫⎛⎫=-+=-++ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎰⎰. 结论 上面所介绍的不定积分的解题方法都是常用的方法，根据被积函数的结构特点采取上述所给出的方法去解题，同时要学会用一些技巧把所求的复杂的题目变成我们所熟悉的，简单的方法解题 因此，需要我们去多做些练习来增长我们的做题技巧和方法，能在做题时顺心应手，面对各种求不定积分计算问题都能迎刃而解.参考文献[1] 范梅.不定积分的分部积分法探究[J] 江苏,西安航空学院学报2015,1(33)66.[2] 欧阳光中，朱学炎,金福临,陈传璋.数学分析[M],第三版,上册北京:高等教育出版社，2007.[3] 辛春元.浅析不定积分的解题方法[J].辽宁:辽宁对外经贸学院，2008:8（15）143-145.[4] 高超.浅谈不定积分基本解题方法[J].贵州:林区学报,2011,12(20):268-269.[5] 何挺.不定积分三种基本解题方法归类[J].安顺师范学报,2004,4(6):78-80.[6] 郞开禄.谈谈求不定积分两种解题方法[J].楚雄师范学报,1986,3(8):69-71.[7] 王晗宁.浅谈不定积分的解法[J].中国商报,2010,2(5):15-16.[8] 马文素.浅谈不定积分积分方法[J].青海:青海师专学报,2006,5(18):45-47.[9] 华东师范大学数系，数学分析[M].北京:高等教育出版社,1991.致谢词非常感谢老师在我大学的最后阶段——毕业论文写作给予指导，通过老师的细心点拨，使我在对这次论文的写作有了明确的方向，从资料收集，到写作，修改，到论文定稿，她给了我耐心的指导和无私的帮助，是我在写作过程中的问题与不足都被老师一一发现并进行指正如今，伴随着这篇毕业论文的最终成稿，复杂的心情烟消云散，自己甚至还有一点成就感同时，感谢所有任课老师和所有同学在这几年里给我的指导和帮助，是他们教会了我专业知识，教会了我如何学习，教会了我如何做人正是由于他们，我才能在各方面取得显著的进步，在此向他们表示由衷的感谢。
不定积分的求解方法论文
重庆三峡学院毕业设计〔论文〕题目：归结不定积分的求解方法专业：数学与应用数学年级：2021级学号：202106034208作者：林相群指导老师：吴艳秋〔讲师〕完成时间：2021年5月目录摘要 (I)Abstract........................................................................................................................................................ I I1 引言 (1)2 不定积分的求解方法 (1)2.1 根本公式法 (1)2.2 分项积分法、因式分解法 (2)2.3 “凑〞微分法〔第一类换元积分法〕 (3)2.4第二类换元积分法 (4)2.5分部积分法 (4)2.6有理函数的积分 (5)3 各种方法所对应的题型 (5)3.1 根本公式法 (5)3.2 分项积分法、因式分解法 (6)3.3 “凑〞微分法〔第一类换元积分法〕 (7)3.4第二类换元积分法 (8)3.5分部积分法 (8)3.6有理函数的积分 (9)4 解决不定积分的一般步骤 (10)致谢 (11)参考文献 (11)归结不定积分的求解方法林相群〔重庆三峡学院数学与统计学院数学与应用数学专业2021级重庆万州 404000〕摘要：不定积分的求解方法在本科阶段可以归为六大类：根本公式法、分项积分法+因式分解法、“凑〞微分法〔第一类换元积分法〕、第二类换元积分法、分部积分法、有理函数的积分法。
当我们看到所求不定积分已经对应了公式表中的某一条时，我们便用“公式法〞求解。
但实际问题一般较为复杂，所以我们都需将原题通过其他方法进行变换，使其满足公式再计算。
“分项积分法+因式分解法〞通过把多项式分解成单项式求积分，但结合三角恒等式，我们可以将高次三角函数降幂，化成容易积分的形式。
当被积函数为复合函数时，我们多考虑换元积分法。
不定积分的求解方法毕业论文开题报告
不定积分的求解方法毕业论文 开题报告
一、主要内容
包括不定积分的基本原理，常见不定积分 的各种求解方法以及一些特殊的积分的求解方 法：直接积分法、换元法、分部积分法以及一 些特殊技巧的方法，并结合实际例题加以讨论 ，以便于解不定积分题目时，能快捷的寻找出 最佳的解题方法。
二、选题的意义
理论意义： 不定积分的计算是微积分中的重要一环，因此，探 讨不定积分的求解方法是很有意义的。
实践意义：不定积分在理论上十分简明，但利用基本积分公式 ，只能求出一些简单的积分，对于比较复杂的积分，在运算上则 有一定难度，正确选用不定积分的方法取决于对被积函数的分析 ，从被积函数的特点出发，由易到难进行剖析，着眼点不同就有 不同的方法。由此可见，要想灵活运用基本方法得到解法，必须 抓住被积函数的特点，进行多角度、多方位的剖析，对各类不同 函数进行归纳总结，经过多次这样的尝试与探索才能丰富解题经 验，产生解题意识，从而提高求不定积分的解题能力。
三、提纲
（一）、不定积分的基本原理 （二）、不定积分的求解方法及相关例题
1、直接积分法 2、换元积分法 3、分部积分法 4、有理函数的积分方法 （三）、总结
四、遇到的问题
1、不定积分的求解方法多种多样且技巧性较强， 在解决问题时，费时多，效果差，见到生题无从下手 ；
2、不定积分的求解过程复杂而烦琐，没有统一的 规律可以遵循;
不定积分的积分方法论文
不定积分的积分方法论文不定积分的积分方法论文不定积分的积分方法论文【1】摘要：在高职高专院校高等数学的不定积分章节的学习中，有三种积分方法，分别是第一类换元积分法，第二类换元积分法和分部积分法.部分学生在积分运算中，对积分方法的选择不知如何着手.针对这种现象，本文对三种积分方法加以总结，以便学生对积分方法能更好地掌握.关键词：不定积分换元积分法分部积分法一、第一类换元积分法定理1(第一类换元积分法)设f(u)具有原函数，u=φ(x)可导，则有换元积分公式f[φ(x)]φ′(x)dx=[f(u)du].第一类换元积分公式实质上就是：f[φ(x)]φ′(x)dx=f[φ(x)]d[φ(x)].第一类换元积分公式在运用过程中，应用的关键是确定新的积分变量φ(x)，那么如何确定φ(x)?方法有如下两种.1.通过对所求不定积分中被积函数的观察，发现函数中既含有φ(x)又含有φ′(x)，则我们就可以猜测出新的积分变量为φ(x).例如：求dx分析：所求不定积分的被积函数为，因为(lnx)′=，所以我们可以把看做lnx，则新的积分变量φ(x)=lnx.解：dx=[lnx]dx=lnxd[lnx]=lnx+C2.通过对所求不定积分的观察，猜测出所要运用的基本积分公式，基于这个公式确定新的积分变量φ(x).例如：求sin3xdx分析：所求不定积分为sin3xdx，观察后发现我们所用的基本积分公式为sinxdx=-cosx+C，但是所求积分的被积函数不是sinx而是sin3x，我们可以把3x看做一个整体，就是新的积分变量φ(x)，即φ(x)=3x.解：sin3xdx=[sin3x]3dx=[sin3x]d[3x]=[sin3x]d[3x]=-cos3x+C二、第二类换元积分法定理2(第二类换元积分法)设函数x=φ(t)单调，可导，且φ′(t)≠0，f[φ(t)]φ′(t)的原函数存在，则有换元积分公式f(x)dx=[f[φ(t)]φ′(t)dt]，其中t=ψ(x)是x=φ(t)的反函数.第二类换元积分公式在何时运用?我认为：重点是解决被积函数中含有“根号”的积分问题.那么在学习中遇到的常见的含有根号的情形有几种呢?我总结了一下共有四种，分别是：;;;.如何消除被积表达式中的根号?做适当变量替换即可，针对以上四种情形具体替换如下：① 对，设t=;② 对，设x=asint;③ 对，设x=atant;④ 对，设x=asect.原来关于x的不定积分转化为关于t的不定积分，在求得关于t的不定积分后，必须代回原变量.在进行三角函数换元时，可由三角函数边与角的关系，作三角形，以便于回代.在使用第二类换元法的同时，应注意根据需要，随时与被积函数的恒等变形、不定积分性质、第一类换元法等结合使用.例如：求dx分析：所求不定积分的被积函数中含有根号，符合上述情形中的第三种，由此我们做替换x=2tant即可.解：dx=•2sectdt=sectdt=ln(sect+tant)+C=ln++C=ln(+x)+C三、分部积分法分部积分公式：udv=uv-vdu或uv′dx=uv-u′vdx(其中u=u(x)与v=v(x)都具有连续导数)分部积分法主要是解决被积函数是两类不同类型函数乘积的不定积分问题.这里我们所说的函数类型指的是反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数五种基本初等函数.当然在具体应用时被积函数未必是这五种类型，有可能是相似的类型，我们在应用公式前，只需要将所求的不定积分运用其他的积分方法适当变形转化为这五种函数即可.应用分部积分公式的关键是确定公式中的u和v′，如何确定它们?可按照反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的顺序(即“反、对、幂、三、指”的顺序)，把排在前面的那类函数选作u，而把排在后面的那类函数选作v′.例如：求xsinxdx分析：不定积分中的被积函数xsinx为两类不同类型的函数乘积，所以我们就要应用分部积分法，其中u为x，v′为sinx，则u′=1，v=-cosx把上述四项代入公式即可.解：xsinxdx=-xcosx--cosxdx=-xcosx+sinx+C小结：我们学习以上三种积分方法的目的就是要把我们所计算的不定积分问题转化为我们所熟悉的基本积分公式来处理，当然，这些积分方法在运用时往往不是单独使用，大多数情形下都是混合使用，甚至要多次使用.参考文献：[1]同济大学，天津大学，浙江大学，重庆大学编.高等数学.高等教育出版社，2004.6，第2版.[2]周金玉.高等数学.北京理工大学出版社，2009.8，第1版.[3]陈传樟等.数学分析.高等教育出版社，1983.7，第2版.不定积分计算方法的思考【2】摘要：本文通过分析不定积分计算教与学中的困难，提出老师和学生要注意的问题，并对几种常用方法作了分析。
不定积分论文
如果所求积分不能用直接积分法、换元法、分部积分法求解的话，可将无理函数通过一系列的变形化为有理三角函数或有理函数。
(3)三角函数的积分
所求积分是三角函数的积分时，通常是运用三角等式进行变换。
形如 和 的积分，可直接利用第一类换元积分法进行计算；
形如 或 的积分
当 为正奇数时，即 ，则将可将被积函数化简成 与 的乘积，再利用三角恒等式 可将正弦函数转化为余弦或余弦函数转化为正弦，如：
Liu Han
( Xianyang Normal University College of mathematics and information science, Shaanxi, Xianyang)
Abstract
Along with the society into the information age, the integral language has penetrated into all fields. It is not only the emergence of mathematics history is also the history of the last great pioneering work. It is caused because of the development of social economy and the progress of production technology
2.2 换元积分的思想方法
2.2.1 第一类换元（凑微分法）的思想方法
（1）被积函数有一个因式，主要是观察被积函数与积分基本公式中的哪一个公式的被积函数相似，即所应用的基本积分公式；然后再根据与基本积分公式相似的形式进行凑微分，凑微分的目的是为了应用积分基本公式和性质求积分。
不定积分的求解方法论文
不定积分的求解方法论文Title: Methods for Solving Indefinite IntegralsAbstract:Keywords: indefinite integrals, antiderivative, direct integration, substitution, integration by parts, partial fractions.1. Introduction (Approximately 150 words)2. Direct Integration (Approximately 250 words)Direct integration, also known as the power rule, is a basic method for solving indefinite integrals. This technique involves applying the power rule backward by increasing the power of the term inside the function. The paper explains the process step-by-step and provides examples to elucidate the method. Additionally, it showcases situations where direct integrationis particularly efficient or fails to yield a solution. By the end of this section, readers will have a solid understanding of the direct integration method.3. Substitution (Approximately 300 words)4. Integration by Parts (Approximately 300 words)Integration by parts is a useful method employed when solving indefinite integrals involving products of functions. It utilizes the product rule of derivatives to rewrite the integralin terms of another set of functions. This paper walks readers through the integration by parts process and provides clear examples to demonstrate the technique. Additionally, it highlights scenarios where integration by parts is most effective and addresses any limitations it may have. By the end of this section, readers should have a firm grasp of the integration by parts method.5. Partial Fractions (Approximately 300 words)6. Conclusion (Approximately 100 words)。
不定积分的求解方法论文
不定积分的求解方法论文标题：不定积分的求解方法综述摘要：不定积分是微积分中的重要概念，用于求解函数的原函数。
本文对不定积分的求解方法进行综述，旨在系统地介绍现有的主要方法，并分析其优缺点。
具体而言，本文将介绍基本积分法、代换法、分部积分法和特殊函数法等常用的不定积分解法。
此外，还将介绍近代数学中对不定积分的一些研究成果，如级数法和微分方程法。
通过对这些方法的比较与分析，读者能够全面了解不定积分的求解方法，为实际问题的求解提供参考。
1.引言不定积分作为微积分的基本工具，广泛应用于数学、物理学、工程学等领域。
通过求解不定积分，我们可以得到函数的原函数，进而求解定积分和解微分方程等问题。
2.基本积分法基本积分法是最基础、最直接的不定积分求解方法。
该方法利用已知的函数导数的求导公式，例如多项式函数、指数函数、三角函数等的积分求解方法。
通过运用这些积分公式，我们可以将一个复杂的函数积分化简为基本函数的积分。
基本积分法虽然简单易用，但只适用于特定的函数类型，对于一些复杂的函数求解效果不佳。
3.代换法代换法又称变量代换法，它通过引入新的变量，将原函数变换为一个新的函数，从而简化积分的求解过程。
其中，常用的代换方法有三角代换法、倒代换法、指数代换法等。
代换法具有广泛的适用性，能够处理多种类型的函数，但正确的选择代换变量对求解结果有重要影响。
4.分部积分法分部积分法是求解不定积分中常用的一种方法，它是利用求导运算和乘法法则的逆过程。
分部积分法的基本思想是将一个积分转化为另一个积分，通过迭代应用该法则可以逐步简化函数的积分形式。
分部积分法适用于求解两个函数相乘的积分，但对于一些特殊函数而言，需要进行适当的改写。
5.特殊函数法特殊函数法是针对一些特殊函数形式的不定积分求解方法。
常见的特殊函数包括反三角函数、双曲函数、对数函数等。
这些函数具有特殊的性质和积分公式，通过熟练掌握它们的性质和技巧，可以更高效地求解不定积分。
不定积分原理或概念的产生、发展及应用论文
2017第一学期高等数学不定积分原理或概念的产生、发展及应用前言introduction不定积分的计算方法的研究不仅仅是某些经验方法的积累它存在着更多哲学的思辨.它依靠一定的逻辑规则为微积分学科的应用与思辩开拓了新途径,是定积分计算的基础.针对于不定积分的基本概念、原理、性质、运算公式进行总结与整理。
本文结尾对本学期的高数学习进行总结与反思。
不定积分原理不定积分可以看做是导数的逆运算，其结果为一族函数。
根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。
这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。
连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
基本概念、定理、性质在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数F，即F′ = f。
不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。
其中F是f的不定积分。
（1）函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和；即：设函数及的原函数存在，则（2）求不定积分时，被积函数中的常数因子可以提到积分号外面来。
即：设函数的原函数存在，非零常数，则设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(其中，C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，又叫做函数f(x)的反导数，记作∫f(x)d x或者∫f（高等微积分中常省去d x），即∫f(x)d x=F(x)+C。
其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式，C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。
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不定积分求解方法毕业论文设计学号 14121401576Hunan Institute of Science and Technology本科毕业论文题目：关于不定积分解题思路的探讨作者何宇届别2017系别数学学院专业数学与应用数学指导教师罗德仁职称讲师完成时间2017年5月关于不定积分解题思路的探讨On the resolving idea of indefinite integral专业:数学与应用数学作者:何宇指导老师:罗德仁湖南理工学院数学学院二○一七年五月岳阳摘要不定积分是求定积分的基础, 在一元微积分学中占有重要地位. 学好不定积分, 对于导数和微分学中其他相关知识的巩固很有帮助. 求解不定积分常用的方法主要有: 基本公式法, 换元积分法, 分部积分法, 有理函数的积分法. 如何快速找到解题的突破口, 灵活使用各类方法是关键.我们从被积函数的特点出发, 从易到难, 对不定积分进行多角度的观察和分析, 比较各类积分法, 发现和总结规律, 提高不定积分解题能力.关键词: 不定积分; 基本公式法; 换元积分法; 分部积分法; 有理函数的积分法AbstractIndefinite integral is the foundation of definite integral, i t occupies an important position in unitary differential calculus. Grasp the solving methods of indefinite integral is helping to derivative and other relevant knowledge. S everal methods of solving i ndefinite integral aref requently used, such as basic formula method, change the variable, integration by parts, primitives of rational functions. What matters is how to quickly find the ideas of subject and flexibly use various method.We observed and analysised the indefinite integral multi-angle, on the characteristics of integrand, from simple to difficult, compare various methods, sum up the laws, improve solving ability of the indefinite integral problem .Keywords:indefinite integral; basic formula method; change the variable; integration by parts;integration by parts primitives of rational functions目录摘要................................................................... Abstract (I)0 引言 01 原函数与不定积分 01.1 原函数存在定理 01.2 不定积分的定义 (1)2不定积分的计算方法 (1)2.1基本公式法 (1)2.1.1不定积分线性运算法则 (1)2.1.2基本积分公式及基本公式法 (2)2.2 第一换元积分法 (3)2.2.1 观察法和联合“凑”微分 (4)2.2.2 多次“凑”微分 (5)2.3第二换元积分法 (5)2.3.1根式代换法 (6)2.3.2三角代换法 (7)2.3.3倒代换法 (7)2.4 分部积分法 (8)2.4.1 幂三指两两相乘,u v的选取 (8)2.4.2 幂对反两两相乘,u v的选取 (10)2.5有理函数的积分 (11)2.5.1六个基本积分 (11)2.5.2 待定系数法 (12)参考文献 (14)0 引言不定积分与定积分构成一元函数积分学. 现实中许多问题, 如: 已知加速度求速度;已知速度求路程等都与不定积分有关, 这些求导的逆运算便是不定积分的求解. 首先第1章第1节我们利用变上限积分的定义和积分第一中值定理, 证明原函数的存在定理, 1.2节给出了不定积分的定义并总结了不定积分和原函数之间的关系. 第2章在给出不定积分各类解题方法的基础上, 就解题思路和方法的选取技巧作进一步探讨.1 原函数与不定积分1.1 原函数存在定理定义1.1 设函数()F x 与()f x 区间I 上都有定义.若()(),,F x f x x I '=∈ (1.1)则称()F x 为()f x 在I 区间上的一个原函数.定义1.2 设()f x 在[],a b 上可积, 由可积的充要条件可知, 对任意的[],,x a b ∈()f x 在[],a x 上也可积, 定义变上限积分()()(),x a d x f t dt f x dx 'Φ==⎰[],.x a b ∈ (1.2) 定理 1.1 若()f x 在[],a b 上连续, 则由上式（1.1）所定义的函数在[],a b 上处处可导, 有 ()()(),x a d x f t dt f x dx 'Φ==⎰[],.x a b ∈ (1.3) 证 对任一确定的[],,x a b ∈当0x x +∆≠且[],x x a b +∆∈时, 由上式和积分第一中值, 存在θ使得 1()(),x x x f t dt f x x x x θθ+∆∆Φ==+∆∆∆⎰0 1.θ≤≤ (1.4)因()f x 在x 处连续, 故有00()lim lim ()(x x x f x x f x x θ∆→∆→∆Φ'Φ==+∆=∆(1.5)由x 的任意性, 知()x Φ是()f x 在[],a b 上的原函数.1.2 不定积分的定义定义1.3 函数()f x 在区间I 上的全体原函数称为()f x 在区间I 上的不定积分，记作(),f x dx ⎰ (1.6)其中称⎰为积分号, ()f x 为被积函数, ()f x dx 为被积表达式, x 为积分变量, (1.6)在使用时要看成一个整体.由定义3可知，不定积分和原函数是个体和总体的关系, 即如果()F x 为()f x 的一个原函数那么()f x 的不定积分是一个函数族{()},F x C +其中C 为任意常数, 记作()().f x dx F x C =+⎰ (1.7)不难发现,[]()=()(),f x dx F x C f x ''⎡⎤+=⎣⎦⎰(1.8) []()()().d f x dx d F x C f x dx =+=⎰ (1.9)显然, “存在原函数” 和 “存在不定积分” 说法是一样的.2 不定积分的计算方法2.1 基本公式法2.1.1 不定积分线性运算法则我们平时做题都会发现, 求导相对求原函数要简单很多. 因为导数的定义具有构造性, 而原函数的定义只告诉我们, 它的导数恰好等于某个已知的函数, 并没有给出由已知函数求原函数的具体形式和途径.下面先讲述怎样由导数线性运算法则来求不定积分的线性运算法则:定理 2.1 函数()f x 和()g x 在区间I 上都存在原函数, 12,c c 为任意常数，则12()()c f x c g x +在I 上也存在原函数, 且当12,c c 不同为零时, 有[]1212()()()().c f x c g x dx c f x dx c g x dx +=+⎰⎰⎰ (2.1)证 由导数的基本性质可知121212()()()()()().c f x dx c g x dx c f x dx c g x dx c f x c g x '''⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰ 2.1.2 基本积分公式及基本公式法上表便是常用的积分公式. 如果遇到被积函数和公式里的一样, 便可以直接利用公式; 但很多时候我们遇到的被积函数有所变化, 这时我们要将被积函数变形为积分公式中被积函数的代数和运算及数乘运算.我们将这种方法称为积分基本公式.例1求. 分析: 被积函数显然是一个幂函数, 通过化简便能利用积分公式直接求解.解54x dx -=⎰514514x C -+-+=+144x C -=-+C =. 例2求dx ⎰.分析: 被积函数是两个带根号的分式, 并且两个分母不同, 但我们观察可以发现(1)(1)x x -+的乘积恰好是21x -, 这不正好是我们积分公式里的形式吗? 因此可将分子分母同乘一个数再化简求解.解 dx ⎰dx =⎰=⎰=⎰2arcsin x C =+.求解不定积分的基本思路是: 先将被积函数变形为积分公式中被积函数的代数和运算及数乘运算, 然后应用不定积分的基本积分公式和线性运算法则来求解.2.2 第一换元积分法定理2.2 设()(),()f u du F u C u x ϕ=+=⎰是可微函数, 则(())()(()).f x x dx F x C ϕϕϕ'=+⎰ (2.2)上面求不定积分的方法称之为第一换元法, 也叫 “凑” 微分法.运用公式(2.2), 关键在于寻找合适的()x ϕ, 使()x ϕ'与dx 凑微分, 然后进行换元, 故这种方法又称为 “凑” 微分法.使用第一换元法的基本步骤是:()g x dx ⎰观察(())()f x x dx ϕϕ'⎰凑微分(())()f x d x ϕϕ⎰ ()x u ϕ=令()f u du ⎰ 积分()F u C + ()u x ϕ=代回(()).F x C ϕ+2.2.1 观察法和联合“凑”微分有的被积函数通过观察便能很快 “凑” 出来, 比如以下的这种:例3 (ln )(ln )(ln )f x dx f x d x x=⎰⎰; (cos )sin (cos )(cos )f x xdx f x d x =-⎰⎰;2(cot )csc (cot )(cot )f x xdx f x d x =-⎰⎰; (csc )csc cot (csc )(csc )f x x xdx f x d x =-⎰⎰. 第一个式子中的1x 能 “凑” 成ln||x 的微分, 即1(ln||)(ln||)x d x x'==. 中间变量ln x 便是(2.2)中的()x ϕ.其余式子与此类似. 而有的被积函数则比较复杂, 再看一个例题:例4 求21ln (ln )x dx x x +⎰. 分析: 初看来无法下手, 但通过观察和推敲可以发现, 对分母中ln x x 进行求导, 有(ln )1ln x x x '=+. 故需将ln x x 与dx 凑微分, 称为联合凑微分法.解 由(ln )1ln x x x '=+, 则21ln (ln )x dx x x +⎰2ln (ln )dx x x x =⎰1ln C x x =-+. 我们再看一个例子:例5 求3cos 2.(sin cos )x dx x x +⎰分析: 被积函数中分母为一个和式的高次幂, 和式应当成一个整体, 再看分子, 可以转化为与和式相关的式子.解 cos2(sin cos )x dx x x +⎰223cos sin (sin cos )x x dx x x -=+⎰2232cos sin (sin cos )(sin cos )(sin cos )1.sin cos x x dx x x d x x dx x x C x x-=++=+=-++⎰⎰2.2.2 多次“凑”微分有时候我们不能很快的就凑出微分, 这时需用到多次凑微分, 如例6.例6 求.(12ln )dx x x +⎰分析: 被积函数中含有多个复合函数, 我们可以利用基本积分表中的积分公式，作多步的凑微分.解 (13ln )dx x x +⎰(ln )13ln d x x =+⎰ 1(3ln )=313ln 1(13ln )=313ln 1ln |13ln |.3d x xd x xx C +++=++⎰⎰ 有的时候我们要多次同时凑微分, 这需要我们对导数公式特别熟悉.用凑微分法求解不定积分时, 首先要认真观察被积函数, 当被积函数为复合函数时,首先考虑这种方法, 为复合函数的中间变量“凑微分”. 当看不清被积函数的特点时, 不妨从被积函数中拿出部分算式来求导尝试, 或许从中可以得到某些启发.2.3 第二换元积分法当被积函数是复合函数, 还是有很大一部分中间变量的微分不好用第一换元法 “凑”出来, 这时我们可能用到第二换元积分法.定理2.3 设()x t ψ=是单调可导函数, 且()0,t ψ'≠ []()()f t t dt ψψ'⎰具有原函数, 则有[]1()()()()|t x f x dx f t t dt ψψψ-='=⎰⎰. (2.3)其中1()t x ψ-=是()x t ψ=的反函数. 用好第二换元积分法, 关键在于找到合适的换元()x t ψ=使积分变得简单, 但在换元过程中要注意()x t ψ=需存在反函数且可导, 故需要()x t ψ=的可导性和单调性.使用第二换元积分法的基本步骤是:()f x dx ⎰()x t ψ=令(())()f t d t ψψ⎰微分(())()f t t dt ψψ'⎰ 积分()F t C + 1()t x ψ-=代回1(()).F x C ψ-+下面我们通过例题先介绍根式代换.2.3.1 根式代换法例 7求分析: 被积函数含有无理根式, 不管是基本公式法还是第一换元法, 都不好求解, 这时第二换元法恰到好处地解决了这个问题: 将无理根式看成一个整体进行根式代换. 解3, 2.t x t ==-⎰231t dt t =+⎰ 211311t dt dt tt ⎛⎫-=+ ⎪++⎝⎭⎰⎰ 23ln |1|2t t t C ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭3ln |1C ⎫⎪=++⎪⎝⎭. 由此可见, 当我们遇到被积函数为无理根式的时候, 可以优先考虑根式代换法. 下面再讲讲三角代换.2.3.2 三角代换法例8求 分析:让人联想到三角函数, 在一个直角三角形中,a 为斜边, x 为一直角边, 如右下图1.解 sin ,x a t =令则arcsin .x t a ==dt =⎰t C =+ arcsin x C a =+., 考虑换元令sin x a t =;, 考虑换元令tan x a t =;, 考虑换元令sec x a t =.碰到这些形式的, 都可以使用三角代换法.2.3.3 倒代换法例9 求2018.(1)dxx x +⎰ 分析:被积函数中分母的幂函数次数很高, 能否找个中间变量使分母变成分子, 简化计算呢? 我们会想到以前的倒数!解 令1,x t =则21,dx dt t=- 2018(1)dx x x +⎰220181111t dt t t -=⎛⎫ ⎪+⎝⎭⎰201720181t dt t =-+⎰ 201820182018201811(1)201811ln(1)201811ln(1).2018d t tt C C x =-++=-++=-++⎰不难发现, 当被积函数中分母的次数较高时, 我们考虑倒代换.用第二换元积分法解题, 根式代换, 三角代换, 倒代换是常用手段.两类换元积分法的联系:基本方法都是换元, 进行的都是求微分的核心运算.两类换元积分法的区别:(1)第一换元法是将x 看成自变量, 第二换元法是将t 看当成中间变量;(2)第一换元法先微分后换元, 第二换元法是先换元再微分;2.4 分部积分法设函数()u u x =和()v v x =都具有连续的导数, 则有分部积分公式:uv dx uv u vdx ''=-⎰⎰ 或 udv uv vdu =-⎰⎰. (2.4)其原理是函数四则运算的求导法则的逆用.当被积函数是指数函数, 三角函数, 幂函数, 对数函数或者反函数中任意两个的乘积时, 常考虑用分部积分法. 关键在于找好v ', 把它凑成dv , 用两个因式乘积减去vdu 的积分.那么, 在选取,u v 时, 应该注意哪些问题呢? 下面通过例题来探讨一下.2.4.1 幂三指两两相乘,u v 的选取例10 求sin x xdx ⎰.解 (方法一) 将sin x 看成v ', 则sin =x xdx ⎰cos xd x -⎰cos cos x x xdx=-+⎰ cos sin .x x x C =-++ (方法二) 将x 看成v ', 则sin =x xdx ⎰2sin 2x xd ⎰ 22=sin cos 22x x x xdx -⎰, 到这一步的时候我们发现比原题更难, 因此题中,u v 的选取是有技巧的.当被积函数是三角函数与幂函数的乘积时, 把三角函数看成v '是有利于计算的.下面继续探讨一种类型:例11 求2x x e dx -⎰.分析：被积函数是指数函数和幂函数的乘积, 发现u 选2x , 其余部分凑微分形成v , 这样在使用分部积分公式后可以对幂函数进行降幂. 这里我们还要用到多次分部积分.解 2x x e dx -⎰2()x x d e -=-⎰22x x x e xe dx --=-+⎰222x x x x e xe e dx ---=-+⎰2(22)x x x e C -=--++.如果u 选x e -, 原式222()222xx x x x x e d e e dx ---==+⎰, 新积分22x x e dx -⎰不比原积分2x x e dx -⎰简单, 因此将幂函数看成u , 指数函数看成v '. 同理, 当被积函数是指数函数与三角函数的乘积时, 将指数函数看成v ', 这里还用到循环分部积分法.例12 求cos .x e xdx ⎰解 cos x e xdx ⎰=(sin )x e d x ⎰sin sin ()x x e x xd e =-⎰ sin (cos )sin cos cos ()sin cos cos .x x x x x x x x e x e d x e x e x xd e e x e x e xdx =+=+-=+-⎰⎰⎰由于2cos (sin cos )2,x x e xdx e x x C =++⎰ 所以1cos (sin cos ).2x x e xdx e x x C =++⎰通过例题我们发现, 当被积函数是三角函数和指数函数的乘积时, 要分部积分两次.2.4.2 幂对反两两相乘,u v 的选取例13 求2ln(1)x x dx -⎰.分析: 类似上面例题的思路, 发现选ln(1)x -为u 更好.解 32ln(1)ln(1)3x x x dx x d -=-⎰⎰ 331ln(1)331x x x dx x =--⋅-⎰ 3211ln(1)(1)331x x x x dx x =--+++-⎰ 32311ln(1)(1)().3332x x x x x C =---+++当被积函数是幂函数与对数函数的乘积时, 将对数函数看成u , 幂函数看成v '无疑是更利于计算的. 下面再看下幂函数与反三角函数的例子, 这里我们还得对式子作适当的变形.例14求3.解 令arccos t x =, 则cos ,x t = sin ,dx tdt =- 有33cos (sin )sin t t t dt t=-⎰ 3cos t tdt =-⎰2(sin 1)sin t t d t =-⎰ 31(sin sin )3td t t dt =-⎰ 3211sin sin (sin 1)cos 33t t t t t d t =-+-⎰33121sin sin cos cos 339t t t t t t C =---+3121(933x x x x C =---++. 当被积函数是幂函数与反三角函数的乘积时, 将幂函数看成v '. 同理, 若是对数函数与反三角函数的乘积, 将对数函数看成v '.综上所述, 分部积分法在选取,u v 时, 有一定的选取技巧, 这样使运算更为方便:（1）根据v '容易求出v ;（2）新积分vdu ⎰比udv ⎰容易求.一般的, 积分从反函数到指数函数会越来越简单. 被积函数中是 “反对幂三指” 5类函数的2种, 根据“反对幂三指” 先后顺序, 前者为u 后者为v '. 如被积函数是三角函数与对数函数的乘积时, 把三角函数看成v ', 即v '的选取顺序为指数函数, 三角函数, 幂函数, 对数函数, 反函数.2.5 有理函数的积分我们把形如 10111011()()n n n n m m m m a x a x a x a P x Q x b x b x b x a ----++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++(2.5) 称为有理函数. 其中012,,,n a a a a ⋅⋅⋅及012,,,m b b b b ⋅⋅⋅为常数, 且000,0.a b ≠≠()P x 的次数n 小于()Q x 的次数m , 称分式为真分式; ()P x 的次数n 大于()Q x 的次数m , 称分式为假分式.2.5.1 六个基本积分我们把被积函数分成基本类型的几个函数进行积分时, 总是假定它们可分成若干基本分式. 理论上任意一个有理真分式函数的积分, 都可以拆分成6个类型的基本积分的代数和: (1)ln ||;dx x k C x k =+++⎰(2)11(2);()(1)()m m dx C k x k k x k -=+≥+-+⎰(3)221arctan ;dx x C x k k k=++⎰(4)22221ln();2xdx x k C x k =+++⎰ (5)222211;()2(1)()m m xdx C x k n x k -=++-+⎰(6)22()m dx x k +⎰(2)m ≥可由递推法求得. 例15 简单的有理真分式拆分, 如 23311(1)1x dx dx x x x x ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭⎰⎰ 31ln ||ln |1|2x x C =-++. 有的时候, 被积函数不能很快地拆分成几个基本分式, 下面介绍一种好用的方法.2.5.2 待定系数法(1) 被积函数拆成多个分式后, 如分母中含有因式()t x c -时, 部分分式形式中对应项应该是这样:122.()()t t K K K x c x c x c ++⋅⋅⋅+--- (2) 如分母中含有因式22()(40)m x rx s r s ++-<时, 分式形式中对应项应是这样:11222222.()()m m m M x N M x N M x N x rx s x rx s x rx s +++++⋅⋅⋅+++++++ 例16 求2132x dx x x +-+⎰. 解 被积函数的分母分解成(2)x -(1)x -, 故可设213212x A B x x x x +=+-+--, 其中,A B 为待定系数. 上式两端去分母后, 得1(2)(1)x A x B x +=-+-()2A B A B =+--,比较两端同次幂的系数, 有121A B A B +=⎧⎨+=-⎩， 解得2, 3.A B =-=因此, 21323221x dx dx x x x x +⎛⎫=- ⎪-+--⎝⎭⎰⎰ 3ln |2|2ln |1|.x x C =---+致谢本文是在罗德仁博士的指导和帮助下完成的, 他细心的教导令我受益匪浅, 无微不至的关怀更是让我平添许多信心. 在此对罗老师表示衷心的感谢!用心整理的精品word文档，下载即可编辑！！参考文献[1]数学分析(第4版)[M]. 高等教育出版社,2011.[2]王晓康. 浅谈不定积分的第一换元积分法[J]. 科技资讯,2008,(07):194.[3]曾亮. 第二换元法求解某类积分的探讨[J]. 中国科技信息,2008,(11):263-264.[4]杨艳华. 两类“换元积分法”的联系与区别[J]. 科教文汇(上旬刊),2013,(12):47+49.[5]汤茂林. 分部积分法在二重积分中的巧用[J]. 高等数学研究,2007,(02):52-53.[6]包树新,展丙军. 第二类分部积分法及其应用[J]. 高师理科学刊,2010,(01):39.[7]李鸿儒. 不定积分中的拆项积分法[J]. 数学学习,1994,(04):10-12.[8]王伟珠.有理函数的不定积分的求解技巧[J].中国商界(上半月),2010,(11):327-328.[9]崔连香.整体思想求解不定积分[J].硅谷,2011,(03):191.[10]王耀卫.浅谈求解不定积分的几个原则[J].赤峰学院学报(自然科学版),2009,(11):11-12.[11] Wright K. 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