不定积分求解方法毕业论文设计

不定积分求解方法毕业论文设计

学号 14121401576

Hunan Institute of Science and Technology

本科毕业论文

题目：关于不定积分解题思路的探讨

作者何宇届别2017

系别数学学院专业数学与应用数学

指导教师罗德仁职称讲师

完成时间2017年5月

关于不定积分解题思路的探讨

On the resolving idea of indefinite integral

专业:数学与应用数学

作者:何宇

指导老师:罗德仁

湖南理工学院数学学院

二○一七年五月岳阳

摘要

不定积分是求定积分的基础, 在一元微积分学中占有重要地位. 学好不定积分, 对于导数和微分学中其他相关知识的巩固很有帮助. 求解不定积分常用的方法主要有: 基本公式法, 换元积分法, 分部积分法, 有理函数的积分法. 如何快速找到解题的突破口, 灵活使用各类方法是关键.

我们从被积函数的特点出发, 从易到难, 对不定积分进行多角度的观察和分析, 比较各类积分法, 发现和总结规律, 提高不定积分解题能力.

关键词: 不定积分; 基本公式法; 换元积分法; 分部积分法; 有理函数的积分法

Abstract

Indefinite integral is the foundation of definite integral, i t occupies an important position in unitary differential calculus. Grasp the solving methods of indefinite integral is helping to derivative and other relevant knowledge. S everal methods of solving i ndefinite integral are

f requently used, such as basic formula method, change the variable, integration by parts, primitives of rational functions. What matters is how to quickly find the ideas of subject and flexibly use various method.

We observed and analysised the indefinite integral multi-angle, on the characteristics of integrand, from simple to difficult, compare various methods, sum up the laws, improve solving ability of the indefinite integral problem .

Keywords:indefinite integral; basic formula method; change the variable; integration by parts;integration by parts primitives of rational functions

目录

摘要................................................................... Abstract .................................................................. I

0 引言 0

1 原函数与不定积分 0

1.1 原函数存在定理 0

1.2 不定积分的定义 (1)

2不定积分的计算方法 (1)

2.1基本公式法 (1)

2.1.1不定积分线性运算法则 (1)

2.1.2基本积分公式及基本公式法 (2)

2.2 第一换元积分法 (3)

2.2.1 观察法和联合“凑”微分 (4)

2.2.2 多次“凑”微分 (5)

2.3第二换元积分法 (5)

2.3.1根式代换法 (6)

2.3.2三角代换法 (7)

2.3.3倒代换法 (7)

2.4 分部积分法 (8)

2.4.1 幂三指两两相乘,u v的选取 (8)

2.4.2 幂对反两两相乘,u v的选取 (10)

2.5有理函数的积分 (11)

2.5.1六个基本积分 (11)

2.5.2 待定系数法 (12)

参考文献 (14)

0 引言

不定积分与定积分构成一元函数积分学. 现实中许多问题, 如: 已知加速度求速度;

已知速度求路程等都与不定积分有关, 这些求导的逆运算便是不定积分的求解. 首先第1章第1节我们利用变上限积分的定义和积分第一中值定理, 证明原函数的存在定理, 1.2节给出了不定积分的定义并总结了不定积分和原函数之间的关系. 第2章在给出不定积分各类解题方法的基础上, 就解题思路和方法的选取技巧作进一步探讨.

1 原函数与不定积分

1.1 原函数存在定理

定义1.1 设函数()F x 与()f x 区间I 上都有定义.若

()(),,F x f x x I '=∈ (1.1)

则称()F x 为()f x 在I 区间上的一个原函数.

定义1.2 设()f x 在[],a b 上可积, 由可积的充要条件可知, 对任意的[],,x a b ∈()f x 在[],a x 上也可积, 定义变上限积分

()()(),x a d x f t dt f x dx 'Φ==⎰[],.x a b ∈ (1.2) 定理 1.1 若

()f x 在[],a b 上连续, 则由上式（1.1）所定义的函数在[],a b 上处处可导, 有 ()()(),x a d x f t dt f x dx 'Φ==⎰

[],.x a b ∈ (1.3) 证 对任一确定的[],,x a b ∈当0x x +∆≠且[],x x a b +∆∈时, 由上式和积分第一中值, 存在θ使得 1()(),x x x f t dt f x x x x θθ+∆∆Φ==+∆∆∆⎰

0 1.θ≤≤ (1.4)