南京工业大学线性代数A20082009学年第一学期

南京工业大学 线 性 代 数 试题（A ）卷（闭）2008--2009学年第 一 学期 使用班级 江浦各专业本科生 班级 学号 姓名题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分得分（符号说明：E 表示单位矩阵，R 表示矩阵的秩，表示行列式，T 表示矩阵的转置。

）一、填空题（每题3分，共15分）1．设3阶矩阵111123012,025234006A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则AB = 。

2．设三阶矩阵A 的特征值为1，－1，3，再设325,B A A =-则B = .。

3．设n 阶矩阵A 的各行元素之和等于零，且A 的秩为1n -，则齐次线性方程组0AX =的通解为 。

4．设向量1(2,,1,0),(0,1,,1)T T k kαβ=-=-为属于实对称矩阵A 的不同特征值的特征向量，则k = 。

5．已知022=--E A A ，则=-1A。

二、选择题（每题3分，共15分）1．设齐次方程组0AX =的一个基础解系为123212131,,100010001ααα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（ ）.5)()(=A R A 4)()(=A R B 3)()(=A R C 2)()(=A R D2．设n 阶矩阵A 有s 个不同的特征值12,,,s λλλ，而且(),i i R E A n r λ-=-1,2,,i s =。

如果A 与对角矩阵相似，则( ). (A)1s ii r n =≤∑ ()B 1s ii r n =≥∑ (C) 1s ii r n ==∑ (D) 1sii r n =≠∑3.若向量组123,,ααα线性无关，向量组124,,ααα线性相关, 则 （ ）.)(A 4α必不可由123,,ααα线性表示 )(B 4α必可由123,,ααα线性表示 )(C 2α必不可由134,,ααα线性表示 )(D 2α必可由134,,ααα线性表示4. 设n m ⨯阶矩阵()R A r =， 则如下结论正确的是（ ）.（A ）()()TR A A R A = (B)()()TR A A R A <(C) ()()TR A A R A > (D) ()()TTR A A R A ≠ 5. 对于矩阵方程AB AC =，以下结论正确的是（ ）.(A) B C = (B)B C ≠ (C)如A 可逆,B C =则 （D ）以上均不正确. 三、(10分)计算下行列式123123123123n n n nx a a a a a x a a a D a a x a a a a a x a ++=++四、（10分）设三阶矩阵200450124A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭满足矩阵方程239AX A X E +=+，试求矩阵X .五、（14分）设向量1234(3,2,1,3),(1,3,1,4),(7,1,1,2),(1,1,3,2),αααα==---==---5(0,7,4,3)α=-，求向量组的秩和极大无关组，并把极大无关组以外的向量用极大无关组线性表示.六、（13分）当,a b 为何值时，线性非齐次方程组12341234234123402331(3)2321x x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=⎧⎪+++=⎪⎨-+--=⎪⎪+++=-⎩无解、有唯一解、或有无穷多组解？在有无穷多解时，求出其通解.七、（15分）已知二次型22212312323(,,)2334f x x x x x x x x =+++，试回答下列问题1） 写出此二次型的矩阵A ；2） 利用正交变换QY X =该二次型化为标准型，并给出所使用的正交变换和标准型；3） 判断该二次型是否具有正定性。

八、（8分）Housesholder 矩阵是计算数学中一类重要的变换（镜面反射）方法，一般用来化矩阵为上Hesseberg 矩阵。

设实向量12(,,,)T n u u u u =且1T u u =，则其一般形式为2T H E uu =-试回答下列问题：1） 证明：Householder 矩阵是实对称正交矩阵;（3分）2） 证明：一般实对称正交矩阵的特征值只能是1或－1，并确定Householder 矩阵的特征值（3分） 3） 对于,1)T u n=，试给出此Householder 矩阵属于各特征值的特征向量.（2分）南京工业大学 线 性 代 数 试题 （A ）卷试题标准答案2008--2009学年第一学期 使用班级 江浦各专业本科生一、填空题(每题3分，共15分) (1) 0 (2.) -432 (3) (1,1,,1),T k k 为任意常数.(4) 1或－1 (5)1/2()A E -.二、选择题（每题3分，共15分） （1） D (2) C (3) B (4) A (5) C 三、（10分）解：231123231123123231123231nin i nn in i n nn ini nnini x a a a a x a a a a x a x a a a a x a a a D a a x a a x a a x a a a a a x a x a a a x a ====+++++=+=+++++∑∑∑∑（从第二列至第n 列加到第1列）――――――――――――――――――――5分23232312311()11n n ni n i na a a x a a a x a a x a a a a x a =+=+++∑（提取公因子）＝11000100()1001n i i x x a x x=+∑（1(2)i i c a c i -≥）――――――――――8分 ＝11()nn i i xx a -=+∑―――――――――――――――――――――――10分四、（10分）解：由239AX A X E +=+得(3)(3)(3)A E X A E A E -=--+―――――――6分又30A E -≠，故3A E -可逆，上式两边同时左乘1(3)A E --得500(3)480127X A E -⎛⎫ ⎪=-+=-- ⎪ ⎪--⎝⎭。

――――――――10分五、（14分）解：以122,,,T T T ααα为列生成矩阵A ，并对A 施行初等行变换将其化为行最简形.31710231171113434223A -⎛⎫⎪- ⎪= ⎪--- ⎪--⎝⎭13r r ↔ 11134231173171034223---⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎪--⎝⎭213141233r r r r r r --- 1113401170448011715---⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎪--⎝⎭14342r 111340117150112300000---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭32r r +1113401171500091800000---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 231/9r r - 111340117150001200000---⎛⎫⎪-- ⎪⎪⎪⎝⎭―6分231373r r r r ++11102011010001200000-⎛⎫⎪- ⎪⎪⎪⎝⎭12r r +10201011010001200000⎛⎫⎪- ⎪⎪⎪⎝⎭―――8分所以15(,,)3R αα=，一个极大无关组为124,,ααα，―――――――（12分）且31251242,2.ααααααα=+=-+―――――――――――――――（14分） 六、（13分）对方程组的增广矩阵进行初等行变换1111012331(|)01323211A b a b a ⎛⎫⎪⎪= ⎪---⎪-⎝⎭ 21313r r r r -- 1111001221013201231a b a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪---⎪----⎝⎭3242r r r r ++ 11110012210011010B a b a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪-+ ⎪-⎝⎭------------------------5分显然可见： 当1,1a b =≠-时方程组无解，当1a ≠时方程组有唯一解，当1,1a b ==-时方程组有无穷多组解.――――――――――――――――――――――――8分 当1,1a b ==-时继续将矩阵B 化为行最简形得B =11110012210000000000⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ 12r r - 10111012210000000---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与原方程组等价的方程组为1342341122x x x x x x =-++⎧⎨=--⎩令3400x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得原方程组的一个特解为1100η-⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

――――――――11分与原方程组对应的齐次方程组等价的方程组为 13423422x x x x x x =+⎧⎨=-⎩令3410,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得齐次方程组的一个基础解系为121122,.1001ηη⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故原方程组有无穷多组解时的通解为1122X k k ηηη=++，12,k k 为任意常数.―――13分 七、（15分）解：1）二次型的矩阵为200032023A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭―――――――――――――3分2）先计算矩阵的特征多项式200()032(2)(1)(5)023A f A E λλλλλλλλ-=-=-=----故矩阵的特征值分别为1231,2, 5.λλλ===――――――――――――6分 再计算矩阵的属于各特征值的特征向量：当11λ=时，求解方程组1()0A E x λ-=得一个特征向量为12(0,1,1)Tq =-.当22λ=时，求解方程组2()0A E x λ-=得一个特征向量为2(1,0,0)T q =.当35λ=时，求解方程组3()0A E x λ-=得一个特征向量为22(0,1,1)Tq =.令123(,,)Q q q q =，作变换X QY =，则此变换即为正交变换，该二次型在此变换下的标准型为2221,23123(,)25f y y y y y y =++。

――――――――――――12分3）因为矩阵的特征值都是正的，故该二次型为正定二次型.―――――――15分 八、1）显然H 为实矩阵，又(2)2TT TTH E uu E uu H =-=-=， 2(2)(2)TTTHH H E uu E uu E ==--=.所以H 为实对称正交矩阵.――――――――――――――――――――3分 2)设x 是实对称矩阵正交矩阵H 的属于特征值λ的特征向量，则2(,)(,)T T T T T x x x Ex x H Hx Hx Hx x x x x λλλ=====,而0T x x ≠，则必有1 1.λ=或－容易验证 Hu u =-，即1-是H 的一个特征值，设v 是和u 正交的非零向量，则有Hv v =，又R(u)=1,这种非零向量v 可以求出1n -个。