南京工业大学线性代数A20082009学年第一学期

南京工业大学 线 性 代 数 试题（A ）卷（闭）

2008--2009学年第 一 学期 使用班级 江浦各专业本科生 班级 学号 姓名

题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分

得分

（符号说明：E 表示单位矩阵，R 表示矩阵的秩，表示行列式，T 表示矩阵的转置。）

一、填空题（每题3分，共15分）

1．设3阶矩阵111123012,025234006A B ⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪

== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，则AB = 。

2．设三阶矩阵A 的特征值为1，－1，3，再设3

2

5,B A A =-则B = .。 3．设n 阶矩阵A 的各行元素之和等于零，且A 的秩为1n -，则齐次线性方程组0AX =的

通解为 。 4．设向量1

(2,

,1,0),(0,1,,1)T T k k

αβ=-=-为属于实对称矩阵A 的不同特征值的特征向量，则k = 。 5．已知022=--E A A ，则=-1

A

。

二、选择题（每题3分，共15分）

1．设齐次方程组0AX =的一个基础解系为123212131,,100010001ααα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，则

（ ）.

5)()(=A R A 4)()(=A R B 3)()(=A R C 2)()(=A R D

2．设n 阶矩阵A 有s 个不同的特征值12,,

,s λλλ，而且(),i i R E A n r λ-=-1,2,

,i s =。

如果A 与对角矩阵相似，则( ). (A)

1

s i

i r n =≤∑ ()B 1

s i

i r n =≥∑ (C) 1

s i

i r n ==∑ (D) 1

s

i

i r n =≠∑

3.若向量组123,,ααα线性无关，向量组124,,ααα线性相关, 则 （ ）.

)(A 4α必不可由123,,ααα线性表示 )(B 4α必可由123,,ααα线性表示 )(C 2α必不可由134,,ααα线性表示 )(D 2α必可由134,,ααα线性表示

4. 设n m ⨯阶矩阵()R A r =， 则如下结论正确的是（ ）.

（A ）()()T

R A A R A = (B)()()T

R A A R A <(C) ()()T

R A A R A > (D) ()()T

T

R A A R A ≠ 5. 对于矩阵方程AB AC =，以下结论正确的是（ ）.

(A) B C = (B)B C ≠ (C)如A 可逆,B C =则 （D ）以上均不正确. 三、(10分)计算下行列式

1231

231

231

2

3

n n n n

x a a a a a x a a a D a a x a a a a a x a ++=++

四、（10分）设三阶矩阵200450124A ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪-⎝⎭

满足矩阵方程239AX A X E +=+，试求矩阵

X .

五、（14分）设向量1234(3,2,1,3),(1,3,1,4),(7,1,1,2),(1,1,3,2),αααα==---==---

5(0,7,4,3)α=-，求向量组的秩和极大无关组，并把极大无关组以外的向量用极大无关

组线性表示.

六、（13分）当,a b 为何值时，线性非齐次方程组

123412

34234123402331(3)2321x x x x x x x x x a x x b x x x ax ++

+=⎧⎪+++=⎪⎨-+--=⎪⎪++

+=-⎩

无解、有唯一解、或有无穷多组解？在有无穷多解时，求出其通解.

七、（15分）已知二次型222

12312323(,,)2334f x x x x x x x x =+++，试回答下列问题

1） 写出此二次型的矩阵A ；

2） 利用正交变换QY X =该二次型化为标准型，并给出所使用的正交变换和标准型；

3） 判断该二次型是否具有正定性。

八、（8分）Housesholder 矩阵是计算数学中一类重要的变换（镜面反射）方法，一般用来化矩阵为上Hesseberg 矩阵。设实向量12(,,

,)T n u u u u =且1T u u =，则其一般形式为

2T H E uu =-试回答下列问题：

1） 证明：Householder 矩阵是实对称正交矩阵;（3分）

2） 证明：一般实对称正交矩阵的特征值只能是1或－1，并确定Householder 矩阵的特征值（3

分） 3） 对于,1)T u n

=，试给出此Householder 矩阵属于各特征值的特征向量.（2分）

南京工业大学 线 性 代 数 试题 （A ）卷

试题标准答案

2008--2009学年第一学期 使用班级 江浦各专业本科生

一、填空题(每题3分，共15分) (1) 0 (2.) -432 (3) (1,1,

,1),T k k 为任意常数.(4) 1或－1 (5)1/2()A E -.

二、选择题（每题3分，共15分） （1） D (2) C (3) B (4) A (5) C 三、（10分）

解：2311232311

231232

3

11

2

3

231

n

i

n i n

n i

n i n n

n i

n

i n

n

i

n

i x a a a a x a a a a x a x a a a a x a a a D a a x a a x a a x a a a a a x a x a a a x a ====+++++=

+=

+++++∑∑∑∑（从第二列至第n 列加到第1列）――――――――――――――――――――5分

2323231

23

1

1()1

1n n n

i n i n

a a a x a a a x a a x a a a a x a =

+=

+++

∑（提取公因子）

＝1

1

000

1

00

()1

001

n i i x x a x x

=+∑（1(2)i i c a c i -≥）――――――――――8分 ＝1

1

()n

n i i x

x a -=+∑―――――――――――――――――――――――10分

四、（10分）解：由2

39AX A X E +=+得

(3)(3)(3)A E X A E A E -=--+―――――――6分