初中数学数与代数讲解

二、内容的变化 （一）降低了对于实数运算的要求。比如“会用平方运算求某些非负数的平方根 与算术平方根，用立方运算求某些数的立方根”转化为“会用平方运算求百以内整 数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根”。 （二）取消了对“有效数字”的要求，但重视学生的估算能力，要求学生理解近似 数。例如 “能用有理数估计一个无理数的大致范围”, “了解近似数，在解决实际 题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值”。 （三）与实验稿比较，加强了对二次根式的要求，比如对二次根式的化简，分 母有理化，但二次根式的运算仅仅限于根号下是数的情况。 （四）在具体情境中理解字母表示数的意义。例如要求“借助现实情境了解代数 式，进一步理解用字母表示数的意义。” （五）注重代数式的实际应用和实际意义。例如要求“能分析简单问题中的数量 关系，并用代数式表示。”以及“会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料， 找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算。” （六）对于代数式的意义，除了关注数学意义外，还关注现实的意义。 （七）强调几何直观的作用。 （八）知道｜a｜的含义（这里 a 表示有理数）。
我们在学习幂的运算这一部分内容时，教师们 通常是让学生在原有的一些知识基础之上，观察 猜想出幂的运算规律，从数的计算开始， 103 × 102 = 10 5 =10 3+2 ， a 4× a 3 =a 7 =a4+3 ， a m·a n ＝ a m + n 逐步地提升到用字母来表示。再将这个公式 应用于数学问题，这样的话，学生经历了从特殊到 一般，再从一般到特殊这样一个过程，体会了这样 一个数学思想。但这个过程其实充分体现了符号对 数学学习的意义。
1．能使学生体会到数学与现实生活的紧密联系，认 识到数、符号是刻画现实世界数量关系的重要语言， 方程、不等式与函数是现实世界的数学模型，从而认 识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，从 中感受到数学的价值，初步学会运用数学的思维方式 去观察、分析现实社会，去解决日常生活和其他学科 学习中的问题，增强应用意识，培养初步的应用意识 和实践能力。 2．在“数与代数”的学习过程中，通过对现实世界中 数量关系及其变化规律的探索，数的概念的建立、扩 充以及数的运算，公式的建立和推导，方程的建立和 求解，函数关系的探究等活动，促进学生对数学学习 的兴趣，提高解决问题的能力和自信心，培养学生初 步的创新意识和发现能力。
3．在“数与代数”中，不仅知识中存在着对立和统一 ( 例如，正数与负数、加法与减法、乘方与开方、常 量与变量、精确与近似等 ) ，而且研究过程中也充满 了对立与统一 ( 例如，已知与未知、特殊与一般、具 体与抽象、实践与理论等 ) 。同时，在变量和函数的 研究中还充满着运动、变化的思想，而且在“数与代 数”的其他部分的研究中，从运动和变化的观点来考 察，也能使认识更加深刻。因此，这部分的学习，有 助于培养学生的辩证唯物主义观点，有利于学生用科 学的观点认识现实世界。
学生在提出这样一个问题之后，要想确定出这个问题的模型，首 先就要考虑，小明走到学校到底要花多长时间？通过计算得出用 20 分钟。接下来在这次上学的过程中，到底发生了一些什么样的 事情，先走了一段路，接下来往回折返跑回去，相当于从家又跑 到了学校，这个过程当中学生们通过分析通过画图通过各种各样 的方法，发现他跑的这一段路程实际上比走路的路程多出来的就是 家到学校的距离，即 2 公里。如果设未知数，我们就可以利用等 量关系列出方程： 设 t 分钟之后返回，用 2 公里这个路程作为等量关系可以列 出这样的方程：10（20-t)/60-6或提出各种各样的补充条件，在 这样一个问题的基础上，寻找“等量”“不等”这样不同的关系，建 立各种各样的模型，用方程或不等式等多种方法来表述问题、解 决问题.
学生在面对数学和生活联系的时候，往往很难直接找到它们之 间的联系建立模型。实际上学生在生活当中，本身就应用着数 学，经常面对数学，而教师们在设计问题或者说设计教学的时 候，有的时候会忽略学生和实际数学之间的联系。如果说利用 刚才这样的案例，给学生一个比较开放性的平台，即给出的条 件是不充足的，你再补充其他条件，这样，问题也许会比较简 单，也许会比较复杂，也许有解也许没有解，不同的阶梯性补 充，可能对水平存在差异的同学来说，确实是有很好的帮助。
第二方面，当学生学方程和不等式的时候，对形成化归的 思想非常有帮助，我们知道，化归就是把你原来不会的问题转 化成你能够解决的问题，把复杂的问题变成一个简单的问题。 我们在求解方程的过程当中，我们经常用到合并同类项，移项 去括号去分母等等，这样一些方法来解决一元一次方程，以及 可化为一元一次方程的分式方程，这是老师都比较熟悉的这样 一个解方程的步骤。再一个当学二元一次方程组求解的时候， 就可以通过消元，即把两元变成一元，转化成已经学过的内容。 当我们再学到一元二次方程的时候，我们也是想办法降次，降 次我们可能用到配方法，因式分解法，其实这些都体现了我们 所说的化归思想。
三、价值及作用 数与式这部分内容，在代数当中甚至在整个数学领域当中， 都是非常重要的。具体的来讲，有下面的几点： 第一点，通过数与式的学习，使学生体会到数学与现实生活 的密切联系，感受到数学的价值，能够培养学生对数学学习的兴 趣，增强学生的应用意识。 关于数学和生活的联系，以及培养学生具有应用意识，可以 举如下的例子：在我们学习数轴的时候，学生通过观察温度计、天 平的标尺以及常见的两个相反方向行走的例子，能够从这些现象当 中得到数轴、抽象出数轴这样一个概念。接下来我们就可以利用 数轴联系数学内部的一些知识，即应用于数学内部。同时数轴作为 一种工具，它又能很好地帮助学生理解其他生活中的问题，比如时 区问题，化学中的一些常见的问题等等。 这就是我们说的核心的概念：几何直观。从温度计抽象出数 轴来，同时数轴又帮助学生理解有理数及实数的概念。学习有理数 之后数轴还不能被充满，但是学了实数之后这个数轴就被充满了。 这样直观的一个工具，对于学生来理解实数是非常有帮助的。
具体内容： 数与代数这一部分内容主要涉及到 6 个话 题，前三个是和内容有关系的： 第一个话题是数与式； 第二个话题方程与不等式； 第三个话题是函数； 另外三个话题，是基于知识之上侧重培养学 生的一些方面的能力： 一是运算能力； 一是符号意识； 再一个是模型思想。
话题一 数与式 一、重点 关于数与式的主要内容，包括有理数、 实数、代数式和二次根式，代数式主要是整 式和分式。这一部分内容的重点应当是强调 理解数的意义，建立数感，理解代数式的表 述功能，建立符号感，同时理解运算的意义， 强调运算的必要性。
第三点价值，体现在数学里面，我们经常看到一些对 立统一思想。例如在一些概念、一些量中我们会发现，正 数与负数，精确与近似，还有已知与未知之间的转换等等 这些概念中都蕴含着统一思想。这些内容的学习确实有助 于学生提高他们用唯物主义的思想和科学的观点来认识客 观事件的能力。而且也体现模型思想，比如正数与负数， 在生活中我们表示东与西就用正数与负数，所以正数负数 它不单纯就是我们所学的计算等等，最后它已经成为表示 具有相反意义的量的一个数学模型。
话题二 方程与不等式 一、重点 方程与不等式在初中阶段主要涉及到这样一些内容，一个就 是关于方程的，比方说一元一次方程，二元一次方程组，一元二 次方程，可化为一元一次方程的分式方程。不等式主要是一元一 次不等式，和一元一次不等式组。 方程和不等式这个话题里面，这部分内容一个我们强调方程和 不等式的模型思想，也就是说如何从现实生活中去把问题进行抽象， 用这种方程的形式和不等式的关系刻划出来，然后进行讲学，最后 运用到现实问题。所以这一部分内容的一个重点，还是突出它的模 型思想，当然另外一个部分，也是我们在这部分内容所突出的又一 个重点，那就是如何解这个方程和不等式。
三、价值及作用 首先，方程与不等式的学习，有助于学生形成模型 思想。 方程的模型思想主要是指根据具体问题中的数量关 系，经过必要的抽象，提炼出未知数与已知数之间具有的 等量关系，列出方程（组）；在列出方程后，再运用方程 （组）求解的各种方法，求出方程（组）的解，进而解决 问题，从而体会方程（组）是刻画现实世界的一个有效的 数学模型，是贯穿方程与方程组的一条主线。 “相等”与“不等”是数学中两种基本的数量关系，二 相辅相成，形成对数量关系的完整认识，是进一步学习数 学不可缺少的基础知识和有效工具，也是分析和解决一些 实际问题的重要方法。
二、内容的变化 在方程部分变化的内容为： （一）与实验稿相比，有些内容适当增加：如一元二次方程的根与 系数的关系，但不要求应用这个关系解决其他问题，了解就可以了， 不要深挖洞。 （二）三元一次方程组作为选学内容。 （三）一些具体要求，如一元二次方程只要求解数字系数的一元二 次方程；分式方程只要求解可化为一元一次方程的分式方程，并且 方程中的分式不超过两个。 在不等式部分变化的内容为： （一）强调结合具体问题，在具体情境中探索不等式的意义。而且 强调了过程目标“探索”，强调对于不等式组解的几何意义的理解。 （二）删除了一元一次不等式组的应用。 （三）解不等式中对相关的内容作出了限定。如能解数字系数的一 元一次不等式。
第二点，关于数的概念和运算、代数式的建立、以及推导与 探究性的活动，有利于学生形成数感、符号感。 学习数的概念和数的运算，除了学生会运算之外，数感和符 号感也都是在这个过程当中逐渐发展起来的，而且通过学习数的 概念和数的运算，不仅能够提高学生的运算能力，同时也能够发 展学生的推理能力，对于提高学生的思维水平都是非常重要的载 体。 例如：对于一般化的处理方法，因为字母表示数，实际上就 是把数的概念和运算进行了一般化的处理，这样就把学生的思维 水平提高到抽象化的水平，同时也会逐渐通过式的建立以及对式 的进一步学习，逐步形成模型的思想。
模型思想案例： 一位同学小明，如果给出了他的走路速度和跑步速度： 走路平均速度为6km/h ，跑步平均速度为 10km/h ，又给 出了从家到学校的距离为2km ，有了这样的条件，可以提 出什么样的一些问题呢？在和同学们讨论之后，学生反应 非常热烈。 有的学生提出了这样一个补充条件，说他走在路上， 走着走着突然发现自己有东西落在家里了，于是就赶紧跑 回去，跑回家去取东西，接下来又跑到学校，跑到学校发 现所用的时间和走到学校的时间是一样，也就是说到校的 时间是没有变化，那问小明是在什么地方或者走了多久发 现自己落了东西？