第2章 单自由度系统的受迫振动题解

习 题2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m ，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s ，相邻两振幅的比值12.41=+i i A A ，若质量块受激振力t t F 3cos 360)(=N 的作用，求系统的稳态响应。

解：由题意，可求出系统的运动微分方程为t mxn x p x n 3cos 36022=++ 得到稳态解)3cos(α-=t B x其中m kB B B 45.03604)1(022220==+-=λζλ222122tg λζλωωα-=-=n p n 由d nT i iA A e 2.41===+η489.3π2797.0ln 8.1ln ======dd dd dT p T n T nT ηη 又22n p p n d -=有579.3222=+=n d n p n p p45.51255.1298.0374.0838.01838.0223.02tg 103.1408.045.0838.0223.04)838.01(45.0223.0579.3797.0838.0579.332222===-⨯⨯===⨯⨯+-=======ααζωλB p n p n n所以 x ＝1.103 cos(3t －51︒27')2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率ω1 =6rad/s 时，系统发生共振；给质量块增加1 kg 的质量后重新试验，测得共振频率ω2 =5.86rad/s ，试求系统原来的质量及弹簧刚度。

解：设原系统的质量为m ，弹簧常数为k 由m kp n =，共振时m kp n ==1ω 所以 mk =6 ①又由 当 86.512=+==m kp n ω ② ①与②联立解出 m ＝20.69 kg ，k ＝744.84 N/m2-3总质量为W 的电机装在弹性梁上，使梁产生静挠度st δ，转子重Q ，重心偏离轴线e ，梁重及阻尼可以不计，求转速为ω时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。

解：列出平衡方程可得：222()sin sin()sin()st Q W W k x w e wt x g gW Qx kx w e wt g g kg Qx x w e wt W Wππ-σ+-=+=++=+所以：2n kgP W Q h w e W==， 又因为st st W W k k =σ=σ即 ()22222()nstst hB PW w e B W g w =-σ-σ将结果代入得：Q =即为所求的振幅2-4如题2-4图所示，作用在质量块上的激振力t F t F ωsin )(0=，弹簧支承端有运动t a x s ωcos =，写出系统的运动微分方程，并求稳态振动。

题2-4图解：选0s x =时物块平衡位置为坐标原点O ，建立坐标系，如右图， 则 ()()s mx k x x p t +-= 即 ()s mx kx kx p t +=+即 0cos sin mx kx ka wt p wt +=+ （*）0p 改成0F ，下面也都一样 利用复数求解 ， 用 jwt e 代换sinwt 并设方程（*）的特解为()jwt x t Be = 代入方程（*）得02j p jka B Be k mwφ+==- 其中B 为振幅，φ为响应与激励之间的相位差，有22022p ka B B k mw k mw ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭=()()()222042022********22242211n n n n p p a p a p k a p mm m p w p λλ+++==---2202211p a kλ=+-。

2002kaka k mw tg p p k mwφ-==- 0ka arctg p φ∴= ()2202201()sin sin arc 1p ka x t B wt a wt tg k p φλ⎛⎫∴=+=++ ⎪-⎝⎭ 其中,n n w kp p mλ==2-5如题2-5图的弹簧质量系统中，两个弹簧的连接处有一激振力t F ωsin 0，求质量块的振幅。

解：设弹簧1，2的伸长分别为x 1和x 2，则有，21x x x += （A ）由图（1）和图（2）的受力分析，得到t P x k x k ωsin 02211+= （B ）22x k xm -= （C ） 题2-5图联立解得，t P k k k x k k k k x m ωsin 02122121+++-=t P mk k k x m k k k k xωsin )()(02122121+=++所以)(2121k k m k k p n =，n = 0，得，2102222222)(11)2()1(1)2()(nnp k P kH n p hB ωςλλωω-=+-=+-=2-6在题2-6图示的系统中，刚性杆AB 的质量忽略不计，B 端作用有激振力t F ωsin 0，写出系统运动微分方程，并求下列情况中质量m 作上下振动的振幅值∶(1)系统发生共振；(2) ω等于固有频率p n 的一半。

解：图（1）为系统的静平衡位置，以θ为系统的广义坐标，画受力如图（2）t lF l k l l c l I ωθθθsin 3)3(3)2(20+⋅⋅-⋅⋅⋅-= 又 I ＝ml 2 t F mlmk mc ωθθθsin 340=9++∴ 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===mlF h m c n m kp n 023,429题2-6图mgθBF 0sin ωtA X AY AF CF K22222222)2()()2()(ωωωωθθn p hllB B n p hB n n +-==+-=1）系统共振，即 ω=n pkmc F mkm c l ml F np hl B n 494)/3(200=⨯⨯==∴ 2）n p 21=ωmkc kF m k m c m k l ml F np p hl B n n 81641194944273)(432222222+=+⎪⎭⎫⎝⎛⨯=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴2-7写出题2-7图示系统的运动微分方程，并求系统固有频率p n 、阻尼比ζ及稳态响应振幅。

解：以刚杆转角ϕ为广义坐标，由系统的动量矩定理ϕϕϕ22)(4cl l x l k m l s ---= 即 t lka m k m c ωϕϕϕsin 44=++ 令，m k p n 4=，m c n 42=，n n mp c p n 8==ς，mlkah 4=，n p ωλ=得到2222)2()(ωωϕn p hB n+-=22222222)2()1(2)2()1(242ςλλωωϕ+-=+-⨯==ap p n p p l mlkal B B nn nn题2-7图2-8一机器质量为450kg ，支承在弹簧隔振器上，弹簧静变形为0.5cm 。

机器有一偏心重，产生偏心激振力gF 20254.2ω=N ，其中ω是激励频率，g 是重力加速度。

求(1)在机器转速为1200 r/min时传入地基的力；(2)机器的振幅。

解：设系统在平衡位置有位移x ， 则0mx kx F +=，即0F kx x m m+=，又有st mg k δ= 则st mg k δ= （1） 所以机器的振幅为2021F B k λλ=- （2） 且n p ωλ=，40rad s ωπ=（3） 又有2n stk gp m δ==（4） 将（1）（2）（4）代入（2）得机器的振幅B =0.584 mm 则传入地基的力为514.7T p kB N ==2-9一个粘性阻尼系统在激振力t F t F ωsin )(0=作用下的强迫振动力为⎪⎭⎫⎝⎛+=6πsin )(t B t x ω，已知F 0=19.6N ，B =5 cm ，π20=ωrad/s ，求最初1秒及1/4秒内，激振力作的功W 1及W 2。

解：由已知可得：()t F t F π20sin 0=()()()()Jtt t t t t tt x t F W t t B t x 39.15d π80cos 1π9.4|40π40cos 39.4d 6ππ20cos ππ20sin 6.19d 6ππ20cos π6πcos 110111-=---=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅==⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰⎰ωω同理可得：()()Jt t t tt x t F W 0395.0d 6ππ20cos ππ20sin 6.19d 401040102=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅==⎰⎰2-10无阻尼系统受题2-10图示的外力作用，已知0)0()0(==xx ，求系统响应。

周期函数才用频谱分析！解：由图得激振力方程为⎪⎩⎪⎨⎧〉≤≤-〈≤=22111100)(t t t t t P t t P t F当 0 < t < t 1时，1)(P F =τ，则有]cos 1[)(sin )(2101t p mp Pd t p mp P t x n n tn n-=-=⎰ττ 由于mkp n =2，所以有 ]cos 1[)(1t p kP t x n -=当t 1 < t < t 2时，1)(P F -=τ，则有⎰-=11)(sin )(t n n d t p mp P t x ττ⎰--+t t n nd t p mp P 1)(sin 1ττ)](cos 1[]cos )([cos 1111t t p kPt p t t p k P n n n -----=当 t < t 2时，0)(=τF ，则有⎰-=11)(sin )(t n n d t p mp P t x ττ⎰--+t t n nd t p mp P 1)(sin 1ττ+ 0题2-10图)](cos)([cos]cos)([cos12111ttpttpkPtpttpkPnnnn------=2-11如题2-11图的系统，基础有阶跃加速度bu（t），初始条件为0)0()0(==xx ，求质量m的相对位移。

解：由牛顿定律，可得系统的微分方程为)()(ssxxkxxcxm----=令)(srxxx-=，则有)(tmbukxx cxmrrr-=++得到系统的激振力为，)()(ττmbuF-=，可得响应为)cossin1()](cos)(sin[)(sin)(222222)(tpetppnepnbtpePnptpepnnepbdtpempmbtxdntddntdtdndddndntdtdtndr-------+-=-++-+-=--=⎰τττττττ其中22nppnd-=，mkpn=2，mcn=2。

2-12上题系统中，若基础有阶跃位移au(t)，求零初始条件下的绝对位移。

解：由上题可得系统的微分方程为()()s smx k x x c x x=-+-即s smx cx kx kx cx++=+基础有阶跃位移为()au t故sx=0sx=()au t()mx cx kx kau t∴++=得到系统的激振力为，)()(ττkauF=，可得响应为()()()()sint n tddFx t e p t dtmpτττ--=-⎰⎰-=--tdtnddtpempkau)()(sin)(ττττ题2-11图22221sin cos nt n d d d d nt d d p p ka n e e p t p t mp n p n e n n τ-⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦ 1sin cos n p t nd d d p ae p t p t p ζζ-⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦ 其中22n p p n d -=，m k p n =2，mcn =2。