勾股定理的逆定理导学案00
18.2勾股定的理逆定理导学案
18.2勾股定理的逆定理（第1课时）学习目标知识技能1．了解勾股定理的逆定理的证明方法和证明过程；2．掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形；3．掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形；过程与方法1．通过‚创设情景—建立模型—实验探究—理论释意—拓展应用‛的勾股定理的逆定理的探索过程，经历知识的发生、发展、形成和应用的过程；2．通过三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合法的应用．3、通过勾股定理的逆定理的证明及其应用，体会数形结合法在问题解决中的作用，并能运用勾股定理的逆定理解决相关问题．情感态度与价值观1．通过三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的关系；2．在探究勾股定理的逆定理的证明及应用的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神．教学重点：勾股定理的逆定理及其应用．教学难点：勾股定理的逆定理的证明．学法指导：动手实践+自主探索+合作交流学习过程问题与情景学生活动学法指导[活动1]实践1．把准备好的一根打了13个等距离结的绳子，学生分组活动，动手操作，并在组内进行交流、讨论的基础上，作出实践性预测．教师深入小组参与活动，并（1）学生在活动中的参与意识和动手能按3个结、4个结、5个结的长度为边摆放成一个三角形，请观察并说出此三角形的形状？2．分别以2.5cm、6cm、6.5cm和4cm、7.5cm、8.5cm为三边画出两个三角形，请观察并说出此三角形的形状？3．结合三角形三边长度的平方关系，你能猜一猜三角形的三边长度与三角形的形状之间有怎样的关系吗？帮助、指导部分学生完成任务，得出勾股定理的逆命题．在此基础上，介绍：古埃及和我国古代大禹治水都是用这种方法来确定直角的．力；（2）是否清楚三角形的三边长度的平方关系是因，直角三角形是果，即先有数，后有形．（3）数形结合的数学思想方法及归纳能力．[活动2]问题1．三边长度分别为3 cm、4 cm、5 cm的三角形与以3 cm、4 cm为直角边的直角三角形之间有什么关系？你是怎样得到的？学生结合活动1的体验，独立思考问题1，通过小组交流、讨论，完成问题2．在此基础上，说出问题3的证明思路．教师提出问题，并适时诱导，指导学生完成问题3的证明．之后，归纳得出勾股定理的逆定理．在此基础上，类比（1）学生能否联想到了‚‘全等’，进而设法构造全等三角形‛这一问题获解的关键；2．你能证明以2.5cm、6cm、6.5cm为三边长的三角形是直角三角形吗？3．如图18.2-2，若△ABC的三边长、、满足，试证明△ABC是直角三角形，请简要地写出证明过程．4．此定理与勾股定理之间有怎样的关系？5．教材84页练习题2．定理与逆定理的关系，介绍逆命题（定理）的概念，并与学生一起完成问题5．（2）学生在问题2中，所表现出来的构造直角三角形的意识；（3）是否真正地理解了AB=A/B/（如图18.2-2）；（4）数形结合的意识和由特殊到一般的数学思想方法；（5）能否准确地找出一个命题的题设和结论．[活动3]问题1．例1：判断由线段、、组成的三角形是不是直角三角形：（1）；（2）．2．教材84页习题18.2第1题（1）、（3）．学生说出问题（1）的判断思路，部分学生演板问题2，剩下的学生在课堂作业本上完成．板书问题1的详细解答过程，并纠正学生在练习中出现的问题，最后向学生介绍勾股数的概念．（1）学生的解题过程是否规范；（2）是不是用两条较小边长的平方和与较大边长的平方进行比较；（3）是否理解了勾股数的概念，即勾股数必须满足以下两个条件：①以三个数为边长的三角形是直角三角形；②三个数还必须是正整数．[活动4]问题例2：‚远航‛号、‚海天‛号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，‚远航‛号每小时航行16海里，‚海天‛号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道‚远航‛号沿东北方向航行，能知道‚海天‛号沿哪个方向航行吗？学生根据题意画出图形（如图18.2-3），并在教师的启发下，给出例2的解答过程．与学生一起完成建模与转化过程，帮助、引导学生完成解答过程，规范解题格式．（1）图形语言和符号语言的表述是否准确；（2）知道三角形的三边，应用勾股定理逆定理去探究三角形形状的意识；（3）是否清楚解应用问题的三个基本过程：建立数学模型→求解数学模型→回到实际问题中去；（3）学生在解决实际问题中所表现出来的数学情感与态度．[活动5]1．练习：教材84页练习题1、3．2．思考：教材85页习题18.2第6题．部分学生演板，剩余学生在课堂练习本上独立完成．巡视，了解学生对知识的掌握情况．（1）学生在练习中反映出的问题，有针对性地讲解；（2）学生能否熟练地应用勾股定理的逆定理去分析和解决问题．[活动6]1．小结2．作业：（1）必做：教材84页习题18．2第1题（2）、（4）和第2、3题；（2）选作：教材85页习题18．2第4、5、6题．引导学生回忆本节课所学的知识．布置作业，学生按要求在课外完成．（1）学生对本节内容的知识结构是否清晰；（2）学生在作业中反映出的问题，应做好记载，找出教、学之不足．初评意见本节课是安排在勾股定理之后，主要内容包括，勾股定理的逆定理及其应用、互逆命题（定理）及勾股数的概念，其中前者是重点，勾股定理的逆定理的证明是难点．勾股定理的逆定理既是对直角三角形的再认识，也是判断一个三角形是不是直角三角形（确定直角）的一种重要方法，除此以外，它还是向学生渗透‚数形结合‛这一数学思想方法的很好素材．作为一种数学模型，它在日常生活中（比如，测量等）也有着极其广阔的应用．考虑到勾股定理逆定理与勾股定理的互逆关系，在教学中，首先从勾股定理的反面出发，给出三组数据，让学生通过摆、画三角形的实践，并结合观察、归纳、猜想等一系列探究性活动，得出勾股定理的逆命题．如何突破‚勾股定理的逆定理的证明‛这一教学难点呢？我又设计了一个由特殊到一般的探索、归纳过程，来凸现‚构造直角三角形‛这一问题转化的关键．之后，再不失时机地结合勾股定理的逆定理与勾股定理之间的关系，介绍互逆命题（定理）的概念．对于勾股定理的逆定理应用的教学，充分利用课本提供的两道例题，着眼于‚双基‛和‚应用‛这两个层面，来突出本节的教学重点．本节课立足于创新和学生可持续发展，把教学内容分解为一系列富有探究性的问题，让学生在解决问题的过程中经历知识的发生、发展、形成的过程，把知识的发现权交给学生，让他们在获取知识的过程中，体验成功的喜悦，真正体现学生是学习的主人，教师只是学习的参与者、合作者、引导者．在重视基础知识和基本技能的同时，更关注知识的形成过程及应用数学的意识．。
初中数学《勾股定理的逆定理》第1课时导学案
§ 勾股定理的逆定理 第1课时学习目标：1．了解勾股定理的逆定理的由来，掌握勾股定理的逆定理，并能初步运用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
2．通过的具体例子，了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
一、自主探究二、小组合作交流，课内展示：阅读教材（73-74页）相关内容，思考，讨论，合作交流后完成下列问题：请同学们根据猜想写出勾股定理的逆命题：命题2： 。
请同学们通过阅读回答下列问题：1.命题1的题设是 ，结论是 .命题2的题设是 ，结论是 .2.原命题与逆命题的关系是什么？3.请同学们再举出一些互逆命题，并思考：是否原命题正确，它的逆命题也正确呢？4.通过讨论大家会发现原命题正确，其逆命题不一定正确。
那勾股定理的逆命题正确吗？命题的真假如何判断？5.已知：如图1，△ABC 中，AB=c,AC=b,BC=a, 且a 2+b 2=c 2 .求证：∠C=90°.分析：在图1中，△ABC 的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，如果△ABC 是直角三角形，它应该与直角边是 和 的直角三角形 。
实际情况是这样吗？我们不妨构造．．一个Rt △C B A ''',使C B ''=a ，C A ''=b, ∠C '=90°(如图2),再将画好的△C B A '''剪下,放到△ABC 上，请同学们观察，它们是否能够重合？试一试吧！(图1) (图2)学生活动：拿出事先准备好的纸片、剪刀，实验、领会、感悟.讨论结果：（1）它们 重合；（2）证明：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。
6．每个命题都有逆命题，是不是每个定理都有逆定理呢？请举例说明。
三、课内巩固练习：2.在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，则∠ =90°.3.写出下列定理的逆命题，并判断它是否有逆定理。
《勾股定理的逆定理》导学案
7.4 勾股定理的逆定理◆学习目标：1、经历直角三角形判别条件的探究过程，体会命题、定理的互逆性.2、探索并掌握直角三角形判别思想，会应用勾股定理的逆定理解决实际问题. ◆学习重点：理解并掌握勾股定理的逆定理，并会应用.◆学习难点：探索并掌握直角三角形判别思想，会应用勾股定理的逆定理解决实际问题.学习过程◆ 新知必备1、已知：a 、b 、c 分别是直角三角形的三边，c 为斜边，求出未知数。
（1）a=3，b =4，则c= ，（2）a=8，c=4，则b=（3）a=5，c=3，则b= ，（4）b=30，c=50，则b=2、怎样确定一个三角形是直角三角形？口述勾股定理，思考：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，是否能判定这个三角形是直角三角形呢？◆ 探索新知已知一个三角形的三边长分别为3厘米、4厘米和5厘米，请你使用尺规作图作出这个三角形。
用量角量去量一下三角形的三个内角，并确定三角形的形状总结：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
即若三角形三边a,b,c 满足222c b a =+（222a c b =+或222b c a =+），则此三角形是直角三角形。
◆ 学会应用例1 在下列各题中，a,b,c 分别是△ABC 的三条边的长，判断△ABC 是不是直角三角形：（1）3,2,1===c b a （2）4,3,2===c b a （3）x c x b x a 5,4,3===注意：我们把能够成为直角三角形三条边长的三个正整数称为勾股数组。
思考：在纸上画一个角，如果只用一把带有刻度的直尺，你怎样来判定画出的是否是直角。
◆ 当堂演练完成书本59页的练习1、2 60页习题 1、21、下列各组数，不是勾股数的为（ ）A 、3:4:5B 、5:12:13C 、9:12:152、一个三角形三边之比为3:4:5，则此三角形是 。
为什么？3、三角形的三边长a 、b 、c 满足ab c b a 2)(22=-+，则此三角形是4、一个三角形的三边之比为13:12:5，且周长为60cm ，则它的面积是 2cm5、已知在⊿ABC 中，AB=AC=5，BC=6，求⊿ABC 的面积6、一个三角形的三边长分别为15，20，25，那么它的最长边上的高◆ 小结本节课你所学到的知识有：方法有：你仍有不明白或感到困惑的地方：◆ 当堂检测1、⊿ABC 中，如果三边满足关系2BC =2AB 2AC -，则⊿ABC 的直角是2、在⊿ABC 中，若5,7,252222==-=+c b a b a ，此三角形是3、已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？（1）a=3，b=22，c=5； （2）a=5，b=7，c=9；（3）a=2，b=3，c=7； （4）a=5，b=62，c=1。
人教初二数学下学期《勾股定理的逆定理》导学案
八年级（ ）班 第 组 姓名： 教学目标：1.掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形.2.理解勾股定理的逆定理的证明方法.3.能用勾股定理的逆定理解决相关问题.教学重点：理解勾股定理的逆定理教学难点：探索勾股定理的逆定理的过程 教学过程： （一）尝试自学1. 勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 .练习：求出下列直角三角形中未知边的长度：2. （量一量）用三角板量一量下图中的∠C ，判断一下它们是否都是直角. （1） （2∠C 90°（填“=”或“≠” ） ∠C 90°（填“=”或“≠” ） 算一算上面数量关系：()()2222b a +=+ ()()2222 b a +=+= =()==22c ()==22 c∴22b a + 2c （填“=”或“≠” ） ∴22b a + 2c （填“=”或“≠”） 由上可知：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足 ，那么这个三角形是．直角三角形．．．．．； （二）主干讲解例1. 如图，已知△ABC 和△'''C B A 中，∠'C =90°，BC C B ''=，AC C A ''=，且△ABC 的三边长满足222AB BC AC =+， 求证：︒=∠=∠90C C '. 证明：在△'''C B A 中，∠'C =90°∴根据勾股定理有：='2'B A + ∵BC C B ''=，AC C A ''=，且△ABC 的三边长满足222AB BC AC =+ ∴ =AB 在△ABC 和△'''C B A 中⎪⎩⎪⎨⎧===AB B A AC C A BCC B '''''' ∴△ABC ≌△'''C B A （ ） ∴ = =90° 【归纳】勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足 ，那么这个三角形是 三角形，且边 所对的角为直角.例2. 判断由线段a ，b ，c 组成的三角形是不是直角三角形：（1）a=2，b=3，c=4 （2）a=6，b=8，c=10 解：∵()()2222b a +=+ 解：=()==22c∴2232+ 24（填“=”或“≠” ） ∴这个三角形 直角三角形（三）局部训练：A 组题1. 判断由线段a ，b ，c 组成的三角形是不是直角三角形，请说明理由： （1）a=3，b=4，c=5； （ ）理由是：2243+ 25（填“=”或“≠” ） （2）a=6，b=8，c=12； （ ）理由是： （3）a=9，b=15，c=12； （ ）理由是：22129+ 215（4）a=15，b=17，c=8； （ ）理由是： 2. 若一直角三角形两边的长为12和5，则第三边的长为（ ） A.13 B.13或119 C.13或15 D.15 3. 三角形三边长a ，b ，c 满足222b c a -=，则这个三角形是（ ） A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形 4. 如图，已知△ABC 中，BC=25，AC=24，AB=7，求证：△ABC 是直角三角形.B 组题：5. 下列各组数中，不能作为直角三角形的是（ ） A.1，2，5 B.1， 2，3 C.3，4，5 D.6，8，126. 测得一个三角形花坛的三边长分别为5cm ，12cm ，13cm ，则这个花坛的面积是（ ） A.302cm B.2cm 265 C.782cm D.1302cm 7. 三角形的a ，b ，c 满足()2ab c b a 22+=+，则这个三角形是 三角形. 8. 如图，四边形ABCD 中，AB=3，AD=4，BC=12，CD=13，∠A =90°，（2）求∠DBC的度数；（3）求四边形ABCD的面积.9.△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm，求AC.。
18.2勾股定理的逆定理导学案
应用所学的“勾股定理的逆定理”.
学生活动：理解图形的画法，参与教师
讲例，并归纳方法：(1) ?画出正确的象限图，
(2)确定一个三角形，再应用勾股定理的逆定理解决问题.
【问题探究2】(投影显示)
如图，在正方形ABCD中, F为DC的中
1
点，E为BC上一点，且EC J BC,
4
求证：AF丄EF.
思路点拨：要证AF丄EF,需证△ AEF是直角三角形，
由勾股定理的逆定性，？只要证出AF2+EF2=AF2就可以了.
教师活动：操作投影仪，组织学生讨
论，引导学生写出推理过程.
学生活动：先独立思考，再与同伴交
流，并踊跃上台“板演”.
证明：连结AE,设正方形边长为a,则
a a
DF=FC= —, EC=—,
2 4
o a o a
在Rt △ ECF 中，有EF2= (一)2+ (一)
2 4
5
2?= —a2;
16
a 同理可证.在Rt △ ECF中，有EF2= (― ) 2 +
2
a 2 5 2
(_) 2= _a2,
4 16
1 3
在Rt△ ABE 中，有BE=a-—a=—a,
4 4
3 25
•- AE2=a2+ ( 3a) 2= 25 a2,
4 16
••• AF2+EF2=AE2 .
根据勾股逆定理得，/ AEF=90 ° ,
•••AF 丄EF.
【设计意图】以例2为理解勾股逆定理。
勾股定理逆定理导学案
勾股定理逆定理导学案(总15页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--单元程序导学案编号课题勾股定理的逆定理(一) 主备教师徐斌学科组长一.学习目标1.互逆命题与互逆定理;2.勾股定理的逆定理的证明;3.勾股定理的逆定理的运用.二.重难点: 勾股定理的逆定理的证明与运用三.课时安排(预习+展示)2课时四.预习笔记要求(根据学科特点提出要求,学科组长检查签字)从课本入手,由浅入深,自己写出每一题的过程.导学案一、自学(自学课本P73-P75上,完成下列练习)1、以下各组数为边长，能组成直角三角形的是（）．A．5，6，7 B．10，8，4 C．7，25，24 D．9，17，152、以下各组正数为边长，能组成直角三角形的是（）．A．a-1，2a，a+1 B．a-1，a+1C．a-1a+1 D．a-1，a+13、什么是命题？什么是逆命题？4、根据下列命题写出其逆命题，并判断正误原命题：猫有四只脚．逆命题：原命题：对顶角相等逆命题：原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．逆命题：原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．逆命题：5.△ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，如果△ABC是直角三角形，它应该与直角边是a，b的直角三角形全等．实际情况是这样的吗？•我们画一个直角三角形A′B′C′，使B′C′=a，A′C′=b，∠C′=90°（课本图18．2-2），再将画好的△A•′B′C′剪下，放到△ABC上，请同学们观察，它们是否能够重合？试一试!6、以下列各组线段为边长，能构成三角形的是____________(填序号)，能构成直角三角形的是____________．①3，4，5 ②1，3，4 ③4，4，6 ④6，8，10 ⑤5，7，2 ⑥13，5，12 ⑦7，25，24二、自展：(典型例题解析)例1：一个零件的形状如下图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量出了这个零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗?例2：若△ABC的三边a，b，c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判定△ABC的形状．例3：已知：在△ABC中，AB＝13cm，BC＝10cm，BC边上的中线AD＝12cm．求证：AB＝AC．三、自评：1、请完成以下未完成的勾股数：（1）8、15、_______；（2）10、26、_____．2、△ABC中，a2+b2=25，a2-b2=7，又c=5，则最大边上的高是_______．3、以下各组数为三边的三角形中，不是直角三角形的是（）．A．3+1，3-1，22 B．7，24，25C．4，， D．，，4、一个三角形的三边长分别为15，20，25，那么它的最长边上的高是（）．A． B．12 C．1522D．95、如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 4倍6、下列各命题的逆命题不成立的是( )A.两直线平行,同旁内角互补B.若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等C.对顶角相等D.如果a=b,那么a2=b27、五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)8、已知：如图，∠ABD=∠C=90°，AD=12，AC=BC ，∠DAB=30°，求BC 的长．9、已知：如图，AB=4，BD=12，CD=13，AC=3，AB ⊥AC ，求证：BC ⊥BD ．10、在四边形ABCD 中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD 的面积11、 如图所示的一块地，已知AD =4m ，CD =3m ， AD ⊥DC ，AB =13m ，BC =12m ，求这块地的面积.12、 一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？A BCDA B CD531213A D C B13、下图中的（1）•是用硬纸板做成的形状大小完全相同的直角三角形，两直角边的长分别为a 和b ，斜边长为c ；下图中（2）是以c 为直角边的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明出勾股定理的图形． （1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形． （2）用这个图形推出a 2+b 2=c 2（勾股定理）．（3）假设图中的（1）中的直角三角有若干个，你能运用图中的（1）所给的直角三角形拼出另一种能推出a 2+b 2=c 2的图形吗？请画出拼后的示意图．（无需证明）14、 如图，E 、F 分别是正方形ABCD 中BC 和CD 边上的点，且AB =4，CE =41BC ，F 为CD 的中点，连接AF 、AE ，问△AEF 是什么三角形？请说明理由.15、 勾股数又称商高数，它有无数组，是有一定规律的.比如有一组求勾股数的式子：a =m 2-n 2,b=2mn ,c =m 2+n 2（其中m ，n 为正整数，且m ＞n ）.你能验证它吗利用这组式子，完成下表，通过表格，你会发现勾股数有哪些规律请查阅有关资料，相信你将有更多收获.123456 (2)3 4 5EB勾股 数n m单元程序导学案编号课题勾股定理的逆定理(二) 主备教师徐斌学科组长一.学习目标1. 勾股定理逆定理在方位角中的应用;2. 勾股定理逆定理在几何中的应用.二.重难点: 勾股定理及逆定理在几何中的应用.三.课时安排(预习+展示)2课时四.预习笔记要求(根据学科特点提出要求,学科组长检查签字)结合所学知识,自己认真写出每一题的过程.导学案一、自学（自学课本P75例2,完成下列练习）1、甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远还能保持联系吗2、小明向东走80m后,沿另一方向又走了60m,再沿第三个方向走100m回到原地.小明向东走80m后又向哪个方向走的?3、一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动多少？4、如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐 角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米）， 却踩伤了花草．5、一个矩形的抽斗长为24cm ，宽为7cm,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是 ．6、已知直角三角形中30°角所对的直角边长是32cm ，则另一条直角边的长是（ ）A. 4cmB. 34cmC. 6cmD. 36cm7、△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 33 8、在△ABC 中，∠C ＝90°，（1）已知 a ＝，b ＝，则c ＝ ；（2）已知c ＝17，b ＝15，则△ABC 面积等于 ；（3）已知∠A ＝45°，c ＝18，则a ＝ .二、自展：(典型例题解析)例1：问题：A 、B 、C 三地两两距离如下图所示，A 地在B 地的正东方向，C 地在B 地的什么方向?例2：如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m ，宽2m 的楼道上铺地毯,已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱“路”4m 3m5m例3：有一只小鸟在一棵高4m 的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高20m 的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s 的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？例4：将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320cm ， 在无风的天气里，彩旗自然下垂，如右图. 求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h .彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形（单位：cm ）.三、自评：1、如图，你能计算出各直角三角形中未知边的长吗？2、一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ．3、一个矩形的抽斗长为24cm ，宽为7cm,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是 ．4、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12cm ，S △ABC ＝30cm 2，则AB ＝ .5、在△ABC 中，,,A B C ∠∠∠的对边分别为,,a b c ，且ab c b a 2)(22+=+，则（ ）A.A ∠为直角B.B ∠为直角C.C ∠为直角D.不能确定120906、放学后，小明先去同学小华家玩了一回，再回到家里。
勾股定理的逆定理 精选 配套导学案
第十七章勾股定理定理的概念、关系及勾股数；._________三角形..2+b2=c2．C′=b，B′C′=a，A′B′C′(________) .∴∠C____∠C′_____90°，即△ABC是__________三角形.要点归纳：勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.特别说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形，最长边所对应的角为直角.典例精析例1(教材P32例1变式题)若△ABC的三边a,b,c满足a:b: c=3:4:5，是判断△ABC的形状.方法总结:已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.例2(1)若△ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1,c=14，试说明△ABC是直角三角形.(2)若△ABC的三边a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC的形状.例3如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝14CB，试判断AF 与EF的位置关系，并说明理由.针对训练1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．3，4，6C．5，12，13 D．4，6，72.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则该三角形最长边上的高是( ）A．4 B．3 C．2.5 D．2.43.若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是_______________________.探究点2：勾股数要点归纳：勾股数：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.常见的勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.教学备注2.探究点1新知讲授（见幻灯片5-17）3.探究点2新知讲授（见幻灯片18-20）例4 下列各组数是勾股数的是( ) A.6，8，10 B.7，8，9C.0.3，0.4，0.5D.52，122，132方法总结:根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.探究点3：互逆命题与互逆定理想一想 1.前面我们学习了两个命题，分别为：命题1，如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2；命题2，如果三角形的三边长a ，b ，c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.两个命题的条件和结论分别是什么？2.两个命题的条件和结论有何联系？要点归纳：原命题、逆命题与互逆命题：题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.A.3，4，7B.5，12，13C.1.5，2，2.5D.1，3，52. 将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形 ( ) A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形C.可能是钝角三角形D.不可能是直角三角形 3.在△ABC 中，∠A, ∠B, ∠C 的对边分别a,b,c. ①若∠C- ∠B= ∠A,则△ABC 是直角三角形；②若c 2=b 2-a 2,则△ABC 是直角三角形,且∠C=90°；③若(c+a)(c-a)=b 2,则△ABC 是直角三角形;④若∠A ：∠B ：∠C=5：2：3，则△ABC 是直角三角形. 以上命题中的假命题个数是（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 4.已知a 、b 、c 是△ABC 三边的长，且满足关系式2220c a b ca，则△ABC的形状是________________．5.(1)一个三角形的三边长分别为15cm,20cm,25cm ，则该三角形最长边上的高是______cm; (2)“等腰三角形两底角相等”的逆定理为_______________________________________．6.已知△ABC,AB=n 2-1,BC=2n,AC=n 2+1(n 为大于1的正整数).问△ABC 是直角三角形吗？ 若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.7.如图，在四边形ABCD 中，AB=8，BC=6，AC=10，AD=CD=52,求四边形ABCD 的面积.第十八章 平行四边形18.2.3 正方形第1课时 正方形的性质学习目标：1.理解正方形的概念；2. 探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别；3. 会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.重点：探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别. 难点：会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.教学备注6.当堂检测 （见幻灯片25-29）教学备注学生在课前完成自主学习部分配套PPT 讲授1.情景引入 （见幻灯片3）2.探究点1新知讲授（见幻灯片4-19）自主学习一、知识回顾1.你还记得长方形有哪些性质吗？2.菱形的性质又有哪些？课堂探究二、要点探究探究点1：正方形的性质想一想 1.?你有什么发现？邻边_____2.菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？一个角是_____要点归纳：正方形定义：有一组邻边_____并且有一个角是_____的__________叫正方形.想一想正方形是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.那你能说出正方形的性质吗？1.正方形的四个角都是_________,四条边_________.2.正方形的对角线________且互相______________.证一证已知：如图,四边形ABCD是正方形.求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.证明：∵四边形ABCD是正方形.∴∠A=____°, AB_____AC.又∵正方形是平行四边形.∴正方形是______,亦是______.∴∠A___∠B___∠C___∠D =____°,AB___BC___CD___AD.已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.证明：∵正方形ABCD是矩形,∴AO___BO___CO___DO.∵正方形ABCD是菱形.∴AC___BD.想一想请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考.正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?要点归纳：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：正方形的性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.典例精析例1如图，在正方形ABCD中，ΔBEC是等边三角形.求证：∠EAD＝∠EDA＝15°.DAB CE变式题1 四边形ABCD是正方形,以正方形ABCD的一边作等边△ADE,求∠BEC的大小．易错提醒：因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等．本题分两种情况：等边△ADE在正方形的外部或在正方形的内部．变式题2 如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．（1）求证：△APB≌△DPC；（2）求证：∠BAP=2∠PAC．教学备注2.探究点1新知讲授（见幻灯片4-19）例3 如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.方法总结：在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明.针对训练1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )A.四个角相等B.对角线互相垂直平分C.对角互补D.对角线相等2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A.四条边相等B.对角线互相垂直平分C.对角线平分一组对角D.对角线相等3.如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC与BD相交于点O,AO＝2,求正方形的周长与面积．教学备注2.探究点1新知讲授（见幻灯片4-19）二、课堂小结内 容正方形的性质定义：有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.性质：1. 四个角都是直角2. 四条边都相等3. 对角线相等且互相垂直平分1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是 （ ） A ．对角线互相平分 B ．对角线互相垂直C ．对角线相等D ．对角线互相垂直且相等2.一个正方形的对角线长为2cm ，则它的面积是 （ ）A.2cm 2B.4cm 2C.6cm 2D.8cm 23. 在正方形ABC 中,∠ADB=________,∠DAC=_________, ∠BOC=__________.4.在正方形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点，且AE=AB ，则∠EBC 的度数是___________.5.如图，正方形ABCD 的边长为1cm ，AC 为对角线，AE 平分∠BAC ，EF ⊥AC ，求BE 的长．当堂检测教学备注 配套PPT 讲授3.课堂小结（见幻灯片25）4.当堂检测（见幻灯片20-24）第3题图 第4题图。
17.2勾股定理的逆定理导学案
17.2《勾股定理的逆定理》导学案学习目标：1、理解并掌握勾股定理的逆定理，并会用它判断一个三角形是不是直角三角形。
2、探究勾股定理的逆定理的证明方法，会应用它解决实际问题．3、理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
学习重点：灵活应用勾股定理的逆定理解决实际问题。
学习难点：勾股定理的逆定理的证明知识回顾：1、勾股定理：如果______________________________________________________,2、怎样判定一个三角形是直角三角形？教学过程：一、创设情境，提出问题1、画△ABC，使三边长分别是下列各组数，用你的量角器分别测量一下小组内同学画出的三角形的最大角的度数，并判断所画三角形的形状；（1）3、4、5 ；（2）2.5、6、6.5；（3）6、8、102、找规律:根据上述每个三角形所给的各组边长请你找出最长边的平方与其他两边的平方和之间的关系：_____________________3、猜想：让我们猜想一下，一个三角形各边长数量应满足怎样的关系时，这个三角形才可能是直角三角形呢？你的猜想是_______________________________ 4、这个猜想的题设是______________________________________________________结论是：_________________该猜想的题设和结论与勾股定理的题设和结论正好_________。
如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这样的两个命题叫做______命题，若把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的______命题。
思考并回答下列命题的逆命题：原命题：1、同位角相等两直线平行。
原命题的逆命题是：_____________________________________(正确吗？___）原命题：2、对顶角相等。
原命题的逆命题是：_____________________________________(正确吗？___）由此可见：原命题正确，它的逆命题可能_____也可能_____。
勾股定理的逆定理导学案
勾股定理的逆定理导学案一、导学目标1. 了解勾股定理的定义和常用形式；2. 学习勾股定理的逆定理的定义；3. 掌握勾股定理与逆定理求解直角三角形边长和角度的方法；4. 提高解决实际问题的能力。
二、导学内容1. 勾股定理的定义勾股定理是数学上最为基础且重要的定理之一，它描述了直角三角形中，直角的两条直角边的平方和等于斜边的平方的关系。
具体表示为：在一个直角三角形中，设直角边的长度分别为 a 和 b，斜边的长度为 c，则有 a² + b² = c²。
2. 勾股定理的常用形式勾股定理的常用形式有两种：一种是已知两边求第三边的形式，即根据两条直角边的长度，求解斜边的长度；另外一种是已知两边求角度的形式，即根据两条直角边的长度，求解直角的两个角度。
3. 勾股定理的逆定理的定义勾股定理的逆定理又称为勾股定理的逆向推理，它给出了当三边长度满足一定条件时，是否可以构成直角三角形的判断方法。
具体表述为：如果有一个三角形的三条边长满足 a² + b² = c²，那么这个三角形一定是直角三角形。
4. 勾股定理与逆定理求解直角三角形边长和角度的方法(1) 已知两边求第三边的方法：- 设两条直角边的长度为 a 和 b，斜边的长度为 c；- 如果已知 a 和 b，可以通过勾股定理直接求出 c 的长度；- 如果已知 a 和 c，可以通过勾股定理的逆定理判断是否能构成直角三角形，如果可以，再通过 a² + b² = c²求出 b 的长度；- 如果已知 b 和 c，可以通过勾股定理的逆定理判断是否能构成直角三角形，如果可以，再通过 a² + b² = c²求出 a 的长度。
(2) 已知两边求角度的方法：- 设两条直角边的长度为 a 和 b，斜边的长度为 c；- 根据勾股定理可以得到两个角的正弦值、余弦值和正切值的关系；- 可以通过反三角函数来求得直角的两个角度的值。
勾股定理的逆定理(二)导学案
图18.2-3 勾股定理逆定理（二）导学案班级： 姓名： 学号：学习目标：1.进一步掌握勾股定理的逆定理，并会应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，能够理解勾股定理及其逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围。
2.培养逻辑推理能力，体会“形”与“数”的结合。
重点：勾股定理的逆定理难点：勾股定理的逆定理的应用一.预习新知已知：如图，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。
求：四边形ABCD 的面积。
归纳：求不规则图形的面积时，要把不规则图形二.课堂展示1.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？2．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。
小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°。
三.随堂练习1..一个三角形三边之比为3：4：5，则这个三角形三边上的高值比为A 3:4:5B 5:4:3C 20:15:12D 10:8:22.如果△ABC 的三边a,b,c 满足关系式182-+b a +（b-18）2+30-c =0则△ABC 是 _______三角形。
四.课堂检测1.若△ABC 的三边a 、b 、c ，满足（a －b ）（a 2＋b 2－c 2）=0，则△ABC 是（ ）ABD EA BA ．等腰三角形；B ．直角三角形；C ．等腰三角形或直角三角形；D ．等腰直角三角形。
2.若△ABC 的三边a 、b 、c ，满足a ：b ：c=1：1：2，试判断△ABC 的形状。
3.已知：如图，四边形ABCD ，AB=1，BC=43，CD=413，AD=3，且AB ⊥BC 。
7.4勾股定理的逆定理导学案
勾股定理的逆定理导学案【学习目标】1、探索并理解勾股定理的逆定理；2、会运用勾股定理的逆定理判断已知三边长度的三角形是不是直角三角形.3. 了解勾股数组的概念。
【课前准备】1、勾股定理的内容：直角三角形两条直角边的平方和等于 .2、在直角三角形中，两直角边长分别是3和4，则斜边长是 .3、已知直角三角形其中两边的长分别为5㎝和3㎝，则第三边的长是_________.【导入】 ：据说古埃及人曾经用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．你知道为什么吗【课内探究】 一、自学1教材第56页-57页例1内容，完成下列题目：“实验与探究”部分：1、长度为12单位的细绳首尾相接围成的△ABC 的 C B 三边的长分别为：（图上标出3，4，5）2、右图△ABC 的长满足a 2+b2 c2（填“=”或“≠” ）3、你用三角尺或量角器检验可知∠C 90°，所以该△ABC 是 三角形.4、图7-15中，最长为13单位的边所对角的度数为 ，所以该三角形也是 .二、群学1结合课本图7-16，利用勾股定理和SSS 可得出：勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是 .三、练学：勾股定理的逆定理的应用：1、判断由线段a ，b ，c 组成的三角形是不是直角三角形:（1）15=a ，8=b ，17=c ； （2）x 2，x 3，x 4. （3）5，12，132、AB ⊥AD ，AB=4，BC=12，CD=13，AD=3，判断BC ⊥CD 吗该四边形ABCD 的面积是多少四、【群学2】如果把一个直角三角形的三边同时扩大到原来的2倍，得到的新三角形还是直角三角形吗扩大到原来的n 倍呢将直角三角形的三边的长度扩大同样的倍数,则得到的三角形是( )A.是直角三角形;B.可能是锐角三角形;C.可能是钝角三角形;D.不可能是直角三角形【自学2】自学课本58页 勾股数组概念：满足22b a =2c 的三个正整数叫做勾股数组。
19.2勾股定理逆定理导学案(精华)
19.2勾股定理逆定理1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形,且∠C=900。
2. 勾股数：满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。
）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15；5,12,13 3.（勾股定理逆定理应用）：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： (1)确定最大边（不妨设为c ）； (2)若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）他方法：1.有一个角为90°的三角形是直角三角形。
2.有两个角互余的三角形是直角三角形。
4.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，我们称为勾股数，观察下列表格给出的三个数a,b,c,a<b<c. （1）求出b,c 的值。
（2）写出你发现的规律。
5.下列几组数：（1）1，3,2，；（2）3，4，5；（3）15453，，；（4）4,5,6；（5）2:3:1（6）1:2:1； （7）25,20,15；其中是勾股数的是 ；以这三个为三角形的三边能确定是直角三角形的是 6. 在△ABC 中, 判定△ABC 是否是直角三角形。
（1）221,2,1a n b n c n =-==+（2,n ≥n 为正整数）；(2)2221,22,221a n b n n c n n =+=+=++（n 为正整数）(3)2222,2,a m n b mn c m n =-==+（,m n >m ，n 为正整数）7.观察下列各式：32＋42＝52；82＋62＝102；152＋82＝172；242＋102＝262…，你有没有发现其中的规律？请用含n 的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．8. 如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，判定△ABC 的形状9.如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=14BC，求证：AF⊥EF．10.已知：如图，△ABC中，AB=5cm，BC=3 cm，AC=4cm，CD⊥AB于D，求CD的长及△ABC的面积；11.如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，已知AB ＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求CD的长．12.在△ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中线BD=5cm．求证：△ABC是等腰三角形13.如图，△ABC的三边分别为AC=5，BC=12，AB=13，将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上，求折痕AD的长．14.已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．15.如图4，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9.(1)求DC的长.(2)求AB的长.(3)求证: △ABC是直角三角形.16.已知：如图，AB=4，BC=12，CD=13，DA=3，AB⊥AD，求证：BC⊥BD．17.若△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足（a-b）•（a2+b2-c2）=0，判定△ABC的形状18.△ABC的三边长分别为a，b，c，且（a2+b2）2-（c2）2=0，判定△ABC的形状19.在三角形中，三边长a、b、c满足（a-b）2+|b-2|+（c2-8）2=0，判定△ABC的形状20.已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，判断它的形状21.若△ABC的三边a，b，c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判定△ABC的形状．22.已知△ABC的三边a、b、c满足a+b=10,ab=18,c=8,试判断此三角形的形状。
勾股定理逆定理导学案
17.2勾股定理的逆定理（第一课时）导学案学习目标：1、体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。
2、探究勾股定理的逆定理的证明方法。
学习重点：理解并会应用掌握勾股定理的逆定理。
学习难点：理解勾股定理的逆定理的推导。
一、预习案1、勾股定理的内容是什么?你能说出它的题设和结论吗？勾股定理：题设：结论：2、若△ABC为直角三角形，∠C=90°，⑴已知a=b=5,求c；⑵已知a=1,c=2,求b ；⑶已知c=17,b=8,求a3、你认为，当一个三角形满足什么条件时，它是直角三角形？说说你的想法。
二、课堂学案合作探究：（小组内合作完成）1.画图：画出边长分别是下列各组数的三角形（单位：厘米）A：3、4、5 ； B：2.5、6、6.5； C：3、4、6； D：6、8、102.测量：用你的量角器分别测量一下上述各三角形的最大角的度数，并记录如下： A：____________ B：_____________ C：____________ D：____________3.判断:请判断一下上述你所画的三角形的形状.A：____________ B：_____________ C：____________ D：____________ 4.找规律:根据上述每个三角形所给的各组边长请你找出最长边的平方与其他两边的平方和之间的关系。
A：____________ B：_____________ C：____________ D：____________ 5.猜想：让我们猜想一下，一个三角形各边长数量应满足怎样的关系时，这个三角形才可能是直角三角形呢？__________________________________________________________。
6.思考：要验证猜想是否正确你会怎么做呢？当我们证明了命题2是正确的，那么命题就成为一个定理．我们就称之为勾股定理的逆定理，我们可以利用这个定理判定一个三角形是否为直角三角形。
3.2《勾股定理的逆定理》导学案
勾股定理逆定理导学案学习目标：1．会阐述直角三角形的判定条件（勾股定理的逆定理）2．会用直角三角形的判定条件判定一个三角形是直角三角形3、经历探索一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理能力，体会“形”与“数”的内在联系探索活动一：1．画图：画出边长分别是下列各组数的三角形（1） 3 4 5 （2）5 12 13 （3）8 15 17 21·cn·jy·com2、猜想上述所画三角形的形状，请用一句话概括你的猜想，你能证明你的猜想是正确的吗？勾股定理逆定理的文字语言：符合语言：你会用这个结论判断一个三角形是不是直角三角形吗？这个结论与勾股定理有什么关系吗？探索规律：1．满足a2＋b2＝c2的3个正整数a、b、c称为勾股数．请你填表并探索规律．a 3 6 9 12 …3nb 4 8 12 16 …4nc 5 10 15 20 …5n①从前2个表中你能发现什么规律？②你能根据发现的规律写出更多的勾股数吗？试试看知识应用：1、下列各组室是勾股数吗？（1）12 15 18 （2）11 60 61 （3）15 36 39 （4）1 4353a 3 7 9 11 …b 4 12 40 …c 5 13 25 61 …2、很久很久以前，古埃及人把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉如图那样钉成一个三角形，你知道这个三角形是什么形状吗？并说明理由． 21教育3、已知某校有一块四边形空地ABCD ，如图现计划在该空地上种草皮，经测量∠A ＝90°，AB ＝3m ，BC ＝12m ，CD＝13m ，DA ＝4m ，若每平方米草皮需100元，问需投入多少元？21世纪教育变式：要做一个如图所示的零件，按规定∠B 与∠D 都应为直角，工人师傅量得所做零件的尺寸如图，这个零件符合要求吗 ？ 21cnjy提高题：1、若△ABC 的两边长为8和15，则能使△ABC 为直角三角形的第三边的平方是2、若△ABC 的三边a 、b 、c 满足条件222338102426a b c a b c +++=++，试判断△ABC 的形状.2471520DC BA D AB C。
勾股定理的逆定理(第一课时)(导学案)-八年级数学下册同步备课系列(人教版)
人教版初中数学八年级下册17.2.1勾股定理的逆定理导学案一、学习目标：1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数.2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.重点：灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题.难点：灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题.二、学习过程：课前自测1.勾股定理的内容是什么?2.求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长.①a＝3，b＝4；_______②a＝2.5，b＝6；_________③a＝4，b＝7.5.________自主学习画一画：如果三角形的三边分别为2.5cm，6cm，6.5cm，它们满足关系“2.52+62=6.52”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4cm，7.5cm，8.5cm，再试一试.由上面的几个例子，我们猜想：____________________________________ _________________________________________________________.思考：把下列命题1、命题2的题设、结论分别画出来？命题1如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.命题2如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.【归纳】我们看到，命题2与命题1的题设、结论正好_____.我们把像这样的两个命题叫做____________.如果把其中一个叫做_________，那么另一个叫做它的_________.【针对练习】说出下列命题的逆命题，并判断它们是否正确.1.原命题：同位角相等，两直线平行.()逆命题：______________________.()2.原命题：对顶角相等.()逆命题：____________________.()3.原命题：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.()逆命题：____________________________________________________.() 4.原命题：角平分线上的点到角的两边的距离相等.()逆命题：___________________________________________________.()合作探究在图(1)中，已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2+b2=c2，要证△ABC一定是直角三角形.我们可以先画一个两条直角边长分别为a，b的Rt△A′B′C′如图(2)，如果△ABC与Rt△A′B′C′全等，那么△ABC就是一个直角三角形.具体问题：已知△ABC，BC=a，AC=b，AB=c，且a2+b2=c2.求证：△ABC是直角三角形.【归纳】勾股定理的逆定理__________________________________________________________________.一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理_______________.典例解析例1.判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：(1)a=15，b=8，c=17；(2)a=13，b=14，c=15.【针对练习】若△ABC的三边a,b,c满足a:b:c=3:4:5，是判断△ABC的形状.例2.若△ABC的三边a,b,c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c.试判断△ABC的形状.【针对练习】若△ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1,c=14，试说明△ABC是直角三角形.例3.已知△ABC的三条边长分别为a，b，c，且a=m2−n2，b=2mn，c=m2+ n2（m>n，m，n是正整数）．△ABC是直角三角形吗？请证明你的判断．【针对练习】已知△ABC的三边a=m−n(m>n>0)，b=2mm，c=m+n．求证：△ABC是直角三角形．例4.已知A0,4，B2,0，C4,1．(1)在坐标系中描出各点，画出三角形ABC；(2)求三角形ABC的面积;(3)仅用无刻度的直尺作出AC边上的高BD，并直接写出BD的长．（保留作图痕迹）例5.如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝14CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由．达标检测1.下列各组数中，是勾股数的()A.0.3，0.4，0.5B.9，16，25C.5，12，13D.10，15，182.下面三角形中是直角三角形的有()①三角形三内角之比为1:2:3;②三角形三内角之比为3:4:5;③三角形三边之比为1:2:3;④三角形三边之比为3:4:5.A.1个B.2个C.3个D.4个3.下列命题中，逆命题为真命题的是()A.全等三角形的对应角相等B.等角对等边C.若a=b，则|a|=|b|D.若ac2<bc2，则a<b4.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是（）A.4B.3C.2.5D.2.44.已知一个三角形的三边长分别为2、3、13则这个三角形的面积是_____.5若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是__________________________.6.命题“如果a+b=0，那么a=0,b=0”的逆命题是_______________________,它是____命题.7.根据下列条件，分别判断以a，b，c为边的三角形是不是直角三角形．(1)a=7，b=8，c=10．(2)a=35，b=12，c=37．(3)a=41，b=4，c=5．(4)a=3n，b=4n，c=5n（n为正整数）(5)a:b:c=5:12:13．8.说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？(1)两条直线平行，内错角相等；(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；(3)全等三角形的对应角相等.9．已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对边长分别为a、b、c，若a、b、c三边满足a−9+b−12+c−15=0，试判断△ABC的形状．10.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，△ABC的顶点都在格点上．(1)求∠BAC的度数；(2)求△ABC的面积．。
勾股定理的逆定理导学案(00002)
18.2 勾股定理的逆定理(2)导学案时间： 姓名：班级：一.明确目标，预习交流【学习目标】1.进一步掌握勾股定理的逆定理，并会应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，能够理解勾股定理及其逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围。
2.培养逻辑推理能力，体会“形”与“数”的结合。
3.反复运用定理，达到熟练使用，灵活运用的程度。
【重、难点】重点：勾股定理的逆定理的应用。
难点：勾股定理的逆定理的应用。
【预习作业】：1.勾股定理的逆定理：。
（通过边长的计算，可以判断一个三角形是否是直角三角形。
）2.在△ABC 中，若a 2=b 2－c 2，则△ABC 是三角形，是直角；3．已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？（1）a=9，b=41，c=40；（2）a=15，b=16，c=6；（3）a=45，b=1，c=43（4）a=5k ，b=12k ，c=13k （k ＞0）。
二.合作探究，生成总结探讨1. 已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，a=n 2－1，b=2n ，c=n 2＋1（n ＞1）.求证：∠C=90°。
图18.2-3归纳：在不明确a,b,c 的大小关系时，先把每个数的算出，再看是否有。
练一练：1.若在△ABC 中，a=m 2－n 2，b=2mn ，c= m 2＋n 2，则△ABC 是三角形。
2.已知a 、b 、c是三角形的三边长，如果满足2(6)100a c --=，则三角形的形状是（ ）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形3.如果△ABC 的三边长a 、b 、c 满足关系式()226018a b b +-+-300c +-=，则以a 、b 、c 为三边的三角形是________三角形4..若△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c ，求△ABC 的面积。
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★★★ 八年级下期 数学导学案★★★
勾股逆定理复习课 学习目标 知识与能力： 1.进一步利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。
2.灵活应用勾股定理的逆定理解综合题，进一步加深性质定理与判定定理之间的关系。
过程与方法： 1.通过在不同条件下，不同环境中反复应用定理及逆定理，使学生达到熟练使用、灵活运用的程度。
2.通过反思与交流，情感态度与价值观。
1、培养学生的数学思维以及逻辑推理意识，体验勾股定理和逆定理广泛的应用价值。
重点难点 重点: 利用勾股定理的逆定理解综合题 难点: 利用勾股定理的逆定理的逆定理时正确选择。
学法指导 1、运用勾股定理的逆定理来识别三角形时，用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，如果事先不知道最长边，可分别求出各边的平方在考虑其中是否存在两边的平方和等于第三边的平方，可得出结论。
2、遇到不规则问题图形要转化成基本图形。
学习过程 一、回顾旧知 1、若一个直角三角形的一条直角边长是7cm ，另一条直角边比斜边短1cm,则斜边长为： （ A 、18cm 、 B 、20cm 、 C 、24cm 、 D 、25cm; 2、若直角三角形的两条直角边各扩大2倍，则斜边长为： 。
3、如图、1、64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A 所代表的正方形的是： 。
编写人姓名 李俊 审核人姓名
李玉芹
班级
姓名
编号
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4、一架2.5m 长的梯子依靠一竖直的墙上，这是梯角距墙角0.7m ，如果梯子的
顶端沿墙下滑0.4m ，那么梯角移动的距离是： 。
二、点击范例，加强认识
例1已知△ＡＢＣ中，∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ的对边分别是ａ、ｂ、ｃ，满足
222338102426a b c a b c +++=++。
试判断△ＡＢＣ的形状。
问题１、一个等式，三个未知数，怎么办？
解：
反思1：例1用到哪些知识和方法？
例2、在四边形ABCD 中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=090，求四边
形ABCD 的面积。
问题2：对于不规则图形，你会用什么方法求面积？
解：
反思2：例2用到哪些知识和方法？
例3：已知：如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，且2CD AD BD =∙，求
证：△ABC 是直角三角形。
分析：（1）请同学观察图形，能发现哪些基本图形？
（2）由以上两个基本图形，我们能得到什么关系式？
（3）要判断△ABC 是直角三角形，借助直观，我们期望什么式子成立？
（4）222BC AC AB +=能成立吗？
解题过程：
解：
反思：例3用到哪些主要知识点？
当堂检测：
1、三角形的两边长分别为3和5，要使这个三角形是直角三角形，则第三边长
是 。
2、若△ＡＢＣ中，ＡＢ＝１０，ＢＣ＝１６，ＢＣ边上的中线ＡＤ＝６，则Ａ
Ｃ＝ 。
３、等腰三角形底边上的高是8，腰长为10，则三角形的面积是
4、△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AB=3，BD=2，DC=1，则AC= 。
5、△ABC 中，若AC=15，BC=13，高CD=12，则△ABC 的周长是 。
6、△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边AC 的中点，E 、F 分别是AB 、
AC 边上点，且DE ⊥DF ，若BE=12，CF=5，求线段EF 的长。
7、将长方形ABCD 沿直线BD 折叠，使点C 落在点C ｀处，BC ｀交AD 于E ，AD=8，
AB=4，求△BED 的面积。
8、已知△ABC 的三边a 、b 、c 满足222244a c b c a b -=-，试判断△ABC 的形状。
作业布置：
1、已知三角形的三边长分别为a=1.5，b=2，c=2.5，则这个三角形为（）
A锐角三角形；B钝角三角形；C直角三角形；D等腰三角形
2、已知在三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c，适合下列三角形不是直角三角形的是( )
A、∠A﹕∠B﹕∠C=1﹕2﹕3;
B、a﹕b﹕c=3﹕4﹕5;
C、∠C =∠A +∠B ;
D、a=2b,且c=1.56b
3、若一个三角形的三边之比分别为5﹕12﹕13，且周长为60cm，则它的面积是。
4、已知△ABC的三边a、b、c，满足222
a b c
-=，则△ABC是三角形，且斜边是。
5、如图、正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在DC上，且DF=1
4
DC，
试判断BE和EF的位置关系？并说明你的理由。
6、如图、在四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=1，AD=3，∠ABC=0
90，求∠BCD的大小。
课后反思：。